График квадратичной функции с модулем как строить: График квадратичной функции с модулем

Содержание

График функции с модулем | Алгебра

Построить график функции с модулем — один из видов задания 23 ОГЭ по математике.

Рассмотрим примеры таких заданий.

1) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1)Ищем значение, при котором выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль:

x-2=0,  x=2.

Найдём значение функции при x=2.

y(2)=5·0-2²+5∙2-3∙0-6=0.

Получили точку (2;0).

2) Ищем промежутки, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает положительные значения.

Если x-2>0, то есть при x>2, |х-2|=x-2,

y=5|х-2|-x²+5x-6=5(х-2)-x²+5x-6=5х-10-x²+5x-6=-x²+10x-16.

y=-x²+10x-16 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз (так как a=-1<0).

Координаты вершины параболы

   

   

то есть вершина параболы — точка (5;9).

От вершины строим график функции y=-x² (так как a=-1).

3)Ищем промежутки, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает отрицательные значения.

Если x-2<0, то есть при x<2, |х-2|=-(x-2),

y=5|х-2|-x²+5x-6=-5(х-2)-x²+5x-6=-5х+10-x²+5x-6=-x²+4.

y=-x²+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз.

Координаты вершины параболы

   

   

то есть вершина параболы — точка (0;4). От вершины строим график функции y=-x².

Прямая x=2 разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Слева от неё, для x<2,  строим параболу y=-x²+4, справа, для x>2 — параболу y=-x²+10x-16:

График функции с модулем можно рассматривать и как график кусочной функции:

   

   

   

Прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки при m=0 и m=4:

Ответ: 0; 4.

2) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Ищем значение, при котором выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль:

   

   

   

|6x+1|=6x+1 и y=x²-(6x+1)=x²-6x-1.

y=x²-6x-1 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (поскольку a=1>0).

Координаты вершины параболы

   

   

Так как a=1, от вершины (3;-10) строим график y=x².

   

|6x+1|=-(6x+1) и y=x²+(6x+1)=x²+6x+1.

y=x²+6x+1 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх.

Координаты вершины параболы

   

   

от вершины (-3;-8)  строим график y=x².

Или:

   

   

 

Прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки при m=1/30 и m=-8:

Ответ: -8; 1/36.

3) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Если x=0, y=|0|·0+3·|0|-5·0=0.

2) Если x>0, |x|=x, y=x·x+3·x-5·x=x²-2x.

y=x²-2x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (a=1>0).

Координаты вершины параболы

   

   

От вершины (1;-1) строим параболу y=x² (так как a=1).

3) Если x<0, |x|=-x, y=-x·x+3·(-x)-5·x=-x²-8x.

y=-x²-8x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз (a=-1<0).

Координаты вершины параболы

   

   

От вершины (-4;16) строим параболу y=-x² (так как a=-1).

Таким образом, график данной функции представляет собой комбинацию двух парабол: справа от прямой x=0 (оси Oy) — y=x²-2x, слева — y=-x²-8x:

Альтернативный вариант:

   

   

   

Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершины парабол, то есть при m=-1 и m=16:

Ответ: -1; 16.

4) Построить график функции y=|x²+2x-3|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

Построим график функции y=x²+2x-3.

Эта функция — квадратичная. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.

Координаты вершины параболы

   

   

, то есть вершина параболы — точка (-1;-4).

От вершины строим график функции y=x²:

График функции y=|x²+2x-3| может быть получен из графика функции y=x²+2x-3 следующим образом: часть графика, расположенную выше оси Ox, сохраняем. Часть, расположенную ниже оси Ox, отображаем симметрично относительно оси Ox.

Или y=|x²+2x-3|

   

   

Вершина параболы (-1;-4) при этом переходит в точку (-1;4):

Наибольшее число общих точек, которое график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4 (например, прямая y=3 пересекает график в четырёх точках).

Ответ: 4.

Построение графиков квадратичной функции содержащей модуль Актуализация

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

Актуализация опорных знаний n n n 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Определение квадратичной функции Алгоритм построения квадратичной функции Как, зная график функции y=f(x) построить графики следующих функций: y=f(-x) y=-f(x) y=f(x+m) y=f(x)+n y=f(x+m)+n y=kf(x) y=|f(x)| y=f(|x|)

Устно Дан график функции y = x 2 – 4 x + 3. Составьте формулу функции, график которой: 1) симметричен данному относительно оси: а) x; б) y; 2) получается из данного параллельным переносом на 3) получается из данного растяжением в 2 раза от оси а) x; б) y 4) получается из данного сжатием в 2 раза к оси а) x; б) y n 1 а) y = –x 2 + 4 x – 3; 1 б) y = x 2 + 4 x + 3 n 2 y = x 2 – 6 x + 6; n n n 3 а) y = 0, 25 x 2 – 2 x + 3; 3 б) y = 2 x 2 – 8 x + 6; 4 а) y = 4 x 2 – 8 x + 3 4 б) y = 0, 5 x 2 – 2 x + 1, 5;

Найдите соответствия:

Построить график функции y=|-2 x 2 +8 x -6| 1. Построим график функции y= -2 x 2 +8 x -6 Ветви параболы направлены вниз Вершина в точке: Ось симметрии: х=2 Нули функции Х 1 =1, Х 2 =3 х 0 1 2 3 4 у -6 -0 2 0 -6 2. отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс.

Применение преобразований при построении графика функции Y 2 Построим график функции y =| — 2 x +6 x -2 | 1. Сначала построим график функции y = — 2 x 2+8 x -6 Преобразуем трехчлен: 6 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2. отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс. 1 x

Аналитическое построение Построить график функции y=|x|x По определению модуля: y = x 2 , x>0 — x 2 , x0 x

Построим график функции y=|x 2 -5 x|+x-3 с помощью узловых точек x 2 -5 x=0, x(x-5)=0, x=0 илиx=5 | || x=0 или x=5 разбивают числовую прямую на три промежутка 0 I. x=-1; (-1)2 -5(-1)>0 y=x 2 -5 x+x-3 =x 2 -4 x-3 Строим параболу и выделяем ту часть, которая находится на промежутке II.

x=1; 12 -5*10 y=x 2 -4 x-3 Эту параболу уже строили, поэтому выделим ту часть, которая находится на промежутке Выделенные части являются графиком функции ||| 5 x

Постройте графики функций: Вариант 1 а) y=|x 2 -4| б) y=|2 x-x 2 | Вариант 2 а)y=|x 2 -1| б) y=|x 2 +2 x-1| Вариант 3 Вариант 4 а) y=|(x-3)2 -1| б) а) y=|-(x+2)2 +3| y=x 2 -|x-1| б) y=|2+4|x|-x 2|

Проверь себя ! Вариант 1 Вариант 2 а) y=|x 2 -4| а) y=|x 2 -1| б) y=|x 2 +2 x-1| б) y=|2 x-x 2 | Вариант3 Вариант 4 а) y=|(x-3)2 -1| а) y=|-(x+2)2 +3| б) y=x 2 -|x-1| б) y=|2+4|x|-x 2|

Основные преобразования графиков: Ø Ø параллельные переносы; симметрии относительно осей координат; растяжения (сжатия) от (к) осей (осям) координат; преобразования, связанные с модулями.

n n № 1136 а, б Сборник заданий М. Н. Кочагина стр. 138 № 29, № 30 Учебник Ю. Н. Макарычев, алгебра 9

Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с.

1. Определить направление ветвей параболы. 2. Найти координаты вершины параболы (т; п). 3. Провести ось симметрии. 4. Определить точки пересечения графика функции с осью Ох, т. е. найти нули функции. 5. Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы.

Перенос вдоль оси ординат n График функции y= f (x) + b при b >0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y= f (x) на b единиц вверх. y= x 2 +2 Y 2 1 y=x 2 0 1 n График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вниз x Y 1 0 1 -2 y=x 2 x y= x 2 -2

Перенос вдоль оси ординат График функции y= f(x)+b при b >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2. перенести ось абсцисс на b единиц вверх Y n 2 На b вверх 0 0 1 x Y График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить так: 1. построить график функции y=f(x) 2 перенести ось абсцисс на единиц вниз n 1 Вниз 0 На b -2 0 x 1 x

Перенос вдоль оси абсцисс n График функции y= f (x + c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y= f (x) на |c| единиц влево при c >0. Y y=x 2 1 -2 0 1 x y=(x+2)2 n График функции y=f(x+c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y=f(x) на |c| единиц вправо при c

Перенос вдоль оси абсцисс График функции y= f (x + c) при c >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2. перенести ось ординат на |с| единиц вправо n y 1 0 y График функции y=f(x+c) при c

Сжатие ( растяжение ) графика вдоль оси ординат n График функции y= b f (x) при b>1 можно получить растяжением графика функции y= f (x) вдоль оси ординат y=2 x 2 Y 1 y=x 2 0 1 n График функции y=bf(x) при 0

Симметрия относительно оси абсцисс Чтобы построить график фунуции y= -f(x): 1. Строим график функции y=f(x) 2. Отражаем его симметрично относительно оси абсцисс. y=x 2 0 1 x y=-x 2

график функции y = f(|x|), y = |f(x)| n n график функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные абсциссы – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные абсциссы заменяются на точки, полученные из неподвижных отражением относительно оси y. график функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные ординаты – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные ординаты, отражаются относительно оси x.

Функция, содержащая операцию « взятие модуля» y Чтобы построить график функции y= |f( x) |: 1. Строим график функции y= f(x), 2. Часть графика, расположенную в верхней полуплоскости сохраняем. 3. Часть графика, расположенную в нижней полуплоскости. отображаем симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. 0 x

Решение задачи

Решение неравенства графическим способом

Линейная функция

Неравенства : график в помощь

Решение систем

Построить модуль графики функций онлайн с решением.

Квадратичная и кубическая функции

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.


На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.


Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

  1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
  2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.


В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

  1. Выберите необходимый способ задания графика.
  2. Введите уравнение.
  3. Задайте интервал.
  4. Нажмите кнопку «Построить» .


Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

  1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
  2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
  3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
  4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.


Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

  1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
  2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
  3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
  4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 наименьшее значение функция у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:


Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. 2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

Графики функций и поверхностей в Python Питон Matplotlib

Построение графиков с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.

В этом уроке мы разберём, как строить графики функций с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.
Matplotlib это библиотека для Python, предназначенная для визуализации данных. В данном уроке мы разберём построение графиков функций в Питон на плоскости и построение поверхности в трёхмерном пространстве. Зачастую, именно Matplotlib используется в научных исследованиях и конференциях для демонстрации полученных данных.
Для построения графиков нужно импортировать модуль Pyplot. Pyplot это модуль для работы с графиками в Питоне. Pyplot это набор команд, созданных для построения графиков функций и уравнений. Для удобного построения графиков так же нужно использовать библиотеку NumPy.
Matplotlib, как и NumPy, встроен в среду разработки Spyder, поэтому их можно импортировать без предварительной установки.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
as np и as plt означает, что когда мы будем вызывать функции и процедуры из модулей, вместо названия модулей мы будем использовать np и plt.
Для построения графика функции в Python нужно задать саму функцию. Её можно задать с помощью лямбда-функции. Лямбда-функция — это краткий способ записи обычной функции в одну строчку. В этом уроке мы рассмотрим построение синусоиды на Питоне. Синусоида задаётся функцией f(x) = sin(x).
y = lambda x: np.sin(x)
y это обозначение функции (для её вызова мы будем использовать y(x)), lambda это ключевое слово, обозначающее начало задания лямбда-функции, x это аргумент, использующийся в функции, после двоеточия задаётся функция. Так как в стандартном Python нет функции, возвращающей синус x, мы его задаём с помощью NumPy, его мы импортировали под именем np.
Все действия в Pyplot производятся на рисунках. Для построения графика функции в Python нужно сначала задать сетку координат. Сетка координат в python задается с помощью команды  plt.subplots().
fig = plt.subplots()
Мы должны определить область значений, на которой мы будем строить график функции в Питоне. Это делается с помощью linspace.
x = np.linspace(-3, 3, 100)
linspace создаёт массив с нижней границей -3 и верхней границей 3, в созданном массиве будет 100 элементов. Чем больше будет последнее число, тем больше значений функции будет рассчитываться, тем точнее будет отображаться график в Python.
После того, как мы создали систему координат, область построения, мы можем построить график в Питон. Для построения графика фуекции в Python нужно использовать команду plt.plot(x, y(x)), где x это аргумент, y(x) это функция от x, заданная с помощью лямбда-выражения.
plt.plot(x, y(x))
После того, как мы построили  график в Python, нужно показать его на рисунке. Для этого используется plt.show().
Полный код программы на python для рисования графика функции
# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# функция
y = lambda x: np.sin(x)
# создаём рисунок с координатную плоскость
fig = plt.subplots()
# создаём область, в которой будет
# — отображаться график
x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены
# количество элементов в созданном массиве
# — качество прорисовки графика 
# рисуем график
plt.plot(x, y(x))
# показываем график
plt. show()

Получим график синусоиды в python в отдельном окне

 

Отображение нескольких графиков на одном рисунке в Python

В одной области в python можно отобразить графики нескольких функций. Добавим aeyrwb. y=x  и нарисуем ее совместно с синусоидой.
Для этого введем еще одну функцию с помощью lambda
y1=lambda x: x
Построим график этой функции
plt.plot(x,y1(x))
В итоге программа в Python для построения графиков двух функций в одном окне

# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# функция
y = lambda x: np.sin(x)
y1=lambda x: x
# создаём рисунок с координатную плоскость
fig = plt.subplots()
# создаём область, в которой будет
# — отображаться график
x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены
# количество элементов в созданном массиве
# — качество прорисовки графика 
# рисуем график
plt. 2
от двух аргументов. Аргументы x и y, функция z.
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
Чтобы начать рисовать трехмерные поверхности в Python нужно сначал задать область построения с помощью функции  plt.figure принимает параметр figsize(x, y), где x и y – ширина и высота рисунка в дюймах. Создадим рисунок в Python размером 12×6 дюймов для отображения графиков
fig = plt.figure(figsize = (12, 6))
В построенной области мы создадим рисунок, в котором будут отображено трёхмерное пространство с координатными осями и сама поверхность. В Питоне для этого используется fig.add_subplot(). 
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
Функция в Python fig.add_subplot() разбивает область построения на клетки и задает в какой клетке рисовать трехмерный график. Так команда ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’) разбивает область построения на две клтки и в первую клетку будет отображаться трехмерный гарфик, благодаря аргументу projection = ‘3d’ 
Введём области отображения функции для каждого аргумента в Питон.
xval = np.linspace(-5, 5, 100)
yval = np.linspace(-5, 5, 100)
Нужно создать поверхность, которая будет отображаться на рисунке в Python. Для этого используется
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride = 4, cstride = 4, cmap = cm.plasma)
Где x и y это принимаемые аргументы, z это получаемая функция, rstride и cstride отвечает за шаг прорисовки поверхности в Питон, чем меньше будут эти значения, тем более плавно будет выглядеть градиент на поверхности. С помощью cmap.plasma поверхность будет отображаться с цветовой схемой plasma. Например, существуют цветовые схемы, такие как viridis и magma. Полный список цветовых схем есть на сайте Matplotlib.
Пример программы на Python построение поверхности в трёхмерном пространстве# импортируем модули
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
from matplotlib import cm
import matplotlib. pyplot as plt
# уравнение поверхности
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
# создаём полотно для рисунка
fig = plt.figure(figsize = (10, 10))
# создаём рисунок пространства с поверхностью
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
# размечаем границы осей для аргументов
xval = np.linspace(-4, 4, 100)
yval = np.linspace(-4, 4, 100)
# создаём массив с xval столбцами и yval строками
# — в этом массиве будут храниться значения z
x, y = np.meshgrid(xval, yval)
# приравниваем z к функции от x и y 
z = f(x, y)
# создаём поверхность
surf = ax.plot_surface(
# отмечаем аргументы и уравнение поверхности
x, y, z, 
# шаг прорисовки сетки
# — чем меньше значение, тем плавнее
# — будет градиент на поверхности
rstride = 10,
cstride = 10,
# цветовая схема plasma
cmap = cm. plasma)

Получим график трехмерной поверхности в цветовой гамме в специальном окне

Изменим параметры построения трехмерной поверхности, уменьшим размер сетик, сделаем поверхность более плавной и точной для этого уменьшаем параметры и сменим цветовую гамму на viridis

rstride = 2,
cstride = 2,
cmap = cm.viridis)

Получим график трехмерной поверхности в Python более точный и в другой цветовой гамме

Вернуться к содержанию курса python Следующая тема Классы в Питон

Поделиться:

 

 

Третий модуль: Линейные и квадратичные навыки — Пути математики

Применение линейных и квадратных уравнений в бизнесе

Линейные уравнения используются:

Для расчета разрыва Четная точка для продукта с использованием отношения:

            Общая стоимость = фиксированная стоимость + переменная стоимость

Для анализа или прогнозирования прибыль:

            Прибыль = доход — общая стоимость

Например, Tom’s Tyres которые производят и продают шины, получили следующую информацию о новом шинный продукт, который они хотели бы производить.

Общие фиксированные затраты            $40 000

Цена продажи за единицу              $100

Переменные затраты на единица         $60

Они хотят рассчитать точка безубыточности в единицах для нового продукта. Точка безубыточности (BEP) можно рассчитать по формуле (линейное уравнение):

BEP = постоянные затраты/(продажи Цена за единицу – Переменные затраты за единицу).

Таким образом, в этом примере BEP = 40 000 долл. США/ (10 — 6 долл. США) = 10 000 единиц

Линейные уравнения также могут помощь в ситуациях, когда у вас есть известное количество сырья и вам нужно рассчитать, сколько готового продукта вы можете сделать?

Одновременные уравнения

Одновременные уравнения полезны, когда в задаче есть два или более неизвестных, и вам нужно знать два или более набора информации о проблеме.

Например:

Параллельные уравнения могут быть использованы для исследования взаимосвязи между ценой и вероятными продажами продукт. То есть, насколько рынок чувствителен к цене?

Сравнение двух сценарии с разными ценами, такие как покупка двух копировальных аппаратов, первоначальные затраты плюс текущие расходы могут быть осуществлены с использованием одновременного уравнения.

Сравнение двух или более сценарии инвестирования в развитие бизнеса.Вы тратите больше на маркетинг или в улучшении машин и оборудования? Как добиться наилучшего баланса?

Следующие сайты приведите несколько примеров использования уравнений:

10 способов использования одновременных уравнений в повседневной жизни

квадратные уравнения

квадратные уравнения могут помочь с такими проблемами, как оптимизация. Вы можете создать контейнер который содержит известное количество продукта, но использует наименьшее количество сырья.

Любые расчеты включая скорость, ускорение, траектории или падающие объекты будут включать квадратные уравнения.

Примеры использования квадратные уравнения можно найти в

101 использовании квадратного уравнения сайт уравнения:

101 использование квадратного уравнения: Часть II

Страница не найдена | ZNNHS

Страница не найдена | ЗННХС | Официальный сайт

Этот веб-сайт принимает Руководство по доступности веб-контента (WCAG 2. 0) в качестве стандарта доступности для всех связанных с ним веб-разработок и услуг.WCAG 2.0 также является международным стандартом ISO 40500. Это подтверждает, что он является стабильным техническим стандартом, на который можно ссылаться. WCAG 2.0 содержит 12 руководств, организованных по 4 принципам: Воспринимаемый, Удобный, Понимаемый и Надежный (сокращенно POUR). Для каждого руководства есть проверяемые критерии успеха. Соответствие этим критериям измеряется тремя уровнями: A, AA или AAA. Руководство по пониманию и внедрению Руководства по обеспечению доступности веб-контента версии 2.0 доступно по адресу: https://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/. Специальные возможности Комбинация клавиш быстрого доступа Комбинация клавиш, используемая для каждого браузера.Chrome для Linux нажмите (Alt+Shift+shortcut_key) Chrome для Windows нажмите (Alt+shortcut_key) Для Firefox нажмите (Alt+Shift+shortcut_key) Для Internet Explorer нажмите (Alt+Shift+shortcut_key), затем нажмите (ввод) В Mac OS нажмите (Ctrl+Opt+shortcut_key) Заявление о специальных возможностях (комбинация + 0): страница заявления, на которой будут показаны доступные ключи специальных возможностей. Домашняя страница (комбинация + H): ключ доступа для перенаправления на домашнюю страницу. Основной контент (комбинация + R): ярлык для просмотра раздела контента текущей страницы.Часто задаваемые вопросы (комбинация + Q): Ярлык для страницы часто задаваемых вопросов. Контакт (комбинация + C): ярлык для контактной страницы или формы запросов. Обратная связь (комбинация + K): ярлык для страницы обратной связи. Карта сайта (комбинация + M): Ярлык для раздела карты сайта (футера агентства) на странице. Поиск (Комбинация + S): Ярлык для страницы поиска. Нажмите клавишу esc или нажмите кнопку закрытия, чтобы закрыть это диалоговое окно. ×

Возможно, запрошенная вами страница была перемещена в новое место или удалена с сайта.
Вернитесь на ДОМАШНЮЮ СТРАНИЦУ или найдите то, что вы ищете, в поле поиска ниже.

ОСНОВНОЙ ПОМЕЩЕНИЕ:   

реальных примеров квадратных уравнений

Квадратное уравнение выглядит следующим образом:

Квадратные уравнения всплывают во многих реальных ситуациях!

Здесь мы собрали для вас несколько примеров, каждый из которых решается разными методами:

Каждый пример следует трем основным этапам:

  • Возьмите описание реального мира и составьте несколько уравнений
  • Решить!
  • Используйте здравый смысл, чтобы интерпретировать результаты

 

Мячи, стрелы, ракеты и камни

Когда вы бросаете мяч (или пускаете стрелу, запускаете ракету или бросаете камень), он поднимается в воздух, замедляя свое движение, а затем снова падает все быстрее и быстрее…

… и квадратное уравнение всегда подскажет вам его положение!

 

Пример: метание мяча

Мяч брошен прямо вверх с высоты 3 м над землей со скоростью 14 м/с.

Когда он упадет на землю?

Пренебрегая сопротивлением воздуха, мы можем вычислить его высоту, сложив следующие три вещи:
(Примечание: t — время в секундах)

Высота от 3 м:   3
Он движется вверх со скоростью 14 метров в секунду (14 м/с):   14т
Гравитация тянет его вниз, изменяя его положение на около 5 м в секунду в квадрате:   −5т 2
(Примечание для энтузиастов: -5t 2 упрощено из -(½)at 2 с a=9.8 м/с 2 )    

Складываем их и получаем высоту ч в любое время т это:

ч = 3 + 14т — 5т 2

И мяч упадет на землю, когда высота будет равна нулю:

3 + 14т — 5т 2 = 0

Квадратное уравнение!

В «Стандартной форме» это выглядит так:

−5t 2 + 14t + 3 = 0

Это выглядит еще лучше, если мы умножим все члены на −1:

2 — 14т — 3 = 0

Давайте решим это. ..

 

Есть много способов решить его, здесь мы будем учитывать его, используя «Найти два числа, которые умножьте, чтобы получить a×c , и сложите, чтобы получить b «метод квадратичных факторингов:

a×c = −15 и b = −14 .

Коэффициенты -15: -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15

Пробуя несколько комбинаций, мы обнаруживаем, что −15 и 1 работают. (-15×1 = -15, и -15+1 = -14)

Переписать середину с −15 и 1:5t 2 − 15t + t − 3 = 0

Коэффициент первых двух и последних двух: 5t(t − 3) + 1(t − 3) = 0

Общий коэффициент (t − 3): (5t + 1)(t − 3) = 0

Два решения: 5t + 1 = 0 или t − 3 = 0

t = −0.2 или t = 3

«t = −0,2» — отрицательное время, невозможное в нашем случае.

«t = 3» — это ответ, который нам нужен:

Мяч падает на землю через 3 секунды!

Вот график Параболы h = −5t 2 + 14t + 3

Он показывает вам высоту мяча против времени

Некоторые интересные моменты:

(0,3) При t=0 (в начале) мяч находится на высоте 3 м

(-0. 2,0) говорит, что −0,2 секунды ДО того, как мы бросили мяч, он находился на уровне земли. Этого никогда не было! Так что наш здравый смысл говорит игнорировать это.

(3,0) говорит, что через 3 секунды мяч находится на уровне земли.

Также обратите внимание, что мяч поднимается почти на 13 метров в высоту.

Примечание: Вы можете точно определить, где находится верхняя точка!

Этот метод объясняется в графических квадратных уравнениях и состоит из двух шагов:

Найдите, где (по горизонтальной оси) находится вершина, используя −b/2a :

  • t = −b/2a = −(−14)/(2 × 5) = 14/10 = 1.4 секунды

Затем найдите высоту, используя это значение (1.4)

  • h = −5t 2 + 14t + 3 = −5(1,4) 2 + 14 × 1,4 + 3 = 12,8 метра

Итак, мяч достигает высшей точки 12,8 метра через 1,4 секунды.

 

 

Пример: новый спортивный велосипед

Вы разработали новый стиль спортивного велосипеда!

Теперь вы хотите сделать их много и продать с прибылью.

Ваши расходы будут:

  • 700 000 долларов на производственные затраты, рекламу и т. д.
  • 110 долларов за каждый велосипед

Исходя из похожих велосипедов, можно ожидать, что продаж будут следовать этой «кривой спроса»:

  • Единицы продаж = 70 000 − 200P

Где «P» — цена.

Например, если вы установите цену:

  • за 0 долларов, вы просто раздаете 70 000 велосипедов
  • за 350 долларов, вы вообще не будете продавать велосипеды
  • за 300 долларов можно продать 70 000 − 200×300 = 10 000 велосипеда

Итак… какая лучшая цена? А сколько надо сделать?

Давайте составим уравнения!

Сколько вы продаете, зависит от цены, поэтому используйте «P» для цены в качестве переменной

  • Единицы продаж = 70 000 − 200P
  • Продажи в долларах = Единицы × Цена = (70 000 − 200 пенсов) × P = 70 000 пенсов − 200 пенсов 2
  • Затраты = 700 000 + 110 x (70 000 — 200 пенсов) = 700 000 + 7 700 000 — 22 000 пенсов = 8 400 000 — 22 000 пенсов
  • Прибыль = Затраты на продажу = 70 000 пенсов — 200 пенсов 2 — (8 400 000 — 22 000 пенсов) = -200 пенсов 2 + 92 000 пенсов — 8 400 000

Прибыль = −200 пенсов 2 + 92 000 пенсов − 8 400 000

Да, квадратное уравнение. Давайте решим это, заполнив квадрат.

Решите: −200P

2 + 92 000 P − 8 400 000 = 0

Шаг 1 Разделить все члены на -200

П 2 – 460П + 42000 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

П 2 – 460П = -42000

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

(б/2) 2 = (-460/2) 2 = (-230) 2 = 52900

П 2 – 460П + 52900 = −42000 + 52900

(P – 230) 2 = 10900

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

P – 230 = ±√10900 = ±104 (с точностью до ближайшего целого числа)

Шаг 5 Вычесть (-230) с обеих сторон (другими словами, добавить 230):

P = 230 ± 104 = 126 или 334

Что это нам говорит? В нем говорится, что прибыль равна НУЛЮ, когда цена составляет 126 долларов или 334 доллара

.

Но ведь мы хотим знать максимальную прибыль, не так ли?

Это ровно посередине! По цене 230 долларов США

А вот и график:


Прибыль = −200P 2 + 92 000 P − 8 400 000

Лучшая цена продажи $230 , и вы можете ожидать:

  • Объем продаж = 70 000 − 200 x 230 = 24 000
  • Продажи в долларах = 230 x 24 000 = 5 520 000 долларов
  • Затраты = 700 000 + 110 х 24 000 = 3 340 000
  • Прибыль = 5 520 000 долл. США − 3 340 000 долл. США = 2 180 000 долл. США

Очень прибыльное предприятие.

Пример: малая стальная рама

Ваша компания собирается производить оправы в рамках запуска нового продукта.

Рама будет вырезана из куска стали, и для снижения веса окончательная площадь должна быть 28 см 2

Внутренняя часть рамы должна быть 11 см на 6 см

Какой должна быть ширина х металла?

Площадь стали перед резкой:

Площадь = (11 + 2x) × (6 + 2x) см 2

Площадь = 66 + 22x + 12x + 4x 2

Площадь = 4x 2 + 34x + 66

Площадь стали после вырезания середины 11×6:

Площадь = 4x 2 + 34x + 66 − 66

Площадь = 4x 2 + 34x

Давайте решим это графически!

Вот график 4x 2 + 34x:

Требуемая область 28 показана горизонтальной линией.

Площадь равна 28 см 2 когда:

x равно около −9,3 или 0,8

Отрицательное значение x не имеет смысла, поэтому ответ:

х = 0,8 см (прибл.)

 

Пример: речной круиз

Трехчасовой речной круиз проходит 15 км вверх по течению и обратно. Река имеет скорость 2 км в час. Какова скорость лодки и какое время она плыла вверх по течению?

Есть две скорости, о которых следует подумать: скорость лодки в воде и скорость относительно суши:

  • Пусть x = скорость лодки на воде (км/ч)
  • Пусть v = скорость относительно земли (км/ч)

Поскольку река течет вниз по течению со скоростью 2 км/ч:

  • при движении вверх по течению, v = x−2 (его скорость уменьшается на 2 км/ч)
  • при движении вниз по течению, v = x+2 (его скорость увеличивается на 2 км/ч)

Мы можем преобразовать эти скорости во времена, используя:

время = расстояние/скорость

(чтобы проехать 8 км со скоростью 4 км/ч, нужно 8/4 = 2 часа, верно?)

И мы знаем, что общее время составляет 3 часа:

общее время = время восходящего потока + время нисходящего потока = 3 часа

Сложите все вместе:

общее время = 15/(x−2) + 15/(x+2) = 3 часа

Теперь мы используем наши навыки алгебры, чтобы найти «x».

Сначала избавьтесь от дробей, умножив на (x-2) (x+2) :

3(х-2)(х+2) = 15(х+2) + 15(х-2)

Развернуть все:

3(х 2 -4) = 15х+30 + 15х-30

Перенести все влево и упростить:

3x 2 − 30x − 12 = 0

Это квадратное уравнение! Давайте решим это с помощью квадратичной формулы:

Где a , b и c из квадратного уравнения
в «стандартной форме»: ax 2 + bx + c = 0

Решите 3x

2 — 30x — 12 = 0

Коэффициенты: a = 3 , b = −30 и c = −12

Квадратичная формула: x = [−b ± √(b 2 −4ac)] / 2a

Подставьте a, b и c: x = [ −(−30) ± √((−30) 2 −4×3×(−12)) ] / (2×3)

Решить 😡 = [ 30 ± √(900+144) ] / 6

х = [30 ± √(1044)] / 6

х = ( 30 ± 32. 31 ) / 6

 x = −0,39 или 10,39

 

Ответ: x = −0,39 или 10,39 (до 2 знаков после запятой)

х = -0,39 не имеет смысла для этого реального вопроса, но х = 10,39 просто идеально!

Ответ: скорость лодки = 10,39 км/ч (с точностью до 2 знаков после запятой)

Таким образом, путешествие вверх по течению = 15 / (10,39−2) = 1,79 часа = 1 час 47 минут

И путь вниз по течению = 15/(10.39+2) = 1,21 часа = 1 час 13 минут

 

Пример: резисторы в параллели

Два резистора соединены параллельно, как на этой схеме:

Общее сопротивление было измерено на уровне 2 Ом, и известно, что один из резисторов на 3 Ом больше, чем другой.

Каковы номиналы двух резисторов?

Формула для расчета полного сопротивления «R T «:

1 Р Т знак равно 1 Р 1 + 1 Р 2

В этом случае имеем R T = 2 и R 2 = R 1 + 3

1 2 знак равно 1 Р 1 + 1 Ч 1 +3

Чтобы избавиться от дробей, которые мы можно умножить все члены на 2R 1 (R 1 + 3) и затем упростить:

Умножьте все термины на 2R 1 (R 1 + 3): 2R 1 (R 1 +3) 2 = 2R 1 (R 1 +3) R 1 + 2R 1 (R 1 +3) R 1 +3

Тогда упростим:R 1 (R 1 + 3) = 2(R 1 + 3) + 2R 1

Расширить: R 1 2 + 3R 1 = 2R 1 + 6 + 2R 1

Перенесите все члены влево: R 1 2 + 3R 1 − 2R 1 − 6 − 2R 1 = 0

Упростить:R 1 2 − R 1 − 6 = 0

Да! Квадратное уравнение!

Давайте решим это с помощью нашего Решателя квадратных уравнений.

  • Введите 1, -1 и -6
  • И вы должны получить ответы −2 и 3

R 1 не может быть отрицательным, поэтому ответ R 1 = 3 Ом .

Два резистора на 3 Ом и 6 Ом.

 

Другие

Квадратные уравнения полезны во многих других областях:

Для параболического зеркала, телескопа-рефлектора или спутниковой антенны форма определяется квадратным уравнением.

Квадратные уравнения также необходимы при изучении линз и изогнутых зеркал.

И многие вопросы, связанные со временем, расстоянием и скоростью, требуют квадратных уравнений.

 

Вычисление квадратичных функций Работа с ST Math

К тому времени, когда учащиеся переходят в среднюю школу, они, возможно, уже усвоили убеждение, что они либо «хороши», либо «плохи» в математике. Достучаться до учеников, решивших, что математика скучна и непонятна, учителям может стать непростой задачей, особенно если эти ученики начинают год со значительными пробелами в знаниях.

Один из способов обойти тревогу по поводу математики и вновь вовлечь учащихся, которые мысленно проверяют, когда слышат слово «математика», — сделать обучение активным опытом, а не полагаться на пассивную передачу информации.

Активное экспериментальное обучение лежит в основе ST MathⓇ. Каждая концепция создает визуальные модели и постепенно вводит символические представления и словарный запас, а это означает, что вначале головоломки совсем не похожи на математику из учебника.

Учащиеся получают практический опыт, манипулируя визуальными моделями и наблюдая, как результаты их выбора проявляются в реальном времени.Когда они достигают более сложных уровней, где в игру вступают уравнения и формулы, учащиеся уже обладают уверенностью и внутренней мотивацией продолжать решать проблемы.

Продолжайте читать, чтобы увидеть математическую игру ST в действии!

Изюминка игры: воздушные шары-параболы

Parabola Balloons — игра для восьмого класса, с которой начинается модуль «Графика парабол». В более ранней задаче учащиеся узнают, как строить графики линейных уравнений с помощью похожей игры под названием «Линейные воздушные шары», поэтому к тому времени, когда они начнут с парабол, у них уже будет контекст того, что происходит.

Первый уровень Parabola Balloons предлагает простую цель: лопнуть воздушные шары и заставить ДжиДжи пересечь их. Учащиеся манипулируют значением a квадратного уравнения, чтобы выровнять его с воздушными шарами, и нажимают «воспроизведение», когда они будут готовы:

Анимированная информативная обратная связь, которая немедленно следует за каждым ответом, мотивирует учащихся продолжать работу, независимо от того, был ли их ответ правильным или нет.

В случаях, когда учащийся делает неправильный выбор (как на анимации выше), он не видит красный крестик, огромное «Неверно», подсказку или даже всплывающее обучающее видео.Учащиеся смотрят анимацию, наблюдают , почему их ответ был неправильным, и пробуют снова. ST Math поощряет такую ​​же настойчивость детей, как и видеоигры: если вы пропустили прыжок в Super Mario Bros, вы корректируете свой подход и продолжаете пытаться.

Как и в любой игре, ST Math усложняется с каждым уровнем, но поскольку каждый элемент появляется по одному, программа бросает вызов учащимся, не перегружая их.

Далее на первом уровне учащиеся должны манипулировать значениями a и точкой пересечения y, чтобы создать параболу, пересекающую воздушные шары.Визуальная модель позволяет учащимся устанавливать связи между двумя частями квадратного уравнения посредством практического опыта.

Пока учащиеся работают с этими начальными, только визуальными моделями, учителя имеют возможность вмешаться и медленно ввести словарный запас, а также попросить учащихся объяснить, что происходит на экране. Даже когда учащиеся быстро проходят уровни, просьба замедлить темп и объяснить свое мышление способствует академическому дискурсу, который может углубить их вовлеченность. Учитель может запросить:

  • Что происходит на экране? Какова ваша цель?
  • Имеет ли значение, какую часть вы двигаете первой?
  • В каком направлении нужно двигаться, чтобы парабола стала шире? Узкий?

Воздушные шары Parabola Match Equation Tags

Забегая на несколько шагов вперед, эта игра показывает ту же механику, что и предыдущая, но помещает ее в контекст, дополненный уравнением и графиком:

Обратите внимание, как всплывают определения точки пересечения по оси y и значений a, когда учащиеся манипулируют каждым аспектом графика, и как цвета соответствуют уравнению.Эти небольшие детали помогают учащимся установить связь между визуальными элементами и их репрезентативными символами, сохраняя при этом свое внимание.

На втором уровне этой игры воздушные шары исчезли, и учащиеся должны нарисовать уравнение, которое они видят, без каких-либо подсказок — по сути, тот же тип вопроса, который они видели бы на экзамене. Но даже несмотря на то, что воздушные шары больше не ведут ученика к правильному ответу, анимированная обратная связь по-прежнему создает те же визуальные связи, что и на более ранних уровнях.2$, где $x$ может быть любым вещественным числом.

  1. Нарисуйте график функции $f$.
  2. Нарисуйте график функции $g$, заданной выражением $$ г(х) = f(х) + 2. $$ Как соотносятся графики $f$ и $g$? Почему?
  3. Нарисуйте график функции $h$, заданной выражением $$ h(x) = -2 \cdot f(x). $$ Как соотносятся графики $f$ и $h$? Почему?
  4. Нарисуйте график функции $p$, заданной выражением $$ р(х) = f(х+2). $$ Как соотносятся графики $f$ и $p$? Почему?

Комментарий IM

Это первое из серии заданий, направленных на понимание квадратичного формулу в геометрической форме через график квадратичной функции.Здесь студент работает с явной функцией и изучает влияние

  • Аддитивное масштабирование $f$
  • Мультипликативное масштабирование $f$
  • Линейная замена переменных, примененная к $f$
Учащиеся могут рисовать графики от руки или использовать графические калькуляторы. Важной частью этой задачи является определение влияния различных преобразований на графики. Альтернативным способом выполнения этого задания было бы дать учащимся графики и список функций $f,g,h,p$ и спросить их, чтобы идентифицировать функции с их графиками и объяснить.Эта задача подходит как для обучения, так и для оценки.

Эта задача включает в себя экспериментальный рабочий лист GeoGebra с намерением, чтобы инструкторы могли использовать его для более интерактивной демонстрации соответствующего материала содержания. Файл следует рассматривать как черновую версию, и отзывы о нем в разделе комментариев настоятельно приветствуются как с точки зрения предложений по улучшению, так и идей по его эффективному использованию. Файл можно запустить через бесплатное онлайн-приложение GeoGebra или запустить локально, если GeoGebra установлена ​​на компьютере.

Этот апплет имеет несколько задач в одном файле. Есть кнопки для выбора необходимой задачи, а стрелка указывает, какая задача выбрана. Эта задача была разработана, чтобы в интерактивном режиме показать, как функции изменяются в зависимости от применения к ним различных операций. Начальное состояние этого апплета показывает заданную функцию f(x) красным цветом. В левой части экрана есть другое окно с различными кнопками с функциями разного цвета рядом с ними. Нажимая эти зеленые или красные кнопки, вы можете включать и выключать различные функции, чтобы показать, как операции влияют на график f(x).Вы можете изменить функцию на другую, введя новую функцию в верхнем поле ввода. Также вы можете изменить различные переведенные функции, используя три других поля ввода, помеченные как a, b и c. Если вам нужно изменить положение экрана, вы можете использовать инструмент в верхней части экрана, который выглядит как четыре стрелки, чтобы перетащить экран в другое положение. Также вы можете использовать кнопку указателя в верхней части экрана, чтобы перетащить функцию f(x), чтобы показать, как изменяются другие функции.2$ график $f$ является параболой. Он открывается вверх, и его вершина находится в точке $(0,0)$.

  • Рассматривая две точки $(x,f(x))$ и $(x,g(x))$, мы имеем $$ (х, г (х)) = (х, f (х) + 2) $$ для каждого значения $x$. Таким образом, для каждой точки $(x,f(x))$ на графике $f$, на графике $g$ есть соответствующая точка $(x,f(x)+2)$, расположенная две единицы выше $(x,f(x))$. Это означает, что график $g$ такой же, как и график график $f$, смещенный вверх на $2$ единиц.
  • Точка $(x,h(x))$ совпадает с точкой $(x,-2f(x))$, поэтому график $h$ является то же, что и отражение графика $2f$ относительно оси $x$.Таким образом, значения $f$ сначала удваиваются, преувеличивая наклон графика, а затем график отражается относительно оси $x$.
  • Точка $(x,p(x))$ на графике $p$ совпадает с точкой $(x,f(x+ 2))$, которая находится на две единицы правее точки $(x,f(x))$ на графике $f$. Итак, график $p$ выглядит как график $f$, сдвинутый на две единицы влево: другими словами, $p(x-2) = f(x)$, поэтому точка $(x-2,f(x))$ находится на графике $p$, а $(x,f(x))$ — соответствующая точка графика $f$, поэтому график $p$ — это график $f$, сдвинутый на две единицы влево.
  • Основанная на машинном обучении платформа отчетов о глюкозе пота по требованию

    Исследование набора данных

    Аналитические характеристики датчика электрохимической импедансной спектроскопии и платформы считывания носимой электроники для измерения биомаркеров глюкозы и кортизола в поте сообщались ранее 17,21 ,23,24 . Платформа обнаружения пота основана на системе электрохимического биосенсора, которая обеспечивает непрерывную отчетность в режиме реального времени о пассивно выделяемом эккринном поте.Он может быстро обнаруживать и непрерывно отслеживать уровни нескольких биомаркеров мультиплексным образом. Платформа состоит из (1) одноразовой и заменяемой сенсорной полосы и (2) носимого считывателя, на котором установлены сенсорные полоски, который передает выходные данные по беспроводной сети на сервер данных через приложение. Перед созданием алгоритма машинного обучения для отчетов о глюкозе пота были изучены измеренные данные, чтобы понять основную взаимосвязь между измеренными входными параметрами, измеренным комплексным импедансом в виде Zmod и Zphase, температурой кожи и потоотделением в % относительной влажности. Полученный сигнал представляет собой сигнал комплексного импеданса датчика, который преобразуется в значения уровня глюкозы в поте, как подробно описано в нашей предыдущей работе 21,25,26,27,28 . Как показано на рис. 2А, широкий диапазон графика распределительной коробки для значения Zmod лежит в пределах от 1 до 20 кОм. В электрохимическом датчике, используемом для этого исследования, используется чувствительный элемент из оксида цинка, снабженный зондами захвата; поэтому мы ожидаем увидеть значения Zmod в этом диапазоне, а последующие значения Zphase будут преимущественно отрицательными из-за емкостного характера связывания с целевыми биомаркерами.В дополнение к этому комплексному сигналу импеданса мы также интегрировали параметры температуры и потоотделения (% относительной влажности), измеренные независимо с помощью имеющихся в продаже электронных датчиков, установленных на считывателе. Температура кожи и % относительной влажности измерялись каждую минуту и ​​служили исходными данными для отчета о глюкозе пота. На рисунке 2A показано общее распределение измеренных входных параметров. Общие наблюдаемые значения температуры находились в диапазоне 28–36 °C со средним значением 33,5 °C, а среднее значение % ОВ для субъектов, включенных в исследование, составляло 82.Наблюдаемая статистика температуры соответствует обобщенному описанию когорты здоровых людей при выполнении рутинных действий, как показано на рис. 1B.

    Рисунок 2

    ( A ) Исследовательский анализ данных входных параметров, полученных от датчика Zmod, Zphase, Температура и %RH. ( B ) Визуализация матрицы корреляции между входными параметрами для модели машинного обучения.

    Взаимосвязь входных параметров анализировалась с помощью корреляционной матрицы.На рисунке 2B показана матрица корреляции, представленная на тепловой карте, где синий — 1, максимально возможная положительная корреляция, а желтый – максимальная отрицательная корреляция – 1. Промежуточные значения представлены желтым цветом для отрицательной корреляции и синим цветом для положительная корреляция. Основная цель анализа матрицы корреляции состоит в том, чтобы избежать избыточных функций при моделировании. Самая высокая корреляция наблюдается между Zmod и Zфазой с коэффициентом корреляции Пирсона 0,97.Поскольку оба параметра сильно коррелированы, мы включаем только значения Zmod для построения модели. Другие параметры, которые показывают разумные корреляции, могут использоваться в качестве входных параметров для моделей машинного обучения. Это подтверждает, что на этапе построения модели не будут включены избыточные функции. dZmod — это текущая разница значений Zmod между предыдущим и текущим значениями. Как объяснялось в разделе о построении модели, мы увидели повышение точности модели с добавлением спроса.

    Выбор модели и интерполяция

    На рисунке 3A показано построение непрерывного сигнала и преобразование измеренных входных параметров в концентрации глюкозы с использованием дискретных точек данных. Концентрации глюкозы в поте, собранные в дискретные моменты времени, измеряли с помощью ELISA и использовали для интерполяции с сигналом импеданса, совпадающим с этими моментами времени, чтобы получить плавный и непрерывный вывод концентрации глюкозы пота на основе времени из постоянного сигнала импеданса на основе времени. владелец.Учитывая меняющуюся природу молекулы глюкозы с течением времени, мы используем бикубический метод интерполяции. Полученный непрерывный сигнал для минутной частоты используется в качестве выходного параметра для построения регрессии. Эта методология интерполяции позволяет проводить отбор проб глюкозы по требованию с идеальной точностью, о чем недавно сообщалось 21,25,26,27,28 . Рис. 3 ) сравнение гистограммы для значения RMSE, полученного в результате k-кратной перекрестной проверки для алгоритмов регрессии.

    В зависимости от характера наборов данных мы протестировали алгоритмы линейной регрессии, регрессии дерева решений и ансамблевой регрессии, доступные в наборе инструментов MATLAB. Мы обнаружили, что алгоритмы регрессии ансамбля и дерева решений работают лучше всего, как показано на рис. 3B и C. Для выбора модели использовались два критерия измерения успеха: практическое значение R 2 обученной модели и среднее значение значение квадратичной ошибки (RMSE). Цель состоит в том, чтобы получить RMSE +/- 20% от ожидаемого значения глюкозы пота.Кроме того, значение R 2 более значимо, чем 0,8. Результаты представлены в виде гистограммы, как показано на рис. 3B. Нанесенные на график значения представляют собой средние значения перекрестной проверки для k   =   10. Для простой линейной регрессии достигается значение R 2 , равное 0,12, и среднеквадратичное отклонение 0,54, и ни одно из этих значений не удовлетворяет объективным критериям модели. Для модели дерева решений и модели ансамбля мы наблюдаем аналогичные значения R 2 0,93 и 0,94, соответствующие объективным критериям R 2 .И дерево решений, и ансамбль показали сопоставимые значения RMSE 0,1 и 0,15, и, следовательно, любой из них хорошо подходит для цели RMSE. Учитывая небольшой размер выборки для исследования, реализация дерева решений была выбрана из-за немного лучшей производительности и простоты. Производительность модели, показанная на рис. 3B и C, оценивается для окончательной развернутой модели. Добавление и регуляризация белого шума были объяснены в последующих разделах результатов и обсуждения. Добавление белого шума и K-кратная перекрестная проверка были использованы для обеспечения обобщения модели.

    Добавление шума

    На рис. 4 поясняется функция добавления шума, добавленная в модель для введения изменчивости для обобщения. Результаты, полученные в результате интерполяции, уязвимы к реальному шуму от различных источников. Чтобы устранить эти недостатки, к результатам, полученным в результате интерполяции, был введен параметр гауссовского шума, также известный как аддитивный белый шум. Результаты, полученные после добавления белого шума, приводящие к ответным сигналам с отношением сигнал-шум (SNR) 1, 5, 10, 15 и 20 дБ, были проанализированы, чтобы установить оптимальные уровни для использования в модели.Цель состоит в том, чтобы свести к минимуму потери, а также оставить место для обобщения и избежать переобучения. Как видно из рис. 4, отношение сигнал-шум 10 дБ соответствует этому требованию балансировки потерь в поезде и тесте с минимальным разрывом между прогнозируемым и фактическим выходным сигналом. В случае более высоких значений SNR потери в поезде и тесте выглядят очень похоже на ответный сигнал без какого-либо шума. В случае более низких SNR значения потерь при поездке и тесте, по-видимому, не сходятся, показывая ошибку  > 20%, что выходит за допустимые клинические пределы 29 .Следовательно, отношение SNR 10 дБ было оптимальным отношением SNR для обобщения процесса обучения модели.

    Рисунок 4

    Влияние добавления гауссовского белого шума на распределение Ytrain со статистикой и соответствующими функциями потерь для алгоритма регрессии дерева решений.

    Результаты, полученные на тестовом наборе данных

    Следующий набор результатов был получен при тестировании алгоритмов отчетности по уровню глюкозы в поте на людях. На рис. 5 показан тест алгоритма по трем предметам.Прогнозируемое значение соответствует тенденциям изменения уровня глюкозы в поте. Значения пота испытуемых преобразуются в непрерывные кривые с использованием той же методологии бикубической интерполяции, которая использовалась для построения заданных значений непрерывного мониторинга. Прогнозируемые значения показывают наличие шума. При построении модели дерева решений использовались два типа методов обобщения. Как указано в наборе инструментов MATLAB Machine Learning, использовалась регуляризация L1, предлагаемая алгоритмом для уменьшения статистического переобучения модели.Кроме того, к обучающим значениям добавляется внешний белый шум с уровнем сигнала SNR = 10 дБ. Добавление шума устраняет изменчивость, которая может присутствовать в реальном сигнале. Общие результаты дают хорошее соответствие, когда прогнозируемый сигнал сравнивается с реальным движением.

    Рисунок 5

    Результаты, полученные на тестовом наборе данных для трех наборов данных об испытуемых, нанесены на график относительно фактического прогресса от эталонных значений.

    Мера по предотвращению переоснащения

    В качестве меры по предотвращениюграфик эпохи, полученный в наборе обучающих данных, был наложен на совершенно неизвестный набор данных, использованный в качестве теста, и показан на рис. 6. Потери отложены по оси y, а по оси x — эпоха, используемая для обучения. Цель здесь состоит в том, чтобы свести к минимуму потери, а также избежать переобучения. Как видно на графике, в начальные эпохи обучения наблюдалось поведение с высоким смещением. Более значительная разница между ошибкой обучения и ошибкой теста указывает на необходимость дополнительного обучения. По мере увеличения количества эпох потери при обучении и потери при тестировании демонстрируют уменьшающийся характер.В эпоху 24 достигается минимальная разница между ошибкой обучения и ошибкой теста. Кроме того, ошибка обучения постоянна в одной и той же точке, устанавливая баланс между минимизацией потерь и риском переобучения.

    Рис. 6

    Проверка и построение графика функции потерь для каждой итерации.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.