Задачи с решением на окружность: Окружность. Типовые задачи. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Содержание

Подбор задач по математике на тему"Окружность .Подготовка к ОГЭ"(9 класс)

Окружность.

На окружности с центром О отмечены точки А и В так ,что ∟АОВ =800.Длина меньшей дуги АВ равна 58.Найти длину большей дуги АВ

hello_html_m1c10388c.gif

На окружности отмечены точки А и В так ,что меньшая дуга АВ равна 1520.Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m9e098e6.gif

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=1030 и ∟ОАВ=240.Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m24b5c57e.gif

В угол С величиной 1070 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности .Найдите угол АОВ .Ответ дайте в градусах.

hello_html_73a62631.gif

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 14,5.Найдите АС, если ВС=21

hello_html_m2c0341e3.gif

В треугольнике АВС известно, что АС=7,ВС=24,угол С равен 900.Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности

hello_html_64d37b92.gif

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=500 и ∟ОАВ=350.Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

hello_html_6470c2b4.gif

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7

hello_html_m5f64b0aa.gif

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 730

hello_html_75f456c7.gif

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 17.Найдите АС, если ВС=30.

hello_html_m41fd04ad.gif

Центр окружности описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20.Найдите ВС, если АС=32.

hello_html_779c6c0a.gif

Сторона равностороннего треугольника 14

.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

hello_html_3073d0c7.gif

Периметр треугольника равен 56,а радиус вписанной окружности равен 4.Найдите площадь этого треугольника

Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и

Площадь сектора круга радиуса 22 равна 165.Найдите длину его дуги

Около окружности, радиус которой равен 2,описан многоугольник, площадь которого равна 29.Найдите его периметр

1.Окружность пересекает стороны угла величиной 330 с вершиной С в точках А,Е,D и В .Найдите угол ADB,если угол ЕАD равен 220.Ответ дайте в градусах.

hello_html_452f656e.gif

2.Точки А,В,С и D,последовательно расположенные на окружности в указанном порядке,делят её на четыре дуги,градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ наименьшая)Найдите градусную меру дуги BD,содержащей точку С

hello_html_m29e6b974.gif

3.Длина окружности равна 6 .Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью

4.Расстояние от центра окружности до хорды длиной 30 равно 8.Найдите радиус окружности

hello_html_709e0a64.gif

5.Центральный угол на 430 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности

hello_html_44326b7f.gif

6.Окружность с центром О1 и радиусом проходит через центр О2 второй окружности и пересекает эту окружность в точках А и В.Найдите радиус второй окружности, если известно, что точка О1 лежит на отрезке АВ

7.Найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник,одна из медиан которого равна 15

8.Расстояние от вершины А равнобедренного треугольника АВС до центра О вписанной в него окружности равно 29,а длина основания АС треугольника равна 42.Найдите радиус вписанной окружности треугольника

hello_html_6f0da1ad.gif

9.Найдите угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если сторона АВ треугольника стягивает дугу описанной около него окружности, равную 1300

hello_html_3342cc4.gif

10 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40

11.Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности,пересекающей сторону ВС в её середине.Длина стороны АС равна 7.Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС

12.Найдите периметр трапеции,в которую вписана окружность,если средняя линия трапеции равна 33

13.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 67

0 и 890.Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m47b0362c.gif

14.Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13.Найдите АС, если ВС=24

hello_html_m110ccd6c.gif

15.На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N.Известно, что ∟NBA=360 . Найдите угол NMB .Ответ дайте в градусах.

hello_html_7598b47b.gif

16 Отрезки АС и BD –диаметры окружности с центром в точке О.Угол АСВ равен 790 .Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m2b922ac.gif

17. В угол С величиной 830 вписана окружность ,которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m4069fa87.gif

18 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 720.Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m1902c5b.gif

19.Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и АВС=1250 .Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

hello_html_m54308ef6.gif

20. В треугольник АВС известно, что АС=20,ВС=21,угол С равен 900.Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

hello_html_m6998b675.gif

21.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 700,угол CAD равен 490.Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах

hello_html_m7761fdec.gif

22 Сторона правильного треугольника равна 36 .Найдите радиус окружности ,описанной около этого треугольника.

23 Высота правильного треугольника равна 123.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

24.Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 18.Найдите высоту этого треугольника

25 В треугольнике АВС ВС= ,угол С равен 900.Радиус окружности,описанной около этого треугольника,равен 8,5.Найдите АС

26 Найдите радиус окружности,вписанной в правильный треугольник,высота которого равна 132.

27 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольника, равен 29..Найдите высоту этого треугольника

28 Сторона правильного треугольника равна 4 .Найдите радиус окружности ,вписанной в этот треугольник

29. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен .Найдите сторону этого треугольника

30Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5,основание равно 6.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

31 В треугольнике АВС АС=12,ВС=3,5 ,угол С равен 900.Найдите радиус вписанной окружности.

32. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 569,основание равно462 .Найдите радиус вписанной окружности

33.Окружность,вписанная в равнобедренный треугольник ,делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3,считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

34.Найдите радиус окружности ,описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5

35.Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

36. Найдите радиус окружности,описанной около квадрата со стороной ,равной 27

37.Найдите сторону квадрата,вписанного в окружность радиуса 18

38.Сторона ромба равна 34 ,острый угол равен 600.Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

39.Острый угол ромба равен 600.Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 23.Найдите сторону ромба.

40.Найдите высоту трапеции,в которую вписана окружность радиуса 28

41.Около трапеции описана окружность.Периметр трапеции равен 96,средняя линия равна 16.Найдите боковую сторону трапеции.

42. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 39.Найдите сторону этого треугольника

43.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4.Найдите среднюю линию трапеции

44.Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120.Найдите её среднюю линию.

45.Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100,её большая боковая сторона равно 35.Найдите радиус окружности.

46.В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=17,CD=22.Найдите периметр четырёхугольника

47.Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20.Радиус описанной окружности равен 26.Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

48 В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=7,ВC=12 и СD=9.Найдите четвертую сторону четырёхугольника

49.Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9.Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 20.

50.Около окружности, радиус которой равен 16 ,описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

51.Сторона АВ треугольника АВС равна 3.Противолежащей ей угол С равен 300.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

52.Угол С треугольника АВС ,вписанного в окружность радиуса 10,равен 300.Найдите сторону АВ этого треугольника

53.Угол А четырёхугольника ABCD ,вписанного в окружность, равен 460.Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

54.Стороны четырёхугольника ABCD AB,BC,CD, и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 630,620,900,1450.Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

55.Точки A,B,С,D ,расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB,BC,СD и AD,градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19.Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

56.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 580,угол CAD равен 430.Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

57.Периметр четырёхугольника ,описанного около окружности, равен 26,две его стороны равны 5 и 9.Найдите большую из оставшихся сторон.

58.Углы A,B и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:7:11.Найдите угол D,если около данного четырёхугольника можно описать окружность. . Ответ дайте в градусах.

59.Центральный угол на 450 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

60.Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

61.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 250 и 510.Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

62.Дуга окружности АС ,не содержащая точки В ,составляет 1800.А дуга окружности ВС ,не содержащая точки А, составляет 450.Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

63. Точки A,B,С ,расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги ,градусные величины которых относятся как 1:2:15.Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

64.АС и BD-диаметры окружности с центром О.Угол АСВ равен 690.Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

65.Хорда АВ стягивает дугу окружности в 60.Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности ,проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.

66.В угол С величиной 790 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В .Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

hello_html_3e4288dd.gif

67. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 20.Найдите угол АBO. Ответ дайте в градусах.

hello_html_mda56668.gif

68.Найдите угол CDB,если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности,градусные величины которых равны соответственно 670 и 250. Ответ дайте в градусах.

69.Угол между стороной правильного n-угольника,вписанного в окружность ,и радиусом этой окружности,проведённым в одну из вершин стороны ,равен 750.Найдите n.

70.Площадь круга равна .Найдите длину его окружности.

71.Найдите площадь сектора круга радиуса ,центральный угол которого равен 900

72.Найдите площадь сектора круга радиуса 24,длина дуги которогоравна 3.

73.Периметр треугольника равен 8,а радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь этого треугольника.

74.Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности.

75.Около окружности,радиус которой равен 2,описан многоугольник,площадь которого равна 29.Найдите его периметр.

76.Найдите вписанный угол,опирающийся на дугу,которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

Задачи на окружность

Задачи на окружность

к содержанию задачника

  1. Окружность радиуса 2 внешне касается другой окружности в точке А. Общая касательная двух окружностей, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус другой окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
  2. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды CD. ответ: 48
  3. Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка М, которая находится от центра на расстоянии 5. Через точку М проведена хорда АВ, равна 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
  4. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, которая проходит через центр другой окружности. При этом расстояние от точки касания до центра другой окружности равно диаметру другой окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов. ответ: 9:4
  5. В угол вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найдите величину угла, если радиусы окружностей равны 2 и 4. ответ:
  6. В равнобедренный треугольник вписаны одна над другой две окружности радиусов 3 и 1, которые касаются одна другой. Найдите угол при основании  треугольника. ответ: 60o
  7. Две окружности радиусов 3 и 2 касаются внутренним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух первых окружностей и их линии центров. ответ: 24/25
  8. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Секущая пересекает окружность в двух точка C и D (AC > AD). Найдите радиус окружности, если АС = 32, расстояние от точки А до точки касания равно 16, а от центра окружности до секущей - 5. ответ: 13
  9. Хорда окружности равна 5. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 6. ответ: 25/8
  10. В окружности радиуса проведена хорда длиной . Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей. ответ: a/8
  11. Через концы дуги окружности, которая содержит 120о, проведены касательные, а в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Найдите длину этой окружности, если радиус данной дуги равен R. ответ:
  12. Две окружности радиусов 4 и 2 касаются внешне в точке М. На окружности меньшего радиуса взята точка T, диаметрально противоположная точке М, и в этой точке построена касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных окружностей и касательной. ответ: 6; 3
  13. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньших окружностей равен 3. ответ: 9
  14. Внутри окружности радиуса 15/2 взята точка Р на расстоянии 13/2 от центра. Через точку Р проведена хорда длиной 9. Найдите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду. ответ: 7; 2
  15. Внутри окружности дана точка на расстоянии 15 от центра: через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части длиной 7 и 25. Найдите радиус окружности. ответ: 20
  16. В круговой сектор с центральным углом 60о вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус данного сектора равен R. ответ: R/3
  17. Две окружности радиусов 16 и 9 касаются внешне в точке С. К окружностям проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В - точки касания. Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает АВ в точке Т. Найдите длину отрезка СТ. ответ: 12
  18. В круговой сектор, дуга которого содержит 60о, вписан круг. Найдите отношение площади этого круга к площади сектора. ответ: 2/3
  19. Найдите площадь круга, который вписан в сектор круга радиуса R с хордой . ответ:
  20. Около квадрата, сторона которого , описана окружность. В один из сегментов, которые при этом образовались, вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата. ответ:
  21. Найдите радиус окружности, вписанной в сектор, радиус которого равен , если его дуга содержит градусов. ответ:
  22. К двум окружностям радиусов 4 и 1 проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная CD (A, B, C и D - точки касания). Найдите длину отрезка CD, если AB равно 8. ответ:
  23. Из точки О к окружности проведены касательные ОА и ОВ (А и В - точки касания). Точка М окружности находится от прямых ОА и ОВ на расстоянии и соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ответ:
  24. В данный угол вписаны три окружности, средняя из которых касается двух других окружностей радиусов и . Найдите радиус средней окружности. ответ:
  25. Окружности радиусов 4 и 8 с центрами в точках О и Р пересекаются в точках С и D. Прямая АВ - их общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника АОРВ, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны. ответ: 48
  26. Две окружности радиуса R с центрами в точках О и Р касаются внешним образом. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C и D так, что AB = BC = CD. Найдите площадь четырехугольника OADP. ответ:
  27. Две окружности радиусов R и r касаются внешне. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания. ответ:
  28. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС  с основанием AB = и острым углом при вершине . Другая окружность касается первой и основания треугольника в ее середине К и расположена вне треугольника. Найдите радиус другой окружности. ответ:
  29. Две окружности внешне касаются в точке А, прямая ВС - их общая внешняя касательная. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ равно , АС равно . ответ:
  30. Две равные окружности внешне касаются одна другой и третьей окружности, радиус которой равен 4. Отрезок, который соединяет точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 6. Найдите радиусы равных окружностей. ответ: 12

 

Метки задачи, окружность. Смотреть запись.

Решение задач по геометрии на окружность стр 1

  • Главная
  • Ошибки пособий Ященко
  • Математика
  • Информатика
  • Физика
  • Русский язык
  • Обществознание
  • ФИПИ 2020
  • vКонспекты
  • Формулы

  • Новости
  • Контакты
  •  

  • ...Реальныe варианты ЕГЭ по математике
  • Вступительные контрольные работы в ФМШ
  • vДополнительные вступительные испытания в ВУЗы
  • Задания ЕГЭ части 1
  • vЗадания ЕГЭ части 2
  • vЕГЭ 2020
  • ЕГЭ 2019
  • ЕГЭ 2018
  • 6 класс
  • 7 - 8 классы
  • 10 класс
  • Подготовка к ОГЭ 9 класс ГИА
  • ОГЭ 2020
  • ОГЭ 2019
  • ОГЭ 2018
  • ЕГЭ 2017
  • Теория вероятностей в 9-11 классах
  • vГеометрия
  • vАлгебра
  • Вектор
  • Тригонометрия
  • МатАнализ
  • Аналитическая Геометрия
  • Задачники Пособия
  • Олимпиада
  • vЛарин варианты
  • Видео решения
  • Изюминка
  • Ошибки в ответах пособий
  • ГДЗ по математике
  • Найти
  • Контрольная работа на вступительном экзамене в ФМШ для 8 класса
  • vДВИ в МГУ
  • Задачи 3
  • Задачи 4
  • Задачи 5
  • Задачи 6
  • Задачи 7
  • Задачи 8
  • Задачи 9
  • Задачи 11
  • Задачи 12
  • vЗадачи 13 с уравнениями
  • Задачи 14 на стереометрию
  • vЗадачи 15 с неравенствами
  • Задачи 16 на планиметрию
  • Задачи 17
  • vЗадачи 18 с параметрами
  • Задачи 19
  • Критерии
  • vЕГЭ по математике 2020 резервный день
  • ЕГЭ по математике 10-07-2020
  • Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по математике
  • Пробные ЕГЭ 2020
  • Лысенко ЕГЭ 2020 математика профильный уровень 40 тренировочных вариантов
  • Математика 50 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
  • Математика 36 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
  • Тренировочная работа № 2 по математике 10 - 11 класс СтатГрад 15-05-2020
  • Тренировочная работа № 5 11 класс по математике СтатГрад 22-04-2020
  • Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 13-03-2020
  • Тренировочная работа № 4 11 класс по математике СтатГрад 11-03-2020
  • Пробный ЕГЭ по математике 29-02-2020
  • Тренировочная работа № 3 11 класс по математике СтатГрад 29-01-2020
  • Региональные диагностические работы по математике 2020
  • СтатГрад 18-12-2019 Тренировочная работа № 2 11 класс по математике
  • СтатГрад 25-09-2019 Тренировочная работа № 1 11 класс по математике
  • ...ЕГЭ по математике 24-06-2019 резервный день
  • ...ЕГЭ по математике 29-05-2019 основная волна
  • ...Резервный день Досрочного ЕГЭ по математике  10-04-2019
  • ...Досрочный ЕГЭ 2019 математика профильный уровень 29-03-2019
  • Пробные ЕГЭ 2019
  • Демонстрационный вариант КИМ ФИПИ ЕГЭ 2019
  • ященко егэ 2019 математика профиль 36 вариантов
  • 36 вариантов ФИПИ егэ 2019 математика ященко 
  • 14 вариантов 2019 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 20 вариантов тестов ЕГЭ 2019 Ященко Тематическая рабочая тетрадь
  • ВВ Мирошин АР Pязановский Математика Решение задач ЕГЭ 2019 
  • СтатГрад 19-04-2019 Тренировочная работа № 5 11 класс по математике
  • Пробный ЕГЭ 16-03-2019
  • СтатГрад 13-03-2019 Тренировочная работа № 4 11 класс
  • Пробный ЕГЭ 12-03-2019 Санкт-Петербург
  • СтатГрад 24-01-2019 Диагностическая работа № 3 11 класс
  • СтатГрад 20-12-2018 11 класс Тренировочная работа №2  
  • Тренировочная работа 20_09_2018 СтатГрад 11 класс
  • Диагностическая работа 10_10_2018 Коми 11 класс
  • Тренировочная работа 2 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 3 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 4 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 5 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 6 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 7 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 8 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 9 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 10 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 11 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 12 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 13 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 14 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 15 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 16 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 17 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 18 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 19 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 20 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 21 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 22 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 23 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 24 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 25 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 26 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 27 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 28 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 29 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 30 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 31 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 32 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 33 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 34 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 35 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 36 (36 вар 2019)
  • Вариант 1 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 5 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 6 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 7 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 8 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 9 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 10 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 11 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 12 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 13 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 14 (14 вар 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 1 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 2 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 7 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 8 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 9 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 10 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 11 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 12 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 13 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 14 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 15 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 16 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 17 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 18 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 19 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 20 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • ...Резервный день ЕГЭ 2018  профиль 25 июня
  • ...Реальный ЕГЭ 2018  профиль 1 июня основная волна
  • ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ 2018
  • ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ  резервный день 11-04-2018
  • Пробные ЕГЭ 2018
  • Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2018
  • 30 новых вариантов ЕГЭ 2018 Математика Мирошин В.В. Тренировочные задания
  • 36 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 50 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 2018 Математика профильный уровень Ященко 20 вариантов тестов Тематическая рабочая тетрадь
  • 14 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • Тренировочная работа 18_04_2018 СтатГрад 11 класс
  • Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 4 апреля 2018
  • Тренировочная работа 06_03_2018 СтатГрад 11 класс
  • Тренировочная работа 25_01_2018 СтатГрад 11 класс
  • Тренировочная работа 21_12_2017 СтатГрад 11 класс
  • Вариант 1
  • Вариант 2
  • Вариант 3
  • Вариант 4
  • Вариант 5
  • Вариант 7
  • Вариант 9
  • Вариант 10
  • Вариант 11
  • Вариант 13
  • Вариант 14
  • Вариант 16
  • Тренировочная работа 6 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 7 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 8 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 9 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 10 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 11 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 13 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 14 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 15 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 16 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 17 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 18 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 19 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 20 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 21 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 22 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 23 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 24 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 25 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 26 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 27 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 28 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 29 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 30 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 31 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 33 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 34 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 35 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 36 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 1
  • Тренировочная работа 5
  • Тренировочная работа 6
  • Тренировочная работа 7
  • Тренировочная работа 11
  • Тренировочная работа 12
  • Тренировочная работа 13
  • Тренировочная работа 14
  • Тренировочная работа 15
  • Тренировочная работа 16
  • Тренировочная работа 17
  • Тренировочная работа 18
  • Тренировочная работа 19
  • Тренировочная работа 20
  • Тренировочная работа 21
  • Тренировочная работа 22
  • Тренировочная работа 23
  • Тренировочная работа 26
  • Тренировочная работа 27
  • Тренировочная работа 28
  • Тренировочная работа 29
  • Тренировочная работа 30
  • Тренировочная работа 31
  • Тренировочная работа 32
  • Тренировочная работа 33
  • Тренировочная работа 34
  • Тренировочная работа 35
  • Тренировочная работа 36
  • Тренировочная работа 37
  • Тренировочная работа 38
  • Тренировочная работа 39
  • Тренировочная работа 40
  • Тренировочная работа 41
  • Тренировочная работа 42
  • Тренировочная работа 43
  • Тренировочная работа 44
  • Тренировочная работа 45
  • Тренировочная работа 46
  • Тренировочная работа 47
  • Тренировочная работа 48
  • Тренировочная работа 49
  • Тренировочная работа 50
  • Диагностическая работа № 10
  • Диагностическая работа № 11
  • Диагностическая работа № 14
  • Диагностическая работа № 16
  • Диагностическая работа № 17
  • Диагностическая работа № 19
  • Диагностическая работа № 20
  • Вариант 1 (14 вар 2018)
  • Вариант 2 (14 вар 2018)
  • Вариант 3 (14 вар 2018)
  • Вариант 4 (14 вар 2018)
  • Вариант 5 (14 вар 2018)
  • Вариант 7 (14 вар 2018)
  • Вариант 8 (14 вар 2018)
  • Вариант 9 (14 вар 2018)
  • Вариант 10 (14 вар 2018)
  • Вариант 11 (14 вар 2018)
  • Вариант 13 (14 вар 2018)
  • Вариант 14  (14 вар 2018)
  • Тренировочная работа в формате ВПР 2019-2020 по математике 6 класс
  • Тренировочная работа в формате ВПР по математике 7 класс 28-02-2020 Статград
  • Диагностическая работа по математике 8 класс 27-02-2020
  • Контрольная работа по математике 8 класс за первое полугодие
  • Контрольная работа по математике 7 класс за первое полугодие
  • ВПР по математике 8 класс 2020 демовариант
  • 7 класс Входная мониторинговая контрольная работа 18-09-2019
  • 8 класс  Диагностическая работа по алгебре Статград сентябрь 2019
  • 7 класс ВПР 18-04-2019 по математике
  • 7 класс Статград 4 марта 2019 Тренировочная работа в формате ВПР по математике
  • 7 класс ВПР по математике 2019
  • 7 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
  • 8 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
  • Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 06-02-2020
  • КДР математика 10 класс 19-12-2019
  • Диагностическая работа по математике 10 класс 13-11-2019
  • Стартовая уровневая работа по математике 10 класс  01-10-2019 СтатГрад
  • СтатГрад Тренировочная работа №2 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 17-05-2019
  • Итоговая диагностическая работа для 10 математических классов 14-05-2019
  • Итоговая уровневая работа по математике 10 класс 24-04-2019 СтатГрад
  • 10 класс КДР по математике апрель 2019 Демонстрационный вариант
  • Статград 06-02-2019 Тренировочная работа №1 по математике 10 класс
  • Статград  18-12-2018  Диагностическая работа по Математике по теме Тригонометрия
  • Статград  04-12-2018 Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень) Колмогоров
  • Статград  04-12-2018  по учебнику Никольского Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
  • Статград  04-12-2018 по учебникам Алимова и Колягина Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
  • Задачи 7 ОГЭ
  • Задачи 8 ОГЭ
  • Задачи 9 ОГЭ
  • Задачи 10 ОГЭ
  • Задачи 12 ОГЭ
  • Задачи 13 ОГЭ
  • Задачи 14 ОГЭ
  • Задачи 15 ОГЭ
  • Задачи 16 ОГЭ
  • Задачи 17 ОГЭ
  • Задачи 18 ОГЭ
  • Задачи 19 ОГЭ
  • Задачи 20 ОГЭ
  • Задачи 21 ОГЭ
  • Задачи 22 ОГЭ
  • Задачи 23 ОГЭ
  • Задачи 24 ОГЭ
  • Задачи 25 ОГЭ
  • Задачи 26 ОГЭ
  • Пособия для подготовки к ОГЭ
  • Лысенко ОГЭ 2020 математика 40 тренировочных вариантов
  • 50 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 38 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 36 вариантов ОГЭ 2020 ФИПИ Ященко 
  • 14 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 10 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 50 вариантов математика ОГЭ 2019 Типовые тестовые задания Ященко  Высоцкий
  • 38 вариантов математика ОГЭ 2019 Высоцкий Ященко
  • Ященко ОГЭ 2018 20 вар
  •  36 вариантов ОГЭ 2018 ФИПИ Ященко 
  • Ященко ОГЭ 2017 36 вар
  • Ященко ОГЭ 2016 36 вар
  • Пробные ОГЭ 2020
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №4 по математике 05-03-2020
  • Апробация КИМ ОГЭ математика 9 класс Санкт-Петербург 06-02-2020
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №3 по математике 04-02-2020
  • Краевая диагностическая работа по математике 9 класс декабрь 2019
  • Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  профильный
  • Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  по учебнику Атанасяна 
  • Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  по учебнику Погорелова
  • Контрольная экзаменационная работа по математике 9 класс 04-12-2019
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №2 по математике 12-11-2019
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №1 по математике 03-10-2019
  • ...ОГЭ по математике 06-06-2019 основная волна
  • ...Досрочный ОГЭ по математике 22-04-2019
  • Пробные ОГЭ 2019
  • Статград 9 класс 15-05-2019 Тренировочная работа №5 по математике 
  • Статград 19-03-2019 Тренировочная работа №4 по математике 9 класс
  • Статград 12-02-2019 Тренировочная работа №3 по МАТЕМАТИКЕ 9 класс
  • Статград  13-12-2018 Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс профиль
  • Статград  13-12-2018  по Атанасяну Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс
  • Статград  08-11-2018 Тренировочная работа №2 по математике
  • Пробные ОГЭ 2018
  • Пробник ОГЭ Санкт-Петербург 06-04-2018
  • Ященко ЕГЭ 2017 30 вариантов 
  • Пробные варианты ЕГЭ 2017
  • Реальный ЕГЭ 2017
  • Комбинаторика в школьной программе
  • Стереометрия
  • Планиметрия
  • Координатный метод
  • Пирамида
  • Призма
  • Куб
  • Теоремы стереометрии
  • Параллелепипед
  • Правильный тэтраэдр
  • Сфера
  • способ Вспогательного объёма
  • Цилиндр
  • Конус
  • Шар
  • Расстояние от точки до плоскости
  • Угол между плоскостями
  • Площадь проекции плоской фигуры
  • теорема О трёх перпендикулярах
  • признак Перпендикулярности прямой и плоскости
  • признак Параллельности плоскостей
  • Скрещивающиеся прямые
  • Линейный угол двугранного угла
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Перпендикулярность плоскостей
  • признак Параллельности прямых
  • Свойство параллельных плоскостей
  • Расстояние между скрещивающимися прямыми
  • Параллельность прямой и плоскости
  • Свойство транзитивности паралельных плоскостей
  • Треугольник
  • Окружность
  • Четырёхугольник
  • Теоремы планиметрии
  • Круг
  • Сектор
  • Трапеция
  • Параллелограмм
  • Ромб
  • Прямоугольник
  • Свойство высоты гипотенузы
  • свойство Вписанных углов
  • Подобие треугольников
  • свойство Медиан
  • свойство Биссектрис
  • свойство Касательной и Секущей
  • свойство Касательных
  • свойство Секущих
  • теорема Косинусов
  • теорема Синусов
  • свойство Пересекающихся хорд
  • свойство Вписанного четырёхугольника
  • свойство Описанного четырёхугольника
  • свойство Диагоналей параллелограмма
  • свойство Средней линии треугольника
  • свойство Средней линии трапеции
  • Теорема Фалеса
  • Свойство углов с взаимно перпендикулярными сторонами 
  • Теорема Менелая
  • Свойство медианы гипотенузы
  • Свойство Диаметра перпендикулярного к хорде
  • Свойства параллельных прямых 
  • Признаки параллельных прямых
  • свойство Вневписанной окружности
  • Формула Герона
  • Свойство угла между касательной и хордой
  • Лемма о трезубце
  • Теорема Птолемея
  • Графический способ
  • Функция
  • Логарифм
  • Модуль
  • Схема Горнера
  • Обобщённый метод интервалов
  • Числовая последовательность
  • Параметры
  • Система
  • Уравнение
  • Неравенство
  • Способ неопределённых коэффициентов
  • Метод Рационализации
  • Метод логарифмирования
  • Арифметическая прогрессия
  • Геометрическая прогрессия
  • Теорема Крамера
  • Нормальный вектор
  • Тригонометрическая подстановка
  • Уравнение касательной
  • Производная
  • Предел
  • Свойство монотонности
  • Экстремум
  • Расстояние от точки до прямой
  • Подсыпанин (2001)
  • Зив
  • Самара 2011 Учебное пособие Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ
  • ОГЭ(ГИА) 9 класс Ларин
  • v320 тренировочный вариант от Ларина
  • 319 тренировочный вариант от Ларина
  • 318 тренировочный вариант от Ларина
  • 317 тренировочный вариант от Ларина
  • 316 тренировочный вариант от Ларина
  • 315 тренировочный вариант от Ларина
  • 314 тренировочный вариант от Ларина
  • 313 тренировочный вариант от Ларина
  • 312 тренировочный вариант от Ларина
  • 311 тренировочный вариант от Ларина
  • 310 тренировочный вариант от Ларина
  • 309 тренировочный вариант от Ларина
  • 308 тренировочный вариант от Ларина
  • 307 тренировочный вариант от Ларина
  • 306 тренировочный вариант от Ларина
  • 305 тренировочный вариант от Ларина
  • 304 тренировочный вариант от Ларина
  • 303 тренировочный вариант от Ларина
  • 302 тренировочный вариант от Ларина
  • 301 тренировочный вариант от Ларина
  • 300 тренировочный вариант от Ларина
  • 297 тренировочный вариант от Ларина
  • 296 тренировочный вариант от Ларина
  • 295 тренировочный вариант от Ларина
  • 293 тренировочный вариант от Ларина
  • 292 тренировочный вариант от Ларина
  • 291 тренировочный вариант от Ларина
  • 290 тренировочный вариант от Ларина
  • 286 тренировочный вариант от Ларина
  • 285 тренировочный вариант от Ларина
  • 284 тренировочный вариант от Ларина
  • 283 тренировочный вариант от Ларина
  • 282 тренировочный вариант от Ларина
  • 281 тренировочный вариант от Ларина
  • 280 тренировочный вариант от Ларина
  • 279 тренировочный вариант от Ларина
  • 278 тренировочный вариант от Ларина
  • 277 тренировочный вариант от Ларина
  • 276 тренировочный вариант от Ларина
  • 275 тренировочный вариант от Ларина
  • 274 тренировочный вариант от Ларина
  • 273 тренировочный вариант от Ларина
  • 271 тренировочный вариант от Ларина
  • 270 тренировочный вариант от Ларина
  • 269 тренировочный вариант от Ларина
  • 268 тренировочный вариант от Ларина
  • 267 тренировочный вариант от Ларина
  • 266 тренировочный вариант от Ларина
  • 265 тренировочный вариант от Ларина
  • 264 тренировочный вариант от Ларина
  • 263 тренировочный вариант от Ларина
  • 262 тренировочный вариант от Ларина
  • 261 тренировочный вариант от Ларина
  • 260 тренировочный вариант от Ларина
  • 259 тренировочный вариант от Ларина
  • 258 тренировочный вариант от Ларина
  • 257 тренировочный вариант от Ларина
  • 256 тренировочный вариант от Ларина
  • 255 тренировочный вариант от Ларина
  • 254 тренировочный вариант от Ларина
  • 253 тренировочный вариант от Ларина
  • 252 тренировочный вариант от Ларина
  • 251 тренировочный вариант от Ларина
  • 250 тренировочный вариант от Ларина
  • 249 тренировочный вариант от Ларина
  • 248 тренировочный вариант от Ларина
  • 247 тренировочный вариант от Ларина
  • 246 тренировочный вариант от Ларина
  • 150 тренировочный вариант от Ларина
  • 149 тренировочный вариант от Ларина
  • 130 тренировочный вариант от Ларина
  • 93 тренировочный вариант от Ларина
  • 91 тренировочный вариант от Ларина
  • 89 тренировочный вариант от Ларина
  • 88 тренировочный вариант от Ларина
  • 87 тренировочный вариант от Ларина
  • 86 тренировочный вариант от Ларина
  • 85 тренировочный вариант от Ларина
  • 84 тренировочный вариант от Ларина
  • 82 тренировочный вариант от Ларина
  • 72 тренировочный вариант от Ларина
  • Усложнённые версии вариантов ОГЭ Ларина (2-го уровня)
  • 254 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 250 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 249 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 248 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 247 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 246 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 245 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 239 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 238 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 236 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 235 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 234 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 233 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 229 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 228 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 227 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 226 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 225 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 224 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • 223 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
  • ответы математик
  • ответ математика
  • ответы по математике класс
  • математика класс учебник ответы
  • егэ профильный уровень
  • ОГЭ по информатике 2020
  • ЕГЭ по информатике 2020
  • Тренировочная работа №4 по информатике 9 класс Статград 13-03-2020
  • Пробный ОГЭ по Информатике 56 регион 18-02-2020
  • Тренировочная работа №3 по информатике 9 класс Статград 30-01-2020
  • Тренировочная работа №2 по информатике 9 класс Статград 27-11-2019
  • Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по информатике
  • Тренировочная работа №5 по информатике 11 класс Статград 29-04-2020
  • Тренировочная работа №4 по информатике 11 класс Статград 04-03-2020
  • Тренировочная работа №3 по информатике 11 класс Статград
  • Тренировочная работа №2 по информатике Статград
  • 8 класс физика
  • 9 класс физика ОГЭ
  • 11 класс физика ЕГЭ
  • Диагностическая контрольная работа по физике 8 класс
  • Тренировочная работа №4 по физике 9 класс Статград 03-03-2020
  • Диагностическая работа по физике 9 класс 27-02-2020
  • Пробный ОГЭ по Физике 56 регион 18-02-2020
  • Тренировочная работа №3 по физике 9 класс Статград 22-01-2020
  • Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по физике
  • Тренировочная работа №4 по физике 11 класс Статград 05-03-2020
  • Тренировочная работа в формате ВПР по физике 11 класс Статград 20-02-2020
  • Тренировочная работа №3 по физике 11 класс Статград 16-01-2020
  • 9 класс Русский язык
  • 11 класс Русский язык ЕГЭ
  • Тренировочная работа №2 по русскому языку 9 класс Статград 24-01-2020
  • Диагностическая работа №2 по русскому языку 11 класс Статград 13-03-2020
  • Тренировочная работа №2 по русскому языку 11 класс Статград 10-02-2020
  • Диагностическая работа №3 по русскому языку 10-11 класс Статград 31-01-2020
  • 8 класс Обществознание ОГЭ
  • 9 класс Обществознание ОГЭ
  • 11 класс Обществознание ЕГЭ

Урок 16. окружность. задачи на построение - Геометрия - 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 16

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
  • Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
  • Решение задач на построение.
  • Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Тезаурус:

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

AC, BD – хорды

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

AB – диаметр,

OB – радиус,

AB = 2OB,

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Дано: A, OM – луч.

Построить: EOМ = A.

Построение.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Дано: CAB.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Построение.

  1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

  1. Окр. (A; r) ∩ AB = B.
  2. Окр. (A; r) ∩ AC = C.
  3. Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
  4. AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Решение:

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Решение:

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Ответ: Р∆AOD = 12 см.

Задачи по теме "Окружность"

2. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 часа 2 минуты?

 равно 6.

4. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

hello_html_m7f79895d.png

5. Четырехугольник ABCD  вписан в окружность. Угол ABC  равен 92∘ , угол CAD  равен 60∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

6. На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 11°?

7. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 76∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. 8. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки PQ и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах. 9. Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности. 10. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB=40∘. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги. 12. К окружности с центром в точке O проведены касательная  AB  и секущая  AO. Найдите радиус окружности, если AB=40, AO=85. 13. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки AB и C. Известно, что угол ABC=15∘ и угол OAB=8∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

14. Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

hello_html_44058297.png

15. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

16. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 17. Точка О — центр окружности, угол BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

18. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов

в 6 ч?

19. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках MK и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

20. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

22. Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. 23. Отрезок AB=32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

24. Четырехугольник ABCD  вписан в окружность. Угол ABD  равен 35∘ , угол CAD  равен 51∘ . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

25. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC.

hello_html_m2b31d95a.png

26. На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 2 часа?

27. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?

28. В окружности с центром O   AC  и BD  – диаметры. Центральный угол AOD  равен 130∘ . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

29. В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

30. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

31. За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на 75°?

32. Окружность с центром в точке O  описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB=BC  и угол ABC=177∘ . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

33. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 72°?

34. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 22 мин?

35. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA=32∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

36. Четырехугольник ABCD  вписан в окружность. Угол ABC  равен 120∘ , угол CAD  равен 74∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

37. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 1:2:3. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 17.

39. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.

ЕГЭ. Задачи на окружность

Линейка, треугольник и карандаш для изображения чертежей к задачам на окружность из ЕГЭ по математикеПрактически с полной уверенностью можно сказать, что хотя бы одна задача на окружность обязательно встретится вам на ЕГЭ по математике профильного или базового уровня. В профильном варианте ЕГЭ такие задачи встречаются под номерами 6, 16 и, как эти ни странно, 18. Последнее задание ассоциируется обычно с параметрами, но если вы дочитаете эту статью до конца, то узнаете, как окружность может иногда помочь решить такого рода задания. Конечно, задачи на окружность в ЕГЭ могут попасться и в заданиях по стереометрии, но в этой статье речь пока пойдёт только о заданиях, связанных с планиметрией. В конце концов, первый шаг в освоении мастерства решения задач по стереометрии — это решение планиметрических задач.

Все задания, которые мы сегодня рассмотрим, — это задания из реальных вариантов ЕГЭ по математике. Именно такого рода задания вам и предстоит решать на ЕГЭ, если вы к нему готовитесь. Так что дочитайте эту статью до конца. Знания, которые вы получите, обязательно пригодятся вам на экзамене.

Задачи на окружность из первой части ЕГЭ по математике

Задание 6. Внутри треугольника ABC взяли точку O такую, что она равноудалена от вершин треугольника. Угол BAC равен 62^{\circ}. Какова градусная мера угла BOC?

Ссылка на видеоразбор

Обратим сразу внимание на то, что поскольку точка O равноудалена от вершин треугольника, то она является центром описанной около него окружности. Интересно также отметить, что этот треугольник обязательно должен быть остроугольным. В противном случае центр описанной окружности должен был бы оказаться вне треугольника, а не внутри него, как у нас. Изобразим эту ситуацию на рисунке:

Рисунок к задаче с окружностью из задания 6 ЕГЭ по математике

Ну и теперь, когда мы всё это понимаем, как же решить задачу? Для этого нужно знать так называемую теорему о вписанном угле, которая гласит, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую этот угол опирается. И ещё нужно знать, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Ну и если вы помните эти нехитрые факты, решение становится совсем простым. Ведь в нашем случае угол BAC как раз является вписанным. Значит градусная мера малой дуги BC равна 124^{\circ} (вдвое больше самого вписанного угла). Ну а тогда искомая градусная мера центрального угла BOC равна тем же 124^{\circ}. И это наш ответ:

Градусная мера вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу

Следующие задания из ЕГЭ по математике, при решении которых вам могут потребоваться знания, связанные с темой «Окружность», встречаются уже во второй части этого экзамена. Разберём пару примеров.

Задачи на окружность из части 2 профильного ЕГЭ по математике

Задание 16. Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности, пересекающая прямую BA в точке D, причём B лежит между A и D; AB = 7.5 и CD = 15\sqrt{\frac{3}{2}}.
а) Докажите, что BD = 2AB.
б) Из вершин A и B на касательную CD опущены перпендикуляры, меньший из которых равен 9. Определите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной AB и отрезком касательной.

Ссылка на видеоразбор

а) Начнём с доказательства. Для этого изобразим ситуацию на рисунке:

Касательная и секущая к окружности. Задача 16 профильного ЕГЭ по математике

Для доказательства используем теорему о касательной и секущей. Согласно этой теореме имеет место соотношение:

    \[ CD^2=AD\cdot DB=(AB+BD)\cdot BD. \]

Пусть BD=x. Тогда записанное равенство принимает вид:

    \[ \left(15\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = x\left(\frac{15}{2}+x\right)\Leftrightarrow \frac{15^2\cdot 3}{2} = x\left(\frac{15}{2}+x\right) \Leftrightarrow \]

    \[ \Leftrightarrow 15\cdot\left(15+\frac{15}{2}\right) = x\left(x+\frac{15}{2}\right). \]

Из последнего равенства видно, что один из корней уравнения: x=15. Второй будет отрицательным. Это видно из теоремы Виета. Конкретно из того, что свободный член в первоначальном квадратном уравнении, если его записать в стандартном виде, будет отрицателен. То есть второй корень нам не подходит.

Итак, получается, что BD = 15, и это доказывает, что BD = 2AB

б) Проведём теперь перпендикуляры к касательной из точек A и B, меньший из которых равен 9, и найдём площадь трапеции, образовавшейся между этими перпендикулярами, отрезком AB и отрезком касательной, концами которого являются основания проведённых перпендикуляров:

Площадь трапеции, образованной перпендикулярами из точек A и B, стороной AB и отрезком касательной

Начнём с того, что треугольники FBD и EAD подобны по двум углам. Действительно, угол ADE у них общий, а углы AED и BFD равны, поскольку они оба прямые. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению AD:BD, то есть равен \frac{3}{2}. То есть сторона AE равна 9\cdot \frac{3}{2}=13,5. Таким образом мы нашли оба основания трапеции.

Теперь давайте найдём длину FD. Сделать это не сложно. Для этого нужно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BFD.  Из этого находим, что FD = 12. Значит, вновь используя подобие треугольников FBD и EAD, можно найти, что ED = 18, а значит EF = 6. То есть мы нашли высоту нашей трапеции.

Теперь мы знает всё, что нужно для нахождения площади нашей трапеции. Итак, искомая площадь равна:

    \[ S = \frac{AE+BF}{2}\cdot EF = \frac{9+13,5}{2}\cdot 6 = 67,5. \]

Это наш ответ.

Ну и ещё одно задание из профильного ЕГЭ по математике, где вам может встретиться окружность, как это ни странно, — это задание под номером 18. Традиционно это задание ассоциируется с параметрами, поэтому причём здесь геометрия с окружностями с первого взгляда не совсем понятно. Но посмотрите на решение следующего задания, и вы поймёте в чём тут суть дела.

Задание 18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

    \[ \begin{cases}

имеет единственное решение.

Ссылка на видеоразбор

Рассмотрим три случая:

1. При a<-2. В этом случае (x-a)^2+(y-2a)^2<0, что невозможно ни при каких x и y, поскольку сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. То есть в этом случае решений у системы нет.

2. При a=-2 уравнение системы принимает вид (x-a)^2+(y-2a)^2=0, что возможно только в том случае, если оба выражения в скобках одновременно обращаются в нуль. То есть имеет место система:

    \[ \begin{cases} x=a \\ y=2a \end{cases} \begin{cases} x=-2 \\ y=-4. \end{cases} \]

Прямой подстановкой полученных значений в неравенство системы убеждаемся, что они ему удовлетворяют:

    \[

Значит вариант с a=-2 нам подходит, система имеет единственное решение при этом значении параметра a.

3. Рассмотрим теперь случай, когда a>-2. В этом случае задание допускает графическое решение. Первое неравенство с модулем можно заменить вот таким двойным неравенством: -12\leqslant x+2y\leqslant 10. Тогда исходную систему можно переписать в следующем виде:

    \[ \begin{cases} x+2y\geqslant -12\\ x+2y\leqslant 10\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases} \]

Или в более удобном виде:

    \[ \begin{cases} y\geqslant -6-\frac{1}{2}x\\ y\leqslant 5-\frac{1}{2}x\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases} \]

Посмотрим на уравнение системы. Какую линию задаёт на координатной плоскости это уравнение при a>-2? И вот здесь-то и появляется наша любимая окружность. Действительно, ведь этой уравнение окружности! Квадрат радиуса этой окружности равен 2+a, а центр лежит в точке (a;2a), то есть где-то на прямой y=2x. На рисунке снизу она изображена красным цветом. При этом прямая y=2x перпендикулярна прямой y=5-\frac{x}{2}:

Две взаимно перпендикулярные прямые на координатной плоскости

Это легко доказать, если рассмотреть треугольник, полученный между этими прямыми и осью OY. Длины сторон этого треугольника равны \sqrt{25}, \sqrt{20} и \sqrt{5} (подробнее об этом смотрите в видео). Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным.

Изобразим теперь, какую область на координатной плоскости задают первые два неравенства системы. Для этого изобразим ещё график функции y=-6-\frac{1}{2}x (зелёная линия на рисунке снизу). Тогда выделенная на рисунке снизу область, заключённая между этими прямыми, и будет являться искомой.

Это даёт понять, что система имеет единственное решение в том случае, когда наша окружность внешним образом касается верхней границы заштрихованной области в точке B, как показано на рисунке:

Рисунок к задаче 18 из ЕГЭ по математике профильного уровня с параметром и окружностью
Эта ситуация реализуется, когда a=3. Действительно, поскольку окружность касается области в точке B, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности, то есть должно быть справедливо равенство:

    \[ (2-a)^2+(4-2a)^2=2+a \]

    \[ 5a^2-21a+18=0 \]

    \[ a_1=3,\, a_2=\frac{6}{5}. \]

Подходит только первый корень, поскольку второй соответствует касанию окружности в точке B внутренним образом. То есть второй случай нам не подходит, так как в этом случае решений у системы будет бесконечно много, а не одно, как требуется в условии.

Итак, мы почти решили задачу. Остаётся открытым вопрос. Может ли подобная ситуация реализоваться в случае с касанием нашей окружности с выделенной областью в точке C внешним образом? Ответ на этот вопрос — нет. Почему? Потому что в этом случае координата x центра окружности, а значит и значение параметра a меньше -2. Но мы уже выяснили выше, что при a<-2 решений у системы нет.

Итак, ответ к этому заданию: a\in\{-2;3\}.

В данной статье мы рассмотрели задачи на окружность, которые могут вам встретиться на ЕГЭ по математике. Они могли показаться вам сложными, особенно если вы только начали свою подготовку к предстоящему экзамену. Но на самом деле, для того, чтобы научиться их решать, не требуется ничего сверхъестественного. Нужно лишь желание, достаточное количество времени, ну и помощь грамотного наставника. Если кому-то из вас нужны занятия с репетитором для подготовки к предстоящему экзамену, пройдите по этой ссылке, там вы найдёте информацию обо мне и моих занятиях. Удачи вам в подготовке к экзамену!

Статью написал репетитор по математике для подготовки к ЕГЭ, Сергей Валерьевич

Понравилась статья? Тогда, возможно, вам будут интересны также следующие:

Решение задач по теме" Вписанная и описанная окружность" ( 8кл)

Инфоурок › Математика ›Презентации›Решение задач по теме" Вписанная и описанная окружность" ( 8кл) Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружность»(8кл) МОБУ « Новочерк...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружность»(8кл) МОБУ « Новочерк Описание слайда:

Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружность»(8кл) МОБУ « Новочеркасская СОШ» Булдакова Л.П

2 слайд Решить задачи 1.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в т Описание слайда:

Решить задачи 1.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

3 слайд Решение Отрезки касательных равны, все они обозначены на чертеже. Найдем пери Описание слайда:

Решение Отрезки касательных равны, все они обозначены на чертеже. Найдем периметр: (5+3)*2 + 3*2 = 22.

4 слайд Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найд Описание слайда:

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

5 слайд Треугольник АСD египетский, значит, СD = 4. SABC=1/2(6*4) = 12 Воспользуемся Описание слайда:

Треугольник АСD египетский, значит, СD = 4. SABC=1/2(6*4) = 12 Воспользуемся формулой для вычисления радиуса.

6 слайд В треугольнике ABC  АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной ок Описание слайда:

В треугольнике ABC  АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.

7 слайд Решение АВ=5 (это египетский треугольник). Р- полупериметр Р=6 Описание слайда:

Решение АВ=5 (это египетский треугольник). Р- полупериметр Р=6

8 слайд Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, Описание слайда:

Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

9 слайд Решение Пусть углы 1х, 2х, 3х. По условию около данного четырехугольника можн Описание слайда:

Решение Пусть углы 1х, 2х, 3х. По условию около данного четырехугольника можно описать окружность А+С = D+B. Тогда угол D=2х. Сумма противоположных углов описанного четырехугольника 180. 1х+3х=180 (или 2х+2х=180) х=45 (1 часть) Угол D=90

10 слайд Задача Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82º и 58º. Най Описание слайда:

Задача Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82º и 58º. Найдите больший из оставшихся углов.

11 слайд Решение Значит, - это углы соседние. Теперь воспользуемся свойством углов впи Описание слайда:

Решение Значит, - это углы соседние. Теперь воспользуемся свойством углов вписанного четырехугольника А+С = D+B =180. 1) 180 – 58 = 122 – это угол В. 2) 180 – 82 = 98 – это угол А. Больший из них – 122. Это не противолежащие углы, т.к. в описанном четырехугольнике их сумма равнялась бы 180 градусов.

12 слайд Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности ра Описание слайда:

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5.  Найдите высоту трапеции.

13 слайд дополнительные построения: центр О соединить с вершинами С и В (эти отрезки р Описание слайда:

дополнительные построения: центр О соединить с вершинами С и В (эти отрезки равны радиусу, т.е. 5). Получим два египетских треугольника ОHC и OFB. ОH=4, OF=3. Высота HF=7.

14 слайд Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при Описание слайда:

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60º, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

15 слайд Решение Вписанный угол ВАD опирается на дугу DCB. дуга DCB=120, а дуга DC = 6 Описание слайда:

Решение Вписанный угол ВАD опирается на дугу DCB. дуга DCB=120, а дуга DC = 60. Три дуги стягивают равные хорды AD, DC, CB. Они равны 60. Тогда дуга AB= 180. а это означает, что АВ – диаметр, тогда радиус 12:2 = 6.

16 слайд Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия Описание слайда:

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции

17 слайд Решение 1) Средняя линия равна полусумме оснований. Тогда сумма оснований рав Описание слайда:

Решение 1) Средняя линия равна полусумме оснований. Тогда сумма оснований равна 10. 2) 22 – 10 = 12 это приходиться на боковые стороны. 3) 12:2 = 6, боковые стороны вписанной трапеции равны.

18 слайд Интернет-ресурсы Книга: http://www.liveinternet.ru/users/4321745/post20132426 Описание слайда:

Интернет-ресурсы Книга: http://www.liveinternet.ru/users/4321745/post201324261/ Карандаш: http://allforchildren.ru/pictures/showimg/school5/school0519jpg.htm Линейка, циркуль, лекало: http://www.ineedsex.ru/main.php?g2_view=core.DownloadItem&g2_itemId=345&g2_serialNumber=2 Транспортир: http://knopka48.ru/images/detailed/1/26449_2.png

19 слайд Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей № Описание слайда:

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново Сайт: http://pedsovet.su/

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №

Курс повышения квалификации

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №

Курс повышения квалификации

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: 495263

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

задач на площадь и окружность круга

    • Классы
      • Класс 1-3
      • Класс 4-5
      • Класс 6-10
      • Класс 11-12
    • КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
      • BNAT 000 NC
        • 000 NC Книги
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT для класса 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • Книги NCERT для класса 11
          • Книги NCERT для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11
          • NCERT 9000 9000
          • NCERT Exemplar Class
            • Решения RS Aggarwal, класс 12
            • Решения RS Aggarwal, класс 11
            • Решения RS Aggarwal, класс 10
            • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
            • Решения RS Aggarwal класса 8
            • Решения RS Aggarwal класса 7
            • Решения RS Aggarwal класса 6
          • Решения RD Sharma
            • RD Sharma Class 6 Решения
            • Решения RD Sharma
            • Решения RD Sharma Class 8
            • Решения RD Sharma Class 9
            • Решения RD Sharma Class 10
            • Решения RD Sharma Class 11
            • Решения RD Sharma Class 12
          • PHYSICS
            • Механика
            • Оптика
            • Термодинамика Электромагнетизм
          • ХИМИЯ
            • Органическая химия
            • Неорганическая химия
            • Периодическая таблица
          • MATHS
            • Теорема Пифагора
            • 0004
            • 000300030004
            • Простые числа
            • Взаимосвязи и функции
            • Последовательности и серии
            • Таблицы умножения
            • Детерминанты и матрицы
            • Прибыль и убыток
            • Полиномиальные уравнения
            • Деление фракций
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000 Microology
          • 000
          • 000 Microology
          • 000 BIOG3000
              FORMULAS
              • Математические формулы
              • Алгебраические формулы
              • Тригонометрические формулы
              • Геометрические формулы
            • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
              • Математические калькуляторы
              • 0003000 PBS4000
              • 000300030002 Примеры калькуляторов химии
              • Класс 6
              • Образцы бумаги CBSE для класса 7
              • Образцы бумаги CBSE для класса 8
              • Образцы бумаги CBSE для класса 9
              • Образцы бумаги CBSE для класса 10
              • Образцы бумаги CBSE для класса 11
              • Образцы бумаги CBSE чел для класса 12
            • CBSE Контрольный документ за предыдущий год
              • CBSE Контрольный документ за предыдущий год Класс 10
              • Контрольный документ за предыдущий год CBSE, класс 12
            • HC Verma Solutions
              • HC Verma Solutions Class 11 Physics
              • Решения HC Verma, класс 12, физика
            • Решения Лакмира Сингха
              • Решения Лакмира Сингха, класс 9
              • Решения Лакмира Сингха, класс 10
              • Решения Лакмира Сингха, класс 8
            • Заметки CBSE
              • CBSE Notes
                  Примечания CBSE класса 7
                • Примечания CBSE класса 8
                • Примечания CBSE класса 9
                • Примечания CBSE класса 10
                • Примечания CBSE класса 11
                • Примечания CBSE класса 12
              • Примечания к редакции CBSE
                • Примечания к редакции
                  • CBSE Class
                    • Примечания к редакции класса 10 CBSE
                    • Примечания к редакции класса 11 CBSE 9000 4
                    • Примечания к редакции класса 12 CBSE
                  • Дополнительные вопросы CBSE
                    • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
                    • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
                    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
                    • Дополнительные вопросы по науке класса 9 CBSE
                    • Дополнительные вопросы по математике для класса 10
                    • Дополнительные вопросы по науке, класс 10 по CBSE
                  • CBSE, класс
                    • , класс 3
                    • , класс 4
                    • , класс 5
                    • , класс 6
                    • , класс 7
                    • , класс 8
                    • , класс 9 Класс 10
                    • Класс 11
                    • Класс 12
                  • Учебные решения
                • Решения NCERT
                  • Решения NCERT для класса 11
                    • Решения NCERT для класса 11 по физике
                    • Решения NCERT для класса 11 Химия
                    • Решения для биологии класса 11
                    • Решения NCERT для математики класса 11
                    • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Accountancy
                    • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
                    • NCERT Solutions Class 11 Economics
                    • NCERT Solutions Class 11 Statistics
                    • NCERT Solutions Class 11 Commerce
                  • NCERT Solutions For Class 12
                    • NCERT Solutions For Класс 12 по физике
                    • Решения NCERT для химии класса 12
                    • Решения NCERT для класса 12 по биологии
                    • Решения NCERT для класса 12 по математике
                    • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерия
                    • Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
                    • Решения NCERT, класс 12 Экономика
                    • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
                    • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
                    • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
                    • NCERT Solutions Class 12 Commerce
                    • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
                  • NCERT Solutions For Класс 4
                    • Решения NCERT для математики класса 4
                    • Решения NCERT для класса 4 EVS
                  • Решения NCERT для класса 5
                    • Решения NCERT для математики класса 5
                    • Решения NCERT для класса 5 EVS
                  • Решения NCERT для класса 6
                    • Решения NCERT для математики класса 6
                    • Решения NCERT для науки класса 6
                    • Решения NCERT для социальных наук класса 6
                    • Решения NCERT для класса 6 Английский
                  • Решения NCERT для класса 7
                    • Решения NCERT для класса 7 Математика
                    • Решения NCERT для класса 7 Наука
                    • Решения NCERT для класса 7 по социальным наукам
                    • Решения NCERT для класса 7 Английский
                  • Решения NCERT для класса 8
                    • Решения NCERT для класса 8 Математика
                    • Решения NCERT для класса 8 Science
                    • Решения NCERT для социальных наук 8 класса
                    • Решение NCERT ns для класса 8 Английский
                  • Решения NCERT для класса 9
                    • Решения NCERT для социальных наук класса 9
                  • Решения NCERT для математики класса 9
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
                    • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 2
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 3
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 4
                    • Решения NCERT
                    • для математики класса 9 Глава 5
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 6
                    • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 7
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 8
                    • Решения NCERT
                    • для математики класса 9 Глава 9
                    • Решения NCERT
                    • для математики класса 9 Глава 10
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 11
                    • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 12
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 13
                    • Решения
                    • NCERT для математики класса 9 Глава 14
                    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
                  • Решения NCERT для науки класса 9
                    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
                    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
                    • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 4
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 5
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 6
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 7
                    • Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 8
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 9
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 10
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 12
                    • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 11
                    • Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 13
                    • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 14
                    • Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
                  • Решения NCERT для класса 10
                    • Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
                  • Решения NCERT для математики класса 10
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 3
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 5
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 6
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 9
                    • Решения NCERT
                    • для математики класса 10 Глава 10
                    • Решения
                    • NCERT для математики класса 10 Глава 11
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 13
                    • NCERT Sol Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
                    • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
                  • Решения NCERT для науки класса 10
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 1
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 2
                    • Решения NCERT для науки класса 10, глава 3
                    • Решения NCERT для науки класса 10, глава 4
                    • Решения NCERT для науки класса 10, глава 5
                    • Решения NCERT для науки класса 10, глава 6
                    • Решения NCERT для науки класса 10, глава 7
                    • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 9
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 10
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 11
                    • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 12
                    • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 13
                    • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 14
                    • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
                    • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
                  • Учебный план NCERT
                  • NCERT
                • Commerce
                  • Class 11 Commerce Syllabus
                      ancy Account
                    • Программа бизнес-исследований 11 класса
                    • Учебная программа по экономике 11 класса
                  • Учебная программа по коммерции 12 класса
                    • Учебная программа по бухгалтерии 12 класса
                    • Учебная программа по бизнесу 12 класса
                    • Учебная программа по экономике
                    • 9000 9000
                        • Образцы документов по коммерции класса 11
                        • Образцы документов по коммерции класса 12
                      • TS Grewal Solutions
                        • TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
                        • TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
                      • Отчет о движении денежных средств
                      • Что такое Entry eurship
                      • Защита прав потребителей
                      • Что такое основной актив
                      • Что такое баланс
                      • Формат баланса
                      • Что такое акции
                      • Разница между продажами и маркетингом
                    • ICSE
                      • Документы
                      • ICSE
                      • Вопросы ICSE
                      • ML Aggarwal Solutions
                        • ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
                        • ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
                        • ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
                        • ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths
                        • ML 6 Maths
                        • ML 6 Maths
                      • Selina Solutions
                        • Selina Solutions для класса 8
                        • Selina Solutions для Class 10
                        • Selina Solutions для Class 9
                      • Frank Solutions
                        • Frank Solutions для математики класса 10
                        • Frank Solutions для математики класса 9
                      • Класс ICSE 9000 2
                      • ICSE Class 6
                      • ICSE Class 7
                      • ICSE Class 8
                      • ICSE Class 9
                      • ICSE Class 10
                      • ISC Class 11
                      • ISC Class 12
                  • IAS
                      Exam
                    • IAS
                    • Civil
                    • Сервисный экзамен
                    • Программа UPSC
                    • Бесплатная подготовка к IAS
                    • Текущие события
                    • Список статей IAS
                    • Пробный тест IAS 2019
                      • Пробный тест IAS 2019 1
                      • Пробный тест IAS 2019 2
                    • Экзамен KPSC KAS
                    • Экзамен UPPSC PCS
                    • Экзамен MPSC
                    • Экзамен RPSC RAS ​​
                    • TNPSC Group 1
                    • APPSC Group 1
                    • Экзамен BPSC
                    • WBPS3000 Экзамен 9000 MPC 9000 9000 MPC4000 Jam
                  • Вопросник UPSC 2019
                    • Ключ ответов UPSC 2019
                  • Коучинг IAS
                    • IA S Coaching Бангалор
                    • IAS Coaching Дели
                    • IAS Coaching Ченнаи
                    • IAS Coaching Хайдарабад
                    • IAS Coaching Мумбаи
                • JEE
                  • BYJU'SEE
                  • 9000 JEE 9000 Основной документ JEE 9000 JEE 9000
                  • Вопросник JEE
                  • Биномиальная теорема
                  • Статьи JEE
                  • Квадратичное уравнение
                • NEET
                  • Программа BYJU NEET
                  • NEET 2020
                  • NEET Приемлемость 9000 Критерии 9000 NEET4 9000 Пример 9000 NEET 9000 9000 NEET
                  • Поддержка
                    • Разрешение жалоб
                    • Служба поддержки клиентов
                    • Центр поддержки
                • Государственные советы
                  • GSEB
                    • GSEB Syllabus
                    • GSEB4
                    • GSEB3 Образец статьи
                    • 004
                    • MSBSHSE
                      • MSBSHSE Syllabus
                      • MSBSHSE Учебники
                      • Образцы статей MSBSHSE
                      • Вопросники MSBSHSE
                    • AP Board
                      • APSCERT
                      • APS4
                      • Syll
                      • AP
                      • Syll 9000SC4
                      • Syll
                      • AP 9000S4 9000 Syll
                      • Syll
                    • MP Board
                      • MP Board Syllabus
                      • MP Board Образцы документов
                      • Учебники MP Board
                    • Assam Board
                      • Assam Board Syllabus
                      • Assam Board Учебники 9000 9000 Board4
                      • Assam Board Учебники 9000 Board4 BSEB
                        • Bihar Board Syllabus
                        • Bihar Board Учебники
                        • Bihar Board Question Papers
                        • Bihar Board Model Papers
                      • BSE Odisha
                        • Odisha Board Syllabus
                        • Odisha Board Syllabus
                        • Программа PSEB
                        • Учебники PSEB
                        • Вопросы PSEB
                      • RBSE
                        • Rajasthan Board Syllabus
                        • RBSE Учебники
                        • RBSE Question Papers
                      • HPBOSE
                      • HPBOSE
                      • 000 Syllab HPBOSE 000 HPBOSE
                      • JKBOSE
                        • Программа JKBOSE
                        • Образцы документов JKBOSE
                        • Шаблон экзамена JKBOSE
                      • TN Board
                        • TN Board Syllabus
                        • TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 Paper 9000 Paper
                        • JAC
                          • Программа JAC
                          • Учебники JAC
                          • Вопросники JAC
                        • Telangana Board
                          • Telangana Board Syllabus
                          • Telangana Board Учебники
                          • Papers Telangana Board Учебники
                          • KSEEB Syllabus
                          • Типовые вопросы KSEEB
                        • KBPE
                          • KBPE Syllabus
                          • Учебники KBPE
                          • KBPE Вопросы
                        • 9000 UPMSP Board 9000 UPMSP Board2
                      • Совет по Западной Бенгалии
                        • Учебный план Совета по Западной Бенгалии
                        • Учебники по Совету по Западной Бенгалии
                        • Вопросы для Совета по Западной Бенгалии
                      • UBSE
                      • TBSE
                      • Гоа Совет
                      • 000
                      • NBSE000
                      • Mega Board
                      • Manipur Board
                      • Haryana Board
                    • Государственные экзамены
                      • Банковские экзамены
                        • Экзамены SBI
                        • Экзамены IBPS
                        • Экзамены RBI
                        • IBPS

                          03
                        • Экзамены SSC
                        • 9SC2

                        • SSC GD
                        • SSC CPO 900 04
                        • SSC CHSL
                        • SSC CGL
                      • Экзамены RRB
                        • RRB JE
                        • RRB NTPC
                        • RRB ALP
                      • O Экзамены на страхование
                      • LIC4
                      • LIC4 9000 ADF UPSC CAPF
                      • Список статей государственных экзаменов
                    • Обучение детей
                      • Класс 1
                      • Класс 2
                      • Класс 3
                    • Академические вопросы
                      • Вопросы по физике
                      • Вопросы по химии
                      • Вопросы по химии
                      • Вопросы
                      • Вопросы по науке
                      • Вопросы GK
                    • Онлайн-обучение
                      • Домашнее обучение
                    • Полные формы
                    • CAT
                      • BYJU'S CAT Program
                  .

                  c # - найти наименьший круг, охватывающий другие круги?

                  Переполнение стека
                  1. Около
                  2. Товары
                  3. Для команд
                  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
                  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
                  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
                  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
                  5. Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
                  6. О компании
                  .

                  java - Как рассчитать положение на окружности под определенным углом?

                  Переполнение стека
                  1. Около
                  2. Товары
                  3. Для команд
                  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
                  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
                  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
                  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
                  5. Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
                  6. О компании
                  .

                  Круги катящиеся по кругам | plus.maths.org

                  Coin rolling

                  Сколько оборотов сделает меньшая монета, катаясь вокруг большей?

                  Представьте себе круг с радиусом 1 см, полностью катящийся по окружности с радиусом 4 см. Сколько оборотов сделал меньший круг?

                  Длина окружности с радиусом $r$ равна $2\pi r$, поэтому длина окружности с радиусом $4r$ будет равна $8\pi r$. Поскольку

                  $8\pi r \div 2\pi r = 4,$

                  я решил, что ответ должен быть четыре оборота.Представьте себе мое удивление, когда я увидел, что ответ был пять!

                  Я прочитал объяснение, почему это действительно правильный ответ, и хотя рассуждения казались разумными, потребовалось некоторое время, прежде чем я смог по-настоящему убедить себя в том, что мое решение было ошибочным. Это интересная проблема, поэтому я представил ее нескольким людям, большинство из которых сразу же ответили «четыре», как и я, и, как и я, меня трудно было убедить в обратном; лишь очень немногие могли интуитивно увидеть «пять» как правильный ответ.

                  Вот лучший способ подумать об этой проблеме: вместо того, чтобы катиться по большему кругу, начните с представления меньшего круга как катящегося по линии той же длины, что и длина окружности большего круга. В этом случае легко представить, что длина линии составляет $8\pi r$ единиц, и поэтому меньший круг явно должен был сделать $8\pi r \div 2\pi r = 4$ оборота. Затем представьте, что круг скользит по линии, а не катится, так что точка на монете, в которой он касается линии, остается прежней.Теперь рассмотрим разницу между скольжением по прямой и по окружности; Если вы двигаете юниты $8\pi r$ по прямой, вы прибываете в пункт назначения так же, как и начали, без каких-либо изменений ориентации. Но если вы сделаете то же самое по окружности круга, вы совершите полный оборот, когда вернетесь в исходную точку. Таким образом, когда катит по одной и той же окружности, вы сделаете четыре оборота качения плюс один оборот скольжения, всего пять!

                  Иначе говоря: когда маленький круг катится по окружности большего круга, одновременно происходят два вида движения: вращение и вращение.Четыре движения, которые мы изначально рассматриваем, - это четыре революции, возможно, потому, что их легко увидеть. С другой стороны, вращение понять сложнее.

                  Coin rolling

                  Трудно решить эту проблему, просто подумав о ней, поэтому важно проверить ситуацию экспериментально. Например, вы должны попробовать смоделировать эту проблему с помощью двух монет; Если проблема соответствует предсказаниям большинства людей, то при использовании двух монет одинакового размера движущаяся будет вращаться $2\pi r \div 2\pi r = 1$ раз, но, как вы увидите, это происходит дважды.Например, вы можете предсказать, что перекатывание от верха фиксированной монеты к ее низу приведет к тому, что катящаяся монета будет перевернута вверх дном, но на самом деле к этому моменту она неожиданно совершит полный оборот. Я очень рекомендую попробовать это самостоятельно.

                  Если вам трудно понять, как все работает с кругом, вы также можете представить, что произойдет с квадратом. Когда круг, катящийся по внешней периферии квадрата, встречает первый угол, ему придется повернуться на «лишние» 90 °, чтобы продолжить движение по следующей стороне.Это будет происходить снова на каждом углу, и, поскольку 90 ° x 4 = 360 °, это составляет дополнительный полный оборот.

                  Каждое из приведенных выше объяснений описывает движение круга как разложение на вращение и вращение, но на самом деле такого разложения не происходит. Подобно тому, как сердце и легкие человека работают одновременно, вращение и вращение происходят вместе. Разделение вращения и вращения полезно для понимания, но это не дает фундаментального решения.Некоторые говорят, что структура нашего мозга не позволяет выполнять многозадачность, но научиться одновременно понимать такие явления было бы очень полезно.

                  Аналогичная проблема появилась в Ага! Попался: парадоксы загадки и восторга Мартина Гарднера, а также в Scientific American в 1868 году. Если вы можете придумать альтернативное доказательство или объяснение этой проблемы, пожалуйста, оставьте комментарий или напишите нам!


                  Об авторе

                  Nishiyama

                  Ютака Нишияма - профессор Осакского университета экономики, Япония.После изучения математики в Университете Киото он 14 лет проработал в IBM Japan. Он интересуется математикой, которая встречается в повседневной жизни, и написал десять книг по этому предмету. Самым последним из них является «Таинственное число 6174: одна из 30 математических тем повседневной жизни» , опубликованное Gendai Sugakusha в июле 2013 года (ISBN978-4-7687-6174-8). Вы можете посетить его сайт здесь.

                  .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск