Дискриминант вторая формула: Дискриминант. Формула дискриминанта.

2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел. (1/2).
  • Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  • Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
  • Содержание

    Некоторые частные случаи

    В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

    1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
    2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

    Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

    Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

    Приведенное уравнение второй степени

    Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2 + 18 * i * j * k * m.

    Допустим, дискриминант превосходит ноль . Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D

    Видео

    Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

    Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

    Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

    Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения — положительное и отрицательное значение корня квадратного.

    Обратите внимание

    При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей. 2 — 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

    После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt — это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

    Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

    Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

    Элементы решения квадратных уравнений

    По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

    Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. 2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

    В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

    Разобьём выражение на составляющие множители

    Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

    Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

    Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

    Пример

    x=0 или 8х — 3 = 0

    В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

    Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

    Разложение выражения на множители

    Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

    X 2 — 33x + 200 = 0

    Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

    Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

    Например: 2x 3 + 2x 2 — 18x — 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

    В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

    Извлечение квадратного корня

    Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

    В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

    Вычисление пощади земельного участка

    Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

    Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

    Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .

    Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

    Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

    Дискриминант

    Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x — 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

    Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 — 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D

    О корнях и их формуле

    В нашем случае дискриминант равен: 256 — 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

    Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).

    Примеры и задачи

    Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

    1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

    Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

    15x 2 + 20x + 5 — 12x 2 — 27x — 1 = 0

    Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 — 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

    2) Теперь раскроем загадки другого рода.

    Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 — 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 — 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

    Теорема Виета

    Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

    Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

    Теперь рассмотрим конкретные задачи.

    3x 2 + 21x — 54 = 0

    Для простоты преобразуем выражение:

    x 2 + 7x — 18 = 0

    Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

    График и уравнение параболы

    Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

    Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a

    Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

    Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

    Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a0. В противном случае D

    По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

    Из истории

    С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

    Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

    Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

    Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

    Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

    Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

    Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

    Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

    Решение квадратного уравнения через дискриминант

    Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

    В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

    Может ли дискриминант быть меньше нуля

    При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

    Поясняющее видео:

    Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

    10 способов решения квадратных уравнений

    Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

    учитель математики

    с.Копьево, 2007

    1. История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

    1. 3 Квадратные уравнения в Индии

    1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

    1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

    1.6 О теореме Виета

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Заключение

    Литература

    1. История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

    Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

    X 2 + X = ¾; X 2 X = 14,5

    Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

    Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

    В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

    При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

    Вот, к примеру, одна из его задач.

    Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

    Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 — х . Разность между ними .

    Отсюда уравнение:

    (10 + х)(10 — х) = 96

    100 — х 2 = 96

    х 2 — 4 = 0 (1)

    Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

    Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

    у(20 — у) = 96,

    у 2 — 20у + 96 = 0. (2)

    Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

    1.3 Квадратные уравнения в Индии

    Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

    ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

    В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

    В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

    Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

    Задача 13.

    «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

    Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

    Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

    На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

    Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

    Соответствующее задаче 13 уравнение:

    ( x /8) 2 + 12 = x

    Бхаскара пишет под видом:

    х 2 — 64х = -768

    и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

    х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

    (х — 32) 2 = 256,

    х — 32 = ± 16,

    х 1 = 16, х 2 = 48.

    1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

    В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

    1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

    2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

    3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

    4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = b х.

    5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

    6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

    Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

    ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

    Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

    Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

    Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

    1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII XVII вв

    Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

    Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

    х 2 + bx = с,

    при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

    Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

    1.6 О теореме Виета

    Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

    Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

    (а + b )х — х 2 = ab ,

    х 2 — (а + b )х + а b = 0,

    х 1 = а, х 2 = b .

    Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

    Вторая формула квадратного уравнения. Квадратные уравнения

    Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

    Общий вид квадратного уравнения

    Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

    Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

    Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

    Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

    Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

    • в решении будет два корня;
    • ответом будет одно число;
    • корней у уравнения не будет совсем.

    И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

    Виды записей квадратных уравнений

    В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

    Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

    Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

    Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

    Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

    После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

    Как решается квадратное уравнение полного вида?

    По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

    Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

    Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

    Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

    Как решается квадратное уравнение неполного вида?

    Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

    Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

    Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

    Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

    • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
    • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
    • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

    Примеры

    Требуется решить следующие квадратные уравнения:

    х 2 − 7х = 0;

    15 − 2х − х 2 = 0;

    х 2 + 8 + 3х = 0;

    12х + х 2 + 36 = 0;

    (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

    Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

    После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

    Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

    Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

    После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

    Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

    Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

    Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

    Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

    Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

    Лекция: Квадратные уравнения


    Уравнение

    Уравнение — это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.

    Решить уравнение — значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

    Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

    Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

    Линейное: a*x = b;

    Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.

    То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

    Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

    На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

    Квадратные уравнения


    Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид:

    a*x 2 + b*x + c = 0.

    При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х» — корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

    «а» — коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

    «b» — стоит перед неизвестной в первой степени.

    «с» — свободный член уравнения.

    Если, например, мы имеем уравнение вида:

    2х 2 -5х+3=0

    В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

    Решение квадратного уравнения

    Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

    Решение по дискриминанту:

    При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

    Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

    Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

    Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

    Теорема Виета

    Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета .

    Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

    Корни уравнения находятся следующим образом:

    Неполное квадратное уравнение

    Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

    1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0) , то квадратное уравнение будет иметь вид:

    Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

    Уравнение вида

    Выражение D = b 2 — 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
    В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
    Используя обозначение D = b 2 — 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

    Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

    где k = b / 2 .
    Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.
    Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 5 x + 2 = 0 . Здесь a = 2, b = -5, c = 2 . Имеем D = b 2 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так как D > 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

    Итак x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 — 3) / 4 = 1 / 2 ,
    то есть x 1 = 2 и x 2 = 1 / 2 — корни заданного уравнения.
    Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 — 3 x + 5 = 0 . Здесь a = 2, b = -3, c = 5 . Находим дискриминант D = b 2 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как D 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

    Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
    Пример 1: решить уравнение 2 x 2 — 5 x = 0 .
    Имеем x (2 x — 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x — 5 = 0 , то есть x = 2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
    Пример 2: решить уравнение 3 x 2 — 27 = 0 .
    Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3 .

    Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна p , а произведение равно q , то есть

    x 1 + x 2 = -p ,
    x 1 x 2 = q

    (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену). 2 + b*x + c = 0 ,где x — переменная, a,b,c – константы; a0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

    Геометрический смысл квадратного уравнения

    Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
    1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

    2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

    3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

    Отсюда находим

    Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

    Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

    Теорема Виета

    Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0 .

    Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

    С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
    Корни уравнения равны

    Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

    Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
    х(18-х)=77;
    или
    х 2 -18х+77=0.
    Найдем дискриминант уравнения

    Вычисляем корни уравнения

    Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

    Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

    Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

    Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

    Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

    Раскрыв скобки получим тождество. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

    Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
    Вычислим дискриминант

    и найдем значения а при котором оно положительно

    С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


    Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
    В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

    Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x 2 − 8x + 12 = 0;
    2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
    3. x 2 − 6x + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a = 1, b = −8, c = 12;
    D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a = 5; b = 3; c = 7;
    D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a = 1; b = −6; c = 9;
    D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x 2 − 2x − 3 = 0;
    2. 15 − 2x − x 2 = 0;
    3. x 2 + 12x + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
    D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
    D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x 2 + 9x = 0;
    2. x 2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c /a )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x 2 − 7x = 0;
    2. 5x 2 + 30 = 0;
    3. 4x 2 − 9 = 0. 2}$

      Вот он! Выражение b2 — 4ac, стоящее в числителе правой части — и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части — тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым — корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.

      Ну а дальше — легко 🙂

    http://desyatbukv.blogspot.com/2012/05/blog-post.html

    Формула корней квадратного уравнения. 8-й класс

    Тема “Квадратные уравнения” является ключевой в программе алгебры в 8-м классе. Использование на уроке презентации активизирует учащихся и помогает создать учебно-познавательную мотивацию учащихся на уроке. Данный урок обобщения и систематизации знаний.

    Тема: Формула корней квадратного уравнения.

    Цели и задачи урока:

    Образовательные:

    • обобщить изученный материал по теме: “ Квадратные уравнения” ;
    • научить применять математические знания к решению практических задач.

    Развивающие:

    • формировать умение применять математические знания к решению задач;
    • развивать познавательную активность, творческие способности.

    Воспитательные:

    • продолжить формирование у учащихся самостоятельности, ответственности за полученные знания;
    • развивать внимание и память у учащихся;
    • воспитывать интерес к предмету.

    Оборудование:

    мультимедийный проектор (презентация к уроку),дидактические карточки, плакаты-задания.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Приветствие учащихся.Проверка учебных принадлежностей, раздаточного материала.

    Цель нашего урока: Обобщить изученный по теме : “Квадратные уравнения” материал и научиться применять полученные знания к решению задач.

    2. Устная работа.

  • Дайте определение квадратного уравнения.
  • Назовите виды квадратных уравнений ( Слайд №1)
  • Что такое дискриминант? Сколько корней может иметь квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта? (слайд №2)
  • Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Назовите их.(слайд №3)
  • Назовите коэффициенты квадратного уравнения:
  • а)3x2-6x-12=0; б)3-2x2-x=0; в)y2-3=0; г)x2-x+2=0; д)2b2-5b=0;е) 8c2=0 (слайд №4)

    • Замените уравнение равносильным ему приведённым квадратным уравнением:

    а) 3x2-6x-12=0; б)-x2+2x-2=0; в)10x2-20x+30=0 (слайд №5)

    • Вычислите дискриминант и определите число корней квадратного уравнения:

    а) x2+4x-1=0; б) 2x2+5x+1=0; в) x2-3x+5=0 (слайд№6)

    3. Работа над изученным материалом.

    • Решение уравнений всех видов (двое работают у доски по карточкам, класс в это время решает уравнения с плаката).

    Карточка №1

    Решить уравнение: 2x2-5x+2=0, 4x2-9=0.

    Карточка №2

    Решить уравнение: 3x2-10x+3=0, 3x2-4x=0.

    Решение с комментированием с места: 2x2-7x-4=0, y2-10y+25=0,-x2+3=0,

    4a2-3a=0, 9x2=0.

    • Физкультминутка “Зрительная гимнастика”

    Не поворачивая головы, делать движения глазами: вправо-влево, вверх-вниз; “восьмёрку”.

    На вытянутой руке держать ручку или карандаш, зафиксировать взгляд на карандаше, приближая и отодвигая его.

    (Упражнения повторить 3 раза.)

    • Работа в группах (парах).Проговаривание формул для решения всех видов квадратных уравнений).
    • Разноуровневая самостоятельная работа:

    1.Решите уравнения: а) 2y2-9y+10=0 (2;2,5),б)18+3x2-x=0 (корней нет), в)x2-22x-23=0 (-1;23). Отметка “3”.

    2. Решите уравнения: а) 5x2=9x+2 (-0,2;2), б)-x2=5x-14 (-7;2).

    в)6x+9=x2(3±3v2).

    3.Найти корни уравнения: (3x-1)(x+3)=x(1+6x) (). Отметка “4”.

    4. Решите уравнения: а) (x+4)2=3x+40 (-8;3), б)(x+3)2-2(x+3)-8=0 (-5:1),

    5.Существует ли такое значение параметра а, при котором верно равенство 3a+0,6=9a2+0,362 ( ). Отметка “5”.(слайд №7)

    4.Подведение итогов.
    • Выступление экспертной группы.
    • Оценки.

    5. Рефлексия.

    Задачи-шутки. а)Сколько пальцев на двух руках? А на десяти руках?

    б)Сколько концов у трёх палок? у четырёх с половиной палок?

    Оценочный лист.

    Задание Самооценка Экспертная группа
    Устная работа    
    Решение уравнений    
    Знание теории    
    Самостоятельная работа    

    Устная работа.

    Презентация

    2. \ _\squarem2​=n2. □​

    Дискриминантная формула: природа корней, примеры, использование

    Дискриминант Формула: В математике дискриминант является функцией полиномиальных коэффициентов. Дискриминант многочлена — это число, которое зависит от коэффициентов и влияет на определенные свойства корней в математике. Обычно его описывают как полиномиальную функцию коэффициентов исходного полинома. В полиномиальном факторинге, теории чисел и алгебраической геометрии обычно используется дискриминант.Символ \(D\) или \(∆\) часто используется для его обозначения.

    Последнее обновление:

    Вскоре в феврале 2022 года совет опубликует приемную карточку и лист с датами экзаменов.

    Дискриминантная формула: что такое квадратное уравнение?

    Алгебраическое утверждение второй степени относительно \(x\) называется квадратным уравнением.2},b \to \) коэффициент при \(x, c→\) постоянной.

    Изучение концепций экзамена на Embibe

    Формула квадратного уравнения

    Квадратная формула является наиболее эффективным способом определения корней квадратного уравнения. Некоторые квадратные уравнения трудно разложить на множители. В этих случаях мы можем применить эту квадратичную формулу, чтобы найти корни. Сумма корней и произведение корней квадратного уравнения также могут быть найдены с помощью корней квадратного уравнения.2} – 4ac} }}{{2a}}\)

    Приведенная выше формула для получения корней квадратного уравнения известна как формула квадратного уравнения.

    Корни квадратных уравнений

    Два значения \(х\), полученные путем решения квадратного уравнения, являются корнями квадратного уравнения. Символы альфа \ (\ влево ( \ альфа \ вправо) \) и бета \ (\ влево ( \ бета \ вправо) \) используются для представления корней квадратного уравнения. Нули уравнения также известны как корни квадратного уравнения.2} – 4ac\).

    Он может «различать» следующие категории ответов:

    1. При положительном результате мы получаем два действительных решения.
    2. Когда он равен нулю, существует только одно действительное решение (оба ответа одинаковы)
    3. Когда он отрицательный, есть два комплексных решения.

    Формула дискриминанта

    Дискриминант полинома является функцией его коэффициентов и обозначается заглавной буквой \(«D»\) или дельта-символом \(∆.2} – 4ac.\) Дискриминант говорит нам, есть ли два решения, одно решение или нет решений.

  • Дискриминант квадратного уравнения важен, поскольку он указывает количество и характер решений. Это знание очень важно, поскольку оно действует как двойная проверка при применении любого из четырех способов решения квадратных уравнений (разложение на множители, завершение квадрата, использование квадратных корней и использование квадратной формулы).
  • Решаемые примеры – формула дискриминанта

    В.2} – 4ac\) Дискриминант говорит нам, есть ли два решения, одно решение или нет решений. Эта статья включает определение квадратного уравнения, стандартную форму квадратного уравнения, формулу квадратного уравнения, корни уравнения, природу корней, определение дискриминанта, формулу дискриминанта, символ дискриминанта и его использование. 2} — 4ac,\), где \( D→\) — значение дискриминанта

    Q.2} – 4ac.\) Дискриминант говорит нам, есть ли два решения, одно решение или нет решений.
    Q.3. Как использовать дискриминантную формулу?
    Ответ: С помощью дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения. Дискриминант может быть положительным, отрицательным или нулевым. Зная значение определителя, можно определить природу корней.
    В.2} – 4ac\) называется дискриминантом.
    Q.6. Почему дискриминант важен?
    Ответ: Дискриминант квадратного уравнения важен, потому что он показывает нам, сколько и каких решений существует. Это знание полезно, поскольку оно действует как двойная проверка при использовании любой из четырех стратегий решения квадратных уравнений, а именно разложения на множители, завершения квадрата, использования квадратных корней и применения квадратной формулы. 2+bx+c {/eq}, где a, b и c — действительные числа.2-4(-3)(0)=4-0=4 {/экв}.

    Дискриминант решений

    Дискриминант квадратного уравнения показывает, являются ли решения квадратного уравнения действительными числами или комплексными числами, а также сколько решений существует для каждого из них. Вот правила для дискриминанта: предположим, что {eq}f(x) {/eq} является квадратным уравнением, тогда:

    • Если {eq}\Delta>0 {/eq}, то f(x) имеет два реальных решения.
    • Если {eq}\Delta=0 {/eq}, то f(x) имеет одно действительное решение.2-4ac}}{2a} {/eq}

    Если дискриминант больше нуля, то квадратный корень будет существовать. Это приводит к -b добавлению и вычитанию реального значения, что приводит к двум решениям. Теперь, если дискриминант равен нулю, квадратный корень равен нулю, что приводит к единственному решению {eq}\frac{-b}{2a} {/eq}. Наконец, если дискриминант меньше нуля, то квадратный корень становится квадратным корнем из отрицательного числа. 2- 4ac}}{2a} {/eq}.2-4(-1)(3)=4+12=16 {/eq} и {eq}16>0 {/eq} означает, что это уравнение имеет ровно два различных действительных корня. Вот его график:

    График уравнения с положительным дискриминантом

    Обратите внимание, что кривая пересекает ось x в двух точках, что означает, что она имеет два различных действительных решения: x=3 и x=-1.

    Отрицательный дискриминант

    Если дискриминант отрицательный, значение квадратного корня в квадратной формуле становится квадратным корнем отрицательного числа, которое является мнимым.2-4(1)(1)=-4 {/eq} и {eq}-4<0 {/eq} означает, что это уравнение имеет два различных комплексных решения и не имеет действительных решений. Вот его график:

    График уравнения с комплексными решениями

    Обратите внимание, что кривая ни в одной точке не пересекает ось x. Следовательно, она имеет два различных комплексных решения. В этом случае решения равны x=i и x=-i.

    Нулевой дискриминант

    Если дискриминант равен нулю, то квадратичная формула принимает вид {eq}\frac{-b}{2a} {/eq}, что дает одно действительное решение.2-4(1)(1)=4-4=0 {/экв}. Поскольку дискриминант этого уравнения равен нулю, оно имеет ровно одно действительное решение. Вот его график:

    График уравнения с одним действительным решением

    Обратите внимание, что кривая касается оси x только в одной точке: x=-1, что означает, что она имеет только одно действительное решение.

    Итоги урока

    В этом уроке идея дискриминанта была изучена применительно к квадратным уравнениям.2-4ас {/экв}. Дискриминантная формула дает количество решений квадратного уравнения, а также сообщает, являются ли решения действительными числами или комплексными числами. 2+bx+c {/eq}.2-4ас {/экв}. Он дает количество решений, а также то, являются ли решения действительными числами или комплексными числами.

    • Если {eq}\Delta>0 {/eq}, то квадратное уравнение имеет ровно два различных действительных решения.
    • Если {eq}\Delta=0 {/eq}, то квадратное уравнение имеет ровно одно действительное решение.
    • Если {eq}\Delta<0 {/eq}, то квадратное уравнение имеет ровно два различных комплексных решения и не имеет действительных решений.

    Геометрический смысл дискриминанта

    При выводе квадратной формулы мы узнали, что решения квадратного уравнения , где , описываются уравнением

    .

    Графически получение решений эквивалентно получению значения when функции , . Это означает, что квадратичная формула выше описывает корень квадратичной функции.

    Из уравнения означает, что квадратичный многочлен может иметь не более двух корней, в зависимости от значения выражения под знаком радикала. То есть корни квадратичных многочленов равны

    .

    и

    .

    Однако количество корней будет зависеть от выражения .Обратите внимание, что если оно отрицательное, корня нет (точнее, реальный корень ), поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, если , то настоящего корня нет.

    Квадратичные функции без корней.

    Геометрически корнем является значение x функции, когда y равно 0, или когда функция пересекает ось x . Следовательно, если нет действительного корня, график квадратичной функции не пересекает ось абсцисс (см. первый рисунок).Примеры этих квадратичных функций показаны выше. Обе квадратичные функции не имеют действительных корней.

    Второй случай, если равен 0. Это означает, что

    .

    Следовательно, у нас есть только один корень, равный . Поскольку квадратичная функция имеет только один корень, она пересекает ось x только один раз.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск