Arccos cosx y: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град.
)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99
Найти точное значение
arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Тригонометрическая функция и график обратной тригонометрической функции

вТригонометрическая функцияДобавить передarc, Означает ихОбратная функция f-1 (x). То есть текущий угол можно получить из тригонометрической функции.

 

1. Синус-функция sin x, арксинус-функция arcsin x

  • y = sin x, x∈R, y∈ [–1,1], период равен 2π, изображение функции принимает x = (π / 2) + kπ в качестве оси симметрии
  • y = arcsin x, x∈[–1,1], y∈[–π/2,π/2]
  1. sin x = 0    ←→     arcsin x = 0
  2. sin x = 1/2     ←→     arcsin x = π/6
  3. sin x = √2/2    ←→     arcsin x = π/4
  4. sin x = 1    ←→     arcsin x = π/2

 

 

2. Функция косинуса cos x, функция обратного косинуса arccos x

  • y = cos x, x∈R, y∈ [–1,1], период равен 2π, изображение функции принимает x = kπ в качестве оси симметрии
  • y = arccos x, x∈[–1,1], y∈[0,π]
  1. cos x = 0    ←→     arccos x = π/2
  2. cos x = 1/2     ←→     arccos x = π/3
  3. cos x = √2/2    ←→     arccos x = π/4
  4. cos x = 1    ←→     arccos x = 0 

 

 

3. Функция обратного синуса arcsin x, функция обратного косинуса arccos x

  • y = arcsin x и y = arccos x Диапазон независимой переменной x∈ [–1, 1]
  • Образы y = arcsin x и y = arccos x симметричны относительно прямой y = π / 4, пересекаются с точкой (√2 / 2, π / 4)

 

 

4.

Функция тангенса tan x, функция котангенса cot x

  • y = tan x, x∈ ((–π / 2) + kπ, (π / 2) + kπ), y∈R, период равен π, при x → ± (π / 2) + kπ функцияпределБесконечно ∞
  • y = cot x = 1 / tan x, x∈ (0, kπ), y∈R, период равен π, при x → kπ предел функции равен бесконечности ∞
  • Образы y = tan x и y = cot x симметричны относительно x = (π / 4) + kπ / 2
  • За один период (первый) изображение y = tan x и y = cot x пересекается с точкой (π / 4, 1). Когда x = (π / 4) + kπ / 2, значения y = tan x и y = cot x равны, что равно ± 1

 

 

5. Функция обратного тангенса arctan x, обратного котангенса arccot ​​x

  • y = arctan x и y = arccot ​​x Диапазон независимой переменной x∈R
  • Образы y = arctan x и y = arccot ​​x симметричны относительно прямой y = π / 4, пересекаются с точкой (1, π / 4)
  1. tan x = 0    ←→     arctan x = 0
  2. tan x = 1    ←→     arctan x = π/4
  3. tan x = √3    ←→     arctan x = π/6

 

6.

Функция косеканса csc x

  • y = csc x = 1 / sin x, x∈ (0, kπ), y∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞), период равен π, при x → kπ предел функции бесконечен ∞

 

 

7. Секущая функция sec x

  • y = sec x = 1 / cosn x, x∈ ((–π / 2) + kπ, (π / 2) + kπ), y∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞), период равен π , При x → (π / 2) + kπ предел функции бесконечен ∞

Открытая Математика. Алгебра. Обратные тригонометрические функции

Вернемся к определению функции, данному в § 2.2.1. Отметим, что в этом определении функция f не обязана разным элементам x1 и x2 множества X ставить в соответствие разные элементы множества Y.

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента y∈Y существует единственный элемент x∈X такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу x∈X соответствует единственный элемент y∈Y и наоборот, каждому элементу y∈Y соответствует единственный элемент x∈X. Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается f-1 и каждому элементу y∈Y ставит в соответствие такой элемент x∈X, что f (x) = y; этот факт записывают так: x=f-1 (y). Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных x↔y, что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что y=f-1 (x) − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: D (f-1)=E (f)=Y. Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: E (f-1)=D (f)=X.

Рассмотрим функцию f (x) = sin x для x∈[-π2; π2]. Тогда D (f)=[-π2; π2], E (f)=[-1; 1]. При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения D (f-1)=[-1;  1] и областью значений E (f-1)=[-π2; π2]. Эта обратная функция называется арксинусом. Её обозначение: y = arcsin x. График функции y = arcsin x изображён на рисунке.

Арксинус Функция y = arcsin x

Аналогично, на промежутке D (f–1) = E (f) = [–1; 1] можно определить функцию, обратную cos x, c областью значений E (f–1) = D (f) = [0; π] Эта обратная функция называется арккосинусом. Её обозначение: y = arccos x. График функции y = arccos x изображён на рисунке.

Арккосинус Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию f (x) = tg x для x∈(-π2; π2). Тогда D (f)=(-π2; π2), E (f)=R. При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения D (f-1)=R и областью значений E (f-1)=(-π2; π2). Эта обратная функция называется арктангенсом. Её обозначение y = arctg x. График функции y = arctg x изображён на рисунке.

Арктангенс Функция y = arctg x

Для построения арккотангенса выберем промежуток x (0; π). Тогда D (f)=(0; π), E (f)=R. Построим обратную функцию с областью определения D (f-1)=E (f)=R и областью значений E (f-1)=D (f)=(0; π). Эта обратная функция называется арккотангенсом. Её обозначение y = arcctg x. График функции y = arcctg x изображён на рисунке.

Арккотангенс Функция y = arcctg x

Итак, запись b = arcsin a обозначает, что b∈[-π2; π2] и sin b = a. Аналогичные соотношения справедливы и для остальных обратных тригонометрических функций.

Докажите тождество arcsinx+arccosx=π2.

Пусть y=arcsinx⇔{-π2≤y≤π2, sin y=x;  пусть также z=arccosx⇔{0≤z≤π, cos z=x. Следовательно, требуется доказать неравенство y+z=π2. Перенесём z в правую часть и возьмём синус от обеих частей получившегося равенства: y=π2-z⇒sin y=sin(π2-z)=cos z.

Но sin y = x и cos z = x, значит, наше равенство принимает вид x = x. Однако для того, чтобы доказать нужное нам тождество, мы должны обосновать возможность перехода от верного равенства x = x к исходному. В самом деле, переход от равенства sin y = cos z к равенству y=π2-z, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Но у нас есть ограничения на y и z в виде неравенств -π2≤y≤π2, 0≤z≤π, а для таких y и z равенство sin y = cos z возможно только при y=π2-z. Следовательно, y+z=π2 и наконец arcsinx+arccosx=π2, что и требовалось доказать.

Найти соотношение между A (x) = arcsin (cos (arcsin x)) и B (x) = arccos (sin (arccos x)).

Обозначим через y переменную, для которой выполняется равенство: y=arcsinx⇔{-π2≤y≤π2, sin y=x, тогда cos y = cos (arcsin x). Значит, cos y=+1-sin2 (arcsin x)=+1-x2. Здесь поставлен знак «+», поскольку y − угол первой или четвёртой четверти, в которых косинус положителен. Равенство sin (arcsin x) = x справедливо по определению функции арксинус. Значит, cos(arcsinx)=1-x2.

Вычислим sin (arccos x) = sin z, где z=arccosx⇔{0≤z≤π,cos z=x. Значит, sin z=+1-cos2 (arccos x)=+1-x2. Здесь поставлен знак плюс, поскольку z − угол первой или второй четверти, в которых синус положителен. Равенство cos (arccos x) = x справедливо по определению функции арккосинус. Отсюда sin(arccosx)=1-x2.

Итак, A (x)=arcsin1-x2 и B (x)=arccos1-x2. В предыдущем примере мы установили, что сумма арксинуса и арккосинуса одного и того же аргумента равна π2. Окончательно, A (x)+B (x)=π2.

Ответ. A (x)+B (x)=π2.

Методические разработки по теме: «Обратные тригонометрические функции»

Тема:

Обратные тригонометрические функции.

1. Функции. Определения. Графики и свойства

1.1 Функция у=arcsin x

Для тригонометрической функции Y = sin x, рассматриваемой в интервале , переход к однозначной обратной функции невозможен, так как одному значению у соответствует множество значений аргумента х. Поэтому обратная функция у = arcsin x при каждом значении х, лежащем на отрезке , имеет бесчисленное множество значений. При изучении функции, обратной синусу, выбирают отрезок , на котором функция Y= sin x возрастает, и рассматривают соответствующую этому отрезку обратную функцию у = аrcsin x, которую называют главным значением у = Arcsin x.

Определение 1. Обратной тригонометрической функцией у=arcsin x. называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , синус которой равен х. ( Равенства у=Arcsin x и Х= sin у - эквивалентны).

Основные свойства функции у = аrcsin x.

1. Функция у = аrcsin x определена на отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у = аrcsin x возрастает, E(у).

3. Функция у = аrcsin x нечетная, аrcsin (-x) = -аrcsin (x).

4. Функция у= аrcsin x называется главным значением у = arcsin x. Все значения дуг (углов) синус которых равен х, определяются формулой

Аrcsin x =(-1), где n . (1.1)

1.2. Функция у= arccos x.

Определение 2. Обратной тригонометрической функцией у=arccos x называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , косинус которой равен х. (Равенство у=arccos x и cos y=x эквивалентны).

Основные свойства функции у=аrccos x.

1. Функция у=аrccos x определена на отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у=аrccos x возрастает, E(у).

3. Функция у=аrccos x свойством нечетности и четности не обладает, справедливо равентсво arccos (-x) =

4. Функция у= аrccos x называется главным значением у= Аrccos x. Все значения дуг(углов)косинус которых равен х, определяются формулой

Аrcсos x =, где n . (1.2)

1.3 Функция у= arctg x

Определение 3. Обратной тригонометрической функцией у=arctg x. называют дугу (угол) у, взятую на отрезке , тангенс которой равен х. ( Равенства у=arctg x и Х= tg у - эквивалентны).

Основные свойства функции у = аrctg x.

1. Функция у=аrctg x определена на отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у=аrctg x возрастает, E(у).

3. Функция у = аrctg x нечетная, аrctg (-x) = -аrctg (x).

4.Функция у = аrctg x называется главным значением функции у = Аrctg x. Все значения дуг (углов) синус которых равен х, определяются формулой x

Аrctg x =, где n . (1.3)

1.4 Функция у= arcctg x

Определение 4. Обратной тригонометрической функцией у=arcctg x называют дугу (угол) у, взятую на отрезке x, котангенс которой равен х. (Равенства у=arcсtg x и Х= сtg у – эквивалентны).

Основные свойства функции у=аrcсtg x.

1. Функция у = аrcctg x определена на отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у = аrcсtg x убывает, E(у)=

3. Функция у = аrсctg x не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, но для нее справедливо arcctg (-x)=

4.Функция у = аrcctg x называется главным значением у = Аrcctg x. Все значения дуг (углов) котангенс которых равен х, определяются формулой x

Аrcсtg x =, где n . (1.4)

2. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций:

sin(arcsinx)=x, если (2.1)

cos(arccosx)=x, если (2.2)

tg(arctgx)=x, если (2.3)

ctg(arcctgx)=x, если (2.4)

arcsin(sinx)=x, если (2.5)

arcos(cosx)=x, если (2.6)

arctg(tgx)=x, если (2. 7)

arcctg(ctgx)=x, если (2.8)

3. Применение свойств обратных тригонометрических функций.

Решая различные вычислительные задачи с обратными тригонометрическими функциями, я подразделила их на следующие:

1) Вычисление значений обратных тригонометрических функций разными способами: применяя свойства функций, тригонометрические формулы и графический способ. (Эти вопросы я рассматриваю в данной статье).

2) Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих обратные тригонометрические функции.

3) Построение графиков, содержащих обратные тригонометрические функции.

4) Решение уравнений, систем, неравенств с параметром.

3.1 Вычислите:

1).

Дополнительно:

6).

7).

9)

3. 1. Учитывая область значений аркфункций и формулы 2.5-2.8 , вычислите:

График фигуры Y=Arccos(cosx) .

главный- arccos(cosx)=x, если

y(10)= 4?-10 12,56-10=2,56, 2,56.(При условии, что )

12) arcsin(sin6)=

График фигуры Y=Arcsin(sin(x)) в приложении №1.

Учитывая, что главный арксинус имеет область значений тогда

arcsin(sinx)=x, если

Ответ: arcsin(sin6)=.

13) arctg(tg. Учитывая, что y=tgx имеет период , то

Ответ:.

Дополнительно:

14) ,

15) arcos(cos8)=3-8

16) arctg(tg4)=4-.

Для вычисления значений некоторых обратных тригонометрических функций удобно пользоваться следующими формулами

Докажем, данные формулы.

1) , .

2) arcsin z=, arccos z=.

4) Учитывая пункт 2), получим :

.

Аналогично доказывается и второе равенство.

3.2 Вычислить:

17)

Решение: ,

?-3 + arcos(sin3) = ,

Ответ: arcos(sin3) =3- .

18) Решение: arctg(tg)+arcctg(ctg)=,

arctg(tg)+ =,

Ответ: arctg(tg)= — .

Дополнительно:

19);

20);

21);

22) .

3.3. Вычислить, используя формулы двойного, тройного и половинного аргумента.

Дополнительно:

28) sin(2arctg3)=

29)

numpy.

arccos — Тригонометрический обратный косинус,по элементам. Обратное к cos , так что если

Тригонометрический обратный косинус,по элементам.

Обратное к cos , так что если y = cos(x) , то x = arccos(y) .

Parameters
xarray_like

x Координата x на единичной окружности. Для реальных аргументов это [-1, 1].

out ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно

Место,в которое сохраняется результат.Если предоставлено,оно должно иметь форму,на которую транслируются входы.Если не указано или None,возвращается свежераспределенный массив.Кортеж (возможен только как аргумент ключевого слова)должен иметь длину,равную количеству выходов.

wherearray_like, optional

Это условие транслируется по входу. В местах, где условие истинно, массив out будет установлен на результат ufunc. В другом out массив out сохранит свое исходное значение. Обратите внимание , что если инициализирован out массива создается по умолчанию out=None , места в нем , где условие ложно будет оставаться инициализирован.

**kwargs

Для других аргументов, содержащих только ключевые слова, см. Документацию ufunc .

Returns
anglendarray

Угол луча, пересекающего единичный круг в данной координате x , в радианах [0, pi]. Это скаляр, если x — скаляр.

Notes

arccos — многозначная функция: для каждого x существует бесконечно много чисел z таких, что cos(z) = x . По соглашению возвращать угол z , действительная часть которого лежит в [0, pi] .

Для типов входных данных с действительным arccos всегда возвращает реальный результат. -1.

References

М. Абрамовиц и И. А. Стегун, «Справочник по математическим функциям», 10-е издание, 1964 г., стр. 79. https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_79.htm

Examples

Мы ожидаем,что аркки от 1 будут равны 0,а от -1-пи:

>>> np.arccos([1, -1])
array([ 0.        ,  3.14159265])

Сюжет «Аркос»:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.linspace(-1, 1, num=100)
>>> plt.plot(x, np.arccos(x))
>>> plt.axis('tight')
>>> plt.show()
{-1}(2)\). Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию арккосинуса.

5) Почему область определения функции синуса \(\sin x\) должна быть ограничена \(\left [ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right ]\) для существования функции обратного синуса?

Ответить

Для того чтобы любая функция имела обратную, функция должна быть взаимно однозначной и должна пройти тест горизонтальной линии. Обычная синусоидальная функция не является взаимно однозначной, если ее область определения каким-либо образом не ограничена.Математики согласились ограничить функцию синуса интервалом \(\left [ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right ]\), чтобы она была взаимно однозначной и имеет обратную.

6) Обсудите, почему это утверждение неверно: \(\arccos(\cos x)=x\) для всех \(x\).

7) Определите, верно или нет следующее утверждение, и объясните свой ответ: \(\arccos(-x)=\pi — \arccos x\)

Ответить

Верно. Угол \(\theta _1\), равный \(\arccos(-x)\), \(x>0\), будет углом второго квадранта с опорным углом, \(\theta _2\), где \(\theta _2\) равно \(\arccos x\), \(x>0\).{-1}(6)\)

Ответить

\(1.41\)

В упражнениях 22-23 найдите угол \(\theta\) в данном прямоугольном треугольнике. Ответы округлить до сотых.

22)

23)

Ответить

\(0,56\) радиан

Для упражнений 24-36 найдите точное значение, по возможности без калькулятора. {-1} х\)? Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы приблизить ответ.

Реальные приложения

53) Предположим, лестница высотой \(13\) футов прислонена к зданию и достает до низа окна второго этажа \(12\) футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

Ответить

\(0,395\) радиан

54) Предположим, вы проехали \(0,6\) мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменилось от \(0\) до \(150\) футов.Какой угол подъема дороги?

55) У равнобедренного треугольника две конгруэнтные стороны длины \(9\) дюймов. Оставшаяся сторона имеет длину \(8\) дюймов. Найдите угол, который сторона в \(9\) дюймов образует со стороной в \(8\) дюймов.

Ответить

\(1,11\) радиан

56) Не используя калькулятор, приблизительно вычислите значение \(\arctan (10,000)\). Объясните, почему ваш ответ является разумным.

57) Ферма для крыши дома строится из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Каждый имеет основание \(12\) футов и высоту \(4\) футов. Найдите градусную меру острого угла, примыкающего к \(4\)-футовой стороне.

Ответить

\(1,25\) радиан

58) Прямая \(y=\dfrac{3}{5}x\) проходит через начало координат в плоскости \(x,y\). Какова мера угла, который линия образует с положительной осью \(х\)?

59) Прямая \(y=\dfrac{-3}{7}x\) проходит через начало координат в плоскости \(x,y\). Какова мера угла, который линия образует с отрицательной осью \(x\)?

Ответить

\(0.405\) радиан

60) Какой уклон должен иметь дорога, если угол подъема дороги составляет \(4\) градусов? (Уклон в процентах определяется как изменение высоты дороги на \(100\)-футовом горизонтальном расстоянии. Например, уклон \(5\%\) означает, что дорога поднимается на \(5\) футов на каждые \(100\) футов горизонтального расстояния.)

61) \(20\)-футовая лестница прислонена к стене здания так, что основание лестницы находится в \(10\) футах от основания здания. Если спецификации требуют, чтобы угол подъема лестницы составлял от \(35\) до \(45\) градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

Ответить

Нет. Угол, который образует лестница с горизонтом, составляет \(60\) градусов.

62) Предположим, лестница высотой \(15\) футов прислонена к стене дома так, что угол подъема лестницы составляет \(42\) градусов. На каком расстоянии от стены дома находится подножие лестницы?

Функция арккосинуса — концепция

Поскольку косинус не является взаимно однозначной функцией, домен должен быть ограничен от 0 до pi, что называется ограниченной функцией косинуса.-1(x) или arccos(x). Обратные функции меняют местами значения x и y, поэтому диапазон арккосинуса составляет от 0 до pi, а область определения — от -1 до 1. При оценке проблем используйте тождества или начните с внутренней функции.

Я хочу поговорить о функции арккосинуса. Начнем с функции y, равной косинусу x. У меня есть график, и вы можете видеть, что y равно косинусу x, это совсем не функция 1 к 1, и мы можем найти только обратные функции 1 к 1.Таким образом, мы должны ограничить область определения функции косинуса, и соглашение состоит в том, чтобы ограничить ее этим интервалом от 0 до pi, поэтому позвольте мне нарисовать ограниченную функцию косинуса. Только этот фрагмент графика косинуса до и включая пи и вниз до 0 включительно. Таким образом, y равен косинусу x для x между 0 и pi, это ограниченная косинусная функция, она равна 1 к 1, и поэтому мы можем ее инвертировать.
И мы называем эту инверсию y равной арккосинусу x вот как это читается этот верхний индекс минус 1 не является показателем степени, это означает обратную косинусу и эта функция также называется y равна арккосинусу x. Теперь я хочу построить график нашего косинуса или арккосинуса, поэтому я начну с ключевых точек кривой косинуса. У меня есть 0, 1 пи больше 2, 0 и пи минус 1, это эти 3 ключевые точки, и помните, когда вы строите график обратной функции, вы просто меняете местами координаты x и y, так что точка 0, 1 становится 1, 0, точка пи больше 2, 0 становится 0 пи больше 2, а точка пи минус 1 становится минус 1 пи, и это будет где-то здесь. Позвольте мне соединить их, сохраняя при этом, что график функции и обратная функция должны быть симметричны относительно линии y=x, так что это довольно хороший график.
Теперь очень важен домен, я отмечу здесь минус 1, очень важен домен функции арккосинуса между минус 1 и 1. И подумайте о том, что функция косинуса может выводить числа только между отрицательными 1 и 1, поэтому имеет смысл, что областью определения функции арккосинуса является этот интервал, а диапазон будет между 0 и пи, потому что это была область ограниченного функция косинуса и все. Это график области обратного косинуса между отрицательными 1 и 1, диапазоном между 0 и пи, и он имеет эти 3 ключевые точки.

Производная обратного Cos — доказательство, формула, примеры

Производная обратного косинуса является отрицательным значением производного обратного синуса. Производная cos, обратная x, дает скорость изменения обратной тригонометрической функции arccos x и определяется как d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1. Производная обратного cos такая же, как производная arccos, которая математически записывается как d(arccos)/dx = -1/√(1 - x 2 ), где -1 < x < 1.Производную arccos можно вычислить по первому принципу дифференцирования.

В этой статье мы определим производную обратного cos и докажем, что производная arccos равна -1/√(1 — x 2 ), используя различные методы дифференцирования с помощью некоторых решенных примеров для лучшего понимания.

Что такое производная обратного косинуса?

Производная cos, обратная x, определяется как -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1, что отрицательно от производной sin, обратной x. Математически производная arccos записывается как d(cos -1 x)/dx = d(arccos)/dx = -1/√(1 — x 2 ). Производная обратного косинуса может быть определена неявным дифференцированием. Производная функции представляет собой скорость изменения функции в какой-то момент. Поскольку производная cos, обратная x, равна -1/√(1-x 2 ), поэтому график производной arccos будет графиком -1/√(1-x 2 ).

Производная обратной формулы Cos

Простой способ запомнить формулу производной cos, обратной x, состоит в том, что она является отрицательной производной sin, обратной x.Производная arccos дает функцию наклона обратной тригонометрической функции cos, обратную x, поскольку производная функции представляет наклон функции в точке контакта. Теперь, когда мы знаем производную от arccos, давайте математически напишем формулу обратной производной от cos, которая задается как d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 ) , где -1 < x < 1,

Производная обратного косинуса по первому принципу

Поскольку мы знаем, что производная cos, обратная x, равна -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1, докажем это, используя определение пределов, то есть первый принцип дифференциация. 2}}\конец{выравнивание}\)

Таким образом, мы определили производную arccos, используя первый принцип дифференцирования.

Производная от Arccos путем неявного дифференцирования

Теперь найдем производную от arccos, то есть cos -1 x, используя неявное дифференцирование.

Предположим, что y = cos -1 x. Тогда cos у = х

Неявное дифференцирование cos y = x по x.

(-sin y) dy/dx = 1 —— (i)

Из тригонометрического тождества мы знаем, что

sin 2 у + cos 2 у = 1

⇒ sin 2 у + х 2 = 1

⇒ sin 2 у = 1 – х 2

⇒ sin y = √(1 − x 2 )

Подставив вышеуказанное значение в (i), мы получим

−√(1 − x 2 ) dy/dx = 1

⇒ dy/dx = –1/√(1 − x 2 ), -1 < x < 1

Таким образом, мы доказали обратную производную с помощью неявного дифференцирования.

Производная от Cos, обратная x По отношению к Sin, обратная x

Чтобы определить производную cos, обратного x, по sin, обратному x, мы будем использовать производную cos, обратного x, и производную sin, обратного x. У нас есть

  • d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 )
  • d(sin -1 x)/dx = 1/√(1 — x 2 ) ⇒ dx/d(sin -1 x) = √(1 — x 2 )

Нам нужно определить значение d(cos -1 x)/d(sin -1 x).

d(cos -1 x)/d(sin -1 x) = [d(cos -1 x)/dx]/[d(sin -1 x)/dx]

= [d(cos -1 x)/dx] × dx/d(sin -1 x)

= [-1/√(1 — х 2 )] × √(1 — х 2 )

= -1

Следовательно, производная от cos, обратного x, по sin, обратному x, равна -1.

Важные замечания по производной обратного косинуса

  • Производная обратного косинуса является отрицательной производной обратного синуса.
  • Домен производной arccos равен (-1,1).
  • Производная cos, обратная x, определяется как d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1,

Связанные темы по производной обратного косинуса

Часто задаваемые вопросы о производной обратного косинуса

Что такое производная обратного косинуса в тригонометрии?

Производная обратного косинуса является отрицательной производной обратного синуса, определяемой как d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1

Как найти производную обратного косинуса?

Производная cos, обратная x, может быть определена различными методами, включая первый принцип дифференцирования, метод подстановки, неявное дифференцирование и т. д.

Чему равна производная от обратного корня косинуса x?

Производная cos, обратного корня x, равна d(cos -1 √x)/dx = -1/[2√(x(1 — x))].

Что такое производная формулы Arccos?

Формула для производной cos, обратная математически, определяется как d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1,

Какова производная Cos, обратная x, относительно Sin, обратная x?

Производная от cos, обратного x, по sin, обратному x, равна -1.

страница не найдена — Колледж Уильямс

’62 Центр театра и танца, ’62 Центр
Касса 597-2425
Магазин костюмов 597-3373
Менеджер мероприятий/помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
Производство 597-4474 факс
Магазин сцен 597-2439
’68 Центр изучения карьеры, Мирс 597-2311 597-4078 факс
Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
Приемная, Уэстон Холл 597-2211 597-4052 факс
Позитивные действия, Хопкинс-холл 597-4376
Африканские исследования, Голландия 597-2242 597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence 597-3578 597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
Студия фотографии, Spencer Studio Art 597-2030
Студия гравюры, Spencer Studio Art 597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
Студия видео/фото, Spencer Studio Art 597-3193
Азиатские исследования, Голландия 597-2391 597-3028 факс
Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона 597-2482 597-3200 факс
Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
Спортивный директор 597-3511
Лодочная пристань, озеро Онота 443-9851
Вагоны 597-2366
Фитнес-центр 597-3182
Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
Очные занятия, Спортивный центр Чендлера 597-3321
Физкультура 597-2141
Интеллектуальная линия бассейна, Спортивный центр Чандлера 597-2419
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
Корты для сквоша 597-2485
Поле для гольфа Taconic 458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона 597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
Биология, Томпсон Биология 597-2126 597-3495 факс
Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
Карты доступа/системы сигнализации 597-4970/4033
Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400
Офицеры и диспетчеры 597-4444
Секретарь, удостоверения личности 597-4343
Распределительный щит 597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
Компьютерный зал 597-2522
Вестибюль 597-4383
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
Экологические исследования 597-2346
Лаборатория ГИС 597-3183
Центр иностранных языков, литературы и культуры, Голландия 597-2391 597-3028 факс
Арабистика, Голландия 597-2391 597-3028 факс
Сравнительная литература, Hollander 597-2391
Critical Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Лингвистическая лаборатория 597-3260
Русский, Голландец 597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24 597-2483
Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Химия, Химия Томпсона 597-2323 597-4150 факс
Классика (греческая и латинская), голландская 597-2242 597-4222 факс
Когнитивные науки, Бронфман 597-4594
College Marshal, Thompson Physics 597-2008
Связи с колледжами 597-4057
25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
50-я программа воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
Операции по развитию, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников и разработчиков, Mears West 597-4369
Девелопмент, Фогт 597-4256
Связи с донорами, Фогт 597-3234 597-4039 факс
Отдел планирования подарков, Фогт 597-3538 597-4039 факс
Отдел грантов, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
Родительский фонд, Фогт 597-4357 597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс
Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Веб-группа, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
Информатика, Химия Томпсона 597-3218 597-4250 факс
Конференции и мероприятия, Парески 597-2591 597-4748 факс
Справки о доме на дереве вяза, Mt. Ферма надежды 597-2591
Офис контролера, Хопкинс-холл 597-4412 597-4404 факс
Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall 597-4453
Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall 597-4396
Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023
Карты закупок, Хопкинс Холл 597-4413
Студенческие кредиты, Hopkins Hall 597-4683
Танец, ’62 Центр 597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
Дом Харди 597-2129
Дом Дженнесс 597-3344
Райс Хаус 597-2453
Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс
Декан факультета, Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
Обеденные услуги, капельницы 597-2121 597-4618 факс
’82 Гриль, Парески 597-4585
Пекарня, Парески 597-4511
Питание, Факультет 597-2452
Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл 597-2238
Эко-кафе, Научный центр 597-2383
Grab ‘n Go, Парески 597-4398
Lee Snack Bar, Парески 597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
Уитменс, Парески 597-2889
Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
английский, голландский 597-2114 597-4032 факс
Объекты, Сервисное здание 597-2301
Запрос автомобиля для колледжа 597-2302
Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации 597-4444
Запросы на работу объектов 597-4141 факс
Особые события 597-4020
Склад 597-2143 597-4013 факс
Преподавательский клуб, Дом преподавателей/Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
Бронирование 597-3089
Офис стипендий, Хопкинс-холл 597-3044 597-3507 факс
Финансовая помощь, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
Геофизические науки, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс
немецкий-русский, голландский 597-2391 597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер 597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, The Clark 458-2317 факс
Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
Санитарное просвещение 597-3013
Услуги комплексного благополучия (консультации) 597-2353
Экстренные ситуации, угрожающие жизни Звоните 911
Медицинские услуги 597-2206
История, Холландер 597-2394 597-3673 факс
История науки, Бронфман 597-4116 факс
Хопкинс Форест 597-4353
Центр Розенбурга 458-3080
Отдел кадров, здание B&L 597-2681 597-3516 факс
Услуги няни, здание B&L 597-4587
Преимущества 597-4355
Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
Занятость 597-2681
Расчет заработной платы 597-4162
Ресурсы для супругов/партнеров 597-4587
Занятость студентов 597-4568
Погодная линия (ICEY) 597-4239
Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076
Информационные технологии, Джесуп 597-2094 597-4103 факс
Пакеты для чтения курса, почтовый ящик Office Services 597-4090
Центр кредитования оборудования, Додд, приложение 597-4091
Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected] 597-4090
Мультимедийные услуги и справка по классу 597-2112
Служба поддержки студентов, [email protected] 597-3088
Телекоммуникации/телефоны 597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552
Международное образование и учеба в гостях, Hopkins Hall 597-4262 597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс-холл 597-4447
Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер 597-3539
Справедливость и право, Холландер 597-2102
Латиноамериканские исследования, Hollander 597-2242 597-4222 факс
Лидерские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман 597-2297
Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
Concertline (записанная информация) 597-3146
Неврология, Биология Томпсона 597-4107 597-2085 факс
Центр Окли, Окли 597-2177 597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Hopkins Hall 597-4376 597-4015 факс
Счетная палата студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс
Исследования производительности, ’62 Центр 597-4366
Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Физика, Физика Томпсона 597-2482 597-4116 факс
Планетарий/Обсерватория Хопкинса 597-3030
Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828
Бронирование 597-2188
Политическая экономия, Шапиро 597-2327
Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс
Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House 597-2022
Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
Офис проректора, Хопкинс-холл 597-4352 597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
Недвижимость, здание B&L 597-2195/4238 597-5031 факс
Ипотека преподавателей/сотрудников 597-4238
Аренда жилья для преподавателей/персонала 597-2195
ЗАГС, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
Религия, голландец 597-2076 597-4222 факс
Романские языки, голландский 597-2391 597-3028 факс
Планировщик помещений 597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 House 597-3003
Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
Услуги доступа 597-2501
Приобретения/Серийные номера 597-2506
Услуги каталогизации/метаданных 597-2507
Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
Исследовательские и справочные службы 597-2515
Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
Системы 597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
Научные и технологические исследования, Бронфман 597-2239
Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
Магазин электроники 597-2205
Машинно-модельный цех 597-2230
Безопасность 597-4444
Специальные академические программы, Hardy 597-3747 597-4530 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески 597-4747
Планировщик помещений 597-2555
Управление студенческими центрами 597-4191
Планирование студенческих мероприятий 597-2546
Студенческое общежитие, Парески 597-2555
Участие студентов 597-4749
Жилищные программы высшего класса 597-4625
Студенческая почта, Почтовый ящик Парески 597-2150
Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper 597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
Книжный магазин Уильямс 458-8071 458-0249 факс
Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
Управление траста и недвижимости, Sears House 597-4259
Учебники 597-2580
Вице-президент Campus Life, Hopkins Hall 597-2044 597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжами, Мирс 597-4057 597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс 597-4008 597-4889 факс
Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
Подготовка музея 597-2426
Служба безопасности музея 597-2376
Музейный магазин 597-3233
Уильямс Интернэшнл 597-2161
Williams Outing Club, Парески 597-2317
Аппаратная/стол для учащихся 597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст 597-2192
Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic 860-572-5359 860-572-5329 факс
Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро 597-3143 597-4620 факс
Написание программ, Hopkins Hall 597-4615
Центр экологических инициатив Зилха, Харпер 597-4462

Функция Arccos(x)

Arccos(x), cos -1 (x), функция арккосинуса.

Определение Arccos

Арккосинус x определяется как функция арккосинуса x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

потому что у = х

Тогда арккосинус x равен функции арккосинуса x, которая равна y:

arccos x  = cos -1   x = y

Здесь cos -1  x означает арккосинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos -1  1 = 0 рад = 0°

График arccos

правила Arccos

правило 0 9 )) )) )) )) )) )) )) )) β 2 ) ) 92 627 arccos( sin x ) = — x — (2 k +0. 5) π
правило Cosine arccosine COS (ARCCOS X) = x
Arccosine Cosine Arccos (COS X) = X + 2kπ, когда k∈ℤ (k целое число)
Arccos отрицательного аргумента arccos(-x) = π — arccos x = 180° — arccos x
Дополнительные углы arccos x = π/2 Arcsin x = 90 ° — Arcsin x
Sum Arccos ( α ) + Arccos ( β ) = Arccos ( αβ — √ (1- α 2 ) (1- β 2 ))
Arccos sin of x
Sine of Arccosine COS (Arcsin x ) = sin (Arccos x ) = √1 — x 2
тангенс Arccosine Производное Arccosine неопределенный интеграл Arccosine ∫ Arccos x dx = x arccos x x 2 + C

Стол Arccos

9253
x Arccos (x) (rad) Arccos (x) (°)
-1 π 180 °
—√3 / 2 5π / 6 150 ° 6
-√2 / 2 3π / 4 135 ° 6 135 ° 9 -1/2 2π / 3 120 ° 20677
0 π / 2 90 ° 60677 90 °
1/2 π / 3 60 ° 9 60 ° 9
√2 / 2 π / 4 45 °
√3 / 2 π/6 30°
1 0

6.

3 Обратные тригонометрические функции. Предварительное исчисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Понимать и использовать функции арксинуса, косинуса и тангенса.
  • Найдите точное значение выражений, включающих функции арксинуса, косинуса и тангенса.
  • Используйте калькулятор для вычисления обратных тригонометрических функций.
  • Найдите точные значения составных функций с помощью обратных тригонометрических функций.

Для любого прямоугольного треугольника, зная еще один угол и длину одной стороны, мы можем выяснить, каковы остальные углы и стороны.Но что, если нам даны только две стороны прямоугольного треугольника? Нам нужна процедура, которая ведет нас от отношения сторон к углу. Здесь в игру вступает понятие обратной тригонометрической функции. В этом разделе мы рассмотрим обратные тригонометрические функции.

Понимание и использование функций арксинуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как в случае с любая другая функция и ее обратная. Другими словами, область определения обратной функции — это диапазон исходной функции и наоборот, как показано на рис. 1.

Фигура 1

Например, если f(x)=sinx,f(x)=sinx, то мы должны написать f−1(x)=sin−1x.f−1(x)=sin−1x. Имейте в виду, что sin-1xsin-1x не означает 1sinx.1sinx. Следующие примеры иллюстрируют обратные тригонометрические функции:

  • Так как sin(π6)=12,sin(π6)=12, то π6=sin−1(12).π6=sin−1(12).
  • Так как cos(π)=−1,cos(π)=−1, то π=cos−1(−1).π=cos-1(-1).
  • Так как tan(π4)=1,tan(π4)=1, то π4=tan−1(1).π4=tan−1(1).

В предыдущих разделах мы оценивали тригонометрические функции под разными углами, но иногда нам нужно знать, какой угол даст конкретное значение синуса, косинуса или тангенса. Для этого нам понадобятся обратные функции. Напомним, что для взаимно однозначной функции, если f(a)=b,f(a)=b, то обратная функция будет удовлетворять условию f−1(b)=a.f−1(b)=a.

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не являются взаимно однозначными функциями. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. На самом деле никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а периодов бесконечное количество. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить домен каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной. Мы выбираем область определения для каждой функции, которая включает число 0. На рис. 2 показаны график функции синуса, ограниченный [−π2,π2][−π2,π2], и график функции косинуса, ограниченный [0,π] .[0,π].

Фигура 2 (a) Синусоидальная функция на ограниченной области [−π2,π2];[−π2,π2]; (b) Функция косинуса в ограниченной области [0,π][0,π]

На рис. 3 показан график функции тангенса, ограниченной (−π2,π2).(−π2,π2).

Фигура 3 Касательная функция на ограниченной области (−π2,π2)(−π2,π2)

Эти общепринятые варианты ограниченного домена несколько произвольны, но у них есть важные и полезные характеристики. Каждый домен включает в себя начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый из них приводит к взаимно однозначной функции, которая является обратимой. Обычный выбор для ограниченной области функции тангенса также имеет полезное свойство, заключающееся в том, что он простирается от одной вертикальной асимптоты до другой, а не делится асимптотой на две части.

В этих ограниченных областях мы можем определить обратные тригонометрические функции.

  • Функция обратного синуса y=sin-1xy=sin-1x означает x=siny.х=синий. Функция обратного синуса иногда называется функцией арксинуса и обозначается как arcsinx.arcsinx. y=sin-1xимеет домен[−1,1]и диапазон[−π2,π2]y=sin−1xимеет домен[−1,1]и диапазон[−π2,π2]
  • Функция арккосинуса y=cos-1xy=cos-1x означает x=cosy.x=cosy. Функция арккосинуса иногда называется функцией арккосинуса и обозначается как arccosx.arccosx. y=cos-1xимеет домен[−1,1]и диапазон[0,π]y=cos-1xимеет домен[−1,1]и диапазон[0,π]
  • Функция арктангенса y=tan-1xy=tan-1x означает, что x=tany. х=любой. Функцию арктангенса иногда называют функцией арктангенса и обозначают как arctanx.arctanx. y=tan−1x имеет домен (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2) y=tan−1x имеет домен (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2)

Графики обратных функций показаны на Рис. 4, Рис. 5 и Рис. 6. Обратите внимание, что выход каждой из этих обратных функций представляет собой число , а — угол в радианах. Мы видим, что sin-1xsin-1x имеет домен [-1,1][-1,1] и диапазон [-π2,π2],[-π2,π2], cos-1xcos-1x имеет домен [-1,1 ][−1,1] и диапазон [0,π],[0,π], а tan−1xtan−1x имеет область определения всех действительных чисел и диапазон (−π2,π2).(−π2,π2). Чтобы найти область определения и область значений обратных тригонометрических функций, поменяйте местами область определения и область значений исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно прямой y=x.y=x.

Фигура 4 Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Фигура 5 Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса)

Фигура 6 Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса)

Соотношения для функций арксинуса, косинуса и тангенса

Для углов в интервале [−π2,π2],[−π2,π2], если siny=x,siny=x, то sin−1x=y. грех-1х=у.

Для углов в интервале [0,π],[0,π], если cosy=x,cosy=x, то cos-1x=y.cos-1x=y.

Для углов в интервале (−π2,π2),(−π2,π2), если tany=x,tany=x, то tan−1x=y.tan−1x=y.

Пример 1

Запись отношения для обратной функции

Для данных sin(5π12)≈0,96593,sin(5π12)≈0,96593 напишите соотношение, включающее арксинус.

Решение

Используйте соотношение для обратного синуса.Если siny=x, siny=x, то sin-1x=ysin-1x=y.

В этой задаче x=0,96593,x=0,96593 и y=5π12.y=5π12.

sin−1(0,96593)≈5π12sin−1(0,96593)≈5π12

Попытайся #1

Для заданных cos(0,5)≈0,8776,cos(0,5)≈0,8776 напишите соотношение, включающее арккосинус.

Нахождение точного значения выражений, включающих функции арксинуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем определять обратные функции, мы научимся их вычислять. Для большинства значений в их областях мы должны вычислить обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции по таблице или с помощью какого-либо другого численного метода. Как и в случае с исходными тригонометрическими функциями, мы можем дать точные значения для обратных функций, используя специальные углы, а именно π6π6 (30°), π4π4 (45°) и π3π3 (60°), и их отражения. в другие квадранты.

Как

При заданном «специальном» входном значении вычислить обратную тригонометрическую функцию.

  1. Найдите угол xx, для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
  2. Если xx не находится в заданном диапазоне обратной функции, найдите другой угол yy, который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x,x, в зависимости от того, что соответствует данной обратной функции.

Пример 2

Вычисление обратных тригонометрических функций для специальных входных значений

Оцените каждое из следующих действий.

  1. ⓐ sin-1(12)sin-1(12)
  2. ⓑ sin-1(-22)sin-1(-22)
  3. ⓒ cos-1(-32)cos-1(-32)
  4. ⓓ тангенс-1(1)тангенс-1(1)
Решение
  1. ⓐ Вычисление sin-1(12)sin-1(12) аналогично определению угла, значение синуса которого равно 12,12. Другими словами, какой угол xx удовлетворяет условию sin(x)=12?sin(x)=12? Есть несколько значений, которые удовлетворяли бы этому соотношению, например π6π6 и 5π6,5π6, но мы знаем, что нам нужен угол в интервале [−π2,π2],[−π2,π2], поэтому ответ будет sin−1 (12)=π6.sin−1(12)=π6. Помните, что обратная функция — это функция, поэтому для каждого входа мы получим ровно один выход.
  2. ⓑ Чтобы вычислить sin−1(−22),sin−1(−22), мы знаем, что 5π45π4 и 7π47π4 имеют значение синуса −22,−22, но ни одно из них не находится в интервале [−π2,π2]. .[−π2,π2]. Для этого нам нужен котерминал отрицательного угла с 7π4:7π4:sin−1(−22)=−π4.sin−1(−22)=−π4.
  3. ⓒЧтобы вычислить cos−1(−32),cos−1(−32), мы ищем угол в интервале [0,π][0,π] со значением косинуса −32,−32.Угол, который удовлетворяет этому, равен cos−1(−32)=5π6.cos−1(−32)=5π6.
  4. ⓓ Вычисляя tan−1(1),tan−1(1), мы ищем угол в интервале (−π2,π2)(−π2,π2) со значением тангенса, равным 1. Правильный угол равен tan −1(1)=π4.tan−1(1)=π4.

Попытайся #2

Оцените каждое из следующих действий.

  1. ⓐ sin-1(-1)sin-1(-1)
  2. ⓑ тангенс-1(-1)тангенс-1(-1)
  3. ⓒ cos-1(-1)cos-1(-1)
  4. ⓓ cos-1(12)cos-1(12)

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Чтобы вычислить обратные тригонометрические функции, которые не включают специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам потребуется использовать калькулятор или другую технику. Большинство научных калькуляторов и приложений, имитирующих калькулятор, имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, SIN . −1−1, ARCSIN или ASIN .

В предыдущей главе мы работали с тригонометрией над прямоугольным треугольником, чтобы найти стороны треугольника по одной стороне и дополнительному углу. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких знаков после запятой.

В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θθ как независимую переменную. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.

Пример 3

Вычисление обратного синуса на калькуляторе

Вычислите sin-1(0,97)sin-1(0,97) с помощью калькулятора.

Решение

Поскольку результатом обратной функции является угол, калькулятор выдаст нам значение в градусах, если в режиме градусов, и значение в радианах, если в режиме радиан.Калькуляторы также используют те же доменные ограничения для углов, что и мы.

В радианном режиме sin−1(0,97)≈1,3252.sin−1(0,97)≈1,3252. В градусном режиме sin−1(0,97)≈75,93°.sin−1(0,97)≈75,93°. Обратите внимание, что в исчислении и за его пределами мы будем использовать радианы почти во всех случаях.

Попытайся #3

Оцените cos-1(-0,4)cos-1(-0,4) с помощью калькулятора.

Как

Даны две стороны прямоугольного треугольника, подобного изображенному на рис. 7, найдите угол.

Фигура 7

  1. Если одна заданная сторона является гипотенузой длины hh и дана сторона длины aa, примыкающая к желаемому углу, используйте уравнение θ=cos−1(ah). θ=cos−1(ah).
  2. Если заданная сторона является гипотенузой длины hh и задана сторона длины pp, противоположная желаемому углу, используйте уравнение θ=sin−1(ph).θ=sin−1(ph).
  3. Если даны два катета (стороны, примыкающие к прямому углу), то используйте уравнение θ=tan−1(pa).θ=tan−1(pa).

Пример 4

Применение арккосинуса к прямоугольному треугольнику

Решите треугольник на рисунке 8 для угла θ.θ.

Фигура 8

Решение

Поскольку мы знаем гипотенузу и сторону, прилегающую к углу, для нас имеет смысл использовать функцию косинуса.

cosθ=912θ=cos−1(912)Применить определение обратного.θ≈0,7227 или около 41,4096°Evaluate.cosθ=912θ=cos−1(912)Применить определение обратного.θ≈0,7227 или около 41,4096°Оценить.

Попытайся #4

Решите треугольник на рисунке 9 для угла θ.θ.

Фигура 9

Нахождение точных значений составных функций с помощью обратных тригонометрических функций

Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. В этих случаях мы обычно можем найти точные значения результирующих выражений, не прибегая к помощи калькулятора.Даже когда входными данными для составной функции являются переменная или выражение, мы часто можем найти выражение для вывода. Чтобы помочь разобраться в различных случаях, пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) — две разные тригонометрические функции, принадлежащие множеству {sin(x),cos(x),tan(x)} {sin(x),cos(x),tan(x)}, и пусть f−1(y)f−1(y) и g−1(y)g−1(y) будут их обратными.

Оценка композиций формы
F ( F -1 ( y )) и F -1 ( F ( x ))

для любой тригонометрической функции, f ( f−1(y))=yf(f−1(y))=y для всех yy в соответствующей области для данной функции.Это следует из определения обратного и из того факта, что область значений ff была определена как идентичная области определения f−1. f−1. Однако мы должны быть немного осторожнее с выражениями вида f−1(f(x)).f−1(f(x)).

Композиции тригонометрической функции и ее обратной

sin(sin-1x)=xfor-1≤x≤1cos(cos-1x)=xfor-1≤x≤1tan(tan-1x)=xfor-∞ вопросы и ответы

Верно ли, что sin-1(sinx)=x?sin-1(sinx)=x?

№Это уравнение верно, если xx принадлежит ограниченной области [−π2,π2],[−π2,π2], но синус определен для всех действительных входных значений, а для xx вне ограниченного интервала уравнение неверно, поскольку его inverse всегда возвращает значение в [−π2,π2].[−π2,π2]. Аналогичная ситуация для косинуса и тангенса и их обратных величин. Например, sin−1(sin(3π4))=π4.sin−1(sin(3π4))=π4.

Как

Учитывая выражение вида f −1 (f(θ)), где f(θ)=sinθ,cosθ или tanθ,f(θ)=sinθ,cosθ или tanθ, оцените.

  1. Если θθ находится в ограниченной области f, то f−1(f(θ))=θ.f, тогда f−1(f(θ))=θ.
  2. Если нет, то найдите угол ϕϕ в ограниченной области ff такой, что f(ϕ)=f(θ).f(ϕ)=f(θ). Тогда f−1(f(θ))=ϕ.f−1(f(θ))=ϕ.

Пример 5

Использование обратных тригонометрических функций

Оценить следующее:

  1. ⓐ sin−1(sin(π3))sin−1(sin(π3))
  2. ⓑ sin−1(sin(2π3))sin−1(sin(2π3))
  3. ⓒ cos−1(cos(2π3))cos−1(cos(2π3))
  4. ⓓ cos−1(cos(−π3))cos−1(cos(−π3))
Решение
  1. ⓐ π3 находится в [−π2,π2], π3 находится в [−π2,π2], поэтому sin−1(sin(π3))=π3. sin−1(sin(π3))=π3.
  2. ⓑ 2π3 не находится в [−π2,π2], 2π3 не находится в [−π2,π2], но sin(2π3)=sin(π3),sin(2π3)=sin(π3), поэтому sin−1( грех(2π3))=π3.sin−1(sin(2π3))=π3.
  3. ⓒ 2π3 находится в [0,π], 2π3 находится в [0,π], поэтому cos−1(cos(2π3))=2π3.cos−1(cos(2π3))=2π3.
  4. ⓓ −π3 не находится в [0,π], −π3 не находится в [0,π], но cos(−π3)=cos(π3)cos(−π3)=cos(π3), потому что косинус – четный функция. π3 находится в [0,π], π3 находится в [0,π], поэтому cos−1(cos(−π3))=π3.cos−1(cos(−π3))=π3.

Попытайся #5

Вычислить тангенс-1(тангенс(π8)) и тангенс-1(тангенс(11π9)).tan−1(tan(π8)) и tan−1(tan(11π9)).

Вычисление композиций формы
f −1 ( g ( x ))

Теперь, когда мы можем составить тригонометрическую функцию с ее обратной, мы можем изучить, как вычислить композицию тригонометрической функции и обратную другую тригонометрическую функцию. Начнем с композиций вида f−1(g(x)).f−1(g(x)). Для специальных значений x,x мы можем точно вычислить внутреннюю функцию, а затем внешнюю обратную функцию.Однако мы можем найти более общий подход, рассмотрев соотношение между двумя острыми углами прямоугольного треугольника, где один равен θ, θ, а другой равен π2−θ.π2−θ. Рассмотрим синус и косинус каждого угла прямоугольного треугольника на рисунке 10.

Фигура 10 Прямоугольный треугольник, иллюстрирующий кофункциональные отношения

Поскольку cosθ=bc=sin(π2−θ),cosθ=bc=sin(π2−θ), мы имеем sin−1(cosθ)=π2−θsin−1(cosθ)=π2−θ, если 0≤θ≤ π.0≤θ≤π. Если θθ не находится в этой области, то нам нужно найти другой угол, который имеет тот же косинус, что и θθ, и не принадлежит ограниченной области; затем мы вычитаем этот угол из π2.№2. Аналогично, sinθ=ac=cos(π2−θ),sinθ=ac=cos(π2−θ), поэтому cos−1(sinθ)=π2−θcos-1(sinθ)=π2−θ, если −π2≤θ≤ π2.−π2≤θ≤π2. Это всего лишь отношения функция-кофункция, представленные в другом виде.

Как

Даны функции вида sin-1(cosx)sin-1(cosx) и cos-1(sinx),cos-1(sinx), вычислить их.

  1. Если x находится в [0,π],x находится в [0,π], тогда sin−1(cosx)=π2−x.sin−1(cosx)=π2−x.
  2. Если x не лежит в [0,π], x не лежит в [0,π], то найдите другой угол y в [0,π]y в [0,π] такой, что cosy=cosx.уютный = cosx. sin−1(cosx)=π2−ysin−1(cosx)=π2−y
  3. Если x находится в [−π2,π2],x находится в [−π2,π2], то cos−1(sinx)=π2−x.cos−1(sinx)=π2−x.
  4. Если x не лежит в [−π2,π2],x не лежит в [−π2,π2], то найдите другой угол y в [−π2,π2]y в [−π2,π2] такой, что siny=sinx. синий=синкс. cos−1(sinx)=π2−ycos−1(sinx)=π2−y

Пример 6

Вычисление композиции арксинуса с косинусом

Вычислить sin-1(cos(13π6))sin-1(cos(13π6))

  1. ⓐпрямой оценкой.
  2. ⓑ описанным ранее способом.
Решение
  1. ⓐ Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции. cos(13π6)=cos(π6+2π)               =cos(π6)               =32cos(13π6)=cos(π6+2π)                       =cos(π6)               =32

    . Теперь мы можем вычислить обратную функцию.

    sin−1(32)=π3sin−1(32)=π3
  2. ⓑ Имеем x=13π6,y=π6,x=13π6,y=π6, и sin−1(cos(13π6))=π2−π6=π3       sin−1(cos(13π6))=π2−π6=π3       

Попытайся #6

Вычислить cos-1(sin(-11π4)).cos−1(sin(−11π4)).

Оценка композиций формы
f ( g −1 ( x ))

Для оценки композиций формы f(g−1(x)),f(g−1(x)) , где ff и gg — любые две функции синуса, косинуса или тангенса, а xx — любые входные данные в области g−1,g−1, у нас есть точные формулы, такие как sin(cos−1x)=1− x2. sin(cos-1x)=1-x2. Когда нам нужно их использовать, мы можем вывести эти формулы, используя тригонометрические отношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника вместе с использованием соотношения Пифагора между длинами сторон.Мы можем использовать тождество Пифагора, sin2x+cos2x=1,sin2x+cos2x=1, чтобы найти одно, зная другое. Мы также можем использовать обратные тригонометрические функции для поиска композиций, включающих алгебраические выражения.

Пример 7

Вычисление состава синуса с арккосинусом

Найдите точное значение для sin(cos-1(45)).sin(cos-1(45)).

Решение

Начав с внутренней стороны, мы можем сказать, что существует некоторый угол, такой что θ=cos−1(45),θ=cos−1(45), что означает cosθ=45,cosθ=45, и мы ищем sinθ.грехθ. Для этого мы можем использовать тождество Пифагора.

sin2θ+cos2θ=1Используем известное значение косинуса. sin2θ+(45)2=1Находим синус.sin2θ=1−1625sinθ=±925=±35sin2θ+cos2θ=1Используем известное значение косинуса.sin2θ+(45)2= 1Решите для sine.sin2θ=1−1625sinθ=±925=±35

Поскольку θ=cos−1(45)θ=cos−1(45) находится в квадранте I, sinθsinθ должен быть положительным, поэтому решение равно 35,35. См. рис. 11.

Фигура 11 Прямоугольный треугольник, показывающий, что если cosθ=45, cosθ=45, то sinθ=35sinθ=35

Мы знаем, что арккосинус всегда дает угол на интервале [0,π],[0,π], поэтому мы знаем, что синус этого угла должен быть положительным; следовательно, sin(cos−1(45))=sinθ=35.грех (cos-1 (45)) = грех θ = 35.

Попытайся #7

Вычислить cos(tan-1(512)).cos(tan-1(512)).

Пример 8

Вычисление состава синуса с арктангенсом

Найдите точное значение для sin(tan-1(74)).sin(tan-1(74)).

Решение

Хотя мы могли бы использовать тот же метод, что и в примере 6, здесь мы продемонстрируем другой метод. Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что tanθ=74.tanθ=74. Мы можем представить это как противоположную и смежную стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.

Фигура 12 Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами

Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.

42+72=hypotenuse2hypotenuse=65      42+72=hypotenuse2hypotenuse=65

Теперь мы можем вычислить синус угла как противоположную сторону, деленную на гипотенузу.

Это дает нам желаемую композицию.

sin(tan−1(74))=sinθ                     =765                      = 76565sin(tan−1(74))=sinθ                                = 765                  = 765                  

Попытайся #8

Вычислить cos(sin-1(79)).cos(sin-1(79)).

Пример 9

Нахождение косинуса арксинуса алгебраического выражения

Найдите упрощенное выражение для cos(sin-1(x3))cos(sin-1(x3)) при −3≤x≤3. −3≤x≤3.

Решение

Мы знаем, что существует угол θθ такой, что sinθ=x3.sinθ=x3.

sin2θ+cos2θ=1Использовать Теорему Пифагора. (x3)2+cos2θ=1Найти косинус. 1Найти косинус. сделать вывод, что косинус этого угла должен быть положительным.

cos(sin-1(x3))=9-x23cos(sin-1(x3))=9-x23

Попытайся #9

Найдите упрощенное выражение для sin(tan−1(4x))sin(tan−1(4x)) для −14≤x≤14.−14≤x≤14.

6.3 Секционные упражнения

Устный
1 .

Почему функции f(x)=sin-1xf(x)=sin-1x и g(x)=cos-1xg(x)=cos-1x имеют разные диапазоны?

2 .

Поскольку функции y=cosxy=cosx и y=cos-1xy=cos-1x являются обратными функциями, почему cos-1(cos(-π6))cos-1(cos(-π6)) не равно -π6 ?−π6?

3 .

Объясните значение π6=arcsin(0,5).π6=arcsin(0,5).

4 .

Большинство калькуляторов не имеют ключа для вычисления sec-1(2).sec-1(2). Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию арккосинуса.

5 .

Почему область определения функции синуса sinx,sinx должна быть ограничена [−π2,π2][−π2,π2], чтобы функция обратного синуса существовала?

6 .

Обсудите, почему это утверждение неверно: arccos(cosx)=xarccos(cosx)=x для всех x.Икс.

7 .

Определите, верно или нет следующее утверждение, и объясните свой ответ: arccos(−x)=π−arccosx.arccos(−x)=π−arccosx.

Алгебраический

Для следующих упражнений оцените выражения.

9 .

грех-1 (-12) грех-1 (-12)

11 .

cos-1(-22)cos-1(-22)

13 .

тангенс-1(-3)тангенс-1(-3)

14 .

тангенс-1(-1)тангенс-1(-1)

16 .

тангенс-1(-13)тангенс-1(-13)

В следующих упражнениях используйте калькулятор для вычисления каждого выражения. Выражайте ответы с точностью до сотых.

17 .

cos-1(-0,4)cos-1(-0,4)

Для следующих упражнений найдите угол θθ в заданном прямоугольном треугольнике. Ответы округлить до сотых.

22 .

Для следующих упражнений найдите точное значение, если возможно, без калькулятора.Если это невозможно, объясните, почему.

24 .

sin−1(cos(π))sin−1(cos(π))

25 .

тангенс-1 (грех (π)) тангенс-1 (грех (π))

26 .

cos−1(sin(π3))cos−1(sin(π3))

27 .

tan−1(sin(π3))tan−1(sin(π3))

28 .

sin−1(cos(−π2))sin−1(cos(−π2))

29 .

тангенс-1 (грех (4π3)) тангенс-1 (грех (4π3))

30 .

грех-1 (грех (5π6)) грех-1 (грех (5π6))

31 .

тангенс-1 (грех (-5π2)) тангенс-1 (грех (-5π2))

32 .

потому что (sin-1 (45)) потому что (sin-1 (45))

33 .

грех (cos-1 (35)) sin (cos-1 (35))

34 .

грех (загар-1 (43)) грех (загар-1 (43))

35 .

потому что (тангенс-1 (125)) потому что (тангенс-1 (125))

36 .

потому что (sin-1 (12)) потому что (sin-1 (12))

Для следующих упражнений найдите точное значение выражения через xx с помощью опорного треугольника.

37 .

тангенс (грех-1 (х-1)) тангенс (грех-1 (х-1))

38 .

грех (cos-1 (1-x)) sin (cos-1 (1-x))

39 .

потому что (sin-1 (1x)) потому что (sin-1 (1x))

40 .

потому что (тангенс-1 (3x-1)) потому что (тангенс-1 (3x-1))

41 .

тангенс (грех-1 (х + 12)) тангенс (грех-1 (х + 12))

Расширения

В следующих упражнениях оцените выражение без использования калькулятора.Укажите точное значение.

42 .

sin-1(12)-cos-1(22)+sin-1(32)-cos-1(1)cos-1(32)-sin-1(22)+cos-1(12)-sin −1(0)sin−1(12)−cos−1(22)+sin−1(32)−cos−1(1)cos−1(32)−sin−1(22)+cos−1( 12)−sin−1(0)

В следующих упражнениях найдите функцию if sint=xx+1.sint=xx+1.

46 .

потому что (грех-1 (хх + 1)) потому что (грех-1 (хх + 1))

47 .

тангенс-1(x2x+1)тангенс-1(x2x+1)

Графический
48 .

Постройте график y=sin-1xy=sin-1x и укажите домен и диапазон функции.

49 .

Постройте график y=arccosxy=arccosx и укажите домен и диапазон функции.

50 .

Начертите один цикл y=tan-1xy=tan-1x и укажите домен и диапазон функции.

51 .

При каком значении xx sinx=sin-1x?sinx=sin-1x? Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы приблизить ответ.

52 .

При каком значении xx cosx=cos-1x?cosx=cos-1x? Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы приблизить ответ.

Реальные приложения
53 .

Предположим, что 13-футовая лестница прислонена к зданию и достает до низа окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

54 .

Предположим, вы проехали 0,6 мили по дороге, так что расстояние по вертикали изменилось от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?

55 .

Равнобедренный треугольник имеет две конгруэнтные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол, который образует сторона 9 дюймов со стороной 8 дюймов.

56 .

Не используя калькулятор, аппроксимируйте значение arctan(10,000).arctan(10,000). Объясните, почему ваш ответ является разумным.

57 .

Ферма для крыши дома строится из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Каждая имеет основание 12 футов и высоту 4 фута. Найдите градусную меру острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.

58 .

Линия y=35xy=35x проходит через начало координат в плоскости x , y . Какова мера угла, который линия образует с положительной осью x ?

59 .

Линия y=−37xy=−37x проходит через начало координат в плоскости x , y . Какова мера угла, который линия образует с отрицательной осью x ?

60 .

Какой процент уклона должен иметь дорога, если угол подъема дороги составляет 4 градуса? (Уклон в процентах определяется как изменение высоты дороги на протяжении 100-футового горизонтального расстояния. Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)

61 .

20-футовая лестница прислонена к стене здания так, что основание лестницы находится на расстоянии 10 футов от основания здания. Если технические требования требуют, чтобы угол подъема лестницы составлял от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

62 .

Предположим, что 15-футовая лестница прислонена к стене дома так, что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.На каком расстоянии от стены дома находится подножие лестницы?

Обратные тригонометрические функции ch_2 31.12.08.pmd

%PDF-1.4 % 147 0 объект >>>]/ON[324 0 R]/Порядок[]/RBGroups[]>>/OCGs[222 0 R 324 0 R]>>/Страницы 143 0 R/Тип/Каталог>> эндообъект 148 0 объект >/Шрифт>>>/Поля 139 0 R>> эндообъект 144 0 объект >поток приложение/pdf

  • acer
  • Обратные тригонометрические функции ch_2 31. 12.08.pmd
  • 2017-10-24T12:03:46PageMaker 7.02021-07-01T12:56:46+05:302021-07-01T12:56:46+05:30GPL Ghostscript 8.15uuid:7e5f74fa-dbb9-4512-b9be-f01f5ac59ac07ubaid:7-6-97ubaid 61d7-4d25-81fa-55420dd89401 конечный поток эндообъект 143 0 объект > эндообъект 149 0 объект >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text/ImageC/ImageI]/XObject>>>/Rotate 0/Type/Page>> эндообъект 1 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 7 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 9 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 11 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 13 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 15 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 17 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 19 0 объект >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Поворот 0/Тип/Страница>> эндообъект 21 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 23 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 25 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 32 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 34 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 36 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 38 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 40 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 42 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 44 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 46 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 54 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 58 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 62 0 объект >/Шрифт>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Повернуть 0/Тип/Страница>> эндообъект 391 0 объект >поток HVo6~ay$EJC[`I6vT[R&-«7Y-4qNwxX&)YKȡHHˠJ`2G(oΎ|w$_Oʓ7gˏIʖ р6 E’XL x\^06&$7;?’ urrsC lnm&Pk w;t&2 ,> }(2 *#V3 sAk}\|YaUasdB!)r- , фДж

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск