1 cos x: Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34
Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град.
)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93
Найти точное значение
cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение
arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение
tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Решение уравнения sin x — cos x = 1. Урок-семинар

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

  1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
  2. Разложение левой части уравнения на множители.
  3. Введение вспомогательного угла.
  4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
  6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
  8. Графическое решения уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Учащимся сообщаются:

Тема урока:

“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x — cos x = 1

Форма проведения: урок – семинар.

Эпиграф к уроку:

“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”

(Д. Пойа)

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара

  1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
  2. Разложение левой части уравнения на множители.
  3. Введение вспомогательного угла.
  4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
  6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
  8. Графическое решения уравнения.

Содержание.

1. Слово предоставляется первому участнику.

Приведение уравнения sin x — cos x = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей, используя основное тригонометрическое тождество:

2 sin cos — cos + sin = sin + cos ;

2 sin cos — cos =0 ;
cos = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =

= 0 - однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
2. Слово предоставляется второму участнику.

Разложение левой части уравнения sin x — cos x = 1 на множители.

sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 , получим ;
далее аналогично:

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =
= 0 - однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:

3. Слово предоставляется третьему участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Умножим и разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на . Получим и вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим ; Разделим обе части уравнения на и используем табличные значения тригонометрических функций. Получим ; Применим формулу синус разности.
;

Легко установить(с помощью тригонометрического круга), что полученное решение распадается на два случая:

;

Ответ:

4. Слово предоставляется четвертому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде , используя формулу приведения . Применяя формулу разности двух синусов, получим

;

и так далее, аналогично предыдущему способу.

Ответ:

5. Слово предоставляется пятому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество , откуда следует
подставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x — cos x = 1 ,

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Подставим.
Левая часть:

Правая часть: 1.

Получили: , следовательно, – постороннее решение.

Ответ:

6. Слово предоставляется шестому участнику.

Возведение обеих частей уравнения sin x — cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

;

;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим ; sin 2x = 0 ; .

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения — посторонние.

Ответ:

7. Слово предоставляется седьмому участнику.

Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x — cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:


Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде .
,

получим

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. или .

Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: .

Правая часть: 1.

Получили 1=1. Значит, — решение данного уравнения.

Ответ:

8. Слово предоставляется восьмому участнику.

Рассмотрим графическое решение уравнения sin x — cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ:

Итог урока.

  • Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида , освоили новый материал.
  • На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
  • Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
  • Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.

Список использованной литературы:

  1. Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
  2. Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
  3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
  4. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
  5. Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
  6. Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
  7. Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
  8. Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
  9. 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
  10. 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
  11. Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
  12. Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. - М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
  13. Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого. // Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.

Как построить график 1-cos(x) — видео и расшифровка урока

Другие преобразования функций

Как мы только что видели, преобразования функций очень удобны при попытке построить график вариантов известной функции. Мы просто видели отражения и вертикальные сдвиги в действии. Давайте взглянем на два других типа преобразования функций. Это горизонтальные сдвиги и растяжение/сжатие.

Горизонтальный сдвиг — это преобразование, которое сдвигает график функции вправо или влево.Эти типы преобразований соответствуют прибавлению или вычитанию числа из x в функции. Если к x в функции прибавить c , то мы сдвинем график функции влево на c единиц, а если из x в функции вычесть c , то мы сдвинем график функции функция права c ед. Это может показаться вам обратным, но именно так работают горизонтальные сдвиги. Просто помните, когда имеете дело с горизонтальными сдвигами, думайте о «противоположностях» (право = вычитание, лево = сложение).

Много слов! На практике всегда лучше, поэтому для иллюстрации рассмотрим функцию y = cos( x + 5). Поскольку мы добавляем 5 к x в функции cos( x ), мы сдвигаем график cos( x ) на пять единиц влево, чтобы получить график cos( x + 5).

Сдвиг на 5 единиц влево

Растягивание и сжатие — это преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают (сжимают) функцию.Алгебраически это преобразование соответствует умножению функции или переменной x функции на число. Если мы умножим целую функцию на c или 1/ c , мы растянем или сожмем функцию по вертикали, а если мы умножим только переменную x в функции на c или 1/ c , мы растягиваем или сжимаем функцию по горизонтали.

Когда дело доходит до вертикального растяжения и сжатия, если мы умножаем на c , то мы растягиваем функцию по вертикали в c раз. Если мы умножим на 1/ c , то мы сожмем функцию по вертикали в c раз.

С другой стороны, когда дело доходит до горизонтального растяжения и сжатия, если мы умножаем x на c , то мы уменьшаем функцию по горизонтали в c раз. Если мы умножим x на 1/ c , то мы растянем функцию по горизонтали на коэффициент c .

О боже, опять много слов! Давайте еще раз посмотрим на пример, чтобы лучше понять эту концепцию.Рассмотрим функцию 2cos( x ). Поскольку мы умножаем всю функцию cos( x ) на 2, мы растягиваем функцию cos( x ) в 2 раза.

Растянуть в 2 раза

Как мы видели в нашей начальной задаче построения графика 1 — cos( x ), мы можем иметь более одного преобразования одновременно. Рассмотрим функцию y = (1/3)cos(- x — 2) — 4.На первый взгляд это кажется очень сложным для построения графика, но на самом деле это всего лишь вопрос: взять график y = cos( x ), сдвинуть его на 2 единицы вправо, уменьшить по вертикали в 3 раза, отражая по оси y и сместившись вниз на 4 единицы.

Преобразования

Симпатично, да?

Итоги урока

Давайте повторим, что мы узнали. В этом уроке мы рассмотрели функцию 1-cos(x), которая является примером преобразований функций или алгебраических манипуляций с функцией, соответствующих преобразованиям графика функции.Мы рассмотрели четыре типа преобразований, включая отражений , которые представляют собой преобразования, отражающие функцию по оси x или y ; вертикальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, сдвигающие график функции вверх или вниз; горизонтальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, сдвигающие график функции вправо или влево; и , растягивающие и , сжимающие , которые представляют собой преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают функцию.

Легко видеть, что преобразования функций чрезвычайно полезны при построении графиков сложных функций. Эти преобразования могут превратить кажущуюся сложной проблему в довольно простую!

Нахождение первообразной 1/cos(x) — видео и расшифровка урока

Доказательство первообразной

Как мы только что видели, найти первообразную 1/cos( x ) невероятно просто, если мы узнаем, что 1/cos( x ) = sec( x )! Все, что нам нужно сделать, это использовать формулу.Однако откуда взялась эта формула? Давайте посмотрим, как мы находим первообразную сек ( x ), чтобы мы знали, откуда взялась эта удобная формула.

Начало этого доказательства — самая сложная часть, потому что большинству и в голову не придет это делать, но здесь мы получаем внутреннюю сенсацию! Мы начинаем с умножения и деления sec( x ) на sec( x ) + tan( x ), и мы упрощаем.

Умножение и упрощение

Теперь рассмотрим производную от:

  • (sec2 ( x ) + sec( x )tan( x )) / (sec( x )) / (sec( x ) х ))

Следующее, что мы хотим сделать, это использовать подстановку. Примем u = sec( x ) + tan( x ).

Сделав эту замену, мы получим, что du равно производной u относительно x . Чтобы найти du , мы используем следующие факты:

  1. Производная суммы функций есть сумма производной функций. То есть ( f ( x ) + g ( x ))’ = f ‘ ( x ) + g ‘ ( x ).
  2. Производная от sec( x ) равна sec( x )tan( x ).
  3. Производная от tan( x ) равна sec2 ( x ).

Хорошо, по первому факту получаем, что производная от sec( x ) + tan( x ) есть сумма производной от sec( x ) и производной от tan( x ). По второму факту производная от sec( x ) равна sec( x )tan( x ).По третьему факту производная от tan( x ) равна sec2 ( x ). Собрав все это вместе, мы получим следующее:

  • u = sec( x ) + tan( x )
  • du = сек( x )tan( x ) + сек2 ( x ) dx

Теперь еще раз взгляните на первообразную, которую мы пытаемся найти.

Первообразная

Вы заметили, куда мы можем воткнуть u и du ? Мы видим, что числитель в первообразной равен u , а знаменатель равен u .Ух ты! Их подключение действительно упростит ситуацию!

Pluggung в тебе и тебе

Хорошо, теперь мы говорим! Нам нужно найти ∫ (1/ u ) du , а это известная первообразная.

  • Производная 1/ u равна ln| и | + С

Нам осталось сделать только одно: подключить u = sec( x ) + tan( x ) обратно.

  • пер| и | + C = ln|sec( x ) + tan( x )| + C , где C — константа
Первообразная

Всегда удобно иметь формулу для первообразной, но также всегда весьма интересно узнать, откуда взялась эта формула. К счастью, теперь мы знакомы как с формулой первообразной 1/cos( x ), так и с тем, откуда взялась эта формула!

Резюме урока

Давайте уделим несколько минут тому, чтобы повторить, что мы узнали о нахождении первообразной числа 1 / cos( x ) .Глядя на 1 / cos( x ), все, что нам нужно сделать, это использовать хорошо известную тригонометрическую идентичность, чтобы переписать выражение, которое есть sec( x ) = 1 / cos( x ). Доказательство, которое мы научились использовать, было немного сложным, но теперь вы можете помнить о нем, когда сталкиваетесь с такой проблемой. Мы узнали, что начинаем с умножения и деления sec( x ) на sec( x ) + tan( x ) и упрощаем. Затем мы подставляем и находим du и u и подставляем значения в уравнение.Оттуда мы находим первообразную, а затем снова подставляем наше исходное уравнение u . Конечно, это был очень краткий обзор всего, что мы узнали, но он должен послужить хорошей основой для выполнения шагов, которые мы рассмотрели в этой статье. 2

Дополнительные тождества

Фундаментальные (базовые) тождества, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, включали только одну переменную.Следующие тождества с двумя переменными называются тождествами тригонометрического сложения .

Эти четыре тождества иногда называют тождеством суммы для синуса , тождеством разности для синуса , тождеством суммы для косинуса и тождеством разности для косинуса соответственно. Проверка этих четырех тождеств следует из основных тождеств и формулы расстояния между точками в прямоугольной системе координат.Пояснения к каждому шагу доказательства будут даны только для первых нескольких следующих примеров.

Пример 1 : Преобразование sin 80° cos 130° + cos 80° sin 130° в тригонометрическую функцию с одной переменной (рис. 1).

     
       Рисунок 1
                   Чертеж для примера 1.

Дополнительные тождества могут быть получены из тождеств суммы и разности для косинуса и синуса.

Пример 2: Убедитесь, что cos (180° − x ) = − cos x

Пример 3: Убедитесь, что cos (180° + x ) = − cos x  

Пример 4: Убедитесь, что cos (360° − x ) = cos x  

Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы приведения для косинуса . Эти формулы приведения полезны при переписывании косинусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.

Пример 5: Убедитесь, что sin (180° − x ) = sin x

Пример 6: Убедитесь, что sin(180° + x ) = − sin x

Пример 7: Убедитесь, что sin (360° − x ) = − sin x

Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы приведения для синуса . Эти формулы приведения полезны при переписывании синусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.

Напомним, что ниже приведены формулы приведения (тождества) для синуса и косинуса. Они действительны как для степени, так и для радиана.

Пример 8: Убедитесь, что sin 2 x = 2 sin x cos x .

Пример 9: Запишите cosβcos(α − β) − sinβsin(α − β) как функцию одной переменной.

Пример 10: Запишите cos 303° в форме sinβ, где 0 <β< 90°.

Пример 11: Запишите sin 234° в виде cos 0 <β < 90°.

Пример 12: Найдите sin (α + β), если sin (α + β), если sin α = и α и β являются углами четвертого квадранта.

Сначала найдите cos α и sin β. Синус отрицательный, а косинус положительный в четвертом квадранте.

Функция арккосинуса

Функция арккосинуса

Функция y = cos

-1 x = arccos x и ее график:

Поскольку y = cos -1 x является обратной функцией y = cos x, функция y = cos -1 x тогда и только тогда, когда cos y = x . Но, поскольку y = cos x не является взаимно однозначным, его область определения должна быть ограничена, чтобы y = cos -1 x было функцией.

Чтобы получить график y = cos -1 x, начните с графика y = cos x.

Ограничить область определения функции взаимно однозначной областью — обычно используется (выделено красным справа) для cos -1 x. Это оставляет диапазон ограниченной функции неизменным как [-1, 1].

Отразите график через линию y = x, чтобы получить график of y = cos -1 x (y = arccos x), черная кривая справа.

Обратите внимание, что y = cos -1 x имеет домен [-1, 1] и диапазон . Он строго убывает на всей своей области определения.

.

Итак, когда вы попросите калькулятор построить график y = cos -1 x, вы получите график, показанный справа. (Окно просмотра [-2, 2] x [-0,5, 3,5].)

Оценка y = cos

-1 x:

Вычисление выражений cos -1 x следует той же процедуре, что и вычисление выражений sin -1 x — , вы должны знать домен и диапазон функции! Вот пример:

Пример 1: Оценка cos

-1 (-1/2)

Если y = cos -1 (-1/2), то cos y = -1/2.Это уравнение имеет бесконечное число решений, но только одно из них () находится в диапазоне cos -1 x. Таким образом:

.

Это показано на рисунке справа. Вертикальные красные линии указывают на некоторые места, где y = -1/2, но только одно (сплошная красная линия) находится в области y = cos -1 x (то есть ).



Производная y = cos

-1 x:

Производная от cos -1 x: (Вывод по существу такой же, как и для sin -1 x. )

График y = cos -1 x и его производной показан справа. Обратите внимание, что поскольку cos -1 x является строго убывающей функцией, ее производная всегда отрицательна.



Интегралы с функцией арккосинуса:

Ну нет их! Поскольку производные от sin-1x и cos-1x очень похожи (а производная от sin-1x проще), обычно говорят:

.



последнее обновление 6 февраля 2009 г., JL Stanbrough

Был ли hat es mit Wurzel (1-cos(x)) auf sich?

Спам Besteht nur, um ein Produkt oder eine Dienstleistung zu bewerben

Unhöflich или missbräuchlich Eine vernünftige Person würde diesen Inhalt für einen respektvollen Diskurs ungeeignet finden.

Sollte geschlossen werden Dieser Beitrag ist völlig unklar, unvollständig, übermäßig breit und es ist unwahrscheinlich, dass sie über die Bearbeitung behoben werden.

Дубликат Dieser Beitrag экзистенциально берет.

Sehr schlechte Qualität Dieser Beitrag шляпа schwerwiegende Formatierungs- oder Inhaltsprobleme. Es ist unwahrscheinlich, dass der Inhalt durch die Bearbeitung zu retten ist und möglicherweise entfernt werden muss.

zu wenig Intuition und mangelhafte Angaben Dieser Beitrag hat lückenhafte Angaben und muss geändert werden.

Вмешательство модератора нет Ein Problem, das oben nicht aufgeführt ist, erfordert die Reaktion eines Moderators.

Краткое изложение тригонометрических тождеств

На последних страницах вы видели довольно много тригонометрических тождеств. Удобно иметь их сводку для справки. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть и такие, которые включают два угла, и для них два угла обозначаются α и β .
 
Более важные тождества.
Вам не нужно знать все личности навскидку. Но это вы должны.
 
Определяющие соотношения для тангенса, котангенса, секанса и косеканса через синус и косинус.
Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, вероятно, самая важная триггерная идентичность.
Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей кофункции, оцениваемой под дополнительным углом.
Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
Тождества для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс — нечетные функции, а косинус и секанс — четные функции.
Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
Менее важные тождества.
Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из приведенных выше, но иногда для этого требуется некоторая работа.
 
Формула Пифагора для тангенсов и секансов. Есть также один для котангенсов и косекансов, но, поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, он не нужен.
Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения.
Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
Формулы половинного угла. Синус и косинус принимают положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, то будет использоваться положительный корень.
 
Совершенно неясные личности.
Они просто здесь для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них можно просто забыть, пока они не понадобятся.
 
Тождества произведения-суммы. Эта группа тождеств позволяет преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
Идентификаторы продуктов. В стороне: как ни странно, эти тождества произведений использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу для поиска угла α , косинус которого равен x , и угла β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α  +  β .а разница α – β . Усредните эти два косинуса. Вы получаете товар xy ! Три поиска в таблице и вычисление суммы, разности и среднего, а не одного умножения. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как prosthaphaeresis.
Формулы тройного угла. Вы можете легко восстановить их по формулам сложения и двойного угла.
Больше формул половинного угла. Они описывают основные триггерные функции в терминах тангенса половины угла. Они используются в исчислении для особого вида подстановки в интегралах, иногда называемой подстановкой Вейерштрасса t .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск