Что такое комбинаторная задача: «Комбинаторные задачи и способы их решения»

Содержание

7.1. Комбинаторные задачи — kombinatorika

 Комбинаторика – раздел математики, в котором  изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

         В реальной  жизни комбинаторные  задачи решают  конструкторы при создании новой модели  механизма; агроному при планировании размещения культур; химики при изучении  строения органических молекул.

         Комбинаторика возникла в Древнем Китае и Греции.  Комбинаторика  становится наукой  лишь в 18 веке.

         По мере  развития комбинаторики выяснилось, что  центральное  место  занимают задачи,  для решения  которых либо надо перебрать все возможные варианты,  либо определить число таких вариантов, либо сделать и то и другое.

 Комбинаторная задача – задача, в которой идет речь о тех или иных  комбинациях объектов.

Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ.

Затем задаются вопросы исторического характера.

 

Что означает каждый цвет?

Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

         Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.

Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

 

Решение этой задачи можно записать тремя способами:

 

  1. Таблица вариантов

 

КБС

КСБ

БСК

БКС

СБК

СКБ

 

 2.  Правило умножения

1 полоса 3 способа

 

2 полоса 2 способа

 

3 полоса 1 способ

 

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

 

Ответ: 6 способов

Решение задач

1. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

 Решение.

В записи числа на первом месте может стоять цифра 1 или 2, на втором  месте также одна из двух цифр 1  и 2. На третьем месте также можно записать либо 1 либо 2. получили восемь чисел:

          111, 112, 121, 122, 122, 212, 221, 222

 2. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются   только  цифры 0 и 7. найдите сумму этих чисел и разделите  ее на 211.

        Решение.

Записи чисел на первом месте может стоять только цифра 7. на втором месте также цифра 7 и 0. на третьем месте также цифра 7 и 0.

 Получили четыре числа:

777, 707, 770, 700

 Сложим: 777+707+770+700=2954

 Разделим: 2954 : 211 =14

 3. Сколько трехзначных чисел  можно  составить из этих  цифр 2, 4, 6, 8, если

цифры в записи числа не повторяются?

 Решение. 

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей  — любая из двух оставшихся. Получается: всего из данных цифр  можно составить  4 32 = 24 трехзначных числа.

 4. В футбольной команде пятого класса 7 человек.

         Члены  команды выбирают капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать?

          Решение.

Капитаном можно выбрать  одного из 7, после того как капитан выбран, можно  выбрать вратаря уже из 6 оставшихся  игроков.

Значит капитана можно выбрать семью способами, а вратаря  шестью. Следовательно, общее число способов выбрать  капитана и вратаря равно:  7 6 = 42.

 5. В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать  президента и вице-президент. Сколькими способами это можно сделать?

 Решение.

Президентом можно выбрать одного из 5, а вице-президентом можно оставшихся членов правления, значит  5 4 = 20 способами.

 5. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил съездить в зоопарк. От дома до зоопарка   Борис может доехать на метро, от зоопарка  до бассейна – автобусом, троллейбусом или  на метро. Сколькими способами Борис может доехать от дома до бассейна,  посетив зоопарк?

 Решение.

От дома до зоопарка Борис может выбрать маршрут тремя способами. От зоопарка до бассейна тоже тремя. Значит,  Борис может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк:  3 Х 3 = 9 способами.

Решение комбинаторных задач простейшими способами

           

Тема: Решение комбинаторных задач простейшими способами.

Цель: начать формировать умения решать простейшие комбинаторные задачи.

Задачи:  1.  Образовательные: выделять комбинаторные задачи из ряда предложенных задач; решать простейшие комбинаторные задачи.

2. Воспитательные:  Способствовать:  формированию познавательного интереса к  предмету; воспитанию чувства патриотизма; ответственности за качество и результат, выполняемой работы.

3.Развивающие: Способствовать: развитию: речи; творческого мышления; совершенствованию операций умственной деятельности: анализ, синтез, классификация, способность наблюдать и делать выводы, выделять существенные признаки.

                                         Ход занятия

I Актуализация опорных знаний.

В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. С какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? С проблемой выбора дальнейшего пути движения.

 А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

Оказывается, существует  целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который  занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

II. Изучение нового материала.

Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.

Комбинаторная задача – задача, в которой идет речь о тех или иных  комбинациях объектов.

           Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки  предметов, — возникла в XII веке.

          Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника.

Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

          При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые  были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.

          Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер.        Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т. д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации.

Детям  раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ. Затем задаются вопросы исторического характера.

Что означает каждый цвет? Значение цветов флага России:

белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.  Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.

Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение этой задачи можно записать тремя способами:

1.     Таблица вариантов

КБС

КСБ

БСК

БКС

СБК

СКБ

 

2.     Дерево вариантов

 

 

3.     Правило умножения

1 полоса 3 способа

2 полоса 2 способа

3 полоса 1 способ

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Ответ: 6 способов

III Выполнение упражнений.

1.     Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 5, 7, 4, если известно, что цифры не повторяются (повторяются)?

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 5, 7 и 0?

 Работа в подгруппах.

 Группа разбита на 5 групп. Каждая подгруппа получает задания, на решение которых отводится 10 мин. После выполнения заданий каждая подгруппа представляет свое решение.

1  подгруппа.

В субботу в 5 «А» классе 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, ИЗО, математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – последний урок?

       2 подгруппа.

Путешественник хочет выехать на своей машине из города А,  посетить города В, С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? На рисунке схема путей, связывающих города. Какой из вариантов самый оптимальный?

                          

 

         3  подгруппа.

Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие 6 лыжников. Через какой промежуток времени все спортсмены будут на лыжне?

4  подгруппа.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть в квартет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

………………..

«Стой, братцы, стой!» — кричит Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

Сколькими различными способами могут сесть крыловские музыканты в один ряд?

         5 подгруппа.

Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.

Какие способы решения комбинаторных задач мы знаем?

Дерево вариантов, табличный, правило умножения.

Сравним эти способы.

Способ решения

Плюсы

Минусы

Дерево вариантов

Наглядность, возможность увидеть все варианты

Очень громоздкий и длительный, если много различных вариантов

Табличный

Наглядность, компактность, возможность увидеть все варианты

Невозможность решать задачи, в которых более двух составляющих одного события

Правило умножения

Компактность,

быстрота решения

«Не видно» самих вариантов, можно только просчитать их количество.

3) Выполнение упражнений

1. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

2. Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?

3. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили ее читать по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариантов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте?

4. Имеется ткань двух цветов: голубая  и зеленая – и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

         3) Самостоятельная работа.

 

 

1 вариант.

1. Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 5, 8, 3, если: а) цифры в числе не повторяются;

б) цифры могут повторяться.

2. В среду в 5 «Б» классе 5 уроков: русский, информатика, естествознание, ИЗО, иностранный. Cколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что информатика –первый урок?

2 вариант.

1. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 4, 9, 7, если: а) цифры в числе не повторяются;

б) цифры могут повторяться.

2. В среду в 5 «А» классе 5 уроков: русский, литература, естествознание, математика, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – второй урок?

 

а) Решить любые три задачи.

1. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Составьте дерево возможных вариантов

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

3. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

4. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

5. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем.

6. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

7. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

8. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.

Сколько различных вариантов завтрака может выбрать Вова?

         б) Составить синквейн.

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.

Комбинаторика

Интересная, непознанная.

Изучать, понимать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

                                                                           

Математика повсюду –
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

Итог занятия.

 Домашнее задание Составить комбинаторные задачи практического содержания


 

Комбинаторные задачи в ЕГЭ

Комбинаторные методы в ЕГЭ по информатике применяются для решения задачи №10 (бывшая В4). Рассмотрим решение типичных задач, с использованием комбинаторных приемов.

Решим задачу под номером В4 из демонстрационной версии ЕГЭ по информатике 2014 года.

Задача. Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет – один сигнал; в каком порядке идут цвета – существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти таких сигнальных ракет, если в запасе имеются ракеты трёх различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?

Решение.

Ракеты могут быть трех различных цветов, при этом в одной последовательности пять ракет. Значит, рассматривается выборка объема пять из трех элементов (n = 3, k = 5).

Определим комбинаторную схему. Два положения в условие задачи:

  • «в каком порядке идут цвета – существенно»;
  • «цвет ракет в последовательности может повторяться»;

указывают на то, что – это размещения с повторениями.

Ответ. 243

Решим задачу №10 из демоверсии ЕГЭ по информатике 2016 года.

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

Решение.

1) буква «П» появляется ровно 1 раз, значит она может находиться на одной из 5 позиций в слове.

2) буквы «И» и «Р» заполнят остальные 4 позиции. Рассмотрим выборки объема 4 из 2 элементов (k = 4, n = 2). Кодовые слова могут отличаться как порядком следования букв, так и составом, значит, комбинаторная схема – размещения с повторениями. Найдем число таких размещений:

3) применим правило произведения: 5 * 16 = 80

Ответ. 80

Типичная тренировочная задача №10 для подготовки к ЕГЭ по информатике.

Задача. Вася составляет 5-буквенные слова из четырехбуквенного алфавита {A, C, R, T}, причём буква А используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом, считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение.

1) пронумеруем позиции в слове, тогда варианты расположений букв «А» можно представить в качестве неупорядоченного выбора двух цифр из пяти. Значит, комбинаторная схема — сочетания без повторений

2) остальные допустимые символы будут занимать 3 позиции. Эти выборки объемом 3 из 3 элементов будут отличаться как порядком следования, так и набором символов. Очевидно, комбинаторная схема – размещения с повторениями.

3) применим правило произведения: 27 * 10 = 270

Ответ. 270

Примеры комбинаторных задач

Определение:

Комбинаторика — это раздел математики, который изучает, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

Пример.

На семейном шахматном турнире Ульяна, Ярослава, Архип и Захар сыграли друг с другом только по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Для краткости имена будем обозначать первой буквой.

Опишем состав партий, в которых принимала участие Ульяна. Получим 3 пары. Далее опишем состав партий, в которых участвовала Ярослава, но не принимала участия Ульяна. Так как пара Ульяна — Ярослава уже записана. Таким образом, получаем 2 новых пары. Запишем пары, в которые входит Архип, но не входят Ульяна и Ярослава. Получим только 1 пару. Других вариантов составления пар нет, так как все пары, куда входит Захар, уже составлены.

Итак, мы получили шесть различных пар, то есть было сыграно шесть партий.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Пример.

Определить, сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 2, 6, 8 и 9. При этом цифры в числе не должны повторяться.

Первой цифрой числа может быть любая из данных цифр. Поставим на первое место, например, цифру 2. Тогда на втором месте могут стоять цифры 6, 8 или 9. Если на втором месте стоит цифра 6, то на третьем соответственно могут быть цифры 8 или 9. Так мы получим 2 числа: 268 и 269.

Если на втором месте стоит цифра 8, то на третьем может быть 6 или 9. Также получим два числа.

И если на втором месте стоит 9, то третьей цифрой числа могут быть 6 или 8.

Аналогично можно расписать возможные варианты, если первой цифрой числа являются 6, 8 или 9.

Схему, которую мы построили при решении задачи, называют деревом возможных вариантов.

Получили 24 различных трёхзначных числа.

Можно было по-другому решить задачу. Рассуждая так: первую цифру мы выбираем четырьмя способами, вторую тремя, так как после выбора первой осталось три цифры. А третью — двумя. Получаем, что общее количество искомых трёхзначных чисел равно двадцати четырём.

В данном случаи, воспользовались комбинаторным правилом умножения.

Комбинаторное правило умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать  способами, после чего второй элемент можно выбрать  способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать  способами из оставшихся и так далее, то число способов, которыми могут быть выбраны k элементов, равно:

Пример.

На окружности отмечены 10 точек. Сколько можно провести незамкнутых не самопересекающихся девятизвенных линий с вершинами во всех этих точках?

Рассмотрим примеры линий, которые мы можем проводить. Возьмём некоторую точку. Чтобы все точки являлись вершинами ломанной, и эта линия была незамкнута и не самопересекающаяся, то второй точкой мы должны взять одну из соседних. Для удобства пронумеруем точки:

Чтобы найти количество различных таких линий, воспользуемся комбинаторным правилом умножения.

Первую точку мы можем выбрать 10 способами, вторую — 9, и так до девятой точки. Ну, а десятую точку мы выбираем 1 способом, так как она остаётся одна.

Вычислим количества линий:

Пример.

У маляра в наличии три банки с красками разного цвета. Ему нужно покрасить забор, состоящий из 10 досок так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов, и при этом были использованы краски всех трёх цветов. Сколькими способами он может выполнить поручение?

При выборе цвета для первой доски у нас будет три варианта. Тогда вторую доску мы сможем окрасить в один из двух оставшихся цветов. И так далее.

Тогда, пользуясь комбинаторным правилом умножения, получим, что для определения количества способов выполнения поручения, необходимо вычислить значение выражения:

Элементы комбинаторики. Комбинаторные задачи. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. Использование свойства факториала

Сложность: лёгкое

2
2. Выбор элемента из двух групп

Сложность: лёгкое

2
3. Выбор элемента из трёх групп

Сложность: лёгкое

1
4. Действия с факториалами

Сложность: среднее

3
5. Число сочетаний, выбор двух элементов из группы

Сложность: среднее

4
6. Составление меню

Сложность: среднее

3
7. Древовидная диаграмма, перестановки

Сложность: среднее

3
8. Древовидная диаграмма, число размещений и сочетаний

Сложность: среднее

2,5
9. Количество сумм цифр на игральных кубиках

Сложность: среднее

2
10. Вычисление числа треугольников

Сложность: сложное

3
11. Геометрическая комбинаторная задача

Сложность: сложное

4
12. Анализ заданной ситуации

Сложность: сложное

3

Комбинаторные задачи / Комбинаторика / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Комбинаторика
  5. Комбинаторные задачи

Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять», «сочетать») — это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос «Сколькими способами…?» или «Сколько вариантов..?«

Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?

Метод перебора

Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора — логику перебора.

Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник — овал — треугольник и прямоугольник — треугольник — овал.

Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал — прямоугольник  — треугольник и овал — треугольник — прямоугольник.

Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник — прямоугольник — овал и треугольник — овал — прямоугольник.

Итак, мы получили шесть возможных вариантов:

 

Ответ: 6 способов.

При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой  О, треугольник — Т, прямоугольник — П. Тогда решение будет выглядеть так:

Т  О  Т  П  О  П

О  Т  П  Т  П  О

П  П  О  О Т   Т

Дерево возможных вариантов

Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, «корень» которого обозначается «*». Построим данную схему для нашей задачи:  Для этого от «корня» проведем  три «ветки» — отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две «ветки» от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте,  проводим такое число «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной «ветке» от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:

Метод отрезков

Данный метод используется только для составления всевозможных пар. Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:

Необходимо ответить  на вопрос: » Сколько отрезков изображено на рисунке?». Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:

Соединим  данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:

Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.

Ответ: На рисунке 10 отрезков.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Случайные события. Вероятность случайного события

Комбинаторика

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 323, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 356, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 432, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 835, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 922, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1071, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 841, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1121, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 24, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 678, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 822, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1023, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1136, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 53, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 232, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 355, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 462, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 517, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 78, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 301, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Решение простых комбинаторных задач с помощью таблицы вариантов

Таблица вариантов для комбинаций из двух элементов

Допустим, мы бросаем два игральных кубика, и нас интересуют все комбинации, когда сумма выпавших чисел кратна 5.

Каждый из кубиков имеет 6 возможных «состояний»: 1,2,3,4,5,6.

Для того, чтобы описать все возможные комбинации двух кубиков, нужно составить таблицу вариантов:

Второй кубик
1 2 3 4 5 6
Первый кубик 1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66

Сумма выпавших чисел на кубиках кратна 5 в 7 случаях (ячейки таблицы закрашены). 2 = 3$ разными способами.

По правилу суммы у нас 3+3 = 6 способов для выбора.

Правило произведения: если элемент a можно выбрать m различными способами и независимо от него элемент b можно выбрать n различными способами, то все различные комбинации элементов «a и b» можно выбрать $m\cdot n$ способами.

И $\iff «\cdot»$

Например:

Сколько существует различных двузначных кодовых слов, состоящих из одной буквы И одной цифры, если разрешенные символы – это 5 букв «a,b,c,d,e» и 3 цифры «1,2,3»?

По правилу произведения число всех кодовых слов – всех возможных комбинаций: $m \cdot n = 5 \cdot 3 = 15$ слов.

Примеры

Пример 1. При составлении расписания завуч хочет на первый урок поставить алгебру или физику, а на второй – историю, географию или иностранный язык. Сколько существует вариантов расписания для первых двух уроков? Изобразите их с помощью таблицы вариантов.

Для первого урока есть m = 2 варианта.

Для второго урока n = 3 варианта.

По правилу произведения общее число вариантов для двух уроков

$mn = 2 \cdot 3 = 6$ вариантов.

2й урок

История

География

Иностранный язык

1й урок

Алгебра

Алгебра

История

Алгебра

География

Алгебра

Ин. язык

Физика

Физика

История

Физика

Геграфия

Физика

Ин. язык

Ответ: 6 вариантов

Пример 2. Из коробки с 12 фломастерами разного цвета один фломастер берет Коля, а за ним – один фломастер берет Петя. Сколько существует различных вариантов такого выбора фломастеров?

Перед Колей на выбор 12 фломастеров – у него m = 12 вариантов.

Перед Петей остаётся на выбор 11 фломастеров – у него n = 11 вариантов.

По правилу произведения общее число вариантов: $ mn = 12 \cdot 11 = 132$

Ответ: 132 варианта

Пример 3. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4,5, если а) цифры могут повторяться; б) цифры не повторяются.

а) цифры могут повторяться

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m=5 вариантов

В разряде десятков могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего n=6 вариантов

В разряде единиц могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего k=6 вариантов

По правилу произведения общее количество возможных трёхзначных чисел:

$$ mnk = 5 \cdot 6 \cdot 6 = 180 $$

б) цифры не повторяются

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m = 5 вариантов

В разряде десятков не цифра сотен, всего n = 5 вариантов

В разряде единиц не цифра десятков и не цифра сотен, всего k = 4 варианта

Всего $mnk = 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$

Ответ: а) 180; б) 100

Пример 4. Сколькими способами можно рассадить четырёх щенков по четырём углам комнаты?

У первого щенка $m_1 = 4$ варианта углов.

У второго щенка, т.к. один угол уже занят, остаётся $m_2 = 3$ варианта углов.

У третьего щенка, т.к. два угла уже заняты, остаётся $m_3 = 2$ варианта углов.

У четвертого щенка выбора нет, ему остался $m_4 = 1$ угол, без вариантов.

Общее количество способов по правилу произведения:

$$ m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

Ответ: 24 способа

Пример 5. Сколько существует способов занять 1,2 и 3 места на чемпионате, в котором участвуют 10 команд?

Для того, чтобы занять 1-е место существует $m_1 = 10$ претендентов.

Если 1-е место определено, для 2-го места остаётся $m_2 = 9$ претендентов.

Если 1-е и 2-е определено, для 3-го места остаётся $m_3 = 8$ претендентов.

Итого, по правилу произведения:

$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 720 способов

Что такое комбинаторная оптимизация?

Что такое комбинаторная оптимизация? Комбинаторная оптимизация — это процесс поиска максимумов (или минимумов) целевой функции F, областью определения которой является дискретная, но большая конфигурация пространстве (в отличие от N-мерного непрерывного пространства). Несколько простых примеров типичными задачами комбинаторной оптимизации являются:
  • Задача коммивояжера: учитывая (x, y) позиции N разных городах, найдите кратчайший путь, который проходит через каждый город ровно один раз.
  • Bin-Packing: задан набор из N объектов, каждый из которых имеет определенный размер s i , поместите их в как можно меньшее количество контейнеров (каждый размером B).
  • Целочисленное линейное программирование: максимизация заданной линейной комбинации набора целых чисел X 1 … X N при условии набора линейных ограничений каждого вида
      a 1 X 1 + . .. + a N X N
    • Job-shop Schedule: задан набор заданий, которые должны быть выполняться, и ограниченный набор инструментов, с помощью которых эти работы могут быть выполнено, найдите график того, какие работы должны быть выполнены, когда и с помощью каких инструментов это минимизирует общее количество времени до все работы выполнены.
    • Логическая выполнимость: присвойте значения набор логических переменных для удовлетворения заданного логического выражения. (Подходящей целевой функцией может быть количество удовлетворенных условий если выражение является формулой КНФ.)
    Пространство возможных решений обычно слишком велико для поиска исчерпывающе используя чистую грубую силу. В некоторых случаях проблемы может быть решена точно с помощью методов ветвей и границ. Однако в других случаях точные алгоритмы невозможны, и должны использоваться алгоритмы рандомизированного поиска, такие как: Большая часть области исследования операций связана с алгоритмы решения задач комбинаторной оптимизации.

    Дополнительная информация

    Несколько превосходных обзоров методов глобальной оптимизации доступны в Интернете; большинство из этих методов полезны для решение задач комбинаторной оптимизации. Вернуться к индексу глоссария

Глубокое обучение и комбинаторная оптимизация

Виртуальный семинар: В ответ на COVID-19 все участники будут присутствовать на этом семинаре виртуально через Zoom. Зарегистрированные на семинар получат ссылку на Zoom за несколько дней до начала семинара вместе с инструкциями по участию.Видеозапись сеансов будет доступна на веб-сайте IPAM .

Обзор семинара: В последние годы глубокое обучение значительно улучшило области компьютерного зрения, обработки естественного языка и распознавания речи. Помимо этих традиционных областей, глубокое обучение было распространено на квантовую химию, физику, нейробиологию, а в последнее время — на комбинаторную оптимизацию (КО). Хорошо известными задачами СО являются задача коммивояжера, задачи назначения, маршрутизация, планирование, байесовский поиск и планирование.CO в основном используется каждый день в финансах и управлении доходами, транспорте, производстве, цепочке поставок, государственной политике, разработке оборудования, вычислительных и информационных технологиях.

Большинство комбинаторных задач трудно решить, что часто приводит к эвристическим решениям, которые требуют многолетней исследовательской работы и значительных специальных знаний. Например, знаменитая задача TSP изучается уже более 80 лет, а лучший решатель использует 30-летний опыт теоретических разработок, структур данных и эвристики компьютерных наук.За последние несколько лет глубокое обучение разработало некоторые предварительные, но многообещающие подходы к решению классических задач CO, таких как TSP, MaxCut, минимальное покрытие вершин, ранец, квадратичная задача назначения и задачи маршрутизации транспортных средств. DL особенно привлекателен для решения проблем CO благодаря его высокой гибкости, приближенному характеру и парадигме самообучения. Другими словами, ГО обладает потенциалом для изучения универсальных высококачественных алгоритмов и, следовательно, может привести к прорыву в традиционном CO, где алгоритмы создаются вручную.С другой стороны, синергия между алгоритмами DL и CO может привести к возможности взять лучшее из двух областей и получить новые алгоритмы, особенно для прикладных задач.

Семинар соберет экспертов в области математики (оптимизация, теория графов, разреженность, комбинаторика, статистика), CO (задачи назначения, маршрутизация, планирование, байесовский поиск, планирование), машинного обучения (глубокое обучение, контролируемое, самоконтролируемое и обучение с подкреплением) и конкретные прикладные области (например,грамм. финансы, транспорт, аппаратное обеспечение, вычислительные и информационные технологии), чтобы установить текущее состояние этих новых технологий и обсудить следующие направления. Кроме того, такое обобщение методов глубокого обучения на проблемы КО также будет способствовать математическому анализу свойств этих систем обучения, таких как обобщение и перенос, стохастическая оптимизация и динамическое прогнозирование, которые обеспечивают успех этих методов.

Флаер программы PDF

%PDF-1.4 % 5 0 объект > эндообъект 8 0 объект (Предисловие) эндообъект 9 0 объект > эндообъект 12 0 объект (Введение) эндообъект 13 0 объект > эндообъект 16 0 объект (Обзор) эндообъект 17 0 объект > эндообъект 20 0 объект (Проблема вершинного покрытия) эндообъект 21 0 объект > эндообъект 24 0 объект (Определения) эндообъект 25 0 объект > эндообъект 28 0 объект (Алгоритм) эндообъект 29 0 объект > эндообъект 32 0 объект (Приближение дерева Штейнера) эндообъект 33 0 объект > эндообъект 36 0 объект (Аппроксимация задачи метрического дерева Штейнера) эндообъект 37 0 объект > эндообъект 40 0 объект (Метрика по сравнению с общим деревом Штейнера) эндообъект 41 0 объект > эндообъект 44 0 объект (TSP и эйлеровы циклы) эндообъект 45 0 объект > эндообъект 48 0 объект (Задача коммивояжера) эндообъект 49 0 объект > эндообъект 52 0 объект (2-приближенный алгоритм) эндообъект 53 0 объект > эндообъект 56 0 объект (эйлеровы циклы) эндообъект 57 0 объект > эндообъект 60 0 объект (Эйлеровы циклы и приближение TSP) эндообъект 61 0 объект > эндообъект 64 0 объект (TSP и установить обложку) эндообъект 65 0 объект > эндообъект 68 0 объект (Лучшее приближение задачи коммивояжера) эндообъект 69 0 объект > эндообъект 72 0 объект (Проблема обложки набора) эндообъект 73 0 объект > эндообъект 76 0 объект (Установить обложку по сравнению с обложкой вершины) эндообъект 77 0 объект > эндообъект 80 0 объект (Линейное программирование) эндообъект 81 0 объект > эндообъект 84 0 объект (Введение в линейное программирование) эндообъект 85 0 объект > эндообъект 88 0 объект (Геометрическая интерпретация) эндообъект 89 0 объект > эндообъект 92 0 объект (2-мерный пример) эндообъект 93 0 объект > эндообъект 96 0 объект (трехмерный пример) эндообъект 97 0 объект > эндообъект 100 0 объект (Общий случай) эндообъект 101 0 объект > эндообъект 104 0 объект (Алгоритмы полиномиального времени для линейного программирования) эндообъект 105 0 объект > эндообъект 108 0 объект (Резюме) эндообъект 109 0 объект > эндообъект 112 0 объект (Стандартная форма для линейных программ) эндообъект 113 0 объект > эндообъект 116 0 объект (Двойственность линейного программирования) эндообъект 117 0 объект > эндообъект 120 0 объект (Двойственность линейной программы) эндообъект 121 0 объект > эндообъект 124 0 объект (Округление линейных программ) эндообъект 125 0 объект > эндообъект 128 0 объект (Расслабление линейного программирования) эндообъект 129 0 объект > эндообъект 132 0 объект (Задача о взвешенном вершинном покрытии) эндообъект 133 0 объект > эндообъект 136 0 объект (Линейное программирование релаксации вершинного покрытия) эндообъект 137 0 объект > эндообъект 140 0 объект (Двойная релаксация LP) эндообъект 141 0 объект > эндообъект 144 0 объект (Линейное время 2-аппроксимация взвешенного вершинного покрытия) эндообъект 145 0 объект > эндообъект 148 0 объект (Случайное округление) эндообъект 149 0 объект > эндообъект 152 0 объект (Линейное программирование релаксации покрытия множества) эндообъект 153 0 объект > эндообъект 156 0 объект (Двойник расслабления) эндообъект 157 0 объект > эндообъект 160 0 объект (максимальный расход) эндообъект 161 0 объект > эндообъект 164 0 объект (Потоки в сетях) эндообъект 165 0 объект > эндообъект 168 0 объект (Самый толстый путь) эндообъект 169 0 объект > эндообъект 172 0 объект (Эвристика «самого толстого» увеличивающего пути) эндообъект 173 0 объект > эндообъект 176 0 объект (алгоритм Дейкстры) эндообъект 177 0 объект > эндообъект 180 0 объект (Адаптация для поиска самого толстого пути) эндообъект 181 0 объект > эндообъект 184 0 объект (Анализ эвристики самого толстого увеличивающего пути) эндообъект 185 0 объект > эндообъект 188 0 объект (алгоритмы сильного полиномиального времени) эндообъект 189 0 объект > эндообъект 192 0 объект (Разложение потока) эндообъект 193 0 объект > эндообъект 196 0 объект (Алгоритм Эдмондса-Карпа) эндообъект 197 0 объект > эндообъект 200 0 объект (Алгоритм Push-Relabel) эндообъект 201 0 объект > эндообъект 204 0 объект (подход Push-Relabel) эндообъект 205 0 объект > эндообъект 208 0 объект (Анализ алгоритма Push-Relabel) эндообъект 209 0 объект > эндообъект 212 0 объект (улучшенное время работы) эндообъект 213 0 объект > эндообъект 216 0 объект (пограничное подключение) эндообъект 217 0 объект > эндообъект 220 0 объект (Global Min-Cut и Edge-Connectivity) эндообъект 221 0 объект > эндообъект 224 0 объект (Уменьшение до максимального расхода) эндообъект 225 0 объект > эндообъект 228 0 объект (Алгоритм сокращения границ) эндообъект 229 0 объект > эндообъект 232 0 объект (Алгоритмы в двудольных графах) эндообъект 233 0 объект > эндообъект 236 0 объект (Максимальное совпадение в двудольных графах) эндообъект 237 0 объект > эндообъект 240 0 объект (Совершенные соответствия в двудольных графах) эндообъект 241 0 объект > эндообъект 244 0 объект (Покрытие вершин в двудольных графах) эндообъект 245 0 объект > эндообъект 248 0 объект (Линейная программа максимального потока) эндообъект 249 0 объект > эндообъект 252 0 объект (LP «Максимальный поток» и его двойник) эндообъект 253 0 объект > эндообъект 256 0 объект (Многотоварный поток) эндообъект 257 0 объект > эндообъект 260 0 объект (Обобщения задачи максимального потока) эндообъект 261 0 объект > эндообъект 264 0 объект (Двойная задача о дробном мультитоварном потоке) эндообъект 265 0 объект > эндообъект 268 0 объект (Задача о самом разреженном разрезе) эндообъект 269 ​​0 объект > эндообъект 272 0 объект (онлайн-алгоритмы) эндообъект 273 0 объект > эндообъект 276 0 объект (Онлайн-алгоритмы и конкурентный анализ) эндообъект 277 0 объект > эндообъект 280 0 объект (Проблема секретаря) эндообъект 281 0 объект > эндообъект 284 0 объект (пейджинг и кэширование) эндообъект 285 0 объект > эндообъект 288 0 объект (Используя совет эксперта) эндообъект 289 0 объект > эндообъект 292 0 объект (Упрощенная настройка) эндообъект 293 0 объект > эндообъект 296 0 объект (Общий результат) эндообъект 297 0 объект > эндообъект 300 0 объект (Приложения) эндообъект 301 0 объект > эндообъект 307 0 объект > поток xuMO0>bMRn}EZ I!q8\EF2B(9g 2. tǛ6mrttD(2a„ϋl

Оптимизация: печально известный путь к структурированной неэффективности и переходу к комбинаторной оптимизации и машинному обучению | by Meet Patel

Неэффективность и ограничения, с которыми сталкиваются компании, использующие традиционные методы оптимизации, и как комбинаторная оптимизация может стать будущим логистики

Фото Маркуса Списке на Unsplash

Название статьи очень оксюморонно: оптимизация и неэффективность в одном контексте.Но это очень верно, если взглянуть на тенденции и текущую практику в логистической отрасли. В этой статье мы собираемся обсудить, как текущая практика оптимизации приводит к значительной неэффективности организаций. И как крупные фирмы (такие как Amazon, Shopify, Uber) используют преимущества достижений в области комбинаторной/математической оптимизации для выявления новых возможностей и победы в конкурентной борьбе за небольшую маржу, создавая небольшое пространство для маневра для получения прибыли. .

Чистая математика в своем роде, поэзия логической мысли.

-Альберт Эйнштейн

Несколько месяцев назад я обсуждал с моим другом идею математической формулировки для кухни, которая может быть достаточно эффективной, чтобы приготовить 1500 совершенно разных рецептов (не только овощи, соусы и сыр на хлебе или булочка), с менее чем 100 ингредиентами в инвентаре, с использованием минимальной кухонной техники. Мало того, в отличие от других ресторанов, он не опирается на концепцию замороженных продуктов, а только на свежие продукты.И может быть подан менее чем за 10 минут с нуля. Является ли это возможным? Определенно. Это можно сделать с помощью нескольких модификаций задачи коммивояжера (TSP). Таким образом, математика обладает огромными возможностями для преобразования физических атрибутов и ограничений в вычислительный язык. Не только в ресторанной индустрии, математика играет неотъемлемую роль в оптимизации и инновациях в любом другом секторе.

Комбинаторная оптимизация — это раздел математической оптимизации, который занимается поиском оптимальных решений из конечных наборов переменных и ограничений. Применение комбинаторной оптимизации не ограничивается поиском кратчайшего пути, планированием экипажа или маршрутизации, но и во всех других областях, таких как поиск последовательности ДНК и отслеживание глобального потепления.

Источник

Насколько нам известно, существует множество алгоритмов для решения задач оптимизации. Но все они могут быть классифицированы не более чем двумя группами, насколько я знаю: Аппроксимация (эвристика, метаэвристика) и E xact-алгоритмы , широко известные как NP-трудные задачи.Методы аппроксимации используют ближайший сосед, а алгоритмы кластеризации для поиска оптимального решения ни в коем случае не гарантируют оптимальность, даже после добавления слоя метаэвристических методов, таких как имитация отжига и генетические алгоритмы. Мелкие проблемы могут быть исключением, но большую часть времени вы будете обедать в ресторане и гулять в парке (неэффективность). С другой стороны, точные алгоритмы гарантированно найдут оптимальное решение. Так просто, используйте точные методы и сделайте всех счастливыми.К сожалению, это не так просто. Вам нужно будет заплатить больше за старый ром. С точки зрения вычислительного времени и интеллектуального анализа данных.

Около 5 миллионов лет назад, когда промышленность начала интегрировать вычислительную эффективность в свои операции, они смогли решить алгоритмы аппроксимации за обедом. В то время как для решения точных алгоритмов им нужно будет отправить своих сотрудников на сафари в бизнес-классе с телескопом, если они хотят понаблюдать за небом. Потому что в это время им было нечего делать.Но, как вы знаете, время продолжает идти, если мы не путешествуем быстрее света, не строим православие и не создаем комфорт для всех. И способность иметь дело с этим ортодоксальным различием между процветающей и выживающей промышленностью. Как уже упоминалось, теперь с большей вычислительной эффективностью, более продвинутыми методами, такими как машинное обучение, и ученым, решающим точные алгоритмы за приемлемое время, намного проще, чем раньше.

В таблице ниже представлены преимущества и недостатки использования точных алгоритмов по сравнению с коммерческими программами оптимизации.

Сравнение коммерческой оптимизации и специализированных алгоритмов

Давайте посмотрим на разницу между приближенным и точным алгоритмами, выводимыми только для 10 узлов. Алгоритмы аппроксимации, разработанные для этой задачи, очень эффективны, они находят начальное решение с использованием ближайшего соседа и развертывают это решение в алгоритмах имитации отжига для дальнейшей оптимизации решения. Тем не менее, решение по-прежнему не соответствует точному алгоритму. В обеих задачах используется один и тот же набор данных, одни и те же ограничения и одни и те же физические атрибуты.Это всего около 10. Подумайте о задаче, где у нас есть 1000 узлов. Решение отличается значительно, иногда на 20–35%. Вот где это порождает неэффективность в организации. Так же, как FYI, здесь мы обсуждаем проблему маршрутизации. Но могут быть и другие проблемы, которые можно решить с помощью алгоритмов. Во всех задачах можно заметить одну и ту же разницу.

Для снабжения продуктами питания в 10 ресторанах используются разные способы. Как показано ниже.

Сравнение между эвристикой, метаэвристикой и точными алгоритмами (MILP)

LP занял 250.8 секунд и 45,1 Мб памяти процессора для решения модели. Однако время быстро увеличивается по мере увеличения количества переменных в модели. Но, тем не менее, LP дает нам лучшее решение, как и ожидалось.

Пример окна оптимизации Gurobi (Изображение автора)

Короче говоря, большинство отраслей не адаптировались к изменениям со временем, понимая прогресс в технологии, более или менее инвестируя в работу с программным обеспечением, а не в его разработку.

Я работал с отцом в нашей автомобильной мастерской.И по своей природе мой отец создал опытный процесс, основанный на опыте, например, возвращение инструментов на место, где они были подобраны, наличие запланированного времени забора автомобиля и доставки и т. д. Это значительно помогло, поскольку мы можем вовремя закрыть мастерскую и можем легко оценить время выполнения. И иногда, когда я задаю отцу вопрос, связанный с определенной деятельностью, у него всегда есть правдоподобное объяснение, почему она выполняется определенным образом. Могу сказать, что он ведет мастерскую очень эффективно. Правильный расчет количества клиентов, ремонт и мойка, идеальное прогнозирование времени работы и т. д.Все, что мы хотим сказать, это то, что самое оптимальное решение заключается не в алгоритмах, а в опыте. Алгоритмы — это всего лишь инструмент, в котором человеческая способность обрабатывать входные данные прекращается, и в дело вступают компьютеры. Это не значит, что он может заменить роль опыта и логических способностей. И я обсуждаю не что-то нестандартное, а корни машинного обучения. В котором на основе данных обучения машина начинает накапливать опыт и логические способности и движется к более точному и оптимальному решению с размером данных.

Короче говоря, опыт очень важен. И каждая отрасль имеет свой уникальный опыт, их стиль выполнения операций различен, все они производят разные виды отходов, их технологический процесс различен, и, самое главное, их культура работы различна. Удивительно, что с таким большим разнообразием их повседневных операций отрасли по-прежнему сильно полагаются на коммерческое программное обеспечение для оптимизации.

В последние годы с увеличением вычислительных ресурсов машинное обучение развивается феноменальными темпами.Мы все слышали истории успеха Alpha Zero, модели искусственного интеллекта, победившей чемпионов мира по шахматам, и о том, как люди-шахматисты не могут победить шахматные движки, потому что они вычисляют миллионы позиций в секунду, а возможности человеческого мышления ограничены по сравнению с движком. Точно так же недавние исследования в области комбинаторной оптимизации показывают, что машинное обучение может лучше изучать и разрабатывать эвристики, чем традиционные эвристики, разработанные людьми.

Общей проблемой, с которой сталкивается любая транспортная компания, является поиск оптимального маршрута доставки товаров в несколько мест с ограниченной вместимостью транспортных средств.Эта задача комбинаторной оптимизации называется задачей маршрутизации транспортных средств. Определение оптимального решения VRP является задачей NP-сложного типа, которая является одной из самых сложных задач оптимизации. Математические подходы, такие как линейное программирование, алгоритмы ветвей и границ, можно использовать для поиска оптимального решения небольших задач. Из-за сложности традиционные подходы к оптимизации не могут использоваться для решения крупномасштабных задач. Эвристический подход можно использовать для решения больших задач в разумных пределах, но, поскольку эвристики основаны на аппроксимациях, могут быть найдены только решения, близкие к оптимальным.

Когда дело доходит до использования точных алгоритмов, интеллектуальный анализ данных становится действительно дорогим. В случае проблем с маршрутизацией запрос данных с платформ API матрицы расстояний (используя Google API, ARCGIS) и этап подготовки данных является более дорогим, ручным и утомительным, чем кажется. С другой стороны, программное обеспечение для оптимизации хорошо с этим справляется. Стандартной практикой является запуск решения с использованием формулы гаверсинуса и корректировка до точной.

Отличный графический интерфейс пользователя (GUI) обеспечивает большую гибкость в повседневном управлении и снижает объем ручных операций для коммерческих платформ оптимизации.В то же время вам нужно будет терпеливо и осторожно использовать точные методы, когда вы пишете код в программном обеспечении, таком как Python, GUSEK или AMPL, и экспортируете его в Optimization Solver, например Gurobi и CPLEX. Кроме того, анализируйте выходные данные в большей степени вручную, чем простой экспорт данных. Точные алгоритмы, безусловно, имеют большое преимущество, поскольку они соответствуют потребностям любой организации и имеют возможность учитывать особые атрибуты отраслевой практики, в отличие от коммерческих решений.

Оба подхода имеют определенные преимущества, которые дополняют друг друга.Подходящие комбинации точных алгоритмов и метаэвристики могут значительно выиграть от синергии и часто демонстрируют значительно более высокую производительность в отношении качества решения и времени.

Современные алгоритмы полагаются на созданную вручную эвристику для поиска почти оптимальных решений для решения крупномасштабных задач. Для небольших компаний Традиционные эвристические подходы, созданные вручную, слишком дороги и требуют много времени для разработки. Вы понимаете, что ни один метод сам по себе не может удовлетворить потребности какой-либо организации? Каково решение тогда? И как некоторые крупные фирмы и их инженеры находят промежуточные решения, соответствующие потребностям их организации.Мы можем назвать их аутсайдерами, которые конкурируют на основе разных стратегий, основных ценностей, отклоняясь от стандартной отраслевой практики, чтобы смотреть на проблемы и находить решения.

Эта проблема может быть решена, если мы сможем разрабатывать эвристики без вмешательства человека. Нейронные сети и обучение с подкреплением могут предложить бесконечные возможности для идеи разработки эвристических алгоритмов без вмешательства человека. Машинное обучение и оптимизация очень тесно связаны. Основной принцип машинного обучения работает на минимизации функции потерь, которая может быть стоимостью или расстоянием, что то же самое в случае задачи оптимизации.Достижения в области комбинаторной оптимизации, когда машинное обучение сочетается с метаэвристическими подходами, такими как запретный поиск и LNS, для изучения и разработки эвристик.

Использование машинной модели, которая учится разрабатывать собственные эвристики, вместо других традиционных эвристических подходов, может дать компаниям значительное преимущество, поскольку нет необходимости разрабатывать эвристики ручной работы, и эта модель после обучения может решать очень большие задачи, т. е. 1000 плюс места доставки и мгновенное предоставление оптимальных решений, для решения которых традиционными методами требуются часы.

На изображении ниже показана разница в оптимальном расстоянии для 20 клиентов.

Сравнение между алгоритмами сохранения и моделями машинного обучения (изображение автора)

Можно увидеть, что модель машинного обучения более эффективна и улучшение почти на 20%. В таблице ниже показана разница в оптимальности при тестировании с другими экземплярами.

Доказано, что эвристика, разработанная с помощью моделей машинного обучения, показывает улучшение примерно на 10–30% по сравнению с традиционным эвристическим подходом, таким как алгоритм сбережений, и некоторыми лучшими коммерческими программами, такими как LKH-3.Модели машинного обучения можно использовать для решения других задач комбинаторной оптимизации, таких как планирование заданий, задачи назначения, которые открывают безграничные возможности.

Традиционная эвристика имеет много ограничений с точки зрения оптимизации, изменчивости и адаптивности. Как и в любой другой области, сейчас самое подходящее время для логистической отрасли начать переход от традиционного коммерческого программного обеспечения для оптимизации и краткосрочной выгоды к долгосрочным рассрочкам, эпохе машинного обучения и искусственного интеллекта.

Эта статья написана в сотрудничестве с Джасвантом Бадвелу и Meet Patel. Если вы хотите больше обсудить эту тему, не стесняйтесь связаться с Meet или Jaswanth в LinkedIn.

Комбинаторные задачи | СпрингерЛинк

‘) var head = document.getElementsByTagName(«head»)[0] вар скрипт = документ.создатьЭлемент(«скрипт») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» script.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка. querySelector(«.Цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») document.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.селектор запросов(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») toggle.addEventListener («щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный переключать. setAttribute(«расширенная ария», !расширенная) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаOption.classList.remove(«расширенный») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = окно.выборка && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Modal : ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) модальный. domEl.addEventListener(«закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.перехват формы отправки ( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { form.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма. setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.представить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) document.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { если (документ.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { событие. preventDefault() документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { var buyboxWidth = buybox.смещениеШирина ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») var form = option.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключать.щелчок() } еще { toggle. setAttribute («ария-расширенная», «ложь») form.hidden = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Задачи комбинаторной оптимизации | Лаборатория анализа и архитектуры систем

Задача комбинаторной оптимизации (COP) состоит в поиске решения в дискретном множестве (допустимом множестве) таким образом, что оптимизируется (возможно, многомерная) функция, вклады команды могут быть помечены в соответствии с рассматриваемой спецификацией допустимого множества. .Одной из целей команды является изучение проблем, относящихся к категориям, указанным ниже, чтобы, в конечном счете, предоставить эффективные инструменты для их оптимального решения. На практике возникающие проблемы часто объединяют две или более подзадачи, например интегрированное планирование производства и проблемы транспортировки. Группа ROC проводит исследования в следующих COP:

 

Планирование энергоемких работ на параллельных машинах

Проблемы планирования набор задач может быть позиционирован во времени в условиях временных ограничений (приоритеты, даты выпуска, крайние сроки) и, возможно, с использованием ограниченных ресурсов.Команда рассматривает различные контексты планирования (машинное планирование, планирование проектов с ограниченными ресурсами) и цели (срок выполнения, максимальное опоздание, справедливость, общее время выполнения). Команда предлагает алгоритмы распространения ограничений ресурсов, компактные и расширенные формулировки MILP, метаэвристики, а также исследования сложности и специальные алгоритмы решения.
Особое внимание также уделяется надежным и многоагентным задачам.

Некоторые публикации по задачам планирования

 

Распределение отражателей и позиционирование луча для спутников связи

Задачи распределения ресурсов

Выполнимое множество или с уже установленным расписанием.Цель состоит в том, чтобы минимизировать функцию стоимости назначения с учетом различных ограничений. Сюда входят проблемы с присвоением частот, составление расписаний сотрудников, планирование производства, распределение энергии, проблемы, подобные рюкзаку… Группа в основном рассматривает подходы к решению, основанные на формулировках CSP и/или MILP. Гибридные методы также разрабатываются для решения сложных интегрированных задач распределения ресурсов и планирования.

Некоторые публикации по проблемам распределения ресурсов , форма, временные окна и т. д.Помимо классических целей время/расстояние, команда рассматривает другие цели, возможно, в многоцелевом контексте, например, связанные с мультимодальностью, справедливостью, потреблением энергии. Команда рассматривает подходы MILP, методы разделения и ценообразования, а также метаэвристику, уделяя особое внимание многоцелевым задачам маршрутизации транспортных средств.

Некоторые публикации по задачам маршрутизации транспортных средств

Задача раскраски графа присвоение числовых значений компонентам графа (цвета, потенциалы).Типичные проблемы в этой области (кроме проблем планирования и маршрутизации) включают проблемы раскраски графа, проблемы ограниченного кратчайшего пути, проблемы разделения. Команда предлагает алгоритмы маркировки для многокритериальных мультимодальных задач поиска кратчайших путей, исследования сложности и структурных свойств для идентификации кодов в графах, задач разбиения и раскраски.

Некоторые публикации по задачам на графах.

границ | Машинное обучение улучшает вычисления и повышает надежность в задачах дискретной комбинаторной оптимизации

1.

Введение

Дискретная комбинаторная оптимизация — это тема прикладной математики и компьютерных наук. Эта тема состоит в поиске оптимальной комбинации всех вовлеченных предметов в системе обучения. Когда изучается система реального мира, каждый ее предмет характеризуется вектором измерений. Этот ансамбль векторов измерения используется для определения интересующей задачи дискретной комбинаторной оптимизации. Среди многих из этих задач две хорошо известные задачи дискретной комбинаторной оптимизации: задача о назначениях (AP) и задача коммивояжера (TSP).Общая задача о назначениях [1–3] определяется на двудольной матрице n × n , представляющей систему, состоящую из n субъектов, каждый из которых характеризуется n -мерным вектором стоимости выполнения n различных задания. В то время как задача коммивояжера определяется в общем виде на симметричной матрице расстояний между всеми «городами». Ищется оптимальный маршрут коммивояжера, замкнутый одиночный контур группы городов в виде многоугольника, минимизирующий его периметр [4–8].

Матрица данных, на которой определяются задачи комбинаторной оптимизации, считается детерминированной, как и ее оптимальное решение. Стоит отметить, что эта детерминистская точка зрения на матрицу данных является экстремальной концепцией, широко используемой в классической литературе по прикладной математике и информатике. Поскольку схемы жадного перебора обычно неприменимы при больших размерах системы, многие алгоритмы были точно разработаны и тщательно изучены с точки зрения математической эффективности и вычислительной сложности.В последнее время в теории случайных матриц математики и теоретической статистической физики [9–11] матрица данных представляет собой реализацию случайной матрицы. Другими словами, идея матрицы данных просто заменяется чистым массивом случайных величин. Такой случайной матрицей может быть либо унитарная матрица [9], произведение которой с собственной транспонированной матрицей равно единичной, либо просто состоящая из полностью независимых случайных величин. Аналогичным образом рассматриваются и изучаются проблема случайных назначений [12–14] и случайно сгенерированные города для TSP [15, 16] или теории случайных графов [17, 18].

Теория случайных матриц в настоящее время стала важной темой в математике, статистике и физике. В новом виде статистической механики, основанной на теории, реализация системы не имеет значения [19]. То есть понятие ансамбля микросостояний системы уже не является существенным, поскольку предполагается, что механизм распределения, отвечающий за формирование матрицы данных, известен. Любые специфические особенности, наблюдаемые в матрице данных, становятся стохастическим шумом, и что существенно, так это закономерности усреднения, возникающие в результате предположений о распределении.Таким образом, такая полная случайная концепция матрицы данных рассматривается как еще одна крайняя точка зрения. Чаще всего его принимают в первую очередь для теоретических разработок, а не для практических и реальных полезностей.

В реальных системах измерения, содержащиеся в матрицах данных, вероятно, подвержены внутренним изменениям или даже ошибкам. Следовательно, выгодно использовать наблюдаемую матрицу данных как микросостояние системы в момент времени исследования. В задаче о назначении микросостояние можно представить, расположив предметы и задачи по осям строк и столбцов соответственно.Конечно, такое микросостояние инвариантно по отношению к перестановкам строк и столбцов. Когда похожие предметы и похожие задачи группируются вместе, тогда на матричной решетке обнаруживаются блочные паттерны. Ясно, что такие паттерны блоков не имеют ничего общего ни с определением задачи о назначениях, ни с ее алгоритмическим оптимальным решением. Но разве такие шаблоны блоков явно не отображают определенную глобальную информацию о рассматриваемой системе?

Как и в TSP, симметричная матрица расстояний представляет собой микросостояние изучаемой системы.Предположим, что все вовлеченные города встроены в географическую геометрию, то есть некоторые города ближе к другим городам, но дальше от других. Когда перестановка встраивается с такой геометрической информацией, это опять же поможет выявить блочные шаблоны в матрице расстояний. Такие шаблоны блоков не изменят проблему коммивояжера и не повлияют на ее оптимальное решение. Тем не менее, не должна ли глобальная информация такой системы предоставлять дополнительные и различные аспекты, касающиеся TSP?

В этой статье мы рассматриваем и обсуждаем задачи дискретной комбинаторной оптимизации с точки зрения информационного содержания системы.В частности, мы пытаемся ответить на следующий вопрос: могут ли алгоритмы машинного обучения извлекать глобальное информационное содержание системы и повышать эффективность задач комбинаторной оптимизации? Здесь «информационное содержание системы» относится к паттернам, относящимся к макроскопическому состоянию системы с самой низкой энергией, которое контрастирует с ансамблем микроскопических состояний системы. Принцип статистической физики подтверждает, что любое микроскопическое состояние должно соответствовать макроскопическому состоянию системы. Хотя неявная природа этого макросостояния не позволяет ему играть какую-либо роль в определении конкретной задачи дискретной комбинаторной оптимизации, тем не менее многие из его информационных шаблонов действительно поддаются вычислению с помощью алгоритмов машинного обучения.Мы демонстрируем, что информационное наполнение системы актуально и важно.

Парадигма машинного обучения, используемая здесь для построения блочных шаблонов на матричной решетке, называется механикой данных (DM), разработанной в серии статей [20–23]. Такие шаблоны блоков действительно являются многомасштабными в том смысле, что они обрамлены двумя ультраметрическими деревьями на осях строк и столбцов соответственно. Такие многомасштабные блочные паттерны составляют детерминированные структуры, в то время как равномерная случайность внутри каждого основного блока совместно составляет стохастические структуры.Связь этих двух типов структур называется геометрией связи. Эта концепция матрицы данных находится прямо посередине двух крайних точек зрения: полной детерминированности, с одной стороны, и полной случайности, с другой стороны. На самом деле такая концепция согласуется с информационным наполнением физической системы [24] и в то же время является двумерным расширением колмогоровской сложности [25, 26]. Главным достоинством такой геометрии связи является ее способность имитировать наблюдаемую матрицу данных, сохраняя при этом одни и те же детерминированные и стохастические структуры в каждой копии мимикрии.Следовательно, мимикрия — это микросостояние, а геометрия связи предписывает макросостояние системы. Ансамбль микросостояний позволил бы нам оценить практичность и надежность оптимального решения. На самом деле эти два свойства становятся видимыми через шаблоны блоков. Далее такой ансамбль позволяет ответить на естественный вопрос: можно ли модифицировать и улучшить неустойчивое оптимальное решение?

Кроме того, интуитивно понятно и очевидно, что алгоритмические вычисления можно сделать более эффективными, приняв блочные шаблоны в этих двух системах.Тема, лежащая в основе разработанных здесь вычислительных алгоритмов, — «разделяй и властвуй». Хотя этот тип управляемого данными подхода является новым для комбинаторной оптимизации, аналогичная идея недавно использовалась в машинном обучении для решения задач непрерывной оптимизации. В этих задачах целевая функция может быть записана как сумма потерь, определенных на каждой обучающей выборке, и для ускорения процедуры оптимизации было предложено семейство алгоритмов «разделяй и властвуй». Основная идея этих алгоритмов состоит в том, чтобы разделить проблему на более мелкие подзадачи путем кластеризации данных, чтобы каждую подзадачу можно было решить независимо и эффективно.Среди них Hsieh et al. [27] обсуждали принцип «разделяй и властвуй» для ядерных машин опорных векторов (SVM), Hsieh et al. [28] применили его для оценки графической модели, Si et al. [29] применили алгоритм обнаружения сообщества для ускорения разложения по сингулярным числам разреженных графов, а Mackey et al. [30] использовали алгоритм матричной декомпозиции. Хотя наша статья полностью отличается от этих работ, интересно видеть, что парадигма, управляемая данными, важна не только для дискретной оптимизации, но и полезна для непрерывной оптимизации, и мы ожидаем, что подобная идея может быть использована во многих других задачах.

В конце этого раздела мы делаем последнее замечание относительно алгоритмических вычислений при имитации. На данном этапе в литературе доступны алгоритмы, которые могут эффективно выполнять поблочную однородность с учетом последовательностей сумм строк и столбцов (или степеней) для бинарных матриц [31]. Для взвешенных матриц генеративные алгоритмы, такие как предложенные в Chen et al. [32] и Барвинок [33], добиваются ограничения последовательностей сумм строк и столбцов. Следует отметить, что эти алгоритмы критически не удовлетворяют критериям алгоритмической достаточности.которые относятся к ограничениям двух последовательностей эмпирических распределений строк и столбцов. Алгоритм, предназначенный для достижения этого критерия, недавно разработан и опубликован в Fushing et al. [23]. Этот недавно разработанный алгоритм будет дан после изложения основных идей DM для полноты и удобства.

2. Механика данных

Пусть наблюдаемая матрица размером m × n обозначается как M0a с верхним индексом a ∈ { AP, TSP }. Две матрицы данных являются квадратными, то есть м = n . Один для AP асимметричен, поэтому это двусторонняя сеть. Сеть для TSP симметрична, поэтому это ненаправленная сеть. Далее, пусть U m и V n — группы перестановок на осях строк и столбцов соответственно. Перестановка на оси строк в U m обозначается как σ = (σ(1), σ(2), …σ( m )), а элемент V n обозначается как π = (π(1), π(2), …π( м )).Механика данных для вычисления геометрии связи на M0a состоит из серии вычислительных алгоритмов. За подробными техническими разработками читатели могут обращаться к оригинальным ссылкам [22, 23]. Здесь мы даем краткий обзор, начиная с его основного устройства, называемого Data Cloud Geometry [20, 21].

2.1. Алгоритм геометрии облака данных (DCG)

1 [Цель:] Целью алгоритмических вычислений DCG является построение ультраметрического дерева на основе матрицы расстояний, которая либо сама по себе является матрицей данных, как в TSP, либо получена из попарных векторов строк или столбцов M0a с помощью эмпирической меры. .Обозначим общую матрицу расстояний как D = [ d ij ].

2 [Матрица подобия с регулируемой температурой:] Преобразование D a в матрицу подобия с регулируемой температурой через тепловое ядро ​​S[T]=[e-dij/T]. Маленький T увеличил бы различия между { d ij }, в то время как большой T проигнорировал бы это. Здесь T — параметр масштабирования для объединения узлов в основные кластеры или конгломераты.Это масштабирующее устройство действует подобно настройке разрешения в микроскопе для просмотра отдельных структур с разным разрешением.

3 [Регулируемые марковские случайные блуждания:] Матрица подобия S[ T ] далее преобразуется в матрицу вероятности перехода для управления марковским случайным блужданием в пространстве узлов. Чтобы эффективно и полностью исследовать все пространство узлов, наше регулируемое марковское случайное блуждание специально разработано путем удаления узла из пространства узлов всякий раз, когда он накапливает посещения до предварительно выбранного порога. При таком случайном блуждании, идущем по оси дискретного времени, в области его исследования остается все меньше и меньше узлов. Следовательно, наши регулируемые случайные блуждания не будут захвачены локальностью пространства узлов.

4 [Временной ряд удаления узла и его профиль:] С начала регулируемого случайного блуждания записывается повторяющееся время удаления узла. При построении этого повторяющегося временного ряда относительно хронического порядка перемещенных узлов обычно наблюдается профиль пиков. Всплеск указывает на то, что такое случайное блуждание входит в новый кластер, сформированный относительно T .То есть исследование регулируемого случайного блуждания действительно извлекает самую важную геометрическую информацию: узлов, удаленных между двумя пиками, находятся в одном и том же кластере . Таким образом, исследование регулируемого случайного блуждания приведет к симметричной бинарной реляционной матрице, в которой какой узел совместно используется с каким в кластере.

5 [Матрица ансамбля:] Многократно выполняя такие управляемые данными исследования посредством регулируемого случайного блуждания в пространстве узлов, мы объединяем все бинарные реляционные матрицы в матрицу ансамбля E[ T ], которая затем становится матрица вероятности совместного использования кластера относительно температуры T для всех вовлеченных узлов в пространстве узлов.

6 [Определение температуры клавиш:] Видимая характерная черта E[ T ] — ряд блоков, расположенных по диагонали. Предположительно каждый блок должен быть идентифицирован как кластер и, соответственно, соответствует ненулевому собственному значению E[ T ]. Таким образом, мы наносим собственные значения E[ T ] от наибольшего к наименьшему, чтобы проверить, дает ли температура T четкую картину ненулевого и нулевого значений. Если да, то мы решаем, сколько кластеров реализовано.Выполняя этот ключевой выбор температуры вручную в диапазоне возможных температур. Каждая ключевая температура выбирается с определенным количеством кластеров. Таким образом, получается ряд убывающих чисел.

7 [Синтез ультраметрического дерева:] Для ключевой температуры T и определенного количества кластеров мы можем восстановить принадлежность к кластерам, применив одну из многих доступных методологий кластеризации, таких как алгоритм спектральной кластеризации и другие, на E[ Т ].Затем мы синтезируем последовательные конфигурации членства в кластере в ультраметрическое дерево. Обозначим такое дерево как Treea.

Алгоритмические вычисления DCG ультраметрического дерева Treea демонстрируют тот факт, что существует многомасштабная структурная информация, содержащаяся в матрице расстояний D = [ d ij ]. Напротив, закономерности, полученные в результате популярного анализа основных компонентов (PCA), факторного анализа и метода многомерного масштабирования (MDS), скорее всего, плохо настроены по отношению к какой-либо ключевой температуре, поэтому, с одной стороны, потенциально «не в фокусе». С другой стороны, популярный алгоритм иерархической кластеризации (HC), основанный на той же матрице расстояний D = [ d ij ], приведет к созданию дерева (HC), имеющего слишком много уровней.

Для прямоугольной матрицы данных или двудольной сети используются два пространства узлов X и Y, которые соответственно расположены на осях столбцов и строк. Следовательно, на каждой из двух осей можно построить два ультраметрических дерева DCG. Эти ультраметрические деревья должны быть тесно связаны друг с другом, чтобы успешно выявить взаимодействующие реляционные шаблоны между X и Y, встроенные в матрицу данных M0a.Алгоритм Data Mechanics разработан для достижения этой цели.

2.2. Механика данных

1 [Цель:] Построить два связанных ультраметрических дерева DCG, чтобы добиться обнаружения взаимодействующих реляционных паттернов между X и Y.

2 [Итеративные вычисления-I:] Начиная с эмпирической меры расстояния, мы получаем матрицу расстояний в пространстве узлов, скажем, Y. Затем мы вычисляем исходное ультраметрическое дерево DCG Treea(0)(Y). Затем мы строим меру расстояния в пространстве узлов X, адаптируя дерево Treea(0)(Y).В частности, это расстояние должно учитывать расхождения по компонентам, а также по множеству аспектов по кластерам. То есть эта адаптивная мера расстояния построена таким образом, что учитываются несколько композиций кластеризации на разных уровнях дерева. Затем строится ультраметрическое дерево DCG Treea(1)(X) в пространстве узлов X.

3 [Итеративные вычисления-II:] Затем мы обновляем исходную меру расстояния на Y относительно дерева Treea(1)(X), а затем строим пересмотренное ультраметрическое дерево DCG Treea(1)(Y).Повторяйте такую ​​итеративную схему вычислений, пока оба дерева DCG не стабилизируются. Обозначим оба дерева как Treea(*)(X) и Treea(*)(Y) соответственно.

4 Пусть перестановка π*∈Vn соответствует Treea(*)(X), а перестановка σ*∈Um соответствует Treea(*)(Y). Переставленная матрица σ*M0aπ* выявит многомасштабные блочные шаблоны из-за того, что похожие строки и столбцы итеративно группируются вместе. На самом деле эта пара перестановок (σ*, π*) близка к оптимальной, которая обеспечивает минимальную полную вариацию на матричной решетке m × n с 4-узловой системой окрестностей.

5 [Детерминированные структуры:] Шаблоны блоков, встроенные в σ*M0aπ*, которые совместно обрамлены Treea(*)(X) и Treea(*)(Y), принимаются в качестве детерминированных структур, встроенных в исходную двудольную сеть. данные представлены матрицей M0a.

Адаптация к расстоянию является ключевым шагом для построения взаимосвязей между двумя ультраметрическими деревьями DCG Treea(*)(X) и Treea(*)(Y). По этой причине взаимодействующие реляционные паттерны между пространствами узлов X и Y могут быть выявлены как многомасштабные блочные паттерны через перестановочную матрицу σ*M0aπ*.Напротив, такая информация о шаблонах будет пропущена в приложениях анализа разложения по сингулярным значениям (SVD) или машин опорных векторов (SVM).

Далее рассмотрим имитирующий блок, обрамленный одним основным кластером X на нижнем уровне Treea(*)(X) и одним основным кластером Y на нижнем уровне Treea(*)(Y). Ясно, что поблочная однородность зависит от ограничений двух последовательностей эмпирических распределений строк и столбцов на взвешенную матрицу. Такие ограничения эквивалентны двум последовательностям сумм строк и столбцов в двоичном формате [34].

2.3. Имитация двудольной сети и ансамбль ее состояний

1 [Цель:] Обнаружить присущую случайность в каждом блоке, обрамленном двумя ультраметрическими деревьями DCG Treea(*)(X) и Treea(*)(Y), а затем построить ансамбль состояний, обозначенный как Ω a .

2 [Категоризация M0a:] Постройте дерево HC и эмпирическое распределение на основе объединенного набора записей M0a и подгоните оптимальную кусочно-линейную функцию с промежутками к этой эмпирической функции распределения.0aπ* станет еще более очевидным, поскольку процедура категоризации также является процедурой устранения шума.

3 [Имитация блока с помощью процедуры бинарного среза:] Единообразие блока концептуально фиксируется путем ограничения последовательности строк и столбцов эмпирических распределений. Чтобы обеспечить такое единообразие, мы сначала нарезаем весь блок на последовательность бинарных матриц путем пороговой обработки в соответствии с отдельными цифровыми категориями. Смоделируйте каждый срез бинарной матрицы по отдельности, а затем сложите их все, чтобы сформировать смоделированный категориальный блок.

4 [Имитация всей матрицы и построение Ω a :] Имитация σ*M0aπ* получается путем увеличения высоты всех смоделированных категориальных блоков, а затем генерации матрицы реальных значений с помощью Единого случайного механизма, относящегося к пропущенным гистограмма, полученная на шаге 2, для каждой категории записи соответственно и отдельно. Вычислите множество копий таких мимикрий и коллективно назовите коллекцию государственный ансамбль Ω a .

Алгоритм двоичного среза, использованный на шаге 3 для создания относительно однородного блока, работает достаточно хорошо.Хотя он не полностью удовлетворяет ограничениям последовательностей строк и столбцов эмпирических распределений, он очень близок к этому. Поэтому построенный здесь ансамбль состояний Ω a является законной основой для научных выводов. Напротив, любые генеративные алгоритмы, разработанные для достижения ограничений последовательностей строк и столбцов сумм, действительно не имеют возможности имитировать матрицу. Алгоритм имитации для бинарных направленных сетей предложен и описан в отдельной работе [35].

3. Приложения

3.1. Проблема назначения

Рассмотрим задачу о назначении 40 задач 40 агентам с моделируемой матрицей затрат M0AP. Структура этой матрицы затрат отражает четыре уровня взаимодействия агента с задачей или соответствующих статусов: «Отлично», «Хорошо», «Средне» и «Плохо». То есть, погранично, существует четыре уровня сложности задач, относящихся к агенту, и четыре уровня квалификации агентов, относящихся к задаче. В частности, и 40 агентов, и 40 задач разбиты на восемь основных кластеров размера пять и, соответственно, образуют восемь «отличных» реляционных блоков 5 × 5, расположенных вдоль главной диагонали. Затем эти восемь блоков объединяются с другими восемью «простыми» реляционными блоками 5 × 5 в четыре блока 10 × 10 по диагонали. Эти четыре блока далее соединяются с другими четырьмя «Средними» реляционными блоками 10 × 10 в два блока 20 × 20 также по диагонали. Два недиагональных блока 20 × 20 предназначены для «плохого» реляционного взаимодействия задачи и агента.

По своему замыслу эти четыре масштаба или уровня паттернов блоков, взаимодействующих с агентом задачи, составляют детерминированные структуры, охватываемые M0AP. То есть такие детерминированные структуры задают маргинальную зависимость от строки и столбца через их ультраметрические деревья, соответственно, и диадическую зависимость задача-агент через многомасштабные блоки.С точки зрения этой зависимости матрица наблюдаемых данных действительно охватывает характеристики системы. Также становится ясно, что любое статистическое моделирование на основе матричных данных, предназначенное для последовательного согласования таких сложных реляционных ограничений, основанных на зависимости, является довольно сложной задачей, если не невозможной.

Помимо необходимости детерминистских структурных ограничений, истинная случайность системы предназначена для обеспечения поблочной однородности и внутриблочной стохастичности с возможными сложными зависимостями.То есть все затраты в каждом реляционном блоке, принадлежащем любой из четырех шкал, генерируются коллективно с помощью единого стохастического механизма. Общая версия может быть представлена ​​в виде механизма дискретной меры связи [36], тогда как простейшая версия представляет собой механизм независимого одинакового распределения (i.i.d.). Предполагается, что механизм дискретной меры связи лучше охватывает общие закономерности зависимости, но он еще недостаточно известен и недостаточно изучен. С другой стороны, я.Параметр i.d, очевидно, фиксирует единообразие, но не учитывает зависимость любой реалистичной формы внутри блока.

Для иллюстрации цели и простоты здесь мы используем поблочную однородность при настройке i.i.d случайных величин Пуассона с увеличением значений параметра интенсивности λ = 1, 3, 5 или 7 по четырем состояниям сопоставления от отличного до плохого. Сгенерированная матрица затрат, скажем, M0AP, представлена ​​на рисунке 1A. Видно, что каждый блок содержит довольно разную степень вариации из-за пуассоновской случайности.Чтобы учесть такое изменчивое изменение, в вычислениях Data Mechanics используется следующее расстояние: пусть x, y Z 40 — два неотрицательных целочисленных вектора,

d2(x,y)=∑i=140(xi-yi)2(xi+yi)/2.

С такой мерой расстояния, как начальная эмпирическая мера расстояния, примененная к матрице стоимости M0AP, наши алгоритмические вычисления Data Mechanics последовательно и надежно восстанавливают детерминированные структуры, спроектированные на M0AP. И наш механизм генерации блоков, подверженный ограничениям последовательностей строк и столбцов эмпирических распределений, по-видимому, способен непараметрически улавливать присущую ему случайность без предварительного знания исходного i.я бы. параметр. Мы повторяем, что в этих вычислительных усилиях Data Mechanics нет намерения восстанавливать распределения Пуассона. Ансамбль состояний Ω AP , имитирующий M0AP, также генерируется. Затем строится соответствующий ансамбль оптимальных назначений BAP*, который коллективно синтезируется в матрицу Υ[BAP*] посредством назначений агентов по всем членам BAP*, как показано на рисунке 1B.

Рис. 1. Матрица затрат (A) и общий вид ансамбля из 100 оптимальных решений назначения (B) .

Очевидно, что размер BAP* намного меньше заданного размера ансамбля состояний, т. е. |BAP*|<<|ΩAP|. И видно, что большинство заданий находится в пределах «отлично» по шкале взаимодействия задач и агентов. Таким образом, вдоль главной диагонали матрицы Υ[BAP*] отчетливо наблюдается серия из 8 более или менее блочных квадратов. Но из-за больших вариаций, унаследованных от случайности Пуассона, некоторые агенты действительно имеют больший набор потенциальных назначений, чем другие. Поскольку каждое оптимальное назначение в ансамбле BAP* оснащено потенциалом Больцмана через Υ[BAP*], естественно ожидается, что максимальное потенциальное назначение будет более системно устойчивым, чем идиосинкразическое оптимальное назначение, основанное на исходной матрице затрат M0AP. Это одно из отличий, которое может дать системный подход.

3.2. Задача коммивояжера и имитация отжига

Далее мы рассмотрим другую хорошо известную задачу дискретной комбинаторной оптимизации, задачу коммивояжера (TSP). Мы рассматриваем смоделированные данные с помощью схемы, использованной в хорошо известной статье Simulated Annealing [16]. Весь комплект вовлекающего города состоит из 9 отдельно смоделированных коллекций. Каждая коллекция состоит из 45 «городов», равномерно сгенерированных из единичного квадрата.Эти 9 единичных квадратов расположены в массиве 3 × 3 на R 2 . Для этих 405 (= 45 × 9) городов наблюдаемые данные представляют собой матрицу расстояний 405 × 405, M0TSP. В отличие от вышеупомянутой задачи назначения, вычисленное ультраметрическое дерево вычисляется как для осей строк, так и для осей столбцов с помощью механики данных. Это ультраметрическое дерево, очевидно, обеспечивает лишь несовершенную аппроксимацию евклидовой геометрии из 405 точек на R 2 . Тем не менее, его уровень 9 кластеров дает возможность проверить функцию «Управляемое разделяй и властвуй (GDC)»: максимальное расстояние всех городов до их отдельных ближайших городов-соседей намного меньше, чем минимальные расстояния между 9 квадратами .Несмотря на то, что наивный жадный алгоритм здесь неприменим, мы разрабатываем следующую схему «разделяй и властвуй», чтобы продемонстрировать еще одно важное достоинство системного подхода.

Значительное преимущество стало возможным благодаря преимуществу «параллельных вычислений», предлагаемому функцией GDC с помощью приведенного ниже алгоритма:

GDC-1 Проверьте функцию GDC на каждом уровне ультраметрического дерева DCG и выберите уровень с наибольшим количеством кластеров, скажем, K . В таком грубом масштабе мы получаем K × K матрицу расстояний, рассматривая K кластеров как K супергородов и решаем соответствующее оптимальное решение задачи TSP.

GDC-2 Вдоль оптимального маршрута через эти K супергородов найдите город въезда и выезда для каждого кластера.

GDC-3 Определите кратчайший маршрут, начинающийся из города-въезда и проходящий через все остальные города, входящие в кластер, до города-выхода.

GDC-4 Соедините K оптимальных путей в один цикл в качестве возможного оптимального решения TSP.

Разделение, найденное на этапе GDC-1, в решающей степени отвечает за резкое снижение вычислительной сложности.И на шаге GDC-3 это гораздо более простая задача перестановки, чем TSP, из-за ограничения привязки. Как правило, это можно решить, применив алгоритм имитации отжига. Как показано, ультраметрическое дерево в нашей геометрии соединения, основанное на M0TSP, также удовлетворяет функции «Управляемое разделяй и властвуй» на уровне 9 кластеров.

Снова применяя механику данных, мы строим ансамбль состояний Ω TSP системы города и многократно применяем алгоритм GDC для построения ансамбля BTSP* оптимальных решений TSP от каждого члена Ω TSP .Представление о последовательной связности городов через каждое оптимальное решение TSP в ансамбле BTSP* в совокупности представлено матрицей Υ[BTSP*], как показано на рисунке 2A с девятью квадратами по диагонали. То есть Υ[BTSP*] обнаруживает аспект довольно ограничительной локальной связности в геометрии BTSP*.

Рисунок 2. Общий вид ансамбля из 1000 оптимальных решений TSP (A) и оптимального решения TSP (B) .

Одно из главных достоинств ансамбля BTSP* состоит в том, что мы можем выбрать оптимальный маршрут в BAP* в смысле достижения минимальной длины при M0TSP.В нашем эксперименте с 1000 мимикриями на кластер этот оптимальный маршрут в BAP*, дополненный девятью оптимальными подмаршрутами из девяти кластеров, достигает общей длины 11,51291 по сравнению с почти истинным оптимальным маршрутом, достигающим 11,41388. Эти две версии оптимального маршрута действительно едва различимы невооруженным глазом, как показано на рисунке 2B для первой версии. Здесь истинный оптимальный маршрут находится путем 1000-кратного выполнения алгоритма имитации отжига на каждом из девяти исходных кластеров, найденных на M0TSP.Это сравнение показывает тот факт, что ансамбль состояний обеспечивает жизнеспособное приближение с вычислительным преимуществом. Ансамбль состояний Ω TSP также полезен для построения нового маршрута, когда несколько городов должны быть пропущены. Приблизительно оптимальные маршруты можно легко получить, «перекинув» эти пропущенные города между всеми членами БТСП*. Такая практическая ценность государственного ансамбля ТСП тем более очевидна, когда совокупность городов действительно очень велика. Поскольку возможность получения точного решения TSP становится намного меньше при фиксированном бюджете вычислительных усилий.Концепция ансамбля состояний предлагает следующие преимущества.

Другим естественным выбором решения TSP является маршрут максимального потенциала Больцмана среди BTSP* на основе потенциалов, записанных в Υ[BTSP*]. Этот выбор, вероятно, более надежен, когда измерения расстояния в матрице M0TSP подвержены ошибкам измерения. Причина в том, что в Υ[BTSP*] неявно встроен некоторый механизм усреднения. Еще одним достоинством ансамбля состояний является то, что он идет вразрез с фольклорной практикой в ​​общих алгоритмах оптимизации, включая имитация отжига и генетический алгоритм. Исследователи обычно применяют общепринятую лечебную практику, слепо запуская алгоритм оптимизации из как можно большего числа различных исходных мест, а затем выбирая наилучший маршрут. Из-за резко контрастирующего взгляда на геометрию, показанного на рис. 2А, мы почти уверены, что такая практика, безусловно, приведет к огромным потерям в вычислениях, потому что их случайные траектории слишком сильно блуждают и отклоняются слишком далеко от любых разумных путей решения с большой вероятностью.

4.Обсуждение

Мы демонстрируем алгоритм машинного обучения Data Mechanics, который может вычислять геометрию, сочетающую детерминированные многомасштабные блочные шаблоны со стохастической поблочной однородной случайностью в матрице данных. Когда задача дискретной комбинаторной оптимизации определяется матрицей данных, представляющей систему в один момент времени, такая геометрия связи позволяет нам выйти за рамки классического идиосинкразического оптимального решения. Ансамбль оптимальных решений из ансамбля микросостояний системы позволяет нам рассмотреть проблему робастности/чувствительности и в то же время предложить робастные модификации с помощью концепции максимального потенциала Больцмана.

Задача о назначении иллюстрирует соответствующие взаимодействующие шаблоны в пространстве узлов продукта предметов и задач, в то время как Задача коммивояжера выявляет внутреннюю географическую геометрию среди всех «городов». Такая информация о шаблонах, управляемая данными, оказывается необходимой для решения дискретных математических и компьютерных задач не только с точки зрения алгоритмических вычислений, но и с точки зрения наличия значимых системных объяснений реального мира.Действительно, такие соображения могут быть необходимы, когда изучаемая система сложна.

Отмечено, что с технической точки зрения еще многое предстоит улучшить в том, как имитировать вещественные или категориальные матрицы. На самом деле, даже для большой бинарной матрицы существующие алгоритмы все еще не дают приемлемых результатов. С этой точки зрения механика данных обеспечивает императивное преимущество, обнаруживая геометрию связи на большой матрице, так что задачу имитации можно разделить по принципу «разделяй и властвуй».

Вклад авторов

FH, инициировал исследование проблемы, дизайн компьютерных экспериментов, анализ данных, письмо. KF, разработал и провел компьютерные эксперименты и анализ данных. CH, обсудили общие вопросы и смежные темы.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Каталожные номера

1.Кун ХВ. Венгерский метод задачи о назначениях. Логист военно-морской службы Q. (1955) 2 : 83–97. doi: 10.1002/nav.3800020109

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

2. Манкрес Дж. Алгоритмы задач назначения и транспортировки. J Soc Indust Appl Math. (1957) 5 : 32–8. дои: 10.1137/0105003

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

3. Буркард Р., Делл’Амико М. , Мартелло С. Проблемы с назначением (пересмотренная перепечатка). Миннеаполис, Миннесота: СИАМ (2012). дои: 10.1137/1.9781611972238

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

4. Беллман Р. Динамическое программирование задачи коммивояжера. J Assoc Comput Mach. (1962) 9 : 61–3. дои: 10.1145/321105.321111

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

5. Пападимитриу Ч. Евклидова задача коммивояжера является NP-полной. Теория информатики. (1977) 4 : 237–44.дои: 10.1016/0304-3975(77)-3

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

6. Арора С. Аппроксимационные схемы полиномиального времени для евклидова коммивояжера и других геометрических задач. J ACM (1998) 45 : 753–82. дои: 10.1145/2

.2

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

7. Лоулер Э.Л., Ленстра Дж.К., Ринноой КАХГ, Шмойс Д. Б. Задача коммивояжера. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley (1985).

Академия Google

8.Эпплгейт Д.Л., Биксби Р.М., Хватал В., Кук В.Дж. Задача коммивояжера. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. (2006).

Академия Google

9. Диаконис П. Закономерности в собственных значениях: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса. Bull Amer Math Soc. (2003) 40 : 155–78. doi: 10.1090/S0273-0979-03-00975-3

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

10. Forrester P, Snaith N, Verbaarschot V. Введение в обзор специального выпуска по теории случайных матриц. J Phys A Math Gen. (2003) 36 : R1–10. дои: 10.1088/0305-4470/36/12/201

Полнотекстовая перекрестная ссылка

11. Мехта М., Случайные матрицы. 3-е изд. Амстердам: Эльзевир (2004).

13. Паризи Г. Гипотеза о случайном двудольном паросочетании. arXiv: cond-mat/9801176v1 (1998).

Академия Google

14. Крохмаль П.А., Пардалос П.М. Проблемы случайного назначения. Eur J Oper Res. (2009) 194 : 1–17. дои: 10.1016/j.ejor.2007.11.062

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

15. Капп Р.М. Вероятностный анализ алгоритмов разбиения ТСП в плоскости. Математическая опер. Рез. (1977) 2 : 209–24. doi: 10.1287/мур.2.3.209

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

17. Эрдос П., Реньи А. О случайных графах I. Publ Math Debrecen (1959) 6 :290–7.

Резюме PubMed

18. Bollob1s B. Случайные графики, 2-е изд. Кембридж: Издательство Кембриджского университета (2001). дои: 10.1017/CBO9780511814068

Полнотекстовая перекрестная ссылка

21. Fushing H, Wang H, Van der Waal K, McCowan B, Koehl P. Многомасштабная кластеризация путем построения надежной и самокорректирующейся ультраметрической топологии на точках данных. PLoS ONE (2013) 8 :e56259. doi: 10.1371/journal.pone.0056259

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

23. Fushing H, Hsueh CH, Heitkamp C, Matthews M, Koehl P.Распутывание геометрии матриц данных: влияние режимов водного стресса на виноделие. JR Soc Interface (2015 г.). 12 :20150753. doi: 10.1371/journal.pone.0106154

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

25. Риссанен Дж. Стохастическая сложность и статистическое исследование . Сингапур: World Scientific (1989).

Академия Google

26. Ли М., Витани П. Введение в колмогоровскую сложность и ее приложения .Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag (1993).

Академия Google

27. Се С.Дж., Си С., Диллон И.С. Решатель по принципу «разделяй и властвуй» для машин опорных векторов ядра. В: Международная конференция по машинному обучению , Пекин. (2014).

Академия Google

28. Hsieh CJ, Banerjee A, Dhillon IS, and Ravikumar P. Метод «разделяй и властвуй» для оценки разреженной обратной ковариации. В: Достижения в системах обработки нейронной информации , Озеро Тахо.(2012).

Академия Google

29. Си С., Шин Д., Диллон И.С., Парлетт Б.Н. Многомасштабная спектральная декомпозиция массивных графов. В: Достижения в системах обработки нейронной информации , Монреаль, QC. (2014).

Академия Google

30. Макки Л.В., Джордан М.И., Талвалкар А. Разложение матриц по принципу «разделяй и властвуй». В: Достижения в системах обработки нейронной информации , Гранада. (2011).

Реферат PubMed | Академия Google

31.Баяти М., Ким Дж. Х., Сабери А. Последовательный алгоритм генерации случайных графов. Algorithmica (2010) 58 : 860–910. doi: 10.1007/s00453-009-9340-1

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

32. Чен Ю., Диаконис П., Сьюзан П.Х., Лю Дж.С. Последовательные методы Монте-Карло для статистического анализа таблиц. J Am Stat Assoc. (2005) 100 : 109–20. дои: 10.1198/016214504000001303

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

33.Барвинок А. Как выглядит таблица случайных сопряженностей? Комбинатор Probab Comput. (2010) 19 : 517–39. дои: 10.1017/S0963548310000039

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

35. Fushing H, Fujii K. Имитация направленных двоичных сетей для изучения системной чувствительности: является ли NCAA FBS хрупкой системой конкуренции? Передний прикладной математический стат. (2016). 2 :9. doi: 10.3389/fams.2016.00009

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

36.Мемоли Ф. Спектральные расстояния Громова-Вассерштейна для сопоставления форм. В: Proc ICCV Workshops (2009). п. 256–63. doi: 10.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск