Как найти центр равнобедренного треугольника: Центр треугольника, формулы и примеры

Содержание

Как найти центр масс треугольника формула. Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

4.Метод группировки.

Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L — длина дуги АВ , равная .

Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра

О , равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А 1

М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 — это среднее арифметическое координат вершин А 2 и А 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 — x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображён­ного на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

Площади:

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков оди­наковой длины l .

Рис.16

Координаты центров тяжести участ­ков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g — ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i — координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c x 1)/(x 2 — x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Вопросы для самопроверки

Что называется центром параллельных сил?

Как определяются координаты центра параллельных сил?

Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

Каким свойством обладает центр параллельных сил?

По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

Что называется центром тяжести тела?

Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

Что называют статическим моментом площади?

Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

Где расположен центр тяжести дуги окружности?

Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Инструкция

Начертите сам треугольник. Для этого возьмите линейку и проведите карандашом отрезок. Потом начертите ещё один отрезок, начиная от одного из концов предыдущего. Замкните фигуру, соединив две оставшиеся свободные точки отрезков. Получился треугольник. Именно его центр тяжести предстоит искать.

Возьмите линейку и измерьте длину одной из сторон. Найдите середину этой стороны и отметьте её карандашом. Проведите отрезок из противоположной к намеченной точке. Получившийся отрезок медианой.

Приступите ко второй стороне. Измерьте её длину, поделите на две равные части и проведите медиану из лежащей напротив вершины.

То же самое проделайте с третьей стороной. Обратите внимание на то, что, если вы все сделали , то медианы пересекутся в одной точке. Это и будет центр тяжести или, как его ещё называют, центр масс .

Если перед вами стоит задача, найти центр тяжести треугольника , то проведите высоту из каждой вершины фигуры. Для этого возьмите линейку с прямым углом и одной из сторон, прислоните к основанию треугольника , а вторую направьте к противолежащей вершине. То же самое проделайте с остальными сторонами. Точка пересечения будет являться центр ом тяжести . Особенность равносторонних заключается в том, что одни и те же отрезки и медианами, и высотами, и биссектрисами.

Если отрезок соединяет центр окружности, описанной около произвольного треугольника, с любой из вершин этой фигуры, то его длину можно рассчитать, найдя радиус описанной окружности (R). Если известны, например, длина одной из сторон (A) в таком треугольнике и угол (α), лежащий напротив нее, то для вычисления длины нужного вам отрезка разделите длину стороны на удвоенный синус угла: R=A/(2*sin(α)).

Видео по теме

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой одновременно. Таким образом, нужный отрезок можно построить несколькими способами.

Вам понадобится

  • — карандаш;
  • — линейка;
  • — транспортир;
  • — циркуль.

Инструкция

Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Любой угол равностороннего треугольника равен 60º. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, чтобы точка отсчета совпадала с треугольника. Одна из его сторон должна идти точно по линии измерительного прибора, другая сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60º.

Если вписан , проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Отметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.

Видео по теме

Треугольник – одна из основных геометрических фигур. И только он имеет «восхитительные» точки. К ним относится, скажем, центр тяжести – точка, на которую доводится вес каждой фигуры. Где же находится эта «восхитительная» точка и как ее обнаружить?

Вам понадобится

  • карандаш, линейка

Инструкция

1. Начертите сам треугольник. Для этого возьмите линейку и проведите карандашом отрезок. Потом начертите ещё один отрезок, начиная от одного из концов предыдущего. Замкните фигуру, объединив две оставшиеся свободные точки отрезков. Получился треугольник. Именно его центр тяжести предстоит искать.

2. Возьмите линейку и измерьте длину одной из сторон. Обнаружьте середину этой стороны и подметьте её карандашом. Проведите отрезок из противоположной вершины к обозначенной точке. Получившийся отрезок именуется медианой.

3. Приступите ко 2-й стороне. Измерьте её длину, поделите на две равные части и проведите медиану из лежащей наоборот вершины.

4. То же самое проделайте с третьей стороной. Обратите внимание на то, что, если вы все сделали верно, то медианы пересекутся в одной точке. Это и будет центр тяжести либо, как его ещё называют, центр масс треугольника.

5. Если перед вами стоит задача, обнаружить центр тяжести равностороннего треугольника, то проведите высоту из всей вершины фигуры. Для этого возьмите линейку с прямым углом и одной из сторон, прислоните к основанию треугольника, а вторую направьте к противолежащей вершине. То же самое проделайте с остальными сторонами. Точка пересечения будет являться центр ом тяжести . Специфика равносторонних треугольников заключается в том, что одни и те же отрезки являются и медианами, и высотами, и биссектрисами.

6. Центр тяжести всякого треугольника делит медианы на два отрезка. Их соотношение составляет 2:1, если глядеть от вершины. Если треугольник разместить на булавку таким образом, что центр оид окажется на её острие, то он не упадет, а будет находиться в равновесии. Также центр тяжести является той точкой, на которую доводится каждая масса, помещенная на вершинах треугольника. Проделайте данный навык и удостоверитесь в том, что эта точка недаром именуется «восхитительной».

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, как следует из его наименования. Эта специфика значительно упрощает нахождение остальных параметров треугольника , в том числе его высоты.

Вам понадобится

  • Длина стороны равностороннего треугольника

Инструкция

1. В равностороннем треугольнике все углы также равны. Угол равностороннего треугольника , отсель, равен 180/3 = 60 градусов. Видимо, что потому что все стороны и все углы такого треугольника равны, то все его высоты также будут равны.

2. В равностороннем треугольнике ABC дозволено провести, скажем, высоту AE. Потому что равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного треугольника , а AB = AC. Следственно, по свойству равнобедренного треугольника высота AE будет единовременно медианой (то есть BE = EC) треугольника ABC и биссектрисой угла BAC (то есть BAE = CAE).

3. Высота AE будет являться катетом прямоугольного треугольника BAE с гипотенузой AB. AB = a – длина стороны равностороннего треугольника . Тогда AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Следственно, для нахождения высоты равностороннего треугольника , довольно знать только длину его стороны.

4. Видимо, что если задана медиана либо биссектриса равностороннего треугольника , то она и будет являться его высотой.

Видео по теме

В произвольном треугольнике дозволено выделить несколько отрезков, длины которых доводится вычислять особенно зачастую. Эти отрезки соединяют точки, лежащие в вершинах треугольника, в серединах его сторон, в центрах вписанной и описанной окружностей, а также другие важные для геометрии треугольника точки. Некоторые варианты расчета длин таких отрезков в евклидовой геометрии приведены ниже.

Инструкция

1. Если отрезок, тот, что требуется обнаружить, соединяет всякие две вершины произвольного треугольника, то он является одной из сторон этой геометрической фигуры. Если вестимы, скажем, длины 2-х других сторон (А и B) и величина угла, тот, что они образуют (?), то длину этого отрезка (С) вы можете рассчитать, исходя из теоремы косинусов. Сложите квадраты длин сторон, отнимите от итога две длины этих же сторон, умноженных на косинус вестимого угла, а после этого обнаружьте квадратный корень из полученного значения: C=?(А?+B?-2*А*B*cos(?)).

2. Если отрезок начинается в одной из вершин треугольника, заканчивается на противолежащей стороне и перпендикулярен ей, то такой отрезок именуется высотой (h). Обнаружить его дозволено, скажем, зная площадь (S) и длину (A) той стороны, на которую опущена высота – поделите удвоенную площадь на длину стороны: h=2*S/A.

3. Если отрезок соединяет середину всякий стороны произвольного треугольника и вершину, лежащую наоборот этой стороны, то именуется данный отрезок медианой (m). Обнаружить его длину дозволено, скажем, зная длины всех сторон (A, B, C) – сложите удвоенные квадраты длин 2-х сторон, отнимите от полученного значения квадрат той стороны, на середине которой заканчивается отрезок, а после этого обнаружьте квадратный корень из четверти полученного итога: m=?((2*А?+2*B?-C?)/4).

4. Если отрезок соединяет центр вписанной в произвольный треугольник окружности и всякую из точек касания этой окружности со сторонами треугольника, то обнаружить его длину дозволено, вычислив радиус (r) вписанной окружности. Для этого, скажем, поделите площадь (S) треугольника на его периметр (P): r=S/P.

5. Если отрезок соединяет центр окружности, описанной около произвольного треугольника, с всякий из вершин этой фигуры, то его длину дозволено рассчитать, обнаружив радиус описанной окружности (R). Если вестимы, скажем, длина одной из сторон (A) в таком треугольнике и угол (?), лежащий наоборот нее, то для вычисления длины надобного вам отрезка поделите длину стороны на удвоенный синус угла: R=A/(2*sin(?)).

Видео по теме

Медиана треугольника – это отрезок, тот, что соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой единовременно. Таким образом, необходимый отрезок дозволено возвести несколькими методами.

Вам понадобится

  • – карандаш;
  • – линейка;
  • – транспортир;
  • – циркуль.

Инструкция

1. При помощи линейки и карандаша поделите сторону равностороннего треугольника напополам. Проведите отрезок, соединяющий обнаруженную точку и противоположный угол треугольника. Таким же образом отложите два следующих отрезка. Вы начертили медианы равностороннего треугольника.

2. Начертите высоту равностороннего треугольника. При помощи угольника опустите перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. Вы возвели высоту равностороннего треугольника. Она является единовременно его медианой.

3. Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Всякий угол равностороннего треугольника равен 60?. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, дабы точка отсчета совпадала с вершиной треугольника. Одна из его сторон должна идти верно по линии измерительного прибора, иная сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60?.

4. Подметьте точкой деление в 30?. Проведите луч, соединяющий обнаруженную точку и вершину треугольника. Обнаружьте точку пересечения луча со стороной треугольника. Полученный отрезок является биссектрисой равностороннего треугольника, которая и есть его медиана.

5. Если равносторонний треугольник вписан в окружность, проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Подметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.

Видео по теме

Полезный совет
Возвести биссектрису угла? равностороннего треугольника дозволено при помощи циркуля. Для этого постройте две окружности с центром в 2-х других вершинах треугольника и радиусом, равным стороне треугольника. Окружности пересекутся в 2-х точках: в вершине угла? и в точке N. Объедините эти точки между собой. Вы возвели биссектрису угла?.

Центр фигуры дозволено обнаружить несколькими методами, смотря какие данные о ней теснее знамениты. Стоит разобрать нахождение центра окружности, которая является общностью точек, располагающихся на равном расстоянии от центра, потому что эта фигура – одна из особенно распространенных.

Вам понадобится

  • – угольник;
  • – линейка.

Инструкция

1. Примитивный метод обнаружить центр окружности – согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, удостоверясь, глядя на просвет, что она сложилась верно напополам. После этого согните лист перпендикулярно первому сгибу. Так вы получите диаметры, точка пересечения которых и есть центр фигуры.

2. Безусловно, данный метод безупречен, только если окружность начерчена на бумаге, довольно тонкой, дабы дозволено было посмотреть на просвет, верно ли труден лист.

3. Возможен, рассматриваемую фигуру начертили на твердой, несгибаемой поверхности либо это отдельная деталь, которая также не поддается сгибу. Дабы обнаружить центр окружности в этом случае, вам необходима линейка.

4. Диаметр является самым длинным отрезком, соединяющим 2 точки окружности. Как вестимо, проходит он через центр, следственно задача нахождения центра окружности сводится к нахождению диаметра и его середины.

5. Наложите линейку на окружность, позже чего зафиксируйте в всякий точке фигуры нулевую отметку. Приложите линейку к окружности, получив секущую, а после этого двигайте по направлению к центру фигуры. Длина секущей будет повышаться, пока не дойдет до пиковой точки. Вы получите диаметр, а обнаружив его середину, обнаружите и центр окружности.

6. Центр описанной окружности для всякого треугольника располагается на пересечении срединных перпендикуляров. В случае, если треугольник прямоугольный, ее центр неизменно будет совпадать с серединой гипотенузы. То есть решение кроется в построении внутри окружности прямоугольного треугольника с вершинами, лежащими на окружности.

7. Трафаретом для прямого угла могут послужить школьный либо строительный угольник, линейка либо даже лист бумаги/картона. Разместите в всякую точку окружности вершину прямого угла, сделайте отметки в тех местах, где стороны угла пересекают рубеж окружности, объедините их. У вас получился диаметр – гипотенуза.

8. Таким же методом обнаружьте еще один диаметр, место пересечения 2-х таких отрезков и будет центром окружности.

Видео по теме

Обратите внимание!
В заданиях может быть указано, что нужно обнаружить центр тяжести, центр масс либо центроид. Все три наименования обозначают одно и то же.

Перед тем, как найти центр тяжести простых фигур, таких которые обладают прямоугольной, круглой, шарообразной или цилиндрической, а также квадратной формой, необходимо знать, в какой точке находится центр симметрии конкретной фигуру. Поскольку в данных случаях, центр тяжести будет совпадать с центром симметрии.

Центр тяжести однородного стержня располагается в его геометрическом центре. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара — геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Центр тяжести неоднородных тел

Чтобы найти координаты центра тяжести, как и сам центр тяжести неоднородного тела, необходимо разобраться, на каком отрезке данного тела располагается точка, в которой пересекаются все силы тяжести, действующие на фигуру, если ее переворачивать. На практике для нахождения такой точки подвешивают тело на нить, постепенно меняя точки прикрепления нити к телу. В том случае, когда тело находится в равновесии, то центр тяжести тела будет лежать на линии, которая совпадает с линией нити. В противном случае сила тяжести приводит тело в движение.

Возьмите карандаш и линейку, начертите вертикальные прямые, которые визуально будут совпадать с нитевыми направлениями (нити, закрепляемые в различных точках тела). Если форма тела достаточно сложная, то проведите несколько линий, которые будут пересекаться в одной точке. Она и станет центром тяжести для тела, над которым вы производили опыт.

Центр тяжести треугольника

Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника.

Если перед вами стоит задача, касающаяся того, как найти центр тяжести тела в форме равностороннего треугольника, то необходимо из каждой вершины провести высоту с помощью прямоугольной линейки. Центр тяжести в равностороннем треугольнике будет находиться на пересечении высот, медиан и биссектрис, поскольку одни и те же отрезки одновременно являются высотами, медианами и биссектрисами.

Координаты центра тяжести треугольника

Перед тем, как найти центр тяжести треугольника и его координаты, рассмотрим подробнее саму фигуру. Это однородная треугольная пластина, с вершинами А, В, С и соответственно, координатами: для вершины А — x1 и y1; для вершины В — x2 и y2; для вершины С — x3 и y3. При нахождении координат центра тяжести мы не будем учитывать толщину треугольной пластины. На рисунке ясно видно, что центр тяжести треугольника обозначен буквой Е – для его нахождения мы провели три медианы, на пересечении которых и поставили точку Е. Она имеет свои координаты: xE и yE.

Один конец медианы, проведенной из вершины А к отрезку В, обладает координатами x 1 , y 1 , (это точка А), а вторые координаты медианы получаем, исходя из того, что точка D (второй конец медианы) стоит посередине отрезка BC. Концы данного отрезка обладают известными нам координатами: B(x 2 , y 2) и C(x 3 , y 3). Координаты точки D обозначаем xD и yD . Исходя из следующих формул:

х=(Х1+Х2)/2; у=(У1+У2)/2

Определяем координаты середины отрезка. Получим следующий результат:

хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D *((Х2+Х3)/2 , (У2+У3)/2).

Мы знаем, какие координаты характерны для концов отрезка АД. Также нам известны координаты точки Е, то есть, центра тяжести треугольной пластины. Также мы знаем, что центр тяжести расположен посередине отрезка АД. Теперь, применяя формулы и известные нам данные, мы можем найти координаты центра тяжести.

Таким образом, можно найти координаты центра тяжести треугольника, вернее, координаты центра тяжести треугольной пластины, учитывая то, что ее толщина нам неизвестна. Они равны среднему арифметическому однородных координат вершин треугольной пластины.

10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта №7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника . Поэтому справедливо отношение

Нам известны точки .
По формулам деления отрезка в данном отношении :

Таким образом, центр тяжести треугольника:

Заключительный пункт урока:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств .

Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:

Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства .

Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .

И, наконец, для прямой составим многочлен , в который подставим координаты точки : . Таким образом, получаем третье неравенство: .

Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:

Приехали.

Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.

Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике .

Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры.

Приятных треугольных сновидений!

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Замечание.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию.

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Задача 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

 

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M,  — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AM:MC=8:9, r=16 см.

Найти:

   

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

По свойству биссектрисы треугольника:

   

OF=r.  Пусть CO=x см, тогда

   

   

   

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

   

   

   

   

   

Таким образом,

   

   

   

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Задача 2.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

 Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

CF — высота, CO:OF=5:4, AC<AB на 15 см.

Найти:

   

Решение:

1) Рассмотрим ∆ ACF — прямоугольный (так как CF — высота треугольника по условию).

Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис.

По свойству биссектрисы треугольника,

   

или

   

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда AC=5k см, AF=4k см, AB=2AF=8k см.

По условию, AC<AB на 15 см. Поэтому 8k-5k=15, 3k=15, k=5.

Следовательно, AC=BC=5∙5=25 см, AB=8∙5=40 см.

   

Ответ: 90 см.

 

Свойства равностороннего треугольника | Треугольники

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

 

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

 

 

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Если a — сторона треугольника, то

   

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

BO=R,

   

или

   

 

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

OF=r,

   

или

   

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

R=2r.

9) Площадь равностороннего треугольника равна

   

периметр —

   

Треугольник Центр тяжести — Энциклопедия по машиностроению XXL

Разбиваем сечение на три простейшие фигуры треугольник, прямоугольник и полукруг. Выбираем произвольную систему осей лг, и и определяем координаты центров тяжести составляющих фигур. У треугольника центр тяжести С1 находится на расстоянии /.г высоты от основания. Для прямоугольника положение центра тяжести Сз определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести расположен на оси симметрии на рас-4/  [c.108]
Равнобедренный треугольник. Центр тяжести равнобедренного треугольника лежит на его оси симметрии на расстоянии ус=к/3  [c.197]

Если п неограниченно увеличивать, то каждый из полученных слоев можно рассматривать как треугольник. Центры тяжести В площадей этих треугольников лежат на прямой ЕС , соединяющей верщину пирамиды Е с центром тяжести ее основания. Следовательно, на прямой E j будет лежать и центр тяжести всей пирамиды.  [c.210]

У треугольника центр тяжести находится на расстоянии Vj высоты от основания. Для прямоугольника положение центра тяжести j определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести рас-  [c.124]

В правом треугольнике центр тяжести 0 находится на расстоянии й/3 от катета BD, следовательно, расстояние его до оси Ау будет равно (а + 6/3).  [c.164]

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Эта прямая и есть первая из двух искомых прямых.  [c.273]

Круговой сектор. — Сектор, заключенный между дугой окружности и двумя радиусами ОА и ОВ, может быть разложен промежуточными радиусами на бесконечно малые равные между собою секторы. Эти элементарные секторы можно рассматривать как бесконечно узкие треугольники центр тяжести каждого из них, по предыдущему, лежит на радиусе, проведенном через середину элементарной дуги этого сектора, на расстоянии двух третей длины радиуса от центра окружности. Равные между собою массы всех элементарных треугольников, сосредоточенные в их центрах тяжести, образуют однородную дугу окружности, радиус которой равен двум третям радиуса дуги сектора. Рассматриваемый случая приводится, таким образом, к отысканию центра тяжести этой однородной дуги, т. е. к задаче, решенной в предыдущем п°.  [c.275]

Центр водоизмещения 459 — тяжести фигур—см. под названиями фигур с подрубрикой — Центр тяжести например Трапеция — Центр тяжести Треугольник — Центр тяжести Фигуры плоские — Центр тяжести Центробежные нагнетатели 59 Цепи магнитные—см. Магнитные цепи —— электрические — см. Электрические цепи Цикл Карно 51 Циклы газовых двигателей 50  [c.556]

Всякую сложную фигуру можно разбить на ряд простых фигур (например, прямоугольников или треугольников), центры тяжести которых известны. Площадь этих фигур FI, р2,  [c.23]

Примем за начало координат центр круга О и направим ось х по радиусу 0D, проведенному через середину дуги АВ. Разобьем данный сектор на п равных элементарных секторов. Вследствие малости дуг, ограничивающих эти секторы, последние можно рассматривать как равнобедренные треугольники, центры тяжести которых  [c.147]


Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2а (рис. 134). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа я, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE  [c.136]

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).  [c.157]

Периметр треугольника. Центр тяжести находится в центре круга, вписанного в треугольник 415,С вершины которого находятся в серединах сторон данного треугольника расстояние центра тяжести от стороны а  [c.150]

Площадь треугольника. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан, отсекая от каждой из них /а (считая от стороны треугольника) расстояние центра тяжести от  [c.150]

Периметр треугольника — Центр тяжести 150 Пирамиды — Момент инерции 172, 173  [c.596]

VI. Треугольник. Центр тяжести расположен в точке пересечения медиан, но может быть найден и следующим образом.  [c.60]

Треугольник. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан  [c.391]

В пределах от л = Ь/6 до х —координаты точки пересечения изо-статической линии и диагонали сечения (сжатая зона в этом случае — треугольник) центр тяжести сжатой зоны бетона описывает гиперболу  [c. 102]

Как определяют в треугольнике центр его тяжести, центры описанной и вписанной окружности  [c.63]

Д L — бесконечно малая дуга кривой центра тяжести треугольника.  [c.405]

Центр тяжести площади треугольника находится в точке пересечения его медиан.  [c.405]

Координаты центра тяжести площади треугольника можно определить по формулам  [c.405]

Траекторией центра тяжести площади производящего непрерывно изменяющегося треугольника является кривая линия ек, е к. Горизонтальная проекция ек этой линии является геометрическим местом точек одной трети (начиная от вершины прямого угла) перемещающегося горизонтального катета.  [c.405]

Точки фронтальной проекции е к траектории центра тяжести находятся на соответствующих линиях связи и на одной трети расстояния от горизонтального катета, равного одной трети высот соответствующих прямоугольных треугольников.  [c. 405]

В случае, если поверхность одинакового ската пересекают две секущие горизонтальные плоскости, то траекторией центра тяжести площади производящего прямоугольного треугольника является эвольвента горизонтальной проекции линии сужения поверхности, а линией графика F =ф(Ь) — прямая линия, параллельная оси абсцисс.  [c.406]

Построить сферу, касательную к плоскости, заданной треугольником AB (рис. 221), если центр тяжести площади треугольника является точкой касания, а радиус сферы равен половине стороны ВС.  [c.171]

Составляя расчетные зависимости, полагают, что поворот шипа происходит вокруг центра тяжести соединения — точки О, а первоначальная равномерная эпюра давлений (на чертеже показана штриховой линией) переходит в треугольную, как показано на рис. 7.4, или трапецеидальную. Кроме того, не учитывают действие силы F, перенесенной в точку О, как малое в сравнении с действием момента М. Максимально давление изменяется в плоскости действия нагрузки. При некотором значении нагрузки эпюра давления из трапеции превращается в треугольник с вершиной у края отверстия и основанием, равным 2р. Этот случай является предельным, так как дальнейшее увеличение иагрузки приводит к появлению зазора (раскрытие стыка). Учитывая принятые положения, можно написать  [c.87]

Стол стоит на трех ножках, концы которых Л, В и С образуют равносторонний треугольник со стороной а. Вес стола равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали гОО, проходящей через центр О] треугольника АВС. На столе помещен  [c.74]

Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ODE — в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е), квадрат ОВКЕ—в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.  [c.90]


Сила Р] приложена в центре тяжести прямоугольника, а Pj — в центре тяжести треугольника. Находим реакции  [c.47]

Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т. д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простых фигур. Это непосредственно следует из свойств определенного интеграла.  [c.94]

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно  [c.108]

Дан квадрат ABD , сторона которого равна а. Найти внутри него такую точку Е, чтобы она была центром тяжести площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедренный треугольник АЕВ.  [c.88]

Точка приложения С равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивносль силы больше, и совпадаег с центром тяжести площади треугольника, когорый находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии /з от основания треугольника и /3 от его вершины А, т. е. АС = 1т, I. Точку приложения равнодействующей силы можно также определить вычислив момент элементарных сосредоточенных сил qAx, например относительно точки А, и приме1гав затем теорему Вариньона о моменте равнодействующей силы.  [c.59]

Центр тяжести площади треугольника. Разобьем пл-ощадь треугольника ABD (рис. ПО) прямыми, парал-  [c.93]

Решение. Пользуясь принципо> Даламбера, присоединяем к действующим на стержень внешним силам f, Т, Х , силы инерции. Для каждого элемента стержня с массой Ат центробежная сила инерции равна Атагах, где х — расстояние элемента от оси вращения Оу. Равнодействующая этих-распределенных по линейному закону параллельных сил (см. 21) проходит через центр тяжести треугольника АВЕ, т. е. на расстоянии h=(2l/3) os а от оси Ах. Так как эта равнодействующая равна главному вектору сил инерции , то по формуле (89)  [c.352]


Как найти площадь равностороннего треугольника? Ответ на webmath.

ru

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как можно вычислить площадь равсностороннего треугольника?

Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными сторонами, она равна:

S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.

Площадь можно также найти следующим образом:

S = a*h/2, где h – это высота.

Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:

h = а² — (а/2)².

Как можно рассчитать площадь равностороннего треугольника, если известно, что площадь треугольной фигуры, отсекаемой от него средней линией, составляет 6 см. кв.?

Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.

В случае с равносторонним треугольником:

S = а²√3/4

Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее равенство:

МК = АС/2 = а/2.

В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:

Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.

В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:

а²√3/16 = 6

а² = 96/√3.

Площадь равностороннего треугольника:

S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.

Как можно вычислить площадь равностороннего треугольника при условии, что его периметр составляет 24 см.?

Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на 3:

а = 24:3 = 8 см.

Тогда площадь этой фигуры равна:

S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.

Что представляет собой формула площади равностороннего треугольника?

Обозначив одну из сторон равносторонней треугольной фигуры как а, а высоту, проведенную к ней, — как h, то формула расчета площади этой фигуры будет выглядеть так:

S=ah/2.

Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны, то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему Пифагора:

h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4

h = (а√3)/2

Тогда площадь данной фигуры равна:

S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4

Как выразить длину стороны а из формулы площади равностороннего треугольника?

Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны, используется формула:

S=a²√3/4

Перенесем 4 в правую часть равенства:

4S=a²√3.

Тогда:

a² = 4S/√3

а = √4S/√3.

Какая формула используется для вычисления площади равностороннего треугольника с длиной стороны а?

Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то его площадь рассчитывается так:

S = а²√3/4.

Каким образом можно привести доказательство теоремы о площади равностороннего треугольника?

Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как фигура является равносторонней, то АВ = АС.

Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.

Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его углов, и получим что:

ΔВАС = ΔВСD.

Площадь квадрата равна:

S = а*b.

Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.

Как вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 9 см.?

Имеется треугольник АВС с равным сторонами.

ВН = 9 см.

Площадь данной фигуры находится по формуле:

S=1/2*АС*ВН,

в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.

Предположим, что АС = 2а см. Тогда:

АН = АС/2 = ½*2а = а см.

Согласно теореме Пифагора:

АВ² = ВН²+АН².

В данном случае:

(2а)² = 9²+а²

Переносим а² в правую часть уравнения:

4а²-а² = 81

Упрощаем:

3а² = 81.

Отсюда:

а² = 81/3 = 27

а=√27=√9×3=3√3 см.

Теперь можно найти площадь:

S=1/2*9*3√3=1/2*27/√3=27√3/2=13,5√3 см.кв.

Какому числу равна площадь равностороннего треугольника с основанием длиной 6 см.?

Известна формула расчета площади треугольника:

S=1/2*h*b.

Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет собой также биссектрису и медиану.

Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:

h = √(36-9) = √27 см.

Тогда:

S = h*3 = 3√27 см.кв.

Возможно ли привести доказательство того, что площадь равностороннего треугольника равна √3*a²/4, в которой длина его стороны обозначена как а?

Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно, если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь которого равна произведению длины стороны и высоты.

Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит, что площадь одной из треугольных фигур находится так:

S = a*h /2.

Высоту можно выразить через определение синуса.

Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60 градусов (180/3).

sin(60) = V3/2.

Из определения синуса следует:

h/a = sin(60). 2√3/4?

Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:

S = 1/2*a*b*sinA,

в которой стороны треугольника обозначены как а и b, а угол, образованный ими, — как А.

Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60 градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если подставить эти значения в формулу, то получим:

S = a22√3/4.

Как найти площадь равностороннего треугольника при условии, что длина каждой его стороны составляет 12 см.?

Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:

S = √3/4*a².

В данном случае:

S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.

Согласно формуле Герона:

S = √(р(р-а)(р-a)(p-a))

Для данного треугольника:

Р = 12*3 = 36 см.

Р = р/2 = 36/2 = 18 см.

Тогда:

S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.

Как вычислить площадь правильного равностороннего треугольника, зная радиус круга R?

Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:

а = 2√3r.

Считаем площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры, равен a/√3. Следовательно, а = R√3.

В этом случае:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Известно, что площадь правильного треугольника равна 100√3 м.кв. Как вычислить его сторону?

Площадь треугольника равна:

(a²√3)/4.

В данном случае:

100√3=(a²√3)/4

Тогда:

a²√3=400√3.

Находим а:

a²√3 = 400√3

a² = 400

a = 20 см.

Чему равна площадь правильного треугольника при условии, что диаметр окружности, вписанной в него, = 10 см. ?

Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.

Известно, что:

r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.

Значит:

5 = а√3/6.

Отсюда:

а = 30/√3 = 10√3 см.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.

Чему равна площадь правильного треугольника со стороной 4 дм.?

Известно, что:

S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.

Площадь также можно найти так:

S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, зная, что длина описанной около него окружности равна 4Пи см.?

Длина окружности через радиус находится так:

L=2πR.

Значит:

R=L/2π=4π/2π=2 у.е.

Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:

a=R*√3=2√3 у.е.

Можем найти SΔ:

S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у. е.кв.

Чему равна площадь правильного треугольника и его стороны, если его высота = 14 см.?

В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что каждую из них можно обозначить как х. Тогда:

Р (периметр) = х + х + х = 3х см.

Площадь будет равна:

S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника с равными сторонами при условии, что радиус круга R?

Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.

Находим площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3. Это означает, что а = R√3.

Теперь можем высчитать площадь треугольника:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что расстояние от его центра до вершины составляет 2 м.?

Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от центра до вершины фигуры:

а=R√3=2√3

Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60 градусов (180/3).

Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:

а²sin60°/2=(2√3)²√3/2/2=6√3 м.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, если определено, что сторона имеет длину, аналогичную длине стороны ромба с диагоналями 10 см. и 12 см.?

Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь в определенной точке.

ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.

Согласно теореме Пифагора:

АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.

Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине стороны ромба:

а = √41.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника периметром 6 см.?

Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь вычисляется следующим образом:

S = a²√3/4.

Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на три:

а = 6/3 = 2 см.

Ищем площадь, подставив в равенство значение а:

S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что окружность, которая вписана в него, имеет радиус длиной 4 см.?

Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6 треугольников, формирующих его.

Какова формула вычисления площади равностороннего треугольника со стороной а?

Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то его площадь можно найти:

S = a²√3/4.

Как определить, чему равна длина стороны треугольника с равными сторонами, зная формулу, по которой вычисляется площадь равностороннего треугольника (S=√3/4 а²) и то, что она равна 9√3см²?

Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².

Выразим а²:

а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36

а = +-√36 = +- 6.

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.

Какой вид имеет формула, которая отражает зависимость площади равностороннего треугольника от длины его сторон?

Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов. Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:

S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.

Чему равна площадь равностороннего треугольника и длина его медианы, если известно, что его сторона составляет а?

Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а, то его площадь равна:

S=a²√3/4.

Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:

h=a√3/2.

Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.

Как определить площадь равностороннего треугольника со стороной, длина которой составляет 8√2 см?

В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:

h = √((8√2)²-(4√2)²)=4√6 см.

Теперь есть возможность найти площадь:

S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.

Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:

S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.

Дано два равносторонних треугольника, площадь одного из которых превышает площадь другого в три раза. Чему будет равна сторона второго равностороннего треугольника, при условии, что сторона первого из них составляет 1 см. ?

Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:

S = a²√3/4.

Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:

S₁ = 12 √3/4 = √3/4 см.кв.

Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в три раза. Тогда:

S₂ = 3√3/4.

Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.

Сторона равностороннего треугольника равна 14 см. Чему будет равна его площадь, умноженная на √3?

Формула площади для треугольника с равными сторонами:

S = а²*√3/4.

Подставляем значение а:

S = 14²*√3/4 = 49√3 см. кв.

Умножаем полученное число на √3:

49√3*√3 = 49*3 = 147 см.

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Действительно как? Вот у вас есть круг. И есть необходимость или желание узнать, где у него центр.
Самое простое- это вписать в круг квадрат или прямоугольник.
Затем провести диагонали соединяющие противоположные углы. Место пересечения этих линий и будет центром окружности, а каждая из этих линий будет являться ее диаметром. Место пересечения диаметров окружности всегда будет является ее центром.

Из этого так же следует, что гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника так же всегда является ее диаметром. И здесь, чтобы найти центр окружности достаточно найти ее середину. НУ а серелдина находится легко: из вершины треуголника (прямого угла) к основаниею (гипотенуже) проведится перпендикулярная линия. В прямоуголном треуголнике она делит основани ровно пополам. А так как гипоетнуза- это диаметр окружности, то поделеная пополам, дает два радиуса и соотвевенно центр окружности.

Но центр можно найти не только с помощью прямоугольного треугольника. Можно вписать в окружность равносторонний или равнобедренный треугольник. С первым вообще все просто, как и с прямоугольником. У него все стороны равны и  не составит труда вписать его в окружность. Здесь достаточно провести две медианы (они же высоты) из любых углов. Место их пересечения и будет центр окружности. Если их продолжить до линии окружности, то получим два пересекающихся диаметра.

Для нахождения центра круга при помощи равнобедренного треугольника необходимо произвести следующие действия. Вписать в окружность два любых равнобедренных треугольника. Форма треугольников и длина их бедер не имеют значения. После из вершин этих треугольников необходимо провести к основанию треугольника  медиану/высоту. И продолжить ее до соприкосновения с окружностью. Место пересечения этих медиан/высот  и будет центром круга. А они, как уже вы догадались, будут являться его диаметрами.

Как нетрудно увидеть, если чуть-чуть подумать, то можно вообще не чертить никаких фигур. Надо просто отложить внутри окружности две любых линии (хорды), не параллельных друг другу. Провести перпендикулярные линии через середины этих хорд к противоположной точке на окружности. И снова пересечение этих двух будет являться центром.

Так же центр окружности можно найти с помощью вписанной в круг трапеции. Используя трапеции не сложно начертить прямоугольник или прямоугольный треугольник. А уже имея их- найти центр.


Но как начертить трапецию, треугольник или даже квадрат, не имея линейки с разметкой и транспортира? Как получить прямой угол? Ведь не все люди обладают точным глазомером и твердостью руки.

Для этого достаточно иметь под рукой веревку, полоску бумаги, да просто прямую палку. С помощью любого из этих подручных средств можно отложить на окружности линию (хорду). Далее, имея постоянную длинную отрезка, соединяя любые четыре точки на окружности, можно легко получить квадрат или раностороний треугольник, соединив три точки. Ну а для верности, чтобы получить прямой угол можно применить лист бумаги, коробок спичек, симкарту, стол- любые предметы которые имеют прямой угол.

Осталось добавить, что выше перечисленные способы справедливы и в том случае, если окружность вписана в квадрат или равнобедренный треугольник или проведены касательные к окружности.

Tags: геометрия

Все формулы для треугольника

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 



 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 



Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L — высота=биссектриса=медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):



Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

 

L — высота=биссектриса=медиана

a —  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 



Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a , b — стороны треугольника

γ — угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

 

 



Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 



Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

 

H — высота треугольника

a — сторона, основание

bc — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 



 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

 

 



Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 



Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 



Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

 

 

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

 

 



Как найти центр тяжести треугольника (формула, определение и видео)

Центроид треугольника


(Как найти, определение, формула и примеры)

видео Определение медиана Как найти Средняя длина Расположение Центроида

Центроиды могут звучать как большие камни из космоса, но на самом деле они являются важными элементами треугольников. У них также есть применение в аэронавтике, поскольку они относятся к центру тяжести (ЦТ) форм.

Что вы узнаете:

Проработав этот урок и видео, вы сможете:

  • Напомним определение центроида треугольника и медианы треугольников
  • Объясните, как найти центр тяжести треугольника
  • Соотнесите центр тяжести с центром тяжести
  • Вычислить длину медиан, используя центр тяжести треугольника
  • Отметьте положение центроида, используя только одну медиану

Центроид треугольника

Каждый треугольник имеет единственную точку где-то рядом с его «серединой», которая позволяет треугольнику идеально балансировать, если треугольник сделан из жесткого материала.Центроид треугольника — это точка баланса, созданная пересечением трех медиан.

Если бы треугольник был вырезан из какого-либо однородно плотного материала, такого как прочный картон, листовой металл или фанера, центр тяжести был бы местом, где треугольник будет балансировать на кончике вашего пальца.

Медиана треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, образованный соединением одной вершины с серединой противоположной стороны, например:

[вставить △ CAT с отрезком AW, созданным от вершины A до середины W CT]

Поскольку каждый треугольник имеет три стороны и три угла, он имеет три медианы:

[вставьте тот же чертеж △ CAT со всеми тремя медианами: AW, TM и CE; средние точки пишутся «MEW» для △ написания «CAT»]

Как найти центроид

Чтобы найти центр тяжести любого треугольника, постройте отрезки от вершин внутренних углов треугольника до середины их противоположных сторон.Эти отрезки являются медианами. Их пересечение является центром тяжести.

Центроид имеет интересное свойство, помимо того, что он является точкой баланса для треугольника. Это всегда 23 пути от вершины вдоль медианы, что означает, что это также 13 пути от середины стороны. Это справедливо для любого треугольника.

Другой способ думать об этом разделении медианы состоит в том, чтобы заметить, что это отношение 2:1, где 2 всегда является частью от внутреннего угла до центра тяжести, а 1 всегда является расстоянием от центра тяжести до середины точки. сторона.

Вычисление медианных длин

Вот △CAT с медианами AW, TM и CE. Мы знаем, что центроид, точка О, находится точно в этом месте:

.
  • 23 расстояния вдоль каждой медианы от внутренних углов C, A и T
  • 13 расстояния по медиане от середины сторон CA, AT и CT

[вставить чертеж того же △CAT со всеми тремя медианами: AW, TM и CE]

Если мы знаем, что центроид находится на расстоянии 6 см от внутреннего угла C, какова длина медианы CE?

Подумайте: центроид O находится на 23 пути по медиане CE, а 23 медианы составляет 6 см.Таким образом, длина CE должна составлять 9 см.

Если мы знаем, что центроид O проходит 23 пути вдоль медианы AW и находится на расстоянии 7,5 см от внутреннего угла A, какова длина медианы AW?

Подумайте: 7,5 — это 23 какого числа?

Вы сказали 11,25 см? Мы надеемся на это, потому что это правильный ответ!

Определение местонахождения центроида

Теперь, когда вы знаете, что центроид должен находиться на расстоянии 23 медианы от внутреннего угла, вы можете найти центроид любого треугольника, используя только одну медиану!

Вот △DOG, только с одной медианой, OF, построенный путем размещения точки F ровно посередине вдоль DG. Медиана OF составляет 36 см в длину.

Поскольку вы знаете, что центр тяжести составляет 23 от расстояния вдоль OF, вы можете измерить 23 от 36 см или 24 см вдоль OF, чтобы найти центроид.

[вставить △DOG с медианой OF; середина DO — это точка W, середина OG — это точка U, а середина DG — это точка F, поэтому средние точки пишутся как WUF для △DOG]

А теперь попробуй! Предположим, вы знаете, что медиана DU составляет 18 см; как далеко вдоль этого будет центроид?

Мы надеемся, что вы сказали 12 см, потому что 12 см — это 23 от 18 см!

Сделай и найди центроид!

Вы можете научиться находить центр тяжести и доказать себе, что это действительно центр тяжести (ЦТ) треугольника, используя кусок плотного картона (например, картона для плакатов или ДСП), линейку, карандаш и ножницы.

С помощью линейки начертите любой треугольник: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. В каждом треугольнике центроид всегда находится внутри треугольника!

Измерьте и найдите середины каждой стороны треугольника. Четко обозначьте середину. Соедините три середины с их противоположными вершинами. Эти линии являются медианами.

Место пересечения медиан является центром тяжести. Аккуратно вырежьте треугольник. Держите его над указательным пальцем так, чтобы центр тяжести находился на кончике пальца.Отпустите другой рукой. Треугольник должен идеально балансировать!

Художественные центроиды

Центроиды обеспечивают точки равновесия для треугольников, поэтому они важны для художников, создающих мобильные устройства или движущиеся скульптуры. Такой мобиль можно сделать самостоятельно, используя проволоку, бечевку или леску, а также треугольники разных размеров, вырезанные из жесткого пластика, картона или тонкого дерева.

Раскрасьте каждый треугольник ярким цветом (основной и вторичный цвета отлично смотрятся вместе), затем привяжите каждый треугольник за его центр тяжести к проволоке.Провод можно подвешивать к другому проводу и так далее, пока не получится сбалансированный мобиль. Каждый треугольник будет скользить по воздуху совершенно плоско, так как его центр тяжести является точкой равновесия.

Скульптор Александр Колдер известен своими яркими мобильными телефонами, часто с использованием деталей, очень близких к треугольным формам.

Авиационные центроиды

Самолет должен быть идеально сбалансирован вокруг своего центроида или центра тяжести (ЦТ), чтобы пилот мог сохранять контроль.Многие факторы влияют на способность пилота управлять движением самолета по трем разным осям, но если самолет не спроектирован таким образом, чтобы балансировать вокруг своей ЦТ или центроида, никакого управления пилотом будет недостаточно, чтобы поддерживать самолет в правильном полете.

CG самолета применяется независимо от того, строите ли вы модель самолета, радиоуправляемый самолет или настоящий военный или пассажирский самолет. Вы можете узнать гораздо больше о центроиде неправильной формы, CG самолетов и математике нахождения CG, из видео НАСА, доступного онлайн.

Итоги урока

Теперь, когда вы изучили все аспекты этого урока, вы можете вспомнить определение центроида треугольника, вспомнить определение и распознать медианы треугольников, а также объяснить, как найти центр тяжести треугольника. Вы также сможете связать центроид с центром тяжести и вычислить длину медиан, используя центроид треугольника, и найти центроид, используя только одну медиану.

Следующий урок:

Как найти ортоцентр треугольника

Как найти центр тяжести треугольника — видео и расшифровка урока

Дополнительная практика — нахождение центроида треугольника

В следующих практических задачах учащиеся будут практиковаться в нахождении центра тяжести треугольника путем нахождения среднего значения x и y вершин.Учащиеся также найдут неизвестную вершину по двум другим вершинам и центроиду.

Проблемы

1. Найдите центр тяжести треугольника, изображенного на графике ниже:

2. Найдите центр тяжести треугольника с вершинами (0, 3), (1, 9) и (-2, -4) .

3. Найдите центр тяжести треугольника с вершинами (-1, 1), (3, 1) и (0, -4).

4. Если треугольник имеет две вершины в точках (3, 7) и (5, 9) и имеет центр тяжести (2, 2), то какая другая вершина?

Решения

1.Вершины треугольника (-2, 3), (1, 4) и (3, -1). Начните с нахождения координаты x центроида путем усреднения координат x вершин. У нас есть

Затем найдите координату y центроида путем усреднения координат y вершин. У нас есть
Таким образом, центр тяжести составляет около (0,67, 2).

2. Найдите координаты центроида путем усреднения координат вершин x и y .

Центроид составляет около (-0,33, 2,67).

3. Найдите координаты центроида путем усреднения координат вершин x и y .

Центроид составляет около (0,67, -0,67)

4. Чтобы найти недостающую вершину, мы будем использовать тот факт, что координаты центроида являются средним значением координат x и y вершин. Пусть x представляют собой координату x отсутствующей вершины.Тогда мы знаем:

Если y — координата y отсутствующей вершины, то мы знаем:
Таким образом, неизвестная вершина (-2, -10).

Центроид треугольника — Математический путь

Центроид треугольника (или барицентр треугольника ) G — это точка, где сходятся три медианы треугольника.

Медианы треугольника — это отрезки, образованные соединением одной вершины с серединой противоположной стороны.Поскольку каждый треугольник имеет три стороны и три угла, он имеет три медианы (m a , m b и m c ).

Теорема о центроиде : расстояние между центром тяжести и соответствующей ему вершиной в два раза больше расстояния между центром масс и серединой противоположной стороны. То есть расстояние от центроида до каждой вершины составляет 2/3 длины каждой медианы. Это справедливо для любого треугольника.

В физике центр тяжести треугольника ( G ) будет его центром тяжести .

Центроид всегда находится внутри треугольника.

Как найти координаты центроида

Если мы знаем координаты трех вершин треугольника, координаты центра тяжести будут средним арифметическим этих координат.

Найдем среднее арифметическое этих координат и получим центр тяжести треугольника в системе координат:

Где, x , x B и x C x C координаты вершин треугольника, y A , Y B и y c — координаты y, а G — центр тяжести.

Практическое упражнение

Пусть ABC — треугольник с координатами вершины A  (-4, 0), B  (2, -3), C  (4, 2). Середины сторон BC, AC и AB равны a’, b’ и c’ соответственно. Центроид треугольника представлен как G .

  1. Найдите координаты центра тяжести треугольника выше с заданными вершинами.
  2. Найдите координаты центра тяжести треугольника выше через пересечение двух его медиан, зная уравнения прямых, которым они принадлежат.

Решение:

1. Зная координаты вершин, вычисляем координаты центроида треугольника, получая среднее арифметическое трех координат по оси абсцисс и оси ординат:

2. Найдите координаты центра тяжести треугольника выше через пересечение двух его медиан .

Мы также можем вычислить координаты центроида, используя пересечение двух его медиан, когда мы знаем уравнения линий, которым они принадлежат.

Мы выбрали медианы m a и m c . Для нахождения уравнений их прямых имеем координаты вершин А и С . Нам нужно будет знать координаты середин противоположных сторон каждой вершины, которые мы назовем a’ и c’ .

С помощью двух точек мы можем получить уравнение двух прямых.

От вершины A до середины a’ уравнение ее линии:

Уравнение для первой медианы:

От вершины C до середины c’ уравнение ее линии:

Уравнение для второй медианы:

Решаем эту систему двух линейных уравнений или уравнений первой степени с двумя неизвестными.Два его корня будут координатами точки пересечения двух прямых, то есть искомыми координатами центроида этого треугольника:

Сначала умножаем два члена первого уравнения на 2, чтобы x имел целочисленный коэффициент (1), а затем очищаем неизвестное x для решения системы уравнений методом подстановки :

Подставляем значение x во второе уравнение, чтобы найти y :

В уравнении x:

Итак, мы получили тот же результат для координат центроида этого треугольника, что и в первой процедуре.

В любом неравностороннем треугольнике ортоцентр ( H ), центр тяжести ( G ) и центр описанной окружности ( O ) выровнены. Прямая, содержащая эти три точки, называется прямой Эйлера.

В равностороннем треугольнике все три центра находятся в одном месте.

Относительные расстояния между центрами треугольников остаются постоянными.

Расстояния между центрами :

Верно, что расстояние от ортоцентра ( H ) до центроида ( G ) в два раза больше, чем расстояние от центроида ( G ) до центра описанной окружности ( O ).Или, другими словами, сегмент HG в два раза больше сегмента GO :

Когда треугольник равносторонний, барицентр, ортоцентр, центр описанной окружности и центр вписанной окружности совпадают в одной и той же внутренней точке, которая находится на одинаковом расстоянии от трех вершин.

Это расстояние до трех вершин равностороннего треугольника равно

с одной стороны и, следовательно, до вершины, являющейся ч его высоты (или высоты).

Центроид треугольника | Блестящая математика и естественные науки вики

Другие центры треугольника включают

Ортоцентр — это точка, где встречаются три высоты треугольника.Высота — это отрезок, проведенный из одной вершины в противоположную сторону и перпендикулярный противоположной стороне.

incenter является центром вписанной окружности треугольника. Вписанная окружность — это окружность, заключенная внутри треугольника и касающаяся каждой из его сторон.

Центр описанной окружности — это центр описанной окружности, окружности, проходящей через все три вершины треугольника.

Если ООО — центр описанной окружности треугольника, RRR — радиус описанной окружности треугольника, а a,b,ca,b,ca,b,c — длины сторон BC,CA,AB,BC,CA,AB,BC, CA,AB соответственно, то OG2=R2−19(a2+b2+c2). 2\большой).\ _\квадрат \end{выровнено}OA2+OB2+OC29R2⇒OG2​=GA2+GB2+GC2+3OG2=3(GA2+GB2+GC2)+9OG2=a2+b2+c2+9OG2=R2−91​(a2+b2+ в2). □​​[так как OA=OB=OC=R][так как AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2)]​

Центроид также лежит на линии Эйлера треугольника, поэтому

GH=23OH,GO=13OH,GH = \frac{2}{3}OH,\quad GO=\frac{1}{3}OH,GH=32​OH,GO=31​OH,

, где HHH — ортоцентр треугольника.

Если A’,B’,C’A’, B’, C’A’,B’,C’ являются центрами описанных окружностей треугольников BCG,ACG,ABG,BCG,ACG,ABG,BCG,ACG,ABG соответственно , затем

ООО — центроид треугольника A′B′C′A’B’C’A′B′C′.Кроме того, GGG является точкой симедианы △A′B′C′\треугольника A’B’C’△A′B′C′.

Наконец, медианы треугольника △A′B′C′\треугольника A’B’C’△A′B′C′ проходят через середины треугольников AB,BC,AB, BC,AB,BC и CACACA, поэтому медианы △A′B′C′\треугольника A’B’C’△A′B′C′ и △ABC\треугольника ABC△ABC пересекаются в середине исходного треугольника.

Отправьте свой ответ

Рассмотрим равнобедренный △ABC\треугольник ABC△ABC, где AB=AC=5,BC=6,AB=AC=5, BC=6,AB=AC=5,BC=6, где I,O,HI,O ,HI,O,H обозначают его центр вписанной окружности, центр описанной окружности, ортоцентр соответственно.

Найдите площадь △IOH\треугольника IOH△IOH.

Формула центроида — Что такое формула центроида треугольника?

Геометрический центр объекта называется центроидом. Для определения координат центроида треугольника используем формулу центроида. Центр тяжести треугольника можно определить как точку пересечения всех трех медиан треугольника. Центроид треугольника делит все медианы в отношении 2:1.Давайте узнаем о формуле центроида с несколькими решенными примерами в конце.

Что такое формула центроида?

Центр тяжести треугольника является центром треугольника. Это называется точкой пересечения медиан треугольника.

Формула центроида

Формула центроида данного треугольника может быть выражена как

C = \( \left(\dfrac{x_1+ x_2+ x_3}{3}, \dfrac{y_1+ y_2+ y_3}{3}\right)\)

где,

  • C обозначает центр тяжести треугольника
  • \(x_1, x_2, x_3\) — координаты x трех вершин.
  • \(y_1, y_2, y_3\) — координаты y трех вершин.

Вывод формулы центроида

Мы применяем формулу сечения для получения формулы центроида треугольника. Пусть PQR — любой треугольник с координатами вершин как P(\(x_1\), \(y_1\)), Q(\(x_2\),\(y_2\)) и R(\(x_3\), \(y_3\)), такие, что D, E и F являются серединами сторон PQ, QR и PR соответственно. Мы представляем центр тяжести треугольника как G. Поскольку D является серединой стороны PQ, применяя формулу средней точки, мы получаем ее координаты как
Д((\(х_1\) + \(х_2\))/2)

Центроид треугольника делит медианы в отношении 2:1.Следовательно, из координат D мы можем найти координаты G как

X-координата G: [(2(\(x_1\) + \(x_2\))/2) + 1(\(x_3\))]/(2+1) =  (\(x_1\) + \(x_2\) + \(x_3\))/3

Y-координата точки G: [(2(\(y_1\) + \(y_2\))/2) + 1(\(y_3\))]/(2+1) =  (\(y_1\) + \(у_2\) + \(у_3\))/3

Следовательно, координаты G задаются как ((\(x_1\) + \(x_2\) + \(x_3\))/3, (\(y_1\) + \(y_2\) + \(y_3 \))/3)

 

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Давайте посмотрим на несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулу центроида.

Примеры использования формулы центроида

Пример 1:  Вершинами треугольника являются (4,3), (6,5) и (5,4). Определите центроид треугольника, используя формулу центроида.

Решение: 

Найти: Центр тяжести треугольника.

Заданные параметры,

\((x_1, y_1) = (4,3)\)

\((x_2, y_2) = (6,5)\)

\((x_3, y_3) = (5,4)\)

Используя формулу центроида,

Центроид треугольника = \(\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} ,  \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)

=  \( \left(\dfrac{4 + 6 + 5}{3}, \dfrac{3 + 5 + 4}{3} \right)\)

= \(\dfrac{15}{3} , \dfrac{12}{3}\)

= (5, 4)

Ответ:  Центр тяжести треугольника (5, 4).

Пример 2:  Если координаты центра тяжести треугольника (3, 3), а вершины треугольника (1, 5), (-1, 1) и (k, 3), то найдите значение к.

Решение: 

Найти: Значение k

Заданные параметры,

Центроид треугольника равен (3, 3)

\((x_1, y_1) = (1, 5)\)

\((x_2, y_2) = (-1, 1)\)

\((x_3, y_3) = (k, 3)\)

Используя формулу центроида,

Центр тяжести треугольника = \(\dfrac{x_1+ x_2+ x_3}{3} , \dfrac{y_1+ y_2+ y_3}{3}\)

(3, 3)  = \(\dfrac{1+(-1)+ k}{3} , \dfrac{5+1+3}{3}\)

(3, 3)  = \(\dfrac{k}{3} , \dfrac{9}{3}\)

Приравнивание координат x,

\(\dfrac{k}{3} = 3\)

к = 9

Ответ: Значение k равно 9.

Пример 3:  Вычислить центр тяжести треугольника с вершинами (1,3), (2,1) и (3,2).

Решение: 

Найти: Центр тяжести треугольника

Используя формулу центроида, мы знаем, что центроид, G = \(\dfrac{x_1+ x_2+ x_3}{3} , \dfrac{y_1+ y_2+ y_3}{3}\)

⇒ G = ((1+2+3)/3, (3+1+2)/3) = (2,2)

Ответ: Центроид данного треугольника = G(2, 2)

Часто задаваемые вопросы о Centroid Formula

Что подразумевается под формулой центроида?

Формула центроида — это формула, используемая для вычисления центроида треугольника.Центроид — это геометрический центр любого объекта. Центроид треугольника относится к той точке, которая делит медианы в соотношении 2: 1. Формула центроида имеет вид
. G = ((\(x_1\) + \(x_2\) + \(x_3\))/3, (\(y_1\) + \(y_2\) + \(y_3\))/3)
где (\(x_1\), \(y_1\)), (\(x_2\), \(y_2\)) и (\(x_3\), \(y_3\)) – координаты вершин

Как вывести формулу центроида треугольника?

Мы можем вывести формулу центра тяжести треугольника, используя формулу сечения. Мы можем найти координаты центроида G, найдя координаты точки, которая делит медиану в соотношении 2:1, применяя формулу сечения.

Как мы можем применить формулу центроида, чтобы найти центроид треугольника?

Мы можем применить формулу сечения, чтобы найти центр тяжести треугольника, зная координаты вершин. Формула имеет вид: G = ((\(x_1\) + \(x_2\) + \(x_3\))/3, (\(y_1\) + \(y_2\) + \(y_3\)) /3), где (\(x_1\), \(y_1\)), (\(x_2\), \(y_2\)) и (\(x_3\), \(y_3\)) — координаты вершин.

Для чего используется формула центроида треугольника?

Центроид треугольника используется для вычисления центроида, когда известны вершины треугольника. Центроид треугольника с координатами (\(x_1\), \(y_1\)), (\(x_2\), \(y_2\)) и (\(x_3\), \(y_3\)) равен определяется как, G =  ((\(x_1\) + \(x_2\) + \(x_3\))/3, (\(y_1\) + \(y_2\) + \(y_3\))/3) .

Вопрос Видео: Нахождение координат центра тяжести однородной пластинки, состоящей из треугольника и прямоугольника

Стенограмма видео

Две унифицированные пластины, изготовленные из одного и того же материала, соединены вместе в один корпус. Первый прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, где 𝐴𝐵 равно 16 сантиметрам, а 𝐵𝐶 равно семи сантиметрам. А второй — равнобедренный треугольник 𝐶𝐸𝐷, где 𝐷𝐸 равно 𝐶𝐸 равно 17 сантиметрам, а вершина 𝐸 лежит вне прямоугольника. Найдите координаты центра тяжести пластин, если прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 находится в первом квадранте, 𝐵 в начале координат и 𝐶 на оси 𝑥.

Хорошо, мы видим на нашем эскизе эти две пластины. Вот наш прямоугольник, а вот наш треугольник. И нам сообщают некоторые размеры, задействованные в наброске.𝐴𝐵, мы знаем, это 16 сантиметров. 𝐵𝐶 составляет семь сантиметров. А отрезок 𝐷𝐸 в нашем треугольнике равен 17 сантиметрам, что, как нам сказали, совпадает по длине с отрезком 𝐶𝐸. Зная все это, мы хотим найти координаты центра тяжести этих пластинок. И первое, что можно сказать по этому поводу, в данном случае центр тяжести находится в той же точке, что и центр масс этих пластин.

Поскольку мы предполагаем однородное гравитационное поле для этих пластинок, при решении одной величины мы находим другую. Поскольку у нас есть эти две пластины, прямоугольник и треугольник, соединенные вместе, вот подход, который мы выберем. Во-первых, рассмотрение этих форм по отдельности позволит решить их индивидуальные центры масс. Как только мы узнаем эти величины, мы объединим их, чтобы найти общий центр масс нашей системы. И, как мы уже упоминали, это будет то же самое, что и центр тяжести этих пластин. Когда мы начнем, давайте очистим немного места на экране. И мы можем начать с определения центра масс нашей прямоугольной пластины.

Эта точка будет находиться в среднем положении массы в прямоугольнике. Поскольку пластинка, из которой состоит этот прямоугольник, однородна, это говорит нам о том, что его центр масс будет находиться на половине его ширины и на половине его общей длины. То есть 𝑥-координата центра масс прямоугольника будет равна половине семи сантиметров, а 𝑦-координата будет половине 16 сантиметров. Тогда у нас есть 𝑥- и 𝑦-координаты центра масс прямоугольной пластинки. Теперь давайте найдем положение центра масс нашей треугольной пластинки.

Здесь мы собираемся использовать тот факт, что для любого треугольника, равнобедренного, как здесь, или нет, когда этот треугольник однородный, его центр масс расположен в среднем положении 𝑥- и 𝑦-координаты его вершин. Другими словами, если мы найдем 𝑥- и 𝑦-координаты вершин 𝐷, 𝐸 и 𝐶, то этот центр масс треугольника в 𝑥-направлении будет средним из этих трех 𝑥-значений. И точно так же его центр масс в 𝑦-направлении будет средним значением этих 𝑦-значений.

Итак, давайте найдем координаты этих трех вершин, и начнем с вершины 𝐷. И поскольку мы делаем это для краткости, мы опустим наши единицы измерения сантиметров. Итак, учитывая координаты вершины 𝐷, мы знаем, что точка 𝐵 в нашем прямоугольнике находится в начале нашей системы координат. Тогда мы можем сказать, что координаты вершины 𝐷 равны семи в 𝑥-направлении и 16 в 𝑦-направлении. Если мы далее рассмотрим координаты вершины 𝐶, 𝑥-координата здесь снова равна семи, а 𝑦-координата теперь равна нулю.

Наконец, мы хотим узнать координаты вершины 𝐸. Что касается 𝑥-координаты этой точки, мы можем видеть, что это будет семь сантиметров плюс любое расстояние, которое здесь находится. Это расстояние оказывается тем, что мы могли бы назвать высотой этого треугольника. То есть, если эта длина стороны от 𝐷 до 𝐶 является основанием, то пунктирная линия представляет собой высоту. Если мы представим эту высоту как одну сторону прямоугольного треугольника, мы увидим, что длины двух других сторон равны восьми сантиметрам и 17 сантиметрам.Тогда по теореме Пифагора эта высота, которую мы хотим найти, равна квадратному корню из 17 в квадрате минус восемь в квадрате. Получается 15.

Итак, если этот размер нашего треугольника равен 15 сантиметрам, то 𝑥-координата вершины 𝐸 должна быть 15 сантиметров плюс семь сантиметров. Это 22 сантиметра. И теперь мы можем записать 𝑦-координату этой вершины. Поскольку мы работаем с равнобедренным треугольником, это 𝑦-значение вершины 𝐸 равно половине высоты нашего прямоугольника, то есть восьми сантиметрам. Теперь, когда мы знаем координаты трех вершин нашего треугольника, мы готовы найти средние 𝑥- и 𝑦-значения этих вершин.

Среднее значение 𝑥 равно семи плюс семь плюс 22, деленное на три — это равно 36 на три или 12 — в то время как среднее значение 𝑦 равно 16 плюс ноль плюс восемь, деленное на три. Это 24 на три или восемь. Следовательно, центр масс нашего треугольника имеет координаты 12, восемь. Теперь, когда мы знаем это значение, а также координаты центра масс прямоугольника, мы можем сказать, что вся масса наших двух пластин эффективно сосредоточена в этих двух точках.Масса прямоугольника эффективно расположена здесь, а масса треугольника здесь.

Вспомните теперь, что наша цель состоит в том, чтобы найти координаты центра масс всей нашей системы, двух пластин вместе. Математически теперь мы можем рассматривать нашу систему как эти две точки, эффективно содержащие всю массу прямоугольника и треугольника соответственно. Чтобы рассчитать общий центр масс нашей системы, нам нужно знать относительную массу одной формы по отношению к другой. Для этого мы будем полагаться на тот факт, что пластинки, из которых состоят эти формы, однородны.Это означает, что отношение площадей этих двух фигур друг к другу такое же, как отношение их масс друг к другу.

Если, например, площадь нашего треугольника в два раза больше площади прямоугольника, то это будет означать, что его масса будет в два раза больше. Из-за этого соответствия между площадью и массой нашим следующим шагом будет вычисление площадей этих двух фигур. Начав с прямоугольника, мы знаем, что его размеры составляют семь сантиметров на 16 сантиметров. Семь раз 16 равно 112, что равно площади прямоугольника в квадратных сантиметрах.Для площади нашего треугольника, вообще говоря, это равно половине основания треугольника, умноженному на его высоту. Здесь мы назвали это расстояние основанием нашего треугольника, а это расстояние — его высотой. Таким образом, мы можем сказать, что площадь нашего треугольника равна половине, умноженной на 16 сантиметров, умноженной на высоту 15 сантиметров. И перемножая эти значения вместе, мы получаем результат 120.

Итак, мы видим, что наш треугольник имеет большую площадь, чем наш прямоугольник. И, следовательно, на то же соотношение он имеет большую массу.Можно сказать, что если у треугольника 120 единиц массы, то у прямоугольника 112 таких же единиц. Все это важно для вычисления общего центра масс нашей системы, потому что, вообще говоря, 𝑥-координата набора масс равна сумме произведения каждой массы на ее среднюю 𝑥-координату, деленную на сумму массы индивидуально. В нашем сценарии у нас есть две массы: прямоугольная и треугольная. И каждый из них, как мы видели, имеет 𝑥-координату, для которой мы решили ранее.

Применяя это соотношение для определения 𝑥-координаты общего центра масс нашей системы, она будет равна эффективной массе нашего прямоугольника, 112, умноженной на 𝑥-координату его центра масс плюс эффективная масса нашего треугольника, умноженного на его центр масс 𝑥-координата, разделенная на сумму двух наших эффективных масс. Это равно 1832 на 232 или, полностью уменьшенное, 229 на 29. Теперь мы можем перейти к вычислению общей 𝑦 координаты центра масс.Формула для этого такая же, как и для вычисления 𝑥-координаты, за исключением того, что теперь мы используем среднее 𝑦-значение каждой из масс в нашей системе.

Применяя это отношение к нашему сценарию, мы используем эффективную массу нашего прямоугольника, умноженную на 𝑦-координату центра масс этой фигуры, и добавляем к ней эффективную массу нашего треугольника, умноженную на 𝑦-координату его центра масс. Все это делится на сумму двух наших масс, а это равно 232 умножить на восемь и разделить на 232.Мы видим, что это упрощается до восьми. Итак, объединив все это, мы можем сказать, что координаты центра масс нашей системы в целом составляют 229 на 29 сантиметров в 𝑥-направлении и восемь сантиметров в 𝑦-направлении. Это расположение центра масс всей нашей системы.

Равносторонний треугольник — калькулятор геометрии

1DЛиния, дуга окружности, парабола, спираль, кривая Коха 2D Правильные многоугольники:
Равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, многоугольник, десятиугольник, десятиугольник, додекагон, шестиугольник, N-угольник, кольцо многоугольника

Другие многоугольники:
треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадратный воздушный змей, прямой воздушный змей, воздушный змей, правильная трапеция, равнобедренная трапеция, трехравносторонняя трапеция, трапеция, тупая трапеция, циклический четырехугольник, касательный четырехугольник, наконечник стрелки, вогнутый четырехугольник, Перекрещенный прямоугольник, антипараллелограмм, форма дома, симметричный пятиугольник, прямоугольник с вырезом, вогнутый пятиугольник, вогнутый правильный пятиугольник, параллелогон, вытянутый шестиугольник, вогнутый шестиугольник, шестиугольник со стрелкой, прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, острый изгиб, Т-образная форма, усеченный квадрат , Растянутый восьмиугольник, Рамка, Открытая рамка, Сетка, Крест, Х-образная форма, Н-образная форма, Три звезды, Четыре звезды, Пентаграмма, Гексаграмма, Уникурсальная гексаграмма, Октаграмма, Звезда Лакшми, Двойная звезда Многоугольник n, Полиграмма, Многоугольник

Круглые формы:
Круг, Полукруг, Круглый сектор, Круглый сегмент, Круговой слой, Круглый центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Заостренный овал, Два круга , Стрельчатая арка, Холм, Кольцо, Сектор кольца, Изогнутый прямоугольник, Скругленный многоугольник, Скругленный прямоугольник, Эллипс, Полуэллипс, Эллиптический сегмент, Эллиптический сектор, Эллиптическое кольцо, Стадион, Спираль, Бревно. Спираль, треугольник Рело, циклоида, двойная циклоида, астроида, гипоциклоида, кардиоида, эпициклоида, параболический сегмент, сердце, треугольник, междуговой треугольник, дуговой треугольник, междуговой четырехугольник, межокружной четырехугольник, круговой четырехугольник, дуговой многоугольник, коготь, полуинь -Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Многоугольник, Многоугольник с круглыми краями, Роза, Шестерня, Овал, Профиль яйца, Лемниската, Сквиркл, Круглый квадрат, Дигон, Сферический треугольник

3D Платоновых тел:
тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

архимедова Solids:
усеченный тетраэдр, кубооктаэдр, усеченный куб, усеченный октаэдр, ромбокубооктаэдр, усеченный кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, Snub куб, ромбоикосододекаэдр , Усеченный икосододекаэдр, Snub Додекаэдр

Каталонских Сухой остаток:
триакистетраэдр, ромбический додекаэдр, триакисоктаэдр, тетракисгексаэдр, дельтоидальный икоситетраэдр, гексакис октаэдр, ромбический триаконтаэдр, триакисикосаэдр, пентакисдодекаэдр, Пятиугольные Icositetrahedron, дельтоидальный гексеконтаэдр, гексакис Икосаэдр, Пятиугольный гексеконтаэдр

Johnson Solids:
Пирамиды, купола, ротонды, вытянутые пирамиды, гировытянутые пирамиды, бипирамиды, вытянутые бипирамиды, гировытянутая квадратная дипирамида, гиробифастигий, диссептаэдр, курносый дисфеноид, Sphenocorona, Disphenocingulum

Другие многогранники:
Кубовидный, Квадратный столб, Треугольная пирамида, Квадратная пирамида, Правильная пирамида, Пирамида, Квадратная усеченная, Правильная усеченная, Усеченная, Правильная бипирамида, Двупирамидальная, Двуусеченная, Усеченно-пирамидальная, Пандус, Правый клин , Клин, Полутетраэдр, Ромбоэдр, Параллелепипед, Правильная призма, Призма, Косая призма, Антикуб, Антипризма, Призматоид, Трапецоэдр, Дисфеноид, Уголок, Общий тетраэдр, Клин-кубовид, Полукубовид, Косоугольный куб, Слиток, Косоугольная трехгранная призма , Разрезанный прямоугольный параллелепипед, усеченный прямоугольный параллелепипед, кубический параллелепипед с тупыми краями, удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый прямоугольный параллелепипед, полый прямоугольный параллелепипед, полая пирамида, полая усеченная вершина, звездчатая пирамида, звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой икосаэдр

Круглые формы:
Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, разрезной цилиндр, косой цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр der, Обобщенный цилиндр, Конус, Усеченный конус, Наклонный круговой конус, Эллиптический конус, Общий конус, Общий усеченный конус, Двуконус, Усеченный двояконус, Заостренный столб, Закругленный конус, Капля, Сфероид, Эллипсоид, Полуэллипсоид, Сферический сектор, Сферическая крышка , Сферический сегмент, Сферический центральный сегмент, Двойной калот, Сферический клин, Полуцилиндр, Разделенный по диагонали цилиндр, Цилиндрический клин, Цилиндрический сектор, Цилиндрический сегмент, Цилиндр с плоским концом, Полуконус, Конический сектор, Конический клин, Сферическая оболочка, Полусферическая оболочка, Цилиндрическая оболочка, вырезанная цилиндрическая оболочка, наклонная цилиндрическая оболочка, полый конус, усеченный полый конус, сферическое кольцо, тор, тор шпинделя, тор, сектор тора, сектор тора, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, Усеченный антиконус, Сфера-цилиндр, Линза, Вогнутая линза, Бочка, Яйцевидная форма, Параболоид, Гиперболоид, Олоид, Тела Штейнмеца, Тела вращения

4D Тессеракт, Гиперсфера


Anzeige

Вычисления у равностороннего треугольника или правильного треугольника. Это самый простой правильный многоугольник (многоугольник с равными сторонами и углами). Введите одно значение и выберите количество знаков после запятой. Затем нажмите Рассчитать.


Формулы:
h = √3 / 2 * a
p = 3 * a
A = a² * √3 / 4
r c = √3 / 3 * a
r i = √3 / 6 * a
Угол: 60°
0 Диагонали

Длина, высота, периметр и радиус имеют одну и ту же единицу измерения (например, метр), площадь имеет эту единицу в квадрате (например, квадратный метр).

Anzeige

Высоты, биссектрисы, медианы, биссектрисы и оси симметрии совпадают. Для них равносторонний треугольник осесимметричен. Они встречаются с центром тяжести, описанной окружностью и центром вписанной окружности в одной точке. К этому равносторонний треугольник осесимметричен при вращении на 120 ° или кратно этому.


периметр p, площадь A

высота h a , h b , h c

вписанная и описанная окружность


углы и биссектрисы

медианы

серединные перпендикуляры

Поделиться:

© Джумк.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск