Как решать логарифмические уравнения примеры – Решение логарифмических уравнений онлайн (log) · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Логарифмические уравнения

Главный принцип решения логарифмических уравнений состоит в том, чтобы избавиться от этих самых логарифмов:

Если логарифмы обоих чисел по одному и тому же основанию равны, то их подлогарифмические выражения тоже равны:

Также следует помнить основные логарифмические свойства:

Пример 1.

Решите уравнение:

Число 8 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (2), чтобы получить число (х)

Ответ: x=256..

Пример 2.

Решите уравнение:

Число  обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число (x)

По свойству логарифмов: получаем:

Ответ: x=9.

Пример 3.

Решите уравнение:

Число  обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число

По свойству логарифмов:  получаем:

- по Т Виета

Ответ: .

Пример 4.

Решите уравнение:

 

Воспользуемся формулой :

Приводим к общему знаменателю:

Приводим к общему знаменателю:

Число 3 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (3), чтобы получить число (х)

Ответ: x=27.

Пример 5.

Решите уравнение:

Приведём логарифмы к общему основанию (5) с помощью формулы :

Сокращаем:

Раскроем  по формуле суммы логарифмов

По свойству логарифмов :

Замена:

Ответ: .

Пример 6.

Решите уравнение:

По формуле  преобразуем левую часть:

Число 0 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (4), чтобы получить число

Вычислим корень из правой и из левой части:


Ответ: .

Пример 7.

Решите уравнение:

Замена:

Обратная замена:

Число -1 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (10), чтобы получить число (x)

Ответ: .

Пример 8.

Решите уравнение:

О.Д.З:

 

3)  – это условие выполняется при любом x, т.к. число в чётной степени. Остаётся только учесть строгость неравенства:

Если дробь равна 0, значит её числитель равен 0:

Произведение равно 0, когда один из его множителей равен 0:

 


По О.Д.З нам подходят корни:

Ответ:

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Логарифмические уравнения

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\):\[{\color{blue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).
Примеры:

 

1) \(\log_24\) – степень, в которую нужно возвести \(2\), чтобы получить \(4\). Следовательно, \(\log_24=2\).

 

2) \(\log_3\frac13\) – степень, в которую нужно возвести \(3\), чтобы получить \(\dfrac13\). Следовательно, \(\log_3\frac13=-1\).   \(\bullet\) Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[a^{\log_ab}=b\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[\log_a1=0, \qquad \log_aa=1\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[\log_{a}{b^m}= m\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \quad\Leftrightarrow\quad \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\]
\[\log_ab\cdot \log_ba=1 \quad\Leftrightarrow\quad \log_ba=\dfrac{1}{\log_ab}\]
\(\bullet\) Частный случай формул (2): \[m=\log_a{a^m}\]
С помощью нее нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\).   \(\bullet\) Формулу (0) удобно использовать, чтобы заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).   \(\bullet\) С помощью формулы \(\log_ba=\dfrac1{\log_ab}\) из (5) можно “менять” основание и аргумент логарифма местами:
\(\log_52=\dfrac1{\log_25}\).

 

\(\bullet\) Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Простейшее логарифмическое уравнение:

\[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\] где \(a>0, a\ne 1\).
Неравенства \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\) составляют ОДЗ данного уравнения.  

Примеры решения уравнений:
1) Решить уравнение \(\log_{\frac13}(4x+1)=-3\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(4x+1>0\).
Пользуясь определением логарифма, уравнение можно переписать в виде \(\left(\frac13\right)^{-3}=4x+1\). Так как \(\left(\frac13\right)^{-1}=3\), то \(\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27\). Следовательно, получаем уравнение \(27=4x+1\), откуда \(x=6,5\). Данный корень подходит по ОДЗ.   2) Решить уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=4\log_{\sqrt5}2\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+15>0\).
Так как \(m\log_ab=\log_ab^m\), то \(4\log_{\sqrt5}2=\log_{\sqrt5}2^4=\log_{\sqrt5}16\). Следовательно, получаем уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=\log_{\sqrt5}16\). Получили простейшее логарифмические уравнение, которое преобразуется в \(2x+15=16\), откуда \(x=0,5\). Данный корень подходит по ОДЗ.   3) Решить уравнение \(\log_3(2x+1)=\log_3(3-x)+1\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+1>0\) и \(3-x>0\).
Так как \(1=\log_33\), то правая часть равна \(\log_3(3-x)+\log_33=\log_3(3(3-x))\), следовательно, уравнение примет вид \(\log_3(2x+1)=\log_3(9-3x)\). Данное уравнение преобразуется в \(2x+1=9-3x\), откуда \(x=1,6\). Данный корень подходит по ОДЗ.  

Факт 2.
\(\bullet\) Объясним, зачем нужны модули в формулах (2) и (4).

 

1) Рассмотрим частный случай формулы (2) при четном \(m\): \(\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\) на примере.
Рассмотрим: \(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\).
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

 

2) В формулах (4): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\] аналогичная причина: в левую часть равенств можно подставлять как одновременно положительные \(b\) и \(c\), так и одновременно отрицательные (так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом). А вот в правые части, если в них убрать модули, отрицательные \(b\) и \(c\) уже подставлять будет нельзя (так как аргумент логарифма – всегда положительное выражение). Таким образом, не поставив модули, мы значительно сузим возможные значения для \(b\) и \(c\).
Пример:
Если не поставить модули, а записать, например, \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

Логарифмические уравнения, формулы и примеры

Определение и формулы логарифмических уравнений

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида

   

решение которого (при условии, что )

   

Тип 2. Уравнения вида .

Такие уравнения эквивалентны системе

   

Тип 3. Уравнения .

Уравнения такого типа равносильны одной из систем:

или

Из указанных двух систем выбирается та, которая содержит более простое неравенство.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Урок-лекция по теме "Логарифмические уравнения. Основные методы их решения"

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

В моём календарно-тематическом планировании на тему “Логарифмические уравнения” отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1 урок - лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”. В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1 урок - лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

1 урок

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Слайд 1.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

Слайд 2.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Слайд 3.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число

b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом

Пример 1:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Ответ: 16.

Слайд 4.

Пример 2:

Проверка: - верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: 4.

Пример 3:

По определению логарифма значит

Ответ:

Слайд 5.

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4:

ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Метод потенцирования.

Слайд 6.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

, где

Пример 5:

 

Проверка:

- верно.

- не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

Слайд 7.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

, где

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6:

Проверка:

- верно.

- не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Слайд 8.

Пример7:

Сделаем замену , получим воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. А это линейное уравнение, решив которое, получим

Проверка: - верно.

Ответ: 0.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Метод подстановки.

Слайд 9.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: .

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

,

Значит или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

2)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Слайд 10.

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, где

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: .

ОДЗ:

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

,

Значит,

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Метод логарифмирования.

Слайд 11.

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

, при этом

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

Значит,

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, 27.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Слайд 12.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

  • На основании определения логарифма.
  • Метод потенцирования.
  • Метод постановки.
  • Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы

Лекция по математике тема: "Логарифмические уравнения"

Лекция

Тема: Логарифмические уравнения

План

1. Определение логарифмического уравнения

2. Решение простейших уравнений

3. Потенцирование.

4. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

5. Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

6. Введение новой переменной

Определение логарифмического уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида loga x = b (где а>0, и а ≠1).

Функция у=log a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

(0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

Решение простейших уравнений

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log a x = b, a > 0, a  1.

log a f(x) = b, a > 0, a  1.

log f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

если logb a = c, то a = bc.

Пример 2.1.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

hello_html_54812a95.gif

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 2.2. log3(5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log3(5х– 1) = 2, log3(5х – 1) = log332, 5х - 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.

Пример 2.3.

hello_html_m5150842c.gif

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

hello_html_m7ba2065e.gif

Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х1 = –1, х2 = 2.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

hello_html_36547287.gif

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения

hello_html_m5e8ea629.gif

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример 2.4. logx–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

hello_html_4052fc04.gifОтвет. x = 4.

Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а  1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример 3.1 log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

hello_html_201a571d.gif

Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,

х2х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

  • logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

  • logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

  • m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b  1; mR.

  Пример 4. 1. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

hello_html_126d555a.gif

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,

log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

  Пример 4.2. hello_html_e0a6c4a.gif

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.hello_html_m78966d89.gif

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма

(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Ответ. х = –4.

  Пример 4. 3. log2 (6 – x) = 2log6 x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

hello_html_m29b8ad9f.gif

hello_html_m39be6191.gif

hello_html_7b825d79.gif

hello_html_m478f68ab.gif

 

Пример 5.1. hello_html_m3ee05e18.gif

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим hello_html_m14846b2.gif

Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

  Пример 5.2. hello_html_m74545d09.gif

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).hello_html_m2f2cf69.gifОтвет. х = 6.

  Пример 5. 3. hello_html_6af0c9de.gif

Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2). hello_html_2d021aed.gif

Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и

x = 2. Ответ. x = 2..

Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

hello_html_1fefb1a8.gif

hello_html_74720d2.gif

Уравнения видаhello_html_66f86c35.gifгде a > 0, a  1, A, В, Сдействительные числа.

Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 6. 1. lg 2 x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.

Уравнение примет вид t 2t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 6. 2. hello_html_402d444e.gif

Решение. Найдём область определения уравнения

hello_html_m3610bb4d.gif

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение hello_html_50b7cba.gif

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно hello_html_40e05e21.gif

Введём новую переменную t = log3 (–x), tR. Квадратное уравнение

t 2 – 4t + 4 = 0имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

 Уравнения вида hello_html_m1ee445de.gifгде a > 0, a  1, A, В, Сдействительные числа , A0, В0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1

(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение

hello_html_28f5c9a6.gif

Замена loga f(x)=t, tR приводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.

Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x) > 0, f(x) 1.

 Пример.6.3 hello_html_2d178910.gif

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2  1, т.е. x >–2, x  –1.Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим

hello_html_35083cce.gifили, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению t 2t2 = 0, t1 = –1, t2 =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log5 (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,

log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = –9/5, x = 23.

Упражнения для закрепления материала

Решить уравнения

1)hello_html_m1c671947.gif; 2)hello_html_m7cae961d.gif; 3)hello_html_m25538350.gif;

4)hello_html_33eadeab.gif; 5)hello_html_a7b9e9b.gif;

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.

2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений

Литература

1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск