Как числитель разложить на множители: 29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её. 8 класс алгебра Макарычев

2=\\=(1-2x-y)(1+2x+y). $$

Содержание

Материалы по теме:»Преобразование рациональных выражений»

Преобразование рациональных выражений.

( сложение и вычитание дробей )

Алгоритм

  1. Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).

  1. Составить общий знаменатель:

а) знаменатель первой дроби выписать полностью

б) из знаменателя второй дроби (и последующих) приписать такие множители, которых ещё не записали.

3. Найти дополнительные множители к каждой дроби:

а) сравнить общий знаменатель со знаменателем каждой

дроби

б) тот множитель, которым они отличаются – это

дополнительный множитель к дроби

  1. Составить общий числитель:

а) умножить дополнительный множитель какой-либо

дроби на её числитель

б) записать алгебраическую сумму в общий числитель

5. Упростить новый числитель:

а) раскрыть скобки

б) привести подобные слагаемые

6. Сократить дробь ( если это возможно):

а) разложить числитель на множители ( вынесение

общего множителя за скобки; группировка; ФСУ)

б) разделить числитель и знаменатель на одинаковый

множитель

Разложить на множители

Выражение

Способ

Результат

15ay

Готовое произведение

15ay

5x + 15

Вынесение общего множителя за скобки

5(x + 3)

3x – 6y

Вынесение общего множителя за скобки

3(x – 2y)

ab — a²

Вынесение общего множителя за скобки

a(b – a)

10ay – 2a

Вынесение общего множителя за скобки

2a(5y – 1)

x² — 4

ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)

(x – 2)(x +2)

16 — y²

ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)

(4 – y)(4 + y)

25x² — 49y²

ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)

(5x-7y)(5x+7y)

b²-4bc+4c²

ФСУ: (a-b)²= a²-2ab+b²

(b-2c)²

1-4c+4c²

ФСУ: (a-b)²= a²-2ab+b²

(1-2c)²

x²+8x+16

ФСУ

: (a+b)²= a²+2ab+b²

(x+4)²

9c²+12c+4

ФСУ: (a+b)²= a²+2ab+b²

(3c+2)²

Cамостоятельно. Разложи на множители.

15-5a; 3x+15; 10y-2a; a²-3a; 10x²y – 5xy²;

x² +10x + 25; x² — 81; 16x² — 24x + 9

Нахождение общего кратного.

Выражения

Общее кратное

3 и 6

6

12 и 18

36

3a и 6a

6a

12xy и 18x

36xy

a² + ab и ab + b²

a(a+b) и b(a+b)

a(a+b)b

8x+y и 8x-y

(8x+y)(8x-y)

a² — 7a и a – 7

a(a – 7) и a – 7

a(a – 7)

x – 9 и 1

x — 9

Самостоятельно. Найти общее кратное выражений.

ab и b; a² —ab и ab; b – 3 и 1; 4b и b;

6a+b и 6a-b; x+5 и x² + 5x; 7m – n и 7m + n;

m² и mn

Сложение и вычитание дробей.

Шаги алгоритма

Результат

Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).

Этого делать не надо, т.к. знаменатели уже представлены в виде произведения

Составить общий знаменатель

;

Найти дополнительные множители к каждой дроби

к первой дроби

ко второй дроби

Составить общий числитель

Упростить новый числитель

Нет необходимости

Сократить дробь

Невозможно

Сложение и вычитание дробей.

Шаги алгоритма

Результат

Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).

;

Составить общий знаменатель

Найти дополнительные множители к каждой дроби

b к первой дроби

а ко второй дроби

Составить общий числитель

Упростить новый числитель

Сократить дробь

Невозможно

Самостоятельно.

Выполни действия с дробями.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7)

Сложение и вычитание дробей

1)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители

2. Составить общий знаменатель

3. Дополнительные множители к каждой дроби

3 – к первой дроби

а² — ко второй дроби

4. Составить новый числитель

5. Упростить числитель

6. Сократить дробь

; нельзя

Оформление.


2)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители

2. Составить общий знаменатель

3. Дополнительные множители к каждой дроби

Сравнивай общий знаменатель со знаменателем каждой дроби.

х — к первой дроби

1 – ко второй дроби

х 1

4. Составить новый числитель

5. Упростить числитель

невозможно

6. Сократить дробь

Для этого разложи числитель на множители:

3)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители

2. Составить общий знаменатель

3. Дополнительные множители к каждой дроби

4. Составить новый числитель

5. Упростить числитель

6. Сократить дробь

1

Самостоятельно. Преобразуйте в дробь выражение.

1) 2)

3)

4)

5) 6)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5) 1 6) 1

4)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители

Знаменатель первой дроби 1

Знаменатель второй дроби 2у-1

Знаменатель третьей дроби 1

На множители их раскладывать не надо

2. Составить общий знаменатель

3. Дополнительные множители к каждой дроби

4. Составить новый числитель

1

5. Упростить числитель

6. Сократить дробь

невозможно

5)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители

2. Составить общий знаменатель

3. Дополнительные множители к каждой дроби

4. Составить новый числитель

5. Упростить числитель

2

6. Сократить дробь

Для сокращения дроби разложим числитель дроби на множители

Самостоятельно. Преобразуйте в дробь выражения.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Ответы:

1) 2) 3) 4) 0

5) 6) 7) 8)

Умножение и деление дробей.

Правило умножения:

Перемножь дроби (т.е. запиши общий числитель и знаменатель в виде произведения)

* алгебраические суммы надо писать в скобках.

  1. Подготовь числитель и знаменатель к сокращению

( разложи их компоненты на множители, если возможно )

3. Сократи дробь

Правило деления:

1. Раздели дроби

2. Подготовь числитель и знаменатель к сокращению

( разложи их компоненты на множители, если возможно )

3. Сократи дробь

Самостоятельно. Представь в виде дроби.

1) 2)

3) У целого выражении знаменатель 1

4) 5)

6) 7)

8) При разложении выражения

на множители, используй способ группировки.

9) При разложении выражений

и на множители, используй способ группировки.

Ответы:

Ответы:

1) 2) 3)

4) 1 5) 6)

7)

8) — 2

  1. 1

Задания из ГИА – 2015

Упростить выражение и найти его значение

1) при х = 25

2) при х = 7

3) при а = 5, в = 4

4) при а = 4,2 в = 2,8

5) при а = 0,8 в = -4

6) при а = 20, в = 25

7) при а =20, в = 14

8) при а =0,1 в = 8

9) при а = 900, в = 1000

10) при а = 0,8 в = 0,9

11) при а =1,4 в = 3,6 с = 4,8

12) при а = 5,6 в = -3,4 с = 4

13) при а = 0,07 в = 0,03

14) при а = 0,45 в = 0,05

Ответы

Упрощённое выражение

Числовое значение

1)

0,25

2)

— 4,5

3)

— 0,4

4)

0,84

5)

— 0,16

6)

0,8

7)

9,8

8)

— 0,25

9)

— 0,01

10)

— 0,85

11)

-6

12)

5,625

13)

0,25

14)

2,6

Упростить выражение и найти его значение

1) при

2) при

3) при

4) при

5) при

6) при

7) при

8) при

9) при

10) при

Ответы

Упрощённое выражение

Числовое значение

1)

1,625

2)

0,005

3)

-0,5

4)

-2

5)

-22,5

6)

-16,5

7)

88

8)

2000

9)

-4

10)

48

Математика — 8

Разложение трёхчлена на множители и упрощение рациональных выражений

Если числитель или знаменатель рационального выражения является трёхчленом, то для сокращения дроби применяют различные методы разложения на множители.
Если для трёхчлена x2 + bx + c возможно найти такие числа m и n, чтобы их произведение было равно с, а сумма была равна b, то в этом случае:

x2 + bx + c = (x + m) (x + n).

На самом деле, если mn = c, m + n = b, тогда можно записать, что x2 + bx + c = x2 + (m + n) x + m · n = = x2 + mx + nx + mn = x (x + m) + n (x + m) = (x + m) (x + n) Понятно что, если b и с являются целыми числами, то числа m и n надо искать среди делителей числа с.

Пример 1. Для сокращения дроби x2 + 5x + 6
x2 — 2x — 3 сначала надо разложить числитель и знаменатель на множители.

Для разложения на множители трёхчлена x2 + 5x + 6 надо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Это числа 2 и 3: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Для разложения на множители трёхчлена x2 + 2x — 3 надо найти два числа, произведение которых равно -3, а сумма 2. Так как, эти числа 3 и -1, тогда имеем x2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1).

Для разложения на множители трёхчлена ax2 + bx + c надо найти такие числа m и n чтобы mn = ac, m + n = b. Тогда ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c = x(ax + m) + (nx + c)
= x(ax + m) + n
a (ax + m) = (ax + m)(x + n
a)

Пример 2. Сократим дробь 2x2 + x — 6
2x — 3.
Для 2x2 + x — 6 mn = 2 · (-6) = -12, m + n = 1

Действия с дробями: правила, приёмы, примеры

Условимся считать, что под «действиями с дробями» на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь — это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10.

Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби и называются равными, если .

Например, , так как

Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Забыли, что такое простые и составные числа и чем они различаются? Сейчас узнаем заново.

Простым называется число, которое делится (нацело) на само себя и на единицу. Составным числом называется число, которое делится на само себя, единицу и минимум ещё на одно натуральное число.

Вот первые 25 простых чисел в порядке их возрастания:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

А вот все составные числа, не превышающие 50, также в порядке их возрастания:

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30; 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42; 44; 45; 46; 48; 49; 50.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Итак, сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

.

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен — 5xy в виде суммы — 2xy — 3xy, получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

.

В результате

.

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Результат этого умножения:

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции вытекают следующие пропорции: , , , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции: и .

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

правило, примеры. Как решать алгебраические дроби? Теория и практика

Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.

Дробь и ее сокращение

Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.

Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.

Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.

Два способа

1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.

2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.

Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.

Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания?

С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.

Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.

Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:

  • группировка;
  • вынесение за скобку;
  • применение тождеств сокращенного умножения.

Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.

Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.

Выражение со степенью

Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.

Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:

  • если в показателе степени стоит сумма, то ее можно разложить на множители, степенями которых будут исходные слагаемые;
  • если разность, то на делимое и делитель, у первого в степени будет уменьшаемое, у второго — вычитаемое.

После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.

Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.

А если в выражении стоит корень?

Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.

На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.

Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.

Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

  • сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
  • если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

  • нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
  • в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т. е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

15 5 * 3 35 → 5 * 7

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 — тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение — в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x+2) (x-3) (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

9x-3 15x+6

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

3(3x-1) 15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(3x-1) 3(5x+2)

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок — в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

(3x-1) (5x+2)

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

4(x+2)(x-13) (4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4) 5(4-x)

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x — 4) можно записать как -1 * (4 — x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 — b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

  • Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
  • Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Рекомендуем также

Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.


Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».


Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби  и получили новую дробь .  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:


Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:


Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:


Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь .  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь .  Если верить основному свойству дроби, то дроби   и  равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби  и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями  и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!


Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби  надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.


Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20


Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.


Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби  на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Умножение, деление и сокращение алгебраических дробей

В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями:

Начнем с сокращения алгебраических дробей.

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби, нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, «сокращая» не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби «сокращают» на и получают в результате , что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделим числитель и знаменатель на

2.  Сократить дробь: 

 

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе — произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разложим каждую скобку на множители:

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

Итак,

 

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на «перевернутую».

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:

Получим:

Итак,

Сложение и вычитание алгебраических дробей мы рассмотрим в следующей статье.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Упрощение и разложение выражений — макеты

В алгебре упрощение и разложение выражений являются противоположными процессами. Упрощение выражения часто означает удаление пары скобок; факторизация выражения часто означает применение их.

Предположим, вы начинаете с выражения 5 x (2 x 2 – 3 x + 7). Чтобы упростить это выражение, вы удалите круглые скобки, умножив 5 x на каждый из трех членов в круглых скобках:

= 10 x 3 – 15 x 2 + 35 x

Вы можете разложить полученное выражение, заменив круглые скобки: Просто разделите каждый член на коэффициент 5 x :

5 x (2 x 2 – 3 x + 7)

две формы этого выражения — 5 x (2 x 2 — 3 x + 7) и 10 x 2 — 15 x 2 + 35 x — эквивалентны. Ни одна из форм не лучше другой. Но, в зависимости от обстоятельств, одна форма может быть более полезной.

Упрощение беспорядочных выражений

Вы можете использовать упрощение, чтобы очистить беспорядочные выражения и упростить работу с ними. Предположим, вы работаете со следующим выражением:

.

Чтобы очистить его, начните с упрощения знаменателя:

Затем вы объединяете одинаковые члены в знаменателе; обратите внимание, что термины x 2 компенсируют друг друга.

Эта дробь выглядит намного проще, но вы можете упростить еще больше, разложив на множители и числитель, и знаменатель:

Теперь вы можете отменить коэффициент x + 1 и упростить полученную дробь следующим образом:

Благодаря сочетанию упрощения и разложения сложное на вид выражение оказывается очень простой константой!

Факторизация квадратичных многочленов

Разложение на множители может быть сложным, особенно когда вам нужно разложить на множители многочлены с большими коэффициентами, например 15 x 2 + 47 – 10. Вот простой способ разложить на множители квадратичные полиномы вида a x 2 + b x + c :

  1. Начните с рисования большого крестика, поместив значение ac в верхний квадрант и b в нижний квадрант.

    Предположим, вы хотите разложить полином 6 x 2 + 11 x + 4. Обратите внимание, что в этом полиноме a = 6, b = 11 и c = 4.В этой задаче ac = 6×4 = 24 и b = 11,

  2. Найдите пару чисел, в которых умножают на верхнее число и прибавляют к нижнему числу, и разместите их в двух боковых квадрантах (порядок не имеет значения).

    Например, вы хотите найти пару чисел, которые умножаются на 24 и в сумме дают 14. Начните с перечисления всех пар множителей числа 24: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 и 4 × 6. Обратите внимание, что 3 + 8 = 11, так что это правильная пара чисел.

  3. Составьте две дроби, используя x в качестве числителя и два числа, которые вы поместили в боковые квадранты в качестве знаменателей.

    Здесь значение x = 6 x , а числа в двух боковых квадрантах равны 3 и 8:

  4. Сократите эти две дроби до меньших членов (сохранив результаты как с числителем, так и со знаменателем).

  5. Чтобы закончить, сложите числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы найти два множителя исходного многочлена.

    Следовательно, 6 х 2 + 11 + 4 = (2 х + 1)(3 х + 4)

Теперь попробуйте тот же метод на более сложном многочлене 15 x 2 + 47 x – 10. В этом случае a = 15, b = 47 и

3 c = – 9 10.

  1. Начните с рисования большого крестика, поместив значение ac в верхний квадрант и b в нижний квадрант.

    В этой задаче ac = 15 × –10 = –150 и b = 47.

  2. Найдите пару чисел, в которых умножают на верхнее число и прибавляют к нижнему числу, и разместите их в двух боковых квадрантах (порядок не имеет значения).

    Вы ищете пару чисел, которые умножаются на –150, поэтому одно число положительное, а другое отрицательное. И эти два числа также дают в сумме 47, поэтому положительное число является «большим» из двух чисел.

    Итак, вот рабочие пары факторов: –1×150, –2×75, –3×50, –5×30, –6×25 и –10×15. Обратите внимание, что –3 + 50 = 47, так что это правильная пара чисел.

  3. Составьте две дроби, используя x в качестве числителя и два числа, которые вы поместили в боковые квадранты в качестве знаменателей.

    Здесь значение x = 15 x , а числа в двух боковых квадрантах равны –3 и 50:

  4. Сократите эти две дроби до меньших членов (сохранив результаты как с числителем, так и со знаменателем).

  5. Чтобы закончить, сложите числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы найти два множителя исходного многочлена.

    Следовательно, 15 х 2 + 47 х – 10 = (5 х – 1)(3 х + 10).

Факторинг рациональных выражений — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

рациональных выражений: больше упрощения

Рационал Выражения: More Simplifying (стр. 3 из 3)

Секции: Нахождение домен, Упрощение рациональных выражений


  • Упростите следующее рациональное выражение:

    Многие студенты попытаются сделать что-то вроде следующего:

    Это законно? Могу студент действительно делает это? (Подумайте «кровотечение, сочащаяся…») Вы НЕ можете отменить посрочно! Вы можете ТОЛЬКО отменить коэффициенты!

    Итак, первым делом я нужно сделать (если я правильно упрощаю) размножить числитель и знаменатель:

    Поскольку числитель и знаменатель делит общий множитель, я могу сократить выражение как:

    Можно еще уменьшить? Например, могу ли я отменить x ? (хныканье, кровь. ..) Могу ли я отменить 2 из 4 и 6? (сочащаяся, плюхаясь…) Нет! Это настолько упрощено, насколько это возможно, потому что не осталось общих факторов. Тогда ответ:

В зависимости от вашего текста, вам может не понадобиться, что «для x не равно –5 / 2 часть». Однако, поскольку я отменил фактор «2 x + 5», это удалена проблема деления на ноль из исходного рационального выражения: 2 x + 5 = 0 для x = -5 / 2 .

  • Упростите следующее:

    Факторы в числителе и знаменатель почти совпадают, но не совсем, поэтому они не могут быть отменили — пока. Если бы дробь была: Авторское право © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    . ..(то есть плюсы вместо минусов) можно было бы переставить слагаемые так:

    …и отменить, чтобы получить «1», так как порядок не имеет значения дополнительно. Но порядок определенно делает дело в вычитании, поэтому я не могу просто перевернуть вычитание, чтобы получить соответствие факторы. Однако взгляните на это:

    Видишь, что произошло? Когда я изменил вычитание во второй строке, я получил то же число но обратный знак.Затем, если я переверну вычитание, мне нужно будет изменить знак. Таким образом, я могу обратить одно из вычитаний в исходном рациональном выражение выше, пока я помню, чтобы переключить знак спереди:

    Теперь я могу отменить:

    Помните: если «ничего» слева, затем «1» осталось, значит:

(в зависимости от текста вы используете, вам может понадобиться или не понадобиться «пока x не равно 2» часть. )

Вы должны оставить этот «флип вычитание и пинать знак «минус» впереди». В зависимости от в тексте, который вы используете, вы можете увидеть многое из этого.

  • Упростите следующее выражение:

    Чтобы упростить это, я сначала надо факторить. Тогда я могу отменить любые общие факторы.

    Тогда ответ:

(Возможно, вам не понадобится «для всех x не равно –3″ часть.)

  • Упростите следующее выражение:

    Чтобы упростить это, мне нужно учитывать; Мне также нужно перевернуть вычитание в знаменателе, так что мне нужно будет не забыть изменить знак.

    Тогда ответ:

(Возможно, вам не понадобится «для всех х не равно 6″ часть. )

Как вы, наверное, заметили к настоящему времени упрощение рациональных выражений требует большого количества факторов. Если вы чувствуете себя совсем заржавевшим в этой теме, просмотрите сейчас: простой факторинг, факторинг квадратика и специальный факторинг формулы.

<< Предыдущий  Наверх  |  1 | 2 | 3   | Вернуть к индексу

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет.«Рациональные выражения: больше упрощения». Пурпурная математика . Доступно с
https://www.purplemath.com/modules/rtnldefs3.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

Обзор факторинга с примерами — Smartick

Еще раз привет! Вы знаете, что такое факторинг ? Вы знаете, для чего он используется? В этом посте мы ответим на эти вопросы.

Как учитывать

Факторизация числа выполняется путем записи числа как произведения всех его простых множителей.

Пример:

12 = 2 х 2 х 3

Вы также можете выразить это с помощью полномочий:

12 = 2 2 x 3

Если вы хотите увидеть больше примеров факторинга, нажмите здесь.

Теперь, когда мы знаем, как факторизовать, давайте посмотрим, для чего он полезен и как мы можем его использовать.

 

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК)

НОК набора чисел вычисляется путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие кратные с наибольшим показателем степени и кратные, которые не являются общими. Они умножаются, и в результате получается LCM этих чисел.
Пример:

LCM (12, 20)

Факторим числа:

12 = 2 2 x 3

20 = 2 2 x 5

Теперь выбираем общие множители (22) и не общие множители (3 и 5)
Умножаем множители:

2 2 х 3 х 5 = 60

Следовательно, НОК (12, 20) = 60

Для расчета наибольшего общего делителя (GCF)

GCF рассчитывается путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие множители, возведенные в меньшую степень. После этого коэффициенты умножаются.
Пример:

ЗКФ (30, 40)

Факторим числа:

30 = 2 х 3 х 5

40 = 2 3 x 5

Теперь мы выбираем самые высокие общие делители, возведённые в наименьший показатель степени (2 и 5)
Умножаем множители:

2 x 5 = 10
Следовательно, GCF (30, 40) = 10
    

Упрощение дробей

Дроби упрощаются делением числителя и знаменателя на одно и то же число до тех пор, пока они не будут иметь общих делителей.Пользоваться факторингом в этом случае очень просто: мы факторизуем числитель и знаменатель, затем сокращаем общие множители и, наконец, умножаем оставшиеся множители.
Пример: Сначала разложите числитель и знаменатель.
Теперь сократите множители, которые находятся в числителе и знаменателе.
Факторы, которые остались, это факторы, которые мы должны умножить.
И это упрощенная дробь!

Чтобы выполнить умножение

Есть некоторые умножения, которые могут быть проще, если сначала выполнить факторинг, так как множители можно удобно сгруппировать.
Пример:

25 х 12

Факторим числа:

25 = 5 х 5

12 = 2 х 2 х 3

Следовательно, 25 х 12 = 5 х 5 х 2 х 2 х 3

Возьмем 2 и 5 с одной стороны и остальные множители с другой.

Таким образом, мы можем выполнить умножение намного проще.

Как правило, факторинг можно использовать для упрощения числовых расчетов. Можете ли вы придумать какой-либо другой способ использования факторинга? Поделись с нами!

И вы уже знаете: чтобы продолжить изучение факторинга и всех предметов математики, зарегистрируйтесь в Smartick и станьте гением математики ☺.

Узнать больше:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

1.6 Рациональные выражения — Колледж алгебры

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Упрощать рациональные выражения.
  • Умножение рациональных выражений.
  • Разделить рациональные выражения.
  • Сложение и вычитание рациональных выражений.
  • Упростите сложные рациональные выражения.

Кондитерская имеет фиксированные затраты в размере 280$280 в неделю и переменные затраты в размере 9$9 за коробку выпечки.Затраты магазина в неделю в пересчете на х, х, количество изготовленных коробок, составляют 280+9х.280+9х. Мы можем разделить затраты в неделю на количество изготовленных коробок, чтобы определить стоимость коробки выпечки.

Обратите внимание, что результатом является полиномиальное выражение, деленное на второе полиномиальное выражение. В этом разделе мы рассмотрим частные полиномиальные выражения.

Упрощение рациональных выражений

Частное двух полиномиальных выражений называется рациональным выражением.Мы можем применять свойства дробей к рациональным выражениям, например, упрощая выражения, исключая общие множители из числителя и знаменателя. Для этого нам сначала нужно разложить как числитель, так и знаменатель. Начнем с показанного рационального выражения.

х2+8х+16х2+11х+28х2+8х+16х2+11х+28

Мы можем разложить числитель и знаменатель, чтобы переписать выражение.

(х+4)2(х+4)(х+7)(х+4)2(х+4)(х+7)

Тогда мы можем упростить это выражение, убрав общий множитель (x+4).(х+4).

Как

Дано рациональное выражение, упростите его.

  1. Разложите числитель и знаменатель на множители.
  2. Отменить любые общие факторы.

Пример 1

Упрощение рациональных выражений

Упростить x2-9×2+4x+3. x2-9×2+4x+3.

Решение
(x+3)(x−3)(x+3)(x+1)Разложить на множители числитель и знаменатель.x−3x+1Отменить общий множитель(x+3).(x+3)(x−3) (x+3)(x+1)Разложите на множители числитель и знаменатель.x−3x+1Отменить общий множитель (x+3).
Анализ

Мы можем отменить общий множитель, потому что любое выражение, деленное само на себя, равно 1.

вопросы и ответы

Можно ли отменить термин x2x2 в примере 1?

Нет. Фактор — это выражение, которое умножается на другое выражение. Член x2x2 не является фактором числителя или знаменателя.

Попытайся #1

Упростить x-6×2-36.x-6×2-36.

Умножение рациональных выражений

Умножение рациональных выражений работает так же, как и умножение любых других дробей. Мы умножаем числители, чтобы найти числитель произведения, а затем умножаем знаменатели, чтобы найти знаменатель произведения. Перед умножением полезно разложить числители и знаменатели на множители так же, как мы это делали при упрощении рациональных выражений. Нам часто удается упростить произведение рациональных выражений.

Как

Даны два рациональных выражения, умножьте их.

  1. Разложите числитель и знаменатель на множители.
  2. Умножьте числители.
  3. Умножьте знаменатели.
  4. Упростить.

Пример 2

Умножение рациональных выражений

Умножьте рациональные выражения и покажите произведение в простейшей форме:

х2+4х-53х+18⋅2х-1х+5х2+4х-53х+18⋅2х-1х+5
Решение
(x+5)(x−1)3(x+6)⋅(2x−1)(x+5)Разложите на множители числитель и знаменатель.(x+5)(x−1)(2x−1)3( x+6)(x+5)Умножить числители и знаменатели. (x+5)(x−1)(2x−1)3(x+6)(x+5)Отменить общие множители для упрощения.(x−1)(2x−1)3(x+6) (x+5)(x−1)3(x+6)⋅(2x−1)(x+5) Разложите на множители числитель и знаменатель.( x+5)(x−1)(2x−1)3(x+6)(x+5)Умножение числителей и знаменателей.(x+5)(x−1)(2x−1)3(x+6) )(x+5)Отменить общие множители для упрощения.(x−1)(2x−1)3(x+6)

Попытайся #2

Умножьте рациональные выражения и покажите произведение в простейшей форме:

х2+11х+30х2+5х+6⋅х2+7х+12х2+8х+16х2+11х+30х2+5х+6⋅х2+7х+12х2+8х+16

Деление рациональных выражений

Деление рациональных выражений работает так же, как деление других дробей.Чтобы разделить рациональное выражение на другое рациональное выражение, умножьте первое выражение на обратную величину второго. Используя этот подход, мы перепишем 1x÷x231x÷x23 как произведение 1x⋅3×2,1x⋅3×2. Как только выражение деления было переписано как выражение умножения, мы можем умножать, как делали это раньше.

Как

Даны два рациональных выражения, разделите их.

  1. Перепишите как первое рациональное выражение, умноженное на обратную величину второго.
  2. Разложите числители и знаменатели на множители.
  3. Умножьте числители.
  4. Умножьте знаменатели.
  5. Упростить.

Пример 3

Деление рациональных выражений

Разделить рациональные выражения и выразить частное в простейшей форме:

2×2+x−6×2−1÷x2−4×2+2x+12×2+x−6×2−1÷x2−4×2+2x+1
Решение
2×2+x−6×2−1⋅x2+2x+1×2−4 Переписать как умножение. (2x−3)(x+2)(x+1)(x−1)⋅(x+1)2(x+2) (x−2) Коэффициент.(2x−3)(x+2)(x+1)2(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)Умножить.(2x−3)(x+1)(x −1)(x−2) Отменить общие множители для упрощения. 2×2+x−6×2−1⋅x2+2x+1×2−4 Переписать как умножение. 1)⋅(x+1)2(x+2)(x−2)Коэффициент.(2x−3)(x+2)(x+1)2(x+1)(x−1)(x+ 2)(x−2)Умножить.(2x−3)(x+1)(x−1)(x−2)Отменить общие множители для упрощения.

Попытайся #3

Разделить рациональные выражения и выразить частное в простейшей форме:

9×2−163×2+17x−28÷3×2−2x−8×2+5x−149×2−163×2+17x−28÷3×2−2x−8×2+5x−14

Сложение и вычитание рациональных выражений

Сложение и вычитание рациональных выражений работает так же, как сложение и вычитание числовых дробей. Чтобы сложить дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Рассмотрим пример сложения дробей.

524+140=25120+3120=28120=730524+140=25120+3120=28120=730

Мы должны переписать дроби, чтобы они имели общий знаменатель, прежде чем мы сможем складывать. Мы должны делать то же самое при сложении или вычитании рациональных выражений.

Самый простой в использовании общий знаменатель — это наименьший общий знаменатель, или LCD. LCD — это наименьшее кратное, общее для знаменателей.Чтобы найти LCD двух рациональных выражений, мы факторизуем выражения и перемножаем все различные множители. Например, если факторизованные знаменатели были (x+3)(x+4)(x+3)(x+4) и (x+4)(x+5),(x+4)(x+5) , тогда ЖК-экран будет (x+3)(x+4)(x+5).(x+3)(x+4)(x+5).

Как только мы найдем ЖК, нам нужно умножить каждое выражение на форму 1, что изменит знаменатель на ЖК. Нам нужно будет умножить выражение со знаменателем (x+3)(x+4)(x+3)(x+4) на x+5x+5x+5x+5, а выражение со знаменателем (x +4)(х+5)(х+4)(х+5) на х+3х+3. х+3х+3.

Как

Даны два рациональных выражения, сложите или вычтите их.

  1. Разложите числитель и знаменатель на множители.
  2. Найдите на ЖК-дисплее выражения.
  3. Умножьте выражения на форму 1, которая меняет знаменатели на LCD.
  4. Сложите или вычтите числители.
  5. Упростить.

Пример 4

Добавление рациональных выражений

Добавьте рациональные выражения:

Решение

Во-первых, мы должны найти ЖК-дисплей.В этом случае ЖК-дисплей будет xy.xy. Затем мы умножаем каждое выражение на соответствующую форму 1, чтобы получить xyxy в качестве знаменателя для каждой дроби.

5x⋅yy+6y⋅xx5yxy+6xxy5x⋅yy+6y⋅xx5yxy+6xxy

Теперь, когда у выражений один и тот же знаменатель, мы просто добавляем числители, чтобы найти сумму.

Анализ

Умножение на yyyy или xxxx не меняет значение исходного выражения, поскольку любое число, деленное само на себя, равно 1, а умножение выражения на 1 дает исходное выражение.

Пример 5

Вычитание рациональных выражений

Вычитание рациональных выражений:

6х2+4х+4-2х2-46х2+4х+4-2х2-4
Решение
6(x+2)2−2(x+2)(x−2)Коэффициент.6(x+2)2⋅x−2x−2−2(x+2)(x−2)⋅x+2x +2Умножьте каждую дробь, чтобы получить LCD в качестве знаменателя.6(x−2)(x+2)2(x−2)−2(x+2)(x+2)2(x−2)Multiply.6x−12 −(2x+4)(x+2)2(x−2)Применить распределительное свойство.4x−16(x+2)2(x−2)Вычесть.4(x−4)(x+2)2( x−2)Упрощение.6(x+2)2−2(x+2)(x−2)Коэффициент.6(x+2)2⋅x−2x−2−2(x+2)(x− 2)⋅x+2x+2Умножьте каждую дробь, чтобы получить LCD в качестве знаменателя.6(x−2)(x+2)2(x−2)−2(x+2)(x+2)2(x−2)Multiply.6x−12−(2x+4)(x+2 )2(x−2)Применить распределительное свойство.4x−16(x+2)2(x−2)Вычесть.4(x−4)(x+2)2(x−2)Упростить.

вопросы и ответы

Должны ли мы использовать ЖК-дисплей для сложения или вычитания рациональных выражений?

Нет. Подойдет любой общий знаменатель, но проще всего использовать ЖК-дисплей.

Попытайся #4

Вычтите рациональные выражения: 3x+5−1x−3,3x+5−1x−3.

Упрощение сложных рациональных выражений

Комплексное рациональное выражение — это рациональное выражение, которое содержит дополнительные рациональные выражения в числителе, знаменателе или в обоих.Мы можем упростить сложные рациональные выражения, переписав числитель и знаменатель как отдельные рациональные выражения и разделив их. Сложное рациональное выражение a1b+ca1b+c можно упростить, переписав числитель как дробь a1a1 и объединив выражения в знаменателе как 1+bcb.1+bcb. Затем мы можем переписать выражение как задачу на умножение, используя обратную величину знаменателя. Получаем a1⋅b1+bc,a1⋅b1+bc, что равно ab1+bc.ab1+bc.

Как

Упростите сложное рациональное выражение.

  1. Объедините выражения в числителе в одно рациональное выражение путем сложения или вычитания.
  2. Объедините выражения в знаменателе в одно рациональное выражение путем сложения или вычитания.
  3. Перепишите как числитель разделить на знаменатель.
  4. Переписать как умножение.
  5. Умножить.
  6. Упростить.

Пример 6

Упрощение сложных рациональных выражений

Упростить: y+1xxyy+1xxy .

Решение

Начните с объединения выражений в числителе в одно выражение.

y⋅xx+1x  Умножьте на xx, чтобы получить LCD как знаменатель.xyx+1xxy+1x  Добавьте числители.y⋅xx+1x  Умножьте на xx, чтобы получить LCD как знаменатель.xyx+1xxy+1x  Добавьте числители.

Теперь числитель — это единственное рациональное выражение, а знаменатель — это единственное рациональное выражение.

Мы можем переписать это как деление, а затем умножение.

xy+1x÷xyxy+1x⋅yxПерепишите как умножение.y(xy+1)x2Multiply.xy+1x÷xyxy+1x⋅yxПереписать как умножение.y(xy+1)x2Multiply.

Попытайся #5

Упростить: xy-yxyxy-yxy

вопросы и ответы

Всегда ли можно упростить сложное рациональное выражение?

Да. Мы всегда можем переписать сложное рациональное выражение как упрощенное рациональное выражение.

1.6 Секционные упражнения

Устный
1 .

Как можно использовать факторинг для упрощения рациональных выражений?

2 .

Как вы используете ЖК-дисплей для объединения двух рациональных выражений?

3 .

Скажите, верно или нет следующее утверждение, и объясните, почему: Вам нужно найти ЖК только при сложении или вычитании рациональных выражений.

Алгебраический

Для следующих упражнений упростите рациональные выражения.

4 .

х2-16х2-5х+4х2-16х2-5х+4

5 .

у2+10у+25у2+11у+30у2+10у+25у2+11у+30

6 .

6а2-24а+246а2-246а2-24а+246а2-24

7 .

9б2+18б+93б+39б2+18б+93б+3

8 .

м-12м2-144м-12м2-144

9 .

2×2+7x-44×2+2x-22×2+7x-44×2+2x-2

10 .

6х2+5х-43х2+19х+206х2+5х-43х2+19х+20

11 .

а2+9а+18а2+3а-18а2+9а+18а2+3а-18

12 .

3c2+25c-183c2-23c+143c2+25c-183c2-23c+14

13 .

12n2-29n-828n2-5n-312n2-29n-828n2-5n-3

В следующих упражнениях умножьте рациональные выражения и выразите произведение в простейшей форме.

14 .

x2-x-62×2+x-6⋅2×2+7x-15×2-9×2-x-62×2+x-6⋅2×2+7x-15×2-9

15 .

c2+2c−24c2+12c+36⋅c2−10c+24c2−8c+16c2+2c−24c2+12c+36⋅c2−10c+24c2−8c+16

16 .

2d2+9d−35d2+10d+21⋅3d2+2d−213d2+14d−492d2+9d−35d2+10d+21⋅3d2+2d−213d2+14d−49

17 .

10h3-9h-92h3-19h+24⋅h3-16h+645h3-37h-2410h3-9h-92h3-19h+24⋅h3-16h+645h3-37h-24

18 .

6b2+13b+64b2−9⋅6b2+31b−3018b2−3b−106b2+13b+64b2−9⋅6b2+31b−3018b2−3b−10

19 .

2d2+15d+254d2−25⋅2d2−15d+2525d2−12d2+15d+254d2−25⋅2d2−15d+2525d2−1

20 .

6×2-5x-5015×2-44x-20⋅20×2-7x-62×2+9x+106×2-5x-5015×2-44x-20⋅20×2-7x-62×2+9x+10

21 .

t2−1t2+4t+3⋅t2+2t−15t2−4t+3t2−1t2+4t+3⋅t2+2t−15t2−4t+3

22 .

2n2−n−156n2+13n−5⋅12n2−13n+34n2−15n+92n2−n−156n2+13n−5⋅12n2−13n+34n2−15n+9

23 .

36×2−256×2+65x+50⋅3×2+32x+2018×2+27x+1036×2−256×2+65x+50⋅3×2+32x+2018×2+27x+10

В следующих упражнениях разделите рациональные выражения.

24 .

3y2-7y-62y2-3y-9÷y2+y-22y2+y-33y2-7y-62y2-3y-9÷y2+y-22y2+y-3

25 .

6п2+п-128п2+18п+9÷6п2-11п+42п2+11п-66п2+п-128п2+18п+9÷6п2-11п+42п2+11п-6

26 .

q2−9q2+6q+9÷q2−2q−3q2+2q−3q2−9q2+6q+9÷q2−2q−3q2+2q−3

27 .

18d2+77d−1827d2−15d+2÷3d2+29d−449d2−15d+418d2+77d−1827d2−15d+2÷3d2+29d−449d2−15d+4

28 .

16×2+18x-5532×2-36x-11÷2×2+17x+304×2+25x+616×2+18x-5532×2-36x-11÷2×2+17x+304×2+25x+6

29 .

144b2-2572b2-6b-10÷18b2-21b+536b2-18b-10144b2-2572b2-6b-10÷18b2-21b+536b2-18b-10

30 .

16а2-24а+94а2+17а-15÷16а2-94а2+11а+616а2-24а+94а2+17а-15÷16а2-94а2+11а+6

31 .

22y2+59y+1012y2+28y−5÷11y2+46y+824y2−10y+122y2+59y+1012y2+28y−5÷11y2+46y+824y2−10y+1

32 .

9×2+3x-203×2-7x+4÷6×2+4x-10×2-2x+19×2+3x-203×2-7x+4÷6×2+4x-10×2-2x+1

В следующих упражнениях сложите и вычтите рациональные выражения, а затем упростите.

36 .

с+23-с-44с+23-с-44

37 .

у+3у-2+у-3у+1у+3у-2+у-3у+1

38 .

х-1х+1-2х+32х+1х-1х+1-2х+32х+1

39 .

3zz+1+2z+5z−23zz+1+2z+5z−2

40 .

4pp+1−p+14p4pp+1−p+14p

Для следующих упражнений упростите рациональное выражение.

46 .

3x+1+2x-1x-1x+13x+1+2x-1x-1x+1

49 .

2cc+2+c-1c+12c+1c+12cc+2+c-1c+12c+1c+1

Реальные приложения
51 .

Бренда укладывает плитку на пол в ванной. Площадь пола 15×2−8x−715×2−8x−7 футов 2 . Площадь одной плитки равна x2−2x+1ft2.x2−2x+1ft2. Чтобы найти необходимое количество плиток, упростите рациональное выражение: 15×2−8x−7×2−2x+1. 15×2−8x−7×2−2x+1.

52 .

Площадь двора Сэнди составляет 25×2−62525×2−625 футов 2 . Участок дерна имеет площадь x2−10x+25×2−10x+25 футов 2 . Разделите две области и упростите, чтобы найти, сколько кусков дерна нужно Сэнди, чтобы покрыть ее двор.

53 .

Аарон хочет замульчировать свой сад. Его сад x2+18x+81×2+18x+81 ft 2 . Один мешок мульчи покрывает x2−81×2−81 ft 2 . Разделите выражения и упростите, чтобы найти, сколько мешков мульчи нужно Аарону для мульчирования своего сада.

Расширения

Для следующих упражнений выполните данные операции и упростите.

54 .

x2+x-6×2-2x-3⋅2×2-3x-9×2-x-2÷10×2+27x+18×2+2x+1×2+x-6×2-2x-3⋅2×2-3x-9×2-x-2÷10×2 +27x+18×2+2x+1

55 .

3y2-10y+33y2+5y-2⋅2y2-3y-202y2-y-15y-43y2-10y+33y2+5y-2⋅2y2-3y-202y2-y-15y-4

56 .

4а+12а-3+2а-32а+34а2+9а4а+12а-3+2а-32а+34а2+9а

57 .

x2+7x+12×2+x−6÷3×2+19x+288×2−4x−24÷2×2+x−33×2+4x−7×2+7x+12×2+x−6÷3×2+19x+288×2−4x−24÷2×2 +х-33х2+4х-7

Объяснение урока: Упрощение алгебраических дробей

В этом объяснении мы научимся факторизовать алгебраические выражения и упрощать алгебраические дроби.

Начнем с определения алгебраической дроби.

Определение: алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой есть алгебраические выражения.

Два примера: 3𝑥+4𝑥−𝑥𝑥 и 𝑥+3𝑥+2𝑥+5𝑥+4.

Обратите внимание, что в первом примере многочлен в числителе и один член (иногда называемый мономом) в знаменателе, тогда как второй имеет полином как в числителе, так и в знаменателе.

Поскольку простейший тип алгебраических дробей для упрощения включает в себя многочлены, деленные на одночлены, мы начнем с описания что делать в этом случае. Поэтому рассмотрим алгебраическую дробь 3𝑥+4𝑥−𝑥𝑥.

Первый шаг — переписать его в виде трех отдельных алгебраических дробей, каждая из которых состоит из одночлена, деленного на одночлен: 3𝑥𝑥+4𝑥𝑥−𝑥𝑥.

Затем мы сокращаем любые общие множители в верхней и нижней частях дробей. Обратите внимание, что в этом случае нет никаких констант для отменить, поэтому мы сосредоточимся на переменных.

В первом слагаемом, учитывая, что 𝑥=𝑥×𝑥×𝑥, видим, что 𝑥 на вершине отменяется с помощью 𝑥 внизу, чтобы дать 𝑥. Во втором члене 𝑥=𝑥×𝑥 вверху сокращается с 𝑥 внизу, что дает 𝑥; и в третьем сроке, 𝑥 вверху отменяется 𝑥 внизу, чтобы дать 1: 3×𝑥×𝑥×𝑥𝑥+4×𝑥×𝑥𝑥−𝑥𝑥=3𝑥+4𝑥−1.

Другой способ представить этот процесс как три отдельных применения правила частных показателей. Напомним, что это правило утверждает, что частное двух степеней одного и того же ненулевого основания удовлетворяет 𝑥𝑥=𝑥.С использованием этого правила и учитывая, что 𝑥=𝑥 и 𝑥=1, получаем 3𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥-𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥-𝑥𝑥 = 3𝑥 + 4𝑥-𝑥 = 3𝑥 + 4𝑥-𝑥 = 3𝑥 + 4𝑥-1. () () () ( )

Как и ожидалось, это дает тот же результат, что и раньше.

На самом деле, вместо того, чтобы записывать степени 𝑥 как повторяющиеся произведения или явно цитировать правило частного степени, вполне допустимо упростить алгебраические дроби, сокращая сверху и снизу. Например, как только мы разделили исходное выражение на отдельные алгебраические дроби, мы могли бы показать нашу работу следующим образом: 3𝑥𝑥+4𝑥𝑥−𝑥𝑥=3𝑥𝑥+4𝑥𝑥−𝑥𝑥=3𝑥+4𝑥−1.

Обратите внимание, что если бы также были константы для отмены, процесс включал бы простой дополнительный шаг. Чтобы сделать это момент совершенно ясно, давайте попробуем следующий пример.

Пример 1. Упрощение алгебраической дроби с одним членом или мономом в знаменателе

Полностью упростить дробь 9𝑥−15𝑥+𝑥3𝑥.

Ответ

Напомним, что для упрощения алгебраической дроби с полиномом в числителе и одним членом (называемым мономом) в знаменатель, разобьем на отдельные алгебраические дроби, каждая из которых состоит из одночлена, деленного на одночлен.Потом, мы исключаем любые общие множители в верхней и нижней части дробей.

В этом случае мы преобразуем данное выражение в три отдельные алгебраические дроби, поэтому 9𝑥−15𝑥+𝑥3𝑥=9𝑥3𝑥−15𝑥3𝑥+𝑥3𝑥. 

Затем мы сокращаем любые общие множители в верхней и нижней части дробей. Начиная с констант, мы сокращаем общий множитель 3 в первых двух дробях: 9𝑥3𝑥−15𝑥3𝑥+𝑥3𝑥=3𝑥𝑥−5𝑥𝑥+𝑥3𝑥.

Наконец, мы сокращаем переменные, что в данном случае означает сокращение общего множителя 𝑥 во всех трех дроби.Это дает нам результат 3𝑥𝑥−5𝑥𝑥+𝑥3𝑥=3𝑥−5𝑥+13.

Далее обратим внимание на упрощение алгебраических дробей с полиномами в числителе и знаменателе. То полиномы могут появляться в факторизованной или нефакторизованной форме. Например, рассмотрим алгебраическую дробь 𝑥(𝑥+5)(𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+6).

В этом выражении полиномы факторизованы как в числителе, так и в знаменателе. Чтобы упростить его, мы отменяем все общие факторы сверху и снизу.Следовательно, поскольку (𝑥−1) появляется как в числителе, так и в знаменателя, мы сокращаем этот общий множитель, чтобы получить 𝑥(𝑥+5)(𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+6)=𝑥(𝑥+5)𝑥+6.

Поскольку больше нет общих факторов, которые можно было бы исключить, это наш полностью упрощенный ответ.

Давайте рассмотрим пример этого типа.

Пример 2. Упрощение факторизованного алгебраического выражения

Полностью упростить (𝑥+4)(𝑥+3)(𝑥+2)(𝑥+4).

Ответ

Напомним, что для упрощения алгебраической дроби с факторизованными полиномами как в числителе, так и в знаменателе мы сокращаем какие-либо общие факторы сверху и снизу.

В этом случае нас просят полностью упростить алгебраическую дробь (𝑥+4)(𝑥+3)(𝑥+2)(𝑥+4).

Обратите внимание, что (𝑥+4) появляется как в числителе, так и в знаменателе, поэтому мы можем отменить это общий множитель для получения (𝑥+4)(𝑥+3)(𝑥+2)(𝑥+4)=𝑥+3𝑥+2.

Поскольку дальнейшая отмена невозможна, это наш полностью упрощенный ответ.

Наш следующий пример основан на этой идее, так как требует небольшой дополнительной работы.

Пример 3. Упрощение факторизованного алгебраического выражения

Полностью упростить (𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2).

Ответ

Напомним, что для упрощения алгебраической дроби с факторизованными многочленами как в числителе, так и в знаменателе мы исключить любые общие факторы сверху и снизу.

Здесь нас просят полностью упростить алгебраическую дробь (𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2).

Числитель (𝑥−2) можно переписать как (𝑥−2)(𝑥−2), поэтому наша алгебраическая дробь становится (𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2).

Теперь обратите внимание, что множитель (𝑥−2) появляется дважды в числителе и один раз в знаменателе.Следовательно, мы можем сократить одну копию из числителя с копией из знаменателя, чтобы получить (𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2)=𝑥−2𝑥+2, это наш окончательный ответ.

В качестве альтернативы мы могли бы исключить общий множитель (𝑥−2) напрямую следующим образом: (𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2)=𝑥−2𝑥+2.

Как и ожидалось, это дает точно такой же ответ.

Самые сложные алгебраические дроби, которые нам нужно будет упростить, это те, которые содержат нефакторизованные многочлены. Например, Возвращаясь ко второму примеру из нашего исходного определения, предположим, что нас попросили полностью упростить алгебраическую дробь 𝑥+3𝑥+2𝑥+5𝑥+4.

Наша стратегия будет состоять в том, чтобы попытаться разложить полиномы на множители в числителе и знаменателе. Как только это будет сделано, мы можем проверить разложенную на множители версию алгебраической дроби и, как и ранее, исключают любые общие множители сверху и снизу.

Обратите внимание, что в этом случае мы можем разложить числитель, чтобы получить 𝑥+3𝑥+2=(𝑥+1)(𝑥+2). Точно так же мы можем факторизовать знаменатель, чтобы получить 𝑥+5𝑥+4=(𝑥+1)(𝑥+4). Таким образом, мы имеем факторизованную версию (𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+1)(𝑥+4).

Поскольку (𝑥+1) появляется и в числителе, и в знаменателе, мы можем исключить этот общий множитель чтобы получить (𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+1)(𝑥+4)=𝑥+2𝑥+4.

Давайте теперь попробуем проверить этот навык на примере.

Пример 4. Упрощение алгебраического выражения путем факторизации числителя и знаменателя

Полностью упростить 𝑥+5𝑥−24𝑥+15𝑥+56.

Ответ

Напомним, что для упрощения алгебраической дроби с любыми нефакторизованными полиномами в числителе и/или знаменателе мы сначала факторизовать полиномы.Затем мы исключаем любые общие факторы сверху и снизу.

В этом вопросе данная алгебраическая дробь имеет нефакторизованные квадратные выражения как в числителе, так и в знаменателе.

Чтобы разложить числитель, 𝑥+5𝑥−24, нам нужно определить пары множителей, которые умножаются, чтобы дать −24, а затем выберите тот, который в сумме дает 5. Легко проверить, что искомые числа −3 и 8, поэтому мы можем разложить числитель, чтобы получить (𝑥−3)(𝑥+8).

Точно так же, чтобы разложить знаменатель, 𝑥+15𝑥+56, нам нужно определить пары множителей, которые умножаются, чтобы дать 56, а затем выберите тот, который добавляет, чтобы получить 15.В этом случае искомые числа 7 и 8, поэтому мы можем разложить знаменатель чтобы получить (𝑥+7)(𝑥+8).

Таким образом, мы имеем факторизованную версию (𝑥−3)(𝑥+8)(𝑥+7)(𝑥+8).

Обратите внимание, что (𝑥+8) появляется как в числителе, так и в знаменателе, поэтому мы можем отменить это общее фактор, чтобы получить (𝑥−3)(𝑥+8)(𝑥+7)(𝑥+8)=𝑥−3𝑥+7.

Поскольку дальнейшая отмена невозможна, это наш полностью упрощенный ответ.

Давайте теперь обобщим то, что мы узнали об упрощении различных типов алгебраических дробей.

Практическое руководство. Упрощение алгебраических дробей

  1. Чтобы упростить алгебраическую дробь с полиномом в числителе и одним членом (называемым мономом) в знаменателе, мы разобьем его на отдельные алгебраические дроби, каждая из которых состоит из одночлена, деленного на одночлен. Затем мы отменяем любые общие множители в верхней и нижней частях дробей.
  2. Чтобы упростить алгебраическую дробь с факторизованными многочленами как в числителе, так и в знаменателе, мы сокращаем все общие факторы сверху и снизу.
  3. Чтобы упростить алгебраическую дробь с любыми нефакторизованными полиномами в числителе и/или знаменателе, мы сначала многочлены. Затем мы исключаем любые общие факторы сверху и снизу.

Используя обсуждаемые здесь методы, мы можем решать задачи большей сложности, как показано в нашем последнем примере.

Пример 5. Нахождение неизвестных констант путем упрощения алгебраического выражения целые числа.Работа из значений 𝑎, 𝑏 и 𝑐.

Ответ

Напомним, что для упрощения алгебраической дроби с любыми нефакторизованными полиномами в числителе и/или знаменателе мы сначала факторизовать полиномы. Затем мы исключаем любые общие факторы сверху и снизу.

Здесь наша стратегия будет состоять в том, чтобы взять алгебраическую дробь в левой части данного уравнения, разложить числитель на множители и знаменателя, сократите все общие множители, а затем сравните результат с алгебраической дробью в правой части данное уравнение.Затем мы должны иметь возможность считывать значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐.

Начиная с числителя 4𝑥−16𝑥−20𝑥, обратите внимание, что каждый член имеет 4𝑥 в качестве множителя, поэтому мы можем убрать этот общий множитель, чтобы получить 4𝑥𝑥−4𝑥−5.

В скобках остается квадратное выражение 𝑥−4𝑥−5, которое нам нужно разложить на множители. Сделать этого мы должны определить пары факторов, которые умножаются, чтобы дать -5, а затем выбрать ту, которая добавляет, чтобы дать −4. Легко проверить, что требуемые числа равны −5 и 1, поэтому мы можем разложить это на множители. квадратное выражение, чтобы получить (𝑥−5)(𝑥+1).Следовательно, наш полностью факторизованный числитель равен 4𝑥(𝑥−5)(𝑥+1).

Обращаем внимание на знаменатель, 2𝑥−16𝑥+30, каждый член имеет множитель 2. Вынимая это общий множитель, получаем 2𝑥−8𝑥+15.

В скобках у нас есть квадратное выражение 𝑥−8𝑥+15, которое нужно разложить на множители. Сделать это, мы должны определить пары множителей, которые при умножении дают 15, а затем выбрать ту, которая при суммировании дает -8. это просто проверить, что искомые числа равны −5 и −3, поэтому мы можем разложить это квадратичное выражение, чтобы получить (𝑥−5)(𝑥−3). Следовательно, наш полностью факторизованный знаменатель равен 2(𝑥−5)(𝑥−3).

Затем мы можем собрать исходную алгебраическую дробь в ее факторизованной форме: 4𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)2(𝑥−5)(𝑥−3).

Далее нам нужно исключить любые общие множители в верхней и нижней частях дроби. Начиная с констант, мы отменяем из общего множителя 2, что дает 4𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)2(𝑥−5)(𝑥−3)=2𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)(𝑥−5)(𝑥−3).

Тогда Глядя на переменные члены, обратите внимание, что (𝑥−5) появляется как в числителе, так и в знаменатель, поэтому мы можем отменить этот общий множитель, чтобы получить 2𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)(𝑥−5)(𝑥−3)=2𝑥(𝑥+1)𝑥−3.

Наш последний шаг — приравнять нашу полностью разложенную алгебраическую дробь к дроби в правой части исходного уравнения. а затем считайте значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Таким образом, у нас есть 2𝑥(𝑥+1)𝑥−3=𝑎𝑥(𝑥+𝑏)𝑥+𝑐, откуда следует, что 𝑎=2, 𝑏=1 и 𝑐=−3.

Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

  • Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой есть алгебраические выражения.
  • Чтобы упростить алгебраическую дробь с полиномом в числителе и одним членом (называемым мономом) в знаменатель, разобьем на отдельные алгебраические дроби, каждая из которых состоит из одночлена, деленного на одночлен. Затем мы исключаем любые общие множители сверху и снизу дробей.
  • Чтобы упростить алгебраическую дробь с факторизованными многочленами как в числителе, так и в знаменателе, мы сокращаем какие-либо общие факторы сверху и снизу.
  • Чтобы упростить алгебраическую дробь с любыми нефакторизованными полиномами в числителе и/или знаменателе, мы сначала факторизовать полиномы. Затем мы исключаем любые общие факторы сверху и снизу.

Срочно нужна помощь. | Wyzant Спросите эксперта

Когда вы упрощаете рациональное выражение (многочленную дробь), все, что вы сокращаете, должно быть умножением всего числителя и всего знаменателя. Так, например,

(axb)/(axc) = b/c

, но

(a + b)/(a + c) ≠ b/c

Итак, если член умножает весь числитель и знаменатель , его можно отменить, но если числитель представляет собой сумму слагаемых, и он появляется только в одном члене числителя, его нельзя отменить.

Это означает, что упрощение рациональных выражений или деление многочленов требует факторизации многочлена. Давайте учтем числитель проблемы, которую вы должны исправить.

x 2 + 2x — 8

Мы ищем два числа, которые при умножении дают отрицательное число 8, а при сложении получают положительное число 2. Поскольку они должны умножаться, чтобы получить отрицательное число, одно из них должно быть положительным и один должен быть отрицательным. -4 и 2 будут работать. Вы можете «скрыть» это выражение, чтобы проверить, работает ли оно.

(x + 4)(x — 2)

Теперь знаменатель. Ищем два числа, которые умножаются на -16 и прибавляются к 6. 8 и -2 будут работать.

x 2 + 6x — 16 = (x + 8)(x — 2)

Итак, все рациональное выражение:

[(x + 4)(x — 2)]/[(x + 8 )(x — 2)]

(x — 2) умножает все в числителе и все в знаменателе. Мы можем отменить это. Правильное решение:

(x + 4)/(x + 8)

По большей части тот же подход ко второй задаче.Другая информация, которую нам нужно запомнить для второй задачи, заключается в том, что деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную (перевернутую) дробь. Итак,

2 — 9)/(х 2 + х — 2) ÷ (х 2 + х — 12)/(х 2 + 6х + 8) = (х 2 — 9)/(х 2 + х — 2) × (х 2 + 6х + 8)/(х 2 + х — 12)

Теперь о факторинге. При разложении на множители x 2 — 9 может быть полезно записать его как x 2 +0x — 9, так как вы, вероятно, привыкли разлагать на множители квадратные выражения с 3 членами.Итак, мы хотим, чтобы два числа умножались на -9 и прибавлялись к 0. Это будет -3 и 3. Таким образом, первый числитель равен (x + 3)(x — 3).

Теперь первый знаменатель, х 2 + х — 2. Нам нужны два числа, которые будут умножаться на -2 и прибавляться к 1. Итак, 2 и -1. Это дает нам (x + 2)(x — 1)

Теперь для x 2 + 6x + 8. Два числа, которые умножаются на 8 и добавляются к 6. 4 и 2. (x + 4)(x + 2 )

И, наконец, x 2 + x — 12. Два числа, которые умножаются на -12 и прибавляются к 1, будут 4 и -3.(х + 4)(х — 3).

Сложите все вместе…

[(x + 3)(x — 3)]/[(x + 2)(x — 1)] × [(x + 4)(x — 2)]/ [(x + 4)(x — 3)]

При умножении двух дробей вы можете умножать прямо, числитель умножить на числитель и знаменатель умножить на знаменатель.

[(x + 3)(x — 3)(x + 4)(x — 2)]/[(x + 2)(x — 1)(x + 4)(x — 3)]

Отмена все, что есть и в числителе, и в знаменателе. (x — 3) отменяет, а (x + 4) и (x + 2).

Осталось:

(x + 3)/(x — 1)

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.