7 класс уравнения модулями с: Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Содержание

Уравнения с модулями. Графический метод

Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида

|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4

в которых переменная входит однократно и линейно.
Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем.
Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( «галочки»)

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулю
x-7=0; –> x=7.
Так что «галочка» переносится вправо на 7.

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.
Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле
||x|-6|, ||x|+3|
Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oх вверх.

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.

Далее, если в задании спрашивают «Какое количество корней уравнения ||x|-6|=2?» то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.

 

Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3.
Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значения
x=-6; x=0;x=4; x=10.
На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.

 

Пример 2. Найти количество корней следующего уравнения с модулем |||x+1|-3|-5|=2.
Решение: Имеем уравнения с двумя вложенными модулями. График первого вложенного модуля получим смещением в отрицательную сторону оси абсцисс модуль функции на единицу. Далее параллельно переносим полученный график вниз на 3 и отразим относительно оси Ox все минусовые y. Полученный график снова опускаем вниз, на этот раз на 5 клеток и симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox. Выполняем построение правой стороны уравнения – прямой y=2.
В результате у Вас должен получиться похожий конечный график модуль функции

Из построения видим, что имеем пять точек пересечения прямой с модуль-функцией, а следовательно и 5 корней уравнения. Вот и все решения примера с модулями. Классическое раскрытие модулей для этого примера занимает очень много времени и существует вероятность неправильного решения уравнения. Преимущество графического метода по времени решения видна невооружённым глазом.

 

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем ||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?
Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев – 4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра

a-3=2; – > a=5.

и неровности

a-3>0; a>3;
a-3< 2; a < 5 .

В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5
и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).

В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот «навредить». Например: «Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?», «Найдите сумму решений уравнения», «Найдите наибольшее целое значение параметра» и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.

Похожие материалы:

Учебные материалы

Прогрессии:
Применение арифметической прогрессии при решении
некоторых видов диофантовых уравнений
Геометрические прогрессии в задачах ЕГЭ уровня С6
Нестандартные задачи на прогрессии

Параметры:
Вспоминая ЕГЭ — 2017. Параметры
Готовимся к ЕГЭ – 2020 Параметры. МЭЙНСТРИМ
ЕГЭ. Графики, параметры Часть 2
Метод областей в задачах с параметром
Задача ЕГЭ с параметром по силам… девятикласснику!
Три беседы о параметрах
Задачи с параметром. Часть 1.
Задачи с параметром. Часть 2.
Задачи с параметром. Часть 3. 

Модули:
О числе корней уравнения, содержащего знак модуля
«Поиграем» с равносильными переходами в уравнениях и неравенствах с модулями

О разнообразии методов решения задач с модулями и параметром 

Квадратные уравнения:
А где же квадратные уравнения? … Нашлись… Части 1 и 2. 

Уравнения и неравенства:
Иррациональные неравенства
Иррациональные уравнения
Эффективные методы решений неравенств, содержащих множитель вида
Эффективные методы решений некоторых показательных и
логарифмических неравенств
Простейшие уравнения и системы
Следствия. Равносильные уравнения.
Часть 1  
Часть 2
Решаем неравенства, не решая неравенств
О линейных диофантовых уравнениях
Метод оценок для решения уравнений и неравенств
Нестандартные способы решения рациональных уравнений

Системы уравнений и неравенств с двумя переменными
О приближённых решениях систем линейных алгебраических уравнений
Два метода доказательства неравенств
Монотонные функции в уравнениях и неравенствах
«Необычайные приключения» двух неравенств

Степени:
Суммы степеней натуральных чисел
Уравнения отрезка

Делимость:
Делимость натуральных чисел
О схемах сокращённого деления
Делимость на числа вида 10n±1

Суммы и их вычисление
О пользе одного метода группировки слагаемых
Малоизвестные способы умножения натуральных чисел

Целые числа:
Дюжина полезных задач с целыми числами
Решение нелинейных уравнений в целых числах
Вася, Федя и капитан Флинт (про целые числа)
Олимпиадные задачи на целые числа

Корни:
Как приближённо вычислять корни и решать кубические уравнения?
Извлекаем квадратный корень

    

Треугольники, трапеции и окружности. Готовимся к ЕГЭ-2020 
О теореме Менелая для тетраэдра
Геометрия ЕГЭ 2018

Геометрия в ЕГЭ. Задачи на доказательство

 

Окружности:
Теоремы об углах в окружностях, не входящие в школьный курс,
и их практическое применение
Произвольный треугольник
Произвольный треугольник
Произвольный треугольник
Произвольный треугольник
Произвольный треугольник

 

Треугольники:
Произвольный треугольник

Треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника.
Золотой треугольник.
Итерации треугольников
Пропорциональные отрезки в треугольнике
Неравенства и треугольники


Планиметрия:
Центры тяжести и планиметрия
Готовимся к ЕГЭ – 2020. Планиметрия простая и сложная.


Четырехугольники:
Вписанные и описанные четырёхугольники
Четырёхугольники и теорема Понселе
Сопутствующие четырёхугольники
Теорема Вариньона


Многоугольники:
Куб и правильные многоугольники
Замечательная комбинация правильных многоугольников
Об отношении суммы длин диагоналей выпуклого многоугольника к его периметру


Касательные:
Уравнение касательной
Задачи о касательных к параболам


Площадь:
Формула Пика
«Алгебра площадей»
Площадь круга и его частей


Прямые:
5 задач на доказательство параллельности прямых
Прямые углы опять в моде

 

 

 

 

 

Решение уравнений с модулем методом интервалов

Предварительные навыки

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений.

Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

|− 5| − |x| = 1

У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:

Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.

Решим уравнение | 5|  |x| = 1 методом интервалов.

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.

Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |− 5| и |x|.

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:

Для модуля |− 5| точкой перехода будет 5. Для модуля |x| точкой перехода будет 0.

Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:

Проведем дуги от точек перехода:

С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

Обратите внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ < 5.

Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5.

Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.

Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид

≤ 0, а второй промежуток принял бы вид 0 < < 5, потому что ноль уже был включен в первый промежуток.

Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.

Теперь выясним как будут вести себя модули |− 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.

Начнем с первого промежутка x < 0.

Если x < 0, то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение

− 5 станет отрицательным, а значит модуль |− 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке x < 0 тоже будет раскрываться со знаком минус.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(− 5) + x = 1

Второй модуль |x| на промежутке < 0 раскрылся с минусом. В самом же уравнении |− 5 |− |x| = 1 после выражения |x − 5| тоже располагался минус. В математике два минуса, идущие подряд, дают плюс.  Поэтому и получилось выражение −(− 5) + x = 1.

Решим уравнение −( 5) + x = 1, которое получилось после раскрытия модулей на промежутке

x < 0

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.

Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0  < 5.

Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение  5, станет отрицательным, а значит модуль | 5| на промежутке 0  x < 5 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0  < 5 будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке 0  x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −( 5) − x = 1

Решим это уравнение:

Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является  корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку  0  x < 5. Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1. Проверка также показывает это:

Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5.

Если x больше или равно пяти, то модуль |− 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид − 5 − x = 1.

Решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.

В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0  x < 5.

Ответ: 2.


Пример 2. Решить уравнение |− 3| + |+ 2| = 7

Решение

Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |− 3| и |+ 2|

Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули | 3| и |+ 2| на этих промежутках.

На промежутке < −2 модуль |− 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка < −2. Например, числа −4 или −9

|− 3| = |−4 − 3| = |−7| = −(−7) = 7

|− 3| = |−9 − 3| =|−12| = −(−12) = 12

Следующий модуль |+ 2| на промежутке < −2 тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка < −2 в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8

|+ 2| = |−6 + 2| = |−4| = −(−4) = 4

|+ 2| = |−8 + 2| = |−6| = −(−6) = 6

Значит после раскрытия модулей на промежутке < −2 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3   2 = 7

Решим его:

Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток < −2. Для этого нужно подставить в неравенство < −2 найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 < −2 верно, значит корень −3 входит в промежуток < −2 и соответственно является корнем исходного уравнения.

На следующем промежутке −2  < 3 модуль | 3| будет раскрываться с минусом, а модуль|+ 2| будет раскрываться с плюсом.

Значит после раскрытия модулей на промежутке −2  < 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений, значит на промежутке −2 ≤ < 3  исходное уравнение тоже не имеет решений (корней).

Наконец рассмотрим промежуток  3

На промежутке  3 модуль | 3| будет раскрываться с плюсом. Модуль|+ 2| так же будет раскрываться с плюсом. Значит на промежутке ≥ 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

x − 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

Этот корень входит в рассматриваемый промежуток ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Ответ: −3 и 4.


Пример 3. Решить уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16

Решение

Найдём точки перехода для модулей |2x  3| и |2x + 7|

Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:

Решим исходное уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16 на промежутке . Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:

Корень −5 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Модуль |2x  3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:

Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

Корень 3 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5 и 3.


Пример 4. Решить уравнение | 2| + 3= | 5|  18

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x  2| и |x 5|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке < 2. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число −5 принадлежит промежутку < 2, значит является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке 2  < 5. Модуль | 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |− 5| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 2  x < 5, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке  5. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:

Число −7 не принадлежит промежутку  5, значит не является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5


Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x 4|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке < 0. Все три модуля: |x|, |− 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число не принадлежит промежутку < 0, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0  < 4. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |− 7| и |x 4| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 0  < 4, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4  < 7. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль | 7| — с минусом; модуль |− 4| — с плюсом:

Число не принадлежит промежутку 4  < 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:

Число не принадлежит промежутку x ≥ 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.


Пример 6. Решить уравнение

Решение

Найдём точки перехода для модулей и

Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.

Если у модуля внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2− 1 ≥ 0 (что равносильно ), то исходное уравнение примет вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|. Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны . Отметим эту точку на координатной прямой.

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|, то точки перехода надо найти для модулей |2− 1 − 5| и |6 − x|.

Для модуля |2− 1 − 5| точкой перехода будет число 3, а для модуля |6 − x| — число 6. Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку

Сейчас нас интересуют только те значения x, которые удовлетворяют условию , потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию

Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это . На нем модуль |2 1  5| раскрывается с минусом, а модуль |6  x| с плюсом:

Получили тождество — равенство верное при любом значении x. В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка . Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию

Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3  < 6. Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:

Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию , согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке  6. На этом промежутке модуль |2 1  5| раскрывается с плюсом, а модуль |6  x| с минусом. Тогда:

Корень 0 не удовлетворяет условию  6, значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.

Итак, если внутренний модуль уравнения раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток , а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:

Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2− 1 < 0 (что равносильно неравенству ). В этом случае исходное уравнение примет вид:

|−2x + 1 − 5| + x = |6 − x|

Отметим точку на координатной прямой.

Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от . Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.

Найдем точки перехода для модулей |−2+ 1  5| и |6  x|. Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6

Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от . Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом

Решим уравнение на промежутке < −2. На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < −2 исходное уравнение не имеет корней.

Решим теперь уравнение на промежутке . Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2+ 1  5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом.

Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток < −2, который мы уже рассмотрели. На промежутке < −2 модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.

На промежутке  модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:

Получится корень который не удовлетворяет условию . Несмотря на это число является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2− 1 ≥ 0.


Задания для самостоятельного решения

Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: x ∈ [−5 ; 3].

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: x ∈ [3 ; +∞).

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: , 0.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −5.

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −4, 2.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: , . 2=1} & \end{array}\right. \)
Проанализируем первый график:
Исходная прямая y = x – 1 превращается в ломаную y = |x – 1|, «отражается» в точке (1; 0) в положительную полуплоскость y > 0.
Далее, ломаная y = |x – 1| опускается на 1 вниз y = |x – 1| – 1.
Наконец, области y = |x – 1| – 1 с отрицательными Y снова отражаются в положительную полуплоскость y > 0.
Второй график – окружность с центром (1; 0), радиусом 1.

Получаем три пары решений.
Ответ: {(0; 0) (1; 1) (2; 0)}.

Пример 2. Решите графически систему неравенств:
a) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{|x-2|+|y-4|\leq 2} & \\ \mathrm{y\leq \frac{1}{x-2}+4} & \end{array}\right. \)
|x – 2| + |y – 4| ≤ 2 – внутренняя область и стороны квадрата с точкой пересечения диагоналей (2; 4), длиной диагоналей 4.
\( \mathrm{y\leq \frac{1}{x-2}+4} \) – область под гиперболой с асимптотами x = 2, y = 4.

Решение – точка A(1; 3) и треугольник BCD, заданный системой трех неравенств:
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x \geq 2} & \\ \mathrm{y \leq 8 — x} & \\ \mathrm{y \geq x} & \end{array}\right. \)

б) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{1\leq |x+y|\leq 3} & \\ \mathrm{2\leq |x-y|\leq 5} & \end{array}\right. \)
Первое неравенство: \( \mathrm{1\leq |x+y|\leq 3\Rightarrow -3\leq x+y\leq -1\cup 1\leq x+y\leq 3\Rightarrow} \)
\( \mathrm{\Rightarrow -x-3\leq y\leq -x-1\cup -x+1\leq y\leq -x+3} \) – две полосы, параллельные y = –x.
Второе неравенство: \( \mathrm{2\leq |x-y|\leq 5\Rightarrow -5\leq x-y\leq -2\cup 2\leq x-y\leq 5\Rightarrow} \)
\( \mathrm{\Rightarrow -x-5\leq -y\leq -x-2\cup -x+2\leq -y\leq -x+5\Rightarrow} \)
\( \mathrm{\Rightarrow x+2\leq y\leq x+5\cup x-5\leq y\leq x-2} \) – две полосы, параллельные y = x.

Решение – четыре прямоугольника, образованные пересечением полос.
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{-x-3\leq y\leq -x-1\cup -x+1\leq y \leq -x+3} & \\ \mathrm{x+2\leq y\leq x+5\cup x-5\leq y\leq x -2} & \end{array}\right. \)

Пример 3. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения:
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y=x^2-5|x|+4} & \\ \mathrm{y\leq a} & \end{array}\right. \)
y = x2 – 5|x| + 4 – парабола y = x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), x > 0, отраженная в отрицательную полуплоскость x < 0 относительно оси Y.
Осью симметрии параболы при x > 0 является прямая \( \mathrm{x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+4}{2}=2,5} \)
Вершина лежит на оси. Ордината вершины: y0 = 2,52 – 5 · 2,5 + 4 = –2,25.
В полуплоскости x < 0 вершина расположена симметрично относительно оси Y и имеет ту же ординату.
Значит, при a = –2,25 система имеет два решения:

При a < –2,25 решений нет, при a > –2,25 решений бесконечное множество (отрезки кривой).
Ответ: a = –2,25.

МАТ-0990-009-Sp16

    Панель приборов

    МАТ-0990-009-Sp16

    Перейти к содержанию Панель приборов
    • Авторизоваться

    • Приборная панель

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать