Х 2 у 2 1: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22
График
y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30
Вычислить
1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

Квадратное уравнение и его корни 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

122. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2+bx+c = 0, где х –переменная, a, b, c – некоторые числа,

причем а≠0.

Приведем примеры квадратных уравнений:

2-5х+3 = 0, в этом уравнении а = 7, b = -5, с = 3;

-0,5х2+4 = 0, здесь a = -0,5; b = 0; c = 4;

2-6х = 0, здесь а = 3, b = -6, с = 0.

Числа а, b, с называют коэффициентами квадратного уравнения; а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Если а – коэффициент при х2 равен 1, то такое уравнение называется приведенным. Например, х2+4х+3 = 0.

Если второй коэффициент и/или свободный член равны 0, то такое квадратное уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

ах2+с = 0, с≠0

ах2+bx = 0, b≠0

2 = 0

Рассмотрим решение каждого из этих видов:

  1. ах2+с = 0, с≠0

    ax2 = -c

    x2 = -c:a

    x=±-ca

  2. ах2+bx = 0, b≠0

    х(ах+b) = 0

    x1 = 0, x2 = -b:a

  3. 2 = 0

    x=0

Разберем решения на конкретных примерах.

  1. 2-125 = 0, здесь а = 5, b = 0, с = -125

    2 = 125

    х2 = 125:5 = 25

    х1 = 25 = 5

    х2 = -25 = -5

  2. 2+7х = 0

    x(6х+7) = 0

    x1 = 0

    6х+7 = 0

    6х = -7

    x2 = -76

  3. 23х2 = 0

    x2 = 0:23 = 0

    x = 0

Теперь рассмотрим решение квадратного уравнения, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1. Решить квадратное уравнение х2-2х-3 = 0

Коэффициенты данного квадратного уравнения: а = 1, b = -2, c = -3.

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой:

(x-t)2 = x2-2xt+t2

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число t так, чтобы -2xt = -2x. Значит, t=1.

Получаем:

x2-2x-3 = x2-2·x·1+12-12-3 = (x-1)2-4 = 0

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

(x-1)2 = 4

x-1 = ±2

Отсюда x = 3 или x = -1.

Ответ: -1; 3.

Способ 2

(x-1)2-4 = 0

(x-1)2-22 = 0

(x-1-2)(x-1+2) = 0

(x-3)(x+1) = 0

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: x-3 = 0, x = 3 и x+1 = 0, x = -1.

Ответ: -1; 3.

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2. Решить квадратное уравнение: 2x2-5x+2 = 0.

Коэффициенты данного квадратного уравнения: a = 2, b = -5, c = 2.

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых:

2×2-52x+2=0

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать t так, чтобы выполнялось -2tx=-52x. Значит, t=54.

Получаем следующее уравнение:

2×2-52x+2=2×2-2∙54∙x+542-542+2=2x-542-542+2=2x-542-258+2=2x-542-98=0

Отсюда:

2x-542=98

x-542=916

x-54=±34

Отсюда x=2 или x=12.

Ответ: 12; 2.

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение ax2+bx+c=0.

Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых

ax2+bax+c=0.

Теперь выделим в скобочках полный квадрат

ax2+2∙b2a∙x+b2a2-b2a2+c=0

ax+b2a2-b24a2+c=0

ax+b2a2-b24a+c=0

ax+b2a2=b24a-c

ax+b2a2=b2-4ac4a

Теперь поделим обе части уравнения на a, так как знаем, что в квадратном уравнении a≠0

x+b2a2=b2-4ac4a2

Выражение D=b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении D≥0, то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем:

x+b2a2=D4a2

x+b2a=±D2a

x=-b±D2a

То есть x1=-b-D2a; x2=-b+D2a

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении x2-2x-3 = 0 дискриминант равен

D = (-2)2-4·1·(-3) = 4+12 = 16.

Тогда:

x1=-(-2)-42=-1;

x2=-(-2)+42=3.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение действительных корней не имеет.

В СКФО за сутки от коронавируса выздоровели более 2,1 тыс. человек — РБК

Фото: Гришкин Денис / АГН «Москва»

По данным на 9 марта в СКФО от коронавируса выздоровели 2 193 человека. Соответствующие данные приводит портал «Стопкоронавирус.рф». С начала пандемии количество вылечившихся от ковида в СКФО составило 433 524 человека.

В частности, лидером по числу выздоровлений от COVID-19 за сутки стало Ставрополье — 927 человек. На втором месте — Кабардино-Балкария (332 человека), на третьем — Карачаево-Черкесия (268 человек). Также 256 человек вылечились от коронавируса в Ингушетии, 191 — в Дагестане, 133 — в Северной Осетии, 86 — в Чечне.

На первом месте по суточному приросту больных также остается Ставропольский край, где зарегистрировали 285 новых случаев ковида. В КБР выявили еще 151 больного коронавирусом, в КЧР — 139, в Дагестане — 118, в Ингушетии — 36, в Северной Осетии — 35 и в Чечне — 15. Всего за сутки в СКФО заболели 779 человек, за весь период — 503 898 человек.

Кроме того, число госпитализированных за сутки в округе составило 105 человек: 40 — на Ставрополье, 15 — в КБР, 14 — в Ингушетии, 12 — в РСО-Алания, 12 — в КЧР, восемь — в Дагестане, четыре — в Чечне.

Также за минувшие сутки на Северном Кавказе зафиксировали 15 летальных случаев от ковида. В частности, восемь человек умерли в Ставропольском крае, по два — в Дагестане и Северной Осетии, по одному — в КБР, КЧР и Ингушетии. За весь период в СКФО от коронавируса скончались 16 030 человек.

кругов

Круг в стандартной форме

Окружность Окружностью называется множество точек на плоскости, лежащих на фиксированном расстоянии от заданной точки, называемой центром. это множество точек на плоскости, которые лежат на фиксированном расстоянии, называемом радиусомФиксированное расстояние от центра круга до любой точки на круге., от любой точки, называемой центром. ДиаметрДлина отрезка, проходящего через центр окружности, концы которой лежат на окружности.длина отрезка, проходящего через центр, концы которого лежат на окружности. Кроме того, окружность может быть образована пересечением конуса и плоскости, перпендикулярной оси конуса:

В прямоугольной координатной плоскости, где центр окружности с радиусом r равен (h,k), имеем

Рассчитайте расстояние между (h,k) и (x,y), используя формулу расстояния,

(x−h)2+(y−k)2=r

Возведение обеих сторон в квадрат приводит к уравнению окружности в стандартной формеУравнение окружности записывается в виде (x−h)2+(y−k)2=r2, где (h,k) — центр, а r это радиус.,

(x−h)2+(y−k)2=r2

В этой форме видны центр и радиус. Например, учитывая уравнение (x−2)2+ (y + 5)2=16, мы имеем

(x−h)2+ (x−k)2=r2↓↓↓(x−2)2+[y−(−5)]2=42

В этом случае центр равен (2,−5) и r=4. Далее следуют другие примеры:

Уравнение

Центр

Радиус

(x−3)2+(y−4)2=25

(3,4)

г=5

(х-1)2+(у+2)2=7

(1,−2)

г=7

(х+4)2+(у-3)2=1

(−4,3)

г=1

х2+(у+6)2=8

(0,−6)

г=22

График круга полностью определяется его центром и радиусом.

Пример 1

График: (x−2)2+(y+5)2=16.

Решение:

Записанный в этой форме, мы можем видеть, что центр равен (2,−5) и что радиус r=4 единицы. От центра отметьте точки на 4 единицы вверх и вниз, а также на 4 единицы влево и вправо.

Затем нарисуйте круг через эти четыре точки.

Ответ:

Как и на любом графике, нам нужно найти точки пересечения x и y .

Пример 2

Найдите точки пересечения: (x−2)2+(y+5)2=16.

Решение:

Чтобы найти y -перехватов, установите x=0:

(x−2)2+(y+5)2=16(0−2)2+(y+5)2=164+(y+5)2=16

Это уравнение можно решить, извлекая квадратные корни.

(г+5)2=12г+5=±12г+5=±23г=-5±23

Следовательно, точки пересечения и равны (0,−5−23) и (0,−5+23). Чтобы найти x -перехватов, установите y=0:

(х-2)2+(у+5)2=16(х-2)2+(0+5)2=16(х-2)2+25=16(х-2)2=-9х −2=±−9x=2±3i

И поскольку решения сложны, мы заключаем, что реальных x -перехватов не существует. Обратите внимание, что это имеет смысл, учитывая график.

Ответ: x — перехваты: нет; y -точки пересечения: (0,−5−23) и (0,−5+23)

Зная центр и радиус окружности, мы можем найти ее уравнение.

Пример 3

Нарисуйте круг радиусом r=3 единиц с центром в точке (−1,0). Приведите его уравнение в стандартной форме и определите точки пересечения.

Решение:

Учитывая, что центр равен (−1,0), а радиус равен r=3, нарисуем график следующим образом:

Подставьте h , k и r , чтобы найти уравнение в стандартной форме. Поскольку (h,k)=(−1,0) и r=3, имеем

(x−h)2+(y−k)2=r2[x−(−1)]2+(y−0)2=32(x+1)2+y2=9

Уравнение окружности (x+1)2+y2=9, используйте его для определения y -отрезков.

(x+1)2+y2=9  Присвоить x=0 значение и решить для y.(0+1)2+y2=91+y2=9y2=8y=±8y=±22

Следовательно, точки пересечения и равны (0,−22) и (0,22). Чтобы алгебраически найти x -перехватов, установите y=0 и найдите x ; это оставлено читателю в качестве упражнения.

Ответ: Уравнение: (x+1)2+y2=9; y — точки пересечения: (0,−22) и (0,22); x — точки пересечения: (−4,0) и (2,0)

Особое значение имеет единичный кругОкружность с центром в начале координат и радиусом 1; его уравнение x2+y2=1.,

х2+у2=1

или

(х-0)2+(у-0)2=12

В этой форме должно быть ясно, что центр равен (0,0), а радиус равен 1 единице. Кроме того, если мы решим y , мы получим две функции:

x2+y2=1y2=1−x2y=±1−x2

Функция, определяемая y=1−x2, является верхней половиной круга, а функция, определяемая y=-1−x2, является нижней половиной единичного круга:

Попробуйте это! Нарисуйте график и обозначьте точки пересечения: x2+(y+2)2=25.

Ответ:

Круг в общей форме

Мы видели, что график окружности полностью определяется центром и радиусом, которые можно прочитать из уравнения в стандартной форме.Однако уравнение не всегда дается в стандартной форме. Уравнение окружности в общем видеУравнение окружности записывается в виде x2+y2+cx+dy+e=0. следует:

х2+у2+сх+dy+е=0

Здесь c , d и e — действительные числа. Ниже приведены шаги для построения графика окружности с учетом ее уравнения в общем виде.

Пример 4

График: x2+y2+6x−8y+13=0.

Решение:

Начните с того, что перепишите уравнение в стандартной форме.

  • Шаг 1: Сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и переместите константу в правую сторону. В этом случае вычтите 13 с обеих сторон и сгруппируйте члены, включающие x , и члены, включающие y , следующим образом.

    x2+y2+6x−8y+13=0(x2+6x+___)+(y2−8y+___)=−13

  • Шаг 2: Заполните квадрат для каждой группы.Идея состоит в том, чтобы добавить значение, которое завершает квадрат, (b2)2, к обеим сторонам для обеих группировок, а затем разложить на множители. Для членов, включающих x , используйте (62)2=32=9, а для членов, включающих y , используйте (-82)2=(-4)2=16.

    (x2+6x +9)+(y2−8y+16)=−13 +9+16(x+3)2+(y−4)2=12

  • Шаг 3: Определите центр и радиус из уравнения в стандартной форме. В этом случае центр равен (−3,4), а радиус r=12=23.
  • Шаг 4: От центра отметьте радиус по вертикали и горизонтали, а затем нарисуйте окружность через эти точки.

Ответ:

Пример 5

Определить центр и радиус: 4×2+4y2-8x+12y-3=0.

Решение:

Мы можем получить общую форму, разделив сначала обе части на 4.

4×2+4y2-8x+12y-34=04×2+y2-2x+3y-34=0

Теперь, когда у нас есть общая форма для окружности, где оба члена второй степени имеют старший коэффициент 1, мы можем использовать шаги, чтобы переписать ее в стандартной форме. Начните с добавления 34 к обеим сторонам и сгруппируйте одинаковые переменные.

(x2−2x+___)+(y2+3y+___)=34

Затем заполните квадрат для обеих групп. Используйте (−22)2=(−1)2=1 для первой группы и (32)2=94 для второй группы.

(x2−2x +1)+(y2+3y+94)=34 +1+94(x−1)2+(y+32)2=164(x−1)2+(y+32)2 =4

Ответ: Центр: (1,−32); радиус: r=2

Таким образом, чтобы преобразовать из стандартной формы в общую форму, мы умножаем, а для преобразования из общей формы в стандартную форму мы завершаем квадрат.

Попробуйте это! График: x2+y2−10x+2y+21=0.

Ответ:

Ключевые выводы

  • График круга полностью определяется его центром и радиусом.
  • Стандартная форма уравнения окружности: (x−h)2+(y−k)2=r2. Центр равен (h,k), а радиус равен r единиц.
  • Чтобы начертить круг, отметьте точки на расстоянии r единиц вверх, вниз, влево и вправо от центра. Нарисуйте круг через эти четыре точки.
  • Если уравнение окружности задано в общем виде x2+y2+cx+dy+e=0, сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и заполните квадрат для обеих группировок.Это приведет к стандартной форме, из которой мы можем прочитать центр и радиус круга.
  • Мы распознаем уравнение окружности, если оно квадратично как в x , так и в y , где коэффициенты при квадрате членов одинаковы.

Тематические упражнения

    Часть A: Круг в стандартной форме

      Определите центр и радиус по уравнению окружности в стандартной форме.

      Определите стандартную форму уравнения окружности с учетом ее центра и радиуса.

    1. Центр (5,7) с радиусом r=7.

    2. Центр (−2,8) с радиусом r=5.

    3. Центр (6,−11) с радиусом r=2.

    4. Центр (−4,−5) с радиусом r=6.

    5. Центр (0,−1) с радиусом r=25.

    6. Центр (0,0) с радиусом r=310.

      График.

      Найдите точки пересечения x — и y -.

      Найдите уравнение окружности.

    1. Окружность с центром (1,−2), проходящая через (3,−4).

    2. Окружность с центром (−4,−1), проходящая через (0,−3).

    3. Окружность, диаметр которой определяется (5,1) и (−1,7).

    4. Окружность, диаметр которой определяется (−5,7) и (−1,−5).

    5. Круг с центром (5,−2) и площадью 9π квадратных единиц.

    6. Круг с центром (−8,−3) и окружностью 12π квадратных единиц.

    7. Найдите площадь круга с помощью уравнения (x+12)2+(x−5)2=7.

    8. Найдите длину окружности с помощью уравнения (x+1)2+(y+5)2=8.

    Часть B: Круг в общей форме

      Переписать в стандартной форме и графике.

      Дана окружность в общем виде, определить пересечения.

    1. Определите площадь круга, уравнение которого x2+y2-2x-6y-35=0.

    2. Определите площадь круга, уравнение которого 4×2+4y2-12x-8y-59=0.

    3. Определите длину окружности, уравнение которой x2+y2−5x+1=0.

    4. Определите длину окружности, уравнение которой x2+y2+5x−2y+3=0.

    5. Найдите общий вид уравнения окружности с центром в (−3,5), проходящей через (1,−2).

    6. Найдите общий вид уравнения окружности с центром в (−2,−3), проходящей через (−1,3).

      По заданному графику окружности определите ее уравнение в общем виде.

    Часть C: Дискуссионная доска

    1. Является ли центр круга частью графика? Объяснять.

    2. Составьте свой собственный круг, напишите его в общем виде и начертите.

    3. Объясните, как можно отличить уравнение параболы в общем виде от уравнения окружности в общем виде. Привести пример.

    4. Все ли круги имеют точки пересечения? Каково возможное количество перехватов? Проиллюстрируйте свое объяснение графиками.

Ответы

  1. Центр: (5,−4); радиус: r=8

  2. Центр: (0,−6); радиус: r=2

  3. Центр: (−1,−1); радиус: r=7

  4. х — отрезки: (1±5,0); г — отрезки: (0,2±22)

  5. x -перехваты: нет; г — точки пересечения: (0,3), (0,5)

  6. х -точки пересечения: (±52,0); г — точки пересечения: (0,±52)

  7. x -перехваты: нет; г -перехваты: нет

  1. (х+2)2+(у-1)2=9;

  2. (х+1)2+(у+6)2=1;

  3. х2+(у+3)2=4;

  4. (х+4)2+(у+6)2=36;

  5. (х-12)2+(у+1)2=1;

  6. (х+2)2+(у-4)2=6;

  7. (х-12)2+(у-1)2=14;

  8. (х+1)2+(у-32)2=2;

  9. (х+32)2+(у+52)2=4;

  10. х — точки пересечения: (2,0), (3,0); г -перехваты: нет

  11. x -пересечения: (0,0); г — точки пересечения: (0,0), (0,6)

  12. x — точки пересечения: (−32,0), (3,0); г — точки пересечения: (0,±322)

Круговые уравнения

Круг сделать легко:

Нарисуйте кривую на расстоянии
«радиуса» от центральной точки.

И так:

Все точки находятся на одинаковом расстоянии
от центра.

 

На самом деле определение круга равно

Круг на графике

Нанесем на график окружность радиусом 5:

Теперь давайте вычислим ровно , где все точки.

Делаем прямоугольный треугольник:

А затем используйте Пифагор:

x 2 + у 2 = 5 2

Таких точек бесконечное количество, вот несколько примеров:

х и x 2 + у 2
5 0 5 2 + 0 2 = 25 + 0 = 25
3 4 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
0 5 0 2 + 5 2 = 0 + 25 = 25
−4 −3 (-4) 2 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25
0 −5 0 2 + (−5) 2 = 0 + 25 = 25

Во всех случаях точка на окружности следует правилу x 2 + y 2 = радиус 2

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти пропущенное значение

Пример:

x значение 2 и радиус 5

Начните с:x 2 + y 2 = r 2

Известные значения: 2 2 + y 2 = 5 2

Переставить: у 2 = 5 2 − 2 2

Квадратный корень с обеих сторон: y = ±√(5 2 − 2 2 )

Решить:y = ±√21

г ≈ ±4. 58…

( ± означает, что есть два возможных значения: одно с + , другое с )

А вот и две точки:

Более общий случай

Теперь поместим центр в (a,b)

Итак, круг равен всем точкам (x,y) , которые находятся на расстоянии «r» от центра (a,b) .

Теперь давайте решим, где находятся точки (используя прямоугольный треугольник и Пифагор):

Та же идея, что и раньше, но нам нужно вычесть из и из :

.

И это «Стандартная форма» для уравнения окружности!

 

Сразу показывает всю важную информацию: центр (a,b) и радиус r .

Пример: Окружность с центром в точке (3,4) и радиусом 6:

Начать с:

(х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

Вставьте (a,b) и r:

(x−3) 2 + (y−4) 2 = 6 2

Затем мы можем использовать наши навыки алгебры, чтобы упростить и изменить это уравнение, в зависимости от того, для чего оно нам нужно.

Попробуйте сами

изображения/круг-equn.js

«Общая форма»

Но вы можете видеть уравнение окружности и не знать его !

Потому что это может не быть в аккуратной «Стандартной форме» выше.

В качестве примера давайте присвоим несколько значений a, b и r, а затем расширим их

Начните с: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

Пример: a=1, b=2, r=3:(x−1) 2 + (y−2) 2 = 3 2

Развернуть: х 2 — 2х + 1 + у 2 — 4у + 4 = 9

Соберите подобные члены: x 2 + y 2 — 2x — 4y + 1 + 4 — 9 = 0

И получаем вот это:

х 2 + у 2 — 2х — 4у — 4 = 0

Это уравнение окружности, но «замаскированное»!

Так что, когда вы видите что-то подобное, подумайте «хм…. что может быть кругом!»

На самом деле мы можем записать это в «Общая форма» , поставив константы вместо чисел:

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

Примечание. Общая форма всегда имеет x 2 + y 2 для первых двух членов .

Переход от общей формы к стандартной форме

Теперь представьте, что у нас есть уравнение в общей форме :

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

Как мы можем ввести его в стандартную форму вот так?

(х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

Ответ: Заполнить Квадрат (читайте об этом) дважды… один раз для x и один раз для и :

Пример: x

2 + y 2 — 2x — 4y — 4 = 0

Начните с: x 2 + y 2 — 2x — 4y — 4 = 0

Сложите x с и y с: (x 2 — 2x) + (y 2 — 4y) — 4 = 0

Константа справа: (x 2 − 2x) + (y 2 − 4y) = 4

Теперь заполните квадрат для x (возьмите половину -2, возведите в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

(x 2 − 2x + (−1) 2 ) + (y 2 − 4y) = 4 + (−1) 2

И завершите квадрат для y (взять половину -4, возвести в квадрат и прибавить к обеим сторонам):

(x 2 — 2x + (-1) 2 ) + (y 2 — 4y + (-2) 2 ) = 4 + (-1) 2 + (-2) 2

Прибраться:

Упростить:(x 2 — 2x + 1) + (y 2 — 4y + 4) = 9

Наконец: (x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 3 2

И это у нас в стандартной форме!

(Примечание: здесь использовался предыдущий пример a=1, b=2, r=3, так что мы поняли правильно!)

Единичный круг

Если мы поместим центр окружности в (0,0) и установим радиус равным 1, мы получим:

(х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

(х-0) 2 + (у-0) 2 = 1 2

х 2 + у 2 = 1

Какое уравнение единичной окружности

Как нарисовать круг вручную

1. Участок центр (а,б)

2. Нанесите 4 точки «радиуса» от центра вверх, вниз, влево и вправо

3. Зарисуйте!

Пример: График (x−4)

2 + (y−2) 2 = 25

Формула для окружности: (x−a) 2 + (y−b) 2 = r 2

Таким образом, центр находится в точке (4,2)

.

И r 2 равно 25 , поэтому радиус равен √25 = 5

Итак, мы можем построить:

  • Центр: (4,2)
  • Вверх: (4,2+5) = (4,7)
  • Вниз: (4,2−5) = (4,−3)
  • Слева: (4−5,2) = (−1,2)
  • Справа: (4+5,2) = (9,2)

Теперь просто нарисуйте круг как можно лучше!

Как нарисовать круг на компьютере

Нам нужно изменить формулу так, чтобы получилось «y=».

У нас должно получиться два уравнения (вверху и внизу круга), которые затем можно построить.

Пример: График (x−4)

2 + (y−2) 2 = 25

Таким образом, центр находится в точке (4,2), а радиус равен √25 = 5

Переставить, чтобы получить «y=»:

Начните с: (x−4) 2 + (y−2) 2 = 25

Сдвинуть (x−4) 2 вправо: (y−2) 2 = 25 − (x−4) 2

Извлеките квадратный корень: (y−2) = ± √[25 − (x−4) 2 ]

  (обратите внимание на ± «плюс/минус»…
может быть два квадратных корня!)

Переместите «−2» вправо: y = 2 ± √[25 − (x−4) 2 ]

 

Итак, когда мы начертим эти два уравнения, у нас должен получиться круг:

  • у = 2 + √[25 — (x−4) 2 ]
  • у = 2 — √[25 — (х-4) 2 ]

Попробуйте изобразить эти функции на графике функций.

Также можно использовать Equation Grapher, чтобы сделать все это за один раз.

 

8526, 8527, 8539, 8540, 8515, 8516, 569, 8544, 8559, 8560, 570, 1209

Как найти уравнение окружности

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Пример гиперболы уравнения x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1, где…

Контекст 1

… изолируя события отела, мы применяем гиперболический метод для создания каталог мест отела. Гипербола может быть геометрически определена как геометрическое место (множество точек) с постоянной разностью хода относительно двух фокусов, как показано на рис. 3. В нашем случае каждая пара сейсмометров действует как фокусы. Нам нужны две переменные, чтобы определить разность хода: задержка времени прихода сигнала на каждой паре сейсмометров и горизонтальная скорость поверхности… на двух сейсмометрах. Точно так же, если бы событие произошло ближе к HEL1, сейсмические волны пришли бы немного раньше к HEL1, а геометрическое место возможных мест отела вместо этого было бы набором всех точек с расстоянием от HEL1 меньше, чем HEL2, на фиксированную длину.Эта длина равна 2а (рис. 3), которая является произведением скорости волн через ледник (v сейсмическая ) и времени задержки прихода сигнала (t) и определяется для гиперболы уравнением x 2 / a 2 − y 2 /b 2 = 1. Мы можем использовать временную задержку прибытия сигналов на два сейсмометра (которые становятся фокусами), чтобы определить разность хода сигналов до . ..

Контекст 3

… ледник (v сейсмический ) и временная задержка прихода сигнала (t) и определяется для гиперболы уравнением x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1.Мы можем использовать временную задержку прихода сигнала на два сейсмометра (которые становятся фокусами), чтобы определить разность хода сигналов для формирования локуса. Одна из кривых (либо левая, либо правая на рис. 3) всегда может быть исключена, так как мы знаем, к какому сейсмометру ближе произошло событие. Таким образом, каждый временной лаг создает одну кривую, которая однозначно пересекается с фронтом отела, что дает место отела. Если фронт отела неизвестен, событие отела можно триангулировать, используя дополнительные пары …

Исчисление III — Квадратичные поверхности

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.2}}} = 1\]

Вот эскиз типичного эллипсоида.

Если \(a = b = c\), то у нас будет сфера.

Обратите внимание, что мы дали уравнение только для эллипсоида, центр которого находится в начале координат. Ясно, что эллипсоиды не обязательно должны быть центрированы в начале координат. Однако, чтобы немного упростить обсуждение в этом разделе, мы решили сосредоточиться на поверхностях, которые так или иначе «центрированы» в начале координат.2}}}\]

Вот эскиз типичного конуса.

Обратите внимание: хотя мы и назвали это конусом, он больше похож на форму песочных часов, чем на то, что большинство назвало бы конусом. Конечно, верхняя и нижняя части песочных часов на самом деле представляют собой конусы, как мы обычно их себе представляем.

Возникает вопрос: а что, если нам действительно нужна только верхняя или нижняя часть (, т. е. , конус в традиционном смысле)? На это достаточно легко ответить.2}} \) всегда будет отрицательным и поэтому будет уравнением только нижней части «конуса» выше.

Также обратите внимание, что это уравнение конуса, который раскрывается вдоль оси \(z\). Чтобы получить уравнение конуса, раскрывающегося по одной из других осей, все, что нам нужно сделать, это немного изменить уравнение. Это относится и к остальным поверхностям, которые мы рассмотрим в этом разделе.

В случае конуса переменная, стоящая сама по себе по одну сторону от знака равенства, будет определять ось, вдоль которой раскрывается конус.2}\]

Вот эскиз типичного цилиндра с эллипсным поперечным сечением.

Цилиндр будет центрирован на оси, соответствующей переменной, которой нет в уравнении.

Будьте осторожны, не перепутайте это с кругом. В двух измерениях это круг, а в трех измерениях — цилиндр.

Гиперболоид из одного листа

Вот уравнение гиперболоида одного листа. 2}}} = 1\]

Вот эскиз типичного гиперболоида из двух листов.

Переменная с положительным значением перед ней задает ось, вдоль которой центрируется график.

Обратите внимание, что единственная разница между гиперболоидом одного листа и гиперболоидом двух листов заключается в знаках перед переменными. Это прямо противоположные знаки.

Также обратите внимание, что так же, как мы могли бы сделать с конусами, если мы решим уравнение для \(z\), положительная часть даст уравнение для верхней части этого, в то время как отрицательная часть даст уравнение для нижней части этого .2}}} = \frac{z}{c}\]

Как и в случае с цилиндрами, он имеет поперечное сечение эллипса, а если \(a = b\), то он будет иметь поперечное сечение круга. Когда мы будем иметь дело с ними, мы, как правило, будем иметь дело с теми, у которых круг вместо поперечного сечения.

Вот эскиз типичного эллиптического параболоида.

В этом случае переменная, не возведенная в квадрат, определяет ось, на которой раскрывается параболоид. Кроме того, знак \(с\) будет определять направление открытия параболоида.2}}} = \frac{z}{c}\]

Вот эскиз типичного гиперболического параболоида.

Эти графики имеют неопределенную седловидную форму, и, как и в случае с эллиптическим параболоидом, знак \(c\) будет определять направление, в котором поверхность «раскрывается». График выше показан для положительного \(c\).

При использовании обоих типов параболоидов, рассмотренных выше, обратите внимание, что поверхность можно легко перемещать вверх или вниз, добавляя/вычитая константу с левой стороны.2} + 6\]

— это эллиптический параболоид, который открывается вниз (будьте осторожны, «-» стоит на \(x\) и \(y\) вместо \(z\)) и начинается с \(z = 6\) вместо из \(z = 0\).

Вот несколько быстрых набросков этой поверхности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.