Метод подстановки: Метод подстановки — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Метод подстановки при решении системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический метод. Однако алгебраический является более надежным. Одним из алгебраических методов является метод подстановки.

Суть метода подстановки заключается в следующем. В одном уравнении (не важно каком) системы одна переменная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной подставляется выражение, которому равна эта переменная, полученное ранее. Приведем пример; допустим, дана система уравнений:

| 10x + 10y + 10 = 0
| –2x – 4y – 8 = 0

Выразим во втором уравнении y через x:
–4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / –4
y = –0.5x – 2

Теперь подставим в первое уравнение вместо y выражение –0.5x – 2. Это допустимо, так как y равен этому выражению, то есть y и это выражение эквивалентны. Получим:
10x + 10(–0. 5x – 2) + 10 = 0

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной, то есть найдем значение x.

10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2

Для того, чтобы найти y надо подставить значение x в любое линейное уравнение из системы, но проще в то, где y уже выражен через x:
y = –0.5x – 2 = y = –0.5 * 2 – 2 = –1 – 2 = –3

Таким образом решением заданной системы уравнений являются значения x = 2, y = –3.

Проверим это, подставив соответствующие значения в одно или оба линейных уравнения системы:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (–3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 — верное равенство
–2x – 4y – 8 = –2 * 2 – 4 * (–3) – 8 = –4 + 12 – 8 = 0 — верное равенство

При использовании метода подстановки не важно выражать ли x через y или как в приведенном примере y через x. При выборе исходить надо из удобства: что проще из чего выразить. Например, в уравнении 4.35x + y – 1.5 проще выразить y через x: y = 1.5 – 4.35x. А вот в уравнении 2x – 4y = 0 лучше выразить x через y: x = 2y.

Как отмечалось выше уравнение, которое подвергается преобразованию, также можно выбрать произвольно, исходя из принципа удобства.

"Решение линейных систем уравнения методом подстановки"

Дата публикации: .

Что такое система уравнений?


Система уравнений – это два линейных уравнения, для которых существуют пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям. Система уравнений записываются следующим образом:
$\begin{cases}a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\end{cases}$

Решить систему уравнений – значит найти такие числа х и у, при которой оба уравнения превращаются в верное равенство или установить, что решения для данной системы уравнений нет.

Установить эту пару чисел можно графически, если построить для каждого уравнения системы график. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Этот метод не очень удобен, т.к. требует построение графиков.

Метод подстановки


Еще один способ решения системы линейных уравнений – метода подстановки.

Пример.
Найдите два числа, разность которых равна 12, а сумма – 36.

Решение.
Обозначим через х и у числа, которые необходимо найти и составим систему линейных уравнений.

$\begin{cases}x - y = 12\\x + y = 36\end{cases}$

Представим первое уравнение, как y = x - 12, а второе уравнение представим, как y = 36 - x.

Тогда систему уравнений можно записать, как $\begin{cases}y = x - 12\\y = 36 - x\end{cases}$
Соединим оба уравнения.
x - 12 = 36 - х
2x = 48
x = 24
Тогда, у = 12.

Ответ: x = 24, у = 12.

Мы получили пару чисел, которая является решением системы уравнения, без построения графика.

Запишем алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными, используя метод подстановки:
1. В первом уравнении системы выразим у через х.
2. Во второе уравнение вместо у подставим выражение, которое мы получили на первом шаге.
3. Решаем второе уравнение и находим х.
4. Найденное значение х подставим в первое уравнение системы.
5. Записываем ответ в виде пары чисел (х, у).

Метод подстановки - Справочник химика 21

    Система может быть решена методом подстановки  
[c.185]

    Метод подстановки. Воспользуемся определением логического следствия, согл сно которому 5 есть логическое следствие Ри Рь Рз тогда и только тогда, [c.121]

    Метод подстановки. Иногда порядок реакции можно установить, проверив, какое из уравнений лучше описывает опытные данные. Для этого по опытным значениям концентраций в различные моменты времени рассчитывают константу скорости [c.540]


    Уравнение (V. 37) решаем методом подстановки Хр = 0,79 (для заданной температуры 570°С). Выбираем произвольные значения X в пределах от 0,1 до 0,5 д , =0,1 Х2 = 0,2 д з = 0,3 Х4 = 0,4 д 5 = 0,5 подсчитываем значение 1/и, пользуясь уравнением (V. 34)  [c.96]

    Метод подстановки. По этому способу экспериментальные данные для концентрации реагирующих веществ в разные моменты времени протекания реакции подставляют в кинетические уравнения реакций первого, второго и третьего порядков и определяют, которое из них приводит к практически постоянному значению константы скорости реакции. 

[c.317]

    Метод подстановки. Сущность этого метода состоит в том, что по экспериментальным значениям концентраций исходных веществ определяют константу скорости. Если при этом для различных моментов времени получаются близкие значения константы скорости, то данная реакция протекает как раз по такому порядку, для которого пригодно взятое уравнение. Если близкие к постоянным значения к получаются при использовании уравнения [c.262]

    Задание. По экспериментальным данным для реакции омыления метилуксусного эфира определите порядок этой реакции методом подстановки. [c.262]

    Интегральные методы. Метод подстановки. Он заключается в экспериментальном определении концентрации вещества в различные моменты времени от начала реакции. По полученным данным производят расчет констант скоростей, используя уравнения первого, второго, третьего порядка, т. е. (17.13), (17.18) и (17.24). Выясняют, по какому уравнению расчет дает практически постоянную величину константы с небольшими отклонениями разных знаков Этому 

[c.267]

    Метод подстановки значений С в кинетические уравнения реакций разного порядка. [c.27]

    Решим эту систему, например, методом подстановки. Тогда 1эф = + (1 - е1>[ 2+ (1 - е2) 1эф], [c.513]

    Решая систему (к) относительно Мх и Мц (например, методом подстановки), получаем [c.842]

    Как можно убедиться методом подстановки, этому уравнению отвечает простейшая экспоненциальная функция [c.89]

    Ест реакция имеет целый порядок, то для определения порядка используют различные частные методы. Метод подстановки заключается в том, что кинетические данные представляют в виде [c.186]

    Метод подстановки заключается в том, что экспериментальные данные подставляют в уравнения кинетики [c.179]


    Цель опыта. Определение порядка реакции триалкил(арил)-силанов с кислотами методом подстановки и последующая проверка его графическим методом. 
[c.180]

    Тг = 342,54, лп = 0,1284, хг = 0.5379. лгз = 0.3357. Используя эти значения при помощи уравнений, приведенных в табл. 4.7, находят коэффициенты активности, а далее определяют Т и Xi методом подстановки по уравнению [c.434]

    Благодаря размещению взвешиваемого предмета и разновеса на одном плече коромысла весов и взвешиванию методом подстановки у весов отсутствует ошибка от. неравноплечести коромысла. [c.64]

    Метод подстановки. Этот метод заключается в том, что по опытным данным — сначала по уравнению (V,5), а затем по урав- [c. 184]

    Исходные концентрации щелочи и эфира одинаковы и равны 0,01 кмоль Определить порядок реакции по методу подстановки. [c.185]

    Приведенное уравнение характеризует зависимость между температурой среды и температурой поверхности испаряющегося топлива в условиях изотермического испарения. Определив из этого выражения, например методом подстановки, температуру изотермического испарения, можно рассчитать количество испаряющегося топлива. 

[c.96]

    Вычислить определенные интегралы методом подстановки. [c.137]

    Эта система уравнений решается методом подстановки. Вместо уравнения (78) иногда составляют тепловой баланс газогенератора, задаваясь температурой уходящего газа, и определяют по балансу количество химического связанного тепла в газе. Конечный генераторный газ — это смесь газа, образующегося в зоне газификации, и газа сухой перегонки. [c.194]

    Из многочисленных способов решения таких систем наиболее распространенным является метод Гаусса, иначе называемый методом подстановки или методом последовательного исключения неизвестных. Суш,ность метода Гаусса заключается в приведении к ступенчатому виду расширенной матрицы системы (9.11), т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных [c.213]

    Исходя из приведенных данных, была предпринята попытка определить порядок реакции методом подстановки в кинетические уравнения 

[c.29]

    Если в уравнениях (1) и (3) методом подстановки, используя формулы (12) — (15), заменить переменные, то можно получить два уравнения, со-дерн ащие два каких-либо неизвестных, например и Ска+  [c.61]

    Решая это уравнение (методом подстановки), получаем X — 1,39, т. е. 1,39% хлорид-ионов будет в осадке и 0,39% бромид-ионов останется в растворе. Если распределение будет гомогенным, то количество оставшегося в растворе бромида составит [c.231]

    Наконец, в некоторых случаях применяют метод подстановки, также являющийся частным случаем метода контрольного соотношения. Этот метод можно применять при решений уравнений или дифференциальных уравнений и сводится он, по существу, к тому, что в качестве контрольных соотношений применяются сами решаемые уравнения.[c.104]

    Уравнение (V, 38) решаем методом подстановки. % == 0,79 (для заданной температуры 570°С). Выбираем произвольные значения X в пределах от 0,1 до 0,5 Л ) = 0,1 Хг = 0,2 Хз = 0,3 Х4 = 0,4 л 5 = 0,5 и подсчитываем значение 1/и, пользуясь уравнением (У,35)  

[c.132]

    Номинальный вес гири в г Результат взвешивания методом подстановки Найденный вес в г Поправки в мг [c.77]

    Результат взвешивания методом подстановки [c.79]

    Такой метод подстановки устраняет многие неточности и систематические ошибки, проистекающие вследствие рассеяния тепла из калориметрической системы, так как потери тепла одинаковы в обоих экспериментах, протекающих в идентичных условиях. В случае эндотермических реакций, когда тепловая энергия поглощается, сравнение химической энергии с электрической может быть сделано в одном опыте, а не в двух, как описано выше, а именно температура калориметра поддерживается практически постоянной в течение химиче-,ской реакции путем подвода измеряемой электрической энергии с такой скоростью, с какой реакция поглощает энергию.[c.44]

    Для приближенных расчетов (с ошибкой не более 4%) экспоненциальная функция в интервале Р (х) [1 0,6] может быть аппроксимирована линейной зависимостью. Тогда минимум приведенных затрат по данному уровню надежности может быть также определен методом подстановки и методом неопределенных множителей Лагранжа. 

[c.73]

    И р 1 м е р 2.8. Показать, что 5 ость логическое следствие формул Р/, Рг, Рз, 1ьзу, определение логического следствия (методом подстановки), на >гн(п,1ии 1 теоремы дедукции (р1 р2 р г 3= I) пли следствия из нее (/ 1 = а также методом умножения и методом резолюций.. Чыпо. шим доказательство всеми перечне,тенными здесь методами. [c.121]

    Метод подстановки заключается в том, что подставляют экспериментальные значения концентраций ( с ) в определенные момен- [c.35]

    Этот же вывод мохсно подтвердить методом подстановки, представив экспериментальные данные в виде решения кинетического уравнения для реакции 2-го порядка с равными начальными концентрациями  [c. 188]

    Методом подстановки значений 2(1, 2, 3...) находнм, что при 2 = 2 /4,=65 — относительная атомная масса цинка. Таким образом, анализируемый металл — цинк. [c.191]

    Аналитические весы VA-35. Электронные весы, работающие методом подстановки, имеют симметричное 5 оромысло и две чашки. Грузоприемная чашка и включаемые разновесы подвешиваются на одном плече коромысла и уравновешиваются постоянной нагрузкой на втором плече. В состав этой нагрузки входит вторая чашка и специальный грузик (20 г), обеспечивающий тарировку сосудов, применяемых для взвешивания. Тарирование этих сосудов осуществляется путем вращения ручки, находящейся с правой стороны корпуса весов. [c.64]


метод подстановки - Перевод на английский - примеры русский

На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать грубую лексику.

На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать разговорную лексику.

Предложить пример

Другие результаты

Метаданные охватывают несколько прогнозных полей по источнику собранных данных, методу корректировки, произведенной в целях их гармонизации (при необходимости), и методу подстановки для заполнения недостающих данных.

The metadata include several fields regarding the source of collected data, the type of adjustments made to harmonize them, when needed, and the type of imputation method used to fill missing data.

Кроме того, если файл используется для условных расчетов отсутствующих величин методом подстановки, осуществляемых на стадии макроредактирования в центральном компьютере, он может быть увязан с результатами переписи сразу же после завершения первого этапа оптического распознавания.

Moreover, if a file is used for cold deck imputation, performed in the macro-editing stage in the central computer, it can be linked with census data as early as the first character recognition round is accomplished.

Например, использование метода "подстановка ближайшего значения" регулируется (параметрическим) правилом определения ближайшего значения.

For example, any use of the Process Method 'nearest neighbour imputation' will be associated with a (parameterized) Rule for determining the 'nearest neighbour'.

Апериодические мозаики Пенроуза могу быть образованы не только апериодическими наборами протоплиток, но и также с помощью подстановки и метода вырезать-и-строектировать.

The aperiodic Penrose tilings can be generated not only by an aperiodic set of prototiles, but also by a substitution and by a cut-and-project method.

Например, если статистическая функция заключается в "восполнении недостающих данных путем импутации", тогда метод осуществления этого процесса может быть сформулирован как "подстановка ближайшего значения".

For example, if the Business Function is 'impute missing values in the data', the Process Method might be 'nearest neighbour imputation'.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Вопросы занятия:

·  показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ подстановки.

Материал урока

На прошлом уроке мы с вами говорили о системе линейных уравнений с двумя переменными.

 

Нам уже знаком графический способ решения систем линейных уравнений.

Мы также отмечали, что графический способ чаще всего позволяет находить решения лишь приближённо.

Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений с двумя переменными, который называют способом подстановки.

Итак, рассмотрим следующую систему

Заметим, что во втором уравнении системы коэффициент при у равен 1, поэтому мы легко можем выразить переменную у через переменную х.

Далее мы подставим вместо у в первое уравнение системы это выражение и получим уравнение с одной переменной х.

Решим это уравнение.

Вот так мы с вами решили систему уравнений способом подстановки.

Таким образом, чтобы решить систему уравнений способом подстановки, надо:

1.  выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2.  подставить вместо этой переменной полученное выражение в другое уравнение системы;

3.  решить получившееся уравнение с одной переменной;

4.  найти соответствующее значение второй переменной.

Ранее мы с вами говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

То же самое можно сказать и о системах уравнений.

Определение.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Системы, которые не имеют решений, также являются равносильными.

Ну а теперь давайте решим несколько систем рассмотренным выше способом.

Пример.

Пример.

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки и научились решать системы этим способом.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Часто в студенческой практике встречаются интегралы, которые не могут быть сведены в простой способ по основным формулам. C введением новой независимой переменной, в таких случаях, удается превратить подынтегральная выражение . . Это позволяет свести интеграл к табличному или к такому, способ вычисления которого может быть известен. Замена переменной интегрирования является основой метода, который называется методом подстановки. Независимую переменную заменяют по формуле , где - дифференцированная функция от .

После этого находят

и интеграл превращают к виду

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования будет найдено, то превратив результат обратно к переменной, используя зависимость , найдем выражение заданного интеграла.

На первый взгляд вышеприведенные формулировки метода выглядят не такими простыми, как хотелось. Но поверьте, что за этим методом стоят не такие уж и тяжелые математические преобразования. Рассмотрев примеры, приведенные ниже и применяя методику на других интегралах, у Вас все получится. Если нет - присылайте тяжелые примеры нам, а мы со своей стороны постараемся их решить и опубликовать в следующих статьях. Итак переходим к вичислениям.

Примеры.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

г)

д)

Решение.

а) Вводим переменную такую, чтобы избавиться корня в знаменателе

Применяя изложенное к интегралу будем иметь:

Осталось не забыть в последнее выражение подставить замену, которую сделали в начале

Стоит отметить, что единой методики замены переменной нет. Каждый выбирает замену так, как подсказывает опыт и практика. Для данного примера можно взять за переменную целый знаменатель. Давайте сделаем это и посмотрим насколько изменится сложность вычислений.

Делаем замену переменных в интеграле и вычисляем его

Вы возможно заметили, что после второй замены переменных интеграл по сравнению с первой заменой, отличается на константу, которая равна . Это не является ошибкой, поскольку неопределенные интегралы могут отличаться на константу.

Как видим, обе замены переменных в данном случае эффективны.

б) Вводим такую подстановку, чтобы добывались корни в знаменателе

Подставляем в интеграл

Разделим числитель на знаменатель чтобы получить правильный дробь. После деления получим

Подставим в интеграл и проинтегрируем

Возвращаемся обратно к переменной

и заменяем в интеграле

Результат получили довольно быстро и замена переменных в этом случае очень помогла.

в) Для интеграла

вводим такую подстановку, которая позволяет избавиться корня в знаменателе

Проводим интегрирование

Возвращаемся к переменной

г)Замена переменных к заданию будет такой

Подставим в интеграл

д) Обозначим

и подставим в интеграл

На первый взгляд сложный интеграл методом замены переменных сведено к простому табличного интеграла. Самое главное в методе - удачно подобрать замену переменных. Дальнейшее решение, как правило, не слишком громоздкое и при хороших знаниях предыдущего материала быстро приводит к конечному результату.

Данный урок думаю принес Вам некоторую ясность в реализации метода подстановки. Обогащайте практические знания и до встречи в следующих уроках.

Метод алгебраического сложения и метод подстановки. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Неизвестная переменная x

Сложность: лёгкое

2
2. Выразить одну переменную через другую

Сложность: лёгкое

1
3. Выразить переменную a через переменную b

Сложность: лёгкое

1
4. Неизвестная переменная y

Сложность: лёгкое

2
5. Система линейных уравнений

Сложность: лёгкое

2
6. Система линейных уравнений

Сложность: лёгкое

2
7. Вычисление одной переменной системы, если известна вторая переменная (обыкновенные дроби)

Сложность: лёгкое

2
8. Система линейных уравнений

Сложность: лёгкое

1
9. Вычисление одной переменной системы, если известна вторая переменная (целые числа)

Сложность: среднее

3
10. Система линейных уравнений (одинаковые коэффициенты при y)

Сложность: среднее

4
11. Прямая пропорциональность и линейная функции (коэффициент - отрицательная десятичная дробь)

Сложность: среднее

3
12. Решение системы двух уравнений (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

4
13. Система двух линейных уравнений (одинаковые коэффициенты при x)

Сложность: среднее

4
14. Система двух уравнений (число противоположное отрицательному)

Сложность: среднее

4
15. Система линейных уравнений

Сложность: среднее

4
16. Система линейных уравнений (переменная во втором уравнении выражена)

Сложность: среднее

5
17. Система двух линейных уравнений (распределительный закон умножения)

Сложность: среднее

5
18. Система линейных уравнений (смешанные числа и обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

4
19. Система линейных уравнений

Сложность: среднее

1
20. Система линейных уравнений, раскрытие скобок

Сложность: сложное

8
21. Система дробных уравнений

Сложность: сложное

8
22. Система линейных уравнений

Сложность: среднее

4
23. Система двух дробных уравнений

Сложность: сложное

8
24. Система линейных уравнений

Сложность: среднее

4
25. Система линейных уравнений, одно из которых целое по сути, но дробное по виду

Сложность: среднее

4
26. Решение системы линейных уравнений

Сложность: сложное

6
27. Система линейных уравнений (сумма дробей)

Сложность: сложное

5
28. Система двух уравнений

Сложность: сложное

6

Метод подстановки - Бесплатная справка по математике

Решение системы линейных уравнений: (урок 1 из 5)

Метод замещения

Метод подстановки наиболее полезен для систем из двух уравнений с двумя неизвестными. Основная идея здесь в том, что мы решаем одно из уравнений для одного из неизвестных, а затем подставьте результат в другое уравнение.

Метод замещения может применяться в четыре этапа

Шаг 1:

Решите одно из уравнений для x = или y = .

Шаг 2:

Подставьте решение из шага 1 в другое уравнение.

Шаг 3:

Решите это новое уравнение.

Шаг 4:

Найдите вторую переменную.

Пример 1. Решите следующую систему заменой

$$ \ begin {выровнено} 2х + 3у & = 5 \\ х + у & = 5 \ end {выровнен} $$

Решение:

Шаг 1: Решите одно из уравнений для x = или y = .Мы решим второе уравнение для y.

$$ \ begin {выровнено} х + у & = 5 \\ \ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5 - x} \ end {выровнен} $$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

$$ \ begin {выровнено} 2x + 3 \ color {синий} {y} & = 5 \\ 2x + 3 \ color {blue} {(5 - x)} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5} \ end {выровнен} $$

Шаг 3: Решите это новое уравнение.

$$ \ begin {выровнено} 2х + 3 (5 - х) & = 5 \\ 2x + 15 - 3x & = 5 \\ - х + 15 & = 5 \\ - х & = 5-15 \\ \ color {красный} {x} & \ color {красный} {=} \ color {красный} {10} \ end {выровнен} $$

Шаг 4: Найдите вторую переменную

$$ \ begin {выровнено} y & = 5 - \ color {красный} {x} \\ y & = 5 - \ color {красный} {10} \\ y & = - 5 \ end {выровнен} $$

Решение: (x, y) = (10, -5)

Примечание: не имеет значения, какое уравнение мы выберем. первый, а какой второй.Просто сначала выберите наиболее удобный!

Пример 2: Решить заменой

$$ \ begin {выровнено} 2х + 5у & = 12 \\ 4x - y & = 2 \ end {выровнен} $$

Решение:

Шаг 1. Решите одно из уравнений относительно x = или y =. Поскольку коэффициент при y в уравнении 2 равен -1, проще всего решить относительно y в уравнении 2.

$$ \ begin {выровнено} 4х - у & = 2 \\ - у & = 2 - 4х \\ \ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {4x - 2} \ end {выровнен} $$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

$$ \ begin {выровнено} 2x + 5 \ color {синий} {y} & = 12 \\ 2x + 5 \ color {синий} {(4x - 2)} & = 12 \\ \ end {выровнен} $$

Шаг 3: Решите это новое уравнение (для x).

$$ \ begin {выровнено} 2x + 5 \ color {синий} {(4x - 2)} & = 12 \\ 2х + 2х + 20х - 10 & = 12 \\ 22x & = 22 \\ \ color {красный} {x} & \ color {красный} {=} \ color {красный} {1} \ end {выровнен} $$

Шаг 4: Найдите вторую переменную

$$ \ begin {выровнено} y & = 4 \ color {красный} {x} - 2 \\ y & = 4 \ cdot \ color {красный} {x} - 2 \\ y & = 2 \ end {выровнен} $$

Решение: $ (x, y) = (1, 2) $

Упражнение: Решите следующие системы заменой

Метод подстановки (системы линейных уравнений)

Когда два уравнения прямой пересекаются в одной точке, мы говорим, что у нее есть уникальное решение, которое можно описать как точку \ color {red} \ left ({x, y} \ right) в плоскости XY .

Метод подстановки используется для решения систем линейных уравнений путем нахождения точных значений x и y, которые соответствуют точке пересечения.

Диаграмма, показывающая две линии, пересекающиеся в точке

На схеме ниже показаны две произвольные линии, показывающие, где они пересекаются, как описано упорядоченной парой \ left ({x, y} \ right). В этом уроке мы хотим вручную решить эту общую точку.


Примеры решения систем уравнений методом подстановки

Пример 1: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений ниже.

Идея состоит в том, чтобы выбрать одно из двух заданных уравнений и решить для любой из переменных, x или y. Результат нашего первого шага будет подставлен в другое уравнение. Результатом будет одно уравнение с одной переменной, которое можно решить как обычно.

Это полностью зависит от того, с каким уравнением, по вашему мнению, будет легче справиться. Выбор ваш.

Обратите внимание, что верхнее уравнение содержит переменную x, которая является «единственной», то есть ее коэффициент равен +1. Не забывайте всегда искать эту характеристику («единственную» переменную), потому что это сделает вашу жизнь намного проще.

Теперь я начну с решения верхнего уравнения для x.

Так как я знаю, что x равно y, я могу вставить это выражение в другое уравнение. На этом я решу уравнение с одной переменной.

Надеюсь, вы получите такое же значение y = - \, 5. Теперь, когда я знаю точное значение y, я найду другую переменную (в данном случае x), вычислив ее значение в любом из двух исходных уравнений. Неважно, какое исходное уравнение вы выберете, потому что оно в конечном итоге даст тот же ответ.

Тем не менее, я должен сказать, что «лучший» способ решения для x - использовать пересмотренное уравнение, которое я ранее решил, поскольку у меня есть «x = some y». Правильно?

Здесь я получаю x = 1. В точечной нотации окончательный ответ можно записать как \ left ({1, - \, 5} \ right). Помните, это точка пересечения двух линий.

Всегда полезно проверять эти значения в исходных уравнениях, чтобы проверить, действительно ли они являются правильными ответами. Я предлагаю вам всегда проверять их.

Графически решение выглядит следующим образом.


Пример 2: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.

Очевидный выбор здесь - выбрать нижнее уравнение, потому что переменная y имеет положительный коэффициент \ left ({+ 1} \ right). Теперь я могу легко найти y через x. Для начала я вычту обе стороны в 3 раза.

Решив для y из нижнего уравнения, я перехожу к верхнему уравнению и заменяю выражение для y на x.Результатом будет многоступенчатое уравнение с одной переменной.

Решите это уравнение, сначала упростив скобки. После этого объедините одинаковые термины с обеих сторон и изолируйте переменную слева. Ваше решение должно быть похоже на приведенное ниже.

Если вы правильно решили для x, вы также должны прийти к значению x = 3.

Поскольку пересмотренное нижнее уравнение уже написано в той форме, которая мне нравится, я буду использовать его для решения точного значения y.

Получив значение y = 1, я могу записать окончательный ответ в виде упорядоченной пары \ left ({3,1} \ right).

Как я упоминал ранее, всегда проверяйте окончательные ответы самостоятельно, чтобы убедиться, что они проверяются с использованием исходных формул.

На графике решением является точка пересечения двух заданных линий.


Пример 3: Используйте метод подстановки для решения системы уравнений.

Это отличный пример, потому что у меня есть два пути решения проблемы. Обе переменные x и y имеют положительные единицы \ left ({+ 1} \ right) в качестве своих коэффициентов.Это означает, что я могу пойти любым путем.

В этом примере я решу для y. Я легко могу сделать это, вычтя обе стороны на x и переставив.

Затем я запишу другое уравнение и заменю его y на y = - x + 3.

После решения вышеприведенного многоступенчатого уравнения я получу x = 5. Теперь я перехожу к преобразованной версии уравнения верхнее уравнение для решения относительно y.

Здесь y = - \, 2. Окончательный ответ: \ left ({x, y} \ right) = \ left ({5, - \, 2} \ right).

Действительно, две прямые пересекаются в рассчитанной нами точке!


Пример 4: Используйте метод подстановки для решения системы уравнений.

Мне эта проблема интересна, потому что я не могу найти ситуацию, когда переменная «одна». Опять же, наше определение «одиночества» - это коэффициент +1. Помнить?

И верхнее, и нижнее уравнения здесь содержат переменную с отрицательным символом. Я предлагаю, чтобы всякий раз, когда вы видите что-то подобное, измените этот отрицательный символ на \ textbf {- 1}. Я помещаю синюю стрелку рядом с ним для акцента (см. Ниже).

Отсюда я могу перейти к решению относительно y, используя верхнее уравнение, или для x, используя нижнее уравнение.В этом упражнении я буду работать над нижним уравнением.

Обратите внимание, что для определения x я разделил все уравнение на - 1. Вы можете видеть здесь, что внешний вид уравнения резко изменился.

Надеюсь, у вас тоже y = - \, 4. В противном случае проверьте и перепроверьте свои шаги при решении многоступенчатого уравнения.

Затем используйте это значение y и подставьте его в преобразованную версию нижнего уравнения, чтобы найти x.

Итак, я получаю x = - \, 2. Окончательный ответ в упорядоченной паре: \ left ({x, y} \ right) = \ left ({- \, 2, - \, 4} \ right).

График согласуется с нами в том, где пересекаются две линии. Большой!


Пример 5: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.

Первое, что я здесь заметил, - это то, что нет случая, когда коэффициент переменной равен +1 или -1. Некоторых это может сбить с толку.

В этой задаче можно выделить y в верхнем уравнении и сделать то же самое для x в нижнем уравнении. Поработайте с нуля, и это будет иметь больше смысла.

Вы поймете, что либо x, либо y можно решить легко, потому что в процессе не генерируются дроби. В этом упражнении я решаю главное уравнение относительно y.

Как и ожидалось, решение для y оказалось удачным. Теперь я буду использовать это значение для y и подставить его в y нижнего уравнения. Затем я продолжу решение полученного уравнения как обычно.

Если вы все сделали правильно, ваш ответ должен быть x = 2. Подставьте это значение x в исправленную версию верхнего уравнения, чтобы найти точное значение y.

Здесь y = - \, 5. Таким образом, наш окончательный ответ - упорядоченная пара \ left ({2, - \, 5} \ right).

График подтверждает наши рассчитанные значения для x и y.


Вас также может заинтересовать:

Метод исключения (системы уравнений)

Решение систем нелинейных уравнений

Практика с рабочими листами

Решение линейных систем путем замены

Метод замещения

В этом разделе мы определим полностью алгебраический метод решения систем.Идея состоит в том, чтобы решить одно уравнение относительно одной из переменных и подставить результат в другое уравнение. После выполнения этого шага подстановки у нас останется одно уравнение с одной переменной, которое можно решить с помощью алгебры. Это называется методом подстановки. Средство решения линейной системы путем решения для одной из переменных и подстановки результата в другое уравнение., И шаги описаны в следующем примере.

Пример 1: Решить заменой: {2x + y = 73x − 2y = −7.

Решение:

Шаг 1: Решите для любой переменной в любом уравнении. Если вы выберете первое уравнение, вы можете выделить и за один шаг.

Шаг 2: Подставьте выражение −2x + 7 для переменной y в другое уравнение .

Это оставляет вам эквивалентное уравнение с одной переменной, которое можно решить, используя методы, изученные до этого момента.

Шаг 3: Найдите оставшуюся переменную. Чтобы найти x , сначала распределите −2:

Шаг 4: Обратная подстановка После того, как для переменной найдено значение, подставьте его обратно в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной. чтобы найти значение другой координаты. Подставьте x = 1 в исходные уравнения или их эквиваленты.Обычно мы используем эквивалентное уравнение, которое мы нашли при выделении переменной на шаге 1.

Решение системы: (1, 5). Обязательно представляйте решение в виде заказанной пары.

Шаг 5: Проверить. Убедитесь, что эти координаты решают оба уравнения исходной системы:

График этой линейной системы следующий:

Метод подстановки для решения систем - это полностью алгебраический метод.Таким образом, графическое отображение линий не требуется.

Ответ: (1, 5)

Пример 2: Решить заменой: {2x − y = 12x − y = 3.

Решение: В этом примере мы видим, что x имеет коэффициент 1 во втором уравнении. Это означает, что его можно изолировать за один этап следующим образом:

Замените 3 + y на x в первом уравнении. Используйте круглые скобки и позаботьтесь о распространении.

Используйте x = 3 + y, чтобы найти x .

Ответ: (9, 6). Чек предоставляется читателю.

Пример 3: Решить заменой: {3x − 5y = 17x = −1.

Решение: В этом примере переменная x уже изолирована. Следовательно, мы можем подставить x = −1 в первое уравнение.

Ответ: (−1, −4).Построение графика этой конкретной системы - хорошее упражнение для сравнения метода подстановки с методом построения графиков для решения систем.

Попробуй! Решить с помощью замены: {3x + y = 48x + 2y = 10.

Ответ: (1, 1)

Решение систем алгебраически часто требует работы с дробями.

Пример 4: Решить заменой: {2x + 8y = 524x − 4y = −15.

Решение: Начните с решения относительно x в первом уравнении.

Затем подставляем во второе уравнение и решаем относительно y .

Обратная подстановка в уравнение, используемое на этапе замены:

Ответ: (−1/2, 3/4)

Как известно, не все линейные системы имеют только одно упорядоченное парное решение. Напомним, что некоторые системы имеют бесконечно много упорядоченных парных решений, а некоторые не имеют решений.Затем мы исследуем, что происходит при использовании метода подстановки для решения зависимой системы.

Пример 5: Решить заменой: {−5x + y = −110x − 2y = 2.

Решение: Поскольку в первом уравнении есть член с коэффициентом 1, мы решаем сначала для этого уравнения.

Затем замените это выражение на y во втором уравнении.

Этот процесс привел к истинному утверждению; следовательно, уравнение является тождественным, и любое действительное число является решением.Это указывает на то, что система зависима. Одновременные решения принимают форму ( x , mx + b ) или, в данном случае, ( x , 5 x - 1), где x - любое действительное число.

Ответ: (x, 5x − 1)

Чтобы лучше понять предыдущий пример, перепишите оба уравнения в форме пересечения наклона и изобразите их на одном наборе осей.

Мы можем видеть, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, и, следовательно, система является зависимой. Теперь исследуем, что происходит при решении противоречивой системы с использованием метода подстановки.

Пример 6: Решить заменой: {−7x + 3y = 314x − 6y = −16.

Решение: Решите относительно и в первом уравнении.

Подставляем во второе уравнение и решаем.

Решение приводит к ложному утверждению. Это означает, что уравнение противоречит.Нет решения для x и, следовательно, нет решения для системы.

Ответ: Нет решения, Ø

Ложное утверждение указывает на то, что система несовместима, или в геометрических терминах, что линии параллельны и не пересекаются. Чтобы проиллюстрировать это, определите форму пересечения наклона каждой линии и нанесите их на график на одном и том же наборе осей.

В форме пересечения наклона легко увидеть, что две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .

Попробуй! Решить с помощью замены: {2x − 5y = 34x − 10y = 6.

Ответ: (x, 25x − 35)

Основные выводы

  • Метод подстановки - это полностью алгебраический метод решения системы уравнений.
  • Метод подстановки требует, чтобы мы решили одну из переменных, а затем подставили результат в другое уравнение. После выполнения шага замены результирующее уравнение имеет одну переменную и может быть решено с использованием методов, изученных до этого момента.
  • Когда значение одной из переменных определено, вернитесь и подставьте его в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной.
  • Решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ).
  • Если процесс решения системы уравнений приводит к ложному утверждению, тогда система несовместима и решения нет, Ø.
  • Если процесс решения системы уравнений приводит к истинному утверждению, то система является зависимой и существует бесконечно много решений, которые можно выразить в форме ( x , mx + b ).

Тематические упражнения

Часть A: Метод замещения

Решить заменой.

1. {y = 4x − 1−3x + y = 1

2.{y = 3x − 84x − y = 2

3. {x = 2y − 3x + 3y = −8

4. {x = −4y + 12x + 3y = 12

5. {y = 3x − 5x + 2y = 2

6. {y = x2x + 3y = 10

7. {y = 4x + 1−4x + y = 2

8. {y = −3x + 53x + y = 5

9. {y = 2x + 32x − y = −3

10. {y = 5x − 1x − 2y = 5

11. {y = −7x + 13x − y = 4

12. {x = 6y + 25x − 2y = 0

13. {y = −2−2x − y = −6

14.{x = −3x − 4y = −3

15. {y = −15x + 37x − 5y = 9

16. {y = 23x − 16x − 9y = 0

17. {y = 12x + 13x − 6y = 4

18. {y = −38x + 122x + 4y = 1

19. {x + y = 62x + 3y = 16

20. {x − y = 3−2x + 3y = −2

21. {2x + y = 23x − 2y = 17

22. {x − 3y = −113x + 5y = −5

23. {x + 2y = −33x − 4y = −2

24. {5x − y = 129x − y = 10

25.{x + 2y = −6−4x − 8y = 24

26. {x + 3y = −6−2x − 6y = −12

27. {−3x + y = −46x − 2y = −2

28. {x − 5y = −102x − 10y = −20

29. {3x − y = 94x + 3y = −1

30. {2x − y = 54x + 2y = −2

31. {−x + 4y = 02x − 5y = −6

32. {3y − x = 55x + 2y = −8

33. {2x − 5y = 14x + 10y = 2

34. {3x − 7y = −36x + 14y = 0

35. {10x − y = 3−5x + 12y = 1

36.{−13x + 16y = 2312x − 13y = −32

37. {13x + 23y = 114x − 13y = −112

38. {17x − y = 1214x + 12y = 2

39. {−35x + 25y = 1213x − 112y = −13

40. {12x = 23yx − 23y = 2

41. {−12x + 12y = 5814x + 12y = 14

42. {x − y = 0 − x + 2y = 3

43. {y = 3x2x − 3y = 0

44. {2x + 3y = 18−6x + 3y = −6

45. {−3x + 4y = 202x + 8y = 8

46. {5x − 3y = −13x + 2y = 7

47.{−3x + 7y = 22x + 7y = 1

48. {y = 3y = −3

49. {x = 5x = −2

50. {y = 4y = 4

Создайте линейную систему и решите ее с помощью метода подстановки.

51. Сумма двух чисел равна 19. Чем больше число, тем на 1 меньше, чем в три раза меньшее.

52. Сумма двух чисел равна 15. Чем больше 3, тем меньше вдвое.

53. Разница двух чисел равна 7, а их сумма равна 1.

54. Разница двух чисел равна 3, а их сумма равна −7.

55. Где на графике −5x + 3y = 30 координата x совпадает с координатой y ?

56. Где на графике 12x − 13y = 1 координата x равна координате y ?

Часть B: Темы дискуссионной доски

57. Опишите, что побуждает выбирать переменную для решения в начале процесса решения путем подстановки.

58. Обсудите достоинства и недостатки метода замены.

ответы

1: (2, 7)

3: (−5, −1)

5: (2, 6)

7:

9: (x, 2x + 3)

11: (1/2, −5/2)

13: (4, −2)

15: (3, 12/5)

17: (−3, −7/6)

19: (2, 4)

21: (3, −4)

23: (−8/5, −7/10)

25: (х, −12x − 3)

27:

29: (2, −3)

31: (−8, −2)

33: (1/2, 0)

35:

37: (1, 1)

39: (−11/10, −2/5)

41: (-1/2, 3/4)

43: (0, 0)

45: (−4, 2)

47: (-1/5, 1/5)

49:

51: два числа - 5 и 14.

53: Два числа - 4 и −3.

55: (−15, −15)

Решение систем линейных уравнений с заменой

Системы линейных уравнений:

А система линейные уравнения представляет собой набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс и y ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Как решить систему с помощью Метод замены

  • Шаг 1 : Сначала решите одно линейное уравнение для y с точки зрения Икс .
  • Шаг 2 : Затем замените это выражение на y в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс .
  • Шаг 3 : Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка.
  • Шаг 4 : Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее y -координат.

Заметка 1 : Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения y , и - такая же разница!

Пример:

Решить систему { 3 Икс + 2 y знак равно 16 7 Икс + y знак равно 19

    Решите второе уравнение относительно y .

    y знак равно 19 - 7 Икс

    Замена 19 - 7 Икс для y в первом уравнении и решить для Икс .

    3 Икс + 2 ( 19 - 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 - 14 Икс знак равно 16 - 11 Икс знак равно - 22 Икс знак равно 2

    Замена 2 для Икс в y знак равно 19 - 7 Икс и решить для y .

    y знак равно 19 - 7 ( 2 ) y знак равно 5

    Решение ( 2 , 5 ) .

Заметка 2 : Если линии параллельны, ваш Икс -условия будут отменены на шаге 2 , и вы получите невозможное уравнение, что-то вроде 0 знак равно 3 .

Заметка 3 : Если два уравнения представляют одну и ту же строку, все будет отменено на шаге 2 , и вы получите избыточное уравнение, 0 знак равно 0 .

Решение систем уравнений методом подстановки

Подстановка - самый элементарный из всех методов решения систем уравнений. Метод замещения, как указывает метод, предполагает замену чего-либо в уравнения, чтобы упростить их решение.Итак, что мы заменим? Мы выражаем одна из переменных через другую, пока у нас не будет только одно уравнение с только одна переменная. Затем мы решаем эту переменную, и после получения ее значения мы выполняем то, что называется Back Substitution , чтобы найти другой недостающий переменная (и).

Решение уравнений с двумя переменными методом подстановки

Давайте рассмотрим несколько реальных примеров, чтобы лучше понять, как решить уравнения с двумя переменными. методом подстановки.

Пример 1

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Всегда лучше маркировать свои уравнения, чтобы знать, какое уравнение вы работать с. Поскольку у нас есть два уравнения, обозначим их как 1 и 2.

Шаг 2

Первым шагом в реальном решении системы уравнений с помощью подстановки является чтобы выразить одну переменную через другую.

Воспользуемся уравнением (1) и выразим y через x в уравнении (1):

также можно записать как

Шаг 3

Теперь у нас есть y в единицах x , и мы можем заменить y в уравнение (2)

становится

Шаг 4

Итак, теперь у нас есть только уравнение с одной переменной, которое мы можем решить, используя методы мы узнали в разделе о решение уравнений с одной переменной.

Шаг 5

Теперь, когда у нас есть значение x , мы можем подставить его в уравнение, которое у нас есть y , и это то, что мы называем обратной заменой .

заменяя x

следовательно,

Шаг 6

Итак, теперь мы решили для x как 2 и y как 0. Следовательно, наша координата точка - (2,0) . Мы можем доказать, что эти являются истинными значениями x и y , подставив их обратно в исходная система уравнений.

заменяя x и y

Это доказывает, что полученные нами значения являются правильными значениями x и л .

Теперь, когда у нас есть решение, что оно означает? Глядя на график, мы видим что при значении (2,0) оба наших исходных уравнения пересекаются в этой точке.

Пример 2

Решите следующую систему уравнений путем замены

Шаг 1

Как и в предыдущем примере, всегда полезно обозначать уравнения, чтобы знать, с кем вы работаете.

Шаг 2

Затем мы выражаем одну переменную через другую. Выбираем какую переменную выразить в терминах другого, исследуя систему уравнений и угадывая с каким из двух уравнений легче работать, а с какой переменной сложнее манипулировать.

В приведенном выше примере давайте поработаем с уравнением (2) и выразим x через л

становится

Шаг 3

Следующим шагом будет подставить указанное выше в уравнение (1), чтобы получить уравнение только с одной переменной, y .

совпадает с

Шаг 4

И затем мы можем заменить 2 в приведенном выше уравнении как:

что становится

следовательно,

Шаг 5

Затем мы выполняем обратную замену, чтобы найти значение x .Подменяем значение, которое мы получили для y , в уравнение для x

становится

следовательно,

Решение системы уравнений: x = 3 и y = -1. Вы можете это доказать подставляя эти значения в исходную систему уравнений.

Давайте изобразим уравнения, чтобы увидеть, действительно ли точка пересечения равна (3, -1) .

Решение уравнений с тремя переменными методом подстановки

Подобно решению уравнений с двумя переменными, при решении для трех переменных мы выразить одну переменную через другую и подставлять до тех пор, пока мы не получим одну уравнение только с одной переменной.Окончательное уравнение имеет тенденцию быть довольно большим и порой усложняющий метод подстановки не очень идеальный метод решения трех переменных системы уравнений. Однако простота метода подстановки затмевает все сложности и делает этот метод очень фундаментальным методом решения системы уравнений.

Давайте попробуем несколько примеров, чтобы увидеть, как на самом деле работает метод.

Пример 3

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Давайте еще раз начнем с обозначения наших уравнений

Шаг 2

Затем мы проверяем систему уравнений, чтобы выбрать желаемую переменную, которую мы должны выразить с точки зрения другого.Поскольку у нас есть три системы уравнений, нам нужно заменить дважды, поэтому нам нужно выбрать два уравнения для работы.

Выберем уравнения (2) и (3)

Шаг 3

Возьмите уравнение (3) и выразите y через x и z

.

становится

Шаг 4

Затем подставляем y в уравнение (2)

становится

что упрощается до

Шаг 5

Затем мы выражаем x через z

Шаг 6

Теперь у нас есть решения для x и y , и у нас все еще есть один нетронутый уравнение. Заменим x и y в уравнении (1), чтобы получить уравнение только с одной переменной z

Первая замена на y

что упрощается следующим образом:

Шаг 7

Далее мы заменяем x

что оставляет уравнение только в виде z , которое мы затем упрощаем для решения для z

Шаг 8

Теперь, когда мы получили значение для z , мы выполняем обратную замену, чтобы найти х

подставив z = 0

Шаг 9

Еще раз выполняем обратную подстановку, чтобы найти значение y . Мы используем значения, полученные для x и z , и подставляем их в уравнение для y :

Решение системы уравнений: x = -2 , y = 4 , z = 0 .В трех измерений, это будет означать, что (-2,4,0) является точкой пересечения всех трех линий.

Пример 4:

Решите относительно переменных в следующей системе уравнений

Шаг 1

Сначала мы помечаем уравнения:

Шаг 2

Затем мы проверяем систему и выбираем, с какими уравнениями мы хотим работать, в каких порядок.

Давайте начнем с уравнения (1), а затем перейдем к уравнению (2) и, наконец, к уравнению (3).

Шаг 3

Выразите x через y и z

Шаг 4

Затем вы заменяете x в уравнении (2)

что упрощается до:

Затем мы берем вышеприведенное уравнение и выражаем z через y

.

Шаг 5

Затем мы подставляем x и z в уравнение (3), чтобы получить одну переменную уравнение.

Сначала мы заменяем x и упрощаем

Шаг 6

Далее заменяем на z

что упрощается до

Шаг 7

Из чего мы можем решить для и следующим образом:

Шаг 8

Используя это значение y = 3 , мы выполняем 2 обратные замены, чтобы получить значения размером x и z .

Сначала мы решаем z :

Шаг 10

Наконец, мы решаем для x:

Следовательно, решение системы уравнений выше x, y, z = 0.5,3,2,5

Методы замены и добавления

Результаты обучения

  • Используйте метод подстановки, чтобы найти решение (я) системы двух линейных уравнений.
  • Используйте метод сложения, чтобы найти решение (я) системы линейных уравнений.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы двух переменных с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы решить для второй переменной. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является полезным и практичным.

Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите ее с помощью метода подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ y & = x - 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x - 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x - 5y & = 1 \\ 2x - 5 \ left (x - 5 \ right) & = 1 \\ 2x - 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = - 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} - \ left (8 \ right) + y & = - 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение - [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ - \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = - 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x - 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем подстановки.Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как:

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x - 2y \ end {align} [/ latex]

Сначала решите оба уравнения относительно y:

[латекс] \ begin {align} y & = x-3 \\ y & = \ frac {3} {2} x - 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь введите [latex] x-3 = \ frac {3} {2} x - 2 [/ latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [латекс] x = -2 [/ latex].

Теперь вы можете заменить [latex] x = -2 [/ latex] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение для упорядоченной пары.Попробуйте.

Показать решение

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, так что нам не придется иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений - это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как сделать: данную систему уравнений решите методом сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выстроив соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, является противоположностью коэффициента [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex], не умножая его на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = - \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы - [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ - \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ - \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = - 1 && \ text {True} \ end { align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ x - 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении - [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], элементы x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x - 2y & = 11 \\ -3 \ left (x - 2y \ right) & = - 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = - 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ −3x + 6y & = - 33 \\ \ hline 11y & = - 44 \\ y & = - 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = - 11 \\ 3x - 20 & = - 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение - упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x - 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x - 7y & = 2 \\ 3x + y & = - 20 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = - 16 \\ 5x - 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое - [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное - [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = - 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x - 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x - 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x - 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = - 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = - 16 \\ 2x - 12 & = - 16 \\ 2x & = - 4 \\ x & = - 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x - 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} - \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = - 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = - 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = - 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [латекс] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} - \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} - \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Интеграция путем замены

«Интегрирование путем подстановки» (также называемое «u-подстановкой» или «Правило обратной цепочки») - это метод нахождения интеграла, но только тогда, когда его можно настроить особым образом.

Первый и самый важный шаг - написать наш интеграл в такой форме:


Обратите внимание, что у нас есть g (x) и его производная g '(x)

Как в этом примере:


Здесь f = cos , и мы имеем g = x 2 и его производную 2x
Этот интеграл годен!

Когда наш интеграл настроен таким образом, мы можем выполнить эту замену :

Затем мы можем интегрировать f (u) и закончить на , вернув g (x) как u .

Как это:

Пример: ∫cos (x 2 ) 2x dx

Мы знаем (сверху), что он находится в правильной форме для замены:

Теперь интегрировать:

∫cos (u) du = sin (u) + C

И, наконец, положим u = x 2 снова:

грех (x 2 ) + C

Таким образом, cos (x 2 ) 2x dx = sin (x 2 ) + C

Это отлично сработало! (Ну, я знал, что так и будет.)

Но этот метод, конечно, работает только с и некоторыми интегралами, и может потребоваться перестановка:

Пример: ∫cos (x 2 ) 6x dx

О нет! Это 6x , а не 2x , как раньше. Нашей идеальной установки больше нет.

Не бойтесь! Просто переставьте интеграл так:

∫cos (x 2 ) 6x dx = 3∫cos (x 2 ) 2x dx

(Мы можем извлечь постоянные множители вне интеграции, см. Правила интеграции.)

Тогда продолжайте, как прежде:

3∫cos (u) du = 3 sin (u) + C

Теперь положим u = x 2 снова:

3 грех (x 2 ) + C

Готово!

Теперь давайте попробуем пример посложнее:

Пример: ∫x / (x 2 +1) dx

Позвольте мне посмотреть . .. производная x 2 +1 равна 2x ... так что насчет того, чтобы переставить это так:

∫x / (x 2 +1) dx = ½∫2x / (x 2 +1) dx

Тогда имеем:

Затем интегрируйте:

½∫1 / u du = ½ ln (u) + C

Теперь положим u = x 2 +1 снова назад:

½ дюйма (x 2 +1) + C

А как насчет этого:

Пример: ∫ (x + 1) 3 dx

Дай посмотреть... производная x + 1 ... ну, это просто 1.

Итак, мы можем получить это:

∫ (x + 1) 3 dx = ∫ (x + 1) 3 · 1 dx

Тогда имеем:

Затем интегрируйте:

∫u 3 du = (u 4 ) / 4 + C

Теперь снова положим u = x + 1 :

(x + 1) 4 /4 + C

Мы можем развить эту идею так:

Пример: ∫ (5x + 2) 7 dx

Если бы это было в ЭТОЙ форме, мы могли бы это сделать:

∫ (5x + 2) 7 5 dx

Итак, давайте сделаем это так:

1 5 ∫ (5x + 2) 7 5 dx

1 5 и 5 отменяются, так что все в порядке.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск