Каждая координата вектора равна: Координаты вектора — Математика — 11

Содержание

Урок 11. повторительно-обобщающий урок по теме «метод координат» - Геометрия - 9 класс

Конспект
Любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
В прямоугольной системе координат для векторов выполняются следующие свойства.
1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат ее конца и начала.
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Длина вектора а с координатами х и у вычисляется по формуле:
|a ⃗| = √x2 + y2
Расстояние d между точкой М1

с координатами х1 и у1 и точкой М2 с координатами х2 и у2 определяется по формуле:
d = √(x2 - x1)2 +(y2 - y1)2
Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки М, лежащей на этой линии.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром С с координатами х0 и у0 имеет вид:
(x - x1)2 + (y - y0)2 = r2
Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x2 + y2 = r2
Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: ах + ву + с = 0 где а, в, с определяются по следующим формулам:
a = 2(x1 - x2
), b = 2(y1 - y2), c = x22 + y22 - x12 - y12

Координаты вектора [wiki.eduVdom.com]

Обозначим через $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ единичные векторы, отложенные от точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу прямоугольной системы координат (рис. 1).

Рис.1

Пусть $\overrightarrow{a}$ — любой вектор на плоскости хОу. Тогда вектор $\overrightarrow{a}$ можно представить в виде $$ \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \,\,\, (1)$$ и притом единственным образом.

Если вектор $\overrightarrow{a}$ представлен в виде $\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + у \overrightarrow{j}$ , то говорят, что $\overrightarrow{a}$ разложен по векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ . Векторы $\overrightarrow{a}_х = x \overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{a}_у = у \overrightarrow{j}$ называют составляющими вектора $\overrightarrow{a}$ по осям Ох и Оу

. Коэффициенты х и у разложения вектора $\overrightarrow{a}$ по единичным векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ называют координатами вектора $\overrightarrow{a}$ в данной системе координат и записывают $\overrightarrow{a}\{х;\, у\}\text{ . Тогда }|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .

Из единственности представления (1) следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты, и обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Пусть дана точка М(х; у). Тогда $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{ОМ} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ , где х и у — координаты точки М, т.е. $\overrightarrow{r}\{х;\, у\}, |\overrightarrow{r}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .

Теорема 1. Каждая координата суммы векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ равна сумме соответствующих координат этих векторов; каждая координата произведения вектора $\overrightarrow{a}$ на число k равна произведению соответствующей координаты этого вектора на число k.

Доказательство. Пусть $\overrightarrow{a} = x_1 \overrightarrow{i} + _1 \overrightarrow{j}\,\,,\, \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} $ .

Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) + (x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j}) = (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} $ .

Аналогично доказывается: $ k\overrightarrow{a} = K(x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) = (k x_1)\overrightarrow{i} + (k y_1)\overrightarrow{j} $ .

Значит, координаты вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ равны $х_1 + х_2$ и $у_1 + у_2$ , координаты вектора $k\overrightarrow{a}$ равны $kx_1 \,и\, ky_1$ . Теорема доказана.

Следствие 1. Координаты вектора $\overrightarrow{АВ}$ , заданного двумя точками $А(х_1; у_1) \,и\, В(х_2; у_2)$ , равны разностям соответствующих координат точек А и В.

Доказательство. Имеем $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{ОВ} - \overrightarrow{ОА}$ (рис.2).

Рис.2

Так как $\overrightarrow{ОА}\{х_1; y_1\},\, \overrightarrow{ОВ}\{х_2; у_2\}$ , то по теореме 1: $\overrightarrow{АВ} \{х_2 - х_1;\, у_2 - у_1\}$ .



Пример 1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ , если $\overrightarrow{a}\{3;2\},\,\overrightarrow{b}\{-3;1\}$ .

Решение. Согласно полученной теореме 1:
х = 3 - 3•(-3) = 12 ;
у = 2 - 3•1 = -1 .


Пример 2. Найти координаты вектора $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$ , если А(1;3) и В(5;8).

Решение. Согласно следствию 1:
x = 5 - 1 = 4 ;
y = 8 - 3 = 5 .



Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Slider

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Slider

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Slider

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Slider

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Slider

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Slider

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Slider

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Slider

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B

1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Slider

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".

Slider

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A

1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Slider

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Slider

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Slider

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Презентация по математике. "Координаты вектора"

Инфоурок › Другое ›Другие методич. материалы›Презентация по математике. "Координаты вектора"

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда: 2 слайд О 1 F(4; 3) Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-ве Описание слайда:

О 1 F(4; 3) Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора. x y

3 слайд О 1 P (3;-5) M (0;4) x y Описание слайда:

О 1 P (3;-5) M (0;4) x y

4 слайд О 1 N(-4;-5) C (-3,5;0) x y Описание слайда:

О 1 N(-4;-5) C (-3,5;0) x y

5 слайд О 1 O (0; 0) x y Описание слайда:

О 1 O (0; 0) x y

6 слайд ? ? ? ? ? ? ? ? Координаты вектора	Разложение вектора по координатным вектора Описание слайда:

? ? ? ? ? ? ? ? Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам

7 слайд Координаты вектора	Разложение вектора по координатным векторам 	 	 	 	 	 	 	 	 Описание слайда:

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам

8 слайд О 1 x y Описание слайда:

О 1 x y

9 слайд D E x y F H C B A О 1 {2;4} Описание слайда:

D E x y F H C B A О 1 {2;4}

10 слайд Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих к Описание слайда:

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. 10

11 слайд Найдите координаты вектора Описание слайда:

Найдите координаты вектора

12 слайд Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих коорд Описание слайда:

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. 20 ( )

13 слайд Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответств Описание слайда:

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. 30

14 слайд d{-2;-3}; b{-2; 0}; Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые пол Описание слайда:

d{-2;-3}; b{-2; 0}; Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

15 слайд Найти координаты векторов, противоположных данным. №925 Вводите ответы в текс Описание слайда:

Найти координаты векторов, противоположных данным. №925 Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

16 слайд Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов Описание слайда:

Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

17 слайд 1 способ 2 способ Описание слайда:

1 способ 2 способ

18 слайд Найдите координаты вектора , если №923 Описание слайда:

Найдите координаты вектора , если №923

19 слайд Даны векторы и . Найдите координаты векторов и Описание слайда:

Даны векторы и . Найдите координаты векторов и

20 слайд y О 6 x А В С 8 Описание слайда:

y О 6 x А В С 8

21 слайд x y О А В С 6 600 3 3 Описание слайда:

x y О А В С 6 600 3 3

22 слайд Найти координаты векторов. {-1;10} {-7; 6} {4;-8} {-8;16} { 9; 6} { 1; 22} Описание слайда:

Найти координаты векторов. {-1;10} {-7; 6} {4;-8} {-8;16} { 9; 6} { 1; 22}

23 слайд c + e Найти координаты векторов. Описание слайда:

c + e Найти координаты векторов.

c + e Найти координаты векторов.

Курс повышения квалификации

c + e Найти координаты векторов.

Курс профессиональной переподготовки

Педагог-библиотекарь

c + e Найти координаты векторов.

Курс профессиональной переподготовки

Библиотекарь

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: ДБ-1373242

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы. - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Комментарии преподавателя

Ранее мы ввели по­ня­тие еди­нич­ных век­то­ров .

По этим еди­нич­ным век­то­рам любой век­тор  рас­кла­ды­ва­ет­ся од­но­знач­но и имеет ко­ор­ди­на­ты:.

Это озна­ча­ет, что век­тор яв­ля­ет­ся ли­ней­ной ком­би­на­ци­ей век­то­ров :

.

Возь­мем точку .

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Век­тор  на­зы­ва­ет­ся ра­ди­ус-век­то­ром точки  и в точ­но­сти равен век­то­ру .

Ко­ор­ди­на­ты точки  равны со­от­вет­ству­ю­щим ко­ор­ди­на­там век­то­ра .

Рас­смот­рим те­перь век­тор , у ко­то­ро­го на­ча­лом может быть про­из­воль­ная точка, от­лич­ная от на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

Дано: 

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Мы уже знаем, как на­хо­дить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра с на­ча­лом в точке . По­стро­им век­то­ры  и  и най­дем их ко­ор­ди­на­ты (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Поль­зу­ясь преды­ду­щим пра­ви­лом, утвер­жда­ем, что ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , а ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки :

 .

Век­тор  равен раз­но­сти век­то­ров  и :

Пра­ви­ло. Каж­дая ко­ор­ди­на­та век­то­ра равна раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат его конца и на­ча­ла.

За­да­ча 1.

Дано: ко­ор­ди­на­ты точек 

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ров

а)       

б)      .

Ре­ше­ние: нач­нем с ил­лю­стра­ции (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а)      : из ко­ор­ди­нат конца вы­чтем ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

.

Ком­мен­та­рий: век­тор  про­ек­ти­ру­ет­ся на ось , длина про­ек­ции равна 2, знак минус со­от­вет­ству­ет знаку про­ек­ции.  про­ек­ти­ру­ет­ся на ось , длина про­ек­ции равна 2, знак плюс.

Ответ: 

б)      Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем ко­ор­ди­на­ты : из ко­ор­ди­нат конца вы­чтем ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

Видно, что век­тор  про­ти­во­по­ло­жен век­то­ру .

За­да­ча 2.

Дано:  .

Найти: числа 

Ре­ше­ние: чтобы по­лу­чить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  нужно из ко­ор­ди­нат конца вы­честь ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

С дру­гой сто­ро­ны, век­тор   имеет ко­ор­ди­на­ты .

В силу тео­ре­мы о един­ствен­но­сти раз­ло­же­ния век­то­ра по­лу­ча­ем си­сте­му:

          

Ответ: 

За­да­ча 3.

Дано: па­рал­ле­ло­грамм    .

Найти: ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны 

Ре­ше­ние: снова нач­нем с чер­те­жа (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как дан па­рал­ле­ло­грамм, можно по­стро­ить точку  Пусть точка D имеет ко­ор­ди­на­ты D(x; y).

 па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит, 

Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты  и , нужно из ко­ор­ди­нат конца вы­честь ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

     

Ответ: 

Ком­мен­та­рий: эту же за­да­чу можно ре­шить вто­рым спо­со­бом, если при­рав­нять век­то­ры  и .

Итак, мы рас­смот­ре­ли, как вы­чис­лить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра, если из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты его на­ча­ла и конца, про­ил­лю­стри­ро­ва­ли это пра­ви­ло на при­ме­рах. Далее будем ис­поль­зо­вать это пра­ви­ло при ре­ше­нии дру­гих задач на век­то­ры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/svyaz-mezhdu-koordinatami-vektora-i-koordinatami-ego-nachala-i-kontsa

http://www.youtube.com/watch?v=otNtHn2utJQ

http://5klass.net/datas/geometrija/Geometrija-9-klass/0004-004-Geometrija-9-klass.jpg

http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=348&token=d8c6167a345b642d0476813226bb3336

http://uslide.ru/uploads/files/22/koordinati-vektora-geometriya.ppt

http://u.900igr.net/zip/90865838144a6cb1233d82da53257e3c.zip

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Презентация "Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца" Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца Описание слайда:

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

2 слайд ОМ – радиус-вектор точки М. Координаты точки М равны соответствующим координа Описание слайда:

ОМ – радиус-вектор точки М. Координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора M (x;y) x y O

3 слайд Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца Описание слайда:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. x y O А (x1;y1) В (x2;y2)

4 слайд Координата середины отрезка. x y O А (x1;y1) В (x2;y2) С (x;y) , Описание слайда:

Координата середины отрезка. x y O А (x1;y1) В (x2;y2) С (x;y) ,

5 слайд Вычисление длины вектора по его координатам. Если , то Описание слайда:

Вычисление длины вектора по его координатам. Если , то

6 слайд Расстояние между двумя точками. M1 (x1;y1) M2 (x2;y2) Пусть точка , а точка , Описание слайда:

Расстояние между двумя точками. M1 (x1;y1) M2 (x2;y2) Пусть точка , а точка , тогда

7 слайд Конец!!!  Описание слайда:

Конец!!! 

Конец!!! 

Курс повышения квалификации

Конец!!! 

Курс повышения квалификации

Конец!!! 

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: ДВ-084210

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Тест. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

© 2020, ООО КОМПЭДУ, http://compedu.ru При поддержке проекта http://videouroki.net

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания - 5 балльная. Разбалловка теста - 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

"Каждая координата вектора равна ... соответствующих координат его конца и начала." Вставьте пропущенное слово.

Варианты ответов
  • сумме
  • разности
  • частному
  • произведению
Вопрос 2

"Координаты точки ... соответствующим координатам её радиус-вектора." Вставьте пропущенное слово.

Вопрос 3

Определите координаты вектора Avatar , если А(0;-4), B(13;6).

Варианты ответов
Координаты

- Расчет векторов на основе скорости и углов

Переполнение стека
  1. Товары
  2. Клиенты
  3. Случаи использования
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
  3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
  4. работы Программирование и связанные с ним возможности технической карьеры
  5. Талант Нанять технических талантов
  6. реклама Обратитесь к разработчикам по всему миру

Загрузка…

  1. Авторизоваться зарегистрироваться
.

qt - Найти координаты в векторе c ++

Переполнение стека
  1. Товары
  2. Клиенты
  3. Случаи использования
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
  3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
  4. работы Программирование и связанные с ним возможности технической карьеры
  5. Талант Нанять технических талантов
.

Введение в координатную геометрию и декартову плоскость

Введение в координатную геометрию и декартову плоскость - открытый справочник по математике Система геометрии, в которой положение точки на самолет описывается с помощью упорядоченной пары чисел.

Вспомните, что самолет - это плоская поверхность, которая продолжается в обоих направлениях. Если бы мы поставили точку на плоскости, Координатная геометрия дает нам возможность точно описать, где она находится, с помощью двух чисел.

Что такое координаты?

Grid with rows and columns labelled. Чтобы представить идею, рассмотрим сетку выше. Столбцы сетки обозначаются буквами A, B, C и т. Д. Строки пронумерованы 1,2,3 и т.д. сверху. Мы видим, что X находится в коробке D3; то есть столбец D, строка 3.

D и 3 называются координатами прямоугольника. Он состоит из двух частей: строки и столбца. В каждой строке много полей, а в каждом столбце - много. Но имея оба, мы можем найти одну единственную коробку, где пересекаются строка и столбец.

Координатная плоскость

В координатной геометрии точки размещаются на «координатной плоскости», как показано ниже. У него две шкалы - одна проходит по плоскости, называемой «ось x» и другая под прямым углом к ​​ней, называемая осью y. (Эти можно рассматривать как аналог столбца и строки в абзаце выше.) Точка пересечения осей называется исходной точкой , и в ней оба x и y равны нулю.

coordinate plane showing x-axis, y-axis and origin

На оси x значения справа положительны, а значения слева - отрицательны.
По оси ординат значения выше начала координат положительны, а значения ниже - отрицательны.

Расположение точки на плоскости задается двумя числами: первое указывает, где она находится на оси x, а второе. который сообщает, где он находится по оси Y. Вместе они определяют единую уникальную позицию на плоскости. Итак, на диаграмме выше точка A имеет значение x, равное 20, и значение y, равное 15. Это координаты точки A, иногда называемой ее "прямоугольные координаты". Обратите внимание на , что порядок важен; координата x всегда является первой из пары.

Для более подробного объяснения координатной плоскости см. Координатная плоскость.
Подробнее о координатах точки см. Координаты точки.

Что можно делать в координатной геометрии

Если вы знаете координаты группы точек, вы можете:

  • Определить расстояние между ними
  • Найдите среднюю точку, наклон и уравнение отрезка прямой
  • Определите, параллельны ли линии или перпендикулярны
  • Найдите площадь и периметр многоугольника, определяемого точками
  • Преобразуйте форму, перемещая, вращая и отражая ее.
  • Определите уравнения кривых, окружностей и эллипсов.
Информацию обо всем этом и многом другом можно найти на страницах, перечисленных ниже.

История

Метод описания расположения точек таким образом был предложен французским математиком Рене Декартом (1596 - 1650). (Произносится «дневная тележка»). Далее он предположил, что кривые и линии могут быть описаны уравнениями с использованием этой техники, таким образом, он был первым, кто связал алгебру и геометрию. В честь его работы координаты точки часто называют ее Декартовы координаты, а координатная плоскость - как декартова координатная плоскость.

Другие разделы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

MathScene - Векторы - Урок 3

MathScene - Векторы - Урок 3

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Урок 3

Векторы в системе координат


Пример 1

точка A имеет координаты (2, 2), а точка B - координаты (6, 5) (см. диаграмму).Координаты вектора

Мы можно использовать формулу для расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние между A и B, то есть длина вектора
(см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

Подставляя заданные координаты в формулу, получаем:

Мы видим, что числа под квадратным корнем - это просто координаты вектор.Это, конечно, потому, что длина вектора - это просто гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

Формула длины вектора, начинающегося в точке
A = (x 1 , y 1 ) и заканчивается на B = (x 2 , y 2 ) составляет:

Если координаты вектора равны то у нас есть следующее правило:



Пример 2

Найдите вектор что параллельно и который имеет длину 2 единицы (видеть диаграмму).

Два треугольника на схеме похожи, поэтому соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.
|| = t ∙ ||. Число t - это соотношение между соответствующими сторонами. Соотношение есть.
Мы можем найти координаты как следует:

Если векторы и являются параллельно, то существует такое число t, что:

= т ∙


Пример 3

Какие из следующих векторов параллельны и ,

Если векторы и являются параллельно, то существует такое число t, что = т ∙. Если векторы и являются параллельно существует такое число r, что знак равно г ∙.

Мы можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть будут ли найдены те же значения при использовании y-координат.

= т ∙

3 = t ∙ 13 дает t = 3/13 = 2/9

4 = t ∙ 18 также дает t = 4/18 = 2/9

векторы и соток параллель .

= г ∙

3 = r ∙ 6 дает r =

4 = r ∙ 9 дает r = 4/9

векторы и соток непараллельно (Это означает, что и являются тоже не параллельно).

Вектор на схеме имеет координаты , вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты конечная точка совпадает с координатами самого вектора.Это верно для все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в точка (0, 0).

Вектор, начинающийся в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

Каждая точка в системе координат может быть представлена ​​своим вектором положения. Координаты точки и ее вектор положения совпадают.Это может быть очень полезно при просмотре переводов в системе координат.


Пример 4

Треугольник, изображенный на схеме, должен быть переведен на вектор ,

Мы используем векторы положения точек вершин (−3, 0),
(2, −2) и (3, 1) и складываем вектор каждому из них.

Это дает нам новый вектор положения каждой вершины.Схема ниже показывает перевод.


Пример 5

Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если A = (1, 2) и B = (4, 3).

Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина AB тогда:

знак равно + ∙

Вектор является вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и точка M, которую мы хотим вычислить.Вектор вектор положения A. Чтобы достичь средней точки M, нам нужно добавить половину вектор. Нарисуйте диаграмму, чтобы увидеть это.

Для начала нам нужно найти вектор ,

Теперь мы можем найти ,

знак равно + ∙

Координаты M такие же, как у вектора положения или (2, 2) .


Легко найти формулу, по которой мы сможем найти координаты середина отрезка AB.

2 = + ∙ + - ∙

Мы видим, что вектор положения середины отрезка линии является своего рода среднее из векторов положения конечных точек. Поэтому мы можем найти координаты средней точки путем нахождения среднего значения координат x и y координаты соответственно.
Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

Середина M отрезка AB задается правилом:

Правило использования координат:


Пример 6

Вершины треугольника ABC равны A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

Найдите длину прямой от A до середины стороны BC (медиана треугольник ABC).

Начнем с нахождения середины BC, используя указанное выше правило.

Назовем среднюю точку M и найдем ее вектор положения (видеть диаграмма).

Следовательно, M, середина BC имеет координаты
М = (3, 1).

Далее находим координаты вектора ,

Наконец, мы можем найти длину вектора как обязательный.

2,55

= + ∙

= + ∙ - ∙

= - ∙ - ∙

Когда мы складываем их вместе, выходит и получаем:

3 знак равно + +

Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x и y координаты вершин соответственно.

Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан треугольник, найдя своего рода среднее из векторов положения Вершины. Следовательно, это правило является расширением правила средней точки.


Пример 7

Найдите точку пересечения T медиан треугольника ABC ( центр) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см. диаграмма).

Центр T = (2, 1) .


Попробовать викторину 3 по векторам.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск