Формула подобия треугольников: Формула подобия треугольников

Содержание

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ | ОГЭ математика

Добрый день, уважаемые читатели. Если вы готовитесь к ОГЭ или просто хотите повторить темы школьной программы с 5 по 9 класс, подписывайтесь на канал 🙂

В этой статье рассмотрим два очень важных соотношения, которые можно вывести благодаря признакам подобия треугольников.

Рассмотрим их на примере задач из открытого банка заданий ОГЭ с сайта ФИПИ.

Задание 1

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭрисунок к задаче

рисунок к задаче

Задача решается устно, если знать свойство медиан:

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

НО для достоверности докажем это (тем более, что на ОГЭ в задании 24 необходимо доказывать некоторые свойства)

1) построим отрезок MN. По определению это средняя линия треугольника.

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ
ТЕОРЕМА (свойство средней линии)
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
Эта теорема тоже доказывается из подобия образовавшихся треугольников: △ABC~△MBN (AB:BM=BC:BN=2:1; ∠B-общий), следовательно АС:MN=2:1, AC||MN.

Теперь видно, что при пересечении медиан и дополнительном построении образовались два треугольника: △AОC и △MON. Эти треугольники подобны (по двум углам, т.к. MN||AC образовались две пары равных накрест лежащих углов):

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Запишем отношения сторон подобных треугольников.

AO:ON=CO:OM=AC:MN=2:1

Что и требовалось доказать.

В записи у меня получилось так:

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Теперь этим свойством медиан можно пользоваться при решении без дополнительных доказательств, если в задании не звучит необходимость доказательства!

Решение:

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Задание 2

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭПолезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Это задание на знание пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.

При проведении высоты в прямоугольном треугольнике на гипотенузу образуются пары подобных треугольников: △AСB~△AHC; △ACB~△BHC; △ACH~△CBH. Подобие всех треугольников можно доказать по «двум углам».

Докажем подобие последней пары.

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Из подобия запишем отношения сторон:

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Большая трудность возникает у школьников при поиске соответственных сторон. Обратите внимание равные углы на рисунке показала одинаковым цветом. Для записи отношения рассматриваю сторону АН (тр-ка АНС), на ней лежат прямой угол и «зеленый» острый угол. Значит ей будет соответствовать сторона СН (тр-ка СНВ), т.к. на ней лежат прямой угол и «зеленый» острый угол. Аналогично ищем сторону соответствующую стороне СН (тр-ка АНС) по прямому и «фиолетовому» углу в треугольнике СНВ.

Раскроем пропорцию в последнем соотношении сторон:

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Этой формулой также можно пользоваться без доказательства, если этого не требует само задание.

Остается записать решение задачи:

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Знание соотношения отрезков в треугольниках сильно упрощают решение задач. Умение выводить и доказывать эти соотношения поможет разобраться с принципами построения доказательств для задания 24.

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, поделитесь с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Полезные формулы из подобия треугольников. Задания 15 и 23/24 ОГЭ

Подобие треугольников. Третий признак подобия

В этом уроке, вы найдете решение задач по геометрии, которые используют правила подобия треугольников и являются интересными для решения. Я их размещаю здесь если они вызывают некоторые трудности при решении у школьников.

Задача

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см2. Найдите площади треугольников.

Решение

Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников — все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S

1=1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S2=1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:

S1/S2 = 1/2 ah / ( 1/2 * 9/16 ah)

S1/S2 = ah / ( 9/16 ah)

S1/S2 = 16/9

Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема: «площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон»

Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:

S1=16S2/9

По условию задачи S1-S2=14, таким образом

16S2/9-S2=14

7/9S2=14

S2=18, следовательно S1 = 14+18=32

Ответ: 18 и 32

Задача

Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.

Решение


Начало решения.

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными.

Способ 1.

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h

1, а для треугольника EBC как h2.

Таким образом:
Площадь треугольника EAD будет равна SEAD=1/2*AD*h1.
Площадь треугольника EBC будет равна SEBC=1/2*BC*h2.

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует:
BC / AD = 5 / 7
BC = 5AD / 7

аналогично:
h2 / h1 = 5 / 7
h= 5h1 / 7

Таким образом:
SEBC=1/2*BC*h2.
Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника:

SEBC=1/2*(5AD / 7)*(5h1 / 7)
SEBC=1/2*AD*h1*25 / 49

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно SEAD=1/2*AD*h1.
Подставим вместо указанного выражения его значение:
SEBC = 98*25/49
SEBC = 50 см2

Способ 2.

Если нам известна теорема: «площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон», то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 52 : 72. То есть:
SEBC / SEAD = 52 / 72
SEBC / SEAD = 25 / 49
S

EBC
= SEAD * 25 / 49

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см2 , то
SEBC = 98 * 25 / 49
SEBC = 50 см2

Продолжение решения.

Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников AED и BEC. Таким образом, площадь трапеции равна 98 — 50 = 48 см2.

Ответ: 48 см2.

 Подобие треугольников. Первый признак подобия | Описание курса | Подобие треугольников. Использование в задачах 

   

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника.

Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора



Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

,

где (Формула Герона)

, где r- вписанной окружности

, где R — радиус описанной окружности

3) Подобие треугольников

Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и

Обозначение:

4) Признаки подобия двух треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Коротко: если , то


2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если и , то

3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть


Коротко: если , то

5) Свойства подобных треугольников

если , то

, где

и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному.

Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:



7) Свойство медиан в треугольнике.

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть




Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

То есть


Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть


8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.

То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

То есть

11) Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

То есть и


12) Теорема синусов и теорема косинусов


Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.

То есть

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть


13) Теорема Менелая

Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы

Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.

То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Метки: Геометрия, Справочник репетитора, Ученикам

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Навигация по странице:Треугольник — определениеТипы треугольниковВершины углы и стороны треугольникаСвойства углов и сторон треугольникаТеорема синусовТеорема косинусовМедианы треугольникаБиссектрисы треугольникаВысоты треугольникаВписанная окружностьОписанная окружностьСвязь между вписанной и описанной окружностямиСредняя линия треугольникаПериметр треугольникаПлощадь треугольникаРавенство треугольниковПодобие треугольников

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

  1. Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.

  2. Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).

  3. Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.

  2. Равнобедренный треугольник — две стороны равны.

  3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.


Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c=2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2


Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆BEA=S∆BEC

    S∆CBF=S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF=S∆AOE=S∆BOF=S∆BOD=S∆COD=S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2-a2

mb = 12√2a2+2c2-b2

mc = 12√2a2+2b2-c2


Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc‘ = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(p — a)b + c

lb = 2√acp(p — b)a + c

lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b


Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc =

1a

:

1b

:

1c

= (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R


Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

r = Sp

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

1r = 1ha + 1hb + 1hc


Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:

R = abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin α sin β sin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ


Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

d2 = R2 — 2Rr

rR

= 4 sin

α2

sin

β2γ2

= cos α + cos β + cos γ — 1


Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.


Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета периметра треугольника


Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

    где p =

    a + b + c2

    — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S=

    12

    a·b·sinγ
    S=

    12

    b·c·sinα
    S=

    12

    a·c·sinβ

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором для расчета площади треугольника.


Равенство треугольников

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2


Формулы по геометрииТреугольник. Формулы и свойства треугольникаКвадрат. Формулы и свойства квадратаПрямоугольник. Формулы и свойства прямоугольникаПараллелограмм. Формулы и свойства параллелограммаРомб. Формулы и свойства ромбаТрапеция. Формулы и свойства трапеции-Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции-Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапецииПравильный многоугольник. Формулы и свойства правильного многоугольникаОкружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойстваЭллипс. Формулы и свойства эллипсаКуб. Формулы и свойства кубаПризма. Формулы и свойства призмыПирамида. Формулы и свойства пирамидыСфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойстваЦилиндр. Формулы и свойстваКонус. Формулы и свойстваФормулы площади геометрических фигурФормулы периметра геометрических фигурФормулы объема геометрических фигурФормулы площади поверхности геометрических фигур

Все таблицы и формулы

1. Треугольники и их свойства

2. 7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

3. Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

4. 7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

5. Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

6. Треугольники и их свойства | Геометрия, планиметрия, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ | Михаил Пенкин

7. ЕГЭ 2021. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

8. Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункам

10. Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Author information

Name: Cheryll Lueilwitz

Birthday: 1997-12-23

Address: 4653 O’Kon Hill, Lake Juanstad, AR 65469

Phone: +494124489301

Job: Marketing Representative

Hobby: Reading, Ice skating, Foraging, BASE jumping, Hiking, Skateboarding, Kayaking

Introduction: My name is Cheryll Lueilwitz, I am a sparkling, clean, super, lucky, joyous, outstanding, lucky person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.

Геометрия за 24 часа. Жалпанова Л.Ж., Калинина О.А., Мальянц Г.Н.

ОГЛАВЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ I ПЛАНИМЕТРИЯ 10
Глава 1 ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ, ОТРЕЗКИ 11
Точка и прямая 11
Свойства прямых и точек 11
Полупрямая (луч), ее свойства 13
Отрезок 13
Свойства отрезков 14
Глава 2 УГЛЫ 15
Измерение углов 16
Сравнение углов 17
Смежные углы 17
Вертикальные углы 18
Углы, отложенные в одну полуплоскость 19
Глава 3 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ 20
Глава 4 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 23
Основное свойство параллельных прямых 23
Первый признак параллельности прямых 24
Секущая 24
Второй признак параллельности прямых 25
Третий признак параллельности прямых 27
Четвертый признак параллельности прямых 29
Глава 5 ТРЕУГОЛЬНИКИ 31
Медиана, биссектриса и высота треугольника 32
Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника 33
Сумма углов треугольника 34
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника 35
Неравенство треугольника 36
Равенство треугольников 37
Свойство треугольника 38
Признаки равенства треугольников 38
Первый признак равенства треугольников 38
Второй признак равенства треугольников 40
Третий признак равенства треугольников 41
Равнобедренный треугольник 43
Свойства равнобедренного треугольника 43
Равносторонний треугольник 46
Прямоугольный треугольник 47
Свойства прямоугольного треугольника 47
Признаки равенства прямоугольных треугольников 50
Неравенство треугольника 53
Глава 6 ОКРУЖНОСТЬ 55
Касательная к окружности 56
Описанная окружность 58
Вписанная окружность 61
Углы, вписанные в окружность 64
Глава 7 МНОГОУГОЛЬНИКИ 69
Ломаная 69
Длина ломаной 70
Многоугольники 71
Выпуклый многоугольник 72
Правильный многоугольник 74
Формула нахождения угла правильного многоугольника 74
Четырехугольники 75
Параллелограмм 76
Свойства параллелограмма 76
Признаки параллелограмма 79
Прямоугольник 82
Особое свойство прямоугольника 83
Ромб 84
Особое свойство ромба 85
Признаки ромба 86
Квадрат 86
Признак квадрата 87
Трапеция 87
Теорема Фалеев 88
Теорема о средней линии треугольника 90
Теорема о средней линии трапеции 91
Глава 8 ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР 93
Свойства площадей простых фигур 93
Площадь прямоугольника 93
Площадь параллелограмма 95
Площадь треугольника 96
Теорема о площади треугольника 96
Теорема об отношениях площадей
треугольников, имеющих равный угол 98
Площадь трапеции 99
Глава 9. ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ 102
Пропорциональные отрезки 102
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников 102
Первый признак подобия треугольников 103
Второй признак подобия треугольников 104
Третий признак подобия треугольников 105
Площади подобных фигур 106
Глава 10 СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 108
Синус, косинус, тангенс 108
Теорема Пифагора Основные тригонометрические тождества 112
Значение синуса, косинуса и тангенса для разных углов 114
Синус, косинус и тангенс угла 45° 115
Синус, косинус и тангенс угла 30е и 60° 116
Изменение sin a, cos а, tg а при возрастании угла а 118
Глава 11 ВЕКТОРЫ 120
Понятие Beктора 120
Равенство векторов 121
Свойство векторов 122
Сложение векторов 122
Правило треугольника 122
Законы сложения векторов 123
Сумма нескольких векторов 124
Вычитание векторов 125
Умножение вектора на число 127
Свойства умножения вектора на число 127
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 127
Глава 12 МЕТОД КООРДИНАТ 131
Координаты середины отрезка 133
Расстояние между точками 134
Уравнение линии на плоскости 135
Уравнение окружности 136
Уравнение прямой 136
Угловой коэффициент прямой 137
Пересечение прямой и окружности 139
Координаты вектора 141
Правила нахождения координат суммы, разности и произведения двух и более векторов по координатам этих векторов 141
Скалярное произведение векторов 144
Свойства скалярного произведения векторов 146
Глава 13 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 147
Синус, косинус и тангенс, любого угла 147
Формула вычисления координат любой точки 150
Площадь треугольника 150
Теорема синусов 151
Теорема косинусов 152
Решение треугольников 154
Глава 14 ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА 159
Окружность, описанная около правильного многоугольника 159
Окружность, вписанная в правильный многоугольник 160
Площадь правильного выпуклого многоугольника 162
Сторона правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности 163
Формулы вычисления сторон правильного треугольника, квадрата и шестиугольника и радиусов 164
Формулы нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного многоугольника по его стороне 164
Формулы вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, квадрата и шестиугольника 165
Свойства окружности 165
Центральный угол и дуга окружности 166
Площадь круга 167
Площадь кругового сектора 169
Площадь кругового сегмента 170
Глава 15 ДВИЖЕНИЯ 171
Симметрия 171
Симметрия относительно прямой 171
Симметрия относительно точки 172
Движение 173
Наложение и движения 175
Параллельный перенос 179
Поворот : 184
РАЗДЕЛ II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ 186
Глава 1 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 186
Аксиома 1 (аксиома плоскости) 186
Аксиома 2 (аксиома пересечения плоскостей) — 186
Аксиома 3 (аксиома принадлежности прямой плоскости) 187
Аксиома 4 (аксиома разбиения пространства плоскостью) 187
Аксиома 5 (аксиома расстояния) 188
Параллельные прямые 189
Прямая, параллельная плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости 191
Параллельные плоскости. Признак параллельности двух плоскостей 192
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью 193
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями 194
Свойства параллельного проектирования 195
Свойства проекции прямых линий 195
Построение правильного шестиугольника при параллельном проектировании 197
Глава 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 198
Прямая, перпендикулярная прямой и плоскости 198
Три перпендикуляра 200
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых 203
Две прямые, перпендикулярные плоскости 204
Перпендикулярные плоскости 205
Скрещивающиеся прямые 205
Глава 3 ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 208
Сложение и вычитание векторов 210
Свойства сложения векторов 211
Умножение вектора на число 212
Деление коллинеарных векторов 212
Компланарные векторы 213
Правило параллелепипеда 214
Метод координат в пространстве 216
Выражение координат вектора через координаты его начала и конца 218
Координаты середины отрезка 219
Расстояние между двумя точками 220
Скалярное произведение векторов 221
Глава 4 МНОГОГРАННИКИ 224
Призма 226
Параллелепипед 228
Пирамида 232
Свойства ортоцентрического тетраэдра 234
Симметрия в пространстве 239
Правильный многогранник. 240
Глава 5 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 243
Цилиндр 243
Конус 247
Шар 252
Сечение шара 253
Уравнение сферы 258
Глава 6 ОБЪЕМЫ ТЕЛ 264
Объем прямоугольного параллелепипеда 265
Объем призмы 268
Представление объема интегралом 271
Объем пирамиды 272
Объем конуса 277
Объем цилиндра 280
Объем шара 282
Объемы подобных тел 286
Глава 7 ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ 288
Призма 288
Пирамида 290
Цилиндр 293
Конус 296
Площадь сферы 300 

< Предыдущая   Следующая >

Подобия формулы — Энциклопедия по машиностроению XXL

Пластинка полуволновая 34 — четвертьволновая 33, 56 Подобия формулы 232, 233, 465 Показатель качества 78  [c.480]
Поскольку шесть функций hj ( , ) выражаются no формулам (111. 7) через три функции P) для компонент скорости перемещения, функции tu должны удовлетворять уравнениям совместности скоростей деформаций. Пользуясь подобием формул теории скоростей деформаций и теории бесконечно малых деформаций, заменим в (11.57) и,(П-58) ejj на Получим уравнения совместности скоростей деформаций в прямоугольной декартовой системе координат  [c.96]

В области теплообмена соприкосновением вся современная расчетная методика основана на применении теории подобия. Формулы, применяемые в настоящее время в расчетной практике, представляют собой частные формы общего уравнения, связывающего между собой критерии подобия. Преимущества уравнений, выраженных в критериальной форме, очевидны, и применение их при всевозможных технических расчетах вполне целесообразно.  [c.362]

Для определения ускорения произвольной точки F, жестко связанной со звеном 3 (рис. 4.18, а), можно также воспользоваться вышеизложенным правилом подобия. Для этого строим на отрезке ( d) плана ускорений треугольник df, подобный треугольнику DF на схеме, но повернутый относительно него на угол ц, определяемый по формуле (4. 35). Так как все стороны треугольника df повернуты относительно треугольника DF на постоянный угол fi, то построение подобного треугольника на плане ускорений удобно вести, замеряя углы между соседними сторонами D , DF и D, F. При обходе контура df в каком-либо направлении порядок букв должен совпадать с порядком букв контура DF.  [c.86]

Эти формулы справедливы в довольно широких пределах изменения основных критериев подобия Re= =2,5-104-5,1.105, ReB=26,7—6 530, > =4-4-1 100, (1=0-н11, рт/р= 10 -н 10 . Проведенное в [Л. 115] сопоставление показало хорошее согласование зависимости  [c.128]

При поперечном обтекании трубы и пучка труб в качестве определяющего размера берется наружный диаметр трубы при обтекании плиты — ее длина по направлению движения потока. Вообще при использовании критериальных уравнений всегда нужно обращать внимание на то, какой размер автор формулы ввел в критерии подобия в виде определяющего.  [c. 429]


При вычислении критериев подобия за определяющую температуру принята средняя температура жидкости, за определяющую скорость — скорость в самом узком сечении ряда, за определяющий размер — диаметр трубы. Формулы справедливы для любых жидкостей.  [c.436]

Для определения коэффициента теплоотдачи и критической величины теплового потока при пузырьковом кипении жидкости в условиях естественной конвекции и в большом объеме Г. Н.Кружи-лин, обработав опытные данные на основании теории подобия, предложил обобщенные формулы в следующем виде  [c.451]

Пользуясь приближенным подобием подшипников качения и выразив радиусы колец через D,,., можно получить приближенные формулы для наибольших контактных напряжений в подшипниках. В радиальных однорядных шарикоподшипниках при радиальной нагрузке  [c.349]

На основании подобия треугольников, построенных на нижнем рычаге, получим 8Гд = у 8г ,. Подставив значение 8г из формулы (1), находим  [c. 390]

Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так и к малым отрицательным значениям М, — 1. Если в точности Mi= 1, то параметр подобия /( = О и функции в формулах (126,8) н (126,12) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость С и Су от угла 6 и свойств газа а.  [c.657]

Формула околозвукового подобия для коэффициента давления (84) не зависит от местоположения точки на профиле, и поэтому она может быть распространена и на интегральные величины коэффициента сопротивления и подъемной силы. Таким образом, можно записать, что  [c.63]

Одним из первых использовал теорию подобия О. Рейнольдс, который получил обобщенную формулу для оценки коэффициентов гидравлического сопротивления, пригодную для различных жидкостей. К исследованию процессов теплообмена теория подобия была впервые применена Нуссельтом в 1915 г. Теория подобия широко используется теперь для обобщения опытных данных и результатов численных расчетов по теплоотдаче.[c.243]

Из первой теоремы следует, что результаты одного опыта или расчета, представленные в виде количественных значений чисел подобия, позволяют судить не только об исследованном явлении, но и обо всех явлениях, подобных исследованному. Поэтому, обрабатывая результаты экспериментов в виде уравнения связи между числами подобия, получаем формулы, характеризующие не только исследованные явления, но и все явления, подобные исследованным.  [c.269]

Формулы связи между числами подобия называются уравнениями подобия.  [c.269]

Таким образом, теория подобия дает способ получения обобщенных формул на основе опытного или численного исследования явлений и устанавливает границы возможного использования этих зависимостей.  [c.270]

Следует заметить, что в виде уравнений подобия удобно представлять также и формулы, полученные в результате интегрирования дифференциальных уравнений.  [c. 270]

Во многих случаях физический эксперимент остается единственным способом получения закономерностей, определяющих теплоотдачу. Чтобы с помощью эксперимента получить наиболее общую формулу для определения коэффициента теплоотдачи, пригодную не только для исследованных явлений, но и для всех явлений, подобных исследованным, постановку эксперимента и обработку опытных данных необходимо осуществлять на основе теории подобия физических явлений.  [c.310]

Числа подобия, подсчитанные по определяющей температуре, не могут учитывать влияния полей физических параметров на процесс, поэтому составленные из них уравнения подобия правильно описывают явление теплоотдачи только при небольших температурных напорах. То же можно сказать о теоретических формулах для коэффициентов теплоотдачи, полученных в предположении о независимости теплофизических свойств от температуры.  [c.314]

Получим числа подобия из дифференциального уравнения энергии Ограничившись случаем стационарного процесса и заменив но формуле (9. 23), представим уравнение (9.30) в виде  [c.369]


Таким образом, теплоотдача в реагирующем газе при локальном химическом равновесии и в инертном потоке описывается одинаковыми уравнениями. Этот вывод дает возможность использовать формулы, полученные теоретическим и экспериментальным способами при исследовании теплоотдачи в инертных средах, для химически реагирующих потоков путем простой замены в них н а на Я.дф, и эф. Таким образом, если для инертной среды получено уравнение подобия  [c.372]

Использование температуры, подсчитанной по формуле (10.24), в качестве определяющей при обработке опытных данных позволяет получить более простое уравнение подобия, так как в него не войдут число Маха и температурный фактор.  [c.384]

Формулы для расчета коэффициента теплоотдачи в условиях температурного скачка получаются также путем непосредственного обобщения результатов эксперимента. Так, опытные данные по теплоотдаче шаров в потоке воздуха со скольжением, полученные при М = 2,24 — 3,56, Re = 16 — 980 и М/ Re = 0,12 — 0,56, хорошо описываются уравнением подобия  [c. 403]

Уместно отметить, что формула (11.27) могла бы быть получена и из.соображений подобия. Действительно, определяющими ламинарное движение  [c.376]

Формула для б была получена ранее из соображений подобия, и о ее точности можно было судить лишь косвенно, поэтому необходимо дать более общий вывод этой формулы, основывающийся на рассмотрении распространения возмущений в потоке вязкой жидкости. Всякое возмущение движения, т. е. изменение параметров движущейся жидкости, передается из той части  [c.382]

Воспользуемся теперь соображениями термодинамического подобия, т. е. будем считать, что коэффициенты вязкости и теплопроводности выражаются одинаковыми для всех веществ формулами  [c.650]

Если имеет место кинематическое подобие [см. формулу (5.85) I,  [c.119]

Обобщение результатов экспериментального определения а и составление по ним расчетных формул, пригодных для определения а не только для условий опыта, но и для любых других условий, про изводится с помощью теории подобия, разработанной применительно к явлениям теплообмена акад. М. В. Кираичевым и проф. А. А. Гухманом. Ниже приводятся полученные на основе законов подобия формулы для определения коэфициента теплоотдачи а в ряде наиболее характерных для практики случаев.  [c.227]

Нетрудно видеть полное подобие формул (7.9) и (7.11), однако в случае DKDP использование энергетически выгодной поперечной геометрии осложняется необходимостью компенсации двулучепреломления, как правило, осуществляемой последовательной установкой друг за другом двух соответственно развернутых элементов. Кроме того, как все водорастворимые кристаллы, DKDP нуждается в надежной защите от воздействия влаги и резких механических нагрузок, хотя с этими трудностями успешно справляются.  [c.203]

Особенно большое значение имеют вытекающие из первой и второй гипотез подобия формулы (21.17) и (21.17 ), показывающие, что в любом турбулентном потоке с достаточно большим числом Рейнольдса средний квадрат разности скоростей в двух точках на расстоянии г друг от друга при не слишком малых, но и не слишком больших значениях г должен быть пропорционален Это утверждение, принадлежащее Колмогорову (1941а), выражает собой один из важнейших законов мелкомасштабных турбулентных движений, обычно называемый законом двух третей.[c.325]

Выводы из этой теории, касающиеся значений структурных функций на не слишком малых расстояниях г и спектров при не слишком больших волновых числах Л, при которых можно пренебречь влиянием вязкости, были указаны в работах Монина (1958, 19596, 1962а, б). Для спектральной плотности вертикальных пульсаций скорости ( ) = 2 ( ) вытекающая из теории подобия формула имеет вид  [c.429]

Рассмотрим вопросы построения критериев подобия по методу анализа размерностей и основы теории многофакторного эксперимента. Формулы для выбора режимов сварки и приближенного расчета геометрических размеров сварных швов и их механических свойств приведены только для механизированной сварки под флюсом и только для низкоуглеродистых и пизколегированпых сталей. Для этих сталей и метода сварки указанные форму гы про1нли многократную опытную проверку и дают надежные результаты с точностью до 10 — 12%.  [c.174]

Это означает, что для сохранения геометрического подобия ванны произведение I uV b должно поддерживаться в определенных пределах I bV u = Л. Поэтому при выборе скорости сварки можно воспользоваться формулой  [c.194]

Теория подобия позволяет установить формулы пересчета пара- гетров лопастных насосов, определяющие зависимость подачи, напора, моментов сил и мощности геометрически подобных насосов, работающих па подобных режимах, от их размеров и частоты вращения.  [c.176]

Выше было указано, что в настоящее время широко применяется проектирование нового насоса путем пересчета по формулам подобия размеров существующего пасоса. Для того 4to6i>i воспользоваться этим методом, следует выбрать среди всего многообразия существующих насосов, имеющих высокие техннко-экономические показатели, такой насос, у которого реншм, подобный заданному рел иму работы проектируемого насоса, был бы близок к оптимальному. Для этого необходимо найти параметр, который служил бы критерием подобия  [c.180]

При геометрическом подобии зубьев в различных сечениях их жесткость, как консольных оболочек, постоянна по всей ширине колеса. Для оценки деформации положим, что зубья колеса 2 абсолютно жесткие, а зубья колеса / податливые. При заторможенном колесе 2 нагруженное колесо 1 повернется на угол Аф вследств 1е податливости зубьев. Прогиб зубьев в различных сечениях равен гДф, где г — радиус в соответствующем сечении. При постоянно11 жесткости нагрузка пропорциональна деформациям или в нашем случае радиусам г, которые в свою очередь пропорциональны расстояниям от вершины делительного конуса — рис. 8.32, б. Если модуль зубьев и нагрузка изменяются одинаково, то напряжения изгиба остаются постоянными [см. формулу (8.19)1 по всей длине зуба.  [c.132]


При выполненнп условий подобия. масштаб времени кг для процессов течения в натуре и модели определяется принятым линейным масштабом и масштабо.ч скоростей, равным по формуле (V—8) =  [c.106]

Приближенное геометрическое подобие резьб позволяет за.менить расчет но приведенной формуле уиро1це1Н)ым расчетом на растяжение. Рассмотрим наиболее неблагоприятный е учай, когда сила начальной затяжки равна расчетной осевой силе.[c.109]

Часто расчеты резьбы (особенно расчеты на смятие) выполняют в форме расчетов по средним номинальным напряжениям, полагая f , =l. Это связано с приближенным геометрическим подобием резьб разных размеров и с тем, что допускаемые напряжения выби-раюг на основе испытаний резьбовых соединений или данных эксплуатации, обработанных по тем же формулам.  [c.110]

При расчетах иа усталость коэффициенты безопасности определяют ио следующим формулам, полученным в предиоложеиии подобия рабочих и предельных циклов напряжений в случае нормальных напряжений  [c.250]

Эти условия содержат лишь один параметр К. Таким образом, мы получили искомый закон подобия плоские околозвуковые течения с одинаковыми значениями числа К подобны, как это устанавливается формулами (126,6) (С. В. Фалькович, 1947).  [c.656]

Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в плоском случае —для обтекания тонкого крыла бесконечной протяженности, Для коэффициентов сопротивлення и подъемной силы получаются при этогуг формулы вида  [c. 659]

Число Кнудсена можно выразить через известные критерии подобия — числа Маха М и Рейнольдса Р для этого следует использовать формулу Чепмена из кинетической теории газов, связывающую кинематическую вязкость с длиной свободного пробега II средней скоростью движения молекул с  [c.132]

Для теплоотдачи проницаемой пластины решение найдено при условии / = onst [см. формулу (12.16)1. Покажем, что в этом случае распределение массовых потоков по поверхности пропорционально изменению теплового потока около непроницаемой стенки. Из уравнения подобия для непроницаемой плоской пластины следует, что коэффициент теплоотдачи (или плотность теплового потока) уменьшается вдоль пластины пропорционально 1/]/ х. Если плотность потока массы охладителя уменьшать пропорционально 1/j/x, то при постоянной температуре стенки величина /, определяемая формулой (12.16), будет одинакова для всей поверхности  [c.418]

Помимо приведенного выше вывода формулы (11. 51) последняя могла бы быть получена также, как это было показано Лaндay , из соображений подобия. Так как в рассматриваемом случае продольного обтекания бесконечной пластины турбулентным потоком жидкости плотность потока импульса о является постоянной величиной, то —а = а, р и 2 могут быть приняты за основные параметры, определяющие движение жидкости вязкость г в число определяющих параметров не входит, поскольку ее влияние в турбулентном потоке несущественно. Но из величин ст, р и 2 можно составить только одну  [c.403]

Появление дополнительных безразмерных комплексов, не содержащихся в краевых условиях, вносит неопределенность в задачу о турбулентных течениях. Поэтому, следуя Карману, предполагают, что при изменении осредненных скоростей пульсационные скорости изменяются подобным образом, т. е. комплексы типа (1.28) остаются неизменными. Это позволяет не вводить их в уравнения подобия, предполагая, что их количественные характеристики отразятся на числовых коэффициентах этого уравнения. Таким образом, уравнения подобия для турбулентных потоков содержат те же числа подобия, что и уравнения для ламинарных потоков, только эти числа включают осредненные параметры потока. Опыт использования такой концепции при анализе подобия в условиях турбулентного течения подтверждает ее справедливость. Так формула Блазиуса, отражающая выявленную опытным путем связь коэффициента сопротивления трения трубы с критерием Рейнольдса в условиях турбулентного течения жидкости, оказалась справедливой в щироком диапазоне изменения числа Ке.  [c.18]


Треугольники в физике

Неотъемлемой частью изучения физики является решение задач. Решение любой расчётной задачи связано с формулами, поэтому надо уметь их преобразовывать. В методике преподавания физики есть инструмент называемый «треугольник формул». Он необходим для запоминания трех различных, но взаимосвязанных формул. Рассмотрим самую первую взаимосвязь трех физических величин, которые на уроках математики мы почти наизусть выучили: скорость, путь, время. Достаточно помнить лишь основную формулу и воспользоваться треугольником-помощником для её преобразования.

Таким образом, один треугольник вместил в себя сразу три формулы. Такой метод запоминания подойдёт и для любых других похожих формул, только нужно вписать нужные величины.

Теперь рассмотрим физическую задачу, в которой могут быть использованы знания свойств треугольника.

Задача (ЕГЭ, 2016): Точечное тело массой 2 кг свободно движется по горизонтальному столу вдоль оси ОХ с постоянной скоростью, модуль которого равен 4м/с. В некоторый момент времени на это тело начинает действовать сила 8Н, направленная вдоль стола в положительном направление ОУ. Чему равен импульс тела через одну секунду после действия силы?

Решение: Величина импульса, направленного вдоль оси ОХ равна . Величина импульса, направленного вдоль оси ОУ равна . Построим чертеж:

Равнодействующий импульс направлен по биссектрисе прямого угла равнобедренного треугольника. Значит значение его будет .

Ответ: .

Подобие треугольников, в частности подобие прямоугольных треугольников, моделирует правило рычага. Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры.

Правило рычага гласит: Рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам: . Геометрическое объяснение описываемого явления легко заметить из подобия треугольников AOF1 и AOF2.

Задача (ЕГЭ 2015): Рычаг изготовлен из легкой доски. Где должна быть точка опоры, чтобы рычаг находился в равновесии?

Решение: Имеем следующие данные: F1=300Н, F2=200Н. Вспомним правило рычага: . Значит, первое плечо l1 составляет 1/3 длины рычага, второе плечо l2 составляет 2/3 длины рычага.

Равенство углов, сумма углов треугольника, подобие треугольников находят применение при решение задач по оптике.

Например:Известно, что луч света параллельный главной оптической оси линзы, пройдя через линзу, изменяет свое направление так, что его действительное или воображаемое продолжение проходит через главный фокус; луч, проходящий через оптический центр линзы, направления не изменяет. Построив изображение описываемого процесса, мы видим, что линейное увеличение линзы (отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета)равно отношению расстояния от линзы до изображенияfк расстоянию от линзы до предмета.

Рассмотрим несколько примеров таких задач с использованием теоремы Пифагора для решения. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

  1. При строительстве в зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.
  2. Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

Задача: Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение: По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.

  1. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

Задача: В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение: Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м., 

Ответ: 5,7 метров.

  1. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать типичную задачу.

Задача: Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, в радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB.

OB = r + x . Используя теорему Пифагора, получим ответ.

Ответ: 2,3 км.

Задача: 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле «Восток» был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км).

Решение: Точка А – место расположения космического корабля. Точка В — видимый космонавтом участок поверхности Земли. Точка О – центр Земли. Так как АВ – касательная к окружности, а ОВ – радиус, то получаем, что треугольник АВО – прямоугольный с прямым углом В. ОВ=6380. ОА=327+6380=6707. По теореме Пифагора катет АВ=2069км.

Задача индийского математика XII века Бхаскары.

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора . Высота тополя равна DC = DB + BC = 5 + 3 = 8м

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти нужно.»

Решение: По теореме Пифагора  стоп.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»: Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Решение: x – глубина водоема, x+1 – длина камыша. По теореме Пифагора составим уравнение . Решив это уравнение, получаем значение x=12.

Ответ: глубина озера составляет 12 метров, длина камыша – 13 метров.

Такие задачи описаны в различных книгах, которые показывают нам историческую значимость теоремы Пифагора. В дополнение предлагаем решить некоторые задачи из области физики, которые с легкостью можно решить на уроке геометрии. На уроках по физике ученики сталкиваются с теоремой Пифагора чаще всего при изучении механических и оптических явлений.

Задача: Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2 м/с, катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега?

Решение:

По теореме Пифагора получаем

Ответ: скорость лодки должна быть равной 4,03 м/с.

Задача: Мяч брошен под углом 450 к горизонту со скоростью 20 м/с с поверхности Земли. Найдите высоту подъема мяча через 2 секунды.

Решение:

Задача 3: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Решение:

Длина троса является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора получаем . Устанавливают 4 троса. 4·13=52м.

Ответ: 50 метров троса не хватит, нужно еще 2 метра.

Стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. Например, в задаче по физике можно в формулу расчёта кинетической энергии  объекта массой m при скорости v применяем теорему Пифагора и получаем следующее. Энергия при скорости в 500 км/ч равна сумме энергий при скорости в 400 км/ч и при скорости в 300 км/ч. Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.

Решим физическую задачу, пользуясь только геометрическими соображениями.

Задача: Фонарь подвешен на двух равных по длине тросах. Вес фонаря равен 10 Н. Определите силу натяжения каждого из тросов.

В треугольнике АВС по теореме Пифагора найдем длину троса АВ:  Пусть вся сила натяжения троса F направлена по вектору ВА. Имеем пропорциональное соотношение:  Так как фонарик подвесили на два троса, то сила натяжения одного торса равна 50,2 Н.

Ответ: 50,2 Н.

Список литературы:

  1. Ковтунович М. Г. — Домашний эксперимент по физике. 7-11 классы (Библиотека учителя физики) – 2007
  2. Робертсон Б. Современная физика в прикладных науках. М., 1985.
  3. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 381

подобных треугольников, теоремы, формулы, доказательства и законы | Как доказать наличие подобных треугольников — видео и расшифровка урока

Формула подобных треугольников

Что такое формула подобных треугольников? Как показано в приведенном выше примере, если два треугольника подобны, то существуют следующие условия:

  • Подобные треугольники имеют соответствующие углы, которые конгруэнтны или имеют одинаковую меру.
  • У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны или связаны друг с другом в постоянном отношении.

Эти условия применимы к любой паре подобных треугольников. Подобные треугольники не обязательно должны быть ориентированы одинаково. В приведенном ниже примере UVW {eq}\sim {/eq} XYZ .

Повернутые подобные треугольники

Порядок вершин помогает идентифицировать соответствующие стороны и углы. Цвета облегчают определение соответствующих углов.

{экв}\угол{U}\ \конг\ \угол{X} \\ \угол{V}\ \конг\ \угол{Y} \\ \угол{W}\ \конг\ \угол{Z } {/eq}

и

{eq}\frac{UV}{XY}\ =\ \frac{VW}{YZ}\ =\ \frac{WU}{ZX} {/eq}

Закон подобных треугольников состоит в том, что соответствующие углы равны, а длины соответствующих сторон пропорциональны.

Теоремы о подобии треугольников

Существуют три различных теоремы о подобии треугольников или способов доказать, что треугольники подобны. Три теоремы:

  • Сходство стороны-угла-стороны (SAS)
  • Боковое сходство (SSS)
  • Сходство углов (AA)

Каждая теорема более подробно описана ниже.

Сторона-угол-сторона (SAS) Подобие

Теорема подобия сторона-угол-сторона (SAS) утверждает, что треугольники подобны, если:

  • Отношения двух соответствующих сторон треугольников пропорциональны друг друга.
  • Вложенный угол, или угол между пропорциональными сторонами, конгруэнтен в двух треугольниках.

Если каждая пара треугольников имеет конгруэнтный угол, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны, то третья сторона также должна быть пропорциональна.

SAS подобные треугольники

В этом примере {eq}ABC \sim DEF {/eq} означает

{eq}\frac{AB}{DE}\ =\ \frac{BC}{EF}\ =\ \ frac{CA}{FD} {/eq}

Посмотрите на стороны треугольников. AB = 10, DE = 5, CA = 8 и FD = 4 и подставьте их в формулу.

{eq}\frac{AB}{DE}\ =\ \frac{CA}{FD} \\ \frac{10}{5}\ =\ \frac{8}{4} \\ 2\ = \ 2 {/eq}

Стороны пропорциональны или связаны одним и тем же соотношением. Теперь посмотрите на прилежащие углы A и D. Это углы, расположенные между пропорциональными сторонами.

{eq}\angle{A}\ \cong\ \angle{D} \\ 80\ =\ 80 {/eq}

Эти углы равны. Если пара соответствующих сторон пропорциональна, а углы между этими сторонами конгруэнтны, проверяется, что {eq}ABC \sim DEF {/eq} с помощью Side-Angle-Side или SAS.

Сторона-сторона-сторона (SSS) Сходство

Теорема подобия сторона-сторона-сторона (SSS) утверждает, что треугольники подобны, если:

  • Отношения всех трех пар соответствующих сторон треугольников пропорциональны для другого.

Если у треугольников все три соответствующие стороны пропорциональны друг другу или связаны одним и тем же отношением, то треугольники пропорциональны.

SSS подобные треугольники

В этом примере {eq}GHI \sim JKL {/eq}, что означает

{eq}\frac{GH}{JK}\ =\ \frac{HI}{KL}\ =\ \ frac{IG}{LJ} {/eq}

Посмотрите на стороны треугольников.GH = 8, HI = 6, IG = 6, JK = 16, KL = 16 и LJ = 12 и подставьте их в формулу.

{eq}\frac{GH}{JK}\ =\ \frac{HI}{KL}\ =\ \frac{IG}{LJ} \\ \frac{8}{16}\ =\ \frac {6}{12}\ =\ \frac{6}{12} \\ \frac{1}{2}\ =\ \frac{1}{2}\ =\ \frac{1}{2} { /eq}

Со всеми тремя парами соответствующих сторон, пропорциональными друг другу, проверяется, что {eq}GHI\ \sim\ JKL {/eq} по Side-Side-Side, или SSS.

Сходство между углами (AA)

Теорема подобия угол-угол (AA) утверждает, что треугольники подобны, если:

  • Две пары соответствующих углов равны или имеют одинаковую меру.

Если две пары соответствующих углов равны, то треугольники равны.

AA подобные треугольники

В этом примере {eq}MNO\ \sim\ PQR {/eq}, что означает

{eq}\angle{M}\ \cong\ \angle{P} \\ \angle{N}\ \cong\ \angle{Q} \\ \angle{O}\ \cong\ \angle{R} {/eq}

Посмотрите на углы, размеры которых показаны. В каждом треугольнике есть прямой угол и угол 65 градусов.Напомним, что сумма мер треугольника всегда равна 180. Если два угла равны 90 и 65, то третий должен быть 180 — (90 + 65), или 35 градусов. Итак, все три пары соответствующих углов треугольников конгруэнтны друг другу.

{eq}35\ =\ 35 \\ 65\ =\ 65 \\ 90\ =\ 90 {/eq}

Все три соответствующих угла в этой паре треугольников равны, поэтому проверяется, что {eq} MNO \sim PQR {/eq} по углу-углу или AA.

Как доказать подобные треугольники

Существует ли доказательство подобных треугольников? Чтобы решить, подобны ли треугольники, рассмотрите предоставленную информацию и посмотрите, соответствует ли она какой-либо из трех теорем о подобных подобных треугольниках. Вот несколько примеров.

Пример 1

Является ли {eq}STU\ \sim\ VWX {/eq}?

Треугольники подобны?

Все длины сторон даны, поэтому проверьте, пропорциональны ли соответствующие стороны.

{eq}\frac{ST}{VW}\ =\ \frac{TU}{WX}\ =\ \frac{US}{XV} \\ \frac{18}{9}\ =\ \frac {8}{4}\ =\ \frac{12}{6} \\ 2\ =\ 2\ =\ 2 {/eq}

Все три пары соответствующих сторон пропорциональны, поэтому {eq}STU\ \ sim\VWX {/eq} по бок-бок-бок, или SSS.

Пример 2″

Является ли {eq}XYZ\ \sim\ ABC {/eq}?

Треугольники подобны?

Даны две пары длин сторон и одно измерение угла. Возможно, эти треугольники подобны стороне-углу-стороне, или SAS. Посмотри снова. Конгруэнтные углы {eq}\angle{Z}\ \cong\ \angle{C} {/eq} не лежат между заданными длинами сторон. Даже если соответствующие стороны пропорциональны, конгруэнтные углы не лежат между этими пропорциональными сторонами.Меры включенных углов, {eq}\angle{X} {/eq} и {eq}\angle{A} {/eq}, не даны, поэтому нет никакого способа доказать, что они конгруэнтны. Таким образом, нельзя доказать, что эти треугольники подобны.

Пример 3

Является ли {eq}JKL\ \sim\ PQR {/eq}?

Треугольники подобны?

Дана мера двух пар соответствующих углов, и эти углы равны.

{eq}\угол{J}\ \cong\ \angle{P} \\ 40\ =\ 40 \\ \angle{L}\ \cong\ \angle{R} \\ 60\ =\ 60 { /eq}

Если есть две пары соответствующих конгруэнтных углов, то все три пары соответствующих углов должны быть конгруэнтными. Третий угол в каждом треугольнике равен 180 — (40 + 60), поэтому {eq}\angle{K}\ \cong\ \angle{Q} {/eq} = 100 градусов.

Если у двух треугольников три пары соответствующих углов равны, то такие треугольники подобны. Итак, {eq}JKL\\sim\PQR {/eq} по углу-углу, или АА.

Краткий обзор урока

Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но разных размеров. Треугольники должны обладать двумя важными качествами, чтобы считаться подобными треугольниками. Подобные треугольники имеют соответствующие углы, которые равны или имеют одинаковую меру. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны или связаны друг с другом в постоянном отношении. Соответствующий означает, что углы и стороны находятся в одном и том же положении на фигуре.

Существует три различных теоремы о подобии треугольников или способов доказать, что треугольники подобны. Вот три теоремы:

  • Подобие стороны-угла-стороны (SAS) : Если длины двух пар соответствующих сторон пропорциональны, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • Сходство стороны-стороны-стороны (SSS) : Если длины всех трех пар соответствующих сторон пропорциональны, то треугольники подобны.
  • Сходство углов (AA) : Если две пары соответствующих углов конгруэнтны, то треугольники подобны.

Загрузить математические формулы для 10-го класса по главам PDF

Математические формулы для 10-го класса:  Запоминать математические формулы для 10-го класса довольно сложно. Студенты склонны нервничать и легко забывать эти формулы. Эти формулы способствуют созданию основы математики для старших классов, вступительных и конкурсных экзаменов.Формулы в 10 классе облегчают учащимся решение сумм с предельной точностью. Математические формулы могут использоваться в различных предметах и ​​областях помимо математики. Например, тригонометрия, статистика, вероятность, уравнения и многие другие математические формулы класса 10 используются в бухгалтерском учете, медицине, архитектуре, финансах, инженерии, информатике и многих других профессиях. Таким образом, освоение математических формул 10 класса необходимо для облегчения жизни каждого человека.

Учащиеся могут получить доступ к математическим формулам 10-го класса по главам, чтобы подготовиться к экзаменам.Также студентам рекомендуется скачать PDF этих формул PDF, чтобы обращаться к ним в автономном режиме при подготовке к экзаменам. Прокрутите вниз, чтобы найти все о математических формулах CBSE для класса 10.

Последнее обновление

Последнее обновление:

В феврале 2022 года совет вскоре опубликует приемную карточку и лист с датами экзаменов.

Embibe предлагает широкий спектр учебных материалов, включая PDF-файлы с наборами решений, книги NCERT и контрольные работы за предыдущий год. Студенты могут следовать этим учебным материалам, чтобы понять правильный подход к подготовке к экзаменам. Наборы решений готовятся группой экспертов, которые понимают схему выставления оценок и образец экзамена, которым следует совет CBSE.

Изучите концепции 10-го экзамена CBSE

Математические формулы для 10 класса (по главам)

Составление всех математических формул CBSE Class 10 — непростая задача для учащихся.Тем не менее, очень важно получить хорошие баллы на экзаменах в 10-м классе, а математика является одним из обязательных предметов в 10-м классе, по которому учащиеся могут набрать хорошие баллы. Этот экзамен состоит из 100 баллов и охватывает все основные темы математики. Мы в Embibe рассмотрели все формулы Maths Class 10 NCERT PDF, чтобы помочь вам в подготовке к экзамену. Этот экзамен длится 3 часа, и для того, чтобы хорошо управлять этим доступным временем во время экзамена, вы должны знать все важные понятия и их формулы.Изучение математики требует много времени из-за необходимости решения задач и расчетов. Чтобы изучить эти математические формулы 10-го класса, учащиеся могут использовать PDF-файлы, созданные Embibe. Прежде чем перейти к списку формул, давайте проверим основные главы математики для 10 класса, для которых нужны формулы:

Математические формулы для арифметической прогрессии (AP) для класса 10

Если a1, a2, a3, a4…. . — термины AP, а d — общая разница между каждым термином, то последовательность может быть записана как: a, a + d, a + 2d, a + 3d, а + 4д…… а + нд.где a — первый член, а (a + nd) — (n — 1)-й член. Итак, формула для расчета n-го члена АР имеет вид:

n th  term = a + (n-1) d

Сумма для n-го члена AP, где a — 1-й член, d — общая разность, а l — последний член, определяется как:

S n  = n/2 [2a + (n-1) d] или S n  = n/2 [a + l]

Скачать

Математические формулы для линейных уравнений, класс 10

Линейные уравнения с одной, двумя и тремя переменными имеют следующий вид:

Линейное уравнение с одной переменной ax + b=0 Где a ≠ 0, а a и b действительные числа a ≠ 0 и b ≠ 0, а a, b и c — действительные числа
Линейное уравнение с тремя переменными ax + by + cz + d = 0 Где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 a, b, c, d — действительные числа

Пара линейных уравнений с двумя переменными имеет вид:

a 1 x+b 1 +c 1 =0 и a 2 x+b 2 +c 2 =0

Где

3 1

, B 1 , C 1 , C 1 , C 2 , B 2 , C 2 , C 2 — это реальные номера и A 1 2 + B 1 2  ≠ 0 и а 2 + b 2 2  ≠ 0

Краткое примечание: Линейные уравнения также могут быть представлены в графической форме.

Тригонометрические формулы по математике для 10 класса

Тригонометрические формулы для класса 10 охватывают основные тригонометрические функции для прямоугольного треугольника, т.е. синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan), которые можно использовать для получения косеканса (cos), секанса (sec). ) и котангенс (cot).

Пусть прямоугольный треугольник ABC является прямоугольным в точке B и имеет \(\угол \theta\) один из двух других углов.

sin θ = \(\frac{Сторона\, противоположная\, к\, угол\, \theta}{Гипотенуза}\) = \(\frac{Перпендикуляр}{Гипотенуза}\) = P/H

потому что θ = \(\frac{Смежная\, сторона\, к\, угол\, \theta}{Гипотенуза}\) = \(\frac{Смежная сторона}{Гипотенуза}\) = B/H

тангенс θ = \(\frac{Сторона\, напротив\, к\, угол\, \тета}{Смежный\, сторона\, к\, угол\, \тета}\) = P/B

сек θ = \(\frac{1}{cos\, \theta}\)

детская кроватка θ = \(\frac{1}{tan\, \theta}\)

cosec θ = \(\frac{1}{sin\, \theta}\)

тангенс θ = \(\frac{Sin\, \theta }{Cos\, \theta}\)

Тригонометрическая таблица , содержащая значения этих тригонометрических функций для стандартных углов, выглядит следующим образом:

Угол ° ° ° °
0 ° 30 45 60 90
sinθ 0 1/2 1 / √2 √3 / 2 1
COSθ 1 √3 / 2 1 / √2 ½ 0
Tanθ 0 1 / √3 1 √3 undefined
COTθ undefined √3 1 1 / √3 0
Secθ 1 2 / √3 √2 2 undefined
undefined 2 2 √2 2 / √3 1

Некоторые другие тригонометрические формулы приведены ниже:

  1. Грех (90 ° — θ) = Cos θ
  2. COS (90 ° — θ) = SIN θ
  3. TAN (90 ° — θ) = COT θ
  4. COT ( ° — θ) = Tan θ
  5. Sec (90 ° — θ) = COSECOθ
  6. COSEC (90 ° — θ) = Secθ
  7. SIN 2 θ + Cos 2 θ = 1
  8. 2 θ = 1 + tan 2 θ для 0 ° 9 ≤ θ <90 ≤ θ <90
  9. COSEC 2 θ = 1 + COT 2 θ для 0 ° ≤ θ ≤ °

Математические формулы для алгебры и квадратных уравнений 10 класса

Чтобы знать алгебраические формулы для 10 класса, сначала вам нужно ознакомиться с квадратными уравнениями. 2-4ас}}{2а}\)

Теперь вы знаете основное квадратное уравнение.

Давайте теперь пройдемся по списку алгебраических формул для класса 10:

  1. (A + B) 2 = 2 + B 2 + 2ab
  2. (AB) 2 = A 2 + B 2 — 2ab
  3. (A + B) ( ab) = a – b 2
  4. (x + a)(x + b) = x 2  + (a + b)x + ab
  5. (x + a)(x – b) = x 2  + (a – b)x – ab
  6. (a + b) 3  = a 3  + b 3  + 3ab(a + b)
  7. (a – 9) 3903  = а 3  – b 3  – 3ab(a – b)
  8. (x – a)(x + b) = x 2  + (b – a)x – ab
  9. (x – a )(x – b) = x 2  – (a + b)x + ab
  10. (x + y + z) 2  = x 2  + y 2  + z + z 2 y + 2yz + 2xz
  11. (x + y — z) 2 = y 2 + Z 2 + Z 2 + 2xy — 2yz — 2xz
  12. (X — Y + Z) 2 = X 2  + y 2  + z 2  – 2xy – 2yz + 2xz
  13. 900 07 (x — y — z) 2 = Z 2 + Z 2 — 2xy + 2yz — 2xz
  14. x 3 + y 3 + Z 3 — 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz -xz)
  15. x 2 + y 2  =½ [(x + y) 2  + (x – y) 2 ]
  16. (x + a) (x + b) (x + c) = x 3  + (a + b +c)x 2  + (ab + bc + ca)x + abc
  17. x 3 + Y 3 = (x + y) (xy + y 2 )
  18. x 3 — Y 3 = (x — Y) (x 2 + xy + y 2 )
  19. x 2 + y 2 + Z 2 -xy — YZ — ZX = ½ [(XY) 2 + (YZ) 2 + (ZX) 2 ]

Краткое примечание : Эти формулы будут важны в старших классах и на различных конкурсных экзаменах. Итак, запомните их и хорошо их поймите.

Математические формулы для круга для 10 класса

Формулы кругов служат основой для измерения. Формулы математического круга 10 класса для круга радиусом r приведены ниже:

  • 1. Длина окружности = 2 π r
  • 2. Площадь окружности = π r 2
  • 3. Площадь сектора угла θ = (θ/360) × π r 2
  • 4. Длина дуги сектора угла θ = (θ/360) × 2 π r

Математические формулы для площади поверхности и объема 10 класса

Эти формулы очень важны для успешного решения задач измерения.2H \)

R = RADIUS,
L = высота наклона,
ч = высота

4

5 5 6 LSA: 2H (L + B)
TSA: 2 (LB + BH + HL )
Объем: LBH

L = Длина,
B = ширина,
H = высота

5 CUBE
LSA: 4A 2
TSA: 6A 2
Объем:  a 3

a = стороны куба

Практические вопросы 10-го экзамена CBSE

Математические формулы для статистики 10 класса

Статистика в классе 10 в основном посвящена нахождению среднего, медианы и режима заданных данных. {n}f_{i}}\times h\)

(II) Режим сгруппированных данных: Mode = l +\(\frac{f_{i}-f_{0}}{2f_{1 }-f_{0}-f_{2}}\раз ч\)

(III) Медиана для сгруппированных данных: Медиана = l+\(\frac{\frac{n}{2}-cf}{f}\times h\)

Почему учащиеся должны запоминать все важные математические формулы для 10 класса?

Математические формулы являются основными компонентами, необходимыми для решения сложных математических задач, и они очень полезны в следующих случаях:

  • Математические формулы для 10 класса PDF охватывает все важные формулы всех глав.
  • Кандидаты, использующие PDF, получат легкий доступ ко всем главам в одном месте.
  • Формула PDF подготовлена ​​таким образом, что она охватывает последнюю учебную программу CBSE по главам.
  • Благодаря этому студенты могут легко повторять все важные вещи в одном месте.

Часто задаваемые вопросы по математическим формулам для класса 10

Вот несколько часто задаваемых вопросов, которые учащиеся задают относительно математических формул для 10 класса.

В: Как учащиеся могут выучить математические формулы для 10-го класса?
Ответ: Для изучения математических формул учащиеся должны воспользоваться формулами, представленными в предыдущем разделе этой статьи.

В: Как ученики должны запоминать математические формулы?
Ответ: Изучение и запоминание математических формул требует много усилий и практики. Учащиеся должны быть знакомы с главами и понятиями, а затем попытаться понять, как выводится формула.

В: Сложно ли изучать программу NCERT по математике для 10 класса?
Ответ: Уровень сложности математики средний, а темы варьируются от начального до продвинутого. Кандидат должен быть знаком с формулами, облегчающими изучение и решение математических задач.

В: Каковы важные темы программы NCERT по математике для 10 класса?
Ответ: Важные темы программы NCERT по математике для 10 класса включают статистику и вероятность, геометрию и алгебру.

В: Где учащиеся могут получить математическую формулу для площади поверхности и объема?
Ответ: Студенты, которые ищут математическую формулу для площади поверхности и объема , могут найти их в этой статье.

Попытка 10-го экзамена CBSE Пробные тесты

Вот некоторые из важных формул по математике для 10 класса.Эти математические формулы для 10 класса окажутся полезными в вашем учебном процессе. Они пригодятся вам при повторении учебного плана по математике 10 класса CBSE.

Решите бесплатные  вопросы по математике для 10 класса  и используйте эти формулы, чтобы получить более высокие баллы на экзаменах по математике для 10 класса:

Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой статьи о математических формулах для класса 1 0, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

4207 Просмотров

Загрузить CBSE NCERT Математические формулы для 7 класса PDF

Математические формулы для 7 класса : Математика является одним из самых важных предметов, потому что она помогает обострить память и улучшить способности учащихся к критическому и аналитическому мышлению. Многие школьники считают математику сложным предметом. Но с вашими ясными концепциями и большой практикой с юных лет можно освоить предмет. Чтобы помочь вам в этом, мы тщательно составили список математических формул для 7-го класса по главам, чтобы вам не пришлось тратить свое драгоценное время на их поиск.Обращайтесь к этим математическим формулам для 7-го класса при решении практических вопросов и осваивайте их применение.

СКАЧАТЬ NCERT SOLUTIONS ДЛЯ 7 КЛАССА МАТЕМАТИКА ЗДЕСЬ

Математические формулы по главам для класса 7

Прежде чем доказывать формулы, давайте взглянем на список глав, изучаемых в математике для 7 класса.

  1. целых чисел
  2. фракций и десятичных случаев
  3. обработка данных
  4. простые уравнения
  5. линии и углы
  6. треугольник и его свойства
  7. Конрумство треугольников
  8. Сравнение количеств
  9. Rational Numbers
  10. Практическая геометрия
  11. Алгебраические выражения
  12. Symmetry
  13. Визуализация твердых форм

Теперь перейдем к математическим формулам для 7 класса.

Важные математические формулы для 7 класса

Важные формулы по математике для 7 класса представлены ниже:

Целые числа Формулы 1) a – b = a + аддитивная обратная величина b = a + (– b)
2) a – (– b) = a + аддитивная обратная величина (– b) = a + b
3) a + (b + c) = (a + b) + c
4) a × (– b) = (– a) × b = – (a × b)
5) (– a) × (– b) = a × b
6) (a × b) × c = a × (b × c)
7) a × (b + c) = a × b + a × c
8) a × (b – c) = a × b – a × c
9) a ÷ (–b) = (– a) ÷ b, где b ≠ 0
10) (– a) ÷ (– b) = a ÷ b, где b ≠ 0
11) a ÷ 0 не определено & a ÷ 1 = a
Дроби и десятичные дроби 1) \(\frac{product \,of \,numerators}{Product \,of \ ,знаменатели}\) .Например, \(\frac{4}{5}\times \frac{3}{7}= \frac{4\times3}{5\times7}=\frac{12}{35}\)

2) Чтобы умножить десятичное число на 10, 100 или 1000, мы передвигаем запятую в числе вправо на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1.
Таким образом, 0,69 × 10 = 6,9, 0,69 × 100 = 69, 0,69 × 1000 = 690, а для десятичных чисел с ямочками см. пример – 0,6 × 0,9 = 0,54

3) Деление десятичного числа – Чтобы разделить десятичное число на целое число, мы сначала разделим их как целые числа.
Затем поставьте запятую в частном, как в десятичном числе. пример 12.4 ÷ 4 = 3.1

Обработка данных
Простые уравнения Уравнение — это условие для переменной, при котором два выражения в переменной должны иметь одинаковое значение.
Пример: 5x + 6 = 26, левая и правая стороны должны быть сбалансированы, поэтому, чтобы сбалансировать уравнение, значение x должно быть равно 4.
Приведенное выше уравнение можно решить как
> 5x = 26 – 6
> 5x = 20
> x = \(\frac{20}{5}\)
> x = 4
Линии и углы Два дополнительных угла: Сумма мер дает 90°
Два дополнительных угла: Сумма мер составляет 180°
Два смежных угла: Имеют общую вершину и общее плечо, но не имеют общей внутренней части. 2+x( a+b)+(ab)\)
Показатели и степени p xp = p m+n
{m 310} / {p n } = p mn
(стр м ) N = P Mn = P Mn
P -M = 1 / P M
P 1 = P
P = 1

Теперь у вас есть полный список математических формул для 7 класса.Повторяйте формулы по мере продвижения по учебной программе и регулярно применяйте их, чтобы лучше усвоить предмет.

Изучите концепции 7-го экзамена CBSE

Часто задаваемые вопросы по математическим формулам для класса 7

При поиске математических формул для 7 класса у ученика возникает множество вопросов. Здесь мы собрали некоторые из вопросов, которые обычно ищут студенты:

  В1. Как я могу изучать математику в 7 классе?

A: Математика для 7-го класса состоит из 15 глав, которые представляют собой расширенные версии тем из 6-го класса. 2\)

Вопрос 3. Что такое формулы 11-й главы математики для класса 7?

A: Математика для 7 класса. Глава 11. Периметр и площадь, и их формулы приведены в этой статье.

Q4: Где я могу найти формулу целых чисел для класса 7?

A: В этой статье доступны целочисленные формулы, такие как a × (– b) = (– a) × b = – (a × b). Вы можете просмотреть их здесь.

ПОСМОТРЕТЬ ПОДРОБНУЮ ПРОГРАММУ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 7 КЛАССА ЗДЕСЬ

Мы надеемся, что в этой статье вы найдете всю информацию о математических формулах для 7 класса.Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Получайте удовольствие от обучения и Всего наилучшего от Team Embibe!

1548 просмотров

Площадь подобных треугольников — свойства, формулы и примеры решения

Площадь двух подобных треугольников предполагает, что если два треугольника стоят подобные друг другу, то отношение площадей подобных треугольников будет пропорционально квадрату отношение соответствующих сторон подобных треугольников. Это доказывает, что отношение площадей обоих подобных треугольников пропорционально квадратам соответствующих сторон двух подобных треугольников. Подобие треугольников обозначается символом «~».

Свойства площади подобных треугольников

  • Два подобных треугольника имеют одинаковую форму, но могут отличаться по размеру.

  • Отношение соответствующих сторон подобных треугольников одинаково.

  • Каждая пара соответствующих углов подобных треугольников равна.

Формулы площади подобных треугольников

Согласно определению, два треугольника считаются подобными, если их соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. Таким образом, мы можем определить размеры одного треугольника, используя другой треугольник. Если PQR и XYZ — два подобных треугольника, то, используя приведенные ниже формулы, мы можем просто определить соответствующие длины сторон и углы.

 ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y и ∠R = ∠Z

PQ/XY = QR/YZ = PR/XZ

Как только мы познакомимся со всеми углами и размерами треугольников, будет легко определить площади подобных треугольников.

Подобные треугольники и конгруэнтные треугольники

Ниже приведено сравнение подобных треугольников и конгруэнтных треугольников в табличной форме.

Другие треугольники

Consgrouent Trangles

Они одинаковы форма, но могут отличаться в размере

Они одинаковы в форме, а также размер

Символ, используемый для обозначения подобных треугольников, является «~ ‘

, символ, используемый для обозначения конгруэнтных треугольников, является« ≅ »

Соотношение всех соответствующих сторон

обеих треугольников те же самые

Отношения соответствующих сторон

эквивалентны постоянной величине

Теоремы о подобных треугольниках с доказательствами

Существуют различные теоремы, которые мы сейчас изучим. Они в основном используются для решения задач, окруженных подобными треугольниками, вместе с доказательствами для каждой из них.

1. Сходство между углами или (ААА)

По принципу ААА предполагается, что если любые два угла треугольника эквивалентны любым двум углам другого треугольника, то эти два треугольника будут подобны друг другу. разное.

Из приведенного ниже рисунка, если ∠ A = ∠D и ∠C = ∠F, то ΔABC ~ ΔDEF.

Из полученного результата мы легко можем заключить, что

AB/DE = BC/EF = AC/DF

And ∠B = ∠Y

[Изображение скоро будет загружено]

2.Сходство стороны-стороны-стороны (SSS)

Согласно постулату, если все три стороны треугольника даны в пропорции к трем сторонам другого треугольника, то говорят, что эти два треугольника подобны.

Таким образом, если AB/DE = BC/EF = AC/DF, то ΔABC ~ ΔDEF.

Из полученного выше результата мы можем прийти к выводу, что-

∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F

3.

Сходство стороны-угла-стороны или (SAS)

Постулирование подразумевает, что если две стороны треугольника или подобного объекта находятся в той же пропорции, что и две стороны другого треугольника, и углы, образуемые двумя сторонами в обоих треугольниках, эквивалентны относительно друг друга, то говорят, что два треугольника подобны.

Следовательно, если ∠A = ∠D и AB/DE = AC/DF, то ΔABC ~ ΔDEF.

Из принципа конгруэнтности

AB/DE = BC/EF = AC/DF

и ∠B = ∠E и ∠C = ∠F

Решенные примеры

Рассмотрим пример, чтобы понять подобные треугольники и конгруэнтность в лучшую сторону.

[Изображение скоро будет загружено]

Пример:

В ΔABC длины сторон даны как AP = 10 см, PB = 15 см и BC = 30 см. Также сторона PQ||BC.Определить ПК.

Решение:

В заданных ΔABC и ΔAPQ

∠PAQ является общим и ∠APQ = ∠ABC (с использованием соответствующих углов)

⇒ ΔABC ~ ΔAPQ (по принципу критерия ААА для подобных треугольников5 9000s) 9000s ⇒ AP/AB = PQ/BC

⇒ 10/20 = PQ/30

⇒ PQ = 20/2 см

⇒ PQ = 10 см

похожи. Два угла, данные в треугольнике ABC, равны ∠A = 40° и ∠B = 70°, а для треугольника DEF ∠D=60° и ∠F=80°.

Решение: 

В треугольнике ABC с использованием свойства суммы углов;

∠A + ∠B + ∠C = 180°

40° + 70° + ∠C = 180°

110° + ∠C = 180°

Вычесть обе стороны на 110°.

∠ C= 70°

Снова в треугольнике DEF, (по критерию свойства суммы углов)

∠D + ∠E + ∠F = 180° °

∠ 140° + ∠E = 180 °

Теперь, вычитая обе стороны на 140°

, мы получаем

∠ E = 40°

Поскольку, ∠A = ∠ E = 40° и ∠A = ∠E = 40° и F= 70°

Таким образом, по правилу угла-угла (AA)

ΔABC~ΔDEF.

Подобные треугольники – определение, свойства, формулы, примеры

Что такое подобные треугольники

Два треугольника подобны, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры. Таким образом, математически, если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны, а их соответствующие углы равны. Например, все равносторонние треугольники всегда подобны.

Ниже показаны два подобных треугольника, ΔABC и ΔPQR, которые математически представлены символом ~.Здесь ΔABC ~ ΔPQR.

Подобные треугольники

Кроме того, при повороте или отражении треугольника и его переименовании будут образовываться подобные треугольники.

Подобные треугольники перевернуты

Свойства

Свойства формул подобных треугольников
  1. Имеет одинаковую форму, но размер может отличаться; в ΔZYX и ΔPQR, ΔZYX > ΔPQR размера
  2. Каждая пара соответствующих углов конгруэнтна; здесь ∠Z ≅ ∠P, ∠Y ≅∠Q и ∠X ≅ ∠R
  3. Имеет одинаковое отношение соответствующих сторон: здесь x/r = z/p = y/q

Доказательство подобных треугольников: Правила

Есть три способа определить, подобны ли треугольники, условия приведены ниже:

Правила подобных треугольников

1) Угловая линейка (AA)

Утверждается, что если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти два треугольника подобны.

Из приведенного выше рисунка с правилом AA мы можем написать

AB/EF = BC/FG = AC/EG и ∠B ≅ ∠F

Таким образом, чтобы доказать, что два треугольника подобны, достаточно показать, что два угла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим углам другого треугольника.

2) Сторона-Угол-Сторона (SAS) Правило

Он гласит, что если отношение двух соответствующих сторон пропорционально, а также угол, образованный этими двумя сторонами, равен, то два треугольника подобны.

На приведенном выше рисунке с правилом SAS мы можем написать

.

AB/EF = BC/FG = AC/EG и ∠B ≅ ∠F, ∠C ≅ ∠G

Таким образом, для доказательства сходства треугольников с помощью SAS достаточно показать, что множества соответствующих сторон пропорциональны и углы между ними равны.

3) Сторона-сторона-сторона (SSS) Правило

Он утверждает, что если все три соответствующие стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то эти два треугольника подобны.

Из приведенного выше рисунка с правилом SSS мы можем написать

∠A ≅ ∠E ∠B ≅ ∠F и ∠C ≅ ∠G

Таким образом, чтобы доказать треугольники, подобные SSS, достаточно показать, что три набора соответствующих сторон пропорциональны.

Как решать задачи на подобные треугольники

Есть два типа подобных задач треугольника. Один набор требует доказательства того, подобны ли данный набор треугольников, а другой требует вычисления недостающих углов и длин сторон подобных треугольников.

Давайте решим несколько задач, чтобы понять концепцию.

Какие из данных пар треугольников подобны? Напишите правило сходства, определяющее их отношения.

Решение:

а) ΔABC ~ ΔPQR по правилу подобия SSS, b) Не похоже, c) ΔSTU ~ ΔSVW по правилу подобия SAS, d) ΔKLM ~ ΔHIJ по правилу подобия AA

Ниже приведены два треугольника. Они похожи?

Решение:

В ΔEFG, по свойству суммы углов
∠E + ∠F + ∠G = 180°
80° + ∠F + 30° = 180° 30°)
∠F = 70°
Аналогично, в ΔLMN, по свойству суммы углов
∠L + ∠M + ∠N = 180°
80° + 70° + ∠N = 180°
∠N = 180° – (80° + 70°)
∠N = 30°
Так как
∠F = ∠M = 70° и ∠N = ∠G = 30°
Таким образом, согласно правилу АА,
ΔEFG ~ ΔLMN

В данном треугольнике ΔABC со сторонами AE = 2 см, EB = 4 см и BC = 9 см. Также ЭФ || ДО Н.Э. Рассчитать ЭФ.

Решение:

В ΔABC и ΔAEF
∠EAF является общим и ∠AEF = ∠ABC (соответствующие углы)
Таким образом,
ΔABC ~ ΔAEF (правило AA)
7 Теперь мы можем записать EF/BC
AE/AE + EB = EF/BC, здесь AE = 2 см, EB = 4 см, BC = 9 см
2/(2 + 4) = EF/9
EF = 3 см

Найдите подобные треугольники и напишите утверждение о сходстве, описывающее их взаимосвязь.

Раствор:

в Δxab и Δxdc,
∠ABX ≅ ∠dcx (альтернативные углы интерьера)
∠axb ≅ ∠dxc (вертикально противоположные углы)
Таким образом, путем правила AA,
Δxab ~ Δxdc

Найдите значение x в заданной паре подобных треугольников.

Решение:

Данная пара треугольников подобна по правилу АА
Таким образом, можно записать
FG/QR = EF/PQ, здесь FG = x, QR = 15, EF = 4, PQ = 5
х/15 = 4/5
х = 12

Определить, подобны ли заданные пары треугольников.

Решение:

Данные пары треугольников подобны по правилу SSS.
Чтобы треугольники были подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть равным
Если ΔCDE ~ ΔSRQ
SR/CE = RQ/DE = SQ/CD
Теперь
SR/CE = 4/10 = 2/5
RQ /DE = 6/15 = 2/5
SQ/CD = 8/20 = 2/5
Следовательно,
ΔCDE ~ ΔSRQ

Найдите x на данном рисунке.

Решение:

На данном рисунке
ΔPQT ≅ ΔRST (все прямоугольные треугольники конгруэнтны)
Кроме того, ∠S ≅ ∠S (рефлексивное свойство) /ST = PQ/RS (соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны)
=> x/12 = 5/3
=> x = (12 x 5)/3 = 20

Подобные треугольники и масштабный коэффициент

Когда два треугольника подобны, минимальное отношение любых двух соответствующих сторон называется коэффициентом масштабирования.

Подобные треугольники масштабного коэффициента

В ΔEFG и ΔPQR отношение длин соответствующих сторон составляет 2/1. Таким образом, можно сказать, что масштабный коэффициент ΔEFG к ΔPQR равен 2,

.

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять концепцию.

Как найти масштабный коэффициент двух подобных треугольников

Найдите масштабный коэффициент в данной паре подобных треугольников.

Решение:

Как мы знаем, соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны правилу SSS,
Таким образом,
Масштабный коэффициент = 5/15 = 1/3
                            9 = 1/3
Таким образом, масштабный коэффициент между двумя заданными треугольниками равен 1:3

Реальные приложения

Подобные треугольники можно найти повсюду вокруг нас и даже где-то, чего мы не замечаем.Их значение особенно важно там, где мы не можем физически измерить расстояния и высоты с помощью простых измерительных инструментов. Многочисленные приложения в основном в области машиностроения, архитектуры и строительства. Они приведены ниже:

  • Определение высоты высоких объектов, таких как деревья, здания и башни, на которые слишком сложно взобраться, и измерение с помощью рулетки.
  • Анализ теней, помогающий определить реальную высоту объектов.
  • Определение расстояний от неба до определенной точки на земле при аэрофотосъемке.
  • Анализ устойчивости мостов во время строительства, а также измерение размеров помещений в зданиях.

Часто задаваемые вопросы

Q1. Все ли равносторонние треугольники подобны?

Ответ . Да, все равноугольные треугольники подобны.

Q2. Все ли равнобедренные треугольники подобны?

Ответ .Нет, все равнобедренные треугольники не подобны.

Q3. Все ли прямоугольные треугольники подобны?

Ответ . Нет, прямоугольные треугольники не всегда подобны.

Q4. Подобны ли равные треугольники?

Ответ . Да, равные треугольники всегда подобны.

Q5. Все ли равноугольные треугольники подобны?

Ответ . Да, все равноугольные треугольники подобны.

Формула, теоремы, свойства и примеры

Треугольники — одна из многих основных фигур, используемых в геометрии.В принципе, многоугольники, имеющие три стороны и три вершины, можно определить как треугольник. Ранее мы доказали конгруэнтность двух треугольников. Однако может возникнуть вопрос, отличается ли сходство между двумя треугольниками от конгруэнтности? Ну да! Конгруэнтность — это когда треугольники имеют одинаковые размеры и формы. Сходство между любыми двумя треугольниками зависит от концепции одинаковых форм и является одним из наиболее важных явлений в геометрии, которое служит основой для продвинутых теорем или концепций треугольника.

Есть два условия для доказательства подобия двух треугольников. Это:

  • Когда соответствующие углы обоих треугольников равны.
  • Когда соответствующие стороны обоих треугольников находятся в одинаковом соотношении.

Например, если есть два треугольника ΔABC и ΔEFG, и

  • ∠A = ∠E, ∠B= ∠F и ∠C= ∠G.
  • Также, если AB/EF, AC/EG и BC/FG.

Это означает, что и Δ ABC, и Δ EFG похожи друг на друга.

Свойства подобных треугольников

Существуют три основных свойства, на основе которых можно доказать сходство двух треугольников разных размеров:

  • Форма двух треугольников подобна, но размер двух треугольников различен.
  • Соответствующие углы обоих треугольников равны.
  • Отношение сторон обоих треугольников равно.

Мы можем сказать, что любые два треугольника подобны, если-

  1. У них соответствующие углы равны.
  2. У них пропорциональные соответствующие стороны.

Теоремы, основанные на подобных треугольниках

Для решения задач, основанных на подобных треугольниках, используются три теоремы. Это:

  • AA(Угол-Угол) Подобие 

Согласно этой теореме, если два угла данных треугольников равны, то эти два треугольника считаются подобными.

В треугольниках ABC и EFG, если ∠A=∠E и ∠B=∠F 

, то в этом случае оба треугольника ?ABC и ?EFG подобны друг другу.

ΔABC ~ΔEFG.

  • SSS (Side-Side-Side) Подобие

Теорема SAS подразумевает, что два треугольника считаются подобными, если все три стороны обоих треугольников пропорциональны друг другу 

Например, в ΔXYZ и ΔEFG

, если XY/EF = YZ/FG = XZ/EG, то говорят, что оба треугольника подобны друг другу.

  • SAS (Side Angle Side) Подобие

Согласно теореме подобия SSS, если две стороны треугольника находятся в одинаковой пропорции к сторонам другого треугольника и угол, образованный этими двумя сторонами, равен , то треугольники считаются подобными друг другу.

В ΔXYZ и ΔEFG, если все стороны треугольников имеют одинаковую пропорцию, то треугольники считаются подобными друг другу.

Если XY/EF = YZ/FG и ∠X = ∠E 

Тогда ΔABC ~ΔEFG

Основная теорема о пропорциональности

Основная теорема о пропорциональности утверждает, что если провести прямую, параллельную стороне треугольника, пересечь остальные две стороны треугольника в определенной точке, то остальные две стороны треугольника делятся в том же отношении.

Продемонстрируем применение основной теоремы пропорциональности на примере:

Дано: ABC — треугольник, в котором DE||BC, пересекает AB и AC в точках D и E соответственно.

Чтобы доказать: AD/DB = AE/EC.

Построение: Соедините B с E и D с C и начертите DM⊥AE и EN⊥ AD.

Доказательство: ABC — треугольник, а DE — прямая, параллельная BC, пересекающая две стороны треугольника, т. е. AB и AC в точках D и E соответственно.

Согласно формуле площади треугольника, площадь = ½ x основание x высота

Следовательно, площадь ΔADE = ½ X AD X EN

Аналогично, Δ BDE = ½ X DB X EN

Следовательно, Δ ADE / Δ BDE = ½ X AD X EN / ½ X DB X EN

= AD/DB

Simialry, Δ ADE/ Δ DEC = ½ X AE X DM / ½ X EC X DM

= AE/EC

In в соответствии со свойством треугольников, треугольники, построенные на одном основании и находящиеся между одними и теми же параллельными прямыми, имеют равные площади

Следовательно, так как Δ BDE и Δ DEC лежат на одном основании, т. е.е. DE

Площадь Δ BDE = Δ DEC

Следовательно, AD/DB = AE/EC

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Вопросы: В Δ XYZ, ∠X = 30, 4 и ∠Y = в ΔDFG, ∠D = 30, докажите, что оба треугольника подобны.

Ответ: In Δ XYZ, ∠X = 30, ∠Y = 45, следовательно, если по формуле ∠ X + ∠Y +∠Z = 180

Тогда 30 град + 45 град+ ∠Z = 180 град

После решения ∠z = 110 градусов

Аналогично для Δ DFG, ∠D = 30 градусов,

Теперь по теореме ААА ∠X = ∠D, ∠Y = ∠G и ∠Z = ∠F

Следовательно, и Δ XYZ, и Δ DFG подобны.

Вопрос: В треугольнике, MNO и PQR, ∠M = 30 град и ∠ P = 30 град также, MN = 3 см и PQ = 3 см и MO = 5 см и QR = 5 см. Два треугольника подобны?

Ответ: In Δ MNO и Δ PQR, ∠ P= ∠ M, MN/PQ, MO/QR. Следовательно, по теореме о стороне, углу и стороне мы можем доказать, что оба треугольника подобны.


 

Подобные треугольники

Интерактивная математика для 9 класса — второе издание


Подобные треугольники
Если углы одного треугольника равны равны углам другого треугольника, то треугольники называются равноугольными .

Равноугольные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разную форму. размеры. Так, равноугольные треугольники еще называют подобных треугольники .

Например, треугольник DEF подобен треугольнику ABC , т.к. три их угла равны.

Длина каждой стороны треугольника DEF умножается на то же число, 3, чтобы получить стороны треугольника ABC .


В целом:

Если два треугольника подобны , то соответствующие стороны равны в том же соотношении.


Пример 26

Найдите значение x в следующей паре треугольники.

Решение:


Примечание:

Равные углы обозначаются на схемах одинаково.


Пример 27

Найдите значение прочислительного на следующей диаграмме.

Решение:


Приложения подобия

Подобные треугольники можно применять для решения реальных задач.

Пример 28

Найдите значение высоты ч м на следующей диаграмме в точке по которому нужно ударить по теннисному мячу, чтобы он просто перелетел через сетку и приземлиться в 6 метрах от основания сетки.

Решение:

Итак, высота, с которой нужно отбить мяч, равна 2,7 м.


Примечание:

а. Равные углы обозначаются на схемах одинаково.

б. Два треугольника подобны, если:

  • две пары соответствующих сторон находятся в одинаковом соотношении и углы между ними равны.

  • соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.

  • соответствующие углы одинаковы.


Основные термины

подобные треугольники, равноугольные

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.