Уравнение с дробью как решать: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом.

Следует только учесть следующие моменты:

  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Урок 53. обобщение и систематизация знаний по теме «смешанные дроби. уравнения» — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 53

Обобщение и систематизация знаний по теме «Смешанные дроби. Уравнения»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение, вычитание, умножение и деление смешанных дробей с разными знаками;

– уравнения, корни уравнения;

– уравнение как перевод условия задачи на математический язык;

– решение задач с помощью уравнений.

Тезаурус

Натуральные числа – это числа, которые используются при подсчёте предметов.

Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Положительная смешанная дробь есть сумма натурального числа и правильной дроби.

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получают верное числовое равенство.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Учение – путь к умению!» –гласит известная поговорка. Сегодня мы будем учиться решать уравнения со смешанными дробями. Для этого сегодня мы повторим действия сложения, умножения, вычитания и деления смешанных дробей.

Для начала вспомним правило сложения (вычитания) смешанных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо:

1) отдельно сложить (вычесть) их целые части;

2) отдельно сложить (вычесть) дробные части.

Если дроби с разными знаменателями, то нужно их привести к общему знаменателю.

При этом необходимо помнить, что дроби складываются, если они с одинаковыми знаками, при этом знак дробей сохраняется. Если дроби с разными знаками, то они вычитаются. Из большего модуля вычтем меньший и перед разностью поставим знак слагаемого с большим модулем. При необходимости из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят её в дробную часть.

А теперь вспомним правило умножения смешанных дробей.

Сначала переводим смешанные дроби в неправильные. Затем выполняем вычисления с дробями: определяем знак результата и выполняем действия с модулями (с положительными дробями), находим произведение отдельно числителей и отдельно знаменателей. Произведение числителей пишем числителем новой дроби, а произведение знаменателей, знаменателем новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака произведения используем следующее правило. Если количество отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если количество отрицательных множителей нечётное, то знак произведения будет отрицательным.

Чётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «+»

Нечётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «–»

Вспомним общий алгоритм деления смешанных дробей.

Сначала переводим смешанную дробь в неправильную.

Затем переводим деление в умножение, переворачивая вторую дробь, т.е. умножаем делимое на число обратное делителю. И находим произведение числителей и знаменателей. Это будут соответственно числитель и знаменатель новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака частного используем такое же правило, как и при умножении. Если количество отрицательных дробей чётное, то частное будет положительным, если количество отрицательных дробей нечётное, то знак частного будет отрицательным.

Все арифметические действия можно использовать при решении уравнений и задач, которые сводятся к уравнениям. Напомним алгоритм решения задач с помощью уравнений.

Во-первых, неизвестную величину нужно обозначить буквой.

Во-вторых, используя условие задачи, составить уравнение.

Затем решить это уравнение.

И ответить на вопрос задачи.

Решая уравнение, мы можем использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя знак числа на противоположный;

– делить или умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Задача на движение

Путь от пункта А до пункта В у мотоциклиста занимает 30 мин, а у велосипедиста – 2 часа. Скорость мотоциклиста на 42 км/ч больше скорости велосипедиста.

С какой скоростью движется велосипедист?

Решение

Обозначим через х км/ч скорость велосипедиста и сведём известные и неизвестные величины в таблицу.

Тогда скорость мотоциклиста (х + 42) км/ч.

Путь велосипедиста 2х км.

Расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом – одинаковое.

Составим уравнение:

Решаем уравнение.

Умножим левую и правую часть уравнения на 2:

х + 42 = 4х.

Перенесём х в правую часть с противоположным знаком:

42 = 4х – x,

42 = 3x.

Разделим обе части уравнения на 3:

x = 14 (км/ч).

Ответ: скорость велосипедиста составляет 14 км/ч.

Разбор заданий тренировочного модуля

Решение

Чтобы сравнить данное выражение с нулём, нужно вспомнить, что значит число в третьей степени. Это значит, что число умножается само на себя три раза, В условии задачи – отрицательное число, при умножении знак «минус» будет повторяться три раза, значит, в результате получится отрицательное число, а любое отрицательное число меньше нуля.

Тип 2. Девочке задали на лето прочитать книгу, в которой х страниц. Она читала её три дня. В первый день девочка прочитала 21 страницу книги. Во второй день она прочитала 1/5 книги. В третий день она прочитала 1/2 от прочитанного во второй день. Сколько страниц она прочитала в третий день?

Решение

Перенесём 21 в правую часть уравнения и выполним арифметические действия с х в левой части уравнения:

Ответ: 3 страницы было прочитано в третий день.

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам, а также решать уравнения, неравенства, системы уравнений/неравенств и выражения с логарифмами, вычислять пределы функций, определенные/неопределенные интегралы и производные любого порядка (дифференцирование), производить действия с комплексными числами, калькулятор дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

  1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
  2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
  3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
  4. C — очистить поле ввода.
  5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
  6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
  7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. 2}(решить неравенство)

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой loge(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: loge(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
ba∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) — производная первого порядка;
f»(x) — производная второго порядка;
f»'(x) — производная третьего порядка.
fn(x) — производная любого n-о порядка.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр. ). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

.

Как решать уравнения с дробями онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В 5 классе школьники по математике изучают довольно много новых тем, одной из которых будет дробные уравнения. Для многих это довольно сложная тема, в которой родители должны помочь разобраться своим детям, а если родители забыли математику, то они всегда могут воспользоваться онлайн программами, решающими уравнения. Так на примере вы сможете быстро понять алгоритм решения уравнений с дробями и помочь своему ребенку.

Так же читайте нашу статью «Решить дробное уравнение онлайн решателем»

Ниже для наглядности мы решим несложное дробное линейное уравнение следующего вида:

\[\frac{x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Чтобы решить данного рода уравнения необходимо определить НОЗ и умножить на него левую и правую часть уравнения:

НОЗ = 6

\[\frac {x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Благодаря этому мы получим простое линейное уравнение, поскольку общий знаменатель, а также знаменатель каждого дробного члена сократится:

\[2(2-x)-9x=30\]

Далее нам необходимо открыть скобки:

\[2x-4-9x=30\]

Сделаем перенос членов с неизвестной в левую сторону:

\[-7x=30+4\]

Выполним деление левой и правой части на -7:

\[x=-\frac{34}{7}\]

Из полученного результата можно выделить целую часть, что и будет конечным результатом решения данного дробного уравнения:

\[x=-4\frac {6}{7}\]

Где можно решить уравнение с дробями онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение уравнений умножением

Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac{x}{a} = b$.

Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
         $x = ab.$

То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

Так, $x = \frac{ax}{a} = \frac{3x}{3} = \frac{(a + b)x}{a + b} = \frac{dx + 5x}{d + 5}$. Для каждого из этих примеров, x умножается и делится на одну и ту же величину, и такое действие не изменяет значения величин. Поэтому,

Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{c} + a = b + d$
Умножаем обе стороны на      $c$
Произведение будет        $x + ac = bc + cd$
И         $x = bc + cd — ac$.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{a+b} + d = h$
Умножаем на $a + b$      $x + ad + bd = ah + bh$.
И         $x = ag + bh — ad — bd.$

Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

Пример 3. Решите уравнение      $\frac{6}{10-x} + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$       $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда          $x = 4$.

Хотя это и не обязательно, но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

Возьмем для примера      $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем на a      $x = \frac{ad}{b} + \frac{ah}{c}$
Умножаем на b      $bx = ad + \frac{abh}{c}$
Умножаем на c      $bcx = acd + abh$.

Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В этом же самом уравнении      $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем члены на abc      $\frac{abcx}{a} = \frac{abcd}{b} + \frac{abch}{c}$

После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим      $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

В уравнении можно избавиться от дробей, умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели.

При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

Уравнение      $\frac{a — d}{x} = c — \frac{3b — 2hm — 6n}{r}$ является
равным этому уравнению      $ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx$.

Решение уравнений — калькулятор от Intemodino

Могу ли я решить неполные квадратные уравнения, например без линейного или свободного члена?
Да, калькулятор позволяет решать полные и неполные квадратные уравнения. В зависимости от того, в каком виде записано уравнение, Вы можете выбрать Advanced формат или использовать встроенные форматы, которые позволяют вводить только коэффициенты уравнения.
Как вводить уравнения со скобками?
Для того чтобы ввести уравнение, содержащее скобки, надо выбрать Advanced формат.
Как вводить уравнения с дробями?
В зависимости от того какой ввод уравнения Вы выбрали, существует два способа ввода дробных коэффициентов:
— если Вы собираетесь вводить уравнение, используя встроенные форматы, то Вам надо переключится в режим ввода дробей, выбрав «Дроби» в верхнем меню калькулятора.
— если Вы выбрали ввод уравнения в формате Advanced, для того чтобы отделить целую часть от дробной при вводе смешанных чисел, используйте знак подчеркивания. Между числителем и знаменателем дроби ставится наклонная черта. Пример: 3_1/2, 5/8 и т.д.
Где я могу посмотреть подробное решение уравнения?
При решении линейних и квадратных уравнений наш математический калькулятор показывает пошаговое решение с пояснениями, что может быть полезно не только школьникам, но и их родителям при проверке домашних заданий.
Как распечатать решение уравнения?
Вы можете отправить решение конкретного уравнения или историю всех проведенных вычислений по электронной почте и затем распечатать решение из почты.
Где найти ранее решённые уравнения?
Чтобы просмотреть или отредактировать ранее решённые уравнения, используйте стрелки «вперед» и «назад» в верхнем меню калькулятора.
Какой алгоритм используется для решения кубических уравнений?
Калькулятор решает кубические уравнения, используя формулу Кардано.
Каким способом решаются уравнения четвертой степени?
Для решения уравнений четвертой степени используется метод Феррари.

Конспект урока по теме «Решение уравнений » 5 класс

Технологическая карта урока

Конспект урока по математике.

Класс 5 Учебник: Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс, Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.

Учитель: Булавина Е.Н.

Тема урока: Решение уравнений.

Цели урока: 1) образовательная: учить решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби;

2) развивающая: развитие математической речи у учащихся и логического мышления

3) воспитательная: учить сотрудничать, осуществляя взаимопомощь и взаимоконтроль.

Задачи урока: выделять и структурировать информацию, существенную для решения проблемы, под руководством учителя, осуществлять рефлексию своего отношения к содержанию темы по заданному алгоритму.

Тип урока: урок изучения нового материала

Образовательная технология: развивающее обучение

Основной метод обучения: решение задач под руководством учителя.

Средства обучения: доска, проектор, компьютер.

Цели урока как планируемые результаты обучения:

Структура урока

формулировать информационный запрос

Регулятивные УУД:

определять цели учебной деятельности

Поисково-исследователь-ский этап

• организовать осмысленное восприятие новой информации

Фронтальная, индивидуальная

1. Сообщает 1 часть информации по теме урока

2. Предлагает ответить на вопросы, которые получены из 1 части рассказа.

3. Сообщает 2 часть информации. Предлагает записать выводы и решить уравнения.

4. Предлагает найти ответы на вопросы в ходе практической работы.

1. Слушают новый материал.

2. Делают пометки, называют вопросы и дают на них ответы.

3. Слушают, записывают и решают.

4. Формулируют новые вопросы по изучаемой теме.

Познавательные УУД:

извлекать необходимую информацию из прослушанных текстов;

структурировать знания;

Коммуникативные УУД:

вступать в диалог, с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Предметные УУД:

давать определения новым понятиям темы;

называть способы решения уравнения.

Практический этап

• обеспечить осмысленное усвоение и закрепление знаний

Индивидуальная, фронтальная

1. Дает задание для учащихся , организует обсуждение результатов ее выполнения.

2. Помогает впомнить понятия «уравнение», «равенство»; «корень уравнения».

3. Дает задание для учащихся, организует обсуждение ее результатов.

1. Выполняют задания, сообщают о результатах.

2. Слушают объяснение учителя.

3. Выполняют задания, сообщают о результатах.

Предметные УУД:

Различать способы решения уравнений, правильно формулировать ход решения уравнений, находить неизвестные компоненты, применять на практике полученные выводы

Познавательные УУД:

анализировать и сравнивать объекты, подводить под понятие;

Рефлексивно-оценочный этап

• осмысление процесса и результата деятельности

Индивидуальная, фронтальная

1. Предлагает оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы.

2. Предлагает каждому учащемуся высказать свое мнение в виде фразы: телеграммы

1. Оценивают степень достижения цели, определяют круг новых вопросов.

2. Выборочно высказываются, делятся друг с другом мнением

Регулятивные УУД:

констатировать необходимость продолжения действий

Познавательные УУД:

решать различные виды уравнений

Коммуникативные УУД:

адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании

Ход урока

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

Учащиеся готовы к началу работы.

Этап актуализация знаний.

Этап изучение нового материала

Учитель: Открываем тетради, записываем число, классная работа.

1 слайд:

— Внимательно их изучите, и найдите числа, которые должны быть записаны в пустых клетках.

— Какие компоненты неизвестны в первой таблице, во второй?

— Какие эти числа, как они обозначаются?

— Давайте запишем, какие равенства у нас получаются.

Как называются эти равенства?

– Кто догадался, какая тема сегодняшнего урока?

1.Самостоятельно обдумывают.

2. Дают ответы на вопросы.

— 2,1 слагаемое, формулируют правила нахождения неизвестного слагаемого.

— вычитаемое, уменьшаемое, формулируют правила нахождения неизвестного компонента.

3. Неизвестные, они обозначаются буквой х.

4. Делают записи в тетради.

5. Учащиеся внимательно смотрят на записи, отвечают на вопросы. Уравнения.

4. Ребята объявляют тему урока и записывают в тетради: « Решение уравнений».

5. Формулируют цель: учиться решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби.

6. Формулируют задачи:

  1. вспомнить основные понятия, свойства, которые можно отнести к уравнениям;

  2. изучить материал учебника по этой теме;

  3. внимательно слушать учителя;

делать необходимые записи в тетрадях.

1. Отвечают на вопросы:

1) решить уравнение: найти все его корни или доказать, что их нет. Записывают определение.

2) корнем уравнения является число, при подстановке которого в уравнение, уравнение становится верным равенством.

3) Решают уравнения по алгоритму.

1) х=0,

Записывают в тетрадях вывод.

2) у уравнения нет решения, следовательно, нет корней, записывают вывод.

3) Записывают уравнения в тетрадях, предлагают возможные варианты их решения:

1 способ решения 3 уравнения: выполнить действие в правой части, а потом найти неизвестный компонент.

2 способ: найти неизвестный компонент, а за тем выполнить действие. Выполняют проверку.

Уметь правильно определять неизвестный компонент и формулировать правило его нахождения.

Уметь самостоятельно формулировать тему урока, определять цели учебной деятельности.

Уметь правильно и точно излагать свои мысли, отвечая на вопросы учителя, давать определения новым понятиям; решать уравнения по правилу нахождения неизвестного компонента.

— Исходя из названия темы, давайте сформулируем цель нашего урока.

— Для того чтобы достичь цели урока, какие задачи нам надо поставить?

1.Учитель задает вопросы.

– А что значит «решить уравнение»?

— Что такое корень уравнения?

— Давайте вернемся к началу нашего урока. В тетрадях решим получившиеся уравнения по правилу отыскания неизвестных компонентов.


на доске


самостоятельно


на доске


самостоятельно

слайд 2.

— чему равен корень первого уравнения?

— чему равен корень второго уравнения?

Учитель предлагает решить 3 уравнение на доске и сделать проверку.

Предлагает решить 4 уравнение.

Уметь различать способы решения уравнений, правильно формулировать ход решения уравнения, делать проверку решения уравнения, применять на практике полученные выводы.

Физпауза

А сейчас вам предстоит очень сложное задание, поэтому предлагаю вам отдохнуть и собраться с силами.

Учитель говорит строчку стихотворения и делает паузу, а в это время дети про себя повторяют строчки с закрытыми глазами.

Глазки прикрыли, ручки сложили,

Головки опустили, ротик закрыли.

И затихли на минутку,

Чтоб не слышать даже шутку, чтоб не видеть никого, а себя лишь одного!

Открыли глазки, все внимание на экран.

Выполняют упражнение.

Отдых и концентрация внимания перед решением сложной задачи

Этап первичное осмысление и закрепление знаний

Учитель детям предлагает внимательно посмотреть на решение уравнения и найти ошибки. Играют в игру «День, ночь».

Слайд 3.

Чему равен корень уравнения?

Учитель предлагает ребятам сравнить свое решение с эталоном.

  1. Играют в игру «День, ночь»: когда наступает «ночь» — дети с закрытыми глазами на пальцах показывают количество ошибок, которое они нашли в решении. Когда наступает «день» — дети открывают глаза и вместе с учителем обсуждают найденные ошибки.

  2. 2. Записывают правильное решение уравнения самостоятельно в тетрадях.

  1. х = ¼

4. Выполняют проверку своего решения с эталоном на экране.

Уметь анализировать решение уравнения и исправлять найденные ошибки.

Этап закрепление изученного материала

1. Решить №343 по вариантам с последующей проверкой решения, способом обмена тетрадей по парте.

2. №348 (а,б).

1. Делают записи в тетрадь. После выполнения задания меняются тетрадями с соседом по парте и выполняют проверку решения. Один из учеников делает проверку с комментарием.

2. Решают самостоятельно, сверяют с доской, один из учеников решает у доски.

Уметь решать уравнения, содержащие обыкновенные дроби.

Этап подведение итогов. Домашнее задание.

-Наш урок подходит к концу, с начала запишем домашнее задание, затем подведем итоги.

— На экране:

— Ваши вопросы по домашнему заданию.

— А теперь подведем итоги: Что мы сегодня делали на уроке? Что мы узнали? На все ли вопросы мы получили ответы? Что вам понравилось больше всего?

— Давайте еще раз вспомним определение уравнения, корня уравнения.

— Итог урока каждый из вас подведет с помощью телеграммы; то есть в виде одного краткого предложения, которое выразит ваше отношение к уроку.

Ребята записывают домашнее задание в дневниках.

Просматривают домашнее задание, задают вопросы

Проводят самоанализ, отвечают на вопросы; вспоминают правила; определение уравнения, корня уравнения.

В конце своей работы каждый ученик пишет телеграмму. По желанию зачитывают на весь класс.

Уметь проводить самоанализ своих знаний, определять круг новых вопросов, адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании.

11.4 — Дробные уравнения

11.4 — Дробные уравнения

11.4 — Дробные уравнения

Перед чтением этого раздела вы можете изучить следующие темы:
Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены. В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , которое содержит дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:
  • Посмотрите на знаменатели всех членов дроби и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей).
  • Умножьте обе части уравнения на НОК.
  • Распределите НОК по обеим сторонам уравнения.
  • Уравнение больше не содержит дробных членов, и вы можете продолжить его решение. с помощью основных процедур решения уравнений.
  • Проверить решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там возможны две проблемы:
    • Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то НОК будет также содержат x , и умножение обеих частей уравнения на НОК даст увеличьте степень x в уравнении.Это часто приводит к посторонним решениям.
    • При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, которое приводит к нулевому знаменателю любого члена дроби, должно быть отброшено потому что деление на ноль запрещено в математике.



Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Знаменатели дробей равны 3, 2 и 6. НОК этих чисел равняется 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим сторонам уравнения:
4 x — 3 = 6 x + 7.
Теперь дроби очищены, поэтому уравнение больше не является дробным. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части.Это дает:
−2 x = 10.
Разделим обе части на −2. Это дает решение:
х = −5.
Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23 / 6 = -23 / 6, поэтому решение подтверждается.

Пример 2: Решите это дробное уравнение для x :
Решение: У дробей знаменатели x 2 + x — 2, x + 2 и x — 1.Может показаться, что LCM — всего лишь продукт всех трех, но поскольку x 2 + x — 2 можно разложить на множители как ( x + 2) ( x — 1), LCM на самом деле просто ( x + 2) ( x — 1). Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим сторонам уравнения:
9 = 3 ( x — 1) + 7 ( x + 2).
Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите его обычными методами. Еще раз распределите в правой части:
9 = 10 x + 11.
Соберите постоянные термины в левой части:
−2 = 10 х .
Разделите обе части на 10. Это дает решение:
х = -1/5.
Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение.Это дает -25 / 6 = -25 / 6, поэтому решение подтверждается.

Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно будет отклонено, потому что это приводит к делению на ноль . Уравнение идентично уравнению один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного члена. Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в примере выше.Умножьте обе части уравнения на НОК, который снова равен ( x + 2) ( x — 1):
Распределите по обеим сторонам уравнения:
9 = −3 ( x — 1) + 7 ( x + 2).
Еще раз распределите в правой части:
9 = 4 x + 17.
На этот раз решение x = −2. Если мы попытаемся подставить его обратно в исходное уравнение, мы получим деления на ноль в двух дробях.Поэтому мы должны отказаться от этого решения и заявить, что уравнение не имеет решения .



Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Решение уравнений путем очистки дробей

Результаты обучения

  • Используйте наименьший общий знаменатель для исключения дробей из линейного уравнения перед его решением
  • Решите уравнения с дробями, которые требуют нескольких шагов

Вы можете чувствовать себя ошеломленным, когда видите дроби в уравнении, поэтому мы собираемся показать метод решения уравнений с дробями, в котором вы используете общий знаменатель, чтобы исключить дроби из уравнения. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.

Обратите внимание на то, что каждый член в уравнении умножается на наименьший общий знаменатель. Вот что отличает его от оригинала!

ПРИМЕР

Решение: [latex] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex].

Решение:

[латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} \ quad {LCD = 8} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей, [латекс] 8 [/ латекс].Это очищает фракции. [латекс] \ color {красный} {8 (} \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} \ color {red} {)} = \ color {red} {8 (} \ frac {1} {4} \ color {red} {)} [/ latex]
Использовать распределительную собственность. [латекс] 8 \ cdot \ frac {1} {8} x + 8 \ cdot \ frac {1} {2} = 8 \ cdot \ frac {1} {4} [/ латекс]
Упростите — и заметьте, никаких дробей! [латекс] x + 4 = 2 [/ латекс]
Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений. [латекс] x + 4 \ color {red} {- 4} = 2 \ color {red} {- 4} [/ latex]
Упростить. [латекс] x = -2 [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = -2 [/ latex]

[латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex]

[латекс] \ frac {1} {8} (\ color {red} {- 2}) + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} { 4} [/ латекс]

[латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex]

[латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {4} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex]

[латекс] \ frac {2} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex]

[латекс] \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} \ quad \ checkmark [/ latex]

В последнем примере наименьший общий знаменатель был [латекс] 8 [/ латекс].Теперь ваша очередь найти ЖК-дисплей и очистить дроби, прежде чем решать эти линейные уравнения.

Обратите внимание, что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решили ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить!

Решите уравнения, очистив знаменатели

  1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
  2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Это очищает фракции.
  3. Выделите переменные члены с одной стороны и постоянные члены с другой стороны.
  4. Упростите обе стороны.
  5. Используйте свойство умножения или деления, чтобы коэффициент переменной был равен [latex] 1 [/ latex].

Вот пример с тремя переменными членами. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы упростите три члена переменной, а затем выделите переменную.

Пример

Решение: [латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex].

Показать решение

Решение:
Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. [латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x \ quad {LCD = 12} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на [латекс] 12 [/ латекс]. [латекс] \ color {red} {12} (7) = \ color {red} {12} \ cdot (\ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2 } {3} x) [/ латекс]
Распространить. [латекс] 12 (7) = 12 \ cdot \ frac {1} {2} x + 12 \ cdot \ frac {3} {4} x-12 \ cdot \ frac {2} {3} x [/ латекс ]
Упростите — и заметьте, никаких дробей! [латекс] 84 = 6x + 9x-8x [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 84 = 7x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 7 [/ латекс]. [латекс] \ frac {84} {\ color {red} {7}} = \ frac {7x} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить. [латекс] 12 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [латекс] x = 12 [/ латекс].
[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex]

[латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (\ color {red} {12}) + \ frac {3} {4} (\ color {red} {12}) — \ frac {2} {3} (\ color {red} {12}) [/ latex]

[латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} 6 + 9-8 [/ латекс]

[латекс] 7 = 7 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

А теперь попробуйте аналогичную задачу. Очистите дроби, упростите и решите.

Внимание!

Одна из самых распространенных ошибок при очистке дробей — это забвение умножения ОБЕИХ сторон уравнения на ЖК-дисплей. Если ваш ответ не проходит, убедитесь, что вы умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей.

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы увидите, что это уравнение похоже на уравнение с переменными с обеих сторон, которое мы решили ранее.Не забудьте выбрать переменную сторону и постоянную сторону, чтобы помочь вам организовать свою работу.

Пример

Решение: [латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex].

Показать решение

Решение:

Найдите на ЖК-дисплее все дроби в уравнении. [латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2}, \ quad {LCD = 6} [/ latex]
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей. [латекс] \ color {red} {6} (x + \ frac {1} {3}) = \ color {red} {6} (\ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2 }) [/ latex]
Распространить. [латекс] 6 \ cdot {x} +6 \ cdot \ frac {1} {3} = 6 \ cdot \ frac {1} {6} x-6 \ cdot \ frac {1} {2} [/ латекс ]
Упростите — больше никаких дробей! [латекс] 6x + 2 = x-3 [/ латекс]
Вычтите [латекс] x [/ латекс] с обеих сторон. [латекс] 6x- \ color {красный} {x} + 2 = x- \ color {красный} {x} -3 [/ latex]
Упростить. [латекс] 5x + 2 = -3 [/ латекс]
Вычтем 2 с обеих сторон. [латекс] 5x + 2 \ color {red} {- 2} = — 3 \ color {red} {- 2} [/ latex]
Упростить. [латекс] 5x = -5 [/ латекс]
Разделить на [латекс] 5 [/ латекс]. [латекс] \ frac {5x} {\ color {red} {5}} = \ frac {-5} {\ color {red} {5}} [/ latex]
Упростить. [латекс] x = -1 [/ латекс]
Проверить: Заменить [латекс] x = -1 [/ латекс].
[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex]

[латекс] (\ color {red} {- 1}) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {6} (\ color {red} {-1}) — \ frac {1} {2} [/ latex]

[латекс] (- 1) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {1} {2} [/ latex ]

[латекс] — \ frac {3} {3} + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {3} { 6} [/ латекс]

[латекс] — \ frac {2} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {4} {6} [/ latex]

[латекс] — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} \ quad \ checkmark [/ latex]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с дробями, в котором переменные стоят по обе стороны от знака равенства. Ответ может быть дробным.

В следующем видео мы показываем еще один пример решения уравнения, которое содержит дроби и переменные по обе стороны от знака равенства.

В следующем примере мы начинаем с уравнения, в котором переменный член заключен в скобки и умножен на дробь. Вы можете очистить дробь, или, если вы используете свойство распределения, оно удалит дробь. Вы понимаете почему?

ПРИМЕР

Решение: [латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ left (4x + 2 \ right) [/ latex].

Показать решение

Решение:

[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс]
Распространить. [латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ cdot4x + \ frac {1} {2} \ cdot2 [/ latex]
Упростить. Теперь дробей нет! [латекс] 1 = 2x + 1 [/ латекс]
Вычтем 1 с обеих сторон. [латекс] 1 \ color {red} {- 1} = 2x + 1 \ color {red} {- 1} [/ latex]
Упростить. [латекс] 0 = 2x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 2 [/ латекс]. [латекс] \ frac {0} {\ color {red} {2}} = \ frac {2x} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить. [латекс] 0 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = 0 [/ latex].
[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс]

[латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (4 (\ color {red} {0}) + 2) [/ latex]

[латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (2) [/ латекс]

[латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {2} {2} [/ latex]

[латекс] 1 = 1 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, в котором переменный член в скобках умножен на дробь.

Уравнения с дробями — Полный курс алгебры

24

Очистка от фракций

2-й уровень

Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать. Методика называется очисткой от фракций.

Пример 1. Решите относительно x :

x
3
+ x — 2
5
= 6.

Решение . Очистить следующие дроби:

Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей. Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

15 · x
3
+ 15 · x — 2
5
= 15 · 6

Слева распределите по 15 на каждый член. Каждый знаменатель теперь разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:

5 x + 3 ( x -2) = 90.
Легко решается следующим образом:
5 x + 3 x — 6 = 90
8 x = 90 + 6
x = 96
8
= 12.

Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому мы сначала разделим НОК на каждый знаменатель и, таким образом, очистим от дробей.

Мы выбираем , кратное каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

.
x
2
5 x
6
= 1
9

Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе стороны на 18 — и отмените.

9 x — 15 x = 2.

Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто взглянуть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

Вот очищенное уравнение и его решение:

9 x -15 x = 2
−6 x = 2
x = 2
−6
x = 1
3

Пример 3.Решить относительно x :

½ (5 x — 2) = 2 x + 4.

Решение . Это уравнение с дробью. Очистить дроби путем умножения обеих сторон на 2:

5 x -2 = 4 х + 8
5 x — 4 x = 8 + 2
x = 10.

В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Задача 1. x
2
x
5
= 3
LCM — это 10.Вот очищенное уравнение и его решение:
5 х 2 x = 30
3 х = 30
х = 10.

При решении любого уравнения с дробями следующая строчка, которую вы пишете —

5 x — 2 x = 30

— должно иметь без дробей .

Задача 2. x
6
= 1
12
+ x
8
LCM — это 24.Вот очищенное уравнение и его решение:
4 х = 2 + 3 х
4 x — 3 x = 2
х = 2
Проблема 3. x — 2
5
+ x
3
= x
2
LCM — это 30. Вот очищенное уравнение и его решение:
6 (x — 2) + 10 x = 15 х
6 x — 12 + 10 x = 15 х
16 x -15 x = 12
х = 12.

Задача 4. Дробь равна дроби.

x — 1
4
= x
7
LCM — это 28. Вот очищенное уравнение и его решение:
7 ( x — 1) = 4 х
7 x — 7 = 4 х
7 x — 4 x = 7
3 х = 7
х = 7
3

Мы видим, что когда единичная дробь равна единственной дроби, тогда уравнение может быть очищено путем «перекрестного умножения». «

Если
а
б
= c
d
,
, затем
объявление = до н.э. .
Задача 5. x — 3
3
= x -5
2
Вот очищенное уравнение и его решение:
2 ( x — 3) = 3 ( x — 5)
2 x — 6 = 3 х -15
2 x — 3 x = — 15 + 6
х = −9
х = 9
Задача 6. x — 3
x — 1
= x + 1
x + 2
Вот очищенное уравнение и его решение:
( x — 3) ( x + 2) = ( x — 1) ( x + 1)
x ² — x — 6 = x ² — 1
х = −1 + 6
х = 5
х = −5.
Задача 7. 2 x — 3
9
+ x + 1
2
= x — 4
LCM — это 18. Вот очищенное уравнение и его решение:
4 x — 6 + 9 x + 9 = 18 x — 72
13 х + 3 = 18 x — 72
13 x — 18 x = — 72 — 3
−5 х = −75
х = 15.
Задача 8. 2
x
3
8 x
= 1
4
LCM — это 8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:
16 — 3 = 2 х
2 х = 13
х = 13
2

2-й уровень

Следующий урок: задачи со словами

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Узнайте, как решать дробные уравнения

В этом видео мы собираемся решить дробные уравнения, например, используя наименьший общий знаменатель. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

Например: , найдите значение x

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, который равен 6x . Умножьте каждый числитель на 6x

x и 6 сокращаются со знаменателем, оставляя нам

Теперь давайте решим его, как любые другие уравнения. Вычтем 24 с обеих сторон.

Изолируем x и у нас

Примеры дробных уравнений

Пример 1

Во-первых, найдите наименьший общий знаменатель, которым является. Умножьте каждый числитель на

, и сокращаемся со знаменателем, в результате чего получаем


Вычесть с обеих сторон


Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас

Пример 2

Во-первых, найдите наименьший общий знаменатель, которым является. Умножьте каждый числитель на

и сокращаемся со знаменателем, в результате получаем


Вычесть с обеих сторон


Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас

Стенограмма видеоурока

В этом уроке мы рассмотрим дробные уравнения.

Это просто уравнение с дробями. Но это алгебра.

Итак, это будет немного сложно.

Например:

Вернемся на секунду к обычным дробям. Небольшое примечание.

Если мы собираемся добавить

нам нужен общий знаменатель.

Мы не можем просто добавить это так, как есть.

Общий знаменатель для них.

Чтобы изменить знаменатель на, мы должны умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

В первой дроби мы должны умножить на, а вторую дробь нужно умножить на.

Мы собираемся использовать ту же концепцию при решении дробных уравнений.

Во-первых, мы должны найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Итак, наш наименьший общий знаменатель (ЖКД).

Но вместо того, чтобы получить наименьший общий знаменатель и по-прежнему иметь дроби, мы просто умножим все на наименьший общий знаменатель.

Если мы все умножим на, все будет отменено.

И это больше не будет дробным уравнением. Это будут регулярные уравнения.

Теперь мы можем отменить знаменатели.

Теперь мы можем решить это как обычное уравнение.

Мы хотим изолировать, используя обратные операции.

Наш ответ:

Итак, для дробных уравнений мы должны найти наименьший общий знаменатель.

Но мы не собираемся манипулировать ими, чтобы иметь общий знаменатель.

Вместо этого мы собираемся умножить каждый член на наименьший общий знаменатель, чтобы знаменатель каждого члена сократился.

Затем мы получаем новое уравнение, которое мы можем найти.

5.2 Дробные уравнения и приложения — промежуточная алгебра

Цели обучения

  • Методы решения дробных уравнений
    • Решите дробные уравнения, очистив знаменатели
    • Определить посторонние решения в дробном уравнении
  • Пропорции
    • Определите и запишите пропорцию
    • Решение задач пропорциональности с использованием чертежей в масштабе
  • Вариант
    • Определение прямого изменения и решение проблем, связанных с прямым изменением
    • Определение обратной вариации и решение задач, связанных с обратной вариацией
    • Определение вариации сочленения и решение проблем, связанных с вариацией сочленения
  • Другие приложения
    • Решить дробную формулу для указанной переменной
    • Решить рабочие проблемы
    • Решение проблем со смесью

Когда мы говорим о дробных уравнениях в алгебре, мы чаще всего имеем в виду уравнения, включающие отношение двух многочленов. Дробные уравнения могут быть решены почти так же, как традиционные уравнения с дробными коэффициентами: путем умножения всего уравнения на все, что необходимо для исключения всех знаменателей, а затем решения полученного уравнения без дробных чисел. В следующем примере показано напоминание о процессе решения, когда знаменатели числовые.

Решите \ (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \), сначала очистив дроби в уравнении.

Умножьте все уравнение на 4, общий знаменатель дробных коэффициентов.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \ right) \)

Теперь распределите, чтобы исключить дроби.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x \ right) -4 \ cdot3 = 4 \ cdot2-4 \ cdot \ left (\ frac {3} {4} x \ right) \\ 2x-12 = 8-3x \)

Теперь прибавьте \ (3x + 12 \) к обеим сторонам.

\ (2x-12 + 3x + 12 = 8-3x + 12 + 12 \\\\ 5x = 20 \)

Наконец, разделите обе части на коэффициент при \ (x \) — члене.

\ (х = 4 \)

Мы могли бы найти общий знаменатель и работать с дробями на протяжении всего процесса решения, но это часто приводит к большему количеству ошибок. Как правило, лучше умножить все уравнение на все, что необходимо, чтобы полностью исключить знаменатели.

Мы можем применить ту же идею к решению дробных уравнений, у которых есть многочлены в знаменателе дробей (а иногда и в числителе). Это означает, что очистка знаменателя может иногда означать умножение всего уравнения на полином. Это также означает, что нам нужно будет проверить, что мы не делим на ноль. В следующем примере мы очистим знаменатели дробного уравнения с биномом в знаменателе одного члена.Мы будем использовать общий знаменатель, чтобы исключить знаменатели из обеих дробей. Обратите внимание, что ЖК-дисплей является продуктом обоих знаменателей, потому что у них нет общих факторов.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {8} {x + 1} = \ frac {4} {3} \).

Показать решение

Очистите знаменатели, умножив каждую сторону на общий знаменатель. Общий знаменатель равен \ (3 \ cdot \ left (x + 1 \ right) \), поскольку \ (3 \) и \ (x + 1 \) не имеют общих делителей.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {8} {x + 1} \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ end {array} \)

Упростите общие множители.

\ (\ require {cancel} \ begin {align *} 3 \ cancel {\ left (x + 1 \ right)} \ left (\ frac {8} {\ cancel {x + 1}} \ right) & = \ cancel {3} \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {\ cancel {3}} \ right) \\ 3 \ cdot8 & = (x + 1) \ cdot4 \\ 24 & = 4x +4 \ end {align *} \)

Теперь вычтите 4 из обеих частей, а затем разделите на коэффициент при \ (x \) — члене, чтобы решить уравнение.

\ (\ begin {align *} 24 & = 4x + 4 \\ 20 & = 4x \\ 5 & = x \ end {align *} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \, \, \, \, \, \ frac {8} {\ left (x + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\ \\ \ displaystyle \ frac {8} {\ left (5 + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\\\ displaystyle \ frac {8} {6} = \ frac {4} { 3} \ end {array} \)

Ответ
\ (х = 1 \)

В следующем видео мы представляем два способа решения дробных уравнений с целыми и переменными знаменателями.

Исключенные значения и посторонние решения

Существует дополнительный шаг в процессе решения уравнений, у которых в знаменателе есть переменная. Поскольку деление на 0 не определено, вы должны исключить значения переменной, в результате которых знаменатель будет равен 0. Эти значения называются исключенными значениями . Процесс решения дробных уравнений разбивается на три основных этапа: используйте знаменатель, чтобы найти, какие значения запрещены (потому что они требуют деления на ноль), затем удалите знаменатель с помощью умножения, затем используйте результат без дроби, чтобы найти значения переменных. решить уравнение.Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \).

Показать решение

Сначала найдите и исключите любые значения для \ (x \), которые сделали бы знаменатель 0.

\ (\ Displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \)

Мы можем добиться этого, создав «неуравнение», которое устанавливает знаменатель не равным нулю.

\ (х-5 \ ne 0 \\\)

Добавление \ (5 \) к обеим сторонам уравнения un дает нам \ (x \ ne 5 \).

Мы можем исключить знаменатели, умножив все уравнение на \ (x-5 \). Пока \ (x \ ne 5 \), это допустимый шаг. Затем мы можем уменьшить дроби, чтобы исключить знаменатели.

\ (\ begin {align *} \ require {cancel} \ cancel {(x-5)} \ cdot \ frac {2x-5} {\ cancel {(x-5)}} & = \ frac {15} {\ cancel {(x-5)}} \ cdot \ cancel {(x-5)} \\ 2x-5 & = 15 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (x \) решают уравнение.

\ (\ begin {array} {r} 2x-5 = 15 \\ 2x = 20 \\ x = 10 \ end {array} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \, \, \\\\\ displaystyle \ frac {2 (10) -5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\\ displaystyle \ frac {20-5} {10-5} = \ frac {15} {10-5 } \\\\\ displaystyle \ frac {15} {5} = \ frac {15} {5} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} \)

Ответ
\ (х = 10 \)

В следующем видео мы представляем пример решения дробного уравнения с переменными в знаменателе. 2 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (m \) решают уравнение.{2}}} {- 4 + 4} \\\\\ displaystyle \ frac {16} {0} = \ frac {16} {0} \ end {array} \)

Так как \ (m = -4 \) приводит к делению на 0, это лишнее решение.

Ответ
\ (т = 4 \)

Матрешка, или матрешки.

Пропорции

Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны друг другу. Есть много вещей, которые можно представить с помощью соотношений, и вы, вероятно, регулярно пользуетесь пропорциональными рассуждениями и не понимаете этого. Например, скажем, вы вызвались предоставить напитки для общественного мероприятия.Вас просят принести достаточно напитков на 35-40 человек. В магазине вы видите, что напитки поставляются в упаковках по 12. Вы умножаете 12 на 3 и получаете 36 — этого может быть недостаточно, если появятся 40 человек, поэтому вы решаете купить 4 упаковки напитков на всякий случай.

Этот процесс также можно выразить в виде пропорционального уравнения и решить с помощью математических принципов. Во-первых, мы можем выразить количество напитков в упаковке как соотношение:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} \)

Затем мы выражаем количество напитков, которые нам понадобятся, как отношение к неизвестному количеству необходимых нам упаковок.Мы будем использовать максимум, чтобы хватило: 40 человек потребуется 40 напитков.

\ (\ displaystyle \ frac {40 \ text {напитки}} {x \ text {packages}} \)

Мы можем узнать, сколько пакетов нужно приобрести, установив одинаковые выражения:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {drink}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ text {drink}} {x \ text {packages}} \)

Чтобы найти x, мы можем использовать методы решения линейных уравнений, или мы можем использовать перекрестное умножение как ярлык.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {12 \ text {drink}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {people}} {x \ text {packages}} \ \\ text {} \\ x \ text {пакеты} \ cdot \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {напитки}} {x \ text { пакеты}} \ cdot {x \ text {пакеты}} \\\ text {} \\ x \ cdot12 \ text {напитки} & = 40 \ text {напитки} \\\ text {} \\ x & = \ frac { 40 \ текст {напитки}} {12 \ текст {напитки}} \ Approx3. 33 \ end {align *} \)

Мы можем округлить до 4, поскольку не имеет смысла покупать часть упаковки напитков. Конечно, вы не записываете свое мышление таким образом, когда находитесь в продуктовом магазине, но это помогает вам применить концепции к менее очевидным проблемам. В следующем примере мы покажем, как использовать пропорцию, чтобы найти количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде

Пример

По состоянию на июль 2018 года население мира оценивалось в 7 человек.6 миллиардов. По данным water.org, каждый третий человек на планете не имеет доступа к чистой воде. Найдите количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде.

Показать решение

Мы можем использовать пропорцию, чтобы найти неизвестное количество людей на планете, которые живут без легкого доступа к чистой воде, поскольку нам дано, что каждый третий не имеет доступа, а нам дано население планеты.

Мы знаем, что 1 из каждых 3 человек не имеет доступа, и можем записать это как отношение (дробь). Мы используем \ (x \), чтобы обозначить количество людей, не имеющих доступа к чистой воде, и мы используем 7,6 миллиарда для количества людей на планете. Мы также можем записать это в виде отношения. Мы приравниваем эти два соотношения, поскольку они представляют одну и ту же дробную часть населения.

\ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ )

Умножаем, чтобы удалить знаменатели

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \\ \ text {} \\\ displaystyle 7.6 \ text {Всего миллиард человек} \ cdot \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ cdot 7.6 \ text {миллиард всего человек} \\\ text {} \\\ frac {7.6 \ text {миллиард }} {3} & = x \\\ text {} \\ x \ приблизительно2,53 \ text {миллиард} \ end {align *} \)

Ответ

2,53 миллиарда человек не имеют доступа к чистой воде.

В следующем примере мы будем использовать длину не бедренной кости человека, чтобы оценить его рост.Этот процесс используется в судебной медицине и антропологии, и многие научные исследования показали, что это очень хорошая оценка.

Пример

Было доказано, что рост человека пропорционален длине бедра. Учитывая, что человек ростом 71 дюйм имеет длину бедра 17,75 дюйма, каков рост человека с длиной бедра 16 дюймов?

Показать решение

Высота и длина бедра пропорциональны для всех, поэтому мы можем определить соотношение с заданными высотой и длиной бедра.Затем мы можем использовать это, чтобы написать пропорцию, чтобы найти неизвестную высоту.

Пусть \ (x \) будет неизвестной высотой. Определите соотношение длины и высоты бедра для обоих людей, используя данные измерения.

Человек 1: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} \)

Человек 2: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {femur length}} {\ text {height}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Приравняйте соотношения, так как мы предполагаем, что рост и длина бедра пропорциональны для всех.

\ (\ displaystyle \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Решите, используя общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Общий знаменатель \ (71x \)

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle \ frac {17.75} {71} = \ frac {16} {x} \\\\\ displaystyle71x \ cdot \ frac {17.75} {71} = \ frac { 16} {x} \ cdot {71x} \\\\\ displaystyle17.75 \ cdot {x} = 16 \ cdot {71} \\\\ x = \ frac {16} {17.75} \ cdot {71} = 64 \ end {array} \)

Неизвестный рост человека 2 — 64 дюйма.В общем, мы можем уменьшить дробь \ (\ frac {17.75} {71} = 0.25 = \ frac {1} {4} \), чтобы найти общее правило для всех. Это означает, что рост человека в 4 раза превышает длину его бедра.

Другой способ описать отношение длины бедра к высоте, которое мы нашли в последнем примере, — это сказать, что существует соотношение между длиной и высотой бедра 1: 4, или от 1 до 4.

Пропорции также используются на масштабных чертежах. Масштабные чертежи — это увеличенные или уменьшенные чертежи объектов, зданий, дорог и карт.Карты меньше того, что они представляют, и рисунок дендритных клеток в вашем мозгу, скорее всего, больше, чем то, что он представляет. Масштаб чертежа — это соотношение, которое представляет собой сравнение длины фактического объекта и его изображения на чертеже. На изображении ниже показана карта США в масштабе 1 дюйм, представляющая 557 миль. Мы могли бы записать масштабный коэффициент в виде дроби \ (\ frac {1} {557} \) или, как мы это делали с соотношением высоты бедра, 1: 557.

Карта с масштабным коэффициентом

В следующем примере мы будем использовать коэффициент масштабирования, указанный на изображении выше, чтобы найти расстояние между Сиэтлом, Вашингтон, и Сан-Хосе, Калифорния.

Пример

Масштабный коэффициент на карте США составляет 1: 557, а измеренное расстояние от Сиэтла, штат Вашингтон, до Сан-Хосе, штат Калифорния, составляет 1,5 дюйма на карте. Определите пропорцию, чтобы найти фактическое расстояние между двумя городами.

Показать решение

Нам нужно определить пропорцию, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе.

Коэффициент масштабирования равен 1: 557, и мы будем называть неизвестное расстояние \ (x \). Отношение дюймов к милям равно \ (\ frac {1} {557} \).

Мы знаем дюймы между двумя городами, но не знаем миль, поэтому соотношение, описывающее расстояние между ними, равно \ (\ frac {1.5} {x} \).

Пропорция, которая поможет нам решить эту проблему, равна \ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} = \ frac {1,5 \ text {дюймы}} {x \ text {мили) }} \).

Решите, используя общий знаменатель \ (557x \ text {miles} \), чтобы очистить дроби.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1.5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \\\ text {} \\ 557x \ text {miles} \ cdot \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1. 5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \ cdot {557x \ text {miles}} \\\ text {} \\ x & = 1.5 \ cdot {557} = 835.5 \ end { выровнять *} \)

Мы использовали масштабный коэффициент 1: 557, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе. Мы также проверили наш ответ о 835,5 миль с помощью карт Google и обнаружили, что расстояние составляет 839,9 миль, так что у нас все хорошо!

В следующем примере используется другая карта.На этот раз мы найдем масштабный коэффициент для карты с учетом протяженности между двумя городами на карте и их фактического расстояния друг от друга.

Пример

Два города на карте находятся на расстоянии 2,5 дюйма друг от друга. Их фактическое расстояние друг от друга составляет 325 миль. Напишите пропорцию и решите масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Показать решение

Мы знаем, что каждые 2,5 дюйма на карте представляют 325 фактических миль. Ищем масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Нам нужно соотношение \ (\ frac {1} {x} \), где x — это фактическое расстояние, представленное на карте в один дюйм. Мы знаем, что на каждые 2,5 дюйма приходится 325 фактических миль, поэтому мы можем определить это соотношение как \ (\ frac {2.5} {325} \)

Мы можем использовать пропорцию, чтобы приравнять два отношения и найти неизвестное расстояние.

\ (\ begin {array} {ccc} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2,5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \\\ text {} \\ 325x \ text {miles} \ cdot \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2.5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \ cdot {325x \ text {miles}} \\\ text {} \ 325 = 2,5x \ x = 130 \ end {array} \)

Коэффициент масштабирования для одного дюйма на карте составляет 1: 130, или на каждый дюйм карты приходится 130 фактических миль.

В следующем видео мы представляем пример использования пропорций для получения правильного количества лекарства для пациента, а также для нахождения желаемой смеси кофе.

Вариант

Так много машин, так много шин.

Прямое изменение

Уравнения вариации являются примерами пропорций и используются для описания взаимосвязи между переменными.Например, представьте себе стоянку, заполненную машинами. Общее количество шин на стоянке зависит от общего количества автомобилей: у каждой машины четыре шины. Алгебраически эту связь можно представить уравнением.

\ (\ text {количество шин} = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \)

Число 4 указывает скорость, с которой связаны автомобили и шины. Вы называете скорость константой пропорциональности или постоянной вариации . Это константа, потому что это число не меняется.Поскольку количество автомобилей и количество шин связаны между собой константой, изменения количества автомобилей приводят к тому, что количество шин изменяется пропорционально и стабильно. Это пример прямого варианта , где количество шин напрямую зависит от количества автомобилей. Больше машин означает, что шин будет больше.

Вы можете использовать уравнение автомобиля и шины в качестве основы для написания общего алгебраического уравнения, которое будет работать для всех примеров прямого изменения. В примере количество шин — это выходные данные, 4 — константа, а количество автомобилей — входные данные.Давайте введем эти общие термины в уравнение. Вы получите \ (y = k \ cdot x \). Это формула для всех уравнений прямой вариации.

\ (\ begin {align *} \ text {количество шин} & = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \\\ text {} \\\ text {output} & = \ text {constant} \ cdot \ text {input} \ end {align *} \)

Пример

Решите для \ (k \), постоянной вариации, в задаче прямого изменения, где \ (y = 300 \) и \ (x = 10 \).

Показать решение

Напишите формулу прямой вариационной зависимости.

\ (у = к \ cdot x \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (300 = k \ влево (10 \ вправо) \)

Решите относительно \ (k \), разделив обе части уравнения на 10.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle \ frac {300} {10} = \ frac {10k} {10} \\\\\, \, \, \, 30 = k \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 30.

В следующем видео мы представляем пример решения уравнения прямой вариации.

Обратная вариация

Другой вид вариации называется обратным вариантом .В этих уравнениях выход равен постоянной, деленной на входную переменную, которая изменяется. В символической форме это уравнение \ (y = k \ cdot \ frac {1} {x} \) или \ (y = \ frac {k} {x} \).

Одним из примеров обратного изменения является скорость, необходимая для перемещения между двумя городами за заданный промежуток времени.

Допустим, вам нужно ехать из Бостона в Чикаго, а это примерно 1000 миль. Чем больше у вас времени, тем медленнее вы сможете двигаться. Если вы хотите добраться туда за 20 часов, вам нужно ехать со средней скоростью 50 миль в час, потому что \ (\ frac {1,000 \ text {miles}} {20 \ text {hours}} = 50 \ text {миль в час}\). Но если вы можете добраться туда за 40 часов, вам нужно будет в среднем всего 25 миль в час, поскольку \ (\ frac {1000 \ text {miles}} {40 \ text {hours}} = 25 \ text {миль в час. } \).

Уравнение для определения скорости путешествия из имеющегося у вас времени: \ (speed = \ frac {miles} {hours} \). В случае поездки из Бостона в Чикаго вы можете написать \ (s = \ frac {1,000} {t} \). Обратите внимание, что это та же форма, что и формула обратной функции вариации, \ (y = \ frac {k} {x} \).

Пример

Решите относительно \ (k \), постоянной вариации, в обратной вариационной задаче, где \ (x = 5 \) и \ (y = 25 \).

Показать решение

Напишите формулу обратной зависимости вариации.

\ (\ displaystyle y = \ frac {k} {x} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ displaystyle 25 = \ frac {k} {5} \)

Решите относительно \ (k \), умножив обе части уравнения на 5.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 5 \ cdot 25 = \ frac {k} {5} \ cdot 5 \\\\\ displaystyle 125 = \ frac {5k} {5} \\\\ 125 = k \, \, \, \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 125.

В следующем примере мы найдем температуру воды в океане на глубине 500 метров. Температура воды обратно пропорциональна глубине океана.

Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине.

Пример

Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине воды. Чем глубже ныряет человек, тем холоднее становится вода. На глубине 1000 метров температура воды 5 градусов по Цельсию.Какая температура воды на глубине 500 метров?

Показать решение

Вам говорят, что это обратная зависимость, и что температура воды изменяется обратно пропорционально глубине воды.

\ (\ displaystyle temp = \ frac {k} {depth} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ displaystyle 5 = \ frac {k} {1,000} \)

Решите относительно \ (k \).

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1,000 \ cdot5 = \ frac {k} {1,000} \ cdot 1,000 \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ displaystyle 5,000 = \ frac {1,000k} {1,000} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, 5,000 = k \ end {array} \)

Теперь, когда известна постоянная вариации, используйте \ (k \), чтобы решить задачу: найти температуру воды на 500 метрах. {2}} h \) является еще одним примером вариации соединения.{2} \) когда основание составляет 10 дюймов, а высота — 6 дюймов, найдите постоянную вариации и площадь треугольника, основание которого составляет 15 дюймов, а высота — 20 дюймов.

Показать решение

Вам говорят, что это отношение вариаций суставов, и что площадь треугольника изменяется вместе с длиной основания и высотой.

\ (Площадь = k (основание) (высота) \)

Подставьте известные значения в уравнение и решите относительно \ (k \).

\ (30 = к \ влево (10 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) \\ 30 = 60к \\\\\ displaystyle \ frac {30} {60} = \ frac {60k} {60} \\ \\\ displaystyle \ frac {1} {2} = k \)

Теперь, когда известно \ (k \), решите площадь треугольника, основание которого 15 дюймов, а высота 20 дюймов.

\ (\ begin {array} {l} Площадь = k (основание) (высота) \\\\ Площадь = \ left (\ frac {1} {2} \ right) (15) (20) \\\\ \ displaystyle Area = \ frac {300} {2} \\\\ Area = 150 \, \, \ text {квадратные дюймы} \ end {array} \)

Ответ

Постоянная вариации \ (k \) равна \ (\ frac {1} {2} \), а площадь треугольника составляет 150 квадратных дюймов.

Нахождение \ (k \) равным \ (\ frac {1} {2} \) не должно вызывать удивления. Вы знаете, что площадь треугольника равна половине базовой, умноженной на высоту, \ (A = \ frac {1} {2} bh \). \ (\ Frac {1} {2} \) в этой формуле точно такой же \ (\ frac {1} {2} \), который вы вычислили в этом примере!

В следующем видео мы показываем пример нахождения постоянной вариации для совместно изменяющегося отношения.

Прямая, совместная и обратная вариация

\ (k \) — постоянная вариации. Во всех случаях \ (k \ neq0 \).

  • Прямое изменение: \ (y = k \ cdot x \)
  • Обратная вариация: \ (y = \ frac {k} {x} \)
  • Вариант шарнира: \ (y = k \ cdot xz \)

Решение для переменной

Дробные уравнения могут быть полезными инструментами для представления реальных жизненных ситуаций и поиска ответов на реальные проблемы. Уравнения, представляющие прямую, обратную и совместную вариацию, являются примерами дробных уравнений, которые могут моделировать многие реальные ситуации. При решении проблем с использованием дробных уравнений часто бывает полезно сначала изменить уравнение, чтобы выделить указанную переменную. Следующие два примера показывают, как изолировать различные переменные в дробных уравнениях, которые используются для решения задач физики и геометрии.

Пример

Формула для определения плотности объекта: \ (D = \ frac {m} {v} \), где \ (D \) — плотность, \ (m \) — масса объекта и \ ( v \) — объем объекта. Измените формулу, чтобы найти массу (\ (m \)), а затем снова объем (\ (v \)).

Показать решение

Начните с формулы плотности.

\ (D = \ frac {m} {v} \)

Умножьте обе части уравнения на \ (v \), чтобы выделить \ (m \).

\ (v \ cdot D = \ frac {m} {v} \ cdot v \)

Упростите и перепишите уравнение, решив относительно \ (m \).

\ (\ begin {array} {l} v \ cdot D = m \ cdot \ frac {v} {v} \\ v \ cdot D = m \ cdot 1 \\ v \ cdot D = m \ end {array} \)

Чтобы решить уравнение \ (D = \ frac {m} {v} \) в терминах \ (v \), вам нужно будет проделать те же шаги до этой точки, а затем разделить обе стороны на \ (D \) . {2}}} \)

В следующем видео мы даем еще один пример решения переменной в формуле или, как их еще называют, буквального уравнения.

Работа

Уравнения с дробными частицами можно использовать для решения множества задач, связанных с темпами, временем и работой. Использование дробных выражений и уравнений может помочь вам ответить на вопросы о том, как объединить рабочих или машины для выполнения работы по расписанию.

«Рабочая проблема» — это пример реальной жизненной ситуации, которую можно смоделировать и решить с помощью дробного уравнения.Рабочие задачи часто просят вас подсчитать, сколько времени потребуется разным людям, работающим с разной скоростью, чтобы выполнить задачу. Алгебраические модели таких ситуаций часто включают дробные уравнения, выведенные из рабочей формулы, \ (W = r \ cdot t \). (Обратите внимание, что формула работы очень похожа на соотношение между расстоянием, скоростью и временем, или \ (d = r \ cdot t \). ) Объем выполненной работы \ (\ left (W \ right) \) равен произведение темпа работы (\ (r \)) на время, затраченное на работу (\ (t \)). Формула работы имеет 3 варианта.

\ (\ begin {array} {l} W = r \ cdot t \\\\\, \, \, \, \, \ displaystyle t = \ frac {W} {r} \\\\\, \ , \, \, \, \ displaystyle r = \ frac {W} {t} \ end {array} \)

Некоторые рабочие проблемы заключаются в том, что несколько машин или людей работают вместе над проектом одинаковое количество времени, но с разной скоростью. В этом случае вы можете сложить их индивидуальную производительность, чтобы получить общую производительность. Давайте посмотрим на пример.

Пример

Myra за 2 часа посадит 50 цветочных луковиц. Фрэнсису требуется 3 часа, чтобы посадить 45 цветочных луковиц.Сколько времени нужно, работая вместе, чтобы посадить 150 луковиц?

Показать решение

Подумайте, сколько луковиц каждый человек может посадить за час. Это их скорость посадки.

Myra: \ (\ displaystyle \ frac {50 \, \, \ text {bulbs}} {2 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Фрэнсис: \ (\ displaystyle \ frac {45 \, \, \ text {bulbs}} {3 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {15 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Объедините их почасовые ставки, чтобы определить, как они работают вместе.

Майра и Фрэнсис вместе:

\ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} + \ frac {15 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \ , \ text {hour}} = \ frac {40 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} \)

Используйте вариант формулы работы, которая решена для \ (t \), чтобы найти время, необходимое для посадки 150 луковиц со скоростью 40 луковиц в час.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle t = \ frac {W} {r} = \ frac {150 \ text {bulbs}} {40 \ text {лампочек в час}} = 3,75 \ text {часов} \ конец {массив} \)
Ответ

Майре и Фрэнсису потребуется 3 часа 45 минут, чтобы вместе посадить 150 луковиц.

Некоторые проблемы в работе возникают по-другому. Вы можете рассчитать, сколько времени потребуется одному человеку, чтобы выполнить работу в одиночку, если вы знаете, сколько времени требуется людям, работающим вместе, чтобы выполнить работу.

Пример

Арджун и Матео планируют вместе красить дом. Арджун думает, что если бы он работал один, ему потребовалось бы в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить весь дом. Работая вместе, они могут выполнить работу за 24 часа. Сколько времени потребуется каждому из них, работая в одиночку, чтобы завершить работу?

Показать решение

Выберите переменные \ (A \) и \ (M \), чтобы представить неизвестное количество времени, необходимое Арджуну или Матео, чтобы покрасить дом самостоятельно.Так как Арджуну требуется в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить дом, мы можем сказать, что \ (A = 3 \ cdot M \).

Работа малярная 1 дом. Напишите выражение, представляющее рейтинг каждого человека, используя формулу \ (\ displaystyle r = \ frac {W} {t} \) .

Оценка Матео: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} \)

Коэффициент Арджуна: \ (\ displaystyle \ frac {1} {A} = \ frac {1} {3M} \)

Их комбинированная ставка — это сумма их индивидуальных ставок.

комбинированный коэффициент: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {3} {3M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {4} { 3M} \)

Проблема гласит, что им требуется 24 часа, чтобы покрасить дом при совместной работе, поэтому, если вы умножите их совокупную почасовую ставку \ (\ left (\ frac {4} {3M} \ right) \) на 24, вы получите 1 — количество домов, которое они могут покрасить за 24 часа.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1 = \ left (\ frac {4} {3M} \ right) 24 \\\\\ displaystyle 1 = \ frac {4 \ cdot 24} {3M} \\ \\\ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \ end {array} \)

Теперь решите уравнение для \ (M \), количества часов, которое потребуется Матео, чтобы закончить работу в одиночку.

\ (\ begin {array} {l} \, \, \, \ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \\\\\, \, \, \ displaystyle M \ cdot 1 = \ frac {32} {M} \ cdot M \\\\\, \, \, M = 32 \ end {array} \)

Поскольку \ (M = 32 \), Матео самостоятельно покрасит дом за 32 часа. Время Арджуна равно \ (3M \), так что ему потребуется 96 часов, чтобы проделать такой же объем работы.

Ответ

У Матео 32 часа, чтобы покрасить дом самому, и 96 часов, чтобы Арджун сам покрасил дом.

Анализ решения

Ранее мы нашли три формы уравнения работы: одну решенную для скорости, одну решенную для времени и одну решенную для работы. Последний пример указывает на другое уравнение, которое описывает работу, выполняемую двумя людьми:

\ (\ Displaystyle \ frac {t} {A} + \ frac {t} {B} = 1 \),

где \ (t \) — время, чтобы выполнить работу вместе, \ (A \) — время, которое требуется человеку A, чтобы выполнить работу, и \ (B \) — время, которое требуется человеку B, чтобы выполнить работу. .1 относится к общей проделанной работе: в данном случае работа заключалась в покраске 1 дома, время совместной работы составляло 24 часа, а время для двух человек, работающих индивидуально, составляло 32 часа 96 часов. Подставляя эти значения в уравнение, получаем

\ (\ Displaystyle \ frac {24} {32} + \ frac {24} {96} = 1 \)

Упрощение дробей дает

\ (\ Displaystyle \ frac {3} {4} + \ frac {1} {4} = 1 \)

Другими словами, человек A выполняет три четверти работы, а человек B выполняет одну четверть работы.Вместе они выполняют всю работу, и человек A делает в три раза больше, чем человек B.

В следующем видео мы показываем еще один пример определения скорости работы одного человека по совокупной скорости работы.

Ключевая идея здесь — выяснить индивидуальную норму работы каждого рабочего. Затем, как только эти показатели будут определены, сложите их, умножьте на время \ (t \), установите его равным объему проделанной работы и решите дробное уравнение.

В следующем видео мы представляем еще один пример того, как два человека рисуют с разной скоростью.

Смешивание

Смеси состоят из различных веществ, которые могут включать химические вещества, пищу, воду или газы. Существует множество различных ситуаций, когда смеси могут встречаться как в природе, так и в качестве средства для получения желаемого продукта или результата. Например, при разливе химических веществ, производстве и даже в биохимических реакциях используются смеси. Что может сделать смеси интересными с математической точки зрения, так это когда компоненты смеси добавляются с разными скоростями и концентрациями.В нашем следующем примере мы определим уравнение, которое моделирует концентрацию — или отношение сахара к воде — в большом смесительном баке с течением времени. Вас спрашивают, больше ли конечная концентрация сахара, чем концентрация в начале.

Пример

В большом смесительном баке в настоящее время содержится 100 галлонов воды, в которые было смешано 5 фунтов сахара. Откроется кран, и в резервуар будет наливаться 10 галлонов воды в минуту, в то же время сахар заливается в резервуар со скоростью 1 фунт в минуту.

Найдите формулу концентрации (фунтов на галлон) сахара в резервуаре как функции времени (минут).

Какая концентрация будет через 12 минут? Это большая концентрация, чем в начале?

Показать ответ

Пусть \ (t \) будет количеством минут с момента открытия крана. Поскольку вода увеличивается со скоростью 10 галлонов в минуту, а сахар увеличивается со скоростью 1 фунт в минуту, это постоянные скорости изменения. Это говорит нам о том, что количество воды в резервуаре является линейным уравнением, как и количество сахара в резервуаре.Мы можем написать уравнение независимо для каждого:

\ (\ begin {cases} \ text {sugar:} S \ left (t \ right) = 5 + 1 \ cdot t \ text {в фунтах} \\ \ text {water:} W \ left (t \ right ) = 100 + 10 \ cdot t \ text {в галлонах} \ end {case} \\\)

Концентрация, \ (C (t) \), будет отношением фунтов сахара к галлонам воды как функция времени.

\ (С \ влево (т \ справа) = \ Displaystyle \ гидроразрыва {S (t)} {W (t)} = \ гидроразрыва {5 + t} {100 + 10t} \\\)

Концентрация через 12 минут определяется путем оценки \ (C \ left (t \ right) \\\) в \ (t = \ text {} 12 \\\).

\ (С \ влево (12 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 12} {100 + 10 \ влево (12 \ вправо)} = \ Displaystyle \ frac {17} {220} \\\)

Это означает, что концентрация составляет 17 фунтов сахара на 220 галлонов воды или примерно 0,08 фунта на галлон.

В начале концентрация

\ (С \ влево (0 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 0} {100 + 10 \ влево (0 \ вправо)} = \ Displaystyle \ frac {5} {100} \\\)

Это означает, что исходная концентрация составляла 5 фунтов сахара на 100 галлонов воды, или около 0.05 фунтов на галлон, и через 12 минут концентрация будет выше, чем в начале.

В следующем видео мы покажем еще один пример того, как использовать дробные функции для моделирования микширования.

Сводка

Вы можете решить дробные уравнения, умножив все уравнение на общий знаменатель, чтобы исключить дроби. Затем вы можете решить полученное уравнение, используя ранее разработанные методы. Важным шагом в решении дробных уравнений является отказ от любых посторонних решений из окончательного ответа. Посторонние решения — это решения, которые не удовлетворяют исходной форме уравнения, потому что они приводят к неверным утверждениям или являются исключенными значениями, которые делают знаменатель равным 0 в какой-то момент в процессе решения.

Уравнения с дробными частицами можно использовать для решения множества задач, связанных с темпами, временем и работой. Прямые, обратные и совместные вариационные уравнения являются примерами дробных уравнений. В прямом изменении переменные имеют прямую взаимосвязь: по мере увеличения одной величины другая величина также будет увеличиваться.В обратной вариации переменные имеют обратную зависимость: когда одна переменная увеличивается, другая уменьшается, и наоборот. Совместная вариация такая же, как и прямая вариация, за исключением двух или более переменных.


Решение многоступенчатых линейных уравнений с дробями

Нам нужно более двух операций для решения линейное уравнение . Использовать обратные операции для отмены каждой операции в обратном порядке.

Если уравнение содержит дроби, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (ЖК-дисплей) для очистки дробей.

Шаги для решения многоступенчатого уравнения:

Шаг 1 Очистите уравнение дробей.

Шаг 2 Использовать Распределительное свойство чтобы убрать скобки с каждой стороны.

Шаг 3 Объединение похожих терминов с каждой стороны.

Шаг 4 Отменить сложение или вычитание.

Шаг 5 Отменить умножение или деление.

Пример:

Решить 2 у 3 + у 2 знак равно 7 .

Решение

Наименьший общий знаменатель (ЖКД) в этом случае — 6 . Итак, умножьте обе части уравнения на 6 .

6 ( 2 у 3 + у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

Использовать распределительный закон в левой части уравнения.

6 ( 2 у 3 ) + 6 ( у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

Умножить.

4 у + 3 у знак равно 42

Объедините похожие термины.

7 у знак равно 42

Отменить умножение. Разделите каждую сторону на 7 .

7 у 7 знак равно 42 7

Упрощать.

у знак равно 6

Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath

Purplemath

Хотя добавление и вычитание рациональных выражений может быть настоящей головной болью, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если рациональные выражения добавляются в эти уравнения.(Обратите внимание, что я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я просто говорю, что это просто er .) Это потому, что, как только вы перейдете от рационального выражения (то есть чего-то без «равно») в рациональное уравнение (то есть что-то со знаком «равно» посередине), вы получаете совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, если у вас есть знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать на обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.

MathHelp.com

  • Решите следующее уравнение:

Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?

У меня две дроби.У этих дробей одинаковый знаменатель. Эти дроби будут равны, когда их числители также совпадают, и только тогда. Так что я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:


  • Решите следующее уравнение:

( x — 3) / 7 = (4 x + 12) / 7

В этом уравнении по обе стороны от знака «равно» стоят дроби.Две дроби имеют одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, если их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:

x — 3 = 4 x + 12

–3 — 12 = 4 x x

–15 = 3 x

–5 = x


  • Решите следующее уравнение:

Это уравнение состоит из двух равных друг другу дробей (которые можно рассматривать как пропорцию). Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.

Метод 1: преобразование к общему знаменателю:

Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:

Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:

Метод 2: Умножение на общий знаменатель:

Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:

x — 1 = 2 (3)

x — 1 = 6

х = 7

Метод 3: Перекрестное умножение:

Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят. Но это термин, который вы услышите, и он означает метод, который может оказаться полезным.

Поскольку это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал так:

Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.

Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:

5 ( x — 1) = 15 (2)

5 x — 5 = 30

5 x = 35

х = 7

Итак, по каждому из методов мой ответ:


Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равную ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, мы, , должны использовать метод 1 или метод 2.


  • Решите следующее уравнение:

В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно будет отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:

Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5 x ( x + 2), а затем сравнить числители:

Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями x быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:

15 x — (5 x + 10) = x + 2

10 x — 10 = x + 2

9 x = 12

x = 12 / 9 = 4 / 3

Поскольку x = 4 / 3 не вызовет проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, тогда это решение действительно.

Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем, что у меня здесь есть уравнение. То есть, я умножу обе части на общий знаменатель. Это позволит избавиться от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:

В любом случае мой ответ тот же:


Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты, как правило, довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.


URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск