Формулы первообразных функций: Первообразная функции и её общий вид

Содержание

Понятие и свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Неопределённый интеграл: 8 фактов, которые надо знать студенту

Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F ‘(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной от первообразной функции F(x)..

Например, функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin 

x)’ = (cos x).

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

 

f(x)dx

,

где знак   называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

 

f(x)dx = F(x) +C

,                 (1)

где C — произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь).

Её функция — «быть дверью». А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных («быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов.

В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C

, например, так: 5x³+С. Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная

F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

                     (2)

Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.


Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.


В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2.  Найти множества первообразных функций:

1)   

2)

3)

Решение.

Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x, а во втором — как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию F(x), для которой F'(x)=f(x)

. Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x), то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.


Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.


Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)


Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций

, т.е.

  (5)

Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов, свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл любой функции.

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

Неопределенный интеграл и понятие первообразной, формулы и примеры решений

Содержание:

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y=f(x)$ на промежутке $(a ; b)$, конечном или бесконечном, если функция $F(x)$ дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

$F^{\prime}(x)=f(x)$

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

$\frac{d F}{d x}=f(x)$   или   $d F=f(x) d x$

Первообразная $F(x)$ имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией. {\prime}=x+0=f(x)$

Больше примеров решений Решение интегралов онлайн

Таким образом, если функция $y=f(x)$ имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции $F(x)$ и $\Phi(x)$ — две любые первообразные функции $y=f(x)$, то их разность равна некоторой постоянной, то есть

$$\Phi(x)-F(x)=C=\text { const }$$

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции $f(x)$, может быть представлена в виде $F(x)+C$.

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных функции $y=f(x)$, определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции $y=f(x)$ и обозначается символом $\int f(x) d x$. То есть

$\int f(x) d x=F(x)+C$

Знак $\int$ называется интегралом, $f(x) d x$ — подынтегральным выражением, $f(x)$ — подынтегральной функцией, а $x$ — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции $f(x)$ называется интегрированием функции $f(x)$. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых $F(x)+C$, где каждому конкретному числовому значению постоянной $C$ соответствует определенная кривая из указанного семейства.

График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.

Теорема

Каждая непрерывная на промежутке $(a ; b)$ функция, имеет на этом интервале первообразную.

Читать дальше: свойства неопределенного интеграла.

Таблица первообразных. Таблица интегралов. Таблица неопределенных интегралов. Формулы интегралов. Формулы первообразных.


Интеграл степенной функции.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.
 
Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.
 
Интеграл : «Длинный логарифм».
   
Интеграл : «Длинный логарифм».
 
Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.
 
Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл косинуса.

Интеграл синуса.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.
 
Интеграл равный косекансу.
 
Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata — d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata — d/dx x^2
7 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata — d/dx x^3
17 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata — d/dx x/2
46 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata — d/dx x^x
52 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata — d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata — d/dx e^2
67 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata — d/dx x^5
73 Trovare la Derivata — d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata — d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata — d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata — d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata — d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata — d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata — d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata — d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata — d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata — d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata — d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x^2

Тема 3 интегральное исчисление функции одной переменной лекция 12 первообразная и неопределённый интеграл

Тема 3.

Интегральное исчисление функции одной переменной

Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл.

12.1. Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

12.2. Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

12.3. Таблица основных интегралов.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1

-lncosx+C

9

ex + C

2

lnsinx+ C

10

sinx + C

3

11

-cosx + C

4

12

tgx + C

5

13

-ctgx + C

6

ln

14

arcsin + C

7

15

8

16

12. 4. Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Лекция 13. Основные методы интегрирования.

13.1. Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена Получаем:

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

13.2. Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

13.3. Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

13.4. Интегрирование рациональных функций.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если — правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (xa)…(xb)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s)), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Итого:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль.

Таким образом:

3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).

Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Лекция 14. Основные методы интегрирования (продолжение).

14.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Итого

14.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

14.4. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

  1. Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где  — общий знаменатель m и n.

  1. Если — целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если — целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

  1. Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.

  1. Если a<0 и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

  1. Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а  — некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют  и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.

.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

Итого =

=

Пример.

Пример.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример.

14.5. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через

элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х) — многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

  1. — интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

  2. — интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) — теория волновой оптики и др.)

  3. — интегральный логарифм

  4. — приводится к интегральному логарифму

  5. — интегральный синус

  6. — интегральный косинус

Лекция 15. Определённый интеграл.

15.1. Введение понятия определённого интеграла.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a xi b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.

Составим суммы:

n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =

n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi  Mi, то nn, а m(b – a)  nn  M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =

Тогда можно записать: mixi f(i)xi Mixi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

15.2. Свойства определенного интеграла.

  1. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то

  1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

  1. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если

и  = f(), а a    b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что

15.3. Теорема Ньютона-Лейбница.

Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция — первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

15.4. Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если

1) () = а, () = b

2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]

3) f((t)) определена на отрезке [, ], то

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

15.5. Интегрирование по частям.

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

Лекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

16.1. Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Составим суммы: y0x + y1x + … + yn-1x

y1x + y2x + … + ynx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда или

— любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

16.2. Формула трапеций.

Эта формула является более точной по

у сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае

заменяется на вписанную ломаную.

y1 у2 уn

a x1 x2 b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

16.3. Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

у

0 х0 х1 х2 х3 х4 х

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид:

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

По формуле Симпсона получим:

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)

2. 828

3.873

4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.87

15.23

18.94

22.97

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции cos x имеет вид:

Зная разложение функции cos х легко найти функцию 1 – cos x:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами). Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

Лекция 17. Несобственные интегралы.

17.1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).

Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

— не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

— интеграл сходится

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и  .

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.

17.2. Интеграл от разрывной функции.

Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то

Если интеграл существует, то интеграл — сходится, если интеграл не существует, то — расходится.

Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .

Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то

Таких точек внутри отрезка может быть несколько.

Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

Лекция 18. Приложения определенного интеграла.

18.1. Вычисление площадей плоских фигур.

у

+ +

0 a — b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.

 = f()

О  

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид  = f(), где  — длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а  — угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

18.3. Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

Si yi

xi

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем

,

где х = (t) и у = (t).

Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

,  = f().

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция  = f() = r, тогда

18.4. Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(xi-1)

Q(xi)

a xi-1 xi b x

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xixi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

y

R y

-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x H x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

18. 5. Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

18.6. Площадь поверхности тела вращения.

Мi B

А

х

xi

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь Si – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда — формула для вычисления площади поверхности тела вращения.

Первообразные правила — список, формулы, примеры

первообразные правила в исчислении — это основные правила, которые используются для нахождения первообразных различных комбинаций функций. Как следует из названия, антидифференцировка — это процесс, обратный дифференцировке. Эти первообразные правила помогают нам найти первообразную суммы или разности функций, произведение и частное функций, скалярное кратное функции и постоянной функции, а также композицию функций.Правила первообразных помогают нам сделать процесс нахождения первообразных проще и проще.

Далее в этой статье мы приступим к подробному изучению первообразных правил. Мы также рассмотрим первообразные правила некоторых важных и конкретных функций вместе с некоторыми решенными примерами для лучшего понимания концепции.

Что такое первообразные правила?

Правила первообразных являются одними из важных правил для нахождения первообразных различных форм комбинаций функции.Мы можем использовать эти правила первообразных, чтобы найти первообразные произведения, частного, суммы, разности, скалярного кратного и композиции функций. Эти правила можно использовать для антидифференцирования алгебраических функций, экспоненциальной функции, тригонометрических функций, гиперболических функций, логарифмической функции и постоянной функции. Давайте рассмотрим важные правила первообразных в разделах ниже.

Список первообразных правил

Список наиболее часто используемых первообразных правил для произведения, частного, суммы, разности и композиции функций выглядит следующим образом:

  • Правило степеней антипроизводной
  • Антипроизводное цепное правило
  • Антипроизводное правило произведения
  • Правило первообразных частных
  • Правило первообразной для скалярного кратного функции
  • Правило первообразной суммы и разности функций

Основные антипроизводные правила

В этом разделе мы подробно изучим формулы для различных первообразных правил, рассмотренных выше.Мы обсудим правила антидифференцирования алгебраических функций со степенью и различные комбинации функций. Правила первообразных являются общими для таких типов функций, как тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические и алгебраические функции.

Антипроизводное правило степени

Теперь правило первообразной степени x определяется как ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C, где n ≠ -1. Это правило широко известно как правило первообразной мощности.Давайте рассмотрим некоторые примеры этого первообразного правила, чтобы лучше понять это правило.

  • ∫x 2 dx = x 2+1 /(2+1) + C = x 3 /3 + C
  • ∫x -4 dx = x -4+1 /(-4+1) + C = x -3 /(-3) + C = -x -3 /3 + C

Используя правило степени первообразной, мы можем заключить, что для n = 0 имеем ∫x 0 dx = ∫1 dx = ∫dx = x 0+1 /(0+1) + C = x + С.Пожалуйста, не путайте это правило степенной первообразной ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C, где n ≠ -1, с правилом степенной производной d(x n ) /dx = nx n-1 .

Антипроизводное цепное правило

Мы знаем, что антидифференцирование — это процесс, обратный дифференцированию, поэтому правила производных приводят к некоторым антипроизводным правилам. Цепное правило производных дает нам цепное правило первообразных, также известное как метод u-подстановки антидифференцирования.Цепное правило первообразных используется, если интеграл имеет вид ∫u'(x) f(u(x)) dx. Давайте посмотрим на пример и решим интеграл, используя это правило первообразной.

Пример: Решите ∫2x cos (x 2 ) dx

Решение: Предположим, x 2 = u ⇒ 2x dx = du. Подставим это в интеграл, получим

∫2x cos (x 2 ) dx = ∫cos u du

= sin у + С

= грех (х 2 ) + С

Антипроизводное правило произведения

Правило первообразного произведения также обычно называют методом интегрирования по частям.Это одно из важных правил антипроизводных, которое используется, когда необходимо определить антидифференцирование произведения функций. Формула правила первообразного произведения: ∫f(x).g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx − ∫(f′(x) [ ∫g(x) dx)]dx + C , Выбор первой функции осуществляется на основе приведенной ниже последовательности. Этот метод также широко известен как метод интеграции ILATE или LIATE, сокращенно:

.
  • I — Обратная тригонометрическая функция
  • L — Логарифмическая функция
  • А — Алгебраическая функция
  • T — Тригонометрическая функция
  • E — Экспоненциальная функция

Например, нам нужно найти первообразную x ln x.Тогда, в соответствии с приведенной выше последовательностью, первая функция — это ln x, а вторая функция — это x. Таким образом, у нас есть

∫x ln x dx = ln x ∫x dx — ∫[(ln x)’ ∫x dx] dx

= (x 2 /2) ln x — ∫(1/x)(x 2 /2) dx

= (x 2 /2) ln x — ∫(x/2) dx

= (х 2 /2) ln х — х 2 /4 + С

Правило первообразных частных

Правило первообразного частного используется, когда функция задана в виде числителя и знаменателя.Если в состав функции входят алгебраические функции, то можно использовать интегрирование дробями методом антидифференцирования. Другой способ определить первообразную отношения функций — рассмотреть функцию вида f(x)/g(x). Теперь, дифференцируя это, мы имеем

d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) — g'(x)f(x)]/[g(x)] 2

Теперь, интегрируя обе части приведенного выше уравнения, мы имеем

f(x)/g(x) = ∫{[f'(x)g(x) — g'(x)f(x)]/[g(x)] 2 } dx

= ∫[f'(x)/g(x)] dx — ∫[f(x)g'(x)/[g(x)] 2 ] dx

⇒ ∫[f'(x)/g(x)] dx = f(x)/g(x) + ∫[f(x)g'(x)/[g(x)] 2 ] dx

Если f(x) = u и g(x) = v, то мы имеем правило антидеривативного отношения:

∫du/v = u/v + ∫[u/v 2 ] dv

Правило первообразной для скалярного кратного функции

Чтобы найти первообразную скалярного кратного функции f(x), мы можем найти ее, используя формулу ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx.Это означает, что антидифференциация kf(x) равна k, умноженной на антидифференциацию f(x), где k — скаляр. Пример использования этого первообразного правила:

.

∫4x дх = 4 ∫xdx

= 4 × х 2 /2 + С

= 2x 2 + С

Правило первообразной суммы и разности

Теперь это правило является одним из самых простых первообразных правил. Когда нужно определить антидифференцирование суммы и разности функций, то это можно сделать, используя следующие формулы:

  • ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
  • ∫[f(x) — g(x)] dx = ∫f(x) dx — ∫g(x) dx

Вот некоторые примеры правила первообразной суммы и разности функций:

  • ∫[4 + x 2 ] dx = ∫4 dx + ∫x 2 dx = 4x + x 3 /3 + C
  • ∫(sin x — log x) dx = ∫sin x dx — ∫ log x dx = -cos x — x log x + x + C

Первообразные правила для конкретных функций

Чтобы использовать правила первообразных, мы должны знать первообразные некоторых определенных функций, таких как экспоненциальная функция, тригонометрические функции, логарифмические функции, гиперболические функции и обратные тригонометрические функции. Пройдемся по правилам первообразных для этих функций:

Правила первообразных для тригонометрических функций

У нас есть шесть основных тригонометрических функций, а именно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Теперь мы исследуем их первообразные правила этих тригонометрических функций следующим образом:

  • ∫sin x dx = -cos x + C
  • ∫cos x dx = sin x + C
  • ∫tan x dx = ln |sec x| + С
  • ∫cot x dx = ln |sin x| + С
  • ∫sec x dx = ln |sec x + tan x| + С
  • ∫csc x dx = ln |cosec x — cot x| + С

Правила первообразных для обратных тригонометрических функций

У нас есть шесть основных обратных тригонометрических функций, а именно арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс.Теперь мы исследуем их первообразные правила этих тригонометрических функций следующим образом:

  • ∫sin -1 x dx = x sin -1 x + √(1 — x 2 ) + C
  • ∫cos -1 x dx = x cos -1 x — √(1 — x 2 ) + C
  • ∫tan -1 x dx = x tan -1 x — (1/2) ln(1 + x 2 ) + C
  • ∫cot -1 x dx = x cot -1 x + (1/2) ln(1 + x 2 ) + C
  • ∫сек -1 x dx = x сек -1 x — ln |x + √(x 2 — 1)| + С
  • ∫csc -1 x dx = x csc -1 x + ln |x + √(x 2 — 1)| + С

Правила первообразных экспоненциальных функций

Показательная функция имеет вид f(x) = a x , где a — основание (действительное число), а x — переменная. Когда a равно числу Эйлера e, тогда мы имеем f(x) = e x , где e — константа, значение которой приблизительно равно 2,718. Теперь первообразные правила для этих двух форм экспоненциальных функций таковы:

  • ∫a x dx = a x /ln a + C
  • ∫e x dx = e x + C [Поскольку ln e = 1]

Правила первообразных для логарифмических функций

Логарифмическая функция обычно имеет вид f(x) = log a x, где a — основание, а x — переменная.Если основание a равно числу Эйлера e, то она называется функцией натурального логарифма и записывается как f(x) = ln x. Правила первообразной для логарифмической функции:

  • ∫log a x dx = x log a x — x/ln a + C
  • ∫ln x dx = x ln x — x + C

Правила первообразных для гиперболических функций

Теперь гиперболические функции аналогичны тригонометрическим функциям, но они выводятся с использованием гиперболы, а не единичной окружности, как в случае тригонометрических функций. Шесть основных гиперболических функций — это sinh x, ch x, tanh x, coth x, sech x и csch x. Правила первообразных гиперболических функций:

  • ∫sin x dx = ch x + C
  • ∫кош х dx = sh х + C
  • ∫tanh x dx = ln (ch x) + C
  • ∫coth x dx = ln (sinx x) + C
  • ∫sech x dx = arctan(sinx) + C
  • ∫csch x dx = ln(tanh (x/2)) + C

Важные примечания об первообразных правилах

  • Правила первообразных используются для нахождения первообразных различных комбинаций алгебраических, тригонометрических, логарифмических, экспоненциальных, обратных тригонометрических и гиперболических функций.
  • Большинство правил дифференцирования имеют соответствующие первообразные правила для антидифференцирования.
  • Правило первообразной для постоянной функции f(x) = k: ∫k dx = kx + C.

☛ Похожие темы:

3.3: Прямые производные формул — Mathematics LibreTexts

Теперь мы можем объединить идеи площадей и первообразных, чтобы получить способ вычисления определенных интегралов, который является точным и часто простым. b f(t)\, dt \), мы можем найти любую первообразную \(F(t)\) от \(f(t)\) и вычислить \(F(b) — F(a)\). Задача нахождения точного значения определенного интеграла сводится к нахождению некоторой (любой) первообразной \(F\) подынтегральной функции и последующему вычислению \(F(b) — F(a)\). Даже найти одну первообразную может быть сложно, и мы будем придерживаться функций, которые имеют простые первообразные.

Строительные блоки

Антидифференцировка идет в обратном направлении через производный процесс. Таким образом, самые простые антипроизводные правила — это просто обратные версии простейших производных правил.х\) перед.

Далее следуют соответствующие правила для первообразных — каждое из первообразных правил просто переписывает производное правило. Все эти первообразные можно проверить дифференцированием.

Есть один сюрприз – первообразная от \(\frac{1}{x}\) на самом деле не просто \(\ln(x)\), это \(\ln|x|\). Это хорошо — первообразная имеет область определения, совпадающую с областью определения \(\frac{1}{x}\), которая больше, чем область определения \(\ln(x)\), поэтому мы не Нам не нужно беспокоиться о том, являются ли наши \(x\) положительными или отрицательными. 2\).2=147\номер\]

  • Новая популяция = (старая популяция) + (новые бактерии) = 1000 + 147 = 1147 бактерий.
  • Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Пример \(\PageIndex{8}\)

    Компания определяет свои предельные издержки производства в долларах на единицу продукции, равные \( MC(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+2 \) при производстве \(x\) тысяч единиц продукции. Найти стоимость увеличения производства с 4 тыс. шт. до 5 тыс. шт.5 \\ & = \left( 8\sqrt{5}+2(5) \right)-\left( 8\sqrt{4}+2(4) \right) \\ & \приблизительно 3,889 \end{align *} \номер \]

    Увеличение производства с 4 тыс. до 5 тыс. шт. обойдется в 3,889 тыс. долларов. (Окончательный ответ лучше написать как 3889 долларов.)

    Антипроизводная – определение, методы и примеры

    Умение находить первообразных — один из самых важных приемов, которые мы будем изучать на наших занятиях по интегральному исчислению. В физике, например, мы можем найти функцию скорости, зная функцию ускорения объекта. Учитывая скорость увеличения или уменьшения образца, исследователь может найти исходное количество или популяцию. Мы можем перечислить еще приложения, но да, это все благодаря первообразным.

    Что, если нам дана производная функции, $\boldsymbol{f(x)}$ , и на этот раз нам нужно найти выражение функции? Мы можем работать в обратном направлении и найти выражение для функции $\boldsymbol{F(x)}$ . Это основа первообразных: $\boldsymbol{F(x)}$ является первообразной $\boldsymbol{f(x)}$ .

    В этой статье мы покажем вам, как производные и первообразные связаны друг с другом. Мы также узнаем о различных первообразных, которые пригодятся при нахождении первообразной заданной функции. Вы также сможете проверить свое понимание следующих упражнений!

    Что такое первообразная?

    Первообразная функции просто результат обращения производной данной функции. {\prime} (x) \end{aligned}

    Допустим, у нас есть $F(x)$ и $ G(x)$, где две функции изменяются только на константу $C$.{\prime}(x) &= f(x) \\\text{Неопределенный интеграл от}f(x) &= F(x) + C\end{aligned}

    Это общая форма функции первообразная . Имейте в виду, что $C$ — произвольная константа, а $\boldsymbol{F(x) +C}$ — первообразная $\boldsymbol{f(x)}$. Процесс антидифференцирования — это просто нахождение первообразной функции.

    Вот пример семейства первообразных, которые имеют одну и ту же производную $2x$.2 + C$ всегда будет иметь производную от $2x$.

    Интеграция и неопределенный интеграл

    Интеграция и антидифференциация являются взаимозаменяемыми процессами , поскольку мы выполняем один и тот же процесс для обоих. Мы также можем представить первообразные с помощью символа интегрирования $\int$. Когда $f(x)$ является функцией с первообразной $F(x)$, мы имеем отношение, показанное ниже:

    \begin{aligned}\int f(x) \phantom{x}dx &= F (x) + C\end{aligned}

    Это означает, что $\int f(x) \phantom{x}$ и $F(x) +C$ представляют собой первообразную или неопределенный интеграл от $f(x) $. {\prime}(x)= f(x)$.

    Например, если мы хотим найти первообразную $y =6$, мы просто ищем функцию, которая при дифференцировании возвращает $6$. Напомним, что когда у нас есть $kx$, $\dfrac{d}{dx} kx = k$, где $k$ — константа. Это означает, что первообразная $y = 6$ равна $6x +C$.

    \begin{aligned}\dfrac{d}{dx} 6x &= 6\\ \int 6\phantom{x}dx &= 6x + C\end{aligned}

    Мы можем применить аналогичный процесс для получения различные интегральные правила и первообразные формулы.{n + 1}}{n + 1} + C\end{matrix}

    При нахождении интеграла от более сложных функций сочетайте неопределенные интегральные свойства и правила первообразных. А пока взгляните на этот исчерпывающий список полезных первообразных правил.

    Список формул первообразных

    Вот список формул интеграла или первообразных, которые будут удобны при нахождении первообразной функции. Мы показываем производное правило, используемое для создания каждого показанного правила интеграции, чтобы подчеркнуть, насколько тесно связаны эти две концепции. {-1}|x| + C \end{aligned}

    Вот список интегральных или первообразных формул, которые будут удобны при нахождении первообразной функции.Мы показываем производное правило, используемое для создания каждого показанного правила интеграции, чтобы подчеркнуть, насколько тесно связаны эти две концепции.

    Применение формул первообразных для интегрирования функции

    Держите формулы под рукой, особенно при интегрировании сложных функций. Под сложными функциями мы подразумеваем функции, которые могут потребовать двух или более правил первообразия, прежде чем мы сможем интегрировать сложную функцию.

    Помимо этих правил первообразных, эти три интегральных свойства пригодятся при интегрировании сложных функций.

    \begin{align}\int k\cdot f(x)\phantom{x}dx &= k \int f(x)\phantom{x}dx\\\int [f(x) + g(x )] \phantom{x}dx &= \int f(x)\phantom{x} dx + \int g(x)\phantom{x} dx\\\int [f(x) – g(x)] \phantom{x}dx &= \int f(x)\phantom{x} dx – \int g(x)\phantom{x} dx \end{aligned}

    Эти три свойства аналогичны постоянному кратному, сумма и различные свойства дифференцирования. На самом деле мы обсуждали эти интересные свойства в этой статье, поэтому ознакомьтесь с ней, если хотите более подробного обсуждения интегральных свойств.2 + 5x + C\end{aligned}

    Прежде чем приступить к работе над четвертой функцией, вспомните, что $\int \sin x \phantom{x}dx = – \cos x$ и $\int \cos x \phantom{x }dx = \sinx$. Используйте эти две формулы первообразных при нахождении первообразной функции.

    \begin{aligned}\int (\cos x – \sin x) \phantom{x} dx &= \int \cos x \phantom{x} dx – \int \sin x \phantom{x} dx\ \&= (-\sin x) – (\cos x) + C\\ &= -\sin x – \cos x + C\end{aligned}

    Следовательно, имеем следующие первообразные:

    a.4}{4}-2x +C$

    Изображения/математические чертежи создаются с помощью GeoGebra.

    Интеграция

    Бесконечная интеграция означает антидифференцировку ; то есть, учитывая функцию ƒ ( x ), определите наиболее общую функцию F ( x ), производная которой равна ƒ ( x ). Символом этой операции является знак интеграла ∫, за которым следует подынтегральная функция (интегрируемая функция) и дифференциал, такой как dx , который определяет переменную интегрирования.

    С другой стороны, фундаментальная геометрическая интерпретация Определенная интеграция заключается в вычислении площади . То есть для функции ƒ( x ) и интервала a x b в ее области определения определенный интеграл от ƒ от a до b дает площадь, ограниченную кривой y = ƒ ( x ), ось x и вертикальные линии x = a и x = b .Символом для этой операции является знак интеграла с пределами интегрирования ( a и b ), ƒ a b , за которыми следуют функция и дифференциал, который определяет переменную интегрирования .

    Рисунок 1

    Из их определений видно, что процессы неопределенной интеграции и определенной интеграции действительно сильно различаются. Неопределенный интеграл функции представляет собой совокупность функций, являющихся ее первообразными, тогда как определенный интеграл функции требует двух пределов интегрирования и дает численный результат, равный площади на плоскости xy . Однако тот факт, что обе операции называются «интегрированием» и обозначаются такими схожими символами, говорит о том, что между ними существует связь.

    Основная теорема исчисления говорит, что дифференцирование (нахождение наклона кривой) является операцией, обратной определенному интегрированию (нахождению площади под кривой).Более подробно, в части I основной теоремы говорится, что если функция интегрируется (для образования определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования), а затем результат дифференцируется, исходная функция восстанавливается; то есть дифференциация «отменяет» интеграцию. Часть II дает связь между определенными и неопределенными интегралами. В нем говорится, что определенный интеграл можно вычислить, предварительно определив неопределенный интеграл (поэтому вычисление площади под кривой выполняется путем антидифференцирования).

    • Основная теорема исчисления (часть I ):
        • Если I> ƒ непрерывный, затем D DX x A ƒ ( T ) DT = ƒ ( x ).
        • Основная теорема исчисления (Часть II) :
          • Если ƒ непрерывный с антидидирующим F , затем ∫ B A ƒ ( x ) DX = F ( B ) — F ( и ).

          Пример 1 : вычислить интеграл

          Используя первую формулу интегрирования в Таблице 1, каждая функция, производная которой равна ƒ( x ) = x 4 − 3 x 2 + x − 1, равна

          , где c — произвольная константа.

          ТАБЛИЦА 1  Формулы дифференцирования и интегрирования


          Модуль 18 — Первообразные как неопределенные интегралы и дифференциальные уравнения

          На этом уроке исследуется взаимосвязь между первообразными и неопределенными интегралами, а также обсуждаются семейства кривых.


          Математика может быть изучена с помощью TI-89, как показано в Модуле 2 и Модуле 10. При индуктивном обучении возникает чувство сопричастности и интереса. Просмотрите процесс открытия-обучения, который был описан в Модуле 2 и Модуле 10 и показан ниже.

          • Изучите несколько связанных примеров
          • Опишите устно закономерность результатов
          • Предсказать результат
          • Подтвердить прогноз
          • Расширить типы исследуемых примеров
          • Обобщать

          Определение неопределенных интегралов

          Напомним, что первообразной функции f называется функция F , производная которой равна .

          Основная теорема устанавливает связь между первообразной F и функцией f .

          , где F’ ( x ) = f ( x ) и a — любая константа.

          Модифицированное обозначение используется для обозначения производных f . Новое обозначение называется неопределенным интегралом, а первообразные f записываются как

          Определенный против.Неопределенные интегралы

          В неопределенном интеграле нет пределов интегрирования. Определенный интеграл представляет собой число, когда нижняя и верхняя границы равны константам . Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, производные которых равны f . Разность между любыми двумя функциями в семействе есть константа.

          Использование интегрального ключа

          Интегральный ключ, который используется для нахождения определенных интегралов, также может быть использован для нахождения неопределенных интегралов, просто опуская пределы интегрирования.

          Изучение

          Изучите первообразную каждой из следующих функций, имеющих форму x n , и найдите закономерность, которая приведет вас к общему правилу нахождения .

          • Оценивать
          • Оценивать
          • Оценивать

          Обратите внимание, что произвольная константа C не является частью результата, выдаваемого TI-89.

          Описание шаблона и предсказание

          18. 1.1 Опишите закономерность, которую вы обнаружили при вычислении приведенных выше неопределенных интегралов, и используйте ее для предсказания .
          Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

          18.1.2 Подтвердите свой прогноз на своем ТИ-89.
          Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

          Расширение примеров

          Расширьте исследование примеров, предсказав следующие неопределенные интегралы.

          • Оценивать
          • Оценивать

          18.1.3 Подтвердите свои прогнозы, введя интегралы на TI-89.
          Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

          Обобщение шаблона

          18.1.4 Предскажите общее правило для и подтвердите это, введя интеграл на вашем TI-89.
          Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

          Проверка неопределенных интегралов

          Потому что вы можете проверить результат каждого неопределенного интеграла, найдя производную результата. Например, можно проверить, взяв производную от результата: . Поскольку результатом дифференцирования является исходная функция, интегрирование подтверждается.

          Обобщенное правило

          Обобщенная версия этого правила , куда а C — константа. Напомним, что производная константы равна 0, поэтому для любой константы C .

          Иллюстрирующий

          Неопределенный интеграл можно проиллюстрировать путем построения графика семейства кривых , которые представлены для разных значений C .Например, соответствует . Пусть C принимает значения -240, -200, -160, -120, -80, -40, 0, 40, 80, семейство кривых показано ниже в виде [0, 50] x [-50, 100], где конкретная кривая, связанная с C = 0, темнее.

          Каждую кривую в семействе можно получить, выбрав другое значение C и вертикально сдвинув кривую, соответствующую C = 0.

          Сайтама, также известный как One Punch Man, чрезвычайно могущественный человек, который может уничтожить планеты одним взмахом кулака. 2$$

          Используя силу исчисления, мы можем определить, что брошенный камень достигает максимальной высоты 17 километров за 2 секунды. Йиш.

          Как мы это выяснили? Давайте сломаем это.

          Если бы мы построили график функции, это выглядело бы примерно так:

          Как видите, в случае гладкого непрерывного графика функции максимальная высота — это самая высокая точка, что наводит нас на мысль, что минимум — это самая низкая точка графика относительно точки $p$ , что это такое.

          Эти самые высокие и самые низкие точки называются максимумами и минимумами, и в случае с этой записью в блоге мы сосредоточимся на более сжатом спектре относительно точки $p$, поэтому будем называть их локальными максимумами и минимумами.В совокупности они называются локальными экстремумами.

          Глядя на график, локальные максимумы и минимумы — это точки, в которых график выравнивается и изменяется от увеличения к уменьшению или наоборот. Когда график плоский, это означает, что наклон равен нулю. Мы можем узнать, когда наклон равен нулю, используя производную.

          (Источник изображения: Просто созерцая несколько вещей. Цифровое изображение. Gfycat.com )

          Производные

          Первая концепция, которую мы должны иметь в своем арсенале, чтобы выяснить такие вещи, как максимальная высота камня, брошенного Сайтамой (при минимальной силе), это производная.2$ становится $6t$, потому что $3\times 2= 6$ и $2-1 = 1$.

          Те же правила применяются к производной, чтобы найти вторую производную, которую можно рассматривать как скорость изменения скорости изменения ( woah ).

          Теперь, когда мы знаем, как найти и производную, и вторую производную, мы можем многое вычислить. Мы можем, например, найти, где производная равна нулю, и, таким образом, какова максимальная высота брошенного Сайтамой камешка.

          Глядя на нашу функцию:

          $$h(t) = 5 + 12t – 3t^2$$

          находим производную по указанным ранее правилам:

          $$h'(t) = 12 – 6t$$

          , затем мы устанавливаем производную равной $0$, чтобы найти значение $t$, время, когда наклон равен $0$. 2$$

          $$ч(2) = 5 + 24 – 12$$

          $$ч(2) = 17 км/с$$

          Вот как мы можем получить локальные максимумы, если нам дана функция. Теперь давайте углубимся в эту концепцию, рассмотрев графики и их взаимосвязь с первой и второй производной.

          Мы знаем, что

          , если $f'(x) > 0$ на интервале, то $f(x)$ равно , увеличивая на этом интервале.

          , если $f'(x) < 0$ на интервале, то $f(x)$ равно убыванию на этом интервале.

          , если $f”(x) > 0$ на интервале, то $f(x)$  равно вогнутой вверх на этом интервале.

          , если $f”(x) < 0$ на интервале, то $f(x)$ равно вогнутой вниз на этом интервале.

          Зная это, мы можем сделать что-то, называемое тестом второй производной , чтобы определить, имеет ли график функции локальные максимумы или минимумы.

          Когда производная функции равна $0$ в точке $p$, мы можем определить, является ли она локальным максимумом или минимумом, в зависимости от того, меньше, больше или равно вторая производная $0$. Согласно упомянутым выше принципам, если оно меньше, то график вогнут вниз и точка является локальным максимумом. Если больше, то график вогнут вверх и точка является локальным минимумом. Например, давайте посмотрим на функцию с производной $f(t) = 12 – 9t$, которая имеет отрицательный наклон.

          Вторая производная будет равна $-9$ , что меньше $0$, что будет означать, что исходная функция вогнута вниз и что существует локальный максимум, который, глядя на график, кажется верным

          Также можно использовать тест первой производной, который говорит, что если $f'(t)$ переходит от положительного значения к отрицательному после прохождения точки, где наклон равен $0$, то это локальный максимум.3+2$

          Хотя существует критическая точка, поскольку есть точка, в которой наклон равен $0$, нет ни минимума, ни максимума, поскольку наклон не меняется с положительного на отрицательное или с отрицательного на положительное.

          Помня обо всех этих правилах, мы можем определить, когда и на какой высоте брошенный Сайтамой камешек достигает максимальной высоты. 2}) \ dx $, где $n $ — любое целое неотрицательное число.Мы приведем полное доказательство одной формулы, доказательства остальных будут совершенно аналогичны.

          Информация

          Опубликовано: ноябрь 2021 г.

          Впервые доступно в Project Euclid: 30 ноября 2021 г.

          Цифровой идентификатор объекта: 10.35834/2021/3302151

          Темы:

          Начальный: 26А36

          Ключевые слова: первообразная , исчисление , Неопределенный интеграл , Интеграция , радикальный , формула приведения , квадратный корень , таблица интегралов , тригонометрическая замена

          Права: Copyright © 2021 Университет Центрального Миссури, Школа компьютерных наук и математики

          .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск