Построить график функции у х2 4х 5: Постройте график функции у=х^2+4х-5

Содержание

Постройте график функции y x2 4х 5. График функции

«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента

х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции

y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные - при 0 у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу

х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:


Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2.

Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x)

.

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также

рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Вариант 1. Вариант 2. 1.Разложите на множители квадратный трехчлен


100-163-592 Аленушкина Н.Е.Контрольная работа №1
Квадратный трехчлен. Квадратичная функция.
Вариант 1
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 – 5х + 6; 2) 5у2 – 3у – 2.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у=3х2; 2)у= 14х+22.3.Постройте график функции у=х2 - 4х + 4. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= -0,5;
2)значение х при у=2;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=х2 – 8х; 2)у=5х-2; 3)у=12у2-5у-3.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=6х2 – 2 и у=11х.
Вариант 2
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 + 10х - 11; 2) 3у2 – 4у + 1.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у=2х2; 2)у= 14х2+2.3.Постройте график функции у=х2 - 2х + 1. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= -0,5;
2)значение х при у= -2;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=х2 + 9х; 2)у=3х-12; 3)у=15у2-6у+1.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=2х2 + 2 и у= 5х.
Вариант 3
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 – 8х + 7; 2) 5у2 – 8у + 3.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у= 12х2; 2)у= х-22.3.Постройте график функции у=х2 - 10х + 25. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= 2,5;
2)значение х при у=1;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=х2 + 12х; 2)у=5-2х; 3)у=13у2-5у+2.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=6х2 – 1 и у= - х.
Вариант 4
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 + 5х + 4; 2) 4у2 – 3у – 7.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у= -3х2; 2)у= 14х-32.3.Постройте график функции у=х2 - 4х + 3. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= -0,5;
2)значение х при у= - 1;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=3х2 + 2х; 2)у=5х+4; 3)у=1у2-8у-9.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=х2 – 3 и у=2х.
Вариант 5
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 – 7х + 6; 2) 9у2 + 2у – 7.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у= - 2х2; 2)у= 12х-32.3.Постройте график функции у=х2 + 4х - 5. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= -0,5;
2)значение х при у=2;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=х2 + 3х; 2)у=7-2х; 3)у=12у2+5у-7.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=15 - 2х2 и у=х.
Вариант 6
1.Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) х2 – 6х + 8; 2) 6у2 + 2у – 8.
2.Изобразите схематически график функции:
1) у= 5х2; 2)у= 13х+12.3.Постройте график функции у=х2 + 4х + 4. С помощью графика найдите:
1)значение у при х= -0,5;
2)значение х при у=1;
3)нули функции;
4)промежутки, в которых у >0 и у
1)у=х2 – 18х; 2)у=5х+3; 3)у=12у2-5у-3.
6.Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у=х2 – 21 и у= -4х.

Как построить график функций? Постройте график функции у 0 5 х2

Сегодня мы внимательно изучим функции, графиком которых является прямая линия.

Запиши в тетрадь тему урока

"Линейная функция и прямая пропорциональность".

Внимательно выполняй все задания и
старайся запомнить новые для тебя определения.

Запомни определение:
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
у = kx + b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа.

Например: если k = 0,5 и b = -2, то у = 0,5х - 2.

Задание:
Построить график линейной функции у = 0,5х - 2.

Составь таблицу значений пар (х, у).
Отметь их на координатной плоскости.
Соедини точки линией.

Проверь решение:
Построим график линейной функции у = 0,5х - 2.


Для построения графика у = -х + 3 вычислим координаты двух точек


Отметим их на координатной плоскости две точки и соединим их прямой.

А сможешь ли ты определить:
принадлежит ли точка А(36; 5) графику линейной функции ?

Да

Нет

А теперь сравни эти два графика и увидим, что у линейной функции у = kx + b,
еще до его построения можно "предугадать" расположение прямой линии на координатной плоскости!

Как?
Просто надо внимательно посмотреть на числа k и b...

И они многое нам расскажут!

Попробуй догадаться...









Функция у = 0,5х - 2 Функция у = -х + 3


Итак, наблюдаем и делаем выводы:
1) Первый пересекает ось ОУ в точке (0; -2), а второй в (0; 3)
!!! у первого b = -2, а у второго b = 3
Вывод: по числу b в формуле y = kx + b мы определим в какой точке прямая пересечет ось ординат.

2) Первый наклонен к положительному направлению оси ОХ под острым углом, а второй - под тупым углом.
!!! у первого k > 0, а у второй функции k
Вывод: если в формуле y = kx + b мы видим, что число k > 0 значит график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под острым углом;
если же число k Число k (коэффициент при х) называют за это - угловым коэффициентом.
Запомни это все! Нам такие знания еще не раз пригодятся

Если в формуле y = kx + b, мы возьмем b = 0, то получим формулу y = kx.

Запомни определение:
Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k - некоторое число не равное 0, х - переменная, называется прямой пропорциональностью.

Выполни в своей тетради задание:
Придумай несколько формул прямой пропорциональности с разными коэффициентами k и построй их графики в одной координатной плоскости.

Поскольку у прямой пропорциональности b = 0, то график пересечет ось ОУ в точке (0; 0).

На одной координатной плоскости мы можем нарисовать и несколько графиков!

У линейной функции график - прямая линия.
А прямые могут быть параллельными или пересекаться в одной точке...
Интересно, а до построения графиков, только посмотрев (внимательно!) на их формулы, мы может сделать вывод:

Графики этих функций - пересекутся,
графики этих функций - расположены параллельно.















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок алгебры в 9 классе по теме "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины" был построен на основе компьютерных технологии, применяя исследовательскую деятельность обучения.

Цели урока: Обучающая: Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, презентация на тему "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины", раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Программное обеспечение: презентация Microsoft PowerPoint "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины"

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение, обобщение и систематизация. Это этап урока сопровождается компьютерной презентацией.

График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f (х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f (х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.


1. Исследование графика функции у= |х|

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся сделают вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х 0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?

Слайд 3 и 4.

1. Построите график функции у=0,5 х 2 - 2|х| - 2,5

1) Поскольку |х| = х при х 0, у=0,5 х 2 - 2х - 2,5 . Если ху=0,5 х 2 + 2х - 2,5 .

2) Если рассмотрим график у=0,5 х 2 -2х - 2,5 при х

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 - х - 3. Если ху=0,25 х 2 + х - 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

(0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

у =0, х 2 -х -3 = 0

х 2 -4х -12 = 0

Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

На тетрадях ученики доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство: Если х 0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| - чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

Слайд 5

4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х 2 - 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х 2 - 2х0, т.е. если х
0 и х2, то |х 2 - 2х|= х 2 - 2х

Если х 2 - 2х

Видим, что на множестве х
0 и х2 графики функции

у = х 2 - 2х и у = |х 2 - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х 2 + 2х и у = |х 2 - 2х| совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у

Построить график функции у = |х 2 - х - 6|

1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х
-2 и х3, то |х 2 - х -6|= х 2 - х -6.

Если х 2 - х -6

Построим их.

2) Построим у = х 2 - х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Работа на тетрадях.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у

Действительно, поопределению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

Если же f(х) ) симметричнаточке(х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х).

Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

F(х)

Вывод: Для построения графика функции у=|f (х) |

1.Построить график функции у=f (х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х)

Слайды 8-13.

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |

Применяя определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры, построим графиков функции:

у = |2|х| - 3|

у = |х 2 - 5|х||

у = | |х 2 | - 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т. к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | - 3| (1-й способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , | х |>1,5 т.е. х1,5

а) у = 2х - 3 , для х>0

б) для х

2. Строим у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3

а) у = -2х + 3 , для х>0

б) для х

У = | 2|х | - 3|

1) Строим у = 2х-3, для х>0.

2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

у = | х 2 - 5|х| |

1. Строим у = х 2 - 5 |х|, для х 2 - 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х

а) у = х 2 - 5 х, для х>0

б) для х

2. Строим у = - х 2 + 5 |х| , для х 2 - 5 |х|

а) у = - х 2 + 5 х, для х>0

б) для х

У = | х 2 - 5|х| |

а) Строим график функции у = х 2 - 5 х для х>0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

3. Подведение итогов урока.

14,15 слайды.

у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f (х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f (х) |

1.Построить график функции у=f (х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f (х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т. к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Здравствуйте, Давид.

График функции представляет собой её геометрический образ. Он показывает, где на координатной плоскости находится точка, координаты которой (Х и У) связаны определенным математическим выражением (функцией).

Перед тем, как приступить к построению графика функций, сначала необходимо начертить оси координат ОХ и ОУ. Лучше всего для этого использовать масштабно - координатную бумагу. Далее следует определить тип функции, потому что у различных функций графики очень сильно отличаются. К примеру, линейная функция, о которой пойдет речь ниже, имеет график в виде прямой линии. После этого нужно определить область определения функций, т.е. ограничения для значений Х и У. К примеру, если Х находиться в знаменателе дроби, то его значение не может быть равным 0. Далее надо найти нули функции, то есть места пересечения графика функции с осями координат.

Приступим к построению графика функции, указанной в пункте а) вашего вопроса.

Функция у= - 6х + 4 , график которой требуется построить в первой задаче вашего вопроса, является линейной функцией, т.к. линейные функции представлены выражением y = kx + m. Областью определения линейной функции считается вся прямая ОХ. Параметр m в линейной функции определяет точку, в которой график линейной функции пересекает ось OY.

Для того, чтобы построить график линейной функции достаточно определить хотя бы две её точки, потому что графиком функции является прямая. Если найти больше точек, то можно построить более точный график. Вообще, при построении графика линейной функции необходимо определить точки, в каких график пересечет оси координат Х, У.

Итак, в вашем случае точки пересечения графика функции с осями координат будут такими:

При Х=0, У= -6*0+4=4 Таким образом, мы получили значение параметра m в линейной функции.

У=0, то есть 0= -6*Х+4, то есть 6х=4, следовательно Х=4/6=0,667

При Х= -1, У=-6*-1+4=10

При Х=1, У= -6*1+4=-2

При Х=2, У= -6*2+4=-8

Получив все вышеуказанные точки, вам остается только отметить их на координатной плоскости, соединить прямой линией, как показано в примере на рисунке, который прикреплен к данной статье.

Теперь построим график функции, указанной в пункте б) вашего вопроса.

Сразу видно, что функция у= 0,5х , из второй задачи, также является линейной функцией. В отличие от первого примера, в данном выражении отсутствует значение m, а это говорит о том, что график функции у= 0,5х проходит через начало осей координат, то есть в их нулевой точке.

При Х=0, У= 0,5*0=0

При Х= 1, У=0,5*1=0,5

При Х=2, У= 0,5*2=1

При Х=3, У=0,5*3=1,5

При Х= -1, У=0,5*-1= -0,5

При Х= -2, У= 0,5*-2= -1

При Х= -3, У=0,5*3= -1,5

Теперь, имея все вышеуказанные значения Х и У вы без труда сможете поставить эти точки на координатной плоскости, соединить их прямой линией при помощи линейки, и у вас получится график линейной функции у=0,5х

Ниже я привела ссылку, перейдя по которой, вы можете найти уроки по математике, алгебре, геометрии и русскому языку. Я бы посоветовала вам прочитать несколько тем, которые касаются построения графиков функций. В данном учебном материале очень наглядно показано, как можно построить графики линейных функций, а в темах, которые расположены далее можно увидеть примеры построения графиков других функций. Все написано достаточно подробно, поэтому это будет понятно не только тем, кто давно закончил школу и имеет представление о том, как можно построить график функции, но и тем, кто только начинает постигать азы науки. Я считаю, что увидев наглядно на конкретных примерах, как строятся графики функций, вы потом без проблем сможете решить любую задачу по построению графика функций.

Контрольная работа 9 класс "Степенная функция" | Материал по алгебре (9 класс):

Контрольная работа № 3 по теме «Степенная функция»

1 вариант

1. Найти область определения функции:

1) у =      2) у =        

2. Постройте  график  функции  у = х2 – 4х – 5.  Найдите  с  помощью графика:

а) значение у при х = 3;

б) значения х, при которых у = - 5;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у 

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Исследовать функцию на четность и нечетность:

1) у = 5х8 – 4х2        2) у =                                            

4. В одной системе координат построить графики данных функций и найти точки их пересечения:

          у =                                                                                            

          у = х2                                                                                      

5. Решить уравнение:

  1.  = х – 1                                     2)                                                                            

6. Не строя графики функций, решить систему уравнений:

            у =  х2 + 3х – 1                                                                            

            у =                                                                                                

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = (x – 2)3 + 4 на отрезке

Контрольная работа № 3 по теме «Степенная функция»

2 вариант

1. 2-2x-3) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция состоит из трех квадратных трехчленов. разложим их на множители по формуле

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где х1 и х2 - корни квадратных уравнений.

Все три квадратных уравнения приведенные. Это значит, что можно найти их корни по теореме Виета. Именно поэтому я сразу напишу разложения этих трехчленов на множители. Конечно, решать через дискриминант никто не запрещал и ошибкой это не будет.

Итак, после разложения на множители функция примет такой вид:

Видно невооруженным глазом, что скобки из знаменателя сокращаются со скобками из числителя. Это просто супер-пупер! Но надо обязательно оговориться, что знаменатель не может быть равен нулю, а значит, что x ≠ -1 и x ≠ 3. Эти исключения подразумевают выколотые точки на нашем будущем графике.

После сокращения раскрываем оставшиеся скобки.

О, чудо! Это квадратичная функция! График - парабола!

Ищем ее вершину О (m; n).

Первая координата m, которую мы будем отмечать на оси Ох, находится по формуле.

А чтобы найти вторую координату надо m подставить в упрощенную ранее функцию и посчитать.

В общем, вершина параболы имеет координаты (-0,5; -2,25).

Чертим координатную плоскость и отмечаем вершину.

Мастера по рисованию парабол могут ее начертить, не прибегая к таблице по нахождению координат других точек. А вот тем, кто не в очень теплых отношениях с параболами, придется ее рисовать.

Поскольку я мастер - обойдусь без таблицы 🙂

Не забываем про выколотые точки!

В условии задачи сказано, что некоторая прямая y = m должна иметь одну общую точку с параболой. Эта прямая будет параллельна оси Ох и одну общую точку она будет иметь в выколотых точках и вершине параболы.

Ответ: 10; -2; -2,25.

 

P.S. Бывает так, что график нарисован очень криво. Как не ошибиться в координатах выколотых точек? Очень просто. В нашей задаче x ≠ -1 и x ≠ 3. Подставь эти числа в функцию (упрощенную, разумеется), посчитай и найдешь, чему должны быть не равны координаты по игреку (у ≠ -2 и у ≠ 10).

РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи: a) Представьте функцию в форме y = a (x

РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 - 4x - 5, выполнять следующие задачи: а) Представьте функцию в виде y = a (x - h) 2 + k. Ответ: Показать работы в этой области б) Что такое т Алгебра -> Квадратичные уравнения и параболы -> РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи: а) Представьте функцию в виде y = a (x - h) 2 + k.Ответ: Показать работы в этой области б) Что такое т Войти в систему




Вопрос 71677: 2) Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи:
a) Представьте функцию в форме y = a (x - h) 2 + k. 2
(x-2) перемещает все точки 2 вправо.
Когда x = 2, y = -9; -9 перемещает все точки на 9 вниз.
========
Ура,
Стэн Х.



РЕШЕНИЕ: Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи: a) Поместите функцию в форму y = a (x

РЕШЕНИЕ: Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи : а) Представьте функцию в виде y = a (x - h) 2 + k.Ответ: Показать работы в этой области б) Что такое е Алгебра -> Квадратичные уравнения и параболы -> РЕШЕНИЕ: Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи: а) Представьте функцию в виде y = a (x - h) 2 + k. Ответ: Показать работы в этой области б) Что такое е Войти в систему




Вопрос 52432: Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи:
a) Представьте функцию в форме y = a (x - h) 2 + k.
Ответ:
Показать работы в этой области

б) Какое уравнение представляет собой линия симметрии графика этой функции?
Ответ:

c) Постройте график функции, используя уравнение из части a. Объясните, почему нет необходимости наносить точки на график при использовании y = a (x h) 2 + k.
Показать график здесь.

Пояснения к графическому изображению.

г) Опишите своими словами, как этот график сравнивается с графиком y = x2?
Ответ:


Ответить ванетикс (6) (Показать источник): Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!
Для функции y = x2 - 4x - 5 выполните следующие задачи:
a) Представьте функцию в виде y = a (x - h) 2 + k.
Ответ: a = 1, h = 2, k = -9
Показать работы в этой области
= {x2-2 (x) (2) +22} -22-5
= (x-2) 2-9
б) Какое уравнение представляет собой линия симметрии графика этой функции?
Ответ: x-2 = 0 .... или ... x = 2 - линия симметрии
c) Постройте график функции, используя уравнение из части a. Объясните, почему нет необходимости наносить точки на график при использовании y = a (x h) 2 + k.
Показать график здесь.
Извините, но мой график не отображается. Надеюсь, остальная информация вам поможет.Если вы хотите изобразить это самостоятельно, первая парабола изгибается вверх, касаясь (0,0), как U-образная форма, а следующая парабола касается точек на оси x в -1 и -5, а ветекс - в -9. Он по-прежнему изгибается вверх, как буква U.
Объяснение построения графиков.
Нарисуйте линию симметрии x = 2. Постройте вершину в точке (2, -9). Постройте кривую симметрично вдоль линии симметрии, принимая 2 точки пересечения на оси x как
x-2 = + 3 или -3 .... то есть x = 5 и -1
г) Опишите своими словами, как этот график сравнивается с графиком y = x2?
Ответ: Имеется смещение вершины от (0,0) до (2, -9)

1) Используя квадратное уравнение x2 - 4x

Домашнее задание ответов / архив вопросов / 1) Используя квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0, выполните следующие задачи: а) Решите факторинг

1) Используя квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0, выполните следующие задачи: а) Решите факторинг
Математика