Равновесие • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Равновесием называется такое состояние системы, при котором силы, действующие на систему, уравновешены между собой. Равновесие может быть устойчивым, неустойчивым или безразличным.

Понятие равновесия — одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция тропических рыбок в лагуне атолла. Но проще всего понять концепцию равновесного состояния системы на примере механических систем. В механике считается, что система находится в равновесии, если все действующие на нее силы полностью уравновешены между собой, то есть гасят друг друга. Если вы читаете эту книгу, например, сидя в кресле, то вы как раз и находитесь в состоянии равновесия, поскольку сила земного притяжения, тянущая вас вниз, полностью компенсирована силой давления кресла на ваше тело, действующей снизу вверх. Вы не проваливаетесь и не взлетаете именно потому, что пребываете в состоянии равновесия.

Различают три типа равновесия, соответствующие трем физическим ситуациям.

Устойчивое равновесие

Именно его большинство людей обычно и понимают под «равновесием». Представьте себе шар на дне сферической чаши. В состоянии покоя он находится строго в центре чаши, где действие силы гравитационного притяжения Земли уравновешено силой реакции опоры, направленной строго вверх, и шар покоится там подобно тому, как вы покоитесь в своем кресле. Если сместить шар в сторону от центра, откатив его вбок и вверх в направлении края чаши, то, стоит его отпустить, как он тут же устремится обратно к самой глубокой точке в центре чаши — в направлении положения устойчивого равновесия.

Вы, сидя в кресле, находитесь в состоянии покоя благодаря тому, что система, состоящая из вашего тела и кресла, находится в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому при изменении каких-то параметров этой системы — например, при увеличении вашего веса, если, предположим, вам на колени сел ребенок, — кресло, будучи материальным объектом, изменит свою конфигурацию таким образом, что сила реакции опоры возрастет, — и вы останетесь в положении устойчивого равновесия (самое большее, что может произойти, — подушка под вами промнется чуть глубже).

В природе имеется множество примеров устойчивого равновесия в различных системах (и не только механических). Рассмотрим, например, отношения хищник—жертва в экосистеме. Соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние — столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами, пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье, в результате чего численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.

Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар — и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения. (Естественно, в реальных системах, и в экологических, и в экономических, могут действовать внешние факторы, отклоняющие систему от равновесного состояния — например, сезонный отстрел лис и/или зайцев или государственное ценовое регулирование и/или квотирование потребления. Такое вмешательство приводит к смещению равновесия, аналогом которого в механике будет, например, деформация или наклон чаши.)

Неустойчивое равновесие

Не всякое равновесие, однако, является устойчивым. Представьте себе шар, балансирующий на лезвии ножа. Направленная строго вниз сила земного притяжения в этом случае, очевидно, также полностью уравновешена направленной вверх силой реакции опоры. Но стоит отклонить центр шара в сторону от точки покоя, приходящейся на линию лезвия хоть на долю миллиметра (а для этого достаточно мизерного силового воздействия), как равновесие будет мгновенно нарушено и сила земного притяжения начнет увлекать шар всё дальше от него.

Примером неустойчивого природного равновесия служит тепловой баланс Земли при смене периодов глобального потепления новыми ледниковыми периодами и наоборот (см. Циклы Миланковича). Среднегодовая температура поверхности нашей планеты определяется энергетическим балансом между суммарным солнечным излучением, достигающим поверхности, и суммарным тепловым излучением Земли в космическое пространство. Неустойчивым этот тепловой баланс становится следующим образом. В какую-то зиму выпадает больше снега, чем обычно. На следующее лето тепла не хватает, чтобы растопить излишки снега, и лето оказывается также холоднее обычного вследствие того, что из-за переизбытка снега поверхность Земли отражает обратно в космос большую долю солнечных лучей, чем прежде. Из-за этого следующая зима оказывается еще более снежной и холодной, чем предыдущая, а следующим за ней летом на поверхности остается еще больше снега и льда, отражающего солнечную энергию в космос… Нетрудно увидеть, что чем больше такая глобальная климатическая система отклоняется от исходной точки теплового равновесия, тем быстрее нарастают процессы, уводящие климат еще дальше от нее. В конечном итоге, на поверхности Земли в приполярных областях за долгие годы глобального похолодания образуются многокилометровые напластования ледников, которые неумолимо продвигаются в направлении всё более низких широт, принося с собой на планету очередной ледниковый период. Так что трудно себе представить более шаткое равновесие, чем глобально-климатическое.

Особого упоминания заслуживает разновидность неустойчивого равновесия, называющаяся метастабильным, или квазиустойчивым равновесием. Представьте себе шар в узкой и неглубокой канавке — например, на повернутом острием вверх лезвии фигурного конька. Незначительное — на миллиметр-другой — отклонение от точки равновесия приведет к возникновению сил, которые вернут шар в равновесное состояние в центре канавки. Однако уже чуть большей силы хватит для того, чтобы вывести шар за пределы зоны метастабильного равновесия, и он свалится с лезвия конька. Метастабильные системы, как правило, обладают свойством пребывать какое-то время в состоянии равновесия, после чего «срываются» из него в результате какой-либо флуктуации внешних воздействий и «сваливаются» в необратимый процесс, характерный для нестабильных систем.

Типичный пример квазиустойчивого равновесия наблюдается в атомах рабочего вещества некоторых типов лазерных установок. Электроны в атомах рабочего тела лазера занимают метастабильные атомные орбиты и остаются на них до пролета первого же светового кванта, который «сбивает» их с метастабильной орбиты на более низкую стабильную, испуская при этом новый квант света, когерентный пролетающему, который, в свою очередь, сбивает с метастабильной орбиты электрон следующего атома и т. д. В результате запускается лавинообразная реакция излучения когерентных фотонов, образующих лазерный луч, которая, собственно, и лежит в основе действия любого лазера.

Безразличное равновесие

Промежуточный случай между устойчивым и неустойчивым равновесием — так называемое безразличное равновесие, при котором любая точка системы является точкой равновесия, и отклонение системы от исходной точки покоя ничего не изменяет в раскладе сил внутри нее. Представьте себе шар на абсолютно гладком горизонтальном столе — куда бы вы его ни сместили, он останется в состоянии равновесия.

Механическое равновесие — это… Что такое Механическое равновесие?

Механи́ческое равнове́сие — состояние механической системы, при котором сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю.

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

Определение через энергию системы

В механике сплошной среды, где принимается гипотеза сплошности, такое определение неприменимо. К тому же данное определение ничего не говорит об одной из наиболее важных характеристик равновесия — его устойчивости. Поэтому более общее и распространённое определение механического равновесия звучит так: Механическое равновесие — состояние системы, при котором её положение в конфигурационном пространстве находится в точке с нулевым градиентом потенциальной энергии.

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями, это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• неустойчивое равновесие;
• устойчивое равновесие;
• безразличное равновесие.

Неустойчивое равновесие

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия

неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.

Устойчивое равновесие

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Безразличное равновесие

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

• Виды устойчивости
• 

  Неустойчивое равновесие

• 

  Устойчивое равновесие

• 

  Безразличное равновесие

Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы

Если система имеет несколько степеней свободы, то может оказаться, что в сдвигах одних направлениях равновесие устойчиво, а в других — неустойчиво. Простейшим примером такой ситуации является «седловина» или «перевал» (в этом месте хорошо бы разместить картинку).

Равновесие системы с несколькими степенями свободы будет устойчивым только в том случае, если оно устойчиво во всех направлениях.

Условия равновесия: первое, второе. Виды равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное, опрокидывание. Формулы, примеры

Тестирование онлайн

Равновесие

Состояние тела, которое не изменяется со временем. Например, тело длительно находится в покое или движется равномерно, или длительно вращается.

Первое условие равновесия

Векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю.

Рассмотрим на примере первое условие равновесия

Предмет будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил (F_тр1, F_тр2, N₁, N₂, mg) равна нулю. То есть

Второе условие равновесия

Векторная сумма моментов сил равна нулю

Точку О выберем в точке пересечения F_тр2 и N₂. Плечи этих сил равны нулю, значит и моменты этих сил равны нулю.

Определяем плечи сил F_тр1, N₁ и mg и направление моментов сил (положительное или отрицательное).

Равновесие бывает устойчивым (тело возвращается в свое первоначальное положение), неустойчивым (тело не возвращается в свое первоначальное состояние), безразличное (тело остается в равновесии, несмотря на то, что на него подействовали (например переложили книгу из одного места на столе в другое). Тело стремится занять такое состояние, при котором его потенциальная энергия будет минимальной, центр масс стремиться быть ниже.

1 — безразличное равновесие, 2 — неустойчивое равновесие, 3 — устойчивое равновесие

На рисунке изображено условие опрокидывания тела.

Тело слева возвращается в исходное состояние. Тело справа опрокидывается.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в состоянии устойчивого равновесия, если вертикаль, проведенная через центр масс этого тела, не выходит за рамки контура, ограниченного точками соприкосновения тела с опорой. Если же эта вертикаль проходит вне указанного контура, тело опрокидывается.

Равновесие в физике, теория и онлайн калькуляторы

Равновесие твердых тел изучает статика. Это раздел механики, который является частным случаем динамики.

Условия равновесия твердого тела

Определение

Тело может находиться в состоянии покоя только относительно определенной системы отсчета. В состоянии равновесия скорость и ускорение всех элементов тела в этой системе равняются нулю.

Отталкиваясь от этого тезиса, устанавливается необходимое условие равновесия тел. При этом применяется теорема о движении центра масс. Согласно одному из следствий данной теоремы внутренние силы не могут изменить характер движения центра масс, его движение определяют только внешние силы. В состоянии равновесия ускорения всех элементов тела равны нулю, значит равно нулю ускорение центра масс, которое определяется векторной суммой внешних сил, приложенных к телу. Получается, что в состоянии равновесия сумма внешних сил, приложенных к телу равна нулю.

И так, если равнодействующая внешних сил, действующих на тело равна нулю, то ускорение центра масс ноль (${\overline{a}}_c=0$), что означает постоянство скорости движения центра масс (${\overline{v}}_c=const$). Если начальная скорость центра масс равна нулю, то и далее центр масс будет находиться в состоянии покоя.

Первое условие равновесия тела

Первое условие равновесия тела формулируют так: Равновесие тела требует, чтобы равнодействующая всех сил ($\overline{F}$), которые приложены к телу была равна нулю:

\[\overline{F}=\sum\limits_i{{\overline{F}}_i=0\ при\ {\overline{v}}_c=0\left(1\right),}\]

${\overline{F}}_i$ — вешние силы, приложенные к телу. Если сумма сил равна нулю, равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. Для того чтобы тело находилось в состоянии покоя нужно, чтобы начальная скорость центра масс была равна нулю.

Выполнение первого условия равновесия необходимо, но недостаточно. Если выполняется первое условие, то будет покоиться центра масс, а не обязательно все тело. Например, если тело будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс, центр масс покоится, а тело движется. Для выяснения того, что еще необходимо чтобы тело не вращалось, и было в состоянии равновесия, используем основной закон динамики вращательного движения твердого тела:

\[\overline{M}=J\overline{\varepsilon }\left(2\right),\]

где $\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}$ — сумма моментов внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; $J$ — момент инерции тела по отношению к той же оси.

При условии $\overline{M}$=0, получаем, что угловое ускорение тела равно нулю ($\overline{\varepsilon }=0$), следовательно, угловая скорость тела постоянна ($\omega =const$). Если в начальный момент времени угловая скорость была равна нулю, то и далее тело вращаться не будет.

Второе условие равновесия тела

Равенство нулю моментов внешних сил, приложенных к телу, относительно любой оси при нулевой начальной угловой скорости — второе условие равновесия тела:

\[\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}\ при\ \omega =0\ \left(3\right).\]

Первое и второе условия (1) и (3) — необходимые и достаточные условия равновесия любого твердого тела.

Виды равновесия

Равновесие тела может быть разным, это зависит от распределения массы тела по объему и положения тела относительно других тел. Выделяют устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Равновесие является устойчивым, если после того как тело вывели из равновесия, оно вернется в то же положение равновесия. В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела. Потенциальная энергия тела в положении устойчивого равн

Термодинамическое равновесие — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Термодинамическое равновесие — состояние системы, при котором остаются неизменными во времени макроскопические величины этой системы (температура, давление, объём, энтропия) в условиях изолированности от окружающей среды. В общем, эти величины не являются постоянными, они лишь флуктуируют (колеблются) возле своих средних значений. Если равновесной системе соответствует несколько состояний, в каждом из которых система может находиться неопределенно долго, то о системе говорят, что она находится в метастабильном равновесии. В состоянии равновесия в системе отсутствуют потоки материи или энергии, неравновесные потенциалы (или движущие силы), изменения количества присутствующих фаз (фазовое равновесие). Отличают тепловое (статистическое, оно же термодинамическое равновесие), механическое, гидроаэромеханическое (гидродинамическое, гидростатическое), радиационное (лучистое)^[1] и химическое равновесия. На практике условие изолированности означает, что процессы установления равновесия протекают гораздо быстрее, чем происходят изменения на границах системы (то есть изменения внешних по отношению к системе условий), и осуществляется обмен системы с окружением веществом и энергией. Иными словами, термодинамическое равновесие достигается, если скорость релаксационных процессов достаточно велика (как правило, это характерно для высокотемпературных процессов) либо велико время для достижения равновесия (этот случай имеет место в геологических процессах).

В реальных процессах часто реализуется неполное (относительное, подвижное, динамическое) равновесие, однако степень этой неполноты может быть существенной и несущественной. При этом возможны три варианта:

1. равновесие достигается в какой-либо части (или частях) относительно большой по размерам системы — локальное равновесие,
2. неполное равновесие достигается вследствие разности скоростей релаксационных процессов, протекающих в системе — частичное равновесие,
3. имеют место как локальное, так и частичное равновесие.

В неравновесных системах происходят изменения потоков материи или энергии, или, например, фаз.

Устойчивость термодинамического равновесия[править | править код]

Состояние термодинамического равновесия называется устойчивым, если при изменении макроскопических параметров системы происходит са­мо­про­из­воль­ный воз­врат сис­те­мы в ука­зан­ное со­стоя­ние^[2].

Критерии термодинамической устойчивости различных систем:

• Изолированная (абсолютно не взаимодействующая с окружающей средой) система — максимум энтропии.
• Замкнутая (обменивается с термостатом только теплом) система — минимум свободной энергии.
• Система с фиксированными температурой и давлением — минимум потенциала Гиббса.
• Система с фиксированными энтропией и объёмом — минимум внутренней энергии.
• Система с фиксированными энтропией и давлением — минимум энтальпии.

Статика. Равновесие тел. Центр тяжести. Устойчивость. Опыты

Статика. Равновесие тел. Центр тяжести. Устойчивость. Опыты

06.2012

ВЫСОТА ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И МЕХАНИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Тело находится в состоянии устойчивого равновесия, или механической устойчивости, если оно после небольшого наклона возвращается в свое первоначальное положение. Центр тяжести такого тела при его вращении вначале поднимается вверх.

Опыт

Наполните две одинаковые бутылки водой и запечатайте их. Пусть одна бутылка будет заполнена на одну четверть, а другая — целиком. Чем больше воды, тем выше центр тяжести. Поставьте бутылки рядом; слегка наклоните их, а затем отпустите.

Постепенно увеличивайте угол наклона, пока одна из бутылок не упадет. Первой упадет та бутылка, которая обладает меньшей механической устойчивостью.

ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ И РАВНОВЕСИЕ

Тело находится в состоянии устойчивого равновесия до тех пор, пока вертикальная линия, проведенная из его центра тяжести проходит через его основание, то есть сторону, на которой тело стоит.

Опыт

Поставьте деревянный брусок ( размеры бруска 5, 10 и 15 см) одной из сторон 5 х 15 см на кусок плотного картона или на плоский поднос, ближе к его краю. Чтобы брусок не скользил, поместите перед ним полоску пластилина. Сейчас ширина основания бруска равна 5 см.

Медленно поднимайте противоположный конец подноса, пока брусок не перевернется. Удерживая поднос в этом положении, попросите кого-нибудь измерить угол подъема подноса над столом.

Повторите опыт не менее трех раз и усредните полученные результаты. Теперь разверните брусок так, чтобы к пластилину была обращена сторона 5 см. Снова проделайте опыт, определяя средний угол подъема подноса, при котором падает брусок.

Используйте результаты для объяснения того, как ширина основания наклоненного тела влияет на угол, при котором оно переворачивается.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Свяжите концы бечевки длиной 30 см  узлом. Просуньте сквозь петлю рейку длиной в 1 метр  и молоток (лучше с деревянной ручкой). Положите рейку свободным концом на край стола. Ручка молотка концом должна упираться в рейку, а головка — свисать под стол. Найдите такое положение молотка, при котором все сооружение — рейка и прикрепленный к ней бечевкой молоток — будет уравновешено.

Все уравновешивается, если меньше половины рейки будет находиться на столе.

Почему?
Рейка, бечевка и молоток являются единым сооружением с общим центром тяжести. Центр тяжести — это точка, к которой приложен вес всей конструкции. Поэтому центр тяжести — это точка, определяющая равновесие тела.  На рисунке пунктирная линия показывает вам, где находится центр тяжести. Тяжелый конец молотка уравновешивает ручку, находящуюся слева от точки равновесия.

РАВНОВЕСИЕ

Скатайте из пластилина шарик диаметром около 4 см. Воткните в шарик вилку. Вторую вилку воткните в шарик под углом в 45 градусов по отношению к первой вилке. Воткните зубочистку в шарик между вилками. Зубочистку поместите концом на край стакана и двигайте к центру стакана, пока не наступит равновесие.

Если равновесия достичь не удается, уменьшите угол между ними. При определенном положении зубочистки вилки уравновешиваются.

Почему? Где центр тяжести конструкции? Поскольку вилки расположены под углом друг к другу, то их вес как бы сосредоточен в определенной точке палочки, находящейся между ними. Эта точка называется центром тяжести.

ПОСЛУШНОЕ И НЕПОСЛУШНОЕ ЯЙЦО

Сначала попробуйте поставить целое сырое яйцо на тупой или острый конец. Потом приступайте к эксперименту.

Проткните в концах яйца две дырочки величиной со спичечную головку и выдуйте содержимое. Внутренность тщательно промойте. Дайте скорлупе хорошо просохнуть изнутри в течение одного-двух дней. После этого залепите дырочку гипсом, клеем с мелом или с белилами так, чтобы она стала незаметной.

Насыпьте в скорлупу чистого и сухого песка примерно на одну четверть. Залепите вторую дырочку тем же способом, как и первую. Послушное яйцо готово. Теперь для того, чтобы поставить его в любое положение, достаточно слегка встряхнуть яйцо, держа его в том положении, которое оно должно будет занять. Песчинки переместятся, и поставленное яйцо будет сохранять равновесие.

Чтобы сделать «ваньку-встаньку», нужно вместо песка набросать в яйцо 30-40 штук самых мелких дробинок и кусочки стеарина от свечи. Потом поставить яйцо на один конец и подогреть. Стеарин растопится, а когда застынет, слепит дробинки между собой и приклеит их к скорлупе. Замаскируйте дырочки в скорлупе.

Неваляшку невозможно будет уложить. Послушное же яйцо будет стоять и на столе, и на краю стакана, и на ручке ножа.

Источник: Дж. Ванклив «Занимательные опыты по физике»; Дж. Ванклив «200 экспериментов»

Вековое равновесие — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вековое равновесие — состояние, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением:

N1N2=λ2λ1=T1/2(1)T1/2(2){\displaystyle {\frac {N_{1}}{N_{2}}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}={\frac {T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}}}

Вековое равновесие заключается в том, что число распадов (активность) всех членов радиоактивного ряда равно друг другу, и если исходный изотоп имеет очень большое время жизни (постоянная активность), то никакого изменения активности и у дочерних радиоактивных элементов не наблюдается. С достаточной точностью можно считать, что вековое равновесие наступает за время, равное десятикратному периоду полураспада наиболее долгоживущего дочернего элемента:

• в урановом ряду — через 830000 лет,
• ториевом — через 67 лет,
• актино-урановом — через 343000 лет.

В естественном состоянии все нуклиды, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. Чем меньше T1/2{\displaystyle T_{1/2}} члена радиоактивного ряда, тем меньше его содержание в земной коре.^[1]

Постоянная распада λ{\displaystyle \lambda } — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени t{\displaystyle t} имеется N{\displaystyle N} радиоактивных ядер, то количество ядер dN{\displaystyle dN}, распавшихся за время dt{\displaystyle dt} равно dN=−λNdt{\displaystyle dN=-\lambda Ndt}.

Количество ядер 2 достигает максимального значения N2max=λ2λ1N10exp(−λ1tmax){\displaystyle N_{2}^{max}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}N_{10}exp(-\lambda _{1}t^{max})} при tmax=ln⁡(λ1/λ2)λ1−λ2{\displaystyle t^{max}={\frac {\ln(\lambda _{1}/\lambda _{2})}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}}.

Если λ2<λ1{\displaystyle \lambda _{2}<\lambda _{1}} , суммарная активность N1(t)λ1+N2(t)λ2{\displaystyle N_{1}(t)\lambda _{1}+N_{2}(t)\lambda _{2}} будет монотонно уменьшаться. Если λ2>λ1{\displaystyle \lambda _{2}>\lambda _{1}} , суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.

В общем случае, когда имеется цепочка распадов 1→2→…n{\displaystyle 1{\xrightarrow {}}2{\xrightarrow {}}…n}., процесс описывается системой дифференциальных уравнений

dNi/dt=−λiNi+λi−1Ni−1{\displaystyle dN_{i}/dt=-\lambda _{i}N_{i}+\lambda _{i-1}N_{i-1}}.

Решением системы для активностей с начальными условиями N1(0)=N10{\displaystyle N_{1}(0)=N_{10}}; Ni(0)=0{\displaystyle N_{i}(0)=0} будет

An(t)=N10∑i=1nciexp(−λit){\displaystyle A_{n}(t)=N_{10}\sum _{i=1}^{n}{c_{i}exp(-\lambda _{i}t)}}, где

cm=∏i=1nλi∏i=1n(λi−λm){\displaystyle c_{m}={\frac {\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}}{\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{m})}}}.

1. ↑ Физический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1984, стр. 606.