Формула а в степени в: Формулы сокращённого умножения

Содержание

Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Разность квадратов a2-b2 = (a-b)(a+b)
Квадрат суммы (a+b)2 = a2+2ab+b2
Квадрат разности (a-b)2 = a2-2ab+b2
Куб суммы
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Сумма кубов a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
Разность кубов a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
Разность четвертых степеней a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b
2
)

Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений — многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке — представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4², применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

.

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4². Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

.

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

8. Разность чисел в четвертой степени

(a — b)4 = a4 — 4a3b + 6a2b2 — 4ab3 + b4

9. Сумма чисел в четвертой степени

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

10. Разность чисел в пятой степени

(a — b)5 = a5 — 5a4b + 10a3b2 — 10a2b3 + 5ab4 — b5

11. Сумма чисел в пятой степени

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

12. Квадрат трехчлена

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

13. Квадрат линейной формы

(a + b + c + … + u + v)2 = a2 + b2 + c2 + … + u2 + v2 + 2(ab + ac + … + au + av + bc + … + bu + bv + … + uv)

14. Куб трехчлена

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc

Функция МНИМ.СТЕПЕНЬ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции МНИМ.СТЕПЕНЬ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает комплексное число в текстовом формате x + yi или x + yj, возведенное в степень.

Синтаксис

МНИМ.СТЕПЕНЬ(компл_число;число)

Аргументы функции МНИМ.СТЕПЕНЬ описаны ниже.

  • Компл_число    — обязательный аргумент. Комплексное число, возводимое в степень.

  • Число    — обязательный аргумент. Степень, в которую необходимо возвести комплексное число.

Замечания

  • Для преобразования коэффициентов при действительной и мнимой части в комплексное число используйте функцию КОМПЛЕКСН.

  • Если число не является числом, imPOWER возвращает #VALUE! (значение ошибки).

  • Число может быть целым, дробным или отрицательным.

  • Комплексное число, возведенное в степень, вычисляется следующим образом:

    где

    и

    и

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула

Описание

Результат

=МНИМ. СТЕПЕНЬ(«2+3i»; 3)

Комплексное число 2+3i, возведенное в куб (-46 + 9i)

-46+9,00000000000001i

Формулы сокращенного умножения — Математика

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2. (a — b)2 = a2 — 2ab + b2.

3. a2 — b2 = (a + b)(a — b).

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

5. (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2).

7. a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

 

 

Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =

x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).

Ответ: (x — 2)2(x + 1).


 

Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2 — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:

(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Применение формул сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Формула квадрата суммы или квадрата разности, проверка правильности использования формулы

Сложность: лёгкое

1
2. Применение формулы разности квадратов

Сложность: лёгкое

1
3. Формула квадрата суммы, возведение многочлена в квадрат

Сложность: лёгкое

2
4. Формула разности квадратов

Сложность: лёгкое

1
5. Формула квадрата разности

Сложность: лёгкое

1
6. Формулы сокращённого умножения (формулировки)

Сложность: лёгкое

1
7. Произведение разности и суммы (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

3
8. Разность квадратов (степень)

Сложность: среднее

3
9. Разность квадратов (десятичные дроби)

Сложность: среднее

3
10. Произведение суммы и разности (целые числа)

Сложность: среднее

3
11. Значение выражения

Сложность: среднее

4
12. Квадрат суммы (десятичные дроби)

Сложность: среднее

5
13. Квадрат разности (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

5
14. Квадрат суммы (трином)

Сложность: среднее

5
15. Квадрат разности (трином)

Сложность: среднее

5
16. Разность кубов

Сложность: среднее

5
17. Квадрат разности (умножение на число)

Сложность: среднее

3
18. Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности

Сложность: сложное

3
19. Формулы сокращённого умножения (десятичные дроби)

Сложность: сложное

8
20. Разность квадратов (целые числа)

Сложность: сложное

7
21. Произведение суммы и разности (числовое выражение)

Сложность: сложное

5

Дроби.

Формулы сокращенного умножения

Факт 1.
\(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1, \ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д.
\(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\).
\(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\).   Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).  

Факт 2.
\(\bullet\) Правила сложения дробей: \[\begin{aligned} &\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\\[2ex] &\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\end{aligned}\] Пример: \(\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6\)   \(\bullet\) Правила умножения дробей: \[\dfrac ab\cdot \dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\] Пример: \(\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}\)   \(\bullet\) Правила деления дробей: \[\dfrac ab: \dfrac cd=\dfrac ab\cdot \dfrac dc\] Пример: \(\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76\)  

Факт 2. 2.

Пример

Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового рабочего листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите клавишу ВВОД. При необходимости вы можете настроить ширину столбцов, чтобы увидеть все данные.

Формула

Описание

Р результат

=МОЩНОСТЬ(5,2)

5 кв.

25

=МОЩНОСТЬ(98. 6,3.2)

98,6 в степени 3,2.

2401077.222

=МОЩНОСТЬ(4,5/4)

4 в степени 5/4.м}\).

Эта формула проиллюстрирована некоторыми рабочими примерами в Tutorial 3 .

Теперь, когда мы увидели, как интегрировать корней , используя дробных степеней \(x\) , давайте рассмотрим еще несколько вопросов.

Упражнение 3

Интегрируйте каждое из следующего:

  1. \(\int \sqrt{x} dx\)

  2. \( \инт 2.{\ displaystyle z} \ log_ {e} {u} $

    Доказательства

    Правило производной экспоненциальной функции может быть доказано следующими двумя способами.

    Фундаментальный

    Узнайте, как доказать производную от $a$ в $x$-й степени по отношению к $x$ фундаментально из первого принципа производных.

    Дифференциация

    Узнайте, как получить производную от $x$-й степени числа $a$ относительно $x$, используя правила логарифмирования и дифференцирования.3} + c \\ \end{собрано} \]

    Power Function – свойства, графики и приложения

    Вы когда-нибудь работали с функцией, содержащей один терм? Скорее всего, вы работали с силовой функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, не зная, что это один из них.

    Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

    Степенная функция — это одночленная функция, которая содержит переменную в своей основе и константу в ее показателе.

    Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются мощными функциями. В этой статье мы узнаем:

    • Концепция силовых функций.
    • Специальные свойства, которыми может обладать степенная функция.
    • Применяйте эти свойства для построения графиков и определения степенных функций.

    Убедитесь, что у вас под рукой блокнот, так как это будет подробное обсуждение функций питания. Мы даже научимся применять степенные функции в текстовых задачах.

    Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

    Что такое силовая функция?

    Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять основное определение степенной функции. Вот общая форма степенных функций:

    Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

    Обязательно ознакомьтесь с этой формой, так как мы будем неоднократно использовать ее на протяжении всей статьи.

    Определение и примеры степенных функций

    Как показано в предыдущем разделе, степенные функции представляют собой функции в форме f(x) = kx a

    0 50x или a , где k — ненулевой коэффициент, а a — действительное число.

    Вот несколько примеров степенных функций:

    • y = -5x 2
    • y = 2 √x
    • f(x) = 3/x 2
    • 9015

    Обратите внимание, что каждая функция содержит только один термин для каждого примера — важный идентификатор степенных функций.Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

    • Функция y = -5x 2 и g(x) = 2x 3 являются функциями с целыми числами в качестве их показателей, поэтому они являются степенными функциями.
    • Функция квадратного корня, y = 2 √x, может быть переписана как y = 2x 1/2 , поэтому ее показатель степени является действительным числом, так что это также степенная функция.
    • Мы применяем тот же процесс с f(x) = 3/x 2 и имеем f(x) = 3x -2 , подтверждая, что это степенная функция, поскольку -2 является действительным числом.

    Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

    0 родительская функция

    0 Функция

    1

    Константа y = A
    линейная функция y = x
    квадратичная функция y = x 2
    Cubic Function y = x 3
    обратная функция y = 1 / x, y = 1 / x 2
    квадратный корневой функция y = √x

    Поскольку каждая из этих родительских функций содержит по одному члену и действительные числа для их показателей степени, все они являются степенными функциями.

      Как построить график функций мощности?

    При построении графика степенных функций мы должны помнить о двух важных свойствах степенных функций: их симметрии и конечном поведении .

    Вот краткое руководство о том, как мы строим графики функций мощности, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

    • Определите, является ли функция мощности нечетной или четной.
    • Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
    • Найдите несколько точек, которые помогут построить график половины степенной функции.
    • Применить свойство симметрии заданной степенной функции.
    • Дважды проверьте их конечное поведение.

    Почему бы нам не освежить наши знания о нечетных и четных функциях и посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

    Симметрия четных степенных функций и поведение конца

    Степенные функции могут быть либо четными, либо нечетными, поэтому они также либо симметричны относительно оси Y и начала координат . Мы также можем предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

    Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x 2 и y = -4x 4 . Чтобы построить график каждой функции, нанесите несколько точек справа и отразите эту кривую по оси Y.

    Для обоих графиков, поскольку показатели степени четны, функции также четны, а следовательно, их графики симметричны относительно оси ординат.

    Начнем с четных степенных функций, где коэффициент положительный , например y = 2x 2 .

    • Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх .
    • Мы видим, что при x < 0 функция убывает, а при x > 0 функция убывает.
    • Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут повышаться (↑) .

    Теперь давайте рассмотрим четных степенных функций с отрицательным коэффициентом , например, y = -4x 4 .

    • Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз .
    • Здесь мы видим, что при x < 0 функция возрастает, а при x > 0 функция убывает.
    • Это означает, что для с обеих сторон мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).

    Симметрия функций нечетной мощности и поведение концов

    Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и посмотрим на эти две функции: y = 3x 3 и y = -x 5 .

    Чтобы построить график двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

    Из определения нечетных функций видно, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

    Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на основе графика y = 3x 3 , где коэффициент положительный :

    • Мы можем видеть, что когда x < 0, функция возрастает, и когда x > 0, функция увеличивается .
    • Следовательно, левая сторона идет вниз (↓) , а правая сторона идет вверх (↑) .

    Теперь посмотрим на поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

    • Мы видим, что когда x < 0 и x > 0, функция убывает
    • Следовательно, левая сторона растет (↑) , а правая сторона идет вниз (↓) .

    Понимание влияния показателя степени a

    Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем пронаблюдать разницу, когда а — дробь, а когда а — целое число.

    Случай 1: Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

    Графики y = 2 и y = 2x могут подтвердить это. То же самое относится ко всем значениям k.

    Областью определения в этом случае будут все действительные числа или в интервальной записи, то есть (-∞, ∞).

    Случай 2: Когда a < 0 .Давайте посмотрим на графики y = x -1 и y = x -2 :

    . равно 0 . Это означает, что доменом этих степенных функций будет любое действительное число, кроме 0, , поэтому домен равен (-∞, 0) U (0, ∞) .

    Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

    Случай 3: Когда 1< a < 0 .Давайте посмотрим на графики y = x 1/2 и y = x 1/3 :

    Когда a является дробью, а функция степени возвращает подкоренное выражение. Мы видим, что область определения будет зависеть от того, четный или нечетный знаменатель:

    • Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области определения или [0, ∞).
    • Если знаменатель нечетный, все его области определения могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

    Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

    Случай 4: Когда a > 1 , давайте посмотрим на графики y = x 5 и y = x 6 .

    Когда показатель степени положительный, мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Домен для этого типа степенной функции будет состоять из всех действительных чисел или интервальных обозначений , (-∞, ∞) .

    Как найти силовую функцию?

    Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через ее график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

    • Подставьте эти две точки в общий вид степенных функций: y = kx a .
    • Найдите способ сохранить либо k , либо a в одном из уравнений.
    • Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общий вид степенных функций.

    Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Замените эти значения в общему виде:

    (2, 16)

    16 = K (2) A

    16/2 A = K

    (3, 54)

    54 = K (3) A

    54/3

    54/3 A = K

    Давайте приравниваем как правые выражения и имеют:

    16/2 A = 54 / 3 A

    8/2 A = 29/3 A

    2 3 /2 A = 3 3 /3 A

    2 3 — A = 3 3 – a

    Это уравнение будет верным только тогда, когда обе стороны равны 1.Это означает, что 3 – a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

    Подставим это обратно в любое из выражений k:

    k = 16/2 3

    = 16/8

    = 2

    Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x 3 .

    Что делать, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

    Прежде чем мы попробуем ответить еще на несколько вопросов, связанных со степенными функциями, почему бы нам не обобщить все, что мы уже знаем о степенных функциях?

    Краткое изложение формул степенных функций и их свойств

    Вот несколько полезных напоминаний при работе со степенными функциями и их приложениями: терм , k — константа , а a — действительное число .

  3. Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
  4. Применяйте свойства нечетных и четных функций, когда это применимо.
  5. При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму y = kx a .
  6. Используйте приведенную ниже таблицу для прогнозирования конечного поведения силовых функций.
  7. 0 Состояние для K

    0 Далее функции питания

    0 нечетные функции мощности

    Когда K> 0

    функция уменьшается, когда X <0:

    AS X → — — ∞, y → ∞

    Функция возрастает при x > 0:

    При x → ∞, y → ∞

    Функция возрастает на всем интервале x:

    При x → – ∞, y → — ∞

    При x → ∞, y → ∞

    При k < 0

    Функция возрастает при x < 0:

    При x → – ∞, y → 5 при x – ∞ 9000 > 0:

    При x → ∞, y → – ∞

    Функция убывает на всем интервале x:

    При x → – ∞, y → ∞

    При x → ∞, y → – ∞

    Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с разное конечное поведение.Когда вы будете готовы, давайте продолжим и попробуем решить несколько задач!

    Пример 1

    Какие из следующих функций считаются силовыми?

    а. f(x) = -2x 2 · 3x
    б. g(x) = 2√x + 5

    c. h(x) = 0,5x π
    d. m(x) = -(x + 1) 2
    e. n(x) = 1/ x 3

    Решение

    Проверьте каждую из заданных функций и по возможности упростите выражения.

    а. Функцию все еще можно упростить до f(x) = -6x 3 . Мы видим, что он содержит только один член и имеет действительное число для коэффициента и показателя степени, поэтому f(x) является степенной функцией .

    Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g(x) и m(x) не рассматриваются как степенные функции .

    в. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели степени действительны.И 0,5, и π — действительные числа, поэтому h(x) также является степенной функцией .

    эл. Поскольку 1/ x 3 = 1 · x -3 , мы можем убедиться в результате проверки, что оно удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n(x) также является степенной функцией .

    Следовательно, функции в a, c и e являются степенными функциями .

    Пример 2

    Заполните пропуски всегда , иногда и никогда , чтобы сделать следующие утверждения верными.

    а. Кубические функции – это ______________ степенные функции.
    б. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
    с. Степенные функции будут ___________ иметь отрицательные показатели.

    Решение

    Давайте продолжим и проверим каждое утверждение:

    a. Некоторые примеры кубических функций: 2x 3 и x 3 — x 2 + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть степенными функциями.

    б. Общая форма постоянных функций такова: y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и показателя степени. Следовательно, константные функции всегда будут степенными функциями.

    в. Пока функция содержит один член и показатель действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что в степенной функции могут быть положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иногда иметь отрицательные показатели степени.

    Пример 3

    Определите конечное поведение следующих функций мощности:

    a. f(x) = x 3

    б. g(x) = -4x 4

    c. h(x) = (-3x) 3

    Решение

    При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя степени. Используйте предоставленную нами таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение.

    а. Функция f(x) = x 3 имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетна, ожидается, что функция будет возрастать во всей области определения.

    Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая сторона идет вверх: (↓↑).

    б. Для второй функции g(x) = -4x 4 имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что ожидается открытие графика вниз.Функция также будет возрастать, когда x < 0, и уменьшаться, когда x > 0.

    Это означает, что ожидается, что и левая, и правая стороны кривой будут снижаться: (↓↓).

    в. Давайте сначала упростим выражение для h(x): h(x) = -27x 3 . Мы видим, что h(x) имеет отрицательный коэффициент и нечетный показатель степени. Когда это происходит, функция убывает по всей области определения.

    Кривая графика идет вверх с левой стороны и спускается с правой стороны: (↑↓).

    Пример 4

    Покажите, что произведение двух степенных функций также всегда возвращает степенную функцию.

    Решение

    Пусть две степенные функции равны f(x) = mx p и g(x) = nx q , где m и n — действительные числовые коэффициенты. Показатели p и q также являются действительными числами.

    Умножение двух функций даст:

    f(x) · g(x) = (mx p ) · (nx q )

    = mn x p + q Пусть

    mn

    k и p + q = a, следовательно, имеем f(x) · g(x) = kx a .

    Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Произведение по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

    Пример 5

    Постройте график степенной функции f(x) = -3x 5 и ответьте на следующие вопросы.

    а. Каковы область определения и диапазон функции?

    б. Если график переместить на 6 единиц вверх, будет ли результирующая функция по-прежнему степенной?

    Решение

    Поскольку f(x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

    Мы можем нанести эти точки на график половины кривой и отразить его в начале координат.

    а. Поскольку показатель степени положителен и нечетен, домен и диапазон f(x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . В этом также можно убедиться, изучив график.

    б. Когда мы переводим f(x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x 5 + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

    Пример 6

    Используйте приведенный ниже график, чтобы найти выражение для h(x).

    Решение

    Поскольку график h(x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любой из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx a .

    Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

    Сначала подставим (1, -2) в общую форму степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 a сократится до k .)

    -2 = k(1) a

    -2 = k

    Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз давайте также используем k = -2.

    -8 = (-2)(-1/2) a

    4 = (-1/2) a

    (-1/2) -2 = (-1/2) a

    Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, мы имеем h(x) = -2x -2 .

    Пример 7

    Степенная функция g(x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

    а. Какое выражение для g(x)?

    б. Постройте график функции g(x).

    в. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

    Решение

    Подставим каждую пару значений в общий вид степенных функций: y = kx a и упростим полученное уравнение.

    900 обе правые части уравнений приравняем выражениям левой части. Найдите а из полученного уравнения.

    -6/4 A = -9/9 A

    -2/4 A = -3/9 A

    -2 1 /2 2A = -3 1 / 3 2a

    -2 1 – 2a = -3 1 – 2a

    Это уравнение будет верным только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

    1 – 2a = 0

    1 = 2a

    a = ½

    Подставьте значение a в одно из выражений для k.

    k = -6/4 a

    = -6/ 4 1/2

    = -6/ 2

    = -3

    Подставим эти два значения обратно в общую форму степенных функций найдите выражение для g(x).

    g(x) = kx a

               = -3x 1/2

    = -3√x

    a. Следовательно, мы имеем г(х) = -3√х .

    Используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g(x).

    б.

    Мы можем найти домен и диапазон g(x), изучив график. Поскольку g(x) имеет рациональный показатель с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может подтвердить это.

    Поскольку график g(x) никогда не поднимается выше отрицательной оси y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

    в. Следовательно, область g(x) равна [0, ∞) , а диапазон равен (-∞, 0] . График показывает, что он непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз .

    Пример 8

    Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса, r. Площадь круга радиусом 10 единиц составляет 314 единиц 2 , , а площадь круга радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц 2 .

    а. Найдите степенную функцию A(r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A(r)?

    б. Независимо от ограничений на r, является ли A(r) нечетным или четным?

    в.Каково конечное поведение A(r)?

    д. Если мы учтем тот факт, что r представляет собой радиус окружности, изменится ли домен?

    Решение

    Поскольку площадь прямо пропорциональна r 2 , мы можем выразить A(r) как kr 2 , где k — ненулевая константа.

    Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

    A(r) = kr 2

    314 = k(10) 2

    314 = 100k

    k = 3.14

    а. Подставим k обратно в выражение, и получим A(r) = 3,14r 2 . Напомним, что 3,14 — это приближенное значение π, , поэтому коэффициент A(r) представляет π .

    б. Поскольку A(r) — квадратичное выражение; это четная функция .

    в. Коэффициент при A(r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x < 0, и увеличиваться, когда x > 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут двигаться до .

    д. Первоначально, поскольку A(r) представляет собой квадратное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область определения (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, область теперь становится (0, ∞).

     

     

    Функция POWER в Excel (формула, примеры)

    используется для вычисления мощности данного числа или основания, чтобы использовать эту функцию, мы можем использовать ключевое слово =POWER( в ячейке и предоставить два аргумента, один как число, а другой как мощность.

    Мощность в Excel

    Степень в Excel — это математическая/тригонометрическая функция, которая вычисляет и возвращает результат возведения числа в степень. Функция Power Excel принимает два аргумента: основание (любое действительное число) и показатель степени (степень , которая означает, сколько раз данное число будет умножено само на себя). Это означает, что, например, 5, умноженное на степень двойки, равно 5 х 5.

    Формула СИЛЫ Функция


    Объяснение функции POWER в Excel

    Power in Excel принимает оба аргумента как числовое значение; следовательно, передаваемые аргументы имеют целочисленный тип, где число — это базовое число, а степень — показатель степени.Оба аргумента являются обязательными и необязательными.

    Мы можем использовать функцию Степени в Excel по-разному, например, для математических операций, уравнения степенной функции и для вычисления реляционных алгебраических функций.

    Как использовать функцию POWER в Excel

    Функция POWER

    Excel очень проста и удобна в использовании. Давайте разберемся с работой POWER в Excel на некоторых примерах. n (x в степени n), где y зависит от значения x, а n — показатель степени.2 (=POWER(10,2)

    Теперь, выбрав значения x и y из диапазона B4:K5, выберите график (здесь мы выбрали график рассеяния с плавными линиями) на вкладке вставки.

    Итак, мы получаем линейный экспоненциальный график для данного уравнения функции СТЕПЕНЬ.

    POWER в Excel, пример № 2

    В алгебре у нас есть квадратное уравнение функции СТЕПЕНИ, которое представлено как ax 2 +bx+c=0, где x неизвестно, а a, b и c — коэффициенты.Решение этого уравнения функции СТЕПЕНЬ дает корни уравнения, то есть значения x.

    Корни квадратичного уравнения функции СТЕПЕНЬ вычисляются по следующей математической формуле

    • х = (-b+ (b 2 -4ас) 1/2 )/2а
    • х = (-b- (b 2 -4ас) 59 1/2 902 902 9022

    b 2 -4ac называется дискриминантом и описывает количество корней квадратичного уравнения функции POWER. 2.

    У нас есть пять квадратных уравнений функции СТЕПЕНЬ, и мы будем решать их, используя формулу с помощью функции СТЕПЕНЬ в Excel, чтобы узнать корни.

    В первом уравнении функции СТЕПЕНЬ, a = 4, b = 56 и c = -96, если мы решим их математически, используя приведенную выше формулу, мы получим корни -15,5 и 1,5

    Чтобы реализовать это в формуле Excel, мы будем использовать функцию POWER в Excel, и формула будет

    • =((-56+POWER(POWER(56,2)-(4*4*(-93)),1/2)))/(2*4) даст первый корень, а
    • = ((-56-СТЕПЕНЬ(СТЕПЕНЬ(56,2)-(4*4*(-93)),1/2)))/(2*4) даст второй корень уравнения

    Таким образом, полная формула будет

    .

    = «Корни уравнений»&» «&((-56+POWER(POWER(56,2)-(4*4*(-93)),1/2)))/(2*4) &», «&((-56-МОЩНОСТЬ(МОЩНОСТЬ(56,2)-(4*4*(-93)),1/2)))/(2*4)

    Обе формулы объединены строкой «Корни уравнения».

    Используя ту же формулу для другого уравнения функции СТЕПЕНЬ, мы имеем,

    Вывод:

    МОЩНОСТЬ в Excel Пример №3

    Итак, для различных математических вычислений мы можем использовать функцию СТЕПЕНЬ в Excel.

    Предположим, нам нужно найти сложный процент. Сложный процент — это процент, начисляемый на сумму основной суммы и общей суммы процентов, начисленных на нее до сих пор. Он играет решающую роль в получении более высокой прибыли от инвестиций.подробнее для которых формула

    Сумма = Основная сумма (1 + р/н) нт

    • Где r — процентная ставка, n — количество начислений процентов в год, а t — время.
    • Если сумма в размере 4000 долларов США депонирована на счет (сберегательный счет) с процентной ставкой 5% годовых, ежемесячно начисляемой на сложные проценты, стоимость инвестиций через 5 лет может быть рассчитана с использованием приведенной выше формулы сложных процентов.
    • Где основная сумма = 4000 долларов США, ставка = 5/100, что равно 0.05, n = 12 (ежемесячное начисление сложных процентов), время = 5 лет

    Используя формулу сложных процентов и внедрив ее в формулу Excel с помощью функции POWER в Excel, мы получим формулу.

    =B2*(МОЩНОСТЬ((1+(B3/B5)),(B4*B5)))

    Итак, остаток инвестиций через 5 лет составляет $5.133,43

    POWER в Excel, пример № 4

    Согласно закону тяготения Ньютона, два тела на расстоянии r от их центра тяжести притягиваются друг к другу во Вселенной в соответствии с формулой гравитационной POWER Excel.30 будет представлено как 1.98*Power(10,30), аналогично другим значениям.

  8. Итак, формула МОЩНОСТИ Excel для расчета силы будет = (6,67 * СИЛА (10,-11) * 1,98 * СИЛА (10,30) * 5,97 * СИЛА (10,24)) / МОЩНОСТЬ (1,496 * POWER(10,11),2)
  9. Поскольку значение, полученное как сила, представляет собой большое число, Excel выражает его научной записью. В Excel научная запись представляет собой особый стиль записи чисел в научной и экспоненциальной формах. Научная нотация компактно помогает отображать значения, позволяя нам сравнивать и использовать их в расчетах.Подробнее. Чтобы преобразовать его в дробь, измените формат на дробь.

    Вывод:

    Итак, Солнце притягивает Землю с силой 3522

    83107

    0000 ньютонов.

    Рекомендуемые статьи

    Это руководство по функции POWER в Excel. Здесь мы обсуждаем Формулу СИЛЫ в Excel и как использовать функцию СИЛЫ Excel вместе с примером Excel и загружаемыми шаблонами Excel. Вы также можете посмотреть эти полезные функции в Excel —

    Все в одном пакете Excel VBA (курсы 35 с проектами)
    (4, -6)

    -6 = K (4) A

    -6 = K4 A

    -6/4 A = K

    ( 9, -9)

    -9 = k(9) a

    -9= k9 a

    -9/9 a = k