График функции 10 класс: График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Содержание

График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Дата публикации: .

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты - значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки.
Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

  • Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
  • Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
  • Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
  • Если то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота - это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
  • Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a - это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а

Для примера построим три графика: а) y= x2, б) y= x2 + 2, в) y= x2 - 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а

Для примера построим три графика: а) y= (x - 2)2, б) y= (x + 1)2.

Графики наших функций получается из графика функции y= x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x3, б) y= (-x)3.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x3, путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2x2 + 4x - 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y'= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)2 + 4(-1) - 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5x3 - 3x5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y'= 15x2 - 15x4,
y'= 15x2(1 - x2)= 15x2(1 - x)(1 + x),
15x2(1 - x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума.
Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1)3 - 3(-1)5= -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0)3 - 3(0)5= 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1)3 - 3 (1)5= 2

5) Исследуем функцию на четность: y(-x)= 5(-x3) - 3(-x5)= -5x3 + 35= -y(x)
По определению функция нечетная, и график симметричен относительно начало координат.
2-4}$= y(x)

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0. 3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки: Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности: Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат.

2+2)}$.

Построение графиков функций

Вопросы занятия:

·     рассмотреть применение производных для построения графиков.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение.

Упражнение.

Мы с вами уже построили достаточно много графиков функции. Для того, чтобы построить графики функции мы с вами строили таблицу значений функций, отмечали точки с полученными координатами на плоскости и соединяли плавно полученные точки. Как же мы выбирали точки для построения таблиц? А выбирали мы их произвольно.

Но иногда, например, когда речь шла о параболе, мы находили координаты именно вершины параболы или искали точки пересечения графика функции с осями. Но если дальше продолжать строить по произвольным точкам, то может получиться так, что свойства функции не будут видны на графике. Пусть у нас есть таблица значений для некой функции

f(x). Давайте отметим их на координатной плоскости и плавно соединим. Получим график функции f(x). А теперь давайте посмотрим, как выглядел бы график нашей функции, если бы мы не включили в таблицу эту точку? Тогда бы вид графика был совершенно другой. И мы бы не могли по графику сказать существуют ли экстремумы функции.

Чтобы такого не происходило надо выбирать особо важные точки графика, которые определяют его вид.

К особо важным точкам графика функции f(x) относят:

– стационарные и критические точки;

– точки экстремума;

– точки пересечения графика функции с осями координат;

– точки разрыва функции.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения её графика. Мы будем использовать упрощённые варианты указанной схемы.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим ещё один пример.

Давайте ещё раз повторим схему исследования функции для построения её графика.

Контрольная работа по теме "Функции" для 10 класса (4 варианта)

Вариант №1

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:


  1. область определения:
    Ответ
  2. область значений функции:
    Ответ
  3. промежутки возрастания:
    Ответ
  4. нули функции:
    Ответ
  5. наибольшее значение функции:
    Ответ

2. Найдите область определения функции


3. Постройте график функции


4. Постройте график функции


5. Решите уравнение


6. Решите уравнение


Вариант №2

1. Функция y

= f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:


  1. область определения:
    Ответ
  2. область значений функции:
    Ответ
  3. промежутки возрастания:
    Ответ
  4. нули функции:
    Ответ
  5. наибольшее значение функции:
    Ответ

2. Найдите область определения функции:


3. Постройте график функции


4. Постройте график функции


5. Решите уравнение


6. Решите уравнение


Вариант №3

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:


  1. область определения:
    Ответ
  2. область значений функции:
    Ответ
  3. промежутки возрастания:
    Ответ
  4. нули функции:
    Ответ
  5. наибольшее значение функции:
    Ответ

2.

Найдите область определения функции:


3. Постройте график функции


4. Постройте график функции


5. Решите уравнение


6. Решите уравнение


Вариант №4

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:


  1. область определения:
    Ответ
  2. область значений функции:
    Ответ
  3. промежутки возрастания:
    Ответ
  4. нули функции:
    Ответ
  5. наибольшее значение функции:
    Ответ

2. Найдите область определения функции:


3. Постройте график функции


4. Постройте график функции


5. Решите уравнение


6. Решите уравнение



Cуммативное оценивание за раздел «Функция, ее свойства и график» 10 класс | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс):

Суммативное оценивание за раздел «Функция, ее свойства и график»

Тема      Свойства функции

                 Понятие обратой и сложной функции

Цели обучения        10.3.1.3 уметь оределять свойства функции;

                                  10.3.1.4 уметь описывать по заданному графику функции ее свойства:

                                 1) область определения функции;

                                 2)область значений функции;

                                 3) нули функции;

                                 4)промежутки монотонности функции;

                                 7) наибольшее и наименьшее значение функции;

                                  11) экстремумы  функции;

                                  10. 3.1.5 занть определения обратной функции и уметь находить функцию,

                                  обратную заданной и знать свойство расположения графиков  взаимно

                                  обратных  функций

                                  10.3.1.6 уметь распознавать сложную функцию  и составлять

                                  композицию  функции;

Критерий оценивания                          Обучающийся:

  • Исследует свойства функции по ее графику;
  • Применяет алгоритм нахождения обратной функции;
  • Применяет алгоритм нахождения сложной функции;
  • Исследует функцию на четность и нечетность

Уровень мыслительных навыков       Применение

                                                                 Навыки высокого порядка

Время выполнения     25 минут

1 вариант

  1. Дан график функции

  1. Запишите область определения функции;
  2. Найдите множество значений функции;
  3. Определите промежутки монотонности функции;
  4. Определите экстремумы функции;
  1. Найдите функцию обратную данной . Постройте график данной и обратной функции в одной системе координат. Решите уравнение

  1. Составьте все возможные сложные функции, если   
  1. Является ли четной или нечетной функции, заданная формулой:

А)      

Б)

Критерий оценивания

№ задания

Дескриптор

Балл

Исследует свойства функции по ее графику;

1

Определяет  область определения функции;

1

Определяет множество значений функции;

1

Определяет  промежутки монотонности функции;

1

Определите экстремумы функции;

1

Применяет алгоритм нахождения обратной функции;

2

Определяет обратную функцию;

Строит график данной  функции

1

Строит график обратной функции

1

Находит корень уравнения

1

Применяет алгоритм нахождения сложной функции;

3

Составляет сложную функцию

1

Составляет сложную функцию

1

Исследует функцию на четность и нечетность

4 а

Упрощает функцию

1

Определяет четность или нечетность функции

1

4 б

Упрощает функцию

1

Определяет четность или нечетность функции

1

И того:

14

Суммативное оценивание за раздел «Функция, ее свойства и график»

Тема      Свойства функции

                 Понятие обратой и сложной функции

Цели обучения        10. 3.1.3 уметь оределять свойства функции;

                                  10.3.1.4 уметь описывать по заданному графику функции ее свойства:

                                 1) область определения функции;

                                 2)область значений функции;

                                 3) нули функции;

                                 4)промежутки монотонности функции;

                                 7) наибольшее и наименьшее значение функции;

                                  11) экстремумы  функции;

                                  10.3.1.5 занть определения обратной функции и уметь находить функцию,

                                  обратную заданной и знать свойство расположения графиков  взаимно

                                  обратных  функций

                                  10.3.1.6 уметь распознавать сложную функцию  и составлять

                                  композицию  функции;

Критерий оценивания                          Обучающийся:

  • Исследует свойства функции по ее графику;
  • Применяет алгоритм нахождения обратной функции;
  • Применяет алгоритм нахождения сложной функции;
  • Исследует функцию на четность и нечетность

Уровень мыслительных навыков       Применение

                                                                 Навыки высокого порядка

Время выполнения     25 минут

  1. вариант
  1. Дан график функции

  1. Запишите область определения функции;
  2. Найдите множество значений функции;
  3. Определите промежутки монотонности функции;
  4. Определите экстремумы функции;
  1. Найдите функцию обратную данной . Постройте график данной и обратной функции в одной системе координат. Решите уравнение

  1. Составьте все возможные сложные функции, если   
  1. Является ли четной или нечетной функции, заданная формулой:

А)      

Б)

Критерий оценивания

№ задания

Дескриптор

Балл

Исследует свойства функции по ее графику;

1

Определяет  область определения функции;

1

Определяет множество значений функции;

1

Определяет  промежутки монотонности функции;

1

Определите экстремумы функции;

1

Применяет алгоритм нахождения обратной функции;

2

Определяет обратную функцию;

Строит график данной  функции

1

Строит график обратной функции

1

Находит корень уравнения

1

Применяет алгоритм нахождения сложной функции;

3

Составляет сложную функцию

1

Составляет сложную функцию

1

Исследует функцию на четность и нечетность

4 а

Упрощает функцию

1

Определяет четность или нечетность функции

1

4 б

Упрощает функцию

1

Определяет четность или нечетность функции

1

И того:

14

▶▷▶ контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций

▶▷▶ контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:17-11-2018

контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций - Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail" data-nosubject="[No Subject]" data-timestamp='short' Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольные работы по алгебре 10 класс, контрольные по mathematics-testscom/algebra- 10 -klass/ Cached Контрольная по алгебре 10 класса, 10 КЛАСС Контрольная работа №2 "Свойства и графики График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 mathematics-testscom/postroenie-grafikov Cached Графики наших функций получается из графика функции y=x 2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз Контрольная работа по теме "Тригонометрические функции, их infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme Cached Контрольная работа №3 Свойства и графики тригонометрических функций Вариант 1 Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Графики Функций - Image Results More Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Графики Функций images Контрольная работа по теме "Преобразование графиков функций infourokru/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Контрольная работа по теме "Преобразование графиков функций " алгебра 8 - й класс представлена в четырёх вариантах Контрольная работа 10 по алгебре степенные функции Лучшие okna-forestaru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа рассчитана на непрофильные классы со средним области определения, области значений степенных функций , Контрольная работа по алгебре и началам анализа в 10 классе на тему Контрольная работа по алгебре 8 класс функции и графики poiskvstavropoleru/2018/02/05/kontrolnaya-rabota-po Cached Контрольная работа по алгебре 8 класс функции и графики никольский Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая Контрольная работа 10 класс по теме Функции и графики mathlogru › Кимы Контрольная работа по теме Функции и графики в 10 классе « МАТЛОГ » - сайт для всех, кто интересуется математикой Контрольная работа по алгебре 7 класс Мерзляк АГ Тема multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Контрольная работа по теме "Функции" 7 класс , алгебра Контрольная работа № 6 алгебра 7 класс УМК Мерзляк АГ Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_ 10 Cached Просмотр содержимого документа «Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме Контрольная работа по алгебре функции и их графики nivaria-islaturru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа по алгебре «Функции и их свойства, квадратный трехчлен» 9 Класс Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox - the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 26,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • Муравина ОВ М: 2013 - 320 с Все учебники Алгебра и начала анализа 10 -11 классы Учебник Мордкович АГ (2001
  • возрастает на промежутке [a; b]? 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение
  • пожелания Все материалы проверены антив Скрыть 6 Контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольная работа по алгебре 10 класс графики Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 7 Контрольная работа " Функции и их свойства" 10 класс uchitelyacom › …kontrolnaya…funkcii-i…10-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре "Тригонометрические функции " 11 класс Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» Цель: проверить уровень усвоение ГОСО - умение находить значение функции в точке; - умение находить область определения функции ; - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре "Тригонометрические функции " 11 класс 29-09-2015

4 четверти Контрольные на темы: "Определение тригонометрических функций "

затем вверх на 2 ед Уравнение функции имеет вид: 1)y=f(x-3)-2 2)y=f(x+3)-2 3)y=f(x-3)+2 4)y=f(x+3)+2 5 Найдите нули функции Скрыть Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 allengorg › d/math/math935htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Дудницын ЮП

  • алгебра Контрольная работа № 6 алгебра 7 класс УМК Мерзляк АГ Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_ 10 Cached Просмотр содержимого документа «Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме Контрольная работа по алгебре функции и их графики nivaria-islaturru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа по алгебре «Функции и их свойства
  • 10 КЛАСС Контрольная работа №2 "Свойства и графики График функции
  • кто интересуется математикой Контрольная работа по алгебре 7 класс Мерзляк АГ Тема multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Контрольная работа по теме "Функции" 7 класс

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Реклама Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Тест по алгебре ( 10 класс ) по теме: Контрольные nsportalru › Школа › Алгебра › …-po-algebre-10-klass Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте ройте график функции у которой 5 Найдите функцию , обратную функции Постройте на одном чертеже графики Итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс Предлагаю два варианта контрольной работы для учащихся 10 класса Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема контрольной Читать ещё ройте график функции у которой 5 Найдите функцию , обратную функции Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций 6 Известно, что функция возрастает на R Решите неравенство Рекомендации по оцениванию контрольной работы Итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс Предлагаю два варианта контрольной работы для учащихся 10 класса Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема контрольной работы " Повторение и расширение сведений о функции " Контрольные работы по алгебре 10 класс Разработка контрольных работ по математике контрольные работы по алгебре 10 класс Мордкович Скрыть 2 Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме kopilkaurokovru › matematika…10_klass…rabota_1_po… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме: Числовые функции Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите Просмотр содержимого документа « Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции »» Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции » Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме: Числовые функции Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите область определения Найдите область значений Найд Просмотр содержимого документа « Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции »» Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции » Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите область определения Найдите область значений Скрыть 3 Сборник контрольных работ по алгебре , ( 10 класс ) урокрф › library/sbornik…rabot_po_algebre_10_klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте КИМ для учителя-предметника для 10 класса Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 10 класса - умение находить область определения функции ; - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки возрастания и убывания , экстремумы функции , точки пересечения с осями Читать ещё КИМ для учителя-предметника для 10 класса Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 10 класса - умение находить область определения функции ; - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки возрастания и убывания , экстремумы функции , точки пересечения с осями координат Скрыть 4 Контрольная работа 10 класс по теме " Функции " infourokru › kontrolnaya…klass-po…funkcii…grafiki… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 1 Все категории Алгебра Английский язык Астрономия Биология Всемирная история Читать ещё Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 2 Найдите область определения функции Решите неравенство Найдите наибольшее значение функции Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(4;1) и В(6;3) Закрасьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 1 Найдите область определения функции Все категории Алгебра Английский язык Астрономия Биология Всемирная история Скрыть 5 Контрольные работы по алгебре 10 класс mathematics-testscom › algebra-10-klass…10-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Алгебра – 10 класс Контрольные работы с ответами к учебнику Мордковича АГ за 1, 2, 3, 4 четверти Контрольные на темы: "Определение тригонометрических функций ", "Свойства и графики тригонометрических функций " Читать ещё Алгебра – 10 класс Контрольные работы с ответами к учебнику Мордковича АГ за 1, 2, 3, 4 четверти Контрольные на темы: "Определение тригонометрических функций ", "Свойства и графики тригонометрических функций ", "Тригонометрические уравнения", "Тригонометрические функции сложения аргумента", "Правила и формулы отыскания производных", "Применение производной к исследованию функций " и др Дополнительные материалы по алгебре Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания Все материалы проверены антив Скрыть 6 Контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольная работа по алгебре 10 класс графики Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 7 Контрольная работа " Функции и их свойства" 10 класс uchitelyacom › …kontrolnaya…funkcii-i…10-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре "Тригонометрические функции " 11 класс Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» Цель: проверить уровень усвоение ГОСО - умение находить значение функции в точке; - умение находить область определения функции ; - умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре "Тригонометрические функции " 11 класс 29-09-2015, 20:57 Контрольная работа по теме "Тригонометрические функции " форма ЕГЭ Скрыть 8 Контрольная работа 10 класс "Числовые функции " multiurokru › Обо мне › …-naia-rabota-10-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа вы 10 классе "Числовые функции " в двух вариантах содержит пять заданий Контрольная работа по алгебре и началам анализа №1 10 классс Вариант 1 1Найти промежутки возрастания и убывания , наименьшее значение функции у = - 4х – 5 2 Определить четность или нечетность функции у Читать ещё Контрольная работа вы 10 классе "Числовые функции " в двух вариантах содержит пять заданий Контрольная работа по алгебре и началам анализа №1 10 классс Вариант 1 1Найти промежутки возрастания и убывания , наименьшее значение функции у = - 4х – 5 2 Определить четность или нечетность функции у = 2 - 5х + 3 Для функции f(х)= 3х + 2 , найти обратную функцию 4Найти значение функции f(х)= 1- ( )-1 , при х = 5 Построить график функции : а) у = (х + 3)2 - 1; б)у = Скрыть 9 Решебник к сборнику контрольных работ по алгебре для math-helpernet › izbrannoe…k…po-algebre…10-klassa… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решения контрольных работ по алгебре и началам анализа из сборника для 10 класса Глизбург В И (под ред АГ Мордковича) Контрольные работы для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / В И Глизбург ; под ред А Г Мордковича — М : Мнемозина, 2007 — 62 с" Сборник Читать ещё Решения контрольных работ по алгебре и началам анализа из сборника для 10 класса Глизбург В И (под ред АГ Мордковича) Профильный уровень Варианты 1,2,3,4 Контрольные работы для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / В И Глизбург ; под ред А Г Мордковича — М : Мнемозина, 2007 — 62 с" Сборник контрольных работ предназначен для тех учителей математики, которые используют в своей преподавательской деятельности УМК, созданный авторским коллективом под руководством А Г Мордковича для изучения в 10 -м классе профильной старшей школы курса алгебры и начал анализа Скрыть 10 Проверочные работы по алгебре 10 класс videourokinet › Разработки › Алгебра › …-9/10-class/?uc=70 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Углубленный уровень Муравин ГК, Муравина ОВ М: 2013 Алгебра и начала математического анализа 10 класс Все темы Глава 1 Функции и графики Читать ещё 10 класс Углубленный уровень Муравин ГК, Муравина ОВ М: 2013 - 320 с Все учебники Алгебра и начала анализа 10 -11 классы Учебник Мордкович АГ (2001, 335с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс (базовый и проф уровни) Колягин ЮМ и др (2011, 368с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс Муравин ГК (2013, 288с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс Профильный уровень Пратусевич МЯ и др Все темы Глава 1 Функции и графики 1 Понятие функции 2 Прямая, гипербола, парабола и окружность 3 Непрерывность и монотонность функций 4 Квадратичная и дробно-линейная функции Преобразование графиков Глава 2 Степени и корни Скрыть Контрольная работа по математике на тему " Функции " videourokinet › Разработки › kontrolnaya-rabota-po… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по теме " Функции " содержит задания : - найди значения функции в указанных точках; - найди область определения функции ; - постройте график функции и по графику определите промежутки монотонности и Контрольная работа 10 класс функция | Контрольные reshuzadachiby › kontrolnaya…10-klass-funkciyahtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Примерная контрольная работа для 10 класс - полностью соответствует новой программе 2017 года Читать ещё Примерная контрольная работа для 10 класс - полностью соответствует новой программе 2017 года Примерная контрольная работа для 10 класс - полностью соответствует новой программе 2017 года Файл Скрыть Чат с компанией Задайте свои вопросы консультанту Контрольное тестирование по теме " Функции и графики " doc4webru › …po…funkcii-i-grafiki-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольное тестирование по Математике " Функции и графики " 10 класс Скачать материал 4Построен график функции у=f(x) Выполнили параллельный перенос вправо на 3 ед, затем вверх на 2 ед Читать ещё Контрольное тестирование по Математике " Функции и графики " 10 класс Скачать материал Контрольное тестирование по теме " Функции и графики " 1 Найдите область определения функции 1) x 2) x 3) x-0,4 4) x 2 Найдите множество значений функции 1) х4 2) x графику найдите уравнение функции х 1) y=x2+4 2) y=–x2-4 3)y=(x-4)2 4)y=x2-4 4Построен график функции у=f(x) Выполнили параллельный перенос вправо на 3 ед, затем вверх на 2 ед Уравнение функции имеет вид: 1)y=f(x-3)-2 2)y=f(x+3)-2 3)y=f(x-3)+2 4)y=f(x+3)+2 5 Найдите нули функции Скрыть Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 allengorg › d/math/math935htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Дудницын ЮП, Кронгауз ВЛ Содержание К учителю 5 Тематика контрольных работ 9 Контрольная работа № 1 10 Вариант 1 10 Вариант 2 10 Вариант 3 11 Вариант 4 11 Контрольная Построение графиков функции 44 VII Читать ещё 10 класс Дудницын ЮП, Кронгауз ВЛ М: 2007 - 63 с Содержание К учителю 5 Тематика контрольных работ 9 Контрольная работа № 1 10 Вариант 1 10 Вариант 2 10 Вариант 3 11 Вариант 4 11 Контрольная работа № 2 12 Вариант 1 12 Вариант 2 12 Вариант 3 13 Вариант 4 13 Контрольная работа № 3 14 Вариант 1 14 Вариант 2 14 Вариант 3 15 Вариант 4 15 Контрольная работа № 4 16 Вариант 1 , 16 Вариант 2 16 Вариант 3 17 Вариант 4 17 Контрольная работа № 5 18 Вариант 1 ' 18 Вариант 2 18 Вариант 3 19 Вариант 4 19 Контрольная работа № 6 20 Вариант 1 20 Вариант 2 20 Вариант 3 21 Вариант 4 21 Контрольная работа № 7 22 Вариант 1 22 Вариант 2 22 Вариант 3 23 Вари Построение графиков функции 44 VII Скрыть 10 класс Алгебра - профильный уровень Контрольная pandiaru › text/80/562/20php Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс АЛГЕБРА - ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Контрольная работа № 1 По теме «Числовые функции » 1 вариант 1 Найдите область определения функции 2 Найдите значения функции в точках 1; - x 3 Постройте график функции Контрольная работа 10 класс по теме Функции и графики mathlogru › kontrolnaya…10-klass…funkcii-i-grafiki/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа « Функции и графики » Вариант 1 Обязательная часть 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение, задающее геометрическое место точек, равноудаленных от точек А(-2; 1) и В(6; 3) Дополнительная часть 7 Закрасьте множество точек, координаты Читать ещё Контрольная работа « Функции и графики » Вариант 1 Обязательная часть 1 Укажите область значений функции y=(x^2-1)/x^2 2 Решите неравенство: 6/x+6/(x+1)≤5 3 Какая из функций , заданных графиком (см рис в DOC), возрастает на промежутке [a; b]? 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение, задающее геометрическое место точек, равноудаленных от точек А(-2; 1) и В(6; 3) Дополнительная часть 7 Закрасьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (y-3x)(2y+x)≥0 8 Найдите наименьшее значение функции y=1/√(3+x-1/4 x^2 ) 9 Постройте график функции y=|4|x|-3-x^2| Вариант 2 Обязательная часть Скрыть Вместе с « контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций » ищут: итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс корень знак контрольные работы по алгебре 10 класс мордкович базовый уровень контрольная работа 1 по алгебре 10 класс контрольная работа по алгебре 9 класс входная контрольная работа по алгебре 10 класс контрольная работа по алгебре 11 класс входная контрольная работа по алгебре 10 класс мордкович с ответами контрольная работа по геометрии 10 класс решите уравнение 1 2 3 4 5 дальше Браузер Для безопасных прогулок в сети 0+ Установить

Материалы для организации дистанционного обучения. Математика (10–11 класс)

Класс

Название урока

Ссылка на учебные материалы

10

Делимость. Свойства и признаки делимости

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5255/main/272515/

10

Действительные числа

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4730/main/149077/

10

Функции и графики. Линейная и квадратичная функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5175/main/198136/

10

Определение числовой функции Способы её задания

https://infourok. ru/videouroki/1174

10

Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6124/main/38974/

10

Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6124/main/38974/

10

Обратная функция

https://infourok.ru/videouroki/1219

10

Радианная мера угла

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4733/main/199154/

10

Числовая окружность на координатной плоскости

https://infourok. ru/videouroki/1175

10

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6019/main/199185/

10

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3876/main/199247/

10

Знаки синуса, косинуса и тангенса

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3863/start/199212/

10

Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а

https://resh. edu.ru/subject/lesson/4735/main/199278/

10

Тригонометрические функции углового аргумента

https://videouroki.net/blog/trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta.html

10

Свойства и график функции y = sinx

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5570/main/200799/

10

Свойства и график функции y = cosx

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4920/main/200706/

10

Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

https://resh. edu.ru/subject/lesson/3943/main/200826/

10

Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3943/main/200826/

10

Преобразования графиков тригонометрических функций из у=f(x) в y=mf(x)

https://infourok.ru/videouroki/1187

10

График гармонического колебания

https://infourok.ru/videouroki/1189

10

Обратные тригонометрические функции

https://resh. edu.ru/subject/lesson/6113/main/200860/

10

Уравнение cos x = a

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6317/main/199685/

10

Уравнение sinx=a

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4736/main/199746/

10

Уравнение tg x = a

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4737/main/199808/

10

Тригонометрические уравнения

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6314/main/199932/

10

Методы решения тригонометрических уравнений

https://resh. edu.ru/subject/lesson/6320/main/200024/

10

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6321/main/199993/

10

Формулы сложения

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4734/main/199309/

10

Формулы сложения

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4734/main/199309/

10

Формулы приведения

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3490/main/199402/

10

Формулы двойного аргумента

https://resh. edu.ru/subject/lesson/3489/main/78831/

10

Формулы половинного аргумента

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3887/main/199371/

10

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4238/main/107830/

10

Произведение синусов и косинусов

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3898/main/199495/

10

Числовые последовательности

https://infourok. ru/videouroki/1206

10

Предел последовательности

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4921/main/200891/

10

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

https://infourok.ru/videouroki/1209

10

Определение производной. Физический смысл производной

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4923/main/200984/

10

Определение производной

https://infourok.ru/videouroki/1211

10

Геометрический смысл производной.

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3976/main/201108/

10

Правила дифференцирования

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3954/main/201015/

10

Вычисление производных

https://infourok.ru/videouroki/1212

10

Производные элементарных функций

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6114/main/201077/

10

Производная сложной функции

https://ege-ok. ru/2015/01/22/proizvodnaya-slozhnoy-funktsii-video

10

Уравнение касательной

https://infourok.ru/videouroki/1213

10

Возрастание и убывание функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3966/main/201139/

10

Экстремумы функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3987/main/273814/

10

Построение графиков функций

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4016/main/225686/

10

Наибольшее и наименьшее значения функций

https://resh. edu.ru/subject/lesson/6115/main/36350/

11

Определение производной. Физический смысл производной

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4923/main/200984/

11

Геометрический смысл производной

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3976/main/201108/

11

Правила дифференцирования

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3954/main/201015/

11

Производные элементарных функций

https://resh. edu.ru/subject/lesson/6114/main/201077/

11

Производная степенной функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4922/main/201046/

11

Возрастание и убывание функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3966/main/201139/

11

Экстремумы функции

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3987/main/273814/

11

Наибольшее и наименьшее значения функций

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6115/main/36350/

11

Производная второго порядка. Выпуклость и точки перегиба

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6116/main/273932/

11

Решение задач с помощью производной

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6195/main/225655/

11

Первообразная

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4924/main/225717/

11

Правила вычисления первообразной

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3993/main/225748/

11

Площадь криволинейной трапеции. Понятие определённого интеграла

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6117/main/225779/

11

Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площадей плоских фигур с помощью интеграла

https://infourok.ru/videouroki/1237

11

Вычисление площадей с помощью интегралов

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4037/main/269554/

11

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6118/main/225812/

11

Арифметический корень натуральной степени

https://resh. edu.ru/subject/lesson/5498/main/272546/

11

Функция корня n-й степени, их свойства и график

https://infourok.ru/videouroki/1234

11

Понятие корня n-й степени из действительного числа

https://infourok.ru/videouroki/1223

11

Свойства корня n-й степени

https://infourok.ru/videouroki/1245

11

Преобразование иррациональных выражений

https://infourok.ru/videouroki/1256

11

Иррациональные уравнения и неравенства

https://resh. edu.ru/subject/lesson/5569/main/159267/

11

Степень с рациональным и действительным показателем

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4729/main/159017/

11

Обобщение понятия о показателе степени

https://infourok.ru/videouroki/1267

11

Степенная функция. Дробно-линейная функция

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5540/main/159048/

11

Степенные функции, их свойства и графики

https://infourok. ru/videouroki/1271

11

Показательная функция

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3841/main/225577/

11

Показательные уравнения. Системы показательных уравнений

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5627/main/159325/

11

Показательные неравенства

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4731/main/159356/

11

Логарифмы. Свойства логарифмов

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5753/main/272579/

11

Понятие логарифма

https://infourok. ru/videouroki/1224

11

Десятичные и натуральные логарифмы

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3823/main/198629/

11

Логарифмическая функция

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3834/main/198660/

11

Свойства логарифмов

https://infourok.ru/videouroki/1226

11

Логарифмические уравнения

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4732/main/198846/

11

Логарифмические неравенства

https://resh. edu.ru/subject/lesson/3852/main/199123/

11

Число е. Функция у=ех, её свойства, график, дифференцирование

https://infourok.ru/videouroki/1231

11

Натуральные логарифмы. Функция у=ln х, ее свойства, график, дифференцирование

https://infourok.ru/videouroki/1230

11

Графическое представление статистических данных

https://infourok.ru/videouroki/3083

11

Наглядное представление статистической информации

https://resh. edu.ru/subject/lesson/1988/main/

11

Вероятность события. Сложение вероятностей

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4089/main/131707/

11

Условная вероятность. Независимость событий

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4064/main/38073/

11

Вероятность произведения независимых событий

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4079/main/38323/

11

Правило произведения. Размещения с повторениями

https://resh. edu.ru/subject/lesson/4028/main/37170/

11

Перестановки

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4927/main/37201/

11

Размещения без повторений

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4045/main/149140/

11

Сочетания с повторениями

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4928/main/38168/

11

Сочетания без повторений. Бином Ньютона

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6119/main/37793/

11

Формула Бернулли

https://resh. edu.ru/subject/lesson/4929/main/38416/

11

Геометрическая вероятность

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6121/main/38478/

11

Решение сложных задач на движение

https://resh.edu.ru/subject/lesson/1377/

11

Решение сложных текстовых задач на работу

https://resh.edu.ru/subject/lesson/1376/

11

Решение задач на смеси и сплавы

https://oblako-media.ru/behold/VmuMYdFPqgU/getaclass-ege-po-matematike-splavi-i-smesi/

11

Прогрессии и банковские расчёты

https://uchebnik. mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/3575406

11

Преобразование тригонометрических выражений

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4324/main/199622/

11

Методы решения тригонометрических уравнений

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6320/main/200024/

11

Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6123/main/149202/

11

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с двумя переменными

https://resh. edu.ru/subject/lesson/4155/main/38788/

11

Тригонометрические уравнения и неравенства с двумя переменными

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4124/main/38850/

11

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4145/main/111183/

11

Преобразование выражений

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4931/main/127800/

Конспект урока математики "Построение графика дробно-линейной функции". Математика.10 класс

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, мотивация учащихся, объявляет план урока.

Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

2. Постройте график функции у = 2/x. Найдите:

а) значение функции при x = 3.5;

б) значение аргумента, при котором у = 5.

3. График функции у = k/x проходит через точку А (2; -1). Найдите величину k.

 

Вариант 2

1. Какая кривая называется гиперболой?

2. Постройте график функции у = -3/x. Найдите:

а) значение функции при х = 0,9;

б) значение аргумента, при котором у = 0,4.

3. График функции проходит через точку А (-2; 4). Найдите величину k.

Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

у =  (1).

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в)  = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если  = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

 =  =  = , то есть у =  - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби  целую часть.

Имеем:  =  =  = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у =  с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х2, а другую для х

х

1

0

-1

-2

-4

-10

у

-5

-2

-1

-0,5

0

0,5

х

3

4

5

6

8

12

у

7

4

3

2,5

2

1,6

Отметим (с помощью программы Geogebra) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы.

Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби  целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим  = 2 + . Следовательно, у = --2.

График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х-3.

х

-2

-1

1

2

7

у

-6

-4

-3

-2,8

-2,4

х

-4

-5

-7

-8

-11

у

2

0

-1

-1,2

-1,5

Построив (с помощью программы Geogebra точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - График дробно-линейной функции получается из графика функции у =  с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у =  называется горизонтальной асимптотой.

Какова область определения дробно-линейной функции?

Д: D(y) =

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Geogebra. Постройте график функции:

а) у = ; б) у =  

Найдите область определения и область значений функции f, если: a) f(x) = , б) f(x) = 

Укажите асимптоты гиперболы – графика функции: а) у =  (; б) у = -  в) у = .

График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Дата публикации: .

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно.Теперь обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции - это множество точек, абсциссы которых являются значениями функций определения, а ординаты - значениями функций y = f (x). График любых функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки .Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точка, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума . Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат . Значения, в которых функция y = f (x) = 0 - точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f (0) - то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций .Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

  • Если функция y = f (x) непрерывна по всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение значения нашей функции.
  • Если функция y = f (x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с указаниями в области определения функций, с указаниями ее разрыва.
  • Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графику при x ≥ 0, а дорисовать симметричную ветвь.
  • Если то прямая y = b - горизонтальной асимптотой нашей графика функции.Асимптота - это некоторый ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не идет этого значения.
  • Если f (x) = $ \ frac {p (x)} {q (x)} $; и при x = a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x = a - это вертикальная асимптота.

Несколько правил упрощенного построения графиков функций:

а) График функции y = f (x) + a получается из графика функции y = f (x) (график y = f (x) известен заранее), параллельное переноса графика y = f (x) на единицы вверх, если а> 0; и на отправку вниз, если а

Для примера построим три графика: а) y = x 2 , б) y = x 2 + 2, в) y = x 2 - 3.

Графики наших функций получается из графика функции y = x 2 , путем его параллельного переноса: на две единицы вверх, в) на три вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y = f (x + a) получается из графика функции y = f (x) (график y = f (x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y = f (x) на единицы влево, если а> 0, и на единицы вправо, если а

Для примера построим три графика: а) y = (x - 2) 2 , б) y = (x + 1) 2 .

Графики наших функций получается из графика функции y = x 2 , путем его параллельного переноса: б) на две единицы права, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y = f (-x), следует построить график функции y = f (x) и отразить его оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x).

Для примера построим два графика: а) y = x 3 , б) y = (-x) 3 .

Графики нашей функции получается из графика функции y = x 3 , путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y = -f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y = cos (x), б) y = -cos (x). Графики наших функций получается из графика функции y = cos (x), отражение относительно оси абсцисс путем.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен.Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y = 2x 2 + 4x - 5.

Решение:
1) Область определения: D (y) = (-∞; + ∞).
2) Найдем стационарные точки:
y '= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x = -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x = -1 - точка минимума. Найдем значение функции в точке x = -1
y (-1) = 2 (-1) 2 + 4 (-1) - 5 = -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке = (- ∞; -1), x = -1 - точкаума, функция возрастает на минимке (-1; + ∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y = 5x 3 - 3x 5 .

Решение:
1) Область определения: D (y) = (-∞; + ∞).
2) Найдем стационарные точки:
y '= 15x 2 - 15x 4 ,
y' = 15x 2 (1 - x 2 ) = 15x 2 (1 - x) (1 + x),
15x 2 (1 - x) (1 + x) = 0,
x = 0; ± 1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x = -1 - точка минимума.
Точка x = 0 - точка перегиба, функция в этой точке так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x = 1 - точка максимума.

Найдем значение функции в точке x = -1: y (-1) = 5 (-1) 3 - 3 (-1) 5 = -2.
Найдем значение функции в точке x = 0: y (0) = 5 (0) 3 - 3 (0) 5 = 0.
Найдем значение функции в точке x = 1: y (1) = 5 ( 1) 3 - 3 (1) 5 = 2

5) Исследуем функцию на четность: y (-x) = 5 (-x 3 ) - 3 (-x 5 ) = -5x 3 + 3 5 = -y (x)
По определению функция нечетная, и график симчен относительно начала координат. 2-4} $ = y (x)

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0. 3) Прямая x = 2 - вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки: Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всю область определения наших функций.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности: Точка x = 0 - точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞; 0), x = 0 - точка максимума. Функция убывает на (0; + ∞).
Прямая x = 2 - вертикальная асимптота. Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат. 2 + 2)} $.

Урок алгебры 10 класс «Функции и графики», УМК Колмогоров А.Н.

Открытый урок по алгебре и начала анализа.

10 класс.

Учитель: Образцова Л.В.

Тема урока. Функции и их графики.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся функции, области определения и области значений, графике функции. Познакомиться со способами геометрических преобразований графиков функций.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Организационный момент.

Повторение.

Самостоятельная работа. По готовым чертежам тригонометрических функций установить её вид. Задания дифференцированные, I - IV в. В IV вариант самостоятельно построить график y = -2cos x.

Из новой темы. Лекция.

1.С понятием функций вы познакомились в курсе алгебры. При изучении начал анализа следующим определением:
Числовая функция с областью определения D называется соответствие, при котором данному х из числа D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

Независимую переменную х называют аргументом функции. Число у, соответствующее данному х, обозначают число функции в точке х, обозначают f (x).

Область определения функции обозначают D (f).Множество, состоящее из всех чисел f (x), называют областью значения функции f и обозначают E (f).

Функции вида f (x) = p (x), где p (x) -многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида, где p (x) и q (x) - многочлены, называют дробно - рациональными функциями. Область определения дробно - рациональной функции - множество всех возможных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x).

2. Графиком функции f называют множество всех точек (х, у) координатной плоскости, где у = f (x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

По готовым чертежам, спроецированным на доску, назвать графики функций, изученных ранее.

Функции и их графики

у = х2, 2) у = кх + b, 3) у =, 4) у = х3, 5) у = sin x, 6) y = cos x,

7) y = tg x, 8) y = ctg x

Сегодня мы рассмотрим преобразование графиков.

Проекция мультимедиа.

y = f ( x ) + b - параллельный перенос на вектор (0; b) вдоль оси ординат

х 1 = х

y 1 = y + b

y = f ( x a ) - параллельный перенос вдоль оси абсцисс

на вектор (a; 0)

х 1 = х + a

y 1 = y

3) y = kf ( x 9001 7 ) -растяжение (сжатие) вдоль оси оу с коэффициентом k

х 1 = х

y 1 = ky

| k | ›1 - растяжение, 0‹ | k | ‹1- сжатие

4) y = f ( kx ) -растяжение (сжатие) вдоль оси ох с коэффициентом k

х 1 = k х

y 1 = y

| k | ›1 –сжатие, 0‹ | k | ‹1- растяжение

5) y = - f (x) - симметричное отображение относительно оси ох

y = f (x)

y = -f (x)

6) y = | f ( x ) |

График функции у = | f ( x ) | получается из графика у = f ( x ) следующим образом: часть графика у = f ( x ), лежащая над осью ох, сохраненная, часть его, лежащая под осью ох, отображается симметрично относительно оси ох:

7) y = f (| x |)

График функции у = f ( | x |) получается из графика у = f ( x ) следующим образом: при х ≥ 0 график у = f ( x ), а при х

0 полученная часть отображается симметрично относительно оси оу.

Вид преобразования графики, один из примеров функции записывается в тетрадь.

Закрепление.

Выполнить устно № 40 (а, б), № 42, 46.

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание.

п. 3, № 40 (в, г), № 43 (а, б), 47.

Построение графиков функций

Вопросы занятия:

· рассматривать применение производных для построения графиков.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение.

Упражнение.

Мы с вами уже построили достаточно много графиков функции. Для того, чтобы построить графики функции мы с вами строили таблицу значений функций, отмечали точки с полученными координатами на плоскости и соединяли плавно полученные точки. Как же мы выбирали точку для построения таблиц? А выбирали мы их произвольно.

Но иногда, например, когда речь шла о параболе, мы находили координаты именно вершины параболы или искали точки пересечения графика функции с осями. Но если дальше продолжать строить по произвольным точкам, то может получиться так, что свойства функции не будут видны на графике. Пусть у нас есть значения значений для некой функции f (x) . Давайте отметим их на координатной плоскости и плавно соединим. Получим график функции f ( x ) .А теперь давайте посмотрим, как выглядел бы график нашей функции. включили в таблицу эту точку? Тогда бы вид графика был совершенно другой. И мы бы не могли по графику сказать существуют ли экстремумы функции.

Чтобы такого не происходило надо выбирать особо важные точки графики, определяющие его вид.

Важным точкам графика функции f (x) относят:

- стационарные и критические точки;

- точки экстремума;

- точки пересечения графика функции с осями координат;

- Точки разрыва функции.

В курсе математического анализа увеличенная универсальная схема исследования свойств функции и построения её графика. Мы будем использовать упрощенные варианты используемых схем.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим ещё один пример.

Давайте ещё раз повторим схему исследования функции для построения её графика.

Графики функций с модулями.10 класс

1. Графики функций с модулями.

Проект:
Угарина Сергея, ученика
10п класса.

2. Цель работы:

Научится
строить графики функций
с модулями.
Хорошая подготовка к ЕГЭ.

3. 1 ФУНКЦИЯ С МОДУЛЕМ

Y = lXl
Строим график функции у = x
Из-за модуля положительная
часть графика отразится
вдоль оси У.
х 1 2
y 1 2

4. 2 функция с модулем.

У = l10х + 4l
Строим график функции
у = 10х + 4
Подставляем модуль и
функция станет
положительной во всей
области определения.
Положительная часть
первой функции
отразится от х = -0,4
х
у
0
4
-1
-6

5. 3 функция с модулем

У = lx²-4l
Строим график функции у = х²-4
Это квадратичная функция,
графиком является парабола.
Чтобы построить параболу надо
найти как можно больше точек.
Сейчас строим график функции
у = lх²-4l, тогда отрицательная
сторона графика функции
у = х²-4 отразится по оси Х.
Областью определения будут все
числа функция будет равняться
нулю в точках х = ± 2.
х 1 2 -1-2
у -4 0-3 0

6. 4 функция с модулем

У = 2х²-5lхl-7
Строим гр.функции
у = 2х²-5х-7, приравняем
нулю и получим два
корня х = 3,5 и х ’= - 1
Найдём вершину
функции. В точке х = 1,5
у = -10
Строим график функции
у = 2х²-5lхl-7.

7. 5 функция с модулем

У = l2х²-5х-7l
Строим график функции
у = 2х²-5х-7
Всё также, как и в
Предыдущий слайде.
Потом строим график
функции у = l2х²-5х-7l
Функция станет только
положительным.
Отрицательная сторона
первой функции
отразится по оси Х

8. 6 функция с модулем

У = l2х²-5lхl-7l - сложная
функция. Строим сперва
график функции у = 2х²5lхl-7 как в 4-ом слайде.
Потом всю эту функцию
берём под модуль.
Функция у = l2х²-5lхl-7l
будет положительным на
всей области
определения. Функция
будет равняться нулю в
точках х = ± 3,5

9. 7 функция с модулем

У = lх² + хl
Строим гр.ф у = х² + х
Эта квадратичная функция,
графиком является
парабола. Чтобы построить
параболу надо как можно
больше точек.
Строим гр.ф у = lх² + хl
Отрицательная сторона
отразится в положительную
сторону по оси Х.
х 1-1 0-2
у 2 0 0 2

10. 8 функция с модулем

У = lх³ + х²-lхl + 1l - сложная
функция.
Строи график функции
у = х³ + х²-х + 1. Это кубическая
функция, графиком является
гипербола.Чтобы построить
гиперболу надо найти как
можно больше точек. Потомок
строим гр.ф. у = х³ + х²-lхl + 1 Изза модуль х, первая функция от
х = 0 понижется резко. Потомок
строим гр.ф. у = lх³ + х²-lхl + 1l
х
у
0
1
1
2
-1 2 -2
2 11-1
Графики
функций с модулями
очень много встречаются на Е.Г.Э.
В средней школе графики функций
с модулями обучают в 10, 11
классах.
Вывод: Графики
функций надо
обязательно уметь строить, чтобы
не было проблем с такими
функции на экзамене.

Урок в 10 классе "Функции и их графики"

Математика-это то, посредством чего люди управляют природой и собой. (А.Н. Колмагоров) Функции и их графики .

( Область значений, область значений функции .

Теория

  • 1. Формулируйте определение числовой функции.
  • 2. Что называется областью определения функции?
  • 3. Что называется областью значений функции?
  • 4.Какие преобразования графиков функции вам известны?

Устная работа

1. Найдите область определения функции. Что является графиком функции?

  • y = sin ² x + cos² x
  • y = t g x · cos x
  • у =

2 .Найдите область значений функции.

y = 11 sin x

y = I cos 3x I

y = 2cosx + 3

3. Какие преобразования необходимы для построения данных графиков функций ?

  • y =
  • y = Ix + 5I-4
  • y = cos (x +
  • y = sin3x

4. Найдите значения функции:

у = sin 2x при х =

  • Если х =, то у =
  • Если х = то у =
  • Если х = -, то у = -1

18.11.13

Классная работа .

54 (г)

Найти область и область значений функции .

Ответ: D (f) = R, E (f) = [1; 1,5]

Построить график функции

y = IsinIxII

РАЗМИНКА.

Самостоятельная работа

  • Построить график функции:
  • Вариант1.Вариант2.
  • y = Ix-2I y = IxI-3

у = sin (x -) +1 y = 2-

y = 1 + cos2x y = sin3x-1

Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна)

Тригонометрия в физике

  • В технике и окружающем мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.Такие процессы называют колебательными .

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математический маятник

На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

Траектория пули (мяча) и проекции векторов на оси X и Y

Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны:

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в Биологии

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y = tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду .

Связь биоритмов с тригонометрией

  • Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.
  • Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

Модель биоритмов

ТРИГОНОМЕТРИЯ в медицине.

При каждом сокращении сердца по всему организму - начиная от синусного узла - электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду).

Тригонометрия в жилуре

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Сантьяго Калатрава Винодельня «Бодегас Исиос»

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Сферы

применения

  • Астрономия
  • Геодезия
  • Астрономия
  • Геодезия
  • Механика Механика
    Механика
    Механика
  • …………… ..
  • …………… ..
  • ………………
  • Строительство
  • Архитектура
  • Дизайн
  • Навигация
  • Медицина
  • Музыка
  • Спорт
  • …………………
  • …………………

Домашнее задание:

П.3 №54 (а, б, в) №55 (а, б)

Спасибо за урок!

Домашнее задание:

П.2 + 3x + 1)> 0

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения данных в алфавитном порядке):
absolute (x)
Абсолютное значение x
(модуль x или | x | )
arccos (x)
Функция - арккосинус от x
arccosh (x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin (x)
Арксинус от x
arcsinh (x)
Арксинус гиперболический от x
arctg (x)
Функция - арктангенс от x
arctgh (x)
Арктангенс гиперболический от x
exp (x)
Функция - экспонента от x (что и e ^ x )
лог (x) или ln (x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7 (x) , надо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x) = log (x) / log (10))
sin (x)
Функция - Синус от x
cos (x)
Функция - Косинус от x
sinh (x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh (x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt (x)
Функция - квадратный корень из x
sqr (x) или x ^ 2
Функция - Квадрат x
ctg (x)
Функция - Котангенс от x
arcctg (x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh (x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg (x)
Функция - Тангенс от x
tgh (x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt (x)
Функция - кубический корень из x
гамма (x)
Гамма-функция
LambertW (x)
Функция Ламберта
х! или факториал (x)
Факториал от x
В выражениях можно выполнить следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
- возведение в степень
х + 7
- сложение
x - 6
- вычитание

Другие функции:
asec (x)
Функция - арксеканс от x
acsc (x)
Функция - арккосеканс от x
sec (x)
Функция - секанс от x
csc (x)
Функция - косеканс от x
пол (x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor (4.5) == 4.0)
потолок (x)
Функция - округление x в большую сторону (пример потолка (4.5) == 5.0)
знак (x)
Функция - Знак x
erf (x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
лаплас (x)
Функция Лапласа
asech (x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch (x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech (x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch (x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~ 3.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск