Как решать уравнения под корнем: Иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Корень слева, корень справа. Пример решения иррационального уравнения.

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). Метод решения нам указан. Общая схема действий по указанному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень выглядит так:

  • Осуществляется переход к уравнению, которое проще исходного в том смысле, что его проще решить. Для этого столько раз, сколько необходимо, последовательно выполняются следующие действия:
    • Уединяется радикал.
    • Выполняется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
    • Упрощается полученное уравнение.
  • Дальше решается полученное уравнение.
  • Если на первом этапе проводилось возведение обеих частей в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Пройдем первый этап. Для этого выполним тройку действий — уединение радикала, возведение в степень, упрощение – первый раз.

Уединять радикал нам не нужно, так как в заданном уравнении радикал уже уединен (в левой части уравнения стоит только корень). Переходим к возведению в степень обеих частей уравнения.

Возводим обе части уравнения в квадрат (степени корней равны двум, поэтому для дальнейшего освобождения от корней возводим именно в квадрат), имеем .

Теперь упрощаем вид полученного уравнения, осуществляя преобразования уравнений. Первым преобразованием будет замена выражений в левой и правой части тождественно равными им выражениями. Из определения корня следует, что выражение в левой части тождественно равно 9−x

2, а выражение в правой части тождественно равно x+9. Учитывая это, переходим к уравнению 9−x2=x+9. И еще упростим его вид:
9−x2−(x+9)=0,
9−x2−x−9=0,
−x2−x=0,
x2+x=0.

В последующих прохождениях тройки действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение – нет необходимости, так как мы уже получили довольно простое для решения уравнение, и на этом первый этап можно считать завершенным.

Переходим ко второму этапу метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень – к решению полученного уравнения. Для нахождения корней уравнения x2+x=0, а это неполное квадратное уравнение, представляем его левую часть в виде произведения, то есть, переходим к уравнению x·(x+1)=0, откуда видим, что x=0 или x+1=0, откуда x

1=0, x2=−1. Итак, уравнение, полученное на первом этапе, решено, оно имеет два корня x1=0, x2=−1. На этом второй этап завершен, переходим к последнему – третьему этапу.

Третий этап – это отсеивание посторонних корней. В нашем случае – это обязательное мероприятие. Действительно, мы прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, это преобразование приводит к уравнению-следствию. Более того, при переходе от уравнения к уравнению 9−x2−(x+9)=0 расширилась ОДЗ, что также могло привести к появлению посторонних корней. Итак, нам нужно отсеять посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой, то есть, подставим найденные корни x1=0, x2=−1 в исходное уравнение и посмотрим, дает ли это верные числовые равенства

:

Таким образом, иррациональное уравнение имеет два корня 0 и −1.

Приведем компактную запись решения:

Решение иррациональных уравнений: примеры (10 класс)

Сегодня я предлагаю вам разобрать вопрос, связанный с решением иррациональных уравнений (ЕГЭ профильного уровня). Эти уравнения можно найти в задании №13. Можно выделить несколько типов иррациональных уравнений, однако путь решения примерно одинаков и сводится к простому правилу – «избавится от иррациональности».

 

Разберемся на конкретном примере: 

 

Задание 13   

 

Решите уравнение 

Решение

 

Сделаем замену переменной:  Получаем:

Заметим, что  и, поэтому,  получаем:

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

 

Ответ: 

 

Итак, уравнение решено. На что обратить внимание?

      

Первое. В изначальном уравнении у нас присутствует «корень под корнем». Мы изящно выходим из этой ситуации, сделав замену внутреннего корня на новую переменную:  

      

Таким образом, мы получаем более простое иррациональное уравнение, в котором есть два радикала, связанные между собой знаком плюс.

Причем оба подкоренных выражения являются формулами сокращенного умножения. Первый корень – это квадрат суммы, а второй корень – это квадрат разности.

      

Далее решение продолжаем способом, при котором подкоренные выражения «сворачиваем» по соотвествующим формулам сокращенного умножения. Процедура эта стандартная, и в решении подробно не расписана.

      

Следующий этап, который тоже не расписан в решении: под корнем получаеся скобка в квадрате, что позволяет нам избавиться и от оставшихся радикалов.

      

Второй момент. Вот здесь находится первый подводный камень в решении данного уравнения. Необходимо помнить, что подкоренное выражение у нас всегда неотрицательное, т.е. «больше или равно нулю». Это позволяет записать подкоренные выражения, используя определение модуля. Что мы и сделали. У нас вместо суммы двух корней получилась сумма двух двучленов «по модулю».

 

Многие ученики бояся уравнений с модулями. Поверьте, это только из-за недостатка практики. Здесь работает простое правило: чем больше решаешь, тем меньше боишься!

      

Итак, имеем сумму двух выражений по модулю. Первое выражение сразу же может быть раскрыто на том основании, что при замене переменных мы, избавившись от радикала: , понимаем, что выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Отсюда и условие, что . На этом основании мы доказали, что первое выражение «по модулю» будет всегда положительное. Так как «2+положительное число y» всегда будет положительным.

      

И третий момент. Второе выражение «по модулю».

Это не так очевидно, как все предыдущее. Но посмотрите: выражение «y — 2» действительно меньше или равно нулю. Это кажется невероятным, но, согласно определению модуля, выражение под модулем действительно «меньше или равно нулю». Это условие позволяет нам понять, что значение «у» ограничено как «слева», так и «справа». Т.е «y» больше «0» — это ограничение «слева», и «y» меньше «2» — это и есть ограничение «справа».

 

На сегодня все. Желаю краcивых решений! И помните: математику проще полюбить, когда изучаешь её в приятной обстановке при помощи интересных заданий и креативных педагогов. Все это готова Вам предложить «Альфа-школа».

 

Автор: Андрей Найдёнов.

«Иррациональные уравнения, примеры решения», презентация

Дата публикации: .

Иррациональные уравнения


Ребята, не так давно мы с вами изучили новое множество чисел — иррациональные числа. Мы договорились называть любое число, содержащее корень квадратный, иррациональным. Так вот, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня квадратного, тоже называются иррациональными уравнениями. Такие уравнения возникли не из-за того, что математикам захотелось решать подобные уравнения. Существует множество реальных ситуаций, в которых вычисление каких-либо характеристик сводится к решению иррациональных уравнений. Например, при вычислении длины гипотенузы прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора) вполне может получиться иррациональное уравнение. Давайте научимся решать простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x-4}=4$.
Согласно определению корня квадратного, это выражение можно представить, как $2x-4=16$.
Нам удалось перейти от иррационального уравнения к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто.

Его корнем является число $x=10$.

Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение. Такой способ называется «методом возведения в квадрат». Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении уравнений этим методом.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x+10}=\sqrt{x-5}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения.
$2x+10=x-5$.
$x=-15$.
Но к сожалению, данное число не является решение исходного иррационального уравнения. Давайте подставим -15 в исходное уравнение: $\sqrt{-20}=\sqrt{-20}$.
Ребята, мы умеем вычислять корни квадратные только из положительных чисел. В данном случае выражение не имеет смысла, но тогда $x=-15$ не является корнем нашего уравнения. В таких случаях принято говорить, что получен посторонний корень. Рассмотренное нами иррациональное уравнение не имеет корней.

В случае иррациональных уравнений всегда проверяйте полученные корни!

Решим еще одно иррациональное уравнение: $\sqrt{2x^2+4x-23}=x+1$. 2-4t-21=0$.
$(t-7)(t+3)=0$.
Введем обратную замену $\sqrt{x}=7$ и $\sqrt{x}=-3$.
Из первого выражения имеем, что $х=49$, а второе не имеет смысла.
Ответ: $х=49$.

Задачи для самостоятельного решения


Решить уравнения:

1. $\sqrt{3-x}=3x+5$.
2. $\sqrt{x-13}-\sqrt{x+8}=-3$.
3. $x+2\sqrt{x}-24=0$.

05.Иррациональные уравнения и системы — MAPHY.COM

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

  • Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
  • Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать. Так возникают ошибки.

Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

  • во-первых, стать проще;
  • во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

  • во-первых, она опять-таки должна упроститься;
  • во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
  • в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
  • в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

 

Основные свойства степеней

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение.  Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т. е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

Решение уравнений с корнями [Видео и практика]

Привет! Добро пожаловать в это видео о решении уравнений с участием корней!

Прежде чем углубиться, давайте рассмотрим , что такое корень . Самый распространенный корень, который вы увидите, — это квадратный корень. Символ квадратного корня называется радикалом и выглядит следующим образом: \(\sqrt{ }\). Квадратный корень задает вопрос, какое число, умноженное само на себя (или возведенное в квадрат), даст мне число под радикалом?

Другие корни работают аналогичным образом.Когда у вас есть кубический корень, корень четвертой степени, корень пятой степени и т. д., он задает вопрос, какое число, умноженное само на себя три, четыре, пять раз, даст мне число под корнем? Способ, которым вы знаете, сколько раз нужно умножить число само на себя, определяется небольшим числом, помещенным в крючок подкоренного символа. Если числа там нет, предполагается, что это двойка или квадратный корень. Это пример корня четвертой степени из 16. Корень четвертой степени из 16, который, как вы можете сказать, является корнем четвертой степени по этой маленькой 4 на крючке.Равно корню четвертой степени из 2 умножить на 2 умножить на 2 умножить на 2. Так как двоек четыре, мы можем их вытащить, потому что мы ищем корень четвертой степени. И наш ответ 2.

Теперь, когда мы рассмотрели, что такое корни, давайте научимся решать уравнения, используя их, на примере:

Решите следующее уравнение относительно x.

Квадратный корень из х минус 3 равно 4.

Первое, что нам нужно сделать, чтобы получить х сам по себе, это избавиться от квадратного корня. Мы делаем это, выполняя противоположную операцию с обеими частями уравнения.Противоположностью квадратному корню является квадрат, поэтому возведем в квадрат обе стороны.

Это дает нам, что x минус 3 равно 16.

Теперь это выглядит как обычное уравнение, и мы знаем, что все, что нам нужно сделать, чтобы получить x само по себе, это прибавить три к обеим частям.

x равно 19. Это дает нам окончательный ответ.

Не так уж и плохо! Теперь давайте посмотрим на единицу с корнем, отличным от двойки. Давайте попробуем этот. Пятый корень из х плюс 7 равен 2.

Чтобы избавиться от нашего корня, мы должны сделать обратную операцию, а именно возвести обе стороны в степень.Поскольку у нас есть корень пятой степени, мы хотим возвести обе части в пятую степень.

Это дает нам, что x плюс 7 равно 32.

Вычитание 7 из обеих частей дает нам окончательный ответ: x равно 25.

Что, если корень не единственная вещь в левой части нашего уравнения ? Если это так, то нам нужно следовать порядку операций в обратном порядке, чтобы избавиться от всего, пока корень не станет сам по себе.

Рассмотрим следующий пример:

Кубический корень из x минус 9 плюс 6, умноженный на четыре, равно 18.

Если мы воспользуемся обратным порядком операций, то сначала нам придется избавиться от всех наших сложений и вычитаний, поэтому первое, что мы делаем, это вычитаем 6 из обеих частей.

Кубический корень из x минус 9, умноженный на четыре, равен 12.

Затем мы хотим разделить обе части на 4, чтобы получить корень сам по себе.
Кубический корень из х минус 9 равен 3.

Теперь мы отменяем корень, возводя в куб обе стороны.

Это дает нам x минус 9, равно 27.

Наконец, мы добавляем 9 к обеим частям, чтобы получить наш ответ.x равно 36.

Я хочу сделать еще один пример. На этот раз попытайтесь найти ответ самостоятельно, а затем проверьте, совпадает ли он с моим.

Умножить на 3 квадратный корень из х плюс 8 минус 12 равно 3.

Думаешь, угадал? Давайте проверим!

Во-первых, мы хотим добавить 12 к обеим сторонам.

Корень 3 х плюс 8 равно 15.

Затем обе части делим на 3.

Корень х плюс 8 равно 5.

Теперь возведем в квадрат обе стороны.

Это дает нам x плюс 8 равно 25.

И, наконец, мы собираемся вычесть 8 с обеих сторон, чтобы получить окончательный ответ.

x равно 17.

Надеюсь, этот обзор решения уравнений с корнями был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

9.6 Решение уравнений с квадратными корнями — Элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решение радикальных уравнений
  • Использование квадратных корней в приложениях

Будь готов 9.15

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Будь готов 9.16

Решите: 5(x+1)−4=3(2x−7)5(x+1)−4=3(2x−7).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.42.

Будь готов 9.17

Решите: n2−6n+8=0n2−6n+8=0.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 7.73.

Решение радикальных уравнений

В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых переменная стоит под корнем квадратного корня.Уравнения такого типа называются радикальными уравнениями.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная стоит под корнем квадратного корня, называется радикальным уравнением.

Как обычно, при решении этих уравнений то, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой его частью. Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем обе стороны в квадрат, чтобы удалить знак радикала и найти переменную внутри.

Но помните, что когда мы пишем аа, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так что a≥0a≥0 всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя в квадрат обе части, мы можем получить алгебраическое решение, которое сделает отрицательное значение аа. Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение . Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.

Пример 9,74

Для уравнения x+2=xx+2=x:

ⓐ Является ли x=2x=2 решением? ⓑ Является ли x=−1x=−1 решением?

Попытайся 9.

147

Для уравнения x+6=xx+6=x:

ⓐ Является ли x=−2x=−2 решением? ⓑ Является ли x=3x=3 решением?

Попытайся 9.148

Для уравнения −x+2=x−x+2=x:

ⓐ Является ли x=−2x=−2 решением? ⓑ Является ли x=1x=1 решением?

Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение. Наша стратегия основана на соотношении между извлечением квадратного корня и возведением в квадрат.

Fora≥0,(a)2=aFora≥0,(a)2=a

Пример 9,75

Как решать радикальные уравнения

Как

Решите радикальное уравнение.
  1. Шаг 1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
  2. Шаг 2. Возведите в квадрат обе части уравнения.
  3. Шаг 3. Решите новое уравнение.
  4. Шаг 4. Проверьте ответ.

Пример 9,76

Решите: 5n−4−9=05n−4−9=0.

Попытайся 9.151

Решите: 3m+2−5=03m+2−5=0.

Попытайся 9.152

Решите: 10z+1−2=010z+1−2=0.

Когда мы используем подкоренной знак, мы имеем в виду главный или положительный корень.Если уравнение имеет квадратный корень, равный отрицательному числу, то это уравнение не имеет решения.

Пример 9,78

Решите: 9k−2+1=09k−2+1=0.

Решение
Чтобы выделить радикал, вычтите 1 с обеих сторон.
Упрощение.
Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Попытайся 9.155

Решите: 2r−3+5=02r−3+5=0.

Попытайся 9.156

Решите: 7s−3+2=07s−3+2=0.

Если одна часть уравнения двучленная, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.

Биномиальные квадраты

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2

Не забудьте средний термин!

Пример 9.79

Решите: p−1+1=pp−1+1=p.

Попытайся 9.157

Решите: x−2+2=xx−2+2=x.

Попытайся 9.158

Решите: у-5+5=уу-5+5=у.

Пример 9,80

Решите: r+4−r+2=0r+4−r+2=0.

Решение
г+4-г+2=0г+4-г+2=0
Изолировать радикал. г+4=г-2г+4=г-2
Возведите в квадрат обе части уравнения. (r+4)2=(r−2)2(r+4)2=(r−2)2
Решите новое уравнение. г+4=г2-4г+4г+4=г2-4г+4
Это квадратное уравнение, поэтому с одной стороны получаем ноль. 0=r2−5r0=r2−5r
Фактор правой стороны. 0=r(r−5)0=r(r−5)
Используйте свойство нулевого продукта. 0=r0=r−50=r0=r−5
Решите уравнение. г=0р=5р=0р=5
Проверьте ответ.
Решение r=5r=5.
r=0r=0 — постороннее решение.

Попытайся 9.159

Решите: m+9−m+3=0m+9−m+3=0.

Попытайся 9.160

Решите: n+1−n+1=0n+1−n+1=0.

Если перед радикалом стоит коэффициент, его тоже нужно возвести в квадрат.

Пример 9,81

Решите: 33x−5−8=433x−5−8=4.

Решение
33x−5−8=433x−5−8=4
Изолировать радикал. 33x−5=1233x−5=12
Возведите в квадрат обе части уравнения. (33x−5)2=(12)2(33x−5)2=(12)2
Упростите, затем решите новое уравнение. 9(3x−5)=1449(3x−5)=144
Распределить. 27x−45=14427x−45=144
Решите уравнение. 27х=18927х=189
х=7х=7
Проверьте ответ.
Решение x=7x=7.

Попытайся 9.161

Решите: 24a+2−16=1624a+2−16=16.

Попытайся 9.162

Решите: 36b+3−25=5036b+3−25=50.

Пример 9,82

Решите: 4z−3=3z+24z−3=3z+2.

Решение
4z−3=3z+24z−3=3z+2
Крайние термины изолированы. 4z−3=3z+24z−3=3z+2
Возведите в квадрат обе части уравнения. (4z−3)2=(3z+2)2(4z−3)2=(3z+2)2
Упростите, затем решите новое уравнение. 4z−3=3z+2z−3=2z=54z−3=3z+2z−3=2z=5
Проверьте ответ.
Мы оставляем вам показать, что 5 чеков! Решение z=5.г=5.

Попытайся 9.163

Решите: 2x−5=5x+32x−5=5x+3.

Попытайся 9.164

Решите: 7y+1=2y−57y+1=2y−5.

Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения у нас все еще есть переменная внутри радикала. Когда это происходит, мы повторяем Шаг 1 и Шаг 2 нашей процедуры. Мы изолируем радикал и снова возводим в квадрат обе части уравнения.

Пример 9,83

Решение
м+1=м+9м+1=м+9
Радикал с правой стороны изолирован.Подровняйте обе стороны. (м+1)2=(м+9)2(м+1)2=(м+9)2
Упрощайте — будьте очень осторожны при умножении! м+2м+1=м+9м+2м+1=м+9
В уравнении все еще есть радикал. Поэтому мы должны повторить предыдущие шаги. Изолировать радикал. 2м=82м=8
Квадрат с обеих сторон. (2м)2=(8)2(2м)2=(8)2
Упростите, затем решите новое уравнение. 4м=644м=64
м=16м=16
Проверьте ответ.
Мы предоставляем вам показать, что m=16m=16 чеков! Решение: m=16. m=16.

Пример 9,84

Решите: q−2+3=4q+1q−2+3=4q+1.

Решение
q−2+3=4q+1q−2+3=4q+1
Радикал с правой стороны изолирован. Подровняйте обе стороны. (q−2+3)2=(4q+1)2(q−2+3)2=(4q+1)2
Упрощение. q−2+6q−2+9=4q+1q−2+6q−2+9=4q+1
В уравнении все еще есть радикал. Поэтому мы должны повторить предыдущие шаги. Изолировать радикал. 6q−2=3q−66q−2=3q−6
Квадрат с обеих сторон. (6q−2)2=(3q−6)2(6q−2)2=(3q−6)2
Упростите, затем решите новое уравнение. 36(q−2)=9q2−36q+3636(q−2)=9q2−36q+36
Распределить. 36q−72=9q2−36q+3636q−72=9q2−36q+36
Это квадратное уравнение, поэтому с одной стороны получаем ноль. 0=9q2−72q+1080=9q2−72q+108
Фактор правой стороны. 0=9(q2−8q+12)0=9(q2−8q+12)
0=9(q−6)(q−2)0=9(q−6)(q−2)
Используйте свойство нулевого продукта. q-6=0q-2=0q=6q=2q-6=0q-2=0q=6q=2
Чеки оставляются вам. (Оба решения должны работать.) Решения: q=6 и q=2. Решения: q=6 и q=2.

Попытайся 9.167

Решите: у-3+2=4у+2у-3+2=4у+2.

Попытайся 9.168

Решите: n−4+5=3n+3n−4+5=3n+3.

Использование квадратных корней в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы столкнетесь с формулами, содержащими квадратный корень, во многих дисциплинах. Мы уже использовали формулы для решения геометрических задач.

Мы будем использовать нашу стратегию решения задач для приложений геометрии с небольшими изменениями, чтобы получить план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Как

Решение приложений с формулами.
  1. Шаг 1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
  2. Шаг 2. Определите , что мы ищем.
  3. Шаг 3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
  4. Шаг 4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации.Замените предоставленную информацию.
  5. Шаг 5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
  6. Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Мы использовали формулу A=L·WA=L·W, чтобы найти площадь прямоугольника с длиной L и шириной W . Квадрат – это прямоугольник, у которого длина и ширина равны.Если мы возьмем s за длину стороны квадрата, площадь квадрата будет s2s2.

Формула A=s2A=s2 дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны. Что, если мы хотим найти длину стороны для данной площади? Затем нам нужно решить уравнение для s .

A=s2Возьмите квадратный корень из обеих сторон.A=s2Упростите.A=sA=s2Возьмите квадратный корень из обеих сторон.A=s2Упростите.A=s

Мы можем использовать формулу s=As=A, чтобы найти длину стороны квадрата для данной площади.

Площадь квадрата

Мы покажем это в следующем примере.

Пример 9,85

Майк и Лишель хотят сделать квадратный внутренний дворик. У них достаточно бетона, чтобы замостить площадь в 200 квадратных футов. Используйте формулу s=As=A, чтобы найти длину каждой стороны патио. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.Нарисуйте фигуру и
подпишите ее с помощью данной информации.
А = 200 квадратных футов
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Длина стороны квадратного патио.
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете,
выбрав переменную для ее представления.
Пусть с = длина стороны.
Шаг 4.Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель
для данной ситуации.
Заменить указанную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры
. Округлить до одного десятичного знака.
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и
убедитесь, что он имеет смысл.
Это достаточно близко, потому что мы округлили квадратный корень из
.
Подходит ли патио со стороной 14,1 фута?
Да.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным
предложением.
Каждая сторона патио должна быть 14,1 фута.

Попытайся 9.169

Кэти хочет посадить квадратную лужайку во дворе своего дома. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу s=As=A, чтобы найти длину каждой стороны ее лужайки. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Попытайся 9.170

Серджио хочет сделать квадратную мозаику для украшения стола, который он собирает. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу s=As=A, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до десятых долей сантиметра.

Другое применение квадратных корней связано с гравитацией.

Падающие объекты

На Земле, если объект падает с высоты hh футов, время в секундах, необходимое для достижения земли, определяется по формуле

.

Например, если предмет падает с высоты 64 фута, мы можем найти время, необходимое для достижения земли, подставив в формулу h=64h=64.

Извлеките квадратный корень из 64.
Упростите дробь.

Объекту, упавшему с высоты 64 фута, потребуется 2 секунды, чтобы достичь земли.

Пример 9,86

Кристи уронила солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой.Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы достичь реки.

Попытайся 9.171

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось пакету, чтобы достичь земли.

Попытайся 9.172

Мойщик окон уронил швабру с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось швабре, чтобы добраться до тротуара.

Полицейские, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратный корень, чтобы определить скорость в милях в час, которую двигала машина перед тем, как затормозить.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина следов заноса составляет d футов, то скорость автомобиля до торможения s можно найти по формуле

Пример 9,87

После автомобильной аварии следы заноса одной машины составили 190 футов.Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Попытайся 9.173

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Попытайся 9.

174

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, имели длину 122 фута.Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Раздел 9.6 Упражнения

Практика делает совершенным

Решение радикальных уравнений

В следующих упражнениях проверьте, являются ли заданные значения решениями.

389 .

Для уравнения x+12=xx+12=x: ⓐ Является ли x=4x=4 решением? ⓑ Является ли x=−3x=−3 решением?

390 .

Для уравнения −y+20=y−y+20=y: ⓐ Является ли y=4y=4 решением? ⓑ Является ли y=−5y=−5 решением?

391 .

Для уравнения t+6=tt+6=t: ⓐ Является ли t=−2t=−2 решением? ⓑ Является ли t=3t=3 решением?

392 .

Для уравнения u+42=uu+42=u: ⓐ Является ли u=−6u=−6 решением? ⓑ Является ли u=7u=7 решением?

В следующих упражнениях решите.

399 .

6v−2−10=06v−2−10=0

408 .


ⓐ u−3+3=uu−3+3=u
ⓑ x+1−x+1=0x+1−x+1=0

409 .


ⓐ v−10+10=vv−10+10=v
ⓑ y+4−y+2=0y+4−y+2=0

410 .


ⓐ r-1-r=-1r-1-r=-1
ⓑ z+100-z+10=0z+100-z+10=0

411 .


ⓐ с-8-с=-8с-8-с=-8
ⓑ ш+25-ш+5=0ш+25-ш+5=0

412 .

32x−3−20=732x−3−20=7

419 .

12с+6=10-4с12с+6=10-4с

420 .


ⓐ а+2=а+4а+2=а+4
ⓑ б-2+1=3б+2б-2+1=3б+2

421 .


ⓐ r+6=r+8r+6=r+8
ⓑ с-3+2=с+4с-3+2=с+4

422 .


ⓐ u+1=u+4u+1=u+4
ⓑ n−5+4=3n+7n−5+4=3n+7

423 .


ⓐ х+10=х+2х+10=х+2
ⓑ у-2+2=2у+4у-2+2=2у+4

Использование квадратных корней в приложениях

В следующих упражнениях решите.Округление до одного десятичного знака.

430 .

Ландшафтный дизайн Рид хочет иметь квадратный садовый участок на заднем дворе. У него достаточно компоста, чтобы покрыть площадь в 75 квадратных футов. Используйте формулу s=As=A, чтобы найти длину каждой стороны его сада. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

431 .

Ландшафтный дизайн Винс хочет сделать квадратный внутренний дворик в своем дворе. У него достаточно бетона, чтобы замостить площадь в 130 квадратных футов. Используйте формулу s=As=A, чтобы найти длину каждой стороны его внутреннего дворика.Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

432 .

Гравитация Создавая праздничные украшения, Рене уронила лампочку с вершины 64-футового дерева. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось лампочке, чтобы достичь земли.

433 .

Гравитация Самолет сбросил сигнальную ракету с высоты 1024 фута над озером. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось, чтобы ракета достигла воды.

434 .

Гравитация Дельтапланер сбросил свой мобильный телефон с высоты 350 футов. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось сотовому телефону, чтобы коснуться земли.

435 .

Гравитация Строитель уронил молоток во время строительства надземной части Гранд-Каньона на высоте 4000 футов над рекой Колорадо. Используйте формулу t=h5t=h5, чтобы найти, сколько секунд потребовалось молоту, чтобы достичь реки.

436 .

Расследование несчастного случая Длина следов заноса автомобиля, попавшего в аварию, составляет 54 фута.Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

437 .

Расследование несчастного случая Длина следов заноса автомобиля, попавшего в аварию, составляет 216 футов. Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

438 .

Расследование ДТП Следователь ДТП измерил следы заноса одного из автомобилей, попавших в аварию.Длина следов заноса составляла 175 футов. Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

439 .

Расследование ДТП Следователь ДТП измерил следы заноса одного из автомобилей, попавших в аварию. Длина следов заноса составляла 117 футов. Используйте формулу s=24ds=24d, чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Письменные упражнения
440 .

Объясните, почему уравнение вида x+1=0x+1=0 не имеет решения.

441 .
  1. ⓐ Решите уравнение r+4−r+2=0r+4−r+2=0.
  2. ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.
Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?

Радикалы, степени и корни. Решение уравнений

Решение уравнений

Решение уравнений, о которых вы никогда не думали 

Ну-ну, ну.Посмотрите, кто вернулся, чтобы узнать больше. Итак, вы думаете, что знаете основы, не так ли? Вы думаете, что освоили упрощающие радикалы? Как насчет дробных и отрицательных показателей? Это может быть правдой, но вы не усвоите эту главу до тех пор, пока не научитесь находить отсутствующую переменную. Это действительно все, что вам абсолютно необходимо.

Хорошо это или плохо, но мы предполагаем, что вы уже знакомы с основами решения алгебраических уравнений. Мы ложимся спать ночью, надеясь, что вы знаете, как складывать, вычитать, умножать и делить свой путь к решению для x .Тем не менее, одна вещь, которую вы могли видеть или не видеть раньше, это то, как отменить квадратный или квадратный корень, чтобы получить x в одиночестве.

Мы позволим себе сразу перейти к нескольким примерам задач. Думаем, вы быстро освоитесь.

А теперь иди лови мух.

Пример задачи

Решить для x .

В конечном счете, наша цель в любой ситуации решения состоит в том, чтобы получить переменную саму по себе.Для этого мы хотим отменить каждую операцию, выполненную с разрешением x . Первое, что нужно отменить, это квадратный корень, поэтому мы будем использовать операцию, обратную квадратному корню. Другими словами, возведите обе стороны в квадрат.


x + 2 = 9

Это упрощает управление. Давайте продолжим и отменим наше сложение, вычитая 2 с обеих сторон.

х + 2 = 9
х = 7

Мушка номер один: проверка.

Пример задачи

Решить для x .

В очередной раз перед нами стоит задача получить x само по себе. Мы начнем с упрощения этой сумасшедшей радикально экспоненциальной штуковины слева. Он также будет отвечать на свое другое имя: термин. Для этого нам нужно взять третий корень из (- х ) 3 . Так как это операции, обратные друг другу, мы имеем…

Красиво. Кубический корень уравновешивает показатель степени. Отсюда, это довольно простая алгебра. Мы закончим, добавив x и 2 с обеих сторон.

x + 4 = 2 x — 2
6 = 3 x

Наконец, чтобы отменить умножение, мы можем разделить обе части на 3. Это дает нам окончательный ответ.

6 = 3 x
2 = x

Пример задачи

Решить: .

Теперь мы говорим. Нашим первым шагом должно быть упрощение этой вещи. Вопрос: как? Все, что мы делаем, это переписываем левую часть, используя дробные показатели. Для правой стороны мы будем использовать наши свойства экспоненты, но оставим все положительно.После этого мы оценим нашу ситуацию.

Умножение обеих сторон на x здесь кажется подходящим способом. Однако, поскольку это означает, что x больше не находится в знаменателе, важно отметить, что независимо от того, куда нас приведет наша работа, x не может равняться 0.

x 1 + 3/ 2 = 1
x 2/2 + 3/2 = 1
x 5/2 = 1

Теперь уравнение можно записать двумя способами: 5/2 = 1 или .Мы фанаты возвращения к не дробной версии, чтобы довести дело до конца. Это позволяет нам легко увидеть, что нашим следующим шагом будет возведение в квадрат обеих сторон, чтобы мы могли избавиться от этого надоедливого квадратного корня.

x 5/2 = 1


x 5 = 1

Наконец, мы можем отменить показатель степени, взяв корень пятой степени из обеих частей.

x 5 = 1

x = 1

.Жизнь не всегда может быть такой доброй.

Пример задачи

Решить: .

Еще раз, нам нужно решить для x . Тем не менее, у него есть серьезная математическая броня: есть масса различных операций, защищающих его от одиночества. Пора вырубать их одного за другим. Для начала добавим по 3 с обеих сторон.

Затем мы сокращаем кубические корни путем возведения в куб обеих сторон.

x 2 + 2 = 27

Чтобы отменить прибавление 2, мы вычтем 2 из обеих сторон.Ничего удивительного.

x 2 + 2 = 27
x 2 = 25

Наконец, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей, чтобы найти ответ. Однако вот в чем дело: каждое положительное действительное число на самом деле имеет два квадратных корня. Мы узнаем, что такое действительное число, чуть позже, а пока скажем так:

x 2 = 25

x = ±5

Этот символ ± называется » знак плюс-минус» и просто означает, что у нас есть два решения, +5 или -5.

Пример задачи

Решить: .

Эта задача выглядит достаточно просто. Верно? Поскольку мы не можем комбинировать здесь подобные термины, мы хотим избавиться от этого надоедливого квадратного корня. Для этого у нас нет другого выбора, кроме как возвести в квадрат обе стороны.



( х + 3) 2 = 16 х

Отлично. Раньше все не выглядело слишком сложным, но теперь слева есть бином. Угу. По крайней мере, у нас не осталось квадратных корней. В этот момент первое, что могут сделать молодые нубы, — это просто сидеть и смотреть.Но надо же что-то делать. Почему бы не умножить двучлен?

( x + 3) 2 = 16 x
( x + 3) ( x + 3) = 16 x
x
2 + 6 x + 9 16 x

Пока что все не так радужно. Но ты должен признать, что мы приближаемся. В прошлый раз, когда у нас был квадрат, лучшим способом решения было установить значение равным 0. Та же идея применима и здесь. Вычтем 16 x с обеих сторон.

x

5 x x 2 x + 9 = 9 = 16 x придется вывести квадратную формулу. Видите, что мы имеем в виду, говоря, что это раздел для ловли мух? К счастью для нас, квадратичные множители очень хороши.

х 2 – 10 х + 9 = 0
( х – 1)( х – 9) = 0

один из них просто должен быть 0.Нет выбора. Чтобы решить, мы установим каждый фактор равным 0. Это даст нам два решения:

( x – 9) = 0
x = 9

Или:

( x – 1) = 0
x = 1

Стрела. Жареный.

Решение радикальных уравнений с двумя радикальными членами — видео и расшифровка урока

Основные уравнения с двумя радикальными членами

Что делать, если уравнение имеет более одного радикального члена? Если это единственное, что у него есть, два слагаемых, каждое под радикальным знаком, то вам просто нужно возвести их оба в квадрат, а затем решить.

sqrt(5 x + 3) = sqrt(3 x + 7)

Квадрат с обеих сторон. Квадратный и квадратный корень компенсируют друг друга, в результате чего получается 5 91 260 x 91 261 + 3 = 3 91 260 x 91 261 + 7. Затем найдите 91 260 x 91 261 . 2 91 260 x 91 261 = 4 и 91 260 x 91 261 = 2.

Что, если в уравнении помимо двух радикалов есть и другие члены? Это делает решение немного более трудным для решения, но, конечно, не невозможным. Нам просто нужно дважды выполнить шаги, используемые для решения радикального уравнения с одним радикалом.Вот пример. Решите √ ( x — 3) + √ x = 3.

Первым шагом всегда является выделение подкоренных символов на одной стороне уравнения. Поскольку в этой задаче радикалы уже есть только слева, мы можем перейти к следующему шагу. Следующим шагом является возведение в квадрат обеих частей уравнения.

Помните, что когда вы возводите двучлен в квадрат, вы используете метод FOIL для умножения двучлена на самого себя. Метод FOIL — это простой способ запомнить, какие термины нужно перемножать.Это мнемоника, которая означает:

F = Первый — умножить первые два члена в каждом двучлене
O = Внешний — умножить внешние члены в каждом двучлене
I = Внутри — умножить внутренние члены в каждом двучлене
L = Последний — умножить два последних члена в каждом двучлене

Когда мы выпишем левую часть этого уравнения, чтобы решить его, оно будет выглядеть так:

Когда мы умножаем первые два члена, мы получаем x — 3, потому что √( x — 3) умножить на x — 3.Умножение внешних членов немного сложнее. Выглядит это так:

Нам нужно распределить квадратный корень из x , умножить его как на x , так и на 3 в другом члене. Ответ получаем такой:

То же самое верно для двух внутренних членов, и результат тоже тот же. Для последних двух членов квадратный корень из x , умноженный на квадратный корень из x , равен x .2 — 3 x ) = 9.

Теперь, поскольку у нас все еще есть радикал в уравнении, нам нужно еще раз выполнить процесс возведения в квадрат. Помните, что первым шагом в этом процессе является выделение радикала. Мы делаем это, сначала вычитая 2 x и добавляя 3 к обеим частям уравнения. Это перемещает оба этих члена из левой части уравнения в правую.

Мы еще не закончили. Нам все еще нужно разделить обе части уравнения на 2, чтобы полностью изолировать член квадратного корня.Теперь мы можем возвести в квадрат обе части уравнения. Не забывайте, что когда вы возводите двучлен в квадрат, вы должны использовать метод FOIL для умножения. После умножения это уравнение:

Теперь мы можем объединить одинаковые члены, чтобы получить 9 x = 36. Затем мы разделим обе части на 9, чтобы получить x = 4.

Не забывайте, когда мы решаем радикальное уравнение, нам нужно проверить наш ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.Тогда решение этого уравнения дает нам 3 = 3, поэтому мы знаем, что наш ответ правильный.

Краткий обзор урока

При решении радикальных уравнений вам нужно выделить радикал, а затем возвести в квадрат обе части уравнения. Если в уравнении есть два радикальных члена, вам нужно выполнить шаги дважды, чтобы полностью удалить радикал. Как только это будет сделано, вы можете решить уравнение. В качестве последнего шага важно проверить свой ответ, подставив его обратно в исходное уравнение и решив.Если ответы совпадают, то у вас есть правильный ответ.

Результат обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы сможете решить радикальное уравнение, которое имеет два радикальных члена.

Решение квадратных уравнений с использованием свойства квадратного корня — промежуточная алгебра, но на этот раз клонировано, не импортировано

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня
  • Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. Упрощение:

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

  2. Упрощение: .

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

  3. Коэффициент: .

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида x 2 + bx + c = 0, где . Квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений наличием квадратного члена с переменной, возведенной во вторую степень формы x 2 .Мы используем разные методы для решения квадратных уравнений, чем линейные уравнения, потому что простое сложение, вычитание, умножение и деление членов не изолирует переменную.

Мы видели, что некоторые квадратные уравнения можно решить с помощью факторизации. В этой главе мы изучим три других метода, которые можно использовать в случае, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители.

Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня

Мы уже решили некоторые квадратные уравнения методом факторизации.Давайте рассмотрим, как мы использовали факторинг для решения квадратного уравнения x 2 = 9,

.

Мы можем легко использовать факторинг, чтобы найти решения подобных уравнений, таких как x 2 = 16 и x 2 = 25, потому что 16 и 25 являются полными квадратами. В каждом случае мы получили бы два решения, а

Но что произойдет, если мы получим уравнение типа x 2 = 7? Поскольку 7 не является полным квадратом, мы не можем решить уравнение с помощью факторизации.

Ранее мы узнали, что, поскольку 169 — это квадрат 13, мы также можем сказать, что 13 — это квадратный корень из 169. Кроме того, (−13) 2 = 169, поэтому −13 также является квадратным корнем из 169. Следовательно, и 13, и -13 являются квадратными корнями из 169. Таким образом, каждое положительное число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный. Ранее мы определили квадратный корень числа следующим образом:

.

Поскольку все эти уравнения имеют форму x 2 = k , определение квадратного корня говорит нам, что решения представляют собой два квадратных корня из k .Это приводит к свойству квадратного корня.

Свойство квадратного корня

Если х 2 = к , то

Обратите внимание, что свойство Square Root дает два решения уравнения формы x 2 = k , главного квадратного корня и его противоположности. Мы могли бы также записать решение как Мы читаем это как x равно положительному или отрицательному квадратному корню из k .

Теперь мы снова решим уравнение x 2 = 9, на этот раз используя свойство квадратного корня.

Что происходит, когда константа не является точным квадратом? Давайте воспользуемся свойством квадратного корня, чтобы решить уравнение x 2 = 7,

.

Мы не можем упростить, поэтому оставляем ответ радикальным.

Как решить квадратное уравнение вида x 2 = k Используя свойство квадратного корня

Решить:

Решить:

Решить:

Здесь перечислены шаги, необходимые для использования свойства Square Root для решения квадратного уравнения.

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.

  1. Выделить квадратичный член и сделать его коэффициент равным единице.
  2. Использовать свойство квадратного корня.
  3. Упростите радикал.
  4. Проверьте решения.

Чтобы использовать свойство Square Root, коэффициент переменного члена должен быть равен единице. В следующем примере мы должны разделить обе части уравнения на коэффициент 3, прежде чем использовать свойство квадратного корня.

Решить:

Решить:

Решить:

Свойство квадратного корня указывает «Если», что произойдет, если это будет иметь место в следующем примере.

Решить: .

Решить:

Решить:

Наш метод работает и тогда, когда в уравнении встречаются дроби, решаем как любое уравнение с дробями. В следующем примере мы сначала выделяем квадратичный член, а затем делаем коэффициент равным единице.

Решить:

Решить:

Решить:

В решениях некоторых уравнений в радикалах могут быть дроби. Когда это происходит, мы должны рационализировать знаменатель.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение квадратных уравнений вида

a ( x h ) 2 = k Используя свойство квадратного корня

Мы можем использовать свойство квадратного корня, чтобы решить уравнение вида a ( x h ) 2 = k .Обратите внимание, что квадратичный член x в исходной форме x 2 = k заменен на ( x h ).

Первый шаг, как и прежде, состоит в том, чтобы изолировать терм, у которого переменная возведена в квадрат. В данном случае бином возводится в квадрат. После того, как бином будет выделен путем деления каждой стороны на коэффициент a , свойство квадратного корня можно использовать для ( x h ) 2 .

Решить:

Решить:

Решить:

Помните, что когда мы извлекаем квадратный корень из дроби, мы можем извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно.

Решить:

Решить:

Мы начнем решение следующего примера с выделения биномиального члена.

Решить:

Решить:

Решить:

Иногда решения представляют собой комплексные числа.

Решить:

Решить:

Решить:

Левые части уравнений в следующих двух примерах, кажется, не имеют формы a ( x h ) 2 . Но они представляют собой совершенные квадратные трехчлены, поэтому мы приведем их к нужному нам виду.

Решить:

Мы замечаем, что левая часть уравнения представляет собой совершенный квадратный трехчлен.Мы учтем это в первую очередь.

Решить:

Решить:

Практика делает совершенным

Решение квадратных уравнений вида x 2 = k Использование свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Решение квадратных уравнений вида a ( x h ) 2 = k Использование свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите, используя свойство Square Root.

Письменные упражнения

Своими словами объясните свойство квадратного корня.

Объясните своими словами, как использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

Выберите, как бы вы отреагировали на утверждение «Я могу решить квадратное уравнение вида a, умноженное на квадрат x минус h, равно k, используя свойство квадратного корня». «Уверенно», «с некоторой помощью» или «Нет, я не понимаю.

ⓑ Если большинство ваших чеков было:

…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретной.

…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе.Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

…нет – не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.

Урок Видео: Решение квадратных уравнений: Извлечение квадратных корней

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся решать квадратные уравнения без линейного члена, используя свойство квадратного корня. Давайте начнем это видео с повторения что такое квадратные уравнения.

Квадратное уравнение – это уравнение вида 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 константы и 𝑎 не равно нулю.Причина, по которой 𝑎 не равно ноль, если бы это было, у нас не было бы члена в 𝑥 в квадрате, и тогда уравнение будет просто линейным уравнением. Пример квадратного уравнения может быть два 𝑥 в квадрате плюс 𝑥 больше двух минус три равно нулю.

Когда дело доходит до решения квадратное уравнение, это на самом деле означает, что мы пытаемся найти значение 𝑥. Квадратные уравнения будут иметь до два разных решения для 𝑥.И есть ряд различных пути, которые мы можем решить. Например, мы могли бы решить квадратное уравнение факторингом или даже путем рисования графика. В этом видео мы рассмотрим, как мы можно использовать свойство квадратного корня. Мы можем найти квадратный корень из квадратное уравнение, если оно не имеет линейного члена. Это термин в 𝑥. Так что это будет иметь форму 𝑎𝑥 квадрат плюс 𝑐 равно нулю. Давайте посмотрим на пример.

Допустим, у нас есть уравнение 𝑥 в квадрате равно 25. Чтобы решить это для 𝑥, мы могли бы взять квадратный корень из обеих частей этого уравнения. А так как квадратный корень из 25 равен равно пяти, мы могли бы сказать, что 𝑥 равно пяти. Однако мы также должны помнить что минус пять, умноженный на минус пять, также дает ответ 25. Поэтому нам нужно учитывать как положительные и отрицательные корни.Мы можем сделать это, используя плюс или знак минус. Итак, 𝑥 равно плюс-минус пять. указывает на два разных решения: 𝑥 равно положительной пятерке, а 𝑥 равно отрицательной. пять. Но знак плюс или минус позволяет нам это писать удобнее. Давайте теперь посмотрим на некоторые вопросы.

Решите 𝑥 плюс шесть в квадрате равно четыре.

Мы можем вспомнить, что когда мы решая уравнение, мы ищем значение 𝑥.Итак, давайте посмотрим, как мы приступим решение этого уравнения. Один из способов решения этого уравнения было бы, извлекая квадратный корень из обеих частей. Это дает нам 𝑥 плюс шесть равно квадратный корень из четырех. Но мы должны помнить, что когда мы извлекаем квадратные корни, нам нужно учитывать как положительные, так и отрицательные корни. И мы можем сделать это с помощью плюс или минус символ.Это равносильно тому, чтобы сказать 𝑥 плюс шесть равно положительному квадратному корню из четырех, а 𝑥 плюс шесть равно отрицательному квадрату корень четыре. Извлечение квадратного корня из четырех дает нам ответ два. Итак, в правой части имеем плюс-минус два.

Чтобы найти 𝑥 самостоятельно, мы вычесть шесть из обеих частей уравнения. Теперь мы можем записать два решения: 𝑥 равно положительному результату: два вычесть шесть или 𝑥 равно минусу два вычесть шесть.Положительные два вычесть шесть дает нам минус четыре, и минус два вычесть шесть дает нам минус восемь. Итак, у нас есть 𝑥 равно минус четыре или 𝑥 равно отрицательной восьмерке. И это будет нашим ответом на вопрос. Но важно помнить, что мы не говорим, что только одно из этих решений будет работать. Мы говорим, что оба работай.

Мы можем проверить наши ответы по подставляя оба из них обратно в исходное уравнение.Когда 𝑥 равно минус четырем, минус четыре плюс шесть даст нам два. И два в квадрате равны четыре. И когда 𝑥 равно отрицательному восемь, у нас будет минус восемь плюс шесть, что равно минус два. И минус два в квадрате тоже равняется четырем. И вот наш ответ.

Но стоит отметить, что есть по крайней мере, еще один метод, который мы могли бы использовать для решения этой проблемы. Мы могли бы начать с расширения скобки.𝑥 плюс шесть все в квадрате эквивалентно 𝑥 плюс шесть, умноженное на 𝑥 плюс шесть. Использование такого метода, как FOIL, то дали нам 𝑥 в квадрате плюс шесть 𝑥 плюс шесть 𝑥 плюс 36 равно четырем. И тогда мы могли бы упростить на собираем наши условия в 𝑥. Для того, чтобы получить все наши условия на с одной стороны и ноль с другой, тогда нам нужно будет вычесть четыре.

Чтобы решить это уравнение, теперь нам нужно учитывать фактор.Итак, 𝑥 в квадрате плюс 12𝑥 плюс 32. в левой части множители в скобках 𝑥 плюс четыре и 𝑥 плюс восемь. Чтобы решить это, у нас есть 𝑥 плюс четыре равно нулю или 𝑥 плюс восемь равно нулю, что означает, что 𝑥 равно отрицательному четыре или 𝑥 равно отрицательной восьмерке. Это тот же ответ, который мы получили когда мы нашли квадратный корень. Оба эти метода действительны методов для решения этого уравнения, но, безусловно, требуется гораздо меньше усилий. при нахождении квадратного корня.

Посмотрим на другой вопрос.

Найдите набор решений уравнение четыре над 𝑥 равно 𝑥 над девятью.

Чтобы начать решать эту проблему, мы может взять перекрестное произведение. Четыре умножить на девять дает нам 36, и 𝑥, умноженное на 𝑥, дает нам 𝑥 в квадрате. Мы можем написать это, если мы предпочитаем, как 𝑥 в квадрате равно 36. Теперь мы могли бы легче заметить что это квадратное уравнение, так как у нас есть член в квадрате 𝑥 и никакое другое высшая степень 𝑥.

Самый быстрый способ решить эту проблему найти значение 𝑥, чтобы взять квадратный корень из обеих частей уравнения. Когда мы извлекаем квадратные корни, важно, чтобы мы рассматривали как положительные, так и отрицательные решения. Итак, 𝑥 равно плюс или минус квадратный корень из 36. Квадратный корень из 36 равен шести. Итак, у нас есть 𝑥 равно плюс или минус шесть. Но мы должны дать наш ответ как набор решений.Поэтому мы даем ответ, что это набор шесть и минус шесть.

Конечно, всегда стоит проверяя наш ответ, подставляя наши значения обратно в исходное уравнение. Когда 𝑥 равно шести, у нас будет четыре больше шести равно шесть больше девяти. И мы знаем, что оба эти дроби равны двум третям. Когда 𝑥 равно минус шести, у нас были бы отрицательные четыре шестых равны отрицательным шести девятым.И оба они эквивалентны отрицательные две трети. Таким образом, мы подтвердили, что ответ это набор шесть и отрицательная шесть.

Посмотрим на другой вопрос. При желании вы можете приостановить видео и посмотрите, сможете ли вы найти решение.

Найдите набор решений уравнение 𝑥 минус пять в квадрате равно 100 в системе рациональных чисел.

Один из методов, который мы можем использовать для решить, чтобы найти значение 𝑥, переставив это уравнение.Мы бы начали с того, что заметили, что поскольку у нас есть квадрат с левой стороны, мы хотим сделать обратное операция, заключающаяся в нахождении квадратного корня из обеих частей этого уравнения. Мы также хотим рассмотреть положительные и отрицательные решения нашего квадратного корня. Итак, мы пишем, что 𝑥 минус пять равно равно плюс-минус квадратному корню из 100. Помните, что наше уравнение, которое мы есть квадратное уравнение, а квадратные уравнения могут иметь до двух разных решения.Мы должны признать, что 100 — это идеальный квадрат. Так что это даст нам плюс или минус 10 с правой стороны.

Чтобы найти 𝑥 самостоятельно, мы затем нужно добавить пять к обеим частям этого уравнения, что даст нам 𝑥 равно плюс или минус 10 плюс пять. Немного чище писать это как 𝑥 равно пяти плюс-минус 10, но на самом деле это не имеет значения. Теперь нам нужно найти наши два разные решения.У нас будет 𝑥 равно пяти плюс 10 а 𝑥 равно пяти минус 10. Пять плюс 10 равно 15, а пять минус 10 минус пять. И мы указываем эти два решения говоря, что 𝑥 равно 15 или 𝑥 равно минус пять.

Давайте проверим эти значения в нашем исходное уравнение. Когда 𝑥 равно 15, у нас будет 15 минус пять, что равно 10, а 10 в квадрате дает нам 100. Второе решение, когда 𝑥 равно равно минус пять, у нас было бы минус пять вычесть пять, что было бы минус 10.И минус 10 в квадрате тоже дает нам 100. Наконец, нам нужно дать наш ответ как набор решений. Итак, мы пишем множество минус пять, 15.

В следующем вопросе мы увидим, как иногда нам нужно сделать немного больше перестановок, прежде чем мы найдем квадратные корни.

Определить набор решений уравнение минус два 𝑥 в квадрате плюс 15 равно 𝑥 в квадрате минус 12.

Чтобы начать решать это квадратное уравнение, нам нужно собрать воедино подобные члены.Мы можем начать с вычитания 𝑥 в квадрате от обеих частей уравнения. Это дает нам минус три 𝑥 квадрат плюс 15 равняется минус 12. Затем мы вычитаем 15 из обоих стороны, что дает нам минус три 𝑥 в квадрате равно минусу 27. На следующем шаге мы делим оба стороны этого уравнения на минус три. Итак, 𝑥 в квадрате равно девяти.

На последнем шаге нам нужно сделать операция, обратная возведению в квадрат, извлечение квадратного корня.Однако мы должны помнить как о положительные и отрицательные квадратные корни. Итак, 𝑥 равно плюс или минус три. И мы пишем это, потому что оба положительная тройка, умноженная на положительную тройку, дает нам девять и отрицательную тройку. умножение на минус три дает нам девять.

Важно помнить этот символ плюс или минус, когда мы решаем квадратные уравнения, как это будет указывать два разных решения квадратного уравнения.В этом случае они будут 𝑥 is равно трем или 𝑥 равно отрицательному трем. Здесь мы даем ответ в наборе обозначение как минус три, три.

В последнем вопросе мы увидим пример, когда метод квадратного корня не дает никаких решений.

Определить набор решений уравнение 44𝑥 в квадрате плюс девять равно нулю, учитывая, что 𝑥 является элементом множества действительных чисел.

Начнем решать это уравнение переставив его так, чтобы изолировать член в квадрате 𝑥. Таким образом, вычитая девять с обеих сторон этого уравнения дает нам 44 𝑥 в квадрате равно отрицательным девяти. Далее делим обе части на 44, поэтому 𝑥 в квадрате равно минус девяти на 44. Затем мы можем извлечь квадратный корень из обе части этого уравнения, и мы рассматриваем как положительные, так и отрицательные корни.Поэтому мы можем написать, что 𝑥 есть равно плюс-минус квадратному корню из отрицательных девяти из 44.

Однако вы могли заметить, что мы иметь проблему. И это факт, что мы пытаемся чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Ни одно из этих решений 𝑥 дает нам ответ, который является действительным числом, поскольку оба они берут квадратный корень из отрицательное значение. Для этого нет решений ответ в наборе действительных чисел.Тогда в качестве набора ответ будет нулевой набор.

Прежде чем мы закончим с этим вопрос, есть несколько вещей, на которые следует обратить внимание. Во-первых, неважно, какой метод, который мы используем для решения этой проблемы. У нас не было бы решения в реальных числах. Во-вторых, если бы мы рассмотрели график функции 𝑓 от 𝑥 равен 44𝑥 в квадрате плюс девять, не имея решения для 𝑥 просто означает, что график не проходит через ось 𝑥.

Теперь подведем итоги по ключевым моментам. этого видео. Мы увидели, как мы можем использовать квадрат корневой метод для решения квадратного уравнения, и мы можем сделать это, используя шаги ниже. Во-первых, если это еще не сделано, нам нужно собрать члены в квадрате 𝑥 вместе и собрать постоянные члены на другая сторона уравнения. Затем извлекаем квадратный корень из обе части уравнения.Наконец, мы должны учитывать как положительные и отрицательные значения корней. Знак плюс или минус полезен способ указать эти два значения.

6.4 Радикальные функции и уравнения – Алгебра колледжа для управленческих наук

Наряду с радикальными функциями и уравнениями мы также должны рассматривать рациональные показатели.

Напомним, что   В целом, .

На самом деле мы можем пойти еще дальше и посмотреть на .Помните, что было бы разумно сказать, что или .

Для любого номера в домене и отличного от нуля:

Когда мы говорим о радикальной функции, мы также можем рассматривать функции рационального показателя: эквивалентно   Мы также можем рассматривать такие функции, как .

На следующих графиках показаны несколько различных радикальных и рациональных экспоненциальных функций:

Функция кубического корняФункция квадратного корня

 

 

x в функции степени 2/3

Обратите внимание, что область определения равна, а область определения равна Мы можем найти кубические корни отрицательных чисел, и фактически мы можем найти корень n-й степени любого отрицательного числа, когда n нечетно.Однако, когда n четное, домен будет ограничен тем, что находится под знаком квадратного корня, превышающим ноль.

Найти домен:

а.

Поскольку это четный корень, нам нужно убедиться, что то, что находится под радикалом, неотрицательно, поэтому домен будет где или

б.

Поскольку рациональный показатель имеет нечетное число в знаменателе, домен не имеет ограничений, поэтому домен равен

.
Решение уравнений с рациональными показателями

Когда мы решаем уравнения, мы хотим изолировать переменную .Учтите, что если мы возьмем обе стороны в степень, то мы уменьшим степень 1/2:

.

  значит

  1. Изолировать выражение, приведенное к рациональному показателю
  2. Возведите обе части в степень обратной величины этого показателя
  3. Решить полученное уравнение
  4. ВСЕГДА проверяйте наличие посторонних растворов

Этот метод может привести к решениям, которые на самом деле не делают уравнение верным, они называются посторонними решениями.По этой причине важно всегда проверять свои ответы в исходном уравнении.

а. Решите уравнение

б. Решите уравнение

Решение радикальных уравнений

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие переменные в подкоренной и (выражение под подкоренным символом), например

   

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному. Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, так как нет ничего необычного в том, чтобы найти посторонние решения.Это когда мы правильно решаем уравнение, а одно или несколько возможных решений неверны из-за возведения обеих частей в степень и потери отрицательных значений. Поэтому крайне важно, чтобы решения радикальных уравнений всегда проверялись в исходном уравнении.

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренном элементе, называется радикальным уравнением .

Чтобы решить радикальное уравнение:

  1. Выделите подкоренное выражение с одной стороны и поместите все остальные члены с другой стороны. (Если есть более одного радикала, сначала выберите тот, который кажется самым сложным.)
  2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите в квадрат обе части уравнения. Если это кубический корень, возведите в куб обе стороны… если это n-й корень, возведите обе стороны в n-ю степень.
  3. Решите оставшееся уравнение.
  4. Если радикальный термин все еще остается, повторите шаги 1-3.
  5. ВСЕГДА подтверждайте решения, подставляя их в исходное уравнение для поиска посторонних решений.

Решить радикальное уравнение:

Подсказка: помните, что

Решите уравнения и проверьте наличие посторонних решений:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск