Как называется область между двумя окружностями: Урок 10. взаимное расположение двух окружностей. использование уравнений окружности и прямой при решении задач — Геометрия — 9 класс

Содержание

метаболы, marching squares, электрические поля / Хабр

Пару месяцев назад я наткнулся на очень красивые анимации. В основе этих анимаций лежат несколько простых окружностей, но выделяет их то, насколько органично они сливаются друг с другом. Мне стало любопытно, как это работает, и моё исследование оказалось гораздо интереснее, чем я ожидал. Выяснилось, что соединяющиеся друг с другом круглые объекты называются метаболами (metaballs) и с ними связано множество математических и вычислительных понятий. Если вы в чём-то похожи на меня, то посмотрев на эти анимации, вы бы сразу задались вопросом, как подойти к решению такой задачи. Допустим, нам поручили разобраться с тем, как генерировать метаболы. Как сформулировать эту задачу? Что означает возможность органичного слияния окружностей? Как компьютер рендерит нечто подобное на экране? Всё это очень сложные вопросы.

В этой статье мы совершим путешествие и узнаем, как люди решают эту задачу. Базовый алгоритм, играющий неотъемлемую роль в генерации таких анимаций, называется marching squares.

Он используется во многих сферах графики, а также медицинской визуализации. Но каким бы полезным ни был алгоритм, самым важным в нашем путешествии будет то, насколько изящен этот подход при решении подобной задачи. Есть истинная красота в том, что мы берём расплывчатую задачу и преобразуем её в конкретный решаемый вид. Главная цель этой статьи — дать вам ощущение радости при исследовании смены точек зрения, превращающих подобные сложные задачи в решаемые.

Давайте начнём с анализа случая с двумя метаболами. В общем виде нам нужно найти способ генерации каждого кадра этой анимации. Если мы замедлим её, то получим понимание того, как она меняется со временем. Понаблюдайте за ней и попробуйте сделать какие-нибудь выводы. Обычно если я говорю так, то затем рассказываю о правильном взгляде на задачу, после чего появляется намёк на понимание. Но на этот раз я буду двигаться вместе с вами, я понятия не имею, с чего начинать, и мне не стыдно в этом признаться. Поэтому давайте для начала зададим более простой вопрос: есть ли в этой анимации кадры, отрендерить которые кажется проще, чем другие.

Самым простым случаем является любой кадр с двумя окружностями, но со сближением окружностей они начинают деформироваться, и эта часть нам непонятна. Однако посреди этого хаоса есть несколько кадров, которые по отдельности кажутся намного проще. Например, у нас есть форма, очень похожая на эллипс. В ещё одном кадре, где исходные окружности наложились друг на друга, мы просто получили один круг большего радиуса. Поэтому хотя у нас и нет понимания того, как создать эти кадры, у нас есть несколько отдельных кадров, отрендерить которые не так сложно. Иногда, столкнувшись с очень сложной задачей, бывает полезно рассмотреть то, чего мы можем достичь.

Давайте начнём наше путешествие с краткого рассказа о кругах и эллипсах. Они образуют фундамент понятий, на которых основаны метаболы. Математически для задания окружности достаточно двух параметров: центра и радиуса. Для задания эллипса достаточно центра и длины двух отрезков. Мы можем задать его показанным ниже уравнением.

Неудивительно, что эти функции очень похожи. Обе эти функции являются примерами неявных функций. У нас есть некая функция, зависящая от x и y, а результатом этой функции является некое постоянное значение. Это отличается от других функций, в которых есть одна переменная, явно заданная как функция от другой. Очень часто с определением неявной функции просто легче работать, как и в случае с кругами и эллипсами. Вернёмся к метаболам: мы знаем, что если в случае этих конкретных кадров мы сможем получить соответствующие параметры кругов или эллипсов, то получим полное определение фигуры, которую нам нужно отрендерить. Возникает естественный вопрос: возможно, другие кадры тоже имеют некую загадочную неявную функцию, которую можно определить. Хоть мы и не можем этого доказать, интуитивно нам понятно, что для этих фигур должна быть какая-то неявная функция, похожая на функции окружности и эллипса. И может быть, эти неявные функции метаболов имеют свойства, позволяющие нам рендерить их, но в этих допущениях много неопределённости. Настало время снова взглянуть на задачу под другим углом.

Вероятно, многие из вас знают методику решения задач, основной идеей которой является решение более простой версии задачи. Существует ещё одна контринтуитивная техника: иногда разумно усложнить задачу. На данном этапе мы пытаемся разобраться, как рендерить кадры анимации, в которой некоторые кадры являются неявными функциями, определяющими форму круга или эллипса, а другие могут быть неявными функциями, рендерящими объединённые вариации фигур. Есть надежда, что некоторые из идей о том, как мы рендерим круги и эллипсы, помогут нам разобраться, как рендерить другие непонятные кадры. Но всё это отдельные случаи более масштабного вопроса: сможем ли мы найти способ рендеринга любой неявной функции вида . Кажется, что этот вопрос может оказаться намного сложнее, но это именно тот вопрос, на который нам нужно ответить, чтобы продвинуться в решении исходной задачи. Итак, давайте сыграем в игру. Допустим, у нас есть какая-то загадочная функция, получающая точку в 2D-пространстве и возвращающая значение функции в этой точке.

Наша задача — найти все точки в пространстве, равные определённому значению в нашем примере. Например, допустим, нам нужно найти все точки, равные 1. Как подойти к решению этой задачи? Легче всего просто сэмплировать точки случайным образом, и если мы окажемся в пределах порогового значения от нашего значения, можно будет сказать, что мы нашли нужную точку. Но проблема здесь в том, что даже при достаточно большом пороговом значений вероятность оказаться близко с нужной точкой крайне низка. То есть это не настоящее решение задачи. Если немного подумать, то можно попробовать упростить ситуацию, сведя всё к двум случаям: каждая сэмплируемая точка или больше, или меньше целевого значения. Мы можем обозначить эти случаи цветами. Точки меньше 1 будут синими, а точки больше 1 будут зелёными. Давайте теперь выполним сэмплирование и посмотрим, что произойдёт.

Сэмплировав 1000 точек, мы почти ничего не увидим:

Но если сэмплировать 10000, то, возможно, станет что-то понятно.

После увеличения количества сэмлируемых точек до 20000 разница между двумя случаями начинает создавать чёткий контур.

Добавим несколько целевых точек, чтобы картина была понятна.

Я буду называть целевые точки контуром нашей неявной функции. Наша главная задача — найти контур при значении 1. У меня есть и более тайные мотивы — я всегда пытался найти способ вставить в свои материалы Бэтмена, и мне наконец-то это удалось.

Некоторым из вас может быть знакома функция Бэтмена, которую я нашёл в одном из постов на StackExchange. Забавно, что она является примером неявной функции (довольно некрасивой, если честно, зато результат её хорош).

Кроме того, для наших целей удобно то, что контур при значении 1 определяется разностью между точками больше и меньше единицы. Это кажется очевидным, когда видишь картину наглядно, но на самом деле это очень важная мысль, которую можно использовать.

Допустим, у нас есть две точки из нашей неявной функции. Есть два случая, которые нужно рассмотреть. Есть вероятность, что обе из вычисленных точек больше единицы, тогда мы совершенно ничего не узнали о контуре, который пытаемся выявить.

Мы просто знаем, что эти точки находятся внутри контура, но неизвестно, насколько глубоко.

Ещё один случай заключается в том, что обе точки меньше нуля, и он столь же бесполезен. Они находятся снаружи контура, но у нас нет настоящей информации о том, где может находиться контур относительно этих точек.

Третий случай интересен — допустим, наша функция в одной точек имеет значение меньше 1, а в другой — больше 1. О чём это нам говорит? Значит, что теперь контур, на котором все точки равны 1, находится где-то между этими двумя точками. И на самом деле мы теоретически можем найти по крайней мере одну целевую точку. Мы можем многократно разделять отрезок с любым количеством шагов. Чем больше шагов, тем выше точность. По сути, это двоичный поиск по вещественным числам и основа простейших алгоритмов поиска корней.

Небольшое примечание: мы предполагаем, что точки больше целевого значения находятся внутри контура, а точки меньше целевого значения — снаружи. Этим предположением мы будем пользоваться до конца статьи, но стоит заметить, что это всего лишь условность, и в некоторых источниках всё будет наоборот. Но на самом деле это неважно, потому что главное, чтобы точки были равны целевому значению.

Отлично, у нас начинает что-то получаться: мы нашли способ поиска точки на контуре нашей функции в 2D-пространстве. Помните, что наша цель — найти приблизительную форму всего контура. Нам необходим какой-то упорядоченный способ сэмплирования точек для любого графического приложения. Простейший вариант — сэмплировать точки по сетке. Допустим, мы создали сетку определённого разрешения и сэмплируем углы каждой ячейки сетки. Давайте увеличим одну ячейку и поразмыслим над тем, что происходит.

Существует пара ключевых случаев. Если все сэмплируемые точки ячейки меньше 1, то мы знаем, что эта конкретная ячейка находится снаружи контура. Когда все точки больше 1, то ячейка должна находиться внутри контура. В обоих этих случаях мы не можем создать аппроксимацию того, где находится контур. Но если хотя бы одна точка больше 1 и одна точка меньше 1, то мы получим некую информацию. Допустим, левая верхняя сэмплируемая точка находится внутри контура, а все остальные — снаружи. Что из этого следует? Что мы теперь точно знаем, что контур должен проходить через эту ячейку и можем проделать описанное выше упражнение. Одна точка находится внутри, а другая снаружи, поэтому при помощи поиска корней можно найти точку на контуре.

Можно повторить процесс и для других двух точек. Принцип заключается в том, что если мы соединяем две точки, то они являются аппроксимацией того, как контур проходит через ячейку. Давайте рассмотрим ещё один пример этой идеи в действии.

В этой конкретной ячейке точки слева находятся внутри контура, а точки справа — снаружи. Мы выполняем поиск корней на краях с точкой внутри и снаружи контура, чтобы найти, где конкретно контур проходит через край, после чего можем аппроксимировать контур как линию, проходящую через эти две точки.

В целом идея заключается в том, что при уменьшении таких сеток линии, используемые для аппроксимации контура внутри ячейки становятся более точными. Мы рассмотрели два случая того, как контур может проходить через ячейку. Теперь давайте рассмотрим все остальные случаи. Всего существует 16 случаев, так как точка квадрата находится или внутри, или снаружи контура. Здесь хорошо будет проверить наше понимание и посмотреть, сможем ли мы нарисовать аппроксимацию контура по ячейке для каждого из этих случаев. Мы уже видели, как это работает для четырёх случаев. Не будем обращать внимания на то, где именно точки находятся на грани, это будет зависеть от неявной функции. Помните, что в зависимости от значений неявной функции в углах ячейки конечные точки контура могут быть в любом месте соответствующей грани. Чтобы упростить отрисовку, предположим, что контур просто проходит через середину соответствующих граней. Теперь давайте разберём оставшиеся случаи. Несмотря на то, что осталось 12 случаев, многие из них симметричны. Давайте их упорядочим. Два случая, когда все точки внутри или снаружи контура, по сути, аналогичны, так как линия контура не проходит через ячейку. Далее у нас есть квадраты, где внутри сетки. Следующая группа — где точки одной грани каждого квадрата находятся внутри контура, а точки другой грани — снаружи. Есть два случая, когда точки внутри контура находятся в противоположных углах. Наконец, есть случаи, когда внутри контура только одна точка.

На практике простейшим способом реализации этой логики является таблица поиска (lookup table), содержащая эти данные. Хочу кратко упомянуть пограничные случаи, которые нужно учитывать в некоторых областях применения.

В этих двух случаях мы предполагаем, что все точки внутри выделенного жёлтым пространства находятся внутри контура, но это необязательно правда. Нашей функции ничего не мешает иметь точку вне контура в центре ячейки. В большинстве случаев это не будет проблемой, но подобное стоит учитывать и при необходимости обрабатывать. Существует относительно простое обходное решение, улучшающее аппроксимацию: можно просто сэмплировать ещё и центральную точку, чтобы конкретизировать ситуацию. Но вернёмся к нашей основной задаче — нахождению контура неявной функции. Вот, что мы уже сделали: взяли двухмерное пространство и разбили его сеткой квадратов.

Любой квадрат в этой сетке с сэмплированными точками из нашей неявной функции гарантировано будет иметь конфигурацию с одним из рассмотренных нами случаев. И в зависимости от случая мы при помощи поиска корней найдём точки на краях квадрата, в которых контур равен целевому значению, а затем соединим эти точки. Поиск корней — основной рассмотренный нами способ нахождения точек на контуре с произвольной точностью, но на практике существует более эффективный способ, при этом обладающий достаточной точностью. Давайте проведём небольшой эксперимент с точками.

Допустим, у меня есть ячейка со следующими сэмплированными из нашей неявной функции значениями. Если левый верхний угол ячейки имеет значение 1,5 а правый верхний угол — значение 0, то вместо выполнения поиска корней между этими точками для нахождения точной координаты (x, y), мы можем просто аппроксимировать её и предположить, что контур пересекает грань на трети пути между этими двумя точками. Мы можем повторить тот же процесс с нижней гранью, где ожидается, что контур пересечёт грань примерно на трёх четвертых пути между двумя точками. Когда у нас есть грань квадрата, одна точка которой находится внутри контура, а другая снаружи, то мы можем воспользоваться парой ключевых идей для приблизительного вычисления точки между ними. Во-первых, мы всегда будем сразу знать или значение x, или значение y. Помните, что наша точка контура между этими двумя сэмплированными точками всегда будет или на вертикальной, или на горизонтальной прямой, поэтому есть только одна неизвестная координата. Далее нам нужно сделать важное предположение: что значения функции будут линейно меняться от одной точки до другой. Это позволяет нам определить другую координату при помощи алгебраических вычислений. Эти вычисления представляют собой распространённую в компьютерной графике методику под названием «линейная интерполяция». В большинстве областей применения она гораздо быстрее чем поиск корней.

Эта аппроксимация достаточно хороша, чтобы сделать её предпочтительным способом расчёта. Давайте вставим найденное нами в алгоритм, который формально называется marching squares. Сделаем задачу более формальной: у нас есть некая неявная функция и нам нужно получить аппроксимированный контур функции, при котором все точки контура были бы равны некому конкретному значению. Подобные виды контуров также называют изолиниями («iso contours»).

Marching squares — это алгоритм, предназначенный для определения изолиний неявных функций. Но как бы сложно это ни звучало, им мы, по сути, задаём разрешение сетки и проходим квадратом по этой сетке. У большинства квадратов все точки будут находиться или внутри, или снаружи контура. В таком случае мы просто переходим к следующему квадрату. Однако интересные нам квадраты будут одними из оставшихся случаев, когда контур проходит через квадрат. Когда мы сталкиваемся с одним из таких случаев, можно найти точки пересечения на гранях при помощи линейной интерполяции и получить локальную аппроксимацию того, как контур проходит через ячейку. Когда разрешение низко, наш контур не будет выглядеть достаточно точным, но при увеличении разрешения контур улучшается. Это и есть фундаментальная идея, лежащая в основе marching squares. В целом это очень изящный алгоритм. Очевидно, что чем выше разрешение сетки, выбранное нами для выполнения marching squares, тем дольше будет генерироваться контур, поэтому всегда приходится идти на компромисс между точностью и скоростью. Но есть и другое свойство marching squares, которое делает этот алгоритм очень привлекательным для графических приложений. В computer science есть понятие, которое всегда мне казалось довольно забавным. Мы называем алгоритм чрезвычайно параллельным (embarrassingly parallel), если его легко можно превратить в независимые параллельные задачи.

Marching squares является примером такого алгоритма. Вот как это работает: проще всего можно понять параллельную версию marching squares, представив, что для вычислений в каждой ячейке сетки определённого разрешения я дал вам отдельный компьютер. Смысл в том, что мы можем обрабатывать каждую ячейку независимо от всех остальных ячеек. На практике нам нужна возможность обеспечить каждому компьютеру простой способ вычисления скалярного значения функции в каждом углу соответствующей ячейки. Это можно реализовать хранением общей для всех компьютеров карты точек скалярных значений функции, предназначенной только для чтения. Тогда после того, как компьютер обработает отдельный случай для каждой ячейки, он сможет записать информацию о геометрии в общую для всех компьютеров область памяти. После того, как все компьютеры закончат нужную операцию, мы можем использовать информацию для рендеринга всего контура. Почти все приложения, требующие определённого уровня производительности алгоритма marching squares, используют параллельную версию. Давайте сделаем шаг назад и посмотрим на картину того, чего мы уже добились. Помните, что мы начали наше путешествие с вопроса о том, как можно рендерить метаболы. Мы считали, что метаболы — это просто определённый вид неявной функции, поэтому пошли по пути попытки решения более сложной задачи — рендеринга контура любой неявной функции. И это привело нас к алгоритму marching squares. Теперь, когда мы решили более сложную задачу, остался вопрос: как применить marching squares к генерации метаболов?

Если бы у нас была неявная функция метаболов, то это было бы достаточно просто. Но какова неявная функция метабола? Здесь я бы мог просто заспойлерить ответ, но существует невероятная связь, о которой я бы хотел рассказать вам. Она показывает, почему неявная функция метаболов задаётся именно так. Это будет очень интересно, я обещаю.

До этого момента мы рассуждали о неявных функциях только в контексте одного значения контура. Но что если одновременно рассмотреть множество значений контура. Если мы попробуем это сделать, то контуры нашей неявной функции вместе будут выглядеть как что-то вроде энергетического поля. И вот что интересно: смоделировав каждую отдельную форму как энергетическое поле, любопытно было бы задаться вопросом: что произойдёт, если я соединю два энергетических поля. Как это будет выглядеть? Естественным способом моделирования слияния этих полей будет аддитивная интерференция: мы суммируем отдельные неявные функции. Именно отсюда и возникает кривизна. Потрясающе, правда?

И мы ещё не закончили: источником вдохновения для этих идей было то, что многие из вас уже опознали. Если вы проходили физику, то могли понять, что это очень похоже на действие эквипотенциальных линий двух зарядов в электрическом поле. Если у нас есть два положительных заряда и мы нарисуем их линии электрического поля, а также их линии электрического потенциала, то это будет той же схемой, которую мы видели ранее.

Математика, лежащая в основе неявных функций метаболов, в конечном итоге оказывается очень похожей. Электрический потенциал в определённой точке пространства является суммой каждого отдельного электрического потенциала от заряда, а значение электрического потенциала обратно пропорционально расстоянию от каждой заряженной частицы.

Можете ли вы догадаться, какой будет неявная функция, которую мы используем для моделирования отдельного метабола? По сути, это будет та же взаимосвязь. Для отдельного метабола мы используем неявную функцию , где — это расстояние от центра метабола. Если нам нужно смоделировать два метабола, то конечной неявной функцией будет сумма отдельных неявных функций каждого метабола. Не представляю, о чём вы думаете сейчас, но когда я увидел это, то был совершенно поражён. Какая потрясающая связь между сферами математики компьютерной графики и физикой!

Имея эту неявную функцию, достаточно легко изменять параметры наших метаболов. Мы можем увеличить размер отдельного метабола, увеличив неявную функцию, а также поменять местоположение метабола. Если у нас есть любое количество метаболов, которые нужно смоделировать, то мы можем просто суммировать каждый отдельный вклад каждой неявной функции. Благодаря всем этим инструментам создание подобных анимаций становится не такой уж сложной задачей. Мы задаём неявную функцию для тех метаболов, которые хотим смоделировать, а затем придаём каждому метаболу скорость и обновляем его позицию по времени. Каждая новая позиция приводит к образованию новой неявной функции и каждый кадр является просто рендерингом этой неявной функции с заданным значением контура. Остальным занимается алгоритм marching squares.

Прежде чем мы закончим с метаболами, я бы хотел сделать краткое примечание: хотя истинная неявная функция метабола задаётся как функция обратного расстояния, на практике никто не пользуется этой функцией, потому что у неё есть некоторые неудачные свойства, из-за которых работа с ней становится неудобной. Работающие с графикой люди обычно предпочитают использовать полиномиальную аппроксимацию этой функции, которая, по сути, даёт тот же результат. Причины этого объяснять довольно сложно, поэтому я не хотел бы в это вдаваться, но в конце статьи я укажу ссылки на дополнительные источники. Те же принципы применимы и к трёхмерным функциям. Для рендеринга трёхмерной неявной функции можно использовать marching cubes. Если вы разобрались в marching squares, то поймёте, что marching cubes является естественным расширением алгоритма до 3D-пространств. Мы разделяем пространство на 3D-сетку и проходим кубом через это пространство. Ключевое отличие заключается в том. что теперь мы используем точки, сэмплированные в углах куба, и определяем аппроксимации треугольников, локально описывающих пространство. Применив этот принцип ко всему пространству, мы получим группу треугольников, образующих меш, который можно использовать для описания 3D-объекта.

Marching cubes — это очень мощный алгоритм, и если вы хотите посмотреть на примеры его применения, то крайне рекомендую посмотреть

это видео

Себастьяна Лага, оно просто потрясающее. Теперь вы достаточно хорошо понимаете вычисления и алгоритмы, лежащие в основе анимаций метаболов. Это было очень нестандартное знакомство с marching squares, неявными функциями и метаболами, но я считаю, что это хороший способ изучения концепций. Краткая личная история: когда я учился в колледже, то немного познакомился с marching squares и marching cubes на одном из курсов по графике. Это классическая история — я узнал о теме на лекции, когда нам показывали примеры, демонстрирующие концепцию. Мы выполнили несколько домашних заданий по теме, а позже сдали экзамен, и я, как и большинство людей, практически всё забыл. Вернувшись к своим конспектам курса я осознал, что никогда на самом деле не понимал, насколько красивы и изящны эти идеи. Всё это я говорю для того, чтобы донести, насколько я был потрясён, когда случайно наткнулся на тему метаболов и мои отношения с этой концепцией оказались совершенно другими. Мне настолько интересно было разбираться в том, как это работает, что я даже реализовал систему в рамках моей статьи. И я думаю, что такой способ изучения, когда моя цель заключалась в создании чего-то на основе знаний, оказался намного более значимым, чем выслушивание стандартной лекции. Это очень важный вывод — ключевым фактором в изучении новых идей и понятий, особенно в мире computer science — это эксперименты, которые нужно проводить при малейшей возможности. В computer science есть так много идей, которые можно развить, и самое важное, что вы можете получить от этой статьи — ощущение, что время, которое вы уделяете на самостоятельное исследование этих идей, может быть достаточно полезным.

Как работает инструмент Фокальная статистика—ArcGIS Pro

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Доступно с лицензией Image Analyst.

Инструмент Фокальная статистика выполняет операцию окрестности, которая вычисляет выходной растр, где значением для каждой выходной ячейки является функция значений всех входных ячеек, которые находятся в заданной окрестности вокруг этого места. Выполняемая над входными данными функция – это вычисление статистики, например максимума, среднего или суммы всех значений, находящихся в этой окрестности.

Концептуально, после выполнения, алгоритм посещает каждую ячейку растра и рассчитывает заданную статистику с определением окрестности. Ячейка, для которой вычисляется статистика, называется обрабатываемой ячейкой. Значение обрабатываемой ячейки, а также все значения ячеек в определенной окрестности, участвуют в вычислении статистики окрестности.

Окрестности могут накладываться, так что ячейки в одной окрестности также могут быть включены в окрестность другой обрабатываемой ячейки.

Пример

Чтобы проиллюстрировать обработку окрестности для инструмента Фокальная статистика путем расчета суммарной статистики, рассмотрим обработку ячейки со значением 5 на следующей диаграмме. Задаётся окрестность прямоугольной формы размером 3 на 3 ячейки. Сумма значений ячеек окрестности (3 + 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 4 = 19) плюс значение обрабатываемой ячейки (5) равняется 24 (19 + 5 = 24). Поэтому значение 24 дается ячейке выходного растра в том же местоположении, что и обрабатываемая ячейка входного растра.

На диаграмме ниже показано, как выполняются вычисления на одной ячейке входного растра. На следующей диаграмме показаны результаты всех входных ячеек. Выделенные желтым ячейки определяют ту же обрабатываемую ячейку и окрестность, как в примере выше.

Окрестность может быть в форме кольца, окружности, прямоугольника или клина. В окрестности можно вычислить следующие статистические параметры – среднее, большинство, максимум, медиана, минимум, меньшинство, диапазон, среднеквадратичное отклонение, сумма и разнообразие.

Инструмент Фокальная статистика обеспечивает контроль над типом окрестности и вычисляемой статистикой.

Типы окрестностей

Окрестность может быть в форме кольца, окружности, прямоугольника или клина. Используя керн-файл, вы можете определить пользовательскую форму окрестности, а также присвоить различные веса конкретной ячейке в окрестности до вычисления статистики.

Ниже рассматриваются различные формы окрестности и то, как они определяются:

  • Кольцо
    • Форма плоского кольца состоит из двух окружностей, одно внутри другого, формирующих форму бублика. В обрабатываемую окрестность будут включены ячейки, центры которых попадают за пределы круга меньшего радиуса, но внутрь круга большего радиуса. Поэтому, область между двумя окружностями становится окрестностью кольца.
    • Радиус определяется в ячейках или единицах карты и измеряется перпендикулярно оси x или оси y. Если радиусы указаны в единицах карты, то они конвертируются в единицы ячеек. Итоговый радиус в единицах ячеек задаёт область, которая наиболее точно определит область, вычисленную с помощью исходного радиуса в единицах карты. Все ячейки, центры которых попадают между окружностями, будут включены в обрабатываемую окрестность.
    • Окружность кольца по умолчанию – внутренний радиус одной ячейки и внешний радиус трех ячеек.
    • Пример вычисления кольцевой окрестности:

    Пример обработки ячейки с кольцевой окрестностью по умолчанию (внутренний радиус 1 ячейка, внешний радиус 3 ячейки).

  • Клин
    • Клин – это окрестность в форме клина, определяемая радиусом, начальным и конечным углами.
    • Клин строится в направлении против часовой стрелки от начального угла до конечного угла. Углы задаются в арифметических градусах от 0 до 360, где 0 находится на положительной x-оси (3:00 часа), и могут быть как целочисленными, так и с плавающей точкой. Можно использовать отрицательные значения углов.
    • Радиус определяется в ячейках или единицах карты и измеряется перпендикулярно оси x или оси y. Если радиус указан в единицах карты, то они конвертируются в единицы ячеек. Итоговый радиус в единицах ячеек задаёт область, которая наиболее точно представляет область, определенную ранее в единицах карты. Все ячейки, центры которых попадают в клин, будут включены в обрабатываемую окрестность.
    • Клиновидная окрестность по умолчанию имеет углы от 0 до 90 градусов, с радиусом, равным трем ячейкам.
    • Пример вычисления клиновидной окрестности:

    Пример обработки ячейки с клиновидной окрестностью по умолчанию (радиус 3 ячейки, начальный угол 0, конечный угол 90).

Тип статистики

Доступная статистика: Большинство (Majority), Максимум (Maximum), Среднее (Mean), Медиана (Median), Минимум (Minimum), Меньшинство (Minority), Диапазон (Range), Стандартное (среднеквадратическое) отклонение (STD) и Сумма (Sum). Тип статистики, используемый по умолчанию – Среднее.

  • Большинство
    • Входными данными могут быть только целочисленные растры.
    • Сначала определяется частота каждого уникального значения ячейки в окрестности. Если имеется только одно значение, которое имеет наивысшую частоту (наиболее частое), это значение возвращается как выходное для данной ячейки. Однако может возникнуть ситуация, когда два и более значений имеют максимальную частоту. В этом случае, обрабатываемая ячейка в выходном растре получит значение NoData.
  • Максимум
    • Если входной растр целочисленный, значения на выходном растре будут целочисленными; если значения на входном растре представлены числами с плавающей точкой, значения на выходном растре будут также представлены числами с плавающей точкой.
  • Среднее
    • Это может быть целочисленный растр или растр с плавающей точкой.
    • Выходной растр всегда будет представлен числами с плавающей точкой.
    • Тип статистики Среднее может быть использован с типом окрестности Вес.
  • Медиана
    • Это может быть целочисленный растр или растр с плавающей точкой.
    • Выходной растр всегда будет представлен числами с плавающей точкой.
    • Когда количество действительных значений ячеек в окрестности нечетное, значение медианы вычисляется путем ранжирования значений и выбора среднего значения. Если число значений в окрестности четное, значения ранжируются, и находится среднее для двух срединных значений.
  • Минимум
    • Если входной растр целочисленный, значения на выходном растре будут целочисленными; если значения на входном растре представлены числами с плавающей точкой, значения на выходном растре будут также представлены числами с плавающей точкой.
  • Меньшинство
    • Входными данными могут быть только целочисленные растры.
    • Сначала определяется частота каждого уникального значения ячейки в окрестности. Если имеется только одно значение, которое имеет наименьшую частоту (наименее частое), это значение возвращается как выходное для данной ячейки. Однако может возникнуть ситуация, когда два и более значений имеют минимальную частоту. В этом случае, обрабатываемая ячейка в выходном растре получит значение NoData.
  • Процентиль
    • Это может быть целочисленный растр или растр с плавающей точкой.
    • Выходной растр всегда будет представлен числами с плавающей точкой.
    • Результат статистики процентиля вычисляется по следующей формуле (Hyndman and Fan, 1996):
      pk = (k-1)/(n-1)
  • Интервал
  • Среднеквадратичное отклонение
    • Выходной растр всегда будет представлен числами с плавающей точкой.
    • Тип статистики Среднеквадратическое отклонение может быть использован с взвешенной окрестностью.
    • Обратите внимание, что средне-квадратическое отклонение вычислено для всей популяции (метод N), а не для выборки (метод N-1).
  • Сумма
    • Если входной растр целочисленный, значения на выходном растре будут целочисленными; если значения на входном растре представлены числами с плавающей точкой, значения на выходном растре будут также представлены числами с плавающей точкой.
  • Разнообразие
    • Входными данными могут быть только целочисленные растры.

Обрабатываемые ячейки NoData

Параметр Игнорировать значение NoData при вычислениях (Ignore NoData in calculations) определяет, как в окне окрестности обрабатываются ячейки со значением NoData. Если эта опция включена (опция DATA) любые ячейки NoData в окрестности будут игнорироваться в вычислениях выходного значения ячейки. Если опция не включена (опция NODATA), то при наличии в окрестности ячейки NoData выходная ячейка также будет NoData.

Если обрабатываемая ячейка имеет значение NoData и при этом включена опция Игнорировать NoData, выходное значение ячейки будет рассчитываться на основании значений других ячеек окрестности, имеющих допустимые значения. Если все ячейки в окрестности имеют значение NoData, в выходных данных будет указано значение NoData, независимо от настройки этого параметра.

Справочная информация

  • Hyndman, R. J. and Fan, Y. (November 1996). «Sample Quantiles in Statistical Packages», The American Statistician 50 (4): pp. 361-365.
Связанные разделы

Отзыв по этому разделу?

Выделение фрагментов в Photoshop Elements

В Photoshop Elements можно точно настроить выделенный фрагмент при помощи диалогового окна «Уточнить край» (выделите часть изображения, нажмите правой кнопкой мыши выделенный фрагмент и выберите «Уточнить край» в контекстном меню). Диалоговое окно «Уточнить край» также можно открыть, нажав «Выбрать» > «Уточнить край».

Чтобы открыть диалоговое окно «Уточнить край» в Mac, выберите фрагмент изображения, нажмите клавишу Control и мышью выберите «Уточнить край».

Режим просмотра. Во всплывающем меню «Вид» выберите режим просмотра для выделенной области. Нажмите F, чтобы перейти от одного режима к другому.

Инструмент «Показать радиус».  Указывает радиус уточнения края.

Инструменты «Уточнить радиус» и Стереть уточнение . Точно корректирует область границы, в которой выполняется уточнение краев. Чтобы быстро переключиться от одного инструмента к другому, используйте клавишу E. Чтобы изменить размер кисти, используйте клавиши квадратных скобок. Примечание. Проведите кистью по мягким областям (волосы или мех), чтобы увеличить детализацию выделенной области.

Инструмент «Умный радиус». Автоматически корректирует радиус для четких и нечетких краев, обнаруженных в области границы. Отмените выбор этого параметра, если граница по всей длине имеет одинаково четкие или одинаково нечеткие края или если вам необходимо более точно контролировать настройку радиуса и уточняющие кисти.

Радиус. Определяет размер границы выделенной области, для которой выполняется уточнение краев. Используйте маленький радиус для резких краев и большой для более мягких краев.

Плавное. Сокращает искривленные области («выпуклости и впадины») в границе выделенной области, создавая более плавные очертания.

Растушевка. Размывает переход между выделенной областью и окружающими ее пикселями.

Контрастность. Плавные края перехода вдоль границы выделенного фрагмента при увеличении выглядят более четкими. В таком случае использование инструмента «Умный радиус» и инструментов уточнения будет более эффективным.

Инструмент «Сместить край». Перемещает границы с мягкими краями внутрь с отрицательными значениями или наружу с положительными значениями. Смещение этих границ внутрь помогает убрать нежелательные цвета фона с краев выделения.

Инструмент «Очистить цвета». Меняет цветную кайму на цвет полностью выделенных близлежащих пикселей. Эффект замены цвета вычисляется пропорционально мягкости краев выделенной области.

Важная информация. Поскольку этот параметр изменяет цвет пикселей, требуется ввести его в новый слой или документ. Сохраните исходный слой, чтобы его можно было вернуть в случае необходимости (чтобы наглядно оценить изменение цвета пикселя, выберите режим просмотра «Показать слой»).

Интенсивность. Изменяет уровень очистки и замены кромки.

Вывод в. Определяет, становится ли уточненная выделенная область выделением или маской на текущем слое, либо образует новый слой или документ.

Расстояние между двумя параллельными прямыми линиями

Расстояние между двумя параллельными прямыми линиями  [c.109]

Отклонением от прямолинейности образующих называется расстояние между двумя параллельными прямыми, между которыми полностью вписывается линия сечения поверхности плоскостью, проходящей  [c.127]

Поле зацепления. До сих пор, в сущности, рассматривалось только зацепление плоских шаблонов, имеющих форму сечения цилиндрического колеса плоскостью, параллельной торцовой. Прямые зубья реальных цилиндрических колес, образующих передачу, соприкасаются не в точке, а по контактной линии, параллельной осям вращения колес, которая проецируется в точку С на торцовую плоскость. При вращении колес эта контактная линия перемещается в пространстве вместе с точкой С. След ее движения образует плоскость, или поле зацепления (рис. 9.11), ширина которого Ь равна ширине колес, а длина ga — длине активного участка линии зацепления. Активный участок ограничивают точки пересечения окружностей вершин (с радиусами Гах, Газ) с линией зацепления NyN . Как было показано на рис. 9.7, расстояние между двумя соседними эвольвентными профилями, измеренное по общей нормали к ним (а линия зацепления NiN и есть такая общая нормаль), равно pi,i — шагу зубьев по основной окружности. Так как шаг ры = л /2, то с учетом формулы (9.8)  [c.245]


Волокна располагаются вдоль кривых, являющихся ортогональными траекториями семейств прямых. Следовательно, они располагаются вдоль параллельных (конгруэнтных) кривых] например прямых или концентрических окружностей. Расстояние между двумя кривыми одного семейства, измеряемое вдоль прямой нормальной линии, является одним и тем же для каждой нормальной линии. Таким образом, при любой кинематически допустимой деформации первоначально прямолинейные и параллельные волокна остаются параллельными, хотя и не прямолинейными. Расстояние между двумя волокнами остается таким же, каким оно было в недеформированном состоянии.  [c.304]

Торцы бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Сетка линий, нанесенная на торцы, оставаясь ортогональной, испытывает деформацию. Прямые линии, первоначально параллельные двум боковым граням бруса, остаются прямолинейными и поворачиваются друг относительно друга на тем больший угол, чем было больше расстояние между ними до деформации. Линии сетки на торце, параллельные верхней и нижней граням, искривляются.  [c.101]

Предварительные замечания. Виды передач. Зубчатые передачи делятся на взаимно обкатывающиеся и винтовые передачи (фиг. 169-1). У обкатывающихся передач (с прямыми и коническими зубьями) воображаемые жестко закрепленные тела качения (цилиндр или конус) взаимно обкатываются одно по другому с одинаковой окружной скоростью. Оси вращения их или параллельны, или пересекаются. У винтовых передач (червячных и винтовых зубчатых передач) одно тело качения свинчивается с другим. Их оси скрещиваются. У винтовых и червячных зубчатых передач точки зацепления лежат в непосредственной близости от линии кратчайшего расстояния между двумя осями, у гипоидных удалены от нее.  [c.290]

Допуски (оба допуска в минус) следует взять по нормалям для постоянной хорды по табл. 41. основного шага Atg. Эта проверка (см. табл. 29, п. 9) характеризует равномерность последовательного включения рабочих профилей зубьев колеса в зацепление и является показателем плавности работы колеса. Измерение производится нормально (перпендикулярно) к одноименным профилям двух соседних зубьев, т. е. определяется размер между двумя эвольвентами по линии зацепления е (см. фиг. 170). Такой метод измерения основан на том, что эвольвентные профили являются эквидистантными, т. е. равноотстоящими по направлению нормалей к этим профилям, как видно из фиг. 188. Если к таким профилям провести касательные АБ и ВГ, параллельные между собой, то расстояние между касательными будет равно основному шагу. Это геометрическое свойство использовано в устройстве шагомеров типа КС с тангенциальными наконечниками, пригодными для измерения цилиндрических колес с прямым и косым зубом. Шагомеры КС-10 (до модуля 10) и КС-20 (для модулей 8—20) имеют универсальную настройку, а КС-36 (для модулей 18—36)имеет сменные призмы для каждого проверяемого модуля.  [c.222]


Наибольшая опасность для людей наблюдается бесспорно при работах с применением строительных машин в непосредственной близости от токоведущих проводов. При сооружении трубопроводов и при ремонтных работах необходимо тщательно следить за тем, чтобы были выдержаны достаточные безопасные расстояния с целью исключить прямое прикосновение к проводу или проскакивание электрической дуги (рис. 23.3). В рекомендациях [1] в случае рабочего напряжения ПО кВ и более предписано единое во всех случаях минимальное расстояние в 5 м, которое должно соблюдаться и при колебательных движениях проводов под действием ветра. Опасности в общем случае не должно быть, если при параллельной прокладке трассы трубопровода ее расстояние от проекции на землю самого крайнего фазового провода составляет не менее 10 м и если строительные машины работают преимущественно на стороне траншеи, противоположной высоковольтной линии. При пересечениях с высоковольтными линиями в местах наименьшей высоты проводов над грунтом, т. е. примерно в середине высоты между двумя соседними мачтами земляные работы по выполнению колодцев и траншей должны проводиться вручную. По воздушным линиям с напряжением более 10, но менее ПО кВ в рекомендациях [1] нет указаний. Здесь по возможности следует выдерживать расстояние не менее 3 м. Может быть целесообразным ограничение высоты  [c.426]

Расстояние по нормали между двумя ближайшими друг к другу параллельными прямыми, лежащими в плоскости, касательной к основному цилиндру и ограничивающими действительную контактную линию  [c. 265]

При расчете стационарного обтекания бесконечной плоской решетки в силу периодичности решения можно ограничиться рассмотрением течения между двумя соседними профилями. Форма расчетной области показана на рис. 4.1. Участки границы области АВ, А В и D, D могут быть заданы достаточно произвольными парами конгруэнтных линий. Для простоты они строились как отрезки прямых, проходящих соответственно через передние и задние кромки профилей под углами yi и y2 к фронту решетки. Отрезки АЛ и DD проводились параллельно фронту решетки на расстоянии, примерно равном шагу решетки t от передних и задних кромок.,  [c.129]

Изучение температурного поля с помощью электрической модели показывает, что параллельность изотермических поверхностей будет довольно сильно нарушаться вблизи зоны раздела и расстояние, с которого нарушение практически вырождается, равно примерно шагу между двумя контактными пятнами. Изменение температуры в канале по оси микровыступа будет представляться кривой MNK, при этом в точке N, соответствующей месту фактического контакта, наблюдается равенство температур обоих тел. Незначительная толщина поверхностного слоя металла, где происходит интенсивная перегруппировка линий теплового тока, позволяет изобразить распределение температур вблизи клеевой зоны прямыми ММ и КК с условным скачком температуры АГ. Величина его может быть легко определена опытным путем с помощью метода экстраполяции распределения температур в телах до поверхности склеивания. Определение скачка температуры ДТ в сочетании  [c.19]

Расстояние по нормали между двумя прямыми, лежащими в плоскости, касательной к основному цилиндру, параллельными номинальной контактной линии и ограничивающими действительную контактную линию. Относится к широким косозубым колесам (см. определение 12)  [c.58]

Для применения теоремы о количестве движения проведем контрольную поверхность, пересекающую плоскость рис. 78 по двум линиям тока, проходящим над и под крылом и отстоящим друг от друга на расстоянии а, равном расстоянию между крыльями, и по двум прямым длиной а, параллельным плоскости решетки (основания этой поверхности образованы двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно единице). Сквозь обе боковые части контрольной поверхности, образованные линиями тока, жидкость не протекает, следовательно, эти поверхности не дают составляющих изменения количеств движения. Далее, так как эти поверхности совершенно одинаковые, то распределение давления на них также совершенно одинаковое, а поэтому они не влияют на результирующую сил давления. Таким образом, необходимо вычислить только изменения количеств движения и силы давления, возникающие на частях контрольной поверхности, параллельных плоскости решетки. Масса жидкости, протекающая сквозь эти части в одну секунду, равна  [c.122]


Непрямолинейность контактной линии Af> (рис. 10.18, е) — расстояние по нормали между двумя ближайшими друг к другу параллельными прямыми, лежащими в плоскости, касательной к основному цилиндру, и ограничивающими действительную контактную линию. Этот параметр также характеризует широкие косозубые колеса. На него установлен допуск 66п-  [c.474]

Основная окружность колеса 1 — окружность, разверткой которой является теоретический профиль зуба. Начальная окружность 2 — окружность, при фрикционном зацеплении которой с окружностью другого колеса передачи обеспечивается заданное соотношение угловых скоростей колес й ы = с1″(о». Делительная окружность— окружность, которая является базой для определения элементов зубьев и их размеров. Для некорригирован-ных зубчатых колес начальные и делительные окружности совпадают. Линия зацепления 3 — траектория общей точки контакта зубьев. Угол зацепления а1ю — угол между линией зацепления и прямой, перпендикулярной к межосевой линии. Основной окружной шаг зубьев Р1Ь — расстояние между одноименными профилями соседних зубьев по дуге начальной окружности. Основной нормальный шаг Рпь — расстояние между параллельными касательными к двум одноименным профилям зубьев. Нормальный модуль зубьев т — линейная величина, в я раз меньшая нормального шага зубьев. Через модуль определяют все размеры зубчатых колес, например, (1 = тг, где г — число зубьев колеса. Значения модулей стандартизованы в интервале 0,5. ..100 мм.  [c.159]

САМОЛЕТОВОЖДЕНИЕ, проведение самолета по заданной траектории пути, раздел практич. применения методов аэронавигации (см. Аэронавигация и Навигация). В зависимости (JT цели полета заданной траекторией пути являются прямая линия между пунктом отправления и назначения (при перелетах), ломаная линия—полет через ряд отдельных пунктов (воздушные линии), ряд параллельных маршрутов на строгом расстоянии друг от друга (аэросъемка), прямая от произвольной исходной точки через заданную цель (при бомбометании). Прямой между двумя пунктами на земной поверхности является дуга большого круга,  [c.28]

Непрямолинейностью контактной линии называется расстояние по нормали между двумя ближайшими друг к другу параллельными прямыми, лежащими в плоскости, касательной к основному цилиндру, и ограничивающими действительную контактную линию (рис. 151, a). Параметр Дй определяется вне зависимости от направления боковой поверхности зубьев, характеризуя лишь отклонение от прямолинейности. Погрешности Дбо и АЬп ограничены допусками 6 o и б6 .  [c.345]

Рис. 118. Неправильное положение приемника на самолете ведет к некоторой ошибке в показаниях указателя воздушной скорости. Поэтому каждый раз, как выпускается самолет нового типа, проводят целый ряд летных испытаний для определения правильного положения приемника указателя воздушной скорости. Эти испытания проводятся между двумя ориентирами, находящимися на определенном расстоянии один от другого. Выбранные ориентиры должны быть хорошо различимы с воздуха кроме того, рекомендуется выбирать их так, чтобы через них и соседние ориентиры возможно было провести параллельные между собой линии. Полезно также, чтобы один из ориентиров находился на длинном прямом отрезке дороги.
Сопряжение двух параллельных прямых а и , на одной из которых задака точка А сопряжения (рис. 104). Расстояние между двумя параллельными прямыми а п Ь равно h. Для нахождения центра дуги сопряжения проводят посредине между прямыми параллельную им линию, которая будет множеством центров дуг сопряжения прямых. Восставив из точки А перпендикуляр к прямой а, находят точку О — центр дуги сопряжения — и точку в сопряжения. Радиусом R = h 2 проводят дугу сопряжения.  [c.95]

Р. служит как для рассматривания подробностей на поверхности небесных тел, так и для измерения относительного положения двух светил. Для таких диференциальных наблю7] ений окулярная часть Р. снабжается микрометром, обыкновенно нитяным микрометром измеряются угловое расстояние между двумя звездами или светилами и угол положения (позиционный угол), составляемый линией, проходящей через обе звезды, с кругом склонений, проведенным через одну из них. Для возможности таких измерений Р. придается суточное движение при помощи часового механизма (см. Рефлектор). Для контроля часового механизма устраивается приспособление, называемое секундным контролем, при помощи к-рого достигается синхронизация движущего рефрактор часового механизма с точными астрономич. часа]уш. Если звезды не видны зараз в поле зрения трубы, то при небольшой разности склонений можно, остановив часовой механизм и наблюдая последовательно бегущие звезды, измерять разность прямых восхождений и склонений их. Для облегчения наведения на намеченный для наблюдения предмет параллельно главной трубе Р. помещается так наз. искатель, обладающий большим полем зрения. Сначала находят небесный объект в искатель и устанавливают Р. так, чтобы светило было на перекрестке нитей, натянутых в фокальной плоскости искателя. Тогда вследствие параллельности оптич. осей главной трубы и искателя светило будет видно и в главную трубу. Для точной установки Р. на светило служат зажимы при кругах склонений и часовых углов и микрометренные ключи по склонению и часовому углу. Отсчеты на кругах производятся от окуляра, и микрометренными ключами сообщают Р. медленное перемещение в небольших пределах. При ночных наблюдениях можно одной лампой при помощи системы призм и зеркал освещать нити микрометра, отсчеты кругов склонений и часовых углов и отсчеты на микрометре. Освещение поля зрения м. б. двоякое или темные нити на светлом фоне или светлые нити на темном фоне последнее необходимо при наблюдении очень слабых звезд. Наибольпгае из существующих Р. следующие  [c.359]


Течение жидкости, расположенной между двумя пластинами, вызванное поступательным движением одной из них, называют течением Куэтта. Например, жидкость находится между двумя параллельными пластинами айв, отстоящими друг от друга на расстоянии h. Движение жидкости вдоль оси х осуществляется за счет поступательного движения верхней пластины. Составляющие вектора скорости вдоль осей у и z равны нулю, а и — (у)- В случае стабилизированного (duJdx = 0), стационарного dujdt = 0), безнапорного др дх = 0) течений вязкой жидкости при пренебрежении действием массовых сил х = у = z = Q) уравнения движения примут вид О = vd ujdy или Ux= Су С- , где С и Q —постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий при у — О UX = О, при у = h Ux = UQ. Тогда С = О, а i= ujh. Следовательно, при течении Куэтта распределение скоростей по координате у будет описываться уравнением, которое соответствует прямой линии.  [c.51]

Придав этим уравнениям иной вид, я прямо пришел к тем же результатам, причем я их смог даже распространить на тот случай, когда кривая не лежит в той же плоскости и когда, сверх того, имеется сила, пропорциональная расстоянию, направленная к неподвижному центру, лежащему посредине между двумя другими центрами. См. четвертый том старых Memoires de Turin ), откуда заимствован приведенный выше анализ и где можно также найти исследование того случая, когда один из центров удаляется в бесконечность, так что сила, направленная к этому центру, становится равномерной и действует по параллельным линиям. Интересно отметить, что в этом случае решение едва ли значительно упрощается но только радикалы, образующие знаменатели отделенных уравнений, вместо четвертых степеней переменных содер»-жат лишь их третьи степени, что точно так же ставит их интегрирование в связь с выпрямлением конических сечений.  [c.133]

Линии тока здесь также являются прямыми, параллельными оси X, ибо из равенства Л=соп51. следует г/ = сопз1., но расход между линиями Т01 а изменяется в зависимости от расстояния между ними по более сложному закону, нежели в предыдущем примере. Если бы мы условились чертить линии тока так, чтобы между каждыми двумя соседними линиями протекало в единицу времени одно и то же количество жидкости, то в средней части потока линии тока пришлось бы начертить наиболее густо, чем дальше от середины—тем реже и наиболее редко — у стенок.[c.135]

Различные сечения со изгибаются и наклоняются к волокнам одинаково, так что части тт п п волокон, находящиеся между двумя очень близкими сечениями аоЬу а о Ь (рис. 13) имеют после изгиба такую же длину, как и части pp g Qy находящиеся между двумя плоскостями doe d o e j проведенными нормально к центральному волокну oo f проходящему через центры тяжести о, о сечений, и следовательно, продольные удлинения могут быть всегда представлены посредством выражения Qq + у, где Эо — удлинение волокна оо, д — его радиус кривизны оС, а г — расстояние от какого-либо волокна до прямой о, проведенной через центр сечения параллельно линии пересечения с двух нормальных плоскостей.  [c.487]

Для перехода от двух сходящихся сил к двум параллельным весьма важны следствия II и III теоремы XXI. Первое из них утверждает, что две произвольные (не параллельные) силы Е я F, приложенные к концам коромысла прямого неравноплечного рычага первого рода, то есть с точкой опоры в промежутке между приложенными силами, при равновесии относятся между собой обратно пропорционально кратчайшим расстояниям их линий действия от точки опоры В рычага. Иначе говоря, при равновесии моменты этих сил относительно точки опоры равны. Утверждается и обратное при равенстве моментов сил Е и F относительно точки В рычаг останется в равновесии (следствие III).  [c.183]

На этой диаграмме величина IB дает представление о падении напряжения на преодоление омического сопротивления (при разных плотностях тока в ванне со стандартным никелевым раствором при двух параллельных никелевых электродах площадью в 100 см каждый и расстоянии между электродами в 10 с М, эта величина фиксируется двумя линиями AB и АС, причем угол наклона этих линий зависит от сопротивления применяемого электролита. Кривые, иллюстрируго-пще изменение анодной и катюдной поляризации с плотностью тока, откладываются по обеим сторонам прямых AB и АС. Таким образом суммарное падение напряжения для каждой плотности тока графически изображается абсциссой, заключенной между кривыми анодной и катодной поляризации.  [c.134]


Точка Р внутри круга — Справочник химика 21

    Из приведенных данных можно увидеть, что около стенок существует зона, где газы движутся по нисходящей спирали с увеличивающейся тангенциальной скоростью, тогда как ближе к центру газы движутся к выходу с тангенциальной скоростью, большей чем на той же высоте около стенки. Тангенциальные скорости достигают максимума в круге, диаметр которой составляет от /г ДО % диаметра выходного отверстия. Внутри круга существует центральный стержень , где тангенциальные скорости уменьшаются, а аксиальная скорость стремится к максимуму. [c.259]
    Стереографические проекции направлений изображаются точками внутри круга проекций. Очевидно, вертикальное направление проектируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное — как две точки на экваторе (рис. 27). [c.23]

    Выражение (5.33) означает, что комплексный структурный фактор Рк представляется на комплексной плоскости точкой внутри круга с центром в б и радиусом г. Отсюда следует, что при изменении к фактор Рн должен быть пропорционален среднему по разным значениям б (А, к), которые включают большие Р за счет вариации к  [c.213]

    Гномостереографические проекции наклонных плоскостей изображают точками внутри круга проекций. Чем круче наклон плоскости (чем меньше угол между плоскостью и осью проекций), тем дальше находится точка от центра круга проекций. [c.331]

    Т. е. получаем окончательно, что значение функции/(г) в любой точке внутри круга z — b [c.531]

    Если электролит в ячейке затвердеет, то его необходимо перед работой снова расплавить. При этом, прежде чем нагревать дно, нужно расплавить верхнюю часть твердого электролита. Если не принять этой предосторожности, то прибор может треснуть. Для нагревания ячейки можно приспособить круговую газовую горелку, у которой пламя направлено внутрь круга. [c.142]

    Точка Р внутри круга [c.427]

    Обратившись вновь к обсуждению элементов симметрии куба (см. рис. 6-16), находим, что нормали, лежащие на горизонтальной плоскости (рис. 6-19 6), соответствуют двум четверным и двум двойным осям симметрии. Четверную ось, перпендикулярную к горизонтальной плоскости, представляют квадратиком в центре проекционного круга. Остальные точки пересечения нормалей со сферой располагаются внутри круга и их точное положение может быть рассчитано, как мы увидим ниже, с помощью плоскостей симметрии. [c.227]

    Имеется много экспериментальных данных, показывающих, что рост реального кристалла происходит путем распространения слоев из одной определенной точки на поверхности. Поскольку в любом нормальном кристалле присутствует очень большое количество винтовых дислокаций, то можно ожидать, что по теории дислокационного роста будет существовать множество центров роста. Кроме того, есть данные, показывающие, что скорость роста прогрессивно возрастает с увеличением количества дефектов в кристалле или числа дислокаций. Если объяснять эти явления на базе теории дислокационно-спирального роста, то необходимо принять во внимание увеличение скорости роста за счет групп близко расположенных дислокаций, лежащих внутри круга с радиусом [c.191]

    В качестве примера молшо привести равносторонний треугольник, который имеет ось третьего порядка, проходящую через его центр перпендикулярно плоскости треугольника, п может принимать любые целые положительные значения (например, 8 для правильного восьмиугольника) или быть неопределенным (например, для круга). Плоскостью симметрии называется плоскость, проходящая через молекулу таким образом, что половина молекулы по одну сторону от плоскости представляет собой зеркальное изображение другой (плоскость симметрии играет роль зеркала). Так, для книги плоскость, проходящая посредине между двумя обложками и разрезающая корешок переплета пополам, будет плоскостью симметрии (если пренебречь текстом). Центром симметрии называется точка внутри предмета, характеризующаяся тем, что проведенная через нее прямая от любого элемента при продолжении на равное расстояние от этой точки встречает идентичный элемент. Так, центр шара является центром симметрии. Наконец, зеркально-поворотной осью п-го порядка называется ось, при [c.16]


    В вещественной области роль круга сходимости играет интервал, во всех точках которого ряд Тейлора сходится. Этот интервал называется областью сходимости. Найти область сходимости — непростая задача. Мало того, что нужно вычислить все производные рассматриваемой функции, привлечь подходящий признак сходимости степенных рядов, нужно еще проверить, что сумма равна исходной функции В комплексной области эта же задача решается до смешного просто. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до ближайшей точки, в которой функция не имеет производной. Покажем, как это делается. Пусть, например, / г) = 1/(1 + 2 ) и = 2, а п — любое целое положительное число. Выбранная функция аналитична во всех точках комплексной плоскости за исключением двух точек, 2 = г, в которых знаменатель обращается в нуль. Они и составляют границу области аналитичности (последняя представляет собой всю комплексную плоскость с двумя выколотыми точками). Интересующий нас радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до любой из точек г, то есть корню квадратному из пяти. Если нас интересует только область сходимости ряда Тейлора, то она представляет собой тот интервал вещественной оси, который размещается внутри круга сходимости. В рассматриваемом случае это интервал, заключенный между точками 2 — /5 и 2 + у/Ь. [c.70]

    Реакция (3) на рис. 6.19 представляет превращение промежуточного продукта В в краситель Д. Повышенная температура или удлиненное время реакции являются причиной частичного разрушения Д с образованием примеси Е. Если определить дополнительные координаты цветности отобранных в ходе реакции проб, они займут место на линии, соединяющей точки практических эталонов В и Д на диаграмме цветности. Для определения окончания реакции по колористическим данным, полученным в ходе анализа проб, можно использовать уравнение (24). Реакция заканчивается, когда точка координат цветности пробы попадает внутрь круга допустимых отклонений для красителя Д (рис. 6.21). Как видно из рисунка практический эталон для красителя Д представляет собой трехкомпонентную смесь, содержащую малые количества промежуточного продукта В и примесь Е. При желании состав практического эталона может быть рассчитан (см. 5.3). [c.189]

    Чтобы прийти к полезной теореме, касающейся криволинейного интеграла, нам требуется вспомогательное определение. Область R в плоскости ху называется односвязной, если любая. замкнутая кривая в этой области может быть непрерывным образом стянута в точку. Например, область внутри круга или квадрата односвязна, а область между двумя окружностями, одна из которых находится внутри другой, неодносвязна. Вообще область с дырами неодносвязна, поскольку замкнутый контур вокруг дыры нельзя стянуть в точку, не выходя за пределы этой области. [c.575]

    Ясно, что стереографические проекции любых направлений, пересекающих сферу проекций в ее верхней половине, будут располагаться внутри круга проекций. Что касается стереографических проекций направлений, пересекающих сферу в нижней части, то они будут лежать за пределами круга проекций. Чем ниже точка располагается на сфере, тем дальше от круга будет удалена ее проекция, вплоть до бесконечности, что явно неприемлемо, так как все точки стереографической проекции должны находиться в пределах круга проекций.[c.330]

    Если положение точки на кальке совпадает с окружностью круга проекций, то угол ф отсчитывается непосредственно. Если точка находится внутри круга проекций, то через нее необходимо провести радиус на круге проекций или, что проще, концентрическим поворотом кальки привести точку на горизонтальный диаметр. Угол между точкой пересечения радиуса с окружностью и точкой начала отсчета равен углу ф искомой точки. [c.334]

    Основой символов Дальтона был круг. Для обозначения отдельных элементов служили 1) условный знак внутри круга, например для кислорода круг О, для водорода точка 0> для азота вертикальная черта ф, для углерода затемненный круг , для серы крест 0 и т. д. 2) начальные прописные буквы английских названий элементов, помещенные внутри круга. [c.129]

    Вначале вычислим тормозное воздействие /3 на элемент слоя 3, соответствующий точке х°, ут) локального максимума кривизны границы на (например, точке х , или х , уд на рис. 38). При указанной функции тормозных связей (постоянство весов внутри круга радиусом / т) вычисление /3 сводится к вычислению площади СОт, представляющей пересечение круга Ох и возбужденной области на так как [c.91]

    Предполагая противное, получим О (Яр 1) О, то существует внутри круга РоС [c.268]

    Рис. 30.1. 209 индивидуальных оценок направления к дому в первых четырех принстонских опытах обозначены точками по периферии 13 кругов, каждый из которых представляет результаты, полученные на соответствующей остановке (путь указан сплошной линией). Внутри круга точками изображено направление к дому, а стрелкой-средний вектор из сделанных оценок е-угловая разница (ошибка) между направлением среднего вектора и направлением к дому г-длина вектора звездочка-наличие статистически значимого результата при 5%-ном уровне значимости (критерий Рэлея). При модификации V-критерия (по Рэлею) с учетом ожидаемого направления ни иа одной из остановок не получено значимого (с 5%-ным уровнем) результата.[c.419]


    Наконец, отметим необходимый для дальнейшего факт. Так как ряд (3) сходится равномерно внутри своего круга сходимости, то к нему применимы теоремы, сформулированные выше для общего случая рядов с переменными членами, в частности, и теорема Вейерштрасса. Поэтому сумма степенного ряда (3) является аналитической функцией внутри круга сходимости этого ряда, а ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз. [c.530]

    Из всего изложенного ранее следует, что ряд Тейлора в точке Ь функции /(г) сходится внутри круга с центром в точке Ь, внутри которого функция /(2) аналитична. Таким образом, радиус сходимости ряда Тэйлора совпадает с расстоянием от точки Ь, в которой ищется разложение, до ближайшей от нее особой точки функции г), в которой [c.532]

    Возникает вопрос о способах выполнения аналитического продолжения функции, заданной первоначально в некоторой части комплексной плоскости, а также об условиях, когда процесс аналитического продолжения будет давать единственный результат. Если, например функция задана степенным рядом с конечным радиусом сходимости, то, по крайней мере, теоретически процесс аналитического продолжения может быть выполнен с помощью следующего построения. Пусть функция / (г) в точке 2() задана степенным рядом с радиусом сходимости Яд, равным расстоянию до ближайшей от 2 — особой точки функции/(г). Тогда в любой точке (обозначим ее г ), лежащей внутри круга сходимости ]г — 2р и отличной от 2о, также можно вычислить все производные и построить ряд (рис. 15.6) [c.537]

    Можно рассмотреть результаты теоретических и экспериментальных исследований, чтобы получить приблизительное представление об уровне напряжений. Рассмотрим воздействие нагрузки Р на цилиндрический кожух (рис, 1). Силы и моменты, приложенные к радиальной трубе, показаны на рисунке. Напряжения вычисляются в точках А, В, С, В снаружи или внутри кожуха, а геометрические параметры берутся из рис, 2—5, Напряжения определяются в соответствии с критерием Мизеса, причем наибольшее. -значение должно быть ниже допустимых пределов, Когда нагрузка прикладывается через колонну не-круглого сечения (наклонную трубу или втулку с прямоугольным сечением) в целях удобства анализа зона контакта заменяется кругом эквивалентной площади. [c.263]

    Образцы сплава AISI 631, ТН1050 с поперечным стыковым швом разрушились под напряженней, составляющим 50 % от его предела текучести, при экспозпции у поверхности и на глубине. Образцы с круговым сварным швом также разрушались при экспозиции у поверхности и на глубине. При экспозиции у поверхности трещины расходились в радиальном направлении от точки внутри круга к кольцевому шву. На глубине трещина распространялась поперек и вокруг внешнего края сварного шва. [c.351]

    Для большинства задач проектирования кристаллов проще обратиться к проектированию обратного или полярного комплекса кристалла, получая при этом гномостереографические проекции. Построение таких проекций плоскости совпадает с построением стереографической проекции направления и соответственно в проекции дает точку внутри круга проекций. Построение гномостереографической проекции направления совпадает с построением стереографической проекции плоскости и соответственно в проекции дает дугу большого круга проекций. Гномостереографические проекции используют для изображения кристалла. При этом горизонтальные грани кристалла изображают точкой, совпадающей с центром проекций вертикальные — точками, лежащими на самом круге проекций, а наклонные — точками, находящимися внутри круга проекций тем дальше от него, чем больше угол, составляемый плоскостью с осью проекций (рис. 1.20,6). Стереографические проекции чаще ис-ползуют для изображения взаимного расположения элементов симметрии кристалла. Для изображения зоны выгоднее пользоваться гномостереографическими проек- [c.34]

    Следует еще раз подчеркнуть, что моновариантная, дивариант-ная или поливариантная системы изображаются неограниченными линиями, поверхностями или элементами пространства. Если линия ограничена, то ее граница — точка и в этой точке система инвариантна. Если ограничена поверхность, то ее граница — линия и на границе системы моновариантны и т. д. Например, уравнение 2= onst описывает неограниченную плоскость, параллельную плоскости X, у. Если же ограничить эту плоскость, например, кругом около оси Z, то это значит, что к прежнему уравнению добавляется второе х — -у = г .. Система дивариантна только внутри круга, а на его границе — моновариантна, [c.115]

    Если собственные значения иатрицы (4.51) находятся внутри круга единичного радиуса, с центром в начале координат комплексной плоскости р, то все собственные значения матрицы А лежат в левой половине комплексной плоскости Я. Собственные значения матрицы Г удовлетворяют приведенному условию, когда [c.129]

    Значение ж соответствует индексу в форме С Н2п . х- Линия х =+2 дает значения для парафиновых углеводородов ж = О — для циклопарафинов с одним кольцом ж = —2 — для циклопара-финов с двумя кольцами х = —4 — для пиклопарафинов с тремя кольцами х = —6 — для циклопарафинов с четырьмя кольцами х = —8 — для циклопарафинов с пятью кольцами. Точки, оОозна-ченные крестиками, кружками, сплошными кружками п треугольниками, соответствуют значениям для указанных па чертеже ароматических углеводородов. Ряд больших кружков (числа внутри круга представляют собой значения х, а числа, помещенные вне круга, указывают количество извлеченного при помощи экстракции вещества) дает значения для ряда однородных фракций экстракта . [c.318]

    После ополаскивания и сушки выбирается место для исследования, на котором рисуют карандашом для стекла или свечным мелком круг диаметром мм. Таким образом приготовленное изделие и бутылочку с кислотой оставляют на определенное время при 18—23°С. Перед измерением температуру фиксируют с точностью до 1 °С. С помощью пипетки наносится капля кислоты на место, обозначенное кругом, и одновременно включается секундомер. Время измеряется с точностью до 0,5 с от начала выделения пузырьков до появления никелевой подложки. Могут наблюдаться случаи, когда после нанесения кислоты не происходит газования подложки и тогда необходимо активизировать поверхность внутри круга, касаясь ее тонкой никелевой проволокой. Если толщина покрытия 0,25 мкм, то время от начала газования до появле- [c.27]

    На плоскости годографа вектор скорости и изображается радиус-вектором точки [и, у), приложенным в начале координат. Ясно, что в силу интеграла Бернулли (24) годофаф любого течения содержится внутри круга радиуса дт с центром в начале координат (рис. 2). При этом все дозвуковые течения попадают внутрь круга радиуса с , а все сверхзвуковые течения — в кольцо с, после определения 10.3). Окружность д = Цт является годографом состояний вакуума. [c.227]

    Чтобы определить величину тормозного (или возбуждающего) воздействия, поступающего от па вход элемента слоя с координатами х, у), необходимо сложить с весовыми коэффициентами выходные сигналы всех элементов слоя расположенных внутри круга радиусом В-г (или 7 в) с центром в точке х, у). На входе каждого элемента слоя 3 действует разность 3 (ж, у) — 1з ,У)= = (Е — 1)з суммарных возбулчдающего и тормозного воздействий. Представим, что координаты нейронов принимают континуум значений, тогда [c.90]

    Это означает, что для стабилизацип вновь возникающих Ре + потребовалось бы весьма значительное увеличение сольватной ободочки вокруг ионов Ге +, возникающее, в частности, из-за перераспределения внутри растворителя. Соответствующая теплота гидратации АЯгидр (Н+) равна—326 ккал. Если принять подученное Латимером значение ДЯшдр (Н+) = —260 ккал моль, то общее изменение теплоты гидратации процесса Ге2+ —у Ге + будет равно —596 ккал/моль. Подобный же круг вопросов связан с перестройкой сольватной ободочки вокруг вновь образующегося иона Се +. [c.504]

    Если взять круг с диаметром, равным единице (рис. 1.16), и провести внутри него два диаметра под углом ф, то проекция на-клонного диаметра на горизонтальный равна eos ф. В качестве универсальной характеристики схемы тока предложено считать величину [c.41]

    Давайте попробуем это понять. Представьте, что у Вас большой запас сил и Вы хотите разрядиться. Вы можете пробежать 10 кругов вокруг дома. Или отжаться,не сходя с места, А можете пойти с рююа-ком в лес и пройти большое расстояние. В первом случае Вы с большой вероятностью находитесь где-то около дома, но вероятность найти Вас в лесу или внутри дома близка к нулю. Во втором случае вероятность найти Вас на месте — почти 100% (но не 100%, мапо ли что случится — телефон зазвонит в соседней комнате), зато в лесу Вас днем с огнем не сыщешь. В третьем наиболее вероятно, что Вы в лесу или по дороге туда, но в каком точно месте — неизвестно. Таким образом, вероятность обнаружить Вас в определенном месте будет различной во всех трех случаях. Нечто похожее можно сказагь и об электроне. Мы не можем точно указагь местонахождение электрона в данной точке пространства, но можем говорить о вероятности обнаружить его в данной точке, если нам известен способ его движения. [c.26]


Модуль шестерни.Что это такое? — Справочная информация

Основные сведения об эвольвентном зацеплении  

 

Профиль боковых сторон зубьев зубчатых колес с эвольвентным зацеплением представляет собой две симметрично расположенные эвольвенты.

Эвольвента — это плоская кривая с переменным радиусом кривизны, образованная некоторой точкой на прямой, обкатывающейся без скольжения по окружности, диаметром (радиусом) db(rb) называемой основной окружностью.

Основные параметры эвольвентного зацепления. На рис. 1.1 показано зацепление двух зубчатых колес с эвольвентным профилем. Рассмотрим основные параметры зацепления, их определения и стандартные обозначения.

В отличие от принятого ранее, обозначение всех параметров производится строчными, а не заглавными буквами с индексами, указывающими их принадлежность колесу, инструменту, типу окружности и виду сечения.

Стандартом предусмотрены три группы индексов:

  • первая группа: n, t, x — означает вид сечения, соответственно нормальный, торцовый (окружной), осевой;
  • вторая группа: a,f,b,w,y- означает, что параметр относится соответственно к окружностям выступов, впадин, основной, начальной и любой концентричной окружности. Для делительной окружности индекс не указывается;
  • третья группа: 1, 2, 0 — означает, что параметр относится соответственно к шестерне, колесу, зуборезному инструменту.

 

Порядок использования индексов определяется номером группы, т.е. вначале предпочтение отдается индексам первой группы, затем второй и т.д.

Некоторые индексы разрешается опускать в случаях, исключающих возникновение недоразумений или не имеющих применения по определению. Например, у прямозубых цилиндрических колес не используются индексы первой группы. В ряде случаев некоторые индексы с целью сокращения записи также опускаются.

Некоторые индексы разрешается опускать в случаях, исключающих возникновение недоразумений или не имеющих применения по определению. Например, у прямозубых цилиндрических колес не используются индексы первой группы. В ряде случаев некоторые индексы с целью сокращения записи также опускаются.

Рассмотрим зацепление двух прямозубых цилиндрических (рис. 1.1) колес: с меньшим числом зубьев (z1), называемого шестерней, и с большим числом зубьев (z2), называемого колесом; соответственно с центрами колес в точках О1 и О2. В процессе обката шестерни с колесом происходит качение без скольжения двух центроид — окружностей, соприкасающихся в полюсе зацепления — Р. Эти окружности называются начальными, а их диаметры (радиусы) обозначаются с индексом w: dwl (rwl), dw2 (rw2). Для некорригированных колес эти окружности совпадают с делительными окружностями, обозначение диаметров (радиусов) которых дается без индексов первой и второй групп, т.е. для шестерни — d1(r1), для колеса — d2(r2).

Рис. 1.1. Эвольвентное зацепление зубчатых колес

Делительная окружность — окружность, на которой шаг между зубьями и угол профиля равны им же на делительной прямой зубчатой рейки, сцепленной с колесом. При этом шаг (Р = π · m) — расстояние между двумя соседними одноименными сторонами профиля. Отсюда диаметр делительной окружности колеса d = P · Z / π = m · Z

Модуль зуба (m = P / π) — величина условная, имеющая размерность в миллиметрах (мм) и используемая как масштаб для выражения многих параметров зубчатых колес. В зарубежной практике в этом качестве используется питч — величина, обратная модулю.

Основная окружность — это окружность, от которой образуется эвольвента. Все параметры, относящиеся к ней, обозначаются с индексом b например, диаметры (радиусы) колес в зацеплении: db1 (rbl), db2 (rb).

Касательно к основным окружностям через полюс зацепления Р проходит прямая N-N, а ее участок N1-N2 называется линией зацепления, по которой в процессе обката перемещается точка контакта сопрягаемых профилей колес. N1-N2 называется номинальной (теоретической) линией зацепления, обозначаемой буквой g. Расстояние между точками пересечения ее с окружностями выступов колес называется рабочим участком линии зацепления и обозначается ga.

В процессе обката зубчатых колес точка контакта профилей перемещается в пределах активного (рабочего) участка линии зацепления ga, которая является нормалью к профилям обоих колес в этих точках и одновременно общей касательной к обеим основным окружностям.

Угол между линией зацепления и перпендикуляром к линии, соединяющей центры сопрягаемых колес, называется углом зацепления. У корригированных колес этот угол обозначается αw12; для некорригированных колес αw12 = α0.

Межцентровое расстояние некорригированных колес

aW12 = rW1 + rW2 = r1 + r2 = m ·( Z1 + Z2 ) / 2

Окружности выступов и впадин — окружности, проходящие соответственно через вершины и впадины зубьев колес. Их диаметры (радиусы) обозначаются: da1 ( ra1 ), df1 ( rf1 ), da2 ( ra2 ), df2( rf2 ).

Шаги зубьев колес — Pt Рb, Рn, Рх — это расстояния между одноименными сторонами профиля, замеренные:

  • по дуге делительной окружности в торцовом сечении — окружной (торцевый) шаг Pt = d / Z;
  • по дуге основной окружности — основной шаг Pb = db / Z;
  • по контактной нормали (линии зацепления) — основной нормальный шаг Рbn;
  • по нормали к направлению зубьев и по оси (у винтовых передач) — нормальный шаг Рn и осевой шаг Рх.

 

Коэффициент перекрытия, ε — отношение активной (рабочей) части линии зацепления к основному нормальному шагу:

ε = ga / Pbn

Окружная (торцовая) толщина зуба, St — длина дуги делительной окружности, заключенная между двумя сторонами зуба.

Окружная ширина впадины между зубьями, е — расстояние между разноименными сторонами профиля по дуге делительной окружности.

Высота головки зуба, ha — расстояние между окружностями выступов и делительной:

ha = ra — r

Высота ножки зуба hf — расстояние между окружностями делительной и впадин:

hf = r — rf

Высота зуба:

h = ha + hf

Рабочий участок профиля зуба — геометрическое место точек контакта профилей сопрягаемых колес, определяется как расстояние от вершины зуба до точки начала эвольвенты. Ниже последней следует переходная кривая.

Переходная кривая профиля зуба — часть профиля от начала эвольвенты, т.е. от основной окружности до окружности впадин. При методе копирования соответствует форме головки зуба инструмента, а при методе обкатки образуется вершинной кромкой режущего инструмента и имеет форму удлиненной эвольвенты (для инструментов реечного типа) или эпициклоиды (для инструментов типа колеса).

Рис. 1.2. Зацепление зубчатой рейки с колесом


Понятие об исходном контуре рейки

Как было показано выше, частным случаем эвольвенты при z = (бесконечность) является прямая линия. Это дает основание использовать в эвольвентном зацеплении рейку с прямобочными зубьями. При этом любое зубчатое колесо данного модуля независимо от числа зубьев может быть сцеплено с рейкой того же модуля. Отсюда возникла идея обработки колес методом обкатки. В зацеплении колеса с рейкой (рис. 1.2) радиус начальной окружности последней равен бесконечности, а сама окружность превращается в начальную прямую рейки. Линия зацепления N1N2Так как профиль зубьев рейки — прямая линия, это в значительной мере упрощает контроль линейных параметров зубьев и угла профиля. С этой целью стандартами установлено понятие исходного контура зубчатой рейки (рис. 1.4, а) проходит через полюс Р касательно к основной окружности колеса и перпендикулярно к боковой стороне профиля зуба рейки. В процессе зацепления начальная окружность колеса обкатывается по начальной прямой рейки, а угол зацепления становится равным углу профиля зуба рейки α .

Так как профиль зубьев рейки — прямая линия, это в значительной мере упрощает контроль линейных параметров зубьев и угла профиля. С этой целью стандартами установлено понятие исходного контура зубчатой рейки (рис. 1.3, а)

В соответствии со стандартами, принятыми в нашей стране для эвольвентного зацепления, исходный контур имеет следующие параметры зубьев в зависимости от модуля:

  • угол профиля α = 20°;
  • коэффициент высоты головки h*a = 1;
  • коэффициент высоты ножки h*f = 1,25;
  • коэффициент радиального зазора с* = 0,25 или 0,3;
  • коэффициент граничной (рабочей) высоты зуба h*L = 2;
  • шаг зубьев Р = π · m;
  • толщина зуба S и ширина впадины е: S = е = 0,5Р = π · m / 2.

 

Делительная прямая рейки проходит по середине рабочей высоты зуба hL.

Для зуборезных инструментов основные параметры зубьев по аналогии с изложенным выше задаются параметрами исходной инструментальной рейки (рис. 1.3, б). Так как зубья режущего инструмента обрабатывают впадину между зубьями колеса и могут нарезать колеса с модифицированным (фланкированным) профилем, между названными исходными контурами имеются существенные различия:

  • Высота головки зуба исходной инструментальной рейки ha0 = (h*f0 + с0 )m = 1,25 m, т.е. коэффициент высоты головки й h*a0 =1,25. Высота ножки зуба hf0 = 1,25 m, а полная высота зуба h0 = ha0 + hf0 = 2,5 m.
  • Если нарезаемое колесо имеет срез у головки (модифицированный профиль), то ножка зуба инструментальной рейки должна иметь утолщение с параметрами h ф 0 , α ф 0 , n ф 0.
  • Толщина зуба у зубчатой рейки S = π · m / 2 ,
    а у инструментальной рейки при нарезании колес с модифицированным профилем зубьев S0 = π · m 2 ± ΔS0

     

    Рис. 1.3. Исходные контуры:

    а — зубчатой рейки; б — инструментальной рейки

    Поправка ΔS 0 берется из справочников [23, 24] в зависимости от величины модуля зуба. Знак «+» берется для чистовых, а знак «-« — для черновых инструментов. В первом случае происходит утонение зубьев нарезаемого колеса с целью создания бокового зазора между зубьями сцепляемых колес, во втором случае утолщение, в результате чего нарезаемые зубья получают припуск на чистовую обработку.

    У колес с обычным (модифицированным) профилем зубьев изменение толщины нарезаемых зубьев можно получить путем смещения инструментальной рейки относительно центра колеса и утолщение ее зубьев у ножки не требуется.

    Параметры зацепления корригированных зубчатых колес. Корригирование (исправление) колес дает возможность улучшить зубчатое зацепление по сравнению с нормальным зацеплением в отношении трения, износа и прочности зубьев, уменьшить вероятность подреза ножки зубьев при малом их числе и др.

    Применительно к долбякам корригирование дает возможность получения задних углов на режущих кромках (см. ниже).

    Из известных методов корригирования на практике наибольшее применение нашло высотное корригирование, которое осуществляется путем смещения профиля исходной инструментальной рейки относительно центра нарезаемого колеса. Такое смещение принято считать положительным, если рейка отводится от центра колеса, и отрицательным, когда она приближается к его центру (рис. 1.4).

    Рис. 1.4. Схема высотного корригирования зубчатого колеса:

    1 — положительное смещение; 2 — нулевое смещение; 3 — отрицательное смещение

    Величина смещения оценивается произведением хо · m, где х0 — коэффициент смещения

    При положительном смещении высота головки зуба нарезаемого колеса ha1 увеличивается на величину хот, а высота ножки hf1 уменьшается на ту же величину. При отрицательном смещении, наоборот, высота головки зуба уменьшается, а высота ножки увеличивается. Полная высота зуба колеса в обоих случаях остается неизменной.

    Так как при этом положение делительной и основной окружностей колеса постоянно и не зависит от величины смещения, то неизбежно изменение толщины зуба нарезаемого колеса по делительной окружности из-за смещения делительной прямой рейки относительно начального положения на величину ± хо · m. Как видно из рис. 1.5, толщина зуба по делительной окружности у корригированного колеса при смещении рейки инструмента

     

    S1, 3 = π · m 2 ± 2 · x0 · m · tg α0

    где ΔS = x0 · m · tg α 0.

    Знак «+» берется при положительном, а знак «-« — при отрицательном смещении.

    При расчетах зуборезных инструментов, например долбяков, зубья которых корригированы, возникает необходимость определения толщины зуба на окружности любого радиуса — rу, концентричной с делительной окружностью радиусом r.

    Рис. 1.5. Изменение толщины зуба на делительной окружности при положительном смещении инструментальной рейки.


Свойства касательной, секущей и хорды окружности

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок ). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Хорда окружности обладает следующими свойствами

  1. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
  2. Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.
  3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
  4. Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.
  5. Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.
  6. Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°.
  7. Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется равенство: .

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной (на рисунке отрезок ).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (отрезок ).

Свойства касательной и секущей

  1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
  2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
  3. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:

       

    1. Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Вычисление площади пересечения двух окружностей • Информатика и машинное обучение