Формулы корней простейших тригонометрических уравнений: Тригонометрические уравнения

Содержание

Формулы корней тригонометрических уравнений — презентация онлайн

1. Формулы корней тригонометрических уравнений

19.03.2020
Формулы корней
тригонометрических
уравнений

2. Арксинус

у
π/2
1
а
arcsin а =t
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
х

-1
-π/2
Примеры:
arcsin(- а)
arcsin(- а)= — arcsin а

3. Арккосинус

Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
у
arccos(-а)
π/2
arccos а = t
π
0
-1

Примеры:
а
arccos(- а) = π- arccos а
1
1)arccos(-1)
2)arccos
х

4. Арктангенс

а
у
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
π/2
arctgа = t
0
х
arctg(-а )
arctg(-а) = — arctg а
-π/2

Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4

5.

Арккотангенс у

arcctg(- а)
а
arcctg а = t
π
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
0 х
arcctg(- а) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) =
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6

6. Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
Примечание:
Формулы используются в случае, если
число а не отмечено на
тригонометрическом круге,
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
Примеры:
1) cosx= -1/3;
2) sinx = 0,2;
x= ±arccos(-1/3)+2πk, kЄZ
3) tgx = 4;
x = arctg4+πk, kЄZ
4) ctgx = -2
x= arcctg(-2 )+πk, kЄZ
x = 5π/6+πk, kЄZ.

8. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
2) cos(x+π/3) = ½
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad \mathrm{tg}\,x=b,\quad \mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).

 

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).

 

\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]

Рассмотрим несколько примеров:

 

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).

 

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\).

Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).


 

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\ x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

 

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.


 

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).

 

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\).


 

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).

 

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\).


 

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).


 

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).

 

Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pi x+\dfrac{\pi}3)}=1\).

 

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

 

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\ n\in\mathbb{Z}\).

 

\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.

 

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

 

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm \dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:


 

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD}, \buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \ n\in\mathbb{Z}\).

 

\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенств вида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ <,\ >,\ \geq\).

 

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x >\dfrac12\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).


 

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).

 

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x <\dfrac12\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).


 

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}3\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}3\), но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}3\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac{5\pi}3+2\pi n;-\dfrac{\pi}3+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у косинуса период \(2\pi\).

 

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{tg}\, x \geq \dfrac{\sqrt{3}}3\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{tg}\, x = \dfrac{\sqrt{3}}3\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac{\sqrt{3}}3\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.


 

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac{\pi}2\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac{\pi}2\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}2\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi n;\dfrac{\pi}2+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у тангенса период \(\pi\).

 

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{ctg}\, x \leq \sqrt{3}\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = \sqrt{3}\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt{3}\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.


 

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\pi\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\pi\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. период котангенса \(\pi\).

 

\[{\color{red}{\text{Отбор корней}}}\]

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

 

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\), если \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\).

 

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

 

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac{\pi}6+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\), решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac{\pi}6+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

 

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac{\pi}6+2\pi n\)  не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\).

 

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin{aligned} &\sin{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \sin \alpha, \text{при } n — \text{ четном}\\ -\sin \alpha, \text{при } n — \text{ нечетном} \end{cases}\\ &\cos{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \cos \alpha, \text{при } n — \text{ четном}\\ -\cos \alpha, \text{при } n — \text {нечетном} \end{cases}\\ &\mathrm{tg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{tg}\,\alpha\\ &\mathrm{ctg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{ctg}\,\alpha\\ &\sin{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=\cos\alpha\\ &\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=-\sin \alpha\\ &\,\mathrm{tg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{ctg}\,\alpha\\ &\,\mathrm{ctg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{tg}\,\alpha \end{aligned}\]

 

Пример 12. Решить систему \(\begin{cases} \cos x=\dfrac12\\ \sin x+\cos x>0\end{cases}\)

 

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12<0\), следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

 

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\).

 

Алгебраический способ.

 

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\), принадлежащие отрезку \([0;\pi]\).

 

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\dfrac{3\pi}4 +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq x_2\leq\pi\):

 

\(0\leq \dfrac{\pi}4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq n\leq\dfrac38\).

Таким образом, единственное целое значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\). При \(n=0\) \(x_1=\dfrac{\pi}4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\).

 

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac{3\pi}4\).  

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

\[ax+by=c, \quad a,b,c — \text{целые числа}\]

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\).

 

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\). Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\), то есть нечетное число.

 

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\). Т.к. \(НОД(3,5)=1\), то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\):

\[x=\dfrac{2-5y}3=\dfrac{2-2y}3-y\]

Число \(\dfrac{2-2y}3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\): \(0\), \(1\) или \(2\).
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\), то оно записывается как \(y=3p+0\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2\cdot 3p}3=\dfrac23-2p\ne \text{целому числу}\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\), то оно записывается как \(y=3p+1\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2(3p+1)}3=-2p=\text{целому числу}\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\), а \(x=\dfrac{2-2y}3-y=-5p-1\).

 

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb{Z}\).

 

Перейдем к примеру:

 

Пример 14. Решить систему \[\begin{cases} \sin \dfrac x3=\dfrac{\sqrt3}2\\[3pt] \cos \dfrac x2=1 \end{cases}\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac x3=\dfrac{\pi}3+2\pi n\\[3pt] &\dfrac x3=\dfrac{2\pi}3 +2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad n,m\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\pi+6\pi n\\ &x=2\pi +6\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad n,m\in\mathbb{Z}\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\):

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\), то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

 

Найдем целые \(m\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(2\pi +6\pi m\) и \(4\pi k\):

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac{3m+1}2=m+\frac{m+1}2\).

 

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\).
Если \(m=2p+0\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1}2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1+1}2=p+1= \) целому числу.

 

Значит, \(m=2p+1\), тогда \(k=3p+2\), \(p\in\mathbb{Z}\).

 

Подставим либо \(m\), либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p, p\in\mathbb{Z}\).

Формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений. Однородные тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :


Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:


Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

, , — множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где , . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :


Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:


Запишем две серии решений:

,

,

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):


Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :


Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:


Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:


Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :





ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:


Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:


Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:


Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:


5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:


Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:


И чуть более сложные примеры:

1.

Синус равен единице, если аргумент равен

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

2.

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок «Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности»

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .

Тригонометрические уравнения — тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное…

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый — вы не поверите — в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором — решается это самое простое уравнение. Иначе — никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы — первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π /3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь — с использованием памяти и формул — рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако… Трудно же вам в тригонометрии придётся…) Но не беда. Загляните в уроки «Тригонометрический круг…… Что это такое?» и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге». Там всё просто. В отличие от учебников…)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили «Практическую работу с тригонометрическим кругом» !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс — ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π /3

cos60° = cos(π /3 ) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да… Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно… Можно, конечно, хмыкать…) Но дело в том, что это — ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус — нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество… И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да…)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π /3 — это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.

— это один полный оборот в радианах.

n — это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3…. и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n принадлежит ( ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π /3 — это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 — не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые… Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = — π /3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = — π /3 + 2π n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = — π /3 + 2π n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 — это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π /6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол… Это похитрее, чем в косинусах, да… Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π — х

Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:

π — π /6 = 5π /6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем. .. Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт «обратных тригонометрических функций» нету… Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: «Икс — это угол, косинус которого равен 2/3». И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = — arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет — кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой — это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π — х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π — arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах — те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие… Их ещё частными случаями называют.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна… И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1 = arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = π — arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово…) И по ссылкам походите. Главные ссылки — про круг. Без него в тригонометрии — как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?

3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) — 3 cos(x) -2 = 0

Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:


Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:


Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:


Введем замену tg(2x)=t:2 2 — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Решение тригонометрических уравнений с градусами. Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х — угол, который нужно найти,
а — любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете. ) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли…)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем. )

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это. .. того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово — два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тригонометрические уравнения — тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное. ..

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый — вы не поверите — в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором — решается это самое простое уравнение. Иначе — никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы — первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π /3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь — с использованием памяти и формул — рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако… Трудно же вам в тригонометрии придётся…) Но не беда. Загляните в уроки «Тригонометрический круг. ….. Что это такое?» и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге». Там всё просто. В отличие от учебников…)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили «Практическую работу с тригонометрическим кругом» !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс — ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π /3

cos60° = cos(π /3 ) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да… Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно… Можно, конечно, хмыкать…) Но дело в том, что это — ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус — нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество… И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да…)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π /3 — это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.

— это один полный оборот в радианах.

n — это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3…. и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n принадлежит ( ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т. д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π /3 — это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 — не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые… Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = — π /3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = — π /3 + 2π n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = — π /3 + 2π n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 — это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π /6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол… Это похитрее, чем в косинусах, да… Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π — х

Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:

π — π /6 = 5π /6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем… Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт «обратных тригонометрических функций» нету… Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: «Икс — это угол, косинус которого равен 2/3». И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = — arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет — кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой — это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π — х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π — arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах — те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие… Их ещё частными случаями называют.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна… И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1 = arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = π — arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово…) И по ссылкам походите. Главные ссылки — про круг. Без него в тригонометрии — как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | 1 или при а

Пусть | а |

у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

x 2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а |

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

  1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | 1 или при а

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения


Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла



Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени


Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004. — 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    100 формул тригонометрия. Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg. Основные тригонометрические формулы

    Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

    Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

    2. Уравнение `cos x=a`

    При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

    При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

    Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

    Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

    3. Уравнение `tg x=a`

    Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

    4. Уравнение `ctg x=a`

    Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

    Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

    Для синуса:
    Для косинуса:
    Для тангенса и котангенса:
    Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

    Методы решения тригонометрических уравнений

    Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

    • с помощью преобразовать его до простейшего;
    • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

      1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
      2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

      Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

      Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

      Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

      Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

      Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

      Yandex.RTB R-A-339285-1

      Основные тождества тригонометрии

      Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

      Тригонометрические тождества

      sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

      Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

      Формулы приведения

      Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

      Формулы приведения

      sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

      Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

      Тригонометрические формулы сложения

      Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

      Тригонометрические формулы сложения

      sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

      На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

      Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

      Формулы двойного и тройного угла

      sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α — 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = — 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α — t g 3 α 1 — 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α — 3 c t g α 3 c t g 2 α — 1

      Формулы половинного угла

      Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

      Формулы половинного угла

      sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

      Формулы понижения степени

      Формулы понижения степени

      sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

      Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

      Общий вид формул понижения степени

      для четных n

      sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 (- 1) n 2 — k · C k n · cos ((n — 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C k n · cos ((n — 2 k) α)

      для нечетных n

      sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 (- 1) n — 1 2 — k · C k n · sin ((n — 2 k) α) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C k n · cos ((n — 2 k) α)

      Сумма и разность тригонометрических функций

      Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

      Сумма и разность тригонометрических функций

      sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 · sin α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · sin β — α 2

      Произведение тригонометрических функций

      Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

      Формулы произведения тригонометрических функций

      sin α · sin β = 1 2 · (cos (α — β) — cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α — β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α — β) + sin (α + β))

      Универсальная тригонометрическая подстановка

      Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла.

      Универсальная тригонометрическая подстановка

      sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 — t g 2 α 2 c t g α = 1 — t g 2 α 2 2 t g α 2

      Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

      Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

      В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

      Навигация по странице.

      Основные тригонометрические тождества

      Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

      Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

      Формулы приведения


      Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

      Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

      Формулы сложения

      Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

      Формулы двойного, тройного и т.д. угла



      Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

      Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

      Формулы половинного угла

      Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

      Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

      Формулы понижения степени


      Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

      Формулы суммы и разности тригонометрических функций


      Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

      Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


      Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

      Универсальная тригонометрическая подстановка

      Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

      Список литературы.

      • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
      • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
      • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004. — 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
      • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

      Copyright by cleverstudents

      Все права защищены.
      Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

      Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

      Простейшие тригонометрические тождества

      Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств .
      Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
      Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
      Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса .
      Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
      Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
      Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

      Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

      Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.


      Как видно, косинус и секанс является четной функцией , синус, тангенс и котангенс — нечетные функции .

      Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
      Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
      Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

      Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

      Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


      Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла ) в одинарный происходит по следующим правилам:

      Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

      Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

      Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

      Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

      Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

      Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

      Формулы универсальной тригонометрической подстановки

      Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

      Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки . Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

      Тригонометрические тождества преобразования половины угла

      Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
      Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

      Тригонометрические формулы сложения углов

      cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

      sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

      sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
      cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

      Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

      Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

      Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

      Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

      Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

      Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

      Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

      Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

      Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

      Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
      В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

      Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

      Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


      В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

      Формулы приведения тригонометрических функций

      Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

      Видео-урок: Простые тригонометрические уравнения

      Стенограмма видео

      В этом видео мы научимся найти общее решение тригонометрического уравнения или как решить его над указанный интервал. Тригонометрическое уравнение – это уравнение, которое включает хотя бы одно из следующего: триггерную функцию, такую ​​как синус, косинус и тангенс; обратная тригонометрическая функция, косеканс, секанс и котангенс; или инверсия любого из них.Некоторые из более простых примеров такие уравнения можно решить без использования калькулятора. В этих случаях мы будем использовать наш знание специальных углов вместе с симметрией и периодичностью графики синусов, косинусов и тангенсов.

      Мы начнем это видео с вспоминая точные значения синуса, косинуса и тангенса ряда специальных углы. Важно, что мы умеем Вспомните синус, косинус и тангенс нуля, 30, 45, 60 и 90 градусов.Также важно знать, соответствующие значения этих углов в радианах. Пока мы не будем рассматривать доказательства этого во всех подробностях в этом видео, важно помнить, что они исходят из нашего знания тригонометрии прямых углов и теоремы Пифагора. Точные значения синуса, косинуса, и тангенс данных углов показаны. Вспоминая тождество tan 𝜃 равен sin 𝜃 по cos 𝜃, мы можем вычислить тангенс любого из этих углов по формуле делением значения синуса угла на значение косинуса угол.

      В нашем первом примере мы продемонстрировать, как использовать симметрию графика синусоидальной функции наряду с этим таблица значений, чтобы найти все решения простого триггерного уравнения.

      Каково общее решение греха 𝜃 равно корню два больше двух?

      Для того, чтобы найти общий решение тригонометрического уравнения, мы начинаем с нахождения частного решения. В этом случае таблица точных могут помочь триггерные значения.Для любого угла 𝜃, заданного в радианах меры, точные значения функции синуса, как показано. Заметим, что грех 𝜋 по четыре радиана равны корню два из двух. Это означает, что 𝜃 равно 𝜋 более четыре — это частное решение уравнения sin 𝜃 равно корню два из двух. Чтобы найти дополнительные решения, мы нарисуйте график 𝑦 равно sin 𝜃 между нулем и двумя 𝜋. Решения греха 𝜃 равны корню два на два можно найти, добавив строку 𝑦 равно корень два на два к диаграмма.

      Мы замечаем, что это пересекает кривая дважды между нулем и двумя 𝜋. Первая точка пересечения соответствует решению 𝜋 более четырех. Так как синусоида имеет симметрию относительно 𝜋 более двух в интервале от нуля до 𝜋 второе решение находится по формуле вычитая 𝜋 более четырех из 𝜋. Это равно трем 𝜋 больше четыре. Теперь у нас есть два решения для уравнение sin 𝜃 равно корню два из двух: 𝜃 равно 𝜋 из четырех и 𝜃 равно трем 𝜋 больше четырех.Вспоминая, что функция синуса периодический с периодом 360 градусов или два 𝜋 радиана, мы можем найти общий решение. Во-первых, у нас 𝜃 равно 𝜋 более четырех плюс два 𝑛𝜋 — мы можем написать это так, потому что дальнейшие решения находится путем сложения или вычитания множителей двух 𝜋 или 360 градусов — и, во-вторых, три 𝜋 на четыре плюс два 𝑛𝜋, где 𝑛 — целое число.

      В этом вопросе мы продемонстрировали как интерпретировать симметрию графика синусоидальной функции, чтобы найти все решения уравнения.Другой способ продления домена функции синуса является единичной окружностью. Вспоминая, что единичная окружность с центром в начале координат с радиусом в одну единицу, мы можем вычислить синус любой угла 𝜃, начав с точки один, нуль и пройдя по окружности круг в направлении против часовой стрелки, пока угол, который образуется между эта точка, начало координат и положительная 𝑥-ось равна 𝜃.Если эта точка имеет координаты 𝑥, 𝑦, то sin 𝜃 равен значению 𝑦. Значение 𝑦-координаты равно положительные как в первом, так и во втором квадранте. Следовательно, значение sin 𝜃 будет также быть положительным в этих квадрантах.

      Так как единичный круг имеет симметрии отражения относительно оси 𝑦, мы можем видеть, что sin 𝜃 равен sin 180 градусов минус 𝜃. Продолжая движение по окружности единичного круга, мы видим, что sin 𝜃 также равен sin 360 плюс 𝜃 для всех значений 𝜃.Эти результаты можно обобщить как показано, где множество всех решений sin 𝜃 равно 𝐶 равно 𝜃 равно 𝜃 меньше единицы плюс 360𝑛 и 𝜃 равно 180 минус 𝜃 меньше единицы плюс 360𝑛, где 𝑛 — целое число. Обратите внимание, что если 𝜃 измеряется в радиан, 360 градусов заменены двумя 𝜋 и 180 градусов на 𝜋. Хотя мы можем чувствовать склонность к запомнить эти формулы, на практике было бы гораздо эффективнее зарисовать график функции или единичный круг.

      В нашем следующем примере мы рассмотрим как использовать симметрию графика функции косинуса для решения тригонометрическое уравнение.

      Найдите набор значений, удовлетворяющих cos 𝜃 минус 105 равен отрицательной половине, где 𝜃 больше нуля градусов и менее 360 градусов.

      Чтобы найти решение уравнение триггера в заданном интервале, мы начинаем с нахождения частного решения.В этом случае таблица точных могут помочь тригонометрические значения. Сначала мы переопределим аргумент функции, полагая 𝛼 равным 𝜃 минус 105, так что cos 𝛼 равен минус половина, а 𝜃 равно 𝛼 плюс 105. Затем мы можем изменить интервал на что наши решения верны, если добавить 105 к каждой части неравенства; 𝛼 это больше 105 градусов и меньше 465 градусов. Заполнение таблицы для точного значения cos 𝛼, мы можем видеть, что cos 𝛼 равно половине, когда 𝛼 составляет 60 градусов.Однако нет значений 𝛼 в таблице такой, что cos 𝛼 равен отрицательной половине.

      Нарисовав график функция косинуса вместе с линиями 𝑦 равна половине, а 𝑦 равна отрицательному значению a половина, мы можем найти соответствующее значение 𝛼. На графике видно, что есть может быть три значения от 105 до 465 градусов. Так как график имеет вращательный симметрия между нулем и 180 градусами около 90 градусов, ноль, первое решение равно 180 минус 60.Это равно 120 градусам, что лежит в нужном интервале. Далее, используя симметрию кривой, у нас 𝛼 равно 180 плюс 60. Это равно 240 градусам, что также лежит в заданном интервале. Третье решение соответствует 120 плюс 360 градусов. Однако это значение 480 градусов лежит вне нашего интервала для 𝛼. Следовательно, решения cos 𝛼 равна отрицательной половине: 𝛼 равно 120 градусам, а 𝛼 равно 240 градусам.

      Теперь мы можем рассчитать соответствующие значения 𝜃. 120 плюс 105 равно 225, а 240 плюс 105 равно 345. Набор значений, удовлетворяющих cos 𝜃 минус 105 равняется отрицательной половине, это 225 градусов и 345 градусов. Альтернативный метод поиска конкретное решение cos 𝛼 равно отрицательной половине состоит в использовании обратного функция косинуса такая, что 𝛼 равно обратному косинусу отрицательной половины, что равен 120 градусам. С этого момента мы будем использовать те же шаги, чтобы найти другие решения. Это тоже можно было сделать используя единичный круг, что привело бы нас к общему правилу: cos 𝜃 равен равно косинусу 360 градусов минус 𝜃.

      Использование симметрии блока окружности и периодичности функции косинуса, можно привести формулы для общего решение уравнений с этой функцией. Так же, как мы уже видно для функции синуса, то множество всех решений cos 𝜃 равно 𝐶 равно 𝜃 равно 𝜃 меньше единицы плюс 360𝑛, а 𝜃 равно 360 минус 𝜃 меньше единицы плюс 360𝑛 для всех целых значений 𝑛.Еще раз, если 𝜃 измеряется в радиан, мы заменяем 360 градусов на два 𝜋 радиана.

      В предыдущем вопросе мы видели, как решить триггерное уравнение, где аргумент функции был преобразован в каким-то образом. Сейчас мы рассмотрим аналог версия этого, включающая функцию тангенса.

      Найдите набор значений, удовлетворяющих тангенс двух 𝑥 плюс 𝜋 больше пяти равен минус единице, где 𝑥 больше больше или равно нулю и меньше или равно двум 𝜋.

      Чтобы решить это уравнение, начнем переопределив аргумент, поскольку это позволит нам использовать симметрию касательной функция. Положим 𝜃 равным двум 𝑥 плюс 𝜋 более пяти. Это означает, что нам нужно решить тангенс 𝜃 равен отрицательной единице, где 𝜃 больше или равен 𝜋 в течение пяти и меньше или равно 21 𝜋 в течение пяти, поскольку мы умножаем каждую часть неравенства на два, а затем добавьте 𝜋 к пяти.Далее напомним, что для 𝜃 измеренные в радианах, точные значения тангенса 𝜃 такие, как показано. Мы видим, что тангенс 𝜋 больше четырех равен равен единице. Далее нарисуем график 𝑦 равен тангенсу 𝜃. Затем мы добавим горизонтальную строки, где 𝑦 равно единице, а 𝑦 равно отрицательной единице.

      Из-за вращательной симметрии касательной функции, первое решение возникает, когда 𝜃 равно 𝜋 минус 𝜋 в течение четыре.Это равно трем 𝜋 больше четыре. Так как функция периодическая с период 𝜋 радиан, мы можем найти оставшиеся решения, добавляя кратные 𝜋 этому значению. Во-первых, три 𝜋 больше четырех плюс 𝜋 равно семи 𝜋 больше четырех. У нас также есть решения 11𝜋 более четыре и 15𝜋 больше четырех. Это четыре точки перекресток, показанный на графике. Очистка места и перезапись наши четыре решения для 𝜃, теперь мы можем вычислить значения 𝑥.Поскольку 𝜃 равно двум 𝑥 плюс 𝜋 больше пяти, два 𝑥 равно 𝜃 минус 𝜋 больше пяти. Разделив на два, мы имеем 𝑥 равно 𝜃 больше двух минус 𝜋 больше 10.

      Теперь мы можем заменить каждый из наших значения 𝜃 в это уравнение. Это дает нам четыре значения 𝑥 равно 11𝜋 старше 40, 31𝜋 больше 40, 51𝜋 больше 40 и 71𝜋 больше 40. Это набор значений, которые удовлетворяет уравнению тангенса двух 𝑥 плюс 𝜋 более пяти равно минус единице, где 𝑥 лежит между нулем и двумя 𝜋 включительно.

      Как мы сделали для синуса и функции косинуса, теперь мы можем привести общие решения уравнений, включающих касательная функция. Когда 𝜃 измеряется в градусах, решения: 𝜃 равно 𝜃 меньше единицы плюс 180𝑛, где 𝑛 — целое число. А если 𝜃 измеряется в радианах, у нас 𝜃 равно 𝜃 меньше единицы плюс 𝑛𝜋, где, опять же, 𝑛 — целое число.

      В этом видео мы только рассматривал стандартные тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.Хотя мы не будем рассматривать их здесь, важно понимать, что процесс выполняется для обратных функций косеканс, секанс и котангенс.

      Теперь мы повторим ключевые моменты из этого видео. Мы можем решить простые тригонометрические уравнения с использованием таблиц точных значений или обратных триггерных функций. Чтобы помочь нам рассчитать все решения заданному уравнению в заданном диапазоне можно построить график необходимой триггерной функции или используйте единичный круг.Симметрия и периодичность функции синуса, косинуса и тангенса позволяют вычислять дальнейшие решения тригонометрические уравнения или общие решения, включающие целые числа, кратные 360 градусов или два 𝜋 радиана для синуса и косинуса и 180 градусов или 𝜋 радиана для касательная.

      Графическое решение тригонометрического уравнения — видео и расшифровка урока

      Решаем графически

      Вы рассказываете своему другу, как легко нашли ответ, но ваш друг говорит вам, что не понимает.Понимаете, ему нужно увидеть, как будет найден ответ. Смотреть на единичный круг не имеет для него смысла. Как единичный круг переводится в реальные ответы? Ему нужно видеть реальные ответы. Как вы можете помочь своему другу сейчас?

      Вы можете помочь ему, решив задачу графически. Как это поможет? Это поможет вашему другу, потому что, изобразив задачу в виде графика, вы сможете показать ему, как полученные ответы соотносятся с фактическим графиком. Вы сможете показать ему фактические ответы.

      Поскольку мы собираемся построить график решения, нам нужно построить график функции, связанной с задачей.Наша проблема заключается в том, что cos(x) = 0. Итак, что же это за функция? Поскольку одна часть уравнения уже равна 0, мы можем просто заменить 0 на f(x). Итак, наша функция f(x) = cos(x). Построив график этой функции, мы сможем увидеть решения, в которых функция равна 0, наша задача cos (x) = 0. Если бы у нас была такая задача, как cos (x) = 1, мы бы просто перенесли 1 на другую сторону путем вычитания, а затем мы заменим 0 на f(x), чтобы получить f(x) = cos (x) — 1.

      Мы можем построить график функции, f(x) = cos (x) , используя различные методы.Мы можем использовать графический калькулятор или мы можем использовать графическую программу на компьютере. В любом случае будет работать; используйте тот способ, который вам проще. Я решил использовать графическую программу на компьютере. Используя эту программу, я получаю такой график для f(x) = cos(x). Вы получите что-то похожее на это:

      График для f (x) = cos (x)

      Я показал вам лишь небольшой участок графика.Вы увидите, что график продолжается в обоих направлениях. Волна никогда не заканчивается. Мы ищем точки между 0 и 2pi, где функция равна 0 или пересекает ось x . Где 0 и 2pi? Мы можем изобразить и эти линии, изобразив x = 0 или x = 2pi. Это поможет нам отметить интересующую нас область.

      Линии для x = 0 и x = 2pi

      Наш друг наблюдал за этим все время, и это имеет для него смысл.Итак, что вы можете сказать ему о поиске ответов?

      Поиск ответов

      Вы можете сказать ему, что мы ищем точки, где график, наша линия, пересекает ось x . Почему? Потому что в этих точках наша функция равна 0, и у нас есть cos (x) = 0. Таким образом, эти точки отвечают нашей исходной задаче. Вы показываете ему, что есть две такие точки, которые удовлетворяют нашей задаче о cos (x) = 0. Вы указываете ему на них. Теперь вы используете свой графический калькулятор или программу, чтобы найти эти точки.

      Ответы пи/2 и 3пи/2.

      У вашего друга «Ага!» момент. Теперь он видит ответы. Они, как вы сказали ему ранее, pi/2 и 3pi/2. Теперь все это имеет для него смысл.

      На что следует обратить внимание

      Прежде чем мы закончим, я хочу поделиться с вами некоторыми моментами, на которые вам следует обращать внимание при графическом решении уравнений.

      Во-первых, следите за доменом, который вам дается.Помните, что ваша область — это диапазон возможных исходных данных или возможных решений. Это дает вам область интереса на вашей оси x .

      Во-вторых, ответов может быть несколько. Просто потому, что вы нашли один, не означает, что вы сделали. Иногда бывает два или даже больше ответов. А иногда можно и не есть. Все зависит от вашей функции и домена, который вам дается.

      Итоги урока

      Итак, теперь давайте повторим:

      Тригонометрическое уравнение — это уравнение, включающее тригонометрическую функцию.Мы можем решить это графически, построив график соответствующей функции. Например, тригонометрическое уравнение cos (x) = 1 имеет связанную функцию f (x) = cos (x) — 1, которую можно найти, переместив все члены в одну сторону и заменив 0 с одной стороны на f (x) . Мы можем построить график нашей функции с помощью графического калькулятора или графической программы. После того, как мы построили график, мы отмечаем интересующую нас область на основе заданной области, а затем ищем ответы там, где график пересекает ось x , где наша функция равна 0.В зависимости от функции и предметной области мы можем найти ни одного ответа, один ответ, два ответа или даже больше ответов.

      Результаты обучения

      После просмотра этого видеоурока вы сможете:

      • Определить тригонометрическое уравнение
      • Объясните, как графически решить тригонометрическое уравнение
      • Определить меры предосторожности при графическом решении тригонометрических уравнений

      Уравнение косинуса x равно a.Тригонометрические уравнения

      Вы можете заказать подробное решение Вашей проблемы!!!

      Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и далее мы рассмотрим их формулы.

      Простейшие уравнения называются «sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a», где «x» — угол, который нужно найти, «a» — любое число. Запишем формулы корней для каждого из них.n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

      2. Уравнение `cos x = a`

      Для `| a |> 1` — как и в случае с синусом, не имеет решений среди действительных чисел.

      Для `| а | \leq 1` имеет бесконечное число решений.

      Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

      Особые случаи синуса и косинуса на графиках.

      3. Уравнение `tg x = a`

      Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

      Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

      4. Уравнение `ctg x = a`

      Также имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

      Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

      Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

      Для синуса:
      Для косинуса:
      Для тангенса и котангенса:
      Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

      Методы решения тригонометрических уравнений

      Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

      • с помощью преобразовать его в самый простой;
      • решите полученное простейшее уравнение, используя приведенные выше формулы корней и таблицы. 2-3г + 1 = 0`,

        находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

        1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, ` x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

        2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2 `, ` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

        Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`, ` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

        Факторизация.2 х / 2 = 0`,

        `2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0`,

        1. `sin x/2 = 0`,`x/2 = \pi n`, `x_1 = 2 \pi n`.
        2. `cos x/2-sin x/2 = 0`,` tg x/2 = 1`, `x/2 = arctan 1+ \pi n`,` x/2 = \pi/4 + \pi n `, `x_2 = \pi/2 + 2 \pi n`.

        Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`, ` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

        Приведение к однородному уравнению

        Сначала нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух видов:

        `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) . 2 x) (1 + cos x) = 0`

        Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \ ne 0`, `cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Тогда `sin x = 0` или `1-sin x = 0`.

        1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
        2. `1-sin x = 0`, `sin x = -1`, `x = \pi/2 + 2 \pi n, n \in Z`.

        Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`, `n \ в Z`.

        Ответ. `x = 2 \ pi n`, ` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`, ` n \ in Z`.

        Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники.Изучение начинается с 10 класса, к ЕГЭ обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам обязательно пригодятся!

        Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понимать суть и уметь их выводить. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь сами, посмотрев видео.

        Простейшие тригонометрические уравнения обычно решают по формулам. Напомню, что самыми простыми называются следующие тригонометрические уравнения:

        синх = а

        cosx =

        тгх =

        ctgx = а

        х — искомый угол,
        а — любое число.

        А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

        Для синуса:

        Для косинуса:

        х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

        Для касательной:

        x = arctg a + π n, n ∈ Z

        Для котангенса:

        x = arcctg a + π n, n ∈ Z

        Собственно, это теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений.Причём всё!) Вообще ничего. Однако количество ошибок на эту тему просто зашкаливает. Особенно, если пример немного отличается от шаблона. Почему?

        Да потому, что многие люди записывают эти буквы, совершенно не понимая их значения! С осторожностью записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии все-таки!?)

        Разберемся?

        Один угол будет равен arccos a, второй: -arccos а.

        И так будет всегда. Для любого а.

        Если не верите мне, наведите курсор мыши на картинку или коснитесь картинки на планшете.) Я изменил номер на в какой-то минус. Так или иначе, у нас есть один угол arccos a, второй: -arccos а.

        Следовательно, ответ всегда можно записать в виде двух рядов корней:

        x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

        x 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

        Объединяем эти две серии в одну:

        x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

        И все. Получил общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

        Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращенная запись двух серий ответов, вам и задача «С» будет по плечу. С неравенствами, с подбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу по-деловому, и разбить его на два отдельных ответа, то все решено.) Собственно для этого и разбираемся. Что, как и где.

        В простейшем тригонометрическом уравнении

        синх = а

        также получают две серии корней. Является всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строкой. Только эта строчка будет хитрее:

        х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

        Но суть остается прежней. Математики просто построили формулу, чтобы сделать одну запись ряда корней вместо двух. И все!

        Проверим математиков? А то мало ли…)

        На предыдущем уроке было подробно разобрано решение (без всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

        Ответ дал два ряда корней:

        х 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

        х 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

        Если мы решим то же уравнение по формуле, то получим ответ:

        x = (-1) n arcsin 0. 5 + πn, n ∈ Z

        На самом деле, это незаконченный ответ.) Студент должен знать, что arcsin 0,5 = π / 6. Полный ответ будет таким:

        х = (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

        Возникает интересный вопрос. Ответить по номеру x 1; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий NS (и это правильный ответ!) — тоже самое или нет? Мы узнаем сейчас.)

        Замените в ответ на x 1 означает n = 0; 1; 2; и так далее, считаем, получаем ряд корней:

        х 1 = π / 6; 13π/6; 25π/6 и т. д.

        С той же заменой в ответе на x 2 , получаем:

        х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и т. д.

        Теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу одинокого NS … То есть минус единицу возводим в ноль, потом в первую, во вторую и т.д. И, конечно, во второй член подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т. д. И считаем. Получаем ряд:

        х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и т. д.

        Это все, что вы можете видеть.) Общая формула дает нам точно такие же результаты, как два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядку.Не ведитесь на математиков.)

        Также можно проверить формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом. Но не будем.) Они такие простые.

        Всю эту подмену и проверку я описал не случайно. Здесь важно понять одну простую вещь: есть формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений, просто краткая запись ответов. Для краткости мне пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

        Эти вкладыши никак не мешают в задачах, где нужно просто записать ответ на элементарное уравнение. Но если нужно решить неравенство или потом нужно что-то сделать с ответом: выделить корни на отрезке, проверить на ОДЗ и т. д., то эти вставки запросто могут выбить человека из колеи.

        И что делать? Да либо запишите ответ в два ряда, либо решите уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Потом эти вставки исчезают и жить становится легче.)

        Подведем итоги.

        Имеются готовые формулы ответов для решения простейших тригонометрических уравнений. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, нужно решить уравнения:

        sinx = 0,3

        Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

        cosx = 0,2

        Нет проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

        tgx = 1.2

        Легко: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

        ctgx = 3,7

        Один слева: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

        cos х = 1,8

        Если ты, блистая знаниями, мигом напишешь ответ:

        x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

        то тебе уже светит, это…то…из лужи. ) Правильный ответ: решений нет. Вы понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса находятся в правой части исходного уравнения, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.д. — ответ через арки будет недоделанным. Арки должны быть переведены в радианы.

        И если вы столкнетесь с неравенством типа

        , то ответ:

        х πn, n ∈ Z

        там редкостная ерунда, да…) Тут надо определиться с тригонометрическим кругом. Чем мы и займемся в соответствующей теме.

        Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

        Бонус:

        При написании формул в тревожной боевой обстановке даже академически закалённые задроты часто путаются, где πn, А где 2π н. Вот простой трюк.В из всех формул стоит πn. За исключением единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два шт. Ключевое слово — два. Эта же формула содержит два знака в начале. Плюс и минус. Туда-сюда — два.

        Так что если вы написали два знака перед арккосинусом, то легче запомнить, что будет в конце два пиена.И даже бывает наоборот. Пропустить знак человека ± , доберется до конца, напишет правильно два pien и одумается. Впереди-то два знака ! Человек вернется к началу, но исправит ошибку! Вот так.)

        Если вам нравится этот сайт…

        Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

        Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень.Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

        вы можете ознакомиться с функциями и производными.

        Захарова Людмила Владимировна
        МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 59» г.Барнаула
        учитель математики
        [электронная почта защищена]

        1 Простейшие тригонометрические уравнения

        Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a;

        2.Научитесь решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.

        Оборудование: 1) Таблицы с графиками тригонометрических функций y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 2) Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3) Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

        План лекций :

        1 . Вывод формул корней уравнения

        а) sinx = а,

        б) cosx = а ,

        в) tgx = а ,

        г) ctgx = а 9.

        2 … Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.

        3 … Письменная работа по закреплению изученного материала

        На занятиях.

        По алгебре, геометрии, физике и другим предметам мы сталкиваемся с самыми разными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций

        Определение: Уравнения вида синх = и , cosx = и , тгх = и , КТГХ = и называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

        Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все методы и приемы решения любых тригонометрических уравнений сводятся к их сведению к простейшим.

        Начнем с вывода формул, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

        1. Уравнения вида sinx = a .

        Решим уравнение sinx = a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций y = sinx и y = а.

        1) Если a > 1 и a sin x = a не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

        2) Если -1а а пересекает синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx = a имеет бесконечно много решений.

        Так как период синуса равен 2, то для решения уравнения sinx = a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2.

        Решив уравнение относительно [- / 2; / 2] по определению арксинуса x = arcsin a , а по x = -arcsin a … Учитывая периодичность функции y = sinx, получаем следующие выражения ) n arcsin a + n, nZ.

        В следующих трех случаях предпочитают использовать не общую формулу, а более простые соотношения:

        Если а = -1, то sin x = -1, x = — / 2 + 2n

        Если а = 1, то sin x = 1, x = / 2 + 2n

        Если a = 0, то sin x = 0.x = n,

        Пример: Решите уравнение sinx = 1/2.

        Составим формулы решений x = arcsin 1/2 + 2n

        X = — arcsin a + 2n

        Вычислим значение arcsin1 / 2. Подставим найденное значение в формулы решения

        x = 5/ 6 + 2 n

        или по общей формуле

        X = (-1) n arcsin 1/2 + n,

        X = (-1) n / 6 + n,

        2. Уравнения вида cosx = .

        Решим уравнение cosx = a также графически, построив графики функций y = cosx и y = a .

        1) Если a 1, то уравнение cosx = a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

        2) Если -1 a cosx = a имеет бесконечное число решений.

        Найдем все решения cosx = a на отрезке длины 2, так как период косинуса равен 2.

        На решении уравнения по определению арккосинуса будет x = arccosin a. Учитывая четность функции косинуса, решение уравнения на [-; 0] будет x = -arcos a .

        Таким образом, решения уравнения cosx = a x = + аркос и + 2 n,

        В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

        Если а = -1, то cosx = -1, x = — / 2 + 2n

        Если а = 1, тогда cosx = 1, x = 2n,

        Если a = 0, то cosx = 0. x = / 2 + n

        Пример: Решить уравнение cos x = 1/2,

        Составим формулы для решений x = arccos 1/2 + 2n

        Вычислим значение arccos1/2.

        Подставляем найденное значение в формулы решения

        X = + /3 + 2н, нз.

          Уравнения вида tgx = и .

        Поскольку период касательной равен, то для того, чтобы найти все решения уравнения tgx = a , достаточно найти все решения на любом интервале длины. По определению арктангенса решением уравнения на (-/2;/2) является арктангенс a . С учетом периода функции все решения уравнения можно записать в виде

        x = arctg а + п, нз.

        Пример: Решить уравнение tg x = 3/3

        Составим формулу для решения x = arctg 3/3 + n, nZ.

        Вычисляем значение арктангенса arctan 3/3 = / 6, тогда

        X = / 6 + n, nZ.

        Вывод формулы для решения уравнения с тгх = и могут быть предоставлены студентам.

        Пример.

        Решить уравнение ctg x = 1.

        x = arcсtg 1 + n, nZ,

        X = / 4 + n, nZ.

        В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

        «Решение тригонометрических уравнений».

        уравнение

        Упражнения на закрепление изученного материала.

          (Устно) Какое из записанных уравнений можно решить по формулам:

        а) х = (-1) n arcsin а + n, nZ;

        б) х = + аркос а + 2 н?

        cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 …

        Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?

          Решите уравнения:

        а) sin x = 0; д) sin х = 2/2; з) sin х = 2;

        б) cos х = 2/2; е) cos х = -1/2; и) cos х = 1;

        г) тг х = 3; ж) ктг х = -1; к) тг х = 1/3.

        3. Решите уравнения:

        а) sin 3x = 0; д) 2cos х = 1;

        б) cos х/2 = 1/2; е) 3 загара 3x = 1;

        г) sin х/4 = 1; г) 2cos(2x + / 5) = 3.

        При решении этих уравнений полезно записать правила решения уравнений вида sin v x = a , а с sin v х = а , | и |1.

        Грех v х = а, | а | 1.

        v x = (-1) n arcsin a + n, nZ,

        x = (-1) n 1 / v arcsin a + n / 9007Z .

        Подведение итогов урока:

          Сегодня на уроке мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

          Разобранные примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

          Мы заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

        Домашнее задание.

        2 Решение тригонометрических уравнений

        Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений: 1) приводимых к квадратным; 2) сводимы к однородным тригонометрическим уравнениям.

        Развивать у учащихся наблюдательность при использовании различных методов решения тригонометрических уравнений.

          Фронтальная работа со студентами .

          Каковы формулы корней тригонометрических уравнений cos x = a , sin x = a , tgx = a , ctg x = a .

          Решите уравнения (устно):

        cos x = -1, sin x = 0, tgx = 0, ctg x = 1, cos x = 1,5, sin x = 0.

          Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

        потому что х = 1/2, х = + /6+2к,кз.

        sin x = 3/2, x = / 3 + k, kZ.

        tgx = / 4, x = 1 + k, kZ.

        2. Изучение нового материала.

        В этом уроке будут рассмотрены некоторые из наиболее распространенных методов решения тригонометрических уравнений.

        Тригонометрические уравнения сводятся к квадратным.

        К этому классу могут относиться уравнения, включающие одну функцию (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна из них сводится ко второй с помощью основных тригонометрических тождеств.

        Например, если cosх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1-sin 2 x, если sin 2 x, то заменяем на 1-cos 2 x.

        Пример.

        Решите уравнение: 8 sin 2 x — 6sin x -5 = 0.

        Решение: Обозначим sin x = t, тогда 8t 2 — 6t — 5 = 0,

        D = 196,

        T 1 = -1/2, t 2 = -5/4.

        Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

        Х = (- 1) к + 1/6 + к, кЗ.

        Поскольку -5/4 > 1, уравнение не имеет корней.

        Ответ: x = (- 1)k + 1/6 + k, kZ.

        Решение укрепляющих упражнений.

        Решите уравнение:

        1) 2sin 2 x + 3cos x = 0;

        2) 5sin 2 х + 6cos х -6 = 0;

        3) 2sin 2 х + 3cos 2 х = -2sin х;

        4) 3 tg 2 x +2 tgx-1 = 0.

        Однородные тригонометрические уравнения.

        Определение: 1) Уравнение вида a синкс + б cosx = 0, (a = 0, b = 0) называется однородным уравнением первой степени относительно sin x и cos x.

        Это уравнение решается путем деления обеих его частей на cosx 0. В результате получается уравнение atgx + b = 0.

        2) Уравнение вида a грех 2 х + б синкс cosx + с 2 х =0 называется однородным уравнением второй степени, где а, b, с — любые числа.

        Если a = 0, то уравнение решается делением обеих частей на cos 2 x 0. В результате получаем уравнение atg 2 x + btgx + c = 0.

        Комментарий: Уравнение вида и грех м х + б м х =0 или

        и грех 2 м х + б грех м х м х + с 2 м х =0 также однородны.Для их решения обе части уравнения делятся на cos m x =0 или cos 2 m x =0

        3) Различные уравнения могут быть сведены к однородным уравнениям, которые изначально таковыми не являются. Например, sin 2 м х + б грех м х м х + с 2 м х = д , и и синкс + б cosx = д . Чтобы решить эти уравнения, нужно правую часть умножить на «Тригонометрическая единица» т.е. на грех 2 х + 2 x и выполнять математические преобразования.

        Упражнения для закрепления изученного материала:

        1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x — sin2x = 3;

        2) sin 2x + cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx = 2 cos 2 x;

        3) sin x + 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx = 2;

        4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

        3.Подведение итогов урока. Домашнее задание.

        На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида a sin mx + b cos mx = c, где a, b, c не равны нулю одновременно.

        Силовые упражнения:

        1.3sin x + cos x = 2;

        2.3sin 2x + cos 2x = 2;

        3.sin х/3 + cos х/3 = 1;

        4.12 sin x +5 cos x + 13 = 0.

        3 Решение тригонометрических уравнений

        Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений факторизацией; научиться решать тригонометрические уравнения, используя различные тригонометрические формулы;

        2) Проверить: знание учащимися формул решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

        План урока:

          Проверка домашнего задания.

          Математический диктант.

          Изучение нового материала.

          Самостоятельная работа.

          Подведение итогов урока. Домашнее задание.

        Ход урока:

          Проверка домашнего задания (на доске кратко записано решение тригонометрических уравнений).

          Математический диктант.

        В 1

        1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями?

        2. Как называется уравнение вида a sinx + b cosx = 0? Укажите путь решения.

        3. Напишите формулу корней уравнения tgx = a (ctg x = a ).

        4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx = a , , где и = 1, и = 0, и = -1.

        5. Запишите общую формулу корней уравнения sin x = a , | и |

        6. Как составляются уравнения вида a cosx = b , | б |

        В 2

        1. Запишите формулы корней уравнений cosx = a ,| и |

        2. Запишите общую формулу корней уравнения

        = , | и |

        3.Как называются уравнения вида sin x = a , тгх = а , sin x = a ?

        4. Запишите формулы корней уравнения sin x = a , если и =1, и =0, и =-1.

        5.Как составляют уравнения вида sin а х = б , | б |

        6.Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?

          Изучение нового материала.

        Метод факторинга.

        Одним из наиболее часто используемых методов решения тригонометрических уравнений является метод факторизации.

        Если уравнение f (x) = 0 можно представить в виде f 1 (x) f 2 (x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0.

        (Со студентами полезно запомнить правило « Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл »)

          Закрепление изученного материала путем решения уравнений различной сложности.

          (sin x-1/2) (sin x + 1) = 0; 2) (cosx- 2/2) (sin x + 2/2) = 0; (сам)

        3) sin 2 x + sin x cosx = 0; 4) sin 2 x — sin x = 0;

        5) sin 2x — cosx = 0; 6) 4 cos 2 x -1 = 0; (двумя способами)

        7) cosx + cos3x = 0; 8) грех 3х = грех 17х;

        9) грех х + грех 2х + грех 3х = 0; 10) cos3x cos5x

        11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

        12) 3 cosx sin x + cos 2 x = 0 (собственно)

        13) 2 cos 2 x — sin (x-/2) + tgx tg (x + / 2) = 0.

          Самостоятельная работа.

        Опция-1 Опция-2

        1) 6 sin 2 x + 5sin x -1 = 0; 1) 3 cos 2 x + 2 cos x -5 = 0;

        2) sin 2x — cos2x = 0; 2) 3 cos х/2 — sin х/2 = 0;

        3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 x = 2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx + 7cos 2 x = 5;

        4) sin x + sin5x = sin3x + sin7x; 4) sin x-sin 2x + sin 3x-sin 4x = 0;

        5) грех х + cosx = 1.5) sin x + cosx = 2.

        8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

        Исчисление I. Триггерные уравнения с калькуляторами, часть I

        Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

        Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

        Раздел 1-5: Решение триггерных уравнений с помощью калькуляторов, часть I

        В предыдущем разделе мы начали решать триггерные уравнения.Единственная проблема с уравнениями, которые мы там решали, заключается в том, что почти все они имели решения, полученные из горстки «стандартных» углов, и, конечно же, есть много уравнений, которые просто не имеют. Итак, в этом разделе мы рассмотрим еще несколько триггерных уравнений, для решения большинства из которых потребуется использование калькулятора (для пары калькулятор не понадобится).

        Тот факт, что мы используем калькуляторы в этом разделе, не означает, однако, что проблемы в предыдущем разделе не важны.В этом разделе предполагается, что основные идеи решения тригонометрических уравнений известны и нам нет необходимости возвращаться к ним здесь. В частности, предполагается, что вы можете использовать единичный круг, чтобы помочь вам найти все ответы на уравнение (хотя процесс здесь немного отличается, как мы увидим), и предполагается, что вы можете найти ответы в заданном интервале . Если вы не знакомы с этими идеями, вы должны сначала перейти к предыдущему разделу и рассмотреть эти проблемы.

        Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно разобраться, как работают наши калькуляторы, чтобы мы могли получить правильные ответы.Калькуляторы — отличные инструменты, но если вы не знаете, как они работают и как интерпретировать их ответы, у вас могут возникнуть серьезные проблемы.

        Во-первых, как уже указывалось в предыдущих разделах, все, что мы собираемся здесь делать, будет в радианах, поэтому убедитесь, что ваш калькулятор настроен на радианы, прежде чем решать задачи в этом разделе. { — 1}}\left( x \right) = \ arctan \left( x \right)\end{array}\]

        Как показано, обычно используются два различных обозначения.{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {3} {4}} \ вправо) = 0,7227 \]

        Из предыдущего раздела мы знаем, что на самом деле должно быть бесконечное количество ответов на этот вопрос, включая второй угол, который находится в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right]\). Однако наш калькулятор дал нам только один ответ. Как определить, что такое другие углы, будет рассмотрено в следующих примерах, поэтому мы не будем вдаваться в подробности здесь. Однако нам нужно было указать, что калькуляторы будут давать только один ответ и что у нас будет больше работы, чем просто подставить число в калькулятор.

        Поскольку мы знаем, что существует бесконечное число решений \(\cos \left( x \right) = {\frac{3}{4}}\), следующий вопрос, который мы должны задать, заключается в том, как Калькулятор решил вернуть ответ, который он сделал? Почему именно этот, а не какой-то другой? Будет ли он каждый раз давать один и тот же ответ?

        Существуют правила, определяющие, какой ответ дает калькулятор при вычислении обратных триггерных функций. Все калькуляторы дадут ответы в следующих диапазонах.{ — 1}}\left( x \right) \le \frac{\pi }{2}\hspace{0.5in} — \frac{\pi }{2}

        Если вы вспомните единичный круг и вспомните что мы думаем о косинусе как о горизонтальной оси, тогда мы можем видеть, что мы покроем все возможные значения косинуса в верхней половине круга, и это точно диапазон, указанный выше для арккосинуса. Точно так же, поскольку мы думаем о синусе как о вертикальной оси единичного круга, мы можем видеть, что мы покроем все возможные значения синуса в правой половине единичного круга, и это диапазон, указанный выше.

        Для диапазона тангенса вернитесь к графику самой функции тангенса, и мы увидим, что одна ветвь тангенса покрывается в диапазоне, указанном выше, и поэтому это диапазон, который мы будем использовать для арктангенса. Также обратите внимание, что мы не включаем конечные точки в диапазон для арктангенса, поскольку тангенса там не существует.

        Итак, если мы запомним эти правила, мы сможем определить оставшийся угол в \(\left[ {0,2\pi } \right]\), который также работает для каждого решения. { — 1}}\left( {{\frac{3}{4}}} \right)\) должно находиться в первом квадранте, поскольку 0,7227 находится в диапазоне от 0 до 1,5708. Это будет большим подспорьем, когда мы перейдем к определению оставшихся углов

        .

        Итак, еще раз, мы не можем не подчеркнуть, что калькуляторы являются отличными инструментами, которые могут оказать нам огромную помощь, но если вы не понимаете, как они работают, вы часто будете получать неправильные ответы на задачи.

        Итак, со всем этим давайте взглянем на нашу первую проблему.{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {3} {4}} \ вправо) = 0,7227 \]

        Итак, это тот, который мы использовали выше в начале обсуждения этого раздела. В то время мы упомянули, что существует бесконечное количество ответов и что мы увидим, как их найти позже. Ну, это время сейчас.

        Во-первых, давайте быстро взглянем на единичный круг для этого примера.

        Угол, который мы нашли, показан на круге, а также другой угол, который, как мы знаем, также должен быть ответом. Найти этот угол здесь так же просто, как и в предыдущем разделе. Поскольку отрезок прямой в первом квадранте образует угол 0,7227 радиана с положительной осью \(х\), то же самое делает отрезок прямой в четвертом квадранте. Это означает, что мы можем использовать либо -0,7227 в качестве второго угла, либо \(2\pi — 0,7227 = 5,5605\). Что вы используете, зависит от того, что вы предпочитаете. Мы почти всегда будем использовать положительный угол, чтобы избежать потери знака минус.

        Итак, все возможные решения, игнорируя интервал в секунду, равны

        \[\begin{align*} \begin{aligned}t & = 0.7227 + 2\pi n\\ t & = 5,5605 + 2\pi n\end{align} & {\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align* }\]

        Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить значения \(n\), чтобы определить угол, который фактически находится в интервале. Вот работа для этого.

        \[\begin{array}{lclcl}n = — 2 & : & \hspace{0,25in}t = \require{cancel} \xcancel{{ — 11,8437}} & \hspace{0,25in}{\mbox{и }}\hspace{0,25 дюйма} & — 7,0059\\ n = — 1 & : & \hspace{0. 25in}t = — 5,5605 & \hspace{0,25in}{\mbox{and}}\hspace{0,25in} & — 0,7227\\ n = 0 & : & \hspace{0,25 дюйма} t = 0,7227 & \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма} & 5,5605\\ n = 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} t = 7,0059 & \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма} & \xcancel{{11,8437}}\end{массив}\]

        Таким образом, решения этого уравнения в заданном интервале равны

        \[т = — 7.0059,\,\, — 5,5605,\,\,\, — 0,7227,\,\,\,0,7227,\,\,\,5,5605,\,\,\,7,0059\]

        Обратите внимание, что у нас был выбор углов для второго угла в предыдущем примере. Выбор углов также повлияет на значение (я) \(n\), которые нам нужно будет использовать, чтобы получить все решения. В конце концов, независимо от выбранного угла, мы получим один и тот же список решений, но значения \(n\), которые дают решения, будут разными в зависимости от нашего выбора.

        Кроме того, в приведенном выше примере мы даем немного больше пояснений, чем покажем в остальных примерах в этом разделе, чтобы напомнить вам, как они работают.{ — 1}}\left( { — \frac{7}{{10}}} \right) = 2,3462\]

        Не забываем, что нам еще нужна «3»!

        Теперь давайте посмотрим на краткий круг единиц для этой задачи. Как мы видим, угол 2,3462 радиана находится во втором квадранте, а другой угол, который нам нужен, находится в третьем квадранте. Мы можем найти этот второй угол точно так же, как в предыдущем примере. Мы можем использовать либо -2,3462, либо \(2\pi — 2,3462 = 3,9370\). Как и в предыдущем примере, мы будем использовать положительный выбор, но это чисто вопрос предпочтений.Вы можете использовать негатив, если хотите.

        Итак, давайте теперь закончим задачу. Во-первых, давайте признаем, что значения 3\(t\), которые нам нужны, равны

        . \[\begin{align*} \begin{align}3t & = 2,3462 + 2\pi n\\ 3t & = 3,9370 + 2\pi n\end{align} & {\hspace{0,5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]

        Теперь нам нужно правильно разобраться с числом 3, так что разделите его, чтобы получить все решения триггерного уравнения.

        \[\begin{align*} \begin{aligned}t & = 0,7821 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ t & = 1,3123 + \frac{{2\pi n}}{3 }\end{align} & {\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align*}\]

        Наконец, нам нужно получить значения в заданном интервале.

        \[\begin{array}{lclcl}n = — 2 & : & \hspace{0,25in}t = \require{cancel} \xcancel{{ — 3,4067}} & \hspace{0,25in}{\rm{и }}\hspace{0,25 дюйма} и \xcancel{{ — 2.8765}}\\ n = — 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} t = — 1,3123 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & — 0,7821\\ n = 0 & : & \hspace{0,25 дюйма} t = 0,7821 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & 1,3123\\ n = 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} t = 2,8765 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & 3,4067\\ n = 2 & : & \hspace{0.25in}t = 4,9709 & \hspace{0,25in}{\rm{and}}\hspace{0,25in} & \xcancel{{5,5011}}\end{массив}\]

        Тогда решения этого уравнения в заданном интервале равны

        \[t = — 1,3123,\,\, — 0,7821,\,\,0,7821,\,\,1,3123,\,\,2,8765,\,\,3,4067,\,\,4,9709\]

        Мы решили пару простых задач с косинусами, теперь давайте посмотрим, как работает решение уравнений с синусами.

        Пример 3 Решить \(\displaystyle 6\sin \left( {\frac{x}{2}} \right) = 1\) на \(\left[-20,30\right]\) Показать решение

        Давайте сначала избавимся от калькулятора, так как разница не в нем.{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {6}} \ вправо) = 0,1674 \]

        Вот единичный круг для этого примера.

        Чтобы найти второй угол в этом случае, мы можем заметить, что прямая в первом квадранте образует угол 0,1674 с положительной осью \(х\), и поэтому угол во втором квадранте будет составлять угол 0,1674 с положительной осью отрицательная ось \(х\). Итак, если мы начнем с положительной оси \(x\), мы повернемся на пол-оборота, а затем откатимся на 0.1674. Следовательно, искомый угол равен \(\pi — 0,1674 = 2,9742\).

        Вот остальная часть решения для этого примера. С этого момента мы предполагаем, что вы можете выполнять эту работу без особых объяснений.

        \[\begin{align*}\begin{aligned}\frac{x}{2} & = 0,1674 + 2\pi n\\ & \\ \frac{x}{2} & = 2,9742 + 2\pi n \end{align} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} &\begin{align}x & = 0.3348 + 4\pi n\\ x & = 5,9484 + 4\pi n\end{align} & {\hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align* }\] \[\begin{array}{lclcl}n = — 2 & : & \hspace{0,25in} & x = \require{cancel} \xcancel{{ — 24,7980}} & \hspace{0,25in}{\rm{ и}}\hspace{0,25 дюйма} & — 19,1844\\ n = — 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = — 12,2316 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & — 6,6180\\ n = 0 & : & \hspace{0.25 дюймов} & x = 0,3348 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{и}}\hspace{0,25 дюйма} & 5,9484\\ n = 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = 12,9012 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & 18,5148\\ n = 2 & : & \hspace{0,5 дюйма} & x = 25,4676 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & \xcancel{{31,0812}}\end{массив}\ ]

        Решения этого уравнения тогда,

        \[х = — 19.{ — 1}}\left( { — \frac{2}{3}} \right) = — 0,7297\]

        Хорошо, с этим мы поработаем чуть больше, чем с остальными. Для первого угла мы могли бы использовать ответ, который дал нам наш калькулятор. Однако легко потерять знак минус, поэтому вместо этого мы будем использовать \(2\pi — 0,7297 = 5,5535\). Опять же, для этого нет никакой причины, кроме беспокойства о потере знака минус в ответе калькулятора. Если вы хотите использовать ответ калькулятора, добро пожаловать.Для второго угла заметим, что линии в третьем и четвертом квадранте составляют угол 0,7297 с осью \(x\). Итак, если мы начнем с положительной оси \(x\), мы повернем ее на пол-оборота, а затем добавим 0,7297 для второго угла. Следовательно, второй угол равен \(\pi + 0,7297 = 3,8713\).

        Вот остальная работа для этого примера.

        \[\begin{align*}\begin{align}5z & = 5,5535 + 2\pi n\\ 5z & = 3,8713 + 2\pi n\end{align} &{\hspace{0.25 дюймов} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}} &\begin{align}z & = 1,1107 + \frac{{2\pi n}}{5}\\ z & = 0,7743 + \frac{{2\pi n }}{5}\end{align} & {\hspace{0,25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align*}\] \[\begin{array}{lclcl}n = — 1 & : & \hspace{0.25in} & x = \require{cancel} \xcancel{{ — 0.1460}} & \hspace{0.25in}{\rm{ и}}\hspace{0,25 дюйма} & \xcancel{{ — 0,4823}}\\ n = 0 & : & \hspace{0,25 дюйма} & \xcancel{{x = 1,1107}} & \hspace{0.25 дюймов {\ rm {и}} \ hspace {0,25 дюйма} и 0,7743 \ конец {массив} \]

        Итак, в данном случае мы получаем единственное решение 0,7743.

        Обратите внимание, что в предыдущем примере мы получили только одно решение. Это случается время от времени, так что не беспокойтесь об этом. Кроме того, обратите внимание, что это решение дал второй угол, поэтому, если бы мы просто полагались на наш калькулятор, не беспокоясь о других углах, мы бы не получили это решение. Опять же, нельзя не подчеркнуть, что, хотя калькуляторы являются отличным инструментом, если мы не понимаем, как правильно интерпретировать / использовать результат, мы можем (и часто будем) получать неправильное решение.

        До сих пор мы работали только с примерами, использующими синус и косинус. Давайте теперь поработаем с парой примеров, которые включают другие триггерные функции, чтобы увидеть, как они работают.

        Пример 5. Решите \(9\sin\left({2x}\right) = — 5\cos\left({2x} \right)\) на \(\left[-10,0\right]\). Показать решение

        На первый взгляд кажется, что эта задача противоречит предложению, предшествующему примеру. Однако на самом деле это не так.

        Во-первых, когда в уравнении имеется более одной триггерной функции, нам нужен способ получить уравнения, включающие только одну триггерную функцию.Есть много способов сделать это, которые зависят от типа уравнения, с которого мы начинаем. В этом случае мы можем просто разделить обе части на косинус, и мы получим единственную касательную в уравнении. Теперь мы можем видеть, что это действительно уравнение, в котором нет ни синуса, ни косинуса.

        Итак, приступим к этому примеру.

        \[\frac{{\sin\left({2x}\right)}}{{\cos\left({2x}\right)}} = \tan\left({2x}\right) = — \frac {5}{9}\hspace{0.{ — 1}}\left( { — \frac{5}{9}} \right) = — 0,5071\]

        Теперь единичный круг не содержит касательных, однако мы можем использовать его для иллюстрации второго угла в диапазоне \(\left[ {0,2\pi } \right]\).

        Здесь мы ищем такие углы, у которых частное от \(\frac{{{\rm{sine}}}}{{{\rm{косинус}}}}\) одинаково. Второй угол, где мы получим такое же значение тангенса, будет точно противоположен данной точке. Для этого угла значения синуса и косинуса одинаковы, за исключением того, что они будут иметь противоположные знаки.Однако в частном разница в знаках сократится, и мы получим то же значение тангенса. Таким образом, второй угол всегда будет равен первому углу плюс \(\pi \).

        Перед получением второго угла отметим также, что, как и в предыдущем примере, мы будем использовать \(2\pi — 0,5071 = 5,7761\) для первого угла. Опять же, это только из-за беспокойства о потере знака минус в нашем ответе калькулятора. Мы могли бы так же легко выполнить работу с исходным углом, который дал нам наш калькулятор.

        Теперь, похоже, мы просто случайным образом вносим изменения и делаем что-то без всякой причины. Второй угол, который мы собираемся использовать, равен

        . \[\pi + \left( { — 0,5071} \right) = \pi — 0,5071 = 2,6345\]

        Тот факт, что мы использовали здесь ответ калькулятора, кажется, противоречит тому факту, что мы использовали другой угол для первого выше. Причина, по которой это делается здесь, состоит в том, чтобы указать второй угол, который находится в диапазоне \(\left[ {0,2\pi } \right]\).Если бы мы использовали 5,7761 для нахождения второго угла, мы бы получили \(\pi + 5,7761 = 8,9177\). Это вполне приемлемый ответ; однако он больше, чем \(2\pi \) (6,2832), и общее эмпирическое правило состоит в том, чтобы начальные углы были как можно меньше.

        Вот все решения уравнения.

        \[\begin{align*}\begin{align}2x & = 5,7761 + 2\pi n\\ 2x & = 2,6345 + 2\pi n\end{align} & {\hspace{0,25in} \Rightarrow \hspace {0.25in}} & \begin{align}x & = 2,8881 + \pi n\\ x & = 1,3173 + \pi n\end{align} & {\hspace{0,25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{выравнивание*}\] \[\begin{array}{lclcl}n = — 4 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = — 9,6783 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & \ требуют{отменить} \xcancel{{ — 11.2491}}\\ n = — 3 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = — 6,5367 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & — 8.1075\\ n = — 2 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = — 3,3951 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & — 4,9659\\ n = — 1 & : & \hspace{0,25 дюйма} & x = — 0,2535 & \hspace{0,25 дюйма}{\rm{and}}\hspace{0,25 дюйма} & — 1,8243\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in} & \require{cancel} \xcancel{{x = 2.8881}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel {{1.3173}}\конец{массив}\]

        Семь решений этого уравнения равны

        \[ — 0,2535,\,\,\,\, — 1,8243,\,\,\,\, — 3,3951,\,\,\, — 4,9659,\,\,\, — 6,5367,\,\,\ ,\, — 8,1075,\,\,\,\, — 9,6783\]

        Обратите также внимание, что нам не нужно было выполнять вычисление \(n = 0\), так как мы могли видеть из заданного интервала, что нам нужны только отрицательные ответы, а они явно дадут положительные ответы.

        Прежде чем двигаться дальше, нам нужно решить одну проблему, связанную с предыдущим примером.Используемый здесь метод решения не является «стандартным» методом решения. Поскольку второй угол равен \(\pi \) плюс первый, и если мы добавим \(\pi \) ко второму углу, мы вернемся к линии, представляющей первый угол, более стандартный метод решения состоит в том, чтобы просто добавить \(\pi n\) на первый угол.

        Если использовать ответ калькулятора, это даст

        \[2x = — 0,5071 + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

        Если использовать положительный угол, соответствующий ответу калькулятора, это даст

        \[2x = 5.7761 + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

        Затем разделить на 2 любой из следующих наборов решений,

        \[\begin{align*}x & = — 0,2535 + \frac{{\pi n}}{2},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = 2,8881 + \frac{{\pi n}}{2},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

        Любой из этих наборов решений идентичен набору решений, который мы получили в примере (мы предоставим вам возможность подставить некоторые \(n\) и проверить это).Итак, почему мы не использовали метод в предыдущем примере? Простой. Метод в предыдущем примере более точно отражает метод решения для косинуса и синуса (, т.е. , они оба, как правило, дают два набора углов), и поэтому для студентов, которым неудобно решать тригонометрические уравнения, это дает «согласованный» метод решения.

        Многие современные калькуляторы могут вычислять только арксинус, арккосинус и арктангенс. Итак, давайте рассмотрим пример, в котором используется одна из других триггерных функций.{ — 1}}\left( { — \frac{{10}}{7}} \right)\]

        Вот мы и добрались до проблемы. Как отмечалось выше, многие калькуляторы не могут работать с арксекансом, поэтому для этого нам понадобится другой метод решения. Чтобы закончить решение здесь, мы просто вспомним определение секущей в терминах косинуса и вместо этого преобразуем его в уравнение, включающее косинус, и мы уже знаем, как решать такие тригонометрические уравнения.

        \[\frac{1}{{\cos \left( {3t} \right)}} = \sec \left( {3t} \right) = — \frac{{10}}{7}\hspace{0 .5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\cos \left( {3t} \right) = — \frac{7}{{10}}\]

        Теперь мы решили это уравнение во втором примере выше, поэтому мы не будем переделывать нашу работу здесь. Решение

        \[\begin{align*}\begin{aligned}t & = 0,7821 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ t & = 1,3123 + \frac{{2\pi n}}{3 }\end{align} &{\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align*}\]

        В этой задаче нам не дали интервал, поэтому здесь больше нечего делать.

        Для остальных примеров в этом разделе мы не собираемся искать решения в интервале, чтобы сэкономить место. Если вы следовали работе первых нескольких примеров, в которых нам были заданы интервалы, вы должны быть в состоянии выполнить любой из оставшихся примеров, если задан интервал.

        Кроме того, мы больше не будем включать эскизы единичных окружностей в оставшиеся решения. Мы предполагаем, что вы можете использовать приведенные выше эскизы в качестве руководств для рисования единичных кругов, чтобы проверить утверждения в следующих примерах.

        Следующие три примера не требуют калькулятора, но достаточно важны или вызывают достаточно проблем, чтобы учащиеся могли включить их в этот раздел на случай, если вы столкнетесь с ними и не видели их больше нигде.

        Пример 7. Решите \(\cos\left({4\theta} \right) = — 1\). Показать решение

        На самом деле с этой проблемой особо ничего не поделаешь. Это, однако, отличается от всех других, сделанных до этого момента. Все остальные, сделанные до этой точки, имели два угла в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right]\), которые были решениями уравнения.У этого есть только один. Если вы не уверены, то поверите этому наброску в простой единичный круг, и вы увидите, что на самом деле существует только один угол, для которого косинус равен -1.

        Вот решение этого уравнения.

        \[4\theta = \pi + 2\pi n\hspace{0,25in} \Rightarrow \hspace{0,25in}\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{{\pi n}}{ 2}\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] Пример 8 Решите \(\displaystyle \sin \left( {\frac{\alpha }{7}} \right) = 0\).Показать решение

        Опять же, не сильно к этой проблеме. Используя единичный круг, нетрудно увидеть, что решения этого уравнения равны

        . \[\begin{align*}\begin{align}\frac{\alpha }{7} & = 0 + 2\pi n\\ & \\ \frac{\alpha }{7} & = \pi + 2 \ pi n \ end {выровнено} & {\ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма}} & \ begin {выровнено} \ alpha & = 14 \ pi n \\ \ alpha & = 7 \ pi + 14 \pi n\end{align} & \hspace{0.25in}{n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{align*}\]

        В следующем примере есть важный момент, который необходимо понимать при решении некоторых тригонометрических уравнений.

        Пример 9. Решите \(\sin\left({3t}\right) = 2\). Показать решение

        Этот пример призван напомнить вам некоторые свойства синуса и косинуса. Напомним, что \( — 1 \le \sin \left( \theta \right) \le 1\) и \( — 1 \le \cos \left( \theta \right) \le 1\). Следовательно, поскольку синус никогда не будет больше 1, он определенно не может быть равен 2. Итак, НЕТ РЕШЕНИЙ этого уравнения!

        Важно помнить, что не все тригонометрические уравнения имеют решения.

        Поскольку этот документ также готовится для просмотра в Интернете, мы разделим этот раздел на две части, чтобы свести к минимуму размер страницы (и, следовательно, время загрузки в браузере). В следующем разделе мы рассмотрим несколько более «сложные» уравнения. Хотя, как вы увидите, они не так сложны, как могут показаться на первый взгляд.

        Как найти корни тригонометрического уравнения? —

        Решение корней тригонометрического уравнения, которое вы показываете в своем вопросе, на самом деле тривиально.Извините, но это так. На самом деле это можно сделать карандашом и бумагой, если использовать простое тождество из триггера.

        Вы утверждаете, что у вас есть проблема:

        e*sin(gammaL) + thetaC*cos(gammaL) == 0

        , где e и thetaC известны. Просто перепишите его как

        -thetaC/e = sin(gammaL)/cos(gammaL)

        Теперь, если вы узнаете правую часть как тангенс, мы имеем

        tan(gammaL) = -thetac/e

        и следовательно, основное решение просто

        gammaL = atan(-thetac/e)

        . Если вы хотите найти ВСЕ решения, помните, что функция тангенса является периодической с периодом pi.поэтому полностью общее решение должно быть просто

        gammaL = atan(-thetac/e) + k*pi

        , где k — любое целое число. Это должно быть действительным до тех пор, пока thetaC не равно нулю, и пока cos(gammaL) не равно нулю. И пока я не сплю, когда пишу это. 🙂

        Посмотрите, что теперь говорит syms. [2×1 символ] параметры: к условия: [2×1 сим]

        соль.gammaL

        ans = 

        sol.conditions

        ans = 

        Итак, правильное ли это решение? Это математически эквивалентно моему решению? На самом деле да. Так и должно быть. То, что символический набор инструментов не видел упрощения, которое я нашел, не так важно. Вы просили решения, не так ли?

        Символический набор инструментов увидел, что мы можем преобразовать проблему, используя тождество

        sin(u+v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)

        , затем он использовал тождество де Муавра

        exp(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)

        для решения gammaL.

        Оба решения должны быть одинаково правильными, просто выражены по-разному. Например:

        vpa(subs(sol.gammaL),5)

        ans = 

        vpa(atan(-thetaC/e)) + K*pi

        ans = 

        Отсюда выйдут оба решения, в зависимости от если К четно или нечетно. Приложив некоторое умственное усилие, я, конечно, мог бы доказать, что они математически эквивалентны, но есть ли веская причина для этого?

        10 секретных триггерных функций, которым ваши учителя математики никогда вас не учили

        В понедельник The Onion сообщил, что «Учителя математики страны вводят 27 новых триггерных функций.Это забавное чтение. gamsin, negtan и cosvnx из статьи Onion являются вымышленными, но в этой части есть доля правды: есть 10 секретных триггерных функций, о которых вы никогда не слышали, и у них есть восхитительные названия, такие как «haversine». » и «экссекация».

        Диаграмма с единичным кругом и большим количеством триггерных функций, чем вы можете потрясти палкой. (Хорошо известно, что вы можете встряхнуть палку максимум с 8 триггерными функциями.) Знакомые синус, косинус и тангенс обозначены красным, синим и коричневым цветом соответственно.Версинус выделен зеленым рядом с косинусом, а экссеканс розовым справа от версинуса. Экзосеканс и коверсин также присутствуют на изображении. Не изображены: веркосинус, каверкосинус и гавер — что угодно. Изображение: Лиманер и Стивен Дж. Джонсон, через Викисклад.

        Если вы хотите помучить ими студентов или втянуть их в разговор, чтобы показаться эрудированным и/или невыносимым, вот определения всех «потерянных триггерных функций» Я нашел в своем исчерпывающем исследовании оригинальных исторических текстов я о.

        Версия: версия(θ)=1-cos(θ)
        Веркосинус: веркозин(θ)=1+cos(θ)
        Коверсинус: каверсин(θ)=1-sin(θ)
        Коверкосинус: каверкосинус(θ)=1+sin(θ)
        Гаверсинус: гаверсин(θ)=версин(θ)/2
        Гаверкозин: гаверкозин(θ)=веркозин(θ)/2
        Hacoversin: hacoversin(θ)=coversin(θ)/2
        Hacovercosin: hacovercosin(θ)=covercosin(θ)/2
        Экссеканс: exsec(θ)=sec(θ)-1
        Экскосеканс: excsc(θ)=csc(θ)-1

        Должен признаться, я был немного разочарован, когда искал их.Это всего лишь простые комбинации старого доброго синуса и косинуса. Почему они вообще получили имена?! В то время и в том месте, где я могу сидеть на диване и почти мгновенно находить синус любого угла с точностью до 100 знаков после запятой с помощью онлайн-калькулятора, версинус не нужен. Но эти, казалось бы, лишние функции удовлетворяли потребности в мире до калькуляторов.

        Numberphile недавно опубликовал видео о таблицах журналов, в котором объясняется, как люди использовали логарифмы для умножения больших чисел в темные времена, когда еще не было калькуляторов.Во-первых, повторение логарифмов. Уравнение log b x=y означает, что b y =x. Например, 10 2 = 100, поэтому log 10 100 = 2. Один удобный факт о логарифмах заключается в том, что log 92 126 b 92 127 (c × d) = log 92 126 b 92 127 c + log 92 126 b 92 127 d. Другими словами, логарифмы превращают умножение в сложение. Если вы хотите умножить два числа вместе с помощью таблицы журнала, вы должны найти логарифм обоих чисел, а затем сложить логарифмы вместе. Затем вы использовали свою таблицу журналов, чтобы узнать, какое число имеет этот логарифм, и это был ваш ответ.Сейчас это звучит громоздко, но для умножения вручную требуется гораздо больше операций, чем для сложения. Когда каждая операция занимает нетривиальное количество времени (и подвержена нетривиальному количеству ошибок), процедура, которая позволяет вам преобразовать умножение в сложение, реально экономит время и может помочь повысить точность.

        Секретные триггерные функции, такие как логарифмы, упрощают вычисления. Наиболее часто использовались версин и гаверсин. Вблизи угла θ=0 значение cos(θ) очень близко к 1.Если бы вы выполняли вычисление, в котором был 1-cos(θ), ваше вычисление могло бы быть разрушено, если бы в вашей таблице косинусов не было достаточного количества значащих цифр. Для иллюстрации косинус 5 градусов равен 0,996194698, а косинус 1 градуса равен 0,999847695. Разница cos(1°)-cos(5°) составляет 0,003652997. Если бы в вашей таблице косинусов было три значащих цифры, вы бы получили только 1 значащую цифру точности в своем ответе из-за ведущих нулей в разнице. А таблица с тремя значащими цифрами точности не сможет различить углы в 0 и 1 градус.Во многих случаях это не имеет значения, но может стать проблемой, если ошибки накапливаются в ходе вычислений.

        Триггерные функции бонуса также имеют то преимущество, что они никогда не бывают отрицательными. Версинус находится в диапазоне от 0 до 2, поэтому, если вы используете таблицы журналов для умножения на версинусу, вам не нужно беспокоиться о том, что логарифм не определен для отрицательных чисел. (Он также не определен для 0, но с этим случаем легко иметь дело.) Еще одно преимущество версинуса и гаверсинуса заключается в том, что они могут избавить вас от необходимости что-то возводить в квадрат.Немного тригонометрического волшебства (т. е. запоминания одной из бесконечного списка тригонометрических формул, которые вы выучили в старшей школе) показывает, что 1-cos(θ)=2sin 2 (θ/2). Таким образом, гаверсинус — это просто sin 2 (θ/2). Точно так же гаверкосинус равен cos 2 (θ/2). Если у вас есть вычисление, включающее квадрат синуса или косинуса, вы можете использовать таблицу гаверсинуса или гаверкосинуса, и вам не нужно возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

        Диаграмма, показывающая синус, косинус и версинус угла.Изображение: Кеф и Стивен Дж. Джонсон, через Wikimedia Commons.

         

        Versine — довольно очевидная триггерная функция для определения, и, похоже, она использовалась еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус, возможно, имел более важное значение в более поздней истории, когда он использовался в навигации. Формула гаверсинуса — очень точный способ вычисления расстояний между двумя точками на поверхности сферы с использованием широты и долготы двух точек. Формула гаверсинуса представляет собой переформулировку сферического закона косинусов, но формулировка в терминах гаверсинусов более полезна для малых углов и расстояний.(С другой стороны, формула гаверсинуса не очень хорошо работает с углами, близкими к 90 градусам, но сферический закон косинусов хорошо с ними справляется.) Формула гаверсинуса может давать точные результаты, не требуя вычислительно затратных операций квадраты и квадратные корни. Еще в 1984 году любительский астрономический журнал Sky & Telescope восхвалял формулу гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов.Чтобы узнать больше о формуле гаверсинуса и вычислении расстояний на сфере, ознакомьтесь с этой архивной копией страницы бюро переписи населения или с этой статьей «Спросите доктора математики».

        У меня мало информации об истории других триггерных функций в списке. Все они могли сделать вычисления более точными вблизи определенных углов, но я не знаю, какие из них широко использовались, а какие были названы * аналогично другим функциям, но редко использовались в действительности. Мне любопытно об этом, если кто-нибудь знает больше об этом предмете.

        Когда Лук имитирует реальную жизнь, это обычно трагично. Но в случае с секретными триггерными функциями зерно правды в Onion меня не огорчило. Нам очень повезло, что мы можем так легко умножать, возводить в квадрат и извлекать квадратные корни, а наши калькуляторы могут хранить точную информацию о синусе, косинусе и тангенсе углов, но прежде чем мы смогли это сделать, мы придумали работу — вокруг в виде смешного количества триггерных функций. Легко забыть, что люди, которые их определили, не были садистскими учителями математики, которые хотят, чтобы люди запоминали странные функции без всякой причины.Эти функции фактически сделали вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам. Теперь, когда компьютеры стали такими мощными, гаверсинус уступил место гибкому диску. Но я думаю, мы все можем согласиться с тем, что это должно вернуться, хотя бы из-за «крутой» шутки, которую я придумал, когда засыпал прошлой ночью: Хаверсайн? Я даже не знаю!

        *Я хотел бы сделать небольшое отступление в мир математических префиксов, но это может быть не для всех. Вы были предупреждены.

        В таблице секретных триггерных функций «ха» явно означает половину; например, значение гаверсина составляет половину значения версина.«Со» означает взятие той же функции, но с дополнительным углом. (Дополнительные углы в сумме дают 90 градусов. В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга.) Например, косинус угла также является синусом дополнительного угла. Точно так же покрывающий синус — это версия дополнительного угла, как вы можете видеть голубым цветом над одним из красных синусов на диаграмме в верхней части поста.

        Единственная бонусная триггерная функция, которая меня немного смущает, — это веркосинус.Если бы «со» в этом определении означало дополнительный угол, тогда веркозин был бы таким же, как каверсин, а это не так. Вместо этого веркосинус является версиной дополнительного угла (дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов), а не дополнительного угла. В дополнение к определениям как 1-cos(θ) и 1+cos(θ), версинус и веркосинус можно определить как versin(θ)=2sin 2 (θ/2) и vercos(θ)=2cos 2 (θ/2). В случае версина я считаю, что определение, включающее cos(θ), старше, чем определение, включающее квадрат синуса.Я предполагаю, что веркосинус был более поздним термином, аналогом определения квадрата синуса версина с использованием вместо этого косинуса. Если вы любитель истории тригонометрии и у вас есть дополнительная информация, пожалуйста, дайте мне знать! В любом случае, таблица сверхсекретных бонусных триггерных функций — забавное упражнение в выяснении значения префиксов.

        Решение тригонометрических уравнений: графики и квадратные уравнения

        Тригонометрическое уравнение — это уравнение, состоящее из тригонометрической функции. Эти функции включают синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.В зависимости от типа тригонометрического уравнения их можно решить с помощью диаграммы CAST, квадратичной формулы, одного из различных доступных тригонометрических тождеств или единичного круга.

        Как мы используем диаграмму CAST при решении тригонометрических уравнений?

        Диаграмма CAST используется для решения тригонометрических уравнений. Это помогает нам запомнить знаки тригонометрических функций в каждом квадранте и то, что происходит с углом, который необходимо вычислить, в зависимости от используемой тригонометрической функции.

        Иллюстрация тригонометрической диаграммы приведения Николь Мойо — StudySmarter Originals

        • Все триггерные функции положительны в первом квадранте.
        • Положителен только синус во втором квадранте.
        • Только тангенс положителен в третьем квадранте.
        • Положителен только косинус в четвертом квадранте.

        При использовании диаграммы CAST вы сначала изолируете триггерную функцию, вычисляете острый угол, а затем используете диаграмму для поиска решений.Вы можете использовать этот метод для решения линейных уравнений триггера, уравнений триггера, включающих одну функцию, и использовать свой калькулятор.

        Шаг 1:      Измените уравнение так, чтобы триггерная функция была самостоятельной.


        Шаг 2     Рассчитайте значение острого угла, используя обратную тригонометрическую функцию. Обратите внимание, что при вычислении острого угла всегда будет игнорироваться отрицательное значение.

            

        Шаг 3:      Основываясь на знаке функции, определите квадранты решений и используйте полученную информацию для решения уравнения.

        В нашем примере синус отрицателен. Поэтому наши решения находятся в 3-м (180°+x°) и 4-м (360°-x°) квадрантах.

        Что такое единичная окружность в тригонометрии?

        Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, используемая для обозначения конкретных общих углов.

        Единичный круг. Изображение: Джим Белк, общественное достояние

        Как мы решаем квадратные тригонометрические уравнения?

        Квадратные тригонометрические уравнения — это тригонометрические уравнения второй степени.Их можно решить с помощью квадратичной формулы:

        Шаг 1:     Замените свою триггерную функцию на переменную по вашему выбору.

        В нашем примере мы скажем, пусть sin (a) = x 

        Шаг 2:     Используйте квадратичную формулу, чтобы найти вашу переменную.

        Шаг 3:      Замените вашу переменную обратно в качестве функции и возьмите обратную функцию для решения уравнения +. (    )

        Шаг 4:      Используйте единичный круг для определения решения уравнения -, поскольку область определения обратной функции равна    .

        Поскольку синус положителен в первом и втором квадрантах, второе решение будет: 

        Как мы используем тождества для решения тригонометрических уравнений?

        Тождества используются для решения тригонометрических функций путем упрощения уравнения и последующего решения в основном с использованием единичной окружности.

        Вот несколько важных тригонометрических формул, которые вам следует знать:


        Шаг 1:      Упростите уравнение, используя известное тождество.

        В этом примере это формула разности для косинуса: 

        Шаг 2:     Используйте единичный круг, чтобы определить значения вашего угла (x).

        В нашем примере мы сосредоточимся на 4-м и 1-м квадрантах, поскольку косинус в этих квадрантах положителен.

        Следовательно, 

        Как решить тригонометрические уравнения с несколькими углами?

        Тригонометрические уравнения с несколькими углами решаются, сначала переписав уравнение как обратное, определив, какие углы удовлетворяют уравнению, а затем разделив эти углы на количество углов.При их решении у вас, скорее всего, будет более двух решений, поскольку, когда у вас есть функция в такой форме: cos (nx) = c, вам нужно будет пройти по кругу n раз.

        Тригонометрические уравнения с несколькими углами выглядят следующим образом:    Все переменные имеют коэффициенты.

        Шаг 1:     Определите квадранты исходных решений и возможные углы, используя единичный круг.

        Шаг 2:     Рассчитайте значение ваших исходных решений, разделив возможный угол на количество углов.

        Шаг 3:    Определите свои другие решения, вращаясь по кругу по количеству углов и выбирая только ответы в пределах вашего диапазона.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск