Графики квадратных функций: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Графики квадратичных функций — презентация онлайн

С тех пор как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье.
Какой мы ни возьмем язык и век,
Всегда стремится к знанью человек.
Сейчас появятся шесть графиков квадратичных функций и
значения старшего коэффициента (а) и дискриминанта
квадратного трёхчлена (D). Выберите график,
соответствующий указанным значениям, для этого
сделайте клик на прямоугольнике с цифрой или на слове
«нет», если такие значения отсутствуют. При правильном
ответе открывается часть картинки, при неправильном возникает слово «ошибка», чтобы вернуться к заданиям
нужно нажать на управляющую кнопку «назад». После
верного выполнения всех заданий картинка откроется
полностью.
а 0; D 0
1
у
0
4
2
х
у
0
0
5
х
у
3
х
у
0
НЕТ
0
6
х
у
х
у
0
х
а 0; D 0
1
у
0
4
2
х
у
0
0
5
х
у
3
х
у
0
НЕТ
0
6
х
у
х
у
0
х
а 0; D 0
1
у
0
4
2
х
у
0
х
у
0
5
НЕТ
х
у
0
6
х
у
0
х
а 0; D 0
2
у
0
4
у
0
5
х
НЕТ
х
у
0
6
х
у
0
х
а 0; D 0
2
у
0
5
НЕТ
х
у
0
6
х
у
0
х
а 0; D 0
2
у
0
5
НЕТ
х
у
0
6
х
у
0
х
а 0; D 0
2
у
0
5
х
у
0
х
НЕТ
а 0; D 0
2
у
0
5
х
у
0
х
НЕТ
а 0; D 0
5
у
0
х
НЕТ
а 0; D 0
5
у
0
х
НЕТ
Найдите корни квадратного трехчлена:
Ι вариант.

а) х2+х-12
б) х2+6х+9.
ΙΙ вариант.
а) 2х2-7х+5;
б) 4х2-4х+1.
Найдите корни квадратного трехчлена:
Ι вариант.
а) х2+х-12;
б) х2+6х+9;
ΙΙ вариант.
x1=-4; x2=3
x1,2=-3
а) 2х2-7х+5;
б) 4х2-4х+1;
x1=1; x2=2,5
x1,2=0,5
у=ах²+bх+с
а>0
D=0
а>0
D
у
а
D>0
а>0
D>0
х
0
а
D=0
а
D
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у ≥ 0. Сделайте клик
на прямоугольнике с цифрой.
у
1 -2
4
3
2
1
ВЕРНО!
2 х≤ -2 , х ≥2
3 -2 ≤ х ≤ 2
4 х2
-3 -2 -1
01 2 3 4 х
-2
-3
-4
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых значения функции
неположительны. Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
ВЕРНО!
1 0≤х≤4
2 0
3 х≤ 0 , х ≥4
4 х
х >4
у
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
Значения функции неположительны,то есть
отрицательны или равны 0.
х
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у
на прямоугольнике с цифрой.
1 х — любое
ВЕРНО!
2 х≤ 0 ,
3 Ни при каких х
4 х>0
х
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у ≤ 0. Сделайте клик
на прямоугольнике с цифрой.
у
1 х 0
ВЕРНО!
2 х≤ -4 , х ≥0
3 -4 ≤ х ≤ 0
4 -4
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
х
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых значения функции
неотрицательны. Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
у
1 0
4
3
2
1
ВЕРНО!
2 х≤ 0 , х ≥4
3 0≤х≤4
4 х
х >4
-3 -2 -1
01 2 3 4 х
-2
-3
-4
Значения функции неотрицательны,то есть
положительны или равны 0.
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у
на прямоугольнике с цифрой.
ВЕРНО!
1 х — любое
2 х≤ 0 ,
3 Ни при каких х
4 х>0
х
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у > 0. Сделайте клик
на прямоугольнике с цифрой.
у
1 х 0
4
2 х≤ -4 , х ≥0
3
2
1
3 -4 ≤ х ≤ 0
4 -4
ВЕРНО!
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
х
По графику квадратичной функции укажите все
значения аргумента, при которых у
на прямоугольнике с цифрой.
у
1 -2
4
3
2
1
2 х≤ -2 , х ≥2
3 -2 ≤ х ≤ 2
4 х2
ВЕРНО!
-3 -2 -1
01 2 3 4 х
-2
-3
-4
Решение квадратных
неравенств.
Квадратным называется неравенство, левая часть
которого − квадратный трёхчлен, а правая часть
равна нулю.
ах²+bх+с>0
ах²+bх+с
ах²+bх+с≥0
ах²+bх+с≤0
Решением неравенства с одним неизвестным
называется то значение неизвестного, при котором
это неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство − это значит найти все его
решения или установить, что их нет.
Являются ли следующие
неравенства квадратными?
2×2 4x 6
a)
0;
2
г)4 y 2 5 y 7 0;
б )4 x 2 x 0;
д)5x 6 x 4 0;
в )2 x 4 0;
е)3 y 5 y 2 7 0.
2
2
Решите неравенство
х²+7х-8
Алгоритм решения
квадратных неравенств:
1. Приведите неравенство к виду
ах²+bх+с>0 (≥0) , ах²+bх+с>0 (≤0) .
2. Рассмотрим функцию
у=х²+7х-8 .
2. Рассмотрите функцию
у=ах²+bх+с .
3. Определите направления
ветвей.
4. Найдите точки пересечения
параболы с осью абсцисс (для них
у=0; х1 и х2 найдите, решая
уравнение ах²+bх+с=0 ).
5. Схематически постройте
график функции у=ах²+bх+с .
6. Выделите часть параболы для
которой у>0 (≥0) или у
7. На оси абсцисс выделите те
значения х, для которых у>0 (≥0)
или у
8. Запишите ответ.
3. Графиком функции является
парабола, ветви которой
направлены вверх.
4. х²+7х-8=0 .
По теореме Виета
х 1+х 2=-7
х 1·х 2=-8
5.
−8
х 1= -8
х 2=1
//////////////////////
1
6 -7.
8. Ответ:
8;1
х
Решите неравенство
х2 – 3х 0
у = х2 – 3х
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
о
х2 – 3х = 0
х(х-3)=0
х=0 или х-3=0
х=3
1
2
3
4
5
6
7
х
Ответ : ( ;0] [3; )
Решите неравенство
– х2 – 3х 0
-х2 – 3х = 0
-х(х+3)=0
х=0 или х+3=0
х=-3
у = – х2 – 3х
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
о
1
2
3
4
5
6
7
х
Ответ : ( ; 3] [0; )
Решите неравенство
– х2 – 3х > 0
Ответ : ( 3; 0)
у = – х2 – 3х
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
о
1
2
3
4
5
6
7
х
.
Решите неравенство
– х2 – 3х 0
Ответ :[ 3; 0]
х
Решите неравенство
– х2 + 5х–9,6 > 0
-х2 +5х-9,6 = 0
х²-5х+9,6=0
D=25-38,4=-13,4
нет корней,
парабола не
пересекает ось х
Ответ :
Решите неравенство
– х2 +5х–9,6
у = – х2 + 5х –9,6
Ответ : х R.
Решите неравенство
х2 – 6х+ 9
х2 – 6х+ 9 = 0
(х-3)²=0
х-3=0
х=3
у = х2 – 6х +9
Ответ :
Решите неравенство
х2 –6х + 9 0
3
х
Ответ : х 3
Решите неравенство
х2 –6х + 9 > 0
Ответ
: х 3.
.
Решите неравенство
х2 –6х + 9 0
Ответ : х R.
Аналитическая
модель
Старший
коэффици
ент
Дискрими
нант
Геометриче
ская модель
у
ах²+bх+с>0
а>0
D>0
х1
х2 0
у
ах²+bх+с≥0
а>0
D>0
х1
х2 0
; х1
х
х2 ;
; х1
х
х2 ;
у
ах²+bх+с>0
а>0
D
0
х
0
х
0
х
0
х
у
ах²+bх+с≥0
а>0
D
у
ах²+bх+с>0
ах²+bх+с≥0
а>0
а>0
D=0
у
Решение
D=0
;
;
; хо
хо ;
;
Решите неравенство
х2 + 4х
1
[-4; 0]
2
(-4; 0)
у
ВЕРНО!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
3
; 4 0;
4
( ; 4] [0; )
Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
7
6
5
4
3
2
1
х
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
у
Решите неравенство
х2 + 4х ≥ 0
1
[-4; 0]
2
(-4; 0)
7
6
5
4
3
2
1
ВЕРНО!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
3
( ; 4] [0; )
4
; 4 0;
Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
х
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
у
Решите неравенство
– х2 + 4х–6 ≥ 0
1
2
3
4
7
6
5
4
3
2
1
x=2
; 2 ( 2; )
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
нет решений
;
ВЕРНО!
Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
х
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
у
Решите неравенство
– х2 + 6х–9
1
x=3
2
х R
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
3
нет решений
4
; 3 (3; )
ВЕРНО!
Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
х
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
На рисунке изображён график функции у=ах²+bх+с.
Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём)
а
а>0
а≥0
у
D=0
D
D>0
Уравнение ах²+bх+с=0 имеет два
различных корня.
Неравенство ах²+bх+с≤0 имеет
решение при любых значениях х.
х
0
Неравенство ах²+bх+с>0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с
имеет решений.
На рисунке изображён график функции у=ах²+bх+с.
Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём).
а
а>0
а≥0
у
D=0
D
D>0
Уравнение ах²+bх+с=0 имеет два
различных корня.
Неравенство ах²+bх+с≤0 имеет
решение при любых значениях х.
х
0
Неравенство ах²+bх+с>0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с
имеет решений.
На рисунке изображён график функции у=ах²+bх+с.
Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём).
а
а>0
а≥0
у
0
х D=0
D
D>0
Уравнение ах²+bх+с=0 имеет два
равных корня.
Неравенство ах²+bх+с≤0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с>0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с
имеет решений.
На рисунке изображён график функции у=ах²+bх+с.
Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём).
а
а>0
а≥0
у
0
х D=0
D
D>0
Уравнение ах²+bх+с=0 имеет два
равных корня.
Неравенство ах²+bх+с≤0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с>0 имеет
решение при любых значениях х.
Неравенство ах²+bх+с
имеет решений.
Найдите все значения а, при которых
неравенство х²+(2а+4)х+8а+1 ≤ 0 не имеет
решений?
Решение.
f(x)= х²+(2а+4)х+8а+1
Ветви параболы направлены вверх, т.к. старший
коэффициент равен 1.
D
х
D=b²-4ac
D=(2a+4)² -4·1·(8a+1)=4a²+16a+16 -32a-4=
=4a²-16a+12
4a²-16a+12
a²-4a+3
g(a)= a²-4а+3
g(a)= 0
a²-4а+3=0
По теореме Виета
a 1+а 2=4
а 1=1
a 1·а 2=3
а 2=3
1
//////////
3
а
а 1; 3
Ответ: при а 1; 3
неравенство х²+(2а+4)х+8а+1 ≤ 0
не имеет решений.
ТЕСТИРАВОНИЕ
2 вариант
1 вариант
;2 4;
2. ; 1 3; 2. ; 1 3;
1. 3;2
Б
4. А
3.
5. 2;3
1.
3.
Б
4.
В
5.
3;5

Построение графика квадратичной функции

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 1

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;3].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 2

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 3

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1;4].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 4

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;0].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 1

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;3].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 2

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 3

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1;4].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 4

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;0].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 1

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;3].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 2

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 3

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1;4].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Самостоятельная работа «Построение графика квадратичной функции»

Вариант 4

  1. Построить график функции . Используя график, найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;0].

  2. На рисунках представлены графики квадратичных функций. При каких значениях х функция отрицательна (у 0).

Ответ: Функция 1 при значениях ( ), функция 2 при значениях ( )

Варианты ответов

y

y0

(-1;1)

(-∞;0)(1;∞)

(-∞;∞)

(-1;0)

(-∞;-1)(-1;∞)

нет значений x

Построение графика квадратного уравнения с двумя переменными. Как построить график уравнения. Преимущества построения графиков онлайн

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графики уравнений

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.е. выполним обзор по графикам уравнений .

1. Линейное уравнение с двумя переменными

x, y — в первой степени; a,b,c — конкретные числа.

Пример:

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями — y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

В данном случае

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки

Значит, чисел

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар — сколько их? Бесчисленное множество.

Это рациональное уравнение,

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем

Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример: Построить график рационального уравнения.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения:

Схематически изобразим график (Рис. 2).

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку

Решением исходного уравнения является множество пар

3. Построить график уравнения

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

Графиком функции является гипербола, функция не определена при

Функция убывающая.

Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна

Решением исходного уравнения является множество пар

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции — тоже гипербола — будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

4. Уравнение окружности

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).

Рассмотрим конкретные примеры.

a.

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

— получили уравнение окружности с центром в .

Построим график уравнения (Рис. 5).

b. Построить график уравнения

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т.е. двух прямых.

Построим его (Рис. 6).

Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет — будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x

3) В третьей четверти x

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область
Знак подмодульного выражения
Полученное уравнение после раскрытия модуля
I x ≥ 1 и y ≥ 1 x + y = 3
II x -x + y = 1
III x x + y = 1
IV x ≥ 1 и y x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :

  1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
  2. Построить график уравнения из пункта 1.
  3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
  4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7 .

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c — некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у — ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x — 2*y =6;

Положим х=0, тогда — 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 — 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 — 4 Or x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c) — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Постройте график

y = x 2 — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 — 4x + 5) + 4 y = (x 2 — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

График радикальных функций: дополнительные примеры

Пурпурная математика

Первые два графика квадратного корня на предыдущей странице имели обычную дуговую форму квадратного корня. Однако последний график на предыдущей странице больше походил на букву «V», но с закругленным низом (а не с заостренным краем, ожидаемым на графике абсолютных значений). В то время как большинство функций квадратного корня, которые вам будут даны, будут графически изображаться в виде дуг, некоторые — нет, и эти графы другой формы станут более распространенными, если вы перейдете к исчислению.

MathHelp.com

Однако основной процесс остается прежним; а именно, сначала найдите домен, а затем нанесите достаточное количество точек, чтобы у вас было хорошее представление о том, куда должна идти линия графика. (И, конечно же, если у вас есть графический калькулятор, проверьте свою работу!)


  • График

В последнем примере на предыдущей странице аргумент квадратного корня был, как и здесь, квадратичным.

Сначала я найду домен. Чтобы сделать это алгебраически, я начну с установки аргумента квадратного корня равным нулю.

16 – х 2 = 0

х 2 – 16 = 0

( х — 4)( х + 4) = 0

х = –4, 4

Но мне нужно знать, где аргумент равен или больше нуля. Что мне теперь делать? Если я научился решать квадратные неравенства, я могу использовать эту методологию.Но предположим, я еще не узнал об этом?

В этих двух найденных выше решениях аргумент квадратного корня пересекает ось x ; то есть мне говорят, где 16 –  x 2 равно нулю. Эти решения, или нули, разбивают числовую прямую (то есть ось x ) на три интервала: (–∞, –4), (–4, 4) и (4, ∞). Мне нужен интервал (ы), на котором 16– x 2 выше оси x .

Поскольку я знаю, что первоначальный аргумент представляет собой параболу, расположенную над осью x в середине, я знаю, что нужно выбрать средний интервал для области определения этой функции квадратного корня.

(Если вы не уверены в этом, то сделайте быстрый график y = 16 —  x 2 и посмотрите, где график находится выше и ниже горизонтальной оси. Интервал, где y -значения положительны (–4, 4), как показано ниже.)

Таким образом, интервал между x  = –4 и x  = 4 будет областью определения этой конкретной радикальной функции. Ни до, ни после этого интервала строить график будет абсолютно нечего.

Теперь мне нужно найти несколько точек графика в дополнение к двум нулям, которые у меня уже есть. Поскольку значения для этой функции не подходили, я воспользовался калькулятором для аппроксимации значений и для моей T-диаграммы:

Наконец, я сделаю свой график:

Если вы думаете, что мой график выше очень похож на верхнюю половину круга, то вы совершенно правы.На самом деле, это верхняя половина круга с центром в начале координат и радиусом r  = 4. (Отрицательное значение этой функции извлечения квадратного корня дало бы мне нижнюю половину того же круга. круг.


  • График

Сначала я найду домен. Поскольку аргумент радикала является квадратным плюсом, я знаю, что этот аргумент будет положительным, если соответствующая парабола находится выше оси x .Я ожидаю, что это будет по обе стороны от перехватов x , но не посередине между перехватами.

Перехваты находятся путем установки аргумента равным нулю и решения:

х 2 – 4 х = 0

х ( х – 4) = 0

х = 0, 4

Эти два нуля аргумента разбивают числовую прямую на три интервала: (–∞, 0), (0, 4) и (4, ∞).Я ожидаю, что аргумент будет положительным (то есть выше оси x ) на первом и третьем интервалах, но отрицательным (то есть ниже оси x ) в середине. Для подтверждения посмотрю на график параболы y = x 2  – 4 x :

Как я и ожидал, квадратичный аргумент положителен (то есть его график выше оси x ) до первого пересечения на x  = 0 и после второго пересечения на x  = 4.

Аргумент радикала положителен на двух несвязанных интервалах на обоих концах графика параболы. Другими словами, домен радикала расщеплен на ДВЕ части, которые не связаны друг с другом.

Это означает, что график радикальной функции также будет состоять из двух частей: одна часть слева, заканчивающаяся на x  = 0, и другая часть справа, начиная с x  = 4.Между этими двумя частями не будет ничего, кроме пробела .

Помня об этом ограничении домена, я тщательно найду некоторые точки графика, используя свой калькулятор, чтобы получить десятичные аппроксимации для y -значений:

Наконец, я сделаю свой график:


Филиал


Большая часть графиков радикальных функций, которые вы будете делать, будет включать в себя квадратные корни. Но можно изобразить и другие корни. Вот пример функции кубического корня:

  • График

Для кубического корня (как и для любого другого корня с нечетным индексом) нет никаких доменных ограничений, потому что у вас может быть «минус» внутри кубического корня, поэтому я могу изобразить кубический корень из отрицательного числа. Итак, в отличие от случая, когда я работаю с квадратным корнем (или любым другим корнем с четным индексом), мне не нужно начинать с поиска домена; домен будет «все x «.

Итак, я перейду прямо к поиску некоторых точек графика, используя свой калькулятор, чтобы найти десятичные аппроксимации:

Я смог найти несколько значений x , которые дали мне хорошие значения y , установив аргумент кубического корня равным точному кубу, например –8 или 1, и найдя x . Но чтобы получить достаточное количество точек графика, чтобы быть уверенным в том, что должна делать линия графика, мне также пришлось использовать несколько нечетких значений.

Мой график выглядит так:

Предупреждение. Радикалы изображаются изогнутыми линиями. Не поддавайтесь искушению провести прямую линию через нанесенные точки. Вместо этого используйте достаточно точек графика, чтобы четко показать форму графика, а затем нарисуйте график вместе с его кривыми . Вы должны ожидать, что большинство графиков радикальных функций будут больше в ширину, чем в высоту, но не думайте, что так будет всегда.Не торопитесь и помните, что трудно ошибиться с большим количеством сюжетных точек!


URL: https://www. purplemath.com/modules/graphrad3.htm

Графики квадратных корней функций

Домен и диапазон функции квадратного корня

Домен представляет собой набор всех x независимых значений, для которых функция f(x) существует или определена.

Диапазон — это набор всех и зависимых значений, которые будут получены в результате подстановки всех значений x (домен) в функцию.

В функции квадратного корня и домен, и диапазон ограничены на основе концепции, что мы можем извлекать только квадратный корень из положительных чисел.

График базовой функции квадратного корня

Давайте рассмотрим другой пример домена и диапазона с использованием функции квадратного корня.

График преобразованной функции квадратного корня

График сместился, как и значения. Обратите внимание, что ноль больше не является допустимым значением x для этой функции.

И домен, и диапазон будут затронуты изменениями, примененными к базовой функции извлечения квадратного корня. Как видно из таблицы и графика, наименьшее значение x равно 2, а наименьшее значение y равно 3.

График основных преобразований функции извлечения квадратного корня

Горизонтальный перенос

Горизонтальный сдвиг представляет собой сдвиг графика и всех его значений влево или вправо. Изменение произойдет, если мы добавим или вычтем число из x под знаком радикала.

Горизонтальный перевод функции квадратного корня вправо

g(x) сместился на 2 единицы вправо, а не влево! Вместо точек (0, 0), (1, 1) и (2, 1. 41) на графике f(x), имеем (2, 0), (3, 1) и (4, 1.41) на графике g(x). Обратите внимание, как все значения x увеличились на 2, а и остались прежними. Таким образом, если число вычитается из x в уравнении, график и все значения x перемещаются вправо.

Посмотрим на другой пример:

Что вы можете сказать о поведении этой функции квадратного корня? Как вы думаете, h(x) переместится на 4 единицы влево или вправо?

Горизонтальный перевод функции квадратного корня влево

Если вы сказали, что график h(x) сместится на 4 единицы влево, вы были правы! Это связано с тем, что отрицательное число, добавленное к x в уравнении, вызвало сдвиг графика и всех значений x влево.

Вертикальное перемещение

Вертикальное перемещение — сдвиг графика вверх или вниз в плоскости координат. Вертикальный перевод происходит, когда мы добавляем или вычитаем число вне функции, в нашем случае вне знака квадратного корня.

Давайте посмотрим на это следующее изменение в уравнении.

Мы добавили 4, как и в примере с g(x), но есть большая разница в том, где мы выполнили это добавление.Он больше не под знаком квадратного корня, он снаружи. В этом случае это преобразование затронет значения и . Если вы используете калькулятор для вычисления вертикального смещения «x», определите квадратный корень, а затем добавьте число 4. Например, квадратный корень из 1 равен 1, а 1 + 4 = 5.

Вертикальный перевод функции квадратного корня вверх

Добавление или вычитание числа за пределами знака квадратного корня переместит график по вертикали, переместит все значения y в соответствии с алгебраической операцией, указанной его значением. Если мы добавим 4, график сдвинется вверх, если мы вычтем из уравнения 4, график сдвинется на 4 единицы вниз. Логично, правда?!

Вертикальный перевод функции квадратного корня вниз

Если график переместить вертикально, диапазон изменится с этим сдвигом. Домен, все значения x останутся такими же, как и для базовой функции квадратного корня.

Отражения функции извлечения квадратного корня

Существует два основных типа отражений, когда дело доходит до графиков: вертикальные и горизонтальные.

Вертикальное отражение — это отражение графика по оси x . Мы получаем вертикальное отражение, умножая функцию на -1.

Вертикальное отражение функции квадратного корня по оси x

Как видите, значения и стали отрицательными, потому что мы умножили функцию на -1. Обратите внимание, что значения x не затрагиваются, они такие же в j(x), как и в f(x).Поэтому домен от нуля до бесконечности, а диапазон от отрицательной бесконечности до нуля.

Горизонтальное отражение — это отражение по оси Y . Мы получаем горизонтальное отражение, умножая значение x на -1.

Горизонтальное отражение функции квадратного корня по оси Y

Поскольку мы умножили ввод функции на -1, все значения x стали отрицательными, а y остались прежними.Таким образом, домен от отрицательной бесконечности до нуля, а диапазон от нуля до бесконечности.

Краткое содержание урока

1. Базовая функция квадратного корня извлекает квадратный корень из независимой величины.

2. Область применения и диапазон базовой функции извлечения квадратного корня ограничены, поскольку не существует квадратного корня из отрицательного числа. И домен, и диапазон базовой функции от нуля до бесконечности.

3. Горизонтальный перенос происходит, когда мы добавляем или вычитаем число под знаком квадратного корня.Операция сдвигает график по горизонтали в сторону, противоположную знаку числа.

4. Вертикальный перенос происходит, когда мы добавляем или вычитаем число вне знака квадратного корня. Операция сдвигает график по вертикали в соответствии со знаком числа.

5. Горизонтальное отражение отражает график по оси Y , и это происходит, когда мы умножаем x под знаком квадратного корня на -1.

6. Вертикальное отражение отражает график поперек оси x и возникает, когда мы умножаем функцию вне знака квадратного корня на -1.

7. Преобразования затрагивают домен и диапазон.

График подкоренной функции (Алгебра 1, Подкоренные выражения) — Mathplanet

Радикал, как вы помните, это то, что находится под знаком радикала, например. квадратный корень. Подкоренная функция содержит подкоренное выражение с независимой переменной (обычно x) в подкоренном члене. Обычно радикальные уравнения, где радикал представляет собой квадратный корень, называются функциями квадратного корня.

Пример радикальной функции:

$$y=\sqrt{x}$$

Это родительская функция квадратного корня, и ее график выглядит как

.

Если мы сравним это с функцией извлечения квадратного корня

$$y=a\sqrt{x}$$

Мы заметим, что график растягивается или сжимается по вертикали, когда мы варьируем

$$\begin{matrix} \left | а \ право | >0\: \: \: \: \: \: \: & &\Стрелка вправо по вертикали\: растянуть \\ 0<\влево | a \right |<1 & & \Стрелка вправо по вертикали\: сжать\: \: \: \\ \end{matrix}$$

На графике ниже у нас есть радикальные функции с различными значениями

Если a < 0 график

$$y=a\sqrt{x}$$

Отражение по оси X графика

$$y=\влево |a \вправо |\sqrt{x}$$

Другим уравнением квадратного корня было бы

$$y=a\sqrt{x-b}+c$$

Если вы посмотрите на графики выше, все из которых имеют c = 0, вы увидите, что все они имеют диапазон ≥ 0 (все графики начинаются с x = 0, поскольку нет реальных решений квадратного корня из отрицательного числа) . Если у вас есть c ≠ 0, у вас будет радикальная функция, которая начинается в (0, c). Пример этого можно увидеть на графике ниже

.

Значение b говорит нам, где начинается область определения радикальной функции. Опять же, если вы посмотрите на родительскую функцию, она имеет a b = 0 и, следовательно, начинается с (0, 0). Если у вас есть a b ≠ 0, то радикальная функция начинается с (b, 0).

Если и b ≠ 0, и c ≠ 0, то радикальная функция начинается в (b, c)


Видеоурок

Сравнить радикальные функции

$$y_{1} =\sqrt{x}$$

$$y_{2} = 3\sqrt{x}$$

$$y_{3} = \sqrt{x} + 2$$

$$y_{4} = \sqrt{x- 1}$$

$$y_{5} = \sqrt{x(x-2)} + 1$$

Как построить график родительских функций

В математике вы снова и снова видите определенные графики.По этой причине эти исходные общие функции называются родительскими графами , , и они включают в себя графики квадратичных функций, квадратных корней, абсолютных значений, кубических чисел и кубических корней .

График квадратичных функций

Квадратичные функции — это функции, в которых 2-я степень, или квадрат, является наибольшей величиной, до которой возводится неизвестная величина или переменная. x ) = x 2 является квадратичной функцией и является родительским графиком для всех других квадратичных функций.

Быстрый способ построения графика функции f ( x ) = x 2 состоит в том, чтобы начать с точки (0, 0) (начало координат ) и отметить точку, называемую вершиной . Обратите внимание, что точка (0, 0) является вершиной только родительской функции. В математическом анализе эта точка называется критической точкой , , и некоторые преподаватели предварительного исчисления также используют эту терминологию. Не вдаваясь в определение исчисления, это означает, что точка особенная.

График любой квадратичной функции называется параболой . Все параболы имеют одинаковую основную форму. Чтобы получить другие точки, вы наносите точки (1,1 2 )=(1,1), (2,2 2 )=(2,4), (3,3 2 )=( 3,9) и т. д. Этот график появляется и на другой стороне вершины и продолжается, но обычно всего пара точек по обе стороны от вершины дает вам хорошее представление о том, как выглядит график.

На этом рисунке показан пример квадратичной функции в виде графика.

Графики функций квадратного корня

Граф квадратного корня связан с квадратичным графом. Квадратичный граф равен f ( x ) = x 2 , тогда как граф квадратного корня равен g ( x ) = x 1/2 90. График функции квадратного корня выглядит как левая половина параболы, повернутой на 90 градусов по часовой стрелке. Вы также можете записать функцию извлечения квадратного корня как

.

Однако существует только половина параболы по двум причинам.Во-первых, его родительский граф существует только тогда, когда 90 216 x 90 217 равно нулю или положительны (потому что вы не можете найти квадратный корень из отрицательных чисел [и в любом случае сохранить их реальными]). Во-вторых, парабола существует только тогда, когда 90 216 г 90 217 (90 216 x 90 217) положительно, потому что, когда вас просят найти 90 005

вас просят найти только главный или положительный корень из x ..

Этот график начинается с начала координат (0, 0), а затем переходит к (1, sqrt(1))=(1,1), (2, sqrt(2)) , (3, sqrt(3)) и т. д. .

Эта цифра,

показывает график для родительской функции квадратного корня

Обратите внимание, что значения, которые вы получаете, нанося последовательные точки, не дают вам самых хороших чисел. Вместо этого попробуйте выбрать значения, для которых вы можете легко найти квадратный корень. Вот как это работает: начните с (0,sqrt(0))=(0,0), затем перейдите к (1,sqrt(1))=(1,1), затем к (4,sqrt(4)) =(4,2), затем в (9,sqrt(9))=(9,3) и т.д.

Графики функций абсолютного значения

Родительский график абсолютного значения функции y = | х | превращает все входы в неотрицательные (0 или положительные). Чтобы построить график функций абсолютного значения, вы начинаете с начала координат, а затем каждое положительное число сопоставляется само с собой, а каждое отрицательное число сопоставляется со своим положительным аналогом.

На этом рисунке показан график функции абсолютного значения.

Графики кубических функций

В кубической функции высшая степень любой переменной равна трем. Функция f ( x ) = x 3 является родительской функцией. Вы начинаете строить родительский график кубической функции в начале координат (0, 0) .

Из (0,0) график (1,1 3 )=(1,1), (2,2 3 )=(2,8) и т. д. слева от (0,0 ) вы рисуете (-1,(-1) 3 )=(-1,-1), (-2,(-2) 3 )=(-2,-8) и т.д.. Кубическая родительская функция, г ( x ) = x 3 , показана в виде графика на этом рисунке.

График функций кубического корня

Функции кубического корня связаны с кубическими функциями так же, как функции квадратного корня связаны с квадратичными функциями. Вы записываете кубические функции как f ( x ) = x 3 , а функции кубического корня как g ( x ) = x 1/3

Обратите внимание на то, что функция кубического корня нечетна, это важно, потому что это поможет вам изобразить ее графически.

Графики квадратных уравнений — Концепция

Упрощение рациональных выражений объединяет все знания о разложении на множители общих множителей и многочленов.Когда упрощают рациональные функции , разложите числитель и знаменатель в члены, умножающие друг друга, и найдите эквиваленты единицы (чего-то, что делится само на себя). Включите круглые скобки вокруг любого выражения с «+» или «-», и если все термины в числителе сокращаются, там все еще есть один.

Когда приходит время рисовать параболы, вы всегда можете составить таблицу значений и подставить точки x одну за другой, чтобы найти их точки y. Однако это занимает много времени, и иногда есть ярлыки или другие точки, которые вы могли бы использовать, чтобы помочь вам сделать ваш график более эффективным. Кроме того, если вам, ребята, повезло, у вас может быть доступ к графическому калькулятору, но вы используете его только для проверки своей работы, вы не хотите полагаться на графический калькулятор, когда вы должны знать, как делать это вручную. Существует целая куча информации, которая поможет вам построить график ваших парабол, и я перечислил ее здесь.
Первое, что вы хотите найти, это точка пересечения y, помните, что точка пересечения y находится, если x=0.Обычно это очень быстрый и отличный способ найти хотя бы одну точку на вашей параболе.
Отрезок x связан со всеми теми вещами, которые вы изучали при изучении квадратичных уравнений, о которых мы говорим, чтобы найти пересечения x, которые вы могли бы использовать для определения количества пересечений x, а затем найти фактическое x перехватов, у вас есть выбор, какой метод использовать; разложение на множители, квадратичная формула, извлечение квадратных корней или завершение квадрата — все это варианты для вас. Все они занимают разное количество времени, некоторые из них более просты для решения определенных задач, чем для других, поэтому вы захотите попрактиковаться в том, чтобы определить, какой метод использовать в каких обстоятельствах, и ваши учителя, надеюсь, помогут вам с этим в классе. .
Еще одна вещь, на которую вам следует обратить внимание, это то, открывается ли парабола вверх или вниз. Некоторые люди думают об этом как о смайлике, похожем на положительное значение, или грустном лице, отрицательном значении, по которому вы определяете, открывается ли парабола вверх или вниз.Это часто проявляется в тестах с множественным выбором. Много раз учителя давали вам правильные точки пересечения x и y, и они давали вам, например, один график, на котором парабола открывается один график, на котором парабола открывается так, как вы сможете. чтобы сказать, посмотрев на ваш опережающий коэффициент, если положительное значение параболы открывается, я напишу, что здесь, если положительное значение, оно открывается вниз, если отрицательное значение.
Хорошо, узкая или широкая парабола, если ваше значение представляет собой целое число, например 2, 3, 4 или что-то в этом роде, или это может быть -2, -3, -4, тогда это будет узкая парабола.Если у вас есть дробь a, это будет широкая парабола, дробь a, помните, что a означает опережающий коэффициент, это коэффициент перед x в квадрате.
Последнее, на что вам, возможно, захочется обратить внимание, — это вершина. Напомню, что для нахождения вершины нужно сначала найти значение x, где x равно –b больше 2a. Как только вы найдете свой номер x, подставьте это значение обратно в функцию, чтобы найти значение y. Вершина — это точка, в которой ваша парабола либо достигает своего основания, либо вершины, это действительно важная точка, она также помогает вам найти ось симметрии, помните, что ось симметрии — это уравнение x равно отрицательному b на 2a, и оно идет, это вертикальная линия, которая проходит прямо через вашу вершину.Это также поможет вам, когда вы рисуете график.
И последнее, но не менее важное: если вы все еще чувствуете, что перепробовали все эти вещи, и все еще не очень хорошо представляете, как выглядит ваша парабола, попробуйте составить таблицу значений, вы всегда можете использовать этот метод, и пока вы будьте осторожны с порядком операций, эти точки помогут вам нарисовать параболу, но эти вещи являются наиболее важными элементами квадратичной функции, поэтому важно, чтобы вы, ребята, знали, как использовать все эти навыки.

графиков квадратичных функций — Mechamath

Различные части парабол

Напомним, что квадратичная функция имеет вид , где a , b и c — константы и .

Графики квадратичных функций имеют U-образную форму, как показано ниже:

Знак в коэффициенте a определяет, открывается ли график вверх или вниз. Если , то график открывается вверх, а если , то график открывается вниз.

Параболы имеют разные параметры, определяющие их форму и расположение на декартовой плоскости. Этими параметрами являются вершина, ось симметрии, пересечение y и пересечение x .

Вершина

Вершина — это крайняя точка на графике квадратичной функции, то есть это самая высокая точка или самая низкая точка. Если парабола открывается вверх, вершина представляет собой самую низкую точку, а если парабола открывается вниз, вершина представляет собой самую высокую точку.

Ось симметрии

Все параболы симметричны относительно вертикальной линии, называемой осью симметрии. Эта вертикальная линия проходит через вершину.

y -перехват

Точка пересечения y — точка пересечения параболы с осью y . Для всех графиков квадратичных функций существует единственная точка пересечения y . Если бы было больше y -отрезков, график не представлял бы функцию.

x — перехватывает

Точки пересечения x — это точки, в которых парабола пересекает ось x . Отрезки x представляют собой нули или корни квадратичной функции, то есть значения x , когда у нас есть . Можно иметь ноль отрезков x , один отрезок x и два отрезка x .

Количество отрезков зависит от расположения графика квадратичной функции.Когда парабола имеет два пересечения x , вершина всегда лежит между этими пересечениями из-за симметрии графа.


Графическая интерпретация решений квадратичных функций

Мы можем найти корни квадратичных функций алгебраически или графически.

Чтобы найти корни алгебраически, мы можем использовать квадратичную формулу . Мы также можем найти корни графически, сделав несколько наблюдений за графиком квадратичной функции.

Давайте посмотрим на связь нахождения корней алгебраически и графически с графиком функции:

Мы видим, что график пересекает ось x в точках (-2, 0) и (1, 0). Мы знаем, что точки пересечения x представляют собой корни квадратичной функции, так что и являются корнями.

Теперь найдем корни алгебраически. Мы можем использовать квадратную формулу с коэффициентами .

Следовательно, у нас есть два возможных значения для x: и .Упрощая эти значения, мы получаем y . Это те же самые значения, которые мы находим графически.

Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике

ПРИМЕР

Найти корни функции алгебраически и графически:

Мы видим, что график не пересекает ось x , следовательно, он не имеет действительных корней. Мы можем проверить это алгебраически.

Мы будем использовать квадратную формулу с коэффициентами .

Мы видим, что у нас есть , что не является реальным числом. Это означает, что квадратичная функция не имеет действительных корней.


Графики квадратичных функций в вершинной форме

Вершинная форма квадратичной функции позволяет легко найти вершину графа.

Квадратные уравнения могут быть представлены по-разному. Например, мы уже видели его стандартный вид:

.

Другой распространенной формой является вершинная форма:

В этой форме вершина является точкой.Как мы видели ранее, коэффициент определяет, открывается ли парабола вверх или вниз.

Преобразование формы вершины в стандартную форму

Чтобы преобразовать квадратичную функцию, записанную в вершинной форме, в стандартную форму, мы просто расширяем выражение в квадрате и объединяем одинаковые члены. Например, следующий квадратичный:

можно переписать так:

Преобразование стандартной формы в вершинную форму

Это немного сложнее, и мы должны использовать процесс под названием «заполнить квадрат».

Когда у нас есть

Предположим, мы хотим записать в вершинной форме. Заметим, что коэффициент члена равен 1. В этом случае мы смотрим на коэффициент члена x и берем его половину.

Затем возводим это число в квадрат. То есть в данном случае у нас есть 2, взяв его половину, мы имеем 1, и возведем в квадрат, мы получим 1. Затем мы складываем и вычитаем это число, как показано ниже:  

Здесь мы складываем и вычитаем одно и то же число, поэтому на самом деле мы не меняем функцию. Теперь выражение в скобках можно записать в виде квадрата, и мы имеем: 

Таким образом, вершина .

Когда у нас есть

Это немного сложнее, чем предыдущий случай, но мы можем использовать ту же идею для преобразования функции. Предположим, мы хотим писать в вершинной форме. Теперь коэффициент члена равен 2. Мы можем разложить 2 первых двух членов:

Поэтому дорисовываем квадрат внутри скобок.Мы видим, что половина 6 равна 3, а квадрат равен 9, поэтому мы добавляем и вычитаем 9 в скобках:

и решаем следующим образом:

Таким образом, вершина графа .


Графики квадратичных функций в стандартной форме

Квадратичная функция в форме имеет стандартную форму. Независимо от формата график квадратичной функции представляет собой параболу. Например, следующий график:

Каждый коэффициент квадратичной функции влияет на форму и расположение графика на декартовой плоскости.

Коэффициент

Коэффициент a управляет скоростью увеличения или уменьшения функции от вершины. Чем больше и положительнее a , тем быстрее будет расти квадратичная функция, и график будет казаться «тоньше».

Коэффициент a также определяет, где развернется парабола. Если у нас есть , график открывается вверх, а если у нас есть , график открывается вниз.

Ось симметрии

Коэффициенты a и b управляют осью симметрии и координатой x вершины параболы.Мы можем найти ось симметрии параболы следующим образом:

Например, в параболе имеем , значит имеем . Вершина имеет x координаты 1:

.

y -пересечение параболы

Коэффициент c управляет вертикальным положением параболы. Это точка пересечения параболы с осью y . Точка (0, y ) является точкой пересечения y параболы. В этом случае и парабола пересекает ось y в точке (0, 2).


См. также

Хотите узнать больше о графиках функций? Взгляните на эти страницы:

График параболы — Темы предварительного исчисления

5

Постоянная функция

Функция идентификации

Функция абсолютного значения

y = x 2 : Парабола

Функция квадратного корня

Кубическая функция

Обратная функция

НИЖЕ ПРИВЕДЕНЫ ГРАФИКИ, которые встречаются в аналитической геометрии и исчислении.Учащийся должен уметь зарисовывать их — и узнавать — исключительно по форме. Точки ставить не обязательно.

Постоянная функция

Вот график y = f ( x ) = 3. Это прямая линия, параллельная оси x . Она называется постоянной функцией, потому что каждому значению x соответствует одно и то же значение y : 3.

Является ли постоянная функция однозначной? Да, потому что каждому значению x соответствует одно и только одно значение y . 3.

Постоянная функция имеет вид

у = с ,

где c — константа, то есть число.

Функция тождества и функция абсолютного значения

y = x называется функцией тождества, потому что значение y идентично значению x .Пары координат: ( x , x ).

В функции абсолютного значения отрицательных значений y в функции тождества отражаются в положительную сторону. Для, |− 90 216 x 90 217 | = | х | = х . Пары координат: ( x , | x |).

Пример.

а)  Какова область определения функции идентификации?

Нет естественного ограничения на значения x .Следовательно, домен, в котором «живет» функция, включает в себя каждое действительное число.

−x

Прежде всего заметьте, что бесконечность «» — это не число и не место. Это слово вместе с символом, которое мы используем для обозначения: нет предела значениям x , которые мы могли бы назвать.

Обратите внимание, что мы пишем « x меньше, чем ». Равно до бесконечности не имеет смысла.

b)  Каков диапазон функции идентификации?

Диапазон — это те значения y , которые соответствуют значениям в домене.Изучение графика покажет, что y также будут принимать все действительные значения.

−y

Функция параболы и квадратного корня

В параболе y = x 2 пары координат равны ( x , x 2 ). На графике находятся следующие точки: (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4) и так далее.

График функции квадратного корня связан с y = x 2 .Это его инверсия. Пары координат ( x , ). Например, (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т. д.

Обратите внимание, что функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Ибо квадратный корень из отрицательного числа не реален.

Также этот символ относится к одному неотрицательному числу, называемому главным квадратным корнем. (См. урок 26 алгебры, пример 2.)   y =, следовательно, является функцией.

Проблема 1.Какова область определения функции y = x 2 и каков ее диапазон?

Эта функция определена для всех значений x : −∞ x

Что касается диапазона, то наименьшее значение y равно 0. Максимальное значение не ограничено. 0 ≤ г ∞.

Проблема 2.   Какова область определения функции квадратного корня и каков ее диапазон?

Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Домен:   x ≥ 0,

Что касается диапазона, то наименьшее значение y равно 0. Максимальное значение не ограничено. 0 ≤ г

Кубическая функция

Кубическая функция равна y = x 3 . Когда x отрицательно, y отрицательно: нечетные степени отрицательного числа отрицательны.

Проблема 3.Какова область определения кубической функции и каков ее диапазон?

Домен:  −∞ x

Диапазон:  −∞ г

Обратная функция

Когда x — очень большое положительное число — в крайнем правом углу оси x — его обратное значение — очень маленькое положительное число. График очень близок к оси x .

Когда x  — очень 90 216 маленькое 90 217 положительное число, близкое к 90 216 x 90 217 = 0, — его обратное значение является очень большим положительным числом.

Аналогичные свойства сохраняются, когда x имеет отрицательное значение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.