Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.
Для это введите свою функцию в калькулятор:
Где при исследовании функции пригодится помощь производной?
Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:
- Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
- Также чтобы найти точки перегибов функции — интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).
Рассмотрим пример
Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 — 1)/(x^2 + 1):
Получим результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Первая производная
/ 2 \
2*x 2*x*\x - 1/
------ - ------------ = 0
2 2
x + 1 / 2 \
\x + 1/ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная
/ 2 2 2 / 2\\
| -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------- - ------ + --------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------- = 0
2
1 + x Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)
Исследование функции онлайн y=f(x). Исследовать график функции.
Введите график функции
Исследуем график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x).
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
x*arcsin(x)
Арккосинус
x*arccos(x)
Применение логарифма
x*log(x, 10)
Натуральный логарифм
ln(x)/x
Экспонента
exp(x)*x
Тангенс
tg(x)*sin(x)
Котангенс
ctg(x)*cos(x)
Иррациональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
x*arctg(x)
Арккотангенс
x*arсctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Исследование графика функции
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
- Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
- Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
- Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
- Наклонные асимптоты графика функции: Да
- Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- e
- e число, которое примерно равно 2.7
- exp(x)
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - pi
- Число — «Пи», которое примерно равно 3.14
- sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^3
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
Другие функции:
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
Решение функций | Онлайн калькулятор
найти область определения функции онлайн | калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции |
определения точек пересечения графика функции с осями координат | нахождение асимптот графика функции онлайн |
методом неопределенных коэффициентов | онлайн калькулятор для определения периодичности |
и интервалы его выпуклости и вогнутости онлайн | кусочно-непрерывных функций |
u=f(x,y,z) | и построение графика |
найти интервалы знакопостоянства | они же точки пересечения |
и интервалы монотонности | обратное преобразования Лапласа онлайн |
интегральное преобразование Лапласа онлайн | по формуле общего члена ряда |
вычислить угол наклона | рассчитать угловой коэффициент |
онлайн калькулятор | достаточно задать функцию, чтобы получить значения максимума |
одно из необходимых условий наличия минимума | функция в этих точках не является непрерывной |
провести исследование графика функции | решать пределы любых функций онлайн |
составить и решить уравнение касательно | найти как косинусы и синусы угла, так и решить выражения |
функции относятся к простейшим | график функции |
раскладывается в степенной ряд по степеням | любое число раз и в некоторой окрестности |
абсолютно любую четную функцию можно разложить в ряды Фурье | нахождение формулы |
найти прямую перпендикулярной прямой | в полярных координатах на плоскости |
найти прямую перпендикулярной прямой | в полярных координатах на плоскости |
в полярных координатах | построить полином по точкам |
переменной | на отрезке в заданном интервале |
на отрезке в заданном интервале | найти точки экстремума функции |
найти область значений фукции | найти нули производной |
значение функции на отрезке | производная функции равна 0 или не существует |
| Найти угловые точки |
Полное исследование функции и построение графика, примеры решений
Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}$ и построить ее график.
Решение. 1) Область определения функции.
$D(y) : x^{2}-2 x \neq 0 \Rightarrow x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 2 \Rightarrow$
$\Rightarrow x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ; 2) \cup(2 ;+\infty)$
2) Четность, нечетность.
$y(-x)=\frac{(-x)^{2}-(-x)-1}{(-x)^{2}-2 \cdot(-x)}=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2 x} \neq \left\{\begin{array}{l}{y(x)} \\ {-y(x)}\end{array}\right.$
Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осями.
а) с осью $O x : y=0$ :
$\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}=0 \Rightarrow x^{2}-x-1=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
то есть точки $A_{1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0\right), A_{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0\right)$
б) с осью $O y : x=0$ : в данной точке функция неопределенна.
4) Асимптоты.
а) вертикальные: прямые $x=0$ и $x=2$ — вертикальные асимптоты.
б) горизонтальные асимптоты:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}=1$
то есть прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота.
в) наклонные асимптоты $y=k x+b$ :
$k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x-1}{x\left(x^{2}-2 x\right)}=0$
Таким образом, наклонных асимптот нет.
5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.
$y^{\prime}=\left(\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}-2 x}\right)^{\prime}=\frac{(2 x-1)\left(x^{2}-2 x\right)-\left(x^{2}-x-1\right)(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=$
$=\frac{2 x^{3}-4 x^{2}-x^{2}+2 x-\left(2 x^{3}-2 x^{2}-2 x^{2}+2 x-2 x+2\right)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=$
$=\frac{2 x^{3}-5 x^{2}+2 x-2 x^{3}+4 x^{2}-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}=\frac{-x^{2}+2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}$
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: $y^{\prime} \neq 0$ для любого $x$ из области определения функции; $y^{\prime}$ не существует при $x_{1}=0$ и $x_{2}=2$ .
Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.
6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.
$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=\left(\frac{-x^{2}+2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\right)^{\prime}=$
$=\frac{(-2 x+2)\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-\left(-x^{2}+2 x-2\right) \cdot 2\left(x^{2}-2 x\right)(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{4}}=$
$=\frac{(-2 x+2)\left(x^{2}-2 x\right)-\left(-x^{2}+2 x-2\right) \cdot 2(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}=$
$=\frac{-2 x^{3}+6 x^{2}-4 x+4 x^{3}-12 x^{2}+16 x-8}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}=$
$=\frac{2 x^{3}-6 x^{2}+12 x-8}{\left(x^{2}-2 x\right)^{3}}$
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: $y^{\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и $x=2$ вторая производная не существует.
Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и $(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках $(-\infty ; 0)$ и $(1 ; 2)$ — выпукла. Так как при переходе через точку $x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.
7) Эскиз графика.
исследование на монотонность функции онлайн
Вы искали исследование на монотонность функции онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и исследовать на монотонность и экстремумы функцию онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «исследование на монотонность функции онлайн».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как исследование на монотонность функции онлайн,исследовать на монотонность и экстремумы функцию онлайн,исследуйте функцию на монотонность и экстремумы калькулятор,монотонность функции онлайн,монотонность функции онлайн калькулятор,найдите промежутки возрастания и убывания функции онлайн,найти интервалы монотонности и экстремумы функции онлайн калькулятор,найти монотонность функции онлайн,найти промежутки возрастания и убывания функции онлайн калькулятор,онлайн калькулятор на непрерывность функции онлайн,промежутки знакопостоянства онлайн,экстремумы и интервалы монотонности функции онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и исследование на монотонность функции онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, исследуйте функцию на монотонность и экстремумы калькулятор).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же исследование на монотонность функции онлайн Онлайн?
Решить задачу исследование на монотонность функции онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.