Графики функций как понять: Взаимное расположение графиков линейных функций — урок. Алгебра, 7 класс.

2}{4} $

$y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$

$y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{4}{x/2} = \frac{8}{x}$

$ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = \sqrt{x}$

$y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{x}{2}}$

$y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(px), \quad p \gt 1 $$

график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f \Biggl(\frac{x}{p}\Biggr), \quad p \gt 1 $$

график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

2}{2}$

$y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$

$y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{2}{x}$

$ y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = \sqrt{x}$

$y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = Af(x), \quad A \gt 1 $$

график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = \frac{1}{A} f(x), \quad A \gt 1 $$

график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции. 2+3x+2$:

  • график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
  • график функции $y = f \left(\frac{x}{2}\right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
  • график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)

Содержание

Где построить график функции?

Раньше, когда все работы выполнялись в тетрадках, такого вопроса, где построить график функции (в каком редакторе) не возникало. Сейчас нам больше нравится тыкать на кнопки клавиатуры, нежели писать ручками. Оформленная на компьютере работа выглядит аккуратно, а если немного приноровиться, то скорость выполнения будет выше рукописной.

Каждый из нас знает в каком редакторе набрать текст, но вот с графиками дело обстоит чуть хуже. Я использую для этих целей Geogebra. 

Определение с Википедии: GeoGebra — свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки.  Скачать ее можно тут совершенно бесплатно: http://www.geogebra.org/cms/ru/

Это очень простая в использовании программа, не требующая каких либо дополнительных знаний.

Для того, чтобы скачать ее и понять как построить график функции на плоскости, вам достаточно будет пяти минут.

Если она вас заинтересует, то можно заняться ей более плотно, так как она обладает огромными возможностями.

Пример построения:

 

Разберем по шагам как это сделать.

После скачивания и установки программы на рабочем столе появится вот такой ярлык:

Кликаем по нему. Запускается Geogebra. Открывается вот такое окно программы:

 

Закрываем ненужное окно таблиц, оно не понадобиться для нашего построения.

Добавляем нужные объекты: панель объектов и строку ввода.  Находятся данные пункты на вкладке Вид. 3. Жмем Enter. График функции построен.

Немного подкорректируем график: добавим подпись, линию графика сделаем чуть толще. 

 

Перемещая бегунок регулируем толщину линии. При желании можно выбрать другой тип линии. 

Если толщина линии по умолчанию вас не устраивает, то лучше изменить ее в настройках программы один раз, а не править для каждого графика функций.

Пункт меню Настройки → Дополнительно → Настройки по умолчанию

Не забываем после изменения, сохранить настройки.

 

В раскрывающимся списке выбираем «Имя и значение» для добавления подписи к построенному графику. Подпись можем перемещать мышкой вдоль графика по своему усмотрению.

Если удерживать клавишу [Ctrl]  и левую кнопку мыши, то можно перемещать рабочую область построения.

Можно изменить масштаб построения одновременно удерживая  [Ctrl] и крутя колесико мыши.

Операции перемещения и изменения масштаба можно найти и в раскрывающимся списке панели инструментов:

Построим еще один график функции, приведенный как пример в начале статьи. означает степень числа.

Допустим необходимо добавить на график горизонтальную асимптоту: y=1

Вводим это уравнение в строке ввода. Подкорректируем тип, толщину и цвет линии. Добавим подпись к графику.

Пока на этом все. Возникли вопросы? Пишите.  

Как найти область определения функции

Начнём с краткого определения. Область определения функции y=f(x) — это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Войдём в тему более основательно. Каждой точке графика функции соответствуют:

  • определённое значение «икса» — аргумента функции;
  • определённое значение «игрека» — самой функции.
Верны следующие факты.
  • От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
  • Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может быть вычислен «игрек» — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором «функция работает».

Можно понимать область определения функции и как проекцию графика функции на ось

Ox.

Что требуется, чтобы уверенно находить область определения функции? Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно. При изучении темы области определения функции поможет материал Свойства и графики элементарных функций. А поскольку областью определения функции служат различные множества, а также их объединения и пересечения, то пригодится и материал Множества и операции над множествами.

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы. Приступаем к практике.

Пример 1. На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю

x — 1 = 0,

и решая это уравнение:

x = 1 ,

получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции — это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.

Пример 2. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, нужно решить неравенство

x — 5 ≥ 0.

Если перенести какое-либо слагаемое в другую часть неравенства с противоположным знаком, то мы получим равносильное неравенство с тем же знаком неравенства (можно ознакомиться со всеми основными свойствами неравенств). Переносим минус 5 и получаем неравенство

x ≥ 5.

Получаем решение: область определения функции — все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому решаем неравенство

.

Это квадратное неравенство

,

где в правой части — неполный квадратный трёхчлен.

По формуле находим дискриминант:

.

По формуле находим корни квадратного трёхчлена:

.

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

и .

При этом знак квадратного трёхчлена (больше или меньше нуля) совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков

и

и противоположен знаку коэффициента a во всех точках промежутка .

В нашем случае имеем отрицательный коэффициент a=-1, поэтому квадратный трёхчлен неотрицателен во всех точках промежутка .

(Можно ознакомиться со всеми возможными случаями при решении квадратных неравенств).

Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения данной функции.

Область определения степенной функции находится в зависимости от вида степени в выражении.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если — положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[, то есть нуль входит в область определения;

если — отрицательное, то областью определения функции является множество (0; + ∞[, то есть нуль не входит в область определения.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Выражение функции можно представить так:

Квадратный трёхчлен в скобках в знаменателе должен быть строго больше нуля (ещё и потому, что дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный). Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля:

.

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях «икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или, что то же самое — множество R действительных чисел, или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 6. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[. Подробнее о графике такой функции.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Подробнее о свойствах и графиках таких функций.

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного (2) или нечётного целого числа ((2k+1)π).

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Подробнее о свойствах и графиках таких функций.

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.

Аналогично и решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби:

x+2=0,

x=-2,

находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме минус 2.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме минус единицы и единицы.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ; 2[ ∪ ]2 ;+ ∞[, то есть все числа, кроме -2 и 2.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 17. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 20. Найти область определения функции y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции — множество R действительных чисел.

Весь раздел «Исследование функций»

Как интерпретировать математические функции — видео и стенограмма урока

Интерпретация функционального графика

Например, возможно, мы хотим ответить на следующие вопросы о графе с тремя областями, изображенном здесь:

Линейный график с тремя отдельными областями
  1. Что это за функция?
  2. Что такое домен и диапазон?
  3. В каких точках он пересекает оси x и y ?
  4. В каких точках значение y увеличивается по мере увеличения x (т. е. положительный наклон)?

Глядя на график, мы можем понять, что:

1. Это кусочная функция.

Есть три разных раздела, показанных разными цветами, которые ведут себя по-разному. Каждый разрыв в потоке линии говорит вам, что формула изменилась в этот момент. Кроме того, каждый из трех участков представляет собой прямую линию, что означает, что вы не имеете дело с показателями степени больше 1.

2. Домен представляет собой набор возможных значений x .

В этой функции область простирается от x = -10 (левая часть графика) до x = 10 (правая часть графика). Если на картинке показана только часть графика, как это часто бывает, то домен может быть намного больше.

Самая высокая точка на графике — y = 2, а самая нижняя точка — y = -5, что определяет диапазон. Опять же, в строке может быть больше, что повлияет на диапазон.

3. Линия пересекает ось x приблизительно в точках x = -6, x = 0 и x = 8. 5. Кажется, что она пересекает ось y в точке y = 0.

4. Линия поднимается вверх по левой стороне графика ( x = -10), пока не достигнет x = -2, где он меняет направление. Он также увеличивается между x = 5 и x = 10.

Шаги для интерпретации графиков

Шаги для интерпретации графиков начинаются с:

1. Определите тип

вы, с какой формулой или отношением вы работаете, и общее поведение, которое вы можете ожидать от функции.

Например, форма этого многочлена говорит нам, что функция имеет степень 3:

Мы можем интерпретировать из графика, что функция имеет показатель степени 3.

2. Определение ключевых точек

Максимальные точки, минимальные точки, домен, диапазон, x -пересечения, y -пересечения и конечное поведение (в каком направлении идут концы графа) — все это полезные элементы. информации к пониманию функции.

На графике полинома третьей степени видно, что функция имеет локальный максимум при x = -2,8 и локальный минимум при x = 0,8. Домен и диапазон могут быть бесконечными, поскольку график, вероятно, продолжается за пределы показанного.

Функция пересекает ось x при x = 2, x = -1 и x = -4. Кажется, что он пересекает ось y в точке y = -2. Конец, кажется, простирается до отрицательной бесконечности (вниз) слева и положительной бесконечности (вверх) справа от графика.

3. Определите уравнение, формулу или определение

На показанном графике третьей степени места, где он пересекает ось x , являются ключами к формуле. Мы знаем, что при этих значениях для x выход функции равен 0. Это означает, что график будет некоторой версией многочлена, который вы получите, если перемножите три бинома вместе:

( x — 2)( x + 1)( x + 4) = x ³ + 3 x ² — 6 x — 8

Согласно этому уравнению, если все x были нулями, линия пересечет ось y в точке -8. Мы видим на графике, что она фактически пересекается при -2, поэтому нам нужно изменить наше уравнение, чтобы оно соответствовало показанной линии. Наше уравнение слишком крутое. Чтобы превратить -8 в -2, мы должны разделить на 4, что повлияет на все уравнение, что даст:

0,25 x ³ + 0,75 x ² — 1,5 x — 2

Интерпретация функции Определение

При работе с определением функции обычно требуется интерпретировать поведение уравнения или описания в визуальной форме, например в виде линейного графика.Например, если вам сказали, что f( x ) = x ² — 4, вы могли бы ответить на следующие вопросы, чтобы интерпретировать это:

1. Что это за функция?

Поскольку старший показатель функции равен 2, это квадратичная функция. Это означает, что график будет выглядеть как парабола, изогнутая линия, которая имеет простую кривую в середине и идет в одном направлении на обоих концах.

2. Где функция пересекает оси x — и y ?

Все полиномы пересекают ось x , когда значение функции становится равным 0. 2 — 4

Сводка урока

Интерпретация функций из графиков и определений требует, чтобы вы преобразовали изображение или символы, которые у вас есть, в нужную вам информацию.Шаги включают в себя определение типа функции и определение ее конкретных характеристик, таких как домен, диапазон и конечное поведение.

Нанесение важных точек, таких как точки пересечения и точки поворота, также является частью интерпретации функции. Функции на графиках часто принимают определенную форму, например параболу или изогнутую линию.

2.3: Интерпретация графика функции

В предыдущем разделе мы начали с функции, а затем нарисовали график данной функции.В этом разделе мы начнем с графика функции, затем сделаем ряд интерпретаций на основе данного графика: оценки функции, область определения и диапазон функции, а также решение уравнений и неравенств.

Тест вертикальной линии

Рассмотрим график отношения R, показанный на рисунке \(\PageIndex{1}\)(a). Напомним, что ранее мы определили отношение как набор упорядоченных пар. Конечно, граф, показанный на рисунке \(\PageIndex{1}\)(a), представляет собой набор упорядоченных пар.Действительно, это бесконечное множество упорядоченных пар, так много, что график представляет собой сплошную кривую.

Обратите внимание, что на рисунке \(\PageIndex{1}\)(b) мы можем провести вертикальную линию, пересекающую график более одного раза. На рисунке \(\PageIndex{1}\)(b) мы нарисовали вертикальную линию, которая пересекает график в двух местах, один раз в точке \(\left(x, y_{1}\right)\), затем снова в \(\left(x, y_{2}\right)\), как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\)(c). Это означает, что объект предметной области x связан с двумя разными объектами диапазона, а именно \(y_{1}\) и \(y_{2}\), поэтому отношение R не является функцией.

Рисунок \(\PageIndex{1}\). Объяснение теста вертикальной линии для функций.

Вспомнить определение функции.

Определение

Отношение является функцией тогда и только тогда, когда каждый объект в его домене связан с одним и только одним объектом в его диапазоне.

Рассмотрим диаграмму сопоставления на рисунке \(\PageIndex{2}\), где мы использовали стрелки для обозначения упорядоченных пар \(\left(x, y_{1}\right)\) и \(\left( x, y_{2}\right)\) на рисунке \(\PageIndex{1}\)(c).Обратите внимание, что x, объект в домене R, отображается на два объекта в диапазоне R, а именно \(y_{1}\) и \(y_{2}\). Следовательно, отношение R не является функцией.

Рисунок \(\PageIndex{2}\). Диаграмма сопоставления, представляющая точки \(\left(x, y_{1}\right)\) и \(\left(x, y_{2}\right)\) на рисунке \(\PageIndex{1}\) (с).

Это обсуждение приводит к следующему результату, называемому тестом вертикальной линии для функций.

Тест вертикальной линии

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график отношения более одного раза, то отношение НЕ является функцией.

Следовательно, круг, изображенный на рисунке \(\PageIndex{3}\)(a), является отношением, но не графиком функции. График круга можно разрезать вертикальной линией более одного раза, как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\)(a). С другой стороны, парабола, показанная на рисунке \(\PageIndex{3}\)(b), является графиком функции, поскольку ни одна вертикальная линия не пересекает график более одного раза.

Рисунок \(\PageIndex{3}\). Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, является ли график графиком функции.

Чтение графика значений функций

Мы знаем, что график f, изображенный на рисунке \(\PageIndex{4}\), является графиком функции. Мы знаем это, потому что ни одна вертикальная линия не пересекает график функции f более одного раза.

Ранее мы определили график f как множество всех упорядоченных пар \((x, f(x))\), так что x находится в области определения f. Следовательно, если мы выберем точку P на графике f, как на рисунке \(\PageIndex{4}\)(a), мы пометим точку P(x, f(x)). Однако мы также можем пометить эту точку как \(P(x, y)\), как показано на рисунке \(\PageIndex{4}\)(b).Это приводит к новой интерпретации f(x) как y-значения точки P. То есть f(x) — это y-значение в паре с x.

Рисунок \(\PageIndex{4}\). Чтение графика функции.

Определение

f(x) — это значение y, связанное с x.

Еще два комментария в порядке. На рисунке \(\PageIndex{4}\)(a) мы выбираем точку P на графике функции f.

  1. Чтобы найти значение x точки P, мы должны спроецировать точку P на ось x.
  2. Чтобы найти f(x), значение y, связанное с x, мы должны спроецировать точку P на ось y.

Давайте рассмотрим пример.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Учитывая график f на рисунке \(\PageIndex{5}\)(a), найдите f(4).

Рисунок (\PageIndex{5}\). Нахождение значения f(4).

Раствор

Во-первых, обратите внимание, что график f представляет собой функцию. Ни одна вертикальная линия не будет пересекать график функции f более одного раза.

Поскольку f(4) представляет значение y в паре со значением x, равным 4, мы сначала размещаем 4 на оси x, как показано на рисунке (\PageIndex{5}\)(b). Затем мы рисуем вертикальную стрелку, пока не пересечем график f в точке P(4, f(4)). Наконец, мы рисуем горизонтальную стрелку из точки P до пересечения с осью Y. Проекция точки P на ось y является значением f(4).

Поскольку у нас есть сетка, которая показывает шкалу по каждой оси, мы можем аппроксимировать значение f(4).Казалось бы, значение y точки P приблизительно равно 4. Таким образом, \(f(4) \приблизительно 4\).

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Учитывая график f на рисунке (\PageIndex{6}\)(a), найдите f(5).

Рисунок (\PageIndex{6}\). Нахождение значения f(5).

Раствор

Во-первых, обратите внимание, что график f представляет собой функцию. Ни одна вертикальная линия не будет пересекать график функции f более одного раза.

Поскольку f(5) представляет значение y в паре со значением x, равным 5, мы сначала размещаем 5 на оси x, как показано на рисунке (\PageIndex{6}\)(b). Затем мы рисуем вертикальную стрелку, пока не пересечем график f в точке P(5, f(5)). Наконец, мы рисуем горизонтальную стрелку из точки P до пересечения с осью Y. Проекция точки P на ось y является значением f(5).

Поскольку у нас есть сетка с масштабом по каждой оси, мы можем приблизить значение f(5).Казалось бы, значение y точки P приблизительно равно 6. Таким образом, \(f(5) \приблизительно 6\).

Давайте обратим интерпретацию в другом примере.

Пример \(\PageIndex{3}\)

Учитывая график f на рисунке (\PageIndex{7}\)(a), при каком значении x f(x) = −4?

Раствор

Опять же, график на рисунке (\PageIndex{7}\) проходит тест вертикальной линии и представляет собой график функции.

На этот раз в уравнении \(f(x) = −4\) нам дано значение y, равное −4.Следовательно, мы должны обратить процесс, использованный в примере \(\PageIndex{1}\) и примере \(\PageIndex{2}\). Сначала мы находим значение y -4 на оси y, затем рисуем горизонтальную стрелку, пока не перехватим

.

Рисунок (\PageIndex{7}\). Нахождение x так, чтобы \(f(x) = −4\).

график f в точке P, как показано на рисунке (\PageIndex{7}\)(b). Наконец, мы рисуем вертикальную стрелку из точки P до пересечения с осью x. Проекция точки P на ось x является решением \(f(x) = −4\).

Поскольку у нас есть сетка, которая показывает масштаб по каждой оси, мы можем аппроксимировать значение x точки P. Кажется, что \(x \приблизительно 5\). Таким образом, мы обозначаем точку P (5, f (5)), и решение \ (f (x) = −4 \) приблизительно равно \ (x \ приблизительно 5 \).

Это решение можно легко проверить, вычислив f(5). Просто начните с 5 по оси x, затем стрелочки в обратном порядке, как показано на рисунке (\PageIndex{7}\)(b). Вы должны оказаться на -4 по оси y, демонстрируя, что \(f(5) = -4\).

Домен и диапазон функции

Мы можем использовать график функции, чтобы определить ее область определения и область значений. Например, рассмотрим график функции, показанный на рисунке (\PageIndex{8}\)(a).

Рисунок (\PageIndex{8}\). Определение области определения функции по ее графику.

Обратите внимание, что ни одна вертикальная линия не пересекает график f более одного раза, поэтому график f представляет собой функцию.

Чтобы определить домен, мы должны собрать значения x (первые координаты) каждой точки на графике f.На рисунке (\PageIndex{8}\)(b) мы выбрали точку P на графике f, которую затем проецируем на ось x. Образ этой проекции — точка Q, а значение x точки Q — элемент области определения f.

Подумайте о проекции, показанной на рисунке (\PageIndex{8}\)(b), следующим образом. Представьте себе источник света над точкой P. Точка P блокирует свет, а ее тень падает на ось x в точке Q. То есть представьте точку Q как «тень», которую создает точка P, когда она проецируется вертикально на ось x.

Теперь, чтобы найти область определения функции f, мы должны спроецировать каждую точку графика функции f на ось x. Вот вопрос: если каждую точку графика f спроецировать на ось абсцисс, какая часть оси абсцисс окажется «в тени» после завершения процесса? Ответ показан на рисунке (\PageIndex{8}\)(c).

На рисунке (\PageIndex{8}\)(c) обратите внимание, что «тень», созданная проецированием каждой точки на графике f на ось X, закрашена красным (более толстая линия, если вы просматриваете это в черное и белое).Этот набор значений x является областью определения функции f. Есть три критических момента, которые нам нужно сделать в отношении «тени» по оси x на рисунке (\PageIndex{8}\)(c).

  1. Все точки, лежащие между \(x = −3\) и \(x = 4\), заштрихованы на оси x красным цветом.
  2. Левый конец графика функции f — незакрашенный круг. Это указывает на то, что в этой конечной точке нет точек. Следовательно, проецировать на ось абсцисс нет смысла, чем и объясняется незакрашенный кружок на левом конце нашей «тени» на оси абсцисс.
  3. С другой стороны, правая конечная точка графика f является заполненной конечной точкой. Это указывает на то, что это нанесенная точка и часть графика f. Следовательно, при проецировании этой точки на ось x тень падает на x = 4. Это объясняет закрашенную конечную точку на правом конце нашей «тени» на оси x.

Мы можем описать x-значения «тени» на оси x, используя нотацию построителя наборов.

\[\text { Домен } f=\{x :-3

Обратите внимание, что мы не включаем −3 в это описание, потому что левый конец тени на оси X представляет собой пустой круг.Обратите внимание, что мы включили 4 в это описание, потому что правый конец тени на оси X представляет собой закрашенный круг.

Мы также можем описать x-значения «тени» на оси x, используя интервальную нотацию.

\[\text {Домен} f=(-3,4]\]

Напоминаем нашим читателям, что скобка слева означает, что мы не включаем −3, а скобка справа означает, что мы включаем 4.

Чтобы найти диапазон функции, снова изобразите график f, показанный на рисунке \(\PageIndex{9}\)(a).Действуйте аналогичным образом, только на этот раз спроецируйте точки на графике f на ось y, как показано на рисунках \(\PageIndex{9}\)(b) и (c).

Рисунок \(\PageIndex{9}\). Определение диапазона функции по ее графику.

Обратите внимание, какая часть оси Y «лежит в тени», после того как мы спроецировали все точки на графике f на ось Y.

  1. Все точки, лежащие между \(y = −2\) и \(y = 4\), были заштрихованы по оси Y красным цветом (более толстая линия, если вы просматриваете это в черно-белом режиме).
  2. Левая конечная точка графика f представляет собой пустой круг, поэтому нет точки для проецирования на ось Y. Следовательно, нет «тени» в точке \(y = −2\) на оси y, и точка остается незаштрихованной (пустой кружок).
  3. Правая конечная точка графика f представляет собой закрашенный кружок, поэтому на оси y имеется «тень» в точке \(y = 4\), и эта точка заштрихована (закрашенный кружок).

Теперь мы можем легко описать диапазон как в построителе наборов, так и в нотации интервала.

\[\text { Диапазон } f=(-2,4]=\{y :-2

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Используйте построитель набора и нотацию интервала для описания домена и диапазона функции, представленной графиком на рисунке \(\PageIndex{10}\)(a).

Рисунок \(\PageIndex{10}\). Определение области по графику f.

Раствор

Чтобы определить область определения f, спроецируйте каждую точку графика f на ось x.Эта проекция обозначена «тенью» на оси x на рисунке \(\PageIndex{10}\)(b). В отношении этой «тени» или проекции необходимо сделать два важных замечания.

1. Левый конец графика f пуст (обозначен незаштрихованным кружком), поэтому он не имеет проекции на ось x. На это указывает незакрашенный кружок на левом конце (в точке \(x = −4\)) «тени» или проекции на ось x.

2. Стрелка на правом конце графика f указывает на то, что график f продолжается бесконечно вниз и вправо.Следовательно, проекция на ось абсцисс представляет собой тень, бесконечно движущуюся вправо. На это указывает стрелка на правом конце «тени» или проекции на ось x.

Следовательно, область определения f — это совокупность значений x, представленных «тенью» или проекцией на ось x. Обратите внимание, что все значения x справа от \(x = −4\) заштрихованы по оси x. Следовательно,

\[\text { Домен } f=(-4, \infty)=\{x : x>-4\}\]

Чтобы найти диапазон, мы должны спроецировать каждую точку на графике f (перерисованном на рисунке \(\PageIndex{11}\)(a)) на ось y.Проекция обозначается «тенью» или проекцией по оси Y, как показано на рисунке \(\PageIndex{11}\)(b). В отношении этой «тени» или проекции необходимо сделать два важных замечания.

Рисунок \(\PageIndex{11}\). Определение диапазона по графику f.

  1. Левая конечная точка графика f пуста (обозначена незаштрихованным кружком), поэтому она не имеет проекции на ось y. На это указывает незакрашенный кружок на верхнем конце (в точке \(y = 3\)) «тени» на оси y.
  2. Стрелка на правом конце графика f указывает на то, что график f продолжается вниз и вправо до бесконечности. Следовательно, проекция графика f на ось y представляет собой тень, которая бесконечно движется вниз. На рисунке \(\PageIndex{11}\)(b) обратите внимание, как проекции точек на графике f, невидимые в окне просмотра, приходят из правого нижнего угла и отбрасывают «тени» на ось y.

Следовательно, диапазон f представляет собой набор значений y, заштрихованных на оси y системы координат, показанной на рисунке \(\PageIndex{11}\)(b).Обратите внимание, что все значения y ниже \(y = 3\) заштрихованы на оси y. Таким образом, диапазон f составляет

\[\text { Диапазон } f=(-\infty, 3)=\{y : y<3\}\]

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Используйте построитель набора и нотацию интервала для описания домена и диапазона функции, представленной графиком на рисунке \(\PageIndex{12}\)(a).

Рисунок \(\PageIndex{12}\). Определение области по графику f.

Раствор

Чтобы определить область определения f, мы должны спроецировать все точки графика f на ось x. Эта проекция обозначена красной «тенью» (или более толстой линией, если вы просматриваете ее в черно-белом режиме), показанной на оси x на рисунке \(\PageIndex{12}\)(b). В отношении этой «тени» или проекции необходимо сделать два важных замечания.

  1. Стрелка в конце левой половины графика f на рисунке \(\PageIndex{12}\)(a) указывает на то, что эта половина графика f неограниченно открывается влево и вверх.Следовательно, когда точки в левой половине графика f проецируются на ось x, «тень» или проекция бесконечно расширяется влево. Обратите внимание, как точки на графике, выходящие за пределы окна просмотра, выходят из верхнего левого угла и отбрасывают «тени» на ось X.
  2. Стрелка в конце правой половины графика f на рисунке \(\PageIndex{12}\)(a) указывает на то, что эта половина графика f неограниченно открывается вправо и вверх. Следовательно, когда точки на этой половине графика f проецируются на ось абсцисс, «тень» или проекция бесконечно расширяется вправо.

Следовательно, вся ось x лежит в «тени», что делает область f равной

\[\text { Домен } f=(-\infty, \infty)=\{x : x \in \mathbb{R}\}\]

Чтобы определить диапазон f, мы должны спроецировать все точки графика f на ось y. Эта проекция обозначена красной «тенью» (или более толстой линией, если вы просматриваете ее в черно-белом режиме), показанной на оси Y на рисунке \(\PageIndex{13}\)(b). Необходимо сделать два важных замечания об этой «тени» или проекции.

Рисунок \(\PageIndex{13}\). Определение диапазона по графику f.

  1. График функции f проходит через начало координат (точку (0, 0)). Это самая нижняя точка на графике, и, следовательно, ее тень является конечной точкой на нижнем конце заштрихованной области на оси Y.
  2. Стрелки в конце каждой половины графика функции f указывают на то, что график бесконечно расширяется вверх. Следовательно, когда точки на графике f проецируются на ось y, «тень» или проекция простирается вверх на неопределенный срок. На это указывает стрелка на верхнем конце «тени» по оси Y.

Следовательно, все точки на оси Y выше, включая точку в начале координат, «находятся в тени». Таким образом, диапазон f составляет

\[\text { Диапазон } f=[0, \infty)=\{y : y \geq 0\}\]

Использование графического калькулятора для определения домена и диапазона

Мы научились находить область определения и область значений функции, глядя на ее график. Следовательно, если мы определим функцию с помощью выражения, такого как \(f(x)=\sqrt{4-x}\), то мы должны иметь возможность захватить домен и диапазон f из ее графика при условии, что , конечно, что мы можем нарисовать график f.Мы обнаружим, что графический калькулятор будет удобным инструментом для этого упражнения.

Пример \(\PageIndex{6}\)

Используйте построитель набора и нотацию интервала для описания домена и диапазона функции, определенной правилом

\[f(x)=\sqrt{4-x}\]

Раствор

Загрузите выражение, определяющее f, в меню Y=, как показано на рисунке \(\PageIndex{14}\)(a). Выберите 6:ZStandard в меню ZOOM, чтобы построить график f, показанный на рисунке \(\PageIndex{14}\)(b).

Рисунок \(\PageIndex{14}\). Набросок графика \(f(x)=\sqrt{4-x}\).

Скопируйте изображение с рисунка \(\PageIndex{14}\)(b) на лист миллиметровой бумаги. Пометьте и масштабируйте каждую ось с помощью параметров WINDOW xmin, xmax, ymin и ymax, как показано на рисунке \(\PageIndex{15}\)(a).

Рисунок \(\PageIndex{15}\). Захват домена \(f(x)=\sqrt{4-x}\) из его графика.

Затем спроецируйте каждую точку графика f на ось x, как показано на рисунке \(\PageIndex{15}\)(b).Обратите внимание, что мы сделали два предположения о графике f.

  1. В левом конце графика на рисунках \(\PageIndex{14}\)(b) и \(\PageIndex{15}\)(b) предполагается, что график f продолжается вверх и влево на неопределенный срок. Следовательно, «тень» или проекция на ось x будет бесконечно двигаться влево. На это указывает стрелка, прикрепленная к левому концу области, которая «лежит в тени» по оси x, как показано на рисунке \(\PageIndex{15}\)(b).
  2. Мы также предполагаем, что правый конец графика заканчивается в точке \((4, 0)\).Это объясняет «закрашенную точку», когда эта точка на графике f проецируется на ось x.

Обратите внимание, что «тень» или проекция на ось x на рисунке \(\PageIndex{15}\)(b) включает все значения x, меньшие или равные 4. Таким образом, область определения f равна \[\ text { Домен } f=(-\infty, 4]=\{x : x \leq 4\}\]

Мы можем интуитивно понять этот результат, рассмотрев выражение, определяющее f. То есть рассмотрим правило или определение

\[f(x)=\sqrt{4-x}\]

Напомним, что ранее мы определили область определения f как набор «допустимых» значений x.В этом случае невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому мы должны быть осторожны при выборе значений x, которые мы используем в этом правиле. Обратите внимание, что \(x = 4\) допустимо, так как

\[f(0)=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0\]

Однако в этом правиле нельзя использовать числа больше 4. Например, рассмотрим, что происходит, когда мы пытаемся использовать \(x = 5\).

\[f(x)=\sqrt{4-5}=\sqrt{-1}\]

Мы предоставим нашим читателям возможность проверить другие значения x, которые меньше 4.Они также будут давать настоящие ответы при вводе их в правило \(f(x)=\sqrt{4-x}\). Обратите внимание, что это также подтверждает нашу предыдущую гипотезу о том, что «тень» или проекция, показанная на рисунке \(\PageIndex{15}\)(b), бесконечно продолжается влево.

Вместо того, чтобы «угадывать и проверять», мы можем ускорить анализ области определения \(f(x)=\sqrt{4-x}\), заметив, что выражение под радикалом не должно быть отрицательным числом. Следовательно, \(4 − x\) должно быть либо больше, либо равно нулю.Этот аргумент приводит к неравенству, которое легко решается относительно x.

\[\begin{align} 4-x & \geq 0 \\-x & \geq-4 \\ x & \leq 4 \end{aligned}\]

Этот последний результат подтверждает, что доменом f являются все значения x, которые меньше или равны 4, что полностью согласуется с «тенью» или проекцией на ось x, показанной на рисунке \(\PageIndex{15 }\)(б).

Чтобы определить диапазон f, мы должны спроецировать каждую точку графика f на ось y, как показано на рисунке \(\PageIndex{16}\)(b).

Опять же, мы делаем два предположения о графике f.

1. В левом конце графика \(f(x)=\sqrt{4-x}\) на рисунках \(\PageIndex{14}\)(b) и \(\PageIndex{16} \)(b), мы предполагаем, что график функции f бесконечно продолжается вверх и влево. Таким образом, когда точки на графике f проецируются на ось y, будут проекции, исходящие сверху слева от точек на графике f, которые не видны в окне просмотра, выбранном на рисунке \(\PageIndex{14 }\)(б).Следовательно, «тень» или проекция на ось Y, показанная на рисунке \(\PageIndex{16}\)(b), бесконечно продолжается вверх. На это указывает стрелка в верхнем конце «тени» по оси Y на рисунке \(\PageIndex{16}\)(b).

Рисунок \(\PageIndex{16}\). Определение диапазона \(f(x)=\sqrt{4-x}\) по его графику.

2. Снова считаем, что правый конец графика функции f заканчивается в точке \((4, 0)\). Проекция этой точки на ось Y дает «закрашенную» конечную точку в начале координат, показанную на рисунке \(\PageIndex{16}\)(b).

Обратите внимание, что «тень» или проекция на ось y на рисунке \(\PageIndex{16}\)(b) включает все значения y, которые больше или равны нулю. Следовательно,

\[\text { Диапазон } f=[0, \infty)=\{y : y \geq 0\}\]

Interpreting Graphs — Concept — Algebra Video by Brightstorm

Важно научиться интерпретировать графики, чтобы мы могли понять построение графиков, которое является фундаментальной частью алгебры и более поздних курсов математики. Интерпретация графиков включает в себя понимание того, что представляет собой форма кривой в реальных жизненных ситуациях. Мы также должны понимать, что означает наклон и как интерпретировать, что представляет собой высокое или низкое значение наклона. Понимание точек построения также важно.

Когда вас просят посмотреть на графики
и интерпретировать их значение, важно, чтобы вы
помнили несколько ключевых моментов.

Первое, на что вы должны
обратить внимание, это то, как
обозначаются оси словами.
Как, например, много раз вы видите графики
, где горизонтальная ось — это время
, а вертикальная ось —
, что-то вроде расстояния.
Это очень распространенные математические задачи.
Но будьте осторожны, посмотрите, указано ли время
в минутах или часах, и посмотрите на
вертикальную ось и посмотрите, находится ли расстояние
в футах, милях,
ярдах или чем-то еще.

В том же духе, будьте очень осторожны
, когда смотрите на масштабирование.
Как иногда часы будут
помечены как 1, 2, 3, 4 часа.
Иногда это может быть 10, 20, 30,
40 часов, а иногда что-то
например, пропуск 5 секунд,
5, 10, 15, 20 часов.
Не забывайте об этом.

Наконец, вы хотите убедиться, что когда вы
смотрите на такого рода графики, я не просто
угадываю и двигаюсь дальше.
Много раз студенты, когда они видят
график, который уже нарисован для них,
они не тратят время на то, чтобы посмотреть и
интерпретировать и обдумать график.
Они склонны думать, о, писать не нужно,
Я могу просто посмотреть на график,
угадать и двигаться дальше.
Действительно потратьте некоторое время, чтобы подумать об этом,
потому что это, как правило, более простые типы
задач, и вы хотите убедиться, что
решите их правильно.

Последнее, что я хочу сказать вам, ребята, это
, что если вы находитесь в состоянии, когда у вас
есть выпускной экзамен в старшей школе что-то
или квалификационный экзамен, у вас есть
, чтобы перейти к следующему курсу,
этот тип проблем с интерпретацией графа
очень, очень распространен.
Так что убедитесь, что вы
делаете все возможное, чтобы двигаться вперед.

Графики и функции

Графики и функции

Аннотация

Этот урок предназначен для ознакомления учащихся с графическими функциями.

Цели

По окончании данного занятия учащиеся будут:

  • были введены в построение функций на декартовой координатной плоскости
  • видел несколько категорий функций, включая линии и параболы

Стандарты

Упражнения и обсуждения на этом уроке касаются следующих Стандарты НКТМ:

Алгебра

Понимание закономерностей, взаимосвязей и функций

  • представлять, анализировать и обобщать различные шаблоны с помощью таблиц, графиков, слов и, по возможности, символические правила;
  • связывать и сравнивать различные формы представления отношений;
  • идентифицирует функции как линейные или нелинейные и сравнивает их свойства с таблицами, графиками, или уравнения.
Представляйте и анализируйте математические ситуации и структуры, используя алгебраические символы.
  • разработать начальное концептуальное понимание различных способов использования переменных;
  • исследовать отношения между символическими выражениями и графами линий, уделяя особое внимание внимание на значение перехвата и наклона;
  • использовать символическую алгебру для представления ситуаций и решения проблем, особенно тех, которые включать линейные отношения;
  • распознавать и генерировать эквивалентные формы для простых алгебраических выражений и решать линейные уравнения
использовать математические модели для представления и понимания количественных отношений
  • моделирование и решение контекстуализированных задач с использованием различных представлений, таких как графики, таблицы и уравнения
Анализировать изменения в различных контекстах
  • используют графики для анализа характера изменения величин в линейных зависимостях.

Требования для учащихся

  • Арифметика : Учащиеся должны уметь:
    • выполнять целочисленные и дробные арифметические операции
    • точек графика в декартовой системе координат
    • считать координаты точки с графика
  • Алгебраический : Учащиеся должны уметь:
    • работа с очень простыми алгебраическими выражениями
  • Технологические Учащиеся должны уметь:
    • выполнять основные манипуляции с мышью, такие как наведение, щелчок и перетаскивание
    • используйте браузер, такой как Netscape, для экспериментов с действиями

Подготовка учителя

Студентам понадобятся:

  • Доступ к браузеру
  • карандаш и миллиметровая бумага
  • Копии дополнительных материалов к мероприятиям:

Основные термины

Этот урок знакомит учащихся со следующими терминами посредством обсуждений:

План урока

Эти действия могут быть выполнены индивидуально или в группах до четырех студентов. Выделите 2-3 часа учебного времени на весь урок, если все части делается в классе

  1. Фокус и обзор

    Напомните учащимся, что они узнали на предыдущих уроках, что будет иметь отношение к этому уроку и/или попросите их обдумать слова и идеи этого урока:

    • Кто-нибудь может сказать мне, что такое функция?
    • Кто-нибудь даст мне пример функции?
    • Кто-нибудь даст мне пример того, что не является функцией?
  2. Цели

    Сообщите учащимся, что они будут делать и изучать сегодня.Скажи что-нибудь вроде это:

    • Сегодня, класс, мы узнаем больше о функции.
    • Мы собираемся использовать компьютеры, чтобы узнать больше о функциях, но, пожалуйста, не включайте свои компьютеры, пока я не попрошу вас. Я хочу показать вам немного о эта деятельность в первую очередь.
  3. Ввод учителя
    • Вести обсуждение как связаны функции и графики.
  4. Методические рекомендации
    • Предложите учащимся нарисовать точки для нескольких простых функции, чтобы убедиться, что у них есть навыки рисования вручную. 2
  • Отработайте у учащихся навыки построения графиков функций, попросив их проверить свои работать из предыдущего действия, строя те же функции, используя Инструмент для рисования графиков.
  • Предложите учащимся исследовать функции форма y = _____ x + ____ с использованием Инструмент графического эскиза для определения какие функции исходят от этой формы, и что меняется каждая константа делает с функцией. Убедитесь, что они следят за тем, что они попробуйте и запишите свои гипотезы и наблюдения.2 + ____ .
  • Крышка
    • Вы можете снова собрать класс для обсуждения результатов. После того, как учащимся будет разрешено поделиться тем, что они нашли, подведите итоги. урок.
  • Альтернативные контуры

    Этот урок можно перестроить несколькими способами.

    • Заменить все операции Graph Sketcher графическим калькулятором виды деятельности. Примечание. В зависимости от графического калькулятора возможно, вам придется потратить дополнительное время на обсуждение установка диапазонов окон.
    • Замените все действия графического эскиза на действия простого графика. простой сюжет представляет собой задание по точечному построению, которое требует, чтобы учащиеся создайте таблицы значений для функций перед построением графика.
    • Ограничить исследования функциями с одной операцией как на уроке функциональных машин и/или к линейным функциям, как в Урок линейных функций.

    Предлагаемое продолжение

    После этих обсуждений и занятий у студентов будет больше опыта с функциями и графикой.Следующий урок, Чтение графиков, показывает студентам что графики могут быть использованы для передачи большого количества информации о заданная ситуация.

    %PDF-1.6 % 1 0 объект >поток 2012-10-18T17:36:56-04:002008-03-06T18:44:19Z2012-10-18T17:36:56-04:00uuid:9b9b3417-1dd1-11b2-0a00-50bbffff10bcuuid:9c39f23a-1dd-1-11b2 0a00-70bdffffb063application/pdfБиблиотека Adobe PDF 7. 0 конечный поток эндообъект 2 0 объект >/PageLabels> 1> 2> 3> 4> 5> 6> 7> 8> 9> 10> 11> 12> 13> 14> 15> 16> 17> 18> 19> 20> 21> 22> 23> 24> 25> 26> 27> 28> 29> 30> 31> 32> 33> 34> 35> 36> 37> 38> 39> 40> 41> 42> 43> 44> 45> 46> 47> 48> 49> 50> 51> 52> 53> 54> 55> 56> 57> 58> 59> 60> 61> 62> 63> 64>]>>/Type/Catalog/StructTreeRoot 3 0 R/Outlines 4 0 R/ Язык(ru)/Метаданные 1 0 R/Страницы 5 0 R>> эндообъект 89 0 объект >поток x}[Y6~_яk7C|,7>,,iRGR*UeXu|U,r{twspokew>~f7wwNwҝ[email protected] kvN p’uz|w {yj7 [email protected]%%,Jax{@*U& *[o0u 8-«)]$+~q DT&҂[email protected]»zRU,3 -Q}WI/د*)5E[\LDٍK;ofM=K ?zwkha8_Y. ( C1ns$ivFrQxa\-trU-Qԇ0fvQmT 2M{\@N%C3~e*2 #d!f \(SL9]i 1r䞮$z !s4|ʬ IӐ7B䰄

    Графические функции — Как графические функции?

    Графические функции — это процесс построения графика (кривой) соответствующей функции. Графики основных функций, таких как линейные, квадратичные, кубические и т. д., довольно просты, графические функции, которые являются сложными, такими как рациональные, логарифмические и т. д., требуют некоторых навыков и некоторых математических понятий для понимания.

    Давайте посмотрим процесс графического отображения функций вместе с примерами.

    Что подразумевается под графическими функциями?

    Графические функции рисует кривую, представляющую функцию на координатной плоскости. Если кривая (график) представляет собой функцию, то каждая точка кривой удовлетворяет уравнению функции. Например, следующий график представляет линейную функцию f(x) = -x+ 2,

    .

    Возьмите любую точку на этой линии, скажем, (-1, 3). Подставим (-1, 3) = (x, y) (т.е. x = -1 и y = 3) в функцию f(x) = -x + 2 (заметим, что ее можно записать как y = — х + 2).Затем

    3 = -(-1) + 2
    3 = 1 + 2
    3 = 3, таким образом, (-1, 3) удовлетворяет функции.

    Таким же образом можно попробовать взять разные точки и проверить, удовлетворяют ли они функции. Каждая точка на линии (обычно называемая «кривой») удовлетворяет этой функции. Рисование таких кривых, представляющих функции, известно как графическое отображение функций.

    Основные графические функции

    Графики основных функций, таких как линейные функции и квадратичные функции, очень просты.Основная идея графических функций

    • Идентификация формы, если это возможно. Например, если это линейная функция вида f(x) = ax + b, то ее график будет линией; если это квадратичная функция вида f(x) = ax 2 + bx + c, то это парабола.
    • найти на нем несколько точек, подставив некоторые случайные значения x и найти соответствующие значения y, подставив каждое значение в функцию.

    Вот несколько примеров.

    Графики линейных функций

    Построим график той же линейной функции, что и в предыдущем разделе (f(x) = -x + 2). Для этого мы создаем таблицу значений, взяв несколько случайных чисел для x, скажем, x = 0 и x = 1. Затем подставьте каждое из них в y = -x + 2, чтобы вычислить значения y.

    х г
    0 -0 + 2 = 2
    1 -1 + 2 = 1

    Таким образом, на прямой есть две точки (0, 2) и (1, 1).Если мы нанесем их на график и соединим их прямой линией (продолжив линию с обеих сторон), мы получим ее график, как показано в предыдущем разделе.

    Графики квадратичных функций

    Также для построения графика квадратичной функции мы можем найти на ней несколько случайных точек. Но это может не дать идеальной U-образной кривой. Это потому, что для получения идеальной U-образной кривой нам нужно, где она поворачивает. т. е. надо найти его вершину. Найдя вершину, мы можем найти две или три случайные точки с каждой стороны вершины, и они помогут в построении графика функции.

    Пример: График квадратичной функции f(x) = x 2 — 2x + 5.

    Решение:

    Сравнивая это с f(x) = ax 2 + bx + c, a = 1, b = -2 и c = 5.

    Координата x вершины: h = -b/2a = -(-2)/2(1) = 1.

    Его координата y: f(1) = 1 2 — 2(1) + 5 = 4.

    Значит, вершина (1, 4).

    Мы возьмем два случайных числа по обе стороны от 1 (координата x вершины) и создадим таблицу.Затем мы можем вычислить координаты y с помощью функции.

    х г
    -1 (-1) 2 — 2(-1) + 5 = 8
    0 0 2 — 2(0) + 5 = 5
    Вершина: 1 4
    2 2 2 — 2(2) + 5 = 5
    3 3 2 — 2(3) + 5 = 8

    Теперь мы нанесем точки (-1, 8), (0, 5), (1, 4), (2, 5) и (3, 8) на лист графика, соединим их, и продлите кривую с обеих сторон.

    График сложных функций

    Графические функции сравнительно просты, если каждый из их доменов и диапазонов представляет собой набор всех действительных чисел. Но это НЕ относится ко всем типам функций. Есть некоторые сложные функции, для которых необходимо учитывать домен, диапазон, асимптоты и дыры при их построении. Самые популярные такие функции:

    • Рациональные функции. Его родительская функция имеет форму f(x) = 1/x (которая называется обратной функцией).
    • Экспоненциальные функции. Его родительская функция имеет вид f(x) = a x .
    • Логарифмические функции. Его родительская функция имеет вид f(x) = log x.

    Только представьте, как выглядят графики родительских функций каждой из этих функций.

    В каждом из этих случаев для графических функций мы выполняем следующие шаги:

    • Найдите область определения и диапазон функции и помните об этом при построении кривой.
    • Найдите точки пересечения x и y и нанесите их на график.
    • Определите отверстия, если они есть.
    • Найдите асимптоты (вертикальную, горизонтальную и наклонную) и нарисуйте их пунктирными линиями, чтобы мы могли разбить график по этим линиям и убедиться, что график их не касается.
    • Постройте таблицу значений, взяв несколько случайных чисел для x (по обе стороны от точки пересечения x и/или по обе стороны от вертикальной асимптоты), рассчитайте соответствующие значения y.
    • Нанесите точки из таблицы и соедините их, учитывая асимптоты, домен и диапазон.

    Давайте посмотрим, как построить график функции в различных случаях, используя описанные выше шаги.

    Графики рациональных функций

    Построим график рациональной функции f(x) = (x + 1) / (x — 2). Мы следуем вышеуказанным шагам и рисуем график этой функции.

    • Домен = {x ∈ R | х ≠ 2} ; Диапазон = {y ∈ R | у ≠ 1}. Чтобы понять, как найти область определения и область значений рациональной функции, нажмите здесь.
    • Его точка пересечения по оси X равна (-1, 0), а точка пересечения по оси Y равна (0, -0,5).
    • Отверстий нет.
    • Вертикальная асимптота (VA) равна x = 2, а горизонтальная асимптота (VA) равна y = 1.
    • Возьмем несколько случайных значений по обе стороны от вертикальной асимптоты x = 2 и вычислим соответствующие значения y.
      х г
      -1 (-1+1)/(-1-2) = 0 (x-целое)
      0 (0+1)/(0-2) = -0.5 (у-целое)
      2 ВА
      3 (3+1)/(3-2) = 4
      4 (4+1)/(4-2) = 2,5
    • Построим все эти точки вместе с VA и HA.

    График экспоненциальных функций

    Рассмотрим экспоненциальную функцию f(x) = 2 -x + 2. Мы построим ее график, используя те же шаги, что и упомянутые выше.

    • Его областью определения является множество всех действительных чисел (R), а его диапазон равен y > 2. Чтобы узнать, как их найти, нажмите здесь.
    • Не имеет вертикальных асимптот. Но у него есть горизонтальная асимптота при y = 2,
    • .
    • Нет пересечений по оси x. Его y-пересечение равно (0, 3).
    • Без отверстий.
    • У нас нет данных о VA или x-intercept. Пока у нас есть только одно значение (0, 3). Итак, давайте возьмем несколько случайных чисел по обе стороны от x = 0 и составим таблицу.
      х г
      -2 2 -(-2) + 2 = 6
      -1 2 -(-1) + 2 = 4
      0 3 (г-целое)
      1 2 -1 + 2 = 2,5
      2 2 -2 + 2 = 2.25
    • Нанесем всю информацию на график.

    Графики логарифмических функций

    Мы построим график логарифмической функции, скажем, f(x) = 2 log 2 x — 2. Сейчас мы построим график, выполнив действия, описанные ранее.

    Точно так же вы можете увидеть, как строить графики нелинейных функций, функции тождества, функции модуля, полиномиальных функций, нулевой функции, функции наибольшего целого числа, постоянной функции, тригонометрических функций, функции дробной части и т. д., нажав на соответствующие ссылки.

    Графические функции с помощью преобразований

    Мы можем построить графики функций, применив преобразования к графикам родительских функций. Вот родительские функции нескольких важных типов функций.

    Нам нужно иметь представление о том, как выглядит график каждой из этих родительских функций (нажав на соответствующие ссылки). Затем мы можем применить следующие преобразования для построения графика данной функции.

    Трансформация Изменение графика
    f(x) + с Смещает график функции c единиц вверх.
    ф(х) — с Смещает график функции c единиц вниз.
    ф(х + с) Сдвигает график функции c единиц влево.
    ф(х — в) Смещает график функции c единиц вправо.
    -ф(х) Отражает график функции по оси X (в перевернутом виде).
    ф(-х) Отражает график функции по оси Y (т.д., левая и правая стороны меняются местами).
    ф(акс) Горизонтальное расширение с коэффициентом 1/a.
    а ф(х) Вертикальное расширение в a.

    Чтобы подробно понять, как строить графики функций с помощью преобразований, нажмите здесь.

    Важные примечания по графическим функциям:

    • f(ax) ≠ a f(x). Оба могут иметь разные значения.
    • Значение x, используемое для построения графика любой функции f(x), может быть целым числом, действительным числом или десятичным числом.
    • График функции никогда не должен касаться асимптот.
    • Не выбирайте значения x в таблице, которые НЕ находятся в домене функции.

    ☛ Похожие темы:

    Часто задаваемые вопросы о графических функциях

    Как графически отображать функции?

    Для графических функций нам нужно построить их асимптоты, точки пересечения x и y, пробелы и несколько точек на нем, построив таблицу значений.Затем просто присоединитесь к точке, не касаясь асимптот и сохраняя примечание области определения и диапазона функции.

    Какие этапы построения графика линейной функции?

    Шаги построения графика линейной функции приведены ниже:

    • Убедитесь, что линейная функция имеет вид y=mx+b.
    • Теперь b откладывается по оси Y.
    • м переводится в дробь.
    • Теперь линия продолжается от точки b с использованием наклона.
    • Линию можно дополнительно удлинить, используя миллиметры в качестве ориентира.

    Альтернативно:

    Любые две точки на линии определяют линию. Итак, чтобы нарисовать линейную функцию, нам нужно всего лишь две точки на ней. Чтобы построить график, просто создайте таблицу значений с двумя столбцами x и y, возьмите несколько случайных чисел для x и вычислите соответствующие значения y, подставив каждое из них в функцию. Затем просто нанесите точки на график, соедините их линией и бесконечно продлите линию с обеих сторон.

    Как узнать, является ли график функцией?

    Функция всегда проходит тест вертикальной линии. Чтобы использовать этот тест, просто возьмите вертикальную линию (или просто вертикальную палочку) и проведите ее по графику слева направо по горизонтали. Ни в какой момент времени линия не должна пересекать график более чем в одной точке, чтобы график представлял функцию.

    Как построить график кусочной функции?

    Кусочная функция определяется по-разному (с помощью разных уравнений) на разных интервалах. Нам просто нужно рассматривать каждое уравнение как другую функцию в заданной области и отображать ее так же, как мы изображаем нормальную функцию. Чтобы узнать больше о построении графика кусочной функции, нажмите здесь.

    Как идентифицировать функции с помощью графиков?

    Вот несколько приемов для определения функций по графикам:

    • Если график представляет собой линию, то это линейная функция, имеющая форму f(x) = ax + b.
    • Если график имеет форму идеальной буквы U или перевернутой буквы U, то он является квадратичной функцией и имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c.
    • Если на графике есть две кривые, симметричные относительно наклонной линии, то это рациональная функция, которая обычно имеет вид f(x) = (ax + b) / (cx + d).
    • Если график имеет форму V или перевернутой буквы V, то это функция абсолютного значения и имеет вид f(x) = a |bx + c| + д.
    • Если график состоит из нескольких горизонтальных линий, то он представляет собой функцию пола или функцию потолка.
    • Если график с одной кривой возрастает или убывает с вертикальной асимптотой, то это логарифмическая функция.
    • Если график с одной кривой возрастает или убывает с горизонтальной асимптотой, то это экспоненциальная функция.
    • Если на графике несколько волн, это может быть одна из тригонометрических функций:
      Функция синуса
      Функция косинуса
      Функция тангенса
      Функция косеканса
      Функция секанса
      Функция котангенса

    Как использовать график для решения уравнения?

    Сначала определите тип функции, взглянув на график.Возьмем его общее уравнение. Используйте некоторые точки на графике и общее уравнение, чтобы определить точное уравнение функции.

    Как нарисовать график уравнения?

    Чтобы нарисовать график уравнения функции, сделайте следующее:

    • Постройте различные точки уравнения.
    • Соедините точки и сформируйте кривую. Полученная таким образом кривая является графиком данного уравнения.

    Базовые навыки построения графиков


    Связанные количественные понятия: Понимание трендов, интерполяция/экстраполяция, функции, значимость графиков, путаница при построении графиков
    Связанные количественные понятия:

    или навыки, которым мы должны были научиться в старшей школе Дженнифер М.Веннер, геологический факультет Университета Висконсин-Ошкош
    Перейти вниз: Графики | Описание графиков | Чтение данных | Примеры и упражнения

    Вводные учебники заполнены графиками и графиками. Графики и графики являются ключевыми во вводных курсах, в которых упор делается на количественные навыки, потому что они являются сущностью предоставления учащимся множественных представлений математических понятий; они могут быть выражены численно, визуально и символически.Хотя концепции построения графиков и графиков преподаются на протяжении всей учебной программы K-12, я обнаружил, что на первых нескольких лекциях многие студенты испытывают затруднения с концепциями. В этом случае может потребоваться повторение основ построения графиков или графиков.

    Основные понятия

    Образцы редкоземельных элементов из гранитов в Сьерра-Неваде. Подробности

    Несмотря на то, что в старших классах у них наверняка есть опыт построения графиков, учащиеся часто испытывают трудности с основами построения графиков.Когда я преподаю графики, я обнаружил, что есть пять важных понятий, с которыми, как я ожидаю, мои студенты должны быть знакомы:

    1. Что такое график?
    2. построение осмысленных графиков и графиков
    3. отображение данных x-y на графике
    4. описание графиков или графиков
    5. чтение и интерпретация данных с графиков

    Что такое график? Почему они так важны?

    Графики играют важную роль в моделировании и понимании сложных природных систем и всплывают во многих местах вводной учебной программы по геонаукам.Хотя концепции построения графиков и графиков преподаются в классах K-12, я обнаружил, что некоторые ученики испытывают трудности даже с простыми концепциями, которые, как я ожидал, они должны знать. Если это относится к вашему курсу, возможно, потребуется повторить основы построения графиков или графиков.

    Я начинаю с того, что говорю учащимся, что графики — это визуальное представление числовых систем и уравнений. Основное уравнение для линии Поскольку я обучаюсь визуально, графики помогают мне визуализировать взаимосвязь одного бита данных с другим.Отношение также может быть переведено в математически значимое уравнение. Уравнение для линии ( y = mx + b ) является одним из таких уравнений. Тогда и другие смогут использовать это уравнение для понимания системы, потому что математика — универсальный язык. Если это уравнение применимо ко многим случаям подобных систем, ученые-геологи могут использовать графики для прогнозирования поведения упрощенных природных систем или для понимания взаимосвязей переменных внутри системы.

    Помощь учащимся в построении осмысленного сюжета

    Я обнаружил, что в ряде случаев студенты, изучающие геофизику на начальном этапе, испытывают трудности при построении графиков и графиков.

    • Некоторым сложно выбрать подходящую ось для переменной.
    • Размещение упорядоченных пар на графике может вызвать беспокойство у других
    • Определение масштаба и маркировка осей цифрами вызывает затруднения у многих
    Обзор важности создания осмысленного и удобочитаемого сюжета важен для студентов, которые борются с графикой. Я часто сталкиваюсь с проблемой непонимания студентами построения осмысленного сюжета, когда я рассказываю им о топографических профилях.Когда ко мне приходит студент с вопросами о том, как построить этот тип графика, я предлагаю ему пройти через мыслительный процесс маркировки осей и выбора масштаба:
    1. Во-первых, что мы пытаемся изобразить здесь?
    2. Затем решите, каковы оси… горизонтальное расстояние (в милях или км) по оси x и вертикальный рельеф (в футах или метрах) по оси y.
    3. Затем определите диапазон высот вдоль интересующего поперечного сечения
    4. Теперь нам нужно определить приращения по вертикальной шкале. Мы можем сделать это, подумав о нескольких важных вещах:
      • Что такое контурный интервал? Могут быть полезны приращения, аналогичные интервалу контура.
      • Сколько возможных приращений на вашей бумаге?
      • Если разница высот составляет 480 футов, а на графике есть 10 приращений, следует ли строить с шагом 48? Основываясь на интервале контура, разумно ли это? Не проще ли построить график с шагом 50?
    5. Наконец, нанесите высоты в соответствующих местах на графике и соедините точки ГЛАДКОЙ кривой.
    В конце концов, кажется, что учащиеся могут относиться к желанию, чтобы что-то было легко читаемым, и в процессе этого начинают учиться делать реалистичный выбор.

    Данные построения

    Построение упорядоченных пар на декартовом графике может быть трудным для студентов, хотя вполне вероятно, что они делали это много раз в своей академической карьере. В модуле «Обучение с данными» в «Отправной точке» есть некоторая информация (и ссылки), описывающая хорошие способы обучения учащихся черчению. Вот некоторые важные фрагменты информации, которые могут помочь преподавателям убедиться, что учащиеся быстро справляются с построением графиков:

    • есть две оси — горизонтальная (часто называемая осью x ) и вертикальная (часто называемая осью y ),
    • точка на графике обозначается упорядоченной парой (или координатами (например, (3,8)) где:
      • первое число относится к горизонтальному положению на оси x ,
      • второе число относится к вертикальному положению на оси и ,
      • иногда заказанные пары перечислены в табличном формате с заголовками, соответствующими меткам на оси
    • две оси пересекаются в точке, называемой началом координат с координатами (0,0),
    • причина, по которой мы отображаем данные, заключается в том, чтобы нам было легче наблюдать тенденции или поведение данных
    • (с изменениями из Anderson and Swanson, 2005 г.)

    Описание графиков и графиков

    Студенты борются с описанием данных на участке. И, тем не менее, это, как правило, основная причина, по которой мы используем графики данных — для описания данных. Данные могут быть описаны качественно с использованием специальной терминологии:

    • Часто мы используем слова, описывающие кривую или линию, образованную данными: например, линейная, экспоненциальная, асимптотическая, периодическая и т. д. .
    • Силу этих отношений также можно охарактеризовать с помощью таких слов, как сильный, умеренный или слабый
    • Иногда мы используем такие слова, как увеличение и уменьшение или положительное и отрицательное для описания отношения набора данных.

    Например: Данные на графике в поле ниже имеют умеренно сильную отрицательную линейную зависимость. Учащиеся могут не иметь четкого представления о том, что означают эти слова, может потребоваться объяснить этот словарь (возможно, используя графическое и/или символическое представление). Отправной точкой является обсуждение того, как помочь учащимся с описанием данных на графиках.

    Во вводных курсах по наукам о Земле есть ряд тем, по которым мы ожидаем, что студенты смогут распознавать линейные зависимости.В моем курсе,

    Данные по основным элементам из нескольких наборов магматических пород в Сьерра-Неваде (Wenner and Coleman, 2004), демонстрирующие линейный массив и отрицательный наклон.

    учащиеся также могут ожидать, что их попросят нарисовать «наиболее подходящие линии» через линейные (или иногда кривые) данные, чтобы предсказать поведение в других ситуациях. Когда студенты борются с этими понятиями, я пытаюсь заставить их сделать один шаг назад. Я прошу их описать форму данных. Тогда я говорю: «Если бы вам нужно было провести идеально прямую линию так, чтобы она проходила через как можно больше точек, как бы вы ее начертили? Положите линейку на бумагу в том месте, где вы будете ее проводить.Пока они это делают, мы обсуждаем, почему он/она поместил это туда, как эта линия на самом деле описывает
    данные, и я говорю о том, чтобы убедиться, что одинаковое количество точек находится с одной или с другой стороны. Если они это сделали правильно, они должны иметь возможность использовать свою строку для чтения/генерации новых данных.

    Помимо использования качественных терминов, мы можем описать сюжет с помощью математических выражений. Наиболее распространенным (и часто знакомым учащимся) является уравнение прямой:

    . у = мх + б

    , где m = наклон и b = точка пересечения с осью y.

    Учащиеся, незнакомые с концепцией отображения данных на графике, также могут столкнуться с трудностями при математическом описании тенденций и данных. После того, как учащиеся овладеют тенденциями/данными описательной лексики, им может понадобиться дополнительная помощь с более сложными понятиями, связанными с математическим описанием тенденций. См. страницу «Понимание трендов» для получения дополнительной информации о математической интерпретации трендов.

    Чтение данных с графиков

    Графики данных (и простые взаимосвязи между переменными) могут помочь геологам понять и предсказать физический принцип работы Земли. Нанесение на график известных данных может помочь нам визуализировать поведение систем в ситуациях, которые не были измерены. Ожидается, что учащиеся вводных курсов по наукам о земле будут способны считывать данные с графиков линий (или иногда более сложных математических отношений, таких как кривые), чтобы предсказывать поведение. Если учащиеся понимают концепции, обсуждаемые выше, они должны быть в состоянии генерировать новые данные из графиков известных данных. Пример использования графиков для прогнозирования поведения представлен в разделах прогнозирования на странице SERC о наводнениях и наводнениях.График частоты наводнений для реки Алси, штат Орегон (данные Геологической службы США). Многие студенты моих вводных курсов не умеют читать данные с простого линейного графика. Тем не менее, я ожидаю, что они предскажут разлив 200-летнего потопа на таком участке, как тот, что в этой рамке. Некоторым учащимся непонятна идея генерации данных из графика — им это кажется слишком простым. Но я объясняю, что вы просто берете переменную, которую вы хотите знать (200 лет), и определяете соответствующее значение для другой переменной, для которой вы знаете отношение к первой (разряд).Для студентов, у которых был значительный объем алгебры, это может быть так же просто, как указать, что это просто решение уравнения для одной переменной (потому что вы знаете другую переменную).

    Геологи используют графики множеством простых способов, понятных практически любому студенту. Графики могут быть визуальным способом предсказания или предсказания геологических событий. Но они также используются для понимания поведения систем, для визуализации больших наборов данных и для помощи геологам в понимании многих важных систем, которые может быть нелегко понять, просто взглянув на набор чисел.Графики — это способ сделать десятки точек данных управляемыми и часто более понятными.

    Более продвинутые навыки построения графиков

    Навыки, описанные выше, являются базовыми навыками, необходимыми для многих приложений на вводных курсах по геонаукам. Некоторые вводные темы геолого-геофизических наук требуют более продвинутых навыков и могут потребовать больших усилий для того, чтобы ваши студенты освоились. На веб-сайте Teaching Quantitative Skills есть несколько страниц, посвященных этим навыкам:

    • Понимание тенденций в данных
    • Интерполяция/экстраполяция трендов
    • Генерация функций из графиков/данных

    Обучающие примеры и упражнения

    • Графические данные

      Модуль в Starting Point, предназначенный для помощи преподавателям в обучении студентов нанесению данных на графики.Каждая ссылка дает некоторую информацию о важных моментах для нанесения точек на графики.
    • Описание графиков

      В Starting Point есть этот модуль для описания графиков с рядом хороших ссылок как для преподавателей, так и для студентов. Как и в случае с модулем «График», имеется ряд полезных ссылок на веб-страницы, посвященные решению проблем учащихся с описанием графиков.
    • Действия, направленные на повышение и развитие количественных навыков

      Ряд заданий, размещенных на странице «Количественные навыки» на сайте «Науки о Земле», предназначены для того, чтобы помочь учащимся научиться построению графиков в контексте наук о Земле.Некоторые из этих мероприятий предназначены для старшеклассников.
    • Упражнения начального уровня с использованием Excel

      Существуют десятки действий, связанных с использованием Excel, которые доступны как часть отправной точки SERC. Каждое из этих занятий доступно для загрузки и готово к использованию.
    • Концептуальные тесты, включающие интерпретацию графиков

      Существует ряд примеров ConcepTests, которые можно использовать для разделения лекций в большом классе.Каждый из этих концептуальных тестов включает интерпретацию графиков, подходящую для начального уровня геолого-геофизических исследований.

    Ресурсы

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск