Ctgx функция: Функция y = ctgx и её свойства — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Функция y = ctg x, её свойства и график катангенса с примерами

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.

В результате получаем график y=ctgx для для всех x из области допустимых значений.

График котангенса называют «тагненцоидой», термин «котангенцоида» не используют.
Часть графика c \(0\lt x\lt\pi\) называют главной ветвью графика котангенса.

п.2. Свойства функции

y=ctgx

1. Область определения \(x\ne\pi k\) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(sinx=0\).

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb{R}\)

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+\pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к \(-\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\pi k\).
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_{x\rightarrow \pi k-0} ctgx=-\infty $$ Функция стремится к \(+\infty\) при приближении справа к точкам \(x=\pi k\).
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_{x\rightarrow \pi k+0} ctgx=+\infty $$ Нули функции \(y_{0}=0\) достигаются в точках \(x_0=\frac\pi2+\pi k\)

6. Функция убывает на всей области определения.

7.

 Функция имеет разрывы в точках \(x=\pi k\), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \((\pi k;\ \pi+\pi k)\) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:

a) \(\left[\frac{2\pi}{3}; \pi\right)\) $$ y_{min}=\lim_{x\rightarrow\pi-0}ctgx=-\infty,\ \ y_{max}=ctg\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}} $$ б) \(\left(0; \frac{\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=ctg\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\ \ y_{max}=\lim_{x\rightarrow +0}ctgx=+\infty $$ в) \(\left[\frac{7\pi}{6}; \frac{7\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=ctg\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-1,\ \ y_{max}=ctg\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sqrt{3} $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) \(ctgx=-\sqrt{3}\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

б) \(ctg\left(x+\frac\pi2\right)=0\)
\(x+\frac\pi2=\frac\pi2+\pi k\)

Бесконечное множество решений: \(x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

в) \(ctg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)

г) \(ctg\left(\frac{x}{3}-1\right)=-1\)
\(\frac{x}{3}-1=-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
\(\frac{x}{3}=1-\frac{\pi}{4}+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=3-\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

Пример 3. 2(tgx)=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) имеeт разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\).

Получаем: $$ \begin{cases} 1-x\\ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \ k\in\mathbb{Z} \end{cases} $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Функции y=tgx, ctg x. Их свойства и графики

Вопросы занятия:

·     рассмотреть тангенс и котангенс как функции аргумента x;

·     познакомиться с основным свойствам функций y=tg x, ctg x;

·     построить графики функций y=tg x, ctg x.

Материал урока.

Для того, чтобы найти область определения функции y = tg x давайте ещё раз вспомним определение тангенса x.

Найдём область значений функции y = tg x.

Найдём период функции y = tg x. И исследуем её на чётность.

Поскольку функция y = tg x – периодичная функция с периодом π, то можно построить график функции на промежутке [-π/2; π/2], а затем сдвинуть построенную ветвь влево и вправо на π, 2π, 3π и  так далее.

Поскольку функция нечётная, то можно построить на промежутке [0; π/2] и отобразить относительно начала координат.

Для построения графика на промежутке [0; π/2], составим таблицу значений тангенса для основных точек из этого промежутка. Отметим эти точки на координатной плоскости.

Отобразим полученную часть графика относительно начала координат.

Сдвинем построенную ветвь влево и вправо на π.

По построенному графику легко определить основные свойства функции y = tg x.

Исследование на монотонность.

Исследование на ограниченность.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Исследование на непрерывность.

Давайте, ещё раз перечислим все свойства функции y = tg x.

Проведя аналогичные рассуждения, можно построить график функции   y = ctg x на промежутке [0; π], затем отразить симметрично относительно начала координат и сдвинуть получившуюся ветвь влево и вправо.

Давайте, перечислим все свойства функции y = ctg x.

Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

y f (x)
у
х
Функции y = tg x, y = ctg x,
их свойства и графики.
Устно:
1. Вычислите:
tg
4
; tg
3
; tg 0; tg
2
; tg
6
2. Докажите, что число является периодом для
функции y = sin2x.
sin2(x — ) = sin2x = sin2(x + )
3. Докажите, что функция является нечётной:
f(x) = x⁵ ∙ cos3x
у
4. Прочитайте
по графику
функцию:
-2
0
-4
5
2
5
х
Свойство 1.
Область определения функции y = tg x – множество
всех действительных чисел, за исключением чисел
вида x = /2 + k.
у
3
2
2
2
3
2
х
Свойство 2.
y = tg x – периодическая функция с
периодом .
tg(x — ) = tg x = tg(x + )
Свойство 3.
y = tg x – нечётная функция.
tg(- x) = — tg x
(График функции симметричен относительно
начала координат).
Свойство 4.
у
3
2
y = tg x
2
2
3
2
х
Функция возрастает на любом интервале вида:
График функции y = tg x
k ; k
называется тангенсоидой.
2
2
Свойство 5.
Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.
Свойство 6.
У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений.
Свойство 7.
Функция y = tg x непрерывна на любом интервале
вида
k ; k
2
2
Свойство 8.
E( f ) ;
Пример 1.
Решите уравнение tg x = 3
у
у = 3
3
2
Ответ: x
3
2
32
k .
3 х
2
Пример 2.
Построить график функции y = — tg (x + /2).
у
3
2
y = ctg x
2
2
3
2
х
Т.к. — tg (x + /2) = ctg x, то построен график функции
y = ctg x.
Опишите свойства функции y = ctgx.
1) D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида x = k.
2) Периодическая с периодом .
3) Нечётная функция.
4) Функция убывает на любом интервале вида ( k; + k).
5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений.
7) Функция непрерывна на любом интервале вида ( k; + k).
8) E(f) = (- ; + ).

10. Разберём примеры 1-3, с. 67-70

11. В классе:

№ 254
№ 255
№ 256 (а, б)
№ 259 (а, б)

12.

Домашнее задание: № 256 (в, г)
№ 257
№ 259 (в, г)

Функции y tgx и y ctgx

Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики

Определение Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α

y Ось тангенсов +∞ 120° 180° 1 x — 45° не существует Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ х=1 –∞

Определение Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α

Ось котангенсов Y –∞ +∞ 120° у=1 180° 0° X 45° Не существует Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞

Построение графика функции y = tg x, если х Є [ π ∕ 2; π ∕ 2 ] y у = tg x х 0 1 у=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ±π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2 Не существ.

Построение графика функции y = tg x. y у=tg x 1 x -1

Свойства функции y=tg x. y 1 у=tg x x 1 Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn, nєZ. у

Свойства функции y=tg x. у=tg x y Асимптоты 1 x -1 При х = π ∕ 2+πn, nєZ — функция у=tgx не определена. Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.

Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у

у 1 х — — 3 2 y = tgx + a — — 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx – b

у 1 х — — 3 2 — y = tgx — 0 2 -1 3 2 y = tg(x – a) 2

у 1 х — — 3 2 — y = tgx — 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. I

Функция y = ctg x 1. 2. 3. 4. 5. у=ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х=πk, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. у 1 — х -π 0 -1 π

Задача № 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2. Решение. 1. Построим графики у=tg x y у=1 −π 1 х1 0 -1 х2 функций у=tgx и у=1 2. х1= − 3π∕ 4 х2= π∕ 4 x х3= 5π∕ 4 х3 3π/2 π

Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx

График y tgx 1. Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений — отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k — целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k — целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема:

Определение Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α

y Ось тангенсов +∞ 120° 180° 1 x — 45° не существует Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ х=1 –∞

Определение Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α

Ось котангенсов Y –∞ +∞ 120° у=1 180° 0° X 45° Не существует Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞

Построение графика функции y = tg x, если х Є [ π ∕ 2; π ∕ 2 ] y у = tg x х 0 1 у=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ±π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2 Не существ.

Свойства функции y=tg x. y 1 у=tg x x 1 Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn, nєZ. у

Свойства функции y=tg x. у=tg x y Асимптоты 1 x -1 При х = π ∕ 2+πn, nєZ — функция у=tgx не определена. Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.

Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у

у 1 х — — 3 2 y = tgx + a — — 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx – b

у 1 х — — 3 2 — y = tgx — 0 2 -1 3 2 y = tg(x – a) 2

у 1 х — — 3 2 — y = tgx — 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. I

Функция y = ctg x 1. 2. 3. 4. 5. у=ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х=πk, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. у 1 — х -π 0 -1 π

Задача № 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2. Решение. 1. Построим графики у=tg x y у=1 −π 1 х1 0 -1 х2 функций у=tgx и у=1 2. х1= − 3π∕ 4 х2= π∕ 4 x х3= 5π∕ 4 х3 3π/2 π

Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx

09.07.2015 7069 0

Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант I

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как построить график функции:

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции — тангенс и котангенс.

1. Функция у = tg x


Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

y (x

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

6. Функция непрерывная.

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

Легко проверить, что для функций а, б область определения — симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).

а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б) Имеем:

Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции — несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

Пример 2

Найдем основной период функции

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T 1 = 2π, Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции

Пример 3

Построим график функции

Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

Пример 4

Построим график функции

Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х При 0 ≤ x ≤ π /4 имеем: Для х > π /4 имеем: Далее остается построить три части данного графика. При х x ≤ π /4 строим тангенсоиду Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π /4 строим прямую у = 1.

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x .

Перечислим основные свойства функции у = ctg x :

1. Область определения — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = — y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .

Пример 5

Найдем область определения и область значений функции

Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .

Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 — 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = }

Диаграмма математической функции y=ctg x

Диаграмма математической функции y=ctg x — векторный клипарт EPS

лучших в мире бесплатных векторных изображений высокого качества

Помощь

◢ Учетная запись участника

Найдите нас на Facebook ›

Поддержка/помощь: Последние обновления Обновления VI Обновления на Cliparto

Векторный клипарт ID: c1307387

черно-белое изображение

Название изображения: Диаграмма математической функции y=ctg x
Описание:

Векторная иллюстрация математической функции y=ctg x

Тип векторизации: невиниловый (необрезаемый) векторный файл

Доступные форматы файлов векторной графики и размер файла:

MF
EPS EPS 10 243. 5 кб
JPEG/JPG ** 5472×5472 px 565.0 кб
вектора в формате Wf, CDR, CDR; JPG — немасштабируемый растровый формат. Другие графические форматы доступны по запросу. Файлы EPS 10 могут содержать графические эффекты, совместимые только с Adobe Illustrator. Другие векторные редакторы могут некорректно обрабатывать такие файлы.

Мгновенный доступ к загрузке:

Возможность загрузки доступна только для зарегистрированных пользователей.

или
Стоимость загрузки вычитается из учетной записи клиента на Vector-Images.com при переходе по ссылке для скачивания. Скачивая изображение, вы подтверждаете, что согласны с условиями лицензии
Standard Royalty-Free.


© 2002-2022 Vector-Images. com. Все права защищены.
Условия лицензии | Условия использования сайта | Политика конфиденциальности | Продажа векторных изображений Наш процесс заказа осуществляется нашим онлайн-реселлером Paddle.ком. Paddle.com является зарегистрированным продавцом для всех наших заказов. Paddle предоставляет все запросы по обслуживанию клиентов и обрабатывает возвраты.

РЕШЕНО:умереть Чес Колн @ck G Gsnx S0t 6e1+kex CtGx+GX- Ге+Ге 4+6 sxr G coski Gbxtosk GX FR

Стенограмма видео

Так вот в чем проблема. Это дает нам функцию, и нас попросили оценить функцию в различных значениях X. Ваш ввод, но, например, ее функция была G of X равно два X плюс три.Если нам даны определенные значения X, ваши входные значения ослабляют шаги A до тех, которые используются для функции Exeter, чтобы определить ее выходное значение или значение y. Так, например, обозначение функций. Если я хочу оценить функцию G, значит, я буду использовать эту функцию, которую мне дали. Мне могли бы дать конкретное значение input er x. Итак, допустим, что ввод был нулевым. Это означает, что в моей функции X плюс три значение x или входные данные, которые они хотели бы получить от оценщиков, когда входные данные равны нулю. Поэтому я заменю значение X равным нулю, а все остальное оставлю прежним.Таким образом, вместо двух х плюс три мы знаем, что нужно время ноль плюс три, потому что ноль — это ввод, который мне дали для оценки. И затем, если мы решим эту алгебру, мы должны будем вычислить время ноль, то есть ноль плюс три, что равно трем. Следовательно, G нуля равно трем. Глядя на другой пример, у нас снова есть g из отрицательных четырех, мы делаем то же самое. Так что будем заменять. Мы сохраним двоих и функцию. Мы собираемся заменить это значение X полученным нами вводом, который является отрицательным для обработки этого значения, дважды отрицательного для отрицательного.Восемь плюс еще три дают минус пять. Итак, g, функция G, когда вход отрицательный, дает нам отрицательный результат. И мы можем продолжить этот процесс с любым входом, который нам дали. Так что это может быть число. Это может быть письмо. Это может быть выражение. Итак, продолжая, давайте посмотрим на G отрицательной семерки. Мы собираемся использовать наше выражение. Два раза состояние семь класс три. Дважды Состояние семи отрицательно. 14 плюс еще три родная. 11, поэтому g от отрицательной семерки равно отрицательной 11 и g от восьмерки.Мы собираемся сделать то же самое два раза восемь плюс три, два раза восемь из 16 плюс еще три, что дает нам 19 nog из восьми равно 19. Теперь снова мы можем вычислить эти выражения с разными значениями. Так что вам не обязательно иметь номер. Мы также можем использовать переменную или выражение другого типа. Итак, допустим, у нас есть переменная, которая не является X, и эта изменяемая переменная, данная нам, или это выражение плюс два. Это говорит нам, что нужно взять выражение плюс два и заменить его значением X.Итак, как и любое другое входное значение, мы перенесем функцию на X Kloss three. И вместо значения X я заменю его вводом, который мне дали, то есть плюс два. Теперь мы можем упростить это, но наше упрощение не обязательно будет работать до числа, потому что у меня есть переменная, поэтому мы можем использовать свойство распределения для упрощения этого выражения. Таким образом, два раза a — это плюс, два раза два — четыре, а затем мы снова держим плюс три. Таким образом, выражение Ферги плюс два будет равняться восьми плюс.Итак, опять же, это не выглядит так просто. Сторона другая, потому что она не работает до числа. Но у нас есть выражение, так как мы подключили плюс к выражению, Parex знает, что это отличается в зависимости от того, что в круглых скобках и вне круглых скобок. Итак, если бы я собирался изменить эту идею и получить G Ave, но поместить плюс два снаружи, теперь это другое, потому что это говорит о том, чтобы сначала оценить G, а затем добавить в конец вместо замены X плюс два. как часть значения X.Это будет выглядеть по-другому, потому что мы подставим только X вместо X. Итак, это два X плюс три. Вот как оценивает g. И затем, в конце, нам нужно добавить плюс два, которые были даны нам в задаче. Так что в этом случае мы бы оценили плюс три, что и есть g от a. Но затем мы должны прибавить к этому, поэтому g от A, а затем плюс два равняется выражению плюсу. Итак, опять же, это просто понимание идеи о том, что независимо от

Интеграл Cot x — Формула, доказательство, примеры l Интегрирование Cot x

Перед тем, как узнать, что такое интеграл от cot x, давайте вспомним несколько фактов о функции cot (или) котангенса.В прямоугольном треугольнике, если х — один из острых углов, то ctg х — это отношение прилежащей стороны х к противолежащей стороне х. Таким образом, это можно записать как (cos x)/(sin x) как cos x = (смежный)/(гипотенуза) и sin x = (противоположный)/(гипотенуза). Воспользуемся этими фактами, чтобы найти интеграл от ctg x.

Давайте изучим интеграл формулы cot x вместе с его доказательством и примерами.

Чему равен интеграл от Cot x dx?

Интеграл от cot x dx равен ln |sin x| + С.Он представлен как ∫ кроватка x dx, поэтому ∫ кроватка x dx = ln |sin x| + C , где «C» — постоянная интегрирования. Здесь

  • ‘∫’ — символ интегрирования.
  • cot x — подынтегральная функция.
  • dx означает, что интегрирование производится по x.

Мы используем метод интегрирования методом подстановки, чтобы доказать это интегрирование формулы cot x. Мы увидим это в следующем разделе.

Интеграл Cot x Доказательство заменой

Вот вывод формулы интеграла от ctg x с помощью интегрирования методом подстановки.Для этого напомним, что ctg x = cos x/sin x. Тогда ∫ cot x dx становится

∫ кроватка x dx = ∫ (cos x)/(sin x) dx

Замените sin x = u. Тогда cos x dx = du. Тогда приведенный выше интеграл становится равным

.

= ∫ (1/е) дю

= пер |у| + C (Поскольку ∫ 1/x dx = ln|x| + C)

Замените u = sin x здесь,

= пер |грех х| + С

Таким образом, ∫ cot x dx = ln |sin x| + с.

Значит доказано.

Определенный интеграл от Cot x dx

Определенный интеграл от cot x dx является интегралом с нижними и верхними границами.{\pi/2}\) кроватка x dx = ln √2

Следовательно, интеграл от ctg x от π/4 до π/2 равен ln √2.

Важные замечания по интегралу от Cot x dx:

  • ∫ раскладушка x dx = ln |sin x| + С
  • Поскольку sin x и csc x обратны друг другу,
    ∫ кроватка x dx = ln |csc x| -1 + C = — ln |csc x| + С
  • ∫ кроватка 2 x dx = — csc x + C as d/dx(csc x) = -cot 2 x + C

Темы, относящиеся к интегралу от Cot x dx:

FAQ по Integral of Cot x

Чему равен интеграл от Cot x?

Интеграл от кроватки x равен ln |sin x| + С.Математически это обозначается как ∫ cot x dx = ln |sin x| + с.

Равна ли производная от Cot x интегралу от Cot x?

Нет, производная от кроватки x равна -csc 2 x, ​​а интеграл от кроватки x равен ln |sin x| + С. т. е.

  • d/dx(cot x) = -csc 2 x
  • ∫ раскладушка x dx = ln |sin x| + С

Чему равен интеграл от Cot x от 0 до Pi?

Мы знаем, что ∫ cot x dx = ln |sin x| + C. Подставляя пределы, ln |sin π| — пер |sin 0| = расходится (поскольку 0 НЕ находится в области логарифмической функции).

Чему равен интеграл от Cot x Sec x?

∫ кроватка x sec x dx = ∫(cos x)/(sin x) · (1/cos x) dx = ∫ 1/sin x dx = ∫ csc x dx = — ln |csc x + кроватка x| + с.

Как вывести интеграл от формулы Cot x?

Чтобы вывести формулу для ∫ cot x dx, запишем cot x как (cos x)/(sin x). Тогда интеграл принимает вид ∫ (cos x)/(sin x) dx. Предположим, что sin x = u, тогда cos x dx = du. Тогда интеграл принимает вид ∫ (1/u) du = ln |u| + C (или) ln |sin x) + C. Следовательно, ∫ cot x dx = ln |sin x| + С.2x равно?

Мы знаем, что производная csc x равна -cot 2 x. Таким образом, производная от -csc x равна кроватке 2 x. Поскольку интегрирование является обратным процессом дифференцирования, ∫ cot 2 x dx = -csc x + C.

Чему равен интеграл от Cot x Csc

2 x dx?

Предположим, что кроватка x = u, тогда -csc 2 x dx = du. Тогда данный интеграл принимает вид ∫ -u du = -u 2 /2 + C = -cot 2 x/2 + C.

Детская кроватка(x)

8 тригонометрия функций
Ресурсы
·  Cool Tools
·  Формулы и таблицы
·  Справочные материалы
·  Подготовка к тестам
·  Учебные советы
Чудеса 9004 9004
Поиск


  
Доказательство: Интеграл детская кроватка(х)
(Математика | Исчисление | Интегралы | Стол Из | детская кроватка х)
Обсуждение детская кроватка х = ln|sin х| + С.

1. Доказательство

    Стратегия : Сделать с точки зрения sin’s и cos’s; Используйте замену.
    детская кроватка х дх = соз х
    грех х
    дх
    набор
    у = грех х.
    то находим
    du = cos x dx

    замените du=cos x, u=sin x

    соз х
    грех х
    дх = дю
    ты
    решить интеграл

    = пер |у| + С

    заменить обратно u=sin x

    = пер |sin х| + C
    В. 4 «.

    Шаг за шагом Решение:

    Шаг 1:

    Шаг 2:

    Шаг 2:

    Вытягивание подобного Условия:

    2.1 Вытащить как факторы:

    CTG 4 x + CTGX = CTGX • (G 3 + 1)

     
     
    Пытаться к фактору как сумма кубов:

    2.2 Факторинг: G 3 + 1

    Теория: сумма двух идеальных кубов, 3 + B 3 может
                       (a+b) • (a 2 -ab+b 2 )
    Доказательство  : (a+b) • (a 2 -ab+b 2 9 902 2 = 9 9020 ) 3 -A 2 B + AB 2 + BA 2 -B 2 -B 2 A + B 3 =
    A 3 + (A 2 B-BA 2 ) + ( AB 2 -B 2 -B 2 A) + B 3 =
    A 3 + 0 + 0 + B 3 =
    A 3 + B 3

    Проверка: 1 — это куб из   1 
    C HECK: G 3 — кубик G 1

    Факторизация:
    (G + 1) • (G 2 — G + 1)

    Пытаться к фактору, расщепленным среднесрочным

    2 . 3     Разложение на множители g 2 — g + 1 

    Первый член равен g 2  , его коэффициент равен 1 .
    Средний член равен  -g , его коэффициент равен -1 .
    Последний член, «константа», равен  +1 

    Шаг 1. Умножьте коэффициент первого члена на константу.   1 • 1 = 1 среднего члена, который равен   -1 .


    8 5
    -1 + -1 = -2 0 -2 0 1 + 1 = 2


    Наблюдение : Невозможно найти два таких фактора !! 0

    Этап 3 :

    Теория – корни продукта:

     3.1    Произведение нескольких членов равно нулю.

     Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

     Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

     Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении 

     Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

     
    Уравнение одного переменного уравнения:

    3.2 RELAVE CTGX = 0

    Установка любого из переменных к нулю решает уравнение:

    C = 0
    T = 0
    G = 0
    x = 0

    Решение Уравнение с одной переменной:

     3.3 решить: G + 1 = 0

    Вычтите 1 с обеих сторон уравнения:
    G = -1

     

     
    Парабола, нахождение вершины:

    3.4 Найти вершину Y = G 2 -G + 1

    Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

     Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

    Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх.По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

     Для любой параболы, Ag 2 +Bg+C,  g -координата вершины задается как -B/(2A) . В нашем случае G координата G составила 0,5000

    , подключение к подключению к PARABOLA 0.5000 для G. Мы можем рассчитать Y -Coordinate:
    y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 + 1.0
    или y = 0,750

    Парабола, графики Вершина и X-перехваты:

    Корневой график для:  y = g 2 -g+1
    Ось симметрии (пунктирная)  {g}={ 0.50} 
    Вершина в  {g,y} = { 0,50, 0,75} 
    Функция не имеет действительных корней

    Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

     3,5     Решение   g 2 -g+1 = 0, заполнив квадрат.

     Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
       g 2 -g = -1

    Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  g , равный 1 , разделите на два, получите 1/2 , и, наконец, возведите в квадрат это дает 1/4 

    . Добавьте 1/4  к обеим частям уравнения:
      В правой части мы имеем:
       -1  +  1/4    или (-1/1)+(1/4) 
      общий знаменатель двух дробей равен 4   Сложение (-4/4)+(1/4) дает -3/4
     Таким образом, складывая обе части, мы окончательно получаем :
       g 2 -g+(1/4) = — 3/4

    Добавление 1/4 завершило левую часть в полный квадрат:
       g 2 -g+(1/4)  =
       (g-(1/2)) • (g-(1/ 2))  =
      (g-(1/2)) 2
    Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу.Поскольку
       g 2 -g+(1/4) = -3/4 и
       g 2 -g+(1/4) = (g-(1/2)) 2
    , то согласно закон транзитивности,
       (g-(1/2)) 2 = -3/4

    Мы будем называть это уравнение уравнением #3. 5.1  

    Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

    Обратите внимание, что квадратный корень из
       (g-(1/2)) 2   равен
       (g-(1/2)) 2/2  =
      (g-(1/2)) 1  =
       g-(1/2)

    Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению#3.5.1  получаем:
       g-(1/2) = √ -3/4

    Добавьте 1/2  к обеим сторонам, чтобы получить:
       g = 1/2 + √ -3/4
    В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет   i 2   =-1. И  i  , и   -i   являются квадратными корнями из   -1 

    Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
       g 2 — g + 1 = 0
       имеет два решения:
      g = 1/2 + √ 3/4 • i
       или
      g = 1/2 — √ 3/4 • i

    Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как
      √ 3 / √ 4  , что равно √ 3 / 2
    9008 Квадратное уравнение с использованием квадратичной формулы

     3. 6     Решение    g 2 -g+1 = 0 по квадратичной формуле .

    Согласно квадратичной формуле, G, решение для AG 2 + Bg + C = 0, где A, B и C являются числами, часто называемыми коэффициентами, задаются:

    — B ± √ b 2 -4ac
    G = ———-
    2a

    в нашем случае, A = 1
    B = -1
    C = 1

    соответственно, B 2 — 4AC =
    1 — 4 =
    -3

    Применение квадратичной формулы:

    1 ± √ -3
    г = ——
    2

    в наборе действительных чисел, отрицательные числа не имеют квадратных корней.Был изобретен новый набор чисел, называемый комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти номера написаны (A + B * I)

    И я и -i — квадратные корни минус 1

    соответственно, √ -3 =
    √ 3 • (-1) =
    √ 3 • √ -1 =
    ± √ 3 • I

    √ 3, округлые до 4 десятичных цифр, составляет 1,7321
    , поэтому теперь мы смотрим:
    г = (1 ± 1,732 I) / 2

    Два воображаемых решения:

     G = ( 1+√-3)/2=(1+i√3)/2= 0. 5000+0,8660i
    или: 
    г = (1-√-3)/2=(1-i√3)/2= 0,5000-0,8660i

    Найдено 7 решений:

    1.  g =(1-√-3)/2=(1-i√ 3 )/2= 0,5000-0,8660i
    2.  g =(1+√-3)/2 = (1 + I√ 3) / 2 = 0.5000 + 0.8660i
    3. G = -1
    4. г = 0
    5. г = 0
    6. T = 0
    7. C = 0

    Основные математические функции в Scilab — x-engineer.org

    Даже если Scilab способен выполнять очень сложные числовые вычисления, его можно использовать только как простой или научный калькулятор.Наиболее распространенные функции связаны с тригонометрией, логарифмами и базовой статистикой. В таблице ниже объясняются основные математические функции, определенные в Scilab.

    Общие функции

    9057
    Математическая функция Scilab Функция Математическая формула
    квадратный корневой SQRT (X) \ [\ \ begin {уравнение *} \ begin { split}
    \sqrt{x}
    \end{split} \end{equation*} \]
    экспоненциальный exp(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
    e ^x
    \end{split} \end{equation*} \]
    естественный алгоритм log(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
    ln(x)
    \ end{split} \end{equation*} \]
    десятичный логарифм log10(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
    log(x)
    \end{split} \end{equation*} \]
    абсолютное значение абс(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
    \left | х \ справа |
    \ End {Split} \ end {уравнение *} \]
математическая функция Scilab функция Математическая формула
Sine SIN (x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
sin(x), x \hspace{2mm} в \hspace{2mm} радианах
\end{split} \end{equation*} \ ]
косинус cos(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
cos(x), x \hspace{2mm} в \hspace{2mm} радианах
\end{ split} \end{equation*} \]
тангенс tan(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
tg(x), x \hspace{2mm} in \ hspace{2mm} радианы
\end{split} \end{equation*} \]
котангенс cog(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
ctg(x) , x \hspace{2mm} в \hspace{2mm} радиуса ans
\end{split} \end{equation*} \]
арксинус asin(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
y = arcsin(x) , x = sin(y)
\end{split} \end{equation*} \]
арккосинус acos(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
y = arccos(x), x = cos(y)
\end{split} \end{equation*} \]
арктангенс atan(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
y = arctg(x), x = tg(y)
\end{split} \end{equation*} \]
арккотангенс acot(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
y = arcctg(x), x = ctg(y)
\end{split} \end{equation*} \]
гиперболический синус sinh(x ) \[ \begin{equation*} \begin{split}
sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2}
\end{split} \end{equation* } \]
гиперболический косинус cosh(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
cosh(x) = \frac{e^{2 \cdot x} + 1}{2 \cdot e^x}
\ end{split} \end{equation*} \]
гиперболический тангенс tanh(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
tanh(x) = \frac{e^ {2 \cdot x} – 1}{e^{2 \cdot x} + 1}
\end{split} \end{equation*} \]
гиперболический котангенс coth(x) \ [ \begin{equation*} \begin{split}
coth(x) = \frac{e^{2 \cdot x} + 1}{e^{2 \cdot x} – 1}
\end{split} \end{equation*} \]
sinc sinc(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
sinc(x) = \frac{sin(x)}{x }
\end{split} \end{equation*} \]

Важно помнить, что аргумент для тригонометрических функций должен быть в радианах. {\circ}}
\end{split} \end{equation*} \]

Пример, функция sine угла 90°:

 -->sin(90 * %pi/180)
 ответ =
 
 1.
 
-> 

Статистические функции

Scilab Функция Описание
минимум мин (x) \ [\ \ begin {уравнение *} \ begin {split}
x = [x_1, x_2, …]
\end{split} \end{equation*} \]
максимум max(x) \[ \begin{equation*} \begin {split}
x = [x_1, x_2, …]
\end{split} \end{equation*} \]
round round(x) \[ \begin{equation*} \begin {split}
выводит \hspace{2mm} ближайшее \hspace{2mm} целое число \hspace{2mm} \hspace{2mm} из \hspace{2mm} x
\end{split} \end{equation*} \]
ceil ceil(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
выводит \hspace{2mm} \hspace{2mm} целое число \hspace{2mm} часть \hspace{2mm} из \hspace{2мм} x + 1
\end{spli t} \end{equation*} \]
floor floor(x) \[ \begin{equation*} \begin{split}
выводит \hspace{2mm} \hspace{2mm} целое число \hspace{2mm} часть \hspace{2mm} из \hspace{2mm} x
\end{split} \end{equation*} \]

Пример:

 -->min([1 2 3 ]) + max([-2 0 1]) + round(0. 3-5*(котг(х)/акос(х))-кош(х)

ответ =
 - 7.60525
 
--> 

Лучший способ освоить синтаксис базовых функций Scilab – это попробовать пару математических выражений, которые должны включать базовые, тригонометрические и статистические функции. После некоторой практики имена и аргументы функций будут легко запоминаться и использоваться.

Для любых вопросов, наблюдений и запросов относительно переменных Scilab используйте форму комментариев ниже.

Не забудьте поставить лайк, поделиться и подписаться!

Тригонометрическая функция (круговая функция) — исчисление How To


Содержание (нажмите, чтобы перейти к этому разделу):

  1. Что такое тригонометрическая функция?
  2. Производная тригонометрической функции
  3. Интегралы триггерных функций
  4. Тригонометрические тождества
  5. Единичный круг

Тригонометрическая функция , также называемая круговой функцией , является функцией угла.

Посмотрите видео с введением в тригонометрические функции или прочтите информацию ниже:

Функция косинуса ( cos(x) ) является периодической функцией, что означает, что она повторяется через равные промежутки времени.


Он широко используется в физике и геометрии и фактически был разработан — вместе с функцией синуса — в период Средневековья. Они использовались в период Гупта в индийской астрономии и занимают важное место в исламских математических документах 9 века.

Функция косинуса сокращается до cos , которая, кажется, возникла в математике 16-го века.

Одним из способов определения функции косинуса является прямоугольный треугольник. Представьте себе прямоугольный треугольник с углом A. Косинус треугольника A, сокращенно cos A, будет отношением прилежащей стороны к гипотенузе. На изображении ниже это будет b/h.

Существует только одна проблема с определением функции косинуса с помощью прямоугольного треугольника. Он работает только для угла между θ и π/2 радиан — между 0 и 90 градусами. Однако есть и другой способ определения косинуса, который позволяет использовать угол как положительное или отрицательное действительное число.

Определение тригонометрической функции с помощью единичной окружности

На изображении ниже показан единичный круг с отмеченными на нем шестью тригонометрическими функциями. Как видите, cos θ можно определить как значение координаты x точки A.


Обратите внимание, что это определение совпадает с нашим старым определением для 0 ≤ θ ≤ π/2.

Также обратите внимание, что, поскольку для каждой точки P(x,y) на единичной окружности x 2 + y 2 = 1, мы можем написать тождество Пифагора для sin и cos:

cos 2 + sin 2 = 1.

Наверх

Функция котангенса , cot(x), является тригонометрической функцией — функцией углов. Это периодическая функция, повторяющаяся с периодом π.

Обозначение
Хотя обычно используется обозначение cot(x) , функция иногда обозначается как ctg(x) .

В виде формулы это также может быть записано как:

Где cos(x) — функция косинуса, а sin(x) — функция синуса.

График функции котангенса

Функция котангенса является нечетной функцией . «Странный» здесь не значит «необычный»! Это означает, что функция симметрична относительно начала координат. Это означает, что для каждой точки (x, y) на графике функции существует также точка (−x, −y). На графике зеленым цветом показаны симметричные точки (-1, -0.642) и (1, 0,642). Весь график состоит из ряда таких симметричных точек.

Графические функции: касательные, корни, домен и диапазон

Некоторые наблюдения о вертикальных касательных графика, домене, диапазоне и корнях (нулях):

  • График имеет вертикальную касательную везде, где sin(x) = 0. Они встречаются при каждом целом кратном π.
  • Область определения функции котангенса состоит из всех действительных чисел, кроме: 0, ±π, ± 2π, ±3π ….При этих значениях sin(x) = 0, что делает знаменатель в уравнении (cos(x)/sin(x)) равным нулю (т. е. деление на ноль не допускается, поэтому в этих точках функция не определена).
  • Диапазон функции котангенса представляет собой набор всех действительных чисел (-∞, ∞).
  • корня (нули) функции котангенса находятся там, где график пересекает ось x. Они возникают там, где x = 0 (другими словами, когда значение косинуса равно нулю). Корни на приведенном выше графике находятся в ±π/2 и ±3π/2.Другой способ заявить это состоит в том, что корни в каждом нечетном полуцелом кратном π.

Наверх

Функция гаверсинуса ( «половина синуса ») — это тригонометрическая функция, чаще всего определяемая как:

гаверсин А = sin 2 ( А /2).

Или, что то же самое:

hav A = ½ (1 – cos A ).

Где :

  • «А» — это угол.
  • sin = функция синуса.
  • cos = функция косинуса.

Что делает функция гаверсина?

Функция гаверсинуса вычисляет расстояние по окружности d от двух точек снаружи сферы.

Расширяя это использование от сферической геометрии до реальной жизни, его можно использовать для определения расстояния путешествия (на земном шаре) с использованием широты и долготы.

Название «хаверсин», по-видимому, произошло от слов половина + версайн; Версинус, одна из менее распространенных тригонометрических функций, в два раза больше гаверсинуса.

Историческое использование

Использование функции гаверсинуса исторически «…ограничивалось моряками и профессиональными [человеческими] компьютерами» (Hall, 1914). Он использовался как из-за его краткости (моряк хотел самых быстрых расчетов), так и из-за его точности (в течение сотен лет Морской альманах был библией мореплавателя и славился своей высокой точностью).

Сегодня функция гаверсинуса вышла из моды, ее заменили синус и косинус (гаверсинус можно записать в терминах функции синуса).Функция действительно всплывает время от времени. Например, функция гаверсинуса в компьютерном языке «R» использует широту и долготу для строк таблицы.

Наверх

Функция тангенса — популярная тригонометрическая функция; Это периодическая функция, которая повторяется каждые π периодов.

В виде формулы функция тангенса представляет собой частное (деление) функций синуса и косинуса:

тангенс = sin x / cos x

Домен и диапазон
Функция тангенса не определена везде, где функция косинуса равна нулю, из-за проблемы с делением на ноль.Работает большинство действительных чисел, за исключением x = π2 + целое число, кратное π. Следовательно, эти значения не находятся в домене.

В обозначениях домен равен:
D = {x ∈ ℝ: x ≠ π/2 + nπ для n = 0, ±1, ±2,…}
Где:

  • ℝ — набор действительных чисел.
  • ∈ = «находится в [наборе]».

Функция тангенса не ограничена, что означает, что диапазон стремится к бесконечности (она имеет вертикальные тангенсы в каждом периоде). Записанный в нотации, диапазон:

R = (-∞, ∞)

График касательной функции
График представляет собой нечетную функцию, которая не имеет ничего общего с нечетными числами: «нечетный» здесь означает, что он симметричен относительно начала координат.

График функции тангенса не проходит тест горизонтальной линии, что говорит нам о том, что это не однозначная функция.

При работе с функцией тангенса в исчислении вы обычно ограничиваете домен, что означает, что вы будете использовать границу для ваших значений x. Приведенный ниже график имеет домен, ограниченный от -1 до 1.

Этот график напоминает «правильную» функцию (а не сильно колеблющуюся), что значительно упрощает работу с ним в вычислениях. Например, вы можете вычислить интеграл с такой ограниченной областью, что было бы невозможно, если бы область включала множество вертикальных асимптот, показанных на большем графике в разделе выше.

Производная tan(x) равна sec 2 .
В дополнение к приведенному выше примеру (и доказательству), второй рабочий пример см. в разделе Правило частного (Tan x).

Наверх

Обратные тригонометрические функции буквально являются обратными тригонометрическими функциями.Вы можете думать о них как о противоположностях; В некотором смысле эти две функции «отменяют» друг друга.

Функция обратного синуса (Arcsin) , y = arcsin x, является обратной функцией синуса.

Функция синуса (красный) и функция обратного синуса (синий).

Однако, в отличие от функции синуса, которая имеет домен от -π / 2 до π / 2, обратная функция имеет очень маленький домен: от -1 до 1.

Другие свойства функции обратного синуса:

Подробнее: Определение функции арксинуса и примеры.

Эта функция, обозначаемая как arccos x, является обратной функцией косинуса.

Функция косинуса (красный) и арккосинуса (синий).


Свойства arccos x:

Наверх

Функция арктангенса, arctan x, является обратной функцией тангенса.

Функция арктангенса (зеленый) и функция тангенса (синий).


Свойства арктана х:

  • Домен равен [-∞, ∞],
  • Диапазон составляет от -π/2 до π/2,
  • Это нечетная функция (она симметрична относительно начала координат),
  • Arccos x представляет собой возрастающую функцию , перемещающуюся вверх слева направо.

Наверх

Функция обратного косинуса , обозначаемая как arccos x или cos -1 x*, является обратной функцией косинуса. В тригонометрии арккосинус дает угол верхней половины единичной окружности.

*Обратите внимание, что верхний индекс -1 — это , а не показатель степени, это просто запись для обозначения инверсии. Поэтому стало обычным использовать arccos вместо sin -1 , чтобы избежать путаницы с показателями степени.

График функции арккосинуса

График функции арккосинуса — это просто функция косинуса, отраженная по диагональной линии y = x.

График cos x (красный) и функция арккосинуса arccos x (синий).


Домен и диапазон

Область определения функции арккосинуса [-1, to 1]. Диапазон равен [0, π].

Почему домен ограничен [-1, 1]?
Может показаться странным, что инверсия определена только для очень узкой области.Это связано с тем, что функция косинуса является функцией «многие к одному», что означает, что более одного входа дают один и тот же результат. Это создает проблемы с созданием инверсий, когда домен равен бесконечности; было бы неясно, какой член диапазона сопоставляется с каким членом домена.

По сути, у вас будет проблема, когда каждый вход сопоставляется с несколькими выходами. Если вы помните определение функции, это нарушает правило «один уникальный выход»; Функция арккосинуса не была бы функцией без этой ограниченной области.

На приведенном ниже графике показано, как будет выглядеть арккосинус, если немного выйти за пределы допустимого диапазона.

Допустимый диапазон [-1, 1] показан внутри желтого прямоугольника. Если вы выходите за пределы этой области, это не функция из-за нескольких выходов на один вход. Например, обе черные точки соответствуют 0.


Ссылки

График cos(x) и cos -1 x создан с помощью Desmos.com
Oldham, K. et al. (2008). Атлас функций.Спрингер.
Янг, К. (2017). Предварительный расчет. Уайли.

Наверх

Функция обратной секущей (sec -1 ( x ) или arcsec( x )) является обратной функцией ограниченной секущей.

График функции арксеканс.

Домен и диапазон функции обратного секущего

Область определения функции арксеканса равна [∞, -1) ∪ (1, ∞]. На английском языке это означает, что область определения состоит из двух отдельных частей; На графике существует разрыв между -1 и 1.

Если вы не знакомы с обозначениями, символ ∪ — это «объединение», которое просто говорит вам, что две части вместе составляют всю область. Круглые скобки указывают на открытый интервал, а скобки на закрытый. Вместе несовпадающие ( и ] называются полузакрытым интервалом (или полуоткрытым).

Диапазон функции арксеканса (показан на графике выше) от 0 до π. В обозначениях это:
0 ≤ x ≤ π.

Примечание об ограничении домена

График секущей функции.

Большинство текстов ограничивают домен приведенным выше определением, но некоторые авторы с этим не согласны. Разногласие связано с тем, что функция секущей определяется как sec(x) = 1/cos(x). Эта функция не определена везде, где происходит деление на ноль: существует вертикальная асимптота для каждого нечетного числа, кратного π/2 (например, π/5, 3π). Следовательно, чтобы получить взаимно-однозначную функцию, необходимо ограничить область определения до [0, π/2) ∪ (π/2,π], поскольку только взаимно-однозначные функции имеют обратные функции.

В некоторых текстах вы можете встретить домен [0, π/2) ∪ [3π/2) вместо этого.

Наверх

Триггерные функции и их производные:

Использование определения производной тригонометрической функции

Вас могут попросить (особенно в начале исчисления) найти производную триггерной функции, используя определение производной вместо таблицы. Когда вы используете определение производной, вы на самом деле работаете над доказательством.Другими словами, если вы хотите доказать, что одна функция является производной от другой, вы почти всегда будете начинать с определения производной и заканчивать производной тригонометрической функции.

Пример задачи

В. Найдите производную тригонометрической функции (sin x), используя определение производной (другими словами, докажите, что d/dx sin x = cos x:

Шаг 1: Вставьте функцию sin x в определение производной:

Шаг 2: Используйте тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin a * cos B + cos a * sin B, чтобы переписать определение из шага 1:

Шаг 3: Используйте алгебру , чтобы переписать формулу на шаге 2:


= – sin x* (0) + cos x * (1) = cos x

Вот и все!

Совет: Вы можете использовать ту же самую технику для разработки доказательства любой тригонометрической функции. Начните с определения производной и найдите подходящие триггерные функции.

Наверх.

Версина на единичной окружности (круг радиусом один).

Версинус-функция (или -версия синуса e) является менее распространенной тригонометрической функцией. Он равен удвоенному гаверсину (название «гаверсин», по-видимому, произошло от слов половина + версин).

Функция имеет наклон с плавным переходом в начале и конце функции (SPIE называет функцию «плавным профилем»):

Функция стиха в значительной степени устарела и в настоящее время считается в основном «исторической» функцией, редко используемой, за исключением случайных упоминаний в литературе.Когда-то эта функция была популярна, особенно в навигации, из-за ее полезности при поиске определенных сегментов линии. Однако даже эти ссылки в основном были связаны с более популярной функцией гаверсинуса, которая определяется в терминах версина как:

гаверсинус = ½версинус(х).

Его также можно определить по-другому (используя немного алгебры) в терминах гаверсинуса:

верс(г) = 2 ав(г)

Большинство современных применений функции связаны непосредственно с гаверсинусом, который используется в теории управления (изучение поведения динамических систем) и обработке сигналов.

Функция также была определена как:

верс(х) = 1 – cos(х)

Или та же функция в другом обозначении:

cosC(t) = 1 − cos(t)

Наверх

Интегралы для шести основных тригонометрических функций:

  • ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C dx
  • ∫ cos(x) dx = sin(x) + C dx
  • ∫ tan(x) dx = ln |sec(x)| + С дх
  • ∫ кроватка(х) dx = ln |sin(x)| + С дх
  • ∫ sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + С дх
  • ∫ csc(x) dx = ln |csc(x) – cot(x)| + С дх

Наверх

Тригонометрическая функция: триггерные тождества

Вам нужно быть знакомым с тригонометрическими тождествами (или, по крайней мере, знать, где их искать). Тригонометрия — это целый семестр (иногда два!), поэтому здесь невозможно разместить всех тождеств. Но некоторые тождества проявляются в исчислении гораздо чаще, чем другие. Это тригонометрические тождества, которые вы будете использовать снова и снова.

Взаимные тождества

Это говорит вам о том, что взаимные функции sec, csc и cot являются обратными функциями косинуса, синуса и тангенса.

Тождества тангенса и котангенса

Эти тождества говорят вам, что:

  1. Тангенс функции представляет собой отношение синуса к косинусу,
  2. Раскладушка есть соотношение cos и sin.

Другие тригонометрические тождества

Первое тождество на самом деле просто версия теоремы Пифагора.

Приведенные выше тригонометрические тождества будут снова и снова использоваться на ваших занятиях. Они особенно пригодятся, когда дело доходит до вычисления производных или упрощения функций.

Например, если у вас есть sin 2 и cos 2 , близкие друг к другу в функции, вы можете отменить их, используя тригонометрическое тождество.Если у вас есть беспорядочно выглядящая функция с sin/cos/-cos 2 /sec и другими компонентами, поищите способы преобразования в sin или cos, используя приведенные выше тригонометрические тождества.

Другие типы тригонометрических функций

Существуют десятки других возможных типов тригонометрических функций, таких как арккосинус, арктангенс и арксинус, но на самом деле вы будете редко или никогда их не будете использовать. Думаю, что за пять семестров курса вычислений в колледже я использовал более редкие тригонометрические функции только один или два раза.Вы, вероятно, никогда не увидите их в тесте (они могут быть заданы как «сложная» домашняя задача по тригонометрической функции). Если они на тесте , ваш инструктор предоставит (или должен) список менее известных тригонометрических тождеств. Если вы знаете (и можете использовать) приведенные выше идентификаторы, у вас должно быть все готово для вашего класса.

Наверх

Единичный круг часто используется для определения тригонометрической функции, такой как версина.

Единичный круг имеет радиус 1 с центром в начале координат (0, 0) декартовой плоскости. Многие тригонометрические функции определяются в терминах единичной окружности, включая функцию синуса, функцию косинуса и функцию тангенса. Вот почему триггерные функции иногда называют «круговыми».

Единица окружности с радианами и градусами

Следующий единичный круг помечен градусами (полный оборот = 360°) и радианами (один оборот = 2π радиан), а также их соответствующими координатами на декартовой плоскости.

Единичная окружность, наложенная на ось x-y [2].

Эти координаты используются для нахождения шести общих тригонометрических значений:

  • Координата x представляет собой косинус этого угла,
  • Координата Y представляет собой синус этого угла.

Например, cos(30°) = √3/2 и sin(30° = ½).

Любая тригонометрическая функция может быть получена из этих двух соотношений.

Тригонометрическая функция: ссылки

Unit Circle Изображение: Jim.belk, CC BY-SA 1.0, через Wikimedia Commons
Графический калькулятор Desmos.
ДеЖарнетт, Н. Касательная функция. Получено 6 декабря 2019 г. с: https://faculty.math.illinois.edu/~ndejarne/teaching/MA115SP2014/Lecturetopics/LectureOutline14_Tangent_Inverse_Trig.pdf
Deshang, Y. (2016). Тригонометрические функции и комплексные числа: в математических олимпиадах и олимпиадах. Всемирная научная издательская компания. Эрдейи, А.; Магнус, В .; Оберхеттингер, Ф.; и Трикоми, Ф.Г. Высшие трансцендентальные функции, Vol. 1. Нью-Йорк: Кригер, с. 6, 1981.
Фишетти, Т. Майор, Э.и Форте, Р. (2017). Р: Предиктивный анализ. Packt Publishing Ltd.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений, 6-е изд. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, 2000.
Hall, W. (1914). Современная навигация: Учебник навигации и морской астрономии, адаптированный к курсу для кадетов Королевского флота. Университетское учебное издательство.
Корн, Г. и Корн, Т. (2013). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора.Курьерская корпорация.
Ларсон, Р. и Эдвардс, Б. (2017). Исчисление. Cengage Learning.
Раздел 5.5 Обратные тригонометрические функции и их графики. Получено 4 мая 2020 г. с: http://www.math.wustl.edu/~freiwald/131inversetrig.pdf
Маор, Э. (2003). Справочник фактов по файловому исчислению. Издание информационной базы.
SPIE — Международное общество оптической инженерии, 1995 г. «Умные конструкции и материалы: промышленное и коммерческое применение технологий интеллектуальных структур», том 2447 — «Умные материалы»,
Пенья, Дж.Сохраняющие форму альтернативы рациональной модели Безье. Получено 11 ноября 2019 г. из: Сохраняющие форму альтернативы рациональной модели Безье
Raaijmakers, S.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.