Формула найти площадь: Как найти площадь фигуры, формула

Содержание

Как найти площадь если известны три стороны. Как вычислить площадь треугольника

Некоторые из задач по геометрии, а если точнее, то по планиметрии, требуют нахождения площади какой-то заданной фигуры. Площадь любой фигуры может быть как конечной целью задачи, так и промежуточным вычислением, необходимым для подстановки в более сложную формулу. Часто в таких задачах просят найти площадь треугольника. Начальные данные могут быть разными. В одних случаях известна какая-то сторона треугольника и значение высоты, проведенной к ней, в других — периметр треугольника и так далее.

Допустим, задано найти площадь треугольника, если известно три стороны. Для нахождения площади такого треугольника используется формула Герона. Чтобы определить площадь по этой формуле требуется сначала вычислить полупериметр треугольника (п) . Зная значения всех трех сторон, сделать это элементарно. Нужно суммировать все стороны треугольника — это будет его периметр, а затем разделить полученное значение на два.

После этого надо от значения полупериметра вычесть по очереди значения длины каждой из трех заданных сторон треугольника, то есть из п вычесть а, потом из п вычесть b и, наконец, из п вычесть с.

Полученные три разности следует перемножить между собой и это произведение снова умножить на значение полупериметра. Проведя все перечисленные действия и получив результат умножения, надо из этого результата извлечь квадратный корень. То число, которое получится после извлечения квадратного корня, и будет площадью заданного треугольника. Если записать вкратце, то формула площади треугольника будет такая: площадь (S) =корень кв-ный из (п*(п-а) *(п-b) *(п-с)) . Как можно понять из формулы, решается вопрос нахождения треугольника с известными значениями сторон очень легко.

Например, как найти площадь треугольника, если известны 3 стороны: сторона а равняется 3 сантиметрам, сторона b равняется 4 сантиметрам и сторона с равняется 2 сантиметрам. Периметр этого треугольника будет равен а + b + с = 3 сантиметра + 4 сантиметра + 2 сантиметра = 9 см.

2*корень(3)) /4=3,9 квадратных сантиметров. Чтобы проверить, правильно или нет вычислено значение площади конкретного треугольника, можно провести дополнительные расчеты по ф-ле Герона и сверить полученные результаты.

Полупериметр (п) =(3+3+3) /2=4,5 сантиметра. По формуле Герона находится: S=корень кв-ный из (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра — 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра — 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра — 3 сантиметра)) = 3,9 квадратных сантиметров. Оба значения площади, найденные по разным формулам, совпадают. Значит площадь треугольника определена правильно. Решая какие-нибудь другие задачи, следует учитывать данные в условии и использовать соответствующую этим данным формулу.

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика.

В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота — то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые



Внимательно посмотрите на формулы — их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника



Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок — частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника.

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны н а, н в, н с.

1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * н а. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р — а) * (р — в) * (р — с)).

3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с — а) * (а + с — в) * (а + в — с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.

Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника

Обозначения, которые требуются для прочтения формул: α, β, γ — углы. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно.

1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ. Подобным образом следует записать формулы для двух других случаев.

2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Две последние формулы являются не самыми простыми. Запомнить их довольно сложно.

Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей

Дополнительные обозначения: r, R — радиусы. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной.

1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с).

2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности. В буквенном выражении это выглядит так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частный случай: прямоугольный треугольник

Это самая простая ситуация, поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника.

Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.

Частный случай: равнобедренный треугольник

Поскольку у него две стороны равные, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a — ½ в)).

Если ее преобразовать, то она станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так:

S = ¼ в √(4 * a 2 — b 2).

Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a 2 * sin β.

Частный случай: равносторонний треугольник

Обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом:

S = (а 2 √3) / 4.

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.

Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.

Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Пример задачи на формулу Герона

Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.

Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).

Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.

Ответ. S = 2 √14 см 2 или 7,48 см 2 .

Пример задачи с прямоугольным треугольником

Условие. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см 2 .
Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче.
180 = ½ а * в;

а = в + 31.
Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в 2 + 31 в — 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и — 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной.

Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины.

Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.

Задача на нахождение стороны через площадь, сторону и угол треугольника

Условие. Площадь некоторого треугольника 60 см 2 . Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.

Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так:

60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5.

После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16.

Ответ. Искомая сторона равна 16 см.

Задача о квадрате, вписанном в прямоугольный треугольник

Условие. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми.

Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника.

18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см 2 .

Ответ. Искомая площадь равна 1176 см 2 .

Школьная программа предусматривает обучение детей геометрии с раннего возраста. Одно из самых базовых знаний этой области — это нахождение площади различных фигур. В этой статье мы постараемся привести все возможные способы получения этой величины, от простейших до самых сложных.

Основа

Первая формула, которую изучают дети в школе, предусматривает нахождение площади треугольника через длину его высоты и основания. Высота — это отрезок, проведённый из вершины треугольника под прямым углом к противолежащей стороне, которая будет являться основанием. Как найти площадь треугольника по этим величинам?

Если V — высота, а O — основание, тогда площадь S=V*O:2.

Другой вариант получения искомой величины требует от нас знания длин двух сторон, а также величины угла между ними. Если у нас L и M — длины сторон, а Q — угол между ними, тогда вы можете получить площадь по формуле S=(L*M*sin(Q))/2.

Формула Герона

Кроме всех прочих ответов на вопрос о том, как вычислить площадь треугольника, есть формула, позволяющая получить необходимое нам значение, зная исключительно длины сторон. То есть, если нам известны длины всех сторон, то нам нет необходимости проводить высоту и вычислять её длину. Мы можем воспользоваться, так называемой формулой Герона.

Если M, N, L — это длины сторон, тогда мы можем найти площадь треугольника, следующим образом. P=(M+N+L)/2, тогда необходимая нам величина S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). В итоге, нам останется только вычислить корень.

Для прямоугольного треугольника формула Герона немного упрощается. Если M, L -это катеты, тогда S=(P-M)*(P-L).

Окружности

Другой способ, с помощью которого можно найти площадь треугольника, предусматривает использование вписанных и описанных окружностей. Чтобы получить необходимую нам величину с помощью вписанной окружности, нам потребуется узнать её радиус. Обозначим его «r». Тогда формула, по которой мы будем проводить вычисления, примет следующий вид: S=r*P, где P — это половина от суммы длин всех сторон.

В прямоугольном треугольнике эта формула немного преобразуется. Конечно, вы можете использовать и указанную выше, однако лучше взять для вычислений другое выражение. S=E*W, где E и W — это длины отрезков, на которые делится гипотенуза, точкой касания окружности.

Говоря об описанной окружности, найти площадь треугольника, также не составит труда. Введя обозначение R, как радиус описанной окружности, можно получить следующую формулу, необходимую для вычисления искомой величины: S= (M*N*L):(4*R). Где три первые величины — это стороны треугольника.

Говоря о равностороннем треугольнике, за счет ряда простейших математических преобразований можно получить немого изменённые формулы:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Во всяком случае, любая формула, позволяющая найти площадь треугольника, может быть изменена в соответствии с данными поставленной задачи. Так что все написанные выражения не являются абсолютами. При решении задач поразмышляйте, чтобы найти наиболее подходящий способ решения.

Координаты

При изучении координатных осей задачи, стоящие перед учениками, усложняются. Однако не настолько, чтобы впадать в панику. Для того чтобы найти площадь треугольника по координатам вершин, вы можете воспользоваться всё той же, но немного изменённой формулой Герона. Для координат она приобретает следующий вид:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Впрочем, никто не запрещает, используя координаты, вычислить длины сторон треугольника и затем, по формулам, которые были написаны выше, посчитать площадь. Для преобразования координат в длину пользуйтесь следующей формулой:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Примечания

В статье использовались стандартные обозначения величин, которые применяются в условиях большинства задач. При этом степень «1/2» означает, что вам необходимо извлечь корень из всего выражения под скобками.

При выборе формулы будьте внимательнее. Некоторые из них теряют свою актуальность в зависимости от начальных условий. Например, формула описанной окружности. Она способна высчитать вам результат в любом случае, однако может быть такая ситуация, когда треугольника с заданными параметрами может вообще не существовать.

Если вы сидите дома и делаете домашнее задание, тогда можете воспользоваться онлайн-калькулятором. Многие сайты предоставляют возможность вычисления различных величин по заданным параметрам, причем не суть важно, каким именно. Вы просто можете вписать начальные данные в поля, и компьютер (сайт) посчитает за вас результат. Таким образом, вы сможете избежать ошибок, допущенных по невнимательности.

Надеемся наша статья ответила все ваши вопросы касательно вычисления площади самых разных треугольников, и вам не придётся искать допонительную информацию в другом месте. Удачи с учебой!

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Площадь прямоугольника — как ее найти по основной формуле, а также через диагональ и периметр

Обновлено 22 июля 2021 Просмотров: 21 454 Автор: Дмитрий Петров
  1. Что такое площадь
  2. Как найти площадь прямоугольника
  3. Формула площади через периметр
  4. Площадь прямоугольника через диагональ

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo. ru.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны.

Прямоугольник является параллелограммом (что это такое?) и выглядит вот так:

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Площадь любой геометрической фигуры, формально говоря, это ее размер. Другими словами, размер того пространства, которое находится внутри границ фигуры.

В отношении четырехугольников применимо еще понятие «квадратура». С его помощью показывали, сколько квадратов вместится внутрь фигуры.

Собственно, отсюда и пошло современное обозначение площадей, когда речь идет о габаритах помещения или какой-то территории. Мы часто слышим «столько-то квадратных метров (миллиметров, сантиметров, километров)» или просто «столько-то квадратов».

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

  1. Она не может быть отрицательной.
  2. У равных фигур всегда равные площади.
  3. Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
  4. Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют «равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Площадь геометрической фигуры обычно обозначается латинской буквой «S». И тогда формула для конкретного примера будет:

Например, если мы имеем прямоугольник со сторонами 2 и 3 сантиметра, то его площадь составит 2 * 3 = 6 сантиметров.

Но бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон прямоугольника, а площадь вычислить все равно надо. Для этого существуют более сложные формулы.

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

  1. Первый — вычислить длину второй стороны. Для этого надо вспомнить, что периметр (обозначается буквой «Р») считается по формуле:

    И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

    Ну а после того, как станет известна длина второй стороны прямоугольника, можно прибегнуть к классической формуле.
  2. Ну и второй вариант – воспользоваться сразу готовой формулой:

Площадь прямоугольника через диагональ

  1. Известна одна сторона и длина диагонали.

    Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

    Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:

  2. Если известны длина диагоналей и угол между ними.

    В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Площадь треугольника. Площадь треугольника формулы. 6 формул площади треугольника.

В этой статье  собраны наиболее популярные формулы для нахождения площади треугольника.
Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно  вычислить площадь треугольника.

 

\(S=\frac{1}{2}a*h\)


Формула Герона помогает вычислить площадь треугольника по трем сторонам треугольника:

 

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

 

где \(a,b,c\) – стороны треугольника,  \(p=\frac{a+b+c}{2}\)  – его полупериметр.

Площадь треугольника можно вычислить, если известно три стороны и описанная окружность:

\(S=\frac{a*b*c}{4R}\)

Площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:

 

\(S=pr\)

 

где r — радиус вписанной окружности,   \(p=\frac{a+b+c}{2}\)– его полупериметр.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Казанский инженерно- строительный институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 6-9 классов. Готовлю к ОГЭ. Очень интересно и доступно помогу разобраться в изучаемой теме, выполнить домашнюю работу! Математика, это пожалуй одна из самых интересных и захватывающих дисциплин. И если ты полюбишь её и сумеешь понимать, тебе доступны очень многие дисциплины! Мы вместе будем проходить с тобой этот путь и верю, что тебе всё по силам! Наши уроки будут очень полезными, потому что мы сумеем разобраться в сложных темах, научимся решать задачи и полюбим математику.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Таразский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Математика — отличная гимнастика для ума, она тренирует мозги, и помогает решать не только абстрактные задачи, но и вполне жизненные. Если ребёнок увлекается математикой, любит думать, рассуждать, формулировать свои мысли, то это может пригодиться в любой профессии. Приёмы подачи материала и содержание заданий подбираются в зависимости от индивидуальных особенностей ученика в каждом конкретном случае. В соответствии с ними составляется не только план на ближайший урок, но и общая стратегия моих действий.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Я люблю математику за её универсальность. Она превосходит языки, литературу, искусство. Математические законы непреложны, и при этом каждая задача несет в себе что-то новое. По-моему, это особый вид магии!

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту
$$S= \frac{1}{2} ah $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)    \(h =\)


Через две стороны и угол
$$S= \frac{1}{2} ab sin \alpha $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)


Формула Герона
$$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(c =\)


Через радиус вписанной окружности
$$S= rp $$ \(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(r =\)    \(p =\)


Через радиус описанной окружности
\(S= \frac{abc}{4R} \)

\(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(a =\)   \(b =\)

\(c =\)   \(R =\)


Площадь прямоугольного треугольника
$$S= \frac{1}{2} ab $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(a =\)    \(b =\)


Площадь прямоугольного треугольника
$$S= de $$ \(S\) — площадь треугольника

\(d =\)    \(e =\)


Формула Герона для прямоугольного треугольника
$$ S= (p-a)(p-b) $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(p =\)


Площадь равнобедренного треугольника
$$S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha$$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

\(a =\)    \( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника
$$S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(b =\)    \(\alpha =\)


Формула Герона для равнобедренного треугольника
a =    b =
Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(a =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4}$$ \(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(R =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= 3 \sqrt{3}r^2 $$ \(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(r =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ \(S\) — площадь треугольника

\(h\) — высота

\(h =\)

Площадь треугольника

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание. Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы: 

  

Формулы площади треугольника

   

Пояснения к формулам:
a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r — радиус вписанной в треугольник окружности
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности
h — высота треугольника, опущенная на сторону
p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α — угол, противолежащий стороне a треугольника
β — угол, противолежащий стороне b треугольника
γ — угол, противолежащий стороне c треугольника
hahb, h— высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

  • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
  • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
  • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
  • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
  • Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
  • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
  • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
  • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
  • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два. 
S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 32

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4. 

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) 
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 — общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — на третьей строке рисунка
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S2 / S = 16
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения — в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

 Сумма углов треугольника | Описание курса | Медиана треугольника 

   

7 способов найти площадь прямоугольника

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • d — любая диагональ прямоугольника;
  • α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • R — радиус описанной окружности;
  • α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Читайте также 🎓❓📐

Математика – 5 класс.

Площадь геометрической фигуры

Дата публикации: .

Определение и понятие площади фигуры


Чтобы лучше понять, что такое площадь фигуры, рассмотрим рисунок.
Эта произвольная фигура разбита на 12 маленьких квадратика. Сторона каждого квадратика равна 1 см. А площадь каждого квадратика равна 1 квадратному сантиметру, что записывается так: 1 см2.

Тогда площадь фигуры равна 12 квадратным сантиметрам. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Значит, площадь нашей фигуры равна: S фигуры= 12 см2.

Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратиков, из которых она состоит!

Ребята, запомните!
Площадь измеряется квадратными единицами длины. Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр – км2 (когда площади очень большие, например, страна или море).
2. Квадратный метр – м2 (вполне подходит для того, чтобы измерять площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр – см2 (обычно используется на уроках математики, когда рисуют фигуры в тетради).
4. Квадратный миллиметр – мм2.

Площадь треугольника


Рассмотрим два вида треугольников: прямоугольный и произвольный.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника необходимо знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высоту заменяет одна из сторон. Поэтому в формулу площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон. В нашем примере стороны равны 7 см и 4 см. Формула для расчета площади треугольника записывается так:
S прямоугольного треугольника АВС = ВС * СА : 2

Подставим в формулу наши данные и получим:
S прямоугольного треугольника АВС = 7 см * 4 см : 2 = 14 см2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник.
Для такого треугольника необходимо провести высоту к основанию.
В нашем примере высота равна 6 см, а основание равно 8 см. Как и в предыдущем примере, рассчитываем площадь по формуле:
S произвольного треугольника АВС = ВС * h : 2.

Подставим в формулу наши данные и получим:
S произвольного треугольника АВС = 8 см * 6 см : 2 = 24 см2.

Площадь прямоугольника и квадрата


Возьмем прямоугольник АВСD со сторонами 5 см и 8 см. Формула расчета площади прямоугольника записывается так:
Sпрямоугольника АВСD = АВ * ВС.

Подставим в формулу наши данные и получим:
S прямоугольника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см2.

Теперь рассчитаем площадь квадрата. В отличии от прямоугольника и треугольника, для нахождения площади квадрата необходимо знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см. Sквадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2.

Подставим в формулу наши данные и получим:
Sквадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см2.

Площадь прямоугольника — формула, определение, примеры

Площадь любой фигуры — это количество единичных квадратов, которые могут в нее поместиться. Здесь «единица» относится к единице (1), а единичный квадрат — это квадрат со стороной, равной 1 единице. Итак, площади прямоугольника — это количество единичных квадратов в пределах границы прямоугольника. В качестве альтернативы пространство, занимаемое в пределах периметра прямоугольника, называется площадью прямоугольника. Хорошим примером прямоугольной формы являются плитки единичной длины в вашем доме.Вы можете легко определить, сколько места занимает пол, посчитав количество плитки. Это также поможет вам определить площадь прямоугольного пола.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь можно определить как количество пространства, покрытого плоской поверхностью определенной формы. Она измеряется с точки зрения «количества» квадратных единиц (квадратные сантиметры, квадратные дюймы, квадратные футы и т. д.). Площадь прямоугольника — это количество единичных квадратов, которые могут вписаться в прямоугольник.Некоторыми примерами прямоугольных форм являются плоские поверхности мониторов ноутбуков, школьных досок, холста для рисования и т. д. Вы можете использовать формулу площади прямоугольника, чтобы найти пространство, занимаемое этими объектами. Например, давайте рассмотрим прямоугольник длиной 4 дюйма и шириной 3 дюйма.

Площадь прямоугольника Определение: Площадь, занимаемая прямоугольником внутри его границ, называется площадью прямоугольника.

Нарисуем единичные квадраты внутри прямоугольника.Каждый единичный квадрат представляет собой квадрат длиной 1 дюйм.

Теперь подсчитайте количество единичных квадратов на приведенном выше рисунке. Сколько квадратов вы можете наблюдать? Всего 12 квадратов. Мы уже знаем, что площадь измеряется в квадратных единицах. Поскольку единицей измерения этого прямоугольника являются «дюймы», площадь измеряется и записывается в квадратных дюймах. Таким образом, площадь вышеуказанного прямоугольника = 12 квадратных дюймов.

Площадь прямоугольника Формула

Формула площади прямоугольника используется для нахождения площади, занимаемой прямоугольником внутри его границ. В приведенном выше примере площадь прямоугольника, длина которого составляет 4 дюйма, а ширина — 3 дюйма, составляет 12 квадратных дюймов. У нас есть 4 × 3 = 12. Площадь прямоугольника получается путем умножения его длины и ширины. Таким образом, формула площади «A» прямоугольника, длина и ширина которого равны «l» и «w» соответственно, представляет собой произведение « l × w «.

Площадь прямоугольника = (длина × ширина) квадратных единиц

Как рассчитать площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Следуйте указанным ниже шагам, чтобы найти площадь прямоугольника:

  • Шаг 1: Обратите внимание на размеры длины и ширина из данных данных.
  • Шаг 2: Найти продукт длины и ширины значений.
  • Шаг 3: Дайте ответ в квадратных единицах.

Давайте возьмем пример, чтобы понять расчет площади прямоугольника. Найдем площадь прямоугольника, длина которого 15 единиц, а ширина 4 единицы.Чтобы найти площадь, сначала найдите длину и ширину.

Дано, длина = 15 единиц и ширина = 4 единицы.

Формула для нахождения площади прямоугольника: A = l × w. Подставьте 15 вместо «l» и 4 вместо «w» в этой формуле. Отсюда следует, что площадь прямоугольника = 15 × 4 = 60,

.

Следовательно, площадь прямоугольника = 60 квадратных единиц.

Площадь прямоугольника по диагонали

Диагональ прямоугольника — это прямая линия внутри прямоугольника, соединяющая его противоположные вершины.В прямоугольнике две диагонали и обе имеют одинаковую длину. Мы можем найти диагональ прямоугольника, используя теорему Пифагора.

(Диагональ) 2 = (Длина) 2 + (Ширина) 2

(Длина) 2 = (Диагональ) 2 — (Ширина) 2

Длина = ⎷(Диагональ) 2 — (Ширина) 2

Теперь формула для вычисления площади прямоугольника: Длина × Ширина. В качестве альтернативы мы можем записать эту формулу как ⎷((Диагональ) 2 — (Ширина) 2 ) × Ширина.

Итак, площадь прямоугольника = ширина (⎷(диагональ) 2 — (ширина) 2 ).

Почему площадь прямоугольника равна длине × ширине?

Вы когда-нибудь задумывались, почему формула для нахождения площади прямоугольника — это длина × ширина? Выведем формулу площади прямоугольника. В прямоугольнике ABCD проведем диагональ AC. Ясно, что диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника. Площадь прямоугольника равна сумме площадей этих двух треугольников.

Площадь прямоугольника ABCD = площадь треугольника ABC + площадь треугольника ADC

= 2 × площадь треугольника ABC

= 2 × (1/2 × основание × высота)

= АВ × ВС

= длина × ширина

Часто задаваемые вопросы о площади прямоугольника

Какова площадь прямоугольника в геометрии?

Площадь пространства, занимаемого периметром прямоугольника, называется площадью прямоугольника. Он вычисляется путем нахождения произведения длины и ширины прямоугольника.

Что такое периметр и площадь прямоугольника?

Периметр прямоугольника равен сумме его четырех сторон. Следовательно, периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина) единиц. Площадь прямоугольника определяется как произведение длины на ширину. Выражается в квадратных единицах.

Какая формула площади прямоугольника?

Площадь прямоугольника (А) равна произведению его длины «а» и ширины или ширины «b». Итак, площадь прямоугольника = (a × b) квадратных единиц.

Какова единица площади прямоугольника?

Единицей площади прямоугольника являются квадратные единицы. Например, если размеры прямоугольника 4 дюйма × 3 дюйма. Площадь прямоугольника 12 квадратных дюймов.

Почему мы вычисляем площадь прямоугольника?

Мы вычисляем площадь прямоугольника, чтобы найти площадь, занимаемую прямоугольником внутри его периметра.

Как мы можем найти площадь прямоугольника, используя его диагональ?

Мы можем найти диагональ прямоугольника, используя теорему Пифагора: (Диагональ) 2 = (Длина) 2 + (Ширина) 2 . Теперь формула для вычисления площади прямоугольника: Длина × Ширина. В качестве альтернативы мы можем записать эту формулу как (⎷(Диагональ) 2 — (Ширина) 2 ) × Ширина.

Площадь прямоугольника равна площади квадрата?

Нет, площадь квадрата не обязательно равна площади прямоугольника, потому что каждый квадрат является прямоугольником с одинаковой длиной и шириной, но не все прямоугольники квадратные. Формула для вычисления площади прямоугольника — длина × ширина, а площадь квадрата — (сторона) 2 .

Как найти площадь прямоугольника

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Площадь круга | Формула для радиуса, диаметра и длины окружности

Содержание

  1. Какова площадь круга?
  2. Как найти площадь круга
  • Как вычислить площадь круга
  • Площадь круга с использованием длины окружности
  • Какова площадь круга?

    Круг не является квадратом, но площадь круга (количество внутреннего пространства, ограниченного кругом) измеряется в квадратных единицах. Найти площадь квадрата просто: длину умножить на ширину.

    Круг, однако, имеет только диаметр , или расстояние в поперечнике. У него нет четко видимых длины и ширины, так как круг (по определению) — это множество всех точек, равноудаленных от данной точки в центре.

    Тем не менее, имея только диаметр или половину диаметра ( радиус ), или даже только окружность (расстояние вокруг), можно вычислить площадь любого круга.

    Как найти площадь круга

    Вспомним, что отношение между длиной окружности круга и его диаметром всегда одно и то же, 3.14159265, пи или π. Это число, π, умноженное на квадрат радиуса круга, дает площадь внутренней части круга в квадратных единицах.

    Формула площади круга

    Если вы знаете радиус r в любых единицах измерения (мм, см, м, дюймы, футы и т. д.), используйте формулу π r 2 , чтобы найти площадь, A:

    Ответом будут квадратные единицы линейных единиц, такие как мм2, см2, м2, квадратные дюймы, квадратные футы и так далее.

    Вот круг радиусом 7 метров. Какова его площадь?

    [вставить чертеж круга шириной 14 м, с радиусом 7 м]

    А = π·r2

    А = π × 72

    А = π × 49

    А = 153,9380 м2

    Площадь круга с использованием диаметра

    Если вы знаете диаметр d в любых единицах измерения, возьмите половину диаметра, чтобы получить радиус r в тех же единицах.

    Вот жилой комплекс Сан-Сити, штат Аризона, круглый город диаметром 1.07 километров. Какова площадь Солнечного города?

    Сначала найдите половину заданного диаметра, чтобы получить радиус:

    1,072 = 0,535 км = 535 м

    Подставьте радиус в нашу формулу:

    А = π·r2

    А = π × 5352

    А = π × 286 225

    А = 899 202,3572 м2

    Чтобы перевести квадратные метры, м2, в квадратные километры, км2, разделите на 1 000 000:

    А = 0,8992 км2

    Самый западный круговой жилой комплекс Сан-Сити имеет площадь почти 1 квадратный километр!

    Как вычислить площадь круга

    Попробуйте эти вычисления площади для четырех разных кругов. Будь осторожен; некоторые дают радиус, r, и некоторые дают диаметр, d.

    Не забудьте взять половину диаметра, чтобы найти радиус, прежде чем возводить радиус в квадрат и умножать на π.

    Проблемы

    1. Велосипедное колесо 406 мм
    2. Колесо обозрения London Eye радиусом 60 метров
    3. 26-дюймовое велосипедное колесо
    4. Самая большая в мире пицца имела радиус 61 фут 4 дюйма (736 дюймов)

    Не подглядывайте в ответы, пока не сделаете расчеты!

    ответы

    1. Велосипедное колесо диаметром 406 мм имеет радиус r 203 мм:
    2. А = πr2

      А = π × 203 мм2

      А = 637.7433 мм2

    3. Колесо обозрения London Eye Радиус 60 метров:
    4. А = πr2

      А = π × 60 м2

      А = 188,4955 м2

    5. 26-дюймовое велосипедное колесо имеет радиус r 13 дюймов:
    6. А = πr2

      А = π × 13 дюйм2

      A = 530,9291 дюйм2

    7. Самая большая в мире пицца радиусом 736 дюймов:
    8. А = πr2

      А = π × 736 дюйм2

       A = 1 701 788,17 дюйм2 90 005

    Это 11 817. 97 кв. футов пиццы! Ням! В любом случае, как вы справились с четырьмя задачами?

    Площадь круга с использованием длины окружности

    Если вы понятия не имеете, что такое радиус или диаметр, но знаете длину окружности С, вы можете еще найти площадь.

    Формула площади и окружности

    Окружность (расстояние по окружности) находится по этой формуле:

    С = 2πr

    Это означает, что мы можем взять формулу длины окружности и «найти r», что даст нам:

    г = C2π

    Мы можем заменить r в нашей исходной формуле новым выражением:

    А = π C2π2

    Это выражение упрощается до следующего:

    Эта формула работает всегда!

    Как найти площадь с окружностью

    Вот красивая пицца разумного размера , которую вы можете разделить с тремя друзьями.Вы случайно знаете, что длина окружности пиццы составляет 50,2655 дюйма, но не знаете ее общую площадь. Вы хотите знать, сколько квадратных дюймов пиццы придется каждому из вас.

    [вставьте мультяшный рисунок типичной 16-дюймовой пиццы, но не указывайте диаметр]

    Замените C на 50,2655 дюйма в формуле:

    А = 50,265524π

    А = 2526,62044π

    А = 201,0620 дюйма2

    Разделите общую площадь полноразмерной пиццы поровну между четырьмя друзьями, и каждый из вас получит 50.2655 дюймов2 пиццы! Это около трети квадратного фута на каждого из вас! Ням ням!

    Следующий урок:

    Площадь сектора круга

    Как найти площадь по диаметру — видео и расшифровка урока

    Радиус

    Чтобы понять это, давайте посмотрим, что такое радиус окружности. Радиус окружности — это длина отрезка прямой от центра окружности до любой точки на окружности.

    Вы заметили, как радиус соотносится с диаметром? Поскольку диаметр — это длина отрезка, проходящего через центр круга от одной стороны круга к другой, на самом деле он состоит из двух радиусов. Другими словами, если d — диаметр круга, а r — радиус круга, то d = 2 r . Мы также можем посмотреть на это как на 1/2 диаметра, или r = d / 2 .

    Формула

    Отличные новости! Вы понимаете, почему? Все, что нам нужно сделать, это подставить r = d /2 в нашу формулу площади, и у нас есть способ найти площадь круга по его диаметру .

    A = π ( d /2)2

    Решение

    Если длина диаметра круга равна d , то мы можем найти площадь A , используя следующую формулу;

    A = π ( d/2)2

    Приложение

    Окружности постоянно появляются в окружающем нас мире, поэтому, естественно, возможность найти площадь круга чрезвычайно полезна в реальной жизни. . Например, предположим, что вы хотите создать песчаный пляж на заднем дворе таким образом, чтобы пляж имел круглую форму.Вам нужно выяснить, сколько песка потребуется и сколько это будет стоить. Нанятые вами ландшафтные дизайнеры говорят вам, что они определяют, сколько песка вам понадобится, исходя из площади земли, которую необходимо покрыть, и что они берут 0,50 доллара за квадратный фут.

    Вы понимаете, что можете найти площадь, если знаете диаметр своего круглого пляжа, поэтому вы выходите на улицу и измеряете диаметр круглой области, чтобы узнать, что она составляет 42 фута. Вы возвращаетесь внутрь и берете лист бумаги, карандаш и калькулятор, чтобы найти площадь ( A ) круга, учитывая, что диаметр ( d ) равен 42.Наша первая строка гласит:

    A = π( d /2)2

    .

    Мы рассчитываем подразделение в строке три:

    A = π (21) 2 = π (21) 2

    в строке четырех, мы находим квадрат 21:

    A = π (441)

    И, наконец, приходим к выводу, что A ≈ 1385.44 .

    Мы видим, что площадь вашего пляжа составит примерно 1385,44 квадратных фута. Поскольку ландшафтные дизайнеры берут 0,50 доллара за квадратный фут, вы можете рассчитать стоимость, умножив 1385,44 ⋅ 0,5.

    Стоимость = 1385,44 ⋅ 0,5 = 692,72

    Вы подсчитали, что создание пляжа на заднем дворе обойдется вам в 692,72 доллара. Ух ты! Все это, просто зная диаметр круга! Конечно, это всего лишь один пример того, как нахождение площади круга по его диаметру может проявиться в нашей жизни.Вы столкнетесь со многими другими, поэтому здорово, что теперь вы точно знаете, как это сделать!

    Резюме урока

    Диаметр окружности — это длина отрезка, идущего от одной стороны окружности к другой и проходящего через центр окружности. Радиус окружности — это длина отрезка прямой от центра окружности до любой точки на окружности. Таким образом, диаметр равен двум противоположным радиусам. Формула для площади круга : A = π r 2, где r — длина радиуса круга.Мы можем использовать наши знания о том, что диаметр состоит из двух радиусов, чтобы понять, что r = d /2. Зная это, вы можете переписать формулу площади круга как A = π ( d /2)2.

    Что такое Площадь? — Определение, факты и примеры

    Что такое площадь? В геометрии площадь может быть определена как пространство, занимаемое плоской формой или поверхностью объекта. Площадь фигуры – это количество единичных квадратов, покрывающих поверхность замкнутой фигуры.Площадь измеряется в квадратных единицах, таких как квадратные сантиметры, квадратные футы, квадратные дюймы и т. д.

    Площадь приведенных ниже квадратов с единичными квадратами со стороной 1 сантиметр каждый будет измеряться в квадратных сантиметрах (см²).

    Здесь площадь фигур ниже будет измеряться в квадратных метрах (м²) и квадратных дюймах (дюйм²).

    Слово «площадь» происходит от латинского слова «район», что означает свободный участок ровной поверхности.Происхождение также привело к неправильному определению площади как «определенного количества пространства, содержащегося в наборе границ».

    Мы часто находим площадь пола в комнате, чтобы определить размер приобретаемого ковра. Покрытие пола плиткой, покрытие стены краской или обоями или строительство бассейна — вот другие примеры, где вычисляется площадь.

    Обычные простые формы и многоугольники имеют свои собственные формулы для расчета площади. Вот как вычисляется площадь обычных двумерных или двумерных фигур:
    Двумерные геометрические фигуры:
    Название формы: Изображение формы: Формула площади:
    Круг

    Площадь = πr²,

    где r — радиус.

    Треугольник Площадь = бх,

    где b — основание,

    А h — высота.

    Квадрат

    Площадь =l × l,

    где l — длина каждой стороны.

    Прямоугольник

    Площадь = л × ш,

    где l длина

    и w ширина.

    Параллелограмм

    Площадь = b × ч,

    где b — основание,

    h — перпендикулярная высота.

    Трапеция Площадь = (а+б)ч,

    где a и b — длины параллельных сторон,

    h — перпендикулярная высота.

    В реальной жизни не всякую плоскую фигуру можно однозначно классифицировать как прямоугольник, квадрат или треугольник. Чтобы найти площадь составной фигуры, состоящей более чем из одной фигуры, нам нужно найти сумму площадей обеих или всех фигур, образующих составную фигуру.

    Площадь внешней поверхности твердого тела или трехмерной формы называется площадью поверхности. Например, прямоугольная призма имеет 6 прямоугольных оснований и боковых граней. Таким образом, общая площадь поверхности равна сумме площадей всех шести прямоугольников.

    Интересные факты

    • Среди всех фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг.

    Давайте споем!

    Для посадки овощей в саду,

    Найдите площадь поля — все внутри.

    Умножьте его длину на ширину,

    А вот и формула площади, которую вы применили!

     Давайте сделаем это!

    Вместо того, чтобы раздавать детям листы с заданиями по математике, вовлеките их в проекты по благоустройству дома. Сообщите им о комнате, которую вы планируете покрасить. Попросите их рассчитать общую площадь поверхности стен, чтобы узнать, сколько краски потребуется.

    Обсудите, насколько разными могут быть все стены комнаты, и, таким образом, снятие общих размеров, а затем вычитание площади двери, окон или книжных полок поможет оценить количество необходимой краски.

    Вы также можете попросить рассмотреть общую площадь поверхности подарка, который они заворачивают, чтобы найти необходимое количество оберточной бумаги.

    Словарь по математике

    Площадь прямоугольников — объяснение и примеры

    По определению, площадь прямоугольника — это область, охватываемая прямоугольником в двумерной плоскости .Прямоугольник — это двумерный многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя углами и четырьмя вершинами.

    Прямоугольник состоит из двух сторон: длины (L) и ширины (W). Длина прямоугольника — это самая длинная сторона, а ширина — самая короткая сторона. Ширину прямоугольника иногда называют шириной (b).

    Как найти площадь прямоугольника?

    Площадь прямоугольника можно вычислить, подсчитав количество маленьких полных квадратов размером 1 * 1 кв.единиц, необходимых для покрытия прямоугольника.

    Например, если количество подсчитанных полных квадратов равно 20, то это означает, что площадь прямоугольника составляет 20 квадратов.

    Недостаток этого метода состоит в том, что он не дает точных цифр площади, а также, метод неприменим для нахождения площадей больших плоскостей.

    Площадь прямоугольника Формула

    Площадь прямоугольника – это произведение ширины и длины прямоугольника.

    Следовательно, формула площади прямоугольника гласит:

    Площадь прямоугольника = длина x ширина

    A = L * W, где A — площадь, L — длина, W — ширина или ширина .

    ПРИМЕЧАНИЕ: При умножении длины на ширину всегда следите за тем, чтобы вы использовали одни и те же единицы длины. Если они даны в разных единицах, измените их на одну и ту же единицу.

    Давайте решим несколько примеров задач на площадь прямоугольника.

    Пример 1

    Найдите площадь прямоугольника, если его длина 25 м, а ширина 10 м.

    Решение

    A = l x w

    Подставьте 25 вместо l и 10 вместо w.

    = (25 x 10) м 2

    = 250 м 2

    Итак, площадь прямоугольника 250 м 2 .

    Пример 2

    Найдите площадь прямоугольника, длина и ширина которого равны 10 см и 3 см соответственно.

    Раствор

    Дано,
    Длина (l) = 10 см.
    Ширина (b) = 3 см.
    Площадь прямоугольника = длина × ширина

    = 10 × 3 см 2 .

    = 30 см 2 .

    Пример 3

    Если периметр прямоугольника равен 60 см, а его длина в 5 раз больше ширины, найдите площадь прямоугольника.

    Решение

    Пусть ширина равна x.

    Длина в 5 раз больше ширины, длина = 5x.

    Но периметр прямоугольника =2(l + w) = 60 см

    Подставьте 5x вместо l и x вместо w.

    60 = 2(5x + x)

    60 = 12x

    Разделите обе части на 12, чтобы получить.

    x = 5

    Теперь подставьте x = 5 в уравнение длины и ширины.

    Следовательно, ширина = 5 см, а длина = 25 см.

    Но область прямоугольника = LXW

    = (25 х 5) см 2

    = 125 см

    = 125 см 2

    Пример 4

    Найти область прямоугольника с длиной 12 см и диагональ 13 см.

    Решение

    Здесь ширина не указана, поэтому мы используем теорему Пифагора для определения ширины.

    C 2

    C 2 = A 2 + B 2 + B 2

    13 2 = A 2 + 12 2 + 12 2

    169 = A 2 + 144.

    Вычтите 144 с обеих сторон .

    169 – 144 = 2 + 144 – 144

    25 = 2

    Найдя квадратный корень из обеих частей, мы получаем.

    а = 5

    Следовательно, ширина прямоугольника 5 см.

    Теперь вычислите площадь.

    A = L x W

    = (12 x 5) см 2

    Пример 5 длиной 20 м и шириной 10 м.

    Решение

    Чтобы найти общую стоимость цементирования пола, умножьте площадь пола на скорость цементирования.

    площадь = l x w

    = (20 х 10) m

    = (20 x 10) m 2

    = 200 м 2

    Стоимость цементирования = область x Скорость цементирования

    = 200 м 2 x $ 12. 40 / м 2

    = $2,480

    Пример 6

    Длина и ширина находятся в соотношении 11:7, а его площадь составляет 693 квадратных фута. Найдите его длину и ширину.

    Решение

    Пусть знаменатель длины и ширины = x

    Следовательно, длина = 11x

    Ширина = 7x

    Площадь прямоугольника = Д x Ш

    693 Кв.футов = (11x) (7x)

    693 кв. ft = 77x 2

    Разделите обе стороны на 77.

    x 2 = 9

    Найдите площадь обеих сторон, чтобы получить;

    х = 3.

    Замена.

    Длина = 11x = 11* 3 = 33

    Ширина = 7x = 7 * 3 = 21

    Следовательно, длина прямоугольника 33 фута, а его ширина 21 фут.

    Пример 7 2

    Длина прямоугольника 0,7 м, а ширина 50 см.Чему равна площадь прямоугольника в метрах?

    Раствор

    Длина = 0,7 м

    Ширина = 50 см.

    преобразуют 50 см в метрах, разделяя 50 на 100. Итак, 50 см = 0,5 м

    площадь = l x w

    = (0,7 x 0,5) M 2

    = 0,35 м 2

    Пример 8

    Размер прямоугольной стены 75 м на 32 м. Найдите стоимость покраски стены, если стоимость покраски 5 руб.м.

    Раствор

    Площадь = Д х Ш

    = (75 х 32) м 2

    = 2400 м 2

    по скорости покраски.

    Стоимость = 2400 м 2 x 5 рупий за кв. м

    = 12 000 рупий

    Пример 9 размеры, 1 м на 2 м.Найдите общее количество плиток, необходимых, чтобы полностью покрыть пол двора.

    Решение

    Сначала вычислите площадь пола двора и плитки.

    площадь дворного пола = (50 х 40) M 2

    = 2000 м

    2

    площадь плитки = (1 х 2) M 2

    = 2 м 2

    Чтобы найти количество плиток, необходимых для покрытия пола двора, мы делим пол двора на площадь плитки.

    Количество плиток = 2000 м 2 /2 м 2

    = 1000

    Следовательно, для покрытия пола необходимо 1000 плиток.

    Площадь прямоугольника. Определение, формула и задачи

    Четырехугольник, у которого параллельные стороны равны друг другу, а все вершины перпендикулярны друг другу, называется прямоугольником. Количество единичных квадратов, которые могут вписаться в любую фигуру, является площадью этой фигуры. Следовательно, площадь прямоугольника равна количеству единичных квадратов, которые могут вписаться в границы прямоугольника.Площадь фигуры измеряется количеством квадратных единиц, таких как квадратные футы, квадратные дюймы, квадратные сантиметры и так далее. Некоторые примеры прямоугольных форм: мобильные экраны, классная доска, двери и т. д.

    Любая замкнутая форма, состоящая как минимум из трех отрезков, называется многоугольником. Существует множество различных типов многоугольников, некоторые из них представляют собой треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. д. Многоугольники классифицируются по количеству ребер, которые они имеют. Ребра также называются сторонами, и они представляют собой не что иное, как сегменты линий, из которых состоят многоугольники.Точки, в которых пересекаются отрезки, называются вершинами. Многоугольник имеет равное количество ребер и вершин.

    Многоугольники классифицируются на основе количества ребер или вершин, которые они имеют. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником или четырехугольником. Четырехугольники можно дополнительно разделить на вогнутые четырехугольники, выпуклые четырехугольники и прямоугольные четырехугольники в зависимости от содержащихся в них углов. Если все четыре стороны четырехугольника равны 90°, то они прямоугольные.Их также называют равноугольными четырехугольниками, так как все их углы равны. Двумя типами равноугольных четырехугольников являются квадраты и прямоугольники. В квадрате все четыре стороны четырехугольника равны. В прямоугольнике равны только противоположные стороны четырехугольника.

    (Изображение скоро будет загружено)

    Поскольку противоположные стороны квадрата равны, квадрат также можно рассматривать как прямоугольник. Прямоугольник также является параллелограммом, что означает, что противоположные стороны прямоугольника идеально параллельны друг другу.Мы также можем сказать, что прямоугольник, у которого все четыре стороны равны друг другу, является квадратом.

    Площадь прямоугольника

    Площадь любого многоугольника — это количество пространства, которое он занимает или заключает в себе. Это количество квадратных единиц внутри многоугольника. Площадь является двумерным свойством, что означает, что она содержит как длину, так и ширину. Площадь обычно измеряется в таких единицах, как квадратные метры, квадратные футы или квадратные дюймы. Площадь больших фигур, таких как поля или города, измеряется в квадратных километрах, гектарах или акрах.

    (Изображение скоро будет загружено)

    Чтобы найти площадь прямоугольника, нам просто нужно умножить его длину на ширину.

    Площадь равна произведению ширины прямоугольника на высоту.

    Формула для вычисления площади прямоугольника имеет вид h

    Площадь = 8 × 3

    Площадь = 24 м 2

    В квадрате, поскольку все четыре стороны равны, Площадь = w × h становится

    Площадь = h × h, Площадь = h 2 .

    Следовательно, площадь квадрата равна квадрату его сторон.

    Формула площади прямоугольника

    Математическая формула, используемая для расчета площади прямоугольника в пределах его границы, выглядит следующим образом:

    Площадь прямоугольника = (длина x ширина) квадратных единиц

    A= lxb

    Площадь прямоугольника определяется произведением его длины на ширину (ширину).

    Шаги для вычисления площади прямоугольника

    Чтобы найти площадь прямоугольника, выполните следующие действия:

    1. Из полученных данных обратите внимание на размеры длины и ширины.

    2. Умножьте длину на ширину прямоугольника.

    3. Результат будет дан в квадратных единицах.

    Пример. Длина и ширина прямоугольника равны 8 единицам и 4 единицам соответственно. Найдите площадь прямоугольника.

    Решение – задано, 

    длина = 8 единиц

    ширина = 4 единицы

    Площадь прямоугольника = l x b

    = 8 x 4

    = 32 квадратных единицы

    Вычисление площади прямоугольника

    Длины и вдохи прямоугольника ABCD равны AB, CD BC и AD соответственно.

    В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC.

    AC разделит прямоугольник ABCD на два равных треугольника ADC и ABC.

    Площадь прямоугольника ABCD будет суммой треугольников ABC и ADC

    Площадь прямоугольника ABCD = площадь треугольника ABC + площадь треугольника ADC

    Так как треугольники конгруэнтны.

    Прямая площадь прямоугольника ABCD = 2 x Область треугольника ABC

    = 2 x (½ x base x Высота)

    = ab x BC

    2

    площадь прямоугольника ABCD = длина х ширина


    Задачи на площадь прямоугольника

    1) Найдите площадь прямоугольника, высота которого 20 см, а ширина 4 см.

    Решение: Дано, Высота = 20 см и Ширина = 4 см

    Площадь прямоугольника = w × h

    Площадь прямоугольника = 20 × 4

    Следовательно, площадь прямоугольника = 80 см 2 .

    2) Прямоугольная доска имеет ширину 120 мм и высоту 89 мм. Найдите площадь этой доски.

    Решение: Дано, высота = 89 мм = 8,9 см, а ширина = 120 мм = 12 см

    Площадь прямоугольника = w × h

    Площадь прямоугольника = 12 × 8,9 прямоугольник = 106.8 см 2 .

    3) Высота прямоугольного экрана равна 20 см. Его площадь равна 240 см 2 . Найдите ширину данного экрана.

    Решение: Дано, Высота = 20 см и Площадь = 240 см 2 .

    Площадь прямоугольника = ш × в

    Следовательно, ширина = площадь / длина

    Ширина = 240/20

    Ширина = 120 см

    4) Высота и ширина прямоугольной стены равны 80 м и 60 м соответственно. Если маляр берет 3 ₹ за м 2 за покраску стены, сколько будет стоить покраска всей стены?

    Решение: Дано, Высота = 80 м, Ширина = 60 м

    Площадь прямоугольника = w × h

    Площадь прямоугольника = 80 × 60 стоимость 3 ₹ за м 2 , стоимость покраски 4800 м 2 составляет 4800 × 3 = 14 400 ₹

    5) Пол, длина и ширина которого составляют 60 м и 40 м соответственно, должен быть покрыт прямоугольной плиткой. Размер выбранной напольной плитки составляет 1 м × 2 м. Найдите общее количество плиток, необходимых для полного покрытия комнаты.

    Решение: Дано, длина = 60 м, ширина = 40 м

    Площадь прямоугольника = w × h

    Площадь прямоугольника = 60 × 40 длина одной плитки = 1 м

    Ширина одной плитки = 2 м

    Площадь = ш × в

    Площадь одной плитки = 1 × 2

    Площадь одной плитки = 2 м 2

    Количество плиток необходимое для покрытия пола можно рассчитать как

    Площадь пола / площадь плитки

    2400/2 = 1200 плиток.

    6) Из прямоугольного куска картона вырезается квадратный кусок картона площадью 36 см 2 . Найдите

    (а) Длина квадрата

    (б) Если картон можно разрезать на три таких квадрата, найдите длину, ширину и площадь этого прямоугольного куска картона.

    Решение: (a) Дано, Площадь квадрата 36 см 2

    Мы знаем, что в квадрате Площадь = h 2 .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск