Как решать примеры с логарифмами: Примеры решения задач с логарифмами с ответами

Содержание

Логарифм в кубе как решать. Основные свойства логарифмов

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.
    д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.
    Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На уравнениях такого вида многие ученики «зависают».

При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.

В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.

Метод группировки

Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе… впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.

Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.

Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:

log 2 x · log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

В первую очередь отметим, что x 2 − 3x можно разложить на множители:

log 2 x (x − 3)

Затем вспоминаем замечательную формулу:

log a fg = log a f + log a g

Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g — обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:

f

В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, log a (fg ) будет существовать, а вот log a f и log a g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.

Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.

В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log 2 x , то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log 2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.

Следовательно, в функции log 2 x (x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:

log 2 x = а

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b − 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:

a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(а · 1 − 1) = 0

А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:

x > 0

Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.

Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x )

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.

Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:

x 2 − 6x + 2 > 0

С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:

7 − 2x > 0

Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?

Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:

−2x > −7

x

Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.

Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.

Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.

Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:

  1. Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
  2. Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g , то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.

Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)

Типичные ошибки при решении

Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.

Дробно-рациональные уравнения с логарифмами

Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.

При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!

Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.

Первое слагаемое: 4 log 25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x . С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.

Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 3 3 . Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:

log 3 27 = 3 3 = 3

Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 log x − 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:

log a b = 1/log b a

Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b = 5, поэтому все в порядке:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

В знаменателе дроби у нас стоит log 5 (x − 1), а в первом слагаемом мы имеем log 25 (x − 1). Но 25 = 5 2 , поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:

Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:

(t − 1) 2 /t = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Вспоминаем, что такое t :

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x . Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x − 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:

x − 1 > 0

С другой стороны, тот же x − 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:

x − 1 ≠ 1

Отсюда заключаем:

x > 1; x ≠ 2

Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:

log 4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x , хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:

8 log x + 1 2 = 8 · (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Следующее слагаемое — log 2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:

Теперь перепишем исходное уравнение:

1/2 · log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Приведем все к общему знаменателю:

Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:

t = log 2 (x + 1)

Перепишем уравнение с учетом новой переменной:

Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:

Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x :

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.

Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:

0 ≠ x > −1

Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.

Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x , их зачастую можно просто вычислить.

Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…

Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Основные свойства логарифмов. Свойства логарифмов и примеры их решений

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…

Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. {-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

\(\log_{4}{16}=2\)

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе. {b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

\(\log_{4}{10}=5x-4\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

\(5x-4=\log_{4}{10}\)

Перед нами . Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

\(5x=\log_{4}{10}+4\)

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

{\log_{6}{5}}\)

Решение :

Ответ : \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}. {a}}\)

Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение :

Ответ : \(1\)

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 184. Логарифм степени и корня

Теорема 1. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.

Другими словами, если а и х положительны и а =/= 1, то для любого действительного числа k

log a x k = k log a x . (1)

Для доказательства этой формулы достаточно показать, что

= a k log a x . (2)

= x k

a k log a x = (a log a x ) k = x k .

Отсюда вытекает справедливость формулы (2), а стало быть, и (1).

Заметим, что если число k является натуральным (k = п ), то формула (1) является частным случаем формулы

log a (x 1 x 2 x 3 … x n ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + … log a x n .

доказанной еще в предыдущем параграфе. Действительно, полагая в этой формуле

x 1 = x 2 = … = x n = x ,

получаем:

log a x n = n log a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

При отрицательных значениях х формула (1) теряет смысл. Например, нельзя писать log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), поскольку выражение log 2 (-4) не определено. Заметим, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, имеет смысл:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Вообще, если число х отрицательно, то выражение log a x 2k = 2k log a x определено, поскольку x 2k > 0. Выражение же 2k log a x в этом случае не имеет смысла. Поэтому писать

Log a x 2k = 2k log a x

нельзя. Однако можно писать

log a x 2k = 2k log a | x | (3)

Эта формула легко получается из (1), если учесть, что

x 2k = | x | 2k

Например,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Теорема 2. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня.

Другими словами, если числа а и х положительны, а =/= 1 и п — натуральное число, то

log a n x = 1 / n log a x

Действительно, n x = . Поэтому по теореме 1

log a n x = log a = 1 / n log a x .

1) log 3 √8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.

Упражнения

1408. Как изменится логарифм числа, если, не изменяя основания:

а) возвести число в квадрат;

б) извлечь из числа квадратный корень?

1409. Как изменится разность log 2 a — log 2 b , если числа а и b заменить соответственно на:

а) а 3 и b 3 ; б) 3а и 3b ?

1410. Зная, что log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, найти логарифмы по основанию 10 чисел:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Доказать, что логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию.

1412. Отличаются ли друг от друга функции

у = log 3 х 2 и у = 2 log 3 х

Построить графики этих функций.

1413. Найти ошибку в следующих преобразованиях:

log 2 1 / 3 = log 2 1 / 3

2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;

log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ — область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться.

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили, всегда получается. Более того, не существует ни для какого. Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине — в любой степени равно). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае: в любой положительной степени — это, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение.

Вспомним определение: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. И по условию, эта степень равна: .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна, а произведение. Легко подобрать, это числа и.

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

Это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень — «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и, сразу отбросим корень, и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен. Но это не так: согласно ОДЗ корень — сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .

Ответ: .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством . Хотя по сути это равенство — просто по-другому записанное определение логарифма :

Это степень, в которую нужно возвести, чтобы получить.

Например:

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения.

Решение:

Вспомним правило из раздела : , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

Пример 3.

Докажите, что.

Решение:

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые — зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов . Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

Доказательство:

Пусть, тогда.

Имеем: , ч. т.д.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .

Доказательство:

Пусть, тогда. Пусть, тогда.

Пример: Найдите значение выражения: .

Решение: .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот — «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно?

Теперь очевидно, что.

Теперь упрости сам:

Задачи:

Ответы:

Свойство 3: Разность логарифмов:

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть, тогда.

Пусть, тогда. Имеем:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению — такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это — . Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов :

Ответ для проверки:

Упрости сам.

Примеры

Ответы.

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть, тогда. Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения.

Решение: .

Реши сам:

Примеры:

Ответы:

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Доказательство: Пусть, тогда.

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Или если степени одинаковые: .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Доказательство: Пусть, тогда.

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить, получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения.

Используем свойство логарифмов № 2 — сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

Пример 5.

Найдите значение выражения.

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

Пример 6.

Найдите значение выражения.

Решение:

Используем свойство № 7 — перейдем к основанию 2:

Пример 7.

Найдите значение выражения.

Решение:

Как тебе статья?

Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

И это круто!

А теперь расскажи нам как тебе статья?

Научился ты решать логарифмы? Если нет, то в чем проблема?

Пиши нам в комментах ниже.

И, да, удачи на экзаменах.

На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни

Логарифмические уравнения, примеры решения. Урок и презентация по алгебре

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: «Логарифмические уравнения. Примеры решения логарифмических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Логарифмические уравнения. Примеры (PPTX)

Знакомство с логарифмическими уравнениями


Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы.
Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: $\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}$.

Не забываем все требования, выдвигаемые в определение логарифма. Вспомните самостоятельно о показателе логарифма и числе, стоящее под знаком логарифма.
Ребята, также вспомните теорему 4 урока «Свойства логарифмов». Опираясь на эту теорему, давайте сформулируем основный принцип при решении логарифмических уравнений.

Теорема. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то логарифмическое уравнение $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$, где $a>0$, $a≠1$, равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.


Как же решать логарифмические уравнения?
  • От логарифмического уравнения $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$ перейти к уравнению $f(x)=g(x)$.
  • Решить уравнения $f(x)=g(x)$.
  • Проверить каждый корень уравнения $f(x)=g(x)$ на условие $f(x)>0$ и $g(x)>0$.
  • Если корень уравнения удовлетворяет каждому из $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то это и есть решение исходного уравнения. Если хоть одно из условий $f(x)>0$ и $g(x)>0$ не выполняется, то этот корень не будет являться решением исходного уравнения. 2-y)}=\log_5{x}.\end{cases}$

    Log 10 по основанию 2. Что такое логарифм? Решение логарифмов. Примеры. Свойства логарифмов

    Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

    Определение логарифма

    Логарифм с основанием a — это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .

    Десятичный логарифм — это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .

    Натуральный логарифм — это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .

    2,718281828459045… ;
    .

    График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y(x) = log a x для четырех значений основания логарифма : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 логарифм монотонно убывает.

    Свойства логарифма

    Область определения, множество значений, возрастание, убывание

    Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

    Область определения 0 0
    Область значений — ∞ — ∞
    Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
    Нули, y = 0 x = 1 x = 1
    Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет нет
    + ∞ — ∞
    — ∞ + ∞

    Частные значения


    Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

    Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

    Основные формулы логарифмов

    Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

    Основное свойство логарифмов и его следствия
    Формула замены основания

    Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

    Потенцирование — это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

    Доказательство основных формул логарифмов

    Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

    Рассмотрим свойство показательной функции
    .
    Тогда
    .
    Применим свойство показательной функции
    :
    .

    Докажем формулу замены основания.
    ;
    .
    Полагая c = b , имеем:

    Обратная функция

    Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

    Если , то

    Если , то

    Производная логарифма

    Производная логарифма от модуля x :
    .
    Производная n-го порядка:
    .
    Вывод формул > > >

    Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
    ;
    .

    Интеграл

    Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
    Итак,

    Выражения через комплексные числа

    Рассмотрим функцию комплексного числа z :
    .
    Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
    .
    Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
    .
    Или

    Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
    , где n — целое,
    то будет одним и тем же числом при различных n .

    Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

    Разложение в степенной ряд

    При имеет место разложение:

    Использованная литература:
    И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Что такое логарифм?

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. {-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

    Аргумент и основание логарифма

    Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

    Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

    Как вычислить логарифм?

    Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

    Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

    а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

    \(\log_{4}{16}=2\)

    \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)

    в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

    \(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

    г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе. {b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

    \(\log_{4}{10}=5x-4\)

    Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

    \(5x-4=\log_{4}{10}\)

    Перед нами . Перенесем \(4\) вправо.

    И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

    \(5x=\log_{4}{10}+4\)

    Поделим уравнение на 5

    \(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


    Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

    Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

    Десятичный и натуральный логарифмы

    Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

    Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

    {\log_{6}{5}}\)

    Решение :

    Ответ : \(25\)

    Как число записать в виде логарифма?

    Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

    Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

    \(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

    Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

    Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

    \(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}. {a}}\)

Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение :

Ответ : \(1\)

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Рекомендуем также

Логарифмы в решении практических задач

Эпиграф:

“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь”.
П.С.Лаплас

Цели урока:

Образовательные:

  • Обобщить знания учащихся по теме “Применение логарифмов при решении практических задач”; расширить кругозор, знания о возможном применении логарифма к решению практических задач; показать межпредметные связи; прививать познавательный интерес к математике; повысить мотивацию студентов к обучению.

Развивающие:

  • Развивать математическое мышление, умение применять обобщенные знания, умения и навыки в новых условиях.

Воспитательные:

  • Воспитывать у студентов устойчивый интерес к изучению математики, познавательную активность, математическую культуру речи.

Тип урока: комбинированный урок.

Оборудование: ноутбук, мультимедиа, экран, доска, раздаточный материал, тетрадь, презентация на электронном носителе.

Ход урока

1. Организационный момент.

Организация готовности студентов к работе.

2. Формулирование темы, постановка цели и мотивации к учебной деятельности.

Введение темы урока используя эпиграф; формирование цели урока.

(Презентация, Слайд № 1)

3. Актуализация знаний.

Устная работа: вспомнить определение и свойства логарифма.

(Презентация, Слайд № 2)

4. Всесторонняя проверка знаний.

Выполните задания, записанные на доске.

(Трое студентов работают в качестве консультантов с учениками своего варианта, остальные в тетрадях. Затем, консультанты записывают образцы решения на доске, комментируя их, и, обращая внимание студентов на недочеты в работе).

1 вариант:

Вычислить

 +

2 вариант:

Решить уравнение

3 вариант:

Решить неравенство

5. Изучение нового материала.

Преподаватель:

Мы с вами уже знаем, что более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Но вычисления не исчерпывают роль логарифмов. Использование логарифмов необходимо для описания самых разнообразных процессов роста, происходящих в природе и обществе.

Рассмотрим и решим две задачи, которые связывают понятия разных дисциплин.

К доске вызывается сильный ученик, получивший опережающее домашнее задание — подготовить тему “Измерение количества информации”.

Задача дисциплины “Информатика”

Ученик:

— Информация является важнейшим понятием и основным объектом изучения в информатике. Неудивительно поэтому, что проблема измерения информации имеет фундаментальное значение.

Пусть алфавит, с помощью которого записываются все сообщения, состоит из M символов. Для простоты предположим, что все они появляются в тексте с одинаковой вероятностью.

Тогда в рассматриваемой постановке применима формула Хартли для вычисления количества информации:

Решить задачу:

Определить информацию, которую несет в себе один символ в кодировках ASCII и Unicode.

Решение.

1) В алфавите ASCII предусмотрено 256 различных символов, т.е. 

M = 256, а I = log2 256 = 8 бит = 1 байт

Ответ: 1 байт.

2) В современной кодировке Unicode заложено гораздо большее количество символов. В ней определено 256 алфавитных страниц по 256 символов в каждой.

Таким образом:

I = log2 (256 * 256) = 8 + 8 = 16 бит = 2 байта

Ответ:2 байта.

(Презентация, Слайды № 3-5)

Задача из дисциплины “Биология”. Решает весь класс под руководством учителя.

В начальный момент времени было 8 бактерий. Через 2 часа после помещения бактерий в питательную среду, их число возросло до 100. Через сколько времени с момента размещения в питательную среду следует ожидать появления 500 бактерий?

Решение.

Для решения данной задачи, необходимо вспомнить понятия скорости и ускорения.

Было -8

Стало- 100

1 изменение:

=> конечное значение скорости распространения бактерий при первом изменении —

Было -8

Стало- 500

2 изменение:

=> конечное значение скорости распространения бактерий при втором изменении — .

Составим формулу для ускорения, учитывая, что начальная скорость (т.е. было -8, стало -8):

=

=

Т.к. ускорение постоянно => =>

Перейдем к натуральному основанию логарифмов, для того, чтобы можно было воспользоваться табличными значениями:

Ответ: приблизительно 3часа 15 минут.

(Презентация, Слайды № 6-9)

6. Рефлексия.

Учащиеся получают карточки для проведения опроса.

Отметьте букву выбранного Вами ответа:

1. Знаете ли вы определение логарифма?

А) да Б) нет В) Приблизительно

2. Знаете ли вы свойства логарифмов?

А) да Б) нет В) Больше половины

3. Умеете ли ВЫ применять определение и свойства логарифмов при вычислениях?

А) да Б) нет В) Не всегда

4. Научились ли вы применять определение и свойства логарифмов при решении практических задач?

А) да Б) нет В) Не всегда

№ вопроса 1 2 3 4
Буква ответа        

7. Домашнее задание.

Задача из дисциплины “Физика”.

Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 200С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой  Тв = 1000С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т0С, при чём

где с = 4200Дж/кг*С — теплоемкость воды

= 42 Вт/м * 0С— коэффициент теплообмена

a = 1,4 — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

(Ответ: 60?.)

8. Итог урока:

Мы с вами завершили тему “Логарифмы”, научились вычислять логарифмы и применять полученные знания в новых условиях, рассмотрели применение логарифмов на практике при решении задач различных дисциплин, узнали какое широкое применение имеют логарифмы в различных областях человеческой деятельности.

А теперь пусть каждый из вас задаст себе вопрос: (Презентация, Слайды № 11). и попробует ответить на него.

Учитель озвучивает оценки за урок.

Логарифмические уравнения – примеры задач с решениями


1. Решить:

х > 0 Решение:
3+log 7 x = 8 – 4log 7 x
5log 7 х = 5
журнал 7 х = 1
х = 7 1 = 7

К = {7}


2. Решить:

х > 0 Решение:

5+logx = 9-3logx
4logx = 4
logx = 1
х = 10 1 = 10

К = {10}


3.Решить:

х > 0 Решение:

К = {3 -0,5 }

4. Решить:

log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = 2                        x > 1

Решение:
log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = 2
log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = log 3 9
5+4. log 2 (x-1) = 9
4.log 2 (x-1) = 4
журнал 2 (x-1) = 1
х-1 = 2 1
х = 3

К = {3}


5.Решить:

log(x+5) — log(x-1) = 1-log2                 x > 1

Решение:

К = {2,5}


6. Решить:

log(x+2) + log(x-7) = 2.log(x-4)               x > 7

Решение:
лог(х+2) + лог(х-7) = 2.лог(х-4)
log (x+2)(x-7) = log(x-4) 2
(x+2)(x-7) = (x-4) 2
x 2 -5x- 14 = х 2 -8х +16
3x = 30
х = 10

К = {10}


7.Решить:

log5x + log (2x + 3) = 1 + 2.log(3-x)                        x < 3

Решение:
log5x + log (2x + 3) = 1 + 2.log(3-x)
log5x + log(2x + 3) = log10 + log(3-x) 2
log(5x.(2x +3)) = log (10.(3-x) 2 )
5х.(2х+3) = 10.(3-х) 2
10х 2 +15х = 10. (9-6х + х 2 )
10х 2 + 15х = 90-60х +10х 2
75х = 90

8. Решить:

log(1+x)–log(1-x) = log(x+3)-log(4-x)            x < 1

Решение:

9.Решить:

2log3x 2 + 3log4x 3 = 4log2x 2 +4log6x                    x > 0

Решение:
2log3x 2 + 3log4x 3 = 4log2x 2 +4log6x
log9x 4 + log64x 9 = log16x 8 + log1296x 4
log(576x 13 ) = log(20736x 12)9020
576x 13 = 20736x 12 /:576x 12
x = 36

К = {36}


10.

Решите в действительных числах:


Решение:



11.Решите в действительных числах:

Решение:



12.Решите в действительных числах:

Решение:



13. Решите в действительных числах:

Решение:



14.Решите в действительных числах:

Решение:



15.Решите в действительных числах:

Решение:



16.Решите в действительных числах:


Решение:



17.Решите в действительных числах:


Решение:



18.Решите в действительных числах:


Решение:



19.Решите в действительных числах:


Решение:



20.Решите в действительных числах:


Решение:


Логарифмические уравнения – дальнейшее упражнение:

5.6: Проблемы приложений с экспоненциальными и логарифмическими функциями

Пример \(\PageIndex{6}\)

В информационном бюллетене о зависимости от кофеина от Медицинского центра Джона Хопкинса говорится, что период полураспада кофеина в организме составляет от 4 до 6 часов. Предполагая, что типичный период полураспада кофеина в организме составляет 5 часов для среднего человека и что в типичной чашке кофе содержится 120 мг кофеина.{т} \номер \]

б. Используйте \(b = 1 + r\), чтобы найти скорость распада \(r\). Поскольку \(b = 0,87 < 1\) и количество кофеина в организме со временем уменьшается, значение \(r\) будет отрицательным.

\[\begin{array}{l}
0,87=1+r \\
r=-0,13
\end{array} \nonumber\]

Скорость распада 13%; количество кофеина в организме уменьшается на 13% в час.

в. Чтобы найти время, когда в организме остается только 20 мг кофеина, подставьте \(y\) = 20 и найдите соответствующее значение \(t\).{т}
\конец{массив} \неномер\]

Перепишите выражение в логарифмической форме и используйте формулу изменения основания

\[\begin{array}{l}
t=\log _{0,87}(0,1667) \\
t=\frac{\ln (0,1667)}{\ln (0,87)} \приблизительно 12,9 \text { часы }
\end{массив} \nonumber\]

Через 12,9 часов в организме остается 20 мг кофеина.

Натуральные логарифмы

Пример № 5

PDF

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ


Обзор устройства
В этом модуле вы будете оценивать натуральные экспоненциальные и натуральные логарифмические функции и моделировать экспоненциальные процессы роста и затухания.Вы также будете решать логарифмические и показательные уравнения, используя алгебру и графики. Реальные задачи, связанные с экспоненциальными и логарифмическими отношениями, будут решены в конце модуля.

Натуральная экспонента и натуральная логарифмическая функция s

Число e является важным иррациональным числом. Он примерно равен 2,71828. Как и pi , значение является постоянным.



Показательная функция с основанием e называется показательной функцией с естественным основанием. Эти функции полезны при описании непрерывного роста или распада. Например, номер e используется для решения задач, связанных с непрерывным сложным процентом и непрерывным радиоактивным распадом. Экспоненциальные функции с основанием и обладают теми же свойствами, что и другие экспоненциальные функции.

Натуральная логарифмическая функция y = log E x Сокращено y = ln x и является обратным в естественной экспоненциальной функции
y = E x .


Пример №1 : Если e 5 = 148,413, чему равно x в выражении ln x ?
e 5 = 148,413  
ln(148,413) = 5 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln).
х = 148.413  

*Примечание. Три треугольные точки — это сокращение от слова «поэтому».

Пример №2 : Если ln 54,598 = 4, чему равно x в выражении e x = 54,598?
54,598 = 4  
e 4 = 54,598 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln).
х = 4  

Давайте потренируемся заменять экспоненциальные выражения e натуральными логарифмами (ln) и наоборот. (Не пользуйтесь калькулятором, в этом нет необходимости. Просто следуйте определению натурального логарифма и тому, как он соотносится с 90 414 e 90 415 . )


Если e 3 = 20,086, чему равно x в выражении В х = 3?

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если e −2 = 0,0135, чему равно x в выражении ln 0,0135 = x ?

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если ln 7,389 = 2, чему равно x в выражении e 2 = x ?

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если ln 1 = 0, чему равно x в выражении e 0 = x ?

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если e = x , каково значение x ?

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Калькулятор и натуральный логарифм (LN )

Клавиша, обозначенная на калькуляторе как LN , является клавишей натурального логарифма.


Пример №1 : вычислите выражения с помощью калькулятора.

Свойства десятичных логарифмов (log) применимы и к натуральным логарифмам (ln).

  Правила и свойства журнала (04:34)
Пример № 2 : Выразите 3 в 5 как одинарный натуральный логарифм.
3 пер. 5 = пер. 5 3 -Степенное свойство логарифмов
          = ln 125 — Упростить

Пример №3 :  Выразите число 35 – число 5 в виде единичного натурального логарифма.
пер. 35 – пер. 5 = пер. — Частное свойство логарифмов
                   = пер. 7 — Упростить

Пример № 4 : Выразите 2 ln x + 3 ln y + ln 8 в виде единичного натурального логарифма.
2 пер. х + 3 пер. у + пер. 8 =  
ln x 2 + ln y 3 + ln 8 = -Степенное свойство логарифмов
ln 8 x 2 y 3 — Свойство произведения логарифмов

Стоп!   Перейдите к вопросам 1–8 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

Решение уравнений с натуральными логарифмами

Теперь давайте рассмотрим использование натурального логарифма для решения уравнения.

Пример №1 : Решите 6,5 x = 44 для x .
пер. 6,5 x = пер. 44 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
x длина 6,5 = длина 44 -Применить свойство Power.
х = — Разделите обе стороны на ln 6,5.
х ≈ 2,02 -Округлите ответ до сотых.
             


Чтобы проверить вышеуказанную проблему, замените 2,02 дюйма на x в исходном уравнении.
6.5 х = 44  
6,5 2,02 ≈ 43,86 -Используйте калькулятор для оценки.

*Примечание : Эту задачу также можно решить, взяв десятичный логарифм (логарифм) обеих частей уравнения.

Натуральные логарифмы (ln) должны использоваться для решения задач, содержащих число e.
Пример #2 : Решите e x = 40 для x .
    e x = 40  
пер. и x = пер. 40 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
х = пер. 40 -Помните, что ln e х = х .
х ≈ 3,69 -Используйте калькулятор.

Пример #4
Пример #3 : Решите + 4 = 22 для x .
8 e 2 x− 5 = 56  
e 2 x− 5 = 7 — Разделите обе части на 8.
пер. e 2 х- 5 = пер. 7 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
2 x − 5 = пер. 7 -Помните ln e x = x , ∴ln e 2 x− 5 = 9 0 4 x 90.
2 x = пер. 7 + 5 -Добавить 5 с обеих сторон.
х = — Разделить на 2.
х ≈ 3,47 -Используйте калькулятор.
 500 = 100 e 0,75 т  
5 = и 0.75 т — Разделите обе стороны на 100.
пер. 5 = пер. е 0,75 т -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
ln 5 = 0,75 т — Помните, что ln e x = x , ∴ln e 0,75 t = 0,75 t .
= т — Разделите обе части на 0. 75.
т ≈ 2,1459 -Используйте калькулятор.

 
Запись экспоненциальных уравнений в терминах e (04:59) Пример № 7
Пример #6 : Решите ln (10 x ) = ln(3 x + 14) для x .
ln (10 x ) = ln (3 x + 14)  
10 х = 3 х + 14 -Применить свойство «Один к одному».
7 х = 14 -Вычесть 3 x с обеих сторон.
х = 2 — Разделите обе стороны на 2.
 ln x + ln ( x — 3) = ln 10  
 ln [ x ( x − 3)] = ln 10 — Применить свойство продукта.
х ( х — 3) = 10 -Применить свойство «Один к одному».
х 2 − 3 х = 10 — Распространение
х 2 — 3 х — 10 = 0 -Вычтите 10 из обеих сторон, затем примените свойство Zero product для решения.
 ( x – 5)( x + 2) = 0

-Фактор

х – 5 = 0 или х + 2 = 0

— Установить оба коэффициента равными нулю.

х = 5 или х = -2 -Решить

Проверьте оба этих ответа в исходной задаче.Если какое-либо решение дает отрицательный логарифм, это решение должно быть отклонено.
Чек : на 5 для –2
  ln x + ln ( x — 3) = ln 10 ln x + ln ( x — 3) = ln 10
  пер 5 + пер (5 — 3) = пер 10 пер (–2) + пер (–2 − 3) = пер 10
  пер. 5 + пер. 2 = пер. 10  
  пер (–2) + пер (–5) = пер 10  
  2.30 = 2,30  
  *Это уравнение дает два положительных логарифма, поэтому 5 является решением. *Это уравнение дает два отрицательных логарифма, поэтому –2 не может быть решением, поскольку не существует отрицательных логарифмов.

Останавливаться!
  Перейдите к вопросам № 9–14 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу. Применение натуральных логарифмов
Формула с использованием натуральных логарифмов представляет собой непрерывную формулу сложных процентов , где A — окончательная сумма, P — сумма инвестиций, r — процентная ставка, t — время.

Пример № 1 : Найдите стоимость 500 долларов США через 4 года инвестирования по годовой ставке 9% с постоянным начислением сложных процентов.
A = неизвестно              P = 500 долларов США r = 9% = 0,09              t = 4 года
A = Pe rt  
А = 500 e (0,09)(4) — Заменяет P , r и t .
А ≈ 716,66 долл. США -Вычислить и округлить до ближайшего цента.

*В калькуляторе есть возможность ввода e x . Эту функцию можно найти, нажав 2-ю LN. Обратите внимание, что над кнопкой LN есть e x . Нажмите 500, затем 2-ю ЛН, затем (0,09 × 4). Нажмите Enter, и появится ответ!

Пример № 2 : Сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши деньги, если вы внесете 500 долларов по годовой ставке 7.2% непрерывно начисляются?

Рассмотрим , что вложенные деньги составляют 500 долларов, первоначальную сумму. Эта удвоенная сумма составляет 1000 долларов США, и это будет окончательная сумма для определения ( A ).

Пусть t = количество времени, необходимое для удвоения денег.

A = Pe rt  
1000 = 500 e (0.072) т — Заменить A = 1000, P = 500, r = 0,072
2 = e (0,072) т — Разделите обе стороны на 500.
пер 2 = пер е (0,072) т

-Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.

Пер 2 = 0.072 т -Помните ln e x = x , ∴ln e (0,072) t = 0,072 t .
= т

— Разделите обе части на 0,072.

т ≈ 9,63 -Используйте калькулятор, чтобы найти натуральный логарифм 2, затем разделите полученный ответ на 0.072.

Останавливаться!
  Перейдите к вопросам № 15–30, чтобы завершить этот модуль.

Применение логарифмов в реальной жизни и их реализация на примере

Ссылка для скачивания дана на Last

Сценарий логарифмов в реальной жизни — одно из самых важных понятий в нашей жизни. Как мы знаем, в нашем учебнике по математике для 9-10 классов есть глава под названием ЛОГАРИТМ — очень интересная глава, и ее вопросы относятся к типу, для решения которого требуются техники.Поэтому вы должны внимательно прочитать эту статью «Применение логарифмов в реальной жизни».

Помимо реального применения логарифмов, вы также можете развеять следующие сомнения:

Сомнение 1 : Почему функция f(x) = 0 x НЕ является экспоненциальной функцией.

Сомнение 2 : Почему функция g(x) = 1 x НЕ является экспоненциальной функцией.

Сомнение 3 : Почему функция h(x) = (–2) x НЕ является экспоненциальной функцией.

Сомнение 4 Почему основание логарифма не может быть отрицательным, значит а > 0?

Сомнение 5 Почему основание логарифма не может быть единицей, значит a ≠ 1?

Сомнение 6 Почему логарифм любого отрицательного числа не определен, среднее значение log(–2) не определено?

Но, решив эти вопросы и изучив логарифм, задумались ли вы о том, почему вы изучаете эту главу, каково использование ЛОГАРИТМ в нашей повседневной жизни. LOGARITHM используется в следующих приложениях реальной жизни.

реальный сценарий логарифмов

Реальное применение логарифмического измерения интенсивности землетрясений

Чтобы узнать о реальном сценарии логарифмов, мы начнем с измерения интенсивности землетрясения. Для этого сначала мы сообщим некоторые знания, связанные с прибором для измерения землетрясений, известным как Сейсмограф . который создает график, известный как Seismograph .

реальный сценарий логарифмов

           При землетрясении возникает волна, которая проходит через земной слой. Сейсмическая волна излучает энергию, которая заставляет землю трястись, а также излучает низкочастотную акустическую энергию.

Подробнее : 129 Короткие математические приемы
Теперь эти сейсмические волны регистрируются прибором сейсмографа, и его вывод представляет собой график сейсмографа. Это запись движения земли по трем координатным осям (x, y и z), при этом ось z перпендикулярна поверхности Земли, а оси x и y параллельны поверхности Земли.

Гипоцентр землетрясения — это место, где энергия деформации, накопленная в породе, впервые высвобождается, отмечая точку, где разлом начинает разрушаться. Это происходит непосредственно под эпицентром, на расстоянии, известном как глубина очага.

Амплитуда сейсмических волн уменьшается с расстоянием. Теперь приборный сейсмограф основан на логарифмической шкале, разработанной Чарльзом Рихтером, который в 1932 году разработал первую шкалу магнитуд для измерения магнитуды землетрясений.

Широко известна как шкала Рихтера . Магнитуда землетрясения рассчитывается путем сравнения максимальной амплитуды сигнала с этим эталонным событием на определенном расстоянии.

Реальный сценарий логарифмов              

Шкала Рихтера представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10 , которая определяет магнитуду как логарифм отношения амплитуды сейсмических волн к произвольной малой амплитуде.

                где A — амплитуда землетрясения, зарегистрированная сейсмографом, снятым с расстояния 100 км (приблизительно) от эпицентра землетрясения, а S — стандартное землетрясение с амплитудой около 1 микрона. Магнитуда стандартного землетрясения равна                    

                 Поскольку шкала Рихтера представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, каждое увеличение числа на шкале Рихтера указывает на интенсивность, в десять раз превышающую предыдущее число на шкале.

Чтение: почему журнал не определен для отрицательного основания

Например: если мы отмечаем магнитуду землетрясения по шкале Рихтера как 2, то другая следующая магнитуда по шкале объясняется в следующей таблице.

              Судя по магнитуде землетрясения по шкале Рихтера, на окружающую среду оказывается сильное негативное воздействие, которое может представлять опасность для реального мира. Его детали приведены ниже в таблице.

Магнитуда по Рихтеру Описание Последствия землетрясения
0-2,0 Микро Никогда не ощущаемый людьми
2. 0–2.9 Незначительный Ощущается, но не записывается
3,0–3,9 Незначительная Войлочная, но не поврежденная стоимость
4,0–4,9 Свет Потолочные светильники Качаются, но не повреждаются
5,0-5,9 Умеренная Влияет на слабую конструкцию и вызывает трещины в стенах
6,0-6,9 Сильный Поражает территорию до 160 км от эпицентра
7.0–7,9 Значительный Поражает область до следующей области и вызывает несколько повреждений
8,0–8,9 Большой Зона поражения за пределами 100 миль и серьезные повреждения
9,0-9,9 Большой Зона поражения за 1000 миль с катастрофическими последствиями
10+ Эпический Никогда не записывался

Это один из реальных сценариев логарифмов, который необходимо знать.

Применение логарифмов в реальной жизни для определения значения pH

Сценарий логарифмов в реальной жизни заключается в измерении кислотности, щелочности или нейтральности вещества, которое описывает химическое свойство с точки зрения значения pH. Чтобы узнать об этой концепции в деталях, нажмите здесь.

Применение логарифмов в реальной жизни для измерения интенсивности звука

Поскольку мы знали, что звук переносит энергию, она определяется как I = P/A, где P — мощность, через которую проходит энергия E на единицу площади A, перпендикулярной направлению распространения звуковой волны.

Теперь, согласно закону физики, интенсивность звука измеряется в терминах громкости, которая измеряется в терминах логарифма. Таким образом, интенсивность звука определяется как . В этом определении дБ — это децибелы. Это одна десятая бел(В), а I и I 0 — интенсивность звука.

Если I = I 0 , то .

Если I = 10I 0 , то и т. 256 и т. д.Чтобы решить эти типы задач, нам нужно использовать логарифмы.

Методом решения этих задач будет обучение в другом посте блога по математике. URL поста будет указан ниже в будущем.

Практика: набор вопросов по логарифму 1

Нажмите здесь, чтобы скачать в формате PDF

Логарифмические примерыЛогарифмыБлог по математикеРеальные примеры логарифмовРеальная жизненная ситуацияпочему мы изучаем логарифмы

Использование логарифмов в реальном мире – BetterExplained

Логарифмы повсюду.Вы когда-нибудь использовали следующие фразы?

  • 6 фигурок
  • Двойные цифры
  • Порядок величины
  • Процентная ставка

Вы описываете числа с точки зрения их степени 10, логарифма. А процентная ставка — это логарифм роста инвестиций.

Удивлены, что логарифмы так распространены? Я тоже. Большинство попыток Математика в реальном мире (ТМ) указывают на логарифмы в какой-то загадочной формуле или делают вид, что мы геологи, очарованные шкалой Рихтера. «Ученым небезразличны бревна, и вам тоже следует. Кроме того, можете ли вы представить себе мир без цинка?»

Нет, нет, нет, нет, нет, нет! (Мама миа!)

Math выражает понятия с помощью таких обозначений, как «ln» или «log». Найти «математику в реальном мире» означает столкнуться с идеями в жизни и увидеть, как они могут быть записаны с помощью нотации. Не ищите буквальные символы! Когда вы в последний раз писали знак деления? Когда вы в последний раз резали еду?

Хорошо, хорошо, мы поняли: что такое логарифмы?

Логарифмы находят причину следствия, т.е.e вход для некоторого выхода

Обычный «эффект» — наблюдать рост, например, рост со 100 до 150 долларов за 5 лет. Как это произошло? Мы не уверены, но логарифм находит возможную причину: непрерывное возвращение ln(150/100) / 5 = 8,1% объясняет это изменение. Это может быть не фактическая причина (весь рост произошел в последний год?), но это плавное среднее значение, которое мы можем сравнить с другими изменениями.

Кстати, понятие «причина и следствие» имеет нюансы.Почему 1000 больше 100?

  • 100 — это 10, которые росли сами по себе за 2 периода времени (10$ * 10$)
  • 1000 — это 10, которые росли сами по себе за 3 периода времени (10$ * 10 * 10$)

Числа можно рассматривать как выходы (1000 — это «1000 выходов») и входы («Во сколько раз нужно увеличить 10, чтобы получить эти выходы?»). Итак,

  1000 выходов > 100 выходов
  

потому что

  3 входа > 2 входа
  

Или другими словами:

  лог(1000) > лог(100)
  

Почему это полезно?

Логарифмы помещают числа в удобную для человека шкалу.80$ = количество молекул во Вселенной

Шкала от 0 до 80 привела нас от одного предмета к количеству вещей во вселенной. Не слишком потрепанный.

Логарифмы подсчитывают умножение как шаги

Логарифмы описывают изменения с точки зрения умножения: в приведенных выше примерах каждый шаг в 10 раз больше. 5$) и 100 000 получаем шестизначный результат.Говорить о «6» вместо «Сто тысяч» и есть суть логарифмов. Это дает приблизительное представление о масштабе, не вдаваясь в детали.

Дополнительный вопрос: как бы вы описали 500 000? Выражение «шестизначное число» вводит в заблуждение, потому что шестизначное число часто подразумевает что-то близкое к 100 000. Подойдет ли «цифра 6,5»?

Не совсем так. Для нас 6,5 означает «полпути» между 6 и 7 цифрами, но это мышление арифметика. С логарифмами «0,5» означает половину пути умножения, т.е..5$ означает, что квадратный корень из 9 — 3 находится на полпути с точки зрения умножения, потому что это 1 в 3 и 3 в 9).

Взяв log(500,000), мы получим 5,7, добавим 1 к лишней цифре, и мы сможем сказать: «500,000 — это 6,7-значное число». Попробуйте здесь:

Порядок величины

Мы, гики, любим эту фразу. Это означает примерно «10-кратную разницу», но звучит круче, чем «на 1 цифру больше».

В компьютерах, где все считается битами (1 или 0), каждый бит имеет эффект удвоения (не 10x). 16 $ ~ 65 536 раз больше памяти, которую можно адресовать.

Процентные ставки

Как определить скорость роста? Страна не собирается расти со скоростью 8,56% в год. Вы смотрите на ВВП в один год и на ВВП в следующий, и логарифмируете, чтобы найти скрытых темпов роста .

Две мои любимые интерпретации натурального логарифма (ln(x)), то есть натуральный логарифм 1,5:

  • Если предположить, что рост составляет 100 %, как долго вам нужно расти, чтобы достичь 1.5? (0,405, менее половины периода времени)
  • Предположим, что 1 единица времени, как быстро вам нужно расти, чтобы достичь 1,5? (40,5% в год, непрерывное начисление)

Логарифмы — это то, как мы определяем, насколько быстро мы растем.

Шкала измерения: Google PageRank

Google присваивает каждой странице в сети рейтинг (PageRank), который является приблизительным показателем авторитетности/важности. Это логарифмическая шкала, которая в моем понимании означает «PageRank подсчитывает количество цифр в вашем балле». 4 доллара = 10 000).

Грубо говоря, у меня получается около 7000 посещений/день. Используя мою математику конвертов, я могу предположить, что CNN получает около 7000 * 10 000 = 70 миллионов посещений в день. (Как я это сделал? В моей голове я думаю, что 7000 $ * 10000 = 70 * k * k = 70 * M$). У них может быть в несколько раз больше (100M, 200M), но, вероятно, не до 700M.

Google передает много информации с очень грубой шкалой (1-10).

Шкала измерения: Рихтер, децибел и т. д.

Вздох. Мы находимся в типичном примере «логарифмов в реальном мире»: шкала Рихтера и децибел.Идея состоит в том, чтобы поместить события, которые могут сильно различаться (землетрясения), в единую шкалу с небольшим диапазоном (обычно от 1 до 10). Как и в случае с PageRank, каждое увеличение на 1 балл означает 10-кратное увеличение мощности. Самое сильное зарегистрированное человеком землетрясение было 9,5 балла; столкновение полуострова Юкатан, которое, вероятно, привело к вымиранию динозавров, составило 13.

децибела аналогичны, хотя могут быть отрицательными. Звуки могут варьироваться от очень тихих (пиндроп) до очень громких (самолет), и наш мозг может все это обрабатывать. В действительности звук двигателя самолета в миллионы (миллиарды, триллионы) раз мощнее пиндропа, и неудобно иметь шкалу от 1 до газиллиона.Логи держат все в разумных масштабах.

Логарифмические графики

Вы часто будете видеть элементы, построенные по «логарифмической шкале». В моей голове это означает, что одна сторона подсчитывает «количество цифр» или «количество умножений», а не само значение. Опять же, это помогает отображать сильно различающиеся события по единой шкале (от 1 до 10, а не от 1 до миллиардов).

Закон Мура — отличный пример: мы удваиваем количество транзисторов каждые 18 месяцев (любезно предоставлено Википедией).

Отличительной чертой логарифмических графиков является то, что экспоненциальные изменения (скорость процессора) отображаются в виде прямой линии. Рост в 10 раз в год означает, что вы неуклонно продвигаетесь вверх по шкале цифр.

Вперед и вверх

Если концепция известна, но не очень любима, значит, нам нужно развивать свою интуицию. Найдите аналогии, которые работают, и не соглашайтесь на помои, которые напичканы учебником. В голове:

  • Логарифмы находят основную причину эффекта (см. рост, находят процентную ставку)
  • Они помогают считать умножения или цифры с бонусом частичного счета (500k — это 6.0 = 1?)
  • Использование логарифмов в реальном мире
  • Как думать с помощью показателей и логарифмов
  • Сравнение дискретного и непрерывного роста
  • Что на самом деле означает показатель степени?
  • В: Почему e особенный? (2,718…, а не 2, 3,7 или другое число?)
  • 8.7- Решение задач с экспоненциальными и логарифмическими функциями

    Решение задач с экспоненциальными и логарифмическими функциями

    🌟Решение задач с помощью логарифмов и экспоненциального роста обычно используются в повседневной жизни, например, в химии (уровни pH), интенсивность звука, инвестиции , радиоактивный распад. Вот некоторые проблемы, которые включают в себя применение логарифмов в повседневной жизни.

    а) Решая проблемы с использованием уравнения журнала

    1) Химия PH уровень

    Пример: Данный [H +] = 0,001, найдите значение рН вещества

    Пример: при pH = 3 найдите концентрацию ионов водорода в веществе

      pH=-log(0.001)

    pH = — (- 3)

    pH = 3

    3 = -log [h +]

    -3 = log [h +]

    10-3 = 10 [H +]

    [H +] ]= 0,001

      

       2)   Интенсивность звука

    • Уровень интенсивности звука (измеряется в децибелах (дБ)) интенсивности звука (I) определяется как: дБ = 10 log (I/I o ), где Io — самая низкая интенсивность звука, которую может слышать человек, равная 10-12.

    • Пример: найдите уровень силы звука отбойного молотка, мощность звука которого составляет 10-3 Вт/м2.

    = 10Log (I / IO)

    = 10Log (10 -3 /10 -12 /10 -12 )

    = 10Log (10) -3 — (- 12)

    = 10Log10109

    = 109

    = 109 =90 дБ

       

       3)  Представление экспоненциальных значений с использованием шкалы Рихтера

    • выделение энергии при землетрясении

    • При расчете магнитуды или энергии, выделяемой во время землетрясения, используется логарифмическое уравнение logE=1.Используется 5M+K (где E — энергия, выделяемая в виде сейсмических волн, M — магнитуда, K — константа).

    • Пример: Учитывая, что магнитуда землетрясения A и землетрясения B составляет 9,5 и 7,8 соответственно, во сколько раз энергия, высвобожденная при землетрясении A, превышает энергию, высвобождаемую при землетрясении B?


             

    Землетрясение A:

    logEA 9(

    logEA = 9,01003K5) + K

    Logea = 14. 25 + K


    Землетрясение B:

    LogeB = 1,5 м + K

    LogeB = 1.5 (7.8) + K

    LogeB = 11,7 + K


    logEA-logEB=14.25+K-(11.7+K)

    logEA-logEB=14.25-11.7+KK

    logEA-logEB=2.55

    logEA/logEB=2.55

    EA/EB=1052.552.55 энергия, выделяемая в виде сейсмических волн при землетрясении A, примерно в 355 раз больше, чем при землетрясении B.5, часть а)2) и в).

    4) Инвестиции

    Инвесторы используют экспоненциальные уравнения для прогнозирования будущей прибыли.

    Экспоненциальные инвестиции можно решить с помощью следующего уравнения:

    A=P[1+(r÷n)] nt


    Однако, если сценарий обесценивается на определенную сумму/процент, уравнение теперь будет выглядеть так:

    A=P[1-(r÷n)] nt

    Где A= сумма ($)

    P=основная сумма ($)

    r=процентная ставка

    n=проценты начисляются; количество раз в год 

    t= время (в годах)

    • Пример. Вы инвестируете 2500 долларов США по ставке 16 % в год, начисляемой ежемесячно.Определите продолжительность времени, необходимого для инвестирования до $6500.

    Sub P=2500, r=16%= 0,16, n=12, A= 6500 в A=P[1+(r÷n)] nt

    A=P[1+(r÷n) NT

    = 6500 = 2500 [1+ (0,16 ÷ 12)] 12T

    = 6500 = 2500 (1.013) 12T

    Решина для T:

    (6500÷2500)=(1,013) 12т

    2.6 = (1.013) 12T Log2.6 = Журнал (1.013) 12T

    журнал (1.013) Журнал (1.013)

    12T = 73.97761765

    12 12

    T = 6.165

    ∴ Это займет примерно 6.165 лет.

            5) Радиоактивный распад:

    Ученые используют экспоненциальный рост для определения будущей массы элементов на основе их нынешней массы и периода полураспада.

    Уравнение можно представить следующим образом:

    A=A o •(1÷2) (t÷h)

    Где A= конечное количество
                A o = 0 2 1     
    h=период полураспада

     

    • Пример: радиоактивный элемент, углерод-14, имеет период полураспада 6.3 часа. Если мы начнем с 1 кг, сколько у нас будет через 24 часа?

    Sub A o = 1, t=24, h=6,3 в A=A o •(1÷2) (t÷h)

    A=A o •(1÷2 ) (т÷ч)

    A= 1•(0,5) (24÷6,3)

    A= 0,07 кг

    Примеры правила произведения логарифмов

    Основное правило произведения логарифмов представляет собой математическое соотношение между логарифмом произведения двух или более чисел и суммой их логарифмов.

    Использовать

    Свойство закона произведения логарифмов в основном используется в математике в двух случаях.

    1. Для сокращения суммы логарифмов двух или более величин как логарифма произведения величин.
    2. Разложить логарифм количества как сумму логарифмов двух или более величин, произведение которых равно количеству.

    Примеры

    Обратите внимание на каждый случай использования правила произведения в качестве формулы из следующих примеров.

    Преобразование суммы в форму произведения

    Если сумма двух или более логарифмических членов, основания которых совпадают и соединены знаком плюс, то сумма логарифмов величин может быть упрощенно записана как логарифм произведения величин по правилу произведения логарифмов.

    $(1) \,\,\,\,\,\,$ $\log{3} + \log{4}$

    $\ подразумевает \log{3}+\log{4} \,=\, \log{(3 \times 4)}$

    $\ подразумевает \log{3}+\log{4} \,=\, \log{12}$

    $(2) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{2}{5}$ $+$ $\log_{2}{6}$ $+$ $\log_{2} {7}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{2}{(5 \times 6 \times 7)}$ $\,=\,$ $\log_{2}{210}$

    $(3) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{e}{8} + \log_{e}{9} + \log_{e}{10} + \log_{e {11}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{e}{(8 \times 9 \times 10 \times 11)}$ $\,=\,$ $\log_{e}{7920}$

    $(4) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac{2}{3}\Bigg)}$ $+$ $\log_{27} {\Bigg(\dfrac{4}{5}\Bigg)}$ $+$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac{6}{7}\Bigg)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac {2}{3} \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{7}\Bigg)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac {2 \times 4 \times 6}{3 \times 5 \times 7}\Bigg)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\require{cancel} \log_{27}{ \Bigg(\dfrac{2 \times 4 \times \cancel{6}}{\cancel{3} \times 5 \times 7}\Bigg)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac {2 \times 4 \times 3}{1 \times 5 \times 7}\Bigg)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{27}{\Bigg(\dfrac {24}{35}\Bigg)}$

    $(5) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{x}{a} + \log_{x}{b} + \log_{x}{c}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{x}{(a \times b \раз в)}$

    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =\,\,$ $\log_{x}{abc}$

    Преобразование произведения в сумму

    Правило произведения логарифмов также используется для преобразования логарифма количества в сумму логарифмов количества путем преобразования количества в произведение двух или более количеств.

    $(1) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{3}{10}$

    $\implies \log_{3}{10}$ $\,=\,$ $\log_{3}{(2 \times 5)}$

    $\implies \log_{3}{10}$ $\,=\,$ $\log_{3}{2} + \log_{3}{5}$

    $(2) \,\,\,\,\,\,$ $\log{105}$

    $\ подразумевает \log{105} \,=\, \log{(3 \times 5 \times 7)}$

    $\ подразумевает \log{105} \,=\, \log{3} + \log{5} + \log{7}$

    $(3) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{17}{1430}$

    $\имплициты \log_{17}{1430} \,=\, \log_{17}{(2 \times 5 \times 11 \times 13)}$

    $\implies \log_{17}{1430}$ $\,=\,$ $\log_{17}{2}$ $+$ $\log_{17}{5}$ $+$ $\log_{ 17}{11}$ $+$ $\log_{17}{13}$

    $(4) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{a}{xy}$

    $\ подразумевает \log_{a}{xy} = \log_{a}{(x \times y)}$

    $\ подразумевает \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}$

    $(5) \,\,\,\,\,\,$ $\log_{e}{\Bigg(\dfrac{15}{7}\Bigg)}$

    $\ подразумевает \log_{e}{\Bigg(\dfrac{15}{7}\Bigg)} \,=\, \log_{e}{\Bigg(\dfrac{3 \times 5}{7} \Бигг)}$

    $\ подразумевает \log_{e}{\Bigg(\dfrac{15}{7}\Bigg)} \,=\, \log_{e} 3 + \log_{e}{\Bigg(\dfrac {5 {7}\Bigg)}$

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск