Алгебра способ сложения: § Системы уравнений. Как решать системы уравнений

Содержание

Способ сложения | План-конспект занятия по алгебре (7 класс):

Организационный момент
Время: 1-2 мин

 Включение в деловой ритм. Подготовка к работе

 Учитель приветствует учащихся, отмечает отсутствующих, проверяет все ли готово к уроку.

Задаётся эмоциональный тон урока.

 Настраиваются на работу, получают позитивный заряд, концентрируют внимание

 

Проверка домашнего задания
Время:3-4 мин

 Выявить уровень  усвоения ранее изученной темы по домашнему заданию, определить типичные ошибки и недочеты.

 Учитель выслушивает ответы учащихся по каждому заданию, если есть ошибки в ответах рассматривают подробные решения.

 

 

 Учащиеся отвечают , какие решения получились

 

 

 

Подготовка к активной познавательной деятельности

5 мин

Активизировать знания учащихся, необходимые для изучения нового материала. .

Учитель предлагает устно решить задания

1.Дано уравнение 4x-3y=-2. Укажите какое-либо решение (пару чисел (x;y)) этого уравнения.

  1. Выразите переменную y через x , если 3x+ 2y=1.
  2. Является ли пара чисел (-2; -1) решением системы уравнений  
  3. Задача- сумма катета и гипотенузы прямоугольного треугольника равна

17 , а разность равна 3. найти гипотенузу.

1.ответ . например (1;2)

2.ответ.у=0,5-1,5х

3.ответ. 2*(-2)+3*(-1)=-7 не равно 8 .Нет.

Создание проблемной ситуации

 5 мин

Обсуждение незнакомой ситуации, порождающей проблему появления нового понятия

Учитель предлагает составить систему уравнений по условию данной задачи 4 .

Как можно решить эту систему ?

                         

Вместе с учителем учащиеся составляют два уравнения

х+у=17, х-у=3

Изучение нового материала
Время:10 мин

 Знакомство с алгоритмом решения  систем уравнений

способом сложения

   организация внимания; сообщение учителем нового мате риала; обеспечение восприятия, осознания, систематизации

 и обобщения этого материала учащимися.

  Организует высказывание учащимися предположений в отношении того,   как решить систему уравнений 4

Далее учитель предлагает подумать над решением еще одной системы

__________________

19у=76

у=4, 4х+3*4=6

4х=6-12

х=-1,5 Ответ: (-1,5; 4)

затем  учитель предлагает составить алгоритм решения систем уравнений способом сложения

Учащиеся предлагают свои способы решения по задаче 4

Учащиеся высказывают предположение, что разные коэффициенты надо уравнять.

Для этого первое уравнение системы надо умножить на3, а второе- на 2.

 

Составляют вместе с учителем алгоритм решения  1)уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;

2)Сложить или вычесть полученные уравнения;

3)подставить найденное значение в одно из уравнений системы и найти значение второй неизвестной.

 

 

Закрепление  нового материала
 Время: 10 мин

 (обеспечение осознанности формируемых знаний  и умений

 

 

 Учитель предлагает открыть учебник и решить№633(1,)- у доски, а  №633(3) на месте с комментарием решения

 №634(1) у доски, №634(3) с комментарием

 

 Учащиеся прорешивают системы уравнений по ранее рассмотренному алгоритму,

выслушивая комментарии своих товарищей и высказывая свое мнение по этапу решения

 

 

 

 

 

Контроль
Время 5 мин

 Обеспечение усвоения алгоритма выполнения заданий

 

 

 Учитель раздает карточки с заданиями для проверочной работы. Примерные задания

а)Ответ:(2;1)

б) 

Ответ: (-8;-4).

 

 Учащиеся записывают в тетради решение . Учатся применять алгоритм в процессе индивидуальной работы

 

 

Рефлексия 
Время:
3 мин

. Обеспечение осознания учащимися своей учебной деятельности на уроке

Организует обсуждение: Какова была тема урока? Какую задачу ставили? Каким способом решали поставленную задачу? Что узнали нового

Что вам понравилось на уроке?

 Проводят самооценку результатов своей деятельности и деятельности всего класса

.

 

 

Домашняя работа

Время: 1 мин

сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения и подвести

    итоги урока.

Записывает задание

№633(2,4), №634(2,4),параграф35.

Записывают задания в дневниках.

алгебра способ сложения

Вы искали алгебра способ сложения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебраическое сложение систем уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «алгебра способ сложения».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.

Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как алгебра способ сложения,алгебраическое сложение систем уравнений,как решать систему уравнений способом сложения,как решить методом алгебраического сложения систему уравнений,метод алгебраического сложения,метод сложения,метод сложения в системе уравнений,метод сложения системы уравнений,решение систем способом сложения,решение систем уравнений методом алгебраического сложения,решение системы методом сложения,решение системы сложением,решите методом алгебраического сложения систему уравнений,решите систему методом алгебраического сложения,решите систему уравнений методом алгебраического сложения,решите способом сложения систему уравнений,решить систему уравнений способом алгебраического сложения онлайн,система уравнений способ сложения,сложение в системе уравнений,сложение систем,способ сложения,способ сложения алгебра,способ сложения линейные уравнения,способ сложения систем уравнений.
На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и алгебра способ сложения. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать систему уравнений способом сложения).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же алгебра способ сложения Онлайн?

Решить задачу алгебра способ сложения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Урок алгебры по теме: "Решение систем линейных уравнений способом сложения" (7 класс)

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА 1.

ФИО

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Тема: «Сложение чисел с разными знаками» 1. ФИО (полностью) Федосеева Ольга Васильевна 2. Место работы ГБОУ школа-интернат 1 г.о. Чапаевск 3. Должность Учитель математики 4. Предмет

Подробнее

Тема: «Сложение дробей с одинаковыми

Урок по математике. 4 класс. Программа «Школа 2100». по учебнику Л.Г.Петерсон (4 класс, 2 часть, урок 3) Тема: «Сложение дробей с знаменателями». Урок открытия новых знаний. Подготовила: Моисеева Е.Р.

Подробнее

действия деятельности

Технологическая карта урока Предмет алгебра Класс 9 Автор УМК Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, М.Н. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин Москва «Просвещение»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ Развёрнутый план урока по теме «Замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых» ТЕМА: «Замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых» (ч. 1: с. 15) ЦЕЛЕВЫЕ УСТАНОВКИ:

Подробнее

Конспект урока, 7 класс.

Конспект урока алгебры в 7 классе. Взаимное расположение графиков линейных функций Автор: Дмитриева Наталья Анатольевна, Московская область, город Подольск, МОУ «Лицей 26». Описание материала: Предлагаю

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Ф.И.О. Ковалева Юлия Сергеевна Предмет: Математика Класс: 5 класс Автор УМК: Математика 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений А. Г. Мерзляк и др. Тема урока: Сложение

Подробнее

Сложение и вычитание смешанных чисел

Предмет: Математика Класс: 5 «Б» класс Сложение и вычитание смешанных чисел Учебник: Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Подробнее

Урок математики в 3 «б» классе

Урок математики в 3 «б» классе Тема: Переменная. Запись выражений и предложений с помощью переменной Цели: 1. Дать понятие о переменной, как букве, обозначающей меняющиеся (переменные) значения элементов

Подробнее

y 12 = 2y 7,5 y 2y = 12 7,5 -y = 4,5 y = - 4,5

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа 7г. Белгорода Разработка урока по теме «Решение уравнений» (6 класс) Подготовила учитель математики Гриценко Т.Г.

Подробнее

Занятие 1 (2 часа) Ход занятия.

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 ( часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Подробнее

«Числовые и буквенные выражения».

Муниципальное казѐнное общеобразовательное учреждение «Дуровская средняя общеобразовательная школа» Сафоновского района Смоленской области «Числовые и буквенные выражения». Учитель математики I категории

Подробнее

Тема урока: Системы счисления

Тема урока: Системы счисления Цели занятия: Дидактическая: познакомить правилами выполнения арифметических операций (сложение, умножение, вычитание) в двоичной системе счисления. Развивающая: развитие

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Учитель: Марахина Ольга Анатольевна Предмет: алгебра 7 класс УМК: А.Г. Мордкович, Алгебра 7 класс Тема урока: Взаимное расположение графиков линейных функций Тип урока: изучение

Подробнее

Оборудование: проектор, ноутбуки, рабочие листы, тетради, учебники, раздаточный материал

Достаточно часто в школах мы встречаем ситуацию, когда учитель прекрасно объясняет материал, учащиеся его внимательно слушают, но через несколько минут, выходя из кабинета, забывают, о чем шла речь на

Подробнее

Комментарий пояснение.

методическая разработка урока с использованием ИКТ Учебный предмет алгебра Тема урока Линейная функция 7 класс Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 10 г. Сочи

Подробнее

6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 3.3k. Опубликовано

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:

1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;

2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;

3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.

Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).

Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.

Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24.  Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.

 

Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.

 

Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.

Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.

Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.

 

Ответ: (3; -5).

 

Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:

Сложим эти равенства почленно.

Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):

Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.

 

Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.

Ответ: (-2; 1).

Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.

Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.

· 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.

Ответ: (4; -3).

Тема урока «Решение систем линейных уравнений способом сложения" 7 класс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тема урока
«Решение систем линейных уравнений способом сложения"

  1. Цель и задачи урока

Цель: научить решать системы линейных уравнений способом сложения.

Задачи:

- обучающие: отработка и закрепление навыков решения систем линейных уравнений способом сложения;

-развивающие: развитие внимания, интереса к предмету, умения систематизировать и применять полученные знания, выбирать оптимальные решения;

-воспитательные: формирование математической культуры, навыков самоконтроля, чувства взаимопомощи, воспитание аккуратности при выполнении работы.

  1. Тип урока: урок изложения нового материала.

  2. Формы работы учащихся: фронтальная, работа в парах.

  3. Необходимое техническое оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, доступ к интернету.

  4. Структура и ход урока

Таблица 1.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Приложение к плану-конспекту урока

«Решение систем линейных уравнений способом сложения»

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

ФИО (полностью)

Пушкина Рафиса Газимяновна

Место работы

МОУ «СОШ № 21 с УИОП» г. Ухта, Республика Коми

Должность

Зам.директора по УВР

Предмет

алгебра

Класс

7

Тема и номер урока в теме

«Решение систем линейных уравнений способом сложения», урок 1

Базовый учебник

Этап урока

Название используемых ЭОР

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Время

(в мин. )

1

2

3

4

5

6

1

Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, отмечает отсутствующих, проверяет готовность учащихся к уроку

Учащиеся приветствуют учителя

1 мин

2

Вступительная часть

Учитель сообщает тему, цели и задачи урока

Учащиеся записывают в тетрадях для конспектов дату и тему урока

1 мин

3

Подготовка к изучению нового материала

Способы решения систем линейных уравнений. К1

(1)

Учитель проверяет выполнение домашнего задания, задает вопросы по пройденному материалу, сопровождая ответы учеников демонстрацией слайдов. (Что значит решить систему уравнений с двумя переменными? Какие способы решения систем уравнений с двумя переменными нам известны?)

Учитель предлагает выполнить устные задания на повторение, используя слайды 1-3

Учащиеся дают ответы на поставленные вопросы.

выполняют устно задания, дают ответы

8 мин

4

Ознакомление с новым материалом

Способ сложения

(N 191189)

(2)

Учитель сообщает о способе сложения и показывает презентацию с примером 1, используя слайды из части «Теория», пример 1.

Далее рассматривается пример 2

(3х - 5у= -7, 10х + 5у=20). После решения системы учитель предлагает учащимся составить алгоритм решения систем уравнений способом сложения

Учащиеся обсуждают решение примера 1, записывают его в тетрадь. Учащиеся вместе с учителем решают пример 2. Составляют алгоритм решения системы уравнений способом сложения и после обсуждения записывают «Алгоритм» в конспект.

10 мин

5

Физкультминутка

Учитель комментирует упражнения для глаз и спины (по 2 упражнения)

Учащиеся выполняют упражнения

2 мин

6

Закрепление полученных знаний

Способы решения систем линейных уравнений. К1

(1)

Учитель демонстрирует слайд 4

Учитель раздает карточки с заданиями каждой паре учащихся (3х-2у=9 и 3х-2у=5, 4х-2у=6 и 2х-у=3).

Ученики, пользуясь «Алгоритмом» выполняют задания в парах.

Делают вывод о количестве решений систем линейных уравнений с двумя переменными.

6 мин

7

Отработка навыков по теме

Способ сложения

(N 191189) (2)

Учитель предлагает учащимся с помощью компьютера проверить свои решения (часть «Практика»)

Учащиеся сверяются с решениями на экране.

4 мин

8

Отработка навыков по теме

Способ сложения

(N 191179) (3)

Учитель предлагает учащимся с помощью компьютера проверить свои решения (часть «Контроль»)

Учащиеся сверяются с решениями на экране.

6 мин

9

Объяснение домашнего задания

Учитель предлагает решить опережающее задание: решение задачи с помощью составления системы линейных уравнений с двумя переменными.

Учащиеся записывают домашнее задание

4 мин

10

Подведение итогов урока

Учитель подводит итог урока, задает вопросы по изученной теме и отвечает на вопросы учащихся.

Рефлексия.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя и сами задают вопросы. Выбирают нужный смайлик.

3 мин

Название ресурса

Тип, вид ресурса

Форма предъявления информации

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР

1

К-тип

Интерактивный тест

Тест с возможностью индивидуальной самопроверки

http://fcior.edu.ru/card/951/sposoby-resheniya-sistem-lineynyh-uravneniy-k1.html

2

Теория, практика

Интерактивное задание

Презентация

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/34af1e7d-818c-4008-9941-821b575fddb7/?from=820d62ae-6bce-41ea-923d-7184c1801fc9&interface=pupil&class=49&subject=17&rub_guid[]=820d62ae-6bce-41ea-923d-7184c1801fc9

3

Контроль

Интерактивное задание

Тест с возможностью самопроверки

http://school-collection. edu.ru/catalog/res/5ad7bf1c-8d71-4334-83f2-99867dd75f78/?from=820d62ae-6bce-41ea-923d-7184c1801fc9&sort=order&interface=pupil&class=49&subject=17

4

Тип К

Интерактивный тест

Интерактивное тестовое задание с возможностью пошагового самоконтроля

http://fcior.edu.ru/card/13603/reshenie-zadach-pri-pomoshi-sistem-lineynyh-uravneniy-k2.html

Карточки-задания для самостоятельной работы по алгебре на тему "Способ сложения", 7 класс

Самостоятельная работа по теме «Способ сложения»                 А – 7 1 вариант                                                                                                                           2 вариант Решить системы уравнений способом сложения 2 х – 3 у = ­ 1                                                                    1)        3 х + 2 у = 1 3 х + 4 у = 24                                                                                2 х + 5 у = 8 2 – 3 х = 2 ( 1 – у )                                                           2)         2 – 4 у = 3 ( х – 2 )  4 ( х + у ) = х – 1,5                                                                        2 ( х + у ) = 5 у + 2,5 1) 2)                        3)                                    2х 5 2х 5  1 +  у 2                                                                      3)           у = ­ 2                                                                                    2х 3 2х 3  2 +  у 2  + у = 8                  Самостоятельная работа по теме «Способ сложения»                 А – 7 1 вариант                                                                                                                           2 вариант Решить системы уравнений способом сложения 3) 4)                  2 х – 3 у = ­ 1                                                                    1)        3 х + 2 у = 1 3 х + 4 у = 24                                                                                2 х + 5 у = 8 2 – 3 х = 2 ( 1 – у )                                                           2)         2 – 4 у = 3 ( х – 2 )  4 ( х + у ) = х – 1,5                                                                        2 ( х + у ) = 5 у + 2,5       3)                                    2х 5 2х 5  1 +  у 2                                                                      3)           у = ­ 2                                                                                    2х 3 2х 3  2 +  у 2  + у = 8                                          Самостоятельная работа по теме «Способ сложения»                 А – 7 1 вариант                                                                                                                           2 вариант Решить системы уравнений способом сложения 5) 6)                  2 х – 3 у = ­ 1                                                                    1)        3 х + 2 у = 1 3 х + 4 у = 24                                                                                2 х + 5 у = 8 2 – 3 х = 2 ( 1 – у )                                                           2)         2 – 4 у = 3 ( х – 2 )  4 ( х + у ) = х – 1,5                                                                        2 ( х + у ) = 5 у + 2,5       3)                                    2х 5 2х 5  1 +  у 2                                                                      3)           у = ­ 2                                                                                    2х 3 2х 3  2 +  у 2  + у = 8

Способ сложения - Алгебра - Уроки

Дата

Тема урока: Способ сложения

Задачи: научить находить решения системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Ход урока

  1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Ответьте устно на вопросы:

Расскажите алгоритм решения системы уравнений графическим способом.

Расскажите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

Выполните устно. Найдите сумму:

а) ; б) ; в) =; г) ?

  1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Открываем тетради, записываем сегодняшнее число и тему урока. Далее изучаем конспект и выполняем соответствующие записи.

Сегодня изучаем новый способ решения систем линейных уравнений – способ сложения. Его суть заключается в том, чтобы «избавиться» от одной переменной и получить линейное уравнение относительно одной неизвестной.

Алгоритм решения систем уравнений способом сложения:

1 шаг. Анализируем систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Необходимо посмотреть на коэффициенты около переменной х и на коэффициенты около переменной у. Для способа сложения они должны быть равными по модулю, но быть с противоположными знаками. Если такие даны сразу по условию, то приступаем к шагу два. Если по условию это не дано, значит необходимо определиться, от какой переменной хотим «избавиться» и сделать около нее необходимые коэффициенты, выполнив умножение соответствующего уравнения на некоторое число.

2 шаг. Выполнить почленное сложение двух уравнений системы как левых их частей, так и правых. Получим одно уравнение. Вторым уравнением в системе будет любое из двух заданных изначально в неизменном виде.

3 шаг. Решить полученное линейное уравнение относительно одной переменной, получить её числовое значение.

4 шаг. Вернуться ко второму уравнению новой системы и подставить в него найденное значение переменной, полученной на шаге 3. Снова получаем линейное уравнение относительно одной неизвестной. Решаем его и получаем числовое значение второй неизвестной.

5 шаг. Записать ответ в виде пары чисел (х; у).

  1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрим алгоритм на конкретном примере.

Пример 1. Решить систему способом сложения

1 шаг. Анализируем коэффициенты около переменных х и у. Около переменной х в первом и втором уравнениях системы коэффициенты равны по модулю, но у них одинаковые знаки, оба положительные, нам не подходит. Около переменной у коэффициенты тоже равны по модулю и знаки у них разные, как раз необходимо для алгоритма. Значит будем «избавляться» от переменной у.

2 шаг. Выполним почленное сложение двух уравнений, и, допустим, первое оставим без изменения. Тогда получим систему следующего вида:

Первое без изменения. Второе путем сложения левых частей в левой части и правых частей в правой части.

Раскроем скобки во втором уравнении и приведем подобные:

3 шаг. Получили линейное уравнение относительно переменной х, решим его:

Нашли числовое значение одной из переменных, нужно теперь найти второе.

4 шаг. Подставим в первое вместо х его числовое значение:

Теперь необходимо найти числовое значение второй переменной. Решим уравнение:

5 шаг. Записать ответ в виде (х; у).

Ответ: (8; 7).

1082(а). Решить систему

Анализируем коэффициенты около неизвестных. От переменной х мы не «избавимся», т.к. коэффициенты разные. А вот от переменной у можем «избавиться», т.к. коэффициенты равны по модулю и знаки разные. Выполняем почленное сложение, оставляя первое уравнение без изменения:

Раскрываем скобки, приводим подобные члены:

Решаем линейное уравнение относительно переменной х:

Получили х=2. Возвращаемся к первому уравнению, подставляем вместо х числовое значение и находим у:

Ответ: (2; 1).

1082(в). Решить систему

Анализируем систему. Около переменной у коэффициенты совершено нам не подходят, они не равны по модулю. Около переменной х коэффициенты равны по модулю, но у них одинаковые знаки, а для применения алгоритма должны быть разные.

Чтобы сделать разные знаки, умножим обе части ПЕРВОГО уравнения на( – 1), а второе оставим без изменений. Получим следующую систему:

Теперь можем «избавиться» от переменной х, выполнив почленное сложение:

Раскроем скобки и приведем подобные во втором уравнении, а в первом поменяем местами слогаемые:

Найдем значение переменной у:

Подставим числовое значение у в первое уравнение и найдем х:

Ответ: (60; 30).

1084(а). Решить систему

Анализируем систему. Около переменных х и у нет одинаковых по модулю коэффициентов. Значит нам самим необходимо выполнить некоторые преобразования уравнений, чтобы можно было воспользоваться алгоритмом способа сложения.

Давайте «избавимся» от переменной х. Для этого коэффициенты около нее должны быть одинаковые по модулю, но с разными знаками. Нам нужно, чтобы во втором уравнении около переменной х появился коэффициент ( – 40). Для этого выполним умножение частей второго уравнения на (– 2), получим:

Теперь можем применить алгоритм способа сложения:

Ответ: (0,25; 0).

  1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Домашнее задание: выучите новую теорию и выполните № 1082(б, г).

Методы замены и добавления

Результаты обучения

  • Используйте метод подстановки, чтобы найти решение (я) системы двух линейных уравнений.
  • Используйте метод сложения, чтобы найти решение (я) системы линейных уравнений.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как сделать: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ y & = x - 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x - 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x - 5y & = 1 \\ 2x - 5 \ left (x - 5 \ right) & = 1 \\ 2x - 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = - 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} - \ left (8 \ right) + y & = - 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение - [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = - 5 \\ - \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = - 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x - 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем подстановки.Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как:

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x - 2y \ end {align} [/ latex]

Сначала решите оба уравнения относительно y:

[латекс] \ begin {align} y & = x-3 \\ y & = \ frac {3} {2} x - 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь введите [latex] x-3 = \ frac {3} {2} x - 2 [/ latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [латекс] x = -2 [/ latex].

Теперь вы можете заменить [latex] x = -2 [/ latex] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение для упорядоченной пары. Попробуйте.

Показать решение

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений - это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений методом сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Запишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = - \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы - [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = - 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ - \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ - \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = - 1 && \ text {True} \ end { align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ x - 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не приведет к удалению переменной.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении - [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], термины x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x - 2y & = 11 \\ -3 \ left (x - 2y \ right) & = - 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = - 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ −3x + 6y & = - 33 \\ \ hline 11y & = - 44 \\ y & = - 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = - 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = - 11 \\ 3x - 20 & = - 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение - упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x - 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x - 7y & = 2 \\ 3x + y & = - 20 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = - 16 \\ 5x - 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое - [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное - [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = - 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x - 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x - 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x - 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = - 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [latex] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = - 16 \\ 2x - 12 & = - 16 \\ 2x & = - 4 \\ x & = - 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x - 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} - \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = - 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = - 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = - 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [latex] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} - \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} - \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Решение путем сложения / исключения

Системы линейных уравнений:
Решение сложением / Ликвидация
(стр. 5 из 7)

Разделы: Определения, Решение с помощью построения графиков, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Метод сложения решения систем уравнений также называют методом исключения. Этот метод похож на метод, который вы, вероятно, изучили для решения простых уравнений.

Если бы у вас было уравнение « x + 6 = 11», вы бы написали «–6» под каждой стороной уравнения, а затем «сложили», чтобы получить « x = 5» в качестве решение.

Вы сделаете нечто подобное с методом сложения.

  • Решите следующую систему, используя сложение.
  • Обратите внимание, что если я добавлю, и аннулируется. Я нарисую полоску "равно" под системой, и складываем:

    Теперь я могу разделить решить для x = 5, а затем решить, используя любое из исходных уравнений, чтобы найти значение y .Первое уравнение имеет меньшие числа, поэтому я верну его обратно:

      2 (5) + y = 9
      10 + y = 9
      y = –1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (5, –1) .

Неважно, какое уравнение вы используете для обратной обработки; в любом случае вы получите один и тот же ответ.Если Я использовал второе уравнение, и получил бы:

... это тот же результат как прежде.

  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Обратите внимание, что условия x аннулировались бы, если бы только у них были противоположные знаки. Я могу создать это отмены путем умножения любого из уравнений на –1, а затем добавляю как обычно.Неважно, какое уравнение я выберу, при условии, что я буду осторожен, чтобы умножить –1 на все уравнение. (Это означает, что обе стороны "равно" знак!)

    второй умножу уравнение.

    "–1 R 2 " Обозначение над стрелкой означает, что я умножил строку 2 на –1. Теперь я могу решить уравнение «–5 y = –25» и получить y = 5.Обратное решение в первое уравнение, я получаю:

      x - 2 (5) = –9
      x - 10 = –9
      x = 1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (1, 5) .

Очень распространенное искушение - записать решение в виде "(первое число, которое я нашел, второе номер нашел) ". Однако иногда, как в этом случае, вы обнаруживаете значение y сначала, а затем значение x во-вторых, и, конечно же, в пунктах значение x на первом месте. Так что просто будьте осторожны, записывая координаты для ваших решений правильно. Авторские права © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены


  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Здесь ничего не отменяется, но Я могу умножить, чтобы создать отмену. Я могу умножить первое уравнение на 4, и это установит y -terms отменить.

    Решая это, я получаю, что x = 2. Я буду использовать первый уравнение для обратного решения, потому что коэффициенты меньше.

      2 (2) - y = 9
      4- y = 9
      - y = 5
      y = –5

      Решение: ( x , y ) = (2, –5) .

  • Решите следующее система с использованием сложения.
  • Хм ... ничего не отменяет. Но я могу умножить, чтобы создать отмену. В этом случае ни одна из переменных это очевидный выбор для отмены. Я могу умножить, чтобы преобразовать x -члены до 12 x 's или условия y к 24 y 's.Поскольку я ленив и 12 меньше 24, Я произведу умножение, чтобы отменить условия x . (Я бы получил тот же ответ в конце, если бы настроил y -terms отменить. Дело не в том, что я делаю это «правильно»; это был только мой выбор. Вы могли бы сделать другой выбор, и это быть столь же правильным.)

    умножу первый ряд по 3 и второй ряд по 4; тогда я добавлю и решу.


    Решая, я получаю, что y = 5. Ни одно из уравнений выглядит особенно лучше, чем другой для обратного решения, поэтому я переверну монету и используйте первое уравнение.

    Не забудьте поставить координату x . сначала в решении я получаю:


Обычно при решении «по добавлению», вам нужно будет создать отмену.Предупреждение: Самая распространенная ошибка - забывать умножать на всем протяжении уравнение, умноженное на обе стороны знака "равно". Быть осторожно с этим.

  • Решите следующие проблемы с помощью сложения.
  • думаю умножу второе уравнение на 2; это, по крайней мере, избавит от десятичного знака.

    Ой! Этот результат не правда! Итак, это противоречивая система (две параллельные линии) без каких-либо решение (без точки пересечения).

  • Решите следующее с помощью сложения.
  • думаю будет проще всего отменить условия и , поэтому я умножу вторую строку на –3.

    Ну да, но ...? я уже знал, что ноль равен нулю. Итак, это зависимая система, и, решая для " y =" решение это:

(Ваш текст может отформатировать ответьте как "( s , 4 с - 2) ", или что-то типа того.)


Помните разницу: глупый ответ (например, "0 = –2 "в предыдущем проблема) означает несовместимую систему без решения; бесполезный ответ (например, "0 = 0 "выше) означает зависимая система, в которой вся линия является решением.

В некоторых книгах используется только " x " и " y " для своих переменных, но многие используют дополнительные переменные. Когда ты пишешь решение для точки x , y , вы знаете, что координата x идет первым, а координата y идет вторым. Когда вы имеете дело с другими переменными, предполагайте (если только явно указано иное), что эти переменные записываются в алфавитном порядке заказывать. Например, если переменные в данной системе равны a и b , точка решения будет ( a , b ); это не будет быть ( b , a ).Если иначе указано, переменные записываются в алфавитном порядке.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений: решение сложением / исключением». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin5.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Новая математика: руководство для родителей | Разобрался

Вас смущает незнакомые математические задачи в домашнем задании вашего ребенка? Подход к обучению математике в последние годы изменился.Приведенные ниже примеры, созданные с помощью специалиста по математике Хайди Коэн, могут помочь вашему ребенку освоить «новую математику».

Десять рамок - это набор из 10 прямоугольников с точками в некоторых или всех прямоугольниках. Дети могут увидеть, как разные комбинации чисел дают в сумме 10. Десятикадровый просмотр особенно хорош для демонстрации того, как работает вычитание.

В числовой связке линии используются для связывания группы чисел вместе, показывая, как они связаны. На первом рисунке соотношение между числами 3 и 10 показано добавлением числа 7 к пустому кружку (3 + 7 = 10).Это помогает детям понять, как одно число можно разбить на более мелкие части.

В открытой числовой строке еще нет цифр. Учащийся может использовать любое число в качестве начального места. (Здесь 37 - это начальная точка, потому что именно столько ярдов прошел Бретт. Затем добавляются 26 ярдов, которые прошел Адам.) Открытая числовая линия позволяет детям складывать или вычитать визуально. Его часто используют для решения словесных задач.

Разложение (также называемое «развернутой формой»)

Разложение - это стратегия решения математических задач путем разбиения числа на его цифровые значения.Например, 37 превращается в 30 и 7. После того, как вы разделите число, вы можете сложить или вычесть отдельные цифровые значения, чтобы получить ответ.

Основание десять - это стратегия решения задач сложения и вычитания с использованием таблицы, разделенной на сотни, десятки и единицы. Вероятно, вы встретите термин «перегруппировка», используемый для этого метода. Каждое число попадает в таблицу в соответствии с его разрядовым значением. Например, 43 будет означать 4 десятка и 3 единицы. Это помогает детям понять, когда «одалживать» и «переносить» числа из одной разряда в другую.

Блочное умножение - это метод разбиения чисел на цифровые значения. В таблице числа разбиты по значениям и отдельно умножены. После умножения каждого числа общие значения складываются. Этот метод может быть полезен для детей, у которых проблемы с традиционным умножением с использованием больших чисел.

Модель площади использует длину и ширину прямоугольника или квадрата для решения задачи умножения. Каждая фигура рассчитывается, и ответы складываются.Это еще один способ сделать математику более наглядной для детей.

Как и модель области, массив представляет собой набор объектов, которые представляют собой числа. Эта модель часто используется, чтобы помочь детям увидеть различные качества сложения и умножения.

Столбиковое моделирование (также известное как «ленточная диаграмма»)

Столбиковая модель использует столбцы для визуального представления чисел и неизвестных в словесной задаче. Это может помочь детям увидеть, как количества сравниваются друг с другом. Дети могут адаптировать модель штанги для решения многих задач.

The Common Core - это сегодняшняя новая математика, что на самом деле хорошо.

Математика не может успокоиться. В наши дни люди с обеих сторон политического спектра выстраиваются в очередь, чтобы высмеять стандарты Common Core, набор руководящих принципов для школьного образования по чтению и математике. Стандарты Common Core определяют, что ученик должен знать и уметь делать в конце каждого класса. Государства не обязаны принимать стандарты, хотя многие из них сделали это, чтобы получить средства от инициативы президента Обамы «Гонка за первенство».

Консерваторы выступают против руководящих принципов, потому что им обычно не нравятся любые предположения о том, что федеральное правительство могло бы сыграть роль в государственном образовании на уровне штата и на местном уровне; эти стандарты, таким образом, воспринимаются как угроза местному контролю.

Либералы, в основном через профсоюзы учителей, осуждают использование стандартов и связанных с ними оценок для оценки классных преподавателей.

И родители всех убеждений напуганы своей внезапной неспособностью помочь своим детям с домашним заданием.Даже комик Луи С.К. участвовал в обсуждении (через Twitter; с тех пор он деактивировал свой аккаунт).

Мои дети любили математику. Теперь это заставляет их плакать. Спасибо стандартизированному тестированию и общему ядру! - Louis CK (@louisck) 28 апреля 2014 г.,

Посередине - миллионы американских школьников, которых часто смущают и разочаровывают эти «новые» способы преподавания математики.

Дело в том, что мы уже шли по этому пути.

Старая новая математика

Когда Советский Союз запустил Спутник в 1957 году, Соединенные Штаты вошли в режим паники.Нашим школам нужно было делать упор на математику и естественные науки, чтобы мы не отставали от Советского Союза и его якобы выдающихся ученых. В 1958 году президент Эйзенхауэр подписал Закон об образовании в области национальной обороны, который вложил деньги в американскую систему образования на всех уровнях.

Одним из результатов этого была так называемая Новая математика, которая больше фокусировалась на концептуальном понимании математики, а не на механическом запоминании арифметики. Теория множеств сыграла центральную роль, заставив студентов думать о числах как о наборах объектов, а не как о абстрактных символах, которыми нужно манипулировать.На самом деле именно так числа строятся логически в продвинутом курсе математики для бакалавров по реальному анализу, но это не обязательно может быть лучшим способом донести до школьников такие идеи, как прибавление. На сцену также вышла арифметика с использованием оснований чисел, отличных от 10. Это было классно подделано Томом Лерером в его песне «New Math».

Песня 60-х о Новой математике дает нам представление о том, на что была похожа «старая математика».

В 1970-х я ходил в начальную школу, поэтому я пропустил реализацию New Math, и к тому времени, когда я начал, она практически исчезла.Но то, как Лерер пытается объяснить, как вычитание «раньше делалось», сначала не имело для меня смысла (я понял это через минуту). Фактически, метод Новой математики, над которым он высмеивает, - это то, как дети моего поколения - и многие современные родители, протестующие против Общего ядра, - научились этому, даже если некоторые из нас действительно не понимают, что такое заимствование концептуально. . Очевидно, что некоторые идеи новой математики прижились, и математическое образование для этого лучше. Например, учитывая повсеместное распространение компьютеров в современной жизни, сегодняшним студентам полезно научиться выполнять двоичную арифметику - складывать и вычитать числа по основанию 2, как это делает компьютер.

«Новая математика» попала в немилость в основном из-за жалоб родителей и учителей. Родители были недовольны тем, что не понимали домашних заданий своих детей. Учителя возражали, потому что они часто были не готовы обучать своих учеников новым методам. Короче говоря, именно реализация этих новых концепций привела к провалу, в большей степени, чем сама учебная программа.

Дайте нам нашу новую математику!

Те, кто игнорирует историю…

В 1983 году Национальная комиссия президента Рейгана по передовому опыту в образовании выпустила свой доклад «Нация в опасности», в котором утверждалось, что американские школы «терпят неудачу», и предлагались различные меры, чтобы исправить положение.С тех пор американские школьники и их учителя были засыпаны различными реформами, были предприняты усилия по приватизации и открыты чартерные школы.

Действительно ли государственные школы страны терпят неудачу, это предмет серьезных споров; действительно, многие из утверждений, сделанных в «Нация в опасности», были опровергнуты статистиками из Sandia National Laboratories через несколько лет после публикации отчета. Но общее представление о том, что наши государственные школы «плохие», сохраняется, особенно среди политиков и бизнес-групп.

Войдите в Common Core. Идея, выдвинутая в 2009 году консорциумом штатов, звучит достаточно разумно - цели обучения в государственных школах должны быть более единообразными на национальном уровне. То есть то, что учащиеся изучают по математике или чтению на каждом уровне обучения, не должно варьироваться от штата к штату. Таким образом, колледжи и работодатели будут знать, чему учили выпускников средней школы, и будет легче сравнивать студентов со всей страны.

Руководящие принципы таковы. К ним не прилагается установленный учебный план; они представляют собой просто список понятий, которые учащиеся должны усвоить на каждом уровне обучения.Например, вот стандарты для Уровня 3 по Числам и Операциям в Базе Десять:

  • Используйте понимание разряда и свойства операций для выполнения многозначной арифметики.

  • CCSS.Math.Content.3.NBT.A.1 Используйте разрядные значения для округления целых чисел до ближайшего 10 или 100.

  • CCSS.Math.Content.3.NBT.A.2 Свободно складывайте и вычитайте в пределах 1000, используя стратегии и алгоритмы, основанные на разрядах, свойствах операций и / или взаимосвязи между сложением и вычитанием.

  • CCSS.Math.Content.3.NBT.A.3 Умножайте однозначные целые числа на кратные 10 в диапазоне 10–90 (например, 9 × 80, 5 × 60), используя стратегии, основанные на разрядах и свойствах операций.

Есть сноска, что «можно использовать ряд алгоритмов», чтобы помочь студентам выполнить эти задачи. Другими словами, учителя могут объяснять различные методы для фактического выполнения поставленной математической задачи. В этих темах нет ничего спорного, и действительно, нет никаких сомнений в том, что это то, что учащиеся должны уметь делать в этом возрасте.

Однако некоторые из новых методов, которым обучают для выполнения арифметических операций, вызвали замешательство у родителей, заставляя их разочаровываться в социальных сетях. Возьмем задачу 32-12, например:

То, что вы не выучили это таким образом, не делает его непостижимым или неправильным.

И снова проблема заключается в реализации . Большинство родителей (в основном люди в возрасте 30–45 лет), вспоминая учебники по математике нашей юности, заполненные страницами с подобными упражнениями, сразу же переходят к показанному алгоритму «Old Fashion» (sic).Вещи внизу выглядят тарабарщиной, и, учитывая склонность многих взрослых к математической фобии / тревоге, они сразу же разводят руками и заявляют, что это ерунда.

За исключением того, что это не так. Фактически, мы все постоянно делаем подобные арифметические вычисления в уме. Допустим, вы покупаете булочку в пекарне на завтрак, и ее общая цена составляет 2,60 доллара США. Вы передаете кассиру 10-долларовую купюру. Сколько сдачи вы получите? Теперь вы делаете , а не , выполняете стандартный алгоритм в своей голове. Сначала вы замечаете, что вам нужно еще 40 центов, чтобы перейти к следующему доллару, что составляет 3 доллара, а затем вам нужно будет 7 долларов, чтобы получить до 10 долларов, так что ваша сдача составляет 7 долларов.40. Это все, что происходит внизу страницы на картинке выше. Ваши дети не могут вам это объяснить, потому что они не знают, что вас этому явно не учили, и учитель вашего ребенка также не может прислать вам учебник для начинающих.

Новые способы обучения могут быть лучше для учащихся, если их правильно использовать. Министерство образования США, CC BY

Лучшая интуиция в математике, лучшее решение задач

Как преподаватель математики на уровне колледжа, я рассматриваю этот акцент на концептуальном понимании и множественных стратегиях решения проблем как долгожданное изменение.Поступая таким образом, вы сможете сформировать интуицию относительно размера ответов и помочь с оценкой. Студенты колледжа могут вычислять ответы на домашние задания с точностью до 10 знаков после запятой, но прошу их что-нибудь оценить без калькулятора, и я получаю пустые взгляды. То же самое и с концептуальным пониманием - например, учащиеся могут относительно легко оценивать интегралы, но построение интегралов в качестве предела сумм Римана для решения реальной проблемы часто для них недоступно.

Это расстраивает, потому что я знаю, что мои коллеги и я сосредотачиваемся на этих понятиях, когда представляем эти темы, но они быстро исчезают из базы знаний студентов, поскольку они переключают свое внимание на решение задач на экзаменах.И, честно говоря, поскольку учебная программа по математике в K-12 разделена на отдельные части по отдельным темам для упрощения стандартизированного тестирования, учащимся часто бывает сложно развить способности решения проблем, необходимые для успеха в математике более высокого уровня , наука и инженерные работы. Мы надеемся, что усиление концептуального понимания в раннем возрасте приведет к улучшению навыков решения проблем позже. По крайней мере, это обоснование стандартов.

Увы, Common Core находится под угрозой исчезновения.Некоторые штаты уже отказались от стандартов (например, Индиана и Южная Каролина), пытаясь заменить их чем-то другим. Но эти действия в значительной степени являются результатом ошибочного смешения: что стандарты представляют собой федеральное навязывание учебной программы местным школам, что стандартизированные тесты, используемые для оценки учащихся , являются Общим ядром, а не отдельной инициативой.

По мере накала президентской кампании 2016 года поддержка Common Core стала политической помехой, которая, возможно, убьет ее, прежде чем у нее действительно появится шанс.Было бы обидно. Сами стандарты в порядке, и, прежде чем выбросить ребенка вместе с водой в ванну, возможно, нам следует подумать о том, как правильно их реализовать. Чтобы дать Common Core справедливый шанс, нам необходимо соответствующее профессиональное развитие учителей и более поэтапное внедрение нового стандартизированного тестирования, связанного со стандартами.

Но, если мы в конечном итоге поддаемся панике и дезинформации, будем надеяться, что любая замена обеспечит должную последовательность и строгость. Прежде всего, наши дети должны развить твердые математические навыки, которые помогут им увидеть красоту и полезность этого замечательного предмета.

Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) - Mathplanet

Другой способ решения линейной системы - использовать метод исключения. В методе исключения вы либо складываете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.

Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы добавляете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.


Пример

$$ \ begin {matrix} 3y + 2x = 6 \\ 5y-2x = 10 \ end {matrix} $$

Мы можем исключить переменную x, добавив два уравнения.

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ \ underline {+ \: 5y-2x = 10} $$

$$ = 8лет \: \: \: \: \; \; \; \; = 16 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \: y \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; = 2 \ end {matrix} $$

Теперь значение y можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение x

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + 2x = 6 $$

$$ 6 + 2x = 6 $$

$$ x = 0 $$

Решение линейной системы: (0, 2).

Чтобы избежать ошибок, перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые термины и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.

Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете напрямую начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных сложением или вычитание.

Пример

$$ \ begin {matrix} 3x + y = 9 \\ 5x + 4y = 22 \ end {matrix} $$

Начните с умножения первого уравнения на -4 так, чтобы коэффициенты y были противоположны

$$ \ color {зеленый} {-4 \} \ cdot \ left (3x + y \ right) = 9 \ cdot {\ color {green} {-4} $$

$$ 5x + 4y = 22 $$

$$ - 12x-4y = -36 $$

$$ \ underline {+ 5x + 4y = 22} $$

$$ = - 7x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = -14 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \; \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 \ end {matrix} $$

Подставьте x в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение y

$$ 3x + y = 9 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + y = 9 $$

$$ 6 + y = 9 $$

$$ y = 3 $$

Решение линейной системы: (2, 3)


Видеоурок

Решите линейную систему методом исключения

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2y - 4x = 2 \\ y = -x + 4 \ end {matrix} \ right $$

Сложение слева направо: стратегия сложения

Сложение слева направо (также известное как внешнее сложение или метод частичных сумм) - одна из самых мощных математических стратегий в уме для обучения сложению двух- или трехзначных чисел.Однако многих сбивает с толку, почему это важно и почему оно может быть более эффективным, чем традиционное вертикальное добавление.

ПОЧЕМУ ЭТО ТАК ЭФФЕКТИВНО?

Самое лучшее в сложении слева направо - это то, что эта стратегия способствует реальному пониманию.

Когда вы решаете уравнение с помощью стандартного алгоритма (вероятно, так, как вы научились складывать многозначные числа), вы используете серию шагов. Это включает в себя сначала добавление единиц, перенос при необходимости, затем добавление десятков, перенос при необходимости и т. Д.Эти шаги навсегда останутся в вашей памяти, и для тех, у кого есть отличные навыки запоминания, это может быть эффективным.

ОДНАКО стандартный алгоритм не способствует пониманию числового значения и смысла числа. Это основная причина того, что современные инструкции по математике, как правило, уклоняются от традиционного алгоритма в начальных классах. Мы хотим, чтобы наши студенты действительно понимали, что они делают. Когда учащихся учат методам, которые стимулируют мысленную математику, они могут более гибко думать не только об этой изолированной концепции, но и о других математических концепциях.

ПРИМЕРЫ

Давайте посмотрим на несколько примеров сложения слева направо в действии.

В этом примере мы складываем 25 + 34. Сначала мы складываем десятки: 20 + 30, чтобы получилось 50. Затем мы складываем единицы: 5 + 4, чтобы получить 9. Наконец, мы прибавляем 50 + 9, чтобы получить 59. Хотя это может показаться запутанным, если записано, как оно есть , этот процесс происходит очень быстро, когда учащийся понимает его - обычно это можно решить максимум за пару секунд.

Сложение слева направо также эффективно для добавления 3-значных плюс 3-значных чисел. В этом примере мы видим, что сначала складываем сотни, затем десятки, а затем единицы. Наконец, мы складываем все эти суммы вместе.

Когда учащиеся выполняют сложение таким образом, они хорошо понимают значение места и его значение. Например, в приведенном выше уравнении ученики видят «1» в 147 как 100, а не просто 1.«4» в 147 понимается как 40, а не просто 4. Это важное знание, если мы хотим, чтобы наши ученики стали эффективными математиками.

Всякий раз, когда мы преподаем математические стратегии, важно преподавать их таким образом, чтобы улучшить концептуальное понимание. Конкретно-репрезентативная абстрактная модель - отличная обучающая модель для этого. В видео ниже я расскажу больше о том, как можно обучить сложению слева направо с помощью модели CRA.

СЛЕДУЮЩИЕ ШАГИ:

  • Если вам нужна полная поддержка для обучения стратегиям сложения в вашем классе, ознакомьтесь с The Addition Station ЗДЕСЬ. Вы найдете стратегию сложения слева направо на дополнительных станциях для старших классов. Эти математические станции представляют собой станции для самостоятельного обучения, ориентированные на учащихся, для освоения основных математических стратегий. Студенты продвигаются по уровням в своем собственном темпе, гарантируя, что они всегда сталкиваются с проблемами, и работают в полную силу.
  • Прочтите другие сообщения на этом сайте о стратегиях сложения. ЗДЕСЬ.
  • Загрузите БЕСПЛАТНОЕ упражнение для отработки стратегии сложения слева направо. ЗДЕСЬ.

  • Ознакомьтесь со стратегией добавления слева направо » ЗДЕСЬ.

  • Здесь вы можете найти карточки с заданиями, чтобы усилить стратегию сложения слева направо:

Порядок операций - Бесплатная математическая справка

Введение

Порядок операций - очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики. В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь.Возьмем, к примеру, это уравнение:

$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным. Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55. К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.

Правильный порядок действий

Порядок действий позволит вам правильно решить эту проблему. Порядок следующий: Скобка , Показатели , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание .Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями. После этого выполните все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.

Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, например: « P lease E xcuse M y D ear A unt S ally.«Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка операций.

Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.

$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

Шаг 1) Скобка. Нет ни одного. Двигаться дальше.

Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжайте ...

Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления, когда вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.2 \ div 5 $$ $$ 5 + 144 \ div 5 $$ $$ 5 + 28,8 $$ 33,8 $ $

К настоящему времени вы должны иметь базовое представление о порядке операций. Чтобы продолжить изучение этой темы, вы можете продолжать просматривать наш сайт или попробовать поискать в Интернете на Yahoo или Google.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск