Как решать диф уравнения: Дифференциальные уравнения. Что это? | Решатель — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 27.01.198016.03.2022 by alexxlab

Содержание

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения — .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла — табличные. Идём к решению:

Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

В таком уравнении и — функции только переменной

x, а и — функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение и получим

Почленно интегрируем:

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то перепишем данное уравнение в виде

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

Почленно интегрируем:

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию .

или
.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде и получим

Разделяем «игреки» и «иксы»:

Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

Теперь по свойству логарифма имеем

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию .

или
.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Заметки по R: Дифференциальные уравнения

library("knitr")
opts_chunk$set(
  # cache=FALSE,
               message=FALSE, warning=FALSE) 

library("ggplot2") # для построения графиков
library("rasterVis")
library("fields")
library("deSolve") # решение дифф. уравнений с начальными условиями
library("bvpSolve") # решение дифф.
 2), 
             angle = atan2(y1dot, y2dot))

df2 <- df[c("y1", "y2", "len", "angle")]

rast <- rasterFromXYZ(df2, crs = proj)

Строим классический график со стрелочками

vectorplot(rast, isField = TRUE)

Строим няку с капельками

streamplot(rast, isField = TRUE)

Простой график можно руками построить без доп. пакетов. При этом нам нужно самостоятельно уменьшить количество стрелочек.

y1 <- seq(-6, 6, 0.5)
y2 <- seq(-6, 6, 0.5)
df <- expand.grid(y1 = y1, y2 = y2)
df <- mutate(df, y1dot = y2, y2dot = y1 + cos(y2))
plot(df$y1, df$y2, pch = ".", xlab = expression(paste(y[1])),
  ylab = expression(paste(y[2])), main = "График векторного поля")
arrow.plot(df$y1, df$y2, df$y1dot, df$y2dot,
            arrow.ex = 0.03, length = 0.05)

Решим ОДУ с начальным условиями

Решим систему ОДУ с начальными условиями

Описываем саму систему:

eq1 <- function(t, y, parampampam) {
  return(list(c(
    y[2],
    y[1] + cos(y[2])    
  )))
}

Начальные условия:

y. start <- c(y1 = 1, y2 = 4)

Точки, в которых компьютер будет считать функцию:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)

Решаем

sol <- ode(y = y.start, times = t, func = eq1)
sol <- data.frame(sol)
head(sol)

##   time       y1       y2
## 1 0.00 1.000000 4.000000
## 2 0.01 1.040018 4.003678
## 3 0.02 1.080076 4.007785
## 4 0.03 1.120176 4.012326
## 5 0.04 1.160324 4.017305
## 6 0.05 1.200524 4.022725

str(sol)

## 'data.frame':    1001 obs. of  3 variables:
##  $ time: num  0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 ...
##  $ y1  : num  1 1.04 1.08 1.12 1.16 ...
##  $ y2  : num  4 4 4.01 4.01 4.02 ...

ggplot(sol) + geom_line(aes(time, y1), size = 2) + labs(x = "t",
  y = expression(paste(y[1])), title = "Решение ОДУ с начальными условиями")

Функция ode возвращает матрицу, а для рисования графиков удобнее табличка с данными, data. frame. Строчка sol <- data.frame(sol) переделывает матрицу в таблицу с данными.

Решим систему ОДУ с краевыми условиями

Описываем саму систему:

eq1 <- function(t, y, parampampam) {
  return(list(c(
    y[2],
    y[1] + cos(y[2])    
  )))
}

Граничные условия:

y.start <- c(y1 = 1, y2 = NA) 
y.final <- c(y1 = 42, y2 = NA)

Точки, в которых компьютер будет считать функцию:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)

Решаем

sol <- bvptwp(yini = y.start, yend = y.final,
           x = t, func = eq1,
           nmax = 2000)
sol <- data.frame(sol)
head(sol)

##      x        y1        y2
## 1 0.00 1.0000000 -1.553150
## 2 0.01 0.9845193 -1.543001
## 3 0.02 0.9691398 -1.532904
## 4 0.03 0.9538610 -1.522860
## 5 0.04 0.9386824 -1.512868
## 6 0.05 0.9236035 -1.502928

ggplot(sol) + geom_line(aes(x, y1), size = 2) +  labs(x = "x", 
  y = expression(paste(y[1])), title = "Решение ОДУ с краевыми условиями")

Бесплатное приложение.

2))

r <- rasterFromXYZ(df, crs = proj)

Линии уровня функции z

contour(r)

Капельки текущие по градиенту

streamplot(r)

Направление градиентов, заодно вид сбоку для графика функции

vectorplot(r)

Урок 25. Дифференциальные уравнения в Mathcad

Дифференциальные уравнения очень часто применяются для описания изменяющихся процессов. Для начала рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ):

Аналитическое решение этого уравнения:

Аналитическое решение является точным, и оно быстро дает результат. К сожалению, многие практические дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Поэтому нам нужны численные методы.

Метод Эйлера

Наиболее простой метод решения дифференциальных уравнений – метод Эйлера. Это старый метод, легкий для понимания и программирования.

Вычисляем изменения, шаг за шагом:

Сравнение результата и точного решения:

Заметьте, что решение методом Эйлера немного отличается от точного решения, и с ростом аргумента эта разница увеличивается. Уменьшить ошибку можно, если увеличить число шагов.

Блок решения ОДУ

Mathcad содержит все главные решатели дифференциальных уравнений. Их можно найти в меню Функции –> Дифференциальные уравнения. В этом уроке мы рассмотрим самый важный из них. Он прост в использовании и точен. Такой метод сочетает использование блока решения и функцию odesolve(). Перед решением определим:

Все вхождения зависимой переменной c в блоке решения записываются как функции независимой переменной, т.е. как c(t). Есть только одно исключение – запись слева от команды odesolve().

Решение этим методом и аналитическое решение близки. Этот же результат можно получить, записав производную через штрих с помощью [Ctrl+’]:

Пример: сердце и артерии

Работа сердца похожа на работу поршневого насоса: оба они расширяются и сжимаются, клапаны на входе и выходе позволяют течь только в одном направлении. Впускной клапан открывается, когда камера расширяется и позволяет крови попасть в сердце из вены. При сжатии камеры впускной клапан закрывается, и кровь выбрасывается в артерию. Выпускной клапан закрывается, когда камера начинает расширяться.

Пульсация потока уменьшается расширением и сжатием эластичных стенок артерий.

Перепады давления возле легких низки: примем, что избыточное давление в точках A и B равно нулю. Центральным элементом являются артерии, изменение объема которых определяются разницей входного и выходного потоков:

Предположим, что объем сердца изменяется во времени по синусоидальному закону, но кровь выпускается только в течение положительной полуволны:

График для восьми ударов:

Средний поток – это интеграл объема в течение одного удара, деленный на время удара:

Расширение артерий зависит от эластичности стенок и их геометрии, но мы не будем анализировать это здесь. Предположим, что объем линейно зависит от избытка давления:

Чем эластичнее стенки, тем больше значение k. Определим три значения:

Сопротивление тела:

Разность давлений следует из:

Баланс объемов артерий:

Из

получаем дифференциальное уравнение для давления:

Решим его таким же образом, как и предыдущее, с той разницей, что k передадим в блок решения как параметр:

Выведем решения:

Максимумы давления зависят от эластичности артерий – чем больше эластичность, тем меньше давление:

Здесь мы использовали для примера одно дифференциальное уравнение первого порядка, но Mathcad этим не ограничивается.

Резюме

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит два вида переменных: зависимые (y(x)) и независимые (x).

Решение можно получить с помощью блока решения и функции odesolve().
Используйте оператор дифференцирования или штрих в записи дифференциального уравнения. Штрих вводится с помощью [Ctrl+’].
Введите необходимые граничные условия (они могут содержать запись производной через штрих).
Функция odesolve() содержит зависимую переменную и независимую переменную.
Зависимые переменные записываются как функции от независимых.
В завершение присвойте выходной переменной функцию odesolve(). Выходная переменная не записывается как функция от независимой переменной.
Однако, при использовании вывода нужно записывать его как функцию независимой переменной.

Другие интересные материалы

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть содержит синус и косинус.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решим его:

Корни k1 и k2 — действительные числа, причем k1≠k2, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения есть

Поскольку a±bi=0±1i=±i не является корнем характеристического уравнения, это — случай IIa.

то есть P и Q — многочлены нулевой степени. Значит, S и T — тоже многочлены нулевой степени, T=A, S=B,

Теперь находим первую и вторую производные от Y, подставляем получившиеся выражения в условие и ищем неопределенные коэффициенты A и B:

Теперь приравниваем коэффициенты при sin x и при cos x:

Умножив 1-е уравнение системы на 11, второе на 3 и сложив их, получаем: -130A=20. Отсюда A=-2/13. Подставив в 1-е уравнение полученное значение, находим B: B=(1-22/13)/3=-3/13. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения есть

А значит, общее решение данного неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть

Составляем и решаем характеристическое уравнение однородного ДУ:

k1 и k2- действительные числа, k1≠k2, поэтому общее решение ЛОДУ есть

a±bi=0±i=±i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=0, Q(x)=2x, то есть максимальная из степеней P и Q — первая. Значит, S и T — многочлены 1-й степени. Поэтому частное решение ЛНДУ второго порядка в этом случае будем искать как

где A, B, C, D — неопределенные коэффициенты. Находит первую и вторую производные частного решения Y и подставляем их в условие.

Теперь подставляем:

Приравниваем коэффициенты при cos x, sin x, xsin x и xcos x:

Откуда C=0, A=-1, B=0, D=A=-1. Таким образом, в этом случае частное решение ЛНДУ второго порядка есть

Так как общее решение дифференциальных уравнений второго порядка есть сумма решений yo и Y, то

Примеры для самопроверки.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Показать решение

k1 и k2 действительные числа,k1≠k2, поэтому

то есть a=0, b=4. a±bi=4i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=-65, Q(x)=0, поэтому S и T — тоже многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ЛНДУ второго порядка в данном случае ищем в виде

Подставляем в условие:

После упрощения получаем:

Приравниваем соответствующие коэффициенты:

Отсюда A=8B, B=1/4, A=2. Отсюда получаем частное решение данного ДУ второго порядка:

Значит, общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае есть

a=0, b=±1, a±bi — корень характеристического уравнения. P(x)=1, Q(x)=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Подставляем в условие найденные выражения для первой и второй производных:

Отсюда получаем, что

Следовательно, A=1/2, B=0. Таким образом, частное решение неоднородного ДУ здесь есть

соответственно, общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами —

Решение дифференциального уравнения — Энциклопедия по машиностроению XXL

Для области за пределами ящика потенциальная энергия — бесконечно большая величина, и единственно возможное решение дифференциального уравнения [c.78]

Точное решение дифференциального уравнения движения можно получить только тогда, когда силы, действующие на механизм, являются функциями положения, т. е. Л15 = Л4п(ф), Л4п = Мп(ф). [c.124]

Решение дифференциального уравнения (2.17) можно записать в виде [c.80]

Следует отметить, что искомая функция Ф является решением дифференциального уравнения (6.21) с начальными условиями ст = От при е = 0 в случае а От и решением уравнения (6.16а) при а С От. [c. 344]

Соответственно общее решение дифференциального уравнения q + 2nq + k q = 0, [c.438]

После ЛОГО решение дифференциального уравнения примет вид [c.455]

Общее решение дифференциального уравнения (20.125) применительно к рассматриваемой балке на двух опорах имеет вид [c.575]

Наиболее обоснованной моделью течения двухфазной среды является так называемая модель сплошной среды, основанная на построении и решении дифференциальных уравнений неразрывности и Навье—Стокса для каждой из фаз вместе с граничными условиями и условиями на межфазной поверхности. [c.186]

Будем решать это уравнение при помощи метода, изложенного в [94]. Пусть известно решение дифференциального уравнения нестационарной диффузии (см. разд. 6.1) [c.264]

Решение. Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде [c.237]

Решение. Дифференциальное уравнение (66) для вращающегося ротора имеет вид (считаем положительными моменты, направленные в сторону вращения) [c. 325]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Эти значения подставляют в уравнения, представляющие собой общие решения дифференциальных уравнений движения точки. [c.16]

Формулу (12.4) можно получить и непосредственно из формулы (11.11). Общее решение дифференциального уравнения (12.2) имеет вид (11. 3) и (11.6) [c.31]

Подставив эти значения i и Сз, получим решение дифференциального уравнения (14.2), т. е. уравнения движения точки в виде [c.37]

Решение. Дифференциальное уравнение вращения шкива вокруг неподвижной оси Ох (рис. 176) имеет вид (79.2) [c.211]

Решение дифференциального уравнения (81.6), т. е. уравнение малых колебаний маятника имеет вид [c.216]

Постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения (145.9), определяются из условий на концах [c.403]

Численным интегрированием на ЭВМ найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. [c.352]

Во-вторых, рабочий интервал температур покрытий значительно отличается от комнатной температуры, для которой разработано большинство методов. Исследование же теплофизических характеристик в широком интервале температур является задачей несравнимо более трудной. Хотя в решениях дифференциального уравнения, лежащего в основе всех методов определения теплофизических характеристик, не накладываются ограничения на область температур, в которой будут справедливы искомые результаты, однако практическая реализация больщинства известных методов связана с большими техническими трудностями, обусловленными постановкой высокотемпературного теплофизического эксперимента. [c.122]

Общность всех методов, разработанных для исследования теплофизических свойств различных классов материалов, состоит в том, что любой из них основан на решении дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях [c.123]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л 0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Для решения дифференциального уравнения (2), являющегося линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части, составим соответствующее характеристическое уравнение [c.36]

Уравнение (1) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования составим характеристическое уравнение — Л = 0, откуда А, = /е. Следовательно, решение дифференциального уравнения (1) запишется в виде [c. 61]

Для решения дифференциального уравнения (11) составляем характеристическое уравнение X -]- 1 = 0, откуда X = Дг Следовательно, [c.70]

Нетрудно видеть, что частное решение дифференциального уравнения (10) равно его постоянной правой части, т. е. [c.70]

Теперь, воспользовавшись формулами (13) и (15), можно общее решение дифференциального уравнения (10) записать в виде X = е- (Q os Yu — i t + s, sin Yk n t) + [c.111]

В случае резонанса, когда p = k, частное решение дифференциального уравнения (1) надо искать в виде [c.113]

Запишем общее решение дифференциального уравнения (3) х = = Воспользовавшись формулами (5) и (7), находим [c.117]

Уравнением (11) можно широко пользоваться при решении задач динамики на вынужденные колебания материальной точки при произвольном законе изменения возмущающей силы S—f t). Как мы уже указывали, им целесообразно пользоваться в тех случаях, когда трудно подобрать частное решение дифференциального уравнения [c. 123]

Рассмотрим случаи с,= onst, которые особенно многочисленны при неправильной форме частиц, так как согласно 2-4 автомодельность по R6t (с/ = onst) наступает тем раньше, чем больше несфе-ричность. При /=1,15- 1,5 последующие решения верны для Rei 200—400. Решения дифференциального уравнения при с/ = onst для нисходящего прямотока получены в [Л. 306], для восходящего прямотока в [Л. 71, 72, 143, 254, 262] и для противотока в [Л. 72]. В общем случае уравнения (2-17), (2-18 ) относятся к одному классу рациональных функций, интегрирование которых возможно по формуле общего типа (Л. 71]. Пользуясь выражением (2-40) и полагая скорость воздуха неизменной, найдем время и конечную скорость движения частиц при противотоке. Разделяя переменные и определяя постоянную интегрирования из начальных условий (т=0, VT = VT.n), получим [Л. 71, 72] [c.66]

Ряд форм модели получается при преобразовании ее уравнений на основе формул и требовании выбранного численного метода решения. Так, численное решение дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных требует их предварительного преобразования — дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным множеством их значений. [c.168]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях одноз)1ачности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию [c.356]

Строгое аналитическое решение дифференциальных уравнений (31-9) и (31-10) для коллоидных каниллярнопористых тел не всегда возможно. Однако наличие дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности позволяет воспользоваться теорией подобия для нолученпя критериев подобии. Из дифференциальных уравнений (31-9) и (31-10) и граничных условий, характеризующих баланс влаги и баланс тепла па (юверхиостн материала, [c. 509]

Оба корня характеристического уравнения действительны и огрицательны, так как kjOt. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения 4/-)-2 -ЬА = О имеет вид [c.442]

Решение дифференциального уравнения (7.33) при подстанов-. не в него формул (7.34)…(7.36), если принять коэффициенты ср, рг и а не зависящими от температуры, может оказаться неточным при изменении температуры в широких пределах. Эти коэффициенты следует считать зависящими от температуры, а решение уравнения (7.33) проводить численными методами на ЭВМ. Значение ср в формуле (7.34) выражает среднюю теплоемкость металлического стержня и покрытия в расчете на общее поперечное сечение электрода F — ndt/A (рис. 7.14, б). [c.224]

Распределение Нд по объему сварного соединения и его концентрацию в любой заданной точке определяют экспериментальнорасчетным способом. Способ состоит в экспериментальном определении исходной концентрации диффузионного водорода в металле шва Нш(0), установлении зависимости коэффициента диффузии водорода от температуры для шва, ЗТВ и основного металла и параметров перехода остаточного (металлургического) водорода Но в основном металле в Нд и обратно при сварочном нагреве и охлаждении. Расчетная часть заключается в решении тепловой задачи для заданных типа сварного соединения, режима сварки и решения диффузионной задачи. Последняя для сварки однородных материалов представляет ч 1Сленное решение дифференциального уравнения второго закона Фика, описывающего неизотермическую диффузию водорода с учетом термодиффузионных потоков в двумерной системе координат [c.534]

Из этих уравнений определяют псстоянные интегрирования i, j, f. в зависимости от начальных координат и проекций начальной скорости. Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в общее решение дифференциальных уравнений движения точки, получают уравнения движения точки в виде [c.16]

Получаем общее решение дифференциального уравнения (18.1) х = Сх os kt + a sin — hl2k t os (kt + 6) [c.50]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

Достаточно простыми являются импульсные методы. В том случае, когда задача сводится к одномерной, решение дифференциального уравнения (6-3) для неогра- [c.141]

Пример 1. Показатели переходных процессов ЭМП (максимальные и минимальные значения токов, напряжений, время переходного процесса и др.) можно определить путем решения уравнений динамики. Однако даже после преобразования кординат решение дифференциальных уравнений вызывает затруднения, особенно при переменной частоте вращения. В то же время полные решения уравнений динамики несут значительно большую информацию, чем это необходимо для оценки качества переходных процессов. Поэтому на практике часто пользуются грубыми, косвенными оценками динамических показателей типа переходных и сверхпереходных сопротивлений, постоянных времени и т. п. Их рассчитывают с помощью уравнений, аналогичных по форме уравнениям расчета установившихся процессов. Таким образом, надобность в дифференциальных уравнениях отпадает и расчетные алгоритмы приобретают большую однородность и простоту. [c.97]

Как решать дифференциальные уравнения

Нелинейные уравнения первого порядка. В этом разделе обсуждаются методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

{k} g (x, y) ,} где называется степенью однородности.{1-n}+(1-n)q(x)}

M (x, y) + N (x, y) dydx = 0. {\ displaystyle M (x, y) + N (x, y) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm { d} x}}=0.} Здесь мы обсуждаем точных уравнения. Мы хотим найти функцию φ (x, y), {\ displaystyle \ varphi (x, y)}, называемую потенциальной функцией , такую, что dφdx = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d } \varphi}{\mathrm{d}x}}=0.}

Чтобы выполнить это условие, у нас есть следующая полная производная . Полная производная допускает дополнительные переменные зависимости.Чтобы вычислить полную производную от φ {\ displaystyle \ varphi} по x, {\ displaystyle x,}, мы допускаем возможность того, что y {\ displaystyle y} также может зависеть от x. {\ displaystyle x.}
- dφdx = ∂φ∂x + ∂φ∂ydydx {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x }} + {\ frac {\ partial \ varphi } {\ partial y}} {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}}}
Сравнивая термины, мы имеем M (x, y) = ∂φ∂x {\ displaystyle M (x, y) = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}}} и N (x, y) =∂φ∂y. {\ Displaystyle N (х, у) = {\ гидроразрыва {\ парциальное \ varphi} {\ парциальное у}}.} Стандартным результатом исчисления многих переменных является то, что смешанные производные для гладких функций равны друг другу. Это иногда называют теоремой Клеро. Тогда дифференциальное уравнение является точным, если выполняется следующее условие.
Метод решения точных уравнений аналогичен нахождению потенциальных функций в исчислении многих переменных, к которому мы очень скоро приступим.Сначала мы интегрируем M {\ displaystyle M} по x. {\ displaystyle x.} Поскольку M {\ displaystyle M} является функцией как x {\ displaystyle x}, так и y, {\ displaystyle y}, интегрирование может только частично восстановить φ, {\ displaystyle \ varphi,}, о чем термин φ ~ {\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}}} призван напомнить читателю. Существует также постоянная интегрирования, которая является функцией y. {\ displaystyle y.}
- φ (x, y) = ∫M (x, y) dx = φ ~ (x, y) + c (y) {\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ int M (x, y) \ mathrm {d} x = {\ tilde {\ varphi}} (x, y) + c (y)}
Затем мы берем частную производную нашего результата по у, {\ displaystyle y,} сравниваем условия с N (x, y), {\ displaystyle N (x, y),} и интегрируем, чтобы получить c (y) . {\ displaystyle c (y).} Мы также можем начать с интегрирования N {\ displaystyle N}, а затем взять частную производную нашего результата по x {\ displaystyle x} для решения произвольной функции d (x) .{\ displaystyle d (x).} Любой метод подходит, и обычно выбирается более простая функция для интегрирования.
- N (x, y) = ∂φ∂y = ∂φ ~ ∂y + dcdy {\ displaystyle N (x, y) = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {\ varphi}}} {\ partial y}} + {\ frac {\ mathrm {d} c} {\ mathrm {d} y}}}
Пример 1.{2}=С}

Если наше дифференциальное уравнение неточное, то в некоторых случаях мы можем найти интегрирующий множитель, делающий его точным. Однако еще труднее найти применение этим уравнениям в науке, и интегрирующие факторы, хотя гарантируют существование , совсем не гарантируют, что легко найти . Поэтому мы не будем вдаваться в них здесь.

Решение дифференциального уравнения – обзор

1 Введение

С развитием современных технологий и вычислительной мощности обработка и анализ данных в трех и более измерениях становятся повсеместной задачей в различных областях науки и техники. В 3D-моделировании представление геометрических объектов, таких как формы и поверхности, в основном собирается в виде облаков точек для необработанных данных, хотя на практике большинство из них представлено треугольными сетками, определяющими как точки, так и связность. В таких приложениях, как интеллектуальный анализ данных или машинное обучение, данные обычно представляются в больших размерах, для которых создание сетки или сетки часто невозможно. Следовательно, облако точек является единственным возможным способом представления данных. Для многих практических задач данные обычно ассоциируются с определенной когерентной и нелинейной структурой.Математически это позволяет нам моделировать наборы данных как точки, отобранные на многообразиях, обычно малой размерности, встроенных в возможное многомерное объемлющее пространство (Левина и Бикель, 2004; Лин и Жа, 2008; Литтл и др., 2009b). В отличие от обработки изображений и сигналов, которая обрабатывает функции на плоских областях с помощью хорошо разработанных инструментов для обработки и обучения, наборы данных с многообразной структурой гораздо сложнее из-за их сложной геометрии. Следовательно, извлечение глобальной информации и структуры непосредственно из облаков точек во многих приложениях является важной, но сложной задачей.Математически и вычислительно можно получить богатую внутреннюю информацию, изучая поведение дифференциальных уравнений, таких как уравнение теплопроводности, или проблемы собственных значений для дифференциальных операторов, таких как оператор Лапласа-Бельтрами, на многообразиях (Белкин и Нийоги, 2002; Белкин и др., 2009; Бронштейн и др., 2010; Койфман и Лафон, 2006; Лай и др., 2010; Леви, 2006; Равив и др., 2011; Сан и др., 2009).

Классические методы конечных разностей (Meyer et al., 2002; Pinkall and Polthier, 1993; Taubin, 2000; Xu, 2004), методы конечных элементов (Dziuk and Elliott, 2013), методы параметризации (Carr et al., 2006; Голдлюке и Кремерс, 2009 г.; Lui et al., 2005), а также неявные методы (Bertalmio et al., 2000, 2002; Osher and Sethian, 1988) применимы только для решения дифференциальных уравнений на многообразиях с глобальной триангуляцией или ограниченных размерностью вложенного пространства. Растет интерес к решению дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП) на общих d -мерных многообразиях в Rp, где представление облака точек является единственным возможным способом дискретизации. В литературе было предложено несколько методов решения дифференциальных уравнений непосредственно на облаках точек без глобальной сетки или сетки.Эти методы особенно полезны в больших измерениях, где глобальная триангуляция или сетка неразрешимы. В этом классе есть три типа методов. Один тип — ядерные методы, в которых эллиптические операторы (такие как оператор ЛБ или оператор Фоккера-Планка) на облаках точек аппроксимируются диффузией тепла в окружающем евклидовом пространстве (Coifman and Lafon, 2006) или в касательном пространстве ( Белкин и др., 2009) среди близлежащих точек. Другими словами, метрика на многообразии локально аппроксимируется евклидовой метрикой.Этот тип метода не требует прямой аппроксимации дифференциальных операторов. Основным преимуществом таких методов, например, метода карты диффузии (Coifman, Lafon, 2006), является их простота и универсальность. Его можно применять к облакам точек, даже не обязательно встроенным в метрическое пространство, например, к лапласиану графа. Полученная линейная система является М-матрицей, т. е. удовлетворяющей дискретному принципу максимума, но не симметричной. Другой метод называется методом точечного интеграла (Li and Shi, 2016; Li et al., 2017). По сути, он преобразует дифференциальные уравнения в интегральные уравнения, используя специально разработанные функции ядра. Этот метод также обладает гибкостью при применении к общим наборам данных, где он может потерять сходимость и геометрический смысл. Оба вышеупомянутых метода обеспечивают аппроксимацию низкого порядка и ограничиваются только аппроксимацией диффузионных типов дифференциальных уравнений на облаках точек. Недавно мы предложили метод наименьших квадратов для имитации метода конечных разностей для решения уравнений в частных производных на облаках точек (Лян и Чжао, 2013; Лян и др., 2012), где вводятся систематические методы аппроксимации дифференциальных операторов по существу в каждой точке из локальной аппроксимации многообразия и его метрики путем перемещения наименьших квадратов через ближайших соседей. Он также обладает гибкостью для проектирования дискретной дифференциальной системы, удовлетворяющей принципу дискретного максимума, посредством поточечного ограничения перемещения наименьших квадратов. Кроме того, мы также предлагаем методы локальной сетки, которые полагаются только на локальную связность, построенную через касательное пространство в каждой точке (Lai et al., 2013). Этот метод может имитировать метод конечных элементов для решения уравнений эллиптического типа, а также решать уравнения недиффузионного типа, такие как уравнение Эйконала, путем адаптации существующих быстрых алгоритмов. Оба наших метода могут обеспечить точность более высокого порядка, чем метод диффузионной карты и метод точечного интеграла. Они также обладают гибкостью для аппроксимации общих дифференциальных операторов на многообразиях выборки облаков точек с произвольными размерностями и коразмерностями. Более того, вычислительная сложность зависит главным образом от истинной размерности многообразия, а не от размерности вложенного пространства. Однако вычислительные затраты на локальную реконструкцию многообразия и его метрики на основе метода наименьших квадратов быстро растут с увеличением размера многообразия.

Помимо решения дифференциальных уравнений в облаках точек, структурированных многообразием, также очень полезно использовать этот инструмент для понимания геометрии лежащего в основе многообразия. Эта задача анализа глобальной структуры может быть решена путем заимствования идей из дифференциальной геометрии. На практике относительно легко получить локальную аппроксимацию данного облака точек, но довольно сложно извлечь глобальную информацию из-за отсутствия глобальной связи/параметризации облака точек.В то время как дифференциальные геометры уже изучили возможные способы объединения локальной информации с помощью дифференциальных уравнений, определенных на многообразиях. Много внутренней и общей информации можно получить, изучая поведение дифференциальных уравнений, таких как уравнение Эйконала, уравнение теплопроводности или задачи на собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами, на многообразиях (Белкин и Нийоги, 2002; Белкин и др. , 2009; Бронштейн и др., 2010; Койфман и Лафон, 2006; Лай и др., 2010; Леви, 2006; Равив и др., 2011; Сан и др., 2009). С другой стороны, локальную геометрию и связность в каждой точке можно относительно легко получить, используя локальную аппроксимацию, которая позволяет нам поточечно аппроксимировать дифференциальные операторы. Это побуждает нас предлагать геометрические методы на основе PDE для понимания облаков точек. А именно, мы используем PDE, чтобы соединить «точки» и собрать воедино локальную информацию для извлечения глобальной информации.

Эта статья служит обзором нашей предыдущей работы по решению уравнений в частных производных на многообразиях, представленных облаками точек, и их приложений (Лай и Ли, 2018; Лай и Лу, 2017; Лай и Чжао, 2017; Лай и др., 2013; Лян и Чжао, 2013 г.; Лян и др., 2012). Остальная часть этой статьи организована следующим образом. В разделе 2 мы рассмотрим наши методы решения уравнений в частных производных на облаках точек с многообразной структурой, основанные на методе подвижных наименьших квадратов и методе локальной сетки. После этого мы обсудим расширения этих методов для обработки уравнения Фоккера-Планка на облаках точек, выбранных для динамической системы в разделе 3, и для решения многообразий, представленных как неполное межточечное расстояние, расширяя последние достижения теории пополнения матриц низкого ранга в разделе 4.Применение решения геометрических уравнений в частных производных для понимания и анализа облаков точек обсуждается в разделе 5, где рассматриваются приложения к извлечению скелета, построению конформной структуры и регистрации нежестких облаков точек. Мы завершаем статью в Разделе 6.

страница не найдена — Williams College

’62 Центр Театра и Танца, ’62 Центр

Касса 597-2425

Магазин костюмов 597-3373

Менеджер мероприятий/помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс

Производство 597-4474 факс

Магазин сцен 597-2439

’68 Центр изучения карьеры, Мирс 597-2311 597-4078 факс

Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс

Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672

Приемная, Уэстон Холл 597-2211 597-4052 факс

Позитивные действия, Хопкинс-холл 597-4376

Африканские исследования, Голландия 597-2242 597-4222 факс

Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс

Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс

Читальный зал 597-4200

Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence 597-3578 597-3693 факс

Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134

Студия фотографии, Spencer Studio Art 597-2030

Студия гравюры, Spencer Studio Art 597-2496

Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101

Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224

Видео/фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193

Азиатские исследования, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона 597-2482 597-3200 факс

Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл 597-2366 597-4272 факс

Спортивный директор 597-3511

Лодочная пристань, озеро Онота 443-9851

Вагоны 597-2366

Фитнес-центр 597-3182

Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman 597-2433

Очные занятия, Спортивный центр Чендлера 597-3321

Физкультура 597-2141

Влажная линия бассейна, Спортивный центр Чендлера 597-2419

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс

Корты для сквоша 597-2485

Поле для гольфа Taconic 458-3997

Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона 597-2126

Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124

Биология, Томпсон Биология 597-2126 597-3495 факс

Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс

Карты доступа/Системы сигнализации 597-4970/4033

Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400

Офицеры и диспетчеры 597-4444

Секретарь, удостоверения личности 597-4343

Распределительный щит 597-3131

Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093

Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс

Компьютерный зал 597-2522

Вестибюль 597-4383

Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс

Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380

Экологические исследования 597-2346

Лаборатория ГИС 597-3183

Центр иностранных языков, литературы и культуры, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Арабистика, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Сравнительная литература, Hollander 597-2391

Critical Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс

Лингвистическая лаборатория 597-3260

русский, голландец 597-2391

Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс

Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс

Читальный зал 597-4200

Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс

Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24 597-2483

Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483

Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483

Химия, Химия Томпсона 597-2323 597-4150 факс

Классика (греческая и латинская), голландская 597-2242 597-4222 факс

Когнитивные науки, Бронфман 597-4594

Колледж Маршал, Физика Томпсона 597-2008

Отношения с колледжами 597-4057

25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс

50-я программа воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс

Операции по развитию, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс

Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс

Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс

Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс

Почтовые службы для выпускников и разработчиков, Mears West 597-4369

Развитие, Фогт 597-4256

Связи с донорами, Фогт 597-3234 597-4039 факс

Отдел планирования подарков, Фогт 597-3538 597-4039 факс

Отдел грантов, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс

Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс

Родительский фонд, Фогт 597-4357 597-4036 факс

Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс

Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс

Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Веб-группа, Southworth Schoolhouse

Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278

Информатика, Химия Томпсона 597-3218 597-4250 факс

Конференции и мероприятия, Парески 597-2591 597-4748 факс

Справки о доме на дереве вяза, Mt. Ферма надежды 597-2591

Офис контролера, Хопкинс-холл 597-4412 597-4404 факс

Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall 597-4453

Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall 597-4396

Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023

Карточки для закупок, Хопкинс Холл 597-4413

Студенческие кредиты, Hopkins Hall 597-4683

Танец, ’62 Центр 597-2410

Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс

Харди Хаус 597-2129

Дом Дженнесс 597-3344

Райс Хаус 597-2453

Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс

Декан факультета, Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс

Обеденные услуги, капельницы 597-2121 597-4618 факс

’82 Гриль, Парески 597-4585

Пекарня, Парески 597-4511

Питание, Дом факультета 597-2452

Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл 597-2238

Эко-кафе, Научный центр 597-2383

Grab ‘n Go, Парески 597-4398

Закусочная Lee, Парески 597-3487

Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281

Уитменс, Парески 597-2889

Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс

английский, голландский 597-2114 597-4032 факс

Объекты, Сервисное здание 597-2301

Запрос автомобиля для колледжа 597-2302

Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации 597-4444

Запросы на работу объектов 597-4141 факс

Особые события 597-4020

Склад 597-2143 597-4013 факс

Факультетский клуб, Факультетский дом/Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс

Бронирование 597-3089

Офис стипендий, Хопкинс-холл 597-3044 597-3507 факс

Финансовая помощь, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс

Геофизические науки, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс

немецкий-русский, голландский 597-2391 597-3028 факс

Глобальные исследования, Холландер 597-2247

Программа магистратуры по истории искусств, The Clark 458-2317 факс

Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс

Санитарное просвещение 597-3013

Услуги комплексного благополучия (консультации) 597-2353

Экстренные ситуации, угрожающие жизни Звоните 911

Медицинские услуги 597-2206

История, Холландер 597-2394 597-3673 факс

История науки, Бронфман 597-4116 факс

Хопкинс Форест 597-4353

Центр Розенбурга 458-3080

Отдел кадров, здание B&L 597-2681 597-3516 факс

Услуги няни, здание B&L 597-4587

Преимущества 597-4355

Программа помощи сотрудникам 800-828-6025

Занятость 597-2681

Расчет заработной платы 597-4162

Ресурсы для супругов/партнеров 597-4587

Трудоустройство студентов 597-4568

Погодная линия (ICEY) 597-4239

Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076

Информационные технологии, Джесуп 597-2094 597-4103 факс

Пакеты для чтения курсов, почтовый ящик для офисных услуг 597-4090

Центр кредитования оборудования, Додд, приложение 597-4091

Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected] 597-4090

Мультимедийные услуги и справка для занятий 597-2112

Служба поддержки студентов, [электронная почта защищена] 597-3088

Телекоммуникации/телефоны 597-4090

Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552

Международное образование и учеба вне дома, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс

Инвестиционный офис, Хопкинс-холл 597-4447

Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс

Еврейские исследования, Мазер 597-3539

Справедливость и право, Холландер 597-2102

Латиноамериканские исследования, Hollander 597-2242 597-4222 факс

Лидерские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Морские исследования, Бронфман 597-2297

Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс

Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс

Concertline (записанная информация) 597-3146

Неврология, Биология Томпсона 597-4107 597-2085 факс

Центр Окли, Окли 597-2177 597-4126 факс

Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс

Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс

Исследования производительности, ’62 Центр 597-4366

Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Физика, Физика Томпсона 597-2482 597-4116 факс

Планетарий/Обсерватория Хопкинса 597-3030

Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828

Бронирование 597-2188

Политическая экономия, Шапиро 597-2327

Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс

Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс

Дом Президента 597-2388 597-4848 факс

Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House 597-2022

Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс

Офис проректора, Хопкинс-холл 597-4352 597-3553 факс

Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс

Недвижимость, здание B&L 597-2195/4238 597-5031 факс

Ипотека преподавателей/сотрудников 597-4238

Аренда жилья для преподавателей/сотрудников 597-2195

ЗАГС, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс

Религия, Голландия 597-2076 597-4222 факс

Романские языки, голландский 597-2391 597-3028 факс

Планировщик помещений 597-2555

Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 House 597-3003

Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс

Услуги доступа 597-2501

Приобретение/Серийный номер 597-2506

Услуги каталогизации/метаданных 597-2507

Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс

Исследовательские и справочные услуги 597-2515

Стеллаж 597-4955 597-4948 факс

Системы 597-2084

Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс

Научные и технологические исследования, Бронфман 597-2239

Научный центр, Бронфман 597-4116 факс

Магазин электроники 597-2205

Машиностроительный/модельный цех 597-2230

Безопасность 597-4444

Специальные академические программы, Hardy 597-3747 597-4530 факс

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Студенческая жизнь, Парески 597-4747

Планировщик помещений 597-2555

Управление студенческими центрами 597-4191

Планирование студенческих мероприятий 597-2546

Студенческое общежитие, Парески 597-2555

Участие студентов 597-4749

Жилищные программы высшего класса 597-4625

Студенческая почта, Почта Парески 597-2150

Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper 597-4462

Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131

Книжный магазин Уильямс 458-8071 458-0249 факс

Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс

Управление траста и недвижимости, Sears House 597-4259

Учебники 597-2580

Вице-президент Campus Life, Хопкинс-холл 597-2044 597-3996 факс

Вице-президент по связям с колледжами, Mears 597-4057 597-4178 факс

Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс

Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс

Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс 597-4008 597-4889 факс

Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс

Подготовка музея 597-2426

Безопасность музея 597-2376

Музейный магазин 597-3233

Уильямс Интернэшнл 597-2161

Выездной клуб Williams, Парески 597-2317

Аппаратная/стол для учащихся 597-4784

Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст 597-2192

Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс

Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345

Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic 860-572-5359 860-572-5329 факс

Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро 597-3143 597-4620 факс

Написание программ, Hopkins Hall 597-4615

Центр экологических инициатив Зилха, Харпер 597-4462

несколько простых примеров из Physclips

Дифференциальные уравнения включают в себя дифференциал количества: как быстро это количество изменяется по отношению к изменению другого. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение относительно x(t) может включать x, t, dx/dt, d ², x/dt ² и, возможно, другие производные. Ниже мы рассмотрим два простых примера обыкновенных дифференциальных уравнений, решим их двумя разными способами и покажем, что в них нет ничего страшного — ну, по крайней мере, не в тех простых, с которыми вы встретитесь во вводном курсе физики. (И к тому времени, когда вы столкнетесь со сложными уравнениями на курсах физики второго года и выше, вы уже более формально изучите дифференциальное исчисление по своим предметам математики.) Мы предполагаем, что вы уже немного знакомы с математикой. Если нет, сначала см. это введение.

Методы решения дифференциальных уравнений

Существует несколько различных способов решения дифференциальных уравнений, которые я перечислю в приблизительном порядке популярности. Я также классифицирую их способом, который отличается от того, что можно найти в учебниках.

Знай или ищи .Конечно! Уже решено очень много дифференциальных уравнений. Некоторые из них вы узнаете, а другие вы можете найти. Это , безусловно, наиболее распространенный способ, которым ученые или математики «решают» дифференциальные уравнения. Это также то, как некоторые (нечисловые) компьютерные программы решают дифференциальные уравнения.

Замена . Часто дифференциальное уравнение можно упростить, заменив одну или другую переменную. Это может сделать ее уже решенной (см. выше) или решаемой одним из других методов.(Программные пакеты тоже делают это.) Эта категория решений включает в себя ряд методов, которые вы изучите на курсе математики второго года обучения.

Угадай и попробуй . Другой очень распространенный метод решения дифференциальных уравнений: угадать, каким может быть решение, подставить его и, если это не решение или не полное решение, изменить предположение, пока не будет получено полное решение. Это используется часто — чаще, чем можно было бы предположить, читая книги и статьи, где процесс обычно кажется довольно элегантным.Во многих случаях вы знаете что-то об изучаемой системе, что дает вам подсказку. Опыт, конечно, тоже помогает. Однако ниже мы увидим, что угадывать иногда несложно.

Изменить более простое решение . Если вы знаете решение уравнения, являющееся упрощенной версией того, с которым вы столкнулись, попробуйте изменить решение более простого уравнения, чтобы превратить его в решение более сложного.

Трансформация .Некоторые дифференциальные уравнения легче решать при математическом преобразовании. Это основное применение преобразований Лапласа.

Численное решение. Если все вышеперечисленное не помогло, то алгоритм, обычно реализованный на компьютере, может решить ее явно, вычислив производные как отношения. Обычно это крайний метод по двум причинам. Во-первых, это дает вам решение только для одного конкретного набора граничных условий и параметров, тогда как все вышеперечисленное дает вам общие решения. Во-вторых, он имеет ограниченную точность: числовые производные по своей природе зашумлены.

Интеграция . Эта техника элегантна, но часто трудна (или невозможна). Иногда можно умножить уравнение на интегрирующий коэффициент, чтобы сделать интегрирование возможным.

Специальные типы . Это расплывчатое название должно включать в себя специальные методы, которые работают для определенных типов уравнений. Это тоже для изучения на курсах математики в старших классах.

Аналоговое решение. Некоторые дифференциальные уравнения легко решаются на аналоговых компьютерах. Они очень быстрые и поэтому подходят для задач управления в реальном времени. Их недостатками являются ограниченная точность и то, что аналоговые компьютеры сейчас редкость.

Ниже приведены два примера решения обычных уравнений. Они простые, потому что имеют только постоянные коэффициенты, но именно с ними вы столкнетесь на первом курсе физики. Эти уравнения могут быть решены несколькими способами, указанными выше, но мы проиллюстрируем только два метода.

Пример 1: экспоненциальный рост и затухание

Одним из распространенных примеров является рост популяции простых организмов, не ограниченных пищей, водой и т. д. Пусть количество организмов в любой момент времени t равно x(t). Скорость образования новых организмов (dx/dt) пропорциональна количеству уже существующих организмов с константой пропорциональности α. Итак, дифференциальное уравнение:

Прежде чем идти дальше, , что мы уже знаем? Подумайте, что означает эта ситуация: если число удваивается за один день (скажем), то на второй день их становится вдвое больше, поэтому на второй день популяция снова удвоится и так далее.Это говорит нам, какое решение мы ищем: геометрическое или экспоненциальное увеличение (пример нарисован справа: больше об экспоненциальной функции по этой ссылке).
Поскольку это простое уравнение, давайте решим его интегрированием.

Для этого уравнения можно разделить переменные , т. е. перестроить уравнение так, чтобы в одну сторону входили только х, а в другую только t. Здесь мы получаем

где C — постоянная интегрирования.(Подробнее о логарифмической функции и константах интегрирования в исчислении Physclips.) Константа (константы) интегрирования обычно находится из граничных условий: что в данном случае означает знание x при некотором значении t. Для этого примера предположим, что мы знаем, что в момент времени t = 0 x = x ₀ . Замена дает

Разница между двумя логарифмами является логарифмом отношения, поэтому

и, взяв антилогарифмы (или возведя каждую сторону в степень e):

Проверим размеры.
e ^αt — это число, поэтому x имеет те же размеры и единицы измерения, что и x ₀ : это хорошо! Аргумент экспоненциальной функции должен быть числом, а это означает, что a имеет размеры обратного времени. α — пропорциональная скорость прироста населения, так что это доля за время, так что да, размеры верны. Из-за этих размерностей обычно определяют τ  = 1/α , что дает решение

В примере справа τ (или 1/α) называется постоянной времени или характеристическим временем.Его смысл теперь ясен: когда   t  =  τ,   x/x ₀ есть e ¹ = 2,72. По истечении двух постоянных времени (когда t  = 2τ) мы имеем x/x ₀ = e ² = 7,39 и т. д. x растет в e раз за каждый интервал времени τ. (Подробнее об экспоненциальной функции по этой ссылке.)

Кстати, здесь стоит остановиться и отметить, что дифференциальные уравнения почти всегда являются лишь приближениями. Невозможно иметь систему, описываемую этим уравнением. Например, популяция любого вида не может расти экспоненциально. Приведу лишь одно ограничение: как только организмы занимают твердую сферу, радиус которой увеличивается со скоростью света, дальнейший рост не может быть экспоненциальным. (Об этом стоит помнить, когда политики становятся одержимыми достижением роста чего-либо, но особенно населения.)

Экспоненциальное уменьшение
В приведенном выше примере α был положительным. Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент при t отрицателен, например радиоактивный распад.Если имеется N(t) радиоактивных ядер в момент времени t и N ₀ при t = 0, и если скорость их распада (-dN/dt) пропорциональна числу нераспавшихся ядер с константой пропорциональности α, то

Делая то же интегрирование, что и выше, мы имеем

где в этом случае τ — время, необходимое для изменения популяции в e ⁻¹ = 0,37 раз, и так далее.

Пример 2: Простое гармоническое движение

Мы рассмотрим простое гармоническое движение в Physclips, сначала кинематически (т.е. описание и количественная оценка движения), затем физически в колебаниях. В последнем мы цитируем решение и показываем, что оно действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению. Давайте посмотрим повнимательнее и используем его как пример решения дифференциального уравнения.
В направлении x второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma = m.d ² x/dt ² , и здесь сила равна − kx. Это дает нам дифференциальное уравнение:

где x — отклонение от равновесия массы m в момент времени t, а k — жесткость пружины, к которой прикреплена масса.

Что мы уже знаем? Теперь, даже если мы никогда не видели груз, прикрепленный к пружине, мы можем догадаться о его поведении. Первый тривиальный: если масса покоится и находится в равновесии, то она там и останется.
Поведение. Если мы сместим груз и отпустим его, пружина разгонит его до положения равновесия (x = 0). Когда он достигает этого места, сила на нем равна нулю, но он движется с ненулевой скоростью.Таким образом, из-за своей инерции он промахивается: он продолжает двигаться за пределами x = 0. Однако по эту сторону от x = 0 пружина замедляет его, в конечном итоге останавливая. Но сила пружины теперь велика, поэтому она ускоряется в противоположном направлении, возвращаясь к точке x = 0. Достигнув ее, она промахивается… Хорошо, она колеблется. Итак, мы будем искать решение, которое колеблется .

Другое дело, что мы пренебрегли трением, чтобы получить это уравнение.Так что нечему преобразовывать механическую энергию, поэтому система будет колебаться вечно. Это важно и в нашем решении.

Размеры также помогают. Левая часть представляет собой ускорение, поэтому к/м должно иметь размерность (время) ⁻² . Таким образом, характерное время τ в этом уравнении определяется как τ ⁻² = k/m или τ = (m/k) ^½ . Обратная величина времени — это частота, поэтому 1/τ может быть частотой или, возможно, угловой частотой, или, по крайней мере, связана с ними.Мы узнаем.

Это хорошее время, чтобы использовать метод решения «Угадай и попробуй ». Нам нужно решение, которое колеблется вечно и обладает тем свойством, что его вторая производная пропорциональна самой себе, но отрицательна. Функция синуса делает все это. Теперь мы не можем написать x = sin t по причинам размерности: аргумент функции синуса не может иметь размерности: он дается в радианах (что является отношением или числом).Мы можем написать

sin (2πft) или, что то же самое,          sin (ωt),
где f — циклическая частота (количество полных циклов синусоиды в единицу времени), а ω = 2πf — угловая частота (количество радиан в единицу времени).
Однако sin (ωt) — это число, и нам нужно, чтобы длина имела те же размеры, что и x, поэтому возможное решение:
. Когда мы описывали простое гармоническое движение, мы называли А амплитудой : функция синуса изменяется от -1 до +1, поэтому движение изменяется от -А до +А.
Однако с этим предлагаемым решением есть проблема: оно имеет x = 0, когда t = 0. Было бы хорошо, если бы я дал ему толчок, чтобы запустить его из состояния покоя, но что, если я выпущу массу из состояния покоя в точке, удаленной от равновесия? В последнем случае мне понадобится x = A cos (ωt). Общее решение должно учитывать эти и любые другие начальные условия. Поэтому вместо этого мы пишем:

.

.

Может ли это быть решением? Берем производные и получаем

Итак, это решение при условии, что ω ² = k/m.Или, если хотите, мы можем записать общее решение в виде

Однако для элегантности мы обычно пишем

Итак, вернемся к рассмотрению φ. Если мы начнем движение (t = 0) с v = 0 при x = A, то φ должно быть равно 90°: вместо синуса мы имеем косос-функцию. В качестве альтернативы, если мы начнем с максимальной (положительной) скорости при x = 0, тогда нам нужно φ = 0. Мы приводим примеры этих случаев на странице фона для колебаний.Однако мы могли бы начать с любой комбинации начального смещения x = x ₀ и v = v ₀ . Итак, для общего случая (x ₀ ≠ 0, v ₀ ≠ 0) мы можем подставить, чтобы получить

Мы можем решить их через A и φ, сначала разделив два уравнения, затем возведя их в квадрат и сложив. Итак, для этих заданных начальных условий мы можем найти комбинацию констант A и φ, так что это общее решение.

Сколько граничных условий? В нашем первом примере нам нужно было найти только одну константу интегрирования, поэтому нужно было найти только одно начальное условие (или другое граничное условие). Второй пример представлял собой уравнение второго порядка, требующее двух интегрирований или двух граничных условий. Здесь мы можем указать два из начальных перемещений, скорость и ускорение, или какие-то другие два параметра.

Затухающие и вынужденные колебания

Выше мы решили уравнение
d ² x/dt ² + ω ² x  =  0 ,      где ω ²   =  k/m .
Теперь добавим дополнительный член: линейный член в dx/dt.Это дает уравнение для затухающих колебаний:
d ² x/dt ² + β dx/dt + ω ² x  = 0 ,      , где ω ²   =  k/m и где β > 0.

Физически этот термин соответствует силе, пропорциональной скорости. Что мы можем предположить о решении и как нам изменить решение, которое мы получили выше, чтобы оно удовлетворяло нашему новому дифференциальному уравнению? Опять же, мы можем использовать наши знания о физической системе: когда мы прикладываем силу, направление которой противоположно скорости, мы замедляем ее. Таким образом, мы можем ожидать одного из двух возможных ответов: либо он должен колебаться, причем амплитуда колебаний постепенно уменьшается с течением времени, либо (если затухание достаточно велико) он может замедлиться до полной остановки, даже не колеблясь.

Это наводит нас на мысль о возможности решения вида Мы можем попробовать это уже. Но это не совсем решение. Ну, а если демпфирующая сила замедляет вибрацию? Почему бы не попробовать (ω + δω) вместо ω = k/m и посмотреть, даст ли это решение для подходящего значения δω?

Давайте добавим еще одно усложнение: начнем трясти частицу с дополнительной колебательной силой, скажем, F = F ₀ sin Ωt.Это дает нам новое дифференциальное уравнение:

d ² x/dt ² + β dx/dt + ω ² x  =  F ₀ sin Ωt.
Это уравнение вынужденных колебаний. Что произойдет, если мы позволим этой системе развиваться до тех пор, пока ее поведение не станет стабильным? Здесь мы снова можем угадать решение, подставить его в дифференциальное уравнение, а затем попытаться изменить его или подобрать соответствующие значения его параметров. Почему бы не попробовать сначала и, если вы хотите проверить, перейти к Затухающим колебаниям и Принудительным колебаниям, где мы обсуждаем физику, показываем примеры и решаем уравнения.

Уравнения в частных производных: волновое уравнение

Когда у нас есть функция y(t), мы можем легко определить dy/dx как наклон графика y(x). Но теперь рассмотрим y(x,t). В нашем примере это будет смещение y точки на струне в зависимости от положения на струне x и времени t. Итак, теперь мы можем думать о двух разных производных. Мы пишем их по-разному. (Мы также представили их в разделе на странице исчисления.) Здесь мы будем решать волновое уравнение, уравнение движения волны в струне.(См. введение в Волны I и Волны II.)

∂y/∂x. Подумайте об этом как dy/dx в заданное постоянное время, t. Представьте, что вы фотографируете (время постоянно): на изображении в момент времени t это наклон формы y(x) в момент фотографирования.

∂y/∂t. Подумайте об этом как dy/dt в данной позиции, x. Это просто скорость в направлении y в конкретной точке x на струне. (Кстати, не скорость волны).

Возьмем стандартный пример.Бегущая синусоида с амплитудой A, частотой f = 2πω и длиной волны λ = 2π/k имеет уравнение

y  =  A sin(kx − ωt),    так что
∂y/∂x  =  kA cos(kx − ωt), который представляет собой наклон строки в позиции x и момент времени t, и
∂y/∂t  =  − ωA cos(kx − ωt), которая является скоростью точки струны в точках x и t.

Теперь все эти три выражения являются функциями y(x,t): это кривые y(x), которые меняются с течением времени t. Таким образом, следующая анимация рисует их таким образом (чего не могут сделать учебники!).Вы можете приостановить анимацию, чтобы проверить наклоны y(x), а также проверить правильность формы выражения скорости.
Два нижних графика представляют собой вторые производные по тем же переменным:

∂y ² /∂x ² =  − k ² A sin(kx − ωt), скорость изменения наклона струны при изменении x, и указать на строку.

Они имеют важное физическое значение: первое определяет кривизну струны. Если ∂y ² /∂x ² = 0, то наклон постоянный, поэтому он прямой. Это означает, что натяжение T действует в противоположных направлениях на противоположных концах, не создавая результирующей силы. Однако если сегмент изогнут (∂y ² /∂x ² ≠ 0), на него действует сила. При постоянной кривизне на малой длине L результирующая сила пропорциональна L.

Нам известно ускорение, поэтому мы можем применить второй закон Ньютона. Масса сегмента равна µL, где µ – масса единицы длины µ. Запись закона Ньютона в виде a = F/m дает:

∂y ² /∂t ²   =  ( T /μ)∂y ² /∂x ²

Оглядываясь назад на наши выражения для двух вторых производных, мы видим, что они представляют собой просто константы, умноженные на нашу исходную функцию y  =  A sin(kx − ωt). Это означает, что y =  A sin(kx − ωt) является решением волнового уравнения при условии, что T /µ = ω ² /k ² . Мы также видели, в Волны I, что ω/k — скорость волны, v. Что, наконец, связывает скорость волны с физическими свойствами T и μ струны:
Скорость волны больше, если струна натянута сильнее, и меньше, если струна имеет большую массу на единицу длины.

Точные дифференциальные уравнения

Определение точного уравнения

Дифференциальное уравнение типа

\[P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0\]

называется точным дифференциальным уравнением, если существует функция двух переменных $u\left( {x,y} \right)$ с непрерывными частными производными такая, что

\[du\left( {x,y} \right) = P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy.\]

Общее решение точного уравнения определяется выражением

\[и\влево({х,у}\вправо) = С,\]

, где $С$ — произвольная константа.

Тест на точность

Пусть функции $P\left( {x,y} \right)$ и $Q\left( {x,y} \right)$ имеют непрерывные частные производные в некоторой области $D. $ Дифференциальное уравнение $P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0$ является точным уравнением тогда и только тогда, когда

\[\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}.\]

Алгоритм решения точного дифференциального уравнения

Сначала необходимо убедиться в точности дифференциального уравнения с помощью теста на точность:
\[\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}.\]

Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, определяющих функцию $u\left( {x,y} \right):$
\[\left\{ \begin{массив}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = P\left( {x,y} \right)\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = Q\left( {x,y} \right) \end{массив} \right..\]

Проинтегрируем первое уравнение по переменной $x.$ Вместо константы $C,$ запишем неизвестную функцию $y:$
\[u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} + \varphi \left( y \right). \]

Дифференцируя по $y,$, подставим функцию $u\left( {x,y} \right)$ во второе уравнение:
\[\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \ frac {\ partial }{{\ partial y}} \ left [ {\ int {P \ left ( {x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left ( y \ right)} \ right] = Q\влево({х,у}\вправо).\]
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции ${\varphi \left( y \right)}:$
\[\varphi’\left( y \right) = Q\left( {x,y} \right) — \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\int {P\left ( {x,y} \right)dx} } \right).\]

Интегрируя последнее выражение, находим функцию ${\varphi \left( y \right)}$ и, следовательно, функцию $u\left( {x,y} \right):$
\[u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} + \varphi \left( y \right).\]

Общее решение точного дифференциального уравнения определяется выражением
\[и\влево({х,у}\вправо) = С.\]

Примечание:

На шаге $3,$ мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной $y$ вместо интегрирования первого уравнения по $x. $ После интегрирования нам нужно найти неизвестную функцию ${\psi \влево( х \вправо)}.$

Решенные проблемы

Нажмите или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.3} — 2у = С,\]

, где $C$ — произвольное действительное число.

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Решение дифференциальных уравнений » MathCadHelp.com » Номер 1 в заданиях MathCad

В этой главе описывается, как решать обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, имеющие действительные решения. Mathcad Standard поставляется с функцией rkfixed, универсальным решателем Рунге-Кутты, который можно использовать для дифференциальных уравнений n-го порядка с начальными условиями или для систем дифференциальных уравнений.Mathcad Professional включает множество дополнительных, более специализированных функций для решения дифференциальных уравнений. Некоторые из них используют свойства дифференциального уравнения для повышения скорости и точности. Другие полезны, когда вы собираетесь построить решение, а не просто оценивать его в конечной точке.

Данную главу составляют следующие разделы:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Использование функции rkfixed для решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с начальными условиями.Этот раздел является обязательным для всех остальных разделов этого .

Системы дифференциальных уравнений
Как адаптировать функцию rkfixed для решения систем дифференциальных уравнений с начальными условиями.

Специализированные программы для решения дифференциальных уравнений
Описание дополнительных функций решения дифференциальных уравнений и случаев, когда вы можете их использовать.

Краевые задачи
Как решать краевые задачи с многомерными функциями.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

В дифференциальном уравнении вы решаете неизвестную функцию, а не просто число. Для обыкновенных дифференциальных уравнений неизвестная функция является функцией одной переменной. Уравнения с частными производными — это дифференциальные уравнения, в которых неизвестное является функцией двух или более переменных.

Mathcad имеет множество функций для возврата решения обыкновенного дифференциального уравнения. Каждая из этих функций численно решает дифференциальные уравнения.Вы всегда будете получать матрицу, содержащую значения функции, оцененные по набору точек. Эти функции отличаются конкретным алгоритмом, который каждая из них использует для решения дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на эти различия, для каждой из этих функций необходимо указать как минимум три вещи:
.
• Начальные условия.
• Диапазон точек, по которым вы хотите оценить решение.
• Само дифференциальное уравнение, записанное в конкретной форме, обсуждаемой в этом

В этом разделе показано, как решить одно обыкновенное дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed. Он начинается с примера решения простого дифференциального уравнения первого порядка, а затем показывает, как решать дифференциальные уравнения более высокого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, в котором производная старшего порядка неизвестной функции является первой производной. На рис. 16-1 показан пример решения относительно простого дифференциального уравнения:
.
Дифференциальные уравнения первого порядка

Функция rkfixed на рис. 16-1 использует метод Рунге-Кутты четвертого порядка для возврата двухстолбцовой матрицы, в которой:

• В левом столбце указаны точки, в которых оценивается решение дифференциального уравнения.

• Правый столбец содержит соответствующие значения решения.

Решение дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнения высшего порядка

Процедура решения дифференциальных уравнений высшего порядка является расширением процедуры, используемой для дифференциальных уравнений второго порядка. Основное отличие в том, что:

• Функция D теперь является вектором из n элементов

Уравнения высшего порядка

Решение дифференциального уравнения высшего порядка.

Решение дифференциальных уравнений

deSolve представляет собой пакет для решения начальных задач нескольких типов дифференциальных уравнений.

№ по каталогу:

библиотека (deSolve)

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее функцию одной независимой переменной и ее производные.

Например, решение системы Лоренца:

\[\frac{dX}{dt} = aX+Y+Z\] \[\frac{dY}{dt} = b(YZ)\] \[\frac{dZ}{dt} = -XY+ cY-Z\]

с параметрами $a=-8/3, b=-10, c=28$ и начальной позицией $X(0)=Y(0)=Z(0)=1$.

Сначала мы делаем спецификацию модели, т. е. значения параметров, начальное положение и функцию, которая реализует уравнения модели относительно скорости их изменения:

параметров <- c(a = -8/3, b = -10, c = 28) initial. state <- c(X = 1, Y = 1, Z = 1) Lorenz<-функция (t, состояние, параметры) { with (as.list (c (состояние, параметры)), { # скорость изменения дХ <- а*Х + Y*Z dY <- b * (Y-Z) dZ <- -X*Y + c*Y - Z list(c(dX, dY, dZ)) # вернуть скорость изменения }) }

Затем применяем модель.Для этого нам нужно знать, какие временные метки используются:

раз <- seq(0, 100, by = 0,01)

Наконец, мы применяем все в решателе ОДУ:

out <- ode(y = начальное.состояние, times = times, func = Lorenz, parms = параметры)

Визуализация результатов:

головка (наружу)

## время X Y Z ## [1,] 0,00 1,0000 1,000 1,000 ## [2,] 0,01 0,9849 1,013 1,260 ## [3,] 0.02 0,9731 1,049 1,524 ## [4,] 0,03 0,9652 1,107 1,798 ## [5,] 0,04 0,9617 1,187 2,089 ## [6,] 0,05 0,9638 1,288 2,400

сводка(исходная)

## X Y Z ## Мин. 0,962 -18,200 -24,600 ## 1-й кв. 17.200 -6.660 -6.220 ## Медиана 23,200 -0,524 -0,485 ## Среднее 23,800 -0,379 -0,388 ## 3-й Qu. 30.200 5.150 4.660 ## Макс. 47.800 19.600 27.200 ## N 10001.000 10001.000 10001.000 ## сд 8,408 7,960 8,999

пар(ома = с(0, 0, 3, 0)) график (выход, xlab = "время", ylab = "-") график (выход [, "X"], выход [, "Z"], pch = ".") mtext(внешний = ИСТИНА, сторона = 3, "модель Лоренца", cex = 1,5)

Рисование в 3D:

библиотека (plot3D) points3D(out[, "X"], out[, "Y"], out[, "Z"], pch='.', colkey=F, colvar=out[, "Y"]) # цвет с помощью Y значения

# масштабирование вне.2) * у[2] - у[1]) ) } y.init <- c(y1 = 2, y2 = 0) out <- ode(y = y.init, func = vdpol, times = seq(0, 30, 0.01), parms = 1) головка (выход)

## время y1 y2 ## [1,] 0,00 2,000 0,00000 ## [2,] 0,01 2,000 -0,01970 ## [3,] 0,02 2,000 -0,03882 ## [4,] 0,03 1,999 -0,05737 ## [5,] 0,04 1,998 -0,07537 ## [6,] 0,05 1,998 -0,09283

график (выход, xlab = "время", ylab = "-")

plot(out[, "y1"], out[, "y2"], pch = ". ")

Уравнения с частными производными (УЧП)

Уравнение в частных производных — это дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции многих переменных и их частные производные.

Функции для использования: ode.1D , ode.2D и ode.3D для проблем в этих соответствующих измерениях.

Одномерный пример, описывающий модель, в которой тля (насекомое-вредитель) медленно распространяется и растет на ряду растений:

\[\frac{\partial N}{\partial t} = - \frac{\partial Flux}{\partial x} + rN\]

\[Поток = -D \frac{\partial N}{\partial x}\]

с границами $N_{x=0} = N_{x=60} = 0$ и начальным состоянием $N_{30}=1$ и всем остальным на нуле (т.е. на 30-м заводе одна тля коробка).-1 numboxes=60, # количество ящиков delx=1) # толщина каждой коробки; м Тля <- функция (t, N, параметры) { с (параметрами, { deltax <- c(0. 5, rep(1, numboxes - 1), 0.5) Поток <- -D * diff(c(0, N, 0)) / deltax dN <- -diff(Flux) / delx + N * r список (дН) }) } # начальное состояние N <- rep(0, раз = параметры$numboxes) Н[30:31] <- 1 state <- c(N = N) # инициализировать переменные состояния # запустим на 300 дней раз <- seq(0, 300, by = 1) вон <- ода.1D (состояние, время, тля, параметры = параметры, nspec = 1, имена = "тля") голова(вне[,1:5])
## время N1 N2 N3 N4 ## [1,] 0 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 ## [2,] 1 1.667e-55 9.555e-52 2.555e-48 4.943e-45 ## [3,] 2 3.631e-41 4.865e-39 5.394e-37 5.054e-35 ## [4,] 3 2.051e-34 9.208e-33 3.723e-31 1.391e-29 ## [5,] 4 1.307e-30 3.719e-29 9.635e-28 2.361e-26 ## [6,] 5 6.839e-28 1.465e-26 2.860e-25 5.334e-24

сводка(исходная)

## Тля ## Мин. 0.000e+00 ## 1-й кв. 1.010э-02 ## Медиана 1.120e-01 ## Среднее значение 2.080e-01 ## 3-й Qu. 3.090э-01 ## Макс. 1.190e+00 ## N 1.806e+04 ## сд 2.501e-01

изображение (out, method = "filled.contour", grid = seq(from = 0.5, by = параметры $delx, length.out = параметры $ numboxes), xlab = "время, дни", ylab = "Расстояние на объекте, м", main = "Плотность тли на ряду растений")

Дифференциальные алгебраические уравнения (ДАУ)

Дифференциально-алгебраическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производные.

Например:

\[\frac{dy_1}{dt} = y_2 - y_1\] \[y_1y_2 = t\]

Чтобы решить его, сначала перепишите уравнение в остаточной форме:

\[\frac{dy_1}{dt} + y_1 - y_2 = 0\] \[y_1y_2 - t = 0\]

f <- функция (t, y, dy, параметры) { res1 <- dy[1] + y[1] - y[2] res2 <- у[2] * у[1] - т список (с (рез1, рез2)) } yini <- c(2, 0) # начальные условия dyini <- c(1, 0) раз <- seq(0, 20, 0.1) out <- daspk(y = yini, dy = dyini, times = times, res = f, parms = 0) matplot(out[,1], out[,2:3], type = "l", lwd = 2, col=c("красный","синий"), lty=1, main = "DAE", xlab = "время", ylab = "ys") легенда («внизу справа», легенда = с («у1», «у2»), col = с («красный», «синий»), lty = 1, lwd = 2)

.