Экстремумы как найти: Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Содержание

Локальный экстремум функции. Примеры

Отыскание локальных максимумов и минимумов не обходится без дифференцирования и является необходимым при исследовании функции и построении ее графика.

Точка называется точкой локального максимума (или минимума) функции , сли существует такой окрестность этой точки, принадлежащий области определения функции, и для всех из этого окрестности выполняется неравенство (или ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках — ее экстремальными значениями.

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА:

Если функция имеет в точке локальный экстремум, то либо производная равна нулю , либо не существует.

Точки которые удовлетворяют выписанным выше требованиям называют критическими точками.

Однако в каждой критической точке функция имеет экстремум. Ответ на вопрос: будет критическая точка точкой экстремума дает следующая теорема.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Теорема І. Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку и дифференцированная во всех точках этого интервала (за исключением, возможно, самой точки ).

Тогда для точки функция имеет максимум, если для аргументов выполняется условие, что производная больше нуля , а для условие — производная меньше нуля .

Если же для производная меньше нуля , а для больше нуля , то для точки функция имеет минимум.

Теорема ІІ. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки и производная равна нулю . Тогда в точке функция имеет локальный максимум, если вторая производная меньше нуля и локальный минимум, если наоборот .

Если же вторая производная равна нулю , то точка может и не быть точкой экстремума.

При исследовании функций на экстремумы используют обе теоремы. Первая на практике проще, поскольку не требует нахождения второй производной.

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ЕКСТРЕМУМОВ (МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ) С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

1) найти область определения ;

2) найти первую производную ;

3) найти критические точки;

4) исследовать знак производной на интервалах, которые получили от разбиения критическими точками области определения .

При этом критическая точка является точкой минимума, если при переходе через нее слева направо производная меняет знак с отрицательного на положительный , в противном случаэ является точкой максимума.

Вместо данного правила можно определять вторую производную и исследовать согласно второй теоремы.

5) вычислить значения функции в точках экстремума.

Рассмотрим теперь исследование функции на экстремумы на конкретных примерах.

————————————

Примеры.

Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах»

1. (4.53.7)

1) Областью определения будет множество действительных чисел

;

2) Находим производную

3) Вычисляем критические точки

Они разбивают область определения на следующие интервалы

4) Исследуем знак производной на найденных интервалах методом подстановки значений

Таким образом первая точка является точкой минимума, а вторая — точкой максимума.

5) Вычисляем значение функции

——————————

2. (4.53.9)

1) Областью определения будет множество действительных чисел , так корень всегда больше единицы

и функция арктангенс определена на всей действительной оси.

2) Находим производную

3) С условия равенства производной нулю находим критическую точку

Она разбивает область определения на два интервала

4) Определим знак производной в каждой из областей

Таким образом находим, что в критической точке функция принимает минимальное значение.

5) Вычислим экстремум функции

——————————

3. (4.53.13)

1) Функция определена когда знаменатель не превращается в ноль

Из этого следует, что область определения состоит из трех интервалов

2) Вычисляем производную

3) Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.

4) Устанавливаем знак производной в каждой из областей, подстановкой соответствующих значений.

Таким образом точка является точкой локального максимума, а локального минимума. В имеем перегиб функции, но о нем будет больше материала в следующих статьях.

5) Находим значение в критических точках

Несмотря на то, что значение функции , первая точка является точкой локального максимума, а дуга — минимума. Не бойтесь, если у Вас выйдут подобные результаты, при определении локальных экстремумов такие ситуации допустимы.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Поиск корней и экстремумов функции. Построение графика

Поиск корней и экстремумов функции. Построение графика

Задание: отделить корни уравнения f(x)=0, предварительно проанализировав область определения аргумента х.   Используя процедуру Поиск решения найти: А) все корни данного уравнения Б) все имеющиеся экстремумы данной функции.  Построить график функции на конечном отрезке.

 х32+3=0

 

Решение:

Область определения функции (-∞;+∞)
Составим таблицу знаков функции f(x), полагая x равным:
a) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним;
b) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).
Имеем: 3х2+2х
Производная имеет 2 корня: x1=0; x2=-2/3

x

— ∞

-2/3

0

+ ∞

знак f(x)

+

+

+

Из таблицы видно, что функция 1 раз меняет знак, значит  уравнение имеет 1 корень. 2+3. Эту формулу вставим в ячейку В1

Выберем Сервис→Поиск решения. Установим параметры:

 

 

Получим  корень уравнения x1=-1.864 y=0

 

 

 

б) все экстремумы данной функции.
Найдем экстремумы функции с помощью команды Данные→Поиск решения. Установим параметры для поиска максимума:

 

 

 Получим максимум в точке х=-0.667, y=3.148:

Найдем минимум функции с помощью процедуры Поиск решения. Введем параметры:


Получим минимум в точке х=0, y=3.

Введем таблицу значений функции на промежутке [-2;1] с шагом 0,2. На основании данных таблицы построим график функции f(x). Для этого выберем команду главного меню Вставка→Диаграмма.
Получим график функции

Экстремум функции онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Дается определение экстремума функции, также приводится пример, как с помощью калькулятор онлайн найти экстремум функции.

{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Убывает на промежутках
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.


Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

Вообще — зачем нужен экстремум?

В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции

Определение экстремума функции

Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

Экстремумы функций — презентация онлайн

1. Экстремумы функций.

«Применение производной к
исследованию функций»

2. Цели занятия:

Образовательная:
— систематизировать знания и создать
разноуровневые условия контроля (самоконтроля,
взаимоконтроля) усвоения знаний и умений
Развивающая:
— способствовать формированию умений применять
полученные знания в новой ситуации, развивать
математическое мышление, речь
Воспитательная:
— содействовать воспитанию интереса к математике,
активности, мобильности, умения общаться

3.

Памятка. Метод интервалов. 1.
2.
3.
4.
1.
2.
Основные положения:
Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками
сомножителей (делимого и делителя).
Знак произведения не изменяется (изменится на противоположный),
если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей.
Знак линейной функции с ненулевым угловым коэффициентом и знак
квадратичной функции справа от большего (или единственного)
корня совпадают со знаком их старшего коэффициента.
Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то
справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе
через корень меняет знак.
Замечания:
В случае отсутствия корней знак квадратичной функции совпадает со
знаком ее старшего коэффициента на всей области определения
этой функции.
Положение 3 и замечание 1 справедливы для многочлена любой
степени.

4. Проверка домашнего задания.

Найти производную функции:
а) 3х -2х+5;
б) х²*Sin x.
2. Найти значения х, в которых значение функции
равно 0, если:
а) f(x)=5x²+3x;
б) f(x)=х*е²;
в) f(x)=2х³-4х².
3. Решить неравенство:
а) 15х+1≥0;
б) х(х-3)
в) (х-1)/х>0.

5. Работа с графиком.

Рассмотрим рисунок, на котором
изображен график функции y=x³3x². Рассмотрим окрестность точки
х=0, т.е. некоторый интервал,
содержащий эту точку. Из рисунка
видно, что такая окрестность
существует
и
наибольшее
значение функция принимает в
точке х=0. Эту точку называют
точкой максимума. Аналогично
точку
х=2
называют
точкой
минимума, так как функция в этой
точке
принимает
значение
меньшее, чем в любой точке
окрестности х=2.

6. Нужно запомнить:

Точка х0
называется
точкой
максимума
функции
f(x),
если
существует такая окрестность точки х0,
что для всех х отличных от х0 из этой
окрестности выполняется неравенство
f(x)
(рисунок 1)
Точка
х0
называется
точкой
минимума
функции
f(x),
если
существует такая окрестность точки х0,
что для всех х отличных от х0 из этой
окрестности выполняется неравенство
f(x)>f(х0 ).
(рисунок 2)
Точки максимума и точки минимума
называются точками экстремума.

7. Немного из истории математики:

Пьер Ферма.
(1601 – 1665)
Работа
советника
в
городском
парламенте Тулузы не мешала Ферма
заниматься математикой. Постепенно он
приобрел
славу
одного
из
первых
математиков Франции. Он соперничал с
французским ученым Р. Декартом в
создании аналитической геометрии, общих
методов решения задач на максимум и
минимум.
Его
приемы
построения
касательных
к
кривым,
вычисления
площадей
криволинейных
фигур,
вычисления
длин
криволинейных
прокладывали
дорогу
к
созданию
дифференциального
и
интегрального
исчислений. С работ Ферма началась новая
математическая наука — теория чисел.

8. Теорема Ферма.

Если х0 – точка экстремума
дифференцируемой функции
f(x), то f (х)=0.
Теорема
Ферма
имеет
наглядный
геометрический
смысл: касательная к графику
функции у =f(x) в точке (х0;
f(х0)),
где
х0

точка
экстремума функции у =f(x),
параллельна оси абсцисс, и
поэтому
ее
угловой
коэффициент f
(х) равен
нулю.

9. Стационарные и критические точки

Точки, в которых производная функции
равна нулю, называются стационарными,
т.е. если f
(х)=0, то этого недостаточно,
чтобы утверждать, что х — точка экстремума.
Точки, в которых функция имеет
производную,
равную
нулю,
или
недифференцируема,
называются
критическими точками этой функции.
Рассмотрим
функцию
f(x)=x³.
Ее
производная f ′ (х)=3х², f
(х)=0. Однако
х=0 не является точкой экстремума, так как
функция возрастает на всей числовой оси
(рисунок 1).
Сформулируйте достаточное условие того,
что стационарная точка является точкой
экстремума.

10. Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х0 є (а; b), и f  (x)=0.

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на
интервале (а; b), х0 є (а; b), и f
Тогда:
1) если при переходе через
стационарную
точку
х0
функции f(x) ее производная
меняет знак с «плюса» на
«минус», т.е. f (x)>0 слева
от точки х0 и f (x)
от точки х0, то х0 точка
максимума
функции
f(x)
(рисунок 1).
2) если при переходе через
стационарную точку
х0
функции f(x) ее производная
меняет знак с «минуса» на
«плюс»,
то
х0
точка
минимума
функции
f(x)
(рисунок 2).
( x)=0.

11. План нахождения экстремум функции.

1. Найти производную функции.
2. Найти стационарные точки функции, т.е.
производную приравнять к нулю.
3. Используя метод интервалов выяснить, как
меняются знаки производной.
4. По знакам перехода функции определить
точки минимума или максимума.

12. Рассмотрим задание 1: Найти точки экстремума функции f(x)=9х-3.

Решение:
1) Найдем производную функции:
f ´ (x)=9
2) Найдем стационарные точки:
Стационарных точек нет.
3) Данная функция линейная и возрастает на всей
числовой оси, поэтому точек экстремума функция не
имеет.
Ответ: функция f(x)=9х-3 не имеет точек экстремума.

13. Рассмотрим задание 2: Найти точки экстремума функции f(x)=х²-2x.

Решение:
1) Найдем производную функции:
f ´ (x)=2х-2
2) Найдем стационарные точки:
2х-2=0
Х=1.
3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см.
рисунок):
4) При переходе через точку х=1 знак производной меняется со знака с «-» на
«+», поэтому х=1 – является точкой минимума.
Ответ: точка х=1 является точкой минимума функции f(x)= х²-2x.

14. Рассмотрим задание 3: Найти точки экстремума функции f(x)=х-4x³.

Рассмотрим задание 3:
Найти точки экстремума функции f(x)=х -4x³.
Решение:
1) Найдем производную функции:
f ´ (x)=4x³-12x²
2) Найдем стационарные точки:
4x³-12x²=0
Х1=0, х2=3.
3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см.
рисунок):
4) При переходе через точку х=0 знак производной не меняется, то эта точка не
является точкой экстремума, а при переходе через точку х1=3 производная
меняет знак с «-» на «+», поэтому х2=3 – является точкой минимума.
Ответ: точка х=3 является точкой минимума функции f(x)= х -4x³.

15. Самостоятельно выполнить следующие задания:

1) По данному рисунку определить точки максимума и минимума функции у=f(x).
2) Найти стационарные точки:
а) у=е² -2е ;
б) у=2х³-15х²+36х;
в) у=sinx-cosx;
г) у=(2+х²)/х.
3) Найти экстремумы функции:
а) f(x)=x³-x;
б) f(x)=х -8х²+3;
в) f(x)=х+sinx;
г) f(x)=x-cos2x.

16. Физкультминутка. Для учащихся предлагается выполнить несколько физических упражнений, чтобы снять усталость и напряжение за

длительную работу
на компьютере.
1. Сидя на стуле:
— руки за голову;
— локти развести пошире, голову
наклонить назад;
— локти вперед, голову вперед;
— руки расслабленно вниз;
— упражнение повторить 4 – 5 раз.
2. Сидя на стуле:
— голову плавно отвести назад;
— наклонить плавно голову вперед;
— упражнение повторить 4 – 5 раз.
3. Упражнение для глаз:
— быстро поморгать;
— закрыть глаза и посидеть спокойно;
— медленно сосчитать до пяти;
— упражнение повторить 4 – 5 раз.
4. Упражнение для глаз:
— крепко зажмурить глаза;
— медленно сосчитать до пяти;
— открыть глаза и посмотреть вдаль;
— упражнение повторить 4 – 5 раз.
5. Упражнение для глаз:
— посмотреть на указательный палец
вытянутой руки;
— посмотреть вдаль;
— упражнение повторить 4 – 5 раз.

17. Тестирование:

Для выполнения теста необходимо
открыть файл, который находится в папке
«Экстремумы функции» на диске С: под
названием «Тест № 1». 2

Функция \(z=f(x,y)\) имеет максимум (минимум) в точке \(M_0(x_0;y_0)\) , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в лююой другой точке \(M(x;y)\) некоторой окресности точки \(M_0\) т.е. \(f(x_0;y_0)>f(x,y)\) для всех точек \(M(x;y)\) , удовлетворящих условию \(\left|M_0M \right|

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка \(M_0\), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция \(z=f(x,y)\) достигает экстремума в точке \(M_0(x_0;y_0)\) то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

$$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0;\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0$$

необходимые условия экстремума.

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример 1. 2=1/3-1/144>0.$$

Так как \(A

Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Условный экстремум функции \(z=f(x,y)\) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные \(x\) и \(y\) связаны уравнением \(\varphi (x,y)=0\) (уравнение связи).

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа \(u=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)\) , где \(\lambda\) — неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид

$$\frac{\partial u}{\partial x}\equiv \frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial \varphi }{\partial x}=0,$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}\equiv \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial \varphi }{\partial y}=0,$$

$$\varphi (x,y)=0.$$

Из этих трьех уравнений можно найти неизвестные \(x,y,\lambda\).

Для того что бы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо :

1) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти экстремум функции \(z=xy\) при условии, что \(x\) и \(y\) связаны уравнением \(2x+3y-5=0.\)

Рассмотрим функцию Лагранжа \(u=xy+\lambda(2x+3y-5)=0.\) Имеем

$$\frac{\partial u}{\partial x}=y+2\lambda, \frac{\partial u}{\partial y}=x+3\lambda.$$

Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)

$$\begin{cases} & \text{ } y+2\lambda =0, \\ & \text{ } x+3\lambda =0, \\ & \text{ } 2x+3y-5= 0 \end{cases}$$

находим \(\lambda=-5/12, x=5/4, y=5/6.\) Нетрудно видеть, что в точке \((5/4;5/6)\) функция \(z=xy\) достигает наибольшего значения \(z_{max}=25/24.\)


2012-12-15 • Просмотров [ 22189 ]

Нахождение локальных экстремумов функции



Нахождение локальных экстремумов функции4.6. Нахождение локальных экстремумов функции

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локаль-ный экстремум, то его можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения. 2 + A2 +2.

3. Выполните команду меню Сервис — Поиск решения.

4. В открывшемся окне диалога Поиск решения в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу (В3), установите пере-ключатель Минимальному значению, в поле Изменяя значение ячейки укажите адрес ячейки, в которой содержится переменная х.

5. Добавьте два ограничения в соответствующее поле: A3>= -2 и A3<= 2.

6. Щелкните на кнопке Параметры и в от крывшемся диалоговом окне Пара-метры поиска решения установите относительную погрешность вычислений и предельное число итераций.

7. Щелкните на кнопке Выполнить.

В ячейке А3 будет помещено значение аргумента Х функции, при котором она принимает минимальное значение, а в ячейке В3 – минимальное значение функции. В результате выполнения вычислений в ячейке А3 будет получено значение независимой переменной, при котором функция принимает наименьшее значение, а в ячейке В3 – минимальное значение функции, равное 1,75. Постройте график заданной функции и убедитесь, что решение найдено верно.

Рисунок 18

   К предыдущей        К следующей    Открыть содержание темы

Теорема об экстремальных значениях

Важным применением критических точек является определение возможных максимальных и минимальных значений функции на определенных интервалах. Теорема об экстремальных значениях гарантирует максимальное и минимальное значение функции при определенных условиях. В нем говорится следующее:

  • Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ], то f(x) имеет как максимальное, так и минимальное значение на [ a, b ].

Процедура применения теоремы об экстремальном значении заключается в том, чтобы сначала установить, что функция непрерывна на отрезке. Следующим шагом является определение всех критических точек в заданном интервале и оценка функции в этих критических точках и в конечных точках интервала. Наибольшее значение функции из предыдущего шага является максимальным значением, а наименьшее значение функции является минимальным значением функции на заданном интервале.

Пример 1: Найдите максимальное и минимальное значения f(x) = sin x + cos x на [0, 2π].

Функция непрерывна на [0,2π], критические точки равны и . Значения функции в конечных точках интервала равны f (0) = 1 и f (2π)=1; следовательно, максимальное значение функции f(x) находится при x = π/4, а минимальное значение функции f(x) равно − при x = 5π/4.

Обратите внимание, что в этом примере максимум и минимум встречаются в критических точках функции.

Пример 2: Найдите максимальное и минимальное значения f(x) = x 4 −3 x 3 −1 на [−2,2].

Функция непрерывна на [−2,2], и ее производная равна f′(x) =4 x 3 −9 x 2 .

Поскольку x = 9/4 не находится в интервале [−2,2], единственная критическая точка возникает при x = 0, что равно (0, −1). Значения функции на концах интервала: f (2)=−9 и f (−2)=39; следовательно, максимальное значение функции 39 при x = -2, а минимальное значение функции равно -9 при x = 2.Обратите внимание на важность закрытого интервала при определении того, какие значения следует учитывать для критических точек.

Теорема об экстремальных значениях

Первую производную можно использовать для нахождения относительного минимума и относительного максимума значений функции на открытом интервале. Эти значения часто называют экстремальными значениями или экстремумами (форма множественного числа).

Точка считается минимальной точкой , если значение функции в этой точке меньше, чем значения функции для всех значений x в интервале.

И наоборот, точка считается максимальной точкой , если значение функции в этой точке больше, чем значения функции для всех значений x в интервале.

Посмотрите на график f(x) = x 3 + 4x 2 — 12x на интервале [0, 3], рис. 1а. Из графика видно, что он имеет максимум при (3, 27) и минимум при (1,07, -7,04). На замкнутом интервале эти точки называются абсолютными или глобальными минимумами/максимумами точек.

ТЕОРЕМА ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ:

Если функция непрерывна на отрезке, то функция имеет как минимум, так и максимум.



Если вы посмотрите на этот же график по всему домену, вы заметите, что нет абсолютного минимального или максимального значения.

Однако существуют минимальные и максимальные точки, в которых холмы на графике достигают своей высшей (-3,7, 48,52) или самой низкой точки (1,07, -7,04). Эти точки называются относительными или локальными минимумами/максимумами точек.

Поскольку относительные минимумы/максимумы возникают на вершине или в долине холма, уклон в этих точках либо равен нулю, либо не определен. Значения x в этих точках называются критическими числами . Критические числа f(x) = x 3 + 4x 2 — 12x составляют -3,7, 1,07.

Таким образом, экстремумы на замкнутом интервале могут быть определены с помощью первой производной и этих ориентиров.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОИСКУ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ ДЛЯ ЗАКРЫТОГО ИНТЕРВАЛА:


Чтобы найти экстремумы функции f на отрезке [a, b]: 1.Найдите критические числа f в (a, b).

2. Оцените f при каждом критическом числе, найденном на шаге 1, по (a, b).

3. Вычислить f в каждой конечной точке интервала [a, b].

4. Наименьшее из этих значений является минимальным, а наибольшее — максимальным.


Давайте посмотрим на пару примеров.

Пример 1: Найти экстремумы f(x) = 2x 3 — 3x 2 на интервале [0, 3]

Шаг 1: Найдите критические числа f(x) на открытом интервале (a, b).

Найдите первую производную и оцените ее для f ′(x)=0 или f ′(x) не существует.

f(x) = 2x 3 — 3x 2 Исходная функция

f′(x)=6×2−6xf ′(x)

0 = 6х 2 — 6х Задавать f′(x)=0

0 = 6х(х — 1) Фактор из 6x

6х = 0; х = 0 Установите коэффициенты на 0

х — 1 = 0; х = 1 Решите для х

ф ‘(х) всегда будет существовать, значит, все критические числа найдены.

Критические числа: {0, 1}

Шаг 2: Оцените f(x) при каждом критическом числе.

f(0)=2(0)3−3(0)2=0 f(0) = 0

f(1)=2(1)3−3(1)2=−1f(1) = -1

Шаг 3: Оцените f(x) в каждой конечной точке на закрытом интервале [a, b].

е (0) = 0 е (0) = 0

f(3)=2(3)3−3(3)2=27f(3) = 27

Шаг 4: Наименьшее из этих значений является минимальным, а наибольшее — максимальным.


Левая конечная точка

Критический номер

Критический номер

Правая конечная точка

е (0) = 0

е (0) = 0

f(1) = -1

Минимум

f(3) = 27

Максимум

Пример 2. Найдите экстремумы f(x) = 3x — 4x 3 на интервале [0, 2]

Шаг 1: Найдите критическую точку на открытом интервале (a, b).

Найдите первую производную и оцените ее для f′(x)=0 или f′(x) не существует.

f(x) = 3x — 4x 3 Исходная функция

f′(x)=3−12x2f′(x)

0 = 3 — 12x 2 Установить f′(x)=0

0 = 3 (1 — 4 х 2 ) Фактор из 3

0 = 3 (1 — 2х) (1 + 2х) Квадратичный фактор

1−2x=0;x=12    Установить коэффициенты равными 0

1+2x=0;x=−12 Найти x

f′(x) всегда будет существовать, поэтому все критические числа найдены.

Критические числа: {1,2, -12}

Шаг 2: Оцените f(x) при каждом критическом числе.

f(12)=3(12)−4(12)3=1 f(12)=1

f(−12)=3(−12)−4(−12)3=−1f(−12)=−1

Шаг 3: Оцените f(x) в каждой конечной точке на закрытом интервале [a, b].

f(0)=3(0)−4(0)3=0     f(0) = 0

f(2)=3(2)−4(2)3=−26  f(2) = -26

Шаг 4: Наименьшее из этих значений является минимальным, а наибольшее — максимальным.


Левая конечная точка

Критический номер

Критический номер

Правая конечная точка

е (0) = 0

f(−12)=−1

f(12)=1

Максимум

f(2) = -26

Минимум

Экстремальное значение | Математика Вики

Экстремальное значение или экстремум (множественное число экстремум ) — это наименьшее (минимальное) или наибольшее (максимальное) значение функции в произвольно малой окрестности точки в области определения функции, в которой В этом случае он называется относительным или локальным экстремумом — или на данном наборе, содержащемся в области (возможно, всем) — и в этом случае он называется абсолютным или глобальным экстремумом (последний термин — общий, когда набор представляет собой весь домен).

В качестве особого случая экстремум, который в противном случае считался бы относительным/локальным экстремумом, но который находится в конечной точке (или, в более общем случае, на границе) области определения функции, иногда называется конечной точкой или границей экстремума и не является считается относительным/локальным экстремумом, хотя может быть и абсолютным/глобальным.

Обратите внимание, что в случае относительных/локальных экстремумов обычно концентрируются на , где встречаются экстремумы (т. е. «-значения»), а не на том, что на самом деле представляют собой экстремальные значения («-значения»), тогда как в случае абсолютных/глобальных экстремумов принято концентрироваться на самом экстремальном значении («-значение»).Однако в любом случае могут быть указаны оба значения, например, если экстремальное значение 5 приходится на .

Экстремумы можно найти, взяв производную функции и приравняв ее нулю. Если вторая производная в этой точке положительна, то она минимальна, и наоборот.

Определения

Для действительной функции одной действительной переменной

Дано ,

Обратите внимание, что относительный/локальный экстремум не может возникнуть в конечной точке области определения функции.

Для функции с действительным знаком более чем одной действительной переменной

Дано для некоторого целого числа

Вот вектор, представляющий n-кортеж.

Обратите внимание, что относительный/локальный экстремум не может возникнуть на границе области определения функции.

Нахождение экстремумов

Функции с одной переменной

Самый простой способ нахождения экстремумов функций одной переменной состоит в том, чтобы взять производную и найти стационарные точки или точки, в которых производная равна 0 (в экстремумах, за исключением конечных точек на отрезке, наклон функции касательная равна 0).Тест второй производной определит вогнутость функции в точке; если вторая производная отрицательна, то функция будет вогнутой вниз и будет иметь максимум. На замкнутом интервале также необходимо найти значение конечных точек.

Многомерные функции

Для функции с несколькими переменными проверяются точки, в которых все частные производные равны 0. Чтобы определить, является ли точка максимальной, минимальной или седловой, нужно взять каждую возможную вторую производную и построить матрицу, известная как матрица Гессе.Например, с функцией двух переменных матрица Гессе имеет вид

Для трех переменных это становится

Если определитель гессиана положительный, он будет максимальным, если , , или отрицательным, и минимальным, если эти вторые производные положительны. Если он отрицателен, будет седловая точка. Если он равен нулю, необходимо использовать другой тест.

Узнать о локальных экстремальных значениях

Тест второй производной используется для проверки наличия локального экстремального значения в критической точке.

Если значение второй производной в критической точке положительно, то функция будет иметь в этой точке локальный минимум, а если значение второй производной в критической точке отрицательно, то функция будет иметь локальный максимум в таком случае.

Если значение второй производной в критической точке равно нулю, то эта точка называется точкой перегиба.

Как и тест первой производной, тест второй производной используется в задачах оптимизации.{»} (2)=12-6=6>0C»(2)=12-6=6>0. Поскольку это положительное значение, функция будет иметь локальный минимум при x=2x=2x=2.

Следовательно, можно сказать, что затраты будут минимальными при уровне производства x=2x=2x=2. Построение графика функции будет

Мы видим, что первая производная равна нулю в критических точках, и в критических точках возникают локальные экстремумы.

Распределение экстремальных значений и теория экстремальных значений


Распределения вероятностей > Распределение экстремальных значений и теория экстремальных значений

Комплектация:

  1. Что такое распределение экстремальных значений?
  2. Типы распределения экстремальных значений I, II и III
  3. Обобщенное распределение экстремальных значений
  4. Каково наибольшее распределение экстремальных значений?
  5. Что такое «Экстремальная ценность?»
  6. Теория экстремальных значений

Распределение экстремальных значений — это ограничивающая модель для максимумов и минимумов набора данных. Он моделирует, насколько большими (или маленькими) будут ваши данные. Например, предположим, вы хотели построить дамбу для защиты от штормовых нагонов. Вы можете использовать исторические данные о штормах, чтобы создать предельное распределение, которое говорит вам, насколько большими могут быть волны и когда дамба, вероятно, обрушится. Может быть полезно думать о пределе как о точке отказа — точке, при превышении которой произойдет какой-либо отказ или событие конца срока службы.

Основная идея состоит в том, что три типа распределений экстремальных значений ( EVD Типы I, II и II ) могут моделировать экстремальные значения любого набора данных, если распределение «хорошо себя ведет» (Gumbel, 1958 г.), со следующими характеристиками:

Наверх

Распределение Вейбулла — это один из способов моделирования экстремальных значений.


Если вы сгенерируете любое количество наборов данных, возьмете минимумы и максимумы из этих наборов и создадите новое распределение, оно будет следовать одному из трех типов моделей: без верхних или нижних пределов (EVD I), с ограничением на нижнем конце ( EVD II), или ограниченный на верхнем конце (EVD Type III) (Haan, 1977).
  • EVD Тип I: Распределение Gumbel (также называемый типом Gumbel). Это самый распространенный EVD, имеющий две формы: одну для минимальной и одну для максимальной, хотя она не ограничена (не ограничена диапазоном) и определена для всего диапазона действительных чисел.Функция плотности вероятности имеет только одну неизменную форму, которая смещается в соответствии с параметром местоположения μ. С увеличением µ распределение смещается влево; При уменьшении μ оно смещается вправо. Допустим, у вас есть список минимальных уровней загрязнения за последнее десятилетие. Вы можете использовать EVD Type I для моделирования минимальных уровней загрязнения на предстоящий год. (Дополнительная информация: Что такое распределение Гумбеля ?)
  • EVD Тип II: Распределение Фреше . Это распределение используется для моделирования максимальных значений в наборе данных .Фреше медленно сходится к 1 и имеет три параметра: параметр формы, α, параметр масштаба, β и параметр местоположения μ. Он определен на интервале µ ∞; Другими словами, он ограничен (ограничен) с нижней стороны. С помощью Fréchet можно моделировать широкий спектр явлений, таких как анализ наводнений, скачки, продолжительность жизни людей, максимальное количество осадков и речной сток в гидрологии. (Дополнительная информация: Что такое дистрибутив Фреше ?)
  • EVD Тип III: Распределение Weibull . Распределение Вейбулла используется при оценке надежности продукта для моделирования времени отказа и анализа данных о сроке службы. Weibull на самом деле представляет собой семейство распределений, которые могут принимать разные формы, в зависимости от выбранных вами параметров. Он включает в себя два экспоненциальных распределения, правостороннее распределение и симметричное распределение. (Дополнительная информация: Что такое распределение Вейбулла ?)

Вернуться к началу


Распределение обобщенных экстремальных значений (GEV) представляет собой распределение с тремя параметрами, которое объединяет распределения экстремальных значений типа I (Гумбеля), типа II (Фреше) и типа III (Вейбулла). Какую из трех моделей вы выберете, зависит от поведения хвоста родительского распределения. Однако обычно вы не знаете, как ведет себя хвост родительской популяции (Holmes, 2015). Если вы ничего не знаете о поведении хвоста, то невозможно выбрать, какая модель может быть «лучшей». GEV решает эту проблему, объединяя все три распределения в единую общую форму.

CDF для GEV:

Параметры:

σ и 1 + ξ(x-μ)/σ должны быть больше нуля.ξ и µ могут принимать любые действительные значения.
Параметр shape определяет, какое распределение принимает обобщенное распределение экстремальных значений:

  • Когда параметр формы ξ равен 0, GEV соответствует типу EVD I.
  • Когда он больше 0, GEV равен EVD Type II.
  • Когда ξ меньше 0, GEV соответствует EVD Type III.

Распределение GEV иногда называют распределением Фишера-Типпета , в честь Рональда Фишера и Л.ХК Типпетт. Однако это может вызвать некоторую путаницу, поскольку частный случай распределения Гамбеля также иногда называют распределением Фишера-Типпета. Чтобы избежать путаницы, лучше всего называть распределение, охватывающее все три типа (EVD I, II и III), обобщенным распределением экстремальных значений .

Наибольшее распределение экстремальных значений другое название распределения Гамбеля.

Распределение наибольшего экстремального значения тесно связано с распределением наименьшего экстремального значения: если случайная величина X имеет наибольшее распределение экстремального значения, то случайная величина −X имеет наименьшее распределение экстремального значения, и наоборот.

Наверх

Экстремальные значения находятся в хвостах распределения вероятностей (выделены желтым цветом на изображении).

Экстремальное значение — это либо очень маленькое, либо очень большое значение в распределении вероятностей. Эти экстремальные значения находятся в хвостах распределения вероятностей (т. е. крайних точках распределения).

Термин «экстремальное значение» может означать несколько иное значение в зависимости от того, где вы об этом прочитали. Некоторые авторы используют термин «экстремальное значение» как другое название минимального значения и/или максимального значения функции (т.е. единственное наименьшее и/или наибольшее число в наборе), а другие используют как синоним выброса. В исчислении точки, в которых вы найдете максимальное и минимальное значения, называются экстремумами, поэтому некоторые авторы также называют эти точки «экстремальными значениями». Однако в большинстве случаев, когда люди говорят об экстремальных значениях, они обычно имеют в виду ценности, связанные с теорией экстремальных значений.

Наверх

Теория экстремальных значений (EVT) — раздел статистики, занимающийся стохастическим поведением экстремальных событий, обнаруживаемых в хвостах вероятностных распределений.Стохастическая модель представляет ситуацию, в которой присутствует неопределенность. Другими словами, это модель процесса, в котором присутствует какая-то случайность. EVT направлен на прогнозирование вероятности редких событий больше (или меньше), чем предыдущие зарегистрированные события. Например, EVT можно использовать в сейсмологии для предсказания следующего мегаземлетрясения в Калифорнии, последнее из которых произошло в 1857 году.

EVT возникла из-за астрономии и необходимости сохранять или отбрасывать выбросы в данных (Kotz & Nadarajah, 2003). Выбросы — это отстающие — чрезвычайно высокие или чрезвычайно низкие значения — в наборе данных, которые могут исказить вашу статистику.Например, если вы измеряли длину носа у детей, ваше среднее значение могло быть сброшено, если в классе был Пиноккио. EVT превратилась в теорию, применимую практически ко всем областям науки и бизнеса. Например, теория может моделировать и предсказывать широкий спектр явлений, таких как максимальная высота океанских волн или сила финансовых рынков (Coles, 2013). Теория, использующая распределения экстремальных значений, широко используется в экономике, финансах, материаловедении, технике надежности и многих других областях.

Теория экстремальных значений очень похожа на Центральную предельную теорему (ЦПТ). Обе теории предполагают ограничение поведения распределений независимых и одинаково распределенных случайных величин при n → ∞, но есть четкое различие: CLT касается поведения всех распределений случайных величин, в то время как теория экстремальных значений касается только поведения хвостов. таких дистрибутивов.

Чтобы более точно определить разницу между EVT и CLT, CLT описывает предельное поведение X 1 , X 2 ,… X n , в то время как теория экстремальных значений описывает предельное поведение экстремумов. max(X 2 ,…,X n ) или min(X 2 ,…,X n ) (de Haan & Ferreira, 2007).

Наверх

Статьи по теме:

Каталожные номера

Калифорнийский технологический институт / Центр данных о землетрясениях в Южной Калифорнии (2013 г.). Землетрясение в форте Теджон
Получено 16 октября 2017 г. с: http://scedc.caltech.edu/significant/forttejon1857. html.
Коулз, С. (2013). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений. Springer Science & Business Media.
Де Хаан, Л. и Феррейра, А. (2013). Теория экстремальных значений: введение. Спрингер Наука и бизнес.
Fisher, R.A., Tippett, L.H.C. (1928). «Предельные формы частотного распределения наибольшего и наименьшего члена выборки». проц. Кембриджское философское общество 24:180-190.
Гамбель, Э. (1958). Статистика крайностей. Нью-Йорк, издательство Колумбийского университета.
Хаан, (1977). Статистические методы в гидрологии. USGS.
Холмс, Дж. (2015). Ветровая нагрузка конструкций, третье издание. КПР Пресс.
Коц и Надараджа, (2000). Распределение экстремальных значений: теория и приложения.Всемирная научная.
Вейбулл, В. (1951). «Статистическая функция распределения широкого применения» J. Appl. мех.-пер. ASME 18(3), 293-297.

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


Как найти крайние точки выпуклого множества? – М.В.Организинг

Как найти крайние точки выпуклого множества?

Пусть S — выпуклое множество в Rn. Вектор x∈S называется крайней точкой S, если x=λx1+(1−λ)x2, где x1,x2∈S и λ∈(0,1)⇒x=x1=x2.

Что такое крайние точки в математике?

Крайняя точка в математике — это точка выпуклого множества, которая не лежит ни в каком открытом отрезке, соединяющем две точки множества.Экстремальная точка или экстремальная точка могут также относиться к: Точке, в которой некоторая функция достигает своего экстремума.

Что такое крайняя точка в оптимизации?

В оптимизации: Основные идеи. …в вершине или «крайней точке» области. Это всегда будет верно для линейных задач, хотя оптимальное решение может быть не единственным. Таким образом, решение таких задач сводится к нахождению того, какая крайняя точка (или точки) дает наибольшее значение целевой функции.

Все ли выпуклые множества имеют крайние точки?

В более общем случае для любого выпуклого множества S k-экстремальные точки разбиваются на k-мерные открытые грани.Если S замкнуто, ограничено и n-мерно и если p точка в S, то p является k-экстремальным для некоторого k < n. Теорема утверждает, что p — выпуклая комбинация крайних точек. Если k = 0, то это тривиально верно.

Как найти крайние точки?

Объяснение: Чтобы найти экстремальные значения функции f , установите f'(x)=0 и решите. Это дает вам x-координаты экстремальных значений/локальные максимумы и минимумы.

Что такое локальные экстремальные значения?

Локальные экстремальные значения, как определено ниже, являются максимальными и минимальными точками (если они есть), когда область ограничена небольшой окрестностью входных значений.локальный минимум в точке c тогда и только тогда, когда f(c) f(x) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c.

Как найти критические точки?

Критические точки

  1. Пусть f(x) — функция, а c — точка области определения функции.
  2. Решить уравнение f′(c)=0:
  3. Решить уравнение f′(c)=0:
  4. Решая уравнение f′(c)=0 на этом интервале, получаем еще одну критическую точку:
  5. Область определения f(x) определяется условиями:

Что такое экстремальное значение в наборе данных?

Экстремальное значение: наблюдение со значением на границах домена.Выброс: наблюдение, которое кажется несовместимым с остальной частью этого набора данных. Загрязнитель: наблюдение, происходящее из другой популяции/распределения.

На что больше всего влияют экстремальные значения?

На среднее арифметическое больше всего влияют экстремальные (минимальные и максимальные) элементы данных.

Что такое экстремальные значения данных в выборке?

Определение Экстремальное значение Эти характеристические значения являются наименьшими (минимальное значение) или наибольшими (максимальное значение) и называются экстремальными значениями. Например, размеры тела самых маленьких и самых высоких людей будут представлять собой крайние значения роста, характерного для людей.

На что влияют экстремальные значения?

Среднее арифметическое относится к среднему количеству в данной группе данных. Он определяется как сумма всех наблюдений в данных, разделенная на количество наблюдений в данных. Следовательно, на среднее значение влияют экстремальные значения, поскольку оно включает все данные в ряду.

На что не влияют экстремальные значения?

Медиана — это самое среднее значение данного ряда, которое представляет весь класс ряда.Таким образом, поскольку это среднее позиционное значение, оно рассчитывается путем наблюдения за рядом, а не через крайние значения ряда, который. Поэтому на медиану не влияют экстремальные значения ряда.

Неправильно ли влияют экстремальные значения?

(v) Медиана чрезмерно подвержена влиянию экстремальных наблюдений. Это математическое свойство относится к среднему арифметическому, а не к медиане. Среднего недостаточно для сравнения рядов, так как оно не объясняет степень отклонения различных элементов от центральной тенденции и разницу в частоте значений.

Влияют ли на диапазон экстремальные значения?

Диапазон представляет собой разницу между верхним и нижним значениями. Поскольку он использует только экстремальные значения, на него сильно влияют экстремальные значения. Дисперсия представляет собой среднеквадратичное отклонение от среднего.

Почему на режим не влияют экстремальные значения?

Режим

— самая высокая цифра в серии. Следовательно, это среднее позиционное значение, и на него не влияют экстремальные значения ряда, поскольку это значение в ряду встречается наибольшее количество раз.

На какой показатель центрального расположения больше всего влияют экстремальные значения?

Медиана

На какой показатель центральной тенденции не влияют экстремальные значения?

медиана

Что является наилучшей мерой центральной тенденции для заработной платы?

Среднее значение

На какую меру центральной тенденции влияют экстремальные наблюдения?

Среднее значение будет затронуто, если будут организованы крайние наблюдения на обоих концах данных. Медиана не затронута.2-2х+1). \end{выровнено}f′(x)​=3×2−6x+3=3(x2−2x+1).​

Поскольку fff дифференцируема во всей своей области определения, нам нужно только найти относительные экстремумы и оценить конечные точки интервала. Полагая f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 и решая, мы находим, что единственным критическим числом является x1=1,x_1=1, x1​=1, что дает значение y1= 2.y_1=2.y1​=2.

Осторожно: Это теорема исчисления, что относительные экстремумы случаются только при критических числах. Проблема состоит в том, чтобы определить, какие критические числа дают нам относительные экстремумы.Это делается двумя способами: тест первой производной или тест второй производной . По критерию первой производной f′f’f′ не меняет знак до и после критического числа x1=1x_1=1 x1​=1. Следовательно, нет никаких относительных экстремумов, связанных с этим числом.

Вычисляя конечные точки, мы имеем y2=f(0)=1y_2=f(0)=1y2​=f(0)=1 и y3=f(2)=3y_3=f(2)=3y3​=f( 2)=3. Следовательно, минимальное значение fff на [0,2][0,2][0,2] равно 1, а его максимальное значение на том же интервале равно 3.2-3х-4). \end{выровнено}f′(x)​=3×2−9x−12=3(x2−3x−4).​

Поскольку fff дифференцируема во всей своей области определения, нам нужно только найти относительные экстремумы и оценить конечные точки интервала. Установив f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 и решив, мы находим, что критическими числами являются x1=−1x_1=-1 x1​=−1 и x2=4,x_2=4 ,x2​=4, которые по критерию первой производной дают значения относительных экстремумов y1=26.5y_1=26.5y1​=26.5 и y2=−36y_2=-36y2​=−36. Вычисляя конечные точки, мы имеем y3=f(-2)=18y_3=f(-2)=18y3​=f(-2)=18 и y4=f(6)=2y_4=f(6)=2y4​= f(6)=2.2}. \end{выровнено}f′(x)=(1−x2)23(x2+1)​.​

Обратите внимание, что f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 не имеет решения относительно действительных чисел и что f′(x)f'(x)f′(x) не определено для x =-1x=-1x=-1 и x=1x=1x=1. Но обратите внимание, что числа x=-1x=-1 x=-1 и x=1x=1x=1 не являются критическими числами, поскольку они не находятся в области определения fff.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск