Интеграл в математике это: Недопустимое название — Циклопедия

Содержание

Интуитивное объяснение интеграла. Часть I — от умножения натуральных чисел до Ньютона и Лейбница

0. Предисловие

Математика представляет собой универсальный, мощный и элегантный раздел знания. По-сути её предмет и значение невозможно разделить с наиболее фундаментальными разделами философии — логикой, онтологией и теорией познания. Именно поэтому она касается прямо или косвенно всех аспектов любого прикладного или теоретического знания.

К сожалению, так сложилось, что многим (и мне) она, порой кажется, слишком сложной, недоступной, наукой для избранных. Между тем, так только кажется ! Безусловно, она требует интеллектуального напряжения, памяти, воображения и много чего ещё, как и многие другие интеллектуальные занятия.

Отличительными особенностями её являются:

  1. использование особой знаковой системы (цифры, буквы разных алфавитов, языковые правила и т.д.),

  2. логическая строгость (понятия, определения, суждения, правила вывода задаются в явном и точном виде),

  3. последовательность (не поймёшь пункт 3, если не понял пункты 1 и 2),

  4. высокая плотность информации на единицу текста (часто смысла в тексте гораздо больше, чем в текстах иного содержания).

Легко показать, что любой интеллектуально развитый человек регулярно использует те же мыслительные конструкции, что и математика. Когда мы говорим давайте рассмотрим десять каких-либо операций (алгоритм) вроде кулинарного рецепта или простейшей программы или рассмотрим какой-либо частный случай явления, определим его свойства, отношения с другими явлениями, изучим структуру — мы прибегаем к универсальным способам мышления, которые характерны для любого знания и в том числе математического.

Эта статья никогда бы не появилась на свет, если бы учебная литература была бы настолько совершенна, что могла бы легко объяснить, что такое интеграл. Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так и таким образом, чтобы среднему, неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.

Многие источники не удовлетворительны по следующим причинам:

  1. Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин

  2. Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы

  3. Забывают рассказать об историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)

  4. Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук

  5. Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными

  6. Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее

  7. Пропускают те или иные алгебраические преобразования, которые «очевидны» автору, но могут запутать новичка

Автору надоело чувствовать неясность и он решил взять дело в свои руки — расписать все аспекты так, чтобы было всё предельно ясно и понятно.

1. Предпосылки возникновения интегрирования

Интеграл и интегрирование являются неотъемлемыми и последовательными элементами исследования величин и функций. Интегрирование теснейшим образом связано с важнейшими способами анализа и исследования числовых функций — средними, предельными, бесконечно малыми, бесконечно большими величинами, пределами, дифференциалами, производными и т.д. А потому, без осознания и исследования этих понятий невозможно и формирование понятия интеграла.

Исторически и логически они развивались и развиваются слитно и нераздельно.

Во введении к книге «Развитие понятия интеграла» известный историк математики профессор Фёдор Андреевич Медведев так охарактеризовал сущность интегрирования и процесс его развития в науке «… Интегрирование представляет собой абстрактное выражение разнообразнейших способов измерения величин, и по мере вовлечения в человеческое познание всё новых и новых объектов реальной действительности математики создают всё более и более общие схемы интеграционных процессов с тем, чтобы охватить всё расширяющийся круг объектов, подлежащих измерению» [1].

Как известно осознание самостоятельной значимости и полноценное развитие математики начались в Древней Греции. Постепенное накопление прикладных знаний о различного рода вычислительных, логических и геометрических задачах неизбежно привело к формированию теоретических начал и абстрактных представлений о существе многих математических идей.

Корпус прикладных и теоретических знаний накапливался и формировался шаг за шагом за счёт осмысления логического устройства мышления, применения арифметических операций, составления и решения алгебраических уравнений, построения и изучения свойств плоских и объёмных геометрических фигур.

2. Геометрический и аналитико-алгебраический смысл интегрирования

Естественным образом, возникает два вида задач, которые отражают два смысла интегрирования: — геометрический и аналитико-алгебраический. Первый — отыскание площади плоской фигуры под произвольной кривой (квадратура) и отыскание объёма (кубатура). Второй — подсчёт суммарного значения некой переменной величины [2], которая изменяется, принимает различные значения сообразно единицам времени, длины и т. д.

Согласно дошедшим до нас источникам, именно отыскание квадратуры является первой формой постановки задачи интегрирования. Задача явно сформулирована и решена в трудах Евдокса Книдского (сформулировал метод исчерпывания, позднее развитый в XVI веке в метод неделимых), Евклида и Архимеда. Древнегреческих математиков интересовали задачи отыскания площади круга, поверхности сферы, сегмента параболы, а также объёма шара, цилиндра, пирамиды, конуса, тетраэдра и ряда других геометрических фигур.

Под проведением квадратуры понималось построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого заданной фигуре (то есть имеющего такую же площадь) или прямое вычисление соответствующей площади. Вероятно связи геометрии и анализа если и обнаруживались, то интуитивно и неявно. Во всяком случае координатный метод и понятия дифференциального исчисления точно не были известны, хотя и почти что точно были так или иначе интуитивно восприняты и неявно затронуты.

Что касается второго типа задач. Интегралы часто описываются как площадь под кривой. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это нахождение площади прямоугольника. Именно понимание сущности умножения применительно к различного рода частным случаям позволяет понять аналитико-алгебраическую суть интегрирования.

Понимание и использование простейших случаев умножения, к примеру, умножения натуральных чисел, было известно с древнейших времён.

Однако, за всеми частными случаями умножения находится определённая общность. Вот как можно описать умножение чисел из различных числовых множеств:

  • В случае с натуральными числами. К примеру, умножим число 3 на число 4, то есть 3 × 4. Умножение — это повторяющееся сложение, то есть произведение чисел получим сложив число три четыре раза или наоборот сложив число четыре три раза [3].

  • В случае с вещественными числами.

    • Возьмём одно рациональное число — дробь, а другое целое. К примеру, умножим 3,5 на 2, то есть — 3,5 × 2. Умножение — это повторяющееся сложение, произведение получим сложив число три целых и пять десятых два раза. Также, получить произведение можно путём сложения произведений вначале целой части числа 3,5 то есть 3 на 2, а затем дробной то есть 0,5 на 2. Для целой части — сложим число три два раза, а для дробной части — возьмём единицу разделим на десять, затем возьмём пять частей от деления то есть пять десятых и сложим два раза.

    • Возьмём два рациональных числа — две дроби и получим произведение. К примеру, умножим 3,5 на 2,1 то есть — 3,5 × 2,1, произведение получим сложив произведение 3,5 на 2 и 3,5 на 0,1 [4]. Словесно это будет выглядеть следующим образом, для первого произведения — сложим число три целых пять десятых два раза, для второго — разделим число три целых пять десятых на десять частей и возьмём одну часть то есть одну десятую.

    • В случае с отрицательными числами (-2,3 × 4,3), умножение — сумма произведений и разворот числовой оси или иными словами отражение суммарного значения произведения — в данном случае числа 9,89 относительно начала отсчёта, то есть числа ноль, в результате получаем -9,89.

  • В случае с комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.

Мы ходим вокруг да около «применения» одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

Когда мы умножаем числа мы повторяем сложение, где в каждом слагаемом знаем какие находятся операнды, а именно — повторяющиеся числа.

К примеру, если мы хотим вычислить пройденный путь телом, движущимся с одинаковой скоростью в каждый момент времени, то мы просто перемножим скорость на время (значение функции скорости одинаково, а геометрически грубо говоря одинаково во всем прямоугольнике).

Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (момент за моментом, секунда за секундой). В каждый момент скорость может быть разной.

Вот как это выглядит в большой перспективе:

  • Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и «масштабируем ее».

  • Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные в каждое из мгновений (секунд, миллисекунд и т. д.).

То есть, интегральную сумму (значение интеграла, определённый интеграл) можно определить, как максимально точную сумму значений искомой переменной величины

при её изменении в промежутке от до где а .

Точность достигается в пределе, то есть при всё большем уменьшении размера промежутков между значениями или, что тоже самое, при всё большом увеличении числа отрезков (числа — обозначающего индекс-номер последнего отрезка)

Несомненно греческих и более поздних мыслителей интересовали задачи на отыскание суммарного значения переменных величин. Вероятно их устраивало простое суммирование значений переменной величины, приближённые вычисления. Если мы возьмём приращение переменной равное единице, то интеграл приближённо будет равен сумме значений функции в рассматриваемом промежутке.

В дальнейшем, начиная с XVI века (работы Галилея, Кеплера, Кавальери и других о методе неделимых) понимание интегрирования постепенно совершенствовалось и развивалось пока не достигло формализации у Бернхарда Римана в середине XIX века и дальнейшего обобщения.

3. Интуитивные способы отыскания значения интеграла

Итак, каким же образом вычислить интегральную сумму ? Можно попробовать несколько способов:

  1. Умножить совокупное приращение переменной на значение функции и получить площадь прямоугольника, который добавит значительный излишек, либо срежет значительную часть в зависимости от того какое значение функции мы выберем. Вручную мы можем подобрать такое значение функции, что при умножении её на приращение переменной мы получим довольно точное значение площади (определённого интеграла в промежутке). Для этого нам потребуется провести линию так, чтобы площадь излишка примерно равнялась срезанной площади. Однако, это не даст нам универсального метода отыскания значения искомой величины.

2. Сложить произведения приращения переменной на значение функции в соответствующих точках, получив тем самым сумму площадей прямоугольников, внешне напоминающих лестницу (ступеньки). В самом простом случае приращение равно единице. На этом методе и основано формальное определение определённого интеграла, данное Б. Риманом. О нём мы поговорим ниже.

3. Воспользоваться иными так называемыми численными способами отыскания значения интегральной суммы (интеграла).

4. Отыскание значения интеграла через отыскание первообразной

Однако есть более изящный и универсальный способ вычисления интегральной суммы, который был открыт Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницом. Этот способ устанавливает фундаментальную связь дифференцирования (производной) и интегрирования (первообразной).

Чтобы рассмотреть суть открытия, необходимо последовательно прийти к ряду идей и рассуждений.

Пусть имеется некоторая функция от числовой переменной — Обозначим её [5].

Следует отметить несколько обстоятельств относительно рассматриваемой функции:

Для наглядности изобразим график рассматриваемой функции в виде произвольной кривой.

Пусть мы хотим отыскать всю или часть совокупного значения (аналитико-алгебраический смысл интегрирования) или площадь под кривой (геометрический смысл). Выберем промежуток между двумя точками и и продолжим наши рассуждения.

Искомое значение представляет собой функцию и очевидно, что оно будет зависеть от размера промежутка и того значения изначальной функции, которое она принимает в каждой точке этого промежутка. Также, очевидно, что промежуток значений переменной для изначальной функции и функции площади будет одинаковым [6].

Сказанное выше легко показать и увидеть на графике.

Заметим, что значения функции площади не равны значению изначальной функции при том же значении переменной [7]. Значения площади постоянно возрастает слева-направо, то есть при каждом шаге приращения промежутка суммирования (интегрирования).

Пусть теперь исследуемая функция является функцией скорости движения материальной точки (тела) по некоторой траектории. Тогда, очевидно, по определению производной, что скорость в конкретный момент времени — это первая производная пути (координаты) по времени

Если скорость это производная пути и мы знаем аналитическое выражение её выражающее, то мы можем найти выражение для самого пути то есть для самой функции. Мы можем это сделать через операцию, обратную нахождению производной то есть через отыскание первообразной. Это справедливо, поскольку производная и соответствующее ей семейство первообразных единственны.

Данный вывод можно обобщить на все интегрируемые функции.

Далее, легко понять из простых арифметических и геометрических соображений, что значение интегральной суммы (площади) будет равно разности значений полученной функции (первообразной), взятых в соответствующих точках [8].

То есть если требуется найти интегральную сумму в промежутке от до , где первое и второе — некоторые произвольные значения переменной, то необходимо вычислить разность

Указанная сумма и есть определённый интеграл, который записывается, как

[1]. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1974. С. 4

[2]. Имеется ввиду сумма значений переменной, которая является элементом интегрирования, интегрируемой величиной.

[3]. Не имеет значения каким образом будем вычислять произведение, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то есть данная операция обладает свойством коммутативности.

[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,1 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1.

[5]. Вместоможет быть любое обозначение, к примеру, — это не имеет значения. Буквавсего лишь обозначает имя для функции, а скобки отделяют имя от сущностей — обычно числовых переменных над которыми совершаются те или иные операции, дающие в результате значение функции.

[6]. Переменная-аргумент — одна и таже, то есть иными словами значения переменной-аргумента в точках для и одно и тоже. Далее, мы покажем, что производная , то есть можно записать или .

[7]. То есть . К примеру, пусть функция задана выражением . Тогда, при , , а значение . Если. Тогда, при , , а значение .

[8]. Пусть имеется точка, число 7 и 10, чтобы найти величину промежутка между этими значениями надо найти разность то есть 10 — 7 = 3.

определение, история развития, применение интегралов на практике

Содержание:

Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур — метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. — ок. 355 г. до н.э.) — древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. — 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

{a} \sqrt{x} d x$

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 — 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 — 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 — 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 — 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 — 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 — 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы «длинная s» (от первой буквы слова Summa — сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 — 1830) в 1819-20 годах. Сам термин «интеграл» придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 — 1705) в 1690 году.

Применение интегралов на практике

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции $F(x)$ ее производной $F^{\prime}(x)=f(x)$ или ее дифференциала $F^{\prime}(x) d x=f(x) d x$ . Обратная задача, состоящая в определении функции $F(x)$ по ее известным производной $f(x)$ или дифференциалу $f(x) d x$, представляет собой основную задачу интегрального исчисления.

Читать дальше: неопределенный интеграл и понятие первообразной.

Свойства и приемы вычислений неопределенных интегралов. Справочник репетитора по математике

Виртуальная шпаргалка для занятий с репетитором по высшей математике. На этой странице представлены теоретические сведения, необходимые для решения задач по неопределенным интегралам: опеределение интеграла, его свойства, правила и приемы вычислений. Справочные материалы ориентированы на студентов первых курсов математических и технических ВУЗов, преподавателей и репетиторов по математическому анализу. Также они будут полезны школьникам, проявляющим повышенный интерес к предмету.

Репетитор по математике советует: если вы хотите воспользоваться этой страничкой для самообразования — вам потребуется знание таких тем как «производная» и «первообразная». Для понимания методов интегрирования, правил подстановок и преобразований в подитегральных выражениях — сначала изучите тему «дифференциал функции».

Справочник по высшей математике. Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение: Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех ее первообразных. Обозначается такое множество знаком .

Выражение f (x) dx называется подинтегральным выражением, а функция f (x) — подинтегральной функцией. Переменная x называется переменной интегрирования. Процесс поиска неопределенного интеграла называется интегрированием. На языке дифференциалов задача нахождения интеграла звучит так: найти функцию, дифференциал которой равен f (x) dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Любая функция из множества всех первообразных отличается от любой другой из этого же множества на константу. Поэтому, если  — первообразная для функции , то , где С- любое действительное число.

2) Любой числовой множитель можно вынести за знак интеграла, то есть:

3) Неопределенный интеграл суммы функции равен сумме их интегралов, то есть:

Это свойство еще называют свойством аддитивности неопределенного интеграла.

4) Знак дифференциала, расположенный перед знаком неопределенного интеграла уничтожает последний, то есть:

5) Знак неопределенного интеграла, расположенного перед знаком дифференциала также уничтожает последний с точностью до произвольного постоянного слагаемого, то есть:

6) Интегрирование по частям.
Всякое подинтегральное выражение можно бесчисленными способами представить в виде , где функции U и V некоторые функции аргумента X)
Интегрированием по частям в неопределенном интеграле называется вычисление интеграла через интеграл с помощью верного равенства:

7) О сведении одного неопределенного интеграла с другому с помощью замены переменной.

Если F (x) — какая-нибудь первообразная для функции f (x), то

Данное равенство служит обоснованием правомерности замены переменной в неопределенном интеграле. Можно заметить, что два последних множителя в подинтегральном выражении представляют собой дифференциал внутренней функции g (x). Тогда, очевидно, что для получения первообразной, составляющей ответ в вычислении предыдущего интеграла достаточно заменить g (x) на t и проинтегрировать выражение с переменной t. Коротко это преобразование можно выразить следующим равенством:

Эта схема раскрывает суть техники интегрирования при замене переменной в неопределенном интеграле. Для нее необходимо выделение повторяющегося буквенного выражения (внутренней функции) даже под знаком дифференциала.

Виды замен и подстановок в неопределнном интеграле:

1) Тригонометрическая подстановка
Приеменяется для иррациональностей вида в том случае, когда подинтегральное выражение является алгебраической функцией этих выражений. Тогда используются следующие подстановки:
для применяется подстановка
для применяется подстановка
для применяется подстановка

2) Подстановка Эйлера.
Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью одной из подставновок Эйлера:
Первая подстановка Эйлера:
применима при a>0 и имеет вид:
Вторая подстановка Эйлера
применима при c>0 и имеет вид:
Третья подстановка Эйлера:
применима когда трехчлен имеет действительные корни, и, в частности если a

Репетитор по математике о применении подстановок Эйлера

:
В первой подстановке можно заменить знак плюс на знак минус перед . Это ничего не изменит. На практике для вычислений неопределенного интеграла хватает первой и третьей подстановки. Ими описываются все случаи. В некоторых справочниках вторая подстановка вообще не упоминается, что часто путает изучающих высшую математику. Я точно не знаю почему Эйлер дал своим подстановкам такие непоследовательные номера. Возможно в этом порядке они были открыты.

3) Интегралы от тригонометрических функций.
Если подинтегральное выражение представляет собой рациональную функцию синусов и косинусов одного аргумента R (Sinx,Cosx), то применяется подстановка

Комментарий репетитора по математике относительно изучения темы «первообразная и интеграл» в школе.

Изучение множества всех первообразных функции, по сути, есть ни что иное, как изучение неопределенного интеграла. Разница между школьной программой и высшей математикой лишь в том, как это множество обозначается. В школьных программах сам общий вид (формула)первообразных F (x)+c служит обозначением этого множества. Во взрослой математике прибегают к обозначают через знак интеграла. Репетитор по математике не должен пользоваться символикой высшей школы даже в работе с сильным учеником. Всему свое время.

Почему знак неопределенного интеграла не используется в работе со старшеклассниками? На мой взгляд причина только в ограниченном изучение методов интегрирования. Приемы интегрирования, применяемые в высшей математике, используют неразрывную связь интеграла и дифференциала, расположенного под его знаком. Требуется понимание производимых операций с дифференциалами, при понимании которых преобразования можно вести в одну строчку, как при тождественных. В силу ограниченности изучаемых приемов интегрировани в школе, нахождение первообразных производится в одну операцию и всего-лишь по одному из трех правил. В этом случае ответ удается записать сразу, не прибегая к занесению множителя под знак дифференциала, не прибегая к сведению одного интеграла к другому и не прибегая к различным подстановкам.

Колпаков А.Н, репетитор по математике в Москве. Профессиональный репетитор по математике в Строгино, м.Щукинская

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ. Хаос и структура

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ

Как мы знаем, интегрирование определяется в математике или в качестве процесса, обратного дифференцированию, или в качестве нахождения предела суммы. В первом смысле интегрирование для нас менее интересно, так как здесь мы имеем дело с прямым обращением того, что у нас было при дифференцировании, так что определение интеграла носит здесь формальный характер. Используем, однако, оба определения.

1. Дифференцирование приводит нас от первообразной функции к производной, а интегрирование—от производной к первообразной. Интеграл функции есть ее первообразная, если она сама понимается как производная. Здесь мы встречаемся опять с традиционным математическим позитивизмом, понимающим интеграл просто как ту самую функцию, производная которой интегрируется. Здесь повторяется та же пошлость, что в понимании дифференциала как «самой обыкновенной конечной величины», в то время как даже эта самая «конечная величина» никогда не есть только конечная, подобно тому как и действительности нет только прерывной, а есть действительность только прерывная[210] и непрерывная сразу и одновременно. Ни производная, ни дифференциал, ни интеграл, ни даже «самая обыкновенная конечная величина» не есть нечто только конечное.

Раз 1, 2, 3 и т. д. не мыслятся нами как обязательно интегралы и для получения этих чисел натурального ряда вовсе не надо знать, что такое интеграл, то, следовательно, и интеграл вовсе не определяется конечным числом и не есть просто та первообразная функция, которую мы дифференцировали, чтобы получить производную. Что же тогда такое интеграл?

Что значит перейти от производной к первообразной функции? Ведь производная—это, как мы установили, есть принцип деления понятия. Первообразная же функция, о производной которой идет речь, есть само понятие, которое тут делится, или, точнее, первоначальное и неделимое понимание, отражающее вещь. Путем интегрирования мы, следовательно, переходим от принципа деления понятия к самому понятию, от принципа его становления—к нему самому. Если же говорить точно, то мы только сейчас, после интегрирования, можем впервые говорить о понятии, так как до сих пор у нас был только единый и неделимый смысл, единое и неделимое существенное определение вещи.

Понятие есть, таким образом, интеграл смысла, ибо оно возникает только после рефлектирования этого смысла вещи с точки зрения изменений самой вещи, т. е. только после перехода его в становление; обратное движение от этого становления смысла к его цельности и неделимости и есть интегрирование, а результат этого перехода от становления к устойчивой цельности, т. е. к ставшему, — это и есть интеграл.

Таким образом, интеграл есть опять–таки соединение конечного и бесконечного, и это соединение опять–таки совершается здесь по типу становления, и в этой общей сфере становления опять–таки выбирается момент предела, т. е. ставшего. Словом, до сих пор мы не делаем ровно никакой разницы с дифференциалом. Это тождество интеграла с дифференциалом надо понять раньше, чем мы будем говорить об их различии. И так как об этом различии у нас будет разговор дальше, то сейчас пока будем всматриваться в то, что такое интеграл и в чем разница между понятием как отвлеченным смыслом и понятием как интегралом.

Интегралом в логике является вовсе не то единое и неделимое существенное отражение вещи в мышлении или тот единоцелостный смысл вещи, который еще не перешел в свое становление, в свое дробление и который еще не превратился в законченную совокупность признаков. Реальность и очевидность такого цельного существенного отражения вещи были нашим исходным пунктом. Но это не интеграл. Сделаем к этому некоторые пояснения.

2. Прежде всего, надо отчетливейшим образом представить себе, в чем заключается целостность и неделимость этой первообразной функции, которая — после интегрирования—становится у нас интегралом. Это есть целостность и неделимость с точки зрения непрерывного становления в ином. Это не значит, что смысл этот нерасчленим или неразличим сам в себе. Если мы изобразим эту первообразную функцию в виде соответствующей кривой, то кривая эта сама по себе, конечно, вполне расчленима и различима, ее можно разбивать на какие угодно элементы, и в том числе на непрерывно становящиеся. Ее аналитическое выражение тоже состоит из ряда вполне определенных действий, которые не могут не быть расчленимыми и не могут не быть некоей едино–раздельной структурой. И при всем том необходимо утверждать, что это есть раздельность в себе, т. е. еще пока не рефлектированная раздельность. Когда мы, напр., чертим окружность, мы не сразу и в одно мгновение ее чертим, но проходит некоторое время (1—2—3 секунды или еще больше), покамест подвижной ножкой циркуля мы не придем в исходную точку. Конечно, в связи с этим существует четверть, половина, три четверти окружности и т. д., и все это есть результат того, что окружность в себе разделена, что ее можно как угодно делить, и т. д. Но это есть именно раздельность в себе, без всякого перехода в иное, ибо никакого иного тут и нет, пока мы еще не выбрались из черчения самой окружности. Но вот окружность вычерчена, она воспринимается нами как целое, и она теперь как целое вступает в свое инобытие. Мы можем теперь эту окружность, напр., вращать около ее диаметра — получим шар. Мы можем рассматривать ее как основание того или иного трехмерного тела и получить, напр., конус. Наконец, мы можем, даже оставаясь в пределах самой окружности, но теперь владея ею уже как целым, все же характеризовать ее заново, т. е. так, как было для нас невозможным до получения цельной окружности. Мы, напр., теперь можем вычислить длину окружности или определить отношение диаметра к длине окружности, определить площадь соответствующего круга и вообще дать то, что называется геометрией круга и окружности. Все это предполагает, что сама окружность уже есть, и все это предполагает, что окружность рассматривается теперь уже извне, как нечто целое и готовое.

На этом простейшем примере можно очень легко уяснить себе, в каком отношении смысл вещи, или ее простое отражение, есть нечто неделимое и в каком он делится, дробится и есть раздельное целое. Неделим и неразличим этот смысл с точки зрения своего непрерывного становления в окружающем, т. е. в нем нет тех различений и разделений, которые несет с собою внешнее непрерывное становление. Но в нем обязательно есть разделение прерывное и непрерывное свое собственное, т. е. определенная составленность из тех или иных элементов, но — обязательно внутри собственных пределов. Структура устанавливаемого смысла вещи как вещи дана тут до своего перехода как целого в сферу непрерывных своих изменений в окружающей действительности, в то время как структура понятия дана после перехода соответствующей первообразной функции в непрерывное становление в окружающем.

Все это нужно иметь в виду для четкого представления, что такое интеграл. Понятие как интеграл есть, следовательно, некая едино–раздельность смысла вещи, отраженного в мышлении, но едино–раздельность после перехода ее как целого в становление, едино–раздельность уже после соотнесения со становлением вещи и, значит, такая едино–раздельность понятия, которая уже есть совокупность признаков понятия. Смысл делится и расчленяется здесь на свои признаки, ибо признаки в нем зарождаются только в связи с его инобытийным функционированием. И вот составленность смысла из таких элементов, которые сами суть признаки, и есть понятие как интеграл.

3. Что дает нам нового эта инфинигезимальная точка зрения на понятие? Это новое более ярко скажется на анализе второго определения интеграла—как предела суммы; и оно менее выпукло на интегрировании как действии, обратном дифференцированию. Однако и здесь выгоды инфинитезимального подхода к мышлению достаточно выпуклы и ощутимы.

Мы, следовательно, идем здесь от принципа становления смысла обратно к смыслу и получаем уже не просто смысл, но интегрированный смысл, или интеграл смысла, или, по нашей терминологии, понятие. Значит, что такое понятие при таком инфинитези–мальном подходе? Состоит ли оно из признаков или нет? И есть ли оно что–нибудь общее или единичное?

Очень важно для логики интегральное понимание признаков понятия. То гипостазирование признаков, о котором учит традиционная логика, совершенно невозможно. Таких абсолютных понятий с такими абсолютными признаками просто не существует. Оперирование с такими понятиями и с такими признаками совершенно антиисторично, антисоциально и даже попросту антипсихологично. Таких понятий и таких признаков, повторяем, просто не существует. Ведь существует же в конце концов реальное исследование, искание, экспериментирование, творчество—и у отдельного научного работника, и в науке вообще. Существуют же какие–то этапы исследования, развитие исследования, переходные моменты исследования. Все это движется, накопляется, эволюционирует; потом вдруг делает прыжок, скачок, совершает революцию; потом опять долго и мучительно растет, нарастает, зреет или, наоборот, деградирует, хиреет, умирает. Так, и только так, развивается наука, и больше никак. Тысячи голов продумывают тут научную теорию, и при этом каждая голова вносит от себя часто именно какое–то «бесконечно малое приращение» (в том или ином смысле) в общую сокровищницу человеческого знания. О каких же твердых и неподвижных понятиях можно говорить и где они такие твердые и неподвижные признаки наших понятий, и научных, и обыденных? Ну, есть там и здесь некая относительная устойчивость понятий и признаков. Особенно ею хвалятся т. н. точные науки. Но эта абсолютность точных наук давно уже разоблачена, и верят в нее сейчас только провинциальные недоучки. По Ленину, всякий закон относителен, какую бы точность и твердость он ни обнаруживал перед нами в данный момент.

Однако если это всерьез так, если мы на деле, а не на словах признаем непрерывную текучесть и понятий, и их признаков, то я не знаю, как обойтись без интегрального понимания и самого понятия, и его признаков. Признаки понятия обязательно становятся, текут, меняются и непрерывно переходят друг в друга. Можно уловить только общее направление этого непрерывного становления и с точки зрения этого общего направления судить о том, что именно здесь становится.

Наблюдая данную область действительности, мы сначала сталкиваемся с массой разнородных фактов, никак не связанных между собою. Механик и физик находят сначала факты падения тела в совершенно несвязанном виде: камень падает одним способом, пушинка—другим. Астрономы до Кеплера бесчисленное число раз смотрели на планеты и никак не могли представить себе их точных орбит. Художник, наблюдающий жизнь, видит, как одно и то же правительственное предприятие или одно и то же событие по–разному действует в разных областях жизни. Да наконец, просто вы слышите музыкальную мелодию и сначала не можете вспомнить, где и когда вы ее слышали и какому композитору она принадлежит. Все это слепые и неосмысленные факты.

Но вот механик и физик начинают наблюдать общую тенденцию наблюдаемых ими фактов: падение, оказывается, взятое как таковое, вовсе не зависит от того, какого веса падающий предмет. Оказывается тут же, что можно наблюдать известную закономерность и относительно самого движения падающего тела—относительно его пути или скорости движения. Художник начинает замечать, что коллективизация крестьянства дает огромные выгоды в смысле народного хозяйства. Услышанную вами музыкальную мелодию вы точно зафиксировали как такую–то и такую–то; ее строение, ее направление вы точно определили и зафиксировали.

И что же остается? Остается на основании всех этих установленных направлений, тенденций, принципов развития данного явления установить самое явление — установить, что такое падение тела или орбита планет, дать тот или иной художественный образ подъема народного хозяйства в связи с коллективизацией крестьянства, вспомнить и назвать музыкальную пьесу и ее композитора на основании установления ее манеры, ее особенностей.

Это и значит в логическом смысле интегрировать. И так как математики говорят об интегрировании чего–то как производной по чему–то как по независимому переменному, то мы здесь и должны говорить — в логическом смысле—об интегрировании наблюдаемых принципов падения тела в смысле его скорости или по наблюдаемым фактам этого падения, т. е. по времени, об интегрировании наблюдаемых особенностей в развитии народного хозяйства по фактам этого хозяйства, об интегрировании манеры в построении мелодии по наблюдаемым фактам этой мелодии. И в результате мы везде получаем здесь интеграл: падение тела как интеграл, художественный образ как интеграл, реальную музыкальную пьесу и ее композитора как интеграл. И везде тут интеграл есть не что иное, как функция соответствующих производных, а производные есть только принципы наблюдаемых фактов в их непрерывном становлении. Везде тут общность и цельность получаемого понятия — как интеграла—всецело зависит от наблюдаемых направлений, а самые эти направления устанавливаются из реально становящихся фактов. Тут, между прочим, для наших целей как раз менее всего важно интегрировать в общем математическом смысле, так как тяжесть и эффектность математического результата здесь, как и везде, имеет слишком огромное значение и стремится перейти к самодовлеющей значимости, игнорируя всякую логику как самостоятельную науку. Поэтому, если закон падения тела и получается в точном математическом смысле как интеграл от скорости падения тела по времени, то для нас в настоящую минуту ценнее то, как Кеплер открыл свой закон движения планет по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Кеплер, не имея никакого математического понятия об интеграле, просто наблюдал практическое положение планет на небесном своде и отмечал перемещение этих положений; он прикидывал, какой кривой это больше всего соответствует, и, когда он заметил, что эта кривая есть эллипс, он в это мгновение, несомненно, проинтегрировал свои наблюдения, сводившиеся только к установлению общих тенденций в движении планет, но никак не к установлению каких–нибудь функций, интегрирование которых привело бы к эллипсу как к планетной орбите. Хотя все подобные представления как будто бы и менее точны, чем математические, тем не менее для логики они очень важны, и часто важнее даже математических представлений, поскольку они гораздо наивнее и откровеннее рисуют нам логический секрет и дифференциала, и интеграла. А секрет этот, освобожденный от всей тяжести математической схоластики и сложной терминологии, сводится к очень простому: интеграл—это понятие, поскольку оно получено из принципа его инобытийного становления. Обычно понятие—это символ устойчивости и даже неподвижности, даже вечности. У нас же оно только результат обобщения становления. Если не гнаться за субтильной терминологией, за точностью, за формулой и сказать грубо и попросту, то интеграл — это обобщение бесконечного становления: понятие как интеграл— это просто сводка и резюме непрерывного и бесконечного становления. Так мы получаем замечательное учение об общности и цельности, которая и самостоятельна, и всецело зависит от материального и вещественного «независимого переменного». Образуется понятие со своей собственной твердой и нерушимой структурой, которое в то же время есть только продукт становления и даже становление это содержит в себе. Оно твердо, точно от всего отграничено, конечно, но оно в то же самое время обнимает в себе неисчислимую бесконечность непрерывных приближений, нарастаний, становлений, и ими только, этими бесконечно малыми процессами, оно и держится. Значит, уже по одному этому интеграл и, следовательно, понятие как интеграл есть некий синтез конечного и бесконечного, и синтез этот здесь вполне специфичен: он получен из становления, ибо наблюдались тут бесчисленные явления, переходящие одно в другое, и получен он путем становления, ибо для получения интеграла надо было исчерпать становление фактов, т. е. перейти к его пределу.

Так логически рождается эта удивительная категория интеграла.

4. Остается еще сказать несколько слов о том, что значит в логическом смысле получить неопределенный интеграл. Математики учат, что интегрирование всегда содержит в себе ту неопределенность, что к получаемому виду функции как первообразной мы должны еще прибавить величину с, именно произвольную постоянную величину. Объясняется это тем, что, поскольку производная от постоянного равняется нулю, в интеграле всегда должны быть те или другие постоянные, которые при дифференцировании исчезают, переходя от производной к первообразной. Мы, конечно, должны учитывать и их. Можно также сказать, что интегрирование функции в этом «неопределенном» виде дает нам интеграл как функцию только верхнего своего предела. Он ограничен «сверху», а не «снизу», т. е. если мы получаем в качестве интеграла некоторую кривую, то чертить мы ее можем, как угодно перемещая ее ординаты поступательно параллельно самим себе, ибо начало отсчета по х–гм остается совершенно неопределенным и потому произвольным. Это и называется неопределенным интегралом. Он получается всегда, когда мы идем от производной к первообразной. И если каждому интегралу соответствует только одна производная, то каждой производной соответствует бесконечное количество интегралов, правда различающихся между собою не структурой функции, но только тем или иным постоянным. Геометрически мы тут получаем не просто кривую, но т. н. семейство кривых, т. е. бесчисленное количество мест, где чертится одна и та же кривая в зависимости от допущений той или другой точки отсчета по линии х–ов при черчении данной кривой.

Спрашивается: что же соответствует в логике этому неопределенному интегралу?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что в определенном интеграле мы имеем в виду его абсолютное численное значение, в то время как неопределенный интеграл, оставляя неопределенными исходные данные, дает только метод получения абсолютной численной величины. Если мы путем интегрирования получим закон падения тела, то ведь очень большая разница получится в характере данного падения реального тела в зависимости от того, с какой высоты начинается падение. Эту абсолютную данность исходных условий как раз и не охватывает неопределенный интеграл. И только определенный интеграл, когда функция интегрируется в точно данных пределах изменения аргумента от какого–нибудь ?х до какого–нибудь jc2, только такой интеграл и способен дать нам абсолютное численное значение возникающей здесь первообразной.

Имея это в виду, нетрудно теперь понять, что такое в логическом смысле неопределенный интеграл и что такое в логическом смысле определенный. Неопределенный интеграл есть понятие (а оно получается здесь как и при всяком интегрировании в качестве синтеза конечного и бесконечного), есть только принцип познания, а не результат познания, в то время как определенный интеграл есть именно результат познания. В одном случае понятие нам указывает, как надо рассуждать, если данные условия именно таковы. В другом случае понятие говорит, что получается при рассуждении относительно именно этих вот реальных условий. Одно дело — исходить из каких бы то ни было условий и утверждать, что если есть то–то, то обязательно должно быть и вот что. И другое дело — исходить из данных реальных условий и утверждать, что наблюдаемое явление начинается тем–то и кончается тем–то.

Это различие между понятием как принципом познания и понятием как результатом познания весьма небесполезно для логики; и математика дает для этого точный коррелят как раз в интересующей нас сейчас инфинитезимальной области. С одной стороны, мы имеем понятие яда, полученное нами путем интегрирования общего действия известного рода химических соединений на организм; оно для нас принцип для определения того, является ли данное химическое соединение ядом. С другой стороны, мы имеем понятие карболовой кислоты, ядовитость которой не есть просто общий метод отравления организма, но именно данная определенная картина этого отравления, отличная, напр., от отравления углекислым газом. Конечно, уже и производная, как мы видели, есть некоторый принцип познания, и это уже потому, что она есть предел; она тоже есть, как мы знаем, метод охвата бесчисленных мельчайших сдвигов в наблюдаемых нами явлениях. Однако интеграл, понимаемый как принцип, идет дальше и глубже. Он не просто дает нам способ раскрывать общие тенденции в развитии и становлении признаков понятия, как это делает производная, но все эти признаки связывает в одно целое понятие. Производная есть принцип познания признаков понятия, интеграл же есть принцип познания (или установления) самого понятия. Поэтому не нужно смущаться тем, что и производная, и интеграл одинаково суть принципы познания.

5. Констатируя эту совершенно специфическую принципность интеграла, мы замечаем, что интеграл в сравнении с производной получает как бы второе измерение. Если признаки понятия рисовали нам понятие как бы с внешней стороны (они ведь, как мы знаем, и есть не что иное, как образ соотношения понятия с изменяющимися вещами) и если совокупность признаков понятия есть как бы его видимая сторона, поверхность, то само понятие лежит глубже этих признаков, оно — «подставка», «подпорка» для этих признаков, носитель этих признаков. И значит, если производная останавливает нас в области только самих же признаков, давая возможность путем предельных переходов распределять и осознать их бесконечные переливы, то интеграл погружает нас как бы вглубь от этой поверхности и прикрепляет систему признаков понятия к некоему определенному их носителю. Вот почему математики охотно понимают интеграл как площадь и объем, по крайней мере как длину кривой. Здесь бессознательно играет роль именно многомерность или по крайней мере двухмерность интеграла в сравнении с внешней «поверхностью» производной.

Если расширить и углубить это представление об интеграле, то мы и перейдем к определенному интегралу в собственном смысле слова, т. е. к интегралу как к пределу суммы, к интегралу как к площади.

6. Гораздо больше интереса представляет для нас другое определение интеграла — как предела суммы. Это т. н. определенный интеграл, т. е. интеграл, в котором определены и верхний, и нижний пределы и который поэтому есть функция своих обоих пределов. Посмотрим, что он дает для логики.

Определенный интеграл зародился в результате попыток определения площадей и объемов таких, которые ввиду своей сложности не поддавались методам элементарной арифметики и геометрии. Если мы имеем прямоугольник, то площадь его вычислить очень просто. Это — найти произведение основания прямоугольника на его высоту. Но если, напр., одну из сторон прямоугольника заменить кривой, то для определения площади такой фигуры метод умножения основания на высоту уже не годится. Здесь издавна, ёще с древнеегипетских времен, пытались свести такую фигуру на ряд таких прямоугольников, площадь которых уже не так трудно вычислить, и потом суммировали все такие прямоугольники. В наиболее совершенной форме этот метод проводится в интегральном исчислении.

Здесь берут такой «прямоугольник», верхняя сторона которого есть кривая линия и основание которого мыслится на оси х–ов, и разбивают его на прямоугольники путем перпендикуляров, восстанавливаемых к оси х–ов по мере движения х. Если мы будем количество таких прямоугольников беспредельно увеличивать и тем самым площадь каждого из них беспредельно уменьшать, т. е. если ? будет меняться непрерывно, то в определенных пределах изменения ? мы получим все увеличивающееся количество прямоугольников, которые в сумме будут стремиться к некоему пределу, что и есть площадь нашего «прямоугольника», или, как говорят, криволинейной трапеции. Геометрически, таким образом, интеграл есть площадь прямоугольника как предел суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников, т. е. прямоугольников, возникающих при непрерывном возрастании X.

Это другое определение интеграла имеет очень важный логический смысл, если применить его к определению понятия.

Что могло бы значить понятие как предел суммы? Что это за предел и какая это сумма, чего, собственно, это сумма? Раз мы заговорили о сумме, значит, предполагаются слагаемые, части. Что же это за «части» в понятии? Конечно, это его виды, видовые понятия. Но тут не может быть перехода от родового понятия к видовому понятию, что мы находим в производной, которая ведь и есть метод получения частных понятий из общего. Тут не переход от рода к виду, но составление рода из видов. Переход здесь к виду делается только для того, чтобы полнее и расчлененнее представить самый род. Итак, родовое понятие, понятие как общее, есть сумма видовых понятий. Но это еще не интеграл.

Интеграл есть предел суммы. В таком случае, что же такое понятие как предел суммы его видов? О пределе мы имеем право говорить только тогда, когда имеется некая переменная величина, которая в результате своего увеличения или уменьшения может отличаться от другой, постоянной величины сколь угодно мало. В таком случае эта постоянная величина и есть предел данной переменной величины. Следовательно, для того, чтобы родовое понятие стало пределом для своих видов, необходимо, чтобы они, бесконечно мало отличаясь друг от друга, в сумме бесконечно мало отличались от этого родового понятия и в конце концов все расплывались бы в нем, образуя действительно целое и уже неделимое понятие.

Но если так, то роль предела здесь, очевидно, вполне аналогична пределу в случае с производной. Производная есть предел — как закон возникновения частного из общего, как принцип становления видов из родового понятия. Интеграл же как предел тоже есть некий закон и принцип, но только закон и принцип становления не видов из рода, а родового понятия из видовых. Понятие как интеграл есть закон становления родовой общности из видовых понятий, принцип возникновения рода из видов. И как при получении производной мы понимали дифференцирование не просто в качестве расчленения и различения, но в качестве непрерывного расчленения и различения и сама производная была только законом этого непрерывного становления родовой общности в виде бесконечного ряда видовых понятий, так и теперь под интегрированием мы понимаем не просто слияние видов в одну родовую общность, но слияние это мы понимаем здесь как происходящее в результате непрерывного перехода из одного вида к другому, непрерывного их сближения и сам интеграл и есть закон непрерывного становления суммирующихся видовых понятий в одно сплошное и неделимое родовое понятие.

7. Подобная точка зрения на род и вид не может не освежать традиционных затхлых схем «обобщения» и «ограничения». Традиционные «деревья Порфирия»[211] слишком откровенно построены на застывших и готовых понятиях, чтобы подобные теории можно было принимать безоговорочно. Кроме того, все эти «обобщения» и «ограничения» открыто узаконивают пользование неясными категориями, что уж совсем не соответствует такой критической науке, которой является логика. Когда мы «делим» материю на «одушевленную» и «неодушевленную», можно ли сказать, что эти видовые понятия нам ясны и что ясен самый принцип, по которому происходит это деление? Когда мы делим «тело» на «организмы» и «неорганические тела» или «одушевленное» — на «разумное» и «неразумное», можно ли похвалиться ясностью логического метода этих и подобных разделений? Конечно, нет. Это — вполне наивное и примитивное отношение к логическому делению и узаконивание некритического подхода к тому, что такое род и что такое вид.

Даже и не напирая обязательно на такие категории, как производная или интеграл, необходимо сказать, что наша логика, отставши от всех наук на целые столетия, ничему не научилась и в математике, а в математике—гораздо более тонкое и критическое отношение к роду и виду, чем в логике.

Я укажу хотя бы на тот фундаментальный факт, что математика, производя деление, знает не только результаты деления как таковые, но и метод их получения из цельной общности. Каждое видовое понятие существует тут не просто само по себе, но оно таит в себе закон своего получения из общего понятия. Возьмем то, что знает уже младший школьник. Треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Остроугольные—те, в которых каждый угол меньше 900; прямоугольные—те, у которых один угол равняется 90°; и тупоугольные—те, у которых один угол больше 90°. Вот простейшее геометрическое деление. Разве сравнить его с такой, напр., чепухой, как деление европейцев на французов, англичан, немцев и т. д., французов—на парижан, марсельцев, бордосцев, а парижан — по улицам и переулкам Парижа и т. д.? Если спросить таких знатоков деления, чем же, собственно, отличается француз от англичанина или англичанин от американца, то едва ли он сразу и хорошо ответит на этот вопрос. Географический принцип тут едва ли годится: француз может родиться и жить в Америке. Психические признаки очень текучи: возможен хладнокровный француз и живо чувствующий англичанин. Язык? Но француз может родиться в Америке; и условия его жизни могут сложиться так, что он совсем не будет знать французского языка и будет знать английский. Таким образом, принцип деления европейцев на французов, англичан и т. д. логически по крайней мере неясен. (Правда, эта классическая путаница с делением европейцев совсем не обязательна для формальной логики и есть в сущности только плохая формальная логика.) Далее, нечего, конечно, и спрашивать здесь, как один вид относится здесь к другому виду и каков вообще принцип взаимоотношения видов на фоне единого и общего понятия. Это—сплошной туман и сплошные условности. И сравнить с этим деление треугольников в геометрии: тут не только точно указано видовое различие для каждого вида, но и видно, как путем вариаций видового различия образуются новые виды. Вы увеличиваете один из углов вашего остроугольного треугольника. Покамест вы не дошли до прямого угла, вы будете получать бесконечное количество остроугольных треугольников, подчиняющихся одному принципу, и никакая бесконечность здесь вас не смущает. Но вот вы достигли прямого угла. Сразу картина меняется. Планомерно, точно и отчетливо вы получаете новый принцип, и этот новый принцип тоже охватывает у вас целую бесконечность разного рода прямоугольных треугольников; и эта их бесконечность охвачена одним простым и ясным признаком. Так же поступаете вы и при переходе к тупоугольным треугольникам.

Что тут интересно логически? Логически тут интересно то, что в видовом понятии мы имеем не просто замороженную и застывшую совокупность понятий, но эта совокупность непрерывно меняется, нарастает или убывает, и существует закон этого изменения, указывающий на критические переломы этого становления и тем создающий из него четкую структуру всех возможных его направлений. Таким образом, уже элементарное деление треугольника в геометрии не имеет ничего общего с той некритической чепухой, которая часто лежит в основе «деления» в логике.

Приведем пример сложнее. Вот у нас имеется понятие кривой второго порядка, или, что то же, понятие конического сечения. Имеется общее уравнение кривой второго порядка. Если мы возьмем дискриминант старших членов этого уравнения, то в зависимости от знака этого дискриминанта мы будем получать или гиперболу, или параболу, или эллипс. Когда этот дискриминант меньше нуля, мы имеем гиперболу. Когда он равен нулю, мы имеем параболу. Когда он больше нуля, получается эллипс (окружность является частным случаем эллипса). Здесь опять мы имеем видоразличие не как застывшую сумму признаков (а в традиционной логике мы часто не в силах перечислить даже эти застывшие признаки видовых понятий, как в приведенном выше примере с «европейцами»), но здесь мы получаем один вид из другого путем планомерного изменения этого последнего: в этом делении дан закон возникновения видов, а не просто эти виды в застывшем и абсолютно изолированном виде.

Возьмем деление движений в механике. Имеется общее уравнение динамики: сила равна произведению массы на ускорение. Беря различные силы, мы и получаем различные виды движения. Если к материальной точке приложена только одна упругая сила, то, подставляя ее в это уравнение и в дальнейшем интегрируя это последнее (т. е. переходя от ускорения данной точки к ее координатам как функциям времени, или, другими словами, к самому закону ее движения), мы увидим, что наша точка совершает т. н. гармоническое колебание. Если кроме упругой силы к данной точке приложена еще какая–нибудь сила сопротивления, напр. пропорциональная первой степени скорости, то — после тех же математических операций—мы увидим, что колебание движущейся точки окажется затухающим. Если материальная точка притягивается к какому–нибудь телу с силой, прямо пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния до этого тела, то наша точка будет двигаться вокруг этого тела по одной из кривых второго порядка. И т. д. и т. д. Словом, сколько существует разных сил, столько же, вообще говоря, и видов движения. И этих сил, этих движений бесконечное множество. Правда, в данном примере мы имеем дело с дискретными силами и не ставим вопроса об их взаимном переходе, так что не возникает вопроса и о взаимопереходе движений. Но даже и при таком подходе мы здесь получаем все же замечательный образец деления, логическое совершенство которого несоизмеримо с логической слабостью традиционной теории. Ведь тут обычно все же есть некоторого рода закон для частного. Варьируя это общее—пусть даже дискретно, — мы получаем каждый раз оригинальные частности, не говоря уже о том, что само это варьирование есть совершенная логическая точность.

Изучение различных математических наук и приучение своего ума к такому более совершенному логическому оперированию с родом и видом неизбежно приводят и к категории интеграла как к одному из весьма совершенных и четких выражений общности вместо традиционного ящичного и внешне–механического объединения частностей в общем. Приведенные примеры из математики и механики показывают, что более тонкое и, можно сказать, животрепещущее понимание общего пронизывает даже элементарные отделы этих наук, не имеющих никакого отношения к понятию интеграла. Интеграл же только суммирует в себе ряд принципов, действующих то там, то здесь по всей математике. В прекрасной и совершенной логической форме интеграл дает нам такую общность, которая 1) возникает из частностей в условиях их сплошной текучести и взаимопроникновения и которая 2) есть предел их взаимослияния, служащий законом и принципом этого последнего. Эти моменты в логическом определении интеграла, взятые сами по себе, чрезвычайно просты и вполне очевидны: непрерывность, предел, закономерное появление частного из общего (когда общее рассматривается как функция вещи)—разве это может считаться для нас чем–то неожиданным и маловероятным? А ведь это и есть не что иное, как интеграл. Это и есть понятие как интеграл и мышление как сплошное дифференцирование и интегрирование.

Нужны ли интегралы и логарифмы, если есть компьютеры? — Российская газета

На эти вопросы «РГ» отвечает директор знаменитой физматшколы имени академика Андрея Колмогорова при МГУ Анатолий Часовских.

Российская газета | Дети стали плохо знать математику. Без калькулятора не способны сказать, сколько будет «дважды два». Плохо учат в школе или учебники негодные?

Анатолий Часовских | Причина, я думаю, не в учебниках. Просто учат сейчас другому. Помню, как нас муштровали на таблицу умножения. Требовали, чтобы мы умели считать в уме и без бумажки. В XXI веке меньше учат счету, больше смекалке, сообразительности. На этом основаны и учебники Петерсона.

Мне кажется, что ничего плохого в том, что нынешние дети умеют пользоваться калькулятором, нет. И для этого мозги нужны. Зачем искусственно усложнять жизнь, если можно нудные вычисления поручить машине. Если человек знает алгоритм деления столбиком, может быть, и не надо его заставлять повторять это тысячу раз. Лучше пусть в это время учится другим алгоритмам. Другое дело, стало труднее задачки составлять: ведь в них теперь нужно нивелировать эффект калькулятора. Эта машинка должна давать импульс к творческому решению задач. На вступительных экзаменах на мехмат МГУ пользоваться калькуляторами не разрешается только потому, что они бывают разные: одни только считают, а другие могут и графики строить.

РГ | Многие с ностальгией вспоминают учебник Киселева — четкий и ясный. Действительно, старшее поколение неплохо помнит основные алгебраические действия и формулы.

Часовских | Это старый учебник. Математика представлена там незыблемой и не зависимой от времени наукой. Но в 70-х годах прошлого века обходиться только этим учебником стало трудно. Просто появились новые разделы: комбинаторика и дифференциальное, интегральное исчисление.

Конечно, математическое образование меньше подвержено изменениям, чем, скажем, историческое или филологическое. Но кругозор математиков должен расширяться в зависимости от развития науки. А оно всегда есть.

РГ | Известно письмо академика Арнольда, который возмущался предложениями убрать из учебного стандарта по математике синусы, степенные функции и стереометрию. А действительно, зачем нужны логарифмы и интегралы, если есть компьютеры?

Часовских | В компьютере заложен зачастую только приближенный алгоритм решения трудной задачи. Ученый знает, какими действиями нужно искать ответ. Без интегралов вы не сможете подойти к решению, и компьютер ничем не поможет. Ведь это лишь инструмент. Впрочем, может быть, когда-нибудь человек и придумает машину, которая будет сама себе ставить задачи и творчески решать их.

РГ | Может быть, освободить от утомительных «косинусов-синусов» хотя бы будущих литературоведов и историков?

Часовских | Без математики гуманитариям не обойтись уже потому, что она учит объективности. Ведь решение задачи не устаревает, нельзя менять аксиоматику в зависимости от политической конъюнктуры. То, что было доказано сто лет назад, корректировке не подлежит. С другой стороны, математика приучает к логике. А она никому, в том числе и гуманитарию, не помешает. Противоречивых суждений в нашей жизни и так хватает.

РГ | А самим математикам так ли уж нужна литература или история? Согласитесь, среди юных «физиков» очень часто встречается снисходительное отношение к «лирикам»?

Часовских | Без гуманитарного взгляда на вещи, мне кажется, не разберешься даже в правилах дорожного движения. А некая элитарность в наших учащихся есть, вы правы. Когда в нашей школе открылся химический класс, математики поначалу смотрели на «пришельцев» свысока. «Химия не наука!» — появились и такие надписи на стенах. Со временем надменное отношение к другим предметам ушло. Ведь понятно же, что из математических формул не узнаешь, что такое любовь к родине, дружба, — все те идеалы, о которых теперь немодно говорить, но которые никуда не делись.

РГ | А вот, скажем, цветок. Математик его видит каким-то особенным образом?

Часовских | В МГУ недавно открыли факультет биоинженерии и биоинформатики. А у нас — соответствующий класс. Школьники-биологи как раз и демонстрируют этот самый математический взгляд на живое. К примеру, стремятся к стройному и формальному описанию структуры ДНК. Математик, в отличие от художника, должен проникнуть в сущность явления и попытаться найти его математическую модель. Условно, без подробностей. Главное знать общие свойства описываемой системы. Он умеет формализовать ситуацию, выделять главное и не обращать внимание на мелочи.

РГ | Это качество, наверное, очень помогает в семейной жизни?

Часовских | Не могу не согласиться. К тому же, математики обычно бережно относятся к прекрасному полу. В отличие от филфака, который называют факультетом невест, мехмат — это факультет жен. Потому что к концу учебы все девушки там уже замужем.

РГ | Что вы думаете о едином экзамене по математике?

Часовских | У нас, в отличие от западных стран, другая культура проверки знаний: мы сочиняем задачки, в которых предполагается решение. По нему можно проследить ход мыслей. А по ответам на тест — вряд ли. Там возможно случайное попадание.

РГ | Котируется ли современное российское математическое образование в мире?

Часовских | Иностранцы, в частности, корейцы и китайцы, очень интересуются нашей системой. Приезжали к нам, чтобы перенять методы преподавания. В городе Пусан в Южной Корее открыли точно такое же учебное заведение. Конкурс там — 20 человек на место. Есть и еще более объективные показатели. На международных олимпиадах у нас пока первые места. Кстати, профильное образование (спецшколы и факультативы), тоже по-прежнему на высоте. В стране возникла система математических соревнований: в течение всего года в разных городах идут «замеры знаний» среди школьников. Есть заочные школы при университетах.

РГ | Кто-то из наших ученых сказал, что для российских математиков главный вопрос: «Почему?», а, допустим, для американских — «Как?»

Часовских | Я не вполне согласен. Вопрос «Почему?» должен задавать себе любой ученый, занимающийся фундаментальной наукой. «Как?» — это сфера интересов инженеров. Другое дело, в США масса хороших специалистов, которых не очень интересует доказательная часть. А вот в переосмыслении готовых решений помощь россиян, которых много сейчас за рубежом, неоценима. И вырастить фундаментального ученого стоит гораздо дороже, чем прикладника.

РГ | А заработать на математике сейчас можно?

Часовских | Лучше говорить не «заработать», а «зарабатывать». Потому что математика быстрого дохода не дает. А возможность иметь стабильный кусок хлеба есть. Особенно если учесть, что спрос на математиков и физиков будет только расти.

РГ | Сначала в вашу школу принципиально принимали лишь способных ребят из провинции. Положа руку на сердце: сейчас можно отыскать самородка где-нибудь в деревне, где нет ни одного компьютера и учителей грамотных тоже почти не осталось?

Часовских | Начнем с того, что в Москве нет ни одного победителя последней международной олимпиады школьников по математике и информатике. Все они из регионов. Это Санкт-Петербург, Юг России, Урал, Сибирь. И еще хочу подчеркнуть: в школе постоянный приток способных ребят как раз не из университетских городов. Однако сельским школьникам часто не под силу у нас учиться по финансовым соображениям. Ведь на каникулы все разъезжаются по домам, а значит, нужны деньги на дорогу. Мы добираем москвичей в основном потому, что наши общежития, которые строились по санитарным нормам 60-х годов, не вмещают теперь 350-400 человек, которых должна готовить школа. Кто умнее? Это не зависит от места жительства. Одно скажу, у москвичей, конечно, больше возможностей.

РГ | Известно, что Капица критиковал методику Колмогорова. Что не устраивало нобелевского лауреата?

Часовских | Петр Леонидович считал, что нельзя обескровливать обычные школы, забирая оттуда талантливых детей. Потому что в любом коллективе должны быть маяки, за которыми тянутся остальные. А Андрей Николаевич предлагал собирать талантливых детей, чтобы они «варились» в интеллектуальном бульоне, а потом отдавали полученные знания обществу. На мой взгляд, истина посредине.

РГ | Вы можете сделать обобщенный психологический портрет вашего ученика?

Часовских | Прежде всего это творческая личность. И на веру ничего не воспринимает. Отмахнуться от себя не позволит: все объясни с доказательствами и примерами. Как и любой подросток, стремится к самоутверждению. Но к внешним эффектам для этого не прибегает. Абсолютно равнодушен к «шмоткам-тряпкам». В этой связи иногда даже приходится проводить разъяснительную работу, куда и как одеться.

РГ | В общем, со странностями ребята?

Часовских | Недавно одна учительница возмущалась: захожу, говорит, на урок математики и вижу, что на первой парте стоит перевернутый стул. И никто этого не замечает. Поглощены решением задачи.

РГ | То есть сплошные «ботаны»? И шпаргалками не пользуются?

Часовских | Ну почему же? И у нас бывают «проколы». Не то чтобы списывают внаглую, а просто много чего интересного «выясняют» в разговоре с коллегой на перемене. После этого можно уже и не искать самостоятельного решения. Только ведь мы готовим ученых, которые сами должны докопаться до истины.

Неопределённый интеграл: в поисках универсального метода.

Практически каждый студент, который обучается высшей математике или же математическому анализу, знает, насколько сложным бывает подчас вычисление неопределённых интегралов. Стоит отметить, что этот раздел – один из самых сложных для восприятия, и многое в нём строится исключительно на интуиции решающего. Очевидно, что математика, эта наука точных формул и однозначных выводов, кажется новичку совершенно несовместимой с расплывчатым словом «интуиция», однако же не станем торопиться с выводами.

Если неискушённый читатель откроет учебник математики, то увидит целую плеяду методов нахождения неопределённых интегралов. Это и внесение под знак дифференциала, и подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка, интегрирование по частям и так далее. Ну, а если новичок возьмет в руки солидный справочник, то, полагаю, сможет насчитать около полутысячи (и это не предел) формул готовых интегралов,  которые принято называть «табличными». В свете такого изобилия постановка вопроса о какой-то неопределённости кажется совершенно надуманной.

А теперь задумаемся на минутку. Почему, например, нет таких массивных таблиц производных? Почему нет таблиц умножения многозначных чисел (точнее, они были популярны лет 30-40 назад, сейчас их уже не найдёте)? Ответ прост: для умножения чисел есть правило. Универсальное правило. Это универсальное правило работает вне зависимости от того, нужно ли нам перемножить 25 на 47 или 189 на 1457. Нам нет необходимости задавать правила для каждой пары перемножаемых чисел. То же самое касается и производных, для нахождения которых есть небольшой набор простых и универсальных формул.

Вернёмся к неопределённым интегралам. Обилие частных методик, предназначенных для вычисления этих интегралов, как раз и говорит о том, что универсального способа нет. Есть несколько частных, жёстко ограниченных своими рамками применимости случаев, которые используются только для своего класса примеров. Естественно, что эти классы стараются сделать как можно более объемными. К методам, использование которых позволяет обеспечить нахождение интеграла довольно широкого класса функций, относится интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Практически все подстановки (подстановки Чебышева, Эйлера, универсальная тригонометрическая и т.д.) выполняются с таким расчётом, чтобы после преобразования под интегралом возникла рациональная дробь. Почему? Потому, что эту дробь можно гарантированно проинтегрировать, какой бы громоздкой она ни была.

Но что делать, если интеграл не подпадает ни под один из заранее определённых классов? Вот тут и вступает в действие то, что ранее было названо интуицией. Для человека нет универсального, всеобъемлющего метода нахождения неопределённых интегралов. Конечно, для программ компьютерной математики (Mathcad, Maple и подобные) применяются алгоритмы вычисления упомянутых интегралов в символьном виде. Можно предположить, что это модификации алгоритма Риша, разработанного в середине прошедшего столетия. Однако для человека данный алгоритм не пригоден, – да и машинная реализация его не всегда даёт однозначный результат. К сожалению, сейчас, как и двести лет назад, для изучающего интегральное исчисление есть только один метод – решить как можно больше интегралов, «набить руку» на стандартных примерах. Тогда есть шанс, что при интегрировании незнакомой функции получится «увидеть» нужную подстановку.



Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Что такое интеграл? + Пример

В математике мы говорим о двух типах интегралов. Определенные интегралы и неопределенные интегралы .

Как правило, интеграл присваивает числа функциям таким образом, который может описывать перемещение, площадь, объем и даже вероятность.

Определенные интегралы

Этот тип интеграла относится к числовым значениям. Он используется в чистой математике, прикладной математике, статистике, естественных науках и многом другом.b f(x)»d»x#, где

#алмаз f «называется подынтегральной функцией»#
#ромб a и b «являются нижней и верхней границами»#
#ромб x «является фиктивной переменной»#

Вам может быть интересно, что означает #»d»x#. Формально это ничего не значит, а скорее говорит вам, по какой переменной вы дифференцируете, или, в нашем случае, сообщает вам переменную интегрирования.

Когда мы говорим площадь, определяемая функцией #f# с осью x, мы имеем в виду чистую площадь .n# от #0# до #tau#; Ну, это называется правилом силы. Существует много разных формул для интегралов, которые я не буду рассматривать в этом ответе. Это просто очень общее представление о том, что такое интегралы.

Неопределенные интегралы

Они представлены в виде интегралов с оценками. Пусть #I# — неопределенный интеграл от функции #f#.

#I=int f(x)»d»x#

Неопределенные интегралы можно рассматривать как обобщения определенных.

Вместо того, чтобы определяться площадями, объемами или чем-то еще, неопределенные интегралы соотносятся с производными. Неопределенный интеграл функции #f# также называется первообразной и часто обозначается как #F(x)#. 2#.б f(x) «d»x = F(b)-F(a)#

Надеюсь, этот ответ не был слишком пугающим.

5.2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

Цели обучения

  • Дайте определение определенного интеграла.
  • Объясните термины подынтегральная функция, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
  • Объясните, когда функция интегрируема.
  • Опишите связь между определенным интегралом и чистой площадью.
  • Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.∗_i)Δx.\]

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

    Определение и обозначения

    Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗_i)Δx,\]

    при наличии ограничения. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на \([a,b]\) или является интегрируемой функцией.

    Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы видели подобные обозначения в главе о приложениях производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без \(a\) и \(b\) выше и ниже) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают.Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования \(∫\) представляет собой удлиненный \(S\), что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала, \([a,b].\) Числа \(a\) и \(b\) являются \(x\)-значениями и называются пределами интегрирования ; в частности, \(a\) — нижний предел, а \(b\) — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \(n→∞.\) Во-вторых, границы области называются пределами интегрирования.

    Мы называем функцию \(f(x)\) подынтегральной функцией , а \(dx\) указывает, что \(f(x)\) является функцией относительно \(x\), называемой переменная интегрирования . Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла. Мы можем использовать любую переменную, которая нам нравится, в качестве переменной интегрирования:

    \[∫^b_af(x)\,dx=∫^b_af(t)\,dt=∫^b_af(u)\,du\]

    Ранее мы обсуждали тот факт, что если \(f(x)\) непрерывно на \([a,b],\), то предел \(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1 }^nf(x^∗_i)∆x\) существует и единственно. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Непрерывные функции интегрируемы

    Если \(f(x)\) непрерывно на \([a,b]\), то \(f\) интегрируемо на \([a,b].\)

    Функции, не являющиеся непрерывными на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемыми являются функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 2\,dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Раствор

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет обычным разделом \([0,2].\). Тогда

    \[Δx=\dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}. \номер\]

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого \(i\) нам нужно вычислить значение функции в правой конечной точке интервала \([x_{i−1},x_i].3_0(2x−1)\,dx\).

    Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из примера \(\PageIndex{1}\).

    Ответить

    6

    Вычисление определенных интегралов

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без использования пределов сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси \(х\).4_2(2x+3)\,dx\).

    Подсказка

    Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

    Ответить

    18 квадратных блоков

    Площадь и определенный интеграл

    Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно?

    Чистая подписанная область

    Вернемся к сумме Римана. ∗_i)Δx= (\text{Площадь прямоугольников над осью }x\text{-})−(\text{Площадь прямоугольников под осью }x\text{-}) \nonumber\]

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): для частично отрицательной функции сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью \(x\) за вычетом площади прямоугольников под осью \(x\) -ось.

    В пределе \(n→∞,\) сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \(x\) и осью \(x\) за вычетом площади между кривой под \ (x\) и ось \(x\), как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\).nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

    Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади \(A_1\) минус площадь \(A_2\) или чистой площади со знаком.

    Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью \(x\) больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью \(x\) больше, чистая площадь со знаком будет отрицательной. Если площади выше и ниже оси \(x\) равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

    Пример \(\PageIndex{3}\): поиск области со знаком сети

    Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью \(x\) на интервале \([−3,3].\)

    Раствор

    Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один от \(x=−3\) до \(x=0\), а другой от \(x=0\) до \(x=3\) ( Рисунок \(\PageIndex{4}\)). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника \(A_1\) над осью равна

    .

    \(A_1=\dfrac{1}{2}3(6)=9\),

    , где \(3\) — основание, а \(2(3)=6\) — высота.3_{−3}2x\,dx=A_1−A_2=9−9=0.\)

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): площадь над кривой и под осью \(x\) равна площади под кривой и над осью \(x\).

    Анализ

    Если \(A_1\) — это площадь над осью \(x\), а \(A_2\) — площадь под осью \(x\), то чистая площадь равна \(A_1−A_2\) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке.

    Подсказка

    Используйте метод решения, описанный в примере \(\PageIndex{3}\).

    Ответить

    6

    Общая площадь

    Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

    Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже очень знакома. Если автомобиль удаляется от своего начального положения по прямой со скоростью \(70\) миль в час в течение \(2\) часов, то он находится на \(140\) миль от своего первоначального положения (рисунок \(\ Индекс страницы{5}\)).2_0 70\,dt=140 \,\text{мили}. \номер\]

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): Площадь под кривой \(v(t)=70\) говорит нам, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. \(\PageIndex{6}\)).5_2−40\,dt=120−120=0.\номер\]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

    Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \(t\), независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется общей площадью .

    Графически проще всего представить общую площадь путем сложения площадей над осью и площадей под осью (вместо вычитания площадей под осью, как мы сделали с чистой площадью со знаком).5_240\,dt=120+120=240.\номер\]

    Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

    Определение: область сети со знаком

    Пусть \(f(x)\) — интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью \(x\), которая лежит над осью, а \(A_2\) представляет собой площадь между \(f(x)\) ) и ось \(x\), которая лежит ниже оси. Затем чистая область со знаком между \(f(x)\) и осью \(x\) определяется как

    \[∫^b_af(x)\,dx=A_1−A_2. a_af(x)\,dx=0 \end{equation} \]

    Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой прямую и не содержит площади.2_1f(x)\,dx.\)

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из Примера \(\PageIndex{6}\) и правило о свойствах определенных интегралов.

    Ответить

    \(−7\)

    Сравнительные свойства интегралов

    Иногда изображение может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования.Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и \(x\)- ось больше площади между \(g(x)\) и \(x\)-осью. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов справедливы как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

    Теорема сравнения

    я.2}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).

    Раствор

    Построение графика этих функций необходимо для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x )\) где угодно. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],\,g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рис. \(\PageIndex{8}\)).1_0f(x)\,dx\) (Рисунок \(\PageIndex{9}\)). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)

    Рисунок \(\PageIndex{9}\): (a) График показывает, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Среднее значение функции

    Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша оценка за семестр — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,

    \[\dfrac{89+90+56+78+100+69}{6}=\dfrac{482}{6}≈80,33. \номер\]

    Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B− в большинстве школ.

    Предположим, однако, что у нас есть функция \(v(t)\), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \(t\), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \(v(t)\) принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции.

    Пусть \(f(x)\) непрерывен на интервале \([a,b]\) и пусть \([a,b]\) разбит на n подинтервалов шириной \(Δx=(b−a )/н\).b_af(x)\,dx. \метка{среднее значение}\]

    Пример \(\PageIndex{8}\): нахождение среднего значения линейной функции

    Найти среднее значение \(f(x)=x+1\) на интервале \([0,5].\)

    Раствор

    Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \(\PageIndex{10}\).

    Рисунок \(\PageIndex{10}\): На графике показана площадь под функцией \((x)=x+1\) над \([0,5].\)

    Область представляет собой трапецию, лежащую на стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \(A=\dfrac{1}{2}h(a+b),\), где \(h\) представляет высоту, а \(a\) и \ (b\) представляют две параллельные стороны.5_0x+1\,dx=\dfrac{1}{5}⋅\dfrac{35}{2}=\dfrac{7}{2}\).

    Упражнение \(\PageIndex{7}\)

    Найти среднее значение \(f(x)=6−2x\) на интервале \([0,3]. \)

    Подсказка

    Используйте формулу среднего значения (уравнение \ref{averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

    Ответить

    \(3\)

    Ключевые понятия

    • Определенный интеграл можно использовать для расчета чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью \(x\) за вычетом площади под осью \(x\).Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций можно вычислить с помощью геометрических формул. b_cf(x)\,dx\)

      Глоссарий

      среднее значение функции
      (или \(f_{ave})\) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала
      определенный интеграл
      первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \(х\) на заданном интервале есть определенный интеграл
      интегрируемая функция
      функция интегрируема, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при стремлении \(n\) к бесконечности существует
      подынтегральная функция
      функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
      пределы интегрирования
      эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому должна быть интегрирована функция
      чистая область со знаком
      площадь между функцией и осью \(x\), при которой площадь ниже оси \(x\) вычитается из площади над осью \(x\); результат такой же, как определенный интеграл функции
      общая площадь
      общая площадь между функцией и осью \(x\) рассчитывается путем сложения площади над осью \(x\) и площади под осью \(x\); результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции
      переменная интегрирования
      указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \(x\), то за функцией под интегралом следует \(dx\)

      Авторы и авторство

      • Гилберт Странг (MIT) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент от OpenStax лицензирован по лицензии CC-BY-SA-NC 4.0. Скачать бесплатно на http://cnx.org.

      Интеграл по путям: математические аспекты — Scholarpedia

      Интегралы по пространствам путей или, в более общем смысле, по полям были введены в качестве эвристического инструмента в нескольких областях физики и математики. С математической точки зрения их следует рассматривать как расширения конечномерных интегралов, подходящие для приложений, для которых первоначально задумывались эвристические интегралы по путям .

      Одноименные обозначения: функциональные интегралы, бесконечномерные интегралы, полевые интегралы. Интегралы по путям Фейнмана (или функционалы) и интегралы по путям Винера (или интегралы по мерам Винера) являются частными случаями. В вероятности также встречается понятие плоского интеграла . Конкретная реализация гауссовских интегралов по путям дается «функционалами белого шума».

      В настоящей статье будет представлена ​​математическая теория интегралов по траекториям Фейнмана , а теория и приложения интегралов по траекториям вероятностного типа, как и интегралов Винера, будут представлены в разделе Вероятностные интегралы: математические аспекты.

      Интегралы Фейнмана по путям не следует путать с «интегралами Фейнмана», возникающими при изучении членов, возникающих в разложениях возмущений в квантовой теории поля, которые связаны с диаграммами Фейнмана. Последние представляют собой конечномерные комплексные интегралы и обсуждаются, в частности, в связи с перенормировкой.

      90 172 Интегралы по траекториям Фейнмана: происхождение 90 173

      В 1948 г. по предложению Дирака Р. П. Фейнман предложил новое наводящее на размышления описание эволюции во времени состояния нерелятивистской квантовой частицы, движущейся в \(d\)-мерном пространстве под действием силового поля с потенциалом \ (В\ .tv(\gamma(s))ds. \] Подход Фейнмана особенно наводит на размышления, поскольку он создает мост между классическим лагранжевым описанием физического мира и квантовым, вновь вводя в квантовую механику классическое понятие траектории, которое было запрещено традиционной формулировкой теории. Это позволяет, по крайней мере эвристически, связать квантовую эволюцию с каждым классическим лагранжианом. Более того, это делает очень интуитивным изучение «квазиклассического предела» квантовой механики, т.е.{\frac{i}{\hbar}S_t(\gamma)}\) ведет себя как сильно осциллирующая функция, и, согласно эвристической экстраполяции метода стационарной фазы на случай континуального интеграла, основной вклад в интеграл должен вноситься от тех путей, которые делают стационарным фазовый функционал \(S_t\ .\). Они, согласно принципу наименьшего действия Гамильтона, являются в точности классическими орбитами системы. Фейнман расширил эту эвристическую формулировку до описания динамики более общих квантовых систем, включая релятивистские квантовые поля, и использовал ее для вывода процедур (правил Фейнмана, диаграмм Фейнмана), которые позволяют выполнять вычисления, дающие числа, даже когда строгие аргументы не работают.С тех пор эвристические интегралы Фейнмана по путям стали основой большей части современной физики (включая квантовые поля, в частности калибровочные поля) и стимулировали развитие многих областей математики.

      Математические задачи

      Несмотря на успешную предсказательную силу концепции интеграла по траекториям Фейнмана, ей не хватает математической строгости. Во-первых, плоская мера Лебега \(D\gamma\) на пространстве путей не определена с математической точки зрения и не может использоваться в качестве эталонной меры , т.е.2ds}D\gamma} \] в терминах интеграла по \(\сигма\)-аддитивной (комплекснозначной) мере можно попытаться определить \(I(f)\) как линейный непрерывный функционал на подходящем линейном пространстве функций \ (ф\ .\)

      Различные подходы

      Последовательный подход

      Этот подход наиболее близок к первоначальному выводу формулы Фейнмана и в значительной степени реализован в физической литературе, а также как практический инструмент для выполнения вычислений в точно решаемых моделях, см., например.{это (А+В)} \] (где сумма \(A+B\) должна быть соответствующим образом интерпретирована). Нельсон (1964) применил последнее уравнение к строгому математическому определению фейнмановских интегралов по траекториям в предположении, что потенциал \(V\) принадлежит классу, рассматриваемому Като (подробное обсуждение см. в книге Джонсона и Лапидуса). Некоторое время спустя Фридман (1971/72) изучил (3) в связи с описанием непрерывных квантовых наблюдений (см. также А.Д. Слоан (1981) и ссылки в книге С.Альбеверио, Р. Хёг-Крон и С. Маццукки (2008).

      Другая версия последовательного подхода также известна как аппроксимация квантования времени и состоит в определении интеграла Фейнмана как предела конечномерных аппроксимаций, заданных в (2), путем аппроксимации путей \(\gamma\) с кусочно-линейные пути или кусочно-классические пути (т.е. пути, которые кусочно решают классическое уравнение движения Ньютона). Приближение квантования времени, в частности с кусочно-полигональными путями, широко используется в физической литературе не только как инструмент для определения фейнмановского интеграла по путям, но и как практический метод вычисления для конкретных решаемых моделей, см., например, .+\ ,\) и подходящего функционала \(f\) на пространстве \(C_t\) непрерывных путей на отрезке \([0,t]\ ,\) справедлива следующая формула: \[ \int_{C_t}f(\omega)dW_\lambda(\omega)=\int_{C_t}f(\sqrt \lambda\omega)dW(\omega). \] Если \(\lambda\) является комплексным, левая часть не определена корректно, но правая часть все еще может иметь смысл, при условии, что функционал \(\\) обладает подходящими свойствами аналитичности и измеримости. В частности, для \(\lambda=i\ ,\) это естественный кандидат на аналитически продолженный интеграл Винера .tV(\omega(s)+x))ds}u(0,\omega(t)+x)dW(\omega). \] Эта формула действительна. например, если \(V\) ограничено и непрерывно, но также и когда \(V\) достаточно произвольно и ограничено снизу, см., например, Джонсон и Лапидус.

      Вводя в уравнение теплопроводности и соответствующую формулу Фейнмана-Каца действительный положительный параметр \(\lambda\ ,\), относящийся к физическому времени, или к массе, или к постоянной Планка, и позволяя ему принимают комплексные значения, то получают, по крайней мере эвристически, для \(\lambda=i\) уравнение Шредингера и функционально-интегральное представление его решения.Эта процедура может быть строго реализована в условиях аналитичности и медленности роста потенциала и начальных данных. В частности, можно рассматривать потенциалы, представляющие собой суммы квадратичной части плюс ограниченный потенциал с особенностями (Нельсон (1964), Досс (1980)), потенциалы с особым полиномиальным ростом (Досс (1980), Альбеверио и Маццукки (2009)). , Альбеверио, Хренников и Смолянов (1999), Гротхаус, Штрейт и Фогель (2009)) и потенциалы с экспоненциальным ростом, являющиеся преобразованиями Лапласа мер (Альбеверио, Бжезняк и Хаба (1998), Куна, Штрейт и Вестеркамп (1998)).2(\mu)\подмножество (S_d)’. \] Элементы \((S_d)’\) называются распределениями белого шума (или Hida) , а элементы в \((S_d)\) являются соответствующими тестовыми функциями (оба относительно бесконечномерных реальных пространств. Подробное рассмотрение этой темы см., например, в книгах Т. Хида, Х. Х. Куо, Дж. Поттхофф, Л. Стрейт (1993), Н. Обата (1994) и Х. Х. Куо (1996).

      Распределение Хида \(\Phi\in (S_d)’\) может быть однозначно охарактеризовано его T-преобразованием, бесконечномерным аналогом преобразования Фурье, то есть функционалом \(T\Phi:S_d\to{ \mathbb C}\) определяется как \[ \xi\in S_d\mapsto T\Phi(\xi):=\langle\langle e^{i\langle \xi,\,\cdot\,\rangle},\Phi\rangle\rangle, \] где \(\langle\langle e^{i\langle \xi,\,\cdot\,\rangle},\Phi\rangle\rangle\) обозначает распределение по парам между \(e^{i\langle \xi, \,\cdot\,\rangle}\in(S_d)\) и \(\Phi\in(S’_d)\ . \)

      Основная теорема о характеризации позволяет идентифицировать функционалы, являющиеся Т-преобразованиями распределений Хида. Действительно, Дж. Поттхофф и Л. Стрейт в 1991 г. доказали, что функционал \(F:S_d\to{\mathbb C}\) является Т-преобразованием уникального распределения Хида, если он обладает следующими свойствами:

      • Для всех \(\xi,\eta\in S_d\) отображение

      \[ z \ in {\ mathbb R} \ mapsto F (\ xi + z \ eta) \ in {\ mathbb C} \] имеет аналитическое продолжение в \({\mathbb C}\) как целая функция.t\omega(\sigma)d\sigma\ ,\) \(N \) обозначает нормализацию, а \(\delta(\gamma(0)-y) \) фиксирует начальную точку пути.

      Эти методы построения позволяют работать с более общими потенциалами, такими как (зависящий от времени) гармонический осциллятор, преобразования Фурье и Лапласа ограниченных мер и некоторые потенциалы с полиномиальным ростом, см., например, работы М. де Фариа, Дж. Поттхофф, Л. Стрейт (1991), Д.С. Хандекар и Л. Стрейт (1992), А. Лашек, П. Лойкерт, Л.Стрейт, В. Вестеркамп (1993), М. Гротхаус, Д. К. Хандекар, Дж. Л. да Силва, Л. Стрейт (1997), Т. Куна, Л. Стрейт, В. Вестеркамп (1998), М. Гротхаус, Л. Стрейт, А. Фогель (2009).

      Важные применения подхода белого шума включают математические модели Черна-Саймонса топологических квантовых полей, следующие основным идеям Атьи-Виттена.

      Двойственность Парсеваля

      Этот подход был предложен К. Ито в 1961 году и систематически и широко развит Альбеверио и Хёг-Кроном в 70-х годах.2}d\mu_f(\gamma). \]

      Можно доказать, что функции \(f\) из (7) образуют банахову алгебру \({\mathcal F}({\mathcal H}) \ ,\), где норма функции \( f\) — полная вариация соответствующей меры \(\mu_f\ ,\), а интеграл Френеля — линейный непрерывный функционал на \({\mathcal F}({\mathcal H}) \ .\)

      Основные приложения этого подхода включают разработку подробного метода стационарной фазы в бесконечных измерениях с приложениями к изучению связи между квантовой и классической механикой на \(\R^d\) (с потенциалами являются преобразованиями Фурье ограниченных комплексные меры по \(\R^d\ ,\) теории рассеяния и построению абелевой модели Черна-Саймонса, см. {\ frac {i} { \hbar}\Phi(P_nx)} dP_nx }, \] где под интегралами в правой части понимаются конечномерные осциллирующие интегралы.В случае, когда фазовая функция \( \Phi\) представляет собой квадратичную форму, интеграл также называют бесконечномерным интегралом Френеля. Полная характеристика самого большого класса интегрируемых по Френелю функций все еще остается открытой проблемой даже в конечных измерениях, но можно найти интересные его подмножества, такие как алгебра Френеля. Действительно, для любой функции \( f:{\mathcal H}\to {\mathbb C} \), проверяющей (7) для некоторого \( \mu_f \ ,\), можно доказать, что она интегрируема по Френелю и что ее бесконечность размерный интеграл Френеля задается равенством Парсеваля, т.е.е. (8) (что в этой постановке является теоремой, а не определением, как это было в подходе, описанном в предыдущем разделе).

      Доказательство равенств типа Парсеваля для бесконечномерных колебательных интегралов было расширено Альбеверио и Маццукки в 2005 г. на случай, когда фазовая функция является многочленом, старший член которого имеет степень 4 (этот случай имеет особое значение в физике, полиномиальное взаимодействие 4-го порядка, типичное для лагранжевой квантовой теории поля). tv(\gamma(\tau)+x)d\tau}\psi_0(\gamma(0)+x)d\gamma \] корректно определено и является представлением решения \(\psi (t,x)\) уравнения Шрёдингера. Аналогичные результаты были получены Альбеверио и Маццуки в 2005 г. для потенциалов полиномиального типа с ростом четвертой степени, включая и случай, когда потенциал может явно зависеть и от времени.

      Нестандартный анализ

      Альтернативный подход к строгому математическому определению интегралов Фейнмана по траекториям использует нестандартный анализ и описан в книге Albeverio et al.*{\mathbb N}\ .\) Результатом является просто внутреннее количество . Для подходящего класса потенциалов можно показать, что его стандартная часть существует и решает уравнение Шрёдингера. Даже если этот подход обеспечивает очень наводящую на размышления реализацию интегралов Фейнмана по траекториям, он еще не получил систематического развития, некоторые вклады в него внесли Т. Накамура (1991) и К. Лоо (2000). Недавно Ф.С. Герцберг (2010) инициировал интересный подход к интегралу Фейнмана по траекториям, следуя радикально элементарной математике Нельсона. 2 \ тильда \ пси (р) -i V (-я \ nabla_p) \ тильда \ фунтов на квадратный дюйм (p)\\ \тильда\пси (0,р)=\тильда\фи(р),\\ \конец{массив}\право.d\ ,\) существуют положительная конечная мера \(\nu\) и комплекснозначная измеримая функция \(f\) такие, что \(\mu (dk)=f(k)\nu(dk)\ . \) Без ограничения общности можно считать, что \(\nu(\{ 0\})=0\ ,\), так как в противном случае условие может быть выполнено сдвигом потенциала. Тогда мера \(\nu\) является конечной мерой Леви, и можно рассмотреть процесс Пуассона, имеющий меру Леви \(\nu\) (эти концепции см., например, в книге П. Проттера (1990)). Этот процесс имеет почти наверное кусочно-постоянные траектории.n(-if(\delta_j))}\тильда\фи (P(t))], \] где математическое ожидание берется относительно меры, связанной с процессом Пуассона, а выборочный путь \(P(\cdot)\) определяется выражением \[ P(\tau)=\left\{ \begin{массив}{l} P_0=p,\quad 0\leq\tau<\tau_1\\ P_1=p+\delta_1,\quad\tau_1\leq\tau<\tau_2\\ ...\\ P_n=p+\delta_1+\delta_2+...+\delta_n,\quad \tau_n\leq\tau\leq t. \\ \конец{массив}\право. \]

      Этот подход также был успешно применен к другим квантовым системам, таким как ферми-системы, релятивистские квантовые системы, описываемые уравнениями Клейна-Гордона и Дирака, и некоторыми моделями квантовой теории поля, см., e.грамм. статьи Ф. Комба, Р. Хёг-Крона, Р. Родригеса, М. Сируге и М. Сируге-Коллина (1980, 1981, 1982).

      р-адики

      Квантовая теория P-адических чисел — это подход к квантовой теории, в котором основное поле действительных чисел (соответственно, комплексных чисел) заменяется неархимедовым полем \({\mathbb Q}_p\) p-адических чисел (относительных до простого числа p) или, соответственно, некоторых его комплексных расширений. Неархимедов характер \({\mathbb Q}_p\ ,\), который, кстати, так же, как \(\mathbb R\), является замыканием рационального \(\mathbb Q\) относительно норму (а именно р-адическую норму вместо обычной евклидовой нормы), делает анализ, основанный на ней, а именно «р-адический анализ», представляет несколько новых черт, что упрощает, напр. g., обсуждение сходимости рядов или, в более общем смысле, представляет некоторые выгодные черты дискретности, которых нет в действительных числах. С этой точки зрения расширение квантовой механики (и, в более общем смысле, физики) с обычной точки зрения на p-адическую имеет хорошие основания. первоначально это было прояснено в работах Воловича и Владимирова в связи с возможной микроскопической структурой пространства-времени, а затем впервые применено ко многим областям физики, см., например, работах Воловича и Владимирова (1989-1994), а затем и к другим наукам, см., напр.г., работы А.Ю. Хренников, например. книга, опубликованная в 2004 г., по информационной динамике когнитивных, психологических, социальных и аномальных явлений.

      Интегралы Фейнмана по траекториям (и связанные с ними вероятностные интегралы) обсуждались как в отношении квантовой механики по p-адическому пространству, соответственно. p-адическое пространство-время с \(\mathbb C\)-значной волновой функцией, а также с \(\mathbb Q\)-значной волновой функцией. Для первого отметим, что аналог меры Винера на некоторых банаховых пространствах в неархимедовых локальных полях был построен Сатохом (1994).Марковские процессы над неархимедовыми полями изучались С.Н. Эванс (1989), С. Альбеверио и В. Карвовски (1990), Х. Канеко (2004), А.Н. Кочубей (2001), Т. Ясуда (2000), В.С. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов (1994), Хренников (2004).

      А.Н. Кочубей и М.Р. Саит-Аметов (2004) распространили методы евклидовой квантовой теории поля на p-адический случай и построили негауссовы меры, соответствующие подходящим полиномиальным взаимодействиям. Обсуждался аналог формулы Фейнмана-Каца, например.г., в работе Т. Дигернеса, В.С. Варадараджан и Д. Э. Вейсхарт (2008). Расширения адельных пространств (таким образом, комбинируя случаи с основным полем \(\mathbb R\) и случаи с основным пространством \({\mathbb Q}_p\,\) для любого p) обсуждались А. Блэром. (1994) и Б. Драгович с сотрудниками (2009) (также в связи с проблемами эвристических подходов к таким областям, как космология, теория струн и квантовая гравитация). Дальнейшие расширения касались аналогии мер и процессов Пуассона-Маслова в работе О.Г. Смолянов и Н.Н. Шанаров (2008). В то время как все эти подходы относятся к интегралам вероятностного типа, работа А. Хренникова посвящена определению интегралов Фейнмана по траекториям для \(\mathbb C\)-значных соотв. \({\mathbb Q}_p\)-значная квантовая механика над p-адическими пространствами соответственно. суперпространства, во многом в духе двойственного подхода, основанного на формуле Парсеваля (обобщенные функции над полем коммутативных чисел). Остается увидеть, насколько полезной может быть разработка этих подходов в связи с приложениями к физике.

      Приложения

      Квантовая механика

      Основной целью любого подхода к математическому определению интегралов Фейнмана по траекториям является реализация представления () решения уравнения Шредингера () в терминах четко определенного функционального интеграла. Аналогично, существует также представление интеграла по путям Фейнмана для фундаментального решения уравнения Шрёдингера, полученное формально заменой в задаче Коши () начальных данных \(\psi_0\) распределением \(\delta \). d\) достаточно легко обрабатывается с помощью всех подходов.К сожалению, этот класс потенциалов исключает некоторые потенциалы, представляющие физический интерес. С помощью анализа белого шума и аналитически продолженных интегралов Винера исследован случай неограниченных возмущений, являющихся преобразованиями Лапласа мер, в том числе потенциала Морзе. Примечательно, что трактовка этих потенциалов является пертурбативной в строгом смысле, поскольку соответствующий ряд Дайсона сходится. Строгая трактовка «непертурбативных потенциалов» представляет дополнительные трудности, и изучены лишь некоторые частные случаи.Существующие результаты включают потенциалы с особенностями, такие как кулоновский потенциал (Нельсон (1964), Досс (1980)) и полиномиальные потенциалы с определенной степенью (Альбеверио и Маццукки (2005), Досс (2010), Гротхаус, Штрейт и Фогель (2009). ). Примечательно, что, как впервые указал Нельсон, формулировка фейнмановского интеграла по путям может обеспечить однозначное построение квантовой динамики даже в тех случаях, когда она не определяется однозначно традиционными методами, поскольку квантовый оператор Гамильтона не является по существу самостоятельным. примыкающий.Это было подробно продемонстрировано Mazzucchi (2008) для случая генератора четвертой степени с «неправильным» знаком.

      Стохастическое уравнение Шредингера, теория измерений

      Интегралы Фейнмана по путям являются гибким инструментом и могут обеспечить функциональное интегральное описание временной эволюции большого класса квантовых систем. Интересные примеры можно найти в теории непрерывных квантовых измерений.

      Действительно, были предложены некоторые эвристические интегральные формулы Фейнмана для описания динамики квантовой частицы, подвергнутой непрерывному измерению ее положения.д, \конец{массив} \правильно. \] где \(H\) — квантово-механический оператор Гамильтона, \(B\) — \(d-\)мерный Броуновское движение, \(дБ(т)\) — это Дифференциал Ито и \(\lambda >0\) — константа связи, которая пропорциональна точности измерения.

      Строгие представления интеграла по путям Фейнмана для решения уравнения Белавкина и, следовательно, строгие реализации формулы Менского в случае, когда потенциал, входящий в гамильтониан \(H\), является преобразованием Фурье комплексной меры на \({\mathbb R}^d\ ,\) были получены в терминах бесконечномерных осциллирующих интегралов Альбеверио, Колокольцовым и Смольяновым (1996/97) и Альбеверио, Гваттери и Маццукки (2003). Близкие результаты описаны в книге Колокольцова и в книге Экснера.

      Квантовая теория поля

      Эвристические интегралы Фейнмана по путям обычно используются физиками как инструмент для формулирования современных теорий квантовых полей, калибровочных полей, квантовой гравитации и различных подходов к квантовой гравитации (петлевая квантовая гравитация, теория струн). Разрыв, который существует между эвристикой и строгостью в отношении евклидовых интегралов по траекториям в отношении этих областей, возможно, не является неожиданностью, он также присутствует между эвристикой и строгостью в отношении интегралов по траекториям Фейнмана в этих областях.Есть некоторые области, такие как квантовые поля на искривленных многообразиях или квантовая гравитация, где прямой релятивистский подход интеграла по путям Фейнмана может быть в принципе ближе к несуществующей «реальной теории», чем к евклидову подходу, поскольку, за исключением специального пространственно- раз нет естественного способа выполнить аналитическое продолжение от евклидова к релятивистскому подходу. До сих пор строгие подходы к интегралам Фейнмана по траекториям для релятивистских квантовых полей ограничивались моделями с обрезанием в пространстве и ультрафиолете (т.е. с взаимодействием, ограниченным ограниченной областью пространства, и с регуляризацией, чтобы избежать расхождений из-за сингулярной природы полей, как уже ожидалось в случае свободного поля). См. книгу Альбеверио. Høegh-Krohn and Mazzucchi (2008), где рассматривается случай ограниченных непрерывных регуляризованных взаимодействий с пространственной отсечкой. удаление обрезаний было достигнуто для таких моделей в евклидовой структуре, но только в пространственно-временном измерении 2, см. работы Альбеверио и Хёг-Крона (1973) и Фрелиха и Зайлера (1976).{i\Phi(\gamma)}f(\gamma)d\gamma \] но в этом случае интегрирование производится по пространству \(\Gamma\) геометрических объектов, т. е. по пространству 1-форм связности на главном расслоении над трехмерным многообразием \(M\ ,\) с компактными группа Ли \(G\) («калибровочная группа»). 1\times \Sigma\ ,\ ) \(\Sigma\) является 2-многообразием) являются сугубо техническими, и мы ссылаемся на оригинальную работу А.Хан (2004, 2008). Первые шаги в большом \(k\) (то есть «полуклассическом») расширении, имеющем большое значение в топологии из-за эвристической связи с васильевскими инвариантами узлов, были предприняты Альбеверио и Митомой (2009).

      Статистическая механика (классически-квантовая). Функционал Фейнмана-Вернона.

      Интегралы Фейнмана по траекториям для математических ожиданий относительно температурных состояний гармонического осциллятора впервые обсуждались в книге Albeverio, Høegh-Krohn and Mazzucchi (2008).Обсуждение было продолжено в евклидовой структуре квантовой и классической статистической механики с взаимодействием в недавней книге Альбеверио, Кондратьева, Козицкого и Рёкнера (2009). Обсуждение квазиклассического предела было начато Альбеверио и Хёг-Кроном и продолжено в Альбеверио, Кондратьеве, Козицком и Рёкнере (2009).

      Фейнмановское интегральное описание квантовых открытых систем, то есть систем, взаимодействующих с внешней средой, впервые было введено Фейнманом и Верноном. d\,\) i.T(\gamma(r)+x-\gamma'(r)-y)d рд с}. \] Этот эвристический формализм широко применялся для описания нескольких физических систем, например, в модели Калдейры-Легжетта квантового броуновского движения.

      Формулы () и () были строго математически реализованы в терминах бесконечномерных колебательных интегралов, см. Albeverio, Cattaneo, Di Persio and Mazzucchi (2007).

      Квантовые вычисления

      Тщательное изучение проблем квантовых вычислений является очень сложной задачей.Большинство методов, разработанных до сих пор, относятся к случаю систем с конечномерным пространством состояний, см., например, Fei, albeverio, cabello, Jing, Goswami (2010). Интегралы Фейнмана по путям для таких систем обсуждались (без применения к квантовым вычислениям) в работе Э. К. Томаса (2000). Одна из проблем построения квантовых компьютеров касается лучшего понимания явлений декогеренции, обусловленных взаимодействием интересующей системы с окружающей шумящей средой. В работе Альбеверио, Каттанео, Ди Персио и Маццукки (2007) эта проблема обсуждается с помощью интегралов по путям Фейнмана. Квантовые вычисления с их проблемой конструирования подходящих запутанных состояний также, что вполне естественно, соприкоснулись с топологическими проблемами запутанности, а модель топологических квантовых полей Черна-Саймонса была использована для обсуждения таких проблем в работе Л. Х. Кауфмана. и Джей Джей Lomonaco (2010), E. Dennis, A. Kitaev and J. Preskill (2002), C. Nayak, S.H. Саймон, А. Стерн, М. Фридман, С. Дас Сарма (2008).

      Поскольку модель Черна-Саймонса построена строго с помощью интегралов Фейнмана по траекториям, естественно попытаться связать эту конструкцию с упомянутым подходом к запутанности через модели топологической квантовой теории поля.

      Рассеивающие системы

      Квантовая механика с комплекснозначным потенциалом обсуждалась как модель для простых диссипативных систем, а систематическое обсуждение в терминах строгих интегралов по путям Фейнмана (и связанных с ними методов) было представлено в книге П. Экснера. Дальнейшие разработки в этом направлении обсуждались в работах С. Черемчанцева (1983), А. де Бивар-Вайнгольца и М.Л. Лапидус (1990), С. Альбеверио и З. Бжезняк (1995), Г. В. Джонсон и М.n}\to {\mathbb C}\ ,\) особый интерес представляет изучение их асимптотики в пределе, где \(\epsilon\to 0\ .\) Этот интерес обусловлен тем, что такие асимптотики дает, с одной стороны, возможность приближенно вычислить интеграл, с другой стороны, связывает интеграл с математическими и физическими задачами, представляющими интерес сами по себе. Основным средством изучения асимптотики интеграла () является метод стационарной фазы , первоначально введенный Стоксом и Кельвином при описании волновых явлений.n\), дающие ненулевой вклад в значение интеграла, есть окрестности стационарных точек фазовой функции \(\Phi\ ,\), т. е. точек \(x_c\), удовлетворяющих уравнению \[ \Фи'(х)=0, \] где \(\Phi’\) обозначает градиент \(\Phi\ .\) В случае, когда гессиан \(\Phi»(x_c)\) имеет нетривиальное ядро ​​(т.е. \(\det\Phi»(x_c)\neq 0\)) и критические точки изолированы, легко получает разложение \(I(\epsilon)\) по степеням \(\epsilon\) в виде суммы вкладов, поступающих от одиночных критических точек, причем главный вклад дается комплексными интегралами Гаусса (с фазовой функцией \(\ frac{1}{2}(x,\Phi»(x_c)x)\)). {\ frac {i} {\ hbar} S_t (\ gamma)} \ psi_0 (\ gamma) d \ gamma, \] в полуклассическом пределе , т.е.е. когда постоянная Планка \(\hbar\) может считаться пренебрежимо малой и играет роль малого параметра \(\epsilon\ .\) Роль фазовой функции \(\Phi\) играет функционал действия \(S_t\ ,\) и, согласно принципу наименьшего действия Гамильтона, его стационарные точки являются в точности классическими орбитами системы.

      Строгая математическая формулировка этих идей, то есть реализация бесконечномерного варианта метода стационарной фазы для исследования асимптотики функционального интеграла фейнмановского типа, является достаточно сложной задачей.Как только интеграл Фейнмана () математически реализован в терминах хорошо определенного функционала, даже трудно проверить, допускает ли он вообще асимптотическое разложение. Некоторые довольно технические результаты были получены в основном в случае невырожденных фазовых функций в рамках Френеля или бесконечномерных осциллирующих интегралов Альбеверио и Хёг-Кроном, Альбеверио, Буте де Монвель-Бертье и Бжезняком (1995) и Резенде (1995). {(j) })\) находится в \(x\) в момент времени \(t\ .{-\frac{i}{\hbar}Ht})\) к классическим периодическим орбитам системы. Можно рассматривать это как квантовый аналог формулы следа Сельберга, связывающий след ядра теплоты на многообразиях постоянной отрицательной кривизны с суммой вкладов, связанных с периодическими геодезическими. Интерес к такого рода соотношениям возобновился в последние годы, так как, согласно теории квантового хаоса, тип распределения собственных значений энергии данной квантово-механической системы должен отражать характер распределения лежащей в его основе классической системы, а именно: интегрируема, соотв.хаотичный. Формула следа имеет также интересные отношения с некоторыми задачами теории чисел (на самом деле, например, для лапласиана на торе она выражается тэта-функциями, которые через преобразование Меллина связаны с дзета-функцией, см., например, Альбеверио, Бланшар и Хёг-Крон (1982)).

      Недавно в статье Альбеверио и Митомы (2009) асимптотические методы были применены к регуляризованной версии [[#Топологической квантовой теории поля|топологической теории поля Черна-Саймона}} и дали интересные результаты по инвариантам Васильева. , в направлении строгого установления эвристических результатов, полученных из «пертурбативной версии» моделей Черна-Саймона.

      Фермионные, некоммутативные, суперсимметричные интегралы по траекториям

      В связи с квантовой физикой, включающей ферми-частицы, был разработан формализм «некоммутативных» интегралов Фейнмана по траекториям. Он носит более алгебраический характер, чем тот из «коммутативных» фейнмановских интегралов по путям, который мы обсуждали, однако отчасти он использует интегралы по путям, которые мы обсуждали, расширяя их в «некоммутативный мир». Это также случай интегралов по траекториям, обсуждаемых в связи с суперсимметричными теориями (ставящих бозонные и ферми-частицы в «равное положение»).Мы не будем подробно останавливаться на этих расширениях, которые заслуживали бы отдельного рассмотрения, и ограничимся лишь несколькими ссылками, напр. работа А. Роджерса (1987), О.Г. Смолянов и Е.Т. Шавгулидзе (1989), А. Иномата и Г. Юнкер (1994), Р. Леандр и А. Роджерс (2006).

      Каталожные номера

      • Альбеверио, С.; Бланшар, доктор философии, и Хёг-Крон, Р. (1982). Интегралы Фейнмана по траекториям и формула следов для операторов Шредингера. Комм. Мат. физ. 83(1): 49-76.дои: 10.1007/bf01947071.
      • Альбеверио С. и Бжезняк З. (1993). Конечномерный аппроксимационный подход к колебательным интегралам и стационарной фазе в бесконечных измерениях. J. Функц. Анальный. 113(1): 177-244. doi:10.1006/jfan.1993.1051.
      • Альбеверио, С.; Хан, А. и Сенгупта, А. Н. (2004). Строгие интегралы Фейнмана по траекториям с приложениями к квантовой теории, калибровочным полям и топологическим инвариантам. Стохастический анализ и математическая физика (SAMP/ANESTOC 2002).Мировая науч. Издательство River Edge, Нью-Джерси: 1-60.
      • Альбеверио, С. и Хёг-Крон, Р. (1967). Колебательные интегралы и метод стационарной фазы в бесконечном числе измерений с приложениями к классическому пределу квантовой механики. Изобретение. Мат. 40(1): 59-106. дои: 10.1007/bf01389861.
      • Альбеверио С. и Маццукки С. (2005 г.). Обобщенные интегралы Френеля. Бык. науч. Мат. 129(1): 1—23. doi:10.1016/j.bulsci.2004.05.005.
      • Альбеверио С. и Маццукки С. (2005 г.).Интегралы Фейнмана по путям для полиномиально растущих потенциалов. J. Функц. Анальный. 221(1): 83—121. doi:10.1016/j.jfa.2004.07.014.
      • Альбеверио, С.; Хёг-Крон, Р. и Маццукки, С. (2008). Математическая теория интегралов Фейнмана по траекториям. Введение. 2-е и дополненное издание. Конспект лекций по математике 523. Springer-Verlag, Берлин.
      • Кэмерон, Р. Х. (1960). Семейство интегралов, связывающих интегралы Винера и Фейнмана. Дж. Матем. и физ. 39: 126—140.
      • Дирак, ПАМ (1933). Лагранжиан в квантовой механике. Физик. Z. Sowjetunion 3: 64. Перепечатано в Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Schwinger J ed., Dover (Нью-Йорк, 1958).
      • Досс, Х. (1980). Sur une résolution стохастический де l’Equation де Шредингера à коэффициенты analytiques. Комм. Мат. физ. 73 (3): 247—264. дои: 10.1007/bf01197701.
      • Элворти, Д. и Трумэн, А. (1984). Карты Фейнмана, формулы Камерона-Мартина и ангармонические осцилляторы. Энн. Инст. А. Пуанкаре Phys. Теор. 41(2): 115—142.
      • Кумано-го Н. и Фудзивара Д. (2008 г.). Интегралы Фейнмана по траекториям и квазиклассическое приближение. ДИСКИ Kokyuroku Bessatsu B5: 241—263.
      • Фейнман, Р. П. (1948). Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике. Обзор современной физики 20(2): 367-387. doi: 10.1103/revmodphys.20.367.
      • Фридман, К. Н. (1971/72). Формулы произведения полугрупп, сжатия и непрерывные наблюдения в квантовой механике. Университет Индианы. Мат. J. 21: 1001—1011.
      • Хида, Т.; Куо, HH; Potthoff, J и Streit, L (1993). Белый шум. Бесконечномерное исчисление. Математика и ее приложения, 253. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт.
      • Ито, К. (1961). Интеграл Винера и интеграл Фейнмана. Проц. Четвертый симпозиум Беркли по математической статистике и вероятности. Калифорнийский университет Press, Беркли 2: 227-238.
      • Ито, К. (1967). Обобщенные равномерные комплексные меры в гильбертовом метрическом пространстве и их приложения к интегралу Фейнмана по траекториям. Проц. Пятый симпозиум Беркли по математической статистике и вероятности. Калифорнийский университет Press, Беркли 2 (1): 145-161.
      • Джонсон, Г.В. и Лапидус, М.Л. (2000). Интеграл Фейнмана и операционное исчисление Фейнмана. Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк.
      • Маццуки, С. (2009 г.). Математические интегралы Фейнмана по траекториям и приложения. World Scientific Publishing, Сингапур.
      • Нельсон, Э. (1964). Интегралы Фейнмана и уравнение Шрёдингера. Дж. Матем. и физ. 5: 332-343. дои: 10.1063/1.1704124.

      Дальнейшее чтение

      • DeWitt-Morette C (ред. ) и др. (1995). Специальный выпуск по функциональной интеграции. Дж. Матем. и физ. 36 (5): 2135-2564.
      • Альбеверио, С.; Хёг-Крон, Р.; Фенстад, Дж. Э. и Линдстрем, Т. (1986). Нестандартные методы стохастического анализа и математической физики. Academic Press, Inc., Орландо, Флорида.
      • Альбеверио, С.; Кондратьев, Ю; Козицкий, Ю. и Рёкнер, М. (2009).Статистическая механика квантовых решетчатых систем. Интегральный подход. Европейское математическое общество (EMS), Цюрих.
      • Атия, М. Ф. (1979). Геометрия полей Янга-Миллса. Лезиони Фермиан. Высшая нормальная школа в Пизе.
      • Березин Ф.А., Шубин М.А. (1991). Уравнение Шредингера. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт.
      • Быценко А А; Коньола, Г.; Элизальде, Э; Моретти, В. и Зербини, С. (2003). Аналитические аспекты квантовых полей.World Scientific Publishing Co., Ривер Эдж, Нью-Джерси.
      • Картье, П. и ДеВитт-Моретт, К. (2006). Функциональная интеграция: действие и симметрия. Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
      • Экснер, П. (2000). Открытые квантовые системы и интегралы Фейнмана. Издательство D. Reidel Publishing Co., Дордрехт.
      • Фаддеев Л.Д., Славнов А.А. (1991). Калибровочные поля. Введение в квантовую теорию. (2-е издание). Издательская компания Эддисон-Уэсли, Т.
      • Фейнман Р.П. и Хиббс А.Р. (1965).Квантовая механика и интегралы по траекториям. Компании McGraw-Hill, Нью-Йорк.
      • Гроше, К. и Штайнер, Ф. (1998). Справочник по интегралам Фейнмана по путям. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг.
      • Хёрмандер, Л. (2003 г.). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. I. Теория распределений и анализ Фурье. Springer-Verlag, Берлин.
      • Хуанг, К. (1998). Квантовая теория поля. От операторов к континуальным интегралам. ohn Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк.
      • Клаудер, Дж. Р. (2000).Помимо обычного квантования. Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
      • Кляйнерт, Х. (1995). Интегралы по путям в квантовой механике, статистике и физике полимеров. Всемирный научный, Сингапур.
      • Колокольцов В Н (2000). Квазиклассический анализ диффузий и случайных процессов. Springer-Verlag, Берлин.
      • Лапидус, М.Л. (2008). В поисках нулей Римана. Струны, фрактальные мембраны и некоммутативное пространство-время. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
      • Леандр, Р. (2006 г.). Интегралы по траекториям в некоммутативной геометрии. Энциклопедия математической физики. Эльзевир: 8-12.
      • Маслов В.П., Федорюк М.В. (1981). Квазиклассическое приближение в квантовой механике. D. Reidel Publishing Co., Дордрехт-Бостон, Массачусетс.
      • Менский М.В. (2000). Квантовые измерения и декогеренция. Модели и феноменология. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт.
      • Паризи, Г. (1988). Статистическая теория поля.Benjamin/Cummings Publishing Co., Рединг, Массачусетс.
      • Попов В Н (1983). Функциональные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. D. Reidel Publishing Co., Дордрехт-Бостон, Массачусетс.
      • Риверс, Р. Дж. (1990). Методы интеграла по путям в квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
      • Рёпсторфф, Г. (1994). Интегральный подход к квантовой физике. Введение. Springer-Verlag, Берлин.
      • Ровелли, К. (2004). Квантовая гравитация.Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
      • Шульман, Л.С. (2005). Методы и приложения интеграции путей. Дуврские публикации, США.
      • Разные, авторы (). Интегралы по путям от мэВ к МэВ: Материалы международных конференций. World Scientific Publishing Co., Ривер Эдж, Нью-Джерси.

      См. также

      Интеграл по путям, принцип наименьшего действия

      Интегральный день | Математическая программа

      29 октября — День Интеграла! Почему? Современный знак интеграла был впервые написан 29 октября 1675 года великим немецким математиком Готфридом Лейбницем (1646–1716) в неопубликованной рукописи. Учитывая важность исчисления (это одно из самых полезных изобретений во втором тысячелетии нашей эры) и важность интеграции (это одна из трех фундаментальных концепций исчисления), у нас есть только , чтобы отпраздновать .

      Наши праздники проходят в Math Suite и рядом с ним и включают в себя «печенье для вычислений» и «суммирующий сидр», украшения для интегралов и суммирования, а также большой дисплей, заполненный «интегральными граффити». Смелые ученики соревнуются в интегральном конкурсе: ученик, решивший наибольшее количество интегралов, получает кофейную кружку «Математика — неотъемлемая часть моей жизни» и восхищение сверстников.Многие составляющие нашего празднования имеют тему Хэллоуина из-за близости Дня Интеграла к 31 октября.

      Весной, 14 марта, математический факультет отмечает День числа Пи.



      Пейдж Миллер демонстрирует свою кофейную кружку «Математика — неотъемлемая часть моей жизни» после победы в интегральном конкурсе на Integral Day 2018.

      Крис О’Салливан, Сэм Терхаар и Рэйчел Пелсанг отдыхают после создания нашего дисплея Integral Day в канун Integral Day 2015. Доска объявлений сначала была покрыта меловой карточкой, чтобы превратить ее в классную доску, а затем команда добавила «интегральное граффити».»

      Механические интеграторы

      На некоторых наших торжествах демонстрировались механические интеграторы Фила Уингера, бывшего помощника вице-президента по объектам в Сент-Бонавентуре. Механический интегратор — это устройство, которое механически решает задачу, которую решают определенные интегралы.

      Мистер Уингер представил пузырьковый секстант и полярный планиметр.

      Пузырьковый секстант

      Пузырьковый секстант использовался штурманом патрульного бомбардировщика военно-морского флота для наблюдения за углом от вертикали небесных тел, таких как солнце.Он использует пузырек в качестве вертикального ориентира, накладывая изображение пузыря на изображение солнца, видимого через регулируемую призму. У мистера Уингера есть модель начала 1940-х годов.

      Проблема с использованием пузырьковой ссылки заключается в том, что она подвержена ускорению, отличному от силы тяжести, например раскачиванию самолета в турбулентности. Решением этой проблемы является усреднение показаний за период времени, значительно превышающий период возмущений. Устройство Вингера усредняет показания прибора за двухминутный период.

      Усреднение функции по интервалу является приложением интегрирования, превращая секстант пузырька в механический интегратор.


      Студент использует секстант с пузырьками, поскольку Фил Уингер обеспечивает «турбулентность».
      Полярный планиметр

      Планиметр — это инструмент, который позволяет человеку измерять площадь области, отслеживая ее границы. Планиметры бывают разных типов; Мистер Уингер владеет полярным планиметром.

      Вычисление площади региона — классическое применение интегрирования, превращающее планиметр в механический интегратор.

      Работу полярного планиметра можно объяснить с помощью теоремы Грина.


      Учащийся использует полярный планиметр для измерения площади области, отслеживая ее границы.

      интегралов: математический смысл — Nexus Wiki

      Основная идея исчисления заключается в том, как связаны изменения. Когда мы смотрим на производные, мы обращаем внимание на то, как были связаны изменения двух переменных, когда изменения были небольшими. Но мы хотим иметь возможность пойти дальше этого.Допустим, изменения большие? Если мы знаем производную, мы можем построить большие изменения, складывая маленькие изменения. Мы делаем это с концепцией интеграла . В самом прямом смысле производная и интеграл обратны друг другу. На этой странице мы рассмотрим математику построения интеграла и его математический смысл.

      Приближение интеграла прямоугольниками —
      сумма Римана. Нажмите на изображение
      , чтобы увидеть его вживую. (Википедия)

      Если вы помните из занятий по математическому анализу, как интеграл строится из сумм (как в интеграле Римана), вы, вероятно, можете пропустить эту страницу и сразу перейти к следующей странице: Как я могу на самом деле использовать интегралы? , где мы обсуждаем различные способы его использования, чтобы иметь смысл в этом классе.

      Если вы не помните, как построить интеграл таким образом, чтобы вы могли подумать о том, что это значит, следите за нашим обсуждением на этой странице. Делайте это осторожно, шаг за шагом.

      Производная как отношение малых изменений

      Начнем с абстрактной математической версии. У нас есть функция $f$, зависящая от независимой переменной (значение которой мы можем выбирать свободно) $x$. Идея производной состоит в том, чтобы определить функцию, которая представляет отношение того, насколько изменится $f$, когда $x$   изменится (немного).Так

      $$g(x) = f'(x) = \frac{df}{dx}$$

      Нотация содержит небольшое внутреннее противоречие. Выражение слева, $g(x)$, говорит о том, что мы рассматриваем эту производную как функцию $x$, поэтому мы знаем ее в любой отдельной точке. Выражение справа говорит, что производная – это изменение $f$, деленное на изменение $x$. Чтобы получить сдачу, вы должны рассмотреть два разных x.

      Способ, которым мы избегаем этого, заключается в том, что мы рассматриваем «изменение» как «значение $x$, чуть меньшее, чем $x$, до значения $x$, лишь чуть большего. Это все равно, что смотреть фильм и говорить: «Скорость в 96-м кадре — это изменение положения от 95-го до 97-го кадра, деленное на интервал времени от 95-го до 97-го кадра». думать о том, что на самом деле означает скорость или любая производная. Математики тратят много усилий, чтобы избавиться от этого, но для нас лучше думать об этом таким образом.

      Сложение мелких изменений: интеграл

      Если вы знаете $f$, вы дифференцируете его, чтобы получить $g$.Но что нам делать, если мы знаем функцию $g$ и хотим пойти другим путем и найти $f$? Сначала это может показаться странным. Как бы мы узнали производную функции, если бы не знали функцию? Но на самом деле это происходит постоянно. Один из ключевых принципов этого термина будет заключаться в том, чтобы показать, что ускорение объекта определяется совокупностью сил, которые он испытывает. Таким образом, мы можем узнать ускорение объекта, вычислив силы. Но ускорение есть производная от скорости! Итак, $a = dv/dt$, и мы знаем $a$ как функцию времени, но хотим найти $v$. И тогда мы можем знать $v=dx/dt$ как функцию времени, но хотим вычислить $x$.

      Давайте попробуем использовать $g$ и $f$ , чтобы мы могли сосредоточиться на общей структуре математики, не отвлекаясь на конкретное «что это такое».

      Если мы серьезно воспримем производную как отношение, мы можем умножить обе части нашего уравнения на небольшое изменение «$dx$», чтобы получить следующее:

      $$df = g(x)dx$$

      Прочитайте это так: «изменение $f$ равно $g$ (производная от $f$), умноженное на изменение $x$.»  Было бы яснее, что это означает, если бы мы использовали дельты вместо d и обратили внимание на концы интервала dx.  Это выглядит следующим образом:

      $$\Дельта x = x_1 — x_0$$

      $$\Delta f = g(x)dx \; \правая стрелка \; f(x_1) — f(x_0) = g(x_0) \Delta x$$

      Поскольку мы рассматриваем изменение, у нас есть два значения $x$, но $g$ является функцией $x$ только один раз. Мы выбираем начальное значение, хотя, вероятно, было бы более эстетично выбрать оценку $g$ в середине интервала, $\frac{x_0 + x_1}{2}$. Но тогда все выглядело бы намного грязнее, и оказалось, что это не имело бы никакого значения.

      Теперь давайте сделаем много шагов размером \Delta x:

      $$x_1 — x_0 = \Дельта x$$

      $$x_2 — x_1 = \Дельта x$$

      $$x_3 — x_2 = \Дельта х \\ …$$

      … означает «представьте, что этот процесс продолжается». Мы напишем «N» для верхнего значения нашего последнего шага.

      Если мы теперь запишем, как изменяется $f$ на каждом шаге, мы получим

      $$f(x_1) — f(x_0) = g(x_0) \Delta x$$

      $$f(x_2) — f(x_1) = g(x_1) \Delta x$$

      $$f(x_3) — f(x_2) = g(x_2) \Delta x \\ …$$

      , где снова три точки означают «продолжать».

      Теперь нужно сложить все уравнения в строке выше. Это дает нам

      $$[f(x_N) — f(x_{N-1})] + [f(x_{N-1}) — f(x_{N-2})] +… + [f(x_2 ) — f(x_1)] + [f(x_1) — f(x_0)] \\
      = g(x_{N-1}) \Delta x + g(x_{N-2}) \Delta x+ .. .  + g(x_1) \Delta x + g(x_0) \Delta x$$

      Хотя это выглядит беспорядочно, происходит кое-что интересное. Все условия слева отменяются, кроме первого и последнего! (Конечная точка одного интервала и начальная точка следующего совпадают, но один раз он входит со знаком + и один раз со знаком -.{x_f}{ g(x) dx}$$

      меняется с «0» на «i» (для начального) и с «N» на «f» (для конечного). Этот результат показывает, что наша сумма (или интеграл) производных может сказать нам, как изменяется f по мере удаления x от начального значения. Это означает, что наш интеграл может давать значения всей функции $f$ для любого значения x, если мы знаем начальную точку и производную от $f$.

      Определенные и неопределенные интегралы: основная теорема исчисления

      В зависимости от того, как мы используем этот последний результат, мы можем интерпретировать его по-разному.{b}{ \frac{df}{dx}dx}$$

      Это говорит о том, что интеграл от производной функции между двумя точками дает изменение этой функции между этими двумя точками.

      Если вместо этого мы заменим конечную точку интеграла переменной $x$, мы явно сгенерируем функцию $f(x)$. {x}{ \frac{df}{dx’}dx’}$$

      Начальное значение $f(x_0)$ — это просто константа.{x}{ \frac{df}{dx’}dx’} + C$$

      Поскольку здесь мы рассматриваем $x$ как переменную, это называется неопределенным  интегралом.

      Выражения в этом разделе часто называют основной теоремой исчисления, , поскольку они показывают, что производная и интеграл обратны друг другу.

      Некоторые простые интегралы

      Поскольку мы знаем производные некоторых простых алгебраических выражений, мы также можем легко получить интегралы от этих выражений.2 + С, \end{выровнено} ∫ye2ydy​=∫udv=uv-∫vdu=21​ye2y-21​∫e2ydy=21​ye2y-21​⋅21​e2y+C=21​x2lnx-41​x2+C,​

      , где ССС — постоянная интегрирования. □_\квадрат□​

      Интеграл | Encyclopedia.com

      Определенные интегралы

      Неопределенные интегралы

      Приложения

      Ресурсы

      Интеграл является одним из двух основных понятий, воплощенных в разделе математики, известном как исчисление. Интерпретируемый графически, интеграл функции соответствует площади под графиком этой функции.По идее, площадь под кривой, построенной путем построения функции, аппроксимируется серией прямоугольников. По мере того, как число этих прямоугольников приближается к бесконечности, аппроксимация приближается к предельному значению, которое называется значением интеграла. Интеграл дает средство определения площадей тех неправильных фигур, площади которых нельзя вычислить никаким другим способом (например, путем многократного применения формул для простых геометрических фигур). Когда интеграл представляет площадь, он называется определенным интегралом, потому что он имеет определенное числовое значение; интегралы могут быть и в виде функций, однако без единичных числовых значений, в которых они называются неопределенными интегралами.

      Интеграл является обратным по отношению к другому основному понятию исчисления, производной, и, таким образом, обеспечивает способ выявления функциональных взаимосвязей, когда известна только скорость изменения. Когда интеграл представляет собой функцию, производная которой известна, он называется неопределенным интегралом и является функцией, а не числом. Ферма, великий французский математик, был, вероятно, первым, кто вычислил площади, используя метод интегрирования.

      Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой, но как таковой он гораздо полезнее, чем просто средство вычисления неправильных площадей.Чтобы проиллюстрировать важность этой концепции для науки, рассмотрим следующий пример. Работа, совершаемая над поршнем во время рабочего такта двигателя внутреннего сгорания, равна произведению силы, действующей на поршень, на смещение поршня (расстояние, которое проходит поршень после зажигания). Инженеры могут легко измерить силу, действующую на поршень, путем измерения давления в цилиндре (сила равна произведению давления на площадь поперечного сечения поршня). При этом измеряют смещение поршня.Совершаемая работа уменьшается по мере увеличения рабочего объема, пока поршень не достигнет нижней точки своего хода. Поскольку площадь представляет собой произведение ширины на высоту, площадь под кривой равна произведению силы на смещение или работу, выполняемую поршнем между верхней частью хода и нижней частью.

      Площадь под этой кривой можно аппроксимировать, нарисовав несколько прямоугольников шириной h единиц каждый. Высота каждого прямоугольника равна значению функции на переднем крае каждого прямоугольника.Предположим, нас интересует работа, проделанная между двумя значениями смещения, a и b. Тогда площадь аппроксимируется как Площадь = h f (a) + h f (a+ h) + h f (a+2h) +… + h f (a+(n-1) з) + з ф (ч). В этом приближении n соответствует количеству прямоугольников. Если позволить n стать очень большим, то h станет очень маленьким. Применение теории пределов к этой задаче показывает, что в большинстве обычных случаев это приводит к тому, что сумма приближается к предельному значению.В этом случае предельное значение называется значением интеграла от а до b и записывается:

      Где знак интеграла (удлиненная буква s) указывает на то, что это сумма площадей между x = a и х = б. Обозначение f (x) dx предназначено для передачи того факта, что эти области имеют высоту, определяемую как f (x), и бесконечно малую ширину, обозначаемую dx.

      Неопределенный интеграл является обратной производной. Согласно основной теореме исчисления, если интеграл от функции f (x) равен F(x) + K, то производная от F(x) равна f (x).Это верно для любого числового значения константы K, поэтому интеграл называется неопределенным.

      Обратная связь между производной и интегралом имеет два очень важных следствия. Во-первых, во многих практических приложениях функциональная связь между двумя величинами неизвестна и ее нелегко измерить. Однако скорость, с которой одна из этих величин изменяется по отношению к другой, известна или легко измеряется (например, предыдущий пример работы, совершаемой над поршнем).Знание скорости, с которой одна величина изменяется по отношению к другой, означает, что производная от той, которая

      КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

      обратная мода. То есть производная от интеграла функции возвращает исходную функцию, и наоборот.

      Limit —Предел — это значение, к которому стремится последовательность или функция.Когда сумма бесконечного числа членов имеет предел, это означает, что она имеет конечное значение.

      Курс — Курс представляет собой сравнение изменения одной величины с одновременным изменением другой, где сравнение производится в виде отношения.

      по отношению к другому известно (поскольку это просто определение производной). Таким образом, основную функциональную связь между двумя величинами можно найти, взяв интеграл от производной. Второе важное следствие возникает при вычислении определенных интегралов.Часто бывает чрезвычайно трудно, если вообще возможно, найти значение интеграла. Однако относительно простой метод, для сравнения, состоит в том, чтобы найти функцию, производная которой является функцией, которую нужно проинтегрировать, которая затем является интегралом.

      Существует множество приложений в бизнесе, экономике и науке, включая все аспекты инженерии, где интеграл имеет большое практическое значение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск