Формула нахождения х через дискриминант: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Содержание

Репетитор по математике в Луганске

C видео версией данного урока вы можете ознакомиться —

Типы квадратных уравнений.

Существует две основные разновидности квадратных уравнений — полные квадратные уравнения, о которых речь пойдет ниже, и не полные квадратные уравнения, о которых можно почитать по ссылке.

Полное квадратное уравнение имеет вид:

Квадратные уравнения (рис. 1)

где a, b, c — какие либо числа, а х — неизвестные.

Для решения квадратного уравнения надо найти дискриминант, формула дискриминанта:

Квадратные уравнения (рис. 2)

После нахождения дискриминанта существует три возможных варианта в зависимости от того какой результат в дискриминанте: D > 0 D = 0; D < 0

Дискриминант больше нуля (D > 0).

В случае если дискриминант больше нуля (D > 0), то уравнение имеет два действительных корня. Для их нахождения используется следующая формула:

Квадратные уравнения (рис. 3)
Дискриминант равен нулю (D = 0).

Когда дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один действительный корень. Для его нахождения используется формула:

Квадратные уравнения (рис. 4)
Дискриминант меньше нуля (D < 0).

Когда дискриминант меньше нуля (D < 0), то у уравнения “корней нет”

Для более глубокого понимания данной темы предлагаю рассмотреть примеры:

Примеры:

Пример №1:
Квадратные уравнения (рис. 5)

Для начала давайте внимательно посмотрим на наше уравнение, все числовые значения имеют общий множитель 3 — значит мы можем разделить все уравнение на 3, в итоге получим:

Квадратные уравнения (рис. 6)

Как было написано ранее мы должны вычислить дискриминант, из уравнения а = 1; b = 2; c = -15:

Квадратные уравнения (рис. 7)

Так как дискриминант больше нуля, то в нашем квадратном уравнении два действительных корня, находим их по соответствующим формулам:

Квадратные уравнения (рис. 8)

Корни нашего уравнения: x = {-5; 3}.

Пример №2:
Квадратные уравнения (рис. 9)

Так же как и в прошлом примере находим дискриминант, из уравнения a = 1; b = 6; c = 9:

Квадратные уравнения (рис. 10)

Так как дискриминант равен нулю, то в квадратное уравнение имеет только один действительный корень, находим его по формуле:

Квадратные уравнения (рис. 11)

Корень нашего уравнения: x = {-3}.

Пример №3:
Квадратные уравнения (рис. 12)

Находим дискриминант, из уравнения a = 2; b = -2; c = 9:

Квадратные уравнения (рис. 13)

Так как дискриминант является отрицательным числом, то исходное уравнение действительных корней не имеет. В ответ запишем: “Корней нет”.

Конспект урока по теме «Формулы корней квадратного уравнения»

Тема: Формулы корней квадратного уравнения.

Цели: продолжить формирование умений и навыков применения формул для решения квадратного уравнения;

знать: формулу нахождения дискриминанта и формулу нахождения корней квадратного уравнения;

уметь: применять формулы при решении квадратных уравнений;

развивающая: память, логическое мышление, математическая речь, умение пользоваться алгоритмом решения;

воспитывающая: трудолюбие, умение доводить начатое до конца, аккуратное ведение тетради.

Тип урока: урок закрепления ЗУН.

Оборудование: карточки, мультимедиа, лист учёта знаний.

Ход урока:

1. Оргмомент.

Детям раздается лист учета для самооценки. После выполнения каждого задания дети себе ставят баллы.

2. Проверка домашнего задания.

В номере 1018(2 ст.) и 1019 (б,г,ж,з) дети говорят, чему равен дискриминант и корни уравнения.

3. Устная работа с классом.

На слайдах даны задания, они проектируются на экран.

1. Назвать коэффициенты квадратного уравнения.

а) 7х2-5х+3=0;

б) -11х2+х-8=0;

в) 20х+13-5х2=0

2. Формула нахождения дискриминанта. Найти правильный ответ.

3. Вычислить дискриминант и определить число корней квадратного уравнения.

а) 2х2 –х -3=0;

б) х2 –х +2=0;

в) х2 +4х +4=0.

4. Формулы корней квадратного уравнения.

5. Решите уравнение.

а) х2 -15=0;

б) х2 +25=0;

в) х2 +8х=0.

4. Проверка умений и навыков по изученной теме.

Дети разделены на три группы. Каждой группе раздаются индивидуальные задания на карточках.

Задание 1.

Вычислите дискриминант и определите количество корней данного уравнения.

а) 2х2 +3х +1=0;

б) 2х2 +х +2=0;

в) х2 +6х +9=0.

Первая группа: Полунина, Сушкова,

Свиридова, Мурзабеков,

Косинов, Иванов, Мороз,

Хабаров.

Задание 2.

Решить уравнение и найти сумму его корней.

14х2 -5х -1=0

Вторая группа: Демидова, Адамян,

Съемщиков, Самаркина,

Батиева, Спицина.

Задание 3.

Решить уравнение, найти сумму и произведение его корней.

2 -11х -4=0

Третья группа: Майборода, Таштанов,

Грудинин, Шлычков,

Пан, Пак.

5. Закрепление.

Решение № 1020 (а, б, в), № 1024 (а, б), № 1025 (а).

6. Домашнее задание.

п.46 №1020 (г, д, е), №1024 (в.г) с комментарием учителя.

7. Подведение итогов.

1) Проверить алгоритм решения квадратных уравнений.

2) Выставление оценок.

№ 1018

д) y2 +4y +4=0; D=16-16=0

y==-2

е) 3m2 -4m +3=0; D=16-36=-20

корней нет

ж) 4y2=2-7y; D=49 +32=81

y1=-2 y2=0.5

з) 15 +17а=4а2; D=289+240=529

a1=-0.75 a2=5

№ 1019 (б,г,ж,з)

б) х2=2х-2; D=-4 корней нет

г) 6 +7х=-3х2; Д=-23 корней нет

ж) 3х2 +11х +6=0; Д=49

х1=-3 х2=-

з) 15 +17а=4а2; Д=49

а1=1.

25 а2=3

a=7, b=-5, c=3

a=-11, b=1, c=-8

a=-5, b=20, c=13

а) D=-b2+4ac; в) D=b2-4ac;

б) D=b2-ac; г) D=b2-4ab.

D=b2-4ac=49 2 корня

D=b2-4ac=-7 нет корней

D=b2-4ac=0 1 корень

x1,2=- запись на доске

х1= х2=-

нет корней, т.к. левая часть уравнения принимает только положительное значение.

х1= 0 х2=-8

Они их решают в течение 5 минут и затем идет взаимопроверка. Ответы записаны на доске.

D=1 2 корня

D=-15 нет корней

D=0 1 корень

Д=81 х1=- х2= х1 2=

Д=169 х1=- х2=4 х1 2=3 х1 2=-1

№ 1020 (а, б, в). Решите уравнение.

а) 6х2 -13х +2=0 Д=121

х1=2 х2=

б) 4y2 +36y=-81 Д=0

х=-4. 5

в) 9m2 -7m +10=0 D=-311

корней нет.

№ 1024 (а, б). При каких значениях переменной значение выражения:

а) -7х2 -38х -14 равно -1

-7х2 -38х -14=-1;

-7х2 -38х -13=0 Д=1080

х1,2=;

б) 16х2 +10х -21 равно 5

16х2 +10х -21=5;

16х2 +10х -26=0 Д=1764

х1=-1 х2=1.

№ 1025 (а). Найдите значения переменной, при которых равны значения многочленов:

а) 5х2 +17х -2 и 3х-11

2 +17х -2=3х-11;

2 +14х +9=0 Д=16

х1=-2.8 х2=-1.

1) записать коэффициенты квадратного уравнения;

2) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

3) если дискриминант больше нуля или равен нулю, то произвести вычисления по формуле и написать ответ;

4) если дискриминант меньше нуля, то написать в ответе нет корней.

Квадратные уравнения и его корни привести примеры. Уравнение дискриминанта по математике

Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения — положительное и отрицательное значение корня квадратного.

Обратите внимание

При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.

Знание о том, как решать квадратные уравнения, необходимо и школьникам, и студентам, иногда это может помочь и взрослому человеку в обычной жизни. 2 — 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt — это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

Элементы решения квадратных уравнений

По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. 2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

x=0 или 8х — 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X 2 — 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2x 3 + 2x 2 — 18x — 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Дискриминант

Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x — 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 — 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант равен: 256 — 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).

Примеры и задачи

Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

15x 2 + 20x + 5 — 12x 2 — 27x — 1 = 0

Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 — 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

2) Теперь раскроем загадки другого рода.

Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 — 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 — 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x 2 + 21x — 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x 2 + 7x — 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

График и уравнение параболы

Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a

Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a0. В противном случае D

По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.
  • «a » — первый или старший коэффициент;
  • «b » — второй коэффициент;
  • «c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0
Уравнение Коэффициенты
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
  • использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.


x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =


x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Библиографическое описание: Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..02.2019).



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c — некоторые числа (a ≠ 0 ), x — неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободным членом.

А кто же первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Метод выделения полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 =2, x 2 =3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример. 3x 2 +2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна — 2. Эти числа — 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. 2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = — 1.

Пример. 345х 2 — 137х — 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Ответ: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х 1 = — 1, х 2 = — 115/132

Ответ: х 1 = — 1; х 2 =- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример. х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т. е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х 1 =2, х 2 =3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. 2 + b*x + c = 0 ,где x — переменная, a,b,c – константы; a0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения
Часть 2

На прошлой неделе я начал обсуждать дискриминант квадратного уравнения. Вы можете просмотреть этот пост здесь: Дискриминант квадратного уравнения — Часть 1

Напомним, что дискриминант квадратного уравнения

Δ = б 2  – 4 а.с.

То есть дискриминант — это просто выражение, стоящее под квадратным корнем в квадратной формуле.

На прошлой неделе я попросил вас решить следующую задачу:

Пример: Найдите дискриминант x 2 + 6 x + 9 = 0 . Затем опишите природу корней уравнения и опишите график функции y = x 2 + 6 x + 9 .

Обязательно попробуйте решить эту проблему самостоятельно, прежде чем читать следующее решение.

Решение: В этом вопросе a = 1, b = 6 и c = 9. Таким образом, дискриминант равен

.

Δ = b 2  – 4 ac = 6 2  – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0 .

Отсюда следует, что корни квадратного уравнения равны (другими словами, на самом деле есть только один корень) и рациональны (дробь, где числитель и знаменатель являются целыми числами).

График функции y = x 2 + 6 x + 9   представляет собой направленную вверх параболу, пересекающую ось x в одной точке.

Примечания:  (1) Единственный рациональный корень этого квадратного уравнения равен

.

x = – b /2 a = –6/2 = –3 .

Это означает, что единственным x пересечением параболы является точка (–3,0). В этом случае эта точка также оказывается вершиной параболы.

(2) Мы знаем, что парабола направлена ​​вверх, потому что a =1 > 0,

(3) Также очень легко найти точку пересечения и параболы.Мы просто подставляем 0 вместо x в уравнение. Таким образом, мы получаем y = 9. Отсюда следует, что точка пересечения y параболы есть точка (0,9).

(4) Теперь, когда мы знаем точки пересечения x , точку пересечения y и вершину параболы, а также то, что парабола направлена ​​вверх, очень легко начертить график. Я предоставляю читателю сделать хороший набросок.

Положительные дискриминанты

До сих пор мы рассматривали случай, когда дискриминант равен 0.Сегодня поговорим о том, что происходит, если дискриминант положителен.

Если дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 положителен, то мы получаем положительное число под квадратным корнем в квадратной формуле. Квадратный корень из положительного числа является действительным числом. Таким образом, мы получаем два реальных решения

.

Если дискриминант также является полным квадратом (например, 1, 4, 9, 16 и т.), то оба решения будут рациональными числами.

Графически, если дискриминант положительный, график функции y = ax 2 + bx + c представляет собой параболу, пересекающую ось x в двух точках.

Примером служит синяя парабола на изображении выше.

Пример: Найдите дискриминант x 2 + 8 x + 7 = 0 . Затем опишите природу корней уравнения и опишите график функции y = x 2 + 8 x + 7 .

Завтра я опубликую решение этой задачи, а затем обсужу, что произойдет, если определитель будет отрицательным. Не стесняйтесь публиковать свои собственные решения в комментариях.

 

Если вам понравилась эта статья, поделитесь ею со своими друзьями на Facebook:

комментариев

комментариев

Квадратные уравнения

0;i—)CW_I[i]=CW_I[i-1]; CW_I[0]=CW_I[C_HalfNo]; CW_I[0].src=Car_Image_Sources[C_CrImg]; CW_I[0].lnk=Car_Image_Sources[C_CrImg+1]} C_Angle=Car_Direction?Math.PI/C_HalfNo:0;C_CrImg+=2}} setTimeout(«CarImages()», 50)} функция C_LdLnk () {if (this.lnk) window.location.href = this.lnk} функция C_Stp(){this.style.cursor=this.lnk?»pointer»:»по умолчанию»;C_Stppd=true;} функция C_Rstrt(){C_Stppd=false}

3 — Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы

Решения квадратного уравнения можно найти прямо из квадратичная формула.

Уравнение

ось 2 + ось + с = 0

имеет решения

Преимущество использования формулы в том, что она работает всегда. Недостаток заключается в том, что это может занять больше времени, чем некоторые из предыдущих методов обсуждалось. Как правило, вы должны посмотреть на квадратное число и посмотреть, может ли оно решить путем извлечения квадратных корней; если нет, то если его можно легко разложить на множители; и, наконец, используйте квадратичную формулу, если нет более простого способа.

  • Обратите внимание на знак плюс-минус ± в формуле. Вот как вы получаете два разных решения — одно с использованием плюса знак, а один с минусом.

  • Перед чтением a , b и c убедитесь , что уравнение записано в стандартной форме .

  • Самое главное, убедитесь, что квадратное выражение равно нулю.

Дискриминант

Формула требует, чтобы вы взяли квадратный корень из выражения b 2 — 4 ac , который называется дискриминантом , потому что он определяет характер растворов. Например, вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательное число, значит, если дискриминант отрицательный, то нет решения.

Если б 2   — 4 ак  > 0

Есть два различных действительных корня

Если б 2   — 4 ак  = 0

Существует один настоящий корень

Если б 2   — 4 ак  < 0

Настоящих корней нет

Вывод квадратичной формулы

Квадратную формулу можно вывести, используя метод завершения квадрат по общей квадратичной формуле:

Дано:

Разделить на a :

Переместить постоянный член вправо сторона:

Сложите квадрат половины коэффициент x в обе стороны:

Фактор левой стороны (которая теперь идеальный квадрат) и переставьте правую часть:

Получить правую сторону над общим знаменатель:

Извлеките квадратный корень из обеих частей (не забывая использовать плюс или минус):

Решить для x :


Примеры квадратичных формул

Квадратичный Формула # Случай I — Два действительных различных корня # Случай II — Один действительный корень # Случай III — Два комплексно-сопряженных корня #

Квадратичная формула

Часть формулы под радикалом называется дискриминантом , и определяет, какой из трех случаев находится в стадии рассмотрения.

Случай I — два реальных, отдельные корни

В данном случае у нас есть

Итак, есть два разных корня, оба действительные числа.

Пример

Найдите корни (решите x):

Раствор

Подставьте числа в квадратную формулу

В качестве проверки вставьте эти решения в общую форму (круглые скобки или ФОЛЬГА)

Умножение последнего выражения на 2 дает приведенное выше квадратное выражение.

Пример

Найдите корни (решите x):

Раствор

Подставьте квадратную формулу

Таким образом, два корня равны

.

Проведите проверку ФОЛЬГОЙ, чтобы убедиться, что они верны

Это хороший расчет, который нужно тщательно выполнить, так как он содержит много возможности для ошибок. Помогает придерживаться метода FOIL, равно как и правильное использование круглые скобки и скобки. Преподаватели любят ставить подобные задачи на экзаменах, поскольку они действительно проверяют организаторские способности студентов и внимание к деталям.

Случай II — один реальный корень

Это тот случай, когда дискриминант равен нулю

… и поэтому выражение под корнем исчезает, не оставляя ничего после +/-.Это соответствует графу, имеющему только вершину, касающуюся оси x, поэтому существует ровно один действительный корень.

Пример

Найдите корни (решите x):

Раствор

Подставить в квадратное уравнение:

Теперь проверь:

…при делении на 2.Обратите внимание, что очень трудно увидеть, что это уравнение является идеальный квадрат по осмотру.

Пример

Найти корни (найти x)

Раствор

Подставить в квадратную формулу:

В качестве проверки умножьте квадрат:

Дело III — Два комплексно-сопряженные корни

Здесь уместно несколько коротких замечаний о комплексных числах.Как мы видели на Quadratic Сечение теории , некоторые квадратичные числа вообще не пересекают ось абсцисс. Например, квадратичный

Число

никогда не приближается к оси X ближе, чем к 1, поэтому у него вообще нет настоящих нулей. Однако, если мы все равно попробуй решить,

Символ ‘ i’ является аббревиатурой квадратного корня минус один , и называется воображаемой единицей .Любое число, включающее этот символ, является комплексом . номер (ненастоящий номер). В настоящее время единственное, что нас волнует, это то, что я 2 = -1. Общий комплексный номер обычно пишется

.

, где a и b — действительные числа (действительная часть и мнимая часть соответственно). Каждый комплексное число имеет комплексное сопряжение

, где знак мнимой части меняется на противоположный.Комплексно-сопряженные пары чисел интересны тем, что их товары всегда настоящие:

 

На самом деле, если a или b отличны от нуля, это произведение положительно.

Пример

Найти x

Раствор

Подключитесь к ФОЛЬГЕ для проверки

Обратите внимание, что мы использовали результаты произведения комплексных конъюгатов, чтобы упростить произведение корней.

Пример

Найти x

Раствор

Подставьте квадратную формулу

А затем сделайте ФОЛЬГУ для проверки


4 — Определите самый простой метод решения квадратного уравнения



5 — Решение формул для указанных переменных


6 — Определение и использование дискриминанта



7 — Напишите рациональные уравнения в квадратичной форме и решите уравнения




Определения

Полиномиальная функция от одной переменной степени n
Функция с одной переменной, возведенной в целые степени (наибольшая из них равна n) и с реальными коэффициентами.
Стандартная форма: f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 9 x + 0 , а н ≠0
Постоянная функция
Полиномиальная функция от одной переменной степени 0.
Полиномиальная форма: f(x)=a 0
Стандартная форма: f(x) = c
Линейная функция
Полиномиальная функция от одной переменной степени 1.
Полиномиальная форма: f(x)= a 1 x + a 0
Стандартная форма: f(x) = ax + b
Квадратичная функция
Полиномиальная функция от одной переменной степени 2.
Полиномиальная форма: f(x)= a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Стандартная форма 1: f(x) = ax 2 + bx + c
Стандартная форма 2: f(x) = a (x-h) 2 + k
Кубическая функция
Полиномиальная функция от одной переменной степени 3.
Полиномиальная форма: f(x)= a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Четвертая функция
Полиномиальная функция от одной переменной степени 4.
Полиномиальная форма: f(x)= а 4 х 4 + а 3 х 3 + а 2 х 2 + а 1 0 6 3 9 9039 х 8
Для степеней выше 4 они обычно просто обозначаются их степенью — пример «A 5 -й полином -й степени»
Парабола
График квадратичной функции
Ось симметрии (для параболы)
Линия симметрии, проходящая через центр параболы
Вершина
Пересечение оси симметрии и параболы.это будет минимум точка на графике, если а>0, и максимальная точка на графике, если а<0.

Новая «стандартная форма»

Старая стандартная форма параболы была записанный как любой другой многочлен, f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0,

Мы собираемся заполнить квадрат и поместить его в форму, где переводы легко интерпретируются. На этот раз вместо деления на а давайте фактор a из x-терминов вместо.

f(x) = a [ x 2 + (b/a) x + ? ] + с

Возьмите половину x-коэффициента и поместите его на следующей строке.

f(x) = a [x + (b/2a)] 2 + ?

Здесь нужно быть осторожным. Когда вы добавляете b 2 /(4a 2 ), вы действительно умножаете это по тому, что вы вынесли за скобки, так что на самом деле это просто a b 2 /(4a). Этот раз, вместо того, чтобы добавлять его к обеим частям уравнения, добавьте его и вычтите на ту же сторону уравнения.

f(x) = a [ x 2 + (b/a) x + b 2 /(4a 2 ) ] + c — b 2 /(4a)

f(x) = a [x + (b/2a)] 2 + (4ac — b 2 )/(4a)

С парой замен это может быть написано в новой стандартной форме.

f(x) = a (x — h) 2 + k

, где h = -b/(2a) и k = (4ac — b 2 ) / (4a)

Не беспокойтесь о том, что такое k, но вы можете хотите запомнить значение для h.

Координата x вершины равна -b/(2a). Координата Y — это то, что вы получаете, когда вы подключаете -b/(2a) обратно к исходной функции для x.

Здесь задействованы три перевода.

  • Координаты y были умножены на a . Это тот самый и , что был в оригинале. проблема. Если a>0, то парабола раскрывается и вершина находится внизу. Если а<0, то парабола направлена ​​вниз и вершина находится наверху.
  • Произошел сдвиг по горизонтали. Вместо x-координаты вершины, находящейся в x=0, это теперь при x=h, где h=-b/(2a). Так как ось симметрии проходит через вершину, то означает, что ось симметрии теперь x=-b/(2a).
  • Произошел вертикальный сдвиг. Координата y вершины теперь равна y=k. это не стоит пора запомнить формулу вертикального сдвига. Это не так сложно, это — раз дискриминант квадратичного, но проще найти координату x и снова подключить ее к уравнение для нахождения координаты y.

Если коэффициенты не очень неприятные (т. е. десятичные дроби), вам может показаться, что быстрее заполнить квадрат, чтобы найти вершину, чем позволить x=-b/(2a), а затем найти координату y.

Но обратите внимание, что вершина теперь находится в (h,k) вместо (0,0).

Экстремумы — максимум и минимум

Абсолютный минимум
Если a>0, то парабола развернется и вершина будет самой низкой точкой на график.Так как он ниже всех остальных точек, а не только окружающих это, это абсолют минимум вместо относительного минимума. Так как координаты вершины (ч, к), «абсолютный минимум функции равен k, когда x = h».
Абсолютный максимум
Если a<0, то парабола развернется вниз и вершина будет высшей точкой на графике. Так как она выше всех остальных точек, а не только тех вокруг него, это абсолютный максимум вместо относительного максимума.Так как координаты вершины (ч, к), «абсолютный максимум функции равен k, когда x = h».

Обратите внимание, что правильный формат ответа на минимальный или максимальный вопрос должен дать минимальное или максимальное значение (координата y) и , где оно встречается (координата x).


Содержание: Заметки по алгебре для колледжей


Веб-сайт Russ Frith

Видео-вопрос: использование знака дискриминанта для определения количества пересечений квадратным числом оси 𝒙

Стенограмма видео

Найдите дискриминант квадратного уравнения два 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре равно нулю.Сколько действительных корней имеет уравнение два 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре равно нулю? Следовательно, решите, сколько раз график 𝑦, равный двум 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре, пересечет ось 𝑥.

Начнем с того, что напомним себе, что значит найти дискриминант квадратного уравнения. Предположим, нам дано квадратное уравнение вида 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю, где 𝑎 не равно нулю. Дискриминант, который мы определяем с помощью символа Δ, является частью квадратной формулы, которая находится внутри квадратного корня.Это 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐. И дискриминант действительно полезен, как мы сейчас увидим, поскольку он сообщает нам количество действительных корней нашего уравнения.

Прежде чем мы перейдем к этому, давайте просто определим дискриминант уравнения два 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре равно нулю. 𝑎 — это коэффициент 𝑥 в квадрате, значит, это два. Значение 𝑏 является коэффициентом 𝑥, поэтому оно равно трем. А 𝑐 — постоянный член; это четыре. Это означает, что дискриминант равен три в квадрате минус четыре раза два раза четыре.Три в квадрате равно девяти, а четыре раза два умножить на четыре равно 32. Таким образом, наш дискриминант равен девяти минус 32, что равно отрицательному числу 23. Таким образом, дискриминант нашего уравнения равен отрицательному числу 23.

В следующей части этого вопроса нам предлагается найти число действительных корней нашего квадратного числа. Когда мы говорим о корнях, мы говорим о количестве решений нашего уравнения. И дискриминант может сказать нам, сколько у нас корней. Если мы подумаем о подстановке наших значений в квадратную формулу, если дискриминант, часть внутри квадратного корня, положителен, мы знаем, что получаем квадратный корень из положительного числа, которое является действительным числом.Итак, когда дискриминант положительный, когда он больше нуля, мы получаем два действительных корня. Получаем два решения нашего уравнения.

Если же дискриминант равен нулю, мы берем квадратный корень из нуля, который равен нулю. Это означает, что мы получаем отрицательное 𝑏, деленное на два 𝑎, как единственное реальное решение нашего уравнения. Итак, если дискриминант равен нулю, мы получаем один действительный корень. Однако если дискриминант отрицателен, мы извлекаем квадратный корень из отрицательного числа, которое не является действительным числом.Итак, если дискриминант отрицателен, мы не получаем действительных корней. Теперь, конечно, наш дискриминант отрицательный 23, что меньше нуля. Поскольку наш дискриминант отрицателен, у уравнения два 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре равно нулю. Так что ответ на вторую часть этого вопроса нулевой.

Наконец, давайте воспользуемся этой информацией, чтобы определить, сколько раз график 𝑦 равен двум 𝑥 в квадрате плюс трем 𝑥 плюс четырем пересекает ось 𝑥. И мы можем использовать график общей квадратичной функции, где коэффициент при квадрате 𝑥 положителен, чтобы установить, что здесь происходит.Ось 𝑥 может быть эквивалентно выражена как линия 𝑦 равна нулю. Это означает, что если мы установим квадратичную функцию равной нулю, а затем решим для 𝑥, мы найдем местоположения 𝑥-перехватов. Выясняем, где график функции пересекает прямую 𝑦 равно нулю.

Это, в свою очередь, означает, что количество действительных корней, которые у нас есть, эквивалентно говорит нам о том, сколько раз наш график проходит через ось 𝑥. Поскольку мы определили, что уравнение два 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре равно нулю, не имеет действительных корней, мы можем эквивалентно сказать, что график 𝑦 равен двум 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥 плюс четыре вообще не пересекает 𝑥-ось. Он пересекает его ноль раз. Поскольку коэффициент при квадрате 𝑥 положительный, это может выглядеть примерно так. Каждый выход этой функции положителен.

Что такое квадратичная формула?

Почти каждый школьник сталкивается с квадратной формулой в математике, и это популярный способ вычислить корни квадратного уравнения.

В реальной жизни квадратичная формула помогает нам определить площадь пространства, скорость движущегося объекта, величину прибыли, полученной от продукта, и многое другое.Даже траектория космической ракеты описывается квадратным уравнением. Таким образом, квадратичная формула имеет большое значение не только в математике, но и в реальном мире.

Что такое квадратичная формула?

Часто сложно разложить на множители некоторые конкретные типы квадратных уравнений; однако корни (также называемые точками пересечения или нулями) таких уравнений можно легко вычислить с помощью квадратичной формулы. Квадратичная функция графически представлена ​​​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни.

Квадратное уравнение обычно имеет вид:

ax 2 +bx+c = 0

, и решить уравнение, заполнив квадрат. Когда мы делаем это, мы приходим к квадратной формуле, которая задается как:

 x = [-b ± √(b² — 4ac)] /2a

Решая приведенное выше уравнение, значение x (корень) определяется, а сумма корней и произведение корней уравнения также могут быть выведены далее.

Член b 2 −4 ac называется дискриминантом. Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если:

B 2 -4 AC <0 Нет реальных корней

B 2 -4 AC = 0 Есть один реальный корня

B 2  −4 ac  > 0 Существует два действительных корня

На графике для любой параболы, которая описывается как y =   ax 2 +bx+c , (корнями являются точки или значений), где парабола пересекает ось x.

  • Дискриминант в формуле квадрата

Природа корней, полученных из формулы квадрата, определяется дискриминантом (D), который задается как:

D = b 2 -7

Когда значение D равно нулю, говорят, что корни действительны и равны. Если значение D положительное, полученные корни вещественные и неравные, а когда D отрицательное, то корни являются комплексно-сопряженными, поэтому действительных корней нет.

Факторизация и завершение метода квадратов — два других способа решения квадратного уравнения.Однако квадратичная формула считается более эффективной, поскольку она применима ко всем уравнениям и действует как единственная формула, которая может вычислять корни любого квадратного уравнения. Кроме того, по сравнению с двумя другими методами проще объяснить природу корней с помощью квадратичной формулы, исходя из значения D.  

  • Типы квадратного уравнения Различные формы:

    Стандартная форма: Y = AX 2 + BX + C

    Форма факторов: Y = (AX + C) (Bx + D)

    Вершина: Y = a(x + b) 2  + c  

    Вы можете преобразовать квадратное уравнение из одной формы в другую в зависимости от ваших требований. Например, если вам нужно найти нули стандартного квадратного уравнения, вы можете сначала преобразовать его в факторизованную форму.

    Кто изобрел квадратную формулу?

    История квадратной формулы восходит к древним египтянам. Теория состоит в том, что египтяне знали, как вычислить площадь различных форм, но не знали, как вычислить длину сторон данной формы, например. размер стены, необходимый для создания данного плана этажа.

    Чтобы решить практическую задачу, примерно к 1500 г. до н.э. египетские математики создали таблицу площадей и длин сторон различных фигур.Эту таблицу можно использовать, например, для определения размера сеновала, необходимого для хранения определенного количества сена.

    Хотя этот метод работал нормально, это не было универсальным решением. Следующий подход мог исходить от вавилонян, у которых было преимущество перед египтянами в том, что их система счисления была больше похожа на ту, которую мы используем сегодня (хотя она была шестидесятеричной или с основанием 60). Это упростило сложение и умножение. Считается, что примерно к 400 г. до н.э. вавилоняне разработали метод заполнения квадрата для решения общих задач, связанных с площадями.Аналогичный метод появляется и в китайских документах примерно в то же время.

    Метод полного квадрата позволил вавилонянам и китайцам перепроверить значения площади, рассчитанные ими для разных целей.

    Первые попытки найти более общую формулу для решения квадратных уравнений, возможно, были предприняты греческими философами Пифагором (ок. 500 г. до н.э.) и Евклидом (ок. 300 г. до н.э.), которые оба использовали геометрический подход к выводу общей процедуры для решение квадратного уравнения.

    Пифагор заметил, что значение квадратного корня не всегда является целым числом. Однако он отказывался допускать нерациональные пропорции. Евклид в своем математическом трактате Элементы, предположил, что возможны и иррациональные квадратные корни.

    Однако из-за того, что древние греки не использовали ту систему счисления, которую мы используем сейчас, было невозможно вычислить квадратный корень вручную, в чем очень нуждались архитекторы и инженеры.

    Именно индийский математик Брахмагупта нашел решение квадратного уравнения в своем трактате 628 г. н.э.

    Индийская математика использовала десятичную систему. У нее также было еще одно преимущество перед системой, использовавшейся древними египтянами и греками — ноль. Ноль позволил математикам не только теоретизировать об иррациональных числах, но и использовать их в уравнениях.

    Брахмагупта понял, что решение квадратного уравнения имеет два корня, и описал формулу квадратного уравнения так: «К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] средний член; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением.«Это можно записать как:

    x = [ √ (4ac + B 2 ) — B ] — B ] / 2A

    Это был также один из первых работ для описания конкретные способы использования нуля. В последующие годы индийский астроном Бхаскара математически подтвердил возможность того, что любое положительное число имеет два квадратных корня.

    Около 820 г. н.э. используемый в индийской математике, разработал то, что мы теперь знаем как алгебру.Он решил квадратное уравнение, используя алгебраические выражения (хотя и отвергал отрицательные решения), и его часто называют отцом алгебры. Его работа попала в Европу примерно к 1100 году нашей эры, где была переведена на латынь.

    К 1545 году итальянский ученый Джероламо Кардано собрал работы, связанные с квадратными уравнениями, включая решение Аль-Хорезми и евклидову геометрию. В своих работах он допускает существование корней отрицательных чисел.

    Фламандский инженер и физик Саймон Стевин дал общее решение квадратного уравнения для всех случаев в своей книге Арифметика в 1594 году.Позже французский ученый Рене Декарт опубликовал частные случаи квадратичной формулы в своей работе 1637 года La Géométrie , в которой также использовались математические обозначения и символы, разработанные математиком Франсуа Виете. Работа Декарта включала квадратичную формулу в той форме, которую мы знаем сегодня.

    Квадратное уравнение в реальной жизни

    Квадратное уравнение появилось из-за простой необходимости удобного нахождения площади квадратных и прямоугольных тел, но с момента своего появления это популярное математическое уравнение прошло долгий путь доказать свою значимость в реальном мире.

    • Спортивные аналитики и сборщики команд используют различные квадратные уравнения для анализа результатов спортсменов за определенный период времени. Кроме того, в спортивных соревнованиях, таких как метание копья и баскетбол, используются квадратичные формулы для определения точной дистанции, скорости или времени, необходимых для получения большего количества очков.
    • Военные и правоохранительные органы используют квадратичные формулы для расчета скорости ракет, движущихся транспортных средств и самолетов. Координаты посадки самолетов, танков и реактивных самолетов также определяются по формулам из квадратных уравнений.
    • Автомобильные детали, такие как тормоза и криволинейные элементы, рассчитываются на основе квадратичной формулы. Пенсионные планы, модели страхования, производительность труда сотрудников; все эти параметры рассчитываются с помощью квадратных уравнений. Кроме того, по формуле квадрата измеряются границы сельскохозяйственных угодий и площади полей с наибольшей урожайностью.
    • Строительство памятников, офисов, квартир, дорог, мостов и т. д. требует сложных расчетов и измерений площади, поэтому все эти математические сложности решаются с помощью различных квадратных формул.
    • Углы, под которыми устанавливается спутниковая антенна для приема сигналов, также определяются с помощью квадратных уравнений. Кроме того, чтобы выяснить, как тарелка принимает сигналы от нескольких спутников одновременно, принимается во внимание квадратное уравнение.

    Квадратичная формула является одним из фундаментальных принципов современной математики.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск