Делимость чисел признаки делимости: Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Содержание

Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • наибольший общий делитель пары чисел;
  • признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Глоссарий по теме

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток rk)

ИЛИ(остаток rn)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число n

Число a делится на число n тогда и только тогда, когда

2

последняя цифра числа a делится на 2

3

сумма всех цифр числа a делится на 3

4

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4

5

число a оканчивается цифрой 0 или 5

7

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7

8

число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8

9

сумма всех цифр числа a делится на 9

10

число a оканчивается цифрой 0

11

знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11

13

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13

25

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.

Метод математической индукции для доказательства делимости.

Схема метода:

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

4. Вывод.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №1

Условие:

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Решение:

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(65; 14)

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

(35; 26)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Задача №2.

Условие:

Найдите НОД(2457, 1473).

Решение:

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

984 = 2 · 489 + 6

489 = 81 · 6 + 3

6 = 3 · 2

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Задача №3.

Условие:

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Решение:

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Задача №4.

Условие:

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Решение:

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

      Для удобства пользования, признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 представлены в таблице. Кроме этих признаков делимости чисел, существуют признаки делимости и на другие числа. Примеры проверки делимости целых чисел с применением правил, приведенных в таблице делимости чисел, находятся под таблицей делимости чисел.

      На 2 (два) делятся все числа, у которых последней цифрой является 0 (ноль), 2 (два), 4 (четыре), 6 (шесть), 8 (восемь). Другими словами, если число оканчивается на ноль, два, четыре, шесть, восемь, то оно делится на два. Например: числа 120 (сто двадцать), 52 (пятьдесят два), 274 (двести семьдесят четыре), 16 (шестнадцать), 2 098 (две тысячи девяносто восемь) делятся на 2 (два). Числа 101 (сто один), 13 (тринадцать), 7 565 (семь тысяч пятьсот шестьдесят пять), 7 (семь), 19 (девятнадцать) не делятся на 2 (два), поскольку при делении этих чисел в остатке остается одна 1 (единица).

      Если число делится на 2 (два), то его называют четным числом. Если же число не делится на 2 (два), то такое число называют нечетным. Все четные числа оканчиваются на одну из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все нечетные числа оканчиваются цифрой 1, 3, 5, 7, 9. Понятие четные и нечетные числа — одно из основных понятий математики. Примером применения четных и нечетных чисел в повседневной жизни могут служить расписания движения поездов, когда поезда отправляются только по четным или только по нечетным числам.

      На 3 (три) делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3 (три). Число 159 (сто пятьдесят девять) делится на 3 (три), поскольку сумма его цифр
1 + 5 + 9 = 15
(пятнадцать) делится на 3 (три)
15 : 3 = 5
и дает в результате 5 (пять). Если разделить на 3 (три) взятое нами число
159 : 3 = 53
получится пятьдесят три.

Признак делимости на 3 (три) распространяется и на сумму цифр любого числа. Проверим делимость на 3 числа 1 234 567 890 (один триллион двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят тысяч восемьсот девяносто). Находим сумму цифр этого числа
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45
Еще раз находим сумму цифр для числа 45 (сорок пять):
4 + 5 = 9
Число 9 (девять)делится на 3 и дает в результате число 3. Следовательно, число 1 234 567 890 делится на 3:
1 234 567 890 : 3 = 411 522 630
в результате получится четыреста одиннадцать миллионов пятьсот двадцать две тысячи шестьсот тридцать.

Рассмотрим еще один пример. Проверим делимость на 3 числа 29 443 680 100 259 (двадцать девять триллионов четыреста сорок три миллиарда шестьсот восемьдесят миллионов сто тысяч двести пятьдесят девять). Находим сумму цифр:
2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 9 = 53
Теперь находим сумму цифр числа 53 (пятьдесят три):
5 + 3 = 8
Число 8 не делится на число 3, следовательно число 29 443 680 100 259 не может быть поделено на число 3 без остатка:
29 443 680 100 259 : 3 = 9 814 560 033 419 и 2 в остатке
(девять триллионов восемьсот четырнадцать миллиардов пятьсот шестьдесят миллионов тридцать три тысячи четыреста девятнадцать и два в остатке).

      На 4 (четыре) делятся числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 (четыре). Специально для проверки делимости чисел на 4 на отдельной странице размещена таблица умножения на 4 первых тридцати натуральных чисел. На этой же странице приведены математические примеры определения делимости чисел на 4 (четыре).

      Признаки делимости целых чисел: на 5 (пять) делятся числа, которые оканчиваются цифровой 0 (нуль) или 5 (пять). Число 590 (пятьсот девяносто) делится на 5 (пять), поскольку оно оканчивается на цифру 0 (ноль):
590 : 5 = 118
в результате деления получается сто восемнадцать.

Число 1 375 (тысяча триста семьдесят пять) так же делится на 5 (пять), так как оно оканчивается цифрой 5 (пять):
1 375 : 5 = 275
в математическом результате деления частное составит двести семьдесят пять.

      На 6 (шесть) делятся числа, если одновременно соблюдаются признаки делимости на 2 (два) и на 3 (три). Другими словами, на 6 делятся все четные числа, сумма цифр которых делится на 3 (три). Например, число 948 (девятьсот сорок восемь) делится на 6 (шесть), поскольку оно является четным и сумма его цифр делится на 3 (три):
9 + 4 + 8 = 21
Снова находим сумму цифр числа 21 (двадцать один):
2 + 1 = 3
В математике деление взятого нами числа 948 (девятьсот сорок восемь) на 6 (шесть) можно записать так:
948 : 6 = 158
в результате получается число сто пятьдесят восемь.

      На 7 (семь) делятся числа, у которых разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7 (семь). Для начала рассмотрим число 14 (четырнадцать). В этом числе 1 (один) десяток и 4 (четыре) единицы. Проверим его делимость по математическим правилам, соблюдая порядок выполнения математических действий:
1 — 4 х 2 = 1 — 8 = -7
Число -7 (минус семь) делится на 7 (семь) и дает в результате -1 (минус единицу). Следовательно, число 14 (четырнадцать) так же делится на 7 (семь):
14 : 7 = 2
в результате получается два.

Теперь рассмотрим делимость числа 21 (двадцать один). Здесь мы имеем 2 (два) десятка и 1 (одну) единицу. Проверяем делимость этого числа на 7 (семь): 2 — 1 х 2 = 2 — 2 = 0
Число 0 (нуль)делится не только на 7 (семь), но и на все числа, и дает в результате 0 (нуль). Таким образом, число 21 (двадцать один) делится на 7 (семь):
21 : 7 = 3
частное равняется трем.

В заключение рассмотрим более сложный пример признака делимости на 7 (семь). Проверим делимость числа 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть). В этом числе 8 657 (восемь тысяч шестьсот пятьдесят семь) десятков и 6 (шесть) единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7 (семь):
8657 — 6 х 2 = 8657 — 12 = 8645
Снова проверяем делимость на 7 (семь), теперь уже полученного нами числа 8 645 (восемь тысяч шестьсот сорок пять). Теперь у нас 864 (восемь шестьдесят четыре) десятка и 5 (пять) единиц:
864 — 5 х 2 = 864 — 10 = 854
Опять повторяем наши действия для числа 854 (восемьсот пятьдесят четыре), в котором 85 (восемьдесят пять) десятков и 4 (четыре) единицы:
85 — 4 х 2 = 85 — 8 = 77
В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 (семьдесят семь) делится на 7 (семь) и в результате получается 11 (одиннадцать). Для не верящих сделаем последний шаг, с 7 (семью) десятками и 7 (семью) единицами:
7 — 7 х 2 = 7 — 14 = -7
Подобный результат мы уже рассматривали выше.
После длительного математического исследования нам удалось установить, что число 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть) делится на на 7 (семь):
86576 : 7 = 12368
в результате деления получаем двенадцать тысяч триста шестьдесят восемь.

      На 8 (восемь) делятся числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8 (восемь). Проверить делимость чисел на 8 можно, воспользовавшись таблицей умножения на 8, составленной для первых ста пятидесяти натуральных чисел. Математическая таблица умножения охватывает все трехзначные результаты умножения чисел на 8. Примеры определения делимости чисел на 8 (восемь) приведены на этой же странице.

      Простые числа до 2803, которые делятся только на единицу и сами на себя представлены в таблице простых чисел на отдельной странице.

      23 октября 2009 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК. НОД. Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.


Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК. НОД. Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.

Поделиться:   

Делимость чисел.

Кратное. Делитель. Наименьшее общее кратное (НОК). Наибольший общий делитель (НОД). Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Сборник задач для подготовки к олмипиаде по математике на тему «Натуральные числа. Делимость чисел. Признаки делимости»

Сборник задач для подготовки к олимпиаде по математике

8-11 классы

Тема: Натуральные числа. Делимость чисел. Признаки делимости

Теория

Сумма чисел a и b делится нацело на число n, если оба слагаемых делятся на число n:

(a + b)  n, если a  n и b  n

Произведение чисел a  и b делится нацело на число n, если хотя бы одно из чисел a или b делится на число n:

 (ab)  n, если a  n или  b  n.

Признаки делимости:

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т. е. делится ли на него без остатка).

— на 2: для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 (т.е. цифра единиц 0, 2, 4, 6, 8)

— на 5: для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (т.е. цифра единиц либо 0, либо 5)

— на 10: для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

— на 4 (на 25): для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4 (на 25), необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 (на 25) число, образованное двумя последними цифрами числа p.

— на 8 (на 125): для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8 (на 125), необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 (на 125) число, образованное тремя последними цифрами числа р.

— на 3 (на 9): для того чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).

— на 11:  для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком плюс, если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком минус, если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.

-на 7 (на 13): для того чтобы натуральное число делилось на 7 (на 13), необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц), взятых со знаком плюс для нечетных граней и знаком минус для четных граней, делилась на 7 (на 13).

Также часто используется комбинация признаков для определения делимости числа на 6, 15, 36, 45 и др.

Последовательность натуральных чисел часто записывается следующим образом:

 1; 2; 3; …, n-2; n-1; n; n+1; n+2; …

Четное число обозначается числом 2n, а нечетное число: 2n+1.

1)      Из двух последовательных натуральных чисел одно является четным. Произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2:

Иначе, n(n+1)  2.

2)      Из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 3:

Иначе, n(n+1)(n+2)  3.

3)      Из k последовательных натуральных чисел одно делится на k. Произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2:

Иначе, n(n+1)(n+2)…(n+k-1)  k.

При доказательстве делимости выражений часто используются основные тождества, т.е. ФСУ (формулы сокращенного умножения), и применяются различные способы разложения многочлена на множители.

При  решении задач на делимость чисел также используются различные методы доказательства: метод от противного, метод математической индукции и др.

 

Задачи

 

1.    Дано пятизначное натуральное число 37*86, в котором неизвестна средняя цифра (обозначена звездочкой). Какую цифру нужно вставить вместо звездочки, чтобы это число нацело делилось на 11?

2.    К числу 199719971997 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36.

3.    В пятизначном числе, делящемся на 17, 19 и 23, на месте десятков стоит 0. Найдите это число.

4.    Можно ли монетами 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

5.    К числу 37 припишите две цифры так, чтоб получилось число, делящееся на 3 и на 7.

6.    Поставьте вместо звездочек такие цифры, чтоб число 32*35717* делилось на 72.

7.    Может ли число 2772 быть произведением цифр какого-нибудь натурального числа?

8.    Дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре у одного пряников вдвое больше, чем у другого. Может ли у всех вместе быть ровно 1000 пряников?

9.    Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

10.    Докажите, что при любом натуральном а число а3+29а делится на 6.

11.    Докажите, что при любом натуральном а число а3+11а делится на 6.

12.    Докажите, что n5n делится на 10 при любом натуральном n.

13.    Докажите, что сумма двух последовательных нечетных чисел делится нацело на 4.

14.    Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел всегда будет числом четным.

15.    Докажите, что число 2643 + 1233 делится нацело на 9.

16.    Докажите, что число 31 + 32 + 33 + … +3100 делится нацело ан 120.

17.    Докажите, что при любом n выражение n3 + (n+1)3 + (n+2)3 делится нацело на 9.

18.    Докажите, что значение выражения 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n кратно 10 при любом натуральном n.

19.    Докажите, что выражение n5 – 5n3 +4n при всяком целом n делится на 120.

20.    Докажите, что выражение n3 + 3n2 +5n + 3 делится на 3 при любом целом положительном n.

21.    Найдите последнюю цифру числа 91994; числа 21999.

22.    Делится ли число 71983 – 1983 на 5?

23.    Докажите, что число 720003 + 32003 делится на 10.

24.    Докажите, что число 116 + 146 – 133 кратно 10.

25.    Сколькими нулями оканчивается число 1973*1974*1975* … *1998*1999?

26.    Докажите что, если a2 + 5ab + b2 делится на 7, то и a2b2 делится на 7.

27.    Пусть a,b и c – целые числа такие, что a+b и ab делятся на с. Докажите, что a3 + b3 делится на с2.

28.    Докажите: если a + b + c делится на 6, то a3 + b3 + c3  также делится на 6 ( числа  a,b,c – целые).

29.    Докажите, что при целом значении a выражение a7 – 5a5 + 4a3  кратно 360.

30.    Докажите, что если x и y – такие целые числа, что выражение x2 + 3xy + y2 делится на 25, то и каждое из чисел x и y делится на 5.

31.    Существует ли восемь натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 8, ровно два делятся на 7, ровно три – на 6, …, ровно семь – на 2?

32.    Натуральное число n обладает следующим свойством: для любых натуральных a и b число (a+b)nanbn делится на  n. Докажите, что  ana делится на n для любого натурального a.

 

 

 

Ответы и решения:

1.    Ответ: 6. Решение: принимая недостающую цифру за х, составим алгебраическую сумму цифр числа 6-8+х-7+3 = х-6. Таким образом, х=6.

2.    (1;2), (6;6)

3.    52003

4.    Нельзя

5.    3717; 3738; 3759; 3780

6.    6 и 2

7.    Нет

8.    Не может. Решение: в каждой паре пряников х+2х=3х. Следовательно, число пряников в паре кратно 3. Сумма всех пряников пар тоже кратно 3. А 1000 не делится на 3.

9.    Так произведение двух последовательных чисел делится на 2, произведение трех последовательных чисел делится на 3, то произведение трех последовательных чисел делится и на 6.

10.    а3+29а = а3-а+30а = а(а2-1)+30а = (а-1)а(а+1)+30а. Первое слагаемое делится на 6 (см. предыдущую задачу), второе слагаемое делится на 6. Значит и сумма делится на 6.

11.    Решение аналогично предыдущей задаче.

12.    Разложим на множители n(n4-1) = n(n2-1)n2+1) = (n-1)n(n+1)(n2+1). Это число точно   делится на 2.

       Пусть n=5k,  тогда множитель n  5

               n=5k+1, тогда множитель (n-1) 5

               n=5k+2, тогда множитель (n2+1)  5

               n=5k+3, тогда множитель (n2+1)  5

               n=5k+4, тогда множитель (n+1)  5

        Итак, число в любом случае делится на 2 и 5, поэтому оно делится на 10.

13.    Составим сумму двух последовательных нечетных чисел (2n+1)+(2n+3) = 4n+4. Каждое слагаемое суммы делится на 4, значит и сама сумма делится на 4.

14.    Решение аналогично предыдущей задаче.

15.    Разложим на множители, используя ФСУ,  2643 + 1233 = (264+123)(2642-264*123 + 1232) = 387*(2642-264*123 + 1232). Первый множитель делится на 9, значит и само число делится на 9.

16.    Заметим, что 31 + 32 + 33 + 34=120. Разобьем данную сумму 100 слагаемых на четверки: (31 + 32 + 33 +34) +34(31 + 32 + 33 +34)+ … + 396( 31 + 32 + 33 +34), каждая из которых делится на 120. Значит, вся сумма делится на 120.

17.    Раскроем скобки, используя ФСУ, и сгруппируем слагаемые n3 + (n+1)3 + (n+2)3 = n3+n2+3n2+3n+1+n3+6n2+12n+8 =3n3+9n2+15n+9 = 9(n2+1) +3n(n2+5). Каждое из слагаемых делится на 9. Значит и сумма делится на 9.

18.    Преобразуем выражение 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 9*3n +33— 4*2n-2n = 10*3n-10*2n-1. Каждое слагаемое делится на 10, значит и само выражение делится на 10.

19.    Решение аналогично задаче № 10. Разложите выражение на 5 множителей:

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). Учитывая, что 120 = 2*3*4*5, можно доказать, что выражение делится на 120.

20.    Решение аналогично задаче № 10.

21.    Рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 9:    91=9,  92=81,  93=729, 94= 6561. Заметим, что четные степени числа 9 оканчиваются цифрой 1, а нечетной – цифрой 9. Таким образом, число 91994 оканчивается цифрой 1. Аналогично можно доказать, что число 21999 оканчивается цифрой 8.

22.     Решение аналогично задаче № 21. Ответ: да, делится.

23.    Решение аналогично задаче № 10.

24.    Решение аналогично задаче № 10.

25.    6 нулями.

26.    Рассмотрим выражение (ab)2 =   a2 -2ab + b2 = a2+5ab +b2 – 7ab. Значит, (ab)2 делится на 7. Отсюда и (ab) делится на 7. Таким образом, выражение  a2b2 = (ab)(a+b) делится на 7, так как множитель (ab) делится на 7.

27.    Так как  a+b и ab делятся на с, то их произведение  (a+b)ab = a2b+ab2 делится на с2.  Так как (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, то в выражении a3 + b3 = (a+b)3-3(a2b+ab2) каждое из слагаемых делится на с2.Значит и a3 + b3 делится на с2.

28.    Решение аналогично задаче № 10. Составьте разность выражений (a3 + b3 + c)3— (а  + b + c).

29.    Решение аналогично задаче № 19. Разложите выражение на 7 множителей:

а(а-2)(а-1)аа(а+1)(а+2). Учитывая, что 360 = 23*32*5, можно доказать, что выражение делится на 360.

30.    Преобразуем выражение x2 + 3xy + y2=(xy)2+5xy. Так как все выражение делится на 25, а 5ху делится на 5, то (xy)2 делится на 5, а значит и на 25. Поэтому 5ху также делится на 25, откуда следует, что х или у делится на 5. Но х-у делится на 5, поэтому оба числа делятся на 5.

31.    Ответ: не существует. Решение (методом от противного): предположим, что такие восемь чисел найдутся. Из условия следует, что ровно одно из них не делится на 2 и ровно два из них не делятся на 3. Значит, среди рассматриваемых чисел не менее пяти чисел делятся и на 2, и на 3, т. е. делятся на 6. Но по условию чисел, делящихся на 6, должно быть ровно три. Противоречие.

32.  Докажем методом математической индукции:  при a=1:      (1n-1)  n.

Пусть утверждение справедливо при некотором n=k:         (knk)  n.

Полагая, что a=k, b=1 в выражении  (a+b)nanbn , получаем (k+1)nkn – 1 делится на  n. Составим сумму (knk)+((k+1)nkn – 1) = (k+1)n – (k+1)  n. Таким образом, утверждение верно при  a=k+1. Переход доказан.

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1.    Математические олимпиады: 906 самых интересных задач и примеров с решениями. Р.И.Довбыш, Л.Л,Потемкина. Ростов н/Д, ООО «Феникс», 2008.

2.    Задачи районных и городских математических олимпиад. Урман А.А., Храмцов Д.Г., Шрайнер А.А. Новосибирск, 2004.

3.    Математические олимпиады школьников. Кн для учащихся общеобразоват.учреждений. Л.П.Купцов, Ю.В.Нестеренко, С.В.Резниченко, А.М.Слинько. М: «Просвещение», 1998.

4.    Летняя математическая школа: теория, задания, математические бои, олимпиады, опыт организации. Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.О.Иванова. Ростов н/Д: Легион, 2013.

5.    Математические олимпиады: сборник задач. Сост.Ульзутуева С.А. Чита: ЧИПКРО, 2009.

6.    Математика: алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. М: «Мнемозина», 2015.

 

 

 

 

Сравнения и признаки делимости | Математика, которая мне нравится

Определение. Пусть и — целые числа, — натуральное. Говорят, что число сравнимо с по
модулю , если .

Обозначение. .

Пример.

   

Теорема. тогда и только тогда, когда и дают при делении на равные остатки.

Доказательство. Разделим и на с остатками

   

Тогда

   

Следовательно,

   

Свойства сравнений

1. (рефлексивность),

2. (симметричность),

3. (транзитивность),

4. .

5. , НОД.

Доказательство.

1.

2.

   

3.

   

4.

   

   

   

5.

   

Признаки делимости

Пусть — натуральное число, ,

1. Признаки делимости на и

Так как , то

   

Натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю и по модулю .

2. Признаки делимости на и на

Натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю и по модулю .

3. Признаки делимости на и на

Натуральное число сравнимо по модулю и по модулю с числом, образованным его двумя последними цифрами.

4. Признак делимости на

, если — четное,
, если > — нечетное.

Натуральное число сравнимо по модулю с числом, которое получится, если сложить все цифры, стоящие на нечетных местах, считая справа, и вычесть из этой суммы сумму всех остальных цифр.

Задачи.

1. Найдите остаток от деления числа
на .

2. Найдите остаток от деления

a) на ;

б) на , если  и .

3. Докажите, что если , то .

4. Докажите, что

   

делится на .

5. Докажите, что если делится на , то .

6. Докажите, что если натуральные числа и таковы, что делится на , то делится на .

7. Докажите, что если , то , где – наибольший общий делитель и .

8. Выведите признаки делимости на .

Делимость натуральных чисел — Виртуальный урок математики

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9.  Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

 Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.


П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 

                      3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

                      число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

                      это число делится на 11, так как суммы его чётных цифр:

                      3 + 8 + 1 = 12  и нечётных цифр 7 + 0 + 5 = 12  равны.

                      Но это число не делится на  2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

                      А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

 

Делимость чисел

Цели:

  • Обобщить имеющиеся у учащихся знания о признаках делимости на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9;
  • Познакомить с признаками делимости на 4, 6 и 25.
  • Сформировать умение решать задачи с использованием этих признаков.

Задачи урока:

  • Образовательные: закрепить теоретические знания и отрабатывать умение решать задачи по данной теме.
  • Развивающие: развивать мышление и грамотную математическую речь, внимание и память.
  • Воспитательные: расширять кругозор, содействовать воспитанию интереса к математике, активности и умению общаться.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счёт. 

1. Придумайте числа, которые делятся:

 а) на 2; б) на 5; в) на 10; г) на 3; д) на 9; е) на 3 и на 5; ж) на 5 и на 9; з) на 2 и 3.

2. Не выполняя вычитания, определите, делится ли разность:

а) 124-98 на 2; б) 86750-2345 на 5; в) 349000-2340 на 1000; г) 99999-11111 на 3.

III. Сообщение темы урока.

На этом уроке мы продолжим признаки делимости.

IV. Историческая справка.

Признаки делимости на 2, на 3, на 5 были известны с древних времён. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне в II веке до н.э., а признак делимости на 9 был известен грекам в III веке до н.э. Впервые признаки делимости были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардом Пизанским (1180-1240).

Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) ещё в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следует все частные признаки.

V. Изучение материала. 

Рассмотрим признак делимости на четыре: число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.

Определите, какие из чисел 164,230,1124,2080, 3118 делятся на 4?

Признак делимости на 6.

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой и сумма его цифр делится на 3, то это число делится без остатка на 6.

Примеры.

Какие из чисел 7024, 2127, 14768, 32526, 50171, 63012 делятся на 6?

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.

Определите, какие из чисел 6425, 3005, 12475, 8000, 7555 делятся на 25?

VI. Физкультминутка.

VII. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Запишите наименьшее 10-значное число в котором:
а) все цифры различны и оно делится на 4;
б) все цифры различны и оно делится на 25.

Вариант 2. 

Запишите наибольшее 10-значное число в котором:
а) все цифры различны и оно делится на 4;
б) все цифры различны и оно делится на 25.

VIII. Разберём признак делимости на 11.

Чтобы узнать делится ли число на 11, надо: 

— Сложить все цифры числа, стоящие на нечетных местах, начиная с разряда единиц (т.е. справа налево), сделать тоже самое для цифр, стоящих на четных местах;

— Из большей полученной суммы вычесть меньшую и определить, делится ли разность на 11;

— Если ответ «да», то и само число делится на 11; если «нет», то число на 11 не делится.

Например. Определим, делится ли число 374715 на 11.

Решение: 

5+7+7=19 и 1+4+3=8

19-8=11;

11 делится на 11;  

Следовательно, число 374715 делится на 11.

IX. Подведение итогов урока.

В четырёхзначным числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка. Какой может быть эта цифра, чтобы число делилось:

а) на 2; б) на 5; в) на 3; г) на 9?

X. Рефлексия.

XI. Домашнее задание.

Приведите примеры из жизни, где могут применяться признаки деления чисел, в чем они там помогают.

Презентация.

Литература.

1. Математика. Арифметика. Геометрия — 5 класс. Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др. М: Просвещение, 2016 г.

2. Математика. Задачник 5 класс. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. М: Просвещение, 2017 г.

3. Поурочные разработки по математике 6 класс. В.В. Выговская. Москва «ВАКО» 2008 г.

Правила делимости на 7, 11 и 12

На предыдущем уроке мы обсуждали правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10. В этом уроке мы поговорим о признаках делимости на числа 7, 11 и 12. Причина, по которой я их разделил, заключается в том, что правила делимости для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж сложны. На самом деле, они действительно забавны!


Правило делимости на 7

Правило: Возьмите последнюю цифру и вычеркните ее из исходного числа. Затем удвойте его. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разность делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.


Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.

Решение: возьмем последнюю цифру 6,89{\color{red}5}, которая \color{red}5, затем удвоим ее, таким образом, 2({\color{red}5})=10. Теперь вычтите «новое» число (старое число без последней цифры) на удвоенную последнюю цифру, и мы получим 689-10=679. 679 делится на 7? Мы можем выполнить длинное деление. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не достигнем двузначного числа, потому что гораздо проще узнать, делится оно на 7 или нет.

Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, что на последнем шаге мы получили 679. Двигаемся дальше, последняя цифра 67{\color{red}9} равна \color{red}9. Если мы удваиваем его, мы получаем 2 ({\ color {Red} 9}) = 18. Оставшееся число, сформированное, когда мы избавляемся от последней цифры, это 67. Если мы вычитаем 67 к 18, получаем 67-18 = 49.

Поскольку 49 делится на 7, значит, исходное число 6895 также должно делиться на 7. Итак, ответ — Верно. ✔︎


Пример 2: Множественный выбор.Какое число делится на 7?

Примечание: правильный ответ только один.

А) 18 046

Б) 11 749

В) 20 704

Г) 21 011


Я понимаю, что поначалу процедура может быть сложной, но чем больше вы ее используете, тем больше она становится намного проще. Ниже приведены простые шаги, которые, я надеюсь, помогут вам запомнить.

Этапы проверки на делимость числа 7

  • Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте отброшенную цифру.
  • Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.
  • Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.
  • Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7. В противном случае оно не делится.

Решение: В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, потому что вполне возможно, что вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени.Но в этом уроке мы пойдем от А к D ради практики.

◉ Вариант тестирования А: 18 046

Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы получим 2(6)=12.

Вычтите из нового числа двойную последнюю цифру: 1804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим, чтобы оно было сокращено до двузначного числа. Давайте повторим процесс.

Отбросьте последнюю цифру 1792, которая станет 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(2)=4.

Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 179 — 4 = 175. Теперь мы сократили его до трехзначного числа. Давайте сделаем это еще раз!

Отбросьте последнюю цифру 175, которая станет 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом, 2(5)=10.

Вычесть из нового числа удвоенную последнюю цифру: 17-10=7.

Так как \color{red}7 делится на 7, то исходное число 18 046 также делится на 7. Таким образом, вариант А является правильным ответом.✔︎

Окончательный ответ: опция A .


Я оставлю это вам в качестве упражнения, чтобы выяснить, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, ниже я все же предоставлю вам сокращенное решение. Я настоятельно рекомендую вам выполнить это упражнение не только для большей практики, но и для того, чтобы показать, что число не делится на 7.

Попробуй!

◉ Вариант тестирования B: 11 749

Нажмите здесь, чтобы показать решение
  • Исходный номер: 11 749
  • 1 174-2(9)=1 174-18=1 156
  • 115-2(6)=115-12=103
  • 10-2(3)=10-6=4
6 6

Поскольку \color{red}4 не делится на 7, то 11 749 также не делится на 7.✘


◉ Вариант тестирования C: 20 704

Нажмите здесь, чтобы показать решение
  • Исходный номер: 20 704
  • 2 070-2(4)=2 070-8=2 062
  • 206-2(2)=206-4=202
  • 20-2(2)=20-4=16

Так как \color{red}16 не делится на 7, то 20,704 также не делится на 7. ✘


◉ Вариант тестирования D: 21 011

Нажмите здесь, чтобы показать решение
  • Исходный номер: 21 011
  • 2 101-2(1)=2 101-2= 2 099
  • 209-2(9)=209-18=191
  • 19-2(1)=19-2=17

Поскольку \color{red}17 не делится на 7, исходное число 21 011 также не делится на 7.


Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?

Примечание. Может быть несколько ответов.

А) 5 544

Б) 3 110

В) 54 810

Г) 34 125

Решение: Я уверен, что к этому моменту вы уже освоили этапы проверки того, делится ли число на 7 или нет. С учетом сказанного я буду использовать сокращенное решение.

◉ Вариант тестирования А: 5 544

Мы проверяем, делится ли 5544 на 7.

554-2(4)=554-8=546

54-2(6)=54-12=42

Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5544 также делится на 7. ✔︎


◉ Вариант тестирования B: 3 110

Мы проверяем, делится ли 3110 на 7.

311-2(0)=311-0=311

31-2(1)=31-2=29

Поскольку 29 не делится на 7, исходное число 3110 также не делится на 7.


◉ Вариант тестирования C: 54 810

Давайте проверим, делится ли 54 810 на 7.

5,481-2(0)=5,481-0=5,481

548-2(1)=548-2=546

54-2(6)=54-12=42

Алгоритм преобразовал исходное число в двузначное число 42, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎


◉ Вариант тестирования D: 34 125

Определим, делится ли 34 125 на 7.

3,412-2(5)=3,412-10=3,402

340-2(2)=340-4=336

33-2(6)=33-12=21

Мы преобразовали исходное пятизначное число в двузначное число 21, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 34 125 также должно делиться на 7. ✔︎

Таким образом, опции A , C и D делятся на 7.


Правило делимости на 11

Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и прикрепите слева от нее символ сложения. Затем вычтите его на следующую цифру, затем добавьте к результату третью цифру, и снова вычтите результат на четвертую цифру, и так далее и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11. 

Сокращенное правило: Поочередно складывать и вычитать цифры числа слева направо. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

Стандартное правило: Возьмем переменную сумму цифр числа.Если результат кратен 11, число делится на 11.

ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, в то время как последнее — это правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которое вам преподает ваш учитель.


Пример 1: Верно или неверно. Число 9 581 делится на 11.

Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока все цифры числа не будут обозначены символами плюс и минус слева направо. После настройки упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.

Вот настройка:

+9-5+8-1

Шаг 1: +9-5=4

4+8-1

Шаг 2: 4+8=12

12-1

Шаг 3: 12-1=11

11

Поскольку окончательный результат равен 11 и кратен 11, то исходное число 9 581 делится на 11. Таким образом, наш окончательный ответ — Истина.✔︎


Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 11?

Примечание: правильный ответ только один.

А) 98 517

Б) 79 829

В) 82 709

Г) 50 453


Мы проверим делимость каждого числа от опции A до опции D .

◉ Проверка варианта А: 98 517

Давайте настроим его, взяв переменную сумму цифр числа.

9-8+5-1+7

Тогда упрощаем.

(9-8)+5-1+7

1+5-1+7

(1+5)-1+7

6-1+7

(6-1)+7

5+7

12

Окончательный результат равен 12, что не кратно 11. Следовательно, исходное число 98 517 не делится на 11. ✘


◉ Проверка варианта B: 79 829

Настройте его, записав чередующуюся сумму цифр.

7+9-8+2-9

Упростить.

(7+9)-8+2-9

16-8+2-9

(16-8)+2-9

8+2-9

(8+2)-9

10-9

1

Так как окончательный ответ \large{(1)} не делится на 11, следовательно, исходное число 79 829 также не делится на 11. ✘


◉ Проверка варианта C: 82 709

Сначала построим переменную сумму цифр числа.

8-2+7-0+9

Затем упрощайте слева направо.Не нужно беспокоиться о порядке операций, так как мы имеем дело только со сложением и вычитанием.

(8-2)+7-0+9

6+7-0+9

(6+7)-0+9

13-0+9

(13-0)+9

13+9

22

Поскольку окончательный результат равен 22, кратному 11, это означает, что исходное число 82 709 делится на 11. Таким образом, окончательный ответ равен C . ✔︎

☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.

Окончательный ответ: опция C .


Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.

Примечание. Может быть несколько ответов.

А) 69 245

Б) 73 186

В) 843 210

Г) 918 071

Решение:

◉ Тестовый вариант А: 69 245, если делится на 11

6-9+2-4+5

{\цвет{красный}6-9}+2-4+5

-3+2-4+5

{\ цвет {красный} -3 + 2} -4 + 5

-1-4+5

{\цвет {красный}-1-4}+5

-5+5

0

Поскольку 0 кратно 11, значит, 69 245 делится на 11.✔︎


◉ Вариант тестирования B: 73 186, если оно делится на 11

7-3+1-8+6

{\цвет{красный}7-3}+1-8+6

4+1-8+6

{\ цвет {красный} 4 + 1} -8 + 6

5-8+6

{\цвет{красный}5-8}+6

-3+6

3

Поскольку 3 не делится на 11, значит, 73 186 не делится на 11.


◉ Вариант тестирования C: 843 210, если оно делится на 11

8-4+3-2+1-0

{\цвет{красный}8-4}+3-2+1-0

4+3-2+1-0

{\ цвет {красный} 4 + 3} -2 + 1-0

7-2+1-0

{\цвет {красный}7-2}+1-0

5+1-0

{\ цвет {красный} 5 + 1} -0

6-0

6

Поскольку 6 не кратно 11, значит, 843 210 не делится на 11.✘


◉ Вариант тестирования D: 918 071, если делится на 11

9-1+8-0+7-1

{\цвет{красный}9-1}+8-0+7-1

8+8-0+7-1

{\ цвет {красный} 8 + 8} -0 + 7-1

16-0+7-1

{\ цвет {красный} 16-0} +7-1

16+7-1

{\ цвет {красный} 16 + 7} -1

23-1

22

Поскольку 22 кратно 11, это означает, что 918 071 делится на 11. ✔︎

Таким образом, опции A и D делятся на 11.


Правило делимости на 12

Правило: Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.

  • Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
  • Число делится на 4 , если две последние цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Верно или неверно. Число 7512 делится на 12.

Решение:

Первый шаг — проверить, делится ли оно на 3.Сначала сложим все цифры числа 7512.

7 512

7+5+1+2=15

Поскольку 15 делится на 3, значит, 7512 тоже делится на 3.

Последний шаг — проверить, делится ли число, состоящее из двух последних цифр исходного числа, на 4, тогда оно делится на 4.

7,5 {\ цвет {красный} 12}

Так как 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.

Следовательно, поскольку исходное число 7512 делится и на 3, и на 4, оно должно делиться и на 12.✔︎


Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 12?

Примечание: правильный ответ только один.

А) 527 037

Б) 981 128

В) 746 936

Г) 49,9920

Решение:

Существует более быстрый способ проверить делимость 12. Помните, что число делится на 12, если оно делится на 3 и 4. Поскольку гораздо быстрее проверить делимость на 4 , чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на две последние цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а второе займет немного больше времени, потому что вам придется сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3.Поэтому мы сначала проверим делимость на 4, а затем на делимость на 3. Обратный путь требует немного больше времени.

◉ Вариант проверки А: 527 037 на делимость 12

Последние две цифры числа 527 037: \color{red}37 не кратно 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять делимость 3, так как оно не соответствует одному из двух требований. . Таким образом, 527 037 не делится на 12. ✘


◉ Вариант проверки B: 981 128 на делимость 12

Последние две цифры числа 981 128 — это \color{red}28, что кратно 4, то есть делится на 4.Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9+8+1+1+2+8=29. Так как сумма 29 не делится на 3, то и само число не делится на 3. Поскольку 981 128 нельзя разделить на ни на ни на 3, ни на 4, это означает, что два условия не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12. ✘


◉ Вариант проверки C: 746 936 на делимость 12

Число \color{red}36 — две последние цифры числа 746 936. И это число, кратное 4, делает исходное число делящимся на 4.Теперь о делимости на 3. Складываем все цифры числа 746 936, получаем 7+4+6+9+3+6=35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число не делится и на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12.


◉ Вариант проверки D: 49,9920 на делимость 12

Число 20 — это две последние цифры числа 49 9920, которое явно кратно 4, поэтому 49 9920 делится на 4.Складываем все цифры числа: 4+9+9+9+2+0=33. Сумма 33 делится на 3, поэтому 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится и на 3, и на 4, оно должно делиться и на 12. ✔︎

Окончательный ответ: опция D .


Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.

Примечание. Может быть несколько ответов.

А) 344 888

Число \color{red}88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4 и, следовательно, делится на 4.

Сумма цифр числа 344 888 рассчитывается как 3+4+4+8+8+8=35. Но 35, очевидно, не делится на 3.

Поскольку оказалось, что 344 888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12.


Б) 521 340

Последние две цифры числа 521 340 образуют число \color{red}40, которое кратно 4, поэтому его можно разделить на 4.

Складывая его цифры, получаем 5+2+1+3+4+0=15.Сумма 15 делится на 3.

Поскольку число 521 340 делится и на 3, и на 4, оно должно делиться и на 12. ✔︎


В) 842 652

Число \color{red}52 — это две последние цифры числа, которое однозначно делится на 4.

Сумма цифр 8+4+2+6+5+2=27. Число 27 делится на 3.

Поскольку 842 652 делятся и на 3, и на 4, то оно должно делиться и на 12. ✔︎


Г) 676 968

Последние две цифры \color{red}68 делятся на 4.

Сумма цифр 6+7+6+9+6+8=42 делится на 3.

Поскольку исходное число можно разделить и на 3, и на 4, оно должно делиться и на 12.


Вас также может заинтересовать:

Правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Правила делимости – методы и примеры

Деление — одна из четырех основных операций, которая делит число на равные части. Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количества на равные части.Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.

Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.

Что такое правило делимости?


Правила делимости были разработаны, чтобы упростить и ускорить процесс деления . Понимание правил делимости от 1 до 20 — важный навык в математике, поскольку он позволяет лучше решать задачи.

Например, правило делимости числа 9 определенно скажет нам, делится ли это число на 9, каким бы большим оно ни казалось.

Вы можете легко запомнить правила делимости для таких чисел, как 2, 3, 4 и 5. Но правила делимости для 7, 11 и 13 немного сложны, и по этой причине их необходимо тщательно понимать .

Правила делимости

Как следует из названия, правила делимости или тесты — это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного выполнения фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное является целым числом, а остаток равен нулю.

Поскольку не все числа полностью делятся на другие числа, правила делимости на самом деле являются кратчайшим путем определения фактического делителя числа, просто исследуя цифры, из которых состоит число.

Давайте теперь рассмотрим эти правила делимости для разных чисел.

Признак делимости на 1 не имеет никаких условий для чисел.Все числа делятся на 1, независимо от того, насколько они велики. Когда любое число делится на 1, результатом является само число. Например, 5/1= 5 и 100000/1 = 100000.

Число делится на 2, если его последняя цифра 2, 4, 6, 8 или 0.

Например: 102/2 = 51, 54/2 = 27, 66/2 = 33, 28/2 = 14 и 20/2 = 10

Признак делимости на 3 утверждает, что число полностью делится на 3, если цифры числа делятся на 3 или кратно 3.

Например, рассмотрим два числа, 308 и 207:

Чтобы проверить, делится ли 308 на 3 или нет, найдите сумму цифр.

3+0+8= 11. Так как сумма равна 11, что не делится на 3, то 308 тоже не делится на 3.

Проверим число 207, просуммировав его цифры: 2 + 0 + 7 = 9, так как 9 кратно 3, то 207 также делится на 3.

Тест на делимость 4 утверждает, что число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4,

Например: рассмотрим два числа , 2508 и 2506.

Последние цифры числа 2508 — 08. Так как 08 делится на 4, то число 2508 также делится на 4.

2506 не делится на 4, потому что две последние цифры, 06, не делятся на 4

Все числа с последней цифрой 0 или 5 делятся на 5. Например, 100/5 = 20, 205/5 = 41.

Число делится на 6, если его последняя цифра четное число или ноль, а сумма цифр кратна 3.

Например, 270 делится на 2, потому что последняя цифра 0.

Сумма цифр: 2 + 7 + 0 = 9, что также делится на 3.

Следовательно, 270 делится на 6.

Проверка делимости 7 объясняется в следующем алгоритме число 1073. Проверить, делится ли число на 7 или нет?

Исключите число 3 и умножьте его на 2, что станет 6. Вычтите 6 из оставшегося числа 107, поэтому 107 – 6 = 101.

Повторите процесс. У нас есть 1 x 2 = 2, а оставшееся число 10 — 2 = 8.Так как 8 не делится на 7, то и число 1073 не делится на 7.

Признак делимости числа 8 утверждает, что число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.

Признак делимости числа 9 совпадает с тестом на делимость 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то это число также делится на 9.

Пример: В таком числе, как 78532, сумма цифр равна : 7+8+5+3+2 = 25. Поскольку 25 не делится на 9, 78532 также не делится на 9.Рассмотрим другой случай числа: 686997, сумма цифр: 6 + 8 + 6 + 9 + 9 + 7 = 45. Поскольку сумма делится на 9, то число 686997 делится на 9.

Правило делимости для 10 утверждает, что любое число, последняя цифра которого равна нулю, тогда число I делится на 10.

Например, числа: 30, 50, 8000, 20 33000 делятся на 10.

  • Правила делимости для 11

Это правило гласит, что число делится на 11, если разность суммы альтернативных цифр делится на 11.

Например, чтобы проверить, делится ли число 2143 на 11 или нет, процедура такова:

Сумма альтернативных цифр каждой группы: 2 + 4 = 6 и 1+ 3 = 4

Следовательно, 6- 4 = 2, поэтому число не делится на 11. Следовательно, 2143 не делится на 11.

  • Правила делимости на 13 выполняется 4 раза до оставшегося числа, пока не будет получено двузначное число.Если двузначное число делится на 13, то и целое число делится на 13.

    Например:

    2795 → 279 + (5 x 4) → 279 + (20) → 299 → 29 + (9 х 4) → 29 + 36 → 65.

    В этом случае двузначным числом оказывается 65, которое делится на 13, следовательно, число 2795 также делится на 13.

    Правила делимости: The Tribune India

    Правило делимости — это сокращенный способ определения, делится ли заданное целое число на фиксированный делитель без выполнения деления, обычно путем проверки его цифр.Хотя существуют тесты на делимость для чисел в любой системе счисления или основании, и все они разные, в этой статье представлены правила и примеры только для десятичных чисел или чисел с основанием 10.

    Делимость на 2

    Любое число, оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8, делится на 2.

    Пример: 4627890, 598, 29856, 8880996774

    Делимость на 3

    Если сумма всех цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

    Пример: 24638124 делится на 3, так как 2 + 4 + 6 + 3 + 8 + 1 + 2 + 4 = 30 делится на 3

    Делимость на 4

    Если какое-либо число оканчивается на 00 или две его последние цифры (единицы и десятки) делятся на 4, то все число делится на 4.

    Пример: 245552 делится на 4, так как его последние две цифры 52 делятся на 4. 65298700 делится на 4, так как число заканчивается на 00.

    Делимость на 5

    Число делится на 5, если его единичная цифра равна 0 или 5.

    Пример: 19997665, 654298760

    Делимость на 6

    Если число делится на 2 и 3 по отдельности, то число делится на 6.

    Пример: 25134 делится на 2, так как оканчивается на 4, кроме того, 2 + 5 + 1 + 3 + 4 = 15 также делится на 3, следовательно, 25134 делится на 6.

    Делимость на 7

    Делимость числа на 7 не так проста, но вы можете использовать этот метод для проверки делимости. Тем не менее, это требует небольшой практики.Возьмите число и умножьте каждую цифру, начинающуюся справа (единицы), на 1, 3, 2, 6, 4, 5. При необходимости повторите эту последовательность. Добавьте продукт. Если сумма делится на 7, число будет делиться на 7.

    Пример: Проверить, делится ли 2016 на 7 — 6(1) + 1(3) + 0(2) + 2(6) = 21 делится на 7, следовательно, 2016 делится на 7.

    Делимость на 8

    Число делится на 8, если оно оканчивается на 000 или если последние три цифры делимого числа делятся на 8.

    Пример: 7000, 70008

    Делимость на 9

    Число делится на 8, если сумма цифр делится на 9.

    Пример: 54387531 делится на 9, потому что 5 + 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36 делится на 9.

    Делимость на 10

    Число делится на 10, если оно заканчивается на 0.

    Пример:- 24567890 делится на 10

    Делимость на 11

    Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, равна нулю или числу, кратному 11.

    Пример: проверьте, делится ли 584397 на 11 7 + 3 + 8 = 18 = сумма нечетных разрядов 9 + 4 + 5 = 18 = сумма четных разрядов. 18 — 18 = 0 = разница между суммой четных и нечетных разрядов. Следовательно, 584397 делится на 11

    .

    Выдержка из книги Раджеша Кумара Тхакура «Математика стала проще» с разрешения Rupa Publications.

    Правила делимости | ISEE Математика

    Все уровни

    ЦЕЛЬ УРОКА: Уметь определить, делится ли одно число на другое число за одну минуту или меньше.

    ISEE Вопрос: Какое целое число делится на 9 без остатка?

    А) 2,001     Б)2,003     В)2,005     Г)2,007

    Решение: Число делится на на с данным множителем, если этот множитель вписывается в него без остатка. Например, 27 делится на 3 и 9. Мы можем решить эту проблему, используя правила делимости. Для этой задачи нам нужно правило только для девяток, но полезно знать правила для всех чисел:

    2: Любое четное число делится на 2.Вы только посмотрите на последнюю цифру!

    2     2 8     2 ,012,98 6

    3: Сложите все цифры вместе. Если сумма цифр делится на 3, число делится на 3.

    21: 2 + 1 = 3
    54: 5 + 4 = 9
    2,985: 2 + 9 + 8 + 5 = 24

    4: Если последние две цифры любого числа делятся на 4, то и все число делится на 4.

    20     5 28     2,012,9 84

    5: Если цифра 0 или 5, то все число делится на 5.

    2 0     52 5     2 012,98 5

    6: Если число четное и делится на 3, оно также делится на 6.

    24     528     2 988

    8: Если последние три цифры любого числа делятся на 8, то и все число делится на 8.

    9: Сложите цифры вместе. Если сумма всех цифр делится на 9, то и все число делится на 9.

    27: 2 + 7 = 9
    2007: 2 + 0 + 0 + 7 = 9

    10: Если последняя цифра числа 0, оно делится на 10.

    40     1 340     1 234 560

    Нет хорошего правила для 7 или 13, но если вы используете метод исключения, вам не нужно делать вычисления.Сначала проверьте самые простые факторы!

    Полезные советы: Любое число, которое делится на четное число (2, 4, 6, 8 и т. д.), ДОЛЖНО быть четным. Кроме того, если число делится на один множитель, оно также делится на все множители этого множителя. Например, любое число, которое делится на 12, также делится на 2, 3, 4 и 6.

    РЕШЕНИЕ: Используя правило девяток, сложите цифры. D (2007) дает в сумме 9, вот и ответ.

    ЕДИНИЦА 2. ДЕЛИМОСТЬ. ЦЕЛЫЕ. ПОЛНОМОЧИЯ.

    ДЕЛИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

    делителя целого числа — это числа, которые делятся на него точно.
    Кстати, множители также называются делителями

    Для примера делители 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

    Число называется простым, если оно имеет ровно два множителя (т.е. 1 и саму себя).
    Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … . Обратите внимание, что 1 не является простым числом.

    ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ДО 100
    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,

    31,37,41,43, 47,53,59,61,

    67,71, 73,79,83,89,97

    кратных числа — это все числа, в которые оно точно входит.

    Для , например , число кратно 6: 6, 12, 18, 24, 30, … .

    Составное число — это любое число, имеющее более двух делителей . Вот список составных чисел до 20. Как видите, все они могут быть разложены на множители.Например, 4 равняется 2, умноженным на 2, 6 равняется 3, умноженным на 2, 8 равняется 4, умноженным на 2, и так далее.

    Кстати, ноль и единица не считаются ни простыми, ни составными числами — они принадлежат к отдельному классу!

    СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА ДО 20

    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20


    Любое составное число можно записать как произведение простых множителей. Это называется простой факторизацией.

    ДЕРЕВО ФАКТОРОВ

    Деревья множителей используются для разложения числа на его простые множители.

    Пример: Нарисуйте дерево множителей для числа 60.

    Начнем с поиска двух целых чисел, которые умножаются на 60, например 6 × 10: Мы продолжаем разбивать каждое число таким образом, пока не получим простое число. количество. Как только достигается простое число, мы обводим его кружком, и тогда эта часть диаграммы завершается. Завершенное дерево факторов выглядит следующим образом:


    Числа, обведенные кружком, умножаются на 60, т. е. 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Это произведение называется простой факторизацией 60.

    Признаки делимости

    Признаки делимости
    Пример
    Число делится на 2, если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
    168 делится на 2, так как последняя цифра 8.
    Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. 168 делится на 3, так как сумма цифр равна 15 (1+6+8=15), а 15 делится на 3.
    Число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4.
    316 делится на 4, так как 16 делится на 4.
    Число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5. 195 делится на 5, так как последняя цифра 5.
    Число делится на 6, если оно делится на 2 И делится на 3.
    168 делится на 6, так как оно делится на 2 И делится на 3.
    Число делится на 8, если число, состоящее из трех последних цифр, делится на 8.
    7120 делится на 8, так как 120 делится на 8.
    Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
    549 делится на 9, так как сумма цифр равна 18 (5+4+9=18), а 18 делится на 9.
    Число делится на 10, если последняя цифра 0.
    1470 делится на 10, так как последняя цифра равна 0.

    Признак делимости на 11: Признак делимости на 11 является наиболее интересным из приведенных выше тестов (7 будет изучено ниже). Мы делаем две суммы (цифры с нечетными номерами и цифры с четными номерами), вычитаем одну сумму из другой и смотрим, делится ли она на 11. Кстати, если мы получим ноль, то она делится на 11. Мы можем повторить этот процесс, как мы сделали с 3.

    Давайте посмотрим на примере:

    34871903
    3 + 8 + 1 + 0 = 12
    4 + 7 + 9 + 3 = 23
    23-12 = 11
                                                        Делится на 11

    Конечно, мы можем выполнять суммирование в другом порядке. На самом деле мы можем просто идти слева направо, добавляя и вычитая чередующиеся цифры: 3-4+8-7+1-9+0-3=-11 (делится на 11).


    НОК (наименьший общий кратный) и НОД (наибольший общий делитель)

    способ: вы находите простых факторизации двух чисел. Затем вы помещаете факторы в красивую аккуратную сетку строк и столбцов, сравниваете и сопоставляете и выбираете то, что вам нужно.

    Найдите GCF и LCM 84 и 140:

    . .
     Дерево множителей для числа 84 равно  Дерево множителей для 140:


    Мои простые факторизации таковы:
    • Кроме того, 140 = 2 × 2 × 5 × 7
    Этот упорядоченный список, в котором каждый фактор имеет свой собственный столбец, сделает большую часть работы за меня

    Наибольший общий делитель, GCF(Mcd) — это наибольшее число, которое делится (является множителем) как на 84, так и на 140. Другими словами, это число, которое содержит все множители, общие для обоих чисел. В этом случае GCF является произведением всех факторов, которые являются общими для чисел 84 и 140.

    Этот упорядоченный список, в котором каждый фактор имеет свой собственный столбец, сделает за меня большую часть работы.

    84 2 2 3 7
    140 2 2 5 7
    ГДП 2 2      7

    Тогда GCF равен 2 × 2 × 7 = 28.

    С другой стороны, наименьшее общее кратное, НОК, это наименьшее число, которое содержит как множители 84, так и 140, наименьшее число, кратное обоим этим значениям. Тогда это будет наименьшее число, которое содержит по одному из каждого множителя в этих двух числах.

    91 061 91 061 91 061
    84 2 2 3 7
    140 2 2 5 7
    LCM 2 2 3 5 7

    Тогда НОК равен 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420.

    Используя этот «факторный» метод аккуратного перечисления простых множителей в таблице, вы всегда можете легко найти LCM и GCF. Полностью разложите числа, которые вам даны, аккуратно перечислите факторы, используя только один фактор для каждого столбца (у вас могут быть столбцы 2s, столбцы 3s и т. д., но 3 никогда не войдет в столбец 2s), а затем перенесите необходимые множители вниз. в нижний ряд.

    Для GCF вы переносите только те факторы, которые являются общими для всех списков; для LCM вы переносите все факторы, независимо от того, сколько или мало значений содержат этот фактор в их списках.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
    • Числовая линия бесконечно продолжается в обоих направлениях. На это указывают стрелки.
    • Целые числа больше нуля называются положительными целыми числами. Эти числа находятся справа от нуля на числовой прямой.
    • Целые числа меньше нуля называются отрицательными целыми числами. эти числа находятся слева от нуля на числовой прямой.
    • Целое число ноль нейтрально. Это ни положительно, ни отрицательно.
    • Знак целого числа может быть положительным (+) или отрицательным (-), за исключением нуля, который не имеет знака.
    • Два целых числа противоположны, если они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но на противоположных сторонах числовой прямой. У одного будет положительный знак, у другого отрицательный. В числовой строке выше +3 и -3 помечены как противоположные.

    АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА

    Количество единиц числа от нуля на числовой прямой. Абсолютное значение числа всегда является положительным числом (или нулем). Мы указываем абсолютное значение числа n, записывая n между двумя вертикальными чертами: | н |

    Примеры:

    | 6 | = 6; | -12 | = 12; | 0 | = 0; | 1234 | = 1234; | -1234 | = 1234
    ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ СО ЗНАКОМ

    Перед выполнением ЛЮБЫХ вычислений определите ОПЕРАЦИЮ!
    Затем следуйте инструкциям для ЭТОЙ операции.

    ДОПОЛНЕНИЕ

    Числа имеют ОДИНАКОВЫЙ ЗНАК?

    Да

    4 NO

    Найти сумму


    Различные знаки:

    Найти разницу

    (-3 ) + (-6) = (-9)
    (+4) + (+5) = (+9)
    (+5) + 8-7) = (-2)
    (-4) + ( +6) = (+2)

    В любом случае Сохраняйте знак «БОЛЬШОЕ число».«БОЛЬШЕ» используется здесь как быстрый (но математически неточный) способ описать целое число с большей абсолютной величиной (т. е. расстоянием от нуля). В каждом из приведенных выше примеров ВТОРОЕ целое число имеет большее абсолютное значение.

    ВЫЧИТАНИЕ

    Сначала замените задачу НА ВЫЧИТАНИЕ задачей на СЛОЖЕНИЕ:
    Сначала скопируйте задачу точно (-6) — (+2) =
    1. Первое число останется прежним (-6)
    2. изменить операцию (-6) +
    3. Переключить СЛЕДУЮЩИЙ ЗНАК (-6) + (-2)
    4.Следуйте правилам сложения ( -6 ) + ( -2 ) = ( -8 )

    Вычесть означает: ( +2 ) — ( -6 )
        Сложить противоположное: ( +2 ) + ( +6 ) = ( + 8 )

    Вычесть означает: ( -7 ) — ( -3 )
        Сложить противоположное: ( -7 ) + ( +3 ) = ( -4 )

    Вычесть означает: ( +4 ) — ( +9 )
    Сложите противоположное: ( +4 ) + ( -9 ) = ( -5 )

    УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ

    Сначала выполните умножение или деление.
    Затем определите знак: подсчитайте количество отрицательных знаков… Есть ли ЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков?

    • ДА (ЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
    • НЕТ (НЕЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
    Пример:

    Сначала точно скопируйте задачу: ( -2 ) · ( -4 ) · ( -6 ) =
    Выполните умножение или деление. 2 · 4 · 6 = 48
    Подсчитайте количество отрицательных знаков. .. Определите знаки ответа:
    ЧЕТНОЕ ли число отрицательных?
    Если ДА, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ, в противном случае ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
    Всего ТРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ, три НЕ ЕВА (это странно)
    Таким образом, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ( -2 ) · ( -4 ) · ( -6 ) = ( -48 )

    Примеры

    (4) : ( 2) · (6) = 12
        Всего НОЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
        Таким образом, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ

    (4) : (-2) · (6) = -12
        Всего ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
        Один НЕ ДАЖЕ (это нечетное)
        Таким образом, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ

    (-4) : (2) · (-6) = 12
        Всего ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
        Два равно ЧЕТНОМУ
        Таким образом, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ

    5S ПОРЯДОК 90 ОПЕРАЦИИ Задача: вычислить это арифметическое выражение: 18 + 36 : 3 2

    В прошлом году мы научились вычислять арифметическое выражение с более чем одной операцией по следующим правилам:

    Правило 1: Упростите все операции внутри скобки
    Правило 2: Выполняйте все операции умножения и деления слева направо
    Правило 3: Выполняйте все операции сложения и сложения абстракции, работающие слева направо

    Однако в приведенной выше задаче есть экспонента, поэтому мы не можем решить ее без пересмотра наших правил.

    Правило 1: Упростите все операции внутри скобок
    Правило 2: Упростите все показатели степени, работая слева направо.
    Правило 3: Выполняйте все умножения и деления, работая слева направо
    Правило 4: Выполняйте все операции сложения и вычитания, работая слева направо


    Мы можем решить приведенную выше задачу, используя наш пересмотренный порядок операций.

    Оцените это арифметическое выражение:
    18 + 36: 3 2
    Упростить все показатели (правило 2) 18 + 36: 9
    Отдел (правило 3) 18 + 4
    Дополнение (правило 4) 22

    Полномочия и корни .КВАДРАТЫ, КУБЫ И ИХ КОРНИ

    Возведение в квадрат числа 3 2 означает «3 в квадрате», или 3 · 3. Маленькая двойка — это порядковый номер или степень. Она говорит нам, сколько раз мы должны умножить 3 (основание 7 2 означает «7 в квадрате», или 7·7. А 10 2 означает «10 в квадрате», или 10·10. 2 2 = 2 · 2 = 4, 3 2 = 3 · 3 = 9, 4 2 = 4 · 4 = 16, 5 2 = 5 · 5 = 25.
    1, 4, 9 , 16, 25… известны как квадратных числа .

    Когда порядковый номер больше трех, мы говорим «в степени».
    Например: 3 7 равно «три в степени семь»,
    4 5 равно «четыре в степени пять».

    Свойства степени

    1. Произведение одинаковых оснований : Чтобы умножить степени на одно и то же основание, сложите показатели степени и оставьте общее основание.

    2 2 · 2 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5
    M · x N = x m + n


    2.Соотношение одинаковых оснований:
    Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, вычтите степени и оставьте общее основание.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    3. Степень в степени: Чтобы возвести степень в степень, сохраните основание и умножьте показатели степени.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    4. Произведение в степени: Чтобы возвести произведение в степень, возведите в степень каждый множитель.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    5. Возведение в степень: Чтобы возвести частное в степень, возведите числитель и знаменатель в степень.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    Показатель степени один и ноль

    Обратите внимание, что 3 1 является произведением только одной 3, что, очевидно, равно 3.
    Также обратите внимание, что 3 5 = 3·3 4 . Также 3 4 = 3·3 3 .
    Продолжая эту тенденцию, мы должны иметь 3 1 = 3 · 3 0 .

    Другими словами, когда n, m и n − m положительны (и если x не равно нулю), можно, подсчитав количество вхождений x, увидеть, что

    Расширено до случая, что n и m равны, уравнение будет выглядеть как

    , поскольку равны и числитель, и знаменатель. Поэтому мы принимаем это как определение x 0 .
    Это приводит к следующему правилу:

    Любое число в степени 1 само по себе.

    Любое ненулевое число в степени 0 равно 1; одна интерпретация этих полномочий

    как пустые продукты.Случай 0 0 обсуждается следующим образом:

    Отрицательные показатели степени

    Отрицательная степень означает деление на это число множителей вместо умножения. Итак, 4 -3 равно 1/4 3 , а x -3 = 1/ x 3

    Как вы знаете, на ноль делить нельзя, поэтому x ≠ 0, когда x =0, x -n не определено.

    НАУЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ

    Для очень больших или очень малых чисел иногда проще использовать «научное обозначение» (так называемое, потому что ученые часто имеют дело с очень большими и очень маленькими числами).

    Формат записи числа в экспоненциальном представлении довольно прост:
    Первая цифра числа, за которой следует десятичная точка, а затем все остальные цифры числа, умноженные на 10 в соответствующей степени. Преобразование довольно простое.

    Пример: Запишите 12400 в экспоненциальном представлении.

    Это не очень большое число, но для примера оно подойдет. Чтобы преобразовать
    в экспоненциальное представление, я сначала пишу «1,24». Это не тот же номер
    , а (1.24)(10000) = 12400 е, а 10000 = 10 4 . Тогда в научной нотации
    12400 записывается как 1,24 · 10 4 .

    КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

    Число, противоположное квадратному, является квадратным корнем.
    Мы используем символ √ для обозначения квадратного корня.
    Таким образом, мы можем сказать, что

    4 = 2 (4 называется подкоренным числом) и 25 = 5.

    Однако это еще не все, потому что (–2) · (–2) также равно 4,
    и ( –5 ) · ( –5 ) тоже 25.

    Таким образом, на самом деле 4 = 2 или –2.А 25 = 5 или – 5.

    Помните, что каждое положительное число имеет два квадратных корня.

    КУБИРОВАНИЕ ЧИСЛА

    1 3 = 1 · 1 · 1 = 1; 2 · 2 · 2 означает «2 в кубе» и записывается как 2 3 .
    3 3 = 3 · 3 · 3 = 27; 4 3 = 4 · 4 · 4 = 64; 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125

    1, 8, 27, 64, 125… известны как кубические числа. означает
    кубический корень.
    Значит, 3·8=2 и 3·27 равно 3.

    Вся элементарная математика. Учебное пособие

    Делимость чисел на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

    Делимость на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра равна 0 или делится на 2. Числа, которые делятся на 2, называются даже номеров. Иначе числа называются нечетными числами.

    Делимость на 4 . Число делится на 4, если его две последние цифры равны нулю или образуют двузначное число, т.е. делится на 4.

    Делимость на 8 . Число делится на 8, если его три последние цифры равны нулю или образуют трехзначное число, т.е. делится на 8.

    Делимость на 3 и на 9 . Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

    Делимость на 6 . Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

    Делимость на 5 . Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.

    Делимость на 25 . Число делится на 25, если его две последние цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 25.

    Делимость на 10 . Число делится на 10, если его последняя цифра равна 0.

    Делимость на 100 . Число делится на 100, если его две последние цифры равны нулю.

    Делимость на 1000 . Число делится на 1000, если его три последние цифры равны нулю.

    Делимость на 11 . Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, расположенных на четных разрядах , равна равна сумме своих цифр, расположенных на нечетных разрядах , ИЛИ эти суммы отличаются числом, которое делится на 11.

    Есть критерии делимости и для некоторых других чисел, но эти критерии более сложные и не учитываются в программе средней школы.

    ПРИМЕР. Число 378015 делится на 3, потому что сумма его цифр 3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, что делится на 3.Это число делится на 5, потому что его последняя цифра 5. Наконец, это число делится на 11, потому что сумма четных цифр: 7 + 0 + 5 = 12 и сумма нечетных цифр: 3 + 8 + 1 = 12 равны. Но этого номера нет делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, потому что Проверьте эти случаи сами!

    Признаки делимости чисел

    Из школьной программы многие помнят, что есть признаки делимости. Под этим словосочетанием понимаются правила, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу, без выполнения прямого арифметического действия.Этот метод основан на действиях, производимых с частью цифр записи в позиционной системе счисления.

    Самые простые признаки делимости помнят многие школьные программы. Например, тот факт, что все числа делятся на 2, последняя цифра в записи четная. Эта особенность наиболее легко запоминается и применяется на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел действует следующее правило, которое можно показать на данном примере.Необходимо выяснить, кратно ли 273 трем. Для этого выполните следующую операцию: 2 + 7 + 3 = 12. Полученную сумму поделите на 3, и, следовательно, 273 поделят на 3 так, чтобы в результате получилось целое число.

    Знаки делимости на 5 и 10 будут следующими. В первом случае запись будет заканчиваться цифрами 5 или 0, во втором случае только 0. Чтобы узнать, делится ли делимое на четыре, поступают следующим образом. Необходимо выделить две последние цифры.Если есть два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то все делимое также будет делиться на делитель. Следует отметить, что перечисленные характеристики используются только в десятичной системе. Они не используются в других способах расчета. В таких случаях выводятся их правила, которые зависят от основы системы.

    Признаки деления на 6 следующие. Число кратно 6, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи.Результат вычитается из исходного числа, в котором не учитывается последняя цифра. Это правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратна ли семерка 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Затем выполняется следующее действие: 36-8 = 28. Результат кратен 7, и, следовательно, исходное число 364 можно разделить на 7.

    Знаки делимости на 8 следующие. Если последние три цифры в числовой записи образуют число, кратное восьми, то само число будет делиться на заданный делитель.

    Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По приведенной выше делимости необходимо знать, делятся ли числа 3 и 4. Если они могут одновременно выступать делителями для числа, то операцию деления можно проводить с данным делителем, делящимся на 12. Аналогичное правило действует и для других комплексных чисел, например, пятнадцати. В этом случае делители должны быть 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, нужно посмотреть, кратно ли оно 7 и 2.Итак, мы можем рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 делить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее умножаем 8 на 2, получаем 16. Из 65 вычитаем 16. Результат 49 делится на 7, как и целое число. Следовательно, 658 можно разделить на 14.

    Если две последние цифры данного числа разделить на 25, то все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел критерий делимости на 11 будет следующим.Необходимо выяснить, кратна ли разность сумм цифр, стоящих на нечетных и четных местах в его записи, заданному делителю.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск