График параболы как построить: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

2+4=4+4=8
Видно по значениям что значения у симметричны

Убывающая парабола. Построение графика квадратичной функции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.
    д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Квадратичной функцией называется функция вида:

y=a*(x^2)+b*x+c,
где а — коэффициент при старшей степени неизвестной х,
b — коэффициент при неизвестной х,
а с — свободный член. 2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а а > 0.

y = 0,5x 2 — 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а

y = — 0,5×2 — 3x + 1

В данном случае а = — 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с — это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с

y = x 2 + 4x — 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x


Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = — b/(2а) . Таким образом, b = — 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = — 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с х в > 0. Значит

b = — 2ах в = -++ = -. b а > 0, b с

На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x 2 . Давайте расширим знания по квадратичной функции .

Задание 1.

Построить график функции y = x 2 . Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F (0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1) . Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат: какую бы точку на параболе y = x 2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x 2 , а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

Интересные свойства параболы:

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x 2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3) .

5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Построение графика квадратичной функции

На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x 2 графиков функций вида:

1) y = ax 2 – растяжение графика y = x 2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| рис. 4 ).

2) y = x 2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем, если n > 0, то сдвиг вверх, а если n

3) y = (x + m) 2 – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m 0, то влево, (рис. 5) .

4) y = -x 2 – симметричное отображение относительно оси Ox графика y = x 2 .

Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m) 2 + n .

Квадратичную функцию вида y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду

y = a(x – m) 2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Докажем это.

Действительно,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Введем новые обозначения.

Пусть m = -b/(2a) , а n = -(b 2 – 4ac)/(4a) ,

тогда получим y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2 .

Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

Тогда получим функцию Y = aX 2 , графиком которой является парабола.

Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

y = a(x – m) 2 + n

путем преобразований, можно действовать следующим образом:

a) построить график функции y = x 2 ;

б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n)

(рис. 6) .

Запись преобразований:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3) 2 2.

Решение.

Цепочка преобразований:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Построение графика изображено на рис. 7 .

Вы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3) 2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести

бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации . Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings. REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings. LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

OpenAlgebra.

com: Графические параболы На этом этапе нашего исследования мы должны быть в состоянии найти x и y пересечений и решить любое квадратное уравнение. Теперь мы изучим простой метод, используемый для их построения.
График квадратного уравнения называется параболой.
Одна из наших основных функций
можно изобразить, нанеся точки. Мы делаем это, выбирая примерно пять значений x и находя соответствующие им значения y .

График :

Чем больше точек мы наносим, ​​тем легче увидеть, что график имеет U-образную форму.Вершина в данном случае — это точка изменения графика с убывающей на возрастающую, или точка с наименьшим значением y . Здесь вершина (0, 0), которая также является точкой пересечения x и y . Линия x = 0, ось y , является линией симметрии . Это линия, по которой мы могли бы согнуть нашу бумагу, чтобы увидеть, что две стороны графика совпадают.

По заданному графику найдите точки пересечения x и y , вершину, 5-ю точку на графике и линию симметрии.

Линия симметрии: х = 1

x-перехваты: (-2,0) и (4,0)

y-перехват: (0, -8)

Вершина: (1, -9)

5-й пункт: (2, -8)


Напомним, что две точки определяют прямую — для парабол это не так. Параболы требуют минимум 3 точки, но обычно мы хотим найти по крайней мере пять точек, чтобы построить хороший график. Найдите вершину, x — и y — точки пересечения, а также линию симметрии.
График:
Шаг 1 : Найдите точку пересечения и (0, c ).
Шаг 2 : Найдите пересечения x , установив y = 0 и найдя x .
Шаг 3 : Найдите вершину. Вы можете найти значение x вершины, используя вершину x = -b/(2a).
Шаг 4 : Нанесите точки и определите ось симметрии.
Область и диапазон вышеуказанной функции можно определить по графику. В предыдущей задаче домен состоит из всех действительных чисел, а диапазон состоит из всех действительных чисел, больших или равных -1. Кроме того, полезно отметить, что у нас есть минимальное y -значение -1, это будет важным фактом при работе над текстовыми задачами.

Совет : осью симметрии любой квадратичной функции будет вертикальная линия

При попытке найти точки пересечения x , где результирующее квадратное уравнение не учитывается, просто используйте квадратную формулу для его решения.

График: 

Эта парабола выглядит немного по-другому, обратите внимание, что она открывается вниз, а также обратите внимание, что предыдущая парабола открылась. Есть простой тест, чтобы узнать, как он открывается, еще до того, как мы начнем.
Поэтому, когда вас попросят нарисовать параболу, вы можете получить две важные части информации, не выполняя никакой работы. При осмотре вы можете сказать, открывается ли он вверх или вниз, и вы можете определить и -перехват.
График и маркировка всех важных точек :
График и маркировка всех важных точек :
Областью предыдущей задачи являются все действительные числа, а диапазон состоит из всех действительных чисел, больших или равных -5.Также обратите внимание, что минимальное значение y равно −5. Оказывается, не все параболы имеют два пересечения x , как можно было бы ожидать. Иногда у них есть только один перехват x , а иногда и нет.
Пожалуйста, имейте в виду, что все квадратичные функции имеют вершину и точку пересечения и . Кроме того, мы все равно сможем найти другую точку, используя симметрию. Поэтому в некоторых случаях допустимо наносить и маркировать только три точки.

Нанесите на график и обозначьте все важные точки: 

Нанесите на график и обозначьте все важные точки: 
Проблема со снарядом : Объект выбрасывается из 100-футового здания с начальной скоростью 44 фута в секунду. 2 {/экв} :

  • График открывается вверх или образует {eq}\bigcup {/eq}, когда {eq}A {/eq} положителен {eq}(A > 0) {/экв}.
  • График открывается вниз или образует {eq}\bigcap {/eq}, когда {eq}A {/eq} отрицательно {eq}(A < 0) {/экв}.

Теперь, когда у нас есть некоторая справочная информация, давайте нарисуем следующие два примера. Сначала мы рассмотрим пример, где {eq}A {/eq} — положительное число. Затем мы рассмотрим пример, где {eq}A {/eq} — отрицательное число.2\\ у = -2(4) \\ у = -8 $$

Тогда у нас есть точка {eq}(2,-8) {/экв}.

Шаг 4: Нанесите точки и начертите график функции.

Построив вершину и четыре дополнительные точки, мы получим график ниже.

Пример отрицательной параболы

Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

Графические параболы

Как только вы поймете структуру параболы, вы сможете использовать эту информацию для построения графика.

Начертить параболу…

1. Определить, открывается ли она вверх, вниз, влево или вправо.

2. Найдите и начертите вершину

3. Нарисуйте линию симметрии

4. Найдите и начертите дополнительные точки, подставляя значения вместо x или y.

5. Соедините точки по другую сторону от линии симметрии

6. Нарисуйте параболу.

Примеры:

1.График

Сначала мы знаем, что он вертикальный, так как х возведен в квадрат. Поскольку a отрицательно, он открывается вниз.

Вершина (-3, -1). Начертим это:

Теперь проведем через эту точку линию симметрии. Поскольку это вертикальная парабола, линия симметрии вертикальна.

Далее мы подставим значения для x. Мы хотим выбрать значения, которые находятся рядом с нашей линией симметрии, но с той же стороны. Итак, поскольку наша линия симметрии находится в точке x = -3, давайте использовать x = -2 и x = -1.

Итак, подставим -2 вместо x и решим для y:


y = -2(1)-1

y = -2-1

y = -3    Координата: (-2, — 3)

И то же самое проделаем с x = -1:


y = -2(4)-1

y = -8-1

y = -9    Координата: (-1, -9)

И давайте нанесем на график две найденные точки:


Теперь мы можем использовать линию симметрии, чтобы найти совпадающие точки на другой стороне. Каждая точка справа должна быть зеркально отражена слева.Если он находится на расстоянии одного пробела от линии, на другой стороне есть совпадающая точка, находящаяся на расстоянии одного пробела. Если она находится на расстоянии двух пробелов, точка совпадения находится на расстоянии двух пробелов и т. д. (см. ниже)

Чтобы закончить, мы просто рисуем параболу.

Технически линия симметрии не является частью ответа, поэтому чистый график параболы будет выглядеть так:


2. График

Для начала, сначала мы знаем, что она горизонтальна, так как y возведена в квадрат , а так как положительно, то открывается вправо.

Вершина (-4, 2). Начертим это:

Теперь проведем через эту точку линию симметрии. Поскольку это горизонтальная парабола, линия симметрии горизонтальна.


Обычно мы подставляем значения для x. Мы могли бы сделать это, но это потребовало бы от нас изменения уравнения. Вместо этого мы можем подставить значения для y.

Мы хотим выбрать значения, которые находятся рядом с нашей линией симметрии, но с той же стороны. Итак, поскольку наша линия симметрии находится на y = 2, мы будем использовать y = 1 и y = 0.Однако, если мы используем 1, мы получим дробь, поэтому давайте пропустим это значение и используем y = 0.

Давайте подставим 0 вместо y и решим для x:


x = 2- 4

x = -2    Координата: (-2, 0)

Если мы используем y = -1, мы снова получим дробь, поэтому давайте использовать y = -2


x = 8-4

x = 4 Координата: (4, -2)

И давайте нанесем на график две найденные точки:

Теперь мы можем использовать линию симметрии, чтобы найти совпадающие точки на другой стороне.Помните, что нижняя точка должна отражаться на верхней.


Чтобы закончить, мы просто рисуем параболу.


Практика: Нарисуйте каждую параболу

Ответы:

как построить график параболы y=(x-1)(x-5)?

y   = ( x — 1)( x — 5)

y   = x 2 — 6 x   + 5

Приведенное выше уравнение представляет собой стандартную форму параболы = x 2 + bx + c .

a  = 1, b  = -6, c  = 5

Ось симметрии x = — b / 2 a   = 6/2

Ось симметрии x = 3

Подставьте x значение в y = x 2 — 6 x + 5

y   = (3) 2 — 6(3) + 5

г = -4

Вершина параболы (3, -4)

Выберите значения для x и найдите соответствующие значения для y .

х

y   = x 2 — 6 x   + 5

( х, у )

1

у = (1) 2 — 6(1) + 5 у = 0

(1,0)  

2

у = (2) 2 — 6(2) + 5 у = -3

(2,-3)

4

y = (4) 2 — 6(4) + 5   y = -3

(4,-3)

5

у = (5) 2 — 6(5) + 5 у = 0

(5,0)

1. Нарисуйте координатную плоскость.

2. Нанесите оси симметрии, вершины и координатные точки, найденные в таблице.

3.Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.

Параболы – Алгебра среднего уровня

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • График вертикальных парабол
  • График горизонтальных парабол
  • Решение приложений с помощью парабол

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. График:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Решите, заполнив квадрат:
    Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
  3. Напишите в стандартной форме:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок).

График вертикальных парабол

Следующее коническое сечение, которое мы рассмотрим, — это парабола. Мы определяем параболу как все точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой. Неподвижная точка называется фокусом , , а неподвижная линия называется директрисой параболы.

Парабола

Парабола — это все точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка называется фокусом , , а неподвижная линия называется директрисой параболы.

Ранее мы научились строить вертикальные параболы из общей формы или стандартной формы с помощью свойств. Эти методы также будут работать здесь. Здесь мы подведем итог свойствам.

Графики показывают, как выглядят параболы, когда они открываются вверх или вниз. Их положение относительно оси x или y является просто примером.

Чтобы построить параболу из этих форм, мы использовали следующие шаги.

Нарисуйте вертикальные параболы, используя свойства.
  1. Определите, направлена ​​ли парабола вверх или вниз.
  2. Найдите ось симметрии.
  3. Найдите вершину.
  4. Найдите и -перехват.Найдите точку, симметричную точке пересечения y поперек оси симметрии.
  5. Найти x -перехватов.
  6. Постройте параболу.

В следующем примере рассматривается метод построения графика параболы из общей формы ее уравнения.

График с использованием свойств.

График с использованием свойств.

График с использованием свойств.

В следующем примере рассматривается метод построения графика параболы из стандартной формы ее уравнения,

Запишите в стандартной форме, а затем используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

ⓐ Напишите в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.



ⓐ Напишите в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.



Решение задач с помощью парабол

Многие архитектурные проекты включают параболы. Мосты нередко строятся с использованием парабол, как мы увидим в следующем примере.

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Сначала мы настроим систему координат и нарисуем параболу. График даст нам информацию, необходимую для записи уравнения графика в стандартной форме

.

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста.Запишите уравнение в стандартной форме.

Письменные упражнения

Своими словами дайте определение параболе.

Является ли парабола функцией? Является ли парабола функцией? Объясните, почему да или почему нет.

Напишите уравнение параболы, открывающейся вверх или вниз в стандартной форме, и уравнение параболы, открывающейся влево или вправо в стандартной форме. Начертите для каждого параболу, обозначьте вершину и ось симметрии.

Объясните своими словами, как из уравнения можно определить, направлена ​​ли парабола вверх, вниз, влево или вправо.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?

Глоссарий

парабола
Парабола — это все точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой.

Рисование парабол в PowerPoint 2010 для Windows

Несколько предыдущих руководств исследовали различные чертежи. инструменты в PowerPoint 2010 для Windows и как они работают — мы работали с такими инструментами рисования линий, как линия, изгиб, свободная форма, и строчить. Используя эти линейные инструменты, вы можете рисовать в PowerPoint почти все, что вы обычно рисуете в высококлассных программах для иллюстраций. В этом уроке вы узнаете, как нарисовать параболу в PowerPoint 2010, используя некоторые из этих инструментов рисования.

Прежде всего, что такое парабола? Технически это коническое сечение, но чтобы вам было проще, я попрошу вас визуализировать Логотип McDonald’s имеет только одну коническую часть, а не две, вы можете увидеть изображение параболы на рис. 1 .


Рисунок 1: Парабола

Чтобы нарисовать параболу в PowerPoint 2010 для Windows, выполните следующие действия:

  1. Запустите PowerPoint 2010 для Windows. В большинстве случаев PowerPoint открывается с новый слайд в презентации.Пользователи PowerPoint 2010 могут изменить макет слайда на пустой, выбрав Главная вкладка | Макет | Пустой вариант .
  2. На вкладке View ленты, установите флажок Направляющие (выделено красным внутри Рисунок 2 ).

  3. Рис. 2: Включение направляющих на слайде
  4. Это покажет направляющие на слайде, как показано на Рисунок 3 . Направляющие по умолчанию (одна горизонтальная и одна вертикальная направляющая) у нас отлично работают.Так что не беспокойтесь слишком о добавление дополнительных руководств сейчас.

  5. Рисунок 3 Направляющие показаны на слайде
  6. На вкладке Home или Insert ленты нажмите кнопку Shapes , чтобы просмотреть галерею Shapes, которую вы видите на Рисунок 4 . Выберите Форма кривой.

  7. Рисунок 4 Кривая выбрана
  8. Чтобы установить начальную точку параболы, поместите курсор на положение горизонтальной направляющей, как показано на Рисунок 5 .

  9. Рис. 5: Установка начальной точки параболы
  10. Затем щелкните левой кнопкой мыши один раз и переместите курсор в направлении вверх-вправо, пока не встретите значок вертикальная направляющая, как показано на Рисунок 6 . Теперь нажмите на вертикальную направляющую, чтобы установить верхнюю точку вашей параболы.

  11. Рисунок 6: Нажмите на вертикальную направляющую, чтобы установить верхнюю точку параболы
  12. Теперь переместите курсор в правый нижний угол созданной вами верхней точки и поместите курсор на горизонтальную направляющую, как показано на рис. 7 .Так, чтобы начальная и конечная точки вашей параболы находились на одной горизонтальной направляющей.

  13. Рис. 7: Поместите курсор на горизонтальную направляющую, чтобы создать конечную точку параболы
  14. Дважды щелкните, чтобы закончить рисование параболы. Вы узнаете, что ваш двойной щелчок сработал, если ваша парабола появится с маркеры выбора (см. Рисунок 8 ).

  15. Рис. 8: Завершенная парабола
  16. Чтобы отредактировать параболу, щелкните ее правой кнопкой мыши, чтобы открыть контекстное меню, показанное на Рис. 9 .Из меню выберите Опция «Редактировать точки «.

  17. Рис. 9: Выбрана опция «Редактировать точки»
  18. Теперь вы можете играть с вершинами (точками), ручками и т. д. Узнайте больше о Руководство по редактированию точек для фигур в PowerPoint 2010.
  19. Вы также можете изменить толщина линии вашей параболы, или изменить цвет линии, как требуется.

Параболические графики

Интерактивная математика для 9 класса — второе издание


Параболические графики
Отношение является квадратичным функция , если наибольшая степень прочислительного в отношении равна два.


Графики y = ax , a > 0
Пример 1

Решение:

      

Когда мы нанесем эти точки и соединим их плавной кривой, мы получим квадратичный граф , показанный выше.Кривая называется параболой . Он имеет множество приложений в наука и техника.

Например, траектория полета снаряда и форма отражатель в автомобильных фарах или прожекторах.

Глядя на график и форму кривой, можно представить, что зеркало расположено вдоль
оси y : левая и правая стороны кривые являются зеркальным отображением друг друга.
Это свойство называется симметрией . Мы говорим, что граф симметрична относительно оси y , а
ось y называется осью симметрии . Итак ось симметрии имеет уравнение x = 0 в примере.

Парабола раскрывается вверх. Минимальное значение y равно нулю и это происходит, когда x = 0. Точка
(0, 0) называется поворотной точкой или вершиной парабола.


В целом:

В приведенном выше примере a = 1.


Пример 2

Решение:

  

Когда мы наносим эти точки и соединяем их плавной кривой, мы получаем график, показанный выше.

Примечание:

График представляет собой параболу, направленную вверх. Минимальное значение y равно 0, а
встречается, когда x = 0. Точка (0, 0) называется вершиной парабола. График симметричен
относительно x = 0, то есть оси y-.


Графики y = ax , a < 0
Пример 3

Решение:

Когда мы наносим эти точки и соединяем их плавной кривой, мы получаем график, показанный выше.

Примечание:

График представляет собой параболу, направленную вниз. Ясно, что график симметрична относительно оси y . Следовательно, уравнение ось симметрии x = 0.
Максимальное значение y равно 0, и это происходит, когда x = 0.
Вершина параболы является точкой (0, 0).


В целом:

В приведенном выше примере a = 1.


Пример 4

Решение:

Когда мы наносим эти точки и соединяем их плавной кривой, мы получаем график, показанный выше.

Основные термины

квадратичная функция, квадратичный граф, парабола, ось симметрии, симметрия, точка поворота, вершина

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск