Если умножить минус на минус получится плюс: «Почему минус на минус даёт плюс ?» — Яндекс.Кью

Содержание

В тесноте, да не в обиде . Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

(Таня — Нулику)

Бедный, бедный Нулик! Ну и каша у тебя в голове! Сначала изобрёл какие-то отрицательные пирожные; потом — положительных и отрицательных Нуликов!

Запомни раз и навсегда: нуль — единственное число, которое не бывает ни положительным, ни отрицательным. Это что-то вроде пограничника, который стоит на рубеже между положительными и отрицательными числами.

Конечно, в твоей школе тоже есть положительные и отрицательные Нулики. Но это ведь совсем другое дело. Просто одни из них хорошие, а другие — плохие.

Второй твой вопрос — о Великанах — очень интересный. Но ответил на него не автомат, а мама-Двойка. Она говорит, что ты любознательный ребёнок.

Оба конца монорельсовой дороги и вправду ведут в Бесконечность. А в Бесконечности, понятно, живут числа — Великаны. Бесконечность тоже бывает положительная и отрицательная.

Только там свои, особые законы. Положительные и отрицательные Великаны прекрасно уживаются. Но как это им удаётся, мы не узнали. Это как раз один из тех вопросов, на которые мама-Двойка отвечает: «Всякому овощу своё время».

А теперь танцуй! Мы научились умножать и делить отрицательные числа.

Ты ведь знаешь, что умножение можно рассматривать как сложение.

Умножить два на три — всё равно что сложить три двойки:

То же самое происходит, когда отрицательное число умножают на положительное. Разве умножить минус два на плюс три — это не то же самое, что сложить три отрицательные двойки? А так как при сложении отрицательных чисел вагончики двигаются влево от Нулевой станции, то и произведение будет отрицательное — минус шесть:

— Ну, а если умножить минус три на плюс два? — спросил Сева. — Тогда что? — Какая же разница? — сказала мама-Двойка. — Как было минус шесть, так и останется минус шесть. Вот смотрите:

— Ясно! — кивнул Сева.  — Пусть себе множители меняются знаками сколько хотят, произведение всё равно остаётся то же. Оно всегда будет отрицательным, если мы перемножаем два числа с разными знаками. — Сева важно посмотрел на всех. Он был страшно собой доволен. — Все поняли? Тогда поехали дальше. Выясним теперь, что получится, если оба множителя отрицательные?

— Ну что ж, выясняйте, — сказала мама-Двойка, — мы с удовольствием вас послушаем.

— Вы меня не поняли, — смутился Сева. — Это я вас собирался послушать.

— Ах вот оно что! Тогда другое дело.

Всем нам стало неловко за Севу. Мы подумали, что мама-Двойка обиделась, но она посмотрела на нас смеющимися глазами и продолжала:

— Вы хотели знать, что происходит при перемножении двух отрицательных чисел? Нетрудно догадаться. Чтобы умножить любое число на положительное, надо отложить его на монорельсе в ту же сторону от Нулевой станции, с какой оно находится. Это мы только что видели.

Когда же мы умножаем любое число на отрицательное, всё происходит наоборот. Вы ведь знаете, какие упрямцы эти отрицательные числа! Поэтому умножаемое откладывается не с той стороны, где оно находится, а по другую сторону от нуля:

Теперь нетрудно понять, что получится при умножении отрицательного числа на отрицательное; в этом случае умножаемое надо откладывать вправо от нуля:

— Вот те раз! — Брови у Севы стали прямо как два вопросительных знака. — Отрицательное число, умноженное на отрицательное, становится положительным?! Чудеса!

— Такие чудеса случаются у нас в Аль-Джебре на каждом шагу, — ответила мама-Двойка.

— Ну, если так, расскажите нам поскорее про деление. Там, наверное, будут какие-нибудь новые чудеса?

— Ничуть не бывало. Деление — действие, обратное умножению. Стало быть, и правила знаков не меняются:

Мы почувствовали себя ужасно образованными. А пуще всех — Сева.

— Теперь нам всё нипочём! — заявил он. — Мы знаем эту дорогу как свои пять пальцев!

— Ошибаетесь, — сказала мама-Двойка, — вы познакомились только с целыми числами.

— А разве здесь есть и другие?

— А как же!

— Вы, наверное, подразумеваете дробные числа, — предположил Олег.

— Не только. Дробные числа — это те, что расположены между целыми числами. — Мама-Двойка указала на палочки ограды, которые мы недавно пересчитывали. — Здесь расстояние между двумя целыми числами разделено на десять равных частей. Каждая из них составляет одну десятую единицы. Но ведь этих делений может быть и гораздо больше. Мысленно мы можем разделить это расстояние на любое число частей.

— Значит, вагончик может останавливаться не только у целого числа, но и у любой дроби, то есть между станциями?

— Ну конечно! В любом месте, по первому требованию!

Мы тут же вызвали вагончик и заставили его остановиться сперва против числа 2,5 а потом против 3,44… Этого нам показалось мало. Мы назвали число минус пять и четыре миллионных: ?5,000 004, и красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превратился в синий и остановился на волосок дальше станции минус 5.

— Выходит, — неуверенно сказал Сева, — вся эта бесконечная дорога сплошь заполнена числами?

— Именно сплошь! — ответила мама-Двойка. — Можно сказать, непрерывно. У нас очень большая плотность населения. На всём пути не сыскать ни одной точечки, не заселённой каким-нибудь числом. Есть среди этих чисел и такие, величину которых мы никогда не можем вычислить точно.

— Что ж это за число, которое нельзя вычислить?

— Ну хотя бы корень квадратный из двух:

Попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат давало бы два.

Сева наморщил лоб, подумал немного, потом махнул рукой и засмеялся:

— И много таких чисел?

— Бесконечное множество. Их называют иррациональными в отличие от рациональных. Латинское слово «рацио» значит «разум». Следовательно, рациональные числа — это разумные числа, то есть числа, постижимые разумом.

Сева прямо задохнулся от смеха:

— Ой, умираю! Рациональные — значит разумные. А иррациональные — безумные, что ли?

— Ну зачем же так! — обиделась мама-Двойка. — Просто они не поддаются точному вычислению. Поэтому их долгое время не признавали числами. Но с тех пор как у нас появилась воздушная монорельсовая дорога (или числовая прямая — так её называют по-другому), иррациональные числа после долгих скитаний получили, наконец, точный адрес. Вычислить их по-прежнему можно только приближённо. Зато легко указать место на монорельсовой дороге, где они живут. Вместе с числами рациональными они образуют дружную семью действительных чисел, — закончила мама-Двойка и снова заставила нас удивиться.

— А разве бывают и недействительные?

— Конечно. Есть числа мнимые, есть комплексные.

Сева не дал ей договорить.

— Вспомнил! — заорал он. — И Мнимая Единица на что-нибудь да годится!

— Да, да, — подтвердила я, — так ответил автомат маленькой буковке с зонтиком: i.

— Оно и понятно, — сказала мама-Двойка, — латинской буквой i (по-русски — И) в Аль-Джебре обозначается Мнимая Единица.

— Но почему мнимая? Она что, воображаемая?

— Настолько воображаемая, что ей, как и другим мнимым числам, не нашлось местечка на всей бесконечной монорельсовой дороге.

— Так вот почему она была такая грустная! — смекнул Сева.

— А где же тогда живут мнимые числа? — спросил Олег.

— Всякому овощу своё время.

Пришлось спрятать любопытство в карман. Мы распрощались с мамой-Двойкой и пошли… Куда бы ты думал? Конечно, в Парк Науки и Отдыха.

Как мы там отдыхали, узнаешь из следующего письма.

Таня.

Математики обнаружили идеальный способ перемножения чисел / Хабр

Разбивая крупные числа на мелкие, исследователи превысили фундаментальное математическое ограничение скорости


Четыре тысячи лет назад жители

Вавилонии

изобрели умножение. А в марте этого года математики усовершенствовали его.

18 марта 2019 два исследователя описали самый быстрый из известных методов перемножения двух очень больших чисел. Работа отмечает кульминацию давнишнего поиска наиболее эффективной процедуры выполнения одной из базовых операций математики.

«Все думают, что метод умножения, который они учили в школе, наилучший, но на самом деле в этой области идут активные исследования», — говорит Йорис ван дер Хувен, математик из Французского национального центра научных исследований, один из соавторов работы.

Сложность множества вычислительных задач, от подсчёта новых цифр числа π до обнаружения крупных простых чисел сводится к скорости перемножения. Ван дер Хувен описывает их результат как назначение своего рода математического ограничения скорости решения множества других задач.

«В физике есть важные константы типа скорости света, позволяющие вам описывать всякие явления, — сказал ван дер Хувен. – Если вы хотите знать, насколько быстро компьютеры могут решать определённые математические задачи, тогда перемножение целых чисел возникает в виде некоего базового строительного блока, по отношению к которому можно выразить такую скорость».

Почти все учатся перемножать числа одинаково. Записываем числа в столбик, перемножаем верхнее число на каждую цифру нижнего (с учётом разрядов) и складываем результат. При перемножении двух двузначных чисел приходится проделать четыре более мелких перемножения для получения итогового результата.

Школьный метод «переноса» требует выполнения n2 шагов, где n – количество цифр в каждом из перемножаемых чисел. Вычисления с трёхзначными числами требуют девяти перемножений, а со стозначными – 10 000.

Метод переноса нормально работает с числами, состоящими из нескольких цифр, однако начинает буксовать при перемножении чисел, состоящих из миллионов или миллиардов цифр (чем и занимаются компьютеры при точном подсчёте π или при всемирном поиске больших простых чисел). Чтобы перемножить два числа с миллиардом цифр, нужно будет произвести миллиард в квадрате, или 1018, умножений, – на это у современного компьютера уйдёт порядка 30 лет.

Несколько тысячелетий считалось, что быстрее перемножать числа нельзя. Затем в 1960 году 23-летний советский и российский математик Анатолий Алексеевич Карацуба посетил семинар, который вёл Андрей Николаевич Колмогоров, советский математик, один из крупнейших математиков XX века. Колмогоров заявил, что не существует обобщённого способа умножения, требующего меньше, чем n2 операций. Карацуба решил, что такой способ есть – и после недели поисков он его обнаружил.


Анатолий Алексеевич Карацуба

Умножение Карацубы заключается в разбиении цифр числа и повторной их комбинации новым способом, который позволяет вместо большого количества умножений провести меньшее количество сложений и вычитаний. Метод экономит время, поскольку на сложения уходит всего 2n шагов вместо n2.


Традиционный метод умножения 25х63 требует четыре умножения на однозначное число и несколько сложений


Умножение Карацубы 25х63 требует трёх умножений на однозначное число и несколько сложений и вычитаний.
a) разбиваем числа
b) перемножаем десятки
c) перемножаем единицы
d) складываем цифры
e) перемножаем эти суммы
f) считаем e – b – c
g) собираем итоговую сумму из b, c и f

При росте количества знаков в числах метод Карацубы можно использовать рекурсивно.


Традиционный метод умножения 2531х1467 требует 16 умножений на однозначное число.


Умножение Карацубы 2531х1467 требует 9 умножений.

«Сложение в школе проходят на год раньше, потому что это гораздо проще, оно выполняется за линейное время, со скоростью чтения цифр слева направо», — сказал Мартин Фюрер, математик из Пенсильванского государственного университета, создавший в 2007 быстрейший на то время алгоритм умножения.

Имея дело с крупными числами, умножение Карацубы можно повторять рекурсивно, разбивая изначальные числа почти на столько частей, сколько в них знаков. И с каждым разбиением вы меняете умножение, требующее выполнения многих шагов, на сложение и вычитание, требующие куда как меньше шагов.

«Несколько умножений можно превратить в сложения, учитывая, что с этим компьютеры будут справляться быстрее», — сказал Дэвид Харви, математик из Университета Нового Южного Уэльса и соавтор новой работы.

Метод Карацубы сделал возможным умножать числа с использованием лишь n1,58 умножений на однозначное число. Затем в 1971 году Арнольд Шёнхаге и Фолькер Штрассен опубликовали метод, позволяющий умножать большие числа за n × log n × log(log n) небольших умножений. Для умножения двух чисел из миллиарда знаков каждое метод Карацубы потребует 165 трлн шагов.


Йорис ван дер Хувен, математик из Французского национального центра научных исследований

Метод Шёнхаге-Штрассена используется компьютерами для умножения больших чисел, и привёл к двум другим важным последствиям. Во-первых, он ввёл в использование технику из области обработки сигналов под названием быстрое преобразование Фурье. С тех пор эта техника была основой всех быстрых алгоритмов умножения.

Во-вторых, в той же работе Шёнхаге и Штрассен предположили возможность существования ещё более быстрого алгоритма – метода, требующего всего n × log n умножений на один знак – и что такой алгоритм будет наибыстрейшим из возможных. Это предположение было основано на ощущении, что у такой фундаментальной операции, как умножение, ограничение операций должно записываться как-то более элегантно, чем n × log n × log(log n).

«Большинство в общем-то сошлось на том, что умножение – это такая важная базовая операция, что с чисто эстетической точки зрения ей требуется красивое ограничение по сложности, — сказал Фюрер. – По опыту мы знаем, что математика базовых вещей в итоге всегда оказывается элегантной».

Нескладное ограничение Шёнхаге и Штрассена, n × log n × log(log n), держалось 36 лет. В 2007 году Фюрер побил этот рекорд, и всё завертелось. За последнее десятилетие математики находили всё более быстрые алгоритмы умножения, каждый из которых постепенно подползал к отметке в n × log n, не совсем достигая её. Затем в марте этого года Харви и ван дер Хувен достигли её.

Их метод является улучшением большой работы, проделанной до них. Он разбивает числа на знаки, использует улучшенную версию быстрого преобразования Фурье и пользуется другими прорывами, сделанными за последние 40 лет. «Мы используем быстрое преобразование Фурье гораздо более грубо, используем его несколько раз, а не один, и заменяем ещё больше умножений сложением и вычитанием», — сказал ван дер Хувен.

Алгоритм Харви и ван дер Хувена доказывает, что умножение можно провести за n × log n шагов. Однако он не доказывает отсутствия более быстрого метода. Гораздо сложнее будет установить, что их подход максимально быстрый. В конце февраля команда специалистов по информатике из Орхусского университета опубликовала работу, где утверждает, что если одна из недоказанных теорем окажется верной, то этот метод и вправду будет скорейшим из способов умножения.

И хотя в теории этот новый алгоритм весьма важен, на практике он мало что поменяет, поскольку лишь немного выигрывает у уже используемых алгоритмов. «Всё, на что мы можем надеяться, это на трёхкратное ускорение, — сказал ван дер Хувен. – Ничего запредельного».

Кроме того, поменялись схемы компьютерного оборудования. Двадцать лет назад компьютеры выполняли сложение гораздо быстрее умножения. Разрыв в скоростях умножения и сложения с тех пор серьёзно уменьшился, в результате чего на некоторых чипах умножение может даже обгонять сложение. Используя определённые виды оборудования, «можно ускорить сложение, заставляя компьютер умножать числа, и это какое-то безумие», — сказал Харви.

Оборудование меняется со временем, но лучшие алгоритмы своего класса вечны. Вне зависимости от того, как компьютеры будут выглядеть в будущем, алгоритм Харви и ван дер Хувена всё ещё будет самым эффективным способом умножать числа.

Комплексные числа

комплексные числа рассмотрим два простых похожих друг на друга квадратных уравнений а x квадрат минус единица равно нулю и 2 x квадрат плюс единица равно нулю оказывается что первое уравнение корме имеет на множестве действительных чисел давайте их найдём x квадрат равен единице отсюда x будет равен плюс-минус корень из правой части корень из единицы и получаем x равен плюс минус единица то есть данное уравнение имеет два корня моих нашими а что будет со вторым x квадрат будет равен единицу переносим противоположную сторону со знаком минус и получаем что x равен плюс-минус корень из минус единицы но корень из отрицательного числа на множество действительных чисел не существует то есть не определен чтобы устранить эту проблему математики придумали обозначить корень из минус единицы числом и это число назвали мнимая единица мнимая единица и или если сейчас возвести обе части квадрата у нас получится что квадрат мнимой единицы равен минус единице то есть i в квадрате равно минус 1 это вот и есть основная формула при определении мнимой единицы то есть мнимая единица число и это такое число квадрат которого равен минус единице кстати почему так получилось потому что вообще что такое квадратный корень из какого-то числа это такое число квадрат которого равен подкоренного выражения действительно если сейчас от приравнять эту минут корень из минус единицы к числу и и возвести обе части в квадрат и левую часть тогда у нас получится в левой части минус единица в правой части и то есть ip и будет равно i в квадрате будет равно минус единицы таким образом мнимая единица это такое число квадрат которой равен минус единице сейчас отдельно это запишем и попробуем теперь с помощью вот этого числа и с помощью этой мнимой единицы или еще можно сказать воображаемо единица то есть такая которая как бы не существует так вот квадрат мнимой единицы равен i в квадрате равно минус единицы попробуем с помощью вот этого числа и решить квадратное уравнение дискриминант которого отрицательным рассмотрим уравнение x квадрат минус 4x плюс 8 равно нулю найдем дискриминант дискриминант будет равен b квадрат на можно было d1 находите лидой деленной на 4 но уже начал дискриминант мяч b квадрат это будет минус 4 в квадрате то есть получается 16 минус 4 ac4 на единицу 4 дано 832 тут получается минус 16 а это значит что корни квадратного уравнения будут иметь вид x первое второе будет равно минус b то есть будет минус да на минус еще минус минус 4 это не будет просто 4 плюс минус корень из дискриминанта из минус 16 разделить на 2а то есть на 2 равно 4 плюс минус что делать с квадратным корнем из отрицательного числа можно представить число минус 16 как 16 умножить на -1 а теперь извлечь корень квадратный из 1 сомножителя и 2 сомножитель отдельно тогда у нас получается четыре плюс минус корень из 16 умножить на корень из минус единицы корень из 16 это будет 4 а корень из минус единицы пока так и перепишем корень из минус единицы разделить на 2 корень да только тут я дописал минус и корень из минус единицы долота и разделить на 2 таким образом у нас получается корень из минус единицы это и получается у нас 4 разделить на 2 сразу пошли на деле ночь будет 2 плюс минус второе слагаемое тоже делим на 2 получается 2 таким образом решением данного квадратного уравнения получилось вот такое вот такие два числа 2 плюс 2 и 2 минус 2 вот такие числа назвали комплексными числами то есть числа которые содержат вот эту мнимую единицу назвали комплексными числами теперь запишем уже общий вид комплексного числа комплексное число это число вида комплексная прямо так вот можно написать комплексное число комплексное число это число вида z равно икс плюс и умножить на y где x и y это действительные числа то есть можно написать что x принадлежит множеству действительных чисел и y тоже принадлежит множеству действительных чисел а вот число и это мнимая единица то есть а и это мнимая мнимая единица ну и сразу запишем квадрат который равен минус единице то есть сразу запишем это определение хотя это не обязательно писать ваши это уже было уже до этого записали то есть это мнимая единица а далее теперь что называется у данного комплексного числа то есть комплексное число это вот такое выражение вот что такое комплексное число комплексное число это вот такое выражение в данном выражении если x будет равен нулю то мы получим число вида z но тоже рассмотрим этот вариант то есть если число x будет предположим равно нулю если x равно нулю то число z у нас будет равно и умножить на y вот такое число иногда называют чисто мнимым то есть у этого числа отсутствуют вот эта действительная часть кстати x называется действительной частью мы сейчас это чуть позже пишем а y называется мнимой частью комплексного числа а вообще вот эта вся запись вот эта вся запись вот она она называется алгебраической формой записи комплексного числа как вот если x равно нулю то число z будет и умножить на y иногда его называют чисто мнимым это число которое не содержит вот этой отдельной действительной части а если y будет равен нулю если y равен нулю то комплексное число превращается в действительное число почему что если y равен нулю у нас тогда вот этой части которая содержит мнимую единицу то есть число и тогда будет отсутствовать и тогда у нас получается что z будет равно просто иксу если второе слагаемое равно нулю то есть получается что комплексное число содержит в себе действительно любое действительное чувству это в том случае если вики равны нулю число x я уже сказал вот-вот в записи комплексного числа 1 слагаемое x называется действительной частью комплексного числа можно это записать следующим образом то есть число x называется кстати для него придумали такое обозначение x равно реал z z z реал z от слова реал действительно действительная часть числа z то есть x это действительно часть числа зы а y это придумали такое обозначение им z от слова и мы genere воображаемый мне мы то есть от слова воображаемая часть или мнимая часть числа z y равно мнимая часть числа за то есть x это действительная часть числа z а y это мнимая числа за а далее вот здесь у нас при решение квадратного уравнения получилось либо число два плюс два и это первый корень а второй корень 2 минус 2 и то есть у нас получилось два корня вот такого вида кстати можно и так записать если одно число равно а + ebd а второе число равно а минус и б то такие числа комплексные называются комплексно сопряженным то есть вот запишем так z сопряженное равно а минус так тут я вместо а x должен записать час я буду значит и так а вместо x и z равно x плюс y тогда z сопряженное вот так с чертой пишется равно x минус и умножить на егэ то есть комплексно сопряженные числа имеют противоположные по знаку мнимые части противоположные по знаку мнимые части у если у исходного комплексного числа мнимая часть равна y то у сопряженного комплексного числа мнимая часть равна минус и вот если сейчас мы умножим на и первом случае просто y а во втором случае минус y умножить на это у нас получится как раз противоположное по знаку комплексной части ну такой пример приведу например если предположим комплексное число z равно 2 плюс 3 и тогда сопряженное ему будет равно 2 минус 3 а если число z равно например 3 -5 и тогда комплексно сопряженная имеет противоположную по знаку вот эту мнимую часть и тогда у нас получится комплексно сопряженная будет иметь три плюс пять и то есть комплексно сопряженное число к какому-то числу например вот к этому комплексно сопряженным будет число у которой мнимая часть имеет противоположную по знаку часть противоположно поздно качеству а далее теперь переходим к действиям с простейшим действием комплексных чисел записанных в алгебраической форме но прежде чем мы перейдем к действиям с комплексными числами я бы хотел еще раз смотреть произведение сейчас я это уберу то есть произведение числа z на комплексно сопряженное ему числу число оказывается что если мы умножим z на z сопряженное ему то оказывается что вот это произведение двух таких чисел будет всегда действительным числом а почему вот почему попробуем перемножить то есть если z равно икс плюс и y а да ну наверное прежде чем это делать надо наверное просто рассмотреть произведения двух комплексных чисел до что об этом чуть позже сначала рассмотрим давайте сумму двух комплексных чисел разность двух комплексных чисел и произведение а потом уже рассмотрим произведения z на z сопряженное почему потому что мы еще пока не определили понятие произведения комплексных чисел и так далее поэтому начнем с простого суммы двух комплексных чисел пусть даны два комплексных числа z 1 равно x1 плюс и на y1 и z2 равно x 2 + и на y2 тогда суммой двух комплексных чисел называется число ну например запишем z3 которая равно z1 + z 2 называется число действительные части которого равны сумме действительных частей слагаемых а мнимые части равны сумме мнимых частей слагаемых но действительно так и получится сейчас почему потому что если вместо z1 подставить то чему оно равно это x1 плюс и на y1 вместо z2 это x2 + и на y2 то сейчас мы привести можем подобные слагаемые кс 1 плюс x 2 запишем отдельно x1 плюс из 2 это у нас получится действительная часть плюс и выносим за скобки в скобках у нас получается y 1 плюс и то есть да действительно при сложении двух комплексных мы должны сложить действительные части слагаемых изложить мнимые части слагаемых в итоге мы получим сумму двух комплексных чисел теперь как найти предположим произведения двух комплексных чисел попробуем z 1 умножить на z 2 то есть это будет некое число z 3 сейчас сразу запишемся z3 равно за это одним умножить на z 2 умножаем x1 плюс и на y1 на x2 + и на игриво как умножить два комплексных числа в тригонометрической форме запись просто раскрыть скобки начинаем умножать x1 до x2 и 1 на 2 тогда у нас получается x1 x2 + и умножить на x 1 или 2 plus ii x2 y1 это уже второе мы начали умножать на первое второе на второе и плюс и на и это будет и квадрат на y1 и y2 перемножили теперь приведем подобные слагаемые но прежде чем будем переводить подобные слагаемые заменим и квадрат на минус единицу почему что и квадрат по определению равно минус единицы а это значит у нас тогда получается x1 и x2 минус y1 и y2 это будет действительная часть числа потому что она не содержит числа и и плюс и мы выносим за скобку в скобках у нас икс один и игрек 2 + x 2 y1 то есть у нас в итоге получилось вот такое число произведения двух комплексных чисел нужно выполнять вот по этой формуле теперь переходим к произведению числа z на комплексно сопряженное ему число вот здесь и отдельно сейчас это запишу то есть если мы умножим число z на комплексно сопряженное ему число тогда мы получаем x плюс и y умножить на x минус y то есть мы перемножаем 2 комплект на сопряженных числа что получается x на x x квадрат плюс и умножить на x y + и так минус и умножить на x и здесь с минусом будет минус и умножить на x и и далее то что я сделал я умножил 1 на 1 2 на 1 и теперь 1 на второе второе на второе тогда у нас получается еще остается у нас минус и квадрат на y в квадрате что в итоге получается x квадрат а вот вместо числа и мы подставим минус единица да еще один минус вот здесь у нас будет минус на минус даёт плюс но получается у нас x квадрат плюс y в квадрате a и x и y и минусы и x y взаимно уничтожают друг друга таким образом у нас произведение комплексно сопряженных чисел дает нам число действительно которое равно x квадрат плюс y квадрат то есть z умножить на z сопряженное равно сумме квадратов действительных действительной и мнимой частей идем дальше теперь попробуем после того как мы нашли чему равно z на z сопряженное попробуем найти частное двух комплексных чисел попробуем поделить z1 на z2 чему тогда будет равно частная вместо z1 да кстати сразу хочу сказать что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел удобно избавиться от мнимости если так можно вырастить знака выразиться в знаменателе а чтобы избавиться от мнимости в знаменателе нужно умножить на z сопряженное знаменателе и числитель и знаменатель сейчас я покажу почему вообще для чего это делать итак умножим z z 2 на z2 сопряженная но раз мы умножили на z сам на z2 сопряженная знаменатель то чтобы / не изменилось нужно умножить на z 2 сопряжённая еще и числитель мы теперь остается только подставить вместо z1 подставляем x1 плюс и на y1 вместо z 2 из 2 плюс и на y2 и умножаем на сопряженное знаменателе то есть на сопряженное z2 это значит будет x 2 минус и на y2 с противоположным знаком берем мнимую часть а раз мы умножили на сопряженное знаменателю значит числитель тоже надо умножить на сопряженное знаменателе получается x 2 минус и на y2 в итоге у нас в числителе получается действительное число то есть у нас в числителе получается x квадрик 2 в квадрате плюс y 2 квадрате можно еще раз проверить x 2 x 2 x 2 в квадрате и x2 y2 и минус и x2 y2 взаимно 4 друг друга остается только вот это и y2 минус и y2 и квадрата равна минус единицы да еще вот этот минус даёт нам плюс то есть получается действительно вот такая сумма уже мы это находили сейчас только что когда умножали z на z сопряженное а в числителе перемножаем двач комплексное число тогда у нас получается x1 до x2 умножение мы уже делали я сразу запишу а теперь умножая вот это на это это даст нам тоже действительное число и на и это будет и квадрат с минусом да еще на минуту за меня получается плюс y1 и y2 это у нас действительная часть числителя получается и так и еще у нас будет плюс и умножить на x 2 y1 и минус икс один или два x 1 или 2 все задача решена то есть мы нашли формулу для деления двух комплексных чисел потом надо будет еще рассмотреть на примере вот именно это деление так это я убираю и рассмотрим несколько примеров предположим нам нужно найти сумму или разность но давайте найдем предположим разность двух комплексных чисел то есть 3 -4 и например надо от этого комплексного числа записано в алгебраической форме записи минус 2 комплексное число тоже в алгебраической форме 5 плюс 2 и предположено раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые 3 минус 4 и минус 5 минус 2 и раскрыли скобки тут у нас минус начинать по меняются на противоположные и получаем 3 -5 будет -2 минус 4 и до -2 и и выносим за скобки получая минус 4 до -2 то есть получаем минус 6 и таким образом разность двух комплексных чисел получилось равна вот такому комплексному числу следующий пример второй пример предположим надо найти произведения двух комплексных чисел предположим 2 -3 и надо умножить на единица плюс 5 и предположим равно перемножаем 2 умножить на 1 будет 2 теперь -3 и умножаем на единицу будет минус 3 минус 3 и перемножаем первое так этому dab теперь 1 на 2 и и второе так сейчас все ли я так давайте по очереди начали так 2 на единицу 2 на 5 и чтобы не запутаться 1 на 1 1 на 2 получается 2 + 10 и теперь второе на первое это минус 3 и -3 и и вот это на это это получается минус 15 квадрат то есть минус 15 данное в квадрате теперь и в квадрате это минус единица получается минус 15 до на минус единицу даст нам просто 15-15 до плюс 2 это будет 17 и плюс 10 и до -3 и даст нам 7 и то есть получается плюс 7 и окончательный ответ после произведе двух комплексных чисел нас такое 17 плюс семь и далее переходим к делению комплексных чисел то есть третье предположим нам надо разделить число 3 плюс 2 и например и предположим на 5 с минусом например возьмем минус 3 и например -3 что тогда нужно сделать нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателе сопряженное знаменателе это комплексное число которое имеет противоположную по знаку мнимую часть это значит что начнем с и со знаменателем то есть число 5 минус 3 и умножаем на сопряженное то есть на 5 плюс 3 и это число которое имеет противоположную мнимую часть и числитель три плюс два и мы тоже умножим на вот это число на которое мы умножили знаменатель то есть на 5 плюс 3 и получаем раскрываем скобки неважно с чего начать а вот например сразу можно кстати вот в знаменателе разобраться у нас произведения двух комплексных 2 комплексно сопряженных чисел но произведение двух комплексно сопряженных у нас равно x квадрат плюс y квадрат по формуле ну или можно отдельно это сделать сейчас убедиться в этом что это все равно будет квадрат действительной части плюс квадрат мнимой части то есть у нас получается по формуле 5 в квадрате плюс 3 в квадрате если кто-то формулу не помнить не проблема просто вот перемножает раскрывать скобки перемножает приводит подобные слагаемые и все равно получится вот такой результат а мы сразу записали по формуле что z умножить на z сопряженное до x квадрат плюс y квадрат мы по формуле написали знаменатель теперь раскрываем в скобки в числителе 3 умножить на 5 будет 15 3 умножить на 3 и это будет плюс 9 и плюс 2 и на 5 до будет 10 и и плюс дважды 36 и квадрат и квадрат заменяем на минус единицу когда у нас получается вот здесь вот у нас получается и квадратный -1 заменяя получается не 6 а минус 6у же и 15 до -6 у нас получается просто 99 далее плюс 9 и до плюс 10 это будет 19 и а в знаменателе у нас получается 5 в квадрате это 25 до плюс 9 то есть в итоге получается 34 то есть в итоге получается 9 + 19 и разделить на 34 почленно делим 1 слагая мадрид 4 второе нас получается девять тридцать четвертый плюс 1930 четвертых умножить на и и мы получили комплексное число вот это его действительная часть нового комплексного числа а вот это его мнимая часть это как бы x новый а это то есть в итоге мы при делении двух комплексных чисел получили новое комплексное число вот такого вида и отдельно нашли мы и действительную и мнимую его часть а если действительно не матчасть на один иначе комплексное число известна она нам задана на следующем уроке рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа

логика / Минус на минус / Математика

Вывод тождества $%(-a)(-b)=ab$% из аксиом не требует ни упорядочения, ни даже свойства быть полем. Удобнее всего такие вещи выводить из минимального набора аксиом. Рассматриваемое тождество верно во всех кольцах, причём требуются только аксиомы, относящиеся к сложению, и дистрибутивные законы. Даже наличие единицы в кольце не обязательно, то есть я не буду использовать ни символ 1, ни -1. Доказательство разобью на пункты, чтобы было удобнее. В каждом из этих пунктов будет доказываться какое-то полезное утверждение, которое само по себе где-то обычно используется.

1) единственность нулевого элемента Одна из аксиом нам говорит, что у нас имеется нулевой элемент, то есть такой элемент, обозначаемый нулём, для которого $%a+0=0+a=a$% для всех $%a$%. Но там не сказано, что такой элемент всего один. Полезно это проверить.

Пусть у нас есть элементы $%0_1$% и $%0_2$%, каждый из которых обладает свойством нулевого элемента. Докажем, что они равны. Рассмотрим их сумму $%0_1+0_2$%. Она равна как $%0_1$%, так как элемент $%0_2$% нулевой (нейтральный относительно сложения), и она же равна $%0_2$%, так как прибавление нулевого элемента $%0_1$% ничего не меняет. Таким образом, $%0_1=0_2$%. Далее всюду будем использовать только символ $%0$%.

2) единственность противоположных элементов Надо доказать, что у каждого $%a$% есть только один противоположный, то есть такой, который в сумме с ним даёт $%0$%. Такой элемент далее будет обозначаться в виде $%-a$%.

Рассмотрим два элемента $%b$% и $%c$%, каждый из которых обладает свойством противоположного элемента, то есть нам известно следующее: $%a+b=b+a=0$%, $%a+c=c+a=0$%. Требует доказать, что $%b=c$%. Сначала приравниваем $%a+b$% и $%a+c$%: каждый из этих элементов есть $%0$%. Теперь к обеим частям равенства $%a+b=a+c$%, в котором надо устранить $%a$%, прибавим слева нечто такое, что уничтожает $%a$%. На эту роль годится как $%b$%, так и $%c$%, поэтому прибавим $%b$%. Получится $%b+(a+b)=b+(a+c)$%. Далее перегруппируем скобки, дважды используя аксиому ассоциативности сложения. Получится $%(b+a)+b=(b+a)+c$%. Заменяем $%b+a$% на равный ему элемент $%0$%, что даёт $%0+b=0+c$%. Наконец, используем аксиому о нулевом элементе, что даёт $%b=c$%.

Далее элемент, противоположный $%a$%, обозначаем через $%-a$%. Мы теперь знаем, что он всего один.

3) $%-(-a)=a$% для всех $%a$%. Это одно из правил типа «минус на минус даёт плюс», но пока не то, о котором изначально шла речь. В любом случае, оно в аксиомах не значится, то есть требует доказательства. Оно проводится чисто логическим путём. Надо заметить, что у элемента $%-a$% нам известно два противоположных: этим свойством обладает как $%a$%, в сумме с ним дающий $%0$%, так и $%-(-a)$% — второе в силу принятого обозначения. Но из предыдущего пункта следует, что эти элементы одинаковы, так как являются противоположными для $%a$%. Отсюда следует наше равенство.

4) элемент $%a$% является нулевым тогда и только тогда, когда $%a+a=a$%. Это полезное промежуточное утверждение, своего рода тест на нулевой элемент. Для того, чтобы доказать, что $%a=0$%, достаточно сложить $%a$% с самим собой и убедиться, что в сумме получится $%a$%.

Доказательство простое: если $%a=0$%, то равенство $%0+0=0$% очевидно. В обратную сторону: если известно, что $%a+a=a$%, то прибавим слева к обеим частям элемент $%-a$%. После несложных преобразований наподобие тех, что были в пункте 2, получаем $%a=0$%.

5) для всех $%a$% имеют место равенства $%a\cdot0=0$% и $%0\cdot a=0$%. Для нас это свойство более чем привычно, но в аксиомах нигде не сказано, что при умножении на $%0$% получается $%0$%. Мы знаем пока только то, что прибавление нуля ничего не меняет, а здесь нужно доказательство. Применим тест из предыдущего пункта. Нам надо убедиться, что $%a\cdot0$% — это нулевой элемент. Тогда сложим его с самим собой: $%a\cdot0+a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0$%. Здесь был использован распределительный закон (это существенно). В итоге мы получили, что элемент проходит тест на свойство быть нулевым: в сумме с самим собой получается он же. Значит, $%a\cdot0=0$%. Второе равенство $%0\cdot a=0$% доказывается аналогично с использованием второго распределительного закона.

6) для всех $%a,b$% верно равенство $%(-a)b=-ab$%. Что здесь утверждается, если сказать словами? Что элемент $%(-a)b$% противоположен $%ab$%. Как это проверить, если это вообще правда? Надо сложить эти элементы, и если в сумме получится $%0$%, то это правда. Проверяем: $%(-a)b+ab=((-a)+a)b=0\cdot b=0$%. Здесь был применён распределительный закон, а также свойство из предыдущего пункта про умножение на ноль.

7) для всех $%a,b$% верно равенство $%a(-b)=-ab$%. Доказывается аналогично предыдущему.

И теперь итог: $$(-a)(-b)=-a(-b)=-(-ab)=ab.$$ Здесь сначала использовано было 6, потом 7, и в конце 3. Доказательство завершено.

Вопросы насчёт синтаксиса логических знаков хотелось бы уточнить. Какая именно символика не до конца понятна?

Доказательство того, что произведение двух отрицательных чисел положительно, Рон Куртус

SfC Главная > Арифметика > Алгебра >

Рона Куртуса (пересмотрено 18 января 2022 г. )

Когда вы умножаете отрицательное число на другое отрицательное число , результатом является положительное число. Это правило неочевидно, и доказать его непросто.

Однако есть умный способ доказать правило, начав с уравнения и выделив члены.

Возможные вопросы:

  • Какова цель доказательства?
  • Какое исходное уравнение?
  • Как получить окончательный результат?

Этот урок ответит на эти вопросы.



Цель

Докажите, что произведение двух отрицательных чисел или членов положительно:

(-а)(-б) = аб

, где a и b могут быть:

  • Номера (т.е. а = 5 , б = 1/2 )
  • Константы
  • Переменные
  • Выражения [т.е. a = (y 2 + 6) , b = (h − w + z) ]

Доказательство

Умный способ доказать, что (−a)(−b) = ab , состоит в рассмотрении уравнения:

x = ab + (−a)(b) + (−a)(−b)

Вы хотите использовать это уравнение, чтобы показать, что x = ab и x = (−a)(−b) .

Вынести за скобки −a

Сначала вынесите −a из выражения (−a)(b) + (−a)(−b) :

х = ab +(−a)(b) + (−a)(−b)

Так

х = ab + (-a)[b + (-b)]

Поскольку b + (−b) = 0

х = аб + (-а)(0)

Так

х = аб

Фактор b

Теперь, используя исходное уравнение, вынесите b из выражения ab + (−a)(b) :

.

x = ab + (−a)(b) + (−a)(−b)

х = b[a + (−a)] + (−a)(−b)

х = b(0) + (−a)(−b)

Так

х = (−а)(−b)

Результат

Поскольку x = ab и x = (−a)(−b) :

(-а)(-б) = аб

Это может быть расширено до любого четного количества отрицательных чисел путем пошагового разложения:

(-a)(-b)(-c)(-d) = ab(-c)(-d) = abcd

Резюме

Этот хитрый метод доказывает, что (−a)(−b) = ab .

Тот факт, что произведение двух отрицательных чисел, термов или выражений является положительным, можно распространить на любое даже число отрицательных элементов.


Мечта о невозможном


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Веб-сайты

Почему отрицательное значение, умноженное на отрицательное, становится положительным? — Спросите доктора Математики — Часто задаваемые вопросы

Ресурсы по алгебре

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные за покупку книг)

Лучшие книги по алгебре


Поделиться этой страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.школа-для-чемпионов.com/алгебра/
product_of_two_negative_numbers. htm

Разместите его в качестве ссылки на своем веб-сайте или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.

Copyright © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа Чемпионов

Темы по алгебре

Доказательство положительности произведения двух отрицательных чисел

Умножение целых чисел — ChiliMath

Правила умножения и деления целых чисел очень похожи.В этом уроке мы сосредоточимся на умножении целых чисел.

Правила умножения целых чисел

Шаг 1: Умножьте их абсолютные значения.

Шаг 2: Определите знак окончательного ответа (в данном случае он называется произведением, потому что мы умножаем), используя следующие условия.

  • Условие 1 : Если знаки двух чисел совпадают с , произведение всегда будет положительным числом .
  • Условие 2 : Если знаки двух чисел различны , произведение всегда будет отрицательным числом .

Примеры умножения целых чисел

Пример 1 : Умножьте указанные ниже целые числа.

Решение: Сначала получите абсолютное значение каждого числа.

Далее умножьте или найдите произведение абсолютных значений.

Наконец, определите знак окончательного ответа.Правило гласит, что если знаки двух целых чисел различны, то окончательный ответ будет отрицательным.


Пример 2 : Умножьте указанные ниже целые числа.

Решение: Умножьте абсолютные значения двух чисел.

Так как мы умножаем целые числа с одинаковым знаком, окончательный ответ (произведение) должен быть положительным.


Пример 3 : Найдите произведение трех целых чисел, указанных ниже.

Решение: Мы также можем умножать три или более целых числа.Нам просто нужно умножать два целых числа за раз. Позвольте мне поставить скобки, чтобы показать, какие два числа мы будем умножать первыми. Произведение + 3 и 8 равно 24. Оно отрицательно, потому что знаки разные. Затем умножьте 24 на 2, чтобы получить + 48. Помните, что произведение двух целых чисел с одинаковым знаком всегда положительно.


Практика с рабочими листами

Вас также может заинтересовать:

Целочисленное сложение

Целочисленное вычитание

Целочисленное деление

Что такое целые числа в математике

Коммутативность умножения

Для любых двух положительных целых чисел a и b
a×b = b×a
Например, 2× (-5) = -10. И (-5) × 2 = -10. Так что 2 × (-5) = (-5) × 2


Умножение на ноль

Для любого целого числа a , a × 0 = 0 × a = 0
Например, (–2) × 0 = 0; 0 × (– 5) = 0; 7 × 0 = 0


Примечание:

Если любое целое число умножить на ноль, то произведение будет равно нулю.


Умножение на 1

Для любого целого числа a имеем a × 1 = 1 × a = a
Например, (–2) × (–1) = 2; 5 × (–1) = –5; 6 × 1=6


Умножение трех целых чисел

Для любых трех целых чисел a, b и c (а × б) × с = а × (б × в)
Если мы скажем, [(–4) × (–2)] × 5 = 8 × 5 = 40
И, (–4) × [(–2) × 5] = (–4) × (–10) = 40
Таким образом, [(–4) × (–2)] × 5 = (–4) × [(–2) × 5]


Распределительная собственность

Для любых целых чисел a, b и c а × (б + в) = a × b + a × c
Например, (– 7) × [(–3) + (–2)] = (– 7) × (–5) = 35
И [(– 7) × (–3)] + [(– 7) × (–2)] = 21 + 14 = 35
Итак, (– 7) × [(–3) + (–2)] = [(– 7 ) × (–3)] + [(– 7) × (–2)]

Десятичные и целые числа — Свойства целых чисел

Те же знакомые свойства целых чисел применимы и к целым числам. Если ты как и многие студенты, всякий раз, когда вы видите одно из этих «свойств», вы стонете внутри и думаете: «Зачем мне учиться всему этому?» Хотите верьте, хотите нет, но свойства чисел придумали не злые математики пытать студентов-математиков! Это основные правила нашей системы математики, и вы будете использовать их всю оставшуюся жизнь. Очень важно, чтобы ты понять, как применять каждый из них, когда вы решаете математические задачи.Когда ты доберитесь до алгебры, вы будете использовать эти свойства снова и снова! Давайте рассмотрим каждый из них подробно и простым языком.

Коммутативное свойство сложения
Коммутативное свойство свойство сложения говорит о том, что мы можем складывать числа в любом порядке. Вы можете помнить свойство коммутативности, думая о числах, «коммутирующих», или поменяться местами. Пример показывает нам, что «отрицательные два плюс положительные четыре» — это то же самое, что «положительные четыре плюс отрицательные два». »

-2 + 4 = 4 + (-2)

Коммутативный свойство умножения
Переместительное свойство умножения очень похоже. Он говорит, что мы может умножать числа в любом порядке без изменения результата. То пример показывает нам, что «отрицательное два раза положительное четыре» является то же, что «положительное четыре раза отрицательное два».

-2(4) = 4(-2)

Ассоциативный имущество дополнения
Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что мы можем группировать числа в сумму любым способом, который мы хотим, и все равно получим тот же ответ.Вы можете вспомнить ассоциативное свойство, думая о двух числах, связанных друг с другом, а затем один уходит, чтобы ассоциироваться с другим номером.

Пример показывает нам, что мы можем добавить «отрицательные два и положительные четыре» вместе, а затем добавьте эту сумму к положительным трем, чтобы получить окончательный ответ, или мы можем сначала сложить вместе «положительные четыре и положительные три» а затем добавьте эту сумму к отрицательным двум, чтобы получить окончательный ответ. Ответ будет одинаковым независимо от того, как мы это делаем.

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

Ассоциативный свойство умножения
Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что мы можем группировать номера в продукте любым способом, который мы хотим, и все равно получим тот же ответ.

Пример показывает нам, что мы можем либо умножать «отрицательные два и положительные четыре» вместе, а затем умножьте это произведение на положительное три, чтобы получить окончательный результат. ответ, или мы можем перемножить «положительные четыре и положительные три» вместе сначала, а затем умножьте это произведение на минус два, чтобы получить окончательный ответ.Ответ будет одинаковым независимо от того, как мы это делаем.

-2(4) х 3 = -2(4 х 3)

Распределительный имущество
Распределительное свойство вступает в игру, когда выражение, включающее сложение затем умножается на что-то. Это говорит нам, что мы можем сначала добавить, а затем умножить или сначала умножить, а потом добавить. В любом случае умножение «распределено» по всем терминам в круглых скобках.

В примере мы можем сначала добавить числа в скобках — 4+3 — а затем умножить результат на -2 ; или мы можем умножить -2 и каждый термин отдельно, а затем добавить два продукта вместе. Ответ одинаково в обоих случаях.

-2(4 + 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

Часы вне!

Вычитание не является ни коммутативным, ни ассоциативным.

Отдел ни коммутативный, ни ассоциативный.

Примеры

1. Мы можем добавить числа в любом порядке. (Переместительное свойство сложения.)

-2 + 4 = 4 + -2

2. Мы можем умножать числа в любом порядке. (Переместительное свойство умножения)

-2 х 4 = 4 х-2

3.Мы можем сгруппировать числа в сумме любым способом, которым мы хотим. (Ассоциативное свойство сложения.)

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

4. Мы можем сгруппировать числа в продукте любым способом, который мы хотим. (Ассоциативное свойство умножения)

(-2 х 4) х 3 = -2 х (4 х 3)

5. С этим типом выражения, мы можем сначала сложить, а затем умножить,

ИЛИ

сначала умножить, затем добавьте.(Распределительное свойство умножения над сложением.)

-2 х (4 + 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

назад до вершины

математических карточек | Quizlet

Если у вас есть два набора x и y (1,-3), (2, 4), вы всегда можете построить линию. Все, что вам нужно, это два набора точек.

Любая горизонтальная линия имеет твердую ось Y (ось Y никогда не изменяется, но ось X меняется), поэтому y = k всегда.
Любая вертикальная линия имеет твердую ось X, которая не изменяется, поэтому X=K

Любые две точки, имеющие одну и ту же координату Y, должны быть горизонтальной линией.
Любые две точки, имеющие одну и ту же координату x, должны быть вертикальной линией.

Наклон 2 (m = 2) может означать (-2, -1), потому что если вы разделите -2/-1 = 2. Или это может означать (2,1)

Если дано два набора точек и вы хотите найти наклон, вычтите оба Y как ваш «подъем» и вычтите оба x как ваш «бег» для подъема / пробега.

Если у вас наклон равен 2, это означает, что каждый раз, когда вы добавляете x (или -x) к координате x, вы добавляете 2 к координате y. Итак, если у вас есть точки (-3,-1), то (-2, 1) тоже должна быть координатой.

Наклон -2/3 также может означать 1 единицу влево и 2/3 единицы вверх (-1 + 2/3)

Линии с наклоном 1 или -1 образуют угол 45 градусов. Таким образом, угол, который они образуют, равен 45, 45, 90.

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Перпендикулярные линии имеют наклоны с противоположными знаками (-1 и 1, и вы переворачиваете числа), поэтому наклон -(1/2) становится наклоном положительных 2 для обратной величины. Неважно, чему равно b, только наклону.

Только линии, пересекающиеся в начале координат, имеют оси x и y, равные 0.
x-intercept — это место, где линия пересекает ось x, y — точка пересечения, когда y пересекает ось y. Когда задано уравнение, чтобы найти x, мы подставляем y=0, когда мы хотим найти y, мы подставляем x=0.

Точки пересечения можно классифицировать как точки: (s, 0) = пересечение по оси x, (0,S) можно классифицировать как пересечение по оси y;.

Координата x любой точки пересечения с y всегда равна 0.
Чтобы найти значение y, всегда заменяйте x на 0!

Если нам дали точку (0, 2m) и попросили заполнить y=mx+b. Мы знаем, что b равно 2m, так как 2m — это точка пересечения с осью y, когда x = 0.

Каждый раз, когда y проходит через начало координат, ось y будет равна 0.

Чтобы найти наклон линии с координатами (7, -4), проходящей через начало координат. Считайте (0, 0) вторым набором точек и сделайте рост (0 — (-4) — пробег (0 — 7) = 4/-7

Как могут существовать отрицательные числа?

Вы когда-нибудь считывали показания термометра холодным зимним утром? Если да, возможно, вы видели отрицательное число. Во многих местах зимним утром обычно бывает -15° F или даже -20° F.В Антарктиде она опускается до -128° F!

Вы задаетесь вопросом, как вообще возможна отрицательная температура? Как могут существовать отрицательные числа?

Ты не первый, кто задает этот вопрос! Европейские математики веками отвергали отрицательные числа. Они не думали, что отрицательные числа имеют какой-то смысл. Однако люди в Индии и Китае тысячелетиями использовали отрицательные числа. В конце концов, европейцы пришли в себя, и сегодня мы везде используем отрицательные числа.

Отрицательные числа имеют больше смысла, если мы посмотрим на числовую прямую.На числовой прямой все числа справа от нуля положительные. Если мы переместимся влево от нуля, они станут отрицательными:

Получаем отрицательное число, вычитая большее число из меньшего. Например, если из восьми вычесть девять, получится так:

.

8 — 9 = -1

Существует множество других правил использования отрицательных чисел в математике. Вы слышали, что две ошибки не делают правильно? Это может быть правдой, но два минуса дают плюс! Когда мы вычитаем отрицательное число, знак вычитания находится рядом со знаком минус.Это означает, что мы можем заменить их знаком сложения. Вот как это выглядит, когда два минуса дают плюс:

0 — -3 = 0 + 3 = 3

Это правило также применяется при умножении. Когда мы умножаем два отрицательных числа, ответ всегда положительный:

.

-5 × -2 = 10

Отрицательные числа могут показаться загадочными в математических задачах. Для многих людей реальные отрицательные числа имеют больше смысла. Помните то холодное утро, когда вы читали показания термометра? Отрицательные числа помогли вам понять, насколько холодной была погода.Думайте о термометре как о числовой прямой. Если термометр был в градусах по Фаренгейту, то точка замерзания была 32° по Фаренгейту. Если температура была -15° по Фаренгейту, то она была на 47 градусов ниже нуля. По Цельсию точка замерзания равна 0 ° C. Это означает, что -15 ° C будет на 15 градусов ниже точки замерзания.

Вы когда-нибудь изучали карты или географию? Если да, возможно, вы слышали о высоте. Высота говорит нам, насколько выше или ниже уровня моря находится место. Например, пик Эвереста находится на высоте 29 029 футов над уровнем моря.Бэдуотер, штат Калифорния, является самой низкой точкой в ​​Соединенных Штатах. Его высота составляет -282 фута! Это означает, что если бы бассейн Бэдуотер был ближе к океану, он был бы под водой.

Последний способ подумать об отрицательных числах — взглянуть на банковский счет. Когда человек тратит деньги, банки используют отрицательные числа для записи транзакций. Если человек потратит 10,50 долларов на билет в кино, билет в кино отобразится на его или ее банковском счете как отрицательное число (-10,50). Таким образом, банк знает, что нужно вычесть 10 долларов.50 со счета.

Отрицательные числа иногда сбивают с толку, когда мы впервые узнаем о них. Правила бывает трудно запомнить! Как и все остальное, понимание отрицательных чисел становится легче с практикой. Можете ли вы вспомнить какие-либо другие реальные примеры отрицательных чисел?

3 НОМЕР: ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ? | Складываем: помощь детям в изучении математики

   

классических времен, написал статью в виде письма королю своего города, объясняя, как писать такие очень большие числа.Архимед, однако, не зашел так далеко, чтобы изобрести десятичную систему с ее потенциалом неограниченного распространения.

22.  

Кнут, 1974, с. 323.

23.  

Steen, 1990. Подробнее об алгоритмах см. Morrow and Kenney, 1998.

24.  

Точки с многоточием «…» в выражении являются важной частью абстрактной математической записи, компактно обозначающей пропуск необходимых терминов (для достижения м, в данном случае).

Каталожные номера

Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т.и Леш, Р. (1992). Рациональное число, отношение и пропорция. В DAGrouws (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.

Брунер, Дж.С. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.


Куоко, А. (ред.). (2001). Роль представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.


Дюваль, Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Труды двадцать первого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по науке, математике и экологическому образованию. (Служба репродукции документов ERIC No.ED 433 998).


Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдель.


Грино, Дж. Г., и Холл, Р. (1997). Практика репрезентации: обучение с репрезентативными формами и о них. Фи Дельта Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].


Капут]. (1987). Системы представления и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Кнут, Д.Э. (1974). Информатика и ее связь с математикой. American Mathematical Monthly , 81 , 323–343.


Лакофф Г. и Нуньес Р.Э. (1997). Метафорическая структура математики: набросок когнитивных основ математики, основанной на разуме. В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.


Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики, 1998 г. ). Рестон, Вирджиния: NCTM.


Пимм, Д. (1995). Символы и значения в школьной математике . Лондон: Рутледж.


Рассел, Б.(1919). Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Макмиллан.


Сфард, А. (1997). Комментарий: О метафорических корнях концептуального роста. В Л.Д. Английский (ред.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 339–371). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.