Как решать неравенства с помощью интервалов: Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

2\)
\(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\)      \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\)
\(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)          \(|:2\)
\((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)                

Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.


  • Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

    \(x=\frac{5}{2}; x=-3\)


  • Нанесите найденные значения на числовую ось.

    Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет — закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения

  • Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

    — В крайнем правом интервале ставим знак плюс;

    — Дальше двигаемся влево;

    — Переходя через число:

    меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)

     

    не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)

     



  • Выделите нужные промежутки. 2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение.

    Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.

    \((x-8)(x+8)≥0\)

    Теперь можно применять метод интервалов

    \(x=8;\)   \(x=-8\)

    Запишем ответ

    Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)

    Смотрите также:
    Квадратные неравенства
    Дробно-рациональные неравенства

    Содержание

    Решение рациональных неравенств методом интервалов. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

    1.
    Рациональное неравенство (знаменатель — число)

    Сложность: лёгкое

    2
    2. Числа, которые являются решением дробного неравенства

    Сложность: лёгкое

    3
    3. Замена рационального неравенства системами неравенств

    Сложность: лёгкое

    1
    4. Рациональное неравенство (линейное уравнение)

    Сложность: среднее

    3
    5.
    Рациональное неравенство (общий знаменатель)

    Сложность: среднее

    3
    6. Рациональное неравенство (неполный квадратный трёхчлен)

    Сложность: среднее

    4
    7. Рациональное неравенство (три множителя)

    Сложность: среднее

    4
    8. Дробное рациональное неравенство (знаменатель — бином)

    Сложность: среднее

    5
    9. Дробь и единица

    Сложность: среднее

    5
    10. Дробное рациональное неравенство (знаменатель — неполный квадратный трёхчлен)

    Сложность: среднее

    6
    11. Дробное рациональное неравенство (разность квадратов)

    Сложность: сложное

    8
    12. Дробное рациональное неравенство (теорема Виета)

    Сложность: сложное

    7
    13. Значения выражения, переменная x

    Сложность: сложное

    2

    метод интервалов, алгоритм решения, определние, примеры

    Понятие рациональных неравенств с одной переменной и их решения

    Общие свойства неравенств и линейные неравенства с одной переменной подробно рассматриваются в Главе 6, §§36-40 справочника для 8 класса.

    О рациональных алгебраических выражениях – см. §1 справочника для 7 класса.

    Рациональное неравенство с одной переменной – это математическое выражение, в котором есть две стороны и один из знаков неравенства между ними: $\neq, \lt, \le, \ge, \gt $

    Каждая из сторон рационального неравенства с одной переменной является рациональным выражением с этой переменной. 3+1 \gt 3y-5 $$

    Решением рационального неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.

    При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 справочника для 8 класса), из которых следует:

    • если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
    • если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

    Алгоритм решения неравенств первой степени

    Напомним, что неравенство первой степени также называют «линейным неравенством» (см. Главу 6, §§36-40 справочника для 8 класса)

    На входе: неравенство $ax+b \gt 0$ или $ax+b \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.

    Ход решения:

    $$ ax+b \gt 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c}a \gt 0 \\ x \gt -\frac{b}{a}, т.е. x \in (-\frac{b}{a};+ \infty)\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \lt -\frac{b}{a}, т.е. x \in(- \infty;-\frac{b}{a} )\end{array} \right.} \end{array} \right. $$

    $$ ax+b \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a \gt 0\\x \ge -\frac{b}{a}, т.е. x \in [-\frac{b}{a};+ \infty) \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \le -\frac{b}{a}, т.е. x \in (- \infty;-\frac{b}{a}]\end{array} \right.} \end{array} \right. $$

    Неравенства со знаками $ \lt $ и $ \le $ решаются аналогично.

    Например:

    1. $5x+8 \gt 0 \Rightarrow 5x \gt -8 \Rightarrow x \gt -1,6 \Rightarrow x \in(-1,6;+ \infty)$

    2. $4-2x \le 0 \Rightarrow -2x \le -4 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow x \in [2;+ \infty)$

    Алгоритм решения неравенств второй степени

    На входе: неравенство $ax^2+bx+c \gt 0$ или $ax^2+bx+c \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R, c \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$. 2+7x+10 \gt 0 $

    D = 49-40 = 9

    $x = \frac{-7 \pm 3}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$

    $a = 1 \gt 0$, парабола ветками вверх, точки над осью OX соответствуют

    промежуткам:

    $x \in (-\infty;-5) \cup (-2;+\infty)$

    Метод интервалов

    Исследуем знаки (так называемые, промежутки знакопостоянства) для функции f(x) = x-a. Все x, расположенные левее a, меньше: $x \lt a \Rightarrow x-a \lt 0$. А все x, расположенные правее a, больше: $x \gt a \Rightarrow x-a \gt 0$.

    Заметим, что при x = a, f(x) = 0.

    Введём понятие «белой» (незакрашенной) и «чёрной» (закрашенной) точек.

    Cформулируем следующее правило:

    При решении строгих неравенств $(>, \lt)$ на числовой прямой следует отмечать «белые» точки, при решении нестрогих неравенств $(\le, \ge)$ на числовой прямой следует отмечать «чёрные» точки .

    Получим такое соответствие схем и решений:

    $x-a \lt 0, x \in (-\infty;a)$

    $ x-a \gt 0, x \in (a;+\infty) $

    $x-a \le 0, x \in (-\infty;a]$

    $x-a \ge 0, x \in [a;+\infty)$

    Теперь понятен смысл «белых» и «чёрных» точек.

    «Белые» точки не входят в множество решений.

    «Чёрные» точки входят в множество решений.

    «Белая» точка $\iff$ круглая скобка

    «Чёрная» точка $\iff$ квадратная скобка

    Исследуем знаки для функции f(x) = (x-a)(x-b). Это – парабола, ветками вверх, и для неё, как было показано выше:

    $$ f(x) \gt 0 при x \lt a \cup x \gt b, \quad f(x) \lt 0 при a \lt x \lt b $$

    В качестве примера, для строгих и нестрогих неравенств получаем:

    $(x-a)(x-b) \lt 0, x \in (a;b)$

    $(x-a)(x-b) \gt 0,$

    $x \in (- \infty ;a) \cup (b;+ \infty )$

    $(x-a)(x-b) \le 0,x \in [a;b]$

    $(x-a)(x-b) \ge 0,$

    $ x \in (- \infty ;a] \cup [b;+ \infty )$

    Посмотрим, как это работает на практике.

    Решим неравенство: $(x-3)(x+2) \gt 0$.

    Шаг 1. Неравенство строгое, поэтому отметим на числовой прямой «белые» точки -2 и 3.

    Вся числовая прямая теперь разделена на три области:

    1) левее -2; 2) между -2 и 3; 3) правее 3.

    Шаг 2. Возьмём любой x из первой области, левее -2. Например, x = -5. Подставим его в исходное выражение: (-5-3)(-5+2). Не считая, определим знак каждой скобки-сомножителя: $ \underbrace{(-5-3)}_{\lt 0} \underbrace{(-5+2)}_{\lt 0}$. Поскольку «минус на минус даёт плюс», произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное. Помечаем всю первую область знаком «+».

    Шаг 3. Возьмём любой x из второй области, между -2 и 3. Например, x = 0. Подставим: $ \underbrace{(0-3)}_{\lt 0} \underbrace{(0+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок разных знаков $ \lt 0 $, т.е. отрицательное. Помечаем всю вторую область знаком «-».

    Шаг 4. Возьмём любой x из третьей области, правее 3. Например, x = 10. Подставим: $\underbrace{(10-3)}_{\gt 0} \underbrace{(10+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное.

    Помечаем всю третью область знаком «+».

    Шаг 5. По условию нам нужно выбрать промежутки $\gt 0$, т.е. 2+5 \cdot (-2)+6 = 0$

    При этом: $P_2 (x) = (x+3)(x+2)$

    Если c — корень многочлена $P_n (x)$, то многочлен делится на (x-c) без остатка.

    СЛУЧАЙ 1. Линейные сомножители в 1-й степени

    Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет n различных корней $c_i,i = \overline{1,n}$. Тогда его можно представить в виде произведения:

    $$ P_n (x) = (x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) $$

    Алгоритм решения неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \gt 0$ методом интервалов

    Пусть для определенности $c_1 \lt c_2 \lt ⋯ \lt c_n$. Этого всегда можно добиться, т.к. от перестановки сомножителей произведение не изменяется.

    Шаг 1. Отметить на числовой прямой корни $c_1,c_2,…c_n$. Т.к. неравенство строгое, точки должны быть «белыми». Числовая прямая будет поделена на n+1 областей:

    1) левее $c_1$; 2) между $c_1$ и $c_2$; 3) между $c_2$ и $c_3$; …;n+1) правее $c_n$.

    Шаг 2. Из каждой области выбрать произвольный x, подставить в выражение слева, определить его знак, пометить область «+» или «-».

    Шаг 3. Выбрать области, помеченные «+». Записать ответ как объединение этих промежутков.

    При решении неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \lt 0$ последовательность шагов аналогична, только в ответ нужно отбирать области, помеченные «-».

    Для нестрогих неравенств действуем также, только точки на прямой должны быть «чёрными» и включаться в множество решений (с помощью квадратных скобок).

    Например:

    Решим неравенство $(x-4)(x+3)(x-1) \lt 0$

    Отмечаем на прямой корни (т.е. такие x, которые обращают каждую из скобок в 0).

    Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:

    Числовая прямая делится на 4 области:

    1) левее -3; 2) между -3 и 1; 3) между 1 и 4; 4) правее 4.

    Из каждой области выбираем произвольный x, подставляем в (x-4)(x+3)(x-1), и находим знак произведения скобок:

    По условию произведение $ \lt 0$, т.е. выбираем промежутки, помеченные «-».

    Ответ: $x \in (-\infty;-3) \cup (1;4)$. 5 \le 0$

    Неравенство нестрогое. Убираем вторую скобку с чётной степенью, добавляем требование равенства корню в совокупность. Заменяем скобку с нечётной степенью на скобку в 1-й степени:

    $ \left[ \begin{array}{cc} (x+4)(x+6) \le 0 \\ x = 2 \end{array} \right.$

    $x \in [-6;-4] \cup \{2\}$

    Решение неравенств методом интервалов

    Цели:

    1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
    2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

    Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

    Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

    Рис.1

    Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

    Рис.2

    Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

    Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

    Пример 1:[1]

    1. Найдём нули числителя: , , .
    2. Найдём нули знаменателя: .
    3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

    Рис. 3

    На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

    Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

    1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
    2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
    3. Записываем ответ: .

    В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

    Пример 2:

    1. нули числителя:

      -2 – нуль второй кратности

    2. нули знаменателя:
    3. наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

    Рис.4

    Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т. е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

    Рис.5

    Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

    Рис.6

    1. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
      Ответ:

    Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

    Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

    I вариант

    Пример 3:

    1. нули числителя:

      ;
    1. нули знаменателя:

      ;
      — нуль второй кратности

    Рис. 7

    Ответ:

    II вариант

    Пример 4:

    1. нули числителя:
      — нуль второй кратности
    2. нули знаменателя:

      ;
      — нуль третьей кратности

    Рис.8

    Ответ:

    Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

    Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

    Пример 5: [1] ,

    Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

    1. нули числителя:

      ; — не входит в (*)
    2. нули знаменателя:

      ;

    Рис. 9

    1. на самом правом промежутке
      , ,

    Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

    1. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

    Ответ: .

    Пример 6:

    1. нули числителя:


      корней нет
    2. нули знаменателя:
    3. решение изображаем на рис. 10:

    Рис.10

    Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

    Ответ:.

    Пример 7: ОДЗ:

    Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

    1. нули числителя:

    ;;;

    1. нули знаменателя:
    2. решение изображаем на рис. 11:

    Рис.11

    Ответ:.

    Пример 8:

    ОДЗ:

    Рис.12

    1. нули числителя:
    2. нули знаменателя:

    , но ОДЗ удовлетворяет только

    1. решение изображаем на рис. 13:

    Рис.13

    Ответ:.

    Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

    1. Ответ:.
    2. Ответ:.
    3. Ответ:.
    4. Ответ: .
    5. Ответ:.

    Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

    Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.

    Список литературы:

    [1] «Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.

    Реферат метод интервалов — Автореферат диссертации

    ГОУ гимназия № 1505

    Московская Педагогическая Гимназия-лаборатория

    РЕФЕРАТ

    Метод интервалов

    выполнил Коноркин Илья Олегович

    руководитель Шалимова Марина Николаевна

    Москва 2009

    Содержание

    Введение…………………………………………………………………………3

    Основные этапы решения неравенств……………………………………. .4

    Решение неравенств методом интервалов…………………………………5

    I. Решение линейных неравенств методом интервалов………………….5

    II. Решение квадратичных неравенств методом интервалов…………….7

    III.Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов.10

    IV. Решение иррациональных неравенств методом интервалов………12

    Заключение……………………………………………………………………14

    Литература …………..…………………………………………………………15

    Введение.

    Актуальность. Математика – единственный предмет в школе, представляющий собой мышление в чистом виде. В технических вузах математика сама по себе необходима для изучения многих прикладных наук. Всегда существовал негласный принцип: “Если абитуриент математику знает, то остальным предметам его можно обучить”. Поэтому если медалист сдавал математику на “отлично”, то от сдачи остальных предметов он освобождался. Достоинство математического знания является однозначность оценки – либо задача решена, либо нет.

    Красной нитью в школьном курсе математики проходит тема “Неравенства”. В 8 классе учащиеся знакомятся с линейными неравенствами, в 9 классе – квадратичными, в 10 классе – иррациональными, показательными, логарифмическими. Решение каждого вида неравенства имеет свои особенности, но существует универсальный метод решения неравенств. Цель моей работы – изучение метода интервалов, как универсального метода решения неравенств.

    Для достижения этой цели необходимо выполнить ряд задач:

    1. Познакомиться с идеей метода в разных математических изданиях.

    2. Проанализировать особенности использования этого метода разными авторами.

    3. Подробно изучить метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств.

    Основные этапы решений неравенств.

    Решение неравенств вида F(x)/Q(x) > 0

    (F(x)/Q(x) < 0 ;(x)/Q(x) ≥ 0 ;(x)/Q(x) ≤ 0).

    1. Разложить многочлены F(x) и Q(x) на линейные множители. Найти область определения функции f(x)..

    2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни — значит решить уравнения F(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

    3. Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x — a: точка a  делит числовую ось на две части – справа точки a  двучлен  x — a положительный, а слева от точки a  – отрицателен x — a.

    4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая, четное или нечетное число раз встречается каждый корень. Если корень выражения имеет четную степень (например: (x — 5)2 = 0 => x = 5 — корень второй степени), то около этого корня выражение не меняет знака. Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x — 5)3 = 0 => x = 5 — корень третей степени), то переходя через этот корень, выражение меняет знак.

    5. Выписать ответы неравенства в виде интервалов. Для неравенства вида P(x) > 0 (P(x) ≥0) или F(x)/Q(x)> 0 (F(x)/Q(x)≥ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак «+». Для неравенства вида F(x) < 0 (F(x) ≤0) или F(x)/Q(x)< 0 (F(x)/Q(x)≤ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак «-«.

    6. Решение неравенств методом интервалов.

    Решение линейных неравенств методом интервалов.

    Линейным называется неравенство вида ax>b (или соответственно ).

    Если a > 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

    Если a < 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

    Если a = 0, то неравенство принимает вид 0 * x > b, т.е. оно не имеет решений, если b ≥ 0, и верно при любых х, если b<0.

    Примеры:

    1.Решите неравенство: 0,5x + (x – 4) ≥ 5

    I способ. Рассмотрим функцию f(x) =1,5x – 9

    D(f) = R; f(x) = 0 при x =6. Рассмотрим промежутки где функция не меняет знак.(см. рис.)

    Ответ: [6; +).

    II способ. С использованием свойств неравенств.

    0,5x + (x – 4) ≥ 5

    0,5x + x – 4 ≥ 5

    1,5x ≥ 9

    x ≥ 9/1,5

    x ≥ 6

    Ответ: [ 6 ; + ).

    Очевидно, что при решении линейных неравенств не использовать метод интервалов, так как решение неравенств с использованием его свойств более простое.

    Решение квадратичных неравенств методом интервалов.

    Квадратичным называется неравенство вида ax2 + bx + c > b (или соответственно ax2 + bx + c < b, ax2 + bx + c ≥ b, ax2 + bx + c ≤ b) где x — переменная, a ≠ 0.

    Возможны 4 случая расположения параболы y = ax2 + bx + c:

    1. Если дискриминант положителен, то в этом случае можно найти точки пересечения функции с осью X.

    2. Если дискриминант меньше 0, то вычислить точки, где y = 0, нельзя, потому что таковых не существует.

    3. Если a > 0, ветви квадратичной функции направлены вверх.

    4. Если a < 0, ветви квадратичной функции направлены вниз.

    Примеры:

    1.Решим неравенство x2 – 5x + 4 > 0 с использованием свойств квадратичной функции.

    Рассмотрим функцию f(x) = x2 – 5x + 4

    D = 9, D > 0; f(x) = 0 при x = 4 или x = 1; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)

    Ответ: (–;1]  [4;+ )

    Если решать это неравенство методом интервалов, то решение будет выглядеть следующим образом:

    x2 – 5x + 4 > 0

    Пусть f(x)= x2 – 5x + 4

    1) D(f) = R

    2) f(x) = 0 при x = 1 и x = 4

    3) f(x) = (x – 1)( x – 4)

    4) f(x) > 0 при x € (–;1]  [4;+ )

    Ответ:(–;1]  [4;+ )

    2. Неравенство: –3x2 + 2x + 1 ≤ 0

    Рассмотрим функцию f(x) = –3x2 + 2x + 1

    D = 16, D > 0; f(x) = 0 при x = 1 или x = –1/3; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)

    Ответ: (–;–1/3]  [1;+ )

    Вывод: При решении квадратичных неравенств удобно пользоваться свойствами квадратичной функции и не использовать метод интервалов.

    Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

    Дробно-рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

    Решение этих неравенств сводится к отысканию интервалов, между которыми знак не изменяется, и точек, разделяющих их.

    Пример. Неравенство:

    .

    Решение. Раскладывая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

    Пусть f(x) =

    1. D(f) – все x, кроме 0 и 5.

    2. f(x) = 0 при x

    2(x – 1)(x – 2) = 0

    3. на D(f)

    (0 – корень чётной степени)

    Функция f(x) имеет канонический вид, поэтому получим знаки на промежутках

    4) f(x) < 0 при x € (–∞; 0)Y(0;1)Y(2;5)

    Вывод: Очевидно, что использование метода интервалов при решении дробно-рациональных неравенств, оптимизирует процесс нахождения решений.

    Решение иррациональных неравенств методом интервалов.

    При решении иррациональных неравенств используются возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д.

    При решении можно придерживаться такого плана:

    1. Найти область определения исходного неравенства;

    2. Решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;

    3. Из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства;

    4. Проверить оставшиеся корни методом подстановки.

    5. Перенести ответ на координатную прямую и сопоставить знак со значением в данной точке.

    Пример:

    Неравенство :

    Переход к системной записи:


    Решим неравенство методом интервалов.

    1. D: x2 — 6x ≥ 0

    X(x — 6) ≥ 0

    D = (–;0)Y(6;+ )

    2. = 8 + 2x, 8 + 2x ≥ 0

    x2 — 6x = (8 + 2x) 2

    3x2 + 38x + 64 = 0

    Следовательно, x = — 2

    3.

    4. Ответ :

    Вывод: Иррациональные неравенства можно решать методом интервалов. Но если неравенство имеет вид < g(x) или ≥ g(x), то проще решать неравенство, используя стандартную схему.

    Заключение

    На протяжении своей работы я прочитал, изучил и законспектировал литературу по методу интервалов. Во всех источниках метод интервалов определяется следующим образом:

    1)Находится область определения выражения, которое сравнивается с нулём.

    2)Определяются нули этого выражения, т.е. те x при которых выражение обращается в 0.

    3)Записывается неравенство в каноническом виде (все многочлены раскладываются на множители, одинаковые множители записываются в виде степеней, определяется знак при старшем коэффициенте ).

    4)Нули функции отмечаются на области определения.

    5)Определяется знак на крайнем правом промежутке, а затем на остальных интервалах (с помощью пробной точки или правила чередования знаков).

    6)Записывается ответ.

    Научился решать неравенства с использованием метода интервалов. Считаю необходимым рассмотреть в дальнейшем дробно-рациональные неравенства, содержащие знак модуля, а так же неравенства с логарифмами, показательными и другими. Задачи решены, сформулированные в начале работы, то есть цель достигнута.

    Литература

    Алгебра. Учебник 9 класса общеобразовательных учреждений под редакцией С.А.Телятевского. 2005. – М.:”Просвещение”. 46- 50 стр.

    Задачи по математике. Уравнения и неравенства. — М.: издательство ”Наука”, 1997. – с 128 – 144.

    Математика – абитуриенту. Всё о вступительных экзаменах в ВУЗы. Издание 15, исправленное и дополненное. В.В.Ткачук. – Москва.: издательство “МЦНМО” 2008. – 80 – 83 стр.

    Пособие для поступающих в вузы. под редакцией Г.Н.Яковлева – Москва.: издательство “Наука”, 1981. – 83 – 87 стр.

    Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. Э68 М.Д.Аксёнова. – М.:Аванта+, 2002. – 244 – 247 стр.

    Интернет — источники.

    Метод интервалов – Алгебра – Школа LV. http://shkola.lv/?mode=lsntheme&themeid=6
    Метод интервалов. Москва 2009 г.
    /abstracts/?idabstract=624792.

    Методика написания рефератов. Саратов, 2000.

    /statii/texts54.html.

    3.2.2. Рациональные неравенства



    Глава 3. Решение уравнений и неравенств

    3.2.

    3.2.2.

    Рассмотрим выражение вида:

    (1)
    (Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

    Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.

    Отсюда следуют полезные замечания.

    • Многочлен то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).

    • Многочлен то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.

      Вывод. Многочлены вида при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:

    • Многочлен всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.

    • При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.

    Модель 3.7. Метод интервалов

    Пример 1

    Решите неравенство

    Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x > 4 все множители положительны. При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель (x + 3) в чётной степени). При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.

    1

    Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

    Ответ. 


    Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

    где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: (Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

    • то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.

    • то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

    Итак,


    Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

    Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь − в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).

    Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

    1. Привести неравенство к стандартному виду

    2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

    3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

    4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

    5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

    Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

               
    Пример 2

    Решить неравенство

    Имеем

    Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:

    2

    Ответ.  


    Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.



    

    Метод интервалов для решения неравенств в математике с примерами решения

    Метод интервалов для решения неравенств

    Наряду с указанным выше общим методом, неравенства (рациональные алгебраические в том числе) часто решаются методом интервалов (не путать с методом интервалов для задач с модулями). Метод интервалов, пожалуй, является одним из самых распространённых методов решения неравенств вида

    (количество сомножителей в числителе и знаменателе дроби, а также знак неравенства могут быть произвольными). Слово «обобщённый» перед словосочетанием «метод интервалов» используют обычно в тех случаях, когда множители в левой части неравенства не имеют чисто алгебраический вид. Суть метода состоит в следующем.

    1) Все члены неравенства переносятся в одну сторону (например, в левую часть) и приводятся к общему знаменателю (т.е. неравенство приводится к виду (1)).

    2) Определяются критические точки, т.е. точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль. Для этого решаются уравнения и . При этом точки, обращающие в нуль знаменатель, следует «выколоть», а остальные — в зависимости от строгости или нестрогости решаемого неравенства.

    3) Критические точки наносятся на числовую прямую, разбивая сё (в общем случае — ОДЗ) на интервалы, в каждом из которых функция, находящаяся в левой части неравенства, сохраняет знак.

    4) Определяется знак на крайнем справа интервале, что обозначается на числовой прямой с помощью знака «+» или «-».

    5) Определяются знаки на остальных интервалах. В частности, при переходе через очередную критическую точку знак меняется на противоположный, если критическая точка является корнем нечётной кратности (т.е. встречается нечётное число раз среди корней числителя и знаменателя), и знак сохраняется, если точка имеет чётную кратность (или соответствующий множитель находится, например, под знаком модуля). Если числитель и знаменатель имеют совпадающие критические точки, то предварительно необходимо произвести сокращение, «выколов» данные точки на числовой оси.

    6) Множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком, при этом в случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

    Подчеркнём, что этим методом решаются не только алгебраические неравенства.

    Пример №212.

    Решить неравенство

    Решение:

    Запомнив, что , вначале сократим числитель и знаменатель на общий множитель (х + 2):

    Найдём остальные критические точки, это x = 1, х = -1/2, x = 5, x = 0, x=3/5, и нанесём все точки (включая x = -2) на числовую прямую ,выколов те из них, которые обращают в нуль знаменатель дроби (x = — 2, x = 0, x = 3/5):

    Оценим знак левой части неравенства на крайнем справа промежутке x > 5 . Для этого подставим любое число из этого промежутка, например 10, в выражение слева от знака равенства. Получим знак «-». Начнём рисовать кривую знакоопределённости для левой части неравенства. На рассмотренном промежутке изобразим её ниже числовой прямой, что символизирует отрицательный знак. Теперь начинаем мысленно «движение» справа налево вдоль оси x. Доходим до точки x = 5 . Чтобы выяснить, поменяется ли в этой точке знак левой части неравенства, найдём множитель (5 — х) в числителе, который обращается в нуль при этом значении. Он имеет нечётную степень, равную 1, и, следовательно, при прохождении справа налево через эту точку этот множитель (а с ним и вся левая часть) поменяет знак. На промежутке 1 < x < 5 общий знак будет «плюс», а кривая знакоопределённости пойдёт выше оси x .

    Продолжаем «движение» налево, подходим к точке x = 1. Выясним, поменяет ли знак левая часть неравенства при прохождении через эту точку. Найдём множитель, из которого мы определили данную критическую точку, это . Так как степень, равная 5, нечётная, то этот множитель, а с ним и вся левая часть поменяют знак, и кривая знакоопределённости пойдёт вниз. И так далее… Очевидно, в точке x = 0 знак левой части поменяется на противоположный, а в точках x = -2 , х = -1/2 , x = 3/5 — сохранится.

    Когда кривая полностью построена, нужно лишь, учитывая знак неравенства , отобрать те промежутки, которые лежат ниже числовой прямой, не забывая про те значения x, которые обращают числитель в нуль (в данном случае это х = -1/2 ). Таким образом, получаем окончательный ответ.

    Ответ:

    Рассмотрим применение метода интервалов к решению задачи.

    Пример №213.

    Решить неравенство

    Решение:

    ОДЗ: . Перепишем неравенство: и воспользуемся методом интервалов. Найдём все значения неизвестной x, при которых числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для этого решим уравнение

    Итак, на ОДЗ имеем две критические точки x = 0 и x = 1, в которых числитель или знаменатель дроби обращаются в нуль (точку x = 0 при этом следует «выколоть»). Определим знак левой части неравенства на интервалах, на которые эти точки разбивают ОДЗ.

    При x < 0 числитель и знаменатель отрицательны, а значит, их отношение положительно. При 0 < x < 1 числитель ещё отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому их отношение отрицательно. При числитель и знаменатель, как и их отношение, положительны. Построим кривую знакоопределённости для левой части неравенства:

    С учётом знака неравенства выписываем ответ:

    Замечание. Можно было на этапе определения знака дроби поступить иначе: найти знак этой дроби, например на промежутке ч < 0 (подставив любое удобное значение x, скажем, x = -2 ), а затем, двигаясь вдоль оси xслева направо, лишь отслеживать, меняется ли знак дроби в каждой из критических точек (он, очевидно, будет меняться в каждой из них).

    Пример №214.

    При всех значениях параметра а решить неравенство

    Решение:

    Найдём критические точки: . Приравнивая их друг к другу попарно, найдём все значения параметра, при которых эти точки совпадают: . Рассмотрим четыре случая.

    1) подставляя в выражения для критических точек в качестве а любую внутреннюю точку промежутка (например, ), определяем порядок, в котором критические точки располагаются на числовой прямой x. При рассматриваемых а они оказываются упорядоченными так: а, 2, -2а . После этого методом интервалов решаем неравенство:

    Итак, при указанных значениях а получили решения:

    Замечание. При а = — 1 интервал (2,-2а) вырождается (пропадает), и ответ будет иметь вид

    2) опять подставляем любую внутреннюю точку а из данного промежутка (например, а= -1/2 ) в выражения для критических точек и определяем порядок, в котором эти точки располагаются на числовой прямой. Затем методом интервалов решаем неравенство:

    Итак, при получили решения:

    3) поступая аналогичным образом, находим:

    Итак, при получили решения:

    Замечание. При а= 2 интервал (a,2) вырождается (пропадает), и ответ будет иметь вид

    4) Наконец, в случае имеем

    Поэтому при решениями будут .

    В ответе объединяем все полученные результаты.

    Ответ:

    Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

    Предмет математика

    Эти страницы возможно вам будут полезны:

    интервалов

    Интервал: все числа между двумя заданными числами.

    Пример: все числа от 1 до 6 являются интервалом

    Все числа?

    Да. Все действительные числа, лежащие между этими двумя значениями.

    Пример: интервал от 2 до 4 включает такие числа, как:

    2.1 2.1111 2.5 2,75 2.80001

    7 / 2 3,7937

    И многое другое!

    Включая цифры на каждом конце?

    Ааа. .. может да, может нет… надо сказать!

    Пример: «допускаются ящики массой до 20 кг»

    Если ваш ящик ровно 20 кг … это будет разрешено или нет?

    Не совсем понятно.

    Давайте посмотрим, как быть точным в каждом из трех популярных методов:

    • Неравенства
    • Числовая линия
    • Обозначение интервала

    Неравенства

    С неравенствами мы используем:

    • > больше
    • ≥ больше или равно
    • < меньше
    • ≤ меньше или равно

    Вот так:

    Пример: x ≤ 20

    Говорит: «x меньше или равно 20»

    А значит: до включительно 20

    Обозначение интервала

    В «Обозначении интервалов» мы просто пишем начальный и конечный номера интервала и используем:

    • [ ] квадратная скобка, когда мы хотим, чтобы включало конечное значение, или
    • ( ) круглая скобка, когда мы не делаем

    Вот так:

    Пример: (5, 12]

    Означает от 5 до 12, не включает 5, а делает включает 12

    Номер строки

    С помощью числовой линии мы рисуем толстую линию, чтобы показать значения, которые мы включаем, и:

    • закрашенный кружок, когда мы хотим включить конечное значение, или
    • открытый круг, когда мы не

    Вот так:

    Пример:

    означает все числа от 0 до 20, не включают 0, а не включают 20

     

    Все три метода вместе

    Вот удобная таблица, показывающая все 3 метода (интервал от 1 до 2):

      От 1   до 2
      В том числе 1 Кроме Включая 1   Кроме Включая 2 В том числе 2
    Неравенство: х ≥ 1
    «больше чем
    или равный
    х > 1
    «больше чем»
     
      х < 2
    «меньше чем»
     
    х ≤ 2
    «менее
    или равный
    Номер строки:  
    Обозначение интервала: [1 (1   2) 2]

     

    Пример: к добавить 1 , а к не включить 2 :

    Неравенство:

    х ≥ 1 и х < 2

    или вместе: 1 ≤ x < 2

    Номер строки:
    Обозначение интервала: [1, 2)

    Другие примеры

    Пример 1: «Распродажа не дороже 10 долларов»


    Это означает от до включительно 10 долларов.

    И будет справедливо сказать, что все цены выше $0.00.

    В качестве неравенства мы покажем это как:

    Цена ≤ 10 и Цена > 0

    На самом деле мы могли бы объединить это в:

    0 < Цена ≤ 10

    В строке номера это выглядит так:

    И используя обозначение интервала это просто:

    (0, 10]

     

     

    Пример 2: «Участникам должно быть от 14 до 18 лет»

    Таким образом, число 14 включено, а «быть 18-летним» идет вплоть до (но не включая) 19.

    В виде неравенства это выглядит так:

    14 ≤ Возраст < 19 лет

    В числовой строке это выглядит так:

    И используя запись интервала это просто:

    [14, 19)

    Разве не забавно, что мы измеряем возраст совершенно иначе, чем что-либо еще? Мы остаемся 18-летними до тех пор, пока нам не исполнится 19. Мы не говорим, что нам 19 (с точностью до ближайшего года) с 18½ и далее .

    Открыто или Закрыто

    Термины «Открыто» и «Закрыто» иногда используются независимо от того, включено конечное значение или нет:

    (а, б)   а < х < б   открытый интервал
    [а, б)   а ≤ х < b   слева закрыто, справа открыто
    (а, б]   а < х ≤ б   слева открыт, справа закрыт
    [а, б]   а ≤ х ≤ б   закрытый интервал

    Это интервалы конечной длины.У нас также есть интервалы бесконечной длины.

    В бесконечность (но не дальше!)

    Мы часто используем Infinity в записи интервалов.

    Бесконечность — это , а не реальное число , в данном случае это просто означает «продолжение…»

    Пример: x больше или равно 3:

    [3, +∞)

    Обратите внимание, что мы используем круглую скобку с бесконечностью, потому что мы не достигаем ее!

    Есть 4 возможных «бесконечных конца»:

    Интервал   Неравенство    
    (а, +∞)   х > а   «больше а»
    [а, +∞)   х ≥   «больше или равно»
    (-∞, а)   х <   «меньше чем»
    (-∞, а]   х ≤   «меньше или равно»

    Мы могли бы даже показать без ограничений , используя это обозначение: (-∞, +∞)

    Два интервала

    У нас может быть два (или более) интервала.

    Пример: x ≤ 2 или x >3

    В числовой строке это выглядит так:

    А запись интервала выглядит так:

    (-∞, 2] U (3, +∞)

    Мы использовали букву «U» для обозначения союза (объединения двух наборов).


    Примечание: будьте осторожны с подобным неравенством.
    Не пытайтесь соединить это в одно неравенство:

    2 ≥ x > 3 неправильно!

    это не имеет смысла (вы не можете быть меньше 2
    и больше 3 одновременно).

    Соединение и пересечение

    Мы только что увидели, как соединить два множества с помощью «Союза» (и символа ).

    Существует также «Перекресток», что означает «должен быть в обоих». Подумайте «где они пересекаются?».

    Символ пересечения представляет собой перевернутую букву «U», например:

    Пример:   (-∞, 6]  ∩ (1, ∞)

    Первый интервал доходит до (включительно) 6

    Второй интервал начинается с (но не включая) 1 и далее.

    Пересечение (или перекрытие) этих двух наборов идет от 1 до 6 (не включая 1, включая 6):

    (1, 6]

     

    Заключение

    • Интервал — это все числа между двумя заданными числами.
    • Важно показать, включены ли начальный и конечный номера
    • Существует три основных способа отображения интервалов: Неравенства, Числовая линия и Обозначение интервалов.

     

     

    Сноска: геометрия, алгебра и множества

    Возможно, вы этого не заметили… но мы на самом деле использовали:

    все в одной теме. Разве математика не удивительна?

     

    Видео с вопросами

    : поиск решения неравенств с использованием интервальной записи

    Стенограмма видео

    Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворить семь 𝑥 плюс четыре больше 11 и меньше или равно 32. Дайте свой ответ в интервале форма.

    Это то, что известно как двустороннее или составное неравенство. В общем случае составное неравенство содержит не менее двух неравенств, разделенных либо словом «или», либо словом «а также». Здесь у нас есть выражение семь 𝑥 плюс четыре, и неравенство говорит нам, что значение этого выражения равно больше 11 и меньше или равно 32. Есть два подхода, которые мы можем использовать. к решению двустороннего неравенства.

    Первый подход заключается в лечении две части неравенства отдельно. Итак, у нас есть одно неравенство, говорящее нам, что семь 𝑥 плюс четыре больше, чем 11, а другой говорит нам, что семь 𝑥 плюс четыре меньше или равно 32. Затем мы решаем каждое неравенство. Для неравенства слева первый шаг — просто вычесть четыре с каждой стороны, получив семь меньше, чем семь 𝑥. Затем мы можем разделить каждую сторону это неравенство на семь дает единицу меньше 𝑥 или 𝑥 больше единицы.Итак, мы решили нашу первую неравенство.

    Чтобы решить вторую, мы также вычтите четыре с каждой стороны, получив семь 𝑥 меньше или равно 28, а затем разделите обе части на семь, чтобы получить 𝑥 меньше или равно четырем. Затем мы обнаружили, что значение 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем. Поэтому мы должны обязательно поставить эти две части раствора снова вместе в конце. Мы можем записать наше решение в виде двустороннее неравенство 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем.Тогда в качестве интервала это будет имеют конечные точки один и четыре.

    А теперь нам нужно рассмотреть тип скобок или круглых скобок для каждого конца. В нижней части знак представляет собой строгое неравенство; 𝑥 строго больше единицы. Таким образом, значение one не входит в набор решений. Итак, наш интервал открыт на нижний конец. Однако на верхнем конце имеем слабое неравенство, 𝑥 меньше или равно четырем.Таким образом, значение четыре включено в множество решений, и наш интервал замыкается на его верхнем конце. Итак, у нас есть ответ на проблема. Набор решений для этого неравенство — это интервал от одного до четырех, открытый в нижней части и замкнутый в верхняя граница.

    Теперь обратите внимание на то, что необходимые шаги в решении этих двух отдельных неравенств было как раз то, что нужно. В каждом случае мы вычли четыре сначала, а затем разделить на семь.Так что на самом деле нужды в этом не было. нам рассматривать две части этого неравенства по отдельности. Второй и, возможно, больше Таким образом, эффективный подход состоит в том, чтобы сохранить вместе все три части неравенства. В этом случае мы решаем точно таким же образом, но мы должны убедиться, что выполняем одну и ту же операцию для всех трех части неравенства. Начнем с вычитания четырех из каждая часть. 11 минус четыре будет семь. Семь 𝑥 плюс четыре минус четыре равно семь 𝑥.А 32 минус четыре равно 28. Теперь у нас есть утверждение семь. 𝑥 больше семи и меньше или равно 28.

    Затем мы делим каждую часть нашего неравенство на семь, что дает утверждение 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем, что, как мы замечаем, идентично решению, которое мы получили, используя наш первый метод. Тогда мы бы выразили это в интервальная запись точно таким же образом. Этот метод, безусловно, быстрее, но мы должны убедиться, что рассматриваем все три части неравенства одинаково.Итак, если мы вычтем четыре, мы должны убедиться, что мы делаем это со всех сторон. И если мы разделим на некоторые число, в данном случае семь, снова нам нужно сделать это для каждой части.

    Решение рациональных неравенств — средний уровень алгебры

    Шаг 1. Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

    Наше неравенство имеет такую ​​форму.

    Шаг 2. Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет равно нулю или неопределенно.

    Рациональное выражение будет равно нулю, если числитель равен нулю. С каких пор это критическая точка.

    Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю. С каких пор это критическая точка.

    Критические точки 1 и

    Шаг 3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Числовая строка делится на три интервала:

    Шаг 4. Проверка значения в каждом интервале. Над числовой прямой показывают знак каждого множителя рационального выражения в каждом интервале. Ниже числовой строки укажите знак частного.

    Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной точки. Любая точка интервала даст выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

    Число находится в интервале Проверка в выражении в числителе и знаменателе.

    Над числовой строкой отметьте отрицательный множитель и отметьте отрицательный множитель.

    Поскольку отрицательное число, деленное на отрицательное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале

    Число 0 находится в интервале Тест

    Над числовой линией отметьте отрицательный множитель и положительный.

    Поскольку отрицательное число, деленное на положительное, является отрицательным, частное в интервале помечается как отрицательное

    .

    Число 2 находится в интервале Тест

    Над числовой линией отметьте положительный множитель и отметьте положительный.

    Поскольку положительное число, деленное на положительное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале

    Шаг 5. Определите интервалы, на которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

    Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, поэтому числа в интервалах и являются решениями.

    А как же критические точки?

    Критическая точка делает знаменатель равным 0, поэтому ее нужно исключить из решения и отметить скобкой.

    Критическая точка делает все рациональное выражение равным 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 является частью решения и мы будем отмечать его скобкой.

    Вспомните, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения, чтобы соединить два интервала. Решение в интервальной записи равно

    .

    Math Scene — Графики неравенств и таблицы знаков

    Math Scene — Графики неравенств и таблицы знаков

    2008 Расмус Эхф
    и Джанн Сак

    Неравенства
      Печать

    Урок 2   Графики неравенств и таблицы знаков.

    Как можем ли мы решить квадратное неравенство, такое как x 2 − 1 0 ? Если решаем соответствующее квадратное уравнение, получаем два решения.

    х 2 — 1 = 0

        (х + 1)(х — 1) = 0

         Решения: x = 1 и х = −1.

    Мы нашли точки, где выражение равно 0, теперь нам нужно найти, где его меньше 0.Другими словами, мы должны выяснить, когда выражение отрицательный. Для этого рассмотрим признаки множители (x + 1) и (x − 1) . Другими словами, мы ищем интервалы, в которых они положительны или отрицательны. Для этого делаем таблицу знаков

    Начнем с того, что подставим 0 в значения, где каждый из факторы равны нулю. (x+1) = 0, когда x = −1, и (x − 1) = 0
    когда x = 1. Затем мы ставим + или — в зависимости от того, являются ли факторы положительный или отрицательный.Теперь мы можем использовать эту информацию для решения неравенства.

    Мы знаем, что (x + 1)(x — 1) = x 2 — 1.

    Мы также знаем, что −∙− = + и +∙+ = +. Это означает, что выражение (x + 1)(x − 1) положительна, когда обе скобки имеют одинаковый знак, и отрицательна, когда они имеют противоположные знаки. Теперь мы можем заполнить таблицу. Мы ищем интервал, на котором x 2 − 1 < 0, то есть отрицательный.

    Этот интервал удовлетворяет неравенству.

    −1 х 1

    Теперь давайте решим неравенство без факторизации первый.

    Мы просто находим корни, решая соответствующие уравнение, а затем подставьте любое значение x между этими корнями. .

    Если мы выберем, например, x = 0, мы получим следующее

       Если f(x) = x 2 − 1, тогда f(0) = 0 2 — 1 = -1.

    Это показывает нам, что f(x) = x 2 − 1 отрицательно на интервале

    −1 х 1 .

    Если мы попробуем любое значение x, которое меньше -1 og больше 1 мы получаем положительные значения для функции. Итак, линия реального числа будет выглядеть так:


    Решение

    Мы также можем найти решение, посмотрев на график

    f(x) = x 2 — 1 .Решение x 2 − 1 0 это интервал, в котором график лежит на оси x или ниже нее.

    Посмотрите на график ниже.

                   

    График лежит на оси x или вокруг нее на интервале −1 х 1 (заштрихованная область графика).

    Если мы перевернем знак неравенства, какое решение из

    х 2 − 1 0?

    Глядя на график, площадь над осью x удовлетворяет этому условию.Если мы посмотрим на таблицу знаков, то там, где выражение положительное.

                      Решение: x −1 Решение: х 1

    Решение неравенства х 2 − 1 0 состоит из двух частей.

    х −1 или х 1.

     

    Пример 1

    Решить неравенство x 2 − 2x − 3 < x + 1,

    Первый решаем соответствующее уравнение х 2 — 2х — 3 = х + 1

    х 2 — 2х — 3 = х + 1

    х 2 — 3х — 4 = 0

        (х + 1)(х — 4) = 0

    Решение: х = -1 и х = 4

    Следующий делаем таблицу признаков.

    Решение: −1 < х < 4

    Если мы нарисуем два графика в одной координате система
    f (х) = х 2 — 2х − 3 и g(x) = x + 1, то мы ищем область, в которой f(x) ( левая часть выражения ) меньше, чем g(x) (правая часть). Это заштрихованная область графика, где x принимает значения от -1 до 4.

                              

    Пример 2
    Решить неравенство

    Начнем с рассмотрения знаков числителя (x + 1) и знаменатель (x − 1).Те же правила применяются для деления что касается умножения. (-/- = + и -/+ = -). Итак, если числитель и знаменатель совпадают знак, что результат положительный. Если они имеют противоположные знаки, то результат равен отрицательный

                       
    Решение

    Теперь нужно позаботиться о том, чтобы x не мог быть равен на 1, потому что тогда мы будем делить на 0.  
    Таким образом, решение равно −1 . х < 1.

    Рисуем график, предварительно составив таблицу значений.

    Х

    f(x) = (x + 1) / (x — 1)

    -2

    0,3

    -1 0
    0 -1
    -3
    1 асимптота

    1

    5
    2 3
    3 2

    График имеет вертикальную асимптоту, когда x = 1 и лежит под осью x на интервале между −1 и 1 (заштрихованная площадь).

    Пример 3                

    Решить

    Начнем с перемещения 1 к другому часть уравнения, оставив там 0. Мы можем пользоваться таблицей знаков только в том случае, если правая часть равна нулю.

     

     

    Мы Найдите общий знаменатель и упростите дробь.

    Далее делаем таблицу знаков.

            
    Решение х < 1

    Теперь мы рисуем графики левой части и правая часть неравенства. Левая сторона такая же, как в пример 2. Правая часть g(x) = 1 (горизонтальная линия, на единицу выше x оси).

    Мы видим, что график f(x) находится под графиком g(x) для всех значений x слева от вертикальная асимптота x = 1 (см. заштрихованную область).х = 1 не включены в решение, так как это означало бы, что мы делим на ноль.

    Пример 4

    Решите неравенство x 2 < х.

    Уравнение x 2 = х имеет решения х = 0 и х = 1.

        x 2 < х

    х 2 х < 0

    Упорядочить оба члена слева

    Выберите значение x между 0 и 1, например, и введите значение в функцию.

            f(x) = x 2 х

       

    Результат отрицательный, поэтому знак f(x) такой, как показано ниже.



    не существует Решение: 0 < x < 1

    Теперь посмотрите на график левой и правой руки. стороны.

    График f(x) = x 2 находится ниже графика g(x) =  х включено интервал от 0 до 1.(см. заштрихованную область).

    Пример 5

    Решить неравенство ln x л 1 / х .

    Максимально упрощаем и переносим оба термина в левую часть уравнения.

    Теперь мы можем использовать таблицу знаков для решения неравенства. Мы ограничиваем наши расчеты положительными значениями x как логарифма отрицательного ценностей не существует.

    Решение: 0 < х 1

    Теперь давайте посмотрим на график.

    Мы видим, что график f(x) лежит ниже графика g(x) для значений x от 0 до 1 (см. заштрихованная часть графика).


    Попробуйте тест 2 на Неравенства.

    Не забудьте использовать контрольный список для следить за своей работой.

     

    Решение неравенств | Intellecquity Math Helper

    Короче говоря, решение неравенств заключается в одном: изменении знака.Найдите все точки, в которых происходит смена знака – назовем эти точки критическими значениями . Затем определите, какие из интервалов, ограниченных этими критическими значениями, если таковые имеются, приводят к решению. Решение неравенства будет состоять из множества всех точек, содержащихся в интервалах решения.

    Метод решения линейных, полиномиальных или абсолютных неравенств:

    1. Переместите все члены в одну сторону от знака неравенства , применяя свойства сложения, вычитания, умножения и деления неравенств.У вас должен быть только ноль с одной стороны знака неравенства.
    2. Решите соответствующее уравнение, используя соответствующий метод. Это решение или решения составят набор критических значений. При этих значениях в неравенстве происходит смена знака.
    3. Нанесите критические значения на числовую прямую. Используйте темные кружки ∙ для ≤ и ≥ неравенств и используйте открытые кружки ο для < и > неравенств.
    4. Проверка каждого интервала, определяемого критическими значениями. Если интервал удовлетворяет неравенству, то он является частью решения. Если оно не удовлетворяет неравенству, то оно не является частью решения.

    Пример 1 (линейное неравенство): решить 3x + 5(x + 1) ≤ 4x – 1 и построить график решения

    3x + 5(x + 1) ≤ 4x – 1 дано + 5  ≤  4x – 1 Распределяющее свойство

    8x + 5  ≤  4x – 1 Объединить одинаковые члены

    4x + 6  ≤  0 Вычесть 4x с обеих сторон, добавить 1 к обеим сторонам, используя свойства сложения и вычитания неравенства

    Теперь решите 4x + 6 = 0

    4x = -6 Свойство равенства сложения

    x = – 6/4 = -3/2 Свойство равенства деления

    Постройте критическое значение

    Проверьте произвольные значения каждого интервала. Вы можете проверить значение в исходном неравенстве или его упрощенной форме.

    В интервале 1, пусть x= 1 в 4x + 6 ≤ 0.

    4(1) + 6 ≤ 0 является ЛОЖЬЮ.

    В интервале 2 пусть x = -2 в 4x + 6 ≤ 0.

    4(-2) + 6 ≤ 0 ИСТИНА. Таким образом, интервал 2 является решением.

    Решение x ≤ – 3/2, или в интервальной записи, (- ∞, – 3/2].  График показан ниже:

    Примечание. конечные точки графика, а не обозначение скобки интервала, поскольку мы не знаем, в какую сторону будут указывать скобки, пока не будут проверены интервалы неравенства.

    БОРЬБА С МАТЕМАТИКОЙ? Хотите пошаговые решения с пояснениями к вопросам о неравенствах. Мы создали мобильное приложение, чтобы вы могли задать свой вопрос и получить мгновенную помощь, когда вам это нужно. Попробуйте Загрузите Intellecquity Now .



    .

    3x 3 + x 2 > 0 свойство вычитания неравенства

    сейчас, решить 3x 3 + x 2 = 0

    x 2 (3x + 1) = 0 распределительная недвижимость

    x 2 = 0 или = 0 или 3x + 1 = 0 Zero Law

    решить x 2 = 0

    x = ± √0 = 0 экстракт квадратных корней

    решают 3x + 1 = 0

    3x = -1 Добавьте -1 к  с помощью свойства равенства

    x = -1/3. На этот раз используйте открытые круги!

    Проверка произвольных значений каждого интервала. Вы можете проверить значение в исходном неравенстве или его упрощенной форме.

    В интервале 1 пусть x = 1 в x 2 (3x + 1) > 0.

    1 2 (3∙1 + 1) > 0 ИСТИНА, поэтому интервал 1 является частью решения .

    В интервале 2 пусть x=-1/4 дюйма x 2 (3x + 1) > 0.

    (-1/4) 2 (3∙(-1/4) + 1) > 0 – это ИСТИНА, поскольку в упрощенном виде мы получаем (1/16)(1/4) > 0,

    , поэтому интервал 2 также является частью решения.

    В интервале 3 пусть x=-1 в x 2 (3x + 1) > 0.

    (-1) 2 (3∙(-1) + 1) > 0 ЛОЖНО, поскольку упрощенно, мы получаем (1)(-2) > 0,

    , поэтому интервал 3 НЕ является частью решения.

    Мы затеняем Интервал 1 и Интервал 2, но не включают конечные точки.

    Решение x>0 или –1/3 < x < 0.  

    Интервальное обозначение этого решения: (0 , ) U (-1/3, 0).

    РАСПРОСТРАНЕННАЯ ОШИБКА, КОТОРУЮ НУЖНО ИЗБЕГАТЬ!

    Студенты часто попадают в уравнение Х 2 (3x + 1) = 0 а затем разделите обе стороны на X 2 и решают

    3x + 1 = 0, теряя при этом нулевое решение. Всякий раз, когда вы делите обе части алгебраического уравнения на x или степень x, вы ошибочно теряете нулевое решение.


    Пример: решить |2x + 5|> 1 и граф решение

    2x + 5 > 1

    дано

    Решить Связанное уравнение 2x + 5 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1

    для решения абсолютных значений Уравнения, вы должны решить два случая:

    2x + 5 = 1 и — (2x + 5) = 1

    решить 2x + 5 = 1

    2x = -4

    Add-5 на обе стороны с использованием добавления свойства равенства

    x = -4/2 = -2 Свойство отдела равенства

    RELVE — (2x + 5) = 1

    -2x — 5 = 1 Умножным через –1, используя Распределительное свойство

    -2x = 6 Прибавьте 5 к обеим сторонам, используя свойство сложения равенства Разделение Свойство равенства

    Нанесите критические значения, x = 0 и x = -1/3. Используйте открытые кружки, так как это >.

    Нанесите критические значения, x = 0 и x = -1/3. Используйте открытые кружки, так как это >.

    Проверка произвольных значений каждого интервала. Вы можете проверить значение в исходном неравенстве или его упрощенной форме.

    в Интервал 1 , пусть X = 0 в 2x + 5 > 1.

    2 0 + 5  > 1 является ИСТИНА, поэтому интервал 1 является частью решения.

    в Интервал 2 , пусть x = -2.5 в 2x + 5 > 1.

    2 (- 2. 5) + 5  > 1 является ЛОЖЬЮ, поэтому интервал 2 НЕ является частью решения.

    In Интервал 3 , пусть x=- 4 в 2x + 5

    1 > 91.

    2 (-4) + 5  > 1 является ИСТИННЫМ, поэтому интервал 3 является частью решения.

    Мы затеняем Интервал 1 и Интервал 3, но не включаем конечные точки.

    Решение x > -2 или x < -3. В интервальных обозначениях мы запишем это как

    (- , -3) U (-2, ).

    Метод решения рациональных неравенств:

    1. Переместите все члены в одну сторону от знака неравенства , применив свойства сложения, вычитания, умножения и деления неравенств. У вас должен быть только ноль с одной стороны знака неравенства.
    2. Решите соответствующее уравнение, используя соответствующий метод. Это решение или решения составят набор критических значений. При этих значениях в неравенстве происходит смена знака.
    3. Найдите все значения, которые приводят к делению на ноль. Это также критические значения для рациональных неравенств.
    4. Нанесите критические значения на числовую прямую. Используйте закрытые кружки ∙ для ≤ и ≥, если значение не приводит к делению на ноль – всегда используйте открытые кружки для значений, приводящих к делению на ноль, поскольку это значение не может быть частью решения! Всегда используйте открытые кружки ο для < и > неравенств.
    5. Проверка каждого интервала, определяемого критическими значениями. Если интервал удовлетворяет неравенству, то он является частью решения. Если оно не удовлетворяет неравенству, то оно не является частью решения.  

    Таким образом, единственная разница между решением рационального неравенства и полиномиального неравенства состоит в том, что существуют дополнительные критические значения, которые приводят к делению на ноль, и вы никогда не включаете эти дополнительные значения как часть решения, даже если это или неравенство.

    Решите соответствующие уравнения (-2x + 10)/(x – 3) = 0 и x – 3 = 0.

    -2X + 10 = 0 Очистить фракции, умножение обеих сторон (X-3)

    -2x = -10

    Add-10 на обе стороны с использованием свойства при добавлении равенности

    81

    x = -10 / (- 2) = 5 Свойство разделения


    x — 3 = 0

    x = 3         Свойство равенства сложения

    Постройте критические числа. Используйте замкнутый круг для x=5 и открытый круг для x=3.

    В интервале 1, мы позволяем x = 6. Это результаты в (-2 6 + 10) / (6 — 3) 0 или

    -2 / 3 0, что ИСТИНА. Таким образом, интервал 1 является частью решения.

    В интервале 2, мы позволяем X = 4. Это результаты в (-2 4 + 10) / (4 — 3) 0 или

    2/1 0, что ЛОЖЬ.Таким образом, интервал 2 НЕ является частью решения.

    В интервале 3, мы позволяем х = 2. это результаты в (-2 2 + 10) / (2 — 3) 0 или 6/

    6 / (-1) 0, что ИСТИНА. Итак, интервал 3 является частью решения.

    Это приводит к графику

    с решением x <3 или x 5. 40581 5. Интервальная запись (- , 3) U [5, ).

    Неравенства абсолютных значений

    В предыдущем разделе мы решали уравнения, содержащие абсолютные значения. В этом разделе мы хотим рассмотреть неравенства, содержащие абсолютные значения. Нам нужно будет рассмотреть два отдельных случая.

    Неравенства с участием < и 

    Как и в случае с уравнениями, давайте начнем с довольно простого случая.

    Это говорит о том, что независимо от значения p оно должно находиться на расстоянии не более 4 от начала координат.Это означает, что p должно быть где-то в диапазоне

    . Мы могли бы иметь подобное неравенство с < и получить аналогичный результат.

    В общем, у нас есть следующие формулы для использования здесь,

    Пример:

    На самом деле нечего делать, кроме как вставить формулу. Как и в случае с уравнениями pp просто представляет все, что находится внутри полос абсолютного значения. Итак, с этим первым у нас есть,

    Теперь это не более чем довольно простое двойное неравенство, которое нужно решить, так что давайте сделаем это.

    Обозначение интервала для этого решения:

    Неравенства, включающие > и

    Еще раз давайте начнем с простого числового примера.

    Это говорит о том, что каким бы ни было p , оно должно находиться на расстоянии не менее 4 от начала координат, поэтому p должно находиться в одном из следующих двух диапазонов:

    . Эти решения должны быть записаны в виде двух неравенств.

    Вот общая формула для них.

    Пример:

    Опять же, p представляет количество внутри столбцов абсолютного значения, поэтому все, что нам нужно сделать здесь, это подставить формулу, а затем решить два линейных неравенства.

    Обозначение интервала для них:

    Если у вас есть какие-либо другие вопросы, связанные с математикой, напишите нам комментарий, и мы постараемся ответить вам или проверить, ответили ли мы уже на него для вас.

    Решение неравенств алгебраически и графически

    2.5 — Решение неравенств алгебраически и графически

    Линейные неравенства

    При решении линейного неравенства относитесь к нему так же, как к решению уравнения с несколькими исключения.

    1. При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательную константу измените смысл (направление) неравенства.
    2. Когда обе части неравенства имеют один и тот же знак, измените смысл неравенства, когда вы берете обратное с обеих сторон.
    3. Вы можете соединить подобные неравенства вместе:
      • Если a
      • Если a
    4. Нельзя комбинировать смешанные неравенства.
      • Если ac, то нельзя с уверенностью сказать, что a
      • Если ad, то нельзя сказать наверняка, что a+cb+d
    5. Если вы переписываете всю проблему, просто меняя стороны, убедитесь, что вы изменить смысл неравенство так, чтобы оно по-прежнему указывало на одну и ту же величину.
    6. Следующие операции , а не изменяют смысл неравенство
      • Добавление константы к обеим частям неравенства
      • Вычитание константы с обеих сторон неравенства
      • Умножение или деление обеих частей неравенство на положительную константу

    Двойные неравенства

    Иногда два неравенства объединяются в одно.Однако нужно быть осторожным:

    Если x>3 и x<6, то можно написать 36, вы можете написать , а не , 3>x>6, потому что это означало бы, что 3>6, и это было бы ложным утверждением, и множество было бы пустым.

    Чтобы решить двойное неравенство, достаточно применить операции ко всем трем частям: Если 3

    Неравенства абсолютного значения

    Они доставят тебе неприятности.Они не должны, но они будут. Люди просто не получают абсолютные значения.

    Я мог бы сказать вам, что основная причина, по которой люди не понимают этого, заключается в том, что они не понимают ограничений. Это было бы правдой, но просто рассказ тебе это не поможет. То книга даст короткий путь, и люди будут спрашивать, «почему там так много правила?». Их нет! Существует одно определение абсолютной ценности, и если вы знайте это и применяйте ограничения, как вы должны, тогда проблемы тренироваться каждый раз без необходимости дополнительных правил.Дополнительные правила из книги используется для ускорения решения задач, например, когда мы опускаем абсолютное значение при взятии квадрата корень с обеих сторон и вместо этого просто вставьте плюс/минус. Это звучит как дополнительное правило, но это просто применение абсолютной ценности, которую мы пытаемся обойти, потому что нам не нравится ими (и мы удивляемся, почему у нас с ними трудности).

    Абсолютные значения — правильный путь

    Независимо от того, было ли исходное неравенство > или <, не влияет на то, как решается задача, когда вы делать это правильно.Я мог бы показать пример обоих, но техника похожа.

    Рассмотрим абсолютное неравенство | (х — 3) / 4 | ≤ 5

    Начните с разделения абсолютного значение на два его случая. Помните, что абсолютное значение можно найти, отбрасывая знаки абсолютного значения, когда аргумент неотрицательный (случай 1) и взяв противоположное тому, что было в абсолютных значениях, когда аргумент отрицателен (случай 2).

    1. (х-3)/4 ≤ 5 если (x-3)/4 ≥ 0
    2. — (x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 < 0

    Чемодан 1

    (x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 ≥ 0

    Сначала функциональная часть

    (x-3) / 4 ≤ 5

    х-3 ≤ 20

    х ≤ 23

    Теперь ограничение

    (х-3)/4 ≥ 0

    х-3 ≥ 0

    х ≥ 3

    Обязательно обратите особое внимание на ограничения относительно того, что в абсолютном значение неотрицательное и отрицательное. Неравенства, возникающие одновременно time как функция, так и ее ограничение должны быть удовлетворены. Поэтому две части от решения первой кейс возможно комбинированный так что x находится между 3 и 23 включительно. Это должно удовлетворяют как x≥3, так и x≤23.

    3 ≤ х ≤ 23

    Чемодан 2

    — (x-3)/4 ≤ 5, если (x-3)/4 < 0

    Сначала функция. Мы начнем с умножения на -1, чтобы избавиться от отрицательного знак, но тогда придется менять смысл (направление) неравенства.

    — (х-3) / 4 ≤ 5

    (х-3) / 4 ≥ -5

    х-3 ≥ -20

    х ≥ -17

    Теперь ограничение.

    (х-3)/4 < 0

    х-3 < 0

    х < 3

    Аналогично, во втором случае обе части должны быть удовлетворены в в то же время. Также обратите внимание, что когда я умножил обе части неравенства на -4 я поменял смысл неравенства так, чтобы оно было уже не ≤, а теперь ≥. Вы могли бы упростить это другими способами, но я обычно нахожу это проще чтобы сразу избавиться от негатива.

    -17 ≤ х < 3

    Собираем обратно

    Оба неравенства в конкретном случае должны выполняться одновременно время. Однако неравенство, которое возникает между двумя сторонами, может быть объединено с «или». Точно так же, как если бы (x-2)(x+4)=0, вы сказали бы, что ответ x=2 или x=-4, вы бы не настаивали на том, чтобы это было и 2, и -4 в одно и то же время. Одинаковый принцип держится с двумя частями абсолютного значения. Я же говорил, что все сходится. Я знаю, ты устанешь слушать, как я это говорю, но это намного проще. к понять, если вы видите общую картину.

    Итак, сложите вместе два ответа из случая 1 и случая 2

    -17 ≤ x < 3 или 3 ≤ x ≤ 23

    Эти два интервала можно объединить вместе, чтобы получить окончательный ответ.

    -17 ≤ х ≤ 23

    В интервальной нотации это будет [-17, 23]

    Абсолютные значения кратчайшим путем

    Менее
    Если абсолютное значение меньше правой части, то ответ будет между противоположной правой стороной и правой стороной.
    Неравенство абсолютного значения |x-2|<3 можно записать как -3
    Больше, чем
    Если абсолютное значение больше правой части, то ответ будет в две части, с или разделяя их. Она будет больше правой части или меньше чем напротив правой стороны.
    Абсолютное неравенство |x-2|>3 можно записать как x-2<-3 или x-2>3. Решение этого приводит к x<-1 или x>5.
    Обратите внимание, что это нельзя объединить в -1>x>5, поскольку это подразумевает, что 1>5 что просто ложно и будет пустым множеством.

    Абсолютные значения геометрическим способом

    У меня нет проблем с использованием геометрического подхода к решению абсолютных неравенств. Нет геометрический подход, когда вы вводите его в калькулятор, но геометрический подход, когда вы используете геометрическое определение абсолютной величины. Геометрическое определение абсолютной величины: расстояние от 0 на числовой прямой. Если его немного изменить, то |x-a| это расстояние от x=a на числовой прямой.

    Однако этот метод требует знания некоторых свойств абсолютных значений. Эти в любом случае полезно знать (разве это не все?), так что было бы хорошо, если бы вы их выучили.

    Рассмотрим то же неравенство, которое мы решали ранее: | (х — 3) / 4 | ≤ 5

    Умножьте обе части на 4, чтобы получить |x-3| ≤ 20.

    Это говорит о том, что расстояние от 3 на числовой прямой меньше или равно 20. Итак, начните с 3 и пройдите 20 влево (-17) и 20 вправо (23). Ты нужно в расстояние быть меньше (или равно) 20 единицам. Этот будет включать значения от -17 до 23. Поскольку равенство включено, вы включить конечные точки, чтобы получить ответ (интервальное обозначение) [-17,23].

    Вау! Это было легко, скажете вы. Ага.

    Задача немного сложнее: | (3-5x) / 2| ≥ 3

    Умножьте обе стороны на 2, чтобы получить | 3-5x | ≥ 6.

    Вот где в игру вступают свойства абсолютных значений. Абсолютное значение напротив числа совпадает с абсолютным значением числа. Это означает, что мы можем сказать | 3-5x | = | 5х-3 | и |5x-3| ≥ 6.

    Теперь разделите обе части на 5, чтобы получить | х- 3/5 | ≥ 6/5.

    Это говорит о том, что расстояние от 3/5 не менее 6/5. Итак, начните с 3/5 и продолжайте 6/5 влево (-3/5) и 6/5 вправо (9/5). Поскольку вам нужно расстояние быть более чем в 6/5 единицах от 3/5, вы нужны значения слева от -3/5 и справа от 9/5.Следовательно, ответ х≤-3/5 или х≥9/5. В интервальной нотации вам придется использовать объединение двух интервалов (-∞,-3/5] U [9/5, +∞).

    Полиномиальные неравенства

    Полиномы непрерывны. Это означает, что вы можете рисовать их, не поднимая карандаш. (в математическом анализе есть более строгое определение, но теперь оно нам подойдет). Если вы собираетесь измениться с меньше нуля на больше нуля и вы не можете подобрать ваш карандаш, то в какой-то момент вы должны пересечь ось X. Это означает, что единственное место неравенство может измениться — это точка пересечения с х, ноль, корень, решение.

    Таким образом, ключом к нахождению множества решений полиномиального неравенства является нахождение нулей неравенство (представьте, что это уравнение), помещая их на числовую прямую и выбирая контрольную точку в каждом регионе.

    1. Запишите полиномиальное неравенство в стандартной форме так, чтобы правая часть была равна нулю.
    2. Найдите действительные решения (не обращайте внимания на комплексные решения, включающие i ) неравенства любым способом, который вы хотите.Предпочтителен факторинг, но можно использовать и квадратичную формулу, если вы можете свести это к квадратичному множителю. Эти значения называются «критическими». номера» (не путать с похожими, но немного отличными от исчисления «критическими значениями»).
    3. Поместите нули многочлена (критические числа) на числовую прямую. Обязательно вставьте их порядок от меньшего к большему. Не важно помечать любое другое значение на числовой прямой. Некоторых людей учили, что на числовой прямой всегда ставится ноль.Это не обязательно здесь.
    4. Выберите контрольную точку в каждом интервале. У вас будет на один интервал больше, чем количество тестов точки. Вставьте эту контрольную точку обратно либо в факторизованное неравенство, либо в исходное неравенство. Если контрольная точка дает вам истинное утверждение, то любая точка в этом интервале будет работать, и вы хотите включить этот интервал в ответ. Если контрольная точка дает ложное утверждение, то все точки в этом интервале не будут работать, и вы не хотите включать этот интервал.
    5. Включать конечные точки, если неравенство включает равенство, и не включать конечные точки, если неравенство не включает равное.

    Рациональные неравенства

    Рациональные неравенства похожи на многочлены, но есть лишний соблазн и лишняя место, где могут возникнуть критические числа.

    Искушение: Не поддавайтесь искушению, ибо поддаваться — грех.

    Я знаю, что ты не любишь дроби. Вы пытаетесь избавиться от них при каждом удобном случае.Но, дроби — ваши друзья, и я очень надеюсь, что вы не относитесь так ко всем своим друзьям.

    Вот в чем проблема. Если вы умножаете на константу, довольно очевидно, положительна она или нет. отрицательное, чтобы вы знали, следует ли изменить неравенство. Однако при рациональном выражений, в знаменателе будет переменная. Переменные могут принимать различные значения — вот почему они называются переменными (и вы думали, что математика не имеет смысла). Иногда выражение положительно, но для других значений x выражение отрицательно.Итак, если умножить по наименьшему общему знаменателю, вы не знаете, умножаете ли вы на положительный число или отрицательное число , если вы не следите за ограничениями! Итак, у вас есть выбор — Фракции, которые вы ненавидите, или ограничения, которые вы ненавидите? В этом случае дроби являются меньшими из два зла (в вашем уме — на самом деле ни одно из них не является злом)

    Непрерывность

    Полиномиальные функции везде непрерывны. Однако рациональные функции таковыми не являются.Они есть непрерывен везде, за исключением случаев, когда он не определен, и это происходит, когда знаменатель равен нулю.

    Если вы идете вперед и не можете взять карандаш, и вы переходите от отрицательного к положительный, то это должно произойти в нуле функции, как и в случае полинома. Но, если функция не определена, то вам нужно взять карандаш. Пока карандаш поднят, есть ничего, что говорило бы о том, что вы не можете переехать в совершенно другое место, возможно, на другую сторону ось X, когда вы положите его обратно.

    Теперь у нас есть два места, где могут появиться критические числа. Один находится в нуле функции, в другом функция не определена.

    1. Запишите рациональное неравенство в стандартной форме так, чтобы право сторона равна нулю.
    2. Получите общий знаменатель, перемножив верхний и нижний члены. Помню тебя не можете умножить и избавиться от дробей, потому что вы не знаете если что ты умножение на отрицательное или положительное (если вы не хотите возиться с ограничениями — а вы не в этом случае)
    3. Найдите критические числа. Проще говоря, критическое число — это все, что делает числитель или знаменатель равным нулю.
      • Найдите места, где функция не определен из-за деления на ноль. Это будут критические точки, которые не могут быть включены в окончательный ответ, даже если равен включено, потому что это вызовет деление на ноль.
      • Найти реальные решения (не обращайте внимания на сложные решения, включающие i ) к функции в любом случае что вы хотите.Чтобы найти нули, все, о чем вам нужно беспокоиться, это числитель.
    4. Поместите критические числа в числовую строку.
    5. Выберите контрольную точку в каждом интервале и определите, работает этот интервал или нет.
    6. Включать конечные точки, если неравенство включает равенство, и не включать конечные точки, если неравенство не включает равное. Убедитесь, что вы не включаете конечную точку, которая вызовет деление на ноль, если включено.

    На самом деле, преобразовав все это в уравнение и решив найти критический номера не так уж и плохи для маршрута. Книга и большинство учителей математики предположим, что вы собираетесь держать неравенство в задаче до конца. Если вы готовы вставьте значения обратно в исходную задачу, вы можете перейти к равному подписать, избавиться от дробей и найти критические числа. Вам все равно придется следить за ограничениями, но теперь ограничения относятся к образуют x ≠ 2 вместо x < 2, и с ним гораздо проще иметь дело.

    Тем не менее, изучите это таким образом, потому что, когда мы дойдем до главы 3, будет фундаментальная концепция, которая значительно ускорит поиск решений этих проблем, и требует (вроде) что вы смотрите на положительные и отрицательные стороны.

    Графические утилиты

    Другой способ решения неравенства состоит в том, чтобы изобразить левую часть неравенства в виде графика y 1 и правая сторона как y 2 , а затем найдите точку пересечения. Точка пересечения будет вашей критическое число.Глядя на график, вы можете определить, когда выполняется неравенство, и записать тот интервал. Помните, что когда вы задаете интервалы, необходима только координата x. В исходной задаче нет y, это было добавлено для графического отображения. удобный.

    Аналитическое решение полиномиальных неравенств

    Аналитическое решение полиномиальных неравенств

    В этом разделе предполагается, что вы знаете, как найти корни многочлена. Также помогает, если вы посетили раздел разминки.

    Предположим, вы хотите решить неравенство

    x 2 -4 x +3<0.

    Шаг 1 . Решите уравнение f ( х )= х 2 -4 х +3=0.

    В этом случае мы можем «факторировать, угадывая»:

    x 2 -4 x +3=( x -1)( x -3),


    поэтому корни уравнения f ( x )=0 равны x =1 и x =3. Нарисуйте изображение оси x и отметьте эти точки.

    Шаг 2. Наши решения разбивают ось x на три интервала. Выберите точку (на ваш выбор!) в каждом интервале. Возьмем х = 0, х = 2 и х = 4. Вычислить f ( x ) для этих точек:

    Эти три точки представляют то, что происходит в интервалах, в которых они содержатся:

    Поскольку f (0)>0, f ( x ) будет положительным для все x в интервале .Точно так же, поскольку f (2)<0, f ( x ) будет отрицательным для , все x в интервале (1,3). Поскольку f (4)>0, f ( x ) будет положительным для все x в интервале . Вы можете указать это на оси x , вставив знаки плюс или минус на оси x . Вместо этого я использую цветовое кодирование: синий для положительного, красный для отрицательного:

    Шаг 3. Мы хотим решить неравенство

    х 2 -4 х +3<0,


    поэтому мы ищем все x такие, что f ( x )<0. Следовательно, интервал (1,3) содержит все решения неравенства.

    Почему это работает? Посмотрим на график f ( x ):

    Обратите внимание на ключевую роль, которую играют «желтые точки», x — пересечения f ( x ).

    f ( x ) может изменить свой знак, только пройдя через точку пересечения x , т.е. решение f ( x )=0 всегда будет разделять части графа f ( x ) выше оси x из частей ниже оси x . Таким образом, достаточно выбрать представителя в каждом из трех интервалов, разделенных «желтыми точками», чтобы проверить, является ли f ( x ) положительным или отрицательным в интервале .

    Это замечательное свойство многочленов называется Свойством промежуточного значения многочленов; ваш учитель может также называть это свойство непрерывностью .


    Вот еще один пример: Найдите решения неравенства


    Для работы нашего метода необходимо, чтобы правая часть неравенства равнялась нулю! Итак, давайте изменим наше неравенство на

    Шаг 1 . Решите уравнение f ( х )= х 2 -3 х +2=0.

    Опять же, мы можем «факторировать, угадывая»:

    x 2 -3 x +2=( x -1)( x -2),


    поэтому корни уравнения f ( x )=0 равны x =1 и x =2. Нарисуйте изображение оси x и отметьте эти точки.

    Шаг 2. Наши решения разбивают ось x на три интервала. Выберите точку (на ваш выбор!) в каждом интервале.Возьмем х = 0, х = 1,5 и х = 3. Вычислить f ( x ) для этих точек:

    Эти три точки представляют то, что происходит в интервалах, в которых они содержатся:

    Поскольку f (0)>0, f ( x ) будет положительным для все x в интервале . Аналогично, поскольку f (1.5)<0, f ( x ) будет отрицательным для , все x в интервале (1,2).Поскольку f (3)>0, f ( x ) будет положительным для все x в интервале . Вы можете указать это на оси x , вставив знаки плюс или минус на оси x . Вместо этого я использую цветовое кодирование: синий для положительного, красный для отрицательного:

    Шаг 3. Мы хотим решить неравенство


    поэтому мы ищем все x такие, что . Следовательно, набор содержит все решения неравенства. (Поскольку наше неравенство только оговаривает, что , x =1 и x =2 являются решениями, поэтому мы их включаем. «» и «» являются только символами; они никогда не будут включены в качестве решений.)

    Наш следующий пример: Решите x 3 >2 x . Разделите , а не на х с обеих сторон! Если вы сделаете это, вы никогда не сможете прийти к правильному ответу. Вместо этого повторите шаблон; приравняем одну часть неравенства к нулю:

    x 3 -2 x >0.

    Шаг 1 . Решите уравнение f ( х )= х 3 -2 х =0.

    Мы можем довольно легко факторизовать:


    поэтому корни уравнения f ( x )=0 равны , х = 0 и . Нарисуйте изображение оси x и отметьте эти точки.

    Шаг 2. Наши решения разбивают ось x на четыре интервала.Выберите точку (на ваш выбор!) в каждом интервале. Возьмем х = -2, х = -1, х = 1 и х = 2. Вычислить f ( x ) для этих точек:

    Эти четыре точки представляют то, что происходит в интервалах, в которых они содержатся:

    Поскольку f (-2)<0, f ( x ) будет отрицательным для , все x в интервале . Аналогично, поскольку f (-1)>0, f ( x ) будет положительным для , все x в интервале .Поскольку f (1)<0, f ( x ) будет отрицательным для , все x в интервале . Поскольку f (2)>0, f ( x ) будет положительным для все x в интервале . Вы можете указать это на оси x , вставив знаки плюс или минус на оси x . Вместо этого я использую цветовое кодирование: синий для положительного, красный для отрицательного:

    Шаг 3. Мы хотим решить неравенство

    х 3 -2 х > 0,


    поэтому мы ищем все x такие, что f ( x ) > 0. Следовательно, набор содержит все решения неравенства. (Поскольку наше неравенство утверждает, что f ( x )>0, не квалифицируются как решения, поэтому мы их исключаем. «» и «» являются только символами; они никогда не будут включены в качестве решений.)

    Вот мой последний пример: решить

    Шаг 1 .Решите уравнение f ( х )= х 3 +3 х 2 + х +3.

    Мы можем факторизовать либо путем нахождения рационального нуля, либо умной группировкой:

    x 3 +3 x 2 + 2 + + 3 = ( x 3 +3 5 x 2 ) + ( x +3) = x 2 ( x +3)+1 ( x +3)=( x 2 +1)( x +3),


    поэтому есть только один действительный корень уравнения f ( x )=0, а именно x = -3. Нарисуйте изображение оси x и отметьте эту точку.

    Многочлен х 2 +1 неприводим, действительных корней у него нет. Его сложные корни не имеют значения для наших целей.

    Шаг 2. Наше решение разбивает ось x на два интервала. Выберите точку (на ваш выбор!) в каждом интервале. Возьмем х = -4 и х = 0. Вычислить f ( x ) для этих точек:

    Эти две точки представляют то, что происходит в интервалах, в которых они содержатся:

    Поскольку f (-4)<0, f ( x ) будет отрицательным для , все x в интервале .Аналогично, поскольку f (0)>0, f ( x ) будет положительным для , все x в интервале . Вы можете указать это на оси x , вставив знаки плюс или минус на оси x . Вместо этого я использую цветовое кодирование: синий для положительного, красный для отрицательного:

    Шаг 3. Мы хотим решить неравенство


    поэтому мы ищем все x такие, что .Следовательно, набор есть множество решений неравенства. (Поскольку наше неравенство предполагает, что , x = -3 тоже решение, поэтому включаем его. «» и «» являются только символами; они никогда не будут включены в качестве решений.)

    Пора попробовать самому:

    Упражнение 1.
    Найдите решения неравенства

    Отвечать.
    Упражнение 2.
    Найдите решения неравенства

    x 3 < x .


    Отвечать.
    Упражнение 3.
    Найдите решения неравенства

    x 3 + x 2 -6 x >0.


    Отвечать.
    Упражнение 4.
    Найдите решения неравенства

    Отвечать.
    Упражнение 5.
    Найдите решения неравенства

    Отвечать.
    [Назад] [Следующий] [Алгебра] [Тригонометрия] [Комплексные переменные] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] С.Домашняя страница OS MATHematics

    Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

    Гельмут Кнауст
    Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.
    Свяжитесь с нами
    Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
    пользователь онлайн за последний час .
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск