Таким образом, график функции y = kx (рис. 22) симметричен относительно
точки O.
При k = 0 получаем функцию y = b, которая является
четной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x ) = Ь = е (х). То есть график функции y = b
симметричен относительно оси Oy (рис. 21).
В общем случае при k ≠ 0 и b ≠ функция 0
y = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f (-x) = k (-x) + b = -kx + b ≠ f ( x) и также
f (-x) = -kx + b = — (kx — b) ≠ -f (x).
Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.
При k = 0 получаем функцию y = b — постоянную. При k> 0 функция y = kx + b
возрастает, а при k <0 - убывает (обоснование приведено в примере 4).
В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции y = kx + b всегда является прямая линия.
то при пересечении x = 0 функция принимает значение y = b, прямая всегда
принимает ось Oy в точке b. Графики линейных функций представлены в таблице 3/
2. Функция y = k / x (k 0).
Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.
Область определения : х ≠ 0. Это можно записать также так:

Диапазон значений : у Ф 0. Это можно записать также так:

Для обоснования области значений функции y = k / x обозначим k / x = a.
Тогда из этого равенства получим x = k / a для всех a ≠ 0. То есть
для всех a ≠ 0 существует значение x = k / a, при котором
y = k / x = k / (k / a) = а. Таким образом, y принимает все
действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является
симметричное относительно точки О, и f (-x) = -k / x = -f (x). Таким образом,
её график симметричен относительно начала координат (рис.23).

Возрастание и убывание функции зависит от коэффициента коэффициента k.
Если х2> х1 (то есть х2 — х1> 0), то для сравнения значений f (х2) и f (х1)
рассмотрим их разность: f (x2) -f (x1) = k / x2 — k / x1 = -к (х2-х1) / х2х1.

На промежутке (0; + ∞) значение х1> 0 и х2> 0, следовательно, х1х2> 0.
На промежутке (-∞; 0) значение х1 <0 и х2 <0, значит, х1х2> 0.
Учитывая, что х2 — х1> 0 на каждом из промежутков (–∞; 0) или (0; + ∞), при
k> 0 из равенства (1) получаем f (х2) — f (х1) <0, а при k <0 получаем f (х2) - f (х1)> 0.

При k> 0 на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; + ∞), если х2> х1, то f (х2) таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При k <0 на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; + ∞), если х2> х1, то f (х2)> f (х1),
, следовательно, функция возрастает по каждому из этих промежутков .

Из курса алгебры известно, что график функции у = k / x называется
гиперболой (она состоит из двух ветвей).При k> 0 четвертой гиперболы
находятся в I и III координатных точках, а при k <0 - во II и IVтях (рис. 23).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции у = k / x (k ≠ 0),
следует помнить, что, например, функция у = 1 / x (рис. 24) убывает
каждого из промежутков (–∞; 0) и (0; + ∞), но на всей области определения (х ≠ 0)
эта функция не является убывающей (и не является возрастающей).

Действительно, если взять х1 = —1 и х2 = 1, то x2> x1, но f (x2) = f (1) = 1, а f (x1) = f (—1) = —1,
то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции,
и на всей ее области определения функция f (x) = 1 / x не является убывающей.

Поэтому нельзя сказать, что функция f (x) = 1 / x — убывает на
объединении интервалов (-∞; 0) U (0; + ∞).

3. Функция y = ax² (a ≠ 0). Как известно из курса алгебры, графиком
функции является парабола , ветви приводящей вверх при а> 0 (рис. 25, а)
и вниз при а <0 (рис. 25, б). При выборе при х = 0 значение у = 0, то
всегда проходит через начало графика.

<Область определения: х ∈ R, поскольку значение у = ах² можно вычислить при
любых значениях х (из свойств действительных чисел, которые строго
доказаны в курсах математического анализа, следует, что для любых
действительных чисел х и а однозначно указано произведения х • х = х2 и ах²
и ax² = y).

Функция четная, поскольку f (—x) = а (—х) ² = ах² = f (x). Таким образом, ее
график симметричен относительно оси Оу.

Диапазон значений . Для нахождения области значений функции у = ax²
обозначим ax² = u. А Поскольку 0, то из этого равенства x² = u / a (*). При а> 0
уравнение (*) имеет решение для любого u ≥ 0, а при а <0 уравнение (*) имеет
решение для любого u ≤ 0.

Следовательно, при а> 0 Е (у) = [0 ; + ∞), а при а <0 Å (у) = (–∞; 0].

Возрастание и убывание.
Если x2> x1 (то есть x2 — x1> 0), то для сравнения значений y (x2) и y (x1) рассмотрим их разность
y (x2) -y (x1) = ax2² — ax1² = a (x2² — x1²) = a (x2-x1) (x2 + x1). (2)

На промежутке [0; + ∞) значение х1 ≥ 0 и х2> 0, следовательно, х2 + х1> 0.

На промежутке (-∞; 0] значение х1 <0 и х2 ≤ 0, значит, х2 + х1 <0.

Учитывая , что х2 — х1> 0 на каждом из указанных промежутков, из равенства (2)
получаем:

— при a> 0 на промежутке [0; + ∞) у (х2) — у (х1)> 0, а на промежутке (-∞; 0]
y (x2) — y (x1) <0.

— при a <0 промежутке [0; + ∞) у (х2) - у (х1) <0, а на промежутке (-∞; 0]
y (x2) — y (x1)> 0.

Следовательно, при х2> х1, если a> 0 , то на промежутке [0; + ∞) (х2)> y (x1)
функция возрастает, а на промежутке (-∞; 0] у (х2) <у (х1) функция убывает.
если же a <0 , то на промежутке [0; + ∞) у (х2) <у (х1)
функция убывает, а на промежутке (–∞; 0] у (х2)> у (х1) функция возрастает.
Соответствие графики приведены также в таблица 3.

4. Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Из курса агебры за 9 класс известно, что функция вида
y = ax² + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причём
a ≠ 0, называется квадратичной.Ее графиком является парабола,
ветви которой вместе вверх при а> 0 и вниз при а <0.

Абсцисса вершины этой параболы x0 = -b / 2a. Для обоснования этого
достаточно в заданном квадратном трехчлене взять полный квадрат:
y = ax² + bx + c = a (x² + (b / a) x + c / a) = a (x + b / 2a) ² + (4ac — b²) / 4a, то есть
y = ax² + bx + c = a (x + b / 2a) ² + y0, где y0 = (4ac — b²) / 4a = -D / 4a (3)
(D = b² — 4ac — дискриминант квадратного треёхчлена ax² + bx + c).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или
пересекает ось Ох (D> 0), или не пересекает ось (D <0), или касается ее (D = 0).
Основные варианты расположения графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
в представленной таблице 4.
Охарактеризуем свойства функции функции у = ax² + bx + с (a ≠ 0).

Область определения : D (у) = R, поскольку значение у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
можно вычислить при любых значениях х (из свойств действительных чисел,
которые строго доказываются в курсах математического анализа, следует, что для
любых действительных чисел х, а, b и с однозначно обозначенных произведений
х = х &, ах² и bx и ах² + bx (ax² + bx) + с = ax² + bx + с = у) .

Диапазон значений . Для нахождения области значений функции у = ax² + bx + с
используем формулу (3) и обозначим a (x + b / 2a) ² + y0 = u. Таким образом, a ≠ 0, то
из этого равенства: (x + b / 2a) ² = (u — y0) / a.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

2. Какая линия является графиком функции у = k / x (k ≠ 0)? Приведите
графиков функций у = k / x при k> 0 и при k <0. По графикм
укажите свойства этой функции при k> 0 и при k <0. Докажите нечетность
функций у = k / x (k ≠ 0) .

3. Какая линия является графиком функции у = ax² (a ≠ 0)?
Как расположен этот график при а> 0 и при а <0? Приведите примеры графиков функций
у = ax² при а> 0 и при а <0. По графикм укажите эти свойства
функции при а> 0 и при а <0.Докажите четкость функции у = ax² (a ≠ 0).

4. Какая линия является графиком функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Как расположен график при а> 0 и при а <0? Как найти абсциссу
вершины графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Приведите примеры графиков этой функции при а> 0 и при а <0.
По графикм укажите свойства этой функции при а> 0 и при а <0.

1. Постройте график функции:
1) y = 3x — 2; 2) y = -x + 4; 3) y = -2 4) y = -5x 5) y = 0 6) y = 4x
Есть ли среди этих функций чётные или нечётные? Ответ обоснуйте.

2. По приведенным графикам функций y = kx + b (рис. 26) укажите знаки k и b в каждом случае.

Постройте график функции (3 — 5).
3. 1) у = -2 / х; 2) y = 3 / x 3) y = 1 / x 4) y = 5 / x

4. 1) y = -2x² 2) y = 3x² 3) y = -3x² 4) y = 5x²

5 . 1) y = x² — 6x + 7 2) y = -x² + 4x + 2 3) y = 2x² — 2x + 1 4) y = -3x² + 6x

6. По приведённым графикам функции y = ax² + bx + c (a ≠) (рис.27)
укажите знаки a, b, c в каждом случае.

Построение графика функции онлайн | umath.ru

• Обязательно писать все знаки умножения
• Десятичные дроби нужно разделять точку
• Список функций и констант смотрите ниже

Как пользоваться программой:

• Можно строить графики сразу нескольких функций. Для этого просто разделяйте точку с запятой (;).
• Масштаб изменяется с помощью кнопок «+» и «-».Кнопка «100%» меняет масштаб на стандартный.
• Положение экрана можно менять, перетаскивая его мышью, а можно стрелками на панели слева.
• Кнопка «·» в центре джойстика переносит начало координат в центр экрана.
• Кнопка «↺» изменяет масштаб на стандартный и переносит начало координат в центр.
• В форме под графиком можно выбрать точку, которую нужно расположить в центре экрана.

Режимы

Обычный. В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением

Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных параметров , то есть в виде

Полярные координаты. Режим позволяет построить график кривой, заданной в полярной системе координаты, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Список функций

Функция	Описание
+ - * /	Сложение, вычитание, умножение, деление
()	Группирующие скобки
абс () или | |	Модуль числа.3 дают x в третью степени
sqrt ()	Квадратный корень
грех ()	Синус
cos ()	Косинус
тг ()	Тангенс
ктг ()	Котангенс
arcsin ()	Арксинус
arccos ()	Арккосинус
arctg ()	Арктангенс
arcctg ()	Арккотангенс
пер. ()	Натуральный логарифм числа
LG ()	Десятичный логарифм числа
лог (а, б)	Логарифм числа b по основанию a
эксп ()	Степень числа е
ш ()	Гиперболический синус
ч ()	Гиперболический косинус
-е ()	Гиперболический тангенс
ктх ()	Гиперболический котангенс

График функции

График функции называется множеством точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты этих точек удовлетворяют уравнению.

Программа создана для школьников и студентов и позволяет строить функции онлайн. Во многих браузерах (например, Google Chrome) картинку с графиком функции можно сохранить на компьютер.

Пожалуйста, все предложения и замечания по работе программы пишите в комментариях.

Кроме того, мы планируем создать библиотечные функции с интересными и забавными графиками. Если вы открыли функцию с таким графиком, то обязательно напишите об этом в комментариях! Ваше открытие будет опубликовано и станет носить ваше имя;).

Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше , чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задача

На тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), Ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверрать. «Понял» и «Умею решать» — это совершенно разные навыки.