Синус, косинус, тангенс, котангенс
В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
;
Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.
Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус
которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом
координат.
Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.
Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.
Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината
точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать
значения от 0 до 1.
Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и
косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.
Задача. Может ли:
а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?
Решение.
а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.
б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна но не может быть равна .
Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:
Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .
Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º.
Этот угол задается лучом ОB.
Координаты точки B равны (0;1), значит, , .
Проводя аналогичные рассуждения, получим , .
Задача. Определить координаты точки , если:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б)
в)
Ответ: ; ; .
Решим теперь обратную задачу.
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б)
в)
Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а
значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы
немного уточнили определение тангенса.
Тангенсом угла , называется
.
Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0,
а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому
Котангенсом угла , называется .
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение.
а)
б)
в)
г)
д)
Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Тангенсом угла
, называется
.
Котангенсом угла , называется .
Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.
Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции.
Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.
Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α: b = c · sin α Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α: a = c · cos α Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α: b = a · tg α Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α: a = b · ctg α |
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b |
sin2 α + cos2 α = 1
|
α + β = 90˚
|
a | 1 |
cos α = sin β
|
b | 1 |
sin α = cos β
|
a | 1 1 |
tg α = ctg β |
sin α |
|
|
При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Решение.
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = —— = — = —
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = —— = — = —
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
Или:
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Подробнее о тригонометрии — см.раздел Алгебра)
|
1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений. 2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус
, косинус
, тангенс
,котангенс
, секанс
и косеканс
. 3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α. 4. Синусом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 5. Косинусом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 6. Тангенсом
угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 7. Котангенсом
угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 8. Секанс
угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 9. Косеканс
угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 10. 11. График функции синус
12. График функции косинус
13. 14. График функции котангенс
15. График функции секанс
| ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z | cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z |
| sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z |
| sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z |
| sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная | cos (-x) = cos x, т. е. функция четная |
| функция периодическая, наименьший период — 2π | |
| sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk] |
| убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | убывает на промежутках |
| производная (sin x)’ = cos x | производная (cos x)’ = — sin x |
.. Изучайте этот раздел, решайте больше заданий из различных источников — и всё получится! Предполагается, что базовый раздел «С тебя и тройки хватит!» у вас затруднений не вызывает. Но если вдруг… По ссылочкам-то ходите, не ленитесь!
Не волнуйтесь, все 20 веков тригонометрии мы пройдём минут за 15. И, незаметно для себя, повторим кусочек геометрии из 8 класса.
Получим в/с
= 4/5. Короче, можно делить длины сторон друг на друга и получать какие-то числа.
Железно запомнить. Запоминание можно облегчить. Фраза «Начнём издалека…» знакома? Вот и начинайте издалека.
Все отношения поменялись! Отношение а/в
было 3/4, а
соответствующее отношение t/в
стало 6/4.
..
Просто пишем, по определению косинуса (отношение прилежащего
катета к гипотенузе):
Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества.
Вот они:
) Например:
А у таких углов все
тригонометрические функции — и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом — положительные.
Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.
Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.
Найти значение выражения:
Как они выкрутились — в следующем уроке.
Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: 
График функции тангенс
Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.
Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР
, который начинается в центре окружности, а точка Р
является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ
. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1
.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:
Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».
На рисунке
(1)
(2)
(3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим:
(4)
Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Дано: АВС, А1В1С1, С = С1 = 900, А = А1.
Доказать: sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.
Доказательство:
АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (т.
к. С = С1 = 900, А = А1). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:
Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A1. Аналогично , т.е. cos A = cos A1, и , т.е. tg A = tg A1, что и требовалось доказать.
Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.
Докажем основное тригонометрическое тождество:
Из формул (1) и (2) получаем
По теореме Пифагора , поэтому .
Тангенс и котангенс. Формулы и определение
- Главная
- Справочник
- Тригонометрия
- Тангенс и котангенс.
Формулы и определение
Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.
Определение тангенса:
Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)
Формула тангенса:
\[ \LARGE tg\ x = \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} \]
Определение котангенса:
Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
Формула котангенса:
\[ \LARGE ctg\ x = \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} \]
Определения для прямоугольного треугольника:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Определения для числа:
Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.
Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.
Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.
\( tg\ x = \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \), где \( x \neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k \)
\( ctg\ x = \dfrac{cos\ x}{sin\ x} \), где \( x \neq \pi k \)
Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):
| I | II | III | IV | |
| tg x | + | – | + | – |
| ctg x | + | – | + | – |
Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь.
Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.
| \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | 0 | |
| tg x | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | 1 | \( \sqrt{3} \) | – | 0 |
| ctg x | \( \sqrt{3} \) | 1 | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | 0 | – |
Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:
Для любого допустимого значения х справедливы равенства:
\[ tg\ (-x) = -tg\ x \]
\[ ctg\ (-x) = -ctg\ x \]
Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:
\[ tg\ (x+\pi)= tg\ \pi \]
\[ ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi \]
Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Источник
Больше интересного в телеграм @calcsbox1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла
Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Синус, косинус произвольного угла
Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ.
Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.
Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.
Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным.
Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.
Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1, то sin(α) = y0.
В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.
Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.
Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1, то cos(α) = x0.
В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.
Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.
Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.
Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов.
Все остальные значения тангенс принимать может.
Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.
Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.
Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.
Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.
Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.
Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.
Как легко запомнить синус, косинус, тангенс и котангенс углов? | Математика не для всех
Приветствую на канале «Математика не для всех», уважаемый Читатель! Прежде чем перейдем к сути вопроса хотелось бы сообщить, что теперь каждой статье будет ставиться в соответствие определенный уровень сложности.
Таким образом я хочу облегчить Ваш путь и не забрасывать знаниями, к которым Вы еще не готовы. Чаще всего такое переполнение приводит к отрицанию математики, чего не хотелось бы. Вот перечень уровней сложности вышедших на канале материалов:
Список материалов для начинающего математика:
Список материалов для обыкновенного математика:
На моем канале пока нет действительно сложных материалов, но скоро они появятся. Плашка для них такая:
Уже листая ленту, будет видно , к какому уровню сложности относится материал.
Другими цветами будут выделены материалы по истории математики и, возможно, отдельные направления, например, топологияДругими цветами будут выделены материалы по истории математики и, возможно, отдельные направления, например, топология
А ТЕПЕРЬ ПЕРЕЙДЕМ К ДЕЛУ: К ТРИГОНОМЕТРИИ!
Несмотря на небольшое, в целом, количество углов, требующих запоминания, наизусть вызубрить их достаточно сложно, в то время как применяются они повсеместно: начиная со школьной статьи и заканчивая строительством.
Правила, которые позволяют запоминать сложные формулы на уровне интуиции и представления называются мнемоническими.
Для начала стоит запомнить знаки, которые соответствуют четвертям и тригонометрическим функциям:
Источник: https://boeffblog.ru/wp-content/uploads/2018/06/sin_main.pngИсточник: https://boeffblog.ru/wp-content/uploads/2018/06/sin_main.png
Я еще в школе на уровне подсознания сопоставил положительному синусу — верх, а положительному косинусу — право, ну а тангенс и котангенс из этого выводится легко. Ниже представлена таблица значений тригонометрических функций.
В принципе опять, важны для запоминания только синус и косинус (останется только поделить их друг на друга). С одной стороны запомнить не так сложно: используется то всего несколько цифр. Но педагогика на то и педагогика, что позволяет и этот процесс мнемонически упростить:
Если сопоставить мизинцу угол 0 градусов, а большому пальцу 90, то остальные три пальца чудесным образом лягут на 30, 45 и 60 градусов.
Пронумеруем пальцы начиная с мизинца : 0,1,2,3,4.
Общая формула такова: sin a = (Корень из порядкового номера пальца)/2.
Проверьте, получается все правильно. Для косинуса особо замороченные предлагают перенумеровать пальцы, но я считаю, что это лишняя путаница. Во-первых по основному тригонометрическому тождеству можно вычислить и так, а можно запомнить, что если синус «плохой» (т.е. с корнем), то косинус его «хороший» (дробное число), естественно не касаясь угла 45, который плох везде))).
Вот так просто и быстро мы запомнили синусы и косинусы углов от 0 до 90 градусов
Минуточку, а вдруг вы оказались наедине с углом в 55 градусов, синус которого Вам жизненно важно знать, а калькулятора под рукой нет? Выход есть, формула Тейлора:
Три поправочки: угол x надо представить в радианах (гифка в конце этой статьи) и еще знать что такое факториал.
Ну и как бы придется вычислить для хорошего приближения хотя бы 5-ую степень числа. Но это нас не остановит, не так ли? Проверим формулу для угла 30 градусов.
С помощью этой формулы можно перевести градусы в радианы и наоборот. Например, угол 30 градусов это пи/6.
Реальное значение равно 1/2 — неплохая формула!
Источник: https://c.wallhere.com/photos/db/a2/1600x900_px_background_blue_Knowledge_mathematics_minimalistic_trigonometry-1492093.jpg!dИсточник: https://c.wallhere.com/photos/db/a2/1600x900_px_background_blue_Knowledge_mathematics_minimalistic_trigonometry-1492093.jpg!d
************************************************************************
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
**************************************************************************
Синус-Косинус-Тангенс
Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами
и движение
необходимо использовать некоторые математические идеи из
тригонометрия,
изучение треугольников.
Начнем с некоторых определений и терминологии.
который мы будем использовать на этом слайде.
Прямоугольный треугольник — это
трехсторонняя фигура, один из углов которой равен 90 градусов. Угол 90 градусов это
называется прямым углом , что дало название прямоугольному треугольнику.Мы выбираем один из двух оставшихся углов и обозначаем его c .
а третий угол обозначим d .
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Если мы знаем значение c ,
тогда мы знаем, что значение d :
90 + с + г = 180
д = 180 — 90 — в
д = 90 — с
Определим сторону треугольника, противоположную от прямого угла к
быть гипотенузы .Это самая длинная сторона из трех сторон
прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов
что означает «растягиваться», так как это самая длинная сторона.
Обозначим гипотенузу символом ч .
Против угла c лежит сторона, которую мы обозначили как o .
для «наоборот». Оставшуюся сторону мы помечаем как для «прилегающей».
Угол c образован пересечением гипотенузы h
и соседняя сторона a .
Нас интересуют отношения между сторонами и углами правильный треугольник. Начнем с некоторых определений. Мы позвоним соотношение стороны прямоугольного треугольника, противоположной гипотенузе синус и присвойте ему символ sin .
sin = о/ч
Отношение прилежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется косинус и с учетом символа cos .
cos = а/ч
Наконец, отношение противолежащей стороны к прилежащей стороне называется касательной и обозначен символом tan .
загар = о / а
Мы утверждаем, что значение каждого отношения зависит только от значения
угол c образован прилежащим и гипотенузой.
Чтобы продемонстрировать этот факт,
давайте изучим три фигуры в середине страницы.
В этом примере мы имеем
8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена
8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене
и синие линии вдоль земли с интервалом в один фут.
Длина лестницы фиксированная.
Если мы наклоним лестницу так, чтобы ее основание было в 2 футах от стены,
лестница образует с землей угол почти 75,5 градусов.
Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от
стены (а — примыкающая), к длине лестницы (h — гипотенуза), составляет 2/8 = .25.
Это определяется как косинус c = 75,5 градуса. (На
другая страница
мы покажем, что если бы лестница была в два раза длиннее (16 футов),
и наклонен под тем же углом (75,5 градусов), что он будет сидеть в два раза больше, чем
далеко (4 фута) от стены. Отношение остается неизменным для любого прямоугольного треугольника.
с углом 75,5 градусов.)
Если мы измерим место на стене, где лестница соприкасается (o — напротив), расстояние равно
7,745 футов.
2 = 64 — 4 = 60
о = 7.745
Отношение противоположности к гипотенузе равно 0,967 и определяется как синус угла с = 75,5 градусов.
Теперь предположим, что мы наклонили 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 4 фута от стены.
Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем на
первый пример. Угол равен 60 градусов, а отношение прилежащего к
гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c
увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована
а соседний увеличивается по мере уменьшения угла.Если мы наклоним 8 футов
лестнице так, чтобы ее основание было на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до
около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75.
Как видите, для каждого угла
на земле есть уникальная точка, которой касается 8-футовая лестница,
и это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом.
Математики называют эту ситуацию
функция.
Соотношение соседних
сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем написать
символ как cos(c) = значение .
Заметьте также, что по мере увеличения cos(c) sin(c) уменьшается. Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание было на расстоянии 6,938 фута от стены, угол c становится равным 30 градусам и отношение прилежащего к гипотенуза равна 0,866. Сравнивая этот результат со вторым примером, мы находим, что:
cos(c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)
sin(c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)
Мы можем обобщить это отношение:
грех (с) = потому что (90 — с)
90 — c — величина угла d .Вот почему мы отношение прилежащего к гипотенузе называют косинусом угла.
грех (с) = потому что (г)
Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем
определить (измерить) коэффициенты один раз и составить таблицы значений
синус, косинус и тангенс для различных значений c .
Позже, если мы будем знать
значение угла в прямоугольном треугольнике, таблицы подскажут нам отношение
сторон треугольника.Зная длину любой стороны, мы можем найти длину другой стороны.
стороны.
Или, если мы знаем отношение любых двух сторон прямоугольного треугольника, мы можем
найти величину угла между сторонами.
Мы можем использовать таблицы для решения задач.
Некоторые примеры задач, связанных с треугольниками и углами, включают
силы
на самолете в полете,
применение
крутящие моменты,
и резолюция
компоненты
вектора.
Вот таблицы синуса, косинуса и тангенса, которые вы можете использовать для решения проблемы.
Виды деятельности:
Экскурсии с гидом
Навигация ..
- Домашняя страница руководства для начинающих
Триггерные функции — Функции
Триггерные функции: функции
| Sine (Q) = OPP / SID | COSCANT (Q) = Гимии / OPP |
| Cosine (Q) = ADJ | Secant (Q) = Гимии / прил. |
| Tangent q) = opp/adj | котангенс(q) = adj/opp |
Функции обычно обозначаются аббревиатурой: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan) косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot).
Часто бывает проще запомнить триггерные функции в терминах только синуса и косинуса:
| sin(q) = opp/hyp | csc(q) = 1/sin(q) |
| cos(q) = adj/hyp | sec(q) = 1/cos(q) |
| tan(q) = sin(q)/cos(q) | cot(q) = 1/tan(q) |
| арксинус (opp/hyp) = q |
арккосеканс(hyp/opp) = q |
| арккосинус(adj/hyp) = q |
арктангенс(hyp/adj) = q |
| арктангенс(opp/adj) = q |
арккотангенс(adj/opp) = q |
Функции обычно обозначаются аббревиатурой:
арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctan)
арккосеканс (arccsc), арксеканс (arcsec) и арккотангенс (arccot).
Согласно стандартным обозначениям обратных функций (f -1 ),
вы также часто будете видеть их написанными как
sin -1 , cos -1 , tan -1
arccsc -1 , arcsec -1 и arccot -1 .
Остерегайтесь , хотя есть и другое общепринятое обозначение, которое
записывает квадрат триггерных функций, например (sin(x)) 2
как sin 2 (х). Это может сбивать с толку, тогда для вас
может быть , тогда можно подумать, что sin -1 (x) =
(sin(x)) -1 , что , а не верно.Отрицательный верхний индекс здесь представляет собой специальное обозначение, обозначающее
обратные функции (не мультипликативные обратные).
См. также: обзор.
Найти значения синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса для угла θ в стандартном положении на координатной плоскости с точкой (3,7) на ее конечной стороне
Вильма Л.
грех 0 = ?
потому что 0 = ?
загар 0 = ?
csc 0 = ?
с 0 = ?
детская кроватка 0 = ?
Раймонд Б.2 = 9+49 = 58
гипотенуза = квадратный корень из 58
h=sqr58
o=противоположная сторона = 7
a=прилегающая сторона = 3
sinx=o/h, cscx=h/9 9001
cosx =a/h, secx = h/a
tanx =o/a, cotx = а/о 3/7
cscx = sqr58/7
secx = sqr58/3
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.
Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.
¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ – — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° − ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ е ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А А Â Ã Ä Å Æ Ç Э Э Ê Ë Я Я Я Я Ð С Ò О Ô Õ О Ø О Ш Ù Ú Û О Ý Ÿ Þ а а â г ä å æ ç э э э ë я я я я ð с ò о ô х ö ø œ ш ù ú û ü ý þ ÿ А В Г Δ Е Ζ Η Θ я Κ Λ М N Ξ О Π Р Σ Т Υ Φ Χ Ψ Ом α β γ дельта ε ζ η θ я κ λ мю ν ξ о π р ς о т υ ф х ψ ю ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊
Функция котангенса
Функция котангенса — это тригонометрическая функция, одна из трех обратных функций , которые мы рассматриваем на этих страницах, две другие — это функция косеканса и функция секанса .
Обратная функция — это функция, которая является обратной (или мультипликативной обратной ) другой функции (см. ниже). Функция котангенса (обычно сокращенно cot) является обратной функцией функции тангенса . Как и в случае с другими тригонометрическими функциями, используемыми в современном мире, функция котангенса, безусловно, была известна арабским ученым, а таблицы значений котангенса, как известно, существовали к десятому веку нашей эры. Чтобы точно понять, как связаны функция котангенса и функция тангенса, рассмотрим приведенную ниже диаграмму.
Котангенс как отрезок единичной окружности
Как и другие тригонометрические функции, котангенс может быть представлен в виде отрезка, связанного с единичной окружностью . На диаграмме показан котангенс угла поворота θ сорока пяти градусов (измерено против часовой стрелки от положительной оси x ).
Отрезок AF (показан красным) является котангенсом и лежит на прямой, касательной к окружности в точке A . Отрезок PF является продолжением отрезка OP (и, кстати, также является секущей ). Помните, что точка P — это точка на окружности единичного круга, чьи координаты 90 234 x 90 235 и 90 234 y 90 235 представляют значения cos (90 234 θ 90 235 ) и sin (90 234 θ 90 235 ) соответственно (отрезки прямой, представляющие синус и косинус также показаны).Помните, что одним из определений функции тангенса является частное функций синуса и косинуса . Щелкните здесь , чтобы увидеть интерактивную демонстрацию, в которой используется единичный круг, чтобы показать, как функции синуса, косинуса и котангенса соотносятся друг с другом (примечание: чтобы интерактивная страница работала, ваш браузер должен поддерживать Java).
Помните, что функция тангенса может быть определена либо как частное противоположной и смежной, либо как частное функций синуса и косинуса.
Если вы еще не вывели этот факт из диаграммы, вы увидите из интерактивной демонстрации, что по мере того, как значение sin ( θ ) приближается к единице , а значение cos ( θ ) приближается к нулю , значение cot ( θ ) также стремится к нулю. Однако при приближении значения sin ( θ ) к нулю и значения cos ( θ ) к единице значение cot ( θ ) стремится к бесконечности. Таким образом, значение кроватки ( θ ), когда cos ( θ ) равно единице, равно undefined .Как уже упоминалось, функция тангенса представляет собой частное функций синуса и косинуса. Поскольку функция котангенса является обратной величиной функции тангенса, мы также можем выразить функцию котангенса через функции синуса и косинуса:
| COT ( θ ) = | COS ( θ ) |
| SIN ( θ ) |
Очевидно, поскольку функция котангенса есть величина, обратная функции тангенса, ее можно выразить через функцию тангенса следующим образом:
| детская кроватка ( θ ) = | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| светло-коричневый ( θ ) |
е. точка, в которой конечная сторона угла θ пересекает окружность единичной окружности), мы также можем заключить, что:
| детская кроватка ( θ ) = | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| y |
Это дает нам:
| COT ( θ ) = | COS ( θ ) | = | соседний | = | B | B | |
| SIN ( θ ) | напротив | а |
Для тех, кто интересуется такими вещами, мы использовали Microsoft Excel для создания собственной таблицы значений котангенса для углов в диапазоне от ноль градусов (0°) до триста шестьдесят градусов (360°) с приращением одна десятая градуса.Чтобы увидеть таблицу, нажмите здесь .
Если вы изучите таблицу, то увидите, что существует значительный диапазон углов, сосредоточенных вокруг 90 234 девяносто градусов 90 235 (90°) и 90 234 270 градусов 90 235 (270°), для которых значение, возвращаемое функцией котангенса, довольно невелика и изменяется относительно медленно.
Однако для углов, близких к ноль градусов (0°), сто восемьдесят градусов (180°) или триста шестьдесят градусов (360°), значение, возвращаемое секущей, быстро увеличивается.Этого следовало ожидать, так как значение тангенса ( θ ) очень мало для этих углов, поэтому его , обратное , будет соответственно большим. На самом деле значение, возвращаемое функцией котангенса для угла в ноль градусов, сто восемьдесят градусов или триста шестьдесят градусов, считается равным undefined , поскольку уравнение кроватка ( θ ) = 1 / тангенс ( θ ) будет включать деление на ноль. На самом деле, это будет применяться к 90 234 любому углу 90 235, для которого значение тангенса равно нулю.Ниже мы приводим график функции котангенса для углов в диапазоне от ноль до семьсот двадцать градусов (720°).
График функции котангенса для углов в диапазоне от 0° до 720°
Как и функция тангенса, значения функции котангенса будут варьироваться от нуля до бесконечности (или, точнее, от нуля до очень большого неопределенного значения).
Поскольку функция котангенса является обратной величиной функции тангенса, значение котангенса будет неопределенным, если значение тангенса равно нулю, и нулем, если значение тангенса не определено. Как видно из таблицы значений котангенса и графика функции котангенса, значение котангенса отрицательно для всех углов, для которых синус и косинус имеют разных знака (т.е. в квадранте II и квадранте IV ), и положительным для всех углов, у которых синус и косинус имеют один и тот же знак (т.е. в квадранте I и квадранте III ).
Если вы читали страницы о тангенсах, косекансах и секансах (или, возможно, даже если не читали), вы знаете, что вертикальные красные линии на графике — это асимптоты . Асимптота кривой представляет собой линию, которая по мере того, как расстояние между кривой и линией приближается к нулю, когда значение кривой приближается к бесконечности.
В этом случае асимптотами можно считать «пробелы» на графике, где значение ctg ( θ ) не определено.Обратите также внимание на то, что по мере того, как график пересекает асимптоту, значение cot ( θ ) переходит от максимального положительного значения к максимальному отрицательному значению (или наоборот). Вы также можете увидеть, как различаются значения по обе стороны от асимптоты, изучив таблицу значений котангенса.
График функции котангенса может включать несколько очень больших положительных и отрицательных пиков, так как значение тангенса ( θ ) стремится к нулю.Как и функция тангенса, период функции котангенса равен сто восемьдесят градусов (180°), или π. Возможно, вы помните, что функция тангенса возвращает значение ноль при нуле градусов и достигает своего положительного пика по мере приближения к девяноста градусам . Затем он переходит к своему отрицательному пику, возвращаясь к нулю на 90 234 сто восемьдесят градусов 90 235, после чего цикл повторяется снова.
Функция котангенса подобна зеркальному отображению функции тангенса, сдвинутой по фазе на девяносто градусов влево или вправо.Оно падает со своего положительного пика по мере удаления от ноль градусов до нулевого значения девяносто градусов , а затем снова падает до своего отрицательного пика по мере приближения к ста восьмидесяти градусам . Затем он переходит к своему положительному пику и снова повторяет цикл.
Как и в случае с другими тригонометрическими функциями, которые мы рассмотрели, нам не нужно использовать таблицы для нахождения котангенса угла (или угла, соответствующего заданному значению котангенса), так как любой современный научный калькулятор может сделать это за нас, даже хотя в большинстве калькуляторов нет специальной кнопки для функции котангенса.Нахождение котангенса угла с помощью встроенного калькулятора, предусмотренного в Microsoft Windows , по-прежнему относительно просто.
Предположим, мы хотим найти котангенс угла 90 234 на сорок восемь градусов 90 235 (48°). Вы можете найти встроенный калькулятор Microsoft Windows, нажав кнопку «Пуск» в Windows 7 и выбрав «Все программы»> «Стандартные»> «Калькулятор» (в других версиях Windows может потребоваться другая последовательность нажатий клавиш). Научную версию калькулятора можно выбрать в меню приложения View .Чтобы найти котангенс сорока восьми градусов с помощью калькулятора Windows, введите следующие нажатия клавиш (если у вас нет калькулятора Windows, используйте любой доступный калькулятор, который может выполнять триггерные функции):
Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти котангенс угла 48°.
Поскольку функция котангенса является обратной функцией тангенса, все, что мы сделали здесь, это использовали кнопку функции тангенса на калькуляторе, а затем применили встроенную кнопку обратной функции калькулятора (обычно помеченную 1/x ) к результат.
Кстати, убедитесь, что калькулятор настроен на режим градусов (если только вы не планируете вводить значение угла в радианах или градах). Если вы правильно ввели нажатия клавиш, вы должны увидеть следующий экран:
Калькулятор отображает значение раскладушки (48°)
Все идет нормально. Теперь предположим, что вы хотите найти размер острого угла в прямоугольном треугольнике, сначала найдя частное прилежащего и противоположного (т.е. котангенс угла). Если у вас есть значения длин сторон треугольника, вы можете достаточно легко найти значение котангенса угла. Найти угол не так просто, как для трех основных тригонометрических функций, поскольку в большинстве калькуляторов нет специальной кнопки для функции арккотангенса (которая является обратной функцией котангенса). К счастью, есть относительно простой способ обойти это. Найдем значение угла θ для прямоугольного треугольника, показанного ниже.
Мы хотим найти величину угла θ
Для угла θ стороны b и a являются смежными и противоположными соответственно. На самом деле мы можем найти размер угла за одну операцию на калькуляторе Windows. Мы делаем это, используя скобки во введенной последовательности клавиш, чтобы заставить калькулятор найти обратное значение частного соседнего и противоположного (т.е. котангенс угла) во-первых. Затем мы применяем к результату функцию арктангенс . Вот последовательность клавиш для использования:
Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти размер угла θ
Возможно, вы уже поняли, что здесь мы находили тангенс угла, взяв , обратный котангенса .Затем мы просто применили к результату функцию арктангенс .
Если вы правильно ввели нажатия клавиш, вы должны увидеть экран, подобный показанному ниже. Если вы читали страницы, посвященные другим тригонометрическим функциям, вы уже поняли, что все они очень тесно взаимосвязаны. Поэтому неудивительно, что графики каждой из трех основных тригонометрических функций так похожи на графики их соответствующих обратных функций. Тот факт, что тригонометрические функции настолько тесно взаимосвязаны, означает, что мы часто можем заменить выражение, включающее одну тригонометрическую функцию, эквивалентным выражением, включающим другую тригонометрическую функцию.Часто это может быть очень полезно.
Калькулятор отображает значение угла θ
Функция котангенса, как и другие тригонометрические функции, может быть представлена в виде бесконечного ряда . Значение, возвращаемое тригонометрической функцией для заданного угла, не может быть вычислено с помощью простой алгебраической формулы.
Для большинства углов точное значение можно получить только как сумму бесконечного числа слагаемых, чего, очевидно, достичь невозможно.Достаточно точное приближение значения находится с использованием суммы ограниченного числа членов из бесконечного ряда функции. Чем больше число включенных терминов, тем выше точность результата. Количество используемых терминов будет зависеть от требуемой точности и доступных вычислительных ресурсов. Часто упоминаемый бесконечный ряд для функции котангенса выглядит следующим образом:
| кроватка ( x ) = | 1 | — | 1 | x — | 1 | x 3 — | 2 | x 5 — | 1 | x 7 — · · · · · · · · · | |
8 | x | 3 | 45 | 945 | 4725 | 4725 | 3 |
Понимание синуса, косинуса и касательства
Статью, объясняющую тригонометрические функции с использованием единичного круга, можно найти здесь
Использование единичного круга является стандартным способом определения и понимания тригонометрических функций в математике.
Я рекомендую сначала прочитать и понять эту статью. Позже, если вы захотите понять, как определяются тригонометрические функции для значений больше 90° или меньше 0°, прочтите другую статью.
Синус часто вводится следующим образом:
Что верно, но у большинства людей глаза стекленеют.
Проблема в том, что со времени, когда люди начали изучать треугольники, до того времени, когда люди разработали концепцию тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс и котангенс), прошло более 3000 лет.
Древние изучали треугольники. Одной из вещей, которые они сделали, было сравнение длин сторон треугольников:
.
Треугольник имеет три стороны, поэтому есть 6 различных способов сравнения сторон:
от А до В, от А до С, от В до С, от В до А, от С до А и от С до В
Обычно мы записываем их в виде дробей:
А А В В С С -, -, -, -, -, - Б В С А А Б
Они обнаружили, что если два треугольника имеют одинаковые отношения трех сторон, то треугольники имеют одинаковую форму — у них одинаковые внутренние углы, даже если размеры треугольников могут быть разными.
Это оказалось очень, очень полезным, потому что это означало, что если бы вы могли найти меньший треугольник, который имел бы ту же форму, что и большой треугольник, то вы могли бы изучить меньший треугольник и узнать что-то о большом треугольнике. Это работает и наоборот: если у вас есть очень маленький треугольник и вы можете найти больший треугольник, с которым легче работать, тогда вы можете изучить больший треугольник и узнать что-то о меньшем треугольнике. Эти типы треугольников называются подобными треугольниками .
Одним из первых применений этого было расчёт теней — использование теней для измерения вещей.
Предположим, вы хотите измерить высоту дерева, как бы вы это сделали?
Вы можете взобраться на дерево, неся веревку. Вы опускали веревку до тех пор, пока она не достигала земли, отмечали длину веревки, а затем измеряли длину веревки (после того, как вы спустились). К сожалению, это (1) медленно, (2) опасно (всегда есть риск падения) и (3) возможно неточно, так как не всегда есть возможность забраться на самую вершину дерева (стволы и ветки деревьев истончаются).
близко к вершине, и они могут быть недостаточно прочными, чтобы поддержать вас на всем пути к вершине).
Вы можете срубить дерево и измерить его. Но если вы хотите сохранить дерево, срубить его не вариант (к тому же это довольно медленно).
Что делать, если вы хотите измерить высоту здания или скалы? Использование веревки сработает (при условии, что веревка достаточно длинная), но перерезать ее не получится.
Однако древние заметили, что дерево (или здание, или скала) образует одну сторону прямоугольного треугольника (будем считать, что дерево растет вертикально, а не под углом), его тень образует основание прямоугольного треугольника. треугольник и солнечные лучи образуют гипотенузу.
Если мы можем построить меньший прямоугольный треугольник с гипотенузой под тем же углом, что и солнечные лучи, то мы получим аналогичный треугольник. Затем мы можем измерить меньший (и подобный) треугольник и применить то, что мы знаем о нем, к большему треугольнику:
Поскольку большой и малый треугольник подобны, это означает, что отношения сторон одинаковы.
Если у нас есть палка известной длины и мы поместим ее перпендикулярно земле (это сторона a маленького треугольника), она отбросит тень, и мы сможем измерить длину этой тени (это сторона b маленького треугольника). .Мы можем легко измерить длину тени, отбрасываемой деревом (это сторона B большого треугольника). Поскольку эти два треугольника подобны, мы знаем, что отношение a/b должно быть таким же, как отношение A/B.
ПРИМЕЧАНИЕ: не имеет значения, вычисляется ли соотношение как a/b или b/a, главное, чтобы оно вычислялось одинаково для обоих треугольников.
Если наша измерительная линейка имеет высоту 2 м и отбрасывает тень длиной 1,25 м, отношение a/b равно 1,6. Поскольку треугольники подобны, мы знаем, что отношение A/B должно быть равно 1.6. Если дерево отбрасывает тень длиной 15 м, мы можем подставить это число в уравнение и записать A/15 = 1,6. Умножение обеих сторон на 15 дает нам: (A/15)*15 = 1,6*15. Умножая получаем А = 24, значит высота дерева 24м.
Обязательно попробуйте дома. Рассчитайте высоту вашего дома, измерив длину его тени и соотнеся ее с длиной известной меры (критерий (или измерительная линейка) подойдет — если у вас нет линейки или измерительной линейки, вы всегда можете использовать 12-дюймовая (30 см) линейка).Или измерьте высоту деревьев в вашем районе.
Фалес из Милета использовал этот метод для измерения высоты Великой пирамиды (которой было уже около 2000 лет к тому времени, когда Фалес измерил ее высоту):
Фалес подождал, пока тень окажется на одной линии с одной гранью пирамиды, а затем измерил длину тени плюс половину длины основания, чтобы получить длину стороны В подобного треугольника. Очевидно, у него была мерная линейка, тень которой он также измерял.
В конце концов, кто-то понял, что вместо того, чтобы постоянно измерять стороны треугольника и вычислять отношения, можно создать справочную таблицу, в которой будут отношения для прямоугольных треугольников с разными углами.
Мы знаем, что треугольники подобны, если:
- соотношение 3 сторон одинаковое или
- все углы одинаковы или
- две стороны имеют одинаковое отношение и один угол одинаковый (пока он не находится между двумя сторонами)
Мы можем сказать, подобны ли два прямоугольных треугольника, просто измерив один угол, если он не является квадратным (90°) углом.Поскольку сумма всех углов треугольника должна составлять 180°, мы можем легко найти угол 3 rd (180° – 90° – измеренный угол = оставшийся угол)
Любая другая интерполяционная таблица потребует, чтобы мы измеряли по крайней мере две стороны и вычисляли их отношение.
Самым ранним свидетельством того, что кто-то делал это, является Гиппарх из Никеи, который во 2– веках до н. э. составил таблицу тригонометрических соотношений (это были хорды, связанные с нашими тригонометрическими отношениями, но не такие же).Математика греков попала в Индию и была разработана индийскими математиками, затем их работы были переняты и развиты арабами, которые (к -м годам -го века) разработали современное понятие шести тригонометрических функций, которыми мы пользуемся.
и имел справочные таблицы для прямоугольных треугольников с разными углами. Около 12 го или 13 го века работы арабов вернулись в Европу и были переведены с арабского на латынь, термин sinus (из которого мы получаем sine ) был переводом, используемым для арабского языка. слово jiba — оба из которых означают раз .Если бы ученые не перевели это слово, мы могли бы использовать вместо него jiba или jib или что-то подобное.
Подробнее об истории тригонометрических функций можно прочитать здесь, здесь и здесь. [ ПРИМЕЧАНИЕ. это внешние ссылки, которые на момент написания этой статьи считались рабочими, безопасными и актуальными. Хотя время от времени я дважды проверяю ссылки, я не даю никаких гарантий относительно них. Я также ценю, когда мне сообщают, если ссылки не работают или больше недействительны.]
Когда мы спрашиваем, «Чему равен синус 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом.
Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника – но ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, наиболее удаленной от угла, на длину гипотенузы?»
Сказать sin(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
Что нужно помнить:
- значение синуса всегда между 0 и 1 (точнее, между -1 и 1)
- одна из сторон всегда гипотенуза (самая длинная сторона) и всегда знаменатель
- противоположная сторона может быть разрезана линией от рассматриваемого угла ( S ine и S liced оба начинаются с буквы S )
Когда мы спрашиваем, «Что такое косинус 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом.
Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника – и ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, ближайшей к углу, на длину гипотенузы?»
Сказать cos(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
Что нужно помнить:
- значение косинуса всегда между 0 и 1 (точнее между -1 и 1)
- одна из сторон всегда гипотенуза (самая длинная сторона) и всегда знаменатель
- смежная сторона — это та, которая co соединена с углом ( Co синус и Co соединены оба начинаются с Co )
Когда мы спрашиваем «Какова тангенс 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом.Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника – и ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, наиболее удаленной от угла, на длину стороны, ближайшей к углу?»
Сказать tan(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
ПРИМЕЧАНИЕ: тангенс совпадает с наклоном гипотенузы.
Это важно знать / помнить при изучении исчисления, и вы слышите о касательной к точке на кривой. На самом деле, каждый раз, когда вы слышите «касательная линия», это означает «наклон линии»
.Что нужно помнить:
- значение тангенса всегда между 0 и undefined (иногда неточно называют бесконечным ∞ – точнее сказать «наклон стремится к бесконечности»). Что касается синуса и косинуса, то он может быть положительным или отрицательным.
- гипотенуза не используется при вычислении тангенса
- тангенс совпадает с наклоном гипотенузы
- уклон всегда равен подъему, деленному на прогон (высота, деленная на длину)
- прогон (длина) — это сторона, соединенная с углом (если бы вы стояли там, где был угол, вы бы стояли сбоку)
- подъем (высота) — это сторона, наиболее удаленная от угла (если бы вы стояли там, где был угол, и смотрели в сторону, вы бы увидели, что она поднимается вверх)
Секанс, косеканс и котангенс — три другие тригонометрические функции, обратные первым трем тригонометрическим функциям.
Котангенс
Это просто, это обратная величина касательной. Вместо того, чтобы вычислять наклон гипотенузы, мы вычисляем обратную сторону наклона.
кроватка α = рядом/противоположно (или по ходу/подъему)
Секущая
Секанс равен , а НЕ обратному синусу . Секанс является обратной косинусом .
Мы инвертируем и , как мы вычисляем, и как мы называем функцию.
сек α = гипотенуза / соседнее
Косеканс
Косеканс равен , а НЕ обратному косинусу.Косеканс обратен синусу.
Мы инвертируем и , как мы вычисляем, и как мы называем функцию.
Часто прямоугольный треугольник рисуют так:
Однако треугольник и заданный угол можно нарисовать как угодно, поэтому важно правильно определить, какие стороны какие:
Гипотенуза зеленого цвета.
Соседняя сторона синего цвета.
Противоположная сторона красная.
В настоящее время математика, кажется, сосредоточена на обучении «математическим словам» — аббревиатурам или мнемоникам, помогающим запомнить концепцию.Для тригонометрических функций используется следующее: SOH-CAH-TOA (произносится «soh kah toe ah»). Предполагается, что это поможет запомнить тригонометрическую функцию и какие стороны дают какой ответ.
SOH – S ine = O pposite ÷ H ypotenuse.
CAH – C осин = A djacent ÷ H ypotenuse.
TOA – T угол = O pposite ÷ A djacent.
Чтобы облегчить запоминание, буквы используются в качестве первых букв в причудливом предложении.Я создал эти два, потому что они используют омонимы (похожие по звучанию слова) для тригонометрических функций:
Представьте, что вы только что купили что-то и вам нужно заполнить некоторые документы:
S ign O ver H здесь.C знак o A t H ом. T ake O владение A nytime.
или
Представьте, что вы записываетесь на отпуск и в конце получаете дружеский совет.У этого есть лишнее (неиспользуемое) слово в конце, но у него есть омоним для каждой тригонометрической функции:
.S ign O ver H здесь. C знак o A t H ом. T и O только A т ночь.
В этой статье используются модифицированные изображения деревьев и пирамид из Открытой библиотеки клипов. Хотя произведение искусства является общественным достоянием и не требует указания авторства, я считаю важным и вежливым указывать источники.
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции — это функции, связанные с углом. Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и их обратные косеканс, секанс и котангенс соответственно. Синус, косинус и тангенс являются наиболее широко используемыми тригонометрическими функциями.
Их обратные числа, хотя и используются, менее распространены в современной математике. Тригонометрические функции также называют круговыми функциями.
Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности.Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичного круга.
Определение прямоугольного треугольника
Результатом тригонометрической функции является отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим угол θ как один из углов прямоугольного треугольника. Ниже приведены определения тригонометрических функций. Эти функции часто записываются в сокращенной форме.
| косеканс: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| секанс: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| котангенс: |
Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже. 
Эти углы называются опорными углами, поскольку мы будем ссылаться на их значения для определения других значений.Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунках ниже показан угол θ и его исходный угол θ’ в квадранте, отличном от первого квадранта. | Квадрант II | Квадрант III | Квадрант IV |
|---|---|---|
| θ’= 180° — θ | θ’= θ — 180° | θ’= 360° — θ |
Если один угол является опорным углом другого, то тригонометрические функции этих двух углов имеют одинаковые значения по модулю, и нам просто нужно обратить внимание на их знаки исходя из квадранта, в котором лежит крайняя сторона угла .Например, 30° — это опорный угол 210° со значениями синусов sin(30°)= и sin(210°)=. Мы можем видеть, что значения синуса обоих имеют величину , хотя и имеют разные знаки.
Ниже приведена таблица, показывающая знаки 6 тригонометрических функций в каждом квадранте.
| SIN | COS | Tan | CSC | CSC | Sec | COT | |
| квадрант I | + | + | + | + | + | ||
| квадрант II | + | — | — | — | — | — | — |
| квадрант III | — | — | + | — | — | + | |
| квадрант IV | — | + | — | — | + | — |
Определив исходный угол, мы можем определить значение тригонометрической функции в любом из других квадрантов, применяя соответствующий знак к квадрантам. значение опорного угла.
Пример:
Используйте эталонные углы, чтобы найти значения cos(150°) и sin(315°).
Поскольку 150° находится в квадранте II, опорный угол для 150° равен 180°-150°=30°, где cos(30°)=. Кроме того, поскольку 150 ° находится в квадранте II, косинус отрицателен, тогда cos (150 °) =.
Поскольку 315° находится в квадранте IV, исходный угол для 315° равен 360°-315°=45°, где sin(45)°=. Кроме того, поскольку 315 ° находится в квадранте IV, синус отрицательный, тогда sin (315 °) =.
Тригонометрические функции являются периодическими функциями
Периодическая функция – это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p такое, что
е(х+р) = е(х)
для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.
Все 6 тригонометрических функций являются периодическими функциями. Независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в нашу начальную точку, что указывает на то, что тригонометрическая функция имеет то же значение под углом.
Это означает, что тригонометрические функции повторяют свои значения.
Функции синуса, косинуса, косеканса и секанса имеют период 2π. Функции тангенса и котангенса имеют период π.
грех(θ+2π) = грех(θ)
cos(θ+2π) = cos(θ)
csc(θ+2π) = csc(θ)
сек(θ+2π) = сек(θ)
тангенс (θ+π) = тангенс (θ)
детская кроватка(θ+π) = детская кроватка (θ)
Пример:
Найдите cos() и tan(), используя их периоды.
Тригонометрические функции четные или нечетные
Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x). Он имеет симметрию относительно начала координат. Четная функция — это функция, в которой f(x)=f(-x), что означает, что отображение графика по оси Y даст тот же график.Из 6 тригонометрических функций синус, тангенс, косеканс и котангенс являются нечетными функциями. Косинус и секанс — четные функции. Следовательно:
| Четные функции | Нечетные функции |
|---|---|
|
cos(-θ) = cos(θ) сек(-θ) = сек(θ) |
sin(-θ) = -sin(θ) tan(-θ) = -tan(θ) csc(-θ) = -csc(θ) кроватка(-θ) = -кроватка (θ) |
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции являются обратными функциями тригонометрических функций.
В частности, это арксинус, арккосинус, арктангенс, арккосеканс, арксеканс и арктангенс. Входом обратных тригонометрических функций являются тригонометрические отношения угла, а выходом — угол:
|
θ = arcsin(x), где –1≤x≤1 θ = arccos(x), где –1≤x≤1 θ = арктангенс(х) θ = arccsc(x), где x≤-1 или 1≤x θ = угловая секунда(x), где x≤-1 или 1≤x θ = арктангенс(x) |
Обратные тригонометрические функции также записываются как sin -1 (x), cos -1 (x), tan -1 (x), csc -1 (x) ), сек -1 (x) и раскладушка -1 (x).
Пример:
Учитывая sin(30°) = 0,5, что такое arcsin(0,5)?
угловых синуса (0,5) = 30°
Примечание: это дает результат только в первом квадранте. Если рассматривать другие квадранты, arcsin(0.5) также равен 150°. Кроме того, поскольку арксинус является периодической функцией, для учета всех возможных значений арксинуса нам необходимо учитывать его периодичность.
Таким образом, решение
30°+n×360° или 150°+n×360°
, где n — целое число. При использовании других обратных тригонометрических функций также необходимо учитывать их периодичность для определения всех решений.
Графики тригонометрических функций
На рисунке ниже показаны графики нескольких периодов шести тригонометрических функций. Обратитесь к страницам синуса, косинуса и тангенса для подробного объяснения того, как построить график тригонометрических функций, подвергшихся определенным преобразованиям (те же объяснения применимы к косекансу, секансу и котангенсу с небольшими отличиями).
2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения
М.Борн
Для угла θ в прямоугольном треугольнике, как показано, мы назовем стороны как:
- гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу)
- смежный (сторона «рядом с» θ )
- напротив (сторона, наиболее удаленная от угла θ )
Мы определяют Три тригонометрические отношения Sine θ θ , Cosine θ θ , и касательный θ Как следует (мы обычно пишем их в сокращенных формах SIN θ , cos θ и тангенс θ ):
`sin theta=текст(противоположный)/текст(гипотенуза)` `cos \ theta=текст(смежный)/текст(гипотенуза)` `tan theta=текст(противоположный)/текст(смежный)`
Чтобы запомнить это, многие люди используют SOH CAH TOA, то есть:
S в θ = O pposite/ H ypotenuse,
C os θ = A djacent/ H ypotenuse и
T и θ = O pposite/ A djacent
Обратные тригонометрические отношения
Часто полезно использовать обратные соотношения, в зависимости от задачи.
(Проще говоря, обратную дробь можно найти, перевернув дробь вверх ногами.)
`»косеканс»\ θ` является обратной величиной `»синуса»\ θ`,
`»секанс»\ θ` является обратной величиной `»косинуса»\ θ`, а
`»котангенс»\ θ` является обратной величиной `»тангенса»\ θ`
Обычно мы записываем их в краткой форме как `csc\ θ`, `sec\ θ` и `cot\ θ` . (В некоторых учебниках « csc » записывается как « cosec «. То же самое.)
`csc \ тета = текст (гипотенуза)/текст (напротив)` `сек\ тета = текст (гипотенуза)/текст (смежный)` `кот \ тета = текст (смежный)/текст (напротив)`
Важное примечание: Существует большая разница между csc θ и sin -1 θ .
- Первый является обратным: `csc\ theta=1/(sin\ theta)`.
- Второй включает в себя нахождение угла , синус которого равен θ .
Итак, на вашем калькуляторе не используйте кнопку sin -1 , чтобы найти csc θ .
Мы познакомимся с идеей sin -1 θ в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».
Тригонометрические функции на плоскости
x-yДля угла в стандартном положении мы определяем тригонометрические отношения через x , y и r :
`sin theta =y/r` `cos theta =x/r` `tan theta =y/x`
Обратите внимание, что мы все еще определяем
.sin θ as `»opp»/»hyp»`;
cos θ как `»adj»/»hyp»` и
tan θ as `»opp»/»adj»,
, но мы используем конкретные значения x -, y — и r , определяемые точкой ( x , y ), через которую проходит оконечная сторона.2)`
Неудивительно, что обратные отношения определяются аналогичным образом в терминах x -, y — и r -значений следующим образом:
`csc\ theta =r/y` `sec\ theta =r/x` `cot\ theta =x/y`
Мы увидим несколько примеров нахождения точных значений в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».