Как решать показательные неравенства: Решение показательных неравенств

Содержание

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

 V , где  V — один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция  возрастает при всех действительных значениях , если .  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

следует неравенство 

Аналогично, так как показательная функция убывает, если ,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

следует неравенство 

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней

.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

Так как основание степеней , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

Корни числителя:

,   

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  ,  ,  

2. Решим неравенство:

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: , 

Получим систему неравенств:

Отсюда:

То есть 

Запишем двойное неравенство в виде системы:

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

Отсюда: ,  

Ответ: 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Примеры решения показательных неравенств | Логарифмы

Примеры решения показательных неравенств продолжим рассмотрением неравенств, решаемых вынесением общего множителя за скобки.

Решение показательных неравенств этого вида тесно связано с решением соответствующих уравнений. Как и в уравнениях, в качестве общего множителя за скобки желательно выносить степень с наименьшим показателем, если основание a>1, либо наибольшим, если a<1.

   

2>1, показатель x-1 — меньший, поэтому выносим за скобки 2 в степени x-1. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель:

   

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели — вычитаем:

   

   

   

   

Обе части неравенства разделим на 5. При делении на положительное число знак неравенства не изменится:

   

   

В обеих частях неравенства получили степени с одинаковым основанием. Так как 2>1, показательная функция

   

возрастает, поэтому знак неравенства между показателями не меняется:

   

   

Решение неравенства отметим на числовой прямой:

Ответ:

   

   

В данном случае удобнее вынести за скобки степень с большим показателем (так как 0,5<1) 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Поскольку основание 0,5<1, показательная функция

   

убывает, знак между показателями изменяется на противоположный:

   

   

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ:

   

   

Сначала приведем степени к общему основанию:

   

   

Вынесем за скобки степень с меньшим показателем

   

   

   

   

   

Основание 10>1, функция

   

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

   

Переносим все слагаемые в левую часть

   

и решаем неравенство методом интервалов. {x} = v$$ или $$x = — \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$ Данные корни $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ являются точками смены знака неравенства в решениях.

Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: $$x_{0} < x_{2}$$ Возьмём например точку $$x_{0} = x_{2} — 1$$ =


             /      ____\    
-log(2) + log\5 - \/ 21 /    
------------------------- - 1
            1                
         log (5)             

= $$-1 + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$ подставляем в выражение $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 5$$


              /      ____\                       /      ____\        
 -log(2) + log\5 - \/ 21 /          -log(2) + log\5 - \/ 21 /        
 ------------------------- - 1    - ------------------------- + 1    
             1                                  1                    
          log (5)                            log (5)                 
5                              + 5                                > 5


                   /      ____\                     /      ____\    
      -log(2) + log\5 - \/ 21 /        -log(2) + log\5 - \/ 21 /    
 -1 + -------------------------    1 - ------------------------- > 5
                log(5)                           log(5)             
5                               + 5                                 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$


 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т. д.
Ответ: $$x < \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} — \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x > \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$

Также вы будете иметь графическое решение показательного неравенства:

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Теория 11 класс онлайн-подготовка на

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

Теория

Конспект урока

На предыдущем уроке мы уже обсуждали важный факт, касающийся показательной функции, а именно то, что она монотонна на всей области определения. То есть, при основании  показательная функция монотонно возрастает (с увеличением переменной увеличиваются и значения функции), а при основании  монотонно убывает (с увеличением переменной значения функции уменьшаются).

Этот факт нам наглядно подтвердили и графики показательной функции для обоих вариантов значения основания.

Это свойство очень помогло нам при решении показательных уравнений, так как из него следовало следующее утверждение: .

 

Вывод метода решения показательных неравенств

 

 

Оказывается, пользуясь этим свойством можно вывести и правило для решения показательных неравенств.

 

Рассмотрим два случая.

1)                      . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (мы говорили, что значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

2)                      . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (мы говорили, что значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

 

Общая схема решения показательных неравенств

 

 

Таким образом, можно сформулировать общую схему решения показательных неравенств:

 

1)                      Свести к простейшему показательному неравенству: .

2)                      Решить полученное неравенство по следующему правилу:

То есть, если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства на противоположный.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример № 1.

 (знак неравенства не меняется, так как основание 2>1).

Пример № 2.

  (знак неравенства меняется на противоположный, так как основание 0<0,5<1).

 

Стоит отметить, что основные виды показательных неравенств совпадают с основными видами показательных уравнений. Однако решение неравенств, традиционно, несколько сложнее, так как требует, в частности, отслеживания значения основания.

 

Основные виды показательных неравенств

 

 

Основные виды показательных неравенств:

 

1)   Простейшие ().

2)   Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени ().

3)   С вынесением общей степени ().

4)   Сводящиеся к квадратным ().

5)    Однородные ().

 

Системы показательных уравнений

 

 

Системы показательных уравнений можно разделить на несколько типов. 

 

1)      Самые простые – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая решается любым из удобных методов.

Пример такой системы: .

2)      Ещё один важный тип систем показательных уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены.

Пример такой системы: .

3)      Также существуют системы показательных уравнений, которые решаются различными методами. К ним относятся, к примеру, такие системы: .

Более подробно о решении систем показательных уравнений мы поговорим в практической части урока.

 

Системы показательных неравенств

 

 

Системы показательных неравенств преимущественно решаются стандартным методом.  

 

Каждое из неравенств решается по отдельности (методы решения показательных неравенств мы подробнее обсудим в практической части урока), а затем находится пересечение полученных множеств решений каждого из неравенств.

Пример системы показательных неравенств: .

На этом уроке мы с вами изучили метод решения простейших показательных неравенств, рассмотрели основные виды показательных неравенств, систем показательных уравнений и неравенств.

В практической части урока мы подробно разберём основные методы решения показательных неравенств, а также систем показательных уравнений и неравенств.

 

Вставка 1. Решение системы неравенств

 

Давайте вспомним – как же решать системы неравенств. Речь пойдёт не о специфических системах (показательных, иррациональных или каких-то других), а о последнем шаге решения таких примеров.

Напомним, что подавляющее большинство таких систем разбиваются на решение нескольких отдельных неравенств. В результате получается несколько различных множеств решений каждого из неравенств. Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение полученных множеств.

Об этой части решения мы и поговорим.

Если у вас есть определённая практика и «набита рука» на решение подобных задач, то найти пересечение числовых множеств можно и «в уме». Однако, если уверенности в правильности выводов нет или множества получаются слишком громоздкими, то лучше воспользоваться проверенным средством – изображением этих множеств на числовой прямой.

 

Давайте вспомним, как это делается, на простых примерах.

 

Пример № 1. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой. Для этого вспомним основные правила:

1)      Если неравенство строгое (<,>), то соответствующая точка на числовой прямой «выкалывается», а если нестрогое (), то нет.

2)      Если знак неравенства «меньше» или «меньше или равно» (<,), то штрихуется промежуток слева от точки, а если «больше» или «больше или равно» (>,), то – справа.

3)      Решение каждого из неравенств штрихуется по-разному, чтобы впоследствии можно было найти пересечение и выписать окончательный ответ.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

Ответ:.

 

Пример № 2. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

Ответ:.

 

Пример № 3. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

 

Ответ: решений нет.

 

Пример № 4. Найти решение системы: .

Решение: изобразим каждое из множеств на числовой прямой.

Для данной системы пересечение множеств будет следующим:

Ответ:.

 

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: «Показательная функция, ее свойства и простейшие показательные неравенства» 

2) Алгебра 11 класс: «Показательные неравенства» 

3) Алгебра 11 класс: «Показательные неравенства. Более сложные случаи» 

4) Алгебра 11 класс: «Показательно-степенные неравенства» 

 

Как решать показательные неравенства дробные. Решение показательных уравнений и неравенств

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a x = a c .

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

Представим 25 как 5 2 , получим:

5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

Или что равносильно:

x 2 — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х

Ответ: х

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.

Решение.

Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х — 2 ∙ 25 = 25,

откуда 3 х — 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Решить уравнение 3 х = 7 х.

Решение.

Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.

Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х

Рассмотрим некоторые задачи.

Решить неравенство 3 х

Решение.

Запишем неравенство в виде 3 х 1, то функция у = 3 х является возрастающей.

Следовательно, при х

Таким образом, при х 3 х

Ответ. х

Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t 1.

Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х 1 и х

Ответ. х = 1.

Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х 1.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции .

 

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

Задание 2.

Решить неравенство:

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Заметим, что  .

В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3.

Решить неравенство:

Решение:

Вынесем за скобку

Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или 

Ответ:

Задание 5.

Решить неравенство

Решение:

Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

Итак,

Ответ:

Задание 6.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

Мы имеем квадратное неравенство относительно

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

То есть

Ответ:

Задание 7.

Решить неравенство

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство:  

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ:

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1.

Ответ: + показать

2.

Ответ: + показать

3.

Ответ: + показать

4.

Ответ: + показать

{-2}

5.

Ответ: + показать

6.

Ответ: + показать

7.

Ответ: + показать

(-1;1]

8.

Ответ: + показать

.

 

 

Показательные неравенства

Учитель математики МБОУ «Гимназия №1 им. Р.Фахреддина» г.Альметьевск РТ Закирова М.А.

11б класс. Тема: Показательные неравенства

Тип урока: Урок формирования новых знаний

Цели урока:

— познакомить обучающихся с показательными неравенствами, формирование знаний об основных методах решения показательных неравенств.

– развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать, развитие логики, памяти.

– воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательности.

Оборудование: проектор, презентация «Показательные неравенства», карточки

Этапы урока и их содержание

1. Организационный этап. На уроке будут рассмотрены показательные неравенства, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.

2. Проверка домашнего задания. №12.18; 12.23; 12.25

3. Актуализация знаний. А)Теоретический опрос: слайд 1

1) функцию какого вида называют показательной;

2) какова область определения показательной функции;

3) каково множество значений показательной функции;

4) что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;

5) уравнение какого вида называется показательным;

Б) Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: слайд 2


 


 

 

 

В) Какие из заданных функций являются возрастающими, какие убывающими?


 

г).Решите уравнения: слайд 4


 

 

 

 

 

Ответ: а) 3; б) 2; в)2; г)6.

4.Изучение новой темы

Определение: Показательными неравенствами называются неравенства вида , где а>0 и а≠1. Слайд 5

Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству

Простейшие показательные неравенства имеют вид (слайды 9,10,11)

решений не имеет, а неравенство выполняется при всех значениях аргумента, поскольку

Способы решения показательных уравнений и неравенств: слайд 8

Уравнивание оснований

Введение новой переменной (замена переменной)

Вынесение общего множителя за скобку

Деление на показательную функцию

Графический способ

Рассмотрим 1 способ – способ уравнивания оснований

1. слайд 12

2) Рассмотрим решение ещё нескольких показательных неравенств:( слайды 14,15)

а)

 


 


 


 

 

б)

 

 

 

 

 


 

 

 

в)


 


 


 


 


 


 


 

3. ) А теперь рассмотрим решение двойных неравенств: слайд 16


 


 


 


 

 

Ответ: (- 4; -1).

 

Рассмотрим 2 способ метод замены переменной.

А теперь рассмотрим решение показательных неравенств методом введения новой переменной или замены переменной: слайды 17,18

Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.

 

Примеры некоторых заданий профильного уровня ЕГЭ- 2015 из сайта «Алексарин Ларин», которые решаются методом замены переменной. (разобрать образцы 17 задания ЕГЭ-2015 профильного уровня)

Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.


 

Ответ:

4.Закрепление изученной темы:

Решить устно №13. 1; №13.2

Решить письменно №13.3; №13.5; 13.8

5.Самостоятельная работа по карточкам (слайд 22)

6. Домашнее задание. Прочитать п 13; решить № 13.4; 13.6; 13.8

7.Итоги урока.

4)>x \ подразумевает 4\log_23>xlog2​(34)>x⟹4log2​3>x, а поскольку 4log⁡23≈6,344\log_23 \приблизительно 6,344log2​3≈6,34, максимально возможное целочисленное значение xxx равно 6. □_\квадрат□​

Напомним, что отрицательные основания хорошо работают только с целыми показателями степени; в противном случае результат обычно сложный. Таким образом, любое значение, которое делает основание отрицательным, также должно сделать показатель степени целым числом, чтобы выражение оставалось четко определенным.

Решите неравенство (x2+x−2)x2−x−2>0.2-x-4=0 \ подразумевает x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}x2−x−4=0⟹x=21±17​​. Только 1−172∈[−2,1]\frac{1-\sqrt{17}}{2} \in [-2, 1] 21−17​​∈[−2,1], так что это единственное решение в этом подслучае.

При объединении случаев получается набор решений

.

х<−2, х=1−172, х=−1, х=0, х>1. □x<-2,\ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\ x=-1,\ x=0,\ x>1.\ _\squarex<−2, x= 21−17, х=−1, х=0, х>1. □​

Экспоненты и неравенства — GMAT Math Study Guide

Определения

  • Неравенство — сравнение двух значений или выражений.
    Например, 20x < 40 — это неравенство, а x = 2 — уравнение.
  • Уравнение — оператор, объявляющий равенство двух выражений.
    Например, 4x = 40 — это уравнение, тогда как 4x > 40 — это неравенство.
  • Экспонента — количество раз, когда величина умножается сама на себя.
    Например, в выражении 5 8 число 8 является показателем степени.

Работа с неравенствами: показатели степени

При работе с неравенствами, включающими показатели степени, эти неравенства ведут себя почти так же, как традиционные уравнения.Неравенства с четным показателем обычно имеют два решения, а неравенства с нечетным показателем имеют одно решение.

Нечетные показатели

Неравенство с нечетным показателем ведет себя точно так же, как неравенство без показателя или традиционное уравнение с нечетным показателем. Одно предостережение, которое также относится к неравенствам без показателей степени, заключается в том, что вы должны знать знак переменной, прежде чем сможете делить или умножать на нее (см. Умножение и деление с неравенствами).

x 3 < 27
(x 3 ) 1/3 < 27 1/3
x < 3 [знак неравенства менять не нужно, так как не используются отрицательные числа]
В качестве проверки , если x = 4 (вне множества решений), x 3 = 64, что не соответствует неравенству (т. е. 64 не меньше 27). Однако если x = 2 (внутри набора решений), x 3 = 8, что соответствует неравенству (т. е. 8 меньше 27).

 

2x 3 + 14> 30 + 14> 30
2x 3 + 14 — 14> 30 — 14
2x 3 > 16
x 3 > 8
(x 3 ) 1/3 > 8 1/3
x > 2
В качестве проверки, если x = 0 (вне множества решений), 2x 3 + 14 = 14, что не соответствует неравенству (т. е., 14 не больше или равно 30). Однако, если x = 2 (внутри набора решений), 2x 3 + 14 = 30, что соответствует неравенству (т. е. 30 больше или равно 30).

Четные показатели

Как сказано выше, неравенство с четным показателем обычно имеет два решения. Причина этого в том, что x может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, при вычислении четного показателя в неравенстве мы имеем дело с двумя случаями: x положительно, x отрицательно.

2x 2 > 32
x 2 > 16

Случай 1: x положительный
x > 4

Случай 2: x отрицательный
x < -4
Примечание. Знак неравенства изменился, потому что мы взяли корень из отрицательного числа.

Решение может быть представлено графически.

Для проверки, если x = -5 (в пределах набора решений), 2x 2 = 50, что соответствует неравенству. Однако, если x = -2 (вне набора решений), 2x 2 = 8, что не соответствует неравенству.

 

3x 2 < 27
x 2 < 9
Случай 1: x положительный
x < 3
Случай 2: x отрицательное
x > -3

Множественные неравенства

Множественные неравенства с показателями решаются так же, как решаются кратные неравенства без показателей.

Если 2x 2 + 5 2 < 9, каков диапазон возможных значений x?

1.) Решите каждое неравенство отдельно.
2x 2 + 5 < 13
2x 2 < 8
x 2 < 4
x < 2 И x > -2

x 2 0 x 3 > 0 x 0 9 9 9

2.) Объедините каждое неравенство и найдите пересечение (т. е. области, в которых выполняется каждое неравенство — эта область является решением).
x < 2
x > -2
x < 3
x > -3

Площадь перекрытия, т. е. решение множества неравенств, находится там, где x < 2 и x > -2

Многим учащимся приведенный выше набор неравенств лучше всего понять графически. Решением набора неравенств является перекрывающаяся графическая область.

Экспоненциальные уравнения и неравенства — Precalculus

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Доказательство трех степенно-показательных неравенств | Журнал неравенств и приложений

В этом разделе мы приводим доказательства теорем 1. 1, 1.2, 1.3, 1.4. Прежде всего, напомним результат работы [13]. Затем приведем соответствующие доказательства.

2.1 Предварительный результат

Для полноты и самостоятельной структуры доказательств теорем 1.1 и 1.2 нам понадобится следующий результат из [13].

Предложение 2.1 Рассмотрим s∈R+ с с≠1, m∈R+ и f,g:R+→R , определяемыми следующим образом :

f(t)= +γandg(t)={e−ln(t)/(t−1),t∉{0,1},e−1,t=1,0,t=0.

Тогда выполняются следующие свойства :

  1. (я)

    f(γ)=0 и f(0)=f(1)=−γs+γ.

  2. (ii)

    Если s>1, f строго возрастает на ]g(s),∞[ и строго убывает на ]0,g(s)[.

  3. (iii)

    Если s∈]0,1[, f строго убывает на ]g(s),∞[ и строго возрастает на ]0,g(s)[.

  4. (4)

    g непрерывна на R+∪{0} и строго возрастает на R+. Кроме того, y=1 является горизонтальной асимптотой y=g(t).

2.2 Доказательство теоремы 1.1

Не ограничивая общности, будем считать, что a>b.Действительно, мы находим доказательство (1.1), применяя предложение 2.1 с t=arb, γ=brb и s=a/b. Действительно, мы различаем три случая

(a 2 ) Случай a>b>1 (t>γ>1 и s>1). По предложению 2.1(iv) заметим, что g(s)<1. Тогда по строго возрастающему поведению f (предложение 2.1(ii)) мы выводим неравенство, поскольку:

t>γ>1>g(s),s>1⇒f(t)=ara−arb− бюстгальтер+brb>f(γ)=0.

(b 2 ) Случай a>1≥b (t>1≥γ и s>1).Для γ∈[g(s),1] мы заключаем неравенство почти такими же рассуждениями, как и ранее в (i), поскольку t>1≥γ≥g(s) и s>1. В противном случае, если γ∈[0,g(s)], мы получаем, что

f(t)=ara−arb−bra+brb>f(1)=f(0)>f(γ)=0,

, откуда следует желаемое неравенство.

(c 2 ) Случай 1>a>b>0 (1>t>γ>0 и s>1). Во-первых, мы определяем h:[0,1]→R по правилу соответствия h(t)=−rtlnt для t>0 и h(0)=0. Функция h вогнута и имеет максимум при (1/e,r/e).Таким образом, мы делаем вывод, что

−rblnb<1 для всех b∈[0,1] и r∈[0,e].

(2.1)

Вторичная, по неравенству Непье [32]

0

(2.2)

Из (2.1) и (2.2) имеем

−rblnb≤1≤1a

, откуда следует γ>g(s). Доказательство этого случая завершается применением предложения 2.1(ii).

Отсюда, в силу (a 2 ), (b 2 ) и (c 2 ) заключаем, что Теорема 1.1 действителен.

2.3 Доказательство теоремы 1.2

Доказательство этой теоремы снова развивается путем применения предложения 2. 1. Во-первых, напомним обозначения из [13]:

R+3={(a,b,c)∈R3/a>0,b>0 и c>0},E1={(a,b,c )∈R+3/a=b=c или a=b≠c или a≠b=c},Ea+={(a,b,c)∈R+3/a≥1 и a>max{b, c}},Ea−={(a,b,c)∈R+3/1>a>max{b,c}},Eb+={(a,b,c)∈R+3/b≥1 и b>max{a,c}},Eb−={(a,b,c)∈R+3/1>b>max{a,c}},Ec+={(a,b,c)∈ R+3/c≥1 и c>max{a,b}}иEc−={(a,b,c)∈R+3/1>c>max{a,b}}.

Семейство {E1,Ea+,Ea-,Eb+,Eb-,Ec+,Ec-} является разбиением множества R+3. Теперь, используя эти обозначения, мы разделим доказательство на три части:

(a 3 ) Случай (a,b,c)∈E1. Этот частный случай является прямым следствием теоремы 1.1.

(b 3 ) Случай (a,b,c)∈Ea+∪Eb+∪Ec+. Если (a,b,c)∈Ea+, мы применяем теорему 1.1 и предложение 2.1 следующим образом. Выбираем t=arb, γ=crb и s=a/b, монотонное поведение и свойства функции f , определенные в предложении 2.1, подразумевают, что

, поскольку t>γ, t>1 и s>1. Действительно, для соответствующего доказательства (2.3) необходимо различать два случая: c≥1 и c<1. Если c≥1, то γ>1 и γ∈]g(s),∞[, так что f строго возрастает и t>γ влечет (2.3). При c<1 заметим, что γ<1 и −γs+γ李0, так как s>1 и 1∈]g(s),∞[, то из предположения t>1 следует, что f(t)>f(1 )=−γs+γ≥0=f(γ) и (2.3) снова верно для этого подслучая. Более того, для (a,b,c)∈Ea+⊂R+3 по теореме 1.1 мы напомним, что неравенство

верно для всех r∈[0,e].Складывая (2.3) и (2.4), получаем (1.2).

Доказательство для (a,b,c)∈Eb+∪Ec+ аналогично случаю (a,b,c)∈Ea+, и мы опускаем детали. Однако отметим, что для (a,b,c)∈Eb+ мы выбираем t=brc, γ=c2c и s=b/c; а для (a,b,c)∈Ec+ выбираем t=cra, γ=bra и s=c/a.

(c 3 ) Случай (a,b,c)∈Ea−∪Eb−∪Ec−. Не ограничивая общности, будем считать, что (a,b,c)∈Ea− таково, что c

Ω1={(r,c)∈Ω:c∈[(r−1)r−1,1] } и Ω2={(r,c)∈Ω:c∈[0,(r−1)r−1]}.

Теперь продолжим доказательство, выделив следующие два подслучая: (r,c)∈Ω1 и (r,c)∈Ω2.

Для подслучая (r,c)∈Ω1 применим функцию f из предложения 2.1 с t=brc, γ=crc и s=a/c, чтобы доказать, что

bra+crc>brc+crafor 0

(2.5)

Действительно, прежде всего отметим, что функция m:[c,1]→R, определенная следующим образом: m(z)=zcrz−crc+1, обладает следующими свойствами:

(m a ) m(c)=0;

б ) m(1)=cr(1−crc+1−r)≥0 для всех (r,c)∈Ω1, поскольку c>(r−1)/r; и

в ) м имеет максимум при zmax=−1/rlnc, поскольку первая и вторая производные м задаются формулами m′(z)=crz(1+rzlnc) и m″(z)=crz( 2r+rzlnc)lnc и, естественно, m′(zmax)=0 и m″(zmax)<0.

Кроме того, мы замечаем, что zmax≥c эквивалентно 1>−rclnc, что верно для r∈[0,e] и c∈[0,1]; см. доказательство (2.1). Затем по (m a )-(м в ), следует, что m(z)≥0 для всех z∈[c,1]. В частности, для z=a имеем

acra>crc+1, для a∈[c,1]⊂[0,1] и r∈[0,e].

(2.6)

Теперь из (2.6) замечаем, что )a−c⇒γ>g(s),

(2.7)

, откуда следует (2.5) в силу применения предложения 2.1(ii), поскольку t>γ>g(s) и f возрастает на ]g(s),∞[.

Для подслучая (r,c)∈Ω2 применим функцию f из предложения 2.1 с t=brc, γ=crc и s=a/c, чтобы доказать, что

bra+crc>brc+crafor 0

(2.8)

Заметим, что неравенство crc>cr−1 верно для всех (r,c)∈Ω2.Теперь, чтобы вывести, что γ>g(s), достаточно доказать, что cr−1>g(s). Действительно, функция q:[c,1]→R, определяемая как q(z)=c(1−r)zzc−cc+c(1−r), обладает следующими свойствами:

(q a ) q(c)=0;

(q б ) q(1)=c1−r(1−cc+(c−1)(1−r))≥0 для всех (r,c)∈Ω2, поскольку c∈[0,(r−1)/r ]; и

(q c ) q увеличивается в [c,1].

Отсюда получаем, что q(z)≥0 для всех z∈[c,1].В частности, для z=a∈[c,1] мы выводим, что c(1−r)aac−cc+c(1−r)≥0, откуда следует следующая последовательность импликаций:

c(1− r)aac>cc+c(1−r)⇒c(1−r)acc(1−r)>ccac⇒c1−r>g(s).

Таким образом, (2.8) верно.

Из (2.5) и (2.8) получаем, что

bra+crc>brc+crafor 0

(2.9)

Следовательно, для завершения доказательства при 0arb+bra для r∈[0,e], что верно по теореме 1.1.

Для (a,b,c)∈Eb−∪Ec− мы можем последовательно следовать доказательству (a,b,c)∈Ea−. Однако мы можем получить прямое доказательство, применив результат, полученный для (a,b,c)∈Ea−, поменяв переменные местами. Например, если (a,b,c)∈Eb−, то (b,a,c)∈Ea−, откуда следует (1.2).

Следовательно, в силу (a 3 ), (b 3 ) и (c 3 ) мы имеем полное доказательство теоремы 1.2.

2.4 Доказательство теоремы 1.

3

Для данного b∈]0,1] определим функцию H:]0,1]→R следующим образом:

H(x)=2xrxbrb−brx−xrb.

Затем докажем, что H(x)>0 для всех x∈]0,1], откуда естественным образом следует неравенство 2arabrb≥arb+bra при x=a. Действительно, мы доказываем, что функция H имеет глобальный минимум в точке x=b. Тот факт, что в x=b существует локальный минимум H , следует из того, что H′(b)=0 и H″(b)>0, поскольку

H′(x)=r[xrxbrb(lnx +1)−brxlnb−bxrb−1] и H″(x)=r[xrxbrb{r(lnx+1)2+x−1}−rbrx(lnb)2−b(rb−1)xrb−2].

Между тем, то свойство, что b является глобальным минимумом H , можно доказать, переписав H’ как разность двух функций и проанализировав знак H’, используя некоторые свойства этой новой функции. Действительно, для большей конкретности отметим, что H′(x)=r[K(x)−Q(x)] для всех x∈]0,1], где функции K и Q определены следующим образом:

K(x)=xrxbrb(lnx+1) и Q(x)=brxlnb+bxrb−1.

Функции K и Q обладают следующими свойствами:

(K 1 ) K строго возрастает на ]0,1], так как K′(x)=xrxbrb{r(lnx+ 1)2+x−1}>0 для всех x∈]0,1].

(K 2 ) K(x)→−∞, когда x→0+, K(1/e)=0 и K(1)=brb.

(Q 1 ) Производная Q определяется как Q′(x)=rbrx(lnb)2+b(rb−1)xrb−2 для всех x∈]0,1]. Затем для анализа знака Q′ введем множество Λ=]0,1]×]0,e] и разбиение {Λ1,Λ2,Λ3} множества Λ, где

Λ1={(b ,r)∈Λ:Q′(x)>0 для всех x∈]0,1]},Λ2={(b,r)∈Λ:Q′(x)<0 для всех x∈]0,1 ]},Λ3={(b,r)∈Λ:∃!c∈]0,1] такие, что Q имеет минимум в точке x=c}.

Заметим, что множества Λi, i=1,2,3, не пусты, так как, например, ]0,1[×[1/b,e]⊂Λ1 для всех b∈]0,1], {1 }×]0,1[⊂Λ2 и]0,1[×{1}⊂Λ3.Кроме того, заметим, что из rb>1 следует, что (b,r)∈Λ1 и, естественно, Λ2∪Λ3 является подмножеством ]0,1]×]0,1/b[. Единственность c можно вывести, заметив, что решение Q′(x)=0 эквивалентно пересечению следующих двух монотонных функций: S(x)=rbrx(lnb)2 и J(x)= b(1−rb)xrb−2.

(Q 2 ) Q(x)→lnb, когда x→0+, и Q(1)=brlnb+b.

Из (K 1 ) и (Q 1 ) мы выводим единственность b∈]0,1] такого, что Q(b)=K(b) или, что то же самое, H′(b)=0. Теперь из (K 2 ) и (Q 2 ) мы замечаем, что Q(0+)>K(0+) для всех (r,b)∈Λ, поскольку K(0+)=−∞. Тогда H′(x)<0 для всех x∈]0,b[. Кроме того, из (K 2 ) и (Q 2 ) мы видим, что Q(1) r , так как Fr(w,r)=ln(w)((r/ 2)wrw−wrln(w))<0. Следовательно, при rF(w,e)=wew−weln(w)−w>0 для всех w∈]0,1]. Следовательно, для w=b мы получаем F(b,r)>0 или Q(1)0 для всех x∈]b,1].Таким образом, b является глобальным минимумом H . Следовательно, H(x)≥H(b)=0 для всех x∈]0,1] и, в частности, для x=a.

2.5 Доказательство теоремы 1.4

Доказательство следует из того, что функция P:]0,1]n−1→R определяется следующим правилом соответствия:

P(z1,…,zn−1) =nxnxn∏i=1nzizi−(xn∏j=1n−1zj)xn−∑i=1n−1(xn∏j=1n−1zj)xi,xn∈]0,1],

и имеет глобальную минимум при (z1,…,zn−1)=(xn,…,xn). Действительно, для простоты записи мы развиваем детали доказательства для n=3 и с (x1,x2,x3)=(a,b,c). Заметим, что в этом случае для произвольного c∈]0,1] функция P:]0,1]2→R имеет следующий вид:

P(x,y)=3xxyycc−(xyc)x− (xyc)y−(xyc)c.

Тогда имеем

Px(x,y)=3xxyycc(ln(x)+1)−(ln(xyc)+1)(xyc)x−yx(xyc)y−cx(xyc)c,Py (x,y)=3xxyycc(ln(y)+1)−xy(xyc)x−(ln(xyc)+1)(xyc)y−cy(xyc)c,Pxx(x,y)=3xxyycc[ 1x+(ln(x)+1)2]−[1x+(ln(xyc)+1)2](xyc)x−[y2−yx2](xyc)y−[c2−cx2](xyc)c,Pyy (x,y)=3xxyycc[1y+(ln(y)+1)2]−[x2−xy2](xyc)x−[1y+(ln(xyc)+1)2](xyc)y−[c2− cy2](xyc)c,Pxy(x,y)=Pyx(x,y)=3xxyycc(ln(y)+1)(ln(x)+1)−[x(ln(xyc)+1)+ 1y](xyc)x−[y(ln(xyc)+1)+1x](xyc)y−[c2xy](xyc)c.

Оценка в (c,c) подразумевает, что

Px(c,c)=Py(c,c)=0,Pxx(c,c)=Pyy(c,c)=c3c−1(−6c (ln(c))2+4),Pxy(c,c)=Pyx(c,c)=c3c−1(3c(ln(c))2−2).

Теперь, определяя P1(w)=−6w(ln(w))2+4 и P2(w)=27w2(lnw)4−24w(lnw)2+4, мы замечаем, что Pxx(c,c) =c3c−1P1(c) и Pxx(c,c)Pyy(c,c)−Pxy(c,c)Pxy(c,c)=c2(3c−1)P2(c). Тогда матрица Гессе, связанная с P в точке (c,c), является положительно полуопределенной, поскольку обе функции, P1 и P2, положительны на ]0,1] или, что то же самое, функция P имеет локальный минимум в точке (c,c ). Теперь мы делаем вывод, что (c,c) является глобальным минимумом, так как мы можем доказать, что (c,c) является единственным решением (Px,Py)=(0,0). В самом деле, если предположить, что существует (x,y) с x≠y≠c такое, что Px(x,y)=Py(x,y)=0, мы можем вывести противоречие. Обратите внимание, что

0=|Px(x,y)−Py(x,y)|≥|min{3xxyycc,(xyc)x,(xyc)y,(xyc)c}||ln(xy)−yx −cx+xy+cy|≥|min{3xxyycc,(xyc)x,(xyc)y,(xyc)c}||1x+x+yxy+cxy||x−y|,

, поскольку неравенство ln (r)>(r−1)/r выполняется для всех r>0 и r≠1 (см., например, [27]). Тогда x=y, что противоречит предположению, что x≠y.Таким образом, мы видим, что (c,c) является глобальным минимумом функции P или, что то же самое, P(x,y)≥P(c,c)=0 для всех (x,y)∈]0,1] 2, откуда следует требуемое неравенство для (x,y)=(a,b).

%PDF-1.6 % 95 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 95 80 0000000016 00000 н 0000002574 00000 н 0000002637 00000 н 0000002888 00000 н 0000003022 00000 н 0000003156 00000 н 0000003288 00000 н 0000003429 00000 н 0000003570 00000 н 0000003711 00000 н 0000003846 00000 н 0000004076 00000 н 0000004852 00000 н 0000005521 00000 н 0000006303 00000 н 0000007037 00000 н 0000007911 00000 н 0000008546 00000 н 0000009262 00000 н 0000009905 00000 н 0000010036 00000 н 0000010170 00000 н 0000010300 00000 н 0000010431 00000 н 0000010563 00000 н 0000010695 00000 н 0000010827 00000 н 0000010958 00000 н 0000011089 00000 н 0000011222 00000 н 0000011355 00000 н 0000011488 00000 н 0000011619 00000 н 0000011751 00000 н 0000011882 00000 н 0000044499 00000 н 0000045105 00000 н 0000045795 00000 н 0000065093 00000 н 0000065476 00000 н 0000065994 00000 н 0000085689 00000 н 0000086122 00000 н 0000086873 00000 н 0000103376 00000 н 0000103761 00000 н 0000104441 00000 н 0000123630 00000 н 0000124019 00000 н 0000124732 00000 н 0000137242 00000 н 0000137522 00000 н 0000138189 00000 н 0000150609 00000 н 0000151196 00000 н 0000151846 00000 н 0000161922 00000 н 0000162320 00000 н 0000163023 00000 н 0000170764 00000 н 0000171022 00000 н 0000171670 00000 н 0000194299 00000 н 0000194755 00000 н 0000195398 00000 н 0000228344 00000 н 0000228765 00000 н 0000229424 00000 н 0000253662 00000 н 0000254232 00000 н 0000254897 00000 н 0000272979 00000 н 0000273340 00000 н 0000274055 00000 н 0000283959 00000 н 0000284346 00000 н 0000285041 00000 н 0000302356 00000 н 0000302673 00000 н 0000001896 00000 н трейлер ]>> startxref 0 %%EOF 174 0 объект >поток xb«`a«_ [email protected]} 9C&ˁ?wj ɠKI㒪LPmYV099mӋٚ\&d ԗW\86ww#D\xy\Ythf%*szy\T{WyS N]&j~fM:c7oΞg#pH’S&\f]lVspokes~_ʻ/7rly㱱}YeZE2&u4՚:%bkai)[email protected]*’Rebp 5o:9iɑ Hq8u30ԀS/[email protected]|60Խbd������#W# AV3Ljwd143q?cdbi0fTcg$G͐Ya*:`[email protected]ۧ001D0i3020_fPĤjeaL

Решение экспоненциальных уравнений с разными основаниями — Концепция

Иногда нам дают экспоненциальные уравнения с разными основаниями на члены. Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать логарифмы и уметь их использовать с возведением в степень. Мы можем получить доступ к переменным в экспоненте в экспоненциальных уравнениях с разными основаниями , используя логарифмы и правило степени логарифмов, чтобы избавиться от основания и получить только показатель степени.

Теперь мы поговорим о решении экспоненциальных уравнений, когда у нас разные основания.Итак, прямо здесь у меня есть показательное уравнение, и мы пытаемся найти x, хорошо? Для этой конкретной задачи мы знаем, что 8 и 16 имеют общее основание 2, поэтому мы можем переписать их как степени двойки, чтобы получилось 2 в кубе до 2x, а 16 равно 2 до четвертой до x+4. Используя степени логарифмов, умножьте степени 2 на 6x, получится 2 на 4x+16, наши основания одинаковы, поэтому мы можем просто установить наши показатели степени равными 6x равно 4x+16, 2x равно 16, x равно равно 8. Итак, когда наши базы имеют по крайней мере общую мощность, их довольно легко решить, вы получаете, что их базы одинаковы, поэтому их показатели равны.
Жизнь не всегда так проста, ясно? Итак, мы собираемся поговорить о том, когда у нас есть базы, которые не разделяют силу, хорошо? Здесь у нас есть 7 и 12, есть 2 разных способа сделать это хорошо. Я хочу, чтобы мы привыкли к первому способу, и он заключается в том, чтобы найти способ каким-то образом снизить этот показатель, хорошо? Что мы собираемся использовать, так это правило степени от логарифмов, хорошо? Мы можем взять журнал обеих сторон, не имеет значения, какой журнал мы делаем, пока он одинаков, поэтому для этого я буду использовать естественный журнал, если вы хотите использовать журнал с основанием 10, он будет работать очень хорошо, поэтому, если я возьми естественное бревно с обеих сторон, хорошо? Когда у нас есть a, получение естественного журнала становится просто операцией.Я могу добавить 4 к обеим сторонам, это нормально, я могу разделить на 2 с обеих сторон, это нормально, пока мы берем натуральный логарифм обеих сторон, это точно так же, как и все остальное, хорошо? Итак, когда у нас есть натуральный логарифм впереди, мы можем перенести эту экспоненту вниз на передний план, так что мы действительно имеем здесь следующее: x натуральный логарифм 7 равен натуральному логарифму 12. Натуральный логарифм 7 — это просто число, ладно, это уродливое число, мы его не знаем, мы можем подключить его к нашему калькулятору и узнать, но это просто число, так что мы можем на него поделить, ладно? И в итоге мы получаем, что x равен натуральному логарифму 12 больше натурального логарифма 7, хорошо? Это то, что просто называется формой готовности к калькулятору, потому что натуральный логарифм — это логарифм, который мы можем поместить в наш калькулятор, чтобы мы могли довольно легко просто подставить натуральный логарифм 12 вместо натурального логарифма 7, чтобы выяснить, какой х в порядке?
Идти по другому пути, как некоторые из вас могут захотеть, начать делать это, но в конечном итоге мы захотим как бы отказаться от этого, потому что это не всегда будет работать, хорошо? Так что у меня точно такая же проблема, хорошо? 7x равно 7, x равно 12, если вы помните, это называется экспоненциальной формой, хорошо, у нас есть 7 в степени, равной 12, мы могли бы довольно легко представить это в логарифмической форме, опустив 7 вокруг и что бы мы в конце концов, x равен логарифму по основанию 7 из 12, хорошо? Итак, теперь у нас есть логарифмическая база 7 из 12, и мы не знаем, как ее оценить, потому что логарифмической базы 7 нет в нашем калькуляторе. Итак, что мы можем сделать, это использовать изменение базовой формулы, чтобы поместить это в наш калькулятор. наша база Я собираюсь сделать логарифмическую базу 10, в этом случае общий журнал, логарифмическую базу 12 вместо логарифмической базы 7, вы можете сделать натуральный логарифм, если хотите, но используя нашу логарифмическую форму, мы смогли получить такой же точный ответ как мы сделали здесь, только немного в другой форме, помните, что изменение базы говорит о том, что эти две вещи равны, поэтому всякий раз, когда мы решаем экспоненциальные уравнения, где наши базы не совпадают, или мы можем сделать их одинаковыми, у нас есть использовать логарифмы для их решения.

экспоненциальных неравенств] Как мне это решить? Результат x

Вот как я это сделал. Это может быть немного сложно, но это работает.

Итак, сначала возьмите натуральное бревно с обеих сторон. Когда мы это сделаем, мы получим

ln(5 x /2*√ (2)) < ln(2 x — 1 / √ (5))

Теперь, используя свойства журнала, мы можем получить Избавьтесь от дробей, потому что log_x(a/b) = log_x(a) — log_x(b)

Итак, используя это, мы получаем

ln(5^x) — ln(2*√(2)) < ln( 2^(x - 1)) - ln(√(5))

После этого я добавил ln(2*√(2)) к обеим сторонам, чтобы мы могли приблизиться к изоляции нашей переменной. (x — 1) + 0,24

Примечание: 0,24 (округленное до 2 знаков после запятой) — это то, что мы получаем, когда складываем ln(2*√(2)) и -ln(√(5)), и мы делаем это, потому что мы добавили ln(2*√(2)) к обеим сторонам)

Затем мы можем использовать правило степени логарифмов, чтобы избавиться от показателей степени. Когда мы это сделаем, мы получим:

x*ln(5) < (x - 1) (ln(2)) + 0,24

Затем мы можем распределить ln(2) на количество x -1, так что мы может перемещаться по переменной x и в конечном итоге изолировать ее

Когда мы это делаем, мы получаем x*ln(5) < x*ln(2) - ln(2) + 0.24

После этого мы можем вычесть x*ln(2) с обеих сторон, чтобы наконец изолировать переменную x. Когда мы это сделаем, мы получим x*ln(5) — x*ln(2), что равно 0,92, округленному до 2 знаков после запятой. И в правой части у нас остается — ln(2) + 0,24, что составляет -0,46, округленное до 2 знаков после запятой

Итак, наше уравнение теперь принимает вид:

0,92x < -0,46

А теперь для нашего последний шаг, мы можем разделить 0,92 на обе стороны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.