Как доказать что это средняя линия трапеции: Средняя линия трапеции. 8-й класс

Содержание

Доказательство параллельности средней линии трапеции. Н.Никитин Геометрия

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.
    д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции.

В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении:
    ТО/ОХ = КМ/АЕ
    .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например,
    R = АЕ/2*sinАМЕ
    . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 49. ТРАПЕЦИЯ.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC || BD. АВDС — трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями ; АВ и СD — основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD — боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной .

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (черт. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (черт. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС — средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (черт. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;
2)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:
ВС = СD — по условию;
/ 1 = / 2, как вертикальные,
/ 4 = / 3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, /\ АBС = /\ DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно (§ 48):

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;
2) , но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что сумма внутренних углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 2d .

2. Доказать, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

3. Доказать, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

4. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

5. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

6. Доказать, что периметр фигуры, образованной отрезками, соединяющими середины сторон четырёхугольника, равен сумме диагоналей этого четырёхугольника.

7. Доказать, что прямая, проходящая через середину одной из боковых сторон трапеции параллельно её основаниям, делит другую боковую сторону трапеции пополам.

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Доказательство теорем о средней линии трапеции и треугольника различными способами — Математика — В помощь учителю — Наша библиотека

КГУ «Средняя общеобразовательная школа № 25»

Урок по теме
«Доказательство теорем о средней линии трапеции и треугольника различными способами»

Классы:8Б, 9Б

Провели: Щебетунова Е.А.
Ахметолла З.М.

Семей 2012-2013

Методическая цель урока: повторить и расширить знания по разделу: «Средняя линяя треугольника», «Средняя линия трапеции»
Психолого-педагогическая цель: повысить познавательную активность учащихся через обретение опыта самостоятельной работы с информационными источниками, повысить интерес к предмету.
Воспитательная цель: формирование умений работать в сфере ИКТ, продолжить воспитание ответственности за коллективный результат труда.
Целевая аудитория: 8,9 класс.
Межпредметные связи: физика
Формы работы на уроке: групповая работа, индивидуальная работа, исследовательская
«Сквозь время и пространство»
Примерные временные рамки подготовки и проведения урока:
1) Подготовительный период: (7 дней)
• Формирование групп, сообщение заданий для каждой группы. (1 день)
• сбор материала, подготовка наглядных пособий, консультации (2-4 день)
• сдача всего реквизита учащимися, тематическое оформление кабинета (7 день)
Ход урока
1. Для закрепления темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.
Продолжите предложения:
1) Трапеция – это четырёхугольник…

Рисунок 1
2) Средняя линия треугольника – это…

Рисунок 2
3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.

Рисунок 3
4) Средняя линия треугольника обладает свойством …

Рисунок 4
Вспомним, как долго и трудно мы доказывали эту терему! Сейчас ученики 9 класса покажут очень быстрое и красивое доказательство этой теоремы.
Докажем: теорему о средней линии реугольника векторным способом.
Дано: АВС
MN — средняя линия треугольника
Доказать: MN=1/2 АС
Доказательство:
+

Ч.Т.Д.
2. Вспомним понятие средней линии трапеции:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Рисунок 6
1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).
2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).
3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции?
Попробуем доказать это свойство.
3. Доказательство теоремы.

Рисунок 7
Доказательство
1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).

Рисунок 8
2) Далее: Δ EMA = Δ CMB, т. к.
а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)
Следовательно, EM=MC и EA=BC.

Рисунок 9
3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству
a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).
Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.
Повторяем план доказательства:
1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.
2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.
3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника
4. Где уже встречалось выражение «полусумма оснований трапеции»?
1) В формуле Sтр=h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (Sтр=MN*h, где MN – средняя линия трапеции).
2) В свойстве равнобедренной трапеции: B1D = (a+b)/2.

Рисунок 10
Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.
А теперь покажем доказательство этой теоремы векторным способом:
Дано: АВСД — трапеция
MN- средняя линия трапеции
Доказать: MN=1/2(AD+BC)
Доказательство:
+

Ч.Т.Д.
5.
1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)(Слайд)

Рисунок 11
ИКТ тест, составленная на етстовой облочке
2) Выполнить письменно на доске
6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)
№1 («3») В трапеции одно основание больше другого в 1,5 раза, а средняя линия равна 5 см. Найти основания трапеции.
(Решение: Рисунок 11)

Рисунок 12
№ 2 («4») В прямоугольной трапеции тупой угол равен 1200, большая боковая сторона равна 20 см., а средняя линия равна 14 см. Найти площадь трапеции.
(Решение: Рисунок 13)

Рисунок 13
№ 3 («5») В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.
(Решение: Рисунок 14)

Рисунок 14
(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).
7. Задание на дом
№ 79, 81

Презентация на тему средняя линия трапеции. Теорема о средней линии трапеции

Тема «Средняя линия трапеции» относится к одной из важных тем курса геометрии. Данная фигура довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные этой темы часто встречаются в итоговых контрольных и аттестационных работах. Знание по данной теме могут также пригодиться при обучении в средних и высших заведениях.

Хотя и в теме заявлена фигура трапеция, но рассмотрение данной темы может проходить в период изучения темы «Векторы» и «Применение векторов при решении задач». Это можно понять, глядя на слайд презентации.

Автор здесь определяет среднюю линию, как отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Более того, здесь же отмечено, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме. Вот именно в ходе доказательства этого утверждения и пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов по чертежу, который показан, как иллюстрация условия, получаются равенства. Эти равенства имеют одинаковую левую часть, и она является средней линией трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, получаются большое выражение в правой части равенства.

слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)

Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях получается сложение противоположных векторов, дающих в результате нуль. Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащий основания. Разделив это равенство на 2, получается, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основания. Теперь идет сравнение векторов. Получается, что все эти векторы одинаково направленные. Это значит, что знаки векторов можно смело опускать. И тогда получается, что сама средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Презентация содержит единственный слайд, который несет в себе большое количество информации. Здесь дано определение средней линии трапеции, а также указано ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Так здесь доказана теорема с использованием знаний понятия векторов и действий над ними.

Учитель может данную презентацию дополнить своими примерами и задачами, но все, что требуется для среднего уровня знаний по данному предмету здесь опубликовано. Более того, так автор оставил возможность учителю пофантазировать, доработать то, что ему самому захочется для того,чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке. Не стоит забывать и про сам настрой на урок. Тогда с помощью данной презентации точно можно добиться желаемого результата.

«Урок площадь трапеции» — В прямоугольной трапеции основания 5см. и 17см., а меньшая боковая сторона 10см. Учитель подводит итоги, задавая вопросы: Кто получил 5, 4, 3 балла? В каждом случае формулируют теорему, которую доказали. Решение поставленной задачи. Как вычислить площадь трапеции? Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?

«Задачи на теорему Пифагора» — №21 Найти: Х. №18 Найти: Х. №27 Найти: Х. Задачи на готовых чертежах («Теорема Пифагора»). №23 Найти: Х. №25 Найти: Х. №26 Найти: Х. №13 Найти: Х. №20 Найти: Х. №19 Найти: Х. №14 Найти: Х. Вы справились со всеми предложенными заданиями. №29 Найти: Х. №28 Найти: Х. №30 Найти: Х. №22 Найти: Х.

«Теорема Фалеса» — Фалес широко известен как геометр. Астрономия. Милетский материалист. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Из равенства треугольников следует равенство сторон В1В2=В2В3. Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Треугольники В2В1F и В2В1Е равны по второму признаку равенства треугольников.

«Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Решение: Устная работа: Ответы к задачам по чертежам: Проверка домашнего задания. Тема урока: Теорема синусов. Теорема синусов:

«Урок теорема Пифагора» — Определить вид треугольника: Знакомства с теоремой. Доказательство теоремы. Разминка. Теорема Пифагора. И обрете лестницу долготою 125стоп. План урока: Исторический экскурс. Показ картинок. Решение простейших задач. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Определить вид четырехугольника KMNP.

«Теорема Пифагора 8 класс» — ФИГУРЫ. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник a,b катеты с- гипотенуза. Высота. Доказательство Бхаскари. Открытия пифагорийцев в математике. Дано: Прямоугольный треугольник, a, b – катеты, с — гипотенуза Доказать: c2 = a2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com


Подписи к слайдам:

Средняя линия (8 класс)

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника. Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т.е.: КМ ║ АС КМ = ½ АС A B C K M

Решить задачу устно: A B C K M 7 см Дано: M К – сред. линия Найти: АС?

Работа в парах:

Решим задачу: Дано: MN – сред. линия Найти: P ∆ АВС M N A B C 3 4 3, 5

Работа в парах:

Средняя линия трапеции

Вспомним: Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD – боковые стороны

Средняя линия трапеции. Определение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. A D B C M N MN – средняя линия трапеции ABCD

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. т.е.: М N ║ВС║А D М N = ½ (ВС+А D) M N A D B C

Решить устно: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?

Решить устно в парах: Дано: AB = 16 см; CD = 1 8 см; М N = 15 см Найти: P ABCD = ? M N A D B C

Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см. Найти основания трапеции, если известно, что нижнее основание больше верхнего основания в 1,5 раз. Решение: A D B C 5 см Пусть BC = Х см тогда AD = 1.5X см BC+AD = 10 см X + 1.5X = 10 X = 4 Значит: BC = 4 см AD = 6 см

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Презентация разработана учителем математики ГБОУ СОШ №467 Г. Санкт-Петербурга, Колпинского района Лугвиной Натальей Анатольевной


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок обобщения и закрепления знаний по теме «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции» в 8 классе с использованием ИКТ….

Рабочая тетрадь — это индивидуальное творческое задание ученика. которое предполагает самостоятельную работу с текстом по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции», применение знаний при решении задач.

краткое содержание других презентаций

«Построение правильных многоугольников» — ?=60?. ·180?. Геометрия. ?=. n. n — 2. Работу выполнила учитель математики МОУ «Гимназия №11» Лисицына Е.Ф.

«Теорема Фалеса» — Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Астрономия. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Презентация по геометрии Ученицы 9 «А» класса Сорогиной Полины. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Фалес широко известен как геометр. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е.

«Разложение вектора по двум неколлинеарным» — Пусть р коллинеарен b . Доказательство: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Доказательство: Пусть а и b — неколлинеарные векторы. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а? 0, то существует такое число k, что b = ka. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Геометрия 9 класс. Тогда р = уb , где у – некоторое число.

«Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Построение правильного пятиугольника 1 способ. МОУ гимназия №56 г.Томск-2007. Правильные многоугольники.

«Симметрия фигур» — Прямая а называется осью симметрии фигуры. D. Одна фигура получена из другой преобразованием. Оглавление. Преобразование, обратное движению, также является движением. А1. Выполнил:Пантюков Е. А. Существует множество различных видов симметрии. М1. Преобразование фигур.

«Симметрия относительно прямой» — Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Симметрия в природе. Савченко Миша, 9В класс. Угол. Кто же изображен на фотографии оригинале? Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ относительно прямой. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Прямоугольник.

Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. АК = КС ВЕ = СЕ КЕ – средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых её сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЕ = СЕ НЕ – средняя линия АВСК А В С К Е Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий в трапеции?

Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: АВС, МК – средняя линия Доказательство: Т. к. по условию МК – средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС, Значит, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В – общий для АВС и МВК, значит, АВС и МВК подобны по второму признаку подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС. Доказать: МК АС, МК = ½ АС МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, т. е. МК = ½ АС.

Реши задачу F R N ? А В




Доказательство: Проведём А 1 В 1 А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, ВВ 1 – медианы значит, ВА 1 = СА 1, АВ 1 = СВ 1, т. е. А 1 В 1 – средняя линия. Значит, А 1 В 1 АВ, поэтому 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны: АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 По свойству средней линии треугольника АВ = 2 А 1 В 1, т. е. АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1О 2 1 Получим: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1

Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК – трапеция МР – средняя линия Доказать: МР АК, МР ВС МР = Доказательство: О Проведём через точку М прямую МЕ АК, докажем, что МЕ пройдёт через Р. Т. к. АВСК – трапеция, то ВС АК, а, значит, ВС МЕ АК Т. к. МР – средняя линия, то АМ= МВ, КР = СР Е Следовательно, МР лежит на МЕ, значит, МР АК, МР ВС. Проведём ВК. По теореме Фалеса О – середина ВК, значит, МО – средняя линия АВК, ОР – средняя линия ВСК МР = МО + ОР = ½ АК + ½ ВС = ½ (АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересечёт СК в середине СК, т. е. в точке Р.

Вторая средняя линия трапеции презентация. Средняя линия трапеции

Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. АК = КС ВЕ = СЕ КЕ – средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых её сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЕ = СЕ НЕ – средняя линия АВСК А В С К Е Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий в трапеции?

Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: АВС, МК – средняя линия Доказательство: Т. к. по условию МК – средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС, Значит, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В – общий для АВС и МВК, значит, АВС и МВК подобны по второму признаку подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС. Доказать: МК АС, МК = ½ АС МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, т. е. МК = ½ АС.

Реши задачу F R N ? А В




Доказательство: Проведём А 1 В 1 А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, ВВ 1 – медианы значит, ВА 1 = СА 1, АВ 1 = СВ 1, т. е. А 1 В 1 – средняя линия. Значит, А 1 В 1 АВ, поэтому 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны: АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 По свойству средней линии треугольника АВ = 2 А 1 В 1, т. е. АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1О 2 1 Получим: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1

Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК – трапеция МР – средняя линия Доказать: МР АК, МР ВС МР = Доказательство: О Проведём через точку М прямую МЕ АК, докажем, что МЕ пройдёт через Р. Т. к. АВСК – трапеция, то ВС АК, а, значит, ВС МЕ АК Т. к. МР – средняя линия, то АМ= МВ, КР = СР Е Следовательно, МР лежит на МЕ, значит, МР АК, МР ВС. Проведём ВК. По теореме Фалеса О – середина ВК, значит, МО – средняя линия АВК, ОР – средняя линия ВСК МР = МО + ОР = ½ АК + ½ ВС = ½ (АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересечёт СК в середине СК, т. е. в точке Р.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Средняя линия (8 класс)

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника. Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т.е.: КМ ║ АС КМ = ½ АС A B C K M

Решить задачу устно: A B C K M 7 см Дано: M К – сред. линия Найти: АС?

Работа в парах:

Решим задачу: Дано: MN – сред. линия Найти: P ∆ АВС M N A B C 3 4 3, 5

Работа в парах:

Средняя линия трапеции

Вспомним: Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD – боковые стороны

Средняя линия трапеции. Определение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. A D B C M N MN – средняя линия трапеции ABCD

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. т.е.: М N ║ВС║А D М N = ½ (ВС+А D) M N A D B C

Решить устно: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?

Решить устно в парах: Дано: AB = 16 см; CD = 1 8 см; М N = 15 см Найти: P ABCD = ? M N A D B C

Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см. Найти основания трапеции, если известно, что нижнее основание больше верхнего основания в 1,5 раз. Решение: A D B C 5 см Пусть BC = Х см тогда AD = 1.5X см BC+AD = 10 см X + 1.5X = 10 X = 4 Значит: BC = 4 см AD = 6 см

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Презентация разработана учителем математики ГБОУ СОШ №467 Г. Санкт-Петербурга, Колпинского района Лугвиной Натальей Анатольевной


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок обобщения и закрепления знаний по теме «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции» в 8 классе с использованием ИКТ.

Рабочая тетрадь — это индивидуальное творческое задание ученика. которое предполагает самостоятельную работу с текстом по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции», применение знаний при решении задач. …

краткое содержание других презентаций

«Построение правильных многоугольников» — ?=60?. ·180?. Геометрия. ?=. n. n — 2. Работу выполнила учитель математики МОУ «Гимназия №11» Лисицына Е.Ф.

«Теорема Фалеса» — Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Астрономия. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Презентация по геометрии Ученицы 9 «А» класса Сорогиной Полины. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Фалес широко известен как геометр. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е.

«Разложение вектора по двум неколлинеарным» — Пусть р коллинеарен b . Доказательство: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Доказательство: Пусть а и b — неколлинеарные векторы. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а? 0, то существует такое число k, что b = ka. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Геометрия 9 класс. Тогда р = уb , где у – некоторое число.

«Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Построение правильного пятиугольника 1 способ. МОУ гимназия №56 г.Томск-2007. Правильные многоугольники.

«Симметрия фигур» — Прямая а называется осью симметрии фигуры. D. Одна фигура получена из другой преобразованием. Оглавление. Преобразование, обратное движению, также является движением. А1. Выполнил:Пантюков Е. А. Существует множество различных видов симметрии. М1. Преобразование фигур.

«Симметрия относительно прямой» — Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Симметрия в природе. Савченко Миша, 9В класс. Угол. Кто же изображен на фотографии оригинале? Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ относительно прямой. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Прямоугольник.

«Урок площадь трапеции» — В прямоугольной трапеции основания 5см. и 17см., а меньшая боковая сторона 10см. Учитель подводит итоги, задавая вопросы: Кто получил 5, 4, 3 балла? В каждом случае формулируют теорему, которую доказали. Решение поставленной задачи. Как вычислить площадь трапеции? Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?

«Задачи на теорему Пифагора» — №21 Найти: Х. №18 Найти: Х. №27 Найти: Х. Задачи на готовых чертежах («Теорема Пифагора»). №23 Найти: Х. №25 Найти: Х. №26 Найти: Х. №13 Найти: Х. №20 Найти: Х. №19 Найти: Х. №14 Найти: Х. Вы справились со всеми предложенными заданиями. №29 Найти: Х. №28 Найти: Х. №30 Найти: Х. №22 Найти: Х.

«Теорема Фалеса» — Фалес широко известен как геометр. Астрономия. Милетский материалист. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Из равенства треугольников следует равенство сторон В1В2=В2В3. Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Треугольники В2В1F и В2В1Е равны по второму признаку равенства треугольников.

«Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Решение: Устная работа: Ответы к задачам по чертежам: Проверка домашнего задания. Тема урока: Теорема синусов. Теорема синусов:

«Урок теорема Пифагора» — Определить вид треугольника: Знакомства с теоремой. Доказательство теоремы. Разминка. Теорема Пифагора. И обрете лестницу долготою 125стоп. План урока: Исторический экскурс. Показ картинок. Решение простейших задач. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Определить вид четырехугольника KMNP.

«Теорема Пифагора 8 класс» — ФИГУРЫ. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник a,b катеты с- гипотенуза. Высота. Доказательство Бхаскари. Открытия пифагорийцев в математике. Дано: Прямоугольный треугольник, a, b – катеты, с — гипотенуза Доказать: c2 = a2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.

Тема «Средняя линия трапеции» относится к одной из важных тем курса геометрии. Данная фигура довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные этой темы часто встречаются в итоговых контрольных и аттестационных работах. Знание по данной теме могут также пригодиться при обучении в средних и высших заведениях.

Хотя и в теме заявлена фигура трапеция, но рассмотрение данной темы может проходить в период изучения темы «Векторы» и «Применение векторов при решении задач». Это можно понять, глядя на слайд презентации.

Автор здесь определяет среднюю линию, как отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Более того, здесь же отмечено, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме. Вот именно в ходе доказательства этого утверждения и пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов по чертежу, который показан, как иллюстрация условия, получаются равенства. Эти равенства имеют одинаковую левую часть, и она является средней линией трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, получаются большое выражение в правой части равенства.

слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)

Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях получается сложение противоположных векторов, дающих в результате нуль. Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащий основания. Разделив это равенство на 2, получается, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основания. Теперь идет сравнение векторов. Получается, что все эти векторы одинаково направленные. Это значит, что знаки векторов можно смело опускать. И тогда получается, что сама средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Презентация содержит единственный слайд, который несет в себе большое количество информации. Здесь дано определение средней линии трапеции, а также указано ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Так здесь доказана теорема с использованием знаний понятия векторов и действий над ними.

Учитель может данную презентацию дополнить своими примерами и задачами, но все, что требуется для среднего уровня знаний по данному предмету здесь опубликовано. Более того, так автор оставил возможность учителю пофантазировать, доработать то, что ему самому захочется для того,чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке. Не стоит забывать и про сам настрой на урок. Тогда с помощью данной презентации точно можно добиться желаемого результата.

Исследовательская работа по математике «Вторая средняя линия трапеции»

Министерство образования Республики Башкортостан

Муниципальное казенное учреждение Управление образования Администрации муниципального района Белебеевский район Республики Башкортостан

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Усень-Ивановское муниципального района Белебеевский район Республики Башкортостан

452033

Республика Башкортостан

Белебеевский район

с.Усень-Ивановское

ул. Комсомольская, д.70

т. 2-73-15

МАОУ СОШ

с.Усень-Ивановское

«Интеллект будущего»

Секция: «математика»

«Нужно ли изучать вторую среднюю линию трапеции?»

Автор: Подтеребкова Виктория

ученица 11 класса,

Научный руководитель:

Булатова Флюра Минниахметовна,

учитель математики,

МАОУ СОШ с.Усень-Ивановское.

Белебей

Оглавление

1. Введение 3 стр.

2. Основная часть

2.1 Определение второй средней линия трапеции 4 стр.

2.2 Свойства второй средней линии трапеции 5 стр.

2.3 Задачи ОГЭ и ЕГЭ 8 стр.

2.4 Задачи составленные мною 9 стр

3. Заключение 12 стр.

4. Список литературы 13 стр.

Введение.

На консультации по математике решая вариант ЕГЭ я столкнулась с геометрической задачей, которую не могла решить. За помощью обратилась учительнице. Она мне напомнила урок геометрии в 9 классе, когда изучая, тему средняя линия трапеции задали вопрос: а почему у трапеции только отрезок соединяющая середины боковых сторон называется средней линией трапеции, ведь можно так же соединить середины основании трапеции (по аналогии определения средней линии треугольника). Наша учительница сказала, что существует вторая средняя линия трапеции, но данная тема не изучается в школьном курсе. Но если знать свойства второй средней линии трапеции данная задача ЕГЭ решается очень просто.

Я заинтересовалась, а что же такое вторая средняя линия трапеции? После окончания школы я собираюсь поступать в ВУЗ, значит, мои знания должны быть шире школьной программы. Чтобы расширить свои знания по теме трапеция я в интернете, в журналах и в книгах по математике стала искать информацию о второй средней линии трапеции.

Цель работы: исследовать вторую среднюю линию трапеции.

Задачи:

  • Собрать информацию о второй средней линии трапеции.

  • Изучить свойства второй средней линии трапеции.

  • Решить задачи, имеющиеся в литературе, КИМах ОГЭ и ЕГЭ.

  • Составить и решить свои собственные задачи

  • Проанализировать каталог заданий ОГЭ и ЕГЭ

Актуальность темы: все больше и больше геометрических задач встречается в КИМах ОГЭ и ЕГЭ по математике в 9 и 11 классах, материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам.

Много интересного я нашла в статье «Вторая средняя линия трапеции» в журнале «Математика в школе» № 2, 1993. Автор статьи Кушнир И.А.

2.1 Основная часть

2.1 Определение второй средней линия трапеции.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Если же соединить отрезком середины оснований, получится вторая средняя линия трапеции. Итак, вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

В Е С



А К D

ЕК – вторая средняя линия трапеции АВСD

Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. А есть ли связь между второй средней линией трапеции и её боковыми сторонами? Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон, в чём можно убедиться, хотя бы растяжением одного из оснований:

рис.1 В Е С



N А К D M

сумма боковых сторон трапеции изменилась, а длина KS осталась прежней. И всё же связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть. Воспользуемся векторным способом:

в трапеции АВСD (рис. 1) ВС || АD, EK – вторая средняя линия.


EK = EB + BA +AК, с другой стороны, ЕK = ЕC + CD + DК. Сложив оба равенства, получим:

2ЕK = (ЕB + ЕC) + (BA + CD)+ (AК + DК)=0+(ВА+СD) + 0 = ВА + СD, т.е.

EK = (BA + CD)

Сделаем вывод: вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).

Это утверждение можно доказать и вторым способом:

рис.2 О

В Е С В трапеции АВСD (ВС || АD) КS – вторая

средняя линия, О – произвольная точка

По формуле для середины отрезка:

А К D ОЕ = (ОВ + ОС), OК = (OA + OD)

ЕК = OК – OЕ = ((OA – OB) + (OD – OC)), ЕK = (BA + CD)

При изучении данной темы, я узнала некоторые свойства средних линии трапеции.

2.2 Свойства средних линии трапеции.

1. Средние линии трапеции пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

рис.3 Дано: АВСД- трапеция

ЕК, MN— средние линии

Доказать: MO=ON

B Е C Доказательство: рассмотрим

В Е С ВСD и ABD: KN —

M N средняя линия BCD

О EN || BD и EN=1/2 BD.

А К D MK – средняя линия ABD, MK || BD, MK=1/2BD. Аналогично, МE || АС, ME=1/2AC, NK || AC, NK=1/2AC. Таким образом, MENK – параллелограмм, (противоположные стороны четырехугольника параллельны) MN и EK – его диагонали, следовательно, KO = OE, MO = ON.

2. Если средние линии трапеции равны, то диагонали трапеции перпендикулярны.

рис.4 В Е С Дано: АВСD- трапеция

EK, MN- средние линии, ЕК=MN

M N АС, BD-диагонали

Доказать: AC┴BD

A K D Доказательство:

МЕNK – параллелограмм (МЕ║АС, КN║AC, EN║BD, MK║BD), по условию MN=EK. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник, ENME, т.к. EN||BD, ME||AC, то BDAC

Утверждение доказано.

Обратное утверждение: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии этой трапеции равны.

В Е С Дано: АВСD- трапеция

EK, MN- средние линии

M N АС, BD- диагонали, AC┴BD

Доказать: ЕК=MN

A K D Доказательство:

ACBD, MEEN, MККN MENК – прямоугольник EК=MN

Применяя данное утверждение можно решить задачу ЕГЭ профильного уровня.

3. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.

рис.5 B Е C Дано: АВСД — трапеция

О АС, ВД – диагонали, АС ՌВD=O

Е€ ВС, ВЕ = ЕС, EOՌAD=К

А К D Доказать: AК = КD

Доказательство: как накрест лежащие при ВС || AD и секущей BD. < ВОЕ=<КОD как вертикальные. ▲BOE∞ ▲KOD, аналогично, ▲EOC∞AOK. BE/KD=OE/OK, EC/AK=OE/OK.

Из этих равенств следует, что BE/KD=EC/AK, а т.к. BE = EC (по условию), то AK = KD . Значит, ЕК – вторая средняя линия трапеции и она проходит через точку пересечения диагоналей.

4. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.

рис.6 О Дано: АВСD-трапеция

ЕК- вторая средняя линия

Доказать: АВՌЕКՌСD=О

B Е C Доказательство:

Рассмотрим ▲ВОС и ▲AOD.

Они подобны по двум углам (<В=<А, <С=<D)

A К D ОА/ОВ=ОD/OC=k

ODOC, OBOA, OA =k ·OB, OD = k ·OC.

По формуле середины отрезка:

OE = (ОВ+ОС), OK = (OA+OD), OK = (k ·OB + k ·OC)= k (OB+ OC)= = k ·OE OE коллинеарен OK, ОEK.

Обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она является второй средней линией трапеции.

Дано: трапеция- ABCD, АВՌDC=O, OК- прямая, К€АD, AK=KD.

Доказать: ВЕ = ЕС

Доказательство: (по рис.6)

∆ЕOC ~ ∆КOD КD/EC=OK/OE

∆ВОE ~ ∆AOK AK/BE=OK/OE , т.к. АK = KD(по условию), то EС = ВE.

4. В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны.

рис.7

В Е С Дано: ABCD — трапеция, АВ = CD,

MN, ЕK – средние линии

МN Доказать: MNЕK.

Доказательство:

А К D MЕ – средняя линия ∆АВС, МЕ||АС, МЕ=АС

NК – средняя линия ∆ADC, NК||AC, NК =АС. Если противоположные стороны четырехугольника MЕNК равны и параллельны, то по признаку MЕNК – параллелограмм Т.к. трапеция ABCD – равнобедренная, то AC = BD,

MЕ = АС, ЕN = BD, MЕ = ЕN, MЕNК — ромб

По свойству ромба, диагонали MNЕK.

Обратное утверждение: если средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобедренная.

Доказательство (по рис.7) :

По теореме о средней линии трапеции MN||BC, MN||AD

По условию MNЕK, BCЕK, ADЕK

BЕ=ЕC, AК=КD, ЕK- ось симметрии трапеции ABCD,

AB и CD симметричны относительно ЕK, AB=CD.

Из этого свойства, следует следующее:

5. В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям ( доказательство аналогичное)

2.3 Задачи по теме средние линии трапеции

Приведу вашему вниманию задачи по теме вторая средняя линия трапеции .

ЕГЭ № 27844 В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию. (чертеж дан)

В Е С

A K D Если диагонали перпендикулярны, то средние линии трапеции равны, и в вторая средняя линия перпендикулярна основаниям. Следовательно, средняя линия равна 12. Ответ: 12.

Задача ОГЭ:

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 10 см.

Sравн.трапеции=h2 если d1 d2, высота трапеции будет равна средней линии трапеции. Ответ: 100см2.

В учебнике «Геометрия 7-9 » (автор Л.С.Атанасян) имеется задача №820, в разделе задачи повышенной трудности в главе V.

Решим еще несколько задач.

№1. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.

B E C

рис.9 Дано: ABCD – трапеция,

EF – вторая средняя линия.

Доказать:

A F D

Доказательство. Соединив точки А и E, С и F, получим что площадь трапеции AECF, , где — угол между отрезками EF и AC. и . Значит, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции AECF, что и требовалось доказать.

№2. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции.

B E C

рис.10 N Дано: ABCD – трапеция,

EF – вторая средняя линия,

M СNEF, AMEF.

Доказать:

A F D

Доказательство: Рассмотрим треугольники AEF и ECF. , . Тогда . Т. к. , то .

№3. Как с помощью одной линейки провести в трапеции вторую среднюю линию?

Решение:

  1. Провести диагонали.

  2. Продолжить боковые стороны до их пересечения.

  3. Через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон провести прямую.

  4. Отрезок прямой, заключенный между основаниями трапеции – искомая вторая средняя линия трапеции.

№4. Можно ли построить трапецию, если известны её средние линии и угол между ними?

Решение: можно; решений будет бесконечное множество. При построении нужно воспользоваться свойством 1.

№5. (№820) Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

Решение: см. доказательство свойства 4.

№6. В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

рис.11 M Решение: AF = FD, BN = NC

º, º,

AD – гипотенуза,

B N C MF = AF = FD = AD

А F D MN = BC

FN = MF – MN

FN = AD — BC = (AD – BC)

№7. В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания равны а и в (а >в).

Решение: воспользуемся рис.11: в треугольнике AMD , значит, . Поэтому MN = , MF=.

NF = MF – MN = (a – b)/2.

Мне так же удалось составить несколько задач по данной теме.

№1.В равнобедренной трапеции АВСD MN и KЕ средние линии. Они пересекаются в точке О. Известно КО=4см, МN=16 см. Найти среднюю линию КР и отрезок МО. (8см, 8см)

№2. В равнобедренной трапеции средняя линия трапеции равна 13см, а вторая средняя линия равна 6см. Найти площадь трапеции. (13*6=78 см2).

№3. Площадь равнобедренной трапеции равна 28см2 . Вторая средняя линия равна 7см. Найти высоту трапеции. (7см).

№4. B E C Дано: ABCD – трапеция,

N EK – вторая средняя линия,

M СNEK, AMEK.EK=10, CN=5, AM=8.

А K D

Найти : SABCD

Решение: SABCD = EK*(CN+AM)= 10(5+8)= 130

№5. Верно ли утверждение: если прямая проходит через середину одного основания трапеции и точку пересечения диагоналей, то и другое основание она делит пополам?

Решение: Да, см. свойство 2.

№6 Основания трапеции равны 10 см и 6 см, вторая средняя линия – 4 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.

Решение:

B K С


M O N


A H S D

(соответственные), , КН = 2 см

см².

Заключение

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски нового — все эти требования современной жизни заставляют искать новые знания и методы, которые способны изменить решение тех или иных задач, расширить мышление. В результате проделанной работы узнала понятие второй средней линии трапеции, ее свойства. Так же доказала свойства второй средней линии, проанализировала КИМы ОГЭ и ЕГЭ, разобрала задачи, связанные с этой линией, так же составила свои задачи для закрепления свойств второй средней линии трапеции.

Выяснила, что вторая средняя линия трапеции используется в решении задач повышенной трудности. Если знать свойства, которые мы доказали, то сложные задачи решаются просто и легко. Все доказанные свойства собрала и сделала брошуру по данной теме.

Учитель при изучении темы средняя линия трапеции и площадь трапеции сможет воспользоваться брошурой , где я собрала понятие и свойства второй средней линии трапеции. Я надеюсь, что мои задачи помогут учащимся закрепить свойства второй средней линии, а мне решить планиметрические задачи ЕГЭ.

Литература

  1. Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9» Учебник для образовательных учреждений/- М., Просвещение, 2006

  2. Википедия. — ru.wikipedia.org/wiki/средняя линия

  3. И. А. Кушнир «Вторая средняя линия трапеции», журнал «Математика в школе» №2, 1993.

  4. В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин «Задачи по элементарной математике» — М., Физматгиз, 1960.

  5. Научный форум dxdy. – dxdy.ru/topic20315.html

  6. В. В. Прасолов «Задачи по планиметрии» -М.: Наука, 1986.

  7. И. Х. Сивашинский «Задачник по элементарной математике», — М., Наука, 1966.

  8. Фестиваль идей – portfolio.1september.ru/work

  9. К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», — Минск, Высшая школа, 1966.

Признаки средней линии трапеции. Средняя линия трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.


Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:


Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:


*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:


Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:


*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:


Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:


То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Средняя линия трапеции

Вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Известны два частных случая трапеции. Равнобокая трапеция, у которой боковые стороны равны. И прямоугольная трапеция, у которой один из углов прямой.

К слову, у такой трапеции будет два прямых угла.

Повторив определение трапеции, введём понятие средней линии трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Изобразим средние линии трапеций изображённых на рисунке.

Для этого сначала найдём их боковые стороны. Далее отметим точками их середины. Ну, а потом проведем средние линии.

Выполним задание. Пользуясь данными рисунков, указать пункты, в которых  является средней линией трапеции .

На первом рисунке точка М не является серединой боковой стороны AB, поэтому МN не является средней линией трапеции.

На втором рисунке точки М и N — середины сторон BC и AD, но они являются основаниями трапеции. А по определению средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Значит, в данном случае МN не является средней линией.

На третьем рисунке видим, что точки М и N — середины боковых сторон. Причём по рисунку понятно, что эта трапеция — равнобокая.

Так получаем, что МN в данном случае — средняя линия трапеции ABCD.

Посмотрев на следующий рисунок, не трудно заметить, что МN соединяет середину одного из оснований и середину одной из боковых сторон, а не середины боковых сторон. Поэтому МN не является средней линией.

На рисунке под номером 5 точки М и N середины боковых сторон АB и CD трапеции ABCD. Значит, МN — её средняя линия.

В последнем случае точки М и N не поровну делят боковые стороны трапеции, поэтому МN не является её средней линией.

Мы получили, что только на рисунках под номерами 3 и 5 изображены средние линии трапеции.

Как и средняя линия треугольника, средняя линия трапеции обладает определёнными свойствами.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

 

 

 

 

1.

 

 

2.

 

Что и требовалось доказать.

Выполним задание, где, пользуясь этой теоремой и данными рисунков, найдём длины средних линий трапеций.

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

На рисунке а известны длины оснований. Поэтому не составит никакого труда найти, что .

Перейдём к рисунку б.

Известен периметр трапеции, тогда можем записать,

 

 

 

.

В последнем случае также дан периметр трапеции и известны боковые стороны.

Записав периметр через стороны, и, подставив известные значения, можем выразить сумму оснований.

 

 

 

 

Задача. В трапеции  найти длины оснований  и , если  в два раза больше  и длина средней линии  равна .

Решение.

 

 

 

 

  

 

 

Ответ: мм,  мм.

Задача. В прямоугольной трапеции  . Найти длину средней линии , если , а угол .

Решение.

1.

2.

3.  

4.

5.

 

 

Ответ: .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с понятием средней линии трапеции. Это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

При этом мы выяснили, что средняя линия трапеции обладает следующими свойствами: она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Так же мы рассмотрели примеры применения этих знаний при решении задач.

Свойства среднего сегмента трапеции — концепция

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон трапеции. Средний отрезок трапеции параллелен набору параллельных прямых в трапеции и равен среднему значению длин оснований. Средняя часть трапеции связана со средней частью треугольника, поскольку обе их длины пропорциональны основаниям.

В трапеции, где основаниями являются две параллельные стороны, мы можем провести середину, но как нам найти середину трапеции? Ну, это похоже на нахождение середины треугольника.Первое, что мы собираемся сделать, это найти одну из наших непараллельных сторон и найти ее середину. Затем мы перейдем на другую непараллельную сторону и найдем середину этого отрезка. Затем вы собираетесь соединить 2, образуя отрезок, так что я назову этот средний отрезок х, я скажу, что он имеет длину х, есть 2 особенности этого среднего отрезка и трапеции. Во-первых, это то, что она параллельна обоим основаниям, поэтому, найдя среднюю точку и соединив ее середины, мы создали еще одну параллельную линию.
Второй ключевой момент заключается в том, что x это расстояние равно среднему значению оснований, поэтому среднее означает сложение, а затем деление на количество членов, которые у вас есть. Итак, у нас есть только 2 термина, поэтому я собираюсь сказать, что x равно a плюс b, деленное на 2. Итак, если вы пытаетесь найти одну из этих недостающих сторон, но знаете 2 из них, все, что вам нужно сделать. подставить их в эту формулу. Но чем это похоже на треугольник? Итак, мы сказали, что средняя часть треугольника x равна половине b, так какова связь между средней частью треугольника и средней частью трапеции? Хорошо, если бы мы посмотрели на эту трапецию, если бы я взял эту вершину вот здесь и тащил ее до тех пор, пока она не встретится с этой вершиной вот здесь.
Тогда я бы создал треугольник, поэтому мы могли бы назвать эту точку а, поэтому, если мы используем ту же самую формулу, где х — это среднее значение оснований, мы получим х равно половине b, но почему? Ну, как вы можете видеть, это просто точка, а точки не имеют никакого расстояния. Итак, здесь a равно 0, поэтому, если я заменю его на 0, мы получим x равно 0 плюс b, деленное на 2, а 0 плюс b равно b, деленному на 2. Такова связь между средней частью треугольника и средний сегмент трапеции.
Это то, что в трапеции мы знаем, что средний сегмент будет параллелен двум основаниям, и мы можем найти ее длину, взяв среднее значение двух оснований.

Теорема средней линии треугольника

| Блог Twisted One 151

Теорема о средней линии треугольника, также называемая теоремой о средней линии, утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и составляет половину ее длины. Это может быть тривиально доказано с помощью подобия треугольников (условие подобия SAS) и постулата соответствующих углов. Однако более интересно доказать это, используя конгруэнтность треугольников.

Пусть D и E будут серединами сторон AB и AC соответственно ∆ ABC . Продлим отрезок DE за E до точки F ​​ так, что DE = EF , и нарисуем CF .

с EF = EF , AE = EC и вертикальные углы ∠ AED и ∠ CEF и ∠ CEF .Таким образом, CF = AD = BD . Кроме того, ∠ FCE ≅∠ DAE ; но поскольку это альтернативные внутренние углы для прямых и пересеченные секущей, мы видим, что. Но тогда четырехугольник BCFD имеет пару противоположных сторон, BD и CF , которые имеют равную длину и параллельны, поэтому он является параллелограммом, и поэтому . А поскольку противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, DF = BC , и, следовательно, DE = ½ DF = ½ BC .

Мы также можем доказать аналогичную теорему: прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника, параллельная второй стороне треугольника, делит третью сторону пополам, и что отрезок этой прямой внутри треугольника вдвое короче как параллельная сторона. Как и в случае с теоремой о средней точке, тривиально доказать с помощью подобия треугольников (на этот раз условие AA) и постулата о соответствующих углах. Итак, вместо этого мы используем аналогичную конструкцию, как указано выше.

Пусть D будет серединой стороны AB ABC , а E будет точкой, где линия, проходящая через D , параллельная BC , пересекает AC 8.Проведите линию через C параллельно AB , и пусть F ​​ будет точкой пересечения с

Тогда BCFD является параллелограммом, а поскольку противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, BD = CF и BC = DF . Итак, CF = BD = AD . А так как ∠ ADE и ∠ CFE являются альтернативными внутренними углами для прямых и разрезаны секущей , они конгруэнтны.Аналогично, ∠ DAE ≅∠ CFE , и, следовательно, по условию ASA ∆ ADE ≅∆ CFE . Таким образом, AE = EC , и E является средней точкой AC . Мы также видим, что DE = EF , и поскольку DF = BC , таким образом, DE = ½ DF = ½ BC .

Используя обе эти теоремы вместе, мы можем доказать третью: что средняя линия (средний отрезок) треугольника и медиана треугольника, пересекающая его, делят друг друга пополам.

Пусть М A , м м и м C BE C BC , AC и AB , соответственно, δ ABC . Таким образом, это средняя линия ∆ ABC и медиана. Пусть P будет точкой их пересечения.

По теореме о средней линии и M B M C = ½ BC .

Это означает, что , и поэтому по нашей второй теореме выше относительно ∆ ABM A , мы видим, что P должно быть серединой , и M C P BM А .

Аналогично, наша вторая теорема, примененная к треугольнику AM A C , устанавливает, что M B P = ½ CM A . Но BM A = CM A , и поэтому M B P = M C P , а также P 9 является серединой.

Середина или медиана трапеции

Середина трапеции — это отрезок, проходящий посередине между двумя ее основаниями.Ее также называют срединной или срединной линией.

Середина или медиана трапеции

Сколько средних сегментов у трапеции?

Трапеция имеет только один средний сегмент, так как у нее только 2 параллельные стороны и 2 непараллельные стороны.

Средний сегмент делит пополам непараллельные стороны. Другими словами, средний сегмент — это середина между двумя основаниями.

Следующий отрезок поможет вам найти средний отрезок трапеции.

Формула

Основная формула для нахождения середины трапеции приведена ниже:

Как найти середину трапеции

Найдите длину середины данной трапеции.

Решение:

Как известно,
Средний отрезок (М) = ½(a + b), здесь a = 23 см, b = 14 см
∴ M = ½(23 + 14)
= 18,5 см

В трапециевидной PQRS, какова длина среднего сегмента XY.

Решение:

Как известно,
Средний отрезок (M) = ½(27 + 12), здесь a = 27 см, b = 12 см
∴ M = ½(27 + 12)
= 19,5 см

Теорема о средней линии трапеции

Теорема о середине отрезка трапеции утверждает, что линия, соединяющая середины непараллельных сторон (катетов), параллельна основаниям. Он измеряет половину суммы длин оснований.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Докажите, что прямая, соединяющая середины катетов трапеции ABCD, параллельна основаниям и половине суммы длин оснований.

Доказательство:

EF ∥AD, EF ∥BC

Доказательство:

AB ∥ CD, AE ≅ EB, DF ≅ FC
AF и BC произведены до точки P

Утверждение Причина
∠Adf ≅ ∠fcp AAS (угол-угол-сторона) постулат, альтернативные углы
∠AFD ≅ ∠CFP AAS ( Угол-угол-сторона) постулат, противоположные углы
ΔAdf ≅ Δfcp AAS постулат
EF ∥BP ∥BC EF = ½ BP EF — середина сегмента Δabp
EF = ½ (BC + CP) CP ≅ AD, постулат SS, ΔAdf ≅ ΔFCP
EF = ½ (AD + BC) AD ≅ CP , следовательно, доказал
EF ∥ad, EF ∥ BC   AD ∥BC, дано Отсюда доказано

Презентация на тему средней линии трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Тема «Средняя линия трапеции» относится к одной из важных тем курса геометрии. Эта цифра довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные по этой теме, часто встречаются в итоговых контрольно-аттестационных работах. Знания по этой теме также могут пригодиться при обучении в средних и высших учебных заведениях.

Хотя в теме заявлена ​​фигура трапеции, рассмотрение этой темы может иметь место при изучении векторов и векторов при решении задач.Это можно понять, взглянув на слайд презентации.

Здесь автор определяет среднюю линию как отрезок, соединяющий середины сторон. Причем здесь также отмечено, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме. Именно в ходе доказательства этого утверждения и пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов по рисунку, который приведен как иллюстрация условия, получаются равенства. Эти равенства имеют одну и ту же левую часть, и это средняя линия трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, мы получаем большое выражение в правой части равенства.

слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)

Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях мы получим сложение противоположных векторов, в результате чего получится ноль. Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащих основания.Разделив это равенство на 2, получается, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основание. Теперь идет сравнение векторов. Получается, что все эти векторы одинаково направлены. Это означает, что знаки векторов можно смело опускать. И тогда получается, что средняя линия самой трапеции равна половине суммы оснований.

Презентация содержит один слайд, содержащий большой объем информации.Здесь дано определение средней линии трапеции, а также указано ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Итак, здесь доказывается теорема, используя знание понятия векторов и действий над ними.

Преподаватель может дополнить эту презентацию своими примерами и заданиями, но здесь публикуется все, что требуется для среднего уровня знаний по данному предмету. Более того, автор оставил учителю возможность пофантазировать, доработать то, что хотелось бы ему самому, чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке.Не забывайте и о самом настроении на урок. Тогда с помощью этой презентации вы точно сможете добиться желаемого результата.

«Площадка для занятий трапецией» — В основании прямоугольной трапеции 5см. и 17см., а меньшая сторона 10см. Учитель подводит итоги, задавая вопросы: Кто получил 5, 4, 3 балла? В каждом случае формулируется теорема, которая и доказывается. Решение проблемы. Как рассчитать площадь трапеции? Какие элементы плоских фигур используются в формулах площади?

«Задачи к теореме Пифагора» — №21 Находка: H. № 18 Находка: H. № 27 Находка: H. Проблемы в готовых рисунках («Теорема Пифагора»). № 23 Находка: Х. № 25 Находка: Х. № 26 Находка: Х. № 13 Находка: Х. № 20 Находка: Х. № 19 Находка: Х. № 14 Находка: Х. Вы справились со всеми предложенными заданиями. №29 Находка: Х. №28 Находка: Х. №30 Находка: Х. №22 Находка: Х.

Теорема Фалеса — Фалес широко известен как геометр. Астрономия. Милетский материалист. Проведите через точку B2 прямую EF, параллельную прямой A1A3. Из равенства треугольников следует равенство сторон B1B2 = B2B3.Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Треугольники B2B1F и B2B1E равны по второму критерию равенства треугольников.

«Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Решение: Устная работа: Ответы на задания по рисунку: Проверка домашнего задания. Тема урока: Теорема синусов. Теорема синусов:

«Урок Пифагора» Теорема» — Определить форму треугольника: Знакомство с теоремой. Доказательство теоремы. Разогрев. Теорема Пифагора. И найдите лестницу длиной 125 футов. План урока: Историческая справка. Показать картинки. Решение самых простых задач. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Свидетельство. Определить тип четырехугольника КМНП.

«Теорема Пифагора 8 класс» — ЦИФРЫ. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник а, b катета с-гипотенузы. Высота. Доказательство Бхаскари.Открытия пифагорейцев в математике. Дано: Прямоугольный треугольник, а, b — катеты, с — гипотенуза Докажите: с2 = а2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.

Для использования предварительного просмотра презентаций создайте себе учетную запись Google (аккаунт) и войдите в нее: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Средняя линия (8 класс)

Средняя линия треугольник

Средняя линия треугольника. Определение: Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, называется СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т. е.: КМ ║ АС КМ = ½ АС А Б С К М

Решить задачу устно: А Б С К М 7 см Дано: М К — средний. линия Найти: AU?

Работа в парах:

Решим задачу: Дано: МН — Мед. линия Найти: P ∆ ABC M N A B C 3 4 3, 5

Работать в парах:

Средняя линия трапеции

Напомним: Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD — стороны

Средняя линия трапеции.Определение: средней линией трапеции называется линия, соединяющая середины ее сторон. A D B C M N MN — средняя линия трапеции ABCD

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. то есть: M N ║ВС║А D M N = ½ (BC + A D) M N A D B C

Решить устно: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?

Решить устно в парах: Дано: АВ = 16 см; CD = 1 8 см; М Н = 15 см. Найти: Р ABCD = ? M N A D B C

Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см.Найдите основание трапеции, если известно, что нижнее основание в 1,5 раза больше верхнего. Решение: ADBC ​​5 см Пусть BC = X см тогда AD = 1,5X см BC + AD = 10 см X + 1,5X = 10 X = 4 Следовательно: BC = 4 см AD = 6 см

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Презентация разработана учителем математики ГБОУ СОШ № 467 г. Санкт-Петербурга Колпинского района Лугвиной Натальей Анатольевной


На тему: методические разработки, презентации и конспекты

Урок обобщения и закрепления знаний по Тема «Средняя линия треугольника.Средняя линия трапеции» в 8 классе с использованием ИКТ….

Рабочая тетрадь – индивидуальное творческое задание учащегося. которое предполагает самостоятельную работу с текстом по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции», применение знаний при решении задач. …

 конспект других презентаций

«Построение правильных многоугольников» -?=60°. · 180°. Геометрия.?=.nn — 2 Работа выполнена учителем математики Московского политехнического университета «Гимназия № 1».11» Лисицына Е.Ф.

«Теорема Фалеса» — Теорема Фалеса. Имя Фалеса — геометрическая теорема. Астрономия. Проведите через точку B2 прямую EF, параллельную прямой A1A3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Презентация по геометрии ученицы 9 «А» класса Сорогиной Полины. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2 = FV2, А2А3 = В2Е. Фалес широко известен как геометр.А так как А1А2=А2А3, то FB2=B2E.

«Разложение вектора на два неколлинеарных» — Пусть p коллинеарно b. Доказательство: Разложение вектора на два неколлинеарных вектора. Доказательство. Пусть a и b неколлинеарные векторы. Лемма: Если векторы a и b коллинеарны и a? 0, то существует число k такое, что b = ka. Докажем, что любой вектор p можно разложить по векторам a и b. Геометрия 9 класс. Тогда p = yb, где y — некоторое число.

«Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Построение правильного пятиугольника 1 способ. МОУ гимназия №56, Томск-2007. Правильные многоугольники.

«Симметрия фигур» — Прямая а называется осью симметрии фигуры. D. Одна фигура получается из другой путем преобразования. Оглавление. Обратное движение также является движением. А1. Автор: Пантюков Е. А. Существует множество различных видов симметрии. М1. Преобразование фигур.

«Симметрия относительно прямая» — Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии.Симметрия в природе. Савченко Миша, 9Б класс. Угол. Кто изображен на оригинальном фото? Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Постройте отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Прямоугольник.

Определение: Средняя линия треугольника — это линия, соединяющая середины двух его сторон. АК = КС БЭ = СЕ КЭ — средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЭ = СЕ НЕ — средняя линия АБСК А Б С К Е Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий в трапеции?

Средняя линия треугольника. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. АСВМК Дано: АВС, МК — средняя линия Доказательство: Так как по условию МК средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС, Следовательно, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В — общие для АВС и МВК, значит, АВС и МВК подобны по второму критерию подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС.Докажите: МК АС, МК = ½ АС МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, то есть МК = ½ АС.

Решить задачу F R N? А б




Доказательство: Выполняем A 1 B 1 ABC A1A1 B1B1 O C1C1 По условию AA 1, BB 1 — медиана, тогда VA 1 = CA 1, AB 1 = CB 1, т. е. A 1 B 1 — середина линия. Отсюда А 1 В 1 АВ, следовательно, 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны в двух углах. Значит, их стороны пропорциональны: AO VO AB A1OA1O V1OV1O A1V1A1B1 По свойству средней линии треугольника AB = 2 A 1 B 1 , т. е. AO VO AB A1OA1O V1OV1O A1B1A1B1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1ООО 1 1 получить: С1ОС1ООООООСОО 1

Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А ВСК М Р ​​Дано: АБСК — трапеция МР — средняя линия Докажите: МР АК, МР ВС МР МР = Доказательство: О Проведите прямую МЭ АК через точку М, докажите, что МЭ проходит через R.Т. К. АВСК — трапеция, затем ВС АК, а, следовательно, ВС МЭ АК Т. к. MR — средняя линия, тогда AM = MV, KR = CP E Следовательно, MP лежит на ME, значит, MR AK, MR BC. Проведем ВК. По теореме Фалеса O — середина VK; следовательно, МО — средняя линия АВК, ОП — средняя линия ЗСК МП = МО + ОП = ½ АК + ½ ВС = ½ (АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересекает СК в середине СК, т.е. в точке R.

Теорема о средней точке — Доказательство, Обратное, Примеры

В геометрии теорема о средней точке помогает нам найти недостающие значения сторон треугольников. Он устанавливает отношение между сторонами треугольника и отрезком, проведенным из середины любых двух сторон треугольника. Теорема о средней точке утверждает, что отрезок, проведенный из середины любых двух сторон треугольника, параллелен и составляет половину длины третьей стороны треугольника.

Определение теоремы о средней точке

Теорема о средней точке утверждает, что отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине третьей стороны.Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC. Пусть D и E — середины отрезков AB и AC соответственно. Предположим, что вы соединяете D с E. Теорема о средней точке говорит, что DE будет параллелен BC и равен ровно половине BC. Посмотрите на изображение, приведенное ниже, чтобы понять теорему о средней точке треугольника.

Доказательство теоремы о средней точке

Теперь сформулируем и докажем теорему о средней точке. Прямая линия, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, считается параллельной и составляет половину длины третьей стороны. Рассмотрим треугольник ABC, как показано на рисунке ниже. Пусть E и D — середины сторон AC и AB соответственно. Тогда говорят, что прямая DE параллельна стороне BC, тогда как сторона DE составляет половину стороны BC, т.е.

Германия ||

г. до н.э.

ДЭ = 1/2 × ВС

Это утверждение теоремы о средней точке. Теперь давайте посмотрим на его доказательство.

Дано: D и E — середины сторон AB и AC треугольника ΔABC соответственно.

Построение: В ΔABC, через C, провести линию, параллельную BA, и продолжить DE так, чтобы она пересекалась с этой параллельной линией в точке F, как показано ниже:

Доказательство: Сравните ΔAED с ΔCEF:

  1. AE = EC (E — середина AC)
  2. ∠DAE = ∠FCE (альтернативные внутренние углы)
  3. ∠DEA = ∠FEC (вертикально противоположные углы)

По критерию ASA два треугольника равны.Таким образом, DE = EF и AD = CF. Но AD также равно BD, а это означает, что BD = CF (также BD || CF по нашей конструкции). Отсюда следует, что BCFD является параллелограммом. Таким образом,

ДФ || БК ⇒ DE ||

г. до н.э.

и, DF = BC

⇒ DE + EF =

до н.э.

⇒ 2DE = BC (так как DE = EF, доказано выше)

⇒ DE = 1/2 × BC

Это завершает наше доказательство. Будет ли справедливо утверждение, обратное теореме о средней точке? Да, будет, и далее будет представлено доказательство обратного.

Обратная теорема о средней точке

Обратная теорема о средней точке утверждает, что прямая, проведенная через середину одной стороны треугольника, параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам.Рассмотрим треугольник ABC, и пусть D будет серединой треугольника AB. Линия, проходящая через D параллельно BC, пересекает AC в точке E, как показано ниже. Теперь предположим, что E не является серединой AC. Пусть F — середина АС. Соедините D с F, как показано ниже:

По теореме о средней точке DF || ДО Н. Э. Но у нас также есть DE || ДО Н.Э. Этого не может быть, потому что через данную точку (в данном случае D) к данной прямой (в данном случае BC) можно провести ровно одну параллель. Таким образом, E должна быть серединой AC. Это завершает доказательство обратной теоремы о средней точке.

Формула теоремы о средней точке

В математике у нас также есть формула теоремы о средней точке, которая находит применение в координатной геометрии. Это также может быть известно как теорема о средней точке отрезка. Он утверждает, что если у нас есть отрезок, координаты концов которого заданы как (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ), то мы можем найти координаты середины отрезка. сегмент линии, используя приведенную ниже формулу:

Пусть (x м , y м ) координаты середины отрезка.Тогда

(x м , y м ) = (\(\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}\ ))

Это известно как формула теоремы о средней точке.

Стороны, соединяющие середины треугольника

Интересным следствием теоремы о средней точке является то, что если мы соединим середины трех сторон любого треугольника, мы получим четыре (меньших) конгруэнтных треугольника, как показано на рисунке ниже:

Имеем: ΔADE ≅ ΔFED ≅ ΔBDF ≅ ΔEFC.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольник DEFB. По теореме о средней точке имеем:

  • DE = 1/2 × ВС = BF
  • Германия || БФ

Таким образом, DEFB является параллелограммом, а это означает, что ΔFED ≅ ΔBDF. Точно так же мы можем показать, что AEFD и DECF являются параллелограммами, и, следовательно, все четыре треугольника, образованные таким образом, конгруэнтны друг другу (убедитесь, что когда вы записываете отношение конгруэнтности между этими треугольниками, вы получаете правильный порядок вершин).

Похожие статьи по теореме о средней точке

Проверьте эти интересные статьи, связанные с теоремой о средней точке класса 10.

Часто задаваемые вопросы по теореме о средней точке

Что такое теорема средней точки класса 10?

Теорема о средней точке утверждает, что в любом треугольнике линия, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, параллельна половине длины третьей стороны. Он имеет множество применений в математике при вычислении сторон треугольника, нахождении координат средних точек и т. д.

Как доказать теорему о средней точке?

Чтобы доказать теорему о средней точке, мы используем правила конгруэнтности. Построим треугольник вне заданного треугольника так, чтобы он касался стороны треугольника. А затем докажем, что оно конгруэнтно любой части треугольника. Это помогает нам доказать равенство сторон, используя правила CPCTC.

Как доказать обратную теорему о средней точке?

Чтобы доказать обратную теорему о средней точке, рассмотрим треугольник ABC, и пусть D будет серединой треугольника AB.Прямая через D, параллельная ВС, пересекает АС в точке Е. Теперь предположим, что Е не является серединой АС. Пусть F — середина АС. Соедините D с F. По теореме о средней точке DF || ДО Н.Э. Но у нас также есть DE || ДО Н.Э. Этого не может быть, потому что через данную точку (в данном случае D) к данной прямой (в данном случае BC) можно провести ровно одну параллель. Таким образом, E должна быть серединой AC. Это доказательство обратной теоремы о средней точке.

Как найти теорему о средней точке?

Теорему о средней точке можно применить к любому треугольнику.Когда линия проводится между серединами любых двух сторон треугольника, она всегда параллельна половине длины третьей стороны. Эта теорема применима ко всем типам треугольников.

Что такое формулировка теоремы о средней точке?

Утверждение теоремы о средней точке состоит в том, что «Линия, проведенная между серединами любых двух сторон треугольника, параллельна половине третьей стороны треугольника». Математически это можно представить как

.

Предположим, что DE — это прямая, соединяющая середины треугольника ABC и параллельная BC.

⇒ DE || БК и ДЭ = 1/2 × БК

Где используется теорема о средней точке?

Теорема о средней точке используется для определения отношений между сторонами треугольника. Полезно найти недостающие длины сторон, доказать конгруэнтность четырех треугольников, образованных соединением середины треугольника, найти координаты и т. Д. Все это приложения теоремы о средней точке в математике.

(PDF) Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТРАПЕЦОИД И … 69

Таким образом, четыре луча FC, FD, FJ и FG образуют гармоническую четверку

.

Четыре точки W, V, U и Z на прямой GW также образуют гармоническую четверку

(как деление диагонали VW полного

четырехугольника SFRHWV на другие диагонали FH и RS).

Таким образом, четыре луча FW, FV, FU и FZ образуют гармоническую четверку

.

Мы получили две гармонические четверки, в которых три луча

одной четверки совпадают с тремя лучами другой четверки.

Следовательно, последние лучи на четверках, лучи FG и FZ, также

совпадают друг с другом. Так как точки G и Z лучей лежат на

одной и той же прямой WV, то точки G и Z совпадают.

Отсюда следует, что прямые RS и WV пересекаются в

точке G.

Теперь рассмотрим гомотетическое преобразование с центром в

точке F и коэффициент подобия .

FU

FP

=k При этом преобразовании

прямая VW преобразуется в прямую KL,

прямая VR – в перпендикуляр KM, перпендикуляр WS – в

перпендикуляр ЛН, прямая РС – на прямую МН.

Следовательно, точка G, являющаяся точкой пересечения прямых

прямых RS и WV, превратится в Т, являющуюся точкой пересечения

прямых MN и LK, и, следовательно, точка T принадлежит

прямая линия FG. КЭД.

Вывод из теоремы 3.2 (общее доказательство теоремы 3.1).

Воспользуемся понятиями проективной геометрии, где все параллельные прямые

пересекаются в некоторой бесконечно удаленной точке, и обозначим через G бесконечно удаленную точку

, в которой пересекаются основания трапеций AB и CD, все прямые

параллельны чтобы линия АВ проходила через эту точку.

ТРАПЕЦИОНАЛЬНЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР


3 Калькуляторы трапеций Прокрутите вниз для инструкций и определений Щелкните здесь, чтобы просмотреть информацию обо всех четырехугольниках. Чтобы воспользоваться калькулятором воздушных змеев, нажмите здесь. Для калькулятора параллелограмма нажмите здесь параллелограммы. Для калькулятора ромбов нажмите здесь ромбы. Для калькулятора квадрата и прямоугольника нажмите здесь квадраты.
Площадь трапеции = ((сумма оснований) ÷ 2) • высота
. Прямые BC и AD параллельны и называются основаниями.
Линии AB и DC являются непараллельными сторонами и называются ответвлениями.
Линии AC (или q ) и BD (или p ) называются диагоналями
Линия, перпендикулярная линиям AD и BC, называется высотой или высотой.
Линия, параллельная линиям AD и BC, проходит через середины линий AB и DC. и называется медианой или серединой .
Длина медианы = (Линия AD + Линия BC) ÷ 2
Трапеции имеют 2 пары смежных углов (A и B) и (B и C), которые являются дополнительными (добавить 180°).


Чтобы использовать этот калькулятор, вам нужно
длин основания и площади.
Чтобы использовать этот калькулятор, вам нужно
длины основания и высоты.
* * * * * * * * * Пример * * * * * * * * *

У трапеции основания имеют длину 30 и 55 сантиметров, а непараллельные стороны (или катетов ) равны 15 и 20 сантиметрам.
Какова площадь трапеции?

Следуя диаграмме, мы обозначим 4 стороны как:
a = 55     b = 15     c = 30     d = 20

Прежде чем мы сможем использовать формулу площади, мы сначала должны определить высоту трапеции.

(высота) 2 = (a+b-c+d) • (-a+b+c+d) • (ab-c+d) • (a+bcd) ÷ (4 • (a-c) 2 )
(высота) 2 = (55+15-30+20) • (-55+15+30+20) • (55-15-30+20) • (55+15-30-20) ÷ (4 • (55 -30) 2 )
(высота) 2 = (60) • (10) • (30) • (20) ÷ (4 • (25) 2 )
(высота) 2 = 360 000 ÷ 2 500
(высота) 2 = 144
высота = 12 см

Теперь воспользуемся формулой площади:

площадь трапеции = ((сумма оснований) ÷ 2) • высота
площадь трапеции = ((55 + 30) ÷ 2) • 12
площадь трапеции = 510 см² Чтобы узнать, как рассчитать трапецию площадь без с помощью формул, нажмите здесь.

* * * * * * * * * Трапеции * * * * * * * * *

ВСЕ ТРАПЕЦИИ имеют следующие properties:
1) ОДНА пара противоположных сторон параллельна. (BC и AD)
2) Сумма углов, присоединенных к той же стороне = 180°
    ∠ ‘A’ плюс ∠ ‘B’ = 180°
    ∠ ‘C’ плюс ∠ ‘D’ = 180°

Стоит упомянуть 4 частных случая трапеций.

Равнобедренная трапеция имеет обе ноги одинаковой длины.AB = CD
Обе диагонали равны. AC = BD
Углы нижнего основания равны. ∠ A = ∠ D
Верхние углы основания равны. ∠ B = ∠ C
Углы, прикрепленные к одному и тому же отрезку, являются дополнительными. ∠ A + ∠ B = 180°   ∠ C + ∠ D = 180°
Противоположные углы являются дополнительными. ∠ А + ∠ С = 180°   ∠ В + ∠ D = 180°

Правильная трапеция имеет два прямых угла.
Трапеция не может иметь только один прямой угол, потому что это предотвращает параллельность сторон.

Острая трапеция имеет два острых угла (A и D), расположенных с каждой стороны длинного основания (линия AD) и
имеет два тупых угла (B и C) с каждой стороны короткого основания (линия ВС).

Тупоугольная трапеция имеет два противоположных тупых угла (А и С) и два противоположных острых угла (В и D). ИЛИ (с тем же рисунком) у него есть один острый угол и один тупой угол на каждом основании : углы (B и C) и углы (A и D)


Значение по умолчанию — 5 значащих цифр, но вы можете изменить это значение. введя другое число в поле выше.

Ответы отображаются в экспоненциальном представлении, а для удобства чтения числа между .001 и 1000 будут отображаться в стандартном формате (с одинаковым количеством значащие цифры.)
Ответы должны отображаться правильно, но есть несколько браузеров, которые будут отображать никакого выхода нет. Если да, введите ноль в поле выше. Это устраняет все форматирование, но это лучше, чем отсутствие выход вообще.

Вернуться к индексу геометрии

_____________________ Вернуться на главную страницу

Авторское право © 1999 — 1728 программных систем

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск