График функции целой части числа: Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Содержание

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа», ее свойства и график

Функция целая часть числа имеет вид y = [x].

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств (непрерывности множества действительных чисел, дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел

D([x]) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но если [x] = a, то [-x] = -(a+1), т.е. не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция y = [x] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

E ([x]) = Z .

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывна. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y

= [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [x] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

Открытая Математика. Функции и Графики. Периодические функции

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

  • если x∈D, то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
  • для любого x∈D выполнено равенство
    f (x + T) = f (x).

Поскольку x-T∈D, то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где n∈ℤ, n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График периодической функции y=7sin(52cosx).

График периодической функции обычно строят на промежутке [x0x0 + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π),

y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y = [x], где [x] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x) позволяет определить функцию y = {x}, где {x} – дробная часть числа x. По определению {x} = x – [x] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T = 1.

В заключение отметим свойства периодических функций.

  • Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом T1=Tk.
  • Пусть функции f1 (x) и f2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T1 > 0 и T2 > 0. Тогда если T2T1∈ℚ,  то функция f (x)=f1 (x)+f2 (x) периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T1 и T2.

Целая и дробная части числа

Введение

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа. Эти понятия представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

  1. Познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа.
  2. Уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств.
  3. Рассмотреть функции вида: y=[x] и y={x} их графики и свойства.

Целая часть числа

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x]  x < [x] + 1.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:


     

Дробная часть числа

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Примеры: {2,81} = 0, 81; {-0,2} = 0,8

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа


Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа


Продолжение (функция у=[x], ее свойства и график; функция у={x}, ее свойства и график; преобразование графиков в системе координат; графики, содержащие целую и дробную части; графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа)

Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

Список литературы

  1. В.А. Кирзимов, Центр образования “Царицыно” № 548, М. 2000 г.
  2. Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.
  3. Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат
  4. Евсюк С.Л.  Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск “Мисанта” 2003 г.
  5. Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа “Просвещение” 1990 г.

Целая, дробная части действительного числа и их свойства

Целая, дробная части действительного числа и их свойства

Теперь, когда сформулировано понятие действительного числа, можно ввести ещё два связанных между собой понятия, характеризующих данное действительное число — его целую и дробную части. Определения целой и дробной частей имеют словесно-описательную форму.

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x, и обозначается [х]. Дробной частью действительного числа x называется разность между самим числом и его целой частью, т.е. x -[х], и обозначается {x}. Например: [5,12] = 5, {5,12} = 0,12; [—5,12] = —6, {-5,12}= 0,88; ,

Из определений целой и дробной частей вытекают их основные

свойства. Рассмотрим их. Пусть x — произвольные действительные числа, n — любое целое число. Тогда справедливы следующие утверждения.

Свойства целой и дробной частей

1. Целая часть любого действительного числа x есть целое число:

2. Любое действительное число x можно представить в виде суммы его целой и дробной частей, т.е.

3. Любое действительное число x всегда заключено между своей целой частью (с которой может совпадать) и числом, на единицу большим целой части, т.е.

4. Дробная часть любого действительного числа x

может принимать значения в пределах от 0 (наименьшее возможное значение) до 1 (это значение не достигается ни при каком x), т.е.

5. Любое целое число n можно выносить (или вносить) из-под знака целой части, т.е.

Добавление (или вычитание) к действительному числу x произвольного целого числа n не изменяет значения его дробной части, т. е.

6. Целая часть суммы двух действительных чисел не меньше суммы их целых частей, т.е.

Докажем, например, последнее свойство:

Посколькуто и, следовательно, Исполь-зуя последнюю оценку, получаем окончательно необходимый результат:

7. Дробная часть суммы двух действительных чисел не больше суммы их дробных частей, т.е.

Доказательство. Воспользуемся предыдущим свойством:

Для построения графиков функций следует разбить всю числовую прямую на полуинтервалы вида где n — произвольное целое число, и затем рассмотреть поочерёдно каждый из этих промежутков. Это делается потому, что на каждом из указанных промежутков можно однозначно раскрыть целую и дробную части, выписав их значения в явном виде.

Так, на полуинтервалах вида имеем: , поэтому график функции на этих участках совпадает с горизонтальной прямой у = n .

Далее, на рассматриваемом промежутке , что означает, что график функции у = {x } совпадает с прямой у = x — n . Объединяя построенные участки графиков, получаем оба искомых графика.

Видно, что обе функции терпят разрывы в виде конечных скачков значений при целочисленных значениях аргумента x. Дробная часть к тому же является периодической функцией с периодом, равным единице. Данные функции не относят к классу элементарных функций.

Заметим, что данный подход, основанный на разбиении числовой прямой на отдельные промежутки, на каждом из которых значения целой и дробной частей можно посчитать, используется и при решении других задач на эту тему, в частности при решении уравнений. В экзаменационных вариантах задачи на свойства целой и дробной частей встречаются достаточно редко и в основном на математических факультетах, однако надо быть готовым к решению задач такого рода.

Пример №101.

Решить неравенство

Решение:

Заменим x в правой части неравенства на сумму [х] + {х} :

Приведём неравенство к виду Расклады-вая множители, получаем Поскольку , то неравенство оказывается равносильно неравенству решая которые находим

Ответ.

Пример №102.

Решить уравнение { 2х} = x.

Решение:

1-й способ. Заметим, что левая часть уравнения {2х} как величина дробной части может принимать значения, не выходящие за пределы полуинтервала [0,l). Следовательно, и правая часть уравнения, т.е. x, может принимать значения в этих же пределах. Итак, ОДЗ: . Разобьём ОДЗ на два промежутка числом 1/2 и на каждом из них раскроем дробную часть и решим уравнение.

1) Пусть .Тогда , следовательно, и . Поэтому на рассматриваемом промежутке уравнение примет вид , откуда находим . Поскольку найденное значение принадлежит , то, следова-тельно, будет решением.

2) Пусть теперь . Тогда , а значит, и Поэтому на данном промежутке уравнение примет вид , откуда находим . Однако это значение не принадлежит рассматриваемому полуинтервалу и поэтому не будет решением.

2-й способ (графический). Построим в одной системе координат графики функций , стоящих в левой и правой частях уравнения. Количество решений уравнения при этом равно количеству точек пересечения этих

графиков, а сами решения являются абсциссами точек пересечения графиков. Очевидно, что графики пересекаются в единственной точке — начале координат. Проверкой убеждаемся, что число x = 0 действительно является решением данного уравнения (проверку сделать необходимо, поскольку графический способ решения, вообще говоря, неточный).

Пример №103.

Сколько решений имеет уравнение

x + [100x]=100x?

Решение:

Перепишем уравнение в виде x = {100х} . Эту задачу можно решить графически. Рассмотрим другой способ. Так как выражение {100x} может принимать значения лишь из промежутка [0,1), то и . Но тогда x можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Подставим в исходное уравнение:

Таким образом, любое число вида удовлетворяет уравнению. Найдём, сколько всего существует таких чисел. Цифра может принимать 10 значений (от 0 до 9), при этом для каждого такого значения вторая цифра также может принимать 10 значений (от 0 до 9). Всего имеем 10×10 возможностей. Но надо исключить случай x = 0,999… = 1. Ответ: 99 решений.

Пример №104.

Найти целую часть числа

Решение:

Для решения задачи достаточно оценить, между какими последовательными целыми числами расположено данное число. Обозначим это число через . Оценка снизу находится несложно, поскольку очевидно, что при любом натуральном n имеем Найдём оценку сверху для . Для этого заменим в выражении для последний радикал на :

Последовательно упрощая выражение в правой части, получим . Итак, справедливо , откуда

Пример №105.

Решить уравнение

Решение:

Разобьём множество всех действительных значений неизвестной x на промежутки, в которых можно однозначно раскрыть целую часть:, где . Решим задачу на каждом из этих промежутков. Так как при имеем , то подставим в исходное уравнение, и оно примет вид . Учтём, что найденное значение x будет решением уравнения в том и только в том случае, если оно принадлежит рассматриваемому промежутку, т.е. . Решая систему

в целых числах, находим , т.е. . Тогда

Замечание. Задачу можно было решить, используя графический подход.

Пример №106.

Решить уравнение

Решение:

Положим тогда в силу уравнения и Отсюда имеем

Дальнейшее решение зависит от того, что больше: x —1 или (х + 2)/2. Рассмотрим два случая.

1) Пусть , т.е. . В этом случае имеем:

Получаем систему неравенств с двумя неизвестными, одна из которых целочисленна:

Отсюда Следовательно, Из неравенств и находим, что . Последнему неравенству удовлетворяет только одно целое число

Подставляя в неравенства (1), определяем

2) Пусть В этом случае получаем

Аналогично первому случаю находим . Объединяя полученные решения, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .

Пример №107.

Решить уравнение

Решение:

Сделаем замену Переходя к новой переменной, получим уравнение

с целочисленной неизвестной у . Раскрывая целую часть по определению, получаем двойное неравенство

откуда с учётом целочисленности у находим у = 0 или у = 1. Им отвечают значения x = 7/15 и x = 4/5.

Ответ:

Пример №108.

Найти все решения уравнения

Решение:

Упростим уравнение при помощи свойств целой части. Так как то уравнение принимает вид

Решим его стандартным методом. Чтобы раскрыть обе целые части, разобьём множество всех действительных x на полуинтервалы и где

1) Если то (так как , и уравнение на этом промежутке принимает вид — верно при любом , т.е. при любом целом n любое удовлетворяет уравнению.

2) Если же то а (так как и тогда уравнение примет вид неверно ни при каком , т.е. ни одно значение x из рассматриваемого промежутка не удовлетворяет уравнению.

Ответ:

Пример №109.

Найти все решения уравнения {х} = 1/х.

Решение:

ОДЗ: . Перепишем уравнение в виде

Пусть , где . Тогда , и уравнение на указанном промежутке примет вид

При этом , не удовлетворяет условию ни при каком , а , удовлетворяет ему при

Ответ:

Пример №110.

Найти все натуральные значения n, удовлетворяющие уравнению

где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа x.

Решение:

Пусть тогда

Значит,

Но тогда , поэтому, в силу уравнения,

Отсюда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Целая и дробная части числа

1. Целая и дробная части числа

Муниципальное Образовательное Учреждение «Лицей №36»
Целая и дробная части числа
Работу выполнил:
ученик 8«5» класса
Асрян Арсен Артурович
Научный руководитель:
учитель алгебры и геометрии
Абросимова Наталья Николаевна
г. Саратов
2011 год

2. Содержание


I. Введение
II. Основная часть
1. Определение целой части числа………………………………………………..стр. 4
2. Определение дробной части числа……………………………………………..стр. 5
3. Функция y=[x], её свойства и график………………………………………….стр. 6-7
4. Функция y={x}, её свойства и график……………………………………..…..стр. 8-9
5. Преобразование графиков в системе координат……………………..…стр. 10-11
6. Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части
числа………………………………………………………………………………….стр. 12
7. Решение уравнений, содержащих целую часть числа……………………стр. 13
8. Решение уравнений, содержащих дробную часть числа…………………стр. 14
III. Список литературы

3. Введение


Мой доклад — неизвестное об известном.
В школьном курсе очень подробно изучается тема : Функции. Но некоторые из
них остаются за пределами школьной программы. Открыв учебник «Алгебра 9»
автора Виленкин, я увидел функции, которые называются: Целая и дробная
часть числа.
Мой доклад будет об этих функциях, которые я буду излагать в том порядке, в
котором мы изучаем функции в школьном курсе; то есть:
1. Рассмотрим определения этих функций;
2. Рассмотрим свойства этих функций:
D (y), E (y), непрерывность, монотонность и т.д.
3. Рассмотрим графики этих функций и их преобразования в прямоугольной
системе координат.
4. Решение задач, связанных с этими функциями.

4. Целая часть числа


Целой частью числа Х называется наибольшее целое число не
превышающее само число Х. Целая часть числа Х обозначается
символом [x] или реже Е(х) (от фр. Entier «антье» — целый).
Примеры: [2,6] = 2; [-2,6] = -3.
Свойство целой части числа:
если Х принадлежит интервалу [n;n+1), где n – целое число, то [x] = n,
т.е. х находится в интервале [[х];[х]+1). Значит [х]=

5. Дробная часть числа


Дробной частью числа называют разность между самим числом Х и его
целой частью.
{x} = х-[х] => x = [x] + {x}
Примеры: {2,81} = 0,81; {-0,2} = 0,8
Свойство дробной части числа:
Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, то есть
{x} э [0,1)

6.

Функция y=[x], её свойства и график 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Функция имеет смысл для всех значений переменной х, что следует из определения
целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, её областью
определения является всё множество действительных чисел.
D( [x] ) = R.
Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению
целой части числа)
E( [x] ) = Z
Функция неограниченна, так как множество значений функции – все целые числа,
множество целых чисел неограниченно.
Функция разрывная. Все целые значения х – точки разрыва первого рода с конечным
скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.
Функция принимает значение 0 для всех х, принадлежащих интервалу [0;1), что следует
из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения
этого интервала.
Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные
значения при х1.
Функция y = [x] кусочно-постоянная и неубывающая.
Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n;n+1), она не принимает
наибольшего и наименьшего значений на области определения.
График функции y = [x]

8. Функция y={x}, её свойства и график

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Функция имеет смысл для всех значений переменной х, что следует из определения
дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все
действительные числа:
D( {x} ) = R.
Функция y = {x}, принимает значения на интервале [0;1), что следует из определения
дробной части числа, то есть
E( {x} ) = [0;1).
Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена.
Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n;n+1), где n – целое число, в каждой
точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.
Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях х, что следует из
определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения
аргумента.
Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные
значения.
Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n;n+1), где n – целое
число.
Учитывая свойства 4 и 7, на каждом интервале [n;n+1) функция y = {x} принимает
минимальное значение в точке n.
График функции y = {x}

10. Преобразования графиков в системе координат

Сжатие вдоль оси OX
Растяжение вдоль оси OY

12. Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части

13. Решение уравнений, содержащих целую часть числа

1.
2.
3.
4.
5.
[x] = 3
3≤x
Ответ: х ͼ [3;4)
[x+1.5] = -5
-5 ≤ x+1,5
-6,5 ≤ x
Ответ: x ͼ [-6,5; -5,5)
[2x+0,2] = 1
1 ≤ 2x+0,2
0,8 ≤ 2x
0,4 ≤ x
Ответ: х ͼ [0,4;0;9)
x + [x] = 0
Ответ: х=0
[3x-2] = 1,5
Ответ: Решений нет.

14. Решение уравнений содержащих дробную часть числа

1.
x = [x]
x – [x] = 0
{x} = 0
Ответ :х – любое целое число

15. Список литературы

1.
2.
3.
4.
5.
В. А. Кирзимов, Центр образования «Царицыно» №548, М. 2000 г.
Милиованова Л. Н. Функции и их исследование. М. Академия педагогических
наук РСФСР, 1958 г.
Глаголева Е. Г. И Серебринкова Л. Г. Метод координат.
Евсюк С. Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск
«Мисанта» 2003 г.
Абрамов А. М., Ивлев Б. М. Задачи повышенной трудности по алгебре и
началам анализа «Просвещение» 1990 г.

Округление числа в Excel

Предположим, что необходимо округить число до ближайшего целого, так как десятичная часть не имеет для вас значения. Или вы хотите округление числа до кратного 10, чтобы упростить аппроксимацию сумм. Существует несколько способов округлки числа.

Изменение количества знаков после запятой без изменения значения

На листе

    Выделите ячейки, формат которых требуется изменить.

  1. Чтобы после запятой отображалось больше или меньше знаков, на вкладке Главная в группе Число нажмите кнопку Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность .

Во встроенном числовом формате

  1. На вкладке Главная в группе Число щелкните стрелку рядом со списком числовых форматов и выберите пункт Другие числовые форматы.

  2. В поле Число десятичных знаков введите требуемое число знаков после запятой.

Округление числа вверх

Используйте функцию ОКРУГЛВВЕРХ. В некоторых случаях может потребоваться использовать функции ЧЁТН и НЕЧЁТ для округления вверх до ближайшего четного или нечетного числа.

Округление числа вниз

Используйте функцию ОКРУГЛВНИЗ.

Округление числа до ближайшего значения

Используйте функцию ОКРУГЛ.

Округление числа до ближайшего дробного значения

Используйте функцию ОКРУГЛ.

Округление числа до указанного количества значимых разрядов

Значимые разряды — это разряды, которые влияют на точность числа.

В примерах этого раздела используются функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ. Они показывают способы округления положительных, отрицательных, целых и дробных чисел, но приведенные примеры охватывают лишь небольшую часть возможных ситуаций.

В приведенном ниже списке содержатся общие правила, которые необходимо учитывать при округлении чисел до указанного количества значимых разрядов. Вы можете поэкспериментировать с функциями округления и подставить собственные числа и параметры, чтобы получить число с нужным количеством значимых разрядов.

  • Округляемые отрицательные числа прежде всего преобразуются в абсолютные значения (значения без знака «минус»). После округления знак «минус» применяется повторно. Хотя это может показаться нелогичным, именно так выполняется округление. Например, при использовании функции ОКРУГЛВНИЗ для округления числа -889 до двух значимых разрядов результатом является число -880. Сначала -889 преобразуется в абсолютное значение (889). Затем это значение округляется до двух значимых разрядов (880). После этого повторно применяется знак «минус», что дает в результате -880.

  • При применении к положительному числу функции ОКРУГЛВНИЗ оно всегда округляется вниз, а при применении функции ОКРУГЛВВЕРХ — вверх.

  • Функция ОКРУГЛ округляет дробные числа следующим образом: если дробная часть больше или равна 0,5, число округляется вверх. Если дробная часть меньше 0,5, число округляется вниз.

  • Функция ОКРУГЛ округляет целые числа вверх или вниз аналогичным образом, при этом вместо делителя 0,5 используется 5.

  • В общем при округлении числа без дробной части (целого числа) необходимо вычесть длину числа из нужного количества значимых разрядов. Например, чтобы округлить 2345678 вниз до 3 значимых разрядов, используется функция ОКРУГЛВНИЗ с параметром -4: = ОКРУГЛВНИЗ(2345678,-4). При этом число округляется до значения 2340000, где часть «234» представляет собой значимые разряды.

Округление числа до заданного кратного

Иногда может потребоваться округлить значение до кратного заданному числу. Например, допустим, что компания поставляет товары в ящиках по 18 единиц. С помощью функции ОКРУГЛТ можно определить, сколько ящиков потребуется для поставки 204 единиц товара. В данном случае ответом является 12, так как число 204 при делении на 18 дает значение 11,333, которое необходимо округлить вверх. В 12-м ящике будет только 6 единиц товара.

Может также потребоваться округлить отрицательное значение до кратного отрицательному или дробное — до кратного дробному. Для этого также можно применять функцию ОКРУГЛТ.

ОКРУГЛ

ОКРУГЛТ

ОКРУГЛВВЕРХ

ОКРУГЛВНИЗ

ЧЁТ

НЕЧЁТ

Дробная линейная функция на занятиях с репетитором по математике

Рассмотрим вопросы методики изучения такой темы, как «построение графика дробной линейной функции». К сожалению, ее изучение удалено из базовой программы и репетитор по математике на своих занятиях не так часто ее затрагивает, как хотелось бы. Однако, математические классы еще никто не отменял, вторую часть ГИА тоже. Да и в ЕГЭ существует вероятность ее проникновения в тело задачи С5 (через параметры). Поэтому придется засучить рукава и поработать над методикой ее объяснения на уроке со средним или в меру сильным учеником. Как правило, репетитор по математике вырабатывает приемы объяснений по основным разделам школьной программы в течение первых 5 -7 лет работы. За это время через глаза и руки репетитора успевают пройти десятки учеников самых разных категорий. От запущенных и слабых от природы детей, лодырей и прогульщиков до целеустремленных талантов.

Со временем к репетитору по математике приходит мастерство объяснений сложных понятий простым языком не в ущерб математической полноте и точности. Вырабатывается индивидуальный стиль подачи материала, речи, визуального сопровождения и оформления записей. Любой опытный репетитор расскажет урок с закрытыми глазами, ибо наперед знает, какие проблемы возникают с пониманием материала и что нужно для их разрешения. Важно подобрать правильные слова и записи, примеры для начала урока, для середины и конца, а также грамотно составить упражнения для домашнего задания.

О некоторых частных приемах работы с темой пойдет речь в данной статье.

С построения каких графиков начинает репетитор по математике?

Нужно начать с определения изучаемого понятия. Напоминаю, что дробной линейной функцией называют функцию вида . Ее построение сводится к построению самой обычной гиперболы путем известных несложных приемов преобразования графиков. На практике, несложными они оказываются только для самого репетитора. Даже если к преподавателю приходит сильный ученик, с достаточной скоростью вычислений и преобразований, ему все равно приходится рассказывать эти приемы отдельно. Почему? В школе в 9 классе строят графики только путем сдвига и не используют методов добавления числовых множителей (методов сжатия и растяжения). Какой график используется репетитором по математике? С чего лучше начать? Вся подготовка проводится на примере самой удобной, на мой взгляд, функции . А что еще использовать? Тригонометрию в 9 классе изучают без графиков (а в переделанных учебниках под условия проведения ГИА по математике и вовсе не проходят). Квадратичная функция не имеет в данной теме такого же «методического веса», какой имеет корень. Почему? В 9 классе квадратный трехчлен изучается досконально и ученик вполне способен решать задачи на построение и без сдвигов. Форма мгновенно вызывает рефлекс к раскрытию скобок, после которого можно применить правило стандартного построения графика через вершину параболы и таблицу значений. С такой маневр выполнить не удастся и репетитору по математике будет легче мотивировать ученика на изучение общих приемов преобразований. Использование модуля y=|x| тоже не оправдывает себя, ибо он не изучается так же плотно, как корень и школьники панически его боятся. К тому же, сам модуль (точнее его «навешивание») входит в число изучаемых преобразований.

Итак, репетитору не остается ничего более удобного и эффективного, как провести подготовку к преобразованиям с помощью квадратного корня. Нужна практика построений графиков примерно такого вида . Будем считать, что эта подготовка удалась на славу. Ребенок умеет сдвигать и даже сжимать/растягивать графики. Что дальше?

Далее стоит напомнить о том, как выглядит обратная пропорциональность и в каких четвертях располагается ее график в зависимости от знака коэффициента k.

Следующий этап – обучение выделению целой части. Пожалуй, это основная задача репетитора по математике, ибо после того, как целая часть будет выделена, она принимает на себя львиную долю всей вычислительной нагрузки на тему. Чрезвычайно важно подготовить функцию к виду, вписывающемуся в одну из стандартных схем построения. Также важно описать логику преобразований доступным понятным , а с другой стороны математически точно и стройно.

Напомню, что для построения графика необходимо преобразовать дробь к виду . Именно к такому, а не к
, сохраняя знаменатель. Почему? Сложно выполнять преобразования того графика, который не только состоит из кусочков, но еще и имеет асимптоты. Непрерывность используется для того, чтобы соединить две-три более-менее понятно передвинутые точки одной линией. В случае разрывной функции не сразу разберешь, какие именно точки соединять. Поэтому сжимать или растягивать гиперболу – крайне неудобно. Репетитор по математике просто обязан научить школьника обходиться одними сдвигами.

Для этого помимо выделения целой части нужно еще удалить в знаменателе коэффициент c.

Выделение целой части у дроби

Как научить выделению целой части? Репетиторы по математике не всегда адекватно оценивают уровень знаний школьника и, несмотря на отсутствие в программе подробного изучения теоремы о делении многочленов с остатком, применяют правило деления уголком. Если преподаватель берется за уголочное деление, то придется потратить на его объяснение (если конечно все аккуратно обосновывать) почти половину занятия. К сожалению, не всегда это время у репетитора имеется в наличии. Лучше вообще не вспоминать ни о каких уголках.

Существует две формы работы с учеником:
1) Репетитор показывает ему готовый алгоритм на каком-нибудь примере дробной функции.
2) Преподаватель создает условия для логического поиска этого алгоритма.

Реализация второго пути мне представляется наиболее интересной для репетиторской практики и чрезвычайно полезной для развития мышления ученика. С помощью определенных намеков и указаний часто удается подвести к обнаружению некой последовательности верных шагов. В отличие от машинального выполнения кем-то составленного плана, школьник 9 класса учится самостоятельно его искать. Естественно, что все пояснения необходимо проводить на примерах. Возьмем для этого функцию и рассмотрим комментарии репетитора к логике поиска алгоритма. Репетитор по математике спрашивает: «Что мешает нам выполнить стандартное преобразование графика , при помощи сдвига вдоль осей? Конечно же, одновременное присутствие икса и в числителе и в знаменателе. Значит необходимо удалить его из числителя. Как это сделать при помощи тождественных преобразований? Путь один – сократить дробь. Но у нас нет равных множителей (скобок). Значит нужно попытаться создать их искусственно. Но как? Не заменишь же числитель на знаменатель без всякого тождественного перехода. Попробуем преобразовать числитель, чтобы в него включалась скобка, равная знаменателю. Поставим ее туда принудительно и «обложим» коэффициентами так, чтобы при их «воздействии» на скобку, то есть при ее раскрытии и сложении подобных слагаемых, получался бы линейный многочлен 2x+3.

Репетитор по математике вставляет пропуски для коэффициентов в виде пустых прямоугольников (как это часто используют пособия для 5 – 6 классов) и ставит задачу — заполнить их числами. Подбор следует вести слева направо, начиная с первого пропуска. Ученик должен представить себе, как он будет раскрывать скобку. Так как ее раскрытия получится только одно слагаемое с иксом, то именно его коэффициент должен быть равным старшему коэффициенту в старом числителе 2х+3. Поэтому, очевидно, что в первом квадратике оказывается число 2. Он заполнен. Репетитору по математике следует взять достаточно простую дробную линейную функцию, у которой с=1. Только после этого можно переходить к разбору примеров с неприятным видом числителя и знаменателя (в том числе и с дробными коэффициентами).

Идем дальше. Преподаватель раскрывает скобку и подписывает результат прямо над ней.
Можно заштриховать соответствующую пару множителей. К «раскрытому слагаемому», необходимо добавить такое число из второго пропуска, чтобы получить свободный коэффициент старого числителя. Очевидно, что это 7.

Итог подбора:

Далее дробь разбивается на сумму отдельных дробей (обычно я обвожу дроби облачком, сравнивая их расположение с крылышками бабочки). И говорю: «Разобьем дробь бабочкой». Школьники хорошо запоминают эту фразу.

Репетитор по математике показывает весь процесс выделения целой части до вида, к которому уже можно применить алгоритм сдвига гиперболы :

Если знаменатель имеет не равный единице старший коэффициент, то ни в коем случае не нужно его там оставлять. Это принесет и репетитору и ученику лишнюю головную боль, связанную с необходимостью проведения дополнительного преобразования, Причем самого сложного: сжатия — растяжения. Для схематического построения графика прямой пропорциональности не важен вид числителя. Главное знать его знак. Тогда к нему лучше перебросить старший коэффициент знаменателя. Например, если мы работаем с функцией , то просто вынесем 3 за скобку и «поднимем» ее в числитель, конструируя в нем дробь . Получим значительно более удобное выражение для построения: Останется сдвинуть на вправо и на 2 вверх.

Если между целой частью 2 и оставшейся дробью возникает «минус», его тоже лучше занести в числитель. Иначе на определенном этапе построения придется дополнительно отображать гиперболу относительно оси Oy. Это только усложнит процесс.

Золотое правило репетитора по математике:
все неудобные коэффициенты, приводящие к симметриям, к сжатиям или растяжениям графика нужно перебросить в числитель.

Трудно описывать приемы работы с любой темой. Всегда остается ощущение некоторой недосказанности. Насколько удалось рассказать о дробной линейной функции — судить Вам. Присылайте Ваши комментарии и отзывы к статье (их можно написать в окошке, которое Вы видите внизу страницы). Я обязательно их опубликую.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Строгино. Методики для репетиторов.

Функция наибольшего целого числа — определение, свойства, примеры решения

Наибольшая целочисленная функция также известна как ступенчатая функция. Функция наибольшего целого числа округляет число до ближайшего целого числа, меньшего или равного заданному числу. Наибольшая целочисленная функция имеет ступенчатую кривую, которую мы рассмотрим в следующих разделах. Область определения наибольшей целочисленной функции равна \(\mathbb{R}\), а ее диапазон равен \(\mathbb{Z}\).

Следовательно, функция наибольшего целого числа просто округляется до наибольшего целого числа, меньшего или равного заданному числу. Здесь мы узнаем больше о наибольшей целочисленной функции, ее графике и свойствах.

Что такое функция наибольшего целого числа?

Функция наибольшего целого числа — это функция, которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное этому числу. Наибольшее целое число, меньшее или равное числу x, представляется как ⌊x⌋. Мы округлим данное число до ближайшего целого числа, которое меньше или равно самому числу. Ясно, что входная переменная x может принимать любое действительное значение.Однако на выходе всегда будет целое число. Кроме того, все целые числа будут встречаться в выходном наборе.

Домен и диапазон функции наибольшего целого числа

Таким образом, областью определения этой функции являются действительные числа (\(\mathbb{R}\)), а диапазоном значений будут целые числа (\(\mathbb{Z}\)). Посмотрите на следующие примеры функции наибольшего целого числа в следующей таблице:

Значения x ф(х)=⌊х⌋
3. 1 f(3.1) = ⌊3.1⌋ = 3
2,999 f(2,999) = ⌊2,999⌋ = 2
−2,7 f(−2,7) = ⌊−2,7⌋ = −3
4 f(4) = ⌊4⌋ = 4
−7 f(−7) = ⌊−7⌋ = −7

График функции наибольшего целого числа

График наибольшей целочисленной функции известен как ступенчатая кривая из-за ступенчатой ​​структуры кривой.Построим график наибольшей целочисленной функции. Во-первых, рассмотрим f(x) = ⌊x⌋, если x — целое число, то значением f будет сам x. Если x не является целым числом, то значением x будет целое число непосредственно перед x.

Например,

  • Для всех чисел, лежащих в интервале [0,1), значение f будет равно 0.
  • Для всего интервала [1,2) f будет принимать значение 1.
  • Для интервала [−1,0) f примет значение −1 и так далее.

Таким образом, для целого числа n [n, n+1) будет иметь значение функции наибольшего целого числа как n. Функция имеет постоянное значение между любыми двумя целыми числами. Как только приходит следующее целое число, значение функции подскакивает на единицу. Это означает, что значение f при x = 1 равно 1 (а не 0), следовательно, будет полая точка в точке (1,0) и сплошная точка в точке (1,1), где пустая точка означает не включая значение, а сплошная точка означает включение значения. Эти наблюдения приводят нас к следующему графику.

Из приведенного выше графика ясно видно, что входными параметрами функции могут быть любые вещественные числа, но на выходе всегда будут целые числа.Таким образом, областью определения этой функции являются действительные числа (\(\mathbb{R}\)), а ее диапазоном будут целые числа (\(\mathbb{Z}\)).

Свойства функции наибольшего целого числа

Существуют различные свойства, связанные с функцией наибольшего интегратора. Некоторые полезные свойства наибольшей целочисленной функции перечислены ниже.

  1. ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n, где \(n \in \mathbb{Z}\)
  2. ⌊−x⌋ \(\begin{cases} & {-\left\lfloor x\right\rfloor}, & \text{if} x \in \mathbb{Z} \\ &{-\left\lfloor x -1\право\rэтаж}, & \text{if} x \notin\mathbb{Z} \\ \end{case}\)
  3. Если ⌊f(x)⌋ ≥ L, то f(x)≥L

Важные примечания

Следующие пункты помогут обобщить важные моменты функции наибольшего целого числа.

  • Если x число между последовательными целыми числами n и n+1, то ⌊x⌋=n. Если x целое число, то ⌊x⌋=x
  • Область определения наибольшей целочисленной функции равна \(\mathbb{R}\), а ее диапазон равен \(\mathbb{Z}\).
  • Дробная часть всегда будет неотрицательной, так как x всегда будет больше (или равен) ⌊x⌋. Если x — целое число, то его дробная часть будет равна 0
  • .
  • Область определения функции дробной части — \(\mathbb{R}\), а ее диапазон — [0,1].

Похожие темы

Следующие ссылки связаны с функцией наибольшего целого числа

Часто задаваемые вопросы о функции наибольшего целого числа

Где функция наибольшего целого числа не является дифференцируемой?

Когда мы проверяем график функции наибольшего целого числа, мы видим, что он скачет всякий раз, когда достигает целого числа. Поскольку кривая разрывна в целых числах, она не дифференцируема в этих точках.Следовательно, для каждого целого числа функция наибольшего целого числа не дифференцируема.

Что такое функция наибольшего целого числа?

Функция наибольшего целого числа — это функция, которая дает наибольшее целое число, меньшее или равное x. Эта функция обозначается ⌊x⌋. Мы округлим данное число до ближайшего целого числа, которое меньше или равно самому числу.

Является ли функция этажа дифференцируемой?

Функция пола или функция наибольшего целого числа не дифференцируема в целых числах.Функция пола имеет скачкообразные значения в целых числах, поэтому ее кривая известна как ступенчатая кривая. Кривая функции пола разрывна в целых числах и, следовательно, не дифференцируема в целых числах.

Что такое область определения и область значений функции наибольшего целого числа?

Вводом функции наибольшего целого числа может быть любое действительное число, тогда как выходом функции наибольшего целого числа всегда является целое число. Кроме того, все целые числа будут встречаться в выходном наборе. Таким образом, областью определения этой функции являются действительные числа (\(\mathbb{R}\)), а ее диапазоном будут целые числа (\(\mathbb{Z}\)).

Как построить график функции наибольшего целого числа?

Построить график функции наибольшего целого числа очень просто. Это ступенчатая кривая. Здесь f(x) = ⌊x⌋, если x — целое число, то значением f будет сам x, а если x — нецелое число, то значением x будет целое число непосредственно перед x. Следовательно, для целого числа n [n, n+1) будет иметь значение наибольшей целочисленной функции как n. Функция имеет постоянное значение между любыми двумя целыми числами. Как только приходит следующее целое число, значение функции подскакивает на единицу.Это означает, что значение f при x = 1 равно 1 (а не 0), следовательно, будет пустая точка в (1,0) и сплошная точка в (1,1), где пустая точка означает отсутствие значения и сплошная точка означает включение значения. Точно так же мы можем построить кривую наибольшей целочисленной функции.

Функция дробной части | Блестящая математика и естественные науки вики

Для задач, связанных с функцией пола и функцией дробной части, часто помогает (для простоты записи) запись x=n+r, x = n+r ,x=n+r, где n=⌊x⌋ n = \lfloor x \rfloor n=⌊x⌋ и r={x} r = \{x\} r={x}.2+10r-2 &= 0, \end{выровнено} (5+r)2+r225+10r+2r22r2+10r−2​=27=27=0,​

, поэтому r=−5+292 r = \frac{-5+\sqrt{29}}2r=2−5+29​​ по квадратичной формуле.

Следовательно, x=5+r=5+292 x = 5 + r = \frac{5+\sqrt{29}}2x=5+r=25+29​​. □_\квадрат□​

Отправьте свой ответ

{1x}={x} \left \{\frac 1x \right \} = \{x \} {x1​}={x}

Найдите количество решений xxx в диапазоне [1,6][1,6][1,6] таких, что уравнение выше удовлетворяется.

Обратите внимание, что {x} \{ x \} {x} обозначает дробную часть xxx.

Найдите наименьшее действительное число m m m такое, что для всех положительных действительных чисел x x x

{x}+{1x}


Если x<1 x < 1 x<1, мы можем написать x=1y,y≥1, x = \frac1y, y \ge 1, x=y1​,y≥1 и {x}+{1x }={г}+{1г}. \{ x \} + \big\{ \frac1{x} \big\} = \{ y \} + \big\{ \frac1{y} \big\}.{х}+{х1​}={у}+{у1​}. Таким образом, мы можем предположить, что x≥1 x \ge 1 x≥1. Тогда {1x}=1x \big\{ \frac1{x} \big\} = \frac1{x}{x1​}=x1​. Записав x=n+r x = n+r x=n+r, где nn n — положительное целое число, левая часть станет равной

.

р+1н+р. г + \frac1{n+r}. г+п+г1​.

Для фиксированного r r r это максимально, когда знаменатель сведен к минимуму, т. е. n=1n = 1 n=1.

Теперь r+11+rr + \frac1{1+r} r+1+r1​ является возрастающей функцией для 0≤r<1 0 \le r < 1 0≤r<1, ее производная равна 1−1 (1+r)2 1-\frac1{(1+r)^2} 1−(1+r)21​. — r→1−, сумма получается 1+11+1=32 1+\frac1{1+1} = \frac{3}{2} 1+1+11​=23​. Таким образом, ответ равен 32 \frac{3}{2} 23​. □_\квадрат□​

(((Упражнение: если x x x может быть отрицательным, ответ будет m=2.) m=2.)m=2.)

Отправьте свой ответ

Найдите количество действительных xxx, удовлетворяющих уравнению {x}⌊x⌋−2⌊x⌋={x}−1 \{x\} \lfloor x \rfloor- 2\lfloor x \rfloor = \{x\} -1{х}⌊х⌋−2⌊х⌋={х}−1.

Обозначения :

Наибольшая целочисленная функция и график

Краткий обзор

  • Функция наибольшего целого числа также известна как функция пола.
  • Записывается как $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$.
  • Значением $$\lfloor x \rfloor$$ является наибольшее целое число, которое на меньше или равно $$x$$.

Определение

Функция наибольшего целого числа определяется как

$$\lfloor x \rfloor = \mbox{наибольшее целое число, которое}$$ меньше или равно $$x$$.

В математической записи мы запишем это как

.

$$ \lfloor x\rfloor = \max\{m\in\mathbb{Z}|m\leq x\} $$

Обозначение «$$m\in\mathbb{Z}$$» означает, что «$$m$$ является целым числом».

Примеры

Пример 1 — Основные расчеты

Оцените следующее.

  1. $$\lэтаж 2.7\rэтаж$$
  2. $$\lэтаж -1,4\rэтаж$$
  3. $$\lэтаж 8\rэтаж$$
Решение
  1. Если мы рассмотрим числовую строку с целыми числами и 2.7 нанесен на него, мы видим

    Наибольшее целое число, которое на меньше 2,7, равно 2. Таким образом, $$\lfloor 2,7\rfloor = 2$$.

  2. Если мы рассмотрим числовую прямую с нанесенными на нее целыми числами и -1,3, мы увидим

    Поскольку наибольшее целое число меньше -1.3 равно -2, поэтому $$\lfloor -1.3\rfloor = -2$$.

  3. Поскольку $$\lfloor x\rfloor =$$ наибольшее целое число, меньшее или равное $$x$$ , мы знаем, что $$\lfloor 8\rfloor = 8$$.

График функции наибольшего целого числа

Чтобы понять поведение этой функции с точки зрения графика, построим таблицу значений.

СТОЛ

$$ \начать{массив}{|с|с|} \hline х & \lэтаж х \rэтаж\\ \hline -1,5 и -2\\ -1,25 и -2\\ -1 и -1\\ -0,75 и -1\\ -0,5 и -1\\ -0.25 и -1\\ 0 и 0\\ 0,25 и 0\\ 0,5 и 0\\ 0,75 и 0\\ 1 и 1\\ 1,25 и 1\\ 1,5 и 1\\ \hline \конец{массив} $$

Таблица показывает нам, что функция увеличивается до следующего наибольшего целого числа каждый раз, когда значение x становится целым числом. В результате получается следующий график.

Отвечать
Пример 2

Нарисуйте график $$y = \left\lfloor \frac 1 2x \right\rfloor$$.

Решение

Мы знаем, как должен выглядеть базовый график, поэтому нам просто нужно понять, как фактор $$\frac 1 2$$ повлияет на ситуацию.Мы можем сделать это двумя способами: мы можем сделать таблицу значений или мы можем интерпретировать это как преобразование.

ТАБЛИЦА

$$ \начать{выравнивать*} \начать{массив}{|с|с|с|} \hline x & \frac 1 2 x & \left\lfloor \frac 1 2 x\right\rfloor\\[6pt] \hline -2 и -1,5 и -2\\[6pt] -1.5 и -0,75 и -1\\[6pt] -1 и -0,5 и -1\\[6pt] -0,5 и -0,25 и -1\\[6pt] 0 & 0 & 0\\[6pt] 0,5 и 0,25 и 0\\[6pt] 1 и 0,5 и 0\\[6pt] 1,5 и 0,75 и 0\\[6pt] 2 и 1 и 1\\[6pt] \hline \конец{массив} \конец{выравнивание*} $$

Из таблицы видно, что значения функции переходят к следующему значению, когда $$x$$ четно.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Мы можем интерпретировать $$y = \left\lfloor \frac 1 2 x\right\rfloor$$ как горизонтальное растяжение, которое удваивает длину каждой части.

Отвечать:

Решение уравнений

Существует формула, которая может помочь нам при работе с уравнениями, включающими функцию пола.

$$\lfloor x\rfloor = m\qquad\mbox{если и только если}\quad m \leq x

(помните, $$m$$ — целое число!)

Так, например, $$\lfloor x\rfloor = 8$$ тогда и только тогда, когда $$8 \leq x

Пример 3

Решите уравнение $$\lfloor 2x + 5\rfloor = 9$$.

Шаг 1

Перепишите уравнение, используя неравенство.

$9 \leq 2x + 5 Шаг 2

Решите неравенство.

$$ \начать{выравнивать*} 9 & \leq 2x + 5 Отвечать:

В интервальных обозначениях уравнение верно для $$x \in [2, 2.5)$$.

Пример 4

Решите уравнение $$\lfloor 1,25 + \lfloor x\rfloor\rfloor = 12$$.

Шаг 1

Замените $$\lfloor x\rfloor$$ на $$u$$. Это называется «заменой переменной», и это облегчит работу с уравнением.

$$ \начать{выравнивать*} \этаж 1.25 + \lпол x\rпол\rпол & = 12\\[6pt] \lэтаж 1,25 + u\rэтаж & = 12 \конец{выравнивание*} $$

Шаг 2

Замените уравнение одним из неравенств, где $$m = 12$$

$$ 12 \leq 1,25 + и Шаг 3

Решите неравенство.

$$ \начать{выравнивать*} 12 и \leq 1.25 + ты

Поскольку $$\lfloor x \rfloor$$ является целым числом, единственный способ удовлетворить приведенным выше неравенствам — это $$\lfloor x \rfloor = 11$$.

Шаг 4

Определите значение $$x$$.

Опять же, используя неравенства, мы знаем

$$ 11 \leq х Отвечать:

$$ 11 \leq х

Продолжайте практиковать задачи

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

Наибольшая целочисленная функция — Концепция

Одной из наиболее часто используемых ступенчатых функций является функция наибольшего целого числа . Функция наибольшего целого числа имеет собственное обозначение и говорит нам округлить любое заданное десятичное число до ближайшего целого числа или наибольшего целого числа, которое меньше числа. График функции наибольшего целого числа напоминает восходящую лестницу.

Я хочу поговорить о новой родительской функции, называемой функцией наибольшего целого числа, которую иногда также называют «функцией пола». А это символ наибольшего целого числа х, а определение — это наибольшее целое число, меньшее или равное х. Давайте сделаем некоторые, давайте оценим его по паре чисел. Наибольшее целое число, меньшее или равное 0,5. Если пойти по числовой прямой и найти 0.5 прямо здесь. Наибольшее целое число, меньшее или равное 0,5, равно 0, поэтому оно равно 0. Наибольшее целое число, меньшее или равное 0,99 0,99 — это не совсем 1, поэтому наибольшее целое число, меньшее или равное 0,99, также равно 0. И помните, что это наибольшее целое число, меньшее или равное, поэтому наибольшее целое число, меньшее или равное нулю, само равно нулю. Таким образом, все эти числа имеют один и тот же наибольший целочисленный нуль.
Как насчет минус 0,5? Минус 0,5 прямо здесь. Наибольшее целое число, меньшее или равное отрицательному 0.5 равно -1. Как насчет минус 0,01. Это немного левее нуля. Таким образом, наибольшее целое число, меньшее или равное отрицательному 0,01, равно отрицательному 1. И, конечно же, наибольшее целое число, меньшее или равное -1, равно -1, поэтому все три этих числа имеют одно и то же наибольшее целое число, -1.
Как насчет чего-то вроде root 2? Квадратный корень из 2 равен примерно 1,41, здесь 1,41, поэтому наибольшее целое число, меньшее или равное корню 2, равно 1.
Как насчет числа пи? Пи чуть больше 3, 3,14. Наибольшее целое число, меньшее или равное пи, равно 3 и отрицательному числу пи.Следите за наибольшим целым числом, когда имеете дело с отрицательными числами. Помните, что вы всегда путешествуете налево по числовой прямой. Отрицательное число пи будет равно -1, -2, -3 будет здесь, и поэтому наибольшее целое число, меньшее или равное отрицательному числу пи, на самом деле будет -4.
Теперь мы построим график этой функции, очень интересный график.

Функция наибольшего целого числа — объяснение и примеры

Изучая графики и функции, вы познакомитесь с уникальной функцией, называемой функцией наибольшего целого числа .Вот краткий обзор определения функций наибольшего целого числа:

Функции наибольшего целого числа (или ступенчатые функции) возвращают округленное в меньшую сторону целое значение заданного числа.

Если вы видели это на своих предыдущих уроках или в учебниках, задумывались ли вы когда-нибудь, почему эти функции называются ступенчатыми? Ответ на этот вопрос находится в этой статье. Мы узнаем об определении, свойствах и графике этой функции.

Какова наибольшая целочисленная функция?

Наибольшая целочисленная функция — это функция, которая возвращает постоянное значение для каждого конкретного интервала . Эти функции обычно представляются открывающей и закрывающей скобкой [ ]. Эти значения представляют собой округленные целые значения выражения, заключенного в скобки. Ниже приведены некоторые примеры функций наибольшего целого числа:

  • $f(x) = [-5,678]$
  • $g(x) = [-x + 1]$
  • $h(x) = [-4x 2 – 5]$

Когда выражение в скобках является просто константой, мы найдем наибольшее целочисленное значение числа .

Как найти наибольшее целочисленное значение?

Давайте сначала поймем, как мы можем найти наибольшее целое значение заданного числа. Вот два правила, которые следует помнить при поиске наибольшего целочисленного значения:

  • Если число в скобках не является целым числом, , мы возвращаем меньшее целое число, близкое к заданному числу .
    • Например, если $f(x) = [-15,698]$, два ближайших целых числа равны $-16$ и $-15$. Для наибольшего целочисленного значения мы всегда выбираем меньшее целое число.Это означает, что $[-15,698] = -16$.

  • Если число в скобках целое, , мы возвращаем исходное число .
    • Это означает, что если мы имеем $g(x) = [48]$, наибольшее целочисленное значение равно $48$.

Вот еще несколько примеров наибольшего целого числа:

$ $
$\boldsymbol{x}$ $\boldsymbol{y = [x]} 090 0 0 $

9

$-5$
$-12.45 $ $ -13 $
$ -30.01 $ $ -31 $ $ -31 $
$ 32.067 $ $ 320 $
$ 49.9999 $ $ 49 $

После мы наши навыки в нахождении наибольших целочисленных значений, мы можем затем использовать это для построения графика наибольших целочисленных функций. В разделе этой статьи мы узнаем, почему эта функция также называется ступенчатой ​​функцией .

Как построить график наибольшей целочисленной функции?

Пришло время узнать, как функция наибольшего целого числа представлена ​​в системе координат $xy$.Мы применяем тот же процесс при построении графиков любых других функций:

  • Постройте таблицу значений, которая удовлетворяет условиям функции.
  • Нанесите эти точки на график.
  • Соедините точки линией или кривой, чтобы построить функцию.

Но что делает наибольшую целочисленную функцию или ступенчатую функцию уникальной? Мы работаем с интервалами и конечными точками как с открытыми и закрытыми точками.

  • Каждый интервал будет иметь заштрихованную точку на меньшем числе и незакрашенную точку на большем числе .
  • Каждый из них будет соединен вертикальными линиями.
  • Один и тот же процесс будет применяться для каждого интервала.

Давайте сначала построим график $f(x) = [x]$, и мы можем сделать это, сначала создав таблицу значений.

$ \ Boldsymbol {x} $ $ \ boldsymbol {y = [x]} $ Закрытая точка Открытая точка
$ [- 3, -2) $ $-3$ $(-3, -3)$ $(-2, -3)$
$[-2, -1)$ $-2$ $ (-2, -2)$ $(-1, -2)$
$[-1, 0)$ $-1$ $(-1, -1)$ $(0, -1)$
$[0, 1)$ $0$ $(0, 0)$ $(1, 0)$
$[1, 2 )$ $1$ $(1, 1)$ $(2, 1)$
$[2, 3)$ $2$ $(2, 2)$ 900 $(3, 2)$
$[3, 4)$ $3$ $(3, 3)$ $(4, 3)$

Теперь, когда у нас есть значения для каждого интервала, мы можем построить каждую открытую и закрытую точку. Затем соедините каждую пару точек линией. Ниже показано, как будет построен интервал $[0, 1)$:

Сделайте то же самое для остальных интервалов, и вы сможете построить график, показанный ниже.

Как видите, приведенный выше график выглядит как ступенька лестницы, отсюда и его название: ступенчатая функция . Мы также можем применить ту же технику при построении графиков для различных ступенчатых функций.

Как перевести $\boldsymbol{f(x) = [x]}$?

Теперь мы узнали, как построить график $f(x) = [x]$.Чтобы сэкономить время, а также попрактиковаться в построении графиков функций, мы можем построить графики ступенчатых функций, переведя $f(x) = [x]$.

  • Если ступенчатая функция имеет вид $f(x) = [x – h]$ или $f(x) = [x + h]$, переведите график $y = [x]$ на $h$ единиц влево или вправо.
  • Если ступенчатая функция имеет вид $f(x) = [x] + k$ или $f(x) = [x] – k$, перенесите график $y = [x]$ на $ k$ единиц вверх или вниз соответственно.
  • Если ступенчатая функция имеет вид $f(x) = b[x]$ или $f(x) = \dfrac{1}{b[x]}$ , сжать или растянуть график по вертикали $y = [x]$ в $b$ раз.
  • Если ступенчатая функция имеет вид $f(x) = [bx]$ или $f(x) = \left[\dfrac{x}{b}\right]$ , сжать или растянуть по горизонтали график $y = [x]$ в $b$ раз.
  • Если ступенчатая функция имеет отрицательный коэффициент, отразите $y = [x]$ по оси $x$.

Вы также можете построить график ступенчатых функций, построив таблицу значений, но знание этих преобразований также может помочь проверить построенный нами график.

Краткое изложение определения наибольшей целочисленной функции

Теперь мы узнали о наибольшей целочисленной функции, включая ее основное определение, свойства и даже график.

Теперь мы можем начать работать над более сложными задачами в следующем разделе, но прежде чем мы это сделаем, давайте обобщим то, что мы узнали:

  • Наибольшие целочисленные функции (или ступенчатые функции) могут помочь нам найти меньшие целочисленное значение, близкое к заданному числу.
  • График ступенчатой ​​функции можно определить, найдя значения $y$ через определенные интервалы $x$.
  • График функции наибольшего целого числа выглядит как ступенька лестницы.
  • Мы можем преобразовать график $f(x) = [x]$ в график других функций.

Пример 1

Найдите наибольшее целое число из следующего:

a. $[-12.01]$

б. [45,99]$

c. $[-54]$

д. $\left[12 \dfrac{3}{4} \right]$

Решение

а. Поскольку $-12,01$ — отрицательное десятичное число, мы находим меньшее целое число между $-13$ и $-12$. Используя числовую прямую в качестве ориентира, мы видим, что меньшее целое число равно $-13$.

б.Поскольку $45,99$ — положительное десятичное число, мы находим меньшее целое число между $45$ и $46$. Используя числовую прямую в качестве ориентира, мы видим, что меньшее целое число равно $45$.

в. Поскольку $-54$ — отрицательное целое число, мы выбираем само целое число.

д. Поскольку $-12 \dfrac{3}{4}$ является отрицательным смешанным числом, мы находим меньшее целое число между $-13$ и $12$. Используя числовую прямую в качестве ориентира, мы видим, что меньшее целое число равно $-13$.

Пример 2

Если $f(x) = [2x + 1]$, каково значение $f(-3.2 + 1]$, каково значение $g\left(-\dfrac{1}{3}\right)$?

Решение

Подставим $-\dfrac{1}{3}$ в выражение для $g(x)$ и упростим значение внутри скобки.

$\begin{align} g\left(-\dfrac{1}{3}\right) &= [-27(-1/3)2 + 1]\\ &= [-27(1/9) ) + 1]\\ &= [-3 + 1]\\ &= [-2] \end{aligned}$

Поскольку $[-2]$ содержит отрицательное целое число, мы возвращаем то же значение. Следовательно, $f\left(-\dfrac{1}{3}\right) = -2$.

Пример 4

Постройте таблицу значений $f(x) = [x] + 1$ для интервалов от $-3$ до $3$.

Решение

Подставьте каждое целое число от $-3$ до $3$ в функцию. Давайте попробуем $f(-3)$.

$\begin{aligned} g(-3) &= [-3] + 1\\&= [-3] + 1 \end{aligned}$

Так как $[-3]$ содержит отрицательное целое число , мы возвращаем одно и то же значение. Следовательно, $f(-3) = -2$.

Примените тот же процесс для нахождения наибольшего целочисленного значения остальных и суммируйте результаты с помощью таблицы.

$ \ boldsymbol {x} $ $ \ boldsymbol {y = [x] +1} $ Закрытая точка Открыть DOT
$ [- 3, -2 )$ $[-3] + 1 = -2$ $(-3, -2)$ $(-2, -2)$
$[-2, -1)$ $[-2] + 1 = -1$ $(-2, -1)$ $(-1, -1)$
$[-1, 0)$ $ [-1] + 1 = 0$ $(-1, 0)$ $(0, 0)$
$[0, 1)$ $[0] + 1 = 1$ $(0, 1)$ $(1, 1)$
$[1, 2)$ $[1] + 1 = 2$ $(1, 2)$ $(2, 2)$
$[2, 3)$ $[2] + 1= 3$ $(2, 2)$ $(3, 3)$
$[3, 4)$ $[3] + 1 = 4$ $(3, 4)$ $(4, 4)$

й e упорядоченные пары, заполненные и незаполненные. В таблице выше приведены значения $f(x)$ для интервалов от $-3$ до $3$.

Пример 5

Используйте таблицу значений из примера 4 для построения графика $ f(x) = [x] + 1$.

Решение

Используя таблицу значений, сначала нанесите на график закрашенные и незакрашенные точки. Соедините каждую пару точек вертикальной линией, чтобы покрыть все остальные значения между двумя целыми числами.

На приведенном выше графике показана ступенчатая функция $f(x) = [x]+ 1$.Обратите внимание, что его функция на самом деле представляет собой просто график $y = [x]$, но сдвинутый на одну единицу вверх.

Пример 5

График $g(x) = \left[\dfrac{x}{2}\right] + \dfrac{1}{2}$ любым методом. Сравните графики с графиком $y = [x]$.

Решение

Хотя мы можем построить график $g(x)$, построив таблицы, давайте попробуем сравнить функцию с $y = [x]$, чтобы увидеть выполненные преобразования.

Так как $\dfrac{1}{2}$ является коэффициентом при $x$ в $[x]$, мы видим, что график будет растянут по вертикали в $2$.

Растянув график $y = [x]$, переместите график $\dfrac{1}{2}$ на единицу вверх. Оранжевый график показывает график $y = \left[\dfrac{x}{2}\right] + \dfrac{1}{2}$.

Вы также можете попробовать построить график ступенчатой ​​функции, составив таблицу значений.

 


Колледж Алгебра
Урок 32: Графики функций, часть II:
Домен/диапазон, тест вертикальной линии, возрастающие/убывающие/постоянные функции, четные/нечетные функции и функция наибольшего целого числа


 

Цели обучения


После завершения этого руководства вы сможете:
  1. Определить область определения и область значений функции по заданному график.
  2. Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, является ли график график функция или не.
  3. Определите интервалы, на которых функция увеличение, уменьшение или постоянным, глядя на график.
  4. Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной, глядя на график.
  5. Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них. задано уравнение.
  6. Применить функцию наибольшего целого числа к любой заданной количество.

Введение



В этом уроке мы подробно рассмотрим несколько различные аспекты графиков функций. Сначала мы рассмотрим поиск домена и диапазон функции, заданной графиком. Далее я покажу вам, как вертикальная линия может помочь нам определить, является ли график графиком функции или не. Затем мы рассмотрим, что означает, что функция может быть увеличение, убывающая или постоянная. Затем будет показано, как чтобы сказать, является ли функция четной, нечетной или ни одной из данных графика функцию или просто ее назначение. Мы закончим урок взглянув на наибольшую целочисленную функцию. Если вам нужен обзор определения функции, смело переходите к Tutorial 30: Введение в функции.   Похоже, у нас есть работай вырезать для нас в этом уроке.Думаю, тебе лучше заняться этим.

 

 

Учебник



Начнем с рассмотрения некоторых терминов, связанных с функции и как они относятся к графикам функций.





Напомним, что домен — это множество всех входных значений к которому применяется правило. Они называются вашими независимыми переменными. Это значения, которые соответствуют первым компонентам заказал пары, с которыми он связан. Если вам нужен обзор домена, смело переходите к учебнику 30: Введение в функции.

На графике домен соответствует горизонтали ось. С это так, нам нужно посмотреть налево и направо, чтобы увидеть, есть ли любые конечные точки, которые помогут нам найти наш домен.Если график продолжает двигаться дальше и дальше вправо, то домен бесконечность справа от интервал. Если график продолжает двигаться влево, то область равна отрицательной бесконечности в левой части интервал. Если вам нужен обзор по поиску домена по графу, не стесняйтесь перейти к Урок 31. Графики Функции, Часть I.





Напомним, что диапазон — это набор всех выходных значения. Эти называются вашими зависимыми переменными. Это ценности, которые вести переписку со вторыми компонентами упорядоченных пар связано с участием. Если вам нужен обзор линейки, смело переходите к учебнику . 30: Введение в функции.

На графике диапазон соответствует вертикали ось. С в этом случае нам нужно посмотреть вверх и вниз, чтобы увидеть, есть ли какие-либо конец точки, чтобы помочь нам найти наш диапазон.Если график продолжает расти без конечная точка тогда диапазон равен бесконечности на правой стороне интервала. Если график продолжает идти вниз, затем диапазон переходит в отрицательную бесконечность левая часть интервала. Если вам нужен отзыв о поиске в домен с графом, смело переходите к учебнику 31: Графики функций, часть I





Независимо от того, какой у вас график, вспомните что x -перехват где график пересекает ось x .

Слово «перехват» похоже на слово ‘пересекаться’. Думать из него как , где график пересекает ось x .

Если вам нужно больше информации о перехватах, не стесняйтесь идти до Учебник 26: Уравнения линий.




Независимо от того, какой у вас график, вспомните что y -перехват где график пересекает ось y .

Слово «перехват» похоже на слово ‘пересекаться’. Думать из него как , где график пересекает y — ось .

Если вам нужно больше информации о перехватах, не стесняйтесь идти до Учебник 26: Уравнения линий.





Напомним, что функциональное значение коррелирует с второе или y значение заказанной пары.

Если вам нужен обзор функциональных значений, не стесняйтесь перейти к учебнику 30: Введение в функции .



Пример 1 : Используйте график, чтобы определить а) домен, б) спектр, c) x -перехваты, если они есть d) y -перехваты, если таковые имеются, и e) указанное функциональное значение.



а) Домен
Нам нужно найти множество всех входных значений. В плане заказанного пар, что коррелирует с первым компонентом каждой из них. В термины этого двухмерного графика, что соответствует значениям x (Горизонтальная ось).

Так как это так, нам нужно посмотреть налево и правильно и посмотреть если есть конечные точки. В
В этом случае обратите внимание на левую конечную точку 90 210 x 90 211 = -5, а затем график продолжается бесконечно вправо от -5.

Это означает, что домен .


б) Диапазон
Нам нужно найти множество всех выходных значений.В плане заказанного пар, что коррелирует со вторым компонентом каждой из них. С точки зрения этого двухмерного графика, который соответствует значениям и (вертикальная ось).

Так как это так, нам нужно смотреть вверх и вниз и посмотреть, есть ли являются любыми конечными точками. В этом случае обратите внимание, как график имеет низкий конечная точка y = 0 и стрелка вверх от это.

Это означает, что диапазон  .


в) х -пересечение
Если х -пересечение где график пересекает ось x , какие как вы думаете, x -intercept для этого функция?

Если вы сказали х = 3 ты прав.

Заказанная пара для этого x -перехват будет (3, 0).


г) у -перехват
Если точка пересечения и находится там, где график кресты y -ось, как вы думаете, y -перехват для этой функции?

Если вы сказали y = 3, вы правильный.

Заказанная пара для этого y -перехват будет (0, 3).


д) Функциональный указанное значение
Если функциональное значение коррелирует со вторым или y значением упорядоченной пары, что такое f (2)?

Если вы сказали f (2) = 3, тогда дайте себе похлопывание по спине.Функциональное значение при 90 210 x 90 211 = 2 равно 3 

.

Для этого заказанная пара будет (2, 3).




Пример 2 : Используйте график, чтобы определить а) домен, б) спектр, c) x -перехваты, если они есть d) y -перехваты, если таковые имеются, и e) указанное функциональное значение.



а) Домен
Нам нужно найти множество всех входных значений. В плане заказанного пар, что коррелирует с первым компонентом каждой из них. В термины этого двухмерного графика, что соответствует значениям x (Горизонтальная ось).

Так как это так, нам нужно посмотреть налево и правильно и посмотреть если есть конечные точки. В
этом случае обратите внимание на стрелки на обоих концах графика и нет конечных точек. Это означает, что график продолжается и продолжается вечно. в оба направления.

Это означает, что домен .


б) Диапазон
Нам нужно найти множество всех выходных значений. В плане заказанного пар, что коррелирует со вторым компонентом каждой из них. С точки зрения этого двухмерного графика, который соответствует значениям и (вертикальная ось).

Так как это так, нам нужно смотреть вверх и вниз и посмотреть, есть ли являются любыми конечными точками. В этом случае обратите внимание, как график имеет низкий конечная точка y = 2 и имеет стрелки, идущие вверх от это.

Это означает, что диапазон  .


в) х -пересечение
Если х -пересечение где график пересекает ось x , какие как вы думаете, x -intercept для этого функция?

Если вы сказали, что их нет, вы правильно.

Поскольку график никогда не пересекает ось x , то нет х -перехват.


г) у -перехват
Если точка пересечения и находится там, где график кресты y -ось, как вы думаете, y -перехват для этой функции?

Если вы сказали y = 3, вы правильный.

Заказанная пара для этого y -перехват будет (0, 3).


д) Функциональный указанное значение
Если функциональное значение коррелирует со вторым или y значением упорядоченной пары, что такое f (-3)?

Если вы сказали f (-3) = 2 , тогда дайте себе похлопывание по спине. Функциональное значение при 90 210 x 90 211 = -3 равно 2, 

.

Заказанная пара для этого будет (-3, 2).




Пример 3 : Используйте график, чтобы определить а) домен, б) спектр, c) x -перехваты, если они есть d) y -перехваты, если таковые имеются, и e) указанное функциональное значение.



а) Домен
Нам нужно найти множество всех входных значений. В плане заказанного пар, что коррелирует с первым компонентом каждой из них. В термины этого двухмерного графика, что соответствует значениям x (Горизонтальная ось).

Так как это так, нам нужно посмотреть налево и правильно и посмотреть если есть конечные точки. В
этом случае обратите внимание на стрелки на обоих концах графика и нет конечных точек. Это означает, что график продолжается и продолжается вечно. в оба направления.

Это означает, что домен .


б) Диапазон
Нам нужно найти множество всех выходных значений.В плане заказанного пар, что коррелирует со вторым компонентом каждой из них. С точки зрения этого двухмерного графика, который соответствует значениям и (вертикальная ось).

Так как это так, нам нужно смотреть вверх и вниз и посмотреть, есть ли являются любыми конечными точками. В
этом случае обратите внимание на стрелки на обоих концах графика и нет конечных точек. Это означает, что график продолжается и продолжается вечно. в оба направления.

Это означает, что диапазон .


в) х -пересечение
Если х -пересечение где график пересекает ось x , какие как вы думаете, x -intercept для этого функция?

Если вы сказали x = 1 ты прав.

Заказанная пара для этого x -перехват будет (1, 0).


г) у -перехват
Если точка пересечения и находится там, где график кресты y -ось, как вы думаете, y -перехват для этой функции?

Если вы сказали y = 1, вы правильный.

Заказанная пара для этого y -перехват будет (0, 1).


д) Функциональный указанное значение
Если функциональное значение коррелирует со вторым или y значением упорядоченной пары, что такое f (2)?

Если вы сказали f (2) = -1, тогда дайте себе похлопывание по спине.Функциональное значение при x = 2 равно -1.

Для этого заказанная пара будет (2, -1).





Если нельзя провести вертикальную линию так, чтобы она больше пересекает график более одного раза, то это график функции.

Задумайтесь, если вертикальная линия пересекает график в больше, чем один место, то значение x (входное) будет ассоциированный с более чем одним значением y (выход) и ты знаю, что это значит.Отношение не является функцией.

Следующие два примера иллюстрируют эту концепцию.



Пример 4 : Используйте тест вертикальной линии для определения графиков , в которых y является функцией x .


Этот график прошел бы тест вертикальной линии, потому что не было бы любое место на нем, где мы могли бы провести вертикальную линию, и это было бы пересекаются это более чем в одном месте.

Следовательно, это график функции.




Пример 5 : Используйте тест вертикальной линии для определения графиков , в которых y является функцией x .


Этот график не прошел бы тест вертикальной линии потому что есть в хотя бы одно место на нем, где мы могли бы провести вертикальную линию и пересечь это более чем в одном месте.На самом деле существует множество вертикальных линии что мы можем рисовать, которые пересекали бы его более чем в одном месте, но мы нужно только показать один, чтобы сказать, что это не функция.

На приведенном ниже графике показана одна вертикальная линия, проведенная через наш график, который пересекает его в двух местах: (4, 2) и (4, 6). Это показывает, что в входное значение 4 связано с двумя выходными значениями, что не приемлемо в мире функций.

Следовательно, это не график функции.



Увеличение

Функция увеличивается на интервал, если для любого  и  в интервал, где тогда .


Другими словами, функция возрастает в интервал, если он поднимаясь слева направо на всем интервале.

Ниже приведен пример возрастающей функции на интервале . Обратите внимание, как он поднимается слева направо в интервале .




Уменьшение

Функция убывает на интервал, если для любого  и  в интервал, куда , тогда .


Другими словами, функция убывает в интервал, если он спускаясь слева направо на всем интервале.

Ниже приведен пример убывающей функции на интервале . Обратите внимание, как он идет вниз слева направо в интервале .




Константа 

Функция постоянна на интервале если для любого  и  в интервал, куда , тогда .


Другими словами, функция постоянна в интервал, если он горизонтальный во всем интервале.

Ниже приведен пример, когда функция постоянна в интервал . Обратите внимание, что это горизонтальная линия в интервале .




Пример 6 : Используйте график, чтобы определить интервалы, на которых функция а) возрастает, если есть; б) убывает, если есть; в) постоянна, если Любые.

а) Увеличение
Функция возрастает в интервале, когда она идет вверх влево к именно в этом промежутке? Имея это в виду, какой интервал, если он есть, эта функция возрастает?

Если вы сказали , ты прав.

Обратите внимание, как функция поднимается слева направо, начиная с x = 3 и везде справа от этого.

Ниже показана возрастающая часть графика:


б) По убыванию
Функция убывает в интервале, когда она идет вниз влево вправо в этом интервале? С учетом этого, какой интервал, если Любые, эта функция убывает?

Если вы сказали (2, 3), вы правы.

Обратите внимание, как функция идет вниз слева направо от x = 2 до x = 3. 

Ниже показана убывающая часть графика:


c) Константа
Функция постоянна на отрезке, если она горизонтальна на всем интервал.Имея это в виду, какой интервал, если он есть, это функция постоянный?

Если вы сказали (-5, 2), похлопайте себя по спине.

Обратите внимание, что функция горизонтальна, начиная с x = -5 и вплоть до x = 2.

Ниже показана часть графика, которая является постоянной:




Пример 7 : Используйте график, чтобы определить интервалы, на которых функция а) возрастает, если есть; б) убывает, если есть; в) постоянна, если Любые.

а) Увеличение
Функция возрастает в интервале, когда она идет вверх влево к именно в этом промежутке? Имея это в виду, какой интервал, если он есть, эта функция возрастает?

Если вы сказали , ты прав.

Обратите внимание, как функция поднимается слева направо, начиная с x = -3 и везде справа от этого.

Ниже показана возрастающая часть графика:


б) По убыванию
Функция убывает в интервале, когда она идет вниз влево вправо в этом интервале? С учетом этого, какой интервал, если Любые, эта функция убывает?

Если вы сказали , вы правы.

Обратите внимание, как функция идет вниз слева направо от отрицательная бесконечность до х = -3.

Ниже показана убывающая часть графика:


c) Константа
Функция постоянна на отрезке, если она горизонтальна на всем интервал.Имея это в виду, какой интервал, если он есть, это функция постоянный?

Если вы сказали, что это никогда не бывает постоянным, похлопайте себя по назад.

Обратите внимание, что функция никогда не является горизонтальной линией.




Пример 8 : Используйте график, чтобы определить интервалы, на которых функция а) возрастает, если есть; б) убывает, если есть; в) постоянна, если Любые.

а) Увеличение
Функция возрастает в интервале, когда она идет вверх влево к именно в этом промежутке? Имея это в виду, какой интервал, если он есть, эта функция возрастает?

Если вы сказали, что оно никогда не увеличивается, вы правы.

Обратите внимание, что функция никогда не поднимается слева направо.



б) По убыванию
Функция убывает в интервале, когда она идет вниз влево вправо в этом интервале? С учетом этого, какой интервал, если Любые, эта функция убывает?

Если вы сказали , вы правы.

Обратите внимание, как функция идет вниз слева направо от отрицательная бесконечность до бесконечности.

Ниже показана убывающая часть графика:



c) Константа
Функция постоянна на отрезке, если она горизонтальна на всем интервал. Имея это в виду, какой интервал, если он есть, это функция постоянный?

Если вы сказали, что это никогда не бывает постоянным, похлопайте себя по назад.

Обратите внимание, что функция никогда не является горизонтальной линией.




Четная функция

Функция даже если для всех x в домене f
.


Другими словами, функция даже при замене x на — x НЕ изменяет оригинал функция.

С точки зрения графика, четная функция симметричный относительно к оси и . Другими словами, график создает зеркальное изображение по оси y .

График ниже представляет собой график четной функции . Обратите внимание, как он симметричен относительно оси y .




Нечетная функция

Функция является нечетной, если для всех x в домене f
.


Другими словами, функция является нечетной, если замена x на — x приводит к изменению каждого знака каждый член исходной функции.

С точки зрения графика нечетная функция симметричный относительно к происхождению. Другими словами, график создает зеркальное отображение по происхождению.

График ниже представляет собой график нечетной функции . Обратите внимание, как он симметричен относительно начала координат.




Пример 9 : Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.

Чтобы определить, является ли эта функция четной, нечетной или нет, нам нужно заменить x на — x и сравнить f ( x ) с f (- x ):


Четный?
Функция даже если для всех x в домене f . Имея это в виду, эта функция даже?

Если вы сказали нет, вы правильный. Обратите внимание, как их вторые члены имеют противоположные знаки, поэтому .


Странно?
Функция является нечетной, если для всех x в области f . Имея это в виду, является ли эта функция странной?

Если вы сказали нет, вы правильно.
Глядя на , мы видим, что знаки первого и третьего слагаемых f (- x ) и — ф ( х ) не совпадают, так что .


Поскольку мы сказали нет и для четного, и для нечетного, остается с нашим ответом быть ни тем, ни другим.

Окончательный ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.




Пример 10 : определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной.

Чтобы определить, является ли эта функция четной, нечетной или нет, нам нужно заменить x на — x и сравнить g ( x ) с г (- х ):


Четный?
Функция даже если для всех x в области г . Имея это в виду, эта функция даже?

Если вы сказали да, вы правильный. Обратите внимание, как все слагаемые г ( x ) и г (- х ) соответствовать вверх, так .

Окончательный ответ: Функция четное.




Пример 11 : определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной.

Чтобы определить, является ли эта функция четной, нечетной или нет, нам нужно заменить x на — x и сравнить f ( x ) с f (- x ):


Четный?
Функция даже если для всех x в домене f . Имея это в виду, эта функция даже?

Если вы сказали нет, вы правильный. Обратите внимание, как оба их термина имеют противоположные знаки, поэтому .


Странно?
Функция является нечетной, если для всех x в области f . Имея это в виду, является ли эта функция странной?

Если вы сказали да, вы правильно.
Глядя на , обратите внимание, как все члены f (- x ) и — ф ( х ) совпадают, так что .

Окончательный ответ: Функция странный.




Функция наибольшего целого числа

целое( x )

Наибольшее целое число, меньшее или равно х .


Например, int(5) = 5, int(5.3) = 5, int(5.9) = 5, потому что 5 — наибольшее целое число, меньшее или равное 5, 5,3 и 5.9.

Базовый график функции f ( x ) = интервал ( х ) составляет:

Обратите внимание, как это выглядит как ступеньки.




Пример 12 : если f ( x ) = int( x ), найти функциональное значение f (7,92).

Нам нужно спросить себя, какое наибольшее целое число это меньше больше или равно 7,92?

Если вы сказали 7, вы правы.

Окончательный ответ: 7




Пример 13 : если f ( x ) = int( x ), найти функциональное значение f (-3,25).

Нам нужно спросить себя, какое наибольшее целое число это меньше больше или равно -3.25?

Если вы сказали -4, вы правы.

Будьте осторожны с этим. Мы работаем с отрицательное число. -3 не является правильным ответом, потому что -3 не меньше или равно -3,25, это больше, чем -3,25.

Окончательный ответ: -4


Практические задачи



Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как и все в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

Чтобы получить максимальную отдачу от этих, вы должны решить проблему на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

 

Практика Задачи 1a — 1b: Используйте график, чтобы определить а) домен, б) диапазон, c) точки пересечения по оси x, если есть, d) точки пересечения с осью y, если есть, и e) указанное функциональное значение.

 


 

Практика Задачи 2a–2b:   Используйте тест вертикальной линии, чтобы идентифицировать графики в котором y является функцией x .  

 


 

Практика Задачи 3a–3b:   Используйте график для определения интервалов на котором функция а) возрастает, если есть; б) убывает, если есть; в) постоянна, если Любые.

 




 

Практика Задачи 4a–4b:   Используйте график, чтобы определить, функция равномерная, странно, или ни то, ни другое.

 


 

Практика Задачи 5a — 5c:   Определить, является ли заданная функция четное, нечетное или ни то, ни другое.

 


 

Практика Задача 6a:   Если f ( x ) = int( x ), найти данный функциональное значение.

 

 

 

Нужна дополнительная помощь по этим темам?






Последняя редакция Ким Сьюард от 18 июня 2010 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002–2010, WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.

Функции пола и потолка

Функции пола и потолка дают нам ближайшего целого числа вверх или вниз.

Пример: Каковы пол и потолок 2.31?

Пол 2.31 — 2
Потолок 2.31 — 3

Пол и потолок целых чисел

Что делать, если нам нужен нижний или верхний предел числа, которое уже является целым числом?

Все просто: без изменений!

Пример: Каковы пол и потолок 5?

Этаж 5 — 5
Потолок 5 — 5

Вот несколько значений для примера:

х Этаж Потолок
−1. 1 −2 −1
0 0 0
1.01 1 2
2,9 2 3
3 3 3

Символы

Символы для пола и потолка похожи на квадратные скобки [ ] с отсутствующей верхней или нижней частью:

Но я предпочитаю использовать словоформу: этаж (x) и потолок (x)

Определения

Как дать этому формальное определение?

Пример: Как мы определяем пол 2.31?

Ну, это должно быть целое число…

. .. и это должно быть меньше (или может быть равно) 2,31, верно?

  • 2 меньше 2,31 …
  • , но 1 тоже меньше 2,31,
  • и так 0 , и -1, -2, -3 и т.д.

О нет! Есть много целых чисел меньше 2,31.

 

Итак, какой из них мы выбираем?

Выберите наибольший (в данном случае это 2 )

Получаем:

Наибольшее целое число из числа , которое на меньше (или равно) 2.31 это 2

Что приводит к нашему определению:

Этаж Функция: наибольшее целое число, меньшее или равное x

Аналогично для потолка:

Потолочная функция: наименьшее целое число, большее или равное x

В виде графика

Функция пола — это любопытная «ступенчатая» функция (как бесконечная лестница):

Функция этажа

Сплошная точка означает «включая», а открытая точка означает «не включая».

Пример: при

x=2 мы встречаем:
  • и открытая точка при y=1 (поэтому она не включает x=2),
  • и сплошная точка при y=2 (что включает в себя x=2)

поэтому ответ y=2

А это функция потолка:

Функция потолка

Функция «Int»

Функция «Int» (сокращение от «integer») аналогична функции «Floor», НО некоторые калькуляторы и компьютерные программы показывают разные результаты при задании отрицательных чисел:

  • Некоторые говорят, что int(−3.65) = −4 (то же, что и функция Floor)
  • Другие говорят, что int(−3,65) = −3 (соседнее целое число , ближайшее к нулю, или «просто выбрось 0,65»)

Будьте осторожны с этой функцией!

Функция «ГРП»

С функцией Floor мы «отбрасываем» дробную часть. Эта часть называется функцией «фракция» или «дробная часть»:

фракция (х) = х — пол (х)

Похоже на пилообразный:

Функция ГРП

Пример: что такое frac(3.

65)?

гидроразрыв(х) = х — пол(х)

Итак: frac(3,65) = 3,65 − пол(3,65) = 3,65 − 3 = 0,65

Пример: что такое frac(−3,65)?

гидроразрыв(х) = х — пол(х)

Итак: frac(-3,65) = (-3,65) — пол(-3,65) = (-3,65) — (-4) = -3,65 + 4 = 0,35

 

НО многие калькуляторы и компьютерные программы используют frac(x) = x − int(x) , поэтому их результат зависит от того, как они вычисляют int(x) :

  • Некоторые говорят, что frac(−3.65) = 0,35 т.е. -3,65 — (-4)
  • Другие говорят, что frac(−3,65) = −0,65 , то есть −3,65 − (−3)

Будьте осторожны, используя эту функцию с отрицательными значениями.

 

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск