Числовая окружность тригонометрия: Числовая окружность, макеты числовой окружности — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Единичная окружность в тригонометрии

Единичная окружность в тригонометрии

При изучении тригонометрии используют единичную окружность. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол принято считать против часовой стрелки между положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании.

Все углы, которые принадлежат одной четверти, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

  • Если угол находится в первой четверти, все тригонометрические функции имеют положительные значения.

  • Для угла во второй четверти синус положителен, косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.

  • В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс — положительны.

  • В четвертой четверти синус отрицателен, косинус положителен, тангенс и котангенс — отрицательны.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Для чего можно использовать единичную окружность

  • определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла

  • найти значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента

  • вывести основные формулы тригонометрии

  • применить формулы приведения

  • найти области определения и области значений тригонометрических функций

  • определить периодичность тригонометрических функций

  • определить четность и нечетность тригонометрических функций

  • определить промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций

  • определить промежутки знакопостоянства тригонометрических функций

  • применить радианное измерение углов

  • найти значения обратных тригонометрических функций

  • решить простейшие тригонометрические уравнения

  • решить простейшие тригонометрические неравенства.

Внеклассный урок — Числовая окружность

Числовая окружность

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

 

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

 Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

 

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

1-я четверть

2-я четверть

3-я четверть

4-я четверть

x > 0, y > 0

x < 0, y > 0

x < 0, y < 0

x > 0, y < 0

 

Значение любой точки числовой окружности:

Любая точка числовой окружности с координатами (x; y) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:

–1 ≤ x ≤ 1;   –1 ≤ y ≤ 1

 

Основные величины числовой окружности:

 

 
Величина
в радианах
 

 
Величина
в радиусах


Окружность



360º


Полуокружность


π


180º


Четверть окружности

π

2


90º

 

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

  
Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

  — Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

— Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

 

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
t = t + 2πk.

Отсюда формула:

Если точка M числовой окружности равна числу t, то она равна и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число:

M(t) = M(t + 2πk),

где k Z.

Число k называется параметром.

 

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

 

Тригонометрия. Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое? Тригонометрическая окружность со всеми

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.




















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: научить использовать единичную окружность при решении различных тригонометрических заданий.

В школьном курсе математики возможны различные варианты введения тригонометрических функций. Наиболее удобной и часто используемой является «числовая единичная окружность». Её применение в теме «Тригонометрия» весьма обширно.

Единичная окружность используется для:

– определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;

– нахождения значений тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
– выведение основных формул тригонометрии;
– выведения формул приведения;
– нахождения области определения и области значений тригонометрических функций;
– определения периодичности тригонометрических функций;
– определения четности и нечетности тригонометрических функций;
– определения промежутков возрастания и убывания тригонометрических функций;
– определения промежутков знакопостоянства тригонометрических функций;
– радианного измерения углов;
– нахождения значений обратных тригонометрических функций;
– решение простейших тригонометрических уравнений;
– решение простейших неравенств и др.

Таким образом, активное осознанное владение учащимися данным видом наглядности дает неоспоримые преимущества для овладения разделом математики «Тригонометрия».

Использование ИКТ на уроках преподавания математики позволяет облегчить овладение числовой единичной окружностью. Конечно, интерактивная доска имеет широчайший диапазон применения, однако не во всех классах она есть. Если же говорить о применении презентаций, то на просторах Интернета и их выбор велик, и каждый педагог может найти наиболее приемлемый вариант для своих уроков.

В чем особенность представляемой мною презентации?

Данная презентация предполагает различные варианты использования и не является наглядностью к конкретному уроку в теме «Тригонометрия». Каждый слайд данной презентации можно использовать обособлено, как на этапе объяснения материала, формирования навыков, так и для рефлексии. При создании данной презентации особое внимание уделялось «читаемости» её с дальнего расстояния, поскольку количество учеников со сниженным зрением постоянно растет. Продумано цветовое решение, логически связанные объекты объединены единым цветом. Презентация анимирована таким образом, чтобы учитель имел возможность комментировать фрагмент слайда, а ученик задать вопрос.

Таким образом, данная презентация – это своего рода «подвижные» таблицы. Последние слайды не анимированы и используются для проверки усвоения материала, в ходе решения тригонометрических заданий. Окружность на слайдах максимально упрощена внешне и максимально приближена к изображаемой на тетрадном листе учениками. Это условие я считаю принципиальным. У учащихся важно сформировать мнение о единичной окружности, как о доступном и мобильном (хотя и не единственном) виде наглядности при решении тригонометрических заданий.

Данная презентация поможет педагогам познакомить учеников с единичной окружностью в 9 классе на уроках геометрии при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника». И, конечно, она поможет расширить и углубить навык работы с единичной окружностью при решении тригонометрических заданий у учащихся старшего звена обучения на уроках алгебры.

Слайды 3, 4 поясняют построение единичной окружности; принцип определения местоположения точки на единичной окружности в I и II координатных четвертях; переход от геометрических определений функций синус и косинус (в прямоугольном треугольнике) к алгебраическим на единичной окружности.

Слайды 5-8 поясняют, как найти значения тригонометрических функций для основных углов I координатной четверти.

Слайды 9-11 поясняет знаки функций в координатных четвертях; определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций.

Слайд 12 используется для формирования представлений о положительных и отрицательных значениях углов; знакомством с понятием периодичности тригонометрических функций.

Слайды 13, 14 используются при переходе на радианную меру угла.

Слайды 15-18 не анимированы и используются при решении различных тригонометрических заданий, закрепления и проверки результатов усвоения материала.

  1. Титульный лист.
  2. Целеполагание.
  3. Построение единичной окружности. Основные значения углов в градусной мере.
  4. Определение синуса и косинуса угла на единичной окружности.
  5. Табличные значения для синуса в порядке возрастания.
  6. Табличные значения для косинуса в порядке возрастания.
  7. Табличные значения для тангенса в порядке возрастания.
  8. Табличные значения для котангенса в порядке возрастания.
  9. Знаки функции sin α.
  10. Знаки функции cos α.
  11. Знаки функций tg α и ctg α.
  12. Положительные и отрицательные значения углов на единичной окружности.
  13. Радианная мера угла.
  14. Положительные и отрицательные значения углов в радианах на единичной окружности.
  15. Различные варианты единичной окружности для закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида Косинусоида
y = sin x y = cos x
ОДЗ [-1; 1] ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

  1. Y = tg x.
  2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  5. Tg x = 0, при x = πk.
  6. Функция является возрастающей.
  7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Круг на координатной плоскости. Числовая окружность на координатной плоскости. Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности


Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем: 1)x > 0, у > 0 в первой четверти; 2)х 0 во второй четверти; 3)х 0, у 0, у > 0 в первой четверти; 2)х 0 во второй четверти; 3)х 0, у


Найдем координату точки π/4: Точка М(π/4) середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то MOP=45° Значит, треугольник OMP — равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений: Решив данную систему получаем: Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут Аналогичным образом рассчитываются координаты точек представленных на предыдущем слайде.



Найти координату точки числовой окружности: Р(45π/4) Решение: Т. к. числам t и t+2πk (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π5 Значит, числу 45π/4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице получаем:

Найти координату точки числовой окружности: Р(-37π/3) Решение: Т.к. числам t и t+2πk (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π(-6) Значит, числу -37π/3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π/3, а числу –π/3 соответствует та же точка что и 5π/3. Посмотрев значение точки 5π/3 в таблице получаем:

Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая у = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π/6 (из данных таблицы) значит, и любому числу вида π/6 +2π k. Точка Р соответствует числу 5π/6, а значит, и любому числу вида 5π/6 +2 π k Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений: π/6 +2 π k и 5π/6 +2 π k Ответ: t= π/6 +2 π k и t= 5π/6 +2 π k

Найти на числовой окружности точки с абсциссой x и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая x = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству x соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы) значит, и любому числу вида -3π/4 +2πk. Точка Р соответствует числу -3π/4, а значит, и любому числу вида – -3π/4 +2 π k Тогда получим -3π/4 +2 π k t3π/4 +2 π k Ответ: -3π/4 +2 π k t3π/4 +2 π k

1) Найти координату точки числовой окружности: Р(61π/6)? 2) Найти координату точки числовой окружности: Р(-52π/3) 3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у = -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 5)Найти на числовой окружности точки с абсциссой x и записать, каким числам t они соответствуют.

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

  • четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
  • серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
  • третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Урок и презентация на тему: «Числовая окружность на координатной плоскости»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Решаем задачи по геометрии. 2 = 1, \\ x = y. \end {cases}$
Решив данную систему, получаем: $y = x =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу $\frac{π}{4}$, будут $M(\frac{π}{4})=M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.

Координаты точек числовой окружности



Рассмотрим примеры

Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(45\frac{π}{4})$.

Решение:
$45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем: $P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.

Решение:

Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?

Решение:
Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ: $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение:

Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.

Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Ответ: $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(\frac{61π}{6})$.
2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{52π}{3})$.
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1

ХМАО-Югра

Разработка урока

в 10 «б» классе

по алгебре и началам анализа

Надежда Михайловна

учитель математики

г. Советский

Тема: ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические преобразования

Числовая окружность на

координатной плоскости

Преподавание предмета ведется по блочно- модульной технологии.

Данный урок один из уроков изучения нового материала. Поэтому основное время урока отводится именно на изучение нового материала, причем большую часть этой работы ученики выполняют самостоятельно.

Виды деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная и индивидуальная работы.

Так как на уроке необходимо проделать большую по объему работу и обязательно проконтролировать результаты ученической деятельности, используется интерактивная доска на этапах актуализации знаний и изучения нового материала. Для более наглядного представления наложения числовой окружности на координатную плоскость и для рефлексии содержания учебного материала в конце учебного занятия используются и презентации Power Point.

познавательная

Учить самостоятельно добывать знания

воспитывающая

Воспитывать собранность, ответственность, усердие

развивающая

Учить анализировать, сравнивать, строить аналогии

План урока:

1) Организационный момент, тема, цель урока 2 мин.

2) Актуализация знаний 4 мин .

3) Изучение нового материала 30 мин .

4) Рефлексия 3 мин.

5) Итог урока 1 мин.

Организационный момент

Числовая окружность

координатной плоскости

рассмотреть числовую окружность на координатной плоскости; вместе найти координаты двух точек; далее самостоятельно составить таблицы значений координат других основных точек окружности;

проверить умение находить координаты точек числовой окружности.

Актуализация знаний

В курсе геометрии 9 класса изучали следующий

материал:

На единичной полуокружности (R = 1) рассмотрели точку М с координатами х и у

Выдержки из учебника геометрии

Научившись находить координаты точки единичной окружности,

с легкостью перейдём к их другим названиям: синусам и косинусам, т.е.

к основной теме- ТРИГОНОМЕТРИЯ

Первое задание дано на интерактивной доске, где учащимся необходимо расставить точки и соответствующие им числа по местам на числовой окружности, перетащив их пальцем по доске.

Задание 1

Получили результат:

Второе задание дано на интерактивной доске. Ответы закрыты «шторой», открываются по мере решения.

Задание 2

Итог выполнения задания:

Изучение нового материала

Возьмём систему координат и на неё наложим числовую окружность так, чтобы их центры совпали, а горизонтальный радиус окружности совпал с положительным направлением оси ОХ (презентация Power Point)

В результате имеем точки, которые принадлежат одновременно числовой окружности и координатной плоскости. Рассмотрим одну из таких точек, например, точку М (презентация Power Point)

М (t )

Изобразим координаты этой точки

Найдем координаты интересующих нас точек единичной окружности, которые рассмотрели ранее со знаменателями 4, 3 , 6 и числителем π.

Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числу, соответственно и углу

Задание 3

(презентация Power Point)

Изобразим радиус и координаты точки

По теореме Пифагора имеем х 2 + х 2 = 12

Но углы треугольника по π/4 = 45°, значит треугольник – равнобедренный и х = у

Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числам (углам)

Задание 4

(презентация Power Point)

Значит у = 1/2

По теореме Пифагора

Треугольники равны по гипотенузе

и острому углу, значит их катеты равны

На предыдущем уроке учащиеся получили листы с заготовками числовых окружностей и различных таблиц.

Заполнить первую таблицу.

Задание 5

(интерактивная доска)

Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 2 и 4

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек с учетом знаков координат в зависимости от того в какой четверти расположена точка, используя выше полученные длины отрезков для координат точек.

Задание 6

Один из учеников называет полученные результаты, остальные сверяют со своими ответами, затем для успешной корректировки результатов (так как эти таблицы будут использоваться далее в работе при выработке навыков и углублении знаний по теме) показывается правильно заполненная таблица на интерактивной доске.

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Заполнить вторую таблицу.

Задание 7

(интерактивная доска)

Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 3 и 6

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек

Задание 8

Проверка результата:

(интерактивная доска)

(презентация Power Point)

Проведем небольшой математический диктант с последующим самоконтролем.

1) Найдите координаты точек единичной окружности:

2 вариант

1 вариант

2) Найдите абсциссы точек единичной окружности:

1) Найдите координаты точек единичной окружности

2 вариант

1 вариант

2) Найдите абсциссы точек единичной окружности

Проверь себя

3) Найдите ординаты точек единичной окружности:

Для себя Вы можете поставить отметку «5» за 4 выполненных примера,

«4» за 3 примера и отметку «3» за 2 примера

Подведение итогов урока

1) В дальнейшем для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса точек и углов необходимо выучить по заполненным таблицам значения координат точек, принадлежащих первой четверти т.к. далее мы научимся выражать значения координат всех остальных точек через значения точек первой четверти;

2) Готовить теоретические вопросы к зачету.

Домашнее задание:

Итог урока

Оценка ставится наиболее активно работавшим на уроке ученикам. Работа всех учащихся не оценивается, так как ошибки исправляются сразу по ходу урока. Диктант проведен для самоконтроля, для оценивания недостаточный объем.

Слайд 2

Что будем изучать: Определение. Важные координаты числовой окружности. Как искать координату числовой окружности? Таблица основных координат числовой окружности. Примеры задач.

Слайд 3

Определение. Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем: x > 0, у > 0 в первой четверти; х 0 во второй четверти; х 0, у

Слайд 4

Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности представленных на рисунке ниже:

Слайд 5

Найдем координату точки π/4: Точка М(π/4)- середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP. Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∡MOP=45° Значит, треугольник OMP — равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений: Решив данную систему получаем: Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут Аналогичным образом рассчитываются координаты точек представленных на предыдущем слайде.

Слайд 6

Слайд 7

Координаты точек числовой окружности.

Слайд 8

Пример Найти координату точки числовой окружности: Р(45π/4) Решение: Т.к. числам t и t+2π k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π 5 Значит, числу 45π/4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице получаем:

Слайд 9

Пример Найти координату точки числовой окружности: Р(-37π/3) Решение: Т. к. числам t и t+2π k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π (-6) Значит, числу -37π/3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π/3, а числу –π/3 соответствует та же точка что и 5π/3. Посмотрев значение точки 5π/3 в таблице получаем:

Слайд 10

Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. Пример Прямая у = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π/6 (из данных таблицы)значит, и любому числу вида π/6+2π k. Точка Р соответствует числу 5π/6, а значит, и любому числу вида 5π/6+2 π k Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:π/6+2 π k и 5π/6+2 π k Ответ: t= π/6+2 π k иt= 5π/6+2 π k Числовая окружность на координатной плоскости.

Слайд 11

Пример Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥ и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая x= 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенствуx ≥ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы)значит, и любому числу вида -3π/4+2π k. Точка Р соответствует числу -3π/4, а значит, и любому числу вида – -3π/4+2 π k Тогда получим -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Ответ: -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Числовая окружность на координатной плоскости.

Слайд 12

Числовая окружность на координатной плоскости.

Задачи для самостоятельного решения. 1) Найти координату точки числовой окружности: Р(61π/6)? 2) Найти координату точки числовой окружности: Р(-52π/3) 3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у = -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у ≥-1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 5)Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥ и записать, каким числам t они соответствуют.

Посмотреть все слайды

Тематические материалы:

Обновлено: 08. 02.2022

103583

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Числовая окружность в координатной плоскости.

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).

 

 

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

 

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

ТочкаM(π4) середина I четверти.

Опустим перпендикуляр MP на прямую OA и рассмотрим треугольник OMP.

Так как дуга AM составляет половину дуги AB, то ∡MOP=45° 

 

Значит, треугольник OMP — равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y.

 

Так как координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1,

то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

{x2+y2=1x=y 

 

Подставив x вместо y в первое уравнение системы, получим следующее решение:

 

x2+x2=12×2=1×2=12x=12√=2√2y=x=2√2

 

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π4 будут   M(π4)=M(2√2;2√2)

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу:

Точка окружности.

 

0

π4

π2

3π4

π

5π4

3π2

7π4

Абсцисса x

1

2√2

0

−2√2

−1

−2√2

0

2√2

1

Ордината y

0

2√2

1

2√2

0

−2√2

−1

−2√2

0

 

Рассуждаем аналогично для точки M, если теперь она соответствует числу π6.

 

Треугольник MOP прямоугольный. Так как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°.

 

Катет MP лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. ордината точки M равна

 MP=12y=12

 

Абсциссу x точки M найдём, решив уравнение:

 

x2+y2=1

x2=1−(12)2=1−14=34x=3√2

 

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π6 будут  M(π6)=M(3√2;12)  

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу:

Точка окружности.

 

π6

π3

2π3

5π6

7π6

4π3

5π3

11π6

Абсцисса x

3√2

12

−12

−3√2

−3√2

−12

12

3√2

Ордината y

12

3√2

3√2

12

−12

−3√2

−3√2

−12

Единичная окружность со значениями пи.

Числовая окружность

Что такое единичная окружность . Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Вспомните, что уравнение окружности выглядит как x 2 +y 2 =1. Такая окружность может быть использована для нахождения некоторых «особых» тригонометрических соотношений, а также при построении графических изображений. С помощью нее и заключенной в ней линии можно оценивать и численные значения тригонометрических функций.

Запомните 6 тригонометрических соотношений. Помните, что

  • sinθ=противолежащий катет/гипотенуза
  • cosθ=прилежащий катет/гипотенуза
  • tgθ=противолежащий катет/прилежащий катет
  • cosecθ=1/sin
  • secθ=1/cos
  • ctgθ=1/tg.
  • Что такое радиан . Радиан — одна из мер для определения величины угла. Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Заметьте, что при этом величина и расположение окружности не играют никакой роли. Следует также знать, чему равно число радиан для полной окружности (360 градусов). Вспомните, что длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

    Умейте перевести радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

    • 2π радиан=360 градусов
    • 1 радиан=(360/2π) градусов
    • 1 радиан=(180/π) градусов
    • 360 градусов=2π радиан
    • 1 градус=(2π/360) радиан
    • 1 градус=(π/180) радиан
  • Выучите «особые» углы. Эти углы в радианах составляют π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведения данных величин (например, 5π/6)

    Изучите и запомните значения тригонометрических функций для особых углов. Для определения их величин вы должны взглянуть на единичную окружность. Вспомните об отрезке известной длины, заключенном в единичной окружности. Точка на окружности соответствует количеству радиан в образованном угле. Например, углу π/2 соответствует точка на окружности, радиус к которой образует с положительным горизонтальным радиусом угол величиной π/2. Для нахождения значения тригонометрической функции какого-либо угла определяются координаты точки, соответствующей этому углу. Гипотенуза всегда равна единице, поскольку она является радиусом круга, и так как любое число, поделенное на 1, равно самому себе, а противоположный катет равен длине вдоль оси Оy, отсюда следует, что значение синуса какого-либо угла — это координата y соответствующей точки на окружности. Значение косинуса можно найти схожим образом. Косинус равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы; поскольку последняя равна единице, а длина прилежащего катета равна координате x точки на окружности, отсюда следует, что косинус равен значению этой координаты. Найти тангенс немного сложнее. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, деленному на прилежащий. В данном случае, в отличие от предыдущих, частное не является константой, поэтому вычисления несколько усложняются. Вспомним, что длина противолежащего катета равна координате y, а прилежащего — координате x точки на единичной окружности; подставив эти значения, получим, что тангенс равен y/x. Поделив 1 на найденные выше значения, можно легко найти соответствующие обратные тригонометрические функции. Таким образом, можно рассчитать все основные тригонометрические функции:

    • sinθ=y
    • cosθ=x
    • tgθ=y/x
    • cosec=1/y
    • sec=1/x
    • ctg=x/y
  • Найдите и запомните значения шести тригонометрических функций для углов, лежащих на координатных осях , то есть углов, кратных π/2, таких как 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т. д. Для точек круга, находящихся на координатных осях, это не представляет никаких проблем. Если точка лежит на оси Оx, синус равен нулю, а косинус — 1 или -1, в зависимости от направления. Если же точка лежит на оси Оy, синус будет равняться 1 или -1, а косинус — 0.

  • Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/6. Нанесите угол π/6 на единичную окружность. Вы знаете, как находить длины всех сторон особых прямоугольных треугольников (с углами 30-60-90 и 45-45-90) по известной длине одной из сторон, а поскольку π/6=30 градусов, данный треугольник является одним из особых случаев. Для него, как вы помните, короткий катет равен 1/2 гипотенузы, то есть координата y составляет 1/2, а длинный катет длиннее короткого в √3 раз, то есть равен (√3)/2, так что координата x будет (√3)/2. Таким образом, получаем точку на единичной окружности со следующими координатами: ((√3)/2,1/2). Пользуясь приведенными выше равенствами, находим:

    • sinπ/6=1/2
    • cosπ/6=(√3)/2
    • tgπ/6=1/(√3)
    • cosecπ/6=2
    • secπ/6=2/(√3)
    • ctgπ/6=√3
  • Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/3. Угол π/3 отображается на окружности точкой, у которой координата x равна координате y угла π/6, а координата y такая же, как x для этого угла. Таким образом, точка имеет координаты (1/2, √3/2). В итоге получаем:

    • sinπ/3=(√3)/2
    • cosπ/3=1/2
    • tgπ/3=√3
    • cosecπ/3=2/(√3)
    • secπ/3=2
    • ctgπ/3=1/(√3)
  • Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/4. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с углами 45-45-90 относится к длинам его катетов как √2 к 1, так же будут соотноситься и значения координат точки на единичной окружности. В итоге имеем:

    • sinπ/4=1/(√2)
    • cosπ/4=1/(√2)
    • tgπ/4=1
    • cosecπ/4=√2
    • secπ/4=√2
    • ctgπ/4=1
  • Определите, положительно или отрицательно значение функции. Все углы, принадлежащие одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку (одно быть положительным, второе — отрицательным).
    • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
    • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cosec, отрицательны.
    • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
    • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.
  • Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

    Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

    В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

    Основные величины тригонометрии

    Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

    В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

    Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

    Тригонометрический круг

    Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

    Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

    Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

    Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

    Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

    Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

    Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

    Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

    Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

    Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

    Синусоида Косинусоида
    y = sin x y = cos x
    ОДЗ [-1; 1] ОДЗ [-1; 1]
    sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
    sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
    sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
    sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
    функция периодическая, наименьший период — 2π
    sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
    sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
    возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
    убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
    производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = — sin x

    Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

    Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

    Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

    Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

    Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

    1. Y = tg x.
    2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
    3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
    4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
    5. Tg x = 0, при x = πk.
    6. Функция является возрастающей.
    7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
    8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
    9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

    Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

    Основные свойства котангенсоиды:

    1. Y = ctg x.
    2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
    3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
    4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
    5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
    6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
    7. Функция является убывающей.
    8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
    9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
    10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

    Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

    Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

    Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

    Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

    С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

    Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

    Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

    За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

    Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

    Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

    Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

    В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

    среда, 4 июля 2018 г.

    Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

    Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

    Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

    Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

    Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

    В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально. ..

    А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

    Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

    Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

    воскресенье, 18 марта 2018 г.

    Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

    Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

    Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

    1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

    2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

    3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

    4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

    Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

    С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

    Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

    Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

    Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

    Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

    Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

    Ой! А это разве не женский туалет?
    — Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

    Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

    Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

    Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

    Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

    1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

    Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

    См. также полезные материалы:

    Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т. д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

    Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

    Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

    Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

    Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

    Примеры :
    1. Синус пи .
    sin π = sin 180 = 0
    таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

    2. Косинус пи .
    cos π = cos 180 = -1
    таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

    3. Тангенс пи
    tg π = tg 180 = 0
    таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

    Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)


    значение угла α
    (градусов)

    значение угла α
    в радианах

    (через число пи)

    sin
    (синус)
    cos
    (косинус)
    tg
    (тангенс)
    ctg
    (котангенс)
    sec
    (секанс)
    cosec
    (косеканс)
    0 0 0 1 0 1
    15 π/12 2 — √3 2 + √3
    30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
    45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
    60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
    75 5π/12 2 + √3 2 — √3
    90 π/2 1 0 0 1
    105 7π/12
    — 2 — √3 √3 — 2
    120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
    135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
    150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
    180 π 0 -1 0 -1
    210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
    240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
    270 3π/2 -1 0 0 -1
    360 0 1 0 1

    Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

    Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов


    0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов
    (цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)
    значение угла α (градусов) значение угла α в радианах sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс)
    0 0
    15

    0,2588

    0,9659

    0,2679

    30

    0,5000

    0,5774

    45

    0,7071

    0,7660

    60

    0,8660

    0,5000

    1,7321

    7π/18

    Конспект урока по алгебре в 10 классе: «Числовая окружность»

    Тема:«Числовая окружность»

    Цель урока:

    • способствовать формированию умения записывать множество чисел, соответствующих на числовой окружности точке;
    • способствовать формированию умения находить на числовой окружности точку, соответствующую данному числу.
    • способствовать формированию навыков работать в коллективе способствовать развитию коммуникативных компетенций.
    • способствовать развитию креативных способностей учащихся
    • способствовать формированию элементов информационной культуры.
    • способствовать самореализации учеников.

    Тип урока: Комбинированный

    Возраст учащихся: 10 класс

    Обучающие задачи:

    • познакомиться с числовой окружностью;
    • научиться находить на числовой окружности точки соответствующие заданному числу.
    • научиться переходить от градусной системы счисления к радианной и наоборот.
    • научиться выделять на числовой окружности дугу соответствующей заданному интервалу.
    • научиться по заданной дуге записывать аналитическое выражение.
    • сделать самоанализ урока.

    Развивающие задачи:

    • способствовать формированию навыков работать в коллективе при выполнении групповых заданий;
    • способствовать развитию коммуникативных компетенций при работе в группах;(при выполнении в группах практического задания)
    • способствовать развитию креативных способностей учащихся при решении нестандартных задач;
    • способствовать совершенствованию аналитических навыков учащихся при решении задач;
    • способствовать формированию навыков и умений использовать различные способы решения задач.
    • способствовать развитию пространственного воображения, умению работать с интерактивной доской,
    • развивать логическое мышление, вычислительные навыки, память, внимание, повышение мотивации к изучению математики

    Воспитывающие задачи :

    •  воспитывать ответственность за свои действия.

    Оборудование и методические материалы: компьютер, проектор, экран, демонстрационный круг ,веревка, маркер. 

    Этапы урока:

    1. Организационный момент.

    2. Актуализация знаний учащихся.

    3. Изучение нового материала.

    4. Закрепление знаний, умений и навыков.

    5. Домашнее задание.

    6. Подведение итогов урока.

    7. Рефлексия.

    Ход урока

    1. Организационный момент

    1) Учитель приветствует учащихся.

    2) Учитель выявляет отсутствующих, выясняет причину отсутствия.

    3) Проверка готовности учащихся к уроку (внешний вид, рабочая поза, состояние рабочего места).

    4) Проверка подготовленности классного помещения к уроку (чистая доска, мел, тряпка, порядок в классе).

    5) Организация внимания.

    Учитель: Ребята, сегодня мы с вами начинаем изучать большой раздел в математике — тригонометрические функции. Отнеситесь к её изучению очень внимательно, поскольку, как показывает опыт, обучающиеся, хорошо овладевший понятием «числовая окружность», достаточно уверенно обращается и с тригонометрическими функциями.

    Зачем нам нужна тригонометрия?(Слайды №1-8)

    Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы — модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

    Звук, электрический ток, радиоволны так же представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.

    Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

    Таким образом многие процессы происходящие в природе и технических системах описываются тригонометрическими функциями, которые служат основой их математических моделей.

    2. Актуализация знаний учащихся

    Учитель: Внимание, на доске обозначены вопросы для повторения, они помогут вам в изучении нового материала. Обучающимся дается несколько минут на обдумывание ответа. Затем к доске вызывается один из учеников и отвечает на них. Правильность ответа контролируют обучающиеся, они могут задать дополнительные наводящие вопросы, если не согласны с ответом или считают, что ответ неполный. Учитель контролирует всех. В конце опроса выставляется оценка за ответ. Слайд № 9,10.

    Устная работа.

    Учитель: Что называется числовой прямой?

    Ученики: Это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление.

    Учитель: Сколько действительных чисел можно поставить в соответствие каждой точке числовой прямой?

    Ученики: Каждой точке соответствует только одно действительное число.

    Учитель То есть числовая прямая – это взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

    Учитель Что называется окружностью?

    Ученики: Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки.

    Учитель: Как найти длину окружности?

    Ученики: Длина окружности равна :L=2 пr.

    Учитель: А что такое пи?

    Ученики: Пи — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Эта константа приближенно равна 3,14.

    Учитель: Чему будет равна L при R=1.

    Ученики: L=2П или 6,28.

    Учитель: Отметьте на числовой прямой точки П и 2П.(Слайд №9,10,11 )

    3. Изучение нового материала.

    Учитель: В реальной жизни приходится двигаться не только по прямой, но и по окружности.

    В принципе любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность — окружность радиусом 1. Исходя из основной формулы длины окружности при радиусе равном 1 получаем длину единичной окружности равной , что составляет примерно 6,28. Соответственно половина длины окружности равна П, четверть П/2 и три четверти окружности равны 3П/2.(Слайд№ 12)

    На числовой окружности принято условно называть дугу от 0 до П/2 первой четвертью, дугу от П/2 до П – второй четвертью, от П до 3П/2 3 четвертью и от 3П/2 до 4-й четвертью. При этом, как правило, речь идет об открытых дугах, т.е. о дугах без их концов: например, первая четверть — это дуга от 0 до П/2, без точек 0 и П/2.

    Рассмотрим следующее определение.

    Учитель :Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

    И самое главное необходимо запомнить что положительное значение откладывается против часовой стрелки , а отрицательное по часовой стрелке

    (Слайд 12,13).

    Любому действительному числу можно сопоставить единственную точку на прямой и наоборот (любая точка прямой соответствует единственному числу).

    Числу 0 соответствует начальная точка О.

    Если t>0, то, двигаясь по прямой из точки О в положительном направлении, необходимо пройти путь длиной t.

    Если t<0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, необходимо пройти путь длиной |t|.

    Проведем горизонтальный и вертикальный диаметры CA и BD. (Слайд№14)

    Учитель: Разделим первую четверть на три равные части. Чему раны длины полученных дуг?(Слайд№14)

    Ученики: П/6

    Учитель: А если возьмем две части?

    Ученики: П/3

    Учитель: Найдите на числовой окружности точки симметричные точкам П/6 и П/3 относительно диаметров. Чему они равны?

    Ученики: П/6, 5П/6, 7П/6, 11П/6. П/3, 2П/3,4П/3, 5П/3. (Слайды№15,16)

    Учитель: Разделим первую четверть на две равные части. Чему раны длины полученных дуг? (Слайд№17)

    Ученики: П/4

    Учитель: Найдите на числовой окружности точки симметричные точке П/4 относительно диаметров. Чему они равны?

    Ученики: П/4, 3П/4, 5П/4, 7П/4.

    Учитель: Подумайте как найти точки: 21П/4, 13П/6, 19П/6.(Слайд№18) Использовать демонстрационный круг ,веревка, маркер

    Ученики:

    4. . Закрепление знаний, умений и навыков.

    Учитель: Обозначьте на числовой окружности точку, которая

    соответствует данному числу:

    Ученики: Отмечаю в тетради заданные точки, результат сверяют по

    слайду№20.

    Учитель: Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95.?

    Ученики: Производят необходимые расчеты в тетради и отвечают на вопрос.(Слайд№21)

    Учитель: Как расположены на координатной прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: a) t и –t; б) t и t+2πk, kÎZ;

    в) t и t+π; г) t+π и t-π.

    Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду№22.

    Учитель: Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству.

    Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду№23.

    Учитель: Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие открытой дуге АВ, DC, PR . (Слайд№24)

    Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду.

    Учитель: Выполним самостоятельную работу.(Слайд№25)

    Учащиеся самостоятельно выполняют работу с последующей проверкой и отметкой за урок.. На начальном этапе выполнения задания, учитель контролирует и консультирует обучающихся. Затем в роли консультантов выступают обучающиеся справившиеся с заданием раньше.

    Дополнительное задание (если останется время): Приложение№1.

    Слайд №26,27,28.

    5. Домашнее задание.

    П2. 9-13(в, г) — 24.25(в, г).

    6. Подведение итогов урока.

    Учитель: Молодцы ребята, очень хорошо потрудились, хорошо решали задачи, внимательно слушали и принимали активное участие.

    Давайте подведем итоги. В начале урока мы задали следующие вопросы.

    1)Что называется числовой окружностью?

    2)Как найти точки на числовой окружности, соответствующие заданным числам?

    3)Как выделять на числовой окружности дугу соответствующей заданному интервалу.

    4)Как по заданной дуге записывать аналитическое выражение.

    Теперь вы можете ответить на них.

    7. Рефлексия.

    Продолжите фразы:

    — сегодня на уроке я узнал …

    — сегодня на уроке я научился…

    — сегодня на уроке я повторил…

    — сегодня на уроке я познакомился…

    — сегодня на уроке мне понравилось

    Единичный круг | Пурпурная математика

    Пурпурная математика

    Когда вы работаете с углами во всех четырех квадрантах, тригонометрические отношения для этих углов вычисляются с точки зрения значений x , y и r , где r — это радиус круга, который соответствует к гипотенузе прямоугольного треугольника для вашего угла. На рисунке ниже угол заканчивается во втором квадранте, как показано диагональной линией:

    .

    MathHelp.com

    Любые два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при основании θ («тета», произносится ТАЙ-тух) будут подобны в техническом смысле, поскольку их стороны пропорциональны.Это сходство более очевидно, когда треугольники вложены друг в друга:

    Сходство (и, следовательно, пропорциональность) означает, что тригонометрические отношения двух вложенных треугольников, показанных выше, будут одинаковыми, как вы можете видеть из приведенных ниже вычислений для каждого из двух приведенных выше треугольников:

     

    Отношения триггеров для одного и того же размера угла θ одинаковы (как вы можете видеть выше), даже несмотря на то, что конкретные числа из наборов сторон двух треугольников различны. Это подчеркивает, что для тригонометрических соотношений важен угол θ, а не конкретный треугольник, из которого вы получили этот угол.

    Чтобы упростить вычисления, математики любят вписывать треугольник угла в окружность с радиусом r = 1. Поскольку число 1 в математике называется «единицей», окружность с радиусом длины 1 называется «единичной окружностью». «. Раз гипотенуза имеет фиксированную длину r = 1, то значения триггерных отношений будут зависеть только от х и y , так как умножение или деление на r = 1 ничего не изменит.Имеют значение только значения x и y .


    Единичный круг

    Смысл единичного круга в том, что он делает другие части математики проще и аккуратнее. Например, в единичном круге для любого угла θ триггерные значения для синуса и косинуса явно не более чем sin (θ) = y и cos (θ) = x . Исходя из этого, вы можете принять тот факт, что тангенс определяется как tan (θ) = y / x , а затем заменить x и y , чтобы легко доказать, что значение tan (θ) также должен быть равен отношению sin (θ)/ cos (θ).

    Еще одна вещь, которую вы можете увидеть из единичного круга, это то, что значения синуса и косинуса никогда не будут больше 1 или меньше –1, поскольку x и y никогда не принимают значений за пределами этого интервала.Кроме того, поскольку тангенс включает в себя деление на x и поскольку x = 0, когда вы проходите одну четвертую и три четверти пути по окружности (то есть, когда вы находитесь на 90° и на 270° ), тангенс не будет определен для этих мер угла.

    Определенные углы имеют «хорошие» триггерные значения. Эти углы в первом квадранте (являющиеся «опорными» углами) составляют 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. (Строго говоря, 0° и 90° не находятся «в» каком-либо квадранте, но мы будем работать с ними, как если бы они находились в первом квадранте.Так проще.) Так что вы, вероятно, должны были запомнить значения триггерной функции для этих углов. Вероятно, теперь у вас также будет круг с отмеченными углами. В первом квадранте имеем следующее:

    (Возможно, вы заметили радикалы перед единицами в приведенном выше тексте. Да, они упрощаются до 1, так что вы тоже можете писать так, и вы, конечно, должны сделать упрощение в своем окончательном ответе.Но обратите внимание, что все знаменатели равны двойкам, а числители увеличиваются или уменьшаются, 1, 2, 3. Это может быть полезно для запоминания значений триггера.)

    Вам может быть дан полный единичный круг со значениями углов в трех других квадрантах. Но вам нужно только знать значений в первом квадранте. Как только вы их узнаете и поскольку значения повторяются (кроме знака) в других квадрантах, вы знаете все, что вам нужно знать о единичном круге.


    • Подтвердите, что точка (15/113, –112/113) является точкой на единичной окружности. Найдите синус и котангенс угла А, имеющего эту точку на концевой стороне.

    Любая точка единичной окружности будет находиться на расстоянии одной единицы от центра; это определение единичного круга. Чтобы «подтвердить», что точка, которую они мне дали, является точкой на единичной окружности, я могу применить теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса прямоугольного треугольника, образованного падением перпендикуляра от оси x вниз. к точке.Мой перпендикуляр — это ярко-синяя пунктирная линия:

    .

    Если теорема Пифагора дает мне значение радиуса, равное 1, то я «подтверждаю», что точка находится на единичной окружности.

    Тогда длина третьей стороны прямоугольного треугольника, которая также является длиной радиуса окружности, равна 1. Таким образом, эта точка действительно находится на единичной окружности.

    Теперь они хотят, чтобы я нашел синус и котангенс основного угла.Синус — это значение y . (Мне не нужно беспокоиться о гипотенузе, потому что она всегда равна 1 в единичной окружности.) Таким образом, синус лежащего в основе угла:

    Котангенс является обратной величиной тангенса. Касательная — это «противоположное относительно соседнего» или, в данном контексте, « y на x ». Тогда котангенс является обратной величиной:

    раскладушка(А) = 15/(–112) = –15/112

    В первой части этого упражнения я ответил, что радиус равен 1.Остальная часть моего ответа:

    sin(A) = –112

    детская кроватка(А) = –15/112


    URL: https://www. purplemath.com/modules/unitcirc.htm

    1.1: Единичный круг — Mathematics LibreTexts

    Основные вопросы

    Следующие вопросы помогут нам изучить материал этого раздела.Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и быть в состоянии написать точные, связные ответы на эти вопросы.

    • Что такое единичная окружность и почему она важна в тригонометрии? Каково уравнение единичной окружности?
    • Что подразумевается под «обертыванием числовой прямой вокруг единичной окружности?» Как это используется для идентификации действительных чисел как длин дуг на единичной окружности?
    • Как связать дугу на единичной окружности с замкнутым интервалом действительных чисел?​​​​​

    Начало деятельности

    Как было указано, одна из основных причин, по которой мы изучаем тригонометрические функции, состоит в том, чтобы иметь возможность математически моделировать периодические явления. Прежде чем мы приступим к математическому изучению периодических явлений, проведем небольшой «мысленный эксперимент».

    Представьте, что вы стоите в точке на круге и начинаете двигаться по кругу с постоянной скоростью против часовой стрелки. Также предположим, что вам потребуется четыре минуты, чтобы один раз полностью пройти круг. Теперь предположим, что вы находитесь в точке \(P\) на этом круге в определенное время \(t\).

    • Опишите свое положение на круге \(2\) минут после времени \(t\).
    • Опишите свое положение на круге \(4\) минут после времени \(t\).
    • Опишите свое положение на круге \(6\) минут после времени \(t\).
    • Опишите свое положение на круге через \(8\) минут после времени \(t\).

    Идея здесь в том, что ваша позиция на круге повторяется каждые \(4\) минут. Через \(2\) минуты вы оказываетесь в точке, диаметрально противоположной той, с которой начали. Через \(4\) минут вы вернулись в исходную точку. Фактически, вы вернетесь в исходную точку через \(8\) минут, \(12\) минут, \(16\) минут и так далее. Это идея периодического поведения.

    Единичный круг и функция обертывания

    Для математического моделирования периодических явлений нам понадобятся функции, которые сами по себе являются периодическими. Другими словами, мы ищем функции, значения которых повторяются в регулярных и узнаваемых шаблонах. Знакомые функции, такие как многочлены и экспоненциальные функции, не проявляют периодического поведения, поэтому мы обратимся к тригонометрическим функциям.{2} = 1\).

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Настройка обтекания числовой линией единичной окружности

    На рисунке \(\PageIndex{1}\) показана единичная окружность с числовой прямой, касательной к окружности в точке \((1, 0)\). Мы «обернем» эту числовую линию вокруг единичного круга. В отличие от числовой прямой, длина один раз вокруг единичной окружности конечна. (Помните, что формула для длины окружности выглядит как \(2\pi r\), где \(r\) — радиус, поэтому длина один раз вокруг единичной окружности равна \(2\pi\). Однако мы по-прежнему можем измерять расстояния и находить точки на числовой прямой на единичной окружности, оборачивая числовую прямую вокруг окружности. Мы оборачиваем положительную часть этой числовой прямой по окружности круга против часовой стрелки, а отрицательную часть числовой прямой оборачиваем по окружности единичного круга по часовой стрелке.

    Два снимка анимации этого процесса для переноса против часовой стрелки показаны на рисунке \(\PageIndex{2}\), а два таких снимка показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\) для переноса по часовой стрелке.

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Обтекание единичной окружности положительной числовой линией

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): Обтекание единичной окружности линией отрицательного числа

    Ниже приведена ссылка на актуальную анимацию этого процесса, включая положительные и отрицательные переходы.

    http://gvsu.edu/s/Kr

    На рисунках \(\PageIndex{2}\) и \(\PageIndex{3}\) показана только часть числовой строки, обернутой вокруг окружности. Поскольку числовая прямая бесконечно длинна, она бесконечно много раз оборачивается вокруг окружности. Результатом этого является то, что бесконечно много различных чисел из числовой прямой переносятся в одно и то же место на единичной окружности.

    • Число 0 и числа \(2\pi\), \(-2\pi\) и \(4\pi\) (а также другие) переносятся в точку \((1, 0 )\). Обычно мы говорим, что эти точки отображаются в точку \((1, 0)\).
    • Число \(\pi /2\) отображается в точку \((0, 1)\).Это связано с тем, что длина окружности единичного круга равна \(2\pi\), поэтому четверть длины окружности равна \(\frac{1}{4}(2\pi) = \pi/2\).
    • Если мы теперь добавим \(2\pi\) к \(\pi/2\), мы увидим, что \(5\pi/2\) также отображается в \((0, 1)\). Если мы вычтем \(2\pi\) из \(\pi/2\), мы увидим, что \(-3\pi/2\) также отображается в \((0, 1)\).

    Однако тот факт, что бесконечное множество различных чисел с числовой прямой переносятся в одно и то же место на единичной окружности, оказывается очень полезным, поскольку он позволяет нам моделировать и представлять поведение, которое повторяется или носит периодический характер.

    Упражнение \(\PageIndex{1}\)

    • Найдите два разных числа, одно положительное и одно отрицательное, от числовой прямой, которые закручиваются, до точки \((-1, 0)\) на единичной окружности.
    • Опишите все числа на числовой прямой, которые переносятся в точку \((-1, 0)\) на единичной окружности.
    • Найдите два разных числа, одно положительное и одно отрицательное, от числовой прямой, которые перевернуты, до точки \((0, 1)\) на единичной окружности.
    • Найдите два разных числа, одно положительное и одно отрицательное, от числовой прямой, которые закручиваются, до точки \((0, -1)\) на единичной окружности.
    Ответить

    Некоторые положительные числа, заключенные в точку \((-1, 0)\), равны \(\pi, 3\pi, 5\pi\). Некоторые отрицательные числа, заключенные в точку \((-1, 0)\), равны \(-\pi, -3\pi, -5\pi\).

    Числа, заключенные в \((-1, 0)\), являются нечетными целыми числами, кратными \(\pi\).

    Некоторые положительные числа, свернутые в точку \((0, 1)\), равны \(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{9\pi} {2}\).

    Некоторые отрицательные числа, завернутые в точку \((0, 1)\), равны \(-\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{9 \пи}{2}\).

    Некоторые положительные числа, завернутые в точку \((0, -1)\), это \(\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11\ пи{2}\).

    Некоторые отрицательные числа, завернутые в точку \((0, -1)\), равны \(-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac {11\пи}{2}\).

    Одна вещь, которую мы должны увидеть из нашей работы в упражнении 1.1 заключается в том, что целые числа, кратные \(\pi\), переносятся либо в точку \((1, 0)\), либо в \((-1, 0)\), и что нечетные целые числа, кратные \(\dfrac{\ pi}{2}\) переносятся либо в точку \((0, 1)\), либо в \((0, -1)\). Поскольку длина окружности единичного круга равна \(2\pi\), неудивительно, что дробные части \(\pi\) и целые кратные этих дробных частей \(\pi\) могут располагаться на единичный круг. Это будет изучено в следующем упражнении.

    Упражнение \(\PageIndex{2}\)

    Следующая диаграмма представляет собой единичный круг с \(24\) точками, расположенными на равном расстоянии друг от друга.Поскольку длина окружности равна \(2\pi\) единицам, приращение между двумя последовательными точками на окружности равно \(\dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12}\) .

    Пометьте каждую точку наименьшим неотрицательным действительным числом \(t\), которому она соответствует. Например, точка \((1, 0)\) на оси x соответствует \(t = 0\). Переезд

    против часовой стрелки от этой точки, вторая точка соответствует \(\dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}\).

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Точки на единичной окружности

    Используя \(\PageIndex{4}\), аппроксимируйте координаты \(x\) и \(y\) каждого из следующих элементов:

    1. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t =\dfrac{\pi}{3}\).
    2. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t =\dfrac{2\pi}{3}\).
    3. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t =\dfrac{4\pi}{3}\).
    4. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t =\dfrac{5\pi}{3}\).
    5. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t = \dfrac{\pi}{4}\).
    6. Точка на единичной окружности, соответствующая \(t =\dfrac{7\pi}{4}\).
    Ответить

    Для \(t = \dfrac{\pi}{3}\) точка приблизительно равна \((0.5, 0,87)\). Для \(t = \dfrac{2\pi}{3}\) точка приблизительно равна \((-0,5, 0,87)\). Для \(t = \dfrac{4\pi}{3}\) точка приблизительно равна \((-0,5, -0,87)\). Для \(t = \dfrac{5\pi}{3}\) точка приблизительно равна \((0,5, -0,87)\). Для \(t = \dfrac{\pi}{4}\) точка приблизительно равна \((0,71, 0,71)\). Для \(t = \dfrac{7\pi}{4}\) точка приблизительно равна \((0,71, -0,71)\).

    Дуги на единичной окружности

    Когда мы оборачиваем числовую прямую вокруг единичной окружности, любой замкнутый интервал на числовой прямой отображается в непрерывную часть единичной окружности. Эти части называются дугами окружности. Например, отрезок \(\Big[0, \dfrac{\pi}{2}\Big]\) на числовой прямой отображается в дугу, соединяющую точки \((1, 0)\) и \( (0, 1)\) на единичной окружности, как показано в \(\PageIndex{5}\). В общем, когда замкнутый интервал \([a, b]\) отображается в дугу на единичной окружности, точка, соответствующая \(t = a\), называется начальной точкой дуги , а точка точка, соответствующая \(t = a\), называется конечной точкой дуги .Таким образом, дуга, соответствующая отрезку \(\Big(0, \dfrac{\pi}{2}\Big)\), имеет начальную точку \((1, 0)\) и конечную точку \((0, 1 )\).

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): Дуга на единичной окружности

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Нарисуйте следующие дуги на единичной окружности.

    1. Дуга, определяемая интервалом \([0, \dfrac{\pi}{4}]\) на числовой прямой.
    2. Дуга, определяемая интервалом \([0, \dfrac{2\pi}{3}]\) на числовой прямой.
    3. Дуга, определяемая интервалом \([0, -\pi]\) на числовой прямой.
    Ответить

    Координаты точек на единичной окружности

    Когда у нас есть уравнение (обычно в терминах \(x\) и \(y\)) для кривой на плоскости и мы знаем одну из координат точки на этой кривой, мы можем использовать уравнение для определения другая координата точки на кривой.2 = \dfrac{8}{9}\), мы видим, что \(y = \pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}\) и, следовательно, \(y = \pm\dfrac{\sqrt{ 8}}{3}\). Таким образом, две точки на единичной окружности, координата \(x\) которых равна \(-\dfrac{1}{3}\), равны

    .

    \[ \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{\sqrt{8}}{3}\right),\]

    во втором квадранте и

    \[ \left(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{\sqrt{8}}{3}\right),\]

    , который находится в третьем квадранте.

    Первая точка находится во втором квадранте, а вторая точка — в третьем квадранте. {2} = 1\).2 = 1\). Это важно, потому что мы будем использовать это как инструмент для моделирования периодических явлений.

  • Мы «оборачиваем» числовую прямую вокруг единичной окружности, проводя числовую прямую, касательную к единичной окружности в точке \((1, 0)\). Мы оборачиваем положительную часть числовой прямой вокруг единичной окружности против часовой стрелки, а отрицательную часть числовой прямой оборачиваем вокруг единичной окружности по часовой стрелке.
  • Когда мы оборачиваем числовую прямую вокруг единичной окружности, любой замкнутый интервал действительных чисел отображается в непрерывную часть единичной окружности, которая называется дугой окружности.Когда отрезок \((a, b)\) отображается в дугу на единичной окружности, точка, соответствующая \(t = a\), называется начальной точкой дуги , а точка, соответствующая \(t = a\) называется конечной точкой дуги .
  • Тангенциальная функция

    Касательная функция представляет собой периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

    Самый простой способ понять функцию касательной — использовать единичную окружность.Для заданной угловой меры θ нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной как положительной Икс -ось. То Икс -координата точки пересечения другой стороны угла с окружностью потому что ( θ ) и у -координата грех ( θ ) .

    Есть несколько значений синуса и косинуса, которые следует запомнить, основываясь на 30 ° − 60 ° − 90 ° треугольники и 45 ° − 45 ° − 90 ° треугольники.Основываясь на них, вы можете определить соответствующие значения тангенса.

    грех ( θ )

    потому что ( θ )

    загар ( θ )

    грех ( 0 ° ) знак равно 0 потому что ( 0 ° ) знак равно 1 загар ( 0 ° ) знак равно 0 1 знак равно 0
    грех ( 30 ° ) знак равно 1 2 потому что ( 30 ° ) знак равно 3 2 загар ( 30 ° ) знак равно 1 2 ⋅ 2 3 знак равно 3 3
    грех ( 45 ° ) знак равно 2 2 потому что ( 45 ° ) знак равно 2 2 загар ( 45 ° ) знак равно 2 2 ⋅ 2 2 знак равно 1
    грех ( 60 ° ) знак равно 3 2 потому что ( 60 ° ) знак равно 1 2 загар ( 60 ° ) знак равно 3 2 ⋅ 2 1 знак равно 3
    грех ( 90 ° ) знак равно 1 потому что ( 90 ° ) знак равно 0 загар ( 90 ° ) знак равно 1 0 знак равно недеф .

    Обратите внимание, что:

    • для углов с конечным плечом в квадранте II, поскольку синус положительный, а косинус отрицательный, тангенс отрицательный.
    • для углов с конечным плечом в квадранте III, поскольку синус отрицательный, а косинус отрицательный, тангенс положительный.
    • для углов с конечным плечом в квадранте IV, поскольку синус отрицательный, а косинус положительный, тангенс отрицательный.

    Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции, часть между 0 а также 2 π .

    Для значений θ меньше, чем 0 или больше, чем 2 π можно найти значение θ с использованием опорный угол .

    График функции на более широком интервале показан ниже.

    Обратите внимание, что областью определения функции является вся действительная линия, а диапазон − ∞ ≤ у ≤ ∞ .

    тригон

    тригон

    Тригонометрия и комплексные числа

    Джон Баэз
    6 декабря 2011 г.

    Когда я преподаю математику, я постоянно сталкиваюсь со студентами, которые считают тригонометрические тождества и тригонометрия вообще как то, что требует умения запоминать.Лично я думаю, что лучший способ действительно понять этот материал состоит в том, чтобы понимать комплексные числа.

    Чтобы «понять комплексные числа», сначала нужно понять действительные числа в геометрической форме, с точки зрения линии:

    1. Понять, как связано сложение действительных чисел в перевод (скользящая) строка: добавление x к координате точки на прямой переводит точку на x единиц вправо.
    2. Понять, как происходит умножение действительных чисел. связанные с расширением (растягиванием или сдавливанием) линии: умножение координаты точки на линии на x расширяет ее с коэффициентом х.
    3. Также поймите, как умножение на -1 отражает строку, что является довольно неочевидным частным случаем. пункта 2.
    Затем нужно подняться с очереди на самолет и посмотреть, как комплексные числа связаны с геометрией плоскости:
    1. Обратите внимание, что x 2 = -1 не имеет решения в вещественном числе. числа, потому что вы не можете расширить в x раз дважды и чтобы результат был отражением, независимо от того, что такое x. (В процессе узнайте, почему произведение двух отрицательных цифры положительны: к сожалению, многие студенты остались с такое впечатление, что это правда только «потому что учитель говорит так», что делает невозможным их понимание сложные числа.)
    2. Обратите внимание, что x 2 = -1 имеет решение, если мы пойдем до плоскости: x может быть на четверть оборота влево или вправо! Мы используем имя i для числа, которое дает четверть оборота влево.
    3. В общем, поймите, как умножение комплексные числа связаны с расширениями и поворотами самолета.
    4. Кроме того, поймите, как сложение комплексных чисел связано с переводами плоскости.
    5. Поймите, чтобы сделать сложение простым, мы хотим используйте декартовы координаты и напишите наши комплексные числа как x+iy, а чтобы сделать умножение простым, мы хотим использовать полярные координаты и записать их как r exp(i θ).

      Здесь exp(i θ) не имеет никакого другого смысла, кроме как «число на который вы умножаете, чтобы повернуть на угол θ против часовой стрелки»! Или другими словами: «число на единичный круг, который представляет собой угол θ против часовой стрелки от число 1.» Вам не нужно ничего знать о экспоненты для этого — на самом деле, лучше, если вы этого не сделаете!

      Поскольку у нас есть два способа записать одно и то же число, мы имеем

      х + я у = г ехр (я θ)

    6. Из пункта 5 видно, что

      exp(i θ) exp(i θ’) = exp(i(θ + θ’))

      поскольку это просто говорит, что поворот на угол θ и тогда угол θ’ такой же, как при вращении на угол θ+θ’.

    7. Для точек на единичной окружности r = 1, поэтому по п. 5 имеем

      х + я у = ехр (я θ)

      Итак, для точек единичной окружности x и y являются функциями θ. Придумываем имена для этих функций:

      х = потому что (θ)

      у = грех (θ)

      Опять же, вам не нужно ничего знать о триггере. за это; это определение синуса и косинуса. Итак, по определению имеем

      cos(θ) + i sin(θ) = exp(i θ)

    8. Теорема Пифагора говорит, что

      х 2 + у 2 = г 2

      Для точек на единичной окружности r = 1, поэтому пункт 7 подразумевает

      cos(θ) 2 + sin(θ) 2 = 1

      Это самая важная триггерная идентичность.

    9. Знать формулу умножения в Декартовы координаты:

      (x + iy)(x’ + iy’) = (xx’ — yy’) + i(xy’ + x’y)

      Трудно увидеть этот непосредственно геометрическим образом, так как декартовы координаты не подходят для описывающих вращения/расширения. Но это легко чтобы увидеть алгебраически, как только вы знаете i 2 = -1 и распределительный закон, и оба эти факта иметь хорошие геометрические объяснения (см. пункты 3-5 для этого часть рассказа).

    10. Используйте немного алгебры, чтобы сделать вывод, что

      cos(θ) = (exp(i θ) + exp(-i θ))/2

      sin(θ) = (exp(i θ) — exp(-i θ))/2i

      Это также хорошо понимать с помощью изображений.

    11. Наконец, посмотрите, что происходит, когда вы умножаете синус и косинус. По пунктам 6 и 10 очевидно что Вы будете добавлять и вычитать углы! Этот факт гораздо важнее, чем фактические формулы:

      cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2

      sinA sinB = [cos(A-B) — cos(A+B)]/2

      sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2

      которые никто не должен утруждать себя запоминанием, так как они легко извлекать, когда это необходимо, путем точного расчета набросал здесь: преобразуем синусы и косинусы в экспоненты, которые легко умножать; тогда умножить их; затем поверните их обратно.

    Теперь все это может показаться довольно многословным, но я иду над ним в любом классе, который касается комплексных чисел, потому что это очень важные вещи.

    Между прочим, я думаю, что любой курс, посвященный триггерным идентичностям, как те, о которых мы говорим здесь без введения комплекса числа это немного глупо. z = exp(i θ) — это просто название точка на единичной окружности; это как связать одну руку за спиной назад, чтобы никогда не называть эту точку ее истинным именем, заставляя себя работать только со своими координатами cos(θ) и sin(θ).


    © 2004 Джон Баэз
    [email protected]

    дом

    Юнит Круг | Блестящая математика и естественные науки вики

    Каждая точка на единичной окружности соответствует прямоугольному треугольнику с вершинами в начале координат и точке на единичной окружности. Длины катетов прямоугольного треугольника равны абсолютным значениям координат xxx и yyy соответственно.

    Этот прямоугольный треугольник используется для применения тригонометрических соотношений.

    sin ⁡ (θ) = противоположная гипотенуза = bccos⁡ (θ) = смежная гипотенуза = актан ⁡ (θ) = противоположная смежная = ba \begin {массив} {rll} \ sin (\ theta) & = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {гипотенуза}} & = \ frac {b} {c} \\ \\ \ cos (\ theta) & = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {гипотенуза}} & = \ frac {a} {c} \\ \\ \ tan (\ theta) & = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {смежно}} & = \ frac {b} {a} \\ \\ \end{array}sin(θ)cos(θ)tan(θ)​=hypotenuseopposite​=hypotenuseadjacent​=adjacentopposite​=cb​=ca​=ab​​

    Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника всегда имеет длину 1 единицу, значения координат xxx и yyy точки на окружности всегда равны косинусу и синусу (соответственно) угла θ. Угол \circ∘ равен 14\frac{1}{4}41​ пути по окружности, что будет равно 2π4=π2.\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi} {2}.42π​=2π​.

    Некоторые возможные значения θ\thetaθ перечислены ниже вместе с соответствующими значениями синуса и косинуса.

    угловая мера, θsin⁡θcos⁡θ001π61232π42222π33212π210 \начать{массив} { | с | с | с | } \hline \text{мера угла, } \theta & \sin \theta & \cos \theta\\ \hline 0 и 0 и 1 \\ \hline \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline \ dfrac {\ pi} {4} & \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} & \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \\ \hline \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \hline \dfrac{\pi}{2} & 1 & 0 \\ \hline \end{массив} мера угла, θ06π​4π​3π​2π​​sinθ021​22​​23​​1​cosθ123​​22​​21​0​​

    Знакомая нам до сих пор тригонометрия основана только на прямоугольных треугольниках и острых углах.Однако с помощью Unit Circle мы можем расширить наше понимание тригонометрических функций, а также познакомиться с использованием неострых углов.

    Более подробную информацию о круговой системе измерения углов можно найти на его вики-странице.

    Список символов геометрии и тригонометрии

    Геометрия и тригонометрия — разделы математики, связанные с геометрическими фигурами и углами треугольников. В следующем списке перечислены некоторые из наиболее заметных символов в этих темах, а также их использование и значение.

    Для удобства чтения эти символы разбиты на категории по их функциям в таблицы. Другие полные списки математических символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Символы, относящиеся к точкам/линиям

    В геометрии точки и линии образуют основу более сложных геометрических фигур, таких как треугольники, окружности, четырехугольники и многоугольники. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с ними, а также значение каждого символа и пример.

    Название символа Пояснение Пример
    $A$, $B$, $C$, $D$,
    $R$, $Q$, $
    Переменные для точек Если $P_1 =P_2$, то $\overline{P_1 Q} = \overline{P_2 Q}$.
    $ \ ELL $ Переменная для строки $ \ ell_1 \ parallel \ ell_2 $
    $ \ oleftreftrightarrow {ab} $ (бесконечная) линия , образованная пунктами $ A $ и $B$ $\overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{BA}$
    $\overline{AB}$ Отрезок между точками $A$ и $B$ $\overline {AB} \cong \overline{PQ}$
    $\overrightarrow{AB}$ Луч из точки $A$ в точку $B$ $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{ BA}$
    $|AB|$ Расстояние от точки $A$ до точки $B$ $|BC| \le \\ |АВ| + |AC|$
    $\ell_1 \parallel \ell_2$ Прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ параллельны Если $\square ABCD$ — параллелограмм, то $\overline{ AB} \parallel \overline{CD}$. 2.$
    $\ell_1 \not\perp \ell_2$ Линии $\ell_1$ и $\ell_2$ неперпендикулярны Если $\overline{AB} \not\perp \overline {BC}$, то $\square ABCD$ не является прямоугольником.

    Символы, связанные с углом

    Угол по существу соответствует «открытию» геометрической фигуры, количественное определение которого приводит к значительному развитию геометрии и тригонометрии. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с углами, а также значение каждого символа и пример.{\prime\prime} = \left(\dfrac{38}{60}\right)’$ ∟ Прямой угол символ $-, =, \equiv$ ( штриховки) Равные углы/длины Основные углы в градусах и радианах

    Символы, связанные с окружностью

    точку и часто играет решающую роль в развитии евклидовой геометрии и тригонометрии. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с кругом, а также их соответствующее значение и пример.

    904 точки между точками и $B$
    Название символа Объяснение Пример Пример
    $ O $ Переменная для Circle
    (или Центр круга )
    Если круги $ o_1 $ и $ o_2 $ поделиться одинаковый радиус, то они равны.
    $\odot P$ Окружность с центром вокруг точки $P$ Если $P \ne Q$, то $\odot P \ne \odot Q$.
    $ R $ Radius Круг $ R = \ SQRT {\ dfrac {a} {\ pi}} $
    $ d $ Диаметр Круг $ d =2r$
    $C$ Окружность окружности $C=2\pi r$
    $\overparen{AB}$ 90 6 $ Если $\overline{AB}$ — это диаметр, то $\overparen{AB}$ будет соответствовать полуокружности. {-1}x$ Функция арктангенса
    (арктангенс)
    $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}$

    Другие символы, связанные с 2D/3D-фигурами

    В элементарной геометрии большая часть изучения вращается вокруг анализа многоугольников , многогранников и других 3-мерных фигур .В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов в этих категориях, а также соответствующее значение и использование каждого символа.

    2 Пример
    Название символа Объяснение Пример
    $ \ Triangle ABC $ Треугольник с вершинами $ A $, $ B $ и $ C $ $ \ треугольник ABC \треугольник A’B’C’$
    $\square ABCD$ Квадрат / Четырехугольники с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$ Если $\overline {AB} \parallel \overline{CD}$, то $\square ABCD$ — трапеция.
    $ \ Pi $ (Capital Pi) Переменная для самолетов $ \ pi_1 \ parallel \ pi_2 $
    $ f \ sim f ‘$ Рисунок $ F $ Похожие к фигуре $F’$ $\треугольник ABC \sim \треугольник PQR$
    $F \nsim F’$ Фигура $F$ не похожа на фигуру $F’$ Так как $ F$ — правильный пятиугольник, а $F’$ — нет, $F \nsim F’$.
    $F \cong F’$ Фигура $F$ конгруэнтна фигуре $F’$ $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$
    $\implies \overline {AB} \cong \overline{A’B’}$
    $F \ncong F’$ Фигура $F$ не соответствует фигуре $F’$ $\square ABCD \nsim \\ \квадрат A’B’C’D’ \подразумевает \\ \квадрат ABCD \ncong \\ \квадрат A’B’C’D’ $
    $\varphi$ (phi) Золотое сечение $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \приблизительно 1. 618$
    $h$ Высота треугольника/четырехугольника/
    Трехмерные фигуры
    Поскольку $h = 5$, $A=\dfrac{5 \cdot 3}{2}$.
    $b$ Основание треугольника/четырехугольника Для тупоугольного треугольника $b$ соответствует расширенному основанию треугольника.
    $l$ Длина прямоугольника/прямоугольного тела Когда $l=10$, $A= 10 \cdot 20$.
    $ W $ Ширина Прямоугольник / прямоугольный Твердый $ A = LW $
    $ P $ Периметр Planar Рисунок для прямоугольника, $ P = 2L + 2w$.
    $A$ Площадь плоской фигуры
    (или площадь поверхности трехмерной фигуры)
    Для треугольника $A = \dfrac{bh}{2}$.
    $V$ Объем объемной фигуры Для сферы $V \propto r^3$. {\circ}$.
    $V$ Количество вершин в многограннике Для куба $V = 8$.
    $E$ Число ребер в многограннике В общем случае $E \ge V$ для многогранников.
    $F$ Количество граней в многограннике Для тетраэдра $F=4$.
    $\chi$ (chi) Эйлерова характеристика Для выпуклых многогранников $\chi = V-E + F = \\ 2.$

    Следующие рисунки иллюстрируют 5 платоновых тел (правильные, выпуклые многогранники) вместе с их соответствующим количеством вершин, ребер и граней.

    • Тетраэдр $(V= 4, E= 6, \\ F=4, \chi=2)$
    • Куб $(V=8, E=12, \\ F=6, \ chi=2)$
    • Октаэдр $(V=6, E=12, \\ F=8, \chi=2)$
    • Додекаэдр $(V=20, E=30, F=12 , \chi= 2)$
    • Икосаэдр $(V=12, E=30, F=20, \chi=2)$

    Основной список символов см. в разделе Математические символы.Списки символов, классифицированных по типу и по теме , см. на соответствующих страницах ниже.

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Дополнительные ресурсы

    Единичный круг

    Единичный круг — это круг радиусом 1 с центром в начале прямоугольной системы координат. Он обычно используется в контексте тригонометрии.

    Когда луч проводится из начала координат единичной окружности, он пересекает единичную окружность в точке (x, y) и образует прямоугольный треугольник с осью x, как показано выше. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна радиусу единичной окружности, поэтому она всегда будет равна 1. Следовательно, согласно теореме Пифагора, уравнение единичной окружности:

    х 2 + у 2 = 1

    Это верно для всех точек на единичной окружности, а не только в первом квадранте, и полезно для определения тригонометрических функций в терминах единичной окружности.

    Определения единичных окружностей тригонометрических функций

    Единичный круг часто используется в определении тригонометрических функций. Ниже приведен рисунок, показывающий все тригонометрические отношения, связанные с единичным кругом.

    На рисунке выше точка A имеет координаты (x, y). Вместе с θ, углом, образованным между начальной стороной угла вдоль положительной оси x и конечной стороной угла, образованного поворотом луча против часовой стрелки, мы можем образовать прямоугольный треугольник.Используя тот факт, что радиус единичного круга равен 1 (и, следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1), мы можем использовать определения прямоугольного треугольника тригонометрических функций, чтобы найти, что , и . Исходя из этого, мы можем определить определения остальных тригонометрических функций, как показано в таблице ниже.

    Часто используемые углы

    Хотя мы можем найти тригонометрические значения для любого угла, некоторые углы стоит запомнить из-за того, как часто они используются в тригонометрии. Углы 30°, 45° и 60°. В радианах они соответствуют соответственно. Ниже приведена таблица значений этих углов, а также рисунок значений на единичной окружности.

    Как видно из таблицы или круга единиц выше, необходимо запомнить три значения: . Из-за природы единичного круга эти значения одинаковы для соответствующих углов в разных квадрантах единичного круга, с той лишь разницей, что их знаки зависят от квадранта, в котором находится угол.Следовательно, запоминание этих трех значений и того, как они соответствуют кратным 30°, 45° и 60°, позволит вам заполнить все значения на единичном круге.

    Другие углы на единичной окружности, которые следует запомнить, это те, конечные стороны которых лежат на оси x или y: 0° или 0 (что имеет эквивалентные значения синуса и косинуса как 360° или 2π), 90° или , 180° или π и, 270° или . При любом из этих углов sin(θ) или cos(θ) имеет значение –1, 0 или 1.

    0 9 1
    Угол SIN SIN (θ) COS (θ) TAN (θ)
    1 0 0 undefined
    180 ° С или π 0 -1 0
    -1 0 undefined

    Метод запоминания общих ценностей

    Один из методов, который может помочь в запоминании общих тригонометрических значений, состоит в том, чтобы выразить все значения sin(θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0° и продвигаясь через 90°, sin(0°) = 0 = . Последующие значения sin(30°), sin(45°), sin(60°) и sin(90°) следуют шаблону, так что, используя значение sin(0°) в качестве эталона, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже.

    Значения синуса от 0° до -90° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV.Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin(θ) на основе положения θ в единичной окружности, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный в квадрантах III и IV.

    Аналогичный метод запоминания можно использовать для косинуса. Начиная с 0° и увеличивая до 90°, cos⁡(0°)=1=. Последующие значения cos(30°), cos(45°), cos(60°) и cos(90°) следуют шаблону, так что, используя значение cos(0°) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже:

    От 90° до 180° вместо этого мы увеличиваем число под радикалом на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск