Какая пирамида называется правильной: Правильная пирамида

Содержание

Правильная пирамида

Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)  
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды
    (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т. д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
  • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения:
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности 
a - апофема (не путать с α)
P - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. 

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  •  Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями 

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

  1. Ознакомьтесь со справочными материалами
  2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
  3. После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
  4. Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме "раздел для школьников" в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.

Содержание главы:

 Пирамида и вписанный конус | Описание курса | Апофема правильной пирамиды 

   

Пирамида. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…  Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. 

Это статистика.  Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе  - иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник. 

Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук. 

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.  

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

Пирамида [wiki.eduVdom.com]

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) – точку пересечения отрезков (боковых ребер), соединяющих ее с вершинами основания.

Пирамида является многогранником.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

В зависимости от многоугольника, являющегося основанием, пирамида может быть:

  • треугольной (тетраэдром, или четырехгранником),

  • четырехугольной,

  • пятиугольной,

  • шестиугольной и т.д., n-угольной.

Треугольная, четырехугольная и пятиугольная пирамида

Рис. 1

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Тело, ограниченное сечением, проведенным в пирамиде параллельно основанию, основанием пирамиды, и заключенной между ними боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида

Рис.2

Пирамида – многогранник, в основании которого n − угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной.

Объем пирамиды V вычисляется по формуле : $V = \frac{1}{3}SH$ , где S – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

  • Боковые рёбра правильной пирамиды равны.

  • Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Усеченная пирамида – это часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле : $V = \frac{1}{3} H( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} )$ , где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

Вершина пирамиды – общая вершина всех боковых граней.

Боковые рёбра –стороны боковых граней, не лежащие в основании пирамиды.

Высота пирамиды

– перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех её граней.

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.



Пример №1


Пример №2


Пример №3: есть опечатка



4.7. Пирамида

Определение 4.9. 

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Определение 4.10. 

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением.

Теорема 4.10. 

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Теорема 4.11. 

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Теорема 4.12. 

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то

Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды. Теорема 4.14. 

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

  • боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

  • площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:

тестовые задания по теме "Многогранники"

Тестовые задания по теме «Многогранники»

 

          Для организации контроля усвоения знаний по теме «Многогранники» можно использовать задания тестового характера. Предложенные задания дают возможность проверить знание определений, свойств таких многогранников как призма, параллелепипед, пирамида.

Тест состоит из двух вариантов. Вопрос может иметь несколько правильных ответов, необходимо указать их все для получения балла за ответ.

Вариант 1

  1. Выберите верные утверждения:

          а) параллелепипед состоит из шести треугольников;

          б) противоположные грани параллелепипеда не имеют общую точку;

          в) диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

  1. Количество всех ребер шестиугольной призмы:

          а) 18;           б) 6;             в) 24;           г) 12.

  1. Наименьшее число граней призмы:

          а) 3;             б) 4;             в) 5;             г) 6;             д) 9.

  1. Боковое ребро всегда является высотой:

а) пирамиды;       

б) прямой призмы;          

в) правильной призмы.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

          б) треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же;

          в) площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению полупериметра основания на высоту.

  1. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется

а) апофемой;           

         б) медианой;        

         в) диагональю.

  1. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются

а) боковыми гранями;

          б) боковыми сторонами;        

в) боковыми ребрами.

  1. Ребро куба объёмом 27 куб. см равно:

          а) 3;             б) 4;             в) 9.

  1. Диагональ многогранника – это отрезок, соединяющий

          а) любые две вершины многогранника;

          б) две вершины, не принадлежащие одной грани;

          в) две вершины, принадлежащие одной грани.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) многогранник, составленный из треугольников, называется пирамидой;

          б) боковое ребро прямой призмы является ее высотой;

в) площадью поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Вариант 2

  1. Выберите верные утверждения:

          а) параллелепипед имеет шесть граней;

          б)отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется его  диагональю;

          в) тетраэдр состоит из четырех параллелограммов.

  1. Количество всех граней шестиугольной призмы:

          а) 6;             б) 8;             в) 10;           г) 12;           д)16.

  1. Наименьшее число ребер призмы:

          а) 9;             б) 8;             в) 7;             г) 6;             д)5.

  1. К многогранникам относятся:

а) призма;  

б) параллелограмм; 

в) пирамида.

  1. Выберите верные утверждения:

а) призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

б) площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на высоту пирамиды;

в) все боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

  1. Четырехугольная пирамида – правильная, тогда

          а) ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания;

          б) ее боковые грани – прямоугольники;

          в) ее основанием служит квадрат.

  1. Свойство пирамиды: если боковое ребро перпендикулярно основанию, то

          а) пирамида – прямая,

          б) оно является высотой;

          в) все боковые ребра пирамиды равны.

  1. Апофема – это

          а) высота пирамиды;    

б) высота боковой грани пирамиды;

в)  высота боковой грани правильной пирамиды.

  1. Ребро куба объемом 64 куб.см равно

          а) 32;           б) 4;             в) 8.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) высота призмы – это расстояние между ее основаниями;

          б) все боковые ребра правильной пирамиды равны;

          в) у прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.

Ответы:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Вариант 1

а, б, в

а

в

б, в

б

а

в

а

б

б, в

Вариант 2

а, б

б

а

а, б, в

в

а, в

б

в

б

а, б, в

Пирамида геометрия. Правильная пятиугольная пирамида. Правильная шестиугольная пирамида. Неправильная пирамида.

Существует несколько факторов, определяющих тип пирамиды. Основание пирамиды будет, конечно, основопалагающим фактором.  Вид пирамиды будет зависеть от основания пирамиды. Также зависит от количества сторон, которые пирамида имеет, от  ориентации вершины пирамиды относительно основания то есть вершина, расположенная над геометрическим центром основания, или она смещена на некоторое расстояние в определенном направлении. Наиболее известная форма пирамиды, которая имеет квадратное основание и вершину, расположенную непосредственно над геометрическим центром основания. Вот некоторые виды пирамид, которые наиболее часто  встречаются в геометрии.



Треугольная пирамида - это  тетраэдр, которое имеет треугольное основание:


 


Пятиугольная правильная пирамида имеет пятиугольное основание

Шестиугольная правильная пирамида имеет шестиугольное основание:

 


Положение вершины относительно основания 


Другой интересной особенностью, как уже упоминалось выше, является ориентация вершины пирамиды относительно основания. Если вершина находится непосредственно над геометрическим центром (или центроидом) основания, то пирамида называется правильной пирамидой. Обратите внимание, что для того, чтобы это было верно, отрезок линии, соединяющий геометрический центр основания с вершиной, будет перпендикулярен плоскости, в которой лежит основание. Если вершина не лежит непосредственно над геометрическим центром основания, то пирамида называется наклонной пирамиды. Наклонная пирамида по определению является неправильной (независимо от того, является ли базовый многоугольник правильным или нет), потому что стороны пирамиды не могут равными.

Пирамида с неправильным многоугольником в основании является неправильной.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

Калькулятора онлайн рассчитывает площадь боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды и выводит формулы с подробным решением.

Использование онлайн калькулятора позволяет рассчитать площадь боковой Sside и полной Sfull поверхности правильной треугольной пирамиды: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

II. Для справки:

1. Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник - тетраэдр. Четырехугольная - пятигранник и т. д.

2. Усеченная пирамида - часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды - это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется - апофема правильной усеченной пирамиды.

3. Правильная усеченная пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - правильный многоугольник, а остальные - боковые грани - равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

4. Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

5. Площадь поверхности - аддитивная числовая характеристика поверхности.

Правильная пирамида

Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Определение 1 . Пирамида называется правильной, если ее основание является правильным многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центре ее основания.

Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофема . На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т. д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник - тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они равными треугольниками
  • все боковые грани равных равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около нее сферу
  • если центры вписанной и описанной совпадают, сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π / n, где n - количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды половины произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению . Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к элементу вводить знания из плана планиметрии.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения размера и площади боковой поверхности:

Обозначения :
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности
а - апофема (не путать с α)
П - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема использования только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основание пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется - апофема правильной усеченной пирамиды .

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена - правильная.

  • Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Примечания

См.также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как использовать приведенные здесь теоретические материалы для решения своей задачи:

  1. Ознакомьтесь со справочными материалами
  2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
  3. После этого в дереве знаний, найдите подходящий урок с данной фигурой ( см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте использовать использование соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
  4. .
  5. . Вы просмотрели весь раздел, но аналогичные задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме "раздел для школьников" в теме. Обязательно ознакомьтесь с вводным с использованием форума.

Содержание главы:
Пирамида и вписанный конус | Описание курса | Апофема правильной пирамиды

Пирамида.Визуальный гид (ЕГЭ - 2021)

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни.Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше , чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), Ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверрать. «Понял» и «Умею решать» - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе - иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.

Их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс / мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описаны:

4.7. Пирамида

Определение 4.9.

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, - многоугольник, а другие грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем - вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Определение 4.10.

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением.

Теорема 4.10.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Теорема 4.11.

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то проходит через центр вписанного в основание пирами круга.

Теорема 4.12.

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то

Эта формула справедлива, в частности, правильной пирамиды. Теорема 4.14.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

  • боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

  • площади сечения и основания пирамиды как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:

Пирамида. Усеченная пирамида - онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Пирамида - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.2}}}} {{2 \ sin \ frac {\ pi} {n}}} \ normalsize \), где \ (b \) - боковое ребро, \ (a \) - сторона основания, \ (n \) - число сторон многоугольника в основании.

Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1. Если все боковые ребра равны, то около основания пирамиды, можно описать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр.

Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2. Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основании пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центре основания.

Логин пирамиды справедливо:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
  • около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды половины произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной ее основанием.

Усеченная пирамида является правильной, если она представляет собой часть правильной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды:

  1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.
  2. Основания усеченной пирамиды подобными многоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную позицию и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.
  4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.
  5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Тетраэдр - треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

В правильном тетраэдре все четыре грани равносторонними треугольниками.

Соотношение между длиной ребра и высотой в правильном тетраэдре: \ (h = a \ sqrt {\ large \ frac {2} {3}} \ normalsize \).

Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

расчета онлайн показывает площадь боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды и вывод формулы с подробным решением.

Использование калькулятора позволяет рассчитать площадь боковой поверхности S , сторона и полная поверхность S полная поверхность правильной треугольной пирамиды: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды соответствует произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

II. Для справки:

1. Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник - тетраэдр. Четырехугольная - пятигранник и т.д.

2. Усеченная пирамида - часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основание пирамиды делит пирамиду на две части. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.Расстояние между основанием усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды - это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется - апофема правильной усеченной пирамиды.

3. Правильная усеченная пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - правильный многоугольник, а остальные - боковые грани - равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

4. Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигурыывающая размер фигуры (части поверхности, ограниченной этой замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается состоящих в ней квадратных единиц.

5. Площадь поверхности - аддитивная числовая характеристика поверхности.

Пирамида геометрия. Правильная пятиугольная пирамида. Правильная шестиугольная пирамида.Неправильная пирамида.

Существует несколько факторов, определяющих тип пирамиды. Основание пирамиды будет, конечно, основопалагающим фактором. Вид пирамиды будет зависеть от основания пирамиды. Также зависит от размера пирамида, от ориентации вершины пирамиды относительно основания то есть вершина, расположенная над геометрическим центром основания, или она смещена на некоторое расстояние в определенном направлении. Наиболее известная форма формы пирамиды, которая имеет квадратное основание и вершину, расположенную непосредственно над геометрическим центром основания. Вот некоторые виды пирамид, которые наиболее часто встречаются в геометрии.



Треугольная пирамида - это тетраэдр, имеющий треугольное основание:



Пятиугольная правильная пирамида имеет пятиугольное основание

Шестиугольная правильная пирамида имеет шестиугольное основание:



Положение вершины относительно основания


Другой интересной особенностью, как уже упоминалось, является ориентация вершины пирамиды относительно основания.Если вершина находится непосредственно над геометрическим (или центроидом) основания, то пирамида называется правильной пирамидой. Обратите внимание, что для того, чтобы это было, отрезком линии, соединяющий геометрический центр основания с вершиной, будет перпендикулярен плоскости, в которой лежит основание. Если вершина не лежит непосредственно над геометрическим центром, то пирамида называется наклонной пирамиды. Наклонная пирамида не является неправильным (независимо от того, является ли базовый многоугольник правильным или нет), потому что стороны пирамиды не могут равными.

Пирамида с неправильным многоугольником.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Презентация "Пирамида.Основные задачи на правильную пирамиду "

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Пирамида Климова А. А. Ярославский градостроительный колледж

Номер слайда 2

Пирамида (др.греч. πυραμίς) - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину боковые грани основание вершина боковые ребра S А B C D E

Номер слайда 3

Площадь поверхности пирамиды Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности. А В С D S Н О Sполн. = Sосн. + Sбок. л а

Номер слайда 4

Пирамида называется правильной, если основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.В правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. А В С D S Н О

Номер слайда 5

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды половины произведения периметра основания на апофему Док - во: Sбок = (Ѕad + Ѕad + Ѕad +…) = = Ѕ d (a + a + a +…) = ЅPосн . d Sбок. = Ѕ Pосн.  SH Pосн. А В С D S Н О д а

Номер слайда 6

Объем пирамиды Объем пирамиды равенство 1/3 произведения площади основания на высоту.Vпир. = 1/3 Sосн  h А В С D S О h а

Номер слайда 7

Задачи

Номер слайда 8

Дано: Задача 1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 100 см, боковые ребра равны 130 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь поверхности пирамиды («4») Объем («5») 130 Н ч BDAS С O 100 50 SABCD - правильная пирамида АBCD - квадрат АВ = ВС = СD = AD = 100 см SC = 130 см Найти: SH =? Sп.п. =? V =?

Номер слайда 9

1 этап на «3»

Номер слайда 10

2 этап на «4»

Номер слайда 11

3 этап на «5»

Номер слайда 12

Задача 2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 100 см, боковые ребра равны 130 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь боковой поверхности пирамиды («4») Площадь полной поверхности пирамиды («5») BCASDOM 100 130 EF Н 50 Дано: SABCDEF - правильная пирамида АBCDEF - правильный шестиугольник АВ = ВС = СD = DE = EF = AF = 100 см SC = 130 см Найти: SH =? Sб.п. =? Sп.п. =?

Номер слайда 13

1 этап на «3»

Номер слайда 14

2 этап на «4»

Номер слайда 15

3 этап на «5»

Номер слайда 16

Домашнее задание: Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск