Как решать дифференциальные уравнения первого порядка: Ваш браузер не поддерживается

Содержание

10 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

Пример. . Заметим, что — решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли   решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

Рекомендуемые материалы

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим  и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение  уравнения  .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента  радиус-вектора в точке касания.

— решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется  прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени  ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

 — формула Циолковского.

Однородное уравнение.

Правая часть однородного уравнения зависит от отношения :

.

Это позволяет заменить отношение новой переменной  или .

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если , то исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. . , ,  

Обобщенно-однородное уравнение.

Обобщенно-однородное уравнение имеет вид

.

Возможны два случая

1) Рекомендуется замена ,

, получили однородное уравнение.

2)

Здесь вводят новую функцию  старой переменной x.

, где определяются из пропорциональности строк определителя. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. , случай1).

,      ,    

Получили однородное уравнение.

Пример. , случай 2).

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Линейное уравнение.

Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.

Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.

При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)

Это – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Затем  варьируют произвольную постоянную, полагая .

.

Подставляем в неоднородное уравнение:

.

При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.

, где С – произвольная  постоянная.

.

Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.

Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду   (если при стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.

При решении методом подстановки  полагают

. Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.

 . Подставляем в уравнение:

.

Теперь решают либо уравнение  , определяя отсюда

, либо уравнение , определяя отсюда

. Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции.

  В первом случае, остается найти v из .

Теперь =, как и выше.

Во втором случае остается найти u из , .

Теперь =, как и выше.

Пример. .

Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при : 

 .

Решаем однородное уравнение  .

Варьируем произвольную постоянную .

Подставляем в неоднородное уравнение

.

Решение методом подстановки.

.

Уравнение Бернулли.

Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.

Заметим, что при n > 0  — решение уравнения.

Решать уравнение Бернулли можно тремя способами

1) сведение к линейному уравнению заменой

Разделим обе части уравнения на ,

Получили линейное уравнение относительно  .

Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.

2) Решение методом вариации произвольной постоянной.

Решение проводится аналогично линейному уравнению.

Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнения нулевой.

.

Затем ищем решение уравнения в виде , варьируя произвольную постоянную ,

вычисляем  и подставляем в исходное уравнение .

.

Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются, получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Определяя отсюда функцию , подставляем ее в .

3)Решение методом подстановки.

Полагаем , подставляем  в исходное уравнение

.

Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение  . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными .

Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .

Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.

Пример.

Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной.

,

,

Уравнение в полных дифференциалах.

Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

 .

Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Причину такого названия понять легко. Пусть — функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда  .

Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

 , а соотношение  как раз и означает равенство смешанных производных  .

Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию   (она называется потенциалом). Так как  на решениях дифференциального  уравнения, то  потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

1) ,

+.

Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

Сравнивая оба выражения для , находим функции  и константы.

Если какой-либо из интегралов, например,   не берется или его вычислить сложно, то можно найти +.

Затем, дифференцируя  частным образом по x, надо сравнить  с  и определить функции  и константы.

2)   Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

..

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение   — это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .

Интегрирующий множитель.

Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель

, умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Люди также интересуются этой лекцией: Химические свойства воды.

Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

 .

Оказывается, если  (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

Пример. .

Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

Найдите потенциал, покажите, что он равен .

Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема Коши | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема Коши

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение вида

F(x,y,y’)=0 (3)

где х — независимая переменная; у — искомая функция; у’ — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (3) можно разрешить относительно у’, то оно принимает вид:

y’=f(x,y) (4)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (4) первого порядка удобно записывать в форме:

dy/dx=f(x,y) (4′)

или в форме:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (5)

где Р(х,у) и Q(x,y) – известные функции. Форма (5) удобна тем, что здесь переменные х и у равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Под решениями уравнения (5), в общем случае, понимаются функции x=φ(t), y=ψ(t), заданные параметрически (t – параметр) и удовлетворяющие уравнению (5).

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из них которых дается свой особый способ решения.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (4) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (4) и является основной теоремой в теории дифференциальных уравнений.

ТЕОРЕМА.(теорема Коши). Если функция f(х,y) и ее частная производная f’y(х,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения у’=f(x,у), удовлетворяющее условиям:

у =у0 при х =х0 (6)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (4) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение. Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x0,y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (4) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (6), в силу которых функция у=φ(х) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения и записывают обычно так:

y|x=x0=y0 (7)

Отыскание решения уравнения (4), удовлетворяющего начальным условиям (7), — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши — значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (x0,y0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Дифференциальные уравнения — DE первого порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

В этой главе мы рассмотрим решение дифференциальных уравнений первого порядка. Наиболее общее дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде

. \[\begin{equation}\frac{{dy}}{{dt}} = f\left( {y,t} \right) \label{eq:eq1} \end{equation}\]

Как мы увидим в этой главе, не существует общей формулы для решения \(\eqref{eq:eq1}\).Вместо этого мы рассмотрим несколько особых случаев и посмотрим, как их решить. Мы также рассмотрим некоторые аспекты теории дифференциальных уравнений первого порядка, а также некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка. Ниже приведен список тем, обсуждаемых в этой главе.

Линейные уравнения. В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \(y’ + p(t) y = g(t)\). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.

Разделимые уравнения. В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \(N(y) y’ = M(x)\). Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения. Мы также начнем искать интервал достоверности решения дифференциального уравнения.

Точные уравнения. В этом разделе мы обсудим определение и решение точных дифференциальных уравнений.{н}\). В этом разделе также будет представлена ​​идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.

Замены. В этом разделе мы продолжим с того места, где остановился последний раздел, и рассмотрим пару других замен, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \(y’ = F(\frac{y}{x})\) и \(y’ = G(ax + by)\).

Интервалы достоверности. В этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка. В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим задачи смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкости, которая входит и выходит), проблемы населения (моделирование населения в различных ситуациях, в которых население может войти или выйти) и падающие предметы. (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).

Равновесные решения. В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений \(y’ = f(y)\). Мы обсуждаем классификацию равновесных решений как асимптотически устойчивых, неустойчивых и полуустойчивых равновесных решений.

Метод Эйлера. В этом разделе мы кратко рассмотрим довольно простой метод аппроксимации решений дифференциальных уравнений. Мы выводим формулы, используемые методом Эйлера, и даем краткое обсуждение ошибок в аппроксимациях решений.

Дифференциальные уравнения — Разделимые уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

Теперь мы собираемся начать рассмотрение нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые мы рассмотрим, — это сепарабельные дифференциальные уравнения.

Разделимое дифференциальное уравнение — это любое дифференциальное уравнение, которое можно записать в следующей форме.

\[\begin{equation}N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}} = M\left( x \right)\label{eq:eq1} \end{equation}\]

Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \(y\) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, а все \(x\) в дифференциальном уравнении должны быть на другой сторона знака равенства.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы сначала проинтегрируем обе части относительно \(x\), чтобы получить,

\[\int{{N\left( y \right)\frac{{dy}}{{dx}}\,dx}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}}\ ]

Теперь вспомните, что \(y\) на самом деле \(y\left( x \right)\), поэтому мы можем использовать следующую замену:

\[u = y\left( x \right)\hspace{0. 25in}du = y’\left( x \right)\,dx = \frac{{dy}}{{dx}}\,dx\]

Применяя эту замену к интегралу, получаем

\[\begin{equation}\int{{N\left( u \right)\,du}} = \int{{M\left( x \right)\,dx}} \label{eq:eq2} \ конец {уравнение}\]

Теперь мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем заменить \(u\) в левой части.Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может быть невозможно вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что можем сделать, чтобы продолжить использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.

Описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Обратите внимание, однако, что если мы также «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение как

\[N\влево( у \вправо)dy = M\влево( х \вправо)dx\]

Очевидно, что мы не можем разделить производную таким образом, но давайте представим, что мы можем, и мы увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.

Теперь мы объединяем обе стороны, чтобы получить

\[\begin{equation}\int{{N\left( y \right)dy}} = \int{{M\left( x \right)dx}} \label{eq:eq3} \end{equation} \]

Итак, если мы сравним \(\eqref{eq:eq2}\) и \(\eqref{eq:eq3}\), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница \ (\eqref{eq:eq2}\) имеет интеграл в терминах \(u\) и \(\eqref{eq:eq3}\) имеет интеграл в терминах \(y\). В остальном реальной разницы нет.Интеграл слева точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственная разница заключается в букве, используемой в интеграле. Если мы интегрируем \(\eqref{eq:eq2}\), а затем обратно подставим \(u\), мы придем к тому же результату, как если бы мы просто интегрировали \(\eqref{eq:eq3}\) от начала.

Поэтому, чтобы немного облегчить работу, мы будем использовать \(\eqref{eq:eq3}\) для нахождения решения дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интегрирования у нас будет неявное решение, которое мы, надеюсь, сможем найти для явного решения \(y(x)\). Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.

Напомним из раздела «Определения», что неявное решение — это решение, которое не имеет формы \(y = y\left( x \right)\), в то время как явное решение было записано в этой форме.

Нам также придется побеспокоиться об интервале действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \(x\), в данном случае, на котором решение действительно.Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексных чисел, логарифмов отрицательных чисел или нуля, и т. д. Большинство решений, которые мы получим из разделимых дифференциальных уравнений, не будут справедливы для всех значений ).

Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают с этими проблемами.

Пример 1. Решите следующее дифференциальное уравнение и определите интервал достоверности решения. 2}x\hspace{0.25in}\,\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{{25}}\] Показать решение

Надеюсь, ясно, что это дифференциальное уравнение сепарабельно. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе его части. Как и при линейном первом порядке официально мы подберем постоянную интегрирования в обе стороны от интегралов по обе стороны от знака равенства. Два могут быть перемещены на одну сторону и поглощены друг другом. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \(x\), учитывая, что мы в конечном итоге будем находить \(y\), и поэтому константа в любом случае окажется на этой стороне.2}}}\end{выравнивание*}\]

Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться об интервалах достоверности.

Напомним, что существуют два условия, определяющие интервал действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов или дыр. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1.

Итак, в нашем случае мы должны избегать двух значений \(x\).А именно, \(x \ne \pm \sqrt {\frac{{28}}{3}} \приблизительно \pm \,3,05505\), поскольку это даст нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала достоверности.

\[- \infty

Однако только одно из них будет содержать значение \(x\) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что

\[ — \sqrt {\frac{{28}}{3}}

должен быть интервалом действия для этого решения.

Вот график решения.

Обратите внимание, что это не означает, что любой из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом достоверности любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любой из них мог бы быть интервалом достоверности.

Мы оставляем вам возможность проверить детали следующих утверждений. Если мы используем начальное условие

\[y\left( { — 4} \right) = — \frac{1}{{20}}\]

мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.

\[ — \infty

Аналогично, если мы используем

\[y\left( 6 \right) = — \frac{1}{{80}}\]

в качестве начального условия, мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом достоверности.

\[\sqrt {\frac{{28}}{3}}

Таким образом, просто немного изменив начальное условие, можно получить любой из возможных интервалов.

Пример 2. Решите следующую IVP и найдите интервал действия решения.2} — 4x — 2} \справа) = 0\]

Чтобы решить это, все, что нам нужно признать, это то, что это квадратично по \(y\), и поэтому мы можем использовать квадратичную формулу для его решения. 2} — 4x — 2} \right)} }}{2}\end{align*}\]

Далее обратите внимание, что мы можем вынести 4 из-под квадратного корня (оно получится как 2…), а затем немного упростить.2} — 4x + 2} \end{align*}\]

Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\( \pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле только один из признаков может быть правильным. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать это, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Подстановка \(x\) = 1 в решение дает.

\[3 = y\left( 1 \right) = 2 \pm \sqrt {1 + 2 — 4 + 2} = 2 \pm 1 = 3,\,1\]

В данном случае похоже, что «+» — правильный знак для нашего решения.2} — 4x + 2 \ge 0\]

Другими словами, нам нужно убедиться, что количество под радикалом остается положительным.

Используя систему компьютерной алгебры, такую ​​как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \(x\) = –3,36523, а также двум комплексным значениям, но мы можем игнорировать комплексные значения для интервала вычислений достоверности. Наконец, график количества под радикалом показан ниже.

Итак, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \(x \ge — 3.{\mbox{36523}}\), потому что это диапазон \(x\), для которых величина положительна. Заметьте также, что этот интервал также содержит значение \(x\), которое находится в начальном состоянии, как и должно быть.

Следовательно, интервал справедливости решения равен \(x \ge — 3.{\mbox{36523 }}\).

Вот график решения.

Пример 3. Решите следующую IVP и найдите интервал справедливости решения.2}\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе части неравенства, поскольку в этом случае обе части неравенства гарантированно положительны. Наконец, решая для \(x\), мы видим, что единственный возможный диапазон \(x\), который не дает деления на ноль или квадратных корней из отрицательных чисел, будет

. \[ — \frac{{\sqrt 5 }}{2}

, и, как ни странно, это также содержит начальное условие \(x=0\). Таким образом, этот интервал является нашим интервалом достоверности.2} — 4x — 4 > 0\]

Квадратичный будет равен нулю в двух точках \(x = 2 \pm 2\sqrt 2 \). График квадратичного уравнения (показан ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения полинома, и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.

Итак, возможные интервалы действия

\[\begin{array}{c} -\infty

Из графика квадратичного мы видим, что второй содержит \(x\) = 5, значение независимой переменной из начального условия.2}}}dr}} & = \int{{\frac{1}{\theta}d\theta}}\\ — \frac{1}{r} & = \ln \left| \ тета \ справа | + с\конец{выравнивание*}\]

Теперь примените начальное условие, чтобы найти \(c\).

\[ — \frac{1}{2} = \ln \left( 1 \right) + c\hspace{0.25in}c = — \frac{1}{2}\]

Таким образом, неявное решение равно

. \[ — \frac{1}{r} = \ln \left| \ тета \ справа | — \фракция{1}{2}\]

Решение для \(r\) дает нам явное решение.

\[r = \frac{1}{{\frac{1}{2} — \ln \left| \тета \право|}}\]

Здесь у нас есть две проблемы для решения. Во-первых, нам нужно избегать \(\theta = 0\) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \(\theta\) нам не нужно беспокоиться о том, что \(\theta \) будет отрицательным. Нам также нужно будет избегать деления на ноль. Другими словами, нам нужно избегать следующих моментов.

\[\begin{align*}\frac{1}{2} — \ln \left| \ тета \ справа | & = 0\\ \ln \left| \ тета \ справа | & = \frac{1}{2}\hspace{0.{\ frac {1} {2}}} \\ \ theta & = \ pm \ sqrt {\ bf {e}} \ end {align *} \]

Итак, эти три точки разбивают числовой ряд на четыре части, каждая из которых может быть интервалом достоверности.

\[\begin{array}{c} — \infty

Интервал, который будет фактическим интервалом действия, содержит \(\theta = 1\). Следовательно, интервал достоверности равен \(0 <\theta <\sqrt {\bf{e}} \).

Вот график решения.2} + 2t + 3} \right) + \frac{5}{2}\]

Невозможно найти явное решение этой задачи, поэтому нам придется оставить решение в его неявной форме. Нахождение интервалов достоверности из неявных решений часто может быть очень сложным, поэтому мы также не будем заниматься этим для этой задачи.

Как показал последний пример, не всегда возможно найти явные решения, поэтому будьте начеку в таких случаях.

Дифференциальные уравнения — Точные уравнения

Сначала определите \(M\) и \(N\) и проверьте точность дифференциального уравнения.2} + 1\hspace{0.25in}{N_x} = 2x\end{align*}\]

Итак, согласно тесту, дифференциальное уравнение является точным. Однако мы уже знали это, поскольку дали вам \(\Psi\left(x,y\right)\). Тем не менее, неплохо проверить это и хотя бы один раз пройти тест.

Теперь, как мы на самом деле находим \(\Psi\left(x,y\right)\)? Хорошо напомним, что

\[\begin{align*}{\Psi _x} & = M\\ {\Psi _y} & = N\end{align*}\]

Мы можем использовать любой из них, чтобы начать поиск \(\Psi\left(x,y\right)\) путем интегрирования следующим образом.

\[\Psi = \int{{M\,dx}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OR}}\hspace{0,25 дюйма}\Psi = \int{{N\,dy}}\]

Однако нам нужно быть осторожными, так как это не даст нам именно той функции, которая нам нужна. Часто не имеет значения, с какой из них вы решите работать, в то время как в других задачах одна будет значительно проще другой. В этом случае не имеет значения, какой из них мы используем, так как любой из них будет таким же простым.

Итак, воспользуемся первым. 3} + ч\влево( у \вправо)\]

Обратите внимание, что в этом случае «константа» интегрирования на самом деле вовсе не константа, а вместо этого она будет функцией оставшейся переменной (переменных), \(y\) в данном случае.

Вспомните, что при интегрировании мы спрашиваем, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить функцию, которую мы интегрируем. Поскольку здесь мы работаем с двумя переменными и говорим о частичном дифференцировании по \(x\), это означает, что любой терм, содержащий только константы или \(y\), дифференцировался бы до нуля, поэтому нам нужно признать этот факт, добавив функцию \(y\) вместо стандартной \(c\).

Итак, мы получили большую часть \(\Psi\left(x,y\right)\), осталось только определить \(h(y)\), и дело сделано. На самом деле это легко сделать. Мы использовали \({\Psi _x} = M\), чтобы найти большую часть \(\Psi\left(x,y\right)\), поэтому мы будем использовать \({\Psi _y} = N\), чтобы найти \(ч(у)\). 2} + 1 = N\]

Отсюда видно, что

\[ч’\влево( у \вправо) = 2у + 1\]

Обратите внимание, что на этом этапе \(h(y)\) должно быть только функцией \(y\), и поэтому, если в уравнении на этом этапе есть какие-либо \(x\), мы где-то допустили ошибку и пришло время отправиться на поиски.2} + 25 = 0\]

При решении этого уравнения равен нулю при \(х\) = -11,81557624 и \(х\) = -1,396911133. Обратите внимание, что при решении этого уравнения вам понадобится какая-то вычислительная помощь. Вот график многочлена под радикалом.

Итак, похоже, есть два интервала, где многочлен будет положительным.

\[\begin{array}{c}- \infty

Однако помните, что интервалы достоверности должны быть непрерывными интервалами и содержать значение \(x\), используемое в начальном условии.3}\]

Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решать. 3}\hspace{0.4}\ln х\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения \(x\) в логарифме из-за предположения, что \(x > 0\).

Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать приведенное выше решение в решение в терминах \(y\), а затем использовать исходное начальное условие, или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \(v\) и использовать его.4}\left( {1 + 16\ln \frac{x}{2}} \right)}}\]

Обратите внимание, что мы немного упростили решение. Это поможет найти интервал действия.

Однако прежде чем найти интервал достоверности, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \(v\). Кратко поговорим о том, как это сделать. Для этого все, что нам нужно сделать, это подставить \(x = 2\) в подстановку, а затем использовать исходное начальное условие. { — \,\frac{1}{{16}}}}\hspace{0.{ — \,\frac{1}{{16}}}} < x < \infty \).

Вот график решения.

линейных дифференциальных уравнений первого порядка | Обзор, шаги и примеры — видео и расшифровка урока

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка производная порядка.Это означает, что общая форма линейного дифференциального уравнения первого порядка задается тем же уравнением, что и раньше, за исключением ограничения только членами {eq}y {/eq} и {eq}y’ {/eq}: {eq }a_0(x)y + a_1(x)y’ = b(x) {/eq}. Поскольку {eq}a_1(x) {/eq} не тождественно {eq}0 {/eq} (иначе это не было бы дифференциальным уравнением), часто обе части делятся на {eq}a_1(x) {/eq }, так что {eq}y’ {/eq} имеет коэффициент {eq}1 {/eq}, а результирующие функции называются {eq}p(x) {/eq} и {eq}g(x) {/eq}, так что другой формой линейного дифференциального уравнения первого порядка является {eq}y’ + p(x)y = g(x) {/eq}. 2+4x {/экв}.

Как решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно просто, если предположить, что все задействованные функции легко интегрируются. Общий метод решения таких уравнений включает умножение уравнения на коэффициент интегрирования для упрощения задачи. Идея интегрирующего коэффициента состоит в том, чтобы воспользоваться правилом произведения для производных в следующем смысле: рассмотрим уравнение {eq}f(x)y’ + f'(x)y = g(x) {/eq}.{\int р(х)}} {/экв}.

В общем, легче запомнить формулу для интегрирующего коэффициента и идею упрощения правила произведения, чем пытаться запомнить приведенное выше уравнение. В некоторых случаях уравнение будет представлено в форме, которая позволяет упростить правило произведения без необходимости интегрирующего коэффициента, поэтому обязательно проверьте это, прежде чем пытаться вычислить интегрирующий коэффициент. Ниже будет приведено несколько примеров, которые помогут увидеть, как решение этих уравнений работает на практике. 3}{4} + \frac{C}{x} {/eq}.

Один из вопросов, который может возникнуть после просмотра этого примера, заключается в том, почему в последнем интегрировании есть {eq}+C {/eq}, но не при нахождении интегрирующего множителя, для которого также требуется интеграл. Причина в том, что интегрирующий множитель — это просто произвольная функция, на которую умножается уравнение, и у нас есть свобода выбора любой функции (кроме {eq}0 {/eq}) для этого интегрирующего множителя. Единственное требование, которое мы предъявляем к этому интегрирующему фактору, заключается в том, что он должен допускать упрощение левой части уравнения с помощью правила произведения, и поэтому правильно выбрать {eq}C = 0 {/eq}.{ln(sec(x))} {/eq}, и уравнение принимает вид {eq}sec(x)y’ + sec(x)tan(x)y = 3sec(x) {/eq}. (Напомним, что {eq}sec(x) = \frac{1}{cos(x)} {/eq}). Упрощение с помощью правила произведения, а затем интегрирование обеих частей дает {eq}sec(x)y = \int 3sec(x) {/eq}. Правая часть равна {eq}ln(|sec(x) + tan(x)|) + C {/eq}, и, следовательно, решение, умноженное на {eq}cos(x) {/eq }, равно {eq}y = ln(|sec(x)+tan(x)|) + Ccos(x) {/eq}.

Итоги урока

В этом уроке было дано определение линейного дифференциального уравнения первого порядка , которое представляет собой уравнение вида {eq}y’ + p(x)y = g(x) {/eq }.Также было показано {\int p(x)} {/eq} вместе с парой примеров, демонстрирующих этот метод. Также была объяснена концепция интегрирующего коэффициента, которая позволяет использовать правило произведения для упрощения линейного дифференциального уравнения первого порядка, а также один пример, показывающий, что не всегда необходимо использовать интегрирующий коэффициент.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    вернуть г / х
у1 = 1xs = np.упорядочить(1,10,1)
ys = одеинт (f, y1, xs)
plt.plot(xs,ys,'-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
plt.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=y/x, y(1)=1')
plt. show() 


3. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.

 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    вернуть (x*y/(np.sqrt(y**2+x)))
y0 = 1xs = np.arange(0,5,0,25)
ys = одеинт (f, y0, xs)
пл.график (xs, ys, '-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
plt.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(x*y/(np.sqrt(y**2+x))')
plt.show() 
 
  4. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.  
 

из scipy.integrate импортировать odeint импортировать numpy как np из matplotlib импортировать pyplot как plt защита f(y,x): возврат (х + у) y0 = 0xs = np.arange (0,2,0,1) ys = одеинт (f, y0, xs) plt.plot(xs,ys,'-') plt.plot(xs,ys,'ro') пл.xlabel('значения x') plt.ylabel('Значения Y') plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=x+y') plt. show()

 
 
  
5. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения. из scipy.integrate импортировать odeint импортировать numpy как np из matplotlib импортировать pyplot как plt защита f(y,x): возврат (3*у-х) y0 = 0xs = np.arange (0,3,0,1) ys = одеинт (f, y0, xs) plt.plot(xs,ys,'-') plt.plot(xs,ys,'ro') plt.xlabel('значения x') plt.ylabel('Значения Y') пл.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(3*y-x)') plt.show() 6. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.
 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    возврат (х**2)
y0 = 1xs = np.arange(0,5,0,25)
ys = одеинт (f, y0, xs)
plt.plot(xs,ys,'-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
plt.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(x**2)')
plt.show() 
 

Линейные уравнения первого порядка


Линейные уравнения первого порядка

Здесь мы научимся решать линейные задачи первого порядка. уравнения; это дифференциальные уравнения, которые не могут быть легко решены как разделимые уравнения, но может соответствовать форме:



       Посмотрев на это, мы имеем dy/dx сам по себе, P(x) y является некоторой функцией строго от x, умноженной на один y, и Q(x) есть некоторая функция строго от x.

       Чтобы решить эти проблемы, нам нужно выполнить следующие шаги:

  1. Убедитесь, что уравнение соответствует форме линейного уравнения первого порядка.
  2. Найдите коэффициент интегрирования и умножьте его на все уравнение.
  3. Это приводит к тому, что правило произведения находится на одной стороне; выясните, какие термины использовались для правила продукта, и запишите их как производную.
  4. Интегрируйте обе стороны.
  5. Найдите y, если оно легко разрешимо.
Давайте пройдемся через несколько примеров:

Пример 1:

Найти конкретное решение дифференциального уравнения:

. Во-первых, мы должны убедиться, что это соответствует форме:

Мы можем видеть, что он делает; dy/dx само по себе, P(x) = -4, которое умножается на один y, а Q(x) является функцией только от x. Теперь найдем наш интегрирующий множитель, который обозначается греческой буквой мю. Интегрирующий множитель для одного из этих уравнений всегда будет e возведен в интеграл от P(x):

       На данный момент мы можем опустить константу C; его привезут позже. Теперь, когда у нас есть интегрирующий коэффициент, мы умножаем его на исходное уравнение:

Теперь, почему мы это сделали? Ну эта часть красивая интересно; что мы только что сделали, так это принудительно установили правило произведения слева сторону уравнения.Давайте посмотрим на эту часть уравнения: после умножив интегрирующий множитель, мы должны увидеть правило продукта. Напомним, что правило произведения таково: f g ‘ = g f ‘; Глядя на уравнение, мы должны увидеть, какой член есть какой:

       Зная это, мы можем переписать левую часть уравнения:

*Кроме того, это может быть хорошей идеей, особенно с более сложными проблемами, чтобы дифференцировать уравнение, чтобы убедиться, что оно совпадает:

Это совпадает, так что у нас все хорошо. Если это не так, это скорее всего означает, что где-то была ошибка, и нам пришлось бы вернитесь и попробуйте еще раз разобраться.

Вернемся к тому, где мы были: теперь, когда у нас есть левая сторона, записанная как производная, мы можем интегрировать обе части. Левая сторона останется то же самое, поскольку интеграл от производной сокращается:

       Теперь мы можем найти y. Обратите внимание, что C не аннулирует все вокруг себя в этих задачах:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем подключить в наших начальных условиях и получить частное решение:

Пример 2:

       Найти частное решение дифференциального уравнения:

       Во-первых, нам нужно убедиться, что это уравнение имеет правильную форму.Похоже, это подходит; dy/dx само по себе, P(x) = 3x 2 , которое умножается на один y, а Q(x) является функцией x, не умноженной ни на что другое. Таким образом, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

       Далее мы умножаем интегрирующий коэффициент на все уравнение:

       Теперь мы можем посмотреть на левую часть уравнения и увидеть, какие члены представляют f, f ‘, г и г’. Это подскажет нам, какие термины использовать, когда мы перепишем левую часть в виде правила произведения:

       Правило произведения говорит, что fg = fg’ + gf ‘, так что теперь мы можем переписать левую часть уравнения как производную fg, что равно тому, что у нас есть сейчас:

       Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

       условия для получения частного решения:

Пример 3:

       Найти частное решение дифференциального уравнения:

Первое, что мы должны заметить, это то, что это уравнение еще не в правильной форме.Проблема в том, что dy/dx не существует сам по себе; давайте разделим каждый член на x, чтобы изолировать его:

       Теперь это в правильной форме: y’ изолировано, P(x) умножается на один y, а Q(x) сам по себе. Поскольку у нас есть уравнение в правильной форме, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

       После сокращения e и ln и упрощения наш интегрирующий коэффициент равен x 3 . Затем мы можем умножить это на все уравнение, чтобы применить правило произведения в левой части:

Принуждая правило произведения, мы можем определить какие члены взяты из исходного уравнения, а какие являются производными:

       Теперь мы можем переписать левую часть как производную от произведения f и g:

       Далее возьмем интеграл от обеих частей:

       Теперь нужно просто решить для y, чтобы получить общее решение:

Теперь у нас есть общее решение; найти конкретное решение, нам нужно использовать начальные условия и решить для C:

Пример 4: Смешивание раствора в баке

Резервуар изначально содержит 120 галлонов чистого вода.Солевой раствор, содержащий 1 фунт соли на галлон, поступает в резервуара со скоростью 3 галлона/мин, а хорошо перемешанный раствор выходит из резервуара со скоростью 4 галлонов/мин, опорожнение резервуара через 120 минут или 2 часа. Оцените выражение для количество соли в баке через t минут, и найти, сколько соли в баке в момент t = 60 минут.

       Сначала определим некоторые переменные. Для задач с резервуаром Q(t) = количество раствора в резервуаре в любой момент времени t, а dQ/dt = скорость поступления — скорость выхода из раствора.Изначально в баке чистая вода (без соли), поэтому Q(0) = 0.

       Начнем с записи dQ/dt. Мы знаем скорость в; он задан в задаче и не меняется. Но норма, однако, меняется со временем, в зависимости от того, сколько соли в баке. Мы знаем, что в баке будет некоторое количество Q и что бак будет пустым через 120 минут; таким образом, время будет равно 120-t, и у нас останется время, оставшееся до опустошения резервуара:

       Теперь у нас есть функция, связанная с dQ/dt, которая представляет собой изменение количества соли во времени.Немного переписав это, мы получим:

       Это линейное уравнение первого порядка относительно Q и t, и мы знаем, как его решить! Сначала найдите интегрирующий коэффициент:

       Далее умножьте интегрирующий коэффициент на каждый член, чтобы применить правило произведения:

       Теперь мы можем найти f и g в результате правила произведения и переписать левую часть уравнение как производная:

       Теперь перепишем как производную от f и g:

       Далее интегрируем обе части:

         

       Наконец, мы можем использовать начальные условия для решения C для конкретного решения, которое является выражением для количество соли в баке через t минут:

Теперь у нас есть выражение для количества соли в баке в зависимости от времени.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск