Дифференциальное уравнение для чайников: Дифференцированные уравнения для чайников. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача коши

Содержание

Волновое уравнение в физике

Природа волнового процесса

Волновой процесс может иметь самую разнообразную природу: в виде волн распространяются свет и звуковое поле, волновую природу имеют колебания вероятности и механические движения таких объектов, как струна. Электромагнитные волны используются в быту (сотовая связь, радиотехника, СВЧ-печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что изменяющаяся величина перемещается, «оторвавшись» от своего источника. Обычно при волновом движении переносится только энергия, однако в отдельных случаях (излучение газа в вакуум, процессы горения) имеет место и перенос массы.

Волновое дифференциальное уравнение

Описывать волны сложно: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с помощью волнового дифференциального уравнения:

   

В этом уравнении u – величина, которая изменяется, v – скорость волны, x, y, z и t – пространственная и временная координата.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнение может оказаться весьма сложным. Поэтому на практике часто используют его частное решение – уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущаяся перпендикулярно своему фронту.

В природе плоских волн не существует, однако эту модель удобно использовать для расчётов. А излучение лазера или зеркальной антенны с достаточной точностью можно считать плоским.

Уравнение плоской волны гармоническое и выглядит вот так:

   

Здесь А – изменяющаяся величина, А0 – ее амплитуда, – начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны :

   

Циклическая частота связана со скоростью фронта :

   

А скорость фронта волны, в свою очередь, связана с частотой:

   

Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания, удобно использовать уравнение сферической волны:

   

Здесь r – радиус (симметричная координата), а — амплитуда сферической волны.

Примеры решения задач

Вопрос: Как решать дифференциальные уравнения? — Образование и коммуникации

Отвечу на вопросы: Как решать дифференциальное уравнение первого порядка? Какие бывают виды дифференциальных уравнений первого порядка? Как определить тип дифференциального уравнения? С чего начать решение дифференциального уравнения? Каким методом решать дифференциальное уравнение?
Обязательно посмотри:
2.-3. Уравнения с разделяющимися переменными Ч1. https://youtu.be/RInf_oK1Lgc.
Ч2. https://youtu.be/mXVW1xWYWcg.
4.-5. Однородные дифференциальные уравнения Ч1. https://youtu.be/j3zLWRunjUw.
Ч2. https://youtu.be/accSpfDwyx8.
6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным https://youtu.be/DatCY3CN_Xw.
7. Линейные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли https://youtu.be/IZPgeGNxl9M.
9. Линейные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа https://youtu.be/nsSw2F9WPdU.
8. Дифференциальные уравнения, линейные относительно х https://youtu. be/z9Vbp3mlWrc.
10. Уравнения Бернулли https://youtu.be/9P6y7F6jazM.
11. Уравнения в полных дифференциалах https://youtu.be/Ahq6ZDe-ak0.
12. Интегрирующий множитель, уравнение в полных дифференциалах https://youtu.be/lt1rUzvsmFw.
Все видео по теме ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ здесь:.
https://www.youtube.com/playlist?list=PLGtfmJuN1mTDlr4rnIsQ21bQd4RMVgtrW.
Методы вычисления НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ здесь:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLGtfmJuN1mTBK1Ik7HNy6ULc_Jo-hh0JD.
Понравилось, помогло? Подпишись на канал! Там ещё много полезного..
В качестве благодарности можно поставить лайк и оставить комментарий под видео. Спасибо за просмотр!!!
Способы решения дифференциального уравнения первого порядка, как решить дифференциальное уравнение 1 порядка, виды дифференциальных уравнений первого порядка, дифференциальные уравнения, решение дифференциальных уравнений, порядок дифференциального уравнения, дифференциальные уравнения онлайн, порядок решения дифференциальных уравнений, общее решение дифференциального уравнения, частное решение дифференциального уравнения, общий интеграл, частный интеграл, решить дифференциальное уравнение, дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения примеры, однородные дифференциальные уравнения, решение однородных дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения для чайников, однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним, линейные дифференциальные уравнения первого порядка, метод бернулли, метод вариации произвольной постоянной, метод Лагранжа, уравнения Бернулли, обобщенные линейные уравнения, уравнение в полных дифференциалах, типы дифференциальных уравнений первого порядка, виды дифференциальных уравнений первого порядка, схема решения дифференциальных уравнений, как решать дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальное уравнение 1 порядка.

Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа | Александр Шуравин.

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.

Предыдущая глава: Математика для чайников. Глава 8. Логарифмы

Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .

Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:

· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.

· Теория комплексной переменной. По сути, это та же теория функций, но связанная с комплексными числами. Комплексное число – это число, состоящее из «нормального» числа и мнимой единицы, умноженной на некий коэффициент. А мнимая единица – это корень из минус единицы, которого как бы не существует, но он на самом деле существует.

· Функциональный анализ. Это, по сути теория функций, но скрещенная с топологией. То есть туда добавлены такие понятия, как «пространство». Данный раздел математики изучает поведение и взаимоотношения функций в различных пространствах, плюс всякие линейные операторы и прочее тому подобное.

· Вариационное исчисление. Объект изучения этого раздела так называемые «вариации функционалов». Что это такое? Это обобщенное понятие дифференциала функции. Дифференциал – это, по сути, бесконечно малая часть приращения функции. С ним тесно связано понятие производной – скорости изменения функции. Для чего все это нужно? Чтобы найти экстремумы функции – ее минимумы и максимумы. А для чего их искать? Это нужно в задачах оптимизации. Например, в задачах искусственного интеллекта и машинного обучения необходимо найти минимум ошибки.

· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.

· Дифференциальные и интегральные уравнения. Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором фигурирует производная или дифференциал. Их решение сводиться к тому, чтобы преобразовать уравнения так, чтобы его можно было проинтегрировать. Ну а дальше решаем интеграл и получаем ответ. А интеграл – это сумма бесконечно малых кусочков функции, если говорить простыми словами, ну или площадь фигуры которую «вырезает» график функции. Нетрудно догадаться, что интегральные уравнения – это уравнения, где есть интеграл. А вот как решать такие уравнения – целая наука. Существует много методик, например, преобразование Лапласса.

· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.

· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.

· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.

· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.

Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу второго множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.

Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.

Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе — это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.

Всякое отображение:

множества натуральных чисел N в заданное множество X называется последовательностью.

Теперь пояснение к строгому определению. Под отображением как раз таки понимают функцию, определение которой я дал выше. То есть, отображение – это соответствие элементов одного множества элементам другого множества. Другое множество может быть тем же самым, что и первое множество. В частности, отображение натуральных чисел на натуральные числа.

Вы только что увидели сходство последовательности и функции. Скажу более, по сути, последовательность – это и есть функция, только аргумент в ней – натуральное число.

А теперь рассмотрим понятие ряд . Для этого берем последовательность и считаем суммы от первого элемента для каждого из его элементов. У нас получиться последовательность сумм. А если последовательность бесконечная? В принципе, мы тоже можем сложить все ее бесконечность членов. Теперь смотри что получается. У нас есть последовательность сумм, уходящих в бесконечность. Это и есть ряд. Как вы думаете, эти сумму будут уменьшаться, увеличиваться, к конце концов, чему будет равна самая последняя сумма? А это заливист от того, какую последовательность мы так суммируем. Очевидно, что если это будет последовательность натуральных чисел, которые «уходят» в бесконечность, то и сумма у нас тоже уйдет в бесконечность. В таком случае говорят, что ряд «расходится ».

А теперь анекдот. Заходит в бар математик, заказывает кружку пива и садиться за столик. Заходит второй математик, заказывает полкружки пива и тоже садиться за столик. Потом еще один, и заказывает уже четверть кружки. Следующий оду восьмую. А бар этот волшебный, он вмещает сколько угодно много посетителей. Да и бармен не обычный, он тоже математик и поэтому говорит:

— Ну, началось…. Вот вам на всех две кружки пива.

Для тех, кто не понял юмора. Это был ряд:

Нетрудно догадаться, что его сумма равна двум. На самом деле, этому даже есть строгое математическое доказательство, но мы пока не будем вдаваться в эти дебри. В общем, запомните, бывает, что сумма последовательности, которая образует ряд, равна не бесконечности, а какому – то определенному конечному числу. В этом случае говорят, что ряд сходится .

Теперь перейдем, пожалуй, к одному из самых важным понятий в математическом анализе. Предел . Надо сказать, что строгое определение предела появилось не сразу. Сначала его интуитивно понимали как предельный переход. Затем стали различать предел последовательности и предел функции. В первом случае, это некоторое число, к которому постепенно приближается последовательность при возрастании номеров ее членов. По своей сути, предел последовательности – это такое число, которое имеет бесконечный номер последовательности. Иначе то число, к которому стремиться последовательность, уходя в бесконечность. А вот предел функции – это значение, к которому стремиться функция, приближаясь к данной точке. Вроде, казалось бы, чего проще. Функция приближается к ее значению. В общем случае, это так. Но что вы скажете о значении функции

В точке x =2? Если вы попробуете сосчитать «в лоб» то у вас получиться 0/0. Но на нуль, как вы знаете делить нельзя. Тем более нуль делить на нуль. И как же быть? Дык можно просто вспомнить алгебру (см. Математика для чайников. Глава 5. Основы элементарной алгебры ). И упростить выражение:

Теперь мы без труда вычислим, что в данной точке значение функции равно 4.

Давайте проверим, построив ее график в Excel — e :

Что характерно, Excel даже сам правильно посчитал предел.

А вообще, предел записывается вот так:

Теперь разберемся с производной и интегралом. Давайте представим некоторую функцию вот с таким вот графиком:

Как я уже говорил выше, производная – это скорость изменения функции. Как ее найти? Надо изменения значения функции разделить на значение изменения ее аргумента:

Но если мы возьмем слишком большие приращения, то производную мы вычислим неточную. Чтобы вычислит точно нам надо взять бесконечно малое приращение по x . Если мы решим данный предел, то это и будет производная:

Где dy и dx – дифференциал (бесконечно мало приращение) функции и аргумента соответственно. Таким образом, производная функции – это функция ее скорости, или тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл).

Это краткое изложение что такое производная. Более подробно об этом будет в будущих уроках.

А теперь переедем к интегралу. Отметим на этом же графике некоорую область:

Так вот, площадь закрашенной желтым цветом области – это определенный интеграл, обозначается таким изогнутым значком и является пределом суммы бесконечно малых кусочков функции:

Есть еще неопределенный интеграл, это по сути, операция, обратная нахождению производной – то есть, нахождение первообразной.

С интегралами мы подробнее познакомимся в будущих уроках. А на сегодня пока все.

Следующая глава: Математика для чайников. Глава 10. Линейная алгебра

Решение ду методом вариации произвольных постоянных. Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю.

С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем

Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.

Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам.

Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1


(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении проведём замену:

Подставим и в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:

Функция только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Приведем уравнение к виду :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Общее решение вспомогательного уравнения:

В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим и в исходное неоднородное уравнение :

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ: общее решение:

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:

Выполним подстановку:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:


– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Где – пока ещё неизвестные функции.

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:

Коэффициент – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: , значит, система имеет единственное решение.

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:

Разбираемся со второй функцией:


Здесь добавляем «нормальную» константу

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение:

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши .

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

,

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:
,
Находим производные:
,


Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной :

Из самой замены выражаем:

Таким образом:

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :

Подставим найденные значения констант в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение:

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

,

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),




В результате общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .



Подставим найденные значения констант в общее решение:

Ответ: частное решение:

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Содержание

См. также:

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь — произвольные постоянные; — n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных — замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем — члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь — уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

См. также: Решение уравнений первого порядка методом вариации постоянной (Лагранжа)
Решение уравнений высших порядков методом Бернулли
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами линейной подстановкой

Урок 26.

простейшие дифференциальные уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Таблица первообразных.

Функция f(x)

Первообразная F(x)

0

C = const

1

x + C

cos x

sin x + C

sin x

-cos x + C

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Решение

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v0t+at2/2

х’(t) = v(t) .

Найдем все первообразные функции 4t+4

х(t)= 4t+2t2 +c.

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

х=2t2+4t+10

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t2+4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Решение:

 Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

0=(1)2/2 +с

С=-1/2

Ответ с = -0,5

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Решение

Найдем все первообразные функции 4х+5

Найдем число С , такое, у(-2)=10

Подставим х = – 2, y = 10 , получим:

10=(-2)2 +5(-2)+с

С=12

Следовательно, у=5х +2х2 +12 ,

Ответ: у=5х +2х2 +С, где С= 12

%PDF-1.3 % 50 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 50 105 0000000016 00000 н 0000002449 00000 н 0000002938 00000 н 0000003093 00000 н 0000004394 00000 н 0000004443 00000 н 0000004492 00000 н 0000004541 00000 н 0000004590 00000 н 0000004771 00000 н 0000005143 00000 н 0000005323 00000 н 0000005372 00000 н 0000005421 00000 н 0000005470 00000 н 0000005519 00000 н 0000005568 00000 н 0000006904 00000 н 0000007564 00000 н 0000007745 00000 н 0000007932 00000 н 0000008117 00000 н 0000008229 00000 н 0000008307 00000 н 0000008419 00000 н 0000008519 00000 н 0000008631 00000 н 0000008743 00000 н 0000008855 00000 н 0000008955 00000 н 0000009067 00000 н 0000009170 00000 н 0000009357 00000 н 0000009547 00000 н 0000009739 00000 н 0000009924 00000 н 0000010109 00000 н 0000010296 00000 н 0000010482 00000 н 0000010670 00000 н 0000010855 00000 н 0000011036 00000 н 0000011220 00000 н 0000011408 00000 н 0000011604 00000 н 0000011799 00000 н 0000011994 00000 н 0000012207 00000 н 0000012413 00000 н 0000012620 00000 н 0000012818 00000 н 0000013024 00000 н 0000013229 00000 н 0000013431 00000 н 0000013633 00000 н 0000013833 00000 н 0000014027 00000 н 0000014223 00000 н 0000014402 00000 н 0000014584 00000 н 0000014775 00000 н 0000014964 00000 н 0000015156 00000 н 0000015350 00000 н 0000015549 00000 н 0000015762 00000 н 0000015950 00000 н 0000016158 00000 н 0000016342 00000 н 0000016537 00000 н 0000016733 00000 н 0000016918 00000 н 0000017105 00000 н 0000017295 00000 н 0000017491 00000 н 0000017683 00000 н 0000017867 00000 н 0000018053 00000 н 0000018243 00000 н 0000018432 00000 н 0000018633 00000 н 0000018817 00000 н 0000019009 00000 н 0000019207 00000 н 0000019391 00000 н 0000019586 00000 н 0000019767 00000 н 0000019965 00000 н 0000020146 00000 н 0000020339 00000 н 0000020526 00000 н 0000020713 00000 н 0000020906 00000 н 0000021093 00000 н 0000021290 00000 н 0000021491 00000 н 0000021681 00000 н 0000021885 00000 н 0000022079 00000 н 0000022275 00000 н 0000022475 00000 н 0000022672 00000 н 0000022882 00000 н 0000002504 00000 н 0000002916 00000 н трейлер ] >> startxref 0 %%EOF 51 0 объект > эндообъект 153 0 объект > поток Hb«`f`d03

Доступ запрещен

Доступ запрещен

Better World Books заблокировал ваш IP-адрес. Если вы считаете, что вас заблокировали по ошибке, свяжитесь с нашей службой поддержки клиентов ([email protected]) и укажите следующие данные:

.

Этот веб-сайт использует службу безопасности для защиты от онлайн-атак.

  • Идентификатор луча: 6ef371a41f3b7b7b
  • Отметка времени: 2022-03-21 03:01:36 UTC
  • Ваш IP-адрес: 85.26.164.52
  • Запрошенный URL-адрес: www.betterworldbooks.com/product/detail/ Differential-equations-for-dummies-9780470178140
  • Номер ссылки на ошибку: 1020
  • Идентификатор сервера: FL_87F306
  • Агент пользователя: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:33.0) Gecko/20100101 Firefox/33.0

Воздействие COVID-19

Из-за влияния COVID-19 на нашу способность осуществлять международные поставки, в настоящее время мы не можем осуществлять доставку в следующие страны:

  • Ангола
  • Азербайджан
  • Боливия
  • Босния и Герцеговина
  • Ботсвана
  • Бруней
  • Камерун
  • Кабо-Верде
  • Каймановы острова
  • Чад
  • Чили
  • Острова Кука
  • Коста-Рика
  • Куба
  • Демократическая Республика Конго
  • Эквадор
  • Эстония
  • Фиджи
  • Французская Гвиана
  • Французская Полинезия
  • Гамбия
  • Гватемала
  • Гайана
  • Гаити
  • Ирак
  • Кирибати
  • Кыргызстан
  • Лаос
  • Либерия
  • Ливия
  • Мадагаскар
  • Малави
  • Мавритания
  • Маврикий
  • Молдова
  • Черногория
  • Новая Каледония
  • Панама
  • Парагвай
  • Перу
  • Республика Конго
  • Республика Конго
  • Руанда
  • Сейшелы
  • Сьерра-Леоне
  • Южная Африка
  • Южный Судан
  • Судан
  • Таджикистан
  • Танзания
  • Тимор-Лешти
  • Тонга
  • Туркменистан
  • Уганда
  • Уругвай
  • Узбекистан
  • Венесуэла
  • Йемен
  • Зимбабве

Дифференциальные уравнения — Введение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:


Пример: уравнение с функцией y и ее производная ды дх  

Решение

Мы решим его, когда найдем функцию y (или набор функций y).

Есть много «приемов» решения дифференциальных уравнений (, если их можно решить!).

Но сначала: почему?

Чем полезны дифференциальные уравнения?

В нашем мире вещи меняются, и описание того, как они меняются , часто заканчивается дифференциальным уравнением:

Пример: Кролики!

Чем больше у нас будет кроликов, тем больше у нас будет крольчат.

Потом эти кролики вырастают и тоже рожают! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

  • население N в любое время т
  • скорость роста р
  • скорость изменения населения dN dt

Подумайте о dN dt как о «насколько население меняется с течением времени в любой момент времени».

Представим, что скорость роста r равна 0.01 новых кроликов в неделю на каждого текущего кролика.

Когда популяция составляет 1000 , скорость изменения dN dt составляет 1000×0,01 = 10 новых кроликов в неделю.

Но это верно только для конкретного времени , и это не включает в себя то, что население постоянно увеличивается. Чем больше популяция, тем больше новых кроликов мы получаем!

Когда население составляет 2000 , мы получаем 2000×0.01 = 20 новых кроликов в неделю и т.д.

Таким образом, лучше сказать, что скорость изменения (в любой момент) равна скорости роста, умноженной на численность населения в этот момент:

дН дт = рН

И это дифференциальное уравнение , потому что оно имеет функцию N(t) и ее производную.

 

А как сильна математика! В этом коротком уравнении говорится, что «скорость изменения численности населения с течением времени равна скорости роста, умноженной на численность населения».

Дифференциальные уравнения

могут описать, как меняется население, как перемещается тепло, как вибрируют пружины, как распадается радиоактивный материал и многое другое. Это очень естественный способ описать многие вещи во Вселенной.

Что с ними делать?

Дифференциальное уравнение само по себе является прекрасным способом что-то выразить, но его трудно использовать.

Итак, мы пытаемся решить их, превратив дифференциальное уравнение в более простое уравнение без дифференциальных битов, чтобы мы могли выполнять вычисления, строить графики, предсказывать будущее и так далее.

Пример: сложные проценты

Деньги приносят проценты. Проценты могут рассчитываться в фиксированное время, например, ежегодно, ежемесячно и т. д., и добавляться к исходной сумме.

Это называется сложным процентом.

Но когда он начисляется непрерывно , то в любой момент проценты добавляются пропорционально текущей стоимости кредита (или инвестиции).

И по мере роста кредита проценты по нему увеличиваются.

Использование t для времени, r для процентной ставки и V для текущей стоимости кредита:

дВ дт = рВ

 

А вот и крутая вещь: это то же самое уравнение, которое мы получили с Кроликами! Просто там разные буквы.Итак, математика показывает нам, что эти две вещи ведут себя одинаково.

 

Решение

Дифференциальное уравнение говорит об этом хорошо, но его трудно использовать.

Но не волнуйтесь, это можно решить (используя специальный метод разделения переменных) и получить:

В = ПЭ рт

Где P — основная сумма (первоначальный заем), а e — число Эйлера.

Таким образом, непрерывно начисляемый кредит в размере 1000 долларов США на 2 года с процентной ставкой 10% становится:

В = 1000 × e (2 × 0.1)

В = 1000 × 1,22140. ..

В = 1221,40 доллара США (с точностью до цента)

Итак, дифференциальные уравнения прекрасно описывают вещи, но их нужно решать, чтобы они были полезными.

Дополнительные примеры дифференциальных уравнений

Уравнение Ферхюльста

Пример: Снова кролики!

Помните о нашем росте Дифференциальное уравнение:

дН дт = рН

Ну, этот рост не может продолжаться вечно, так как скоро у них закончится доступная еда.

Итак, давайте улучшим его, включив:

  • максимальное население, которое может поддерживать еда k

Парень по имени Ферхульст все понял и получил дифференциальное уравнение:

dN dt = rN(1−N/k)

Уравнение Ферхюльста

Простое гармоническое движение

В физике простое гармоническое движение — это тип периодического движения, при котором восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению. Примером этого является масса на пружине.

Пример: пружина и груз

К пружине прикреплен груз:

  • груз опускается под действием силы тяжести,
  • по мере растяжения пружины ее натяжение увеличивается,
  • вес замедляется,
  • , затем натяжение пружины тянет его обратно,
  • , затем он падает вниз, вверх и вниз, снова и снова.

Опиши это математически!

 

Вес притягивается вниз под действием силы тяжести, и мы знаем из второго закона Ньютона, что сила равна массе, умноженной на ускорение:

F = м а

А ускорение есть вторая производная положения по времени, поэтому:

F = м d 2 x dt 2

 

Пружина подтягивает ее обратно в зависимости от того, насколько она растянута ( k — жесткость пружины, а x — степень ее растяжения): F = -kx

Две силы всегда равны:

м d 2 x dt 2 = −kx

У нас есть дифференциальное уравнение!

Имеет функцию x(t) и вторую производную д 2 х дт 2

 

Примечание: мы не включили «демпфирование» (замедление отскоков из-за трения), что немного сложнее, но вы можете поиграть с ним здесь (нажмите play ):

 

Создание дифференциального уравнения является первым важным шагом. Но нам также нужно решить его, чтобы узнать, как, например, пружина подпрыгивает вверх и вниз с течением времени.

Классифицируйте, прежде чем пытаться решить

Так как же нам решить их?

Это не всегда просто!

За годы работы мудрые люди разработали специальных методов для решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

Итак, нам нужно знать какой тип дифференциального уравнения  это первый.

Это как путешествие: разные виды транспорта решили, как добраться до определенных мест. Это близко, так что мы можем просто пройтись? Есть ли дорога, чтобы мы могли взять машину? Или он находится в другой галактике, и мы просто пока не можем туда добраться?

Итак, давайте сначала классифицируем дифференциальное уравнение .

 

Обычный или частичный

Первая основная группа:

  • «Обычные дифференциальные уравнения» (ОДУ) имеют единственную независимую переменную (например, y )
  • «Уравнения с частными производными» (УЧП) имеют две или более независимых переменных.

Мы изучаем обыкновенных дифференциальных уравнений здесь!

 

Орден и степень

Далее прорабатываем Орден и Степень:

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т.д.):

Пример:

dy dx + y 2 = 5x

Имеет только первую производную ды дх , так и «Первый Орден»

Пример:

d 2 y dx 2 + xy = sin(x)

Имеет вторую производную д 2 г дх 2 , так и «Заказ 2»

Пример:

d 3 y dx 3 + x dy dx + y = e x

Имеет третью производную д 3 г дх 3 который превосходит ды дх , так и «Заказ 3»

Степень

Степень является показателем старшей производной.

Пример:

( dy dx ) 2 + y = 5x 2

Наивысшая производная — это просто dy/dx, и ее показатель степени равен 2, так что это «вторая степень»

На самом деле это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка второй степени

Пример:

d 3 y dx 3 + ( dy dx ) 2 + y = 5x


2 2

Высшая производная d 3 y/dx 3 , но у нее нет показателя степени (на самом деле, степени 1, которая не показана), так что это «Первая степень».

(Показатель степени 2 для dy/dx не считается, так как это не самая высокая производная).

Итак, это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени третьего порядка

 

Будьте осторожны, не путайте порядок со степенью. Некоторые люди используют порядок слов, когда имеют в виду степень!

Линейный

Это Линейное число , когда переменная (и ее производные) не имеет степени или другой функции.

So no y 2 , y 3 , √y, sin(y), ln(y) и т.д.,
просто y
(или любая другая переменная)

Более формально Линейное дифференциальное уравнение имеет форму:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Решение

Хорошо, мы классифицировали наше дифференциальное уравнение, теперь нужно решить его.

И у нас есть руководство по решению дифференциальных уравнений, чтобы помочь вам.

 

Дифференциальные уравнения для чайников Стивена Хольцнера (мягкая обложка)

Леверингспрайзер

Заключен в тюрьму за использование afhænger af typen af ​​dit medlemskab, eller om du ikke har et medlemskab.

Hvis du ikke har et medlemsskab er priserne som følger:

Рычаг до pakkeshop 39,95 кр. пр. порядок
Хеммелеверинг 59,90 кр. пр. порядок

Med et guldmedlemsskab er levingspriserne:

Рычаг до pakkeshop.Заказ до 250 кр. 34,95 кр. пр. порядок
Рычаг до pakkeshop. Заказ свыше 250 кр. 24,95 кр. пр.порядок
Хеммелеверинг. Заказ до 250 кр. 59,90 кр. пр. порядок
Хеммелеверинг. Заказ свыше 250 кр. 49,90 кр. пр. порядок

Med et plating-eller streaming medlemsskab er levingsprisrne:

Рычаг до pakkeshop. Заказ до 250 кр. 24,95 кр. пр. порядок
Рычаг до pakkeshop. Заказ свыше 250 кр. 0 кр. пр. порядок
Хеммелеверинг.Заказ до 250 кр. 44,90 кр. пр. порядок
Хеммелеверинг. Заказ свыше 250 кр. 19,95 кр. пр. порядок

Bemærk venligst, at vi forbeholder os retten til at ændre i et fragtbeløb efter ordreafgivelse, hvis man som kunde har opnået en særlig fragtpris pga.køb на сумму более 250 крон. og efterfølgende retter i sin ordre, så ordrebeløbet kommer до 250 крон. Ovenstående Fragtpriser для заказа до 250 крон. vil i så fald være gældende.

Рычаг
Варерн посылает запрос на 1-6 часов. Den konkrete levingstid står oplyst ved hver enkelt vare. Использование сервиса PostNord в распределении DAO.Vi leverer kun я Danmark og ikke til Grønland og Færøerne. Vær opmærksom på, в DAO часто рычаге om natten, ог в дер ikke skal kvitteres для modtagelse af pakken fra DAO. Hvis ikke DAO kan рычаг pakken forsvarligt ved dør eller i postkasse, Виль pakken я stedet blive зайчонок сезам nærmeste pakkeshop, også selvom du хар betalt для hjemmelevering.

Исчисление для умного человека

На мой взгляд, исчисление является одним из основные интеллектуальные достижения западной цивилизации — фактически мировой цивилизации.Конечно, это оказало гораздо большее влияние на формирование нашего мира. сегодня, чем большинство произведений, обычно включенных в курсе западной цивилизации — книги, такие как «Рассуждение о методе » Декарта или Принц Макиавелли.

Но в большинстве университетов мы взяли это великолепное достижение человеческого интеллекта и превратили его в скучный курс.

Мы были так обеспокоены с представлением исчисления строгим способом, который удовлетворяет нас как математиков, что мы совершенно не смогли дать студентам интуитивное представление о том, о чем на самом деле идет речь.Учебник по Salas & Hille, которые мы сейчас используем здесь, в Гавайском университете. (примерно на 2000 г.) действительно воплощает это отношение. Я бы предпочел, чтобы мы преподавали исчисление в духе некоторых старые тексты, такие как Маленькая книга Сойера О чем исчисление? (Еще одна книга в том же духе, но более поздняя, is Автостопом по вычислениям Майкл Спивак.)

Для многих из нас, математиков, исчисление далеко от того, что мы считаем интересным и важная математика. Это, конечно, не имеет никакого отношения к какому-либо из моих собственных исследований. и если бы не то, что я этому учу, Я бы давно забыл все исчисления, которые когда-либо изучал.

Но мы должны помнить, что исчисление — это не просто «сервисный курс». Для студентов исчисление — это ворота к дальнейшей математике. И помимо нашего обязательства как факультета сделать все наши курсы интересными, мы должны помнить, что если исчисление не кажется интересным и полезный предмет для студентов, тогда они вряд ли сочтут математику привлекательным предметом преследовать дальше.

 

Важность исчисления состоит в том, что большинство законов науки не предоставлять прямую информацию о значениях переменных, которые могут быть непосредственно измерены. Другими словами, если вы заблудились, то физика не поможет найти дорогу домой, потому что нет законов физики, которые предоставляют прямую информацию о положении. Большинство законов в физика даже не дает непосредственной информации о скорости.

Некоторые научные принципы дают информацию, касающуюся значения переменных в данный момент, например, закон Ома E=IR или закон Бойля-Чарльза для идеальных газов pV=kT .Исчисление не относится к этим правилам. Но многие из наиболее важных принципов в науке правила изменения переменных. Например, физика говорит вам, как изменится скорость в различных ситуациях. то есть он говорит вам об ускорении.

Вот почему так важно иметь математический способ говорить о изменять. Вот почему вы видите понятие производной, используемой во всей науке — в физике, химии, биологии, экономике, даже психология.

Цель изучения дифференциального исчисления состоит не в том, чтобы научиться вычислить производные.На самом деле, вычисление производных обычно точно противоположное тому, что нужно делать в реальной жизни или науке. В курсе исчисления, начинают с формулы для функции, а затем вычисляют скорость изменения этой функции. Но в реальном мире вы обычно не имеют формулы. Формула, на самом деле, это то, что вы хотели бы есть: формула неизвестна. У вас есть некоторые информация, данная законами науки, о том, как меняется функция.

Другими словами, основной причиной изучения дифференциального исчисления является для понимания дифференциальных уравнений.(Интеграл во многих практических контекстах просто простейший случай дифференциального уравнения. Конечно, есть много важных применений интеграции.)

Заниматься дифференциальным исчислением без изучения дифференциальных уравнений очень похоже на изучение двух лет иностранного языка. Это может быть интересный интеллектуальный вызов, но обычно он не дает ученику большую часть постоянной ценности.

 

Ошибочно думать об исчислении или математике в целом как об в первую очередь инструмент для поиска ответов (хотя также ошибочно думают, как и многие аспиранты, что вычисления — это низшее, недостойный аспект математики).Основное значение исчисления в точные науки в том, что они обеспечивают язык, концептуальную основу для описания отношений, которые было бы трудно обсуждать в любой другой язык.

Что полезного для студентов, чтобы получить от курса исчисления способность читать книги, написанные на языке исчисления и, по крайней мере до некоторой степени, следовать выводам в тех книги. К сожалению, будучи специалистом в дерьмовые навыки, необходимые для получения хорошей оценки по курсу математического анализа, не очень помогает в этом отношении.

Я говорю своим студентам-математикам, что их оценки, вероятно, не очень хороший показатель способности делать хорошо в будущих курсах. Важнее то, сделают ли они стараться следовать рассуждениям, данным в классе и в тексте. То самая важная часть курса (по крайней мере, когда я его преподаю) — это часть, которая никогда не тестировалась.


 

Некоторые материалы для исчисления

Многие файлы, перечисленные ниже, находятся в Формат PDF (Adobe Acrobat).Альтернативные версии есть Формат DVI (производство TeX; видеть см. здесь для просмотра DVI предоставлено Джон П. Костелла) и формат постскриптума (доступен для просмотра с помощью призрачный скрипт. ) В некоторых системах могут возникнуть проблемы с определенными документами. в формате dvi, потому что в них используется несколько немецких букв из шрифта, который может быть недоступен в некоторых системах. (Три альтернативных сайта для программ просмотра DVI, через FTP, являются КТАН, герцог, а также Данте в Германии).
 

Обучение студентов как использовать понятия производной и интеграла отличается от обучения их понимают понятия.Понимание конечно приятно, и в какой-то степени это то, в чем студенты чувствуют потребность, но моя главная цель для студентов, чтобы иметь возможность использовать исчисление в приложениях. Это означает, среди прочего, быть в состоянии быть уверенным в настройке формул используя производные и интегралы.

Концептуальный подход к приложениям интеграции.

Резюме (в формате HTML).
Статья в формате PDF (Adobe Acrobat).
DVI версия статьи.
Постскриптум версии статьи.
Слайдов для краткого выступления по этой статье.

Эти заметки являются попыткой показать, как выразить заданное математическое соотношение в виде интеграла. Цель состоит не в том, чтобы в первую очередь объяснить понятие интеграла, а скорее, чтобы дать студентам достаточно понимания что они могут составлять формулы, используя интегралы с изрядной долей уверенности.
Классический подход к интегралу начинается с рассмотрения задачи нахождения площади под графиком функции между точками x=a и x=b на оси x.Один занимается этой проблемой путем деления площади под кривой вверх на большое число из очень узких вертикальных полос. Затем каждая вертикальная полоса рассматривается как прямоугольник. и складывает полученные площади. (Результат называется суммой Римана.) Взяв предел этих сумм Римана как ширина вертикальных полос делается уже и уже, находит нужную область.
Представленный таким образом интеграл представляет собой весьма внушительное понятие. Кроме того, указанный расчет кажется почти невозможным. реально осуществить на практике.(Лучшие книги по математическому анализу, такие как Апостол или Курант и Гильберт , собственно покажите несколько примеров таких расчетов для очень простых функций.)

Однако на практике вычисление интегралов не имеет ничего общего с делением областей на маленькие вертикальные полоски и взятие сумм Римана. Это потому, что основная теорема исчисления говорит, что дифференциация и интеграция являются обратными операциями. Используя это, можно вычислить интегралы, найдя первообразные.На самом деле, если спросить, что такое интеграл, Я думаю, что почти все студенты дали бы ответ с точки зрения антипроизводных.
Однако когда дело доходит до приложений интеграции, снова появляются суммы Римана — «с местью» можно почти сказать. Чтобы вывести интегральную формулу для каждого нового приложения — объем вращения, сила на плотине, работа, совершаемая движущей силой — по сути, интеграл заново изобретают, возвращаясь к суммам Римана. Результат, я считаю, заключается в том, что для большинства студентов выводы, данные в книгах и большинство классов исчисления для приложений интеграции чаще всего непонятны, и справедливость формул, заданных интегралами становится делом интуиции и веры.
В этих заметках я хочу дать более аксиоматическую трактовку приложениям интеграций, основанный в основном на подходе Бурбаки к интеграции (первоначально из-за Дарбу) — а именно, что интеграл определяется положительным линейным функционалом определено на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. С более приземленной точки зрения, можно заметить, что свойство, которое на практике характеризует интегралов состоит в том, что они аддитивны по непересекающимся множествам. На практике практически любое математическое соотношение в естественных науках у которого есть это свойство будет даваться интегралом.Кроме того, по эмпирическому правилу можно сказать что если формула в виде интеграла дает правильный результат для постоянных функций тогда оно будет за редким исключением правильным. (Исключительными случаями являются такие, как формула для длины кривой, которая не может быть получена путем аппроксимации соответствующей функции по ступенчатой ​​функции. Если формула, заданная интегралом дает правильные результаты для постоянных функций и является аддитивным по непересекающимся интервалам, то это будет правильно для ступенчатых функций.)

Дополнительные примечания по применению интеграции

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию постскриптума.)

Это гораздо более сжатая версия идей в предыдущей статье.

Контурный эскиз для приложений метода интеграции

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию постскриптума.)

Это набор слайдов, составленный для выступления на Применение интеграции статьи.


Максимально-минимальные проблемы.

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)
(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию Postscript. )

Решение задачи Макс-Мин — это вопрос выяснения где функция возрастает, а где убывает. Функция может изменяться с возрастающей на убывающую и наоборот только в точке, где он имеет (относительный) максимум или минимум (или на разрыве).
Следовательно, можно решить, является ли функция возрастающей или убывающей. в промежутке между двумя критическими точками либо путем сравнения значений функции в двух точках или проверив знак производной в любой точке между.(Производная не может менять знак между критическими точками.)

Более тонкий подход состоит в том, чтобы заметить, что функция будет меняться от возрастает до убывания в дифференцируемой критической точке (и, следовательно, иметь максимум в этой точке) тогда и только тогда, когда производная убывает, потому что если производная убывает, то она должна измениться от положительного к отрицательному (поскольку он равен нулю в самой критической точке). Но производная обязательно будет уменьшаться если его собственная производная (т. е. вторая производная от оригинала функция) отрицательная. Следовательно, отрицательная вторая производная в критической точке является верным признаком того, что функция имеет здесь относительный максимум.
Аналогично, положительная вторая производная в критической точке указывает минимум в этой точке.
Хотя этот тест второй производной имеет теоретическое значение и иногда удобно, во многих случаях проще просто решить возрастает или убывает функция на промежутках между критическими точками глядя на значения, которые принимает функция или проверка знака первой производной.


Максимально-минимальные задачи для функций двух переменных

(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)
(Нажмите здесь, чтобы просмотреть версию Postscript.)

Вывод производных функций синуса и косинуса

Максимально-минимальные задачи для функций двух переменных

Лучшие книги по дифференциальным уравнениям для физиков и инженеров

Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение, которое связывает функцию с одной или несколькими ее производными, и эти функции удовлетворяют этим уравнениям. Читая эту книгу, вы поймете, что математика действительно увлекательна, когда понятна суть понятий.

Здесь вы найдете одни из лучших книг по дифференциальным уравнениям.

Автор: Нэгл, Р.

Опубликовано: 01.01.2017

ISBN: 0321977068

Введение в основы теории дифференциальных уравнений и их приложения

Основы дифференциальных уравнений  представляет основы теории дифференциальных уравнений и предлагает множество современных приложений в науке и технике. Этот гибкий текст позволяет преподавателям адаптироваться к различным направлениям курса (теории, методологии, приложениям и численным методам) и использовать имеющиеся в продаже компьютерные программы. Впервые для этого текста доступна функция MyLab™ Math, обеспечивающая домашнее задание онлайн с немедленной обратной связью, полный электронный текст и многое другое.



Автор: Зилл, Деннис Г.

Опубликовано: 01.01.2017

ISBN: 1305965728

Простой и легкий для чтения, ПЕРВЫЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ МОДЕЛИРОВАНИЯ, 11-е издание, дает вам подробный обзор тем, обычно изучаемых в первом курсе дифференциальных уравнений.Ваше изучение дифференциальных уравнений и их приложений будет поддержано множеством педагогических пособий, включая множество примеров, объяснений, полей «Примечания», определений и MindTap Math — доступный вариант, который включает онлайн-версию книги, лекцию видео, оценка перед курсом и многое другое.



Автор: Эдвардс, К.

Опубликовано: 01.04.2017

ISBN: 013449718X

Концепции, методы и основные темы, охватывающие элементарные дифференциальные уравнения и линейную алгебру в реальных приложениях

В современном введении в дифференциальные уравнения и линейную алгебру известные авторы Эдвардс и Пенни объединяют основные темы элементарных дифференциальных уравнений с концепциями и методами элементарной линейной алгебры. Книга Дифференциальные уравнения и линейная алгебра , известная своими практическими приложениями и сочетанием алгебраических и геометрических подходов, знакомит вас с математическим моделированием явлений реального мира и предлагает лучшие наборы задач в любом учебнике по дифференциальным уравнениям и линейной алгебре. 4-е издание  включает в себя новый свежий вычислительный и качественный вкус, который проявляется повсюду в рисунках, примерах, задачах и приложениях.



Автор: Деннис Г. Зилл

Опубликовано: 03.15.2012

ISBN: 1111827052

Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования — отличная книга, которая поможет вам понять, когда следует использовать определенные концепции, уравнения и таблицы.

Это очень хороший вводный текст по термодинамике для студентов бакалавриата. Он содержит множество примеров задач в тексте, хорошее сочетание примеров задач и хорошее объяснение тем, чтобы закрепить ваше понимание материала.

Он охватывает все темы, которые помогут вам подготовиться к предстоящим тестам

  • Введение в дифференциальные уравнения
  • Дифференциальные уравнения первого порядка
  • Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка
  • Дифференциальные уравнения высшего порядка
  • Моделирование с дифференциальными уравнениями высшего порядка
  • Решения рядов линейных уравнений
  • Преобразование Лапласа
  • Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка
  • Численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений.


Автор: Моррис Тененбаум, Гарри Поллард

Опубликовано: 10. 01.1985

ISBN: 0486649407

Обыкновенные дифференциальные уравнения рекомендуется всем, кто интересуется более глубоким изучением дифференциальных уравнений, особенно студентам технических специальностей.

Он содержит множество примеров и много упражнений в конце главы, которые помогут вам выучить дифференциальные уравнения.

Чему вы научитесь

  • Почему и как мы используем дифференциальные уравнения
  • Теорема существования и единственности
  • Основные понятия математического анализа, необходимые для доказательства теоремы
  • Полное и точное доказательство каждой логики .
  • Связь между переменными и их производными.

  • 6 Некоторые важные темы
  • 7

    • интегрирующие факторы
    • Удаление и аккреционные проблемы
    • Алгебра комплексных чисел
    • Линеаризация систем первого порядка
    • LALLACE преобразование
    • Интерполяционные формации Ньютона
    • последовательных приближений
    • Дифференциальное уравнение Лежандра
    • Функции Лежандра
    • Полиномы Лежандра
    • Дифференциальное уравнение Бесселя


    Автор: Ричард Бронсон, Габриэль Коста

    Опубликовано: 03. 12.2014

    ISBN: 0071824855

    В этом руководстве есть все, что вам нужно для развития уверенности, навыков и знаний, чтобы получить максимально возможный балл.Эта книга также является отличным пособием для подготовки к GRE.

    он дает вам другое объяснение метода решения дифференциального уравнения, чтобы усилить различные методы решения дифференциальных уравнений.

    Схема дифференциальных уравнений Шаума содержит

    • 563 полностью решенных задач
    • Примеры и практические упражнения для оттачивания навыков решения задач
    • 30 подробных видеороликов с участием преподавателей математики
    • Охватывает уравнения первого, второго и n-го порядка .


    Автор: Inc.гистограммы

    Опубликовано: 31.12.2013

    ISBN: 1423220323

    Это для быстрого изучения. Вы можете изучить неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка, метод неопределенных коэффициентов, решения рядов линейных уравнений с вариацией параметров, преобразование Лапласа, численные методы решения DEQs, частные DEQs с первого взгляда.

    Это включает в себя

  • 5

      • Обзор неопределенного интеграции
      • Обзор интеграции
      • Основные определения
      • Классификация DEQS
      • Начальные задачи
      • Разделимые DEQS
      • Точные уравнения
      • линейные уравнения первого порядка
      • Однородные уравнения первого порядка
      • Уравнения Бернулли
      • Приложения DEQ первого порядка
      • Линейные DEQ высшего порядка
      • Редукция порядка
      • Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
      • 2 Высшие коэффициенты
      • 2
      • однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.



      Автор: Скотт Имхофф, доктор философии

      Опубликовано: 18. 11.2015

      ISBN: 1478765224

      Дифференциальные уравнения за 24 часа разделен на 24 главы, озаглавленные «Часы». Это сэкономит ваше время , требуя минимум времени. Он содержит много примеров, упражнений, чтобы улучшить ваши знания понимания и помочь вам понять вещь ясно.

      Эта книга дает вам

      • дифференциальные уравнения в контексте с физикой
      • Достаточное количество
      • 6 Упражнения и примеры
      • Решения для всех упражнений
      • Простые и практические проблемы физики
      • Исчисление, используемое для решения задач
      • Реальные приложения в «Физике 101».


      Автор: Нахле Х.Асмар

      Опубликовано: 21.09.2016

      ISBN: 0486807371

      Это очень полезная книга для студентов, изучающих математику, физику, инженерное дело и других специальностей, прошедших курс по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

      Прочитав эту книгу, вы сможете узнать уравнения первого порядка, тригонометрические ряды, УЧП в прямоугольных, полярных и сферических системах и связанные с ними разложения по собственным функциям, теорию Штурма-Лиувилля, преобразование Фурье, преобразования Лапласа/Ганкеля для УЧП, сеточные численные методы, выборочный и дискретный анализ Фурье, квантовая механика и многое другое.

      Эта книга содержит

      • Отличный переход от решения обыкновенных дифференциальных уравнений к решению уравнений в частных производных
      • Много утомительной математики, выписывающей длинные ряды
      • Краевые задачи, включая ряды Фурье
      • Введение в уравнение в частных производных.


      Автор: К. А. Страуд, Декстер Бут

      Опубликовано: 01.10.2004

      ISBN: 083113187X

      Дифференциальные уравнения предлагает вам множество практических примеров для понимания темы с самого начала.Это будет очень эффективным средством обучения и справочником для тех, кто хочет укрепить свое базовое понимание математики.

      Это отличная книга как для студентов, так и для профессионалов.

      Это руководство содержит

      • математику в пошаговой форме вместе с большим количеством рабочих примеров
      • Используются многочисленные примеры и примеры программ.


      Автор: Х.С. Медведь

      Опубликовано: 28.05.1999

      ISBN: 0486406784

      Это очень краткая книга по дифференциальным уравнениям. Он содержит множество тем, начиная от рутинных вычислений и заканчивая умеренно сложными теоремами.

      Кроме того, здесь содержится множество четко сформулированных теорем и доказательств, примеров и задач, за которыми следуют решения, что делает эту книгу первоклассным введением в дифференциальные уравнения.

      Некоторые важные темы

    • 7

      • Опрос уравнений первого порядка
      • Обсуждение комплексных решений
      • Линейные дифференциальные операторы
      • Обратные операторы
      • Изменение параметров Метод
      • Преобразование Лаплана и существование Пикара
      • Различные интерпретации систем уравнений.


      Автор: Стэнли Дж. Фарлоу

      Опубликовано: 09.01.1993

      ISBN: 048667620X

      Это руководство настоятельно рекомендуется студентам старших курсов и аспирантам, а также специалистам, работающим в области прикладных наук.

      Он предлагает реалистичное практическое освещение задач диффузионного типа, задач гиперболического типа, задач эллиптического типа, а также численных и приближенных методов.

      Покрытие включает

      • Введение в уравнения в частных производных.
      • Волновые уравнения в двух и трех измерениях, свободные
      • Конечное преобразование Фурье, синус и косинус
      • Задачи эллиптического типа
      • Задачи диффузионного типа
      • Задачи гиперболического типа
      • Гармоники
      • Численные и


      Автор: Стивен Хольцнер

      Опубликовано: 06. 03.2008

      ISBN: 0470178140

      Дифференциальные уравнения для чайников — идеальный компаньон для студентов, изучающих естественные науки и инженерные науки. Он предлагает пошаговые методики, практические советы, многочисленные упражнения и четкие, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и улучшить результаты теста. баллы.

      Состоит из четырех частей. Это

      Часть I: Сосредоточение внимания на дифференциальных уравнениях первого порядка.

      • Добро пожаловать в мир дифференциальных уравнений
      • Изучение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
      • Разбор отделимых дифференциальных уравнений первого порядка
      • Изучение точных дифференциальных уравнений первого порядка и метода Эйлера.

      Часть II: Обзор дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.

      • Изучение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
      • Изучение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.


      Часть III: Энергетика: передовые методы

      • Серьёзное отношение к степенным рядам и обычным точкам
      • Питание через особые точки.
      • Работа с преобразованиями Лапласа
      • Решение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка
      • Открытие трех надежных численных методов.

      Часть IV: Часть десятков.

      • Десять очень полезных интерактивных руководств по дифференциальным уравнениям
      • Десять действительно крутых онлайн-инструментов для решения дифференциальных уравнений.


      Автор: Брэннан, Джеймс Р.

      Опубликовано: 27.07.2015

      ISBN: 1118531779

      Браннан/Бойс Дифференциальные уравнения: введение в современные методы и приложения, 3-е издание  соответствует тому, как инженеры и ученые используют математику в своей повседневной работе.Текст подчеркивает системный подход к предмету и интегрирует использование современных вычислительных технологий в контексте современных приложений из инженерии и науки. Акцент на фундаментальных навыках, тщательном применении технологий и практике моделирования сложных систем готовит студентов к реалиям нового тысячелетия, предоставляя строительные блоки для успешного решения проблем на современном рабочем месте. Упражнения в разделах по всему тексту дают практический опыт моделирования, анализа и компьютерных экспериментов.Проекты в конце каждой главы предоставляют учащимся дополнительные возможности для изучения роли дифференциальных уравнений в естественных науках и технике.



      Спасибо, что прочитали этот пост.Если у вас есть какое-либо мнение, не стесняйтесь комментировать здесь. Также, пожалуйста, подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать больше обновлений.

      (PDF) Приведение индекса в дифференциально-алгебраических уравнениях с использованием фиктивных производных

      дифференциальные уравнения, SIAM J. науч. Стат. Comp., 6 (1985), стр. 334–348.

      [6] , Метод вычисления общих нелинейных сингулярных систем дифференциальных уравнений с высшим индексом, IMACS Trans. on Scientific Comp., 1.2 (1988), стр. 555–560.

      [7] И. Дафф, А. Эрисман, Дж. Рид, Прямые методы для разреженных матриц, Clarendon Press,

      Оксфорд, 1986. Урер, Б. Леймкулер и С. Райх, Методы стабилизации и проецирования для

      динамики множественных тел, исследовательский отчет A281, Институт математики, Хельсинкский технологический университет

      , Эспоо, Финляндия, 1990.

      [9] C. F

      ¨

      Uhrer and B. Leimkuhler, Новый класс обобщенных обратных уравнений для решения расшифрованных уравнений Эйлера-Лагранжа, in Методы интегрирования в реальном времени для механической системы

      моделирование, Э. Хауг и Р. Дейо, ред., Springer, 1990, стр. 143–154.

      [10] , Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений для вынужденного механического движения

      , Numerische Mathematik, 59 (1991), стр. 55–69.

      [11] С.Gear, Дифференциально-алгебраические уравнения, индексы и интегральные алгебраические уравнения, SIAM J.

      Num. Анал., 27 (1990), стр. 1527–1534.

      [12] C. Gear, G. Gupta, and B. Leimkuhler, Автоматическое интегрирование уравнений Эйлера-Лагранжа с ограничениями, J Comp. заявл. Матем., 12–13 (1985), стр. 77–90.

      [13] A. Griewank, D. Juedes, and J. Srinivasan, Adol-C — пакет для автоматического

      различения алгоритмов, написанных на C/C++, тех. респ., Аргоннская национальная лаборатория, Аргонн,

      IL 60439, 1990.

      [14] Э. Хайрер, К. Любич, М. Рош, Численное решение дифференциально-алгебраических систем

      методами Рунге-Кутты, Springer, 1989.

      [15] Б. Леймкулер, Некоторые примечания

      A266, Institute of Mathematics, Helsinki University of Technology, Espoo, Finland, 1989.

      [16] S. Mattsson and G. S.

      ¨

      Одерлинд, Новая техника. для решения дифференциальных уравнений с высоким индексом

      алгебраических уравнений, в The 1990 Conference on the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, 1990.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск