Как разложить на множители кубическое уравнение: Моделирование в электроэнергетике — Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Содержание

Моделирование в электроэнергетике — Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида  и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где — являются корнями многочлена.

Корнем многочлена  называют число  (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П. 3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

; ; ; 

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь  корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

 

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень  (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена  , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

 Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен   , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами .  Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере  записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен.

Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере  2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

И  так далее. Последняя ячейка второй строки является остатком деления многочлена на двучлен. В случае если деление происходит на корень уравнения, то остаток должен быть равен «0».

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

П.2. Далее раскладывается на множители многочлен третьей степени (кубическое выражение).

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Формулы, используемые для разложения на слагаемые

Деление формул на две группы выполнено условно для удобства запоминания, а любые равенства справедливы как при чтении их слева направо, так и справа налево. 

Пример 4.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

Пример 4. 2. Необходимо разложить многочлен четвертой степени на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера

Разложение  многочлена на множители.  Теорема Безу и схема Горнера

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим,  каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена    на  двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен   делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы  получаем многочлен,    степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена  при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а — четное число.

Например, в многочлене  сумма коэффициентов при четных степенях :  , и сумма коэффициентов при нечетных степенях :   . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при — равен единице) справедлива формула Виета:

, где — корни многочлена .

Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен .

Для этого многочлена произведение корней равно

Делители числа : ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :  

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем  многочлена: , следовательно, число 2  является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен  на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен — схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 — так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена   мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы «убиваем двух зайцев»: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1  корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена . Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже  числа -24.

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 — число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен  с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

Идем дальше.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен  без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена  на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

 

Что такое разложение многочленов. Многочлены

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x — x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x — x 1) (x — x 2) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x — s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) + P n (s) , где Q n — 1 (x) является многочленом со степенью n — 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x — x 1) (x — x 2) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = (- 7) 2 — 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x — x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.

Решение

Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 — x = x (4 x 2 + 8 x — 1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 — 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = — 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = — 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = — 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = — 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Решение

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 — (- 1) 2 — 8 · (- 1) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 — (- 2) 2 — 8 · (- 2) — 2 = — 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = (x 4 — 2 x 2) + (4 x 3 — 8 x) + x 2 — 2 = = x 2 (x 2 — 2) + 4 x (x 2 — 2) + x 2 — 2 = = (x 2 — 2) (x 2 + 4 x + 1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 — 2 x) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) — 2 (x 2 + x) — (x 2 + 2 x — 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x — 2) — (x 2 + 2 x — 2) = (x 2 + x — 1) (x 2 + 2 x — 2)

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = (x + 2) 3 — 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где — являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык…) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=. …….

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:

Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .

Или, то же самое, но для старшеньких):

Решить уравнение:

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться… Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Или, в более общем виде:

a(b+c+d+. ….) = ab+ac+ad+….

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+…. = a(b+c+d+…..)

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части а общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

ах+9х

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

ах+9х=х(

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Получилось.)

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками… Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Разложить на множители:

3ах+9х

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

3ах+3·3х

Здесь сразу видно, что общий множителем будет . Вот его и выносим:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Разложили.

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

3ах+9х=х(3а+9)

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Продолжаем развлечение?)

Разложить на множители выражение:

3ах+9х-8а-24

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е… Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же… Знакомьтесь:

2. Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

3ах+9х-8а-24

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )

это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да…)

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

(8а+24)=8(а+3)

Всё наше выражение получится:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)

Примеры.

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких…

Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель… Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.

Пример с уравнением:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

х 4 (x-1)=0

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое… Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

lg 4 x=0

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители — это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль — попробовать разложить левую часть на множители.

Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :

  • вынесение общего множителя за скобку
  • использование формул сокращенного умножения
  • по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
  • способ группировки
  • деление многочлена на двучлен
  • метод неопределенных коэффициентов

В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.

Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.

Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен

3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :

Итак, получили уравнение

Приравняем каждый множитель к нулю:

Получаем — корень первого уравнения.

Корни :

Ответ: -1, 2, 4

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :

или формулу разности кубов :

Здесь буквы и обозначают число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :

или формулу квадрата разности :

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :

Здесь и — корни квадратного уравнения

Пример 3. Разложить на множители выражение:

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:

Пример 4. Разложить на множители выражение:

Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:

Применим формулу для разности квадратов:

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задание №21 ОГЭ по математике с решением

x2 +7x+12.

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

x2 +7x+12=0

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта

7. Получили три корня 3; -3; -4.

Ответ: 3;-3;-4.


Второй вариант задания

Решите уравнение

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

— для x=1:   — подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. Получаем квадратный трехчлен

x2 +3x+2.

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1.

Ответ: -2; -1; 1.


Третий вариант задания

Решите уравнение

(х–2)4+3(х–2)2–10=0.

Алгоритм решения:
  1. Выполняем замену выражения с х на альтернативную переменную. Это позволит упростить уравнение и привести его к форме обычного квадратного.
  2. Решаем полученное квадратное уравнения.
  3. Переходим обратно к выражению с х, для которого была выполнена замена.
  4. Находим искомые корни уравнения.
Решение:

(х–2)4+3(х–2)2–10=0

Выполняем замену: (х–2)2=а.

Получаем:

а2+3а–10=0

Это уравнение можно решить с помощью т.Виета.  Согласно теореме, имеем:

а1+а2=–ba1·a2=c.

Здесь а1а2 – корни этого уравнения, b=3, c=–10.

Отсюда получаем: а1=2, а2=–5.

Возвращаемся к переменной х. Поскольку (х–2)2=а, то получим:

1) (х–2)2=2

2) (х–2)2=–5

это уравнение корней не имеет, т. к. нельзя извлечь корень из отрицат.числа

Ответ: 


Четвертый вариант задания

Решите неравенство

(3х–7)2≥(7х–3)2.

Алгоритм решения:
  1. Используя ф-лу сокращенного умножения для квадрата разности, раскрываем скобки в левой и правой части нер-ва.
  2. Группируем элементы (слагаемые) неравенства: слагаемые с «х» должны оказаться в левой части, свободные члены – в правой. Приводим подобные.
  3. Решаем полученное нер-во.
Решение:

9х2–42х+49≥49х2–42х+9

9х2–42х–49х2+42х≥9–49

–40х2≥–40

х2≤1

х≤|1|    →    –1≤x≤1    →    xϵ[–1; 1]

Ответ: [–1; 1]


Пятый вариант задания

Решите систему уравнений

Алгоритм решения:
  1. Из 2-го уравнения выражаем у через х.
  2. Подставляем полученное выражение для у в 1-е уравнение.
  3. В полученном ур-нии с одной переменной (х) выполняем тождественные преобразования. Приводим его к квадратичному виду.
  4. Выполняем замену х2 на а. Решаем полученное квадратное ур-ние.
  5. Возвращаемся от а к х. Находим все значения (корни) для х.
  6. Определяем соответствующие им значения для у.
  7. Фиксируем в ответе пары соответствующих корней.
Решение:

Из (2) выражаем у через х:

Полученное выражение для у подставляем в (1):

Выполним преобразования:

Выполним замену: х2= , а0 .

Получим:

а2–37а+36=0

По т.Виета а1=1, а2=36

Отсюда имеем:

х2=1    →    х=±1    →    х1=–1, х2=1

х2=36    →    х=±6    →    х3=–6, х4=6

Теперь возвращаемся к уравнению, в котором у выражено через х. И вычисляем соответствующие значения для у:

Ответ: (–1; –6), (1; 6), (–6; –1), (6; 1)

Разложение многочлена на множители. Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык…) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=……..

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:

Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .

Или, то же самое, но для старшеньких):

Решить уравнение:

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться. .. Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Или, в более общем виде:

a(b+c+d+…..) = ab+ac+ad+….

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+…. = a(b+c+d+…..)

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части а общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

ах+9х

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

ах+9х=х(

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Получилось.)

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками… Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Разложить на множители:

3ах+9х

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

3ах+3·3х

Здесь сразу видно, что общий множителем будет . Вот его и выносим:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Разложили.

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

3ах+9х=х(3а+9)

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Продолжаем развлечение?)

Разложить на множители выражение:

3ах+9х-8а-24

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е… Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же… Знакомьтесь:

2.

Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

3ах+9х-8а-24

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )

это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да…)

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

(8а+24)=8(а+3)

Всё наше выражение получится:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)

Примеры.

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать. ) Была в начале урока тройка таких…

Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель… Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.

Пример с уравнением:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

х 4 (x-1)=0

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое… Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

lg 4 x=0

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Понятия «многочлен» и «разложение многочлена на множители» по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y — это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 — многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй — d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую — со множителем b. Обратите внимание на знаки + и — в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку — значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае — только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке — это а, во второй — b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и — Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c — 5) и 7b(2c — 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с — 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc — 25a — 35b раскладываается на 2 множителя: (2c — 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 — формула, получившая название «квадрат суммы», так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
  • a 2 + 2ab — b 2 = (a — b) 2 — формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
  • a 2 — b 2 = (a + b)(а — b) — это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

  1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 — используем формулу «квадрат суммы».
  2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху — удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 — это квадрат 2у.
  3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

  • 25а 2 — 400 = (5а — 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
  • 36х 2 — 25у 2 = (6х — 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
  • с 2 — 169b 2 = (с — 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 — это 5 2 , а 10а 4 это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

  • a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 — ab + b 2) — эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
  • a 3 — b 3 = (а — b)(a 2 + ab + b 2) — формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
  • a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 — куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
  • a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = (a — b) 3 — формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название «куб разности».

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении — при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 — это (4а) 3 , а 8b 3 — это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 — это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x 6 есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x 3 , квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x 3 , ибо 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x 3 и 1, т. е. он равен (x 3 – 1) 2 . Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a 2 b 2 – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a 2 b 2 , следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

9a 2 + b 2 + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b) 2 .

… (переставим мысленно первый и второй члены).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 и т. п.

Рассмотрим еще многочлен

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 , то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

40. Соединение обоих приемов . Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a 2 – b 2). Множитель a 2 – b 2 , в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Мы видим, что первый множитель a 2 + b 2 не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a 2 + b 2 (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a 2 – b 2 (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

41. Применение особых случаев деления . На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .

Пример.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение .

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где — являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Теорема Безу — презентация онлайн

«Для того, чтобы
совершенствовать
ум, надо больше
рассуждать, чем
заучивать».
Декарт (1596-1650).
Французский
математик, физик,
филолог.
Тема урока:
«Теорема Безу»
Решить уравнение:
x3-2×2-6x+4=0
Проблема:
Возможно ли многочлен третьей
степени x3-2×2-6x+4
разложить на множители?
Как разложить на множители
многочлен х2 — 5х — 6?
.
х2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1)
Вывод:
Корни трехчлена являются
делителями свободного члена.
.
Схема Горнера
x3-2×2-6x+4 разделим на двучлен х + 2
сложить
1
-2
-6
4
1
-4
2
0
x3 — 2×2 — 6x + 4= (x2-4x+2)(x+ 2)=
-2
остаток
умножить
x3 — 2×2 — 6x + 4= (x2-4x+2)(x+ 2)
Значения
многочлена
Р(х)=x3-2×2-6x+4
х
Схема
Горнера
Р(х)
1
-2
-6
4
1
-1
2
-3
7
-8
1
1
-1
-7
-3
-1
1
-3
-3
7
2
1
0
-6
-8
-2
4
0
12
-2
1
-4
2
0
4
1
2
2
12
-4
-68
-4
1
-6
18
-68
Гипотеза:
Значение многочлена при х=а равно остатку от деления
многочлена на х — а.
Теорема Безу:
Этьенн БЕЗУ
Этьенн Безу (1730 — 1783)
Остаток R от деления
Р(х) на двучлен (x — а)
равен Р(а).
Следствие: Для того,
чтобы многочлен Р(х)
делился нацело на
двучлен (х – а),
необходимо и
достаточно, чтобы
выполнялось равенство
Р(а) = 0.
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ:
4
х

3
x

2
6x
— x + 3 = 0.
Ответ: -1; 3;
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
•Теорема Безу дает возможность, найдя
один корень многочлена, искать далее
корни многочлена, степень которого на 1
меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и
остается решить уравнение Q(x) = 0.
•Иногда этим приемом — он называется
понижением степени — можно найти все
корни многочлена.

3 Многочлены и рациональные функции п 1

§ 3. Многочлены и рациональные функции п. 1. Многочлены. Рассмотрим уравнения: — линейное уравнение — многочлен 1 -й степени — квадратное уравнение — многочлен 2 -й степени

— кубическое уравнение — многочлен 3 -й степени Пример 1. Формулы Кардано для решение кубических уравнений. Метод Феррари для решение уравнений 4 -й степени. Общее уравнение степени не ниже 5 не разрешимо в радикалах.

Выражение вида где многочленом n-й степени. называется Обозначается: Число если называется корнем многочлена

Теорема 1 (о делении с остатком). Пусть — некоторые многочлены; Тогда существуют многочлены такие, что причем степень многочлена степени многочлена меньше

Пример 2. Найти Решение. Разделим в столбик.

Значит,

Теорема 2 (Безу). Остаток от деления многочлена двучлен равен значению Пример. на при

Доказательство. Пусть — остаток от деления По теореме 1 степень многочлена меньше степени многочлена равна нулю. Значит, — число, т. е. По теореме 1 Положим на т. е.

Следствие. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда остаток от деления на равен нулю. Доказательство. Необходимость. Пусть — корень многочлена т. е. Тогда по теореме 2, остаток равен Достаточность. Если то по теореме 2 т. е. — корень многочлена

Таким образом, если известен один из корней уравнения то степень уравнения можно понизить на 1, разделив на Пример. Решить уравнение Решение. Очевидно, уравнения. Разделив Значит, — корень на получим

Схема Горнера Деление многочлена на двучлен, удобно выполнять по следующей схеме. Пусть в результате деления многочлена на двучлен многочлен и в остатке r. Тогда в частном получается

Пример. Разделить на 3 1 1 – 6 – 14 1 4 6 4 Значит, – 11 1 – 3 0

Теорема 3 (основная теоремы алгебры). Всякий многочлен n-й степени ( ) имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный). Если многочлен делится на , то число называется корнем кратности k этого многочлена. Пусть — многочлен с действительными коэффициентами. Если то и

Следствие (основной теоремы алгебры). Всякий многочлен n-й степени ( ) имеет равно n корней (действительных или комплексных) с учетом их кратности. Всякий многочлен с действительными коэффициентами n-й степени разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. где и

Рациональные корни многочлена Теорема 4. Пусть где Если несократимая дробь является корнем этого многочлена, то p — делитель q — делитель

Доказательство. По условию теоремы т. е. Тогда (1) (2)

Правая часть равенства (1) делится на q, значит и левая часть (1) делится на q. Так как дробь является несократимой, то p не делится на q, а значит делится на q. Аналогично, с помощью равенства (2) показывается, что делится на p.

Пример. Решить уравнение Решение. Применим теорему 4: Возможные корни: Проверим с помощью схемы Горнера, какие из этих чисел являются корнями уравнения.

6 2 – 3 – 11 1 2 – 12 — не корень – 1 2 – 5 – 6 — не корень 2 2 1 – 7 — не корень – 2 2 – 7 3 Значит, 0 — корень уравнения. Остальные корни можно найти из уравнения

п. 2. Рациональные функции. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов. ― правильная рациональная дробь; ― неправильная рациональная дробь.

Пример.

Всякую неправильную рациональную дробь путем деления можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Пример. (см. пример 2)

Простейшие рациональные дроби I. III. IV.

Теорема 5. Всякую правильную рациональную дробь знаменатель которой разложен на множители можно представить (и притом единственным образом) в виде суммы простейших дробей.

Множителю вида k простейших дробей соответствует сумма Множителю вида соответствует сумма s простейших дробей

Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.

Метод неопределенных коэффициентов Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.

Приравняем конечный и исходный числитель, раскрыв скобки: Выпишем слагаемые с Получаем уравнение: Выпишем слагаемые с x: Получаем уравнение:

Выпишем слагаемые без x: Осталось решить систему: Поэтому,

Метод отдельных значений аргумента Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.

Приравняем конечный и исходный числитель: Положим Поэтому,

Группировка для разложения кубических уравнений на множители — видео и расшифровка урока

Метод группировки

Метод, который мы будем использовать, называется методом группировки . Он включает факторизацию групп из двух терминов для нахождения общего множителя. Если вы рассматриваете каждый термин как маленького человека с мозгом, то вы можете думать об этом методе как об объединении двух голов вместе, чтобы помочь вам думать еще лучше. 2 + x + 2 = 0.2( x + 2) + ( x + 2) = 0 после факторизации нашего наибольшего общего делителя в каждом из них. Вы видите здесь что-то интересное? Вот так! У нас есть общий множитель ( x + 2) в обеих группах. Это говорит нам о том, что мы можем переписать это в виде двух скобок, умноженных вместе.

Одна из наших скобок — это ( x + 2), а другая состоит из наибольших общих множителей, которые мы вынули. Поскольку у нашей последней группы не было наибольшего общего делителя, она будет единицей.2 * ( x — 1) = 0. Любой способ будет работать. Ищите оба варианта при работе с задачами с несколькими вариантами ответов, поскольку любой из них может быть показан.

Итоги урока

Теперь давайте повторим, что мы узнали. Мы узнали, что мы можем факторизовать кубических уравнений , уравнений, чья высшая степень равна трем, используя метод группировки , который включает факторизацию групп из двух членов для нахождения общего множителя.

Если мы думаем о каждом термине как о маленьком человечке с головой, то мы можем думать о методе группировки как об объединении двух голов вместе, чтобы помочь нам более разумно факторизовать.

Сначала мы группируем, формируя группы из двух терминов с помощью круглых скобок. Мы отделяем каждый набор круглых скобок плюсовым термином. Мы следим за тем, чтобы сохранить правильный знак с каждым термином.

Затем мы выносим за скобки наибольший общий множитель в каждой группе. Если мы сделали это правильно, то увидим, что у нас есть общий множитель в обеих группах.

Затем мы записываем наши наибольшие общие делители в один набор скобок, а наш общий делитель — в другой набор скобок. Эти скобки будут перемножены.

Затем мы используем то, что знаем о факторинге квадратичных вычислений, чтобы посмотреть, можем ли мы продолжить факторинг. Как только мы больше не сможем факторировать, тогда мы закончим.

Результаты обучения

Просмотрите этот обучающий видеоурок, чтобы вы могли:

  • Фактор кубического уравнения с использованием метода группировки
  • Разделить термины и исключить наибольший общий делитель в каждой группе
  • Определите и перепишите наибольшие общие делители

Формула кубического уравнения — Узнайте формулу кубического уравнения

Формула кубического уравнения используется для представления кубического уравнения. Многочлен третьей степени известен как кубический многочлен, или мы можем назвать его кубическим уравнением. Кубические уравнения имеют по крайней мере один действительный корень, и они могут иметь до 3 действительных корней. Корни кубического уравнения также могут быть мнимыми, но по крайней мере 1 должен быть действительным. Формула кубического уравнения вместе с несколькими решенными примерами объясняется ниже. Давайте исследуем их.

Что такое формула кубического уравнения?

Формулу кубического уравнения также можно использовать для получения кривой кубического уравнения.Представление кубического уравнения с помощью формулы кубического уравнения очень полезно для нахождения корней кубического уравнения. Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид:

топор 3 +bx 2 +cx+d=0

Мы можем решить кубическое уравнение двумя способами

i)    Пробная версия — Ошибка и синтетическое разделение
ii)    Факторизация.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила.Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Забронируйте бесплатный пробный урок

Рассмотрим применение формулы кубического уравнения в следующих решенных примерах.

 

Примеры использования формулы кубического уравнения

Пример 1: Выберите кубические многочлены из следующих:

  • п(х): 5х 2 + 6х + 1
  • р(х): 2х + 3
  • q(z): z 2 − 1
  • г(г): г 2 + (√2) 9
  • г(г): √5z 2
  • с(х): 10х
  • р(у): у 3 — 6у 2 + 11у — 6
  • q(y): 81y 3 − 1
  • г(г): г + 3

Решение:  Кубические многочлены среди приведенных выше многочленов:

Кубические многочлены

р(у): у 3 − 6 лет 2 + 11 лет − 6

q(y): 81y 3 − 1

г(г): г 2 + (√2) 9

Пример 2. Найдите корни следующего кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 – 11x – 6 = 0

Решение:

Найти: Корни данного уравнения.

Это уравнение не может быть решено с помощью метода факторизации, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы найти один корень.

Обычно мы начинаем со значения «1».

f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0

Значение «2» делает L.H.S равным «0». Следовательно, два — это один из трех корней.

Теперь мы воспользуемся методом синтетического деления, чтобы найти два других корня.

Мы разделим наше уравнение на (x-2), и частное даст нам два других корня.Мы разделим наше уравнение на (x-2), и частное даст нам два других корня.
Частное: (2x 2 + 7x + 3)
Факторизация этого частного,
(2x+1) (x+3)
Отсюда мы получаем значения x as,
x = -1/2 и x = -3
Ответ: Итак, три корня кубического уравнения: x = 2, x = -1/2 и x = -3

Пример 3: Используя формулу кубического уравнения, решите кубическое уравнение x 3 – 2x 2 – x + 2.

Решение:

Чтобы найти: Корни вышеприведенного уравнения
Сначала мы проверим, можем ли мы разложить кубическое уравнение на множители или нет, если его нельзя разложить на множители, мы должны использовать метод синтетического деления. Но в этом случае, посмотрев, мы можем сказать, что это уравнение можно решить с помощью факторизации. Посмотрим, как.
х 3 – 2х 2 – х + 2.
= х 2 (х – 2) – (х – 2)
= (х 2 – 1) (х – 2)
= (х + 1) (х – 1) (х – 2)
Мы можем заключить, что
х = -1, х = 1 и х = 2.

Ответ: Итак, три корня кубического уравнения: x = -1, x = 1 и x = 2.

Часто задаваемые вопросы о формуле кубического уравнения

Что такое формула кубического уравнения?

Формулу кубического уравнения также можно использовать для получения кривой кубического уравнения. Представление кубического уравнения с помощью формулы кубического уравнения очень полезно для нахождения корней кубического уравнения. Многочлен степени n будет иметь n нулей или корней. Кубическое уравнение имеет следующий вид: ax 3 +bx 2 +cx+d=0

Как решать кубические многочлены, используя формулу кубического многочлена?

Наиболее часто используемая стратегия решения кубического уравнения —

.
  • Шаг 1. Приведите кубический полином к квадратному уравнению.
  • Шаг 2: Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Что такое уравнение для формулы кубических многочленов?

Кубическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение третьей степени и имеет форму ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа.

Как разложить кубическую функцию на множители? – СидмартинБио

Как разложить кубическую функцию на множители?

В общем, чтобы разложить на множители кубический многочлен, нужно найти один множитель методом проб и ошибок. Используйте факторную теорему, чтобы подтвердить, что догадка является корнем. Затем разделите кубический полином на множитель, чтобы получить квадратичный. Получив квадратное число, вы можете применить стандартные методы для факторизации квадратичного числа.

Как вы учитываете синтетическое деление?

Синтетическое деление — это еще один способ разделить многочлен на двучлен x – c , где c — константа.

  1. Шаг 1: Настройте синтетическое подразделение.
  2. Шаг 2: Опустите ведущий коэффициент в нижнюю строку.
  3. Шаг 3: Умножьте c на значение, только что написанное в нижней строке.
  4. Шаг 4. Добавьте столбец, созданный на шаге 3.

Как разложить трехчлен на множители?

Чтобы разложить на множители трехчленное выражение, поместите его обратно в пару квадратных скобок. Чтобы найти термины, которые идут в каждой скобке, найдите пару чисел, которые умножаются, чтобы получить последнее число, и складываются вместе, чтобы получить среднее число.

Что является примером кубической функции?

Кубическое уравнение имеет форму ax3 + bx2 + cx + d = 0, где a,b,c и d — действительные числа.Например, x3-2×2-5x+6 = 0 и x3-3×2 + 4x – 2 = 0 являются кубическими уравнениями. Первая имеет действительные решения, или корни, -2, 1 и 3, а вторая имеет действительный корень 1 и комплексные корни 1+i и 1-i.

Как разложить полиномы на множители с помощью деления в большую сторону?

  1. Разделите первый член числителя на первый член знаменателя и подставьте это в ответ.
  2. Умножьте знаменатель на этот ответ, поместите его под числителем.
  3. Вычтите, чтобы создать новый многочлен.

Как решать кубические уравнения с помощью факторной теоремы?

Если многочлен f(x) разделить на x – k, остаток равен f(k). Что такое Факторная теорема? Как решать кубические уравнения с помощью факторной теоремы? px 3 + qx 2 + rx + s = 0, где p, q, r и s — константы с использованием теоремы о факторах и синтетического деления.

Когда использовать полиномиальное длинное деление в кубических уравнениях?

Мы можем использовать теорему о множителях, чтобы найти один множитель кубической функции, а затем использовать полиномиальное деление в длину, чтобы найти оставшиеся множители.(Иногда можно найти все решения, найдя три значения x, для которых P (x) = 0). кубическое уравнение имеет максимум три различных решения.

Как найти решение кубического уравнения?

Решение кубических уравнений 1 Установите одну часть уравнения равной 0. 2 Соберите одинаковые члены. 3 Факторизация с использованием факторной теоремы и длинного деления

Решение кубических уравнений

Решение кубических уравнений

Эта страница предназначена для чтения после двух других: одна на что значит решить уравнение а другой по алгебраическим числам, расширения поля и связанные с ними идеи.

Давайте представим себя лицом к лицу с кубом. уравнение x 3 + ax 2 +bx +c = 0. Решить это уравнение означает записать формулу его корней, где формула должна быть выражением, построенным из коэффициенты a, b и c и фиксированные действительные числа (т. е. числа, не зависящие от а, б и в) с помощью только сложения, вычитание, умножение, деление и извлечение корни.

Как и на других страницах, я попытаюсь показать, что можно вывести такую ​​формулу, следуя стандарту математические инстинкты, без потребности в таинственных вспышки вдохновения.Я конечно не утверждаю, что любой здравомыслящий человек должен уметь вывести формулу за час-два — нахождение нужного стандартного математического инстинкт» обычно включает в себя несколько попыток, которые не работают. Тем не менее, список подходящих для пробы в том или ином случае ситуация обычно не слишком длинная. Если вы молоды и амбициозны и еще не умеете решать кубики, я бы порекомендовал иметь или, возможно, прочитав эту страницу, а затем попробуй. Ваши шансы на успех за несколько часов вероятно, выше, чем вы думаете.


Начнем с одного из самых полезных (и очевидных) общие принципы решения задач по математике.

Если вы пытаетесь решить проблему, посмотрите, может адаптировать известное вам решение к аналогичной проблеме.

Используя этот принцип, можно не начинать с чесаться с каждой новой проблемой. Важно не то трудность самой проблемы, но сложность разница между проблемой и другими задачи, решения которых известны.


Решение квадратичных уравнений

В данном случае совершенно очевидно, что аналогичный проблема, которую мы должны решить, состоит в том, чтобы найти решение квадратное уравнение x 2 + 2ax + b = 0. (у меня есть ставлю множитель 2 просто для удобства — конечно не имеет никакого значения математически.) Как мы это делаем? Итак, мы «наблюдаем», что

x 2 + 2ax +b = (x+a) 2 + b-a 2

, который быстро приводит к решению

х = -а +/- (а 2 -b) 1/2

Это наблюдение было умным? Будет полезно остановиться на этот более элементарный вопрос, прежде чем продолжить кубический. Итак, давайте представим, что мы даже не знаем, как решать квадратные уравнения. Одно из направлений мысли, которое может привести нас к решению, заключается в следующем. После изучения общего уравнения x 2 + 2ax +b = 0 и, не имея никаких идей, мы возвращаемся к следующему вопросу.

Есть ли особые случаи, которые я знаю, как решить?

Потом с некоторым смущением отмечаем про себя, что мы можно решить уравнение при a = 0. То есть мы можем решить уравнение x 2 + b = 0 (потому что мы можем взять квадратные корни).Далее мы, возможно, заметим, что если b=a 2 , то имеем уравнение x 2 + 2ax + a 2 = 0, которое можно переписать (x+a) 2 = 0. Как только мы заметили это, мы поймем, что помогает не то, что правая часть равна нулю, а левая часть идеальный квадрат. Следовательно, мы можем решить (x+a) 2 =b для любого б. Это дает нам целое семейство квадратичных уравнений, которые мы можем решить, поэтому мы были бы безумны, если бы не задали следующий вопрос.

Существуют ли квадратные уравнения, которые нельзя записывается в виде (x+a) 2 =b?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вернуть его в исходное состояние. форму, умножив скобку и принимая b на левую сторону.Это дает нам уравнение x 2 + 2ax + a 2 -b = 0. Тогда ясно что мы можем сделать 2а любым числом, которое захотим, и что, сделав Итак, мы можем сделать 2 -b любым другим числом, которое захотим. Так квадратное решается.

Если вы считаете, что просили слишком много, чтобы заметить, что уравнение x 2 + 2ax + a 2 = 0 может решить, то вот еще один маршрут. Это не займет много времени любопытство узнать, является ли 1+2 1/2 алгебраическим число или много таланта, чтобы заметить, что если x=1+2 1/2 тогда (x-1) 2 = 2.Обобщение этого примера приводит быстро к наблюдению, что уравнения вида (x+a) 2 =b можно решить.


Предварительное упрощение кубика.

Каким было бы естественное обобщение на кубы процесс заполнения квадрата? Чтобы ответить на вопрос такого рода часто бывает полезной следующая тактика.

Дайте общее описание того, что это такое хотелось бы обобщить.

Я попытаюсь проиллюстрировать, что я имею в виду, просто сделав это.Для завершения квадрата заметим, что (x+a/2) 2 = x 2 + ax +a 2 /4, так что мы можем написать любой квадратик, начинающийся с x 2 + ax как (x+a/2) 2 плюс константа. Чтобы положить это другое образом, если мы допустим y=x+a/2, то y удовлетворяет квадратному уравнению особо простой формы y 2 +C=0. Из конечно, как только мы решили уравнение для y, это легко получить решение для x, так как x очень простое линейная функция y.

Что было проще в уравнении для y? Есть два разумные ответы на этот вопрос, и стоит глядя на них обоих.Во-первых, следует отметить, что уравнение для y включает только y 2 и константу член — таким образом, замена x на y позволяет нам предположить, что коэффициент линейного члена равен нулю. Второй очевиднее — проще потому, что позволив себе извлечения квадратных корней, мы заявили, что уравнения форма y 2 +C=0 решается одним махом.

Это направление мысли приводит к двум вопросам.

1. Есть ли аналогичный способ упростить кубическую чтобы некоторые из коэффициентов стали равны нулю?

2.Есть ли аналогичный способ упростить кубический так что он принимает вид y 3 +C=0?

Ответ на вопрос 1 найти несложно. Если y=x+t, тогда y 3 =x 3 +3tx 2 +3t 2 х+t 3 . Следовательно, если t=a/3, то куб х 3 + топор 2 +бх +с может переписать как y 3 + py +q, где (для чего стоит) p=b-3t 2 и q=c-bt+2t 3 . Написание этого с точки зрения a имеем p=b-a 2 /3 и q=c-ab/3+2a 3 /27.

Что касается второго вопроса, мы можем начать думать о это, задав себе следующее прямое обобщение вопрос, который мы задали о квадратичных.

Существуют ли кубические уравнения, которые нельзя записывается в виде (x+a) 3 =b, и если да, то какие могут?

Расширяя и вычитая, мы обнаруживаем, что можем легко решить уравнения вида

x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + а 3 — б = 0

Когда уравнение

x 3 + топор 2 + bx +c = 0

этого типа? Сравнивая с предыдущим мы видим, что он имеет требуемый вид, если пара (a,b) форме (3s,3s 2 ) для некоторого s, что является тогда и только тогда если a 2 = 3b.Поэтому естественно возникает следующий вопрос.

Можем ли мы заменить x некоторым y=x+t так, чтобы y удовлетворяет кубу с a’ 2 = 3b’ (где a’ и b’ коэффициенты y 2 и y соответственно).

Этот подход выглядит многообещающе, потому что t дает нам одну степень свободы и все, что мы хотим, это одно условие — что а’ 2 -3b’ должно быть равно нулю. Очевидно, как ответить на вопрос, поэтому пусть нам идти вперед и сделать это. Записав x=y-t и подставив, получим уравнение

(у-т) 3 + а(у-т) 2 + б(у-т) +с = 0

, который преобразуется в

.

у 3 + (а-3т)у 2 + (b-2at+3t 2 у) + c-bt+at 2 +t 3

Это дает нам a’=a-3t и b’=b-2at+3t 2 .Следовательно,

а’ 2 -3b’=а 2 -6at+9t 2 -3b+6at-9t 2 2 -3b.

Мы показали, что мы не можем изменить количество a 2 -3b путем замены вида y=x+t. В другом словами, ответ на вопрос 2 выше — нет, по крайней мере, когда «подобным образом» означает, что мы должны использовать такую ​​замену. немного более причудливый способ сказать, что 2 -3b не меняется, это позвонить это инвариант .

Является ли несчастным случаем, что 2 -3b является инвариантом? Дальнейшее размышление дает нам причину этого явления и показывает, что мы были глупы, когда ожидали, что кубик можно решить так просто. Вы, наверное, уже заметили, что 2 -3b=-3p, где p равно коэффициент линейного члена, который мы получили, когда мы преобразовали кубический x 3 + ax 2 + bx +c в более простой кубический у 3 + ру + кв. Мы выбрали y равным x+a/3, и это легко увидеть. что никакой другой выбор не привел бы к коэффициенту y 2 быть нулем.Следовательно, обнаруженный нами инвариант имеет интерпретацию (как всегда следует ожидать): это коэффициент линейного член, когда квадратичный член был удален заменой форма y=x+t.

Но теперь очевидно, что эта величина является инвариантом. После все, если я подставлю y=x+s (вместо любые s) и потом спрошу, что дальнейшая замена z=y+r удалит квадратичный член, ответ заключается в том, что z=x+r+s и r+s должны быть равны /3. Следовательно, p, который я получаю для y такое же, как p, которое я получаю для x.


Тупик и как из него выйти.

На самом деле было заранее очевидно, что второй подход решение кубика было обречено на провал, так как, если бы это было возможно чтобы «завершить куб», тогда каждый кубик будет иметь вид (х+а) 3 +б. Но если бы это было правдой, то почему бы нам удосужились преобразовать в кубическую форму ? Итак, собрать куб не только невозможно, это невозможно по простым и веским причинам. С другой стороны, не завершение куба естественное обобщение завершения площадь? Теперь, когда мы попытались и потерпели неудачу, хотя мы упустили наш главный шанс решить кубик (который был чтобы увидеть, как мы решили квадратное и адаптировать наш метод).

Однако такое пораженческое отношение часто является ошибкой. Возможно, можно даже выразить это мнение с помощью другого общего принцип.

Может быть много способов адаптировать или обобщить доказательство.

Но как же, спрашивается, искать разные обобщения? Позвольте мне изменить более раннее предложение.

Дайте описание аргумента, который хотелось бы обобщить. Объясните, почему это сработало. Сделать объяснение более расплывчатое и более общее, а затем попытаться найти разные аргументы, которые работают по одним и тем же (расплывчатым) причинам.

Чтобы мы могли применить это на практике, позвольте мне еще раз подскажите как решать квадратное.

Пусть у=х+а/2. Тогда y удовлетворяет квадратному уравнению особо простой формы y 2 +C=0. Как только мы решили это уравнение для y, это легко получить решение исходного уравнения относительно x, так как x является очень простой линейной функцией y.

Почему, в общих чертах, это сработало? Нам нужно было два свойства у. Во-первых, y должен удовлетворять уравнению, которое мы умели решать, а во-вторых х должен зависеть от у простым способом — так что, как только мы узнали y, мы могли бы работать Икс.

Если мы хотим перенести этот подход на кубический, то у нас должны быть четкие ответы на следующие два вопроса.

(i) Какие уравнения мы можем решить?

(ii) Как мы готовы позволить у зависеть от х?

Ответ на первый вопрос мы более-менее знаем уже. Мы можем решать линейные и квадратные уравнения, и также кубические уравнения, если они имеют красивую форму х 3 +С=0. Что касается второго, то до сих пор мы рассматривали замены вида y=x+t.Какие еще замены может быть есть?

Я отвечу на этот вопрос еще одним проверенным временем метод, который встречается во всей математике.

Сделайте самое обычное, что только можно себе представить. Затем, когда вы обнаружите, что вам нужны определенные свойства, сделайте что вы сделали более конкретно, введя эти свойства.

Предположим, что мы сделали замену y=f(x). (Это трудно понять, как мы могли бы быть более общими, чем это.) Разрешите нам предположим, что это приводит к уравнению для y, которое мы можем решить. Когда знание y будет полезным? Ответ очевиден — когда мы можем решить уравнение y=f(x) относительно x через y. Но мы знать, какие уравнения мы можем решить — линейные, квадратные и простые кубические уравнения. Мы уже пробовали линейные замены и увидели их ограничения, поэтому у нас осталось два разумных возможности для f(x). Один x 2 +ax+b (это не трудно увидеть, что дающий x 2 другой коэффициент не будет иметь существенного значения) и другой х 3 +с.

Следуя некоторым очень общим методам решения проблем, мы к идее, которая определенно нова. Немного отойдя, мы понял, что важная вещь в замене y=x+t в решение квадратного уравнения не было магическим или была линейной, но обратимой в том смысле, что мы могли дать формула для x через y. Теперь тупик вышел из тупика что у нас есть подход, чтобы попробовать с кубическим. Это может не сработать, но иметь подход, который может работать, а может и не работать, гораздо лучше, чем вообще никакого подхода.


Подстановка, решающая кубики.

Если линейная замена работала для квадратных уравнений, то что звучит более вероятно для кубических уравнений — квадратичная замена или особый вид кубического замена? Как-то квадратичный более перспективен, поскольку это соответствует общему описанию степени один меньше, чем в уравнении, которое пытаются решить. Это не особенно убедительный аргумент, но худшее, что может случиться, это то, что мы попробуем это, и это не работай. Итак, давайте посмотрим, что мы можем получить с заменой у=х 2 +ux+v.

Теперь мы столкнулись с проблемой. Мы надеемся, что вы будете удовлетворяют кубике особенно простого вида. Но это очевидно, что удовлетворяет любому кубическому? Если вы сделаете не находите это очевидным, то это тот момент, когда он будет помогите прочитать мою страницу на алгебраические числа, потому что там я неоднократно использовал трюк, который работает и здесь (и который, я подчеркиваю, возникло естественным образом в этом контексте).

Мы знаем, что x удовлетворяет уравнению

x 3 + топор 2 + bx +c = 0

Но это значит, что каждый раз, когда мы записываем многочлен в x мы можем заменить x 3 на -ax 2 -bx-c, х 4 by -ax 3 -bx 2 -cx и так далее. То есть каждое полиномиальное выражение от x равно некоторому квадратичная функция x. Но у 2 и у 3 являются полиномиальными функциями от x и, следовательно, равны квадратичным те. Это тривиально верно и для 1, и для y. Следовательно числа 1, у, у 2 и у 3 все форма rx 2 +sx+t. Чтобы y удовлетворяло кубике, мы нужна нетривиальная линейная комбинация 1, y, y 2 и y 3 равным нулю. Для его получения нужно решить три однородных линейных уравнения с четырьмя неизвестными, которые мы всегда можно сделать.

Итак, теперь мы можем более точно описать возможный метод: пусть y=x 2 +ux+v, получаем y 2 и y 3 через x, привести их к квадратичным используя тот факт, что x 3 =-ax 2 -bx-c, найти нетривиальную линейную зависимость между 1, у, у 2 и у 3 , выпишите соответствующий кубический y 3 +dy 2 +ey+f в y и, наконец, (самая важная часть) умно выберите вас и v таким образом, что d 2 =3e.

У нас нет гарантии, что это сработает, потому что может быть, как это случилось с линейными заменами, просто — это без выбора u и v, что делает d 2 равно 3e, а может быть и так, хотя такой выбор существует, зависимость u и v от a, b и c настолько сложны, что мы не знаем, как решить полученные уравнения. Разумно не слишком сильно беспокоиться о первой потенциальной трудности, потому что теперь у нас есть дополнительная степень свободы, и кажется, нет аргумента, говорящего нам, что это никак не может помочь.Однако, если ты сейчас уйдешь и попытаться проработать детали изложенного аргумента выше вы увидите, что усложнение есть что-то одно точно стоит побеспокоиться. Действительно, может показаться, что после какое-то время, что для того, чтобы вычислить u и v, у вас будет решить квинтик .

Позвольте мне считать, что просто погрузиться в плохая идея. В любом случае, это еще одно хорошее решение проблемы стратегия попробовать более простые (но менее общие) подходы во-первых, на всякий случай, если они работают. Итак, как мы можем сделать приведенные выше расчеты выполнимы?

Одна очевидная идея состоит в том, чтобы использовать упрощение, которое мы получили ранее: мы могли бы также предположить, что a = 0.Это позволит нам заменить x 3 на -px-q. На самом деле, немного приятнее сказать, что x 3 =px+q, что мы можем сделать, изменив определения p и кв. А как насчет замены y=x 2 +ux+v? Хорошо, вспоминая инвариант, который мы открыли ранее, мы должны реализовать что y удовлетворяет кубике, которую мы можем легко решить тогда и только тогда, когда y-v делает. Так что мы могли бы также сэкономить на алгебре, установив v=0. В другом словами, мы не только упростим расчеты, установив y=x 2 +ux, мы даже не будем терять общности.

Вот некоторые расчеты, которые возникают, когда кто-то начинает с уравнение x 3 =px+q, устанавливает y=x 2 +ux, и пытается найти кубику, удовлетворяющую y. Делая это напрямую (что вычислив y 2 и y 3 и решив некоторые одновременные уравнения) все еще становится неприятно, но расчеты могут быть управляемыми за счет упрощения по мере продвижения вдоль, как это сделано ниже. Я также сэкономлю время, написав C в означают константу (зависящую от p,q и u), которая может варьироваться от линия к строке.

x 3 =px+q

у=х 2 +ux

y 2 =x 4 +2ux 3 +u 2 x 2

=(u 2 +p)x 2 +(2up+q)x+2uq

=(u 2 +p)y+(up+q-u 3 )x+2uq

у 3 =(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )xy+2uqy

=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(x 3 +ux 2 )+2uqy

=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(ux 2 +px)+2uqy+C

=(и 2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )(uy+(p-u 2 )x)+2uqy+C

Из более ранней строки у нас есть

(вверх+q-u 3 )x =у 2 -(и 2 +р)у+С

так что это равно

2 +р)у 2 +(up+q-u 3 )uy+(p-u 2 )(y 2 -(u 2 +p)y) +2uqy+C

=2py 2 +(u 2 p+3uq-p 2 )y+C

Таким образом, y удовлетворяет кубическому уравнению

г 3 -2py 2 -(u 2 p+3uq-p 2 )y-C=0

и все, что осталось решить, можно ли выбрать тебя таким образом, что

(-2p) 2 =-3(u 2 p+3uq-p 2 )

то есть такой что

3pu 2 +9qu+p 2 =0

Это, будучи квадратичным по u, может быть решено. Используя это значения u получается кубика по y, которая может быть «завершена». Это дает решение y. Тогда х можно вычислить из y путем решения еще одного квадратного уравнения.

Конечно, получившаяся формула, если ее доработать, было бы довольно неприятно, и теперь я должен сказать, что лучше были обнаружены методы (включая различные замены) что приводит к более легким расчетам и более аккуратным ответам. Они легко найти в Интернете, но все, как правило, имеют «волшебное» качество в них.Я также должен сказать, что я не обсудили раздражающую проблему, что не все «решения» которые возникают вышеописанным способом, обязательно будут растворами, поскольку знание y не определяет однозначно x.

Просто посмотреть, как могут быть другие разумные замены, вернемся к вопросу о том, какие из них позволяют вычислить Икс. Мы заметили, что могли бы сделать это, если бы у была квадратичной функцией х. Но в этом не было абсолютной необходимости, даже если бы мы могли решать только квадратные уравнения. Например, если y было определено неявно на x 2 +uxy+v=0, тогда, зная y, все равно позволяют определить х.

На самом деле самый простой метод работает для полностью разная причина. Это предполагает замену другим способом — на установка x=w+p/3w (когда уравнение равно x 3 =px+q) и обнаружив, что полученное уравнение относительно w является квадратичным в ш 3 . Более подробно этот метод описан здесь . У меня нет правдоподобного объяснения тому, как это было обнаружено.

Кубическое уравнение – обзор

2.4 Корни

Для заданного многочлена, такого как

(2.19)f(x)=x3−x=0,

, значение x⁎, удовлетворяющее приведенному выше уравнению, называется корнем. Мы используем ⁎, чтобы выделить это значение как специальное значение x . То есть

(2.20)x⁎3−x⁎=0.

Очевидно, что для этого простого уравнения мы можем предположить, что x⁎=1 является решением или корнем, поскольку 13−1=0. Также легко проверить, что x⁎=0 также является корнем. Теперь вопрос: нашли ли мы все корни этой простой проблемы? Если нет, то сколько осталось? Если да, то как мы можем быть уверены?

Если мы посмотрим на эту задачу более внимательно, мы поймем, что x⁎=−1 также является корнем, потому что (−1)3−(−1)=−1+1=0.Теперь есть три корня:

(2.21)x⁎=0,x⁎=+1,x⁎=−1.

Если мы постараемся еще больше, кажется, что мы не можем найти другой корень.

Еще один способ решить эту задачу — разложить полином на множители. Поскольку f(x)=x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1), мы имеем

(2.22)x(x+1)(x−1)=0.

Чтобы решить приведенное выше уравнение, мы видим, что правая часть равна нулю, а левая часть состоит из трех множителей x,x+1,x−1. Следовательно, если любой из трех множителей равен нулю, уравнение будет верным, поэтому мы можем иметь

(2.23)x=0,

или

(2.24)x+1=0,

или

(2.25)x−1=0.

Таким образом, мы наконец имеем

(2.26)x=0,orx=−1,orx=+1,

, которые совпадают с тремя корнями, которые мы получили ранее. В этом примере порядок многочлена равен 3, поэтому существует три корня.

Теперь возникает естественный вопрос: как вообще найти корни многочлена? Мы знаем, что существует явная формула для нахождения корней квадратного числа. Из обсуждения в предыдущей главе стандартного квадратного уравнения

(2.27)ax2+bx+c=0,(a≠0),

мы знаем, что его корни можно получить аналитически по формуле

(2.28)x=−b±b2−4ac2a.

Эта формула действительна для

b2−4ac≥0.

В противном случае в домене действительных чисел нет корня.

Аналитические формы также возможны для кубической и четвертой функции (многочлен 4-й степени), хотя и довольно сложные. В некоторых особых случаях можно найти фактор с помощью факторизации или даже с помощью обоснованного предположения; то некоторые решения могут быть найдены.Например, для f(x)=x6−1 мы можем иметь

(2.29)f(x)=x6−1=(x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2− x+1)=0,

, но вычислить такие коэффициенты непросто. В общем, факторизация многочленов высокого порядка не всегда возможна. Пример 2.8 х−2)(х2+3)=0.

Таким образом, решение должно быть либо

x−2=0, либо

, либо

x2+3=0.

Следовательно, единственным реальным решением является x=2, а другому условию невозможно удовлетворить ни одно действительное число, кроме как в контексте комплексных чисел, которые будут обсуждаться позже. График f(x) показан на рис. 2.1.

Рисунок 2.1. Кубическая функция f ( x ) = x 3  — 2 x 2  + 3 x  — 6.

(2.30)f(x)=ax3+bx2+cx+d=0,

, где a,b,c,d — действительные числа, a≠0.Мы можем использовать простую замену переменной

(2.31)z=x+b3a.

Во-первых, мы можем записать приведенное выше уравнение как

(2.32)f(x)=ax3+3βx3+3γx+d=0,

, где

(2.33)β=b3,γ=c3.

Подставив новую переменную z=x+βa или x=z−βa, получим

(2.34)a(z−βa)3+3β(z−βa)2+3γ(z−βa)+d= 0.

Используя формулу (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 и расширив приведенное выше уравнение, после некоторых алгебраических преобразований мы имеем

(2. 35)z3+3ha2z+ga3=0,

, где

( 2.36)h=aγ−β2,g=a2d−3aβγ+2β3.

Это существенно преобразует исходное уравнение в редуцированное или депрессивное кубическое уравнение. Определив константу

(2.37)δ=f(−b/(3a))=a(−b3a)3+b(−b3a)2+c(−b3a)+d=2b327a2−bc3a+d=2β3 −3aβγ+a2da2=ga2,

и дискриминанта Кардана Δ=g2+4h4, имеем

(2.38)Δ=a2(a2d2−6aβγd+4aγ3+4β3d−3β2γ2)=a4(δ2−ϵ2),

или

(2.39)ϵ2=δ2−∆a4.

В случае ∆>0 редуцированное кубическое уравнение имеет один действительный корень.Действительный корень можно вычислить по формуле

(2.40)z=12a(−δ+δ2−ϵ2)3+12a(−δ−δ2−ϵ2)3,

или

(2.41)x=z−b3a= −b3a+12a(−δ+1a2∆)3+12a(−δ−1a2∆)3.

Если Δ=0, то оно имеет три действительных корня. Если ϵ≠0, это дает два равных корня, а три корня равны

(2.42)z=ζ,ζ,−2ζ,

, где ζ определяется как ζ2=−h/a2. Таким образом, знаки ζ и δ важны (подробнее о выводах см. Nickalls RWD, Mathematical Gazette , 77 , 354–359, 1993). В современных научных приложениях мы редко используем эти формулы, так как легко можем получить решения с помощью компьютера. Здесь мы просто используем этот случай, чтобы проиллюстрировать, насколько сложным может стать процесс даже для кубических многочленов.

Итак, давайте рассмотрим пример. Пример 2.9 β=b/3=-1,γ=c/3=1/3.

Таким образом, мы имеем

h=aγ−β2=1×(1/3)−(−1)2=−2/3,g=a2d−3aβγ+2β2=12×(−3)−3×1×( −1)×(1/3)+2×(−1)3=−4,

и

δ=ga2=−412=−4.

Это дает, что

Δ=g2+4h4=(−4)2+4×(−2/3)3=400/27>0,

, что означает, что существует только один действительный корень, который определяется как

x= −b3a+12(−δ+Δa2)3+12(−δ−Δa2)3=−−33×1+12(−(−4)+400/2712)3+12(−(−4)−400 /2712)3≈1+1,577350269+0,422649731≈3,0,

, что все еще не является простой задачей. На самом деле, мы можем переписать уравнение, разложив его на множители как

x3−3×2+x−3=(x−3)(x2+1)=0.

В области действительных чисел x2+1>0, поэтому x−3=0 или x=3, что является единственным действительным корнем. Этот пример показывает, что аналитическая формула может быть хороша для математического анализа, но не обязательно упрощает задачу для численных расчетов.

В общем случае не существует аналитической формулы для корней многочленов выше пятого порядка. Корни функции пятого числа все еще могут иметь аналитические формы, хотя они становятся очень сложными.

Поэтому для практических приложений корни большинства полиномов приходится оценивать численно, и алгоритмы нахождения корней, такие как метод Ньютона, становятся очень полезными. Мы представим такие алгоритмы в последующих главах.

Видео-вопрос: Нахождение множества нулей кубической функции методом факторизации

Стенограмма видео

Найдите множество нулей функция 𝑓 от 𝑥 равна 𝑥 умножить на 𝑥 в квадрате минус 81 минус два раза на 𝑥 в квадрате минус 81.

Чтобы найти нули функции, мы установите функцию равной нулю, что означает 𝑥 умноженное на 𝑥 в квадрате минус 81 минус два умножить на 𝑥 в квадрате минус 81 равно нулю. Мы можем решить это уравнение относительно 𝑥 чтобы найти нули 𝑓. Сразу видно, что все члены в левой части имеют общий множитель 𝑥 в квадрате минус 81. Таким образом, мы можем разложить на множители левые сторону этого термина. Это дает нам 𝑥 минус два раза 𝑥 квадрат минус 81 равен нулю.

Теперь обратите внимание, что 81 — это квадрат число девять в квадрате. Таким образом, во втором члене мы имеем разница в два квадрата. Когда мы имеем выражение 𝑎 в квадрате минус 𝑏 в квадрате, мы можем разложить это на множители, чтобы получить 𝑎 минус 𝑏 раз 𝑎 плюс 𝑏. В нашем случае это означает, что мы можем разложите 𝑥 в квадрате минус 81, чтобы получить 𝑥 минус девять, умноженное на 𝑥 плюс девять. Теперь у нас есть произведение бинома члены, линейные по 𝑥.Поэтому мы не можем факторизовать любой дальше. Это произведение трех слагаемых, что равно нулю. Следовательно, по крайней мере один из само должно быть равно нулю. Следовательно, либо 𝑥 минус два равно нулю, 𝑥 минус девять равно нулю или 𝑥 плюс девять равно нулю.

Мы можем решить первое уравнение с помощью добавление двух к обеим сторонам, чтобы получить 𝑥 равно двум, второе уравнение путем добавления девяти в обе стороны, чтобы получить 𝑥 равно девяти, а третье уравнение путем вычитания девяти с обеих сторон, чтобы получить 𝑥 равно минус девять.Следовательно, множество нулей 𝑓 минус девять, два и девять.

Как найти общее решение с помощью корней

Введение
Пример
Простое решение
Креативное решение
Другой пример
Очень простое решение
Использование кувалды
Заключительный пример
Нет простого решения
Кардано спешит на помощь
Квадратное уравнение
Кубическое уравнение
Номенклатура
Обратная связь

Я всегда думал, что объяснения, которые я читал, решения Кардано общей кубической были излишне сложно.

Всякий раз, когда я спрашиваю кого-то, кто был разоблачен на метод, чтобы объяснить это, обычный ответ таков, что они не помнят, как это было. это моя попытка объясните это так, чтобы у него было больше шансов быть запомненным. Если ничего другого, я запомню это лучше!

Поскольку большинство подходов очень быстро становятся очень общими, Вместо этого я займусь чем-нибудь другим. Я начну с прогрессии тщательно отобранных конкретных примеров. Тогда я обобщу. Примеры, которые я собираюсь использовать:

х 3 — 3х + 2 = 0
х 3 — 3х = 0
х 3 — 3х + 1 = 0

По пути посмотрю в квадратном уравнении и завершая квадрат, описывая эту технику таким образом, который связан с решение куб.

В первом примере комплексные числа не понадобятся, но вскоре после того, как они будут интенсивно использоваться. Если вы не знакомы с комплексные числа, вы можете попробовать и прочитать это эссе, но скоро станет действительно трудно следовать. Вы предупреждены!

Пример, с которого мне нравится начинать, это х 3 — 3х + 2 = 0.

Стандартный способ решить эту проблему — попробовать несколько простых значения: 1, -1, 2, -2. Получается, что 1 — это решение! Это означает, что (x-1) является фактором х 3 — 3х + 2 = 0.Полиномиальное деление дает, что

x 3 -3x+2 можно разложить как (x-1)(x 2 + x — 2).

Это говорит нам о том, что решения x 3 — 3x + 2 = 0 задаются решениями x-1=0 и x 2 +x-2=0.

Решение квадратичного множителя может быть выполнено многими способами. В этом случае имеет место очевидная факторизация х 2 + х — 2 = (х-1)(х+2). Итак, х 3 — 3х + 2 = (х-1) 2 (х+2).

Корни -2 и 1 (с кратностью 2).

Единственная проблема с этим методом решения что это зависит от интуитивного понимания линейного фактора. Когда вы можете это сделать, вы в бизнесе. Когда ты не можешь, ты застрял. Техника Кардано больше работы, но он всегда даст вам ответ.

Вот как решается этот пример с использованием техники Кардано.

Важнейшим творческим шагом (на мой взгляд) является замена x с (w+1/w) и найти w. Это приводит к уравнение шестого порядка по w, НО, это шестой порядок уравнение, которое легко решить.Вот подробности:

х 3 — 3 х + 2 =
(w+1/w) 3 — 3(w+1/w) + 2 =
w 3 + 3 w 2 (1/вес) + 3 w (1/вес) 2 + (1/вес) 3 — 3 (вес+1/вес) + 2 =
w 3 + 3 w + 3 (1/w) + (1/w 3 ) — 3 (w+1/w) + 2 =
w 3 + (1/w 3 ) + 2.

Итак, x 3 -3x+2=0 становится w 3 +1/w 3 +2 = 0

Это уравнение шестого порядка по w.Хитрость в ее решении состоит в том, чтобы понять, что это действительно квадратичная в ш 3 . Заменив w 3 на z, получим:

г + 1/г + 2 = 0

т. е. z 2 + 1 + 2z = 0.

Решение квадратного уравнения любым удобным для вас способом (Мне нравится z 2 + 1 + 2z = (z+1) 2 ) вы получаете z = -1.

Итак, w 3 = -1.

Решением этого является w = -1, что дает решение х = ш + 1/ш = -1+1/-1 = -2.

Полиномиальное деление теперь дает

x 3 -3x+2 можно разложить как (x+2)(x 2 — 2x + 1).

x 2 — 2x + 1 = (x-1) 2 , поэтому мы имеем, что решения x = -2 и 1 (с кратностью 2).

Если вы что-то знаете о комплексных числах, вы могли заметить что я мог бы использовать другие решения для w 3 = -1. Три решения:

ш = -1, 1/2 + я √3/2, 1/2 — я √3/2

Выбирая w = 1/2 + i √3/2, получаем решение

х = ш + 1/ш = (1/2 + я √3/2) + (1/2 — я √3/2) = (1/2) + (1/2) = 1

Здесь следует отметить, что нам удалось получить реальное решение для кубический с помощью комплексных чисел!

Кроме того, в этом конкретном примере использование комплексных чисел необязательно. Выбрав решение w = -1 для w 3 = -1, мы успешно избегал иметь с ними дело. Это не всегда происходит! Когда я написал что этот пример был тщательно подобран, я это и имел в виду.

Чтобы еще немного согреться, подумайте х 3 — 3х = 0.

Это очень легко решить без техники Кардано. Поскольку постоянного члена нет, x является фактором.

x 3 -3x можно разложить как x(x 2 — 3).

Это говорит нам о том, что решения х = 0, √3, -√3.

Замените x на (w+1/w)

х 3 — 3 х =
(w+1/w) 3 — 3(w+1/w) =
w 3 + 3 w 2 (1/вес) + 3 w (1/вес) 2 + (1/вес) 3 — 3 (вес+1/вес) =
w 3 + 3 w + 3 (1/w) + (1/w 3 ) — 3 (w+1/w) =
w 3 + (1/w 3 ).

Заменив w 3 на z, получим:

г + 1/г = 0

г 2 = -1

На этот раз от комплексных чисел никуда не деться!

г = я, -я.

Переходя к решению i, теперь нам нужно решить

ш 3 = я

Что ж, одно из решений — это w = -i. Это дает нам x = w+1/w = -i + 1/-i = -i + i = 0.

Это говорит нам о том, что (x-0) является коэффициентом x 3 -3x, а остальное рутинно: x 3 -3x = x(x 2 -3) дает решения х = 0, √3, -√3.

Теперь рассмотрим х 3 — 3х + 1 = 0.

Насколько я знаю, нет простого способа решить эту проблему.

Замените x на (w+1/w)

х 3 — 3 х + 1 =
(w+1/w) 3 — 3(w+1/w) + 1 =
w 3 + 3 w 2 (1/вес) + 3 w (1/вес) 2 + (1/вес) 3 — 3 (вес+1/вес) + 1 =
w 3 + 3 w + 3 (1/w) + (1/w 3 ) — 3 (w+1/w) + 1=
w 3 + (1/w 3 ) + 1.

Заменив w 3 на z, получим:

г + 1/г + 1 = 0

г 2 + 1 + г = 0

г = -1/2 + я √3/2, -1/2 — я √3/2

Переходя к решению 1/2 + i √3/2, нам теперь нужно решить

ш 3 = -1/2 + я √3/2

т. е. w 3 = cos(120°) + i sin(120°)

Это означает, что решения: w = cos(40°) + i sin(40°), cos(160°) + i sin(160°), cos(280°) + i sin(280°)

Это дает нам x = w+1/w = 2cos(40°), 2cos(160°), 2cos(280°)

Общее квадратное уравнение:

а х 2 + б х + с = 0.

Идея состоит в том, чтобы свести его к другому квадратичному

у 2 = Т.

Мы знаем, как это решить: y= √T, −√T.

Примечание: если a,b,c действительны в общем уравнении, тогда T будет действительным в приведенном уравнении. Я подчеркиваю это, потому что соответствующие утверждение для кубического уравнения НЕ верно.

Обычные шаги:

Разделите на , чтобы получить уравнение вида

x 2 + B x + C = 0 (здесь B = b/a, C = c/a).

Теперь замените x на y+k, где k выбрано так что уравнение имеет вид

у 2 + Д = 0.

Это делается путем выбора k, удовлетворяющего 2k = -B, т. е. k = -B/2.

Принимая T = -D, теперь мы имеем у 2 = Т.

Были сделаны!

Общее кубическое уравнение:

а х 3 + б х 2 + с х + d = 0

Идея состоит в том, чтобы уменьшить его до другого куба.

ш 3 = Т.

Мы знаем, как это решить.

Примечание: даже если a,b,c,d действительны в общем уравнении, это НЕ означает, что T будет реальным. Это может быть любой комплексное значение.

Это не так уж и много.

Все важные шаги описаны в примерах. Остальные идеи присутствуют в квадратичном случае.

Вот что вы делаете:

Отметим, что первые два шага имеют прямые аналоги в квадратичном случае.

Сначала разделите на a, чтобы получить уравнение вида

х 3 + В х 2 + С х + D = 0.

Теперь замените x на y+k, где k выбрано так что уравнение имеет вид

у 3 + р у + д = 0.

Это делается путем выбора k, удовлетворяющего 3k = −B, т. е. k = -B ⁄ 3.

Теперь замените y на w+m/w, где m выбрано так, что члены w и 1/w исчезают. Это делается путем выбора m, удовлетворяющего p = -3m, т.е. m = — p/3. Вот почему я выбрал p = -3 в приведенных выше примерах.

Теперь у нас есть уравнение шестого порядка относительно w вида

w 3 + R(1/w 3 ) + S = 0.

(или, если хотите, w 6 + S w 3 + R = 0)

Принимая z = w 3 , мы имеем квадратное уравнение с двумя решениями, оба из которых могут быть сложными. Выбери один. Назовите это Т.

Общая кубическая сведена к кубической

ш 3 = Т

Решите это и отмените приведенные выше замены.

Подстановку x = w+m/w иногда называют заменой Виета .

Уравнение шестого порядка вида

w 6 + S w 3 + R = 0

иногда называют трехквадратичным уравнением

Выражение третьего порядка вида

у 3 + р у + к

иногда называют вдавленным кубическим

4 декабря 2003 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск