Как найти длину векторов по координатам: Как найти длину вектора? Ответ на webmath.ru

Содержание

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.


Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:


Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:


Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; .

.. ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = ( n ai2)1/2
Σ
i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5.
Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Модуль вектора примеры. Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL. Понятие вектора. Свободный вектор

    модуль вектора — величина вектора — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы величина вектора EN absolute value of a vector …

    модуль вектора — vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus.

    длина вектора, f; модуль вектора, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

    — (от лат. modulus «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо … Википедия

    Модуль (от лат. modulus «маленькая мера») составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… … Википедия

    Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия

    модуль волнового вектора — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN magnitude of propagation vector … Справочник технического переводчика

    модуль конвольвера кодового вектора огибающей — — [Л. Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shape codevector convolution module … Справочник технического переводчика

    Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: . Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Пусть и вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда Числа … Википедия

    Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… … Большая советская энциклопедия

    Абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… … Математическая энциклопедия

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки

B8:B9 , см. файл примера ).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9 .

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить , см. например, статью

Характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости) .

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры . При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы , тензоры , однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец , тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении .

Обозначения [ | ]

Вектор, представленный набором n {\displaystyle n} элементов (компонент) a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}} обозначают следующими способами:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}} .

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

a ¯ , a → , a , A , a . {\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.}

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} .

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

k b → {\displaystyle k{\vec {b}}} ,

причём число при этом обычно пишут слева.

Общепринятых обозначений вектора не существует, используются жирный шрифт, черта или стрелка над буквой, готический алфавит и др.

В геометрии [ | ]

В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в компьютерной графике , строя карты освещения , с помощью нормалей к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов , а также объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда .


Иногда с вектором отождествляют направление.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Действительно, любой направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства, и обратно, параллельный перенос однозначно определяет собой единственный направленный отрезок (однозначно — если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как свободные векторы).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

В линейной алгебре [ | ]

Общее определение [ | ]

Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры :

  • Обозначим F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} (готическая F) некоторое поле с множеством элементов F {\displaystyle F} , аддитивной операцией + {\displaystyle +} , мультипликативной операцией ∗ {\displaystyle *} , и соответствующими нейтральными элементами : аддитивной единицей и мультипликативной единицей 1 {\displaystyle 1} .
  • Обозначим V {\displaystyle {\mathfrak {V}}} (готическая V) некоторую абелеву группу с множеством элементов V {\displaystyle V} , аддитивной операцией + {\displaystyle +} и, соответственно, с аддитивной единицей 0 {\displaystyle \mathbf {0} } .

Иначе говоря, пусть F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle } и V = ⟨ V ; + ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle } .

Если существует операция F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , такая что для любых a , b ∈ F {\displaystyle a,b\in F} и для любых x , y ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V} выполняются соотношения:

Вектор как последовательность [ | ]

Вектор — (последовательность , кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства . Именно в таком виде вектор понимается в программировании , где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object ). Перечень свойств моделирует принятое в

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ: a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ: a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x — a x ; b y — a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2: A B → = (- 3 — 1) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 — 1 ; 1 — 3) = (- 4 ; 1 — 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 = (5 — 0) 2 + (2 — 1) 2 + (λ 2 — 2) 2 = 26 + (λ 2 — 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 (λ 2 — 2) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ: B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 или A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

[Зачет 70] Определение ортонормированного базиса и прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками. 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора  будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как  и  соответственно и рассмотрим прямоугольник  с диагональю ОА. Таким образом, формула для нахождения длины вектора  по его координатам на плоскости имеет вид .

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат. Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :
. Теперь получим формулу для нахождения длины вектора  по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве. В этом случае  (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, . Таким образом, длина вектора  в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Рассмотрим решения примеров.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов ,  и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора  или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.


Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
 или ,
по координатам точек начала и конца вектора —
 или ,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Расстояние между двумя точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой:

Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).

Расстояние между двумя точками

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 27.

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Ты уже знаком с понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного вектора по единичным координатным векторам i⃗ и j⃗.

Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».

Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.

Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям.

Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как M1 и M2.

Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка OM1. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка OM2.

M(x; y) x = OM1, y = OM2

Мы вспомнили, как определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже рассмотренной, точке M.

Проведём вектор из точки O к точке M. Запомни, вектор OM⃗ называют радиус-вектором точки M.

Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки M равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Доказать: M(x;y)=OM⃗x;y

Понятно, что вектор OM⃗=ОM1⃗+ОM2⃗ по правилу параллелограмма.

Теперь необходимо доказать, что вектор

OM1⃗=xi⃗, а вектор OM2⃗=yj⃗

Тем самым мы докажем, что вектор OM⃗x;y.

Если x > 0, то x = OM1, а векторы OM1⃗ и i⃗ сонаправлены, поэтому

OM1⃗=OM1∙i⃗=xi⃗

Если x x = OM1, а векторы OM1⃗ и i⃗ противоположно направлены. Поэтому OM1⃗=-OM1∙i⃗=xi⃗.

Наконец, если x = 0

OM1⃗=0⃗ и равенство OM1=xi⃗ в этом случае так же справедливо. Таким образом, в любом случае ОM1⃗=xi⃗. Аналогично доказывается, что ОM2⃗=yj⃗.

Следовательно,OM⃗=ОM1⃗+ОM2⃗=xi⃗+yj⃗

Отсюда следует, что координаты радиус-вектора OM равны (x; y), то есть равны соответствующим координатам точки M.

Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора AB⃗ через координаты его начала A и конца B. Пусть точка A имеет координаты x1;y1, а точка B – координаты x2;y2.

Вектор AB⃗ равен разности векторов OB⃗ и OA⃗, поэтому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов OB⃗ и OA⃗. Но OB⃗ и OA⃗ – радиус-векторы точек B и A, и, значит, OB⃗ имеет координаты x2;y2, а OA⃗ имеет координаты x1;y1. Следовательно, вектор AB⃗ имеет координаты x2-x1;y2-y1.

Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Рассмотрим три вспомогательные задачи:

  1. Как найти координаты середины отрезка.

    Пусть в системе координат Oxy точка A имеет координаты x1;y1, а точка B – координаты x2;y2. Выразим координаты x;y середины C отрезка AB через координаты его концов. Так как точка C – середина отрезка AB, то

    OC⃗=12OA⃗+OB⃗.

    x=x1+x22; y=y1+y22

    Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

  2. Вычисление длины вектора по его координатам.

    Пусть вектор a⃗x;y, тогда длина вектора вычисляется по формуле:

    a⃗=x2+y2

  3. Вычисление расстояния между двумя точками. Пусть точка M1 имеет координаты (x1; y1), точка M2 – координаты (x2; y2). Выразим расстояние d между точками M1 и M2 через их координаты.

Рассмотрим вектор M1M2⃗. Его координаты равны x2-x1;y2-y1. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле:

M1M2⃗=x2-x12+y2-y12

Пример:

  1. Найти длину вектора a⃗-3;4

    a⃗=x2+y2=-32+42=25=5

    Ответ: 5

  2. Найти расстояние между точкой A(2; 7) и точкой B(-2; 7)

    d=-2-22+7-72=16=4

    Ответ: 4

Исчисление III — Длина дуги с векторными функциями

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-9: Длина дуги с векторными функциями

В этом разделе мы переведем старую формулу в термины векторных функций. Мы хотим определить длину векторной функции,

\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \ ]

на интервале \(a \le t \le b\).{{\,b}}{{\влево\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | \, dt}} \]

Давайте рассмотрим быстрый пример этого. Пример 1 Определить длину кривой \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right)} \right\rangle \) на отрезке \(0 \le t \le 2\pi \). t = 2\sqrt {10} \,t\]

Ладно, только зачем нам это? Что ж, давайте возьмем результат примера выше и решим его для \(t\).

\[t = \frac{s}{{2\sqrt {10} }}\]

Теперь, взяв это и подставив в исходную векторную функцию, мы можем репараметризовать функцию в виде \(\vec r\left( {t\left( s \right)} \right)\). Для нашей функции это

. \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

Итак, зачем нам это? Что ж, с репараметризацией мы теперь можем сказать, где мы находимся на кривой после того, как мы прошли расстояние \(s\) вдоль кривой.Также обратите внимание, что мы начнем измерение расстояния с того места, где мы находимся в точке \(t = 0\).

Пример 3. Где на кривой \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right )} \right\rangle \) после путешествия на расстояние \(\displaystyle \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\)? Показать решение

Чтобы определить это, нам нужна репараметризация, которую мы имеем сверху.

\[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

Затем, чтобы определить, где мы находимся, все, что нам нужно сделать, это подставить сюда \(s = \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\), и мы получим наше местоположение.

\[\ vec r \ left ( {t \ left ( {\ frac {{\ pi \ sqrt {10}}} {3}} \ right)} \ right) = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3},3\sin\left({\frac{\pi}{3}}\right),3\cos\left({\frac{\pi}{3}}\right)} \right\rangle = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3}, \ frac {{3 \ sqrt 3}} {2}, \ frac {3} {2}} \ right \ rangle \]

Итак, пройдя расстояние \(\frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\) по кривой, мы находимся в точке \(\left( {\frac{\pi }{3 },\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)\).

Вектор положения – объяснение и примеры

Мы можем использовать вектор положения , чтобы сообщить нам положение одного объекта относительно другого. В частности, вектор положения:

«Вектор, который указывает местоположение или положение данной точки относительно произвольной контрольной точки, такой как начало координат».

В этом разделе мы обсудим следующие аспекты векторов положения:

  • Что такое вектор положения?
  • Как найти вектор положения

Что такое вектор положения?

Часто векторы, которые начинаются в начале координат и заканчиваются в любой произвольной точке, называются векторами положения.Они используются для определения положения точки относительно начала координат.

Направление вектора положения указывает от начала координат к заданной точке. В декартовой системе координат, если точка O является началом координат, а Q является некоторой точкой (x1, y1), то вектор положения, направленный из точки O в точку Q, представляется как OQ . В трехмерном пространстве, если O = (0,0,0) и Q = (x1, y1, z1), то вектор положения r точки Q представляется следующим образом:

r = x1i + y1j + z1k

Предположим, у нас есть два вектора, A и B, с векторами положения a = (2,4) и b = (3, 5) соответственно. Затем мы можем записать координаты векторов A и B как:

A = (2,4), B = (3, 5)

определяя вектор положения точки, нам сначала нужно определить координаты этой точки. Предположим, у нас есть две точки, M и N, где M = (x1, y1) и N = (x2, y2). Далее мы хотим найти вектор положения из точки M в точку N, вектор

MN . Чтобы определить этот вектор положения, мы вычитаем соответствующие компоненты M из N :

MN = (x2-x1, y2-y1)

Формула вектора положения

Используя приведенную выше информацию, мы можем обобщить формула, которая будет определять вектор положения между двумя точками, если бы мы знали положение точек в плоскости xy.

Например, рассмотрим точку P с координатами (xk, yk) в плоскости xy и другую точку Q с координатами (xk+1, yk+1). Формула для определения вектора положения от P до Q:

PQ = ((xk+1)-xk, (yk+1)-yk)

Помните вектор положения PQ относится к вектору, который начинается в точке P и заканчивается в точке Q. Аналогично, если мы хотим найти вектор положения из точки Q в точку P, мы можем написать:

QP = (xk – (xk+1), yk – (yk+1))

Примеры 

В этом разделе мы обсудим некоторые примеры задач вектора положения и их пошаговые решения.Это поможет глубже понять векторы положения.

 Пример 1

Для двух точек A = (-4, 6) и B = (5, 12) определите вектор положения AB. Затем , вычислить величину вектора AB .

Решение

Имея две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу для нахождения вектора положения AB :

AB = (x2-x1, y2-y1)

25

2 Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Таким образом, просто подставив значения точек A и B в приведенное выше уравнение, мы можем найти вектор положения AB :

AB = (5-(-4), 12-6)

AB = ((5+ 4), 12-6)

AB = (9, 6)

Таким образом, вектор положения AB эквивалентен вектору, начинающемуся в начале координат и направленному в точку на расстоянии 9 ед. 2

| АБ | = √81 + 36

| АБ | = √117

| АБ | = 3√13  

Пример 2

Имея две точки A = (-4, 6) и B = (5, 12), определите вектор положения BA. Затем вычислите модуль вектора BA  и опишите взаимосвязь между вектором положения AB и вектором положения BA .

Решение

Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу для нахождения вектора положения BA :

BA = (x1-x2, y1-y2)

25

2 Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Обратите внимание, что вектор положения BA представляет собой вектор, направленный от точки B к точке A. Он отличается от вектора положения AB, , который направлен от A к B. Таким образом, просто поставив значения точек A и B в приведенном выше уравнении мы можем найти вектор положения BA:

BA = (-4-5), 6-12)

BA = (-9, -6)

Таким образом, вектор положения BA эквивалентен вектору, который начинается в начале координат и направлен в точку на 9 единиц влево по оси x и на 6 единиц вниз по оси y. 2

| ВА | = √81 + 36

| ВА | = √117

| ВА | = 3√13

Напомним, что в первом примере мы нашли вектор положения AB для тех же точек, а в этом примере мы определили вектор положения BA. Два вектора положения имеют одинаковую величину. Поскольку они имеют противоположные направления, отношение между ними следующее:

BA = -1 * (9, 6)

BA = -1 * AB

BA 30 = —

9

Таким образом, два вектора положения параллельны друг другу и противоположны друг другу.То есть они являются негативами друг друга.

Пример 3

Учитывая, что вектор положения точки S1 равен OS1 = (2, 3) и что вектор точка S2, OS2 .

Решение

Сначала мы строим вектор OS1 с начальной точкой в ​​начале координат (0,0) и конечной точкой в ​​(2,3). Мы также наносим вектор OS2, , который начинается в начале координат и заканчивается в точке S2.Обозначим неизвестное положение S2 произвольными координатными точками (x,y). Поскольку мы знаем вектор положения S1S2 и знаем, что он дает отношение между S1 и S2, мы также можем нарисовать S1S2. Это направленный вектор, начальная точка которого находится в точке S1 и который направлен на три единицы влево и на шесть единиц вверх. На изображении ниже видно, что у нас есть треугольник 0S1S2. Таким образом, теперь мы можем использовать закон треугольника (или правило «голова к хвосту») сложения векторов для определения координат точки S2 следующим образом: S1S2 – OS1

Подставляя данные значения в это уравнение, получаем:

OS2 = (-3, 6) – (2, 3)

OS2 = (-3, 6) + ( -2, -3)

OS2 = (-3-2, 6-3)

OS2 = (-5, 3)

Таким образом, OS2 =(-5, 3) есть вектор положения точки S2.

Пример 4

Имея две точки M = (4, m) и Q = (-n, -3), определите вектор положения QM.

Решение

Имея две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения Q :

QM = (-n-4, -3-m) .

Поскольку нам неизвестны координаты QM или значения n и m, мы не можем упростить уравнение.2

| Р | = √100 + 25 + 9

| Р | = √100 + 25 + 9

| Р | = √134

Пример 6

Учитывая точки c = 5i + 6j +3k и d = 2i +5j – 2k в ортогональной системе, определите вектор положения между этими двумя точками, CD.

Решение

Учитывая две точки, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения CD :

CD = (2-5, 5-5, -2-3)

CD = (-3, 0, -5)

CD = -3i + 0j -5k

Практические вопросы

  1. Пусть u = (-1, 4 , 5). Определите вектор положения, представленный UV .
  2. Пусть u = (-1, 4) и v = (2, 5). Определите вектор положения, представленный VU .
  3. Пусть v = (3, 5) и VM = (-6, 3). Найдите вектор положения точки m.
  4. Учитывая b = (3,2,5), определите его вектор положения, R. Затем найдите длину вектора
  5. Пусть вектор AB начинается в a = (1, 2) и заканчивается в б = (2, 3). Определите его вектор положения и его длину.
  6. Пусть вектор OB начинается в точке o = (0,0) и заканчивается в точке b = (-2, 6). Определите вектор его положения.

Ответы

  1. УФ = (3,1). Направление UV — на 3 единицы вправо по оси X и на 1 единицу вверх.
  2. ВУ = (-3,-1). Направление ВУ на 3 единицы влево по оси абсцисс и на 1 единицу вниз. Два вектора УФ и ВУ, противоположны по направлению.
  3. Можно задать вектор положения точки m OM = (-9, -2)
  4. R = 3i + 2j + 5k — вектор положения, его длина равна | Р | = √38
  5. Вектор положения равен AB = (1,1), а его длина равна | АБ | = √2
  6. Вектор положения равен OB = (-2,6), а его длина равна | ОБ | = √40
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

12.\circ)$ как представляющий «5 км к северо-востоку», т. е. этот вектор может быть смещением

вектор , указывая, скажем, на то, что ваша бабушка прошла 5 километров в сторону северо-восток в школу в снегу. С другой стороны, тот же вектор может обозначать скорость, указывая на то, что ваша бабушка шла со 5 км/ч на северо-восток. То, что вектор не указывает, где произошло это блуждание: вектор представляет величину, а направление, но не место. Наглядно полезно изобразить вектор в виде стрелки; направление вектора, естественно, направление, в котором указывает стрелка; величина вектора отражается на длине стрелы.

Оказывается, многие величины ведут себя как векторы, например, перемещение, скорость, ускорение, сила. Мы уже можем получить некоторые представление об их полезности с использованием векторов смещения. Предположим, что ваш бабушка прошла 5 км на СВ и 2 км на ЮЮВ; если позволяет местность, и, возможно, вооружившись компасом, как могла ваша бабушка шел прямо к месту назначения? Мы можем использовать векторы (и немного геометрия), чтобы ответить на этот вопрос. Начнем с того, что отметим, что поскольку векторы не включают спецификацию положения, мы можем «поместить» их в любом удобном месте.\circ$ к северу от востока (примерно на восток-восток) доставит вашу бабушку школа. Этот вид расчетов настолько распространен, что мы удостоим его имя: мы говорим, что третий вектор является суммой двух других векторов. Есть еще один распространенный способ изобразить сумму двух векторов. Поместите векторы хвост к хвосту, а затем завершите указанный ими параллелограмм; в сумма двух векторов является диагональю параллелограмм:

пример, если два исходных вектора представляют собой силы, действующие на объект, сумма двух векторов является чистой или эффективной силой на объект, и хорошо нарисовать всех троих хвостами в расположение объекта.

Мы также определяем скалярное умножение на для векторов: если $\bf A$ является вектором $(m,\theta)$ и $a\ge 0$ является действительным число, вектор $a\bf A$ есть $(am,\theta)$, а именно, он указывает на в том же направлении, но имеет $a$ раз большую величину. Если $a

Теперь мы можем понять вычитание векторов: ${\bf A}-{\bf B}={\bf A}+(-1){\bf B}$:

Мы можем представить вектор способами, отличными от $(m,\theta)$, и на самом деле $(m,\theta)$ вообще не используется. Как еще мы могли бы описать конкретный вектор? Рассмотрим снова вектор $\ds (5,45^\circ)$. Давайте нарисуйте его снова, но наложите систему координат. Если мы положим хвост стрелка в начале координат, конец стрелки заканчивается в точка $\ds (5/\sqrt2,5/\sqrt2)\приблизительно(3.54, 3.54)$.

стрелка, при условии, что мы знаем, что конец стрелки был помещен в $(0,0)$. Тогда на самом деле вектор всегда можно определить как $(3.54,3.54)$, где бы он ни находился; мы просто должны помнить что цифры 3.54 должны интерпретироваться как изменение от положение хвоста, а не фактические координаты наконечника стрелки; чтобы подчеркнуть это, мы будем писать $\langle 3.54,3.54\rangle$ для обозначения вектор и $(3.54,3.54)$ для обозначения точки. Тогда, если вектор $\langle 3.54,3.54\rangle$ нарисован хвостом в $(1,2)$, это выглядит так:

вектор, представляющий первую часть пути, равен $\ds \langle 5/\sqrt2,5/\sqrt2\rangle$, а вторая часть пути представлен $\langle 2\cos(-3\pi/8),2\sin(-3\pi/8)\rangle \приблизительно\угол 0,77,-1,85 \угл$. Мы можем представить сумму этих с обычной картинкой головы до хвоста:

точки $\ds (5/\sqrt2+2\cos(-3\pi/8),5/\sqrt2+2\sin(-3\pi/8))$ или примерно $(4. 3,1.69)$, поэтому сумма двух векторов равна $\ds \langle 5/\sqrt2+2\cos(-3\pi/8),5/\sqrt2+2\sin(-3\pi/8)\rangle \приблизительно \лэнгл 4.3,1.69\рангл$. Добавление двух векторов проще в этом форме, чем в форме $(m,\theta)$, при условии, что мы готовы имейте ответ в этой форме также. В основном: $\langle v_1,w_1\rangle + \langle v_2,w_2\rangle =\langle v_1+v_2,w_1+w_2\rangle$.

Легко видеть, что скалярное умножение и векторное вычитание также легко вычислить в такой форме: $a\langle v,w\rangle=\langle av,aw\rangle$ и $\ds \langle v_1,w_1\rangle — \langle v_2,w_2\rangle =\langle v_1-v_2,w_1-w_2\rangle$.2}$.

В трех измерениях векторы по-прежнему являются величинами, состоящими из величина и направление, но, конечно, возможно гораздо больше направления. Неясно, как мы могли бы представить направление явно, но координатная версия векторов делает столько же смысл в трех измерениях, как в двух. Под $\langle 1,2,3\rangle$ мы подразумеваем вектор, голова которого находится в $(1,2,3)$, если его хвост находится в начале координат. 2}$.

Рисунок 12.2.1. Вектор $\langle 2,4,5\rangle$ с хвостом в начале координат.

Три особенно простых вектора оказываются весьма полезными: ${\bf i}=\langle1,0,0\rangle$, ${\bf j}=\langle0,1,0\rangle$ и ${\bf k}=\langle0,0,1\rangle$. Они играют почти ту же роль для векторы, которые оси играют за точки. В частности, обратите внимание, что $$\выравнивание{ \langle v_1,v_2,v_3\rangle &= \langle v_1,0,0\rangle + \langle 0,v_2,0\rangle + \langle 0,0,v_3\rangle\cr &=v_1\langle1,0,0\rangle + v_2\langle0,1,0\rangle + v_3\langle0,0,1\rangle\cr &= v_1{\bf i} + v_2{\bf j} + v_3{\bf k}\cr }$$

Мы часто хотим создать вектор, который указывает из одной точки другому.То есть, если $P$ и $Q$ — точки, мы ищем вектор $\bf x$ такой, что когда хвост $\bf x$ помещается в $P$, его голова находится в $Q$; мы называем этот вектор как $\ds ​​\overrightarrow{\strut PQ}$. Если мы знаем координаты $P$ и $Q$, координаты вектора легко найти.

Пример 12.2.1 Предположим, что $P=(1,-2,4)$ и $Q=(-2,1,3)$. Вектор $ \ ds \ overrightarrow {\ распорка PQ} $ является $\langle -2-1,1- -2,3-4\rangle=\langle -3,3,-1\rangle$ и $\ds ​​\overrightarrow{\strut QP}=\langle 3,-3,1\rangle$.Обратите внимание, что это то же самое, что вычитание векторов с хвостами в точках. начало координат и головы в $P$ и $Q$: $\langle -2,1,3\rangle-\langle 1,-2,4\rangle=\langle -3,3,-1\rangle$. $\квадрат$

Арифметика с векторами обладает некоторыми знакомыми свойствами, перечисленными в следующая теорема. Все это довольно легко доказать, просто представление векторов в стандартной форме.

Теорема 12.2.2. Если ${\bf u}$, ${\bf v}$ и ${\bf w}$ — векторы, а $a$ и $b$ — вещественные числа, затем

    1.$\ds ​​{\bf u}+{\bf v}={\bf v}+{\bf u}$

    2. $a{\bf u}={\bf u}a$

    3. $a({\bf u}+{\bf v})=a{\bf u}+a{\bf v}$

    4. $(a+b){\bf u}= a{\bf u} + b{\bf u}$

    5. $({\bf u}+{\bf v})+{\bf w}={\bf u}+({\bf v}+{\bf w})$

    6. $|a{\bf u}|=|a||{\bf u}|$

Доказательство. Мы делаем один из них в качестве примера, часть 3. Пишем ${\bf u}=\langle x_1, y_1, z_1\rangle$, ${\bf v}=\langle x_2, y_2, z_2\rangle$. потом $$\выравнивание{ a ({\ bf u} + {\ bf v}) & = a (\ langle x_1, y_1, z_1 \ rangle + \ langle x_2, y_2, z_2 \ rangle) \ cr &=a\langle x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\rangle\cr &=\langle a(x_1+x_2),a(y_1+y_2),a(z_1+z_2)\rangle\cr &=\langle ax_1+ax_2,ay_1+ay_2,az_1+az_2\rangle\cr &=\langle ax_1,ay_1,az_1\rangle+\langle ax_2,ay_2,az_2\rangle\cr &=a\langle x_1,y_1,z_1\rangle+a\langle x_2,y_2,z_2\rangle\cr & = а {\ bf и} + а {\ bf v} \ cr }$$ $\qed$

Упражнение 12.2

Вы можете использовать Sage для выполнения векторной арифметики.

Пример 12.2.1 Нарисуйте вектор $\langle 3,-1\rangle$ хвостом в источник.

Пример 12.2.2 Нарисуйте вектор $\langle 3,-1,2\rangle$ хвостом в источник.

Пример 12.2.3 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(1,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(3,1)$. Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(1,2)$ и голова в $(3,1)$.Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.4 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(-1,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(3,3)$. Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(-1,2)$ и голова в $(3,3)$. Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.5 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(5,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(1,5)$.Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(5,2)$ и голова в $(1,5)$. Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.6 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,3\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-5\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.7 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,2,3\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,2,-3\rangle$.(отвечать)

Пример 12.2.8 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,0,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-2,2 \rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.9 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,-1,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle 0,0,3\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.10 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 3,2,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-1,-1\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.11 Пусть $P=(4,5,6)$, $Q=(1,2,-5)$. Находить $\ds ​​\overrightarrow{\strut PQ}$. Найдите вектор с в том же направлении, что и $\ds \overrightarrow{\strut PQ}$ но с длиной 1. Найдите вектор с в том же направлении, что и $\ds \overrightarrow{\strut PQ}$ но с длиной 4.(отвечать)

Пример 12.2.12 Если $A, B$ и $C$ — три точки, найдите $ \ ds \ overrightarrow {\ распорка AB} + \overrightarrow{\распорка до н.э.}+ \overrightarrow{\распорка CA}$. (отвечать)

Пример 12.2.13 Рассмотрим 12 векторов, хвосты которых находятся в центре часы и их соответствующие головки на каждой из 12 цифр. Что сумма этих векторов? Что, если мы удалим вектор, соответствующий до 4 часов? Что, если вместо этого все векторы имеют свои решки на 12 часов, а головы на остальные цифры? (отвечать)

Пример 12.2.14 Пусть $\bf a$ и $\bf b$ — ненулевые векторы в двух измерениях. которые не параллельны и не антипараллельны. Покажите алгебраически, что если $\bf c$ — любой двумерный вектор, существуют скаляры $s$ и $t$ такое, что ${\bf c}=s{\bf a}+t{\bf b}$.

Пример 12.2.15 Верно ли утверждение из предыдущего упражнения, если векторы $\bf a$, $\bf b$ и $\bf c$ — трехмерные векторы? Объяснять.

Пример 12.2.16 Докажите остальные части Теорема 12.2.2.

Видео-вопрос: нахождение длины проекции вектора на другой вектор

Стенограмма видео

Длина стороны показанного куба равна 44, деленной на 17. Найдите скалярную проекцию 𝐎𝐀 на 𝐂𝐁, дающую правильный ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Итак, глядя на этот куб, мы видим, что угол 𝑂 находится в начале 𝑥𝑦𝑧-системы координат. Мы также видим три других угла куба, помеченные 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Мы хотим найти скалярную проекцию вектора 𝐎𝐀, показанного в нашем эскизе, на вектор 𝐂𝐁, который идет из угла 𝐶 нашего куба в угол 𝐵.Этот вектор будет выглядеть так. Чтобы начать работать над нашим решением, давайте вспомним, что скалярная проекция вектора 𝐀 на другой вектор 𝐁 равна скалярному произведению этих векторов, деленному на величину вектора, на который проецируется. В нашем случае мы хотим вычислить 𝐎𝐀 с точками 𝐂𝐁, деленное на величину вектора 𝐂𝐁.

Чтобы вычислить эту долю, нам нужно знать векторные компоненты этих двух векторов, 𝐎𝐀 и 𝐂𝐁. Мы можем узнать их, работая с координатами наших четырех заданных точек.Мы можем начать с координат нашей точки 𝑂, которая, как мы видим, находится в начале координат. Из-за этого мы знаем, что 𝑥𝑦𝑧-координаты этой точки должны быть равны нулю, нулю, нулю.

Далее рассмотрим координаты точки 𝐴. Эта точка имеет 𝑥-значение, равное этой длине, длину стороны куба, которая, как нам сказали, равна сорок четырем семнадцатым, 𝑦-значение, равное этой длине, а также длину одной стороны куба. , а затем 𝑧-значение, равное этой длине, снова сорок четыре семнадцатых.

Теперь, когда мы знаем координаты этих двух точек, мы можем найти вектор 𝐎𝐀. Этот вектор равен координатам точки 𝐴 минус координаты точки 𝑂. Как мы видели, 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координаты точки 𝐴 равны сорок четырем семнадцатым, а координаты точки 𝑂 равны нулю. Это говорит нам о том, что компоненты вектора 𝐎𝐀 тоже одинаковы. Им всем сорок четыре семнадцатых. Зная это, теперь давайте выясним координаты двух других точек 𝐶 и 𝐵. Начиная с точки 𝐵, мы видим, что она имеет 𝑥-координату нуля, 𝑦-координату нуля, а затем 𝑧-координату сорок четыре семнадцатых.Тогда точка 𝐶 в некотором смысле противоположна. Он имеет 𝑥- и 𝑦-значения 44 больше 17, а 𝑧-значение равно нулю.

Вектор 𝐂𝐁 равен векторной форме координат 𝐵 за вычетом координат 𝐶. И когда мы подставляем эти значения и выполняем это вычитание, мы находим этот результат. 𝑥-компонента отрицательных сорока четырех семнадцатых, 𝑦-компонента того же и 𝑧-компонента положительных сорока четырех семнадцатых. Итак, у нас есть компоненты интересующих нас векторов, а это значит, что мы можем начать вычислять эту долю.Когда мы начнем, давайте очистим немного места на экране. А теперь подставим в эту дробь известные значения 𝐎𝐀 и 𝐂𝐁. Это дает нам это выражение, где мы вспомнили, что величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его компонентов.

Следующим шагом в нашем числителе является перемножение соответствующих компонентов этих векторов в 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-направлениях. В нашем знаменателе мы можем возвести в квадрат эти различные компоненты вектора 𝐂𝐁.Когда мы делаем это, в нашем числителе мы получаем отрицательное количество сорок четыре семнадцатых в квадрате минус то же самое количество в квадрате плюс это количество в квадрате, а в нашем знаменателе квадратный корень из трех умноженных на 17 квадратов количества 44. Таким образом, в нашем числителе этот член сокращается с этим членом, а в нашем знаменателе, учитывая, что квадратный корень из сорока четырех семнадцатых в квадрате равен просто сорок четырем семнадцатым, мы теперь имеем вот эту величину. И мы видим, что множитель 44 на 17 может сокращаться сверху и снизу.

Это дает нам отрицательную единицу над корнем три раза по сорок четыре семнадцатых. Этот ответ является точным, но мы хотим сообщить наш результат с точностью до двух знаков после запятой. Для этого уровня точности это равно отрицательному значению 1,49. Это проекция вектора 𝐎𝐀 на вектор 𝐂𝐁 в нашем кубе.

Расчет длины вектора, онлайн калькулятор

Наш онлайн-калькулятор позволяет найти длину вектора всего за пару кликов.Чтобы рассчитать длину вектора по заданным координатам или точкам — Выберите размерность и способ определения вектора, введите все координаты и нажмите «Рассчитать», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам разобраться в решении и закрепить пройденный материал.

Введите данные для расчета длины вектора

Форма представления векторов:

по координатам по точкам

Формула:

Решено сегодня: раз, общее время

Алгебраическое сложение и вычитание векторов

Введение

 

В этой статье мы рассмотрим вектор. Векторы, в отличие от простых чисел (скаляров), которые имеют только величину, имеют как величину (длину), так и направление. Мы изучим, как представлять векторные величины, а также как их складывать и вычитать.

 

Основные термины

 

  • Скаляр
  • Вектор
  • Нулевой вектор
  •  

    Цели

     

     

  • Количественное определение векторов с помощью системы координат
  • Сложение и вычитание векторов графически и алгебраически

     

  •  

    Отдельные числа, то есть значения, имеющие только (положительную или отрицательную) величину, называются скалярами. Числа 0, –3, π, i, 1.3, e, и т. д. – все это примеры скаляров. Другой тип значения, который часто используется в математике, — это вектор. Вектор — это величина, которая имеет как величину , так и направление . В этой статье мы рассмотрим некоторые математические характеристики векторов. Векторы имеют широкое применение, например, в физике.

    Знакомство с векторами

    Чтобы понять разницу между скаляром и вектором, полезно подумать о физических примерах.Возьмем, к примеру, температуру. Вы можете использовать термометр для измерения температуры воздуха в разных местах. В каждом случае вы получаете некоторое число (и единицу измерения), скажем, 65°F. Это величина, но с ней не связано никакого направления; таким образом, это скалярная величина. Теперь рассмотрим измерения ветра в тех же местах. Когда вы измеряете ветер, вы, скорее всего, измеряете и скорость, и направление. Таким образом, ваши измерения ветра составляют вектор. Мы могли бы выразить этот вектор как стрелку, направленную в направлении ветра, причем длина стрелки пропорциональна скорости ветра.Ниже приведена иллюстрация двух измерений ветра, сделанных в разных точках; стрелки представляют векторы, связанные с этими измерениями.

     

     

     

     

     

    Векторы имеют величину и направление, но не имеют назначенного местоположения как такового. То есть, пока сохраняется направление и длина «стрелки», мы можем перемещать ее куда угодно, не меняя ее. Это важная характеристика, которая позволит нам широко работать с векторами.

     

    Представление векторов

    Наша первая задача — найти способ четкого и последовательного представления векторов. Графически это просто: поскольку мы можем перемещать вектор куда угодно, давайте всегда располагать «хвост» вектора в начале координат плоскости. (Обратите внимание, что «голова» и «хвост» вектора определяются, как показано ниже.)

     

     

     

    Теперь, когда хвост вектора помещен в начало координат (помните, что мы можем перемещать вектор куда угодно, пока сохраняем его направление и длину), мы можем количественно определить его как координаты головы. Пример показан ниже для вектора v . (Обратите внимание, что для того, чтобы отличить символы, представляющие векторы, от символов, представляющих скаляры, мы используем жирный шрифт. Другой распространенный метод — использовать маленькую стрелку над символом: например, вектор.)

     

     

     

    Таким образом, вектор v — это просто координаты точки (2, 3). Обратите внимание, что все векторы, показанные ниже, равны (2, 3) — наше соглашение состоит в том, что вектор описывается координатами точки в его начале только , когда его конец расположен в начале координат.

     

     

     

    Хотя мы показали вектор только в двух измерениях, этот подход можно обобщить на любое количество измерений. Например, в трех измерениях вектор будет иметь форму ( x, y, z ). Все свойства двумерных векторов можно легко распространить на три измерения.

    Но как нам «переместить» вектор с числовой точки зрения? Например, скажем, вектор v имеет голову в (3, 2) и хвост в (1, 4).

     

     

     


    Ответ заключается в перемещении (или перемещении) головы и хвоста на одинаковое расстояние и в одном направлении. Этот перевод должен привести к перемещению хвоста вектора в начало координат — простой процесс, который включает вычитание каждой хвостовой координаты из самой себя. В приведенном выше примере результат равен (3 – 3, 2 – 2) = (0, 0). Чтобы переместить голову, аналогичным образом вычтите координаты хвоста из координат головы — это удовлетворяет нашему критерию, согласно которому перемещение имеет фиксированное расстояние и направление.Таким образом, голову следует двигать следующим образом: (1 – 3, 4 – 2) = (–2, 2). Таким образом, в общем случае, чтобы найти значение произвольно расположенного вектора, нужно вычесть координаты хвоста из координат головы. Этот процесс проиллюстрирован ниже.

     

    Обратите внимание, что вектор (0, 0), иногда называемый нулевым вектором, имеет длину 0, но не имеет определенного направления. (То есть, независимо от того, какое направление вы выберете, нулевой вектор один и тот же.)

    Практическое задание: Определите значение каждого вектора, показанного на графике ниже.

     

    Решение: В каждом случае вы можете найти выражение координат для вектора, вычитая координаты хвоста из соответствующих координат головы. Это работает, даже если хвост находится в начале координат, который имеет координаты (0, 0). Но если хвост находится в начале координат, вектор также просто равен координатам головы. Если это вам поможет, перерисуйте векторы так, чтобы хвосты располагались в начале координат.

    и = (–1, 4)

     

    б = (–3, –3)

      

    в = (3 – 3, 2 – 0) = (0, 2)

     

    d = (3 – 2, –4 – [–1]) = (1, –3)

     

    Сложение и вычитание векторов


    Как и со скалярами, мы можем складывать и вычитать векторы. Процесс аналогичен, но с одной или двумя оговорками. Чтобы добавить или вычесть два вектора a и b , добавьте или вычтите соответствующие координаты вектора.То есть там, где a и b определяются следующим образом, здесь действуют правила сложения и вычитания.

     


    Обратите внимание, что, как и в случае со скалярами, сложение векторов является коммутативным, а вычитание — нет. Графически мы добавляем два вектора a и b , помещая хвост b в начало a , а затем создавая новый вектор, начиная с хвоста a и заканчивая головой b. .Координаты этого нового вектора определяются так же, как и раньше: размещением его хвоста в начале координат. Этот процесс проиллюстрирован ниже для векторов a = (4, 1) и b = (-1, 2).

     

     

     

    Обратите внимание, что

     

     

     

     

    Вычитание векторов выполняется в основном той же процедурой, что и сложение, за исключением того, что направление вычитаемого вектора «обращается».Рассмотрим те же векторы a и b , что и выше, за исключением того, что мы будем вычислять a b. (Обратите внимание, что это то же самое, что и , где – b имеет ту же длину, что и b , но противоположно по направлению.)

     

    Практическое задание: Выполните следующие векторные операции.

     

     

    а. (3, 2) — (4, 5) б.(-1, 5) + (10, -6) в. (-1, 0) — (0, 0)

     

     

    Решение: В каждом случае добавьте или вычтите соответствующие координаты, чтобы найти результат. Один из полезных способов проверить свой ответ — нарисовать векторы на графике, показать сложение или вычитание и сравнить полученные результаты.

     

    а. (-1, -3) б. (9, -1) в. (-1, 0)

     

    векторов — нормализация

    векторов — нормализация
    Длина вектора

    На рис. 1 показан фиксированный вектор со следующими координаты т.е.компоненты,
        a[3 1 2]
    другими словами,
        ax = 3 ,
        ay = 1 ,
        az = 2 ,


    Рисунок 1

    Величина (длина) вектора равна,

     длина = sqrt((ax * ax) + (ay * ay) + (az * az))
        длина = квадрат (9 + 1 + 4) = 3,742 

    В сокращенной записи величина вектора записывается с двумя вертикальные линии,

      |  и  |  = sqrt((ax * ax) + (ay * ay) + (az * az)) 

    Единичные векторы — нормализация

    Операции в 2D и 3D компьютерной графике часто выполняются с помощью копий. векторов, которые были нормализованы, т.е.преобразованы в единичные векторы. Для пример, учебник «РСЛ: краевые эффекты» применяет нормализацию перед вычислением скалярного произведения двух векторов. Нормализация вектора включает два шага:
    1   вычислить его длину, затем
    2   разделить каждый из его компонентов (xy или xyz) на его длину.

    Для заданного вектора a его компоненты xyz вычисляются следующим образом:

     х = топор/|а|
        у = ау/|а|
        г = аз/|а| 

    В качестве «рабочего примера» вектор, показанный на рисунке 1, имеет компоненты xyz. из 3, 1, 2 и длины 3.742. Следовательно, нормированная копия вектора будут иметь компоненты,

     х = 3,0 / 3,742 =  0,802 
        у = 1,0 / 3,742 =  0,267 
        г = 2,0 / 3,742 =  0,534  

    © 2002- Малкольм Кессон. Все права защищены.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.