Как решать уравнения с переменной: Решение уравнения методом введения новой переменной — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Пример введения двух переменных для решения иррационального уравнения

Решить уравнение

Анализируя внешний вид уравнения, можно прийти к выводу, что из стандартных способов решения иррациональных уравнений стоит попробовать разве что функционально-графический метод решения уравнений. Он действительно позволяет решить это уравнение (решение этим методом можно посмотреть здесь). В данной статье мы рассмотрим неожиданный способ решения этого уравнения, который предложен в учебнике алгебры за 11 класс Мордковича А. Г. [1], который состоит во введении двух переменных .

Введенные таким способом переменные приводят к уравнению u+v=2. Понятно, что для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно, нам нужно еще одно уравнение с этими переменными. Такое уравнение можно получить из системы , разрешив каждое уравнение относительно x и приравняв правые части:

Так мы к уравнению u+v=2 получили еще одно уравнение u4+v4

=16. Теперь мы имеем возможность найти u и v, решив систему уравнений .

Решать ее можно так: в первом уравнении выразить одну переменную через другую, осуществить подстановку во второе уравнение, решить полученное уравнение, после чего по первому уравнению найти значение оставшейся переменной.

Однако — это симметрическая система, и автор предлагает решать ее соответствующим образом (решение симметрических систем разобрано в уже упоминавшемся учебнике [1]). Для этого вводим две новые переменные . В новых переменных первое уравнение системы будет иметь вид p=2, а чтобы ввести новые переменные во втором уравнении, нужно выразить u4+v4 через u+v и u·v. Для этого запишем четвертую степень суммы двух переменных u и v. По формуле бинома Ньютона имеем:
(u+v)4=u4+4·u3·v+6·u2

·v2+4·u·v3+v4=
=u4+v4+4·u·v·(u2+v2)+6·u2·v2=
=u4+v4+4·u·v·((u+v)2−2·u·v)+6·u2·v2=
=u4+v4+4·u·v·(u+v)2−8·u2·v2+6·u2·v2=
=u4+v4+4·u·v·(u+v)2−2·u2·v2=
=u4+v4+4·u·v·(u+v)2−2·(u·v)2

Отсюда u4+v4=(u+v)4−4·u·v·(u+v)2+2·(u·v)2, что позволяет перейти к новым переменным p и q, имеем u4+v4=p4−4·q·p2+2·q2.

Таким образом, от системы путем введения новых переменных мы переходим к системе . Решаем ее.

Подставив во второе уравнение p=2, придем к рациональному уравнению 16−16·q+2·q2=16, которое равносильно неполному квадратному уравнению q2−8·q=0. Оно представляется в виде q·(q−8)=0, откуда видны два его корня q1=0 и q2=8. Следовательно, система уравнений имеет два решения и .

Найденные решения позволяют возвратиться к переменным u и v. Так как мы принимали и нашли и , то или . Решаем эти системы:

Наконец, можно вернуться к переменной x. Мы принимали и нашли или , откуда или . Решаем эти системы иррациональных уравнений:

Остается сделать проверку подстановкой:

Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х4 + 2 = 1 и х2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y2 + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y2 + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
         
a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax2 + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x3 – 8x2x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x2(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x2(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x2 и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x2 –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x2 – 1) = 0.

Здесь выражение x2 – 1 можно представить в виде x2 – 12.
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x2 – 12 = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x1 = 0 + 8 = 8

x2 = 0 + 1 = 1

x3 = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x2 – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x2 – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y2 + 4y + 6y + 24 = 120

y2 + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y2 + 10y + 24 – 120 = 0

y2 + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y2 + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y1 = -16

y2 = 6

Буквой y мы заменили выражение x2 – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y1 = –16:

x2 – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x2 – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y2 = 6:

x2 – 5x = 6

x2 – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x1 = –1

x2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x2 (такие уравнения называют биквадратными).

Урок по теме «Решение уравнений методом замены переменных» (9 класс)

Решение уравнений методом замены переменных

Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения:

приведением их к самому простому виду.

Л.Н.Толстой.

Цель урока: организовать учебную деятельность учащихся по освоению ими способов решения целых уравнений высших степеней методом замены переменной; познакомить учащихся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Задачи: образовательная: продолжать развивать умение применять метод замены

переменной при решении уравнений; формирование умения видеть один и тот же метод решения уравнений в различных ситуациях; сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

развивающая: развитие мышления учащихся; развитие памяти; развитие

логического мышления, способности четко формулировать свои мысли; развитие воображения учащихся; развитие устной речи.

воспитательная: воспитание наблюдательности; воспитание аккуратности

при выполнении записей на доске и в тетради; воспитание самостоятельности при выполнении практических работ.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация и систематизация знаний.

Задание №1. Разгадайте кроссворд. Ответы записывайте только в именительном падеже.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

По горизонтали:

4. Чем является выражение для квадратного уравнения? (дискриминант)

6.Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство. (корень)

8.Уравнение вида , где . (биквадратное)

9.Французский математик, имеющий отношение к квадратным уравнениям. (Виет)

10.Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (целое)

11. Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней.

(равносильные)

По вертикали:

1.Множество корней уравнения. (решение)

2.Решение уравнения . (ноль)

3.Равенство, содержащее переменную. (уравнение)

5.Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с равен 0. (неполное)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (приведенное)

Чему мы сегодня посвятим наше занятие? (Решению уравнений)

Задание №2. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

ОТВЕТЫ: Примеры группы 1) лучше решать разложением на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

1 Какой множитель вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1 ?

ОТВЕТЫ:

Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2 ?

ОТВЕТЫ:

Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3?

ОТВЕТЫ:

Как можно разложить на множители многочлен ?

ОТВЕТЫ: .

Сегодня на уроке вы покажете свои знания по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Запишите в тетрадях тему урока.

Сегодня на занятии мы рассмотрим один из способов решения уравнений высших степеней — метод замены переменной; познакомимся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Задание №3.

Решите уравнение. (задание у доски одновременно решают 2 ученика.)

а) (Первый ученик решает у доски с объяснением.)

б) (Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.)

1 ученик Замена: .

2 ученик Замена: .

(Дополнительно для тех, кто раньше справился с предыдущими уравнениями).

. .

3 ученик

(Ход решения учащимися комментируется с места.)

РЕШЕНИЕ: Вынесем общий множитель: ,

откуда или , т.е.

Ответ :

  1. Углубление и расширение знаний

Продолжаем работу. Вы видите на слайде уравнение: х4-5х3+6х2-5х+1=0.

Каким способом вы предложите его решить? Как нам быть?

Возможно ли решить его в рамках школьных программ по математике? Можно ответить нет.

Ведь стандартные методы решения уравнений в школе предусматривают решение уравнений не выше второй степени. Но можно вспомнить, что отдельные уравнения более высоких степеней в школе все-таки решались. Правда, способы их решения суть творческое применение известных способов, сведения их к решению одного или нескольких уравнений степени не выше второй.

Посмотрите очень внимательно на это уравнение? Что вы заметили?( в этом уравнении коэффициенты равноудалённые от концов равны)

Ребята, уравнение такого вида, когда коэффициенты, равноудалённые от концов совпадают, называются возвратными. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки.

Предлагаю вам следующий алгоритм их решения :

Алгоритм решения возвратных уравнений.

1.Разделить обе части уравнения на х

2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = ,тогда выполнено t2 = , т.е.= t2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

6.Записать ответ.

Ребята изучают алгоритм.

Ученик у доски по алгоритму и с помощью учителя решает уравнение, остальные пишут в тетрадях.

4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:

6t2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х2 – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

В проблему уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики 16 века Н.Тарталья, А.Фиоре, Д.Кардано и др. В 1535 г. между А.Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал победу. Он за 2 часа решил 30 задач, предложенных Фиоре, а сам Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Тартальей.

Ребята, и ещё одно уравнение я хочу вам сегодня предложить, я его взяла из сборника задач для подготовки к ОГЭ.

.

Если бы вы встретили такое уравнение, то как бы вы начали его решать?

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b называются симметрическими.

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

РЕШЕНИЕ: Сначала сгруппируем множители:

Замена:

(Далее уравнение решается самостоятельно с дальнейшей устной проверкой.)

Значит, или (Второе уравнение корней не имеет, т.к. дискриминант меньше нуля)

ОТВЕТ: -7; 2.

Решите самостоятельно следующее уравнение.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Решение.

Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:

((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,

2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 24.

Сделав замену х2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение

t(t + 2) = 24, оно является квадратным:

t2 + 2t – 24 = 0.

t = -6 или t = 4.

После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.

Ответ: -5; 0.

  1. Творческий перенос знаний и навыков в новые условия.

В начале урока говорили о том, что если в уравнении есть повторяющиеся элементы, то можно применять метод замены переменной. Мы еще не умеем решать тригонометрические и иррациональные уравнения. Давайте посмотрим, сможем ли мы применять к ним этот метод, если будем знать, как решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения.

Задание 1: Назвать замену переменной в следующих уравнениях.

  1. 2сos2x – 4cos x + 5 = 0

  2. .

Задание 2: Составить несколько уравнений, в основе решения которых лежит метод замены переменной.

  1. Подведение итогов.

Итак, ребята, наш урок подошёл к концу. Давайте подведём итоги нашего урока.

Какие цели мы ставили в начале урока?

Наши цели достигнуты?

Что нового мы узнали на уроке?

  1. Домашнее задание.

4 – 8х+ 3х– 8х + 4 = 0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

. (уравнение итальянских математиков)

А закончить урок мне хочется словами великого учёного Эйнштейна А. :

« Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнение будет существовать вечно».

Спасибо за урок! До свидания!

Уравнение 9-ой степени для сильных духом с самой необычной заменой переменной | Математика не для всех

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу предложить Вам решить замечательное уравнение 9-ой степени. Задачка не для слабонервных: нам предстоят несколько замен переменных и решение странноватых квадратных уравнений. Поехали!

Самая явная замена переменной здесь никакого результата не даст.

Давайте начистоту: даст, получим приведенное кубическое уравнение, которое «запросто» решается через формулу Кардано. «Запросто» именно в кавычках, ведь тот, кто пропускал через себя этот способ решения, поймет.
Джелорамо Кардано — автор знаменитой формулы для кубического уравнения. Источник: https://mtdata.ru/u15/photo9C97/20449816332-0/original.jpg

Джелорамо Кардано — автор знаменитой формулы для кубического уравнения. Источник: https://mtdata.ru/u15/photo9C97/20449816332-0/original.jpg

Да и саму формулу надо еще помнить: вдруг такая задача попадается на экзамене? Поэтому решать будем. применяя старые добрые школьные костыли.

В решении этого уравнения поможет абсолютно не тривиальная замена:

Ну что, необычно? Те, кто не догадался просто уже сейчас обязаны поставить лайк публикации!

Продолжаем! Посмотрим, как теперь будет выглядеть наше уравнение:

Чувствуете, к чему я клоню? Сейчас мы будем решать квадратное уравнение относительно переменной а, которая всего-лишь число!

Впрочем, дискриминант беспощаден, вычисляется и так:

Да еще и красивый! С таким можно жить без страха, ведь каждый со школьной скамьи знает, что это признак правильного решения.

Считаем корни. Для первого всё сокращается и остается только не забыть вписать в итоговый ответ корень 6-ой степени из 2021:

Второй корень явно говорит нам, что мы выиграли сражение, но еще не выиграли войну. Однако, и не с такими справлялись. Железной рукою делаем еще одну замену переменной:

Остается только не запутаться в корнях и заметить, что из 2025 извлекается корень, что позволит получить ответ в более удобоваримом виде:

Спасибо за внимание! Подписывайтесь на канал, если Вам нравятся такие задачи. А еще, если Вам нравятся различные математические интересности, например:

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон — Предварительная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите уравнение с константами с обеих сторон
  • Решите уравнение с переменными с обеих сторон
  • Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон
  • Решение уравнений с использованием общей стратегии

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. Упрощение:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Решение:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Решение:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите уравнение с константами с обеих сторон

Возможно, вы заметили, что во всех уравнениях, которые мы до сих пор решали, все переменные члены находились только в одной части уравнения, а константы — в другой. Это происходит не постоянно, поэтому сейчас мы посмотрим, как решать уравнения, в которых переменные и/или постоянные члены находятся в обеих частях уравнения.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выбрать одну часть уравнения как переменную, а другую — как постоянную. Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, шаг за шагом, чтобы собрать вместе все переменные члены с одной стороны уравнения и постоянные члены с другой стороны.

Сделав это, мы преобразуем уравнение, которое начиналось с переменных и констант с обеих сторон, в форму Мы уже знаем, как решать уравнения этой формы, используя свойства деления или умножения равенства.

Решить:

Решение

В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть переменной стороной. Следовательно, правая часть будет постоянной стороной. Мы напишем метки над уравнением, чтобы помочь нам запомнить, что куда идет.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, так что это будет переменная часть, а правая часть будет постоянной частью.Поскольку левая сторона является переменной, то неуместна. Это вычитается из так, чтобы «отменить» вычитание, добавить к обеим сторонам.

Решить:

Решить:

Решение уравнения с переменными с обеих сторон

Что делать, если в обеих частях уравнения есть переменные? Мы начнем, как и выше, — выберем переменную сторону и постоянную сторону, а затем воспользуемся свойствами равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны. Помните: то, что вы делаете с левой частью уравнения, вы должны делать и с правой.

Решить:

Решение

Здесь переменная находится с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны, поэтому давайте сделаем правую сторону «константой». Тогда левая сторона будет «переменной».

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Единственная константа находится в левой части уравнения, а переменная — в обеих частях.Оставим константу слева и соберем переменные справа.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Единственная константа находится справа, поэтому пусть левая часть будет переменной стороной.

Решить:

Решить:

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

Следующий пример будет первым, в котором переменные и будут константами в обеих частях уравнения. Как и раньше, мы соберем переменные члены в одну сторону, а константы — в другую.

Решить:

Решить:

Мы подытожим шаги, которые мы предприняли, чтобы вы могли легко найти их.

Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон.

  1. Выберите одну сторону как переменную, а другую — как постоянную.
  2. Соберите переменные термины в сторону переменной, используя свойство равенства сложения или вычитания.
  3. Соберите константы на другой стороне, используя свойство равенства сложения или вычитания.
  4. Создайте коэффициент переменной, используя свойство равенства умножения или деления.
  5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

Рекомендуется сделать переменной стороной ту, в которой переменная имеет больший коэффициент. Обычно это облегчает арифметику.

Решить:

Решение

У нас слева и справа.Так как сделайте левую сторону «переменной».

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Это уравнение имеет слева и справа. Так как сделайте правую часть переменной стороной, а левую часть постоянной стороной.

Обратите внимание, что мы могли бы сделать левую часть переменной вместо правой, но это привело бы к отрицательному коэффициенту при переменном члене. Хотя мы могли бы работать с негативом, при работе с позитивом вероятность ошибки меньше.Изложенная выше стратегия помогает избежать негатива!

Решить:

Решить:

Чтобы решить уравнение с дробями, мы по-прежнему выполняем те же шаги, чтобы получить решение.

Решить:

Решение

Сделаем левую часть переменной стороной, а правую сторону постоянной стороной.

Решить:

Решить:

Мы выполняем те же действия, когда в уравнении есть десятичные дроби.

Решить:

Решение

Сделаем левую часть переменной стороной, а правую сторону постоянной стороной.

Решить:

Решить:

Решение уравнений с использованием общей стратегии

Каждый из первых нескольких разделов этой главы посвящен решению одной конкретной формы линейного уравнения. Пришло время изложить общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения. Мы называем это общей стратегией .Для решения некоторых уравнений не потребуются все шаги, но для многих потребуется. Максимальное упрощение каждой части уравнения в первую очередь упрощает остальные шаги.

Используйте общую стратегию для решения линейных уравнений.

  1. Максимально упростите каждую часть уравнения. Используйте Распределительное свойство, чтобы удалить все круглые скобки. Соедините подобные термины.
  2. Соберите все переменные члены в одну часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
  3. Соберите все постоянные члены в другую часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
  4. Сделать коэффициент переменного члена равным Использовать свойство равенства умножения или деления. Укажите решение уравнения.
  5. Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат является верным утверждением.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Будьте осторожны при раздаче негатива.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Во многих приложениях нам придется решать уравнения с десятичными дробями. Та же самая общая стратегия будет работать для этих уравнений.

Решить:

Решить:

Решить:

Ключевые понятия

  • Решить уравнение с переменными и константами с обеих сторон
    1. Выберите одну сторону как переменную, а другую — как постоянную.
    2. Соберите переменные термины в сторону переменной, используя свойство равенства сложения или вычитания.
    3. Соберите константы на другой стороне, используя свойство равенства сложения или вычитания.
    4. Сделайте коэффициент переменной 1, используя свойство равенства умножения или деления.
    5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.
  • Общая стратегия решения линейных уравнений
    1. Максимально упростите каждую часть уравнения.Используйте Распределительное свойство, чтобы удалить все круглые скобки. Соедините подобные термины.
    2. Соберите все переменные члены в одну часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
    3. Соберите все постоянные члены в другую часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
    4. Сделать коэффициент переменного члена равным 1. Использовать свойство равенства умножения или деления. Укажите решение уравнения.
    5. Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат является верным утверждением.
Практика делает совершенным

Решение уравнения с константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.

Решение уравнения с переменными с обеих сторон

В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.

Решение уравнения с переменными и константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите уравнения для переменной.

Решение уравнения с использованием общей стратегии

В следующих упражнениях решите линейное уравнение, используя общую стратегию.

Письменные упражнения

Почему при решении уравнения с переменными в обеих частях обычно лучше выбирать сторону с большим коэффициентом в качестве переменной?

Решите уравнение, объясняющее все шаги вашего решения.

Какой первый шаг вы делаете при решении уравнения Объясните, почему это ваш первый шаг.

Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Своими словами перечислите шаги Общей стратегии решения линейных уравнений.

Объясните, почему вы должны максимально упростить обе части уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены в другую.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

8.4: Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон (часть 1)

Решение уравнения с константами с обеих сторон

Возможно, вы заметили, что во всех уравнениях, которые мы до сих пор решали, все переменные члены находились только в одной части уравнения, а константы — в другой. Это происходит не постоянно, поэтому сейчас мы посмотрим, как решать уравнения, в которых переменные и/или постоянные члены находятся в обеих частях уравнения.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выбрать одну часть уравнения как переменную, а другую — как постоянную. Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, шаг за шагом, чтобы собрать вместе все переменные члены с одной стороны уравнения и постоянные члены с другой стороны.

Сделав это, мы преобразуем уравнение, которое начиналось с переменных и констант с обеих сторон, в форму ax = b. Мы уже знаем, как решать уравнения этой формы, используя свойства деления или умножения равенства.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Решите: 4x + 6 = -14.

Раствор

В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть переменной стороной.Следовательно, правая часть будет постоянной стороной. Мы напишем метки над уравнением, чтобы помочь нам запомнить, что куда идет.

Поскольку левая сторона является переменной стороной, цифра 6 неуместна. Мы должны «отменить» добавление 6, вычитая 6, и, чтобы сохранить равенство, мы должны вычесть 6 с обеих сторон. Используйте свойство вычитания равенства. $$4x + 6 \textcolor{red}{-6} = -14 \textcolor{red}{-6}$$
Упрощение. $$4x = -20$$
Теперь все x слева, а константа справа.
Используйте раздел имущества равенства. $$\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{-20}{\textcolor{red}{4}}$$
Упрощение. $$x = -5$$
Проверка: Пусть x = −5. $$\begin{split} 4x + 6 &= -14 \\ 4(\textcolor{red}{-5}) + 6 &= -14 \\ -20 + 6 &= -14 \\ -14 & = -14\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Решите: 3x + 4 = −8.

Ответить

х = -4

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Решите: 5а + 3 = -37.

Ответить

а = -8

Пример \(\PageIndex{2}\):

Решите: 2y − 7 = 15.

Раствор

Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, так что это будет переменная часть, а правая часть будет постоянной частью.Поскольку левая сторона является переменной стороной, цифра 7 неуместна. Оно вычитается из 2y, поэтому, чтобы «отменить» вычитание, прибавьте 7 к обеим частям.

Добавьте 7 с обеих сторон. $$2 года — 7 \textcolor{red}{+7} = 15 \textcolor{red}{+7}$$
Упрощение. $$2г = 22$$
Переменные теперь с одной стороны, а константы с другой.
Разделите обе части на 2. $$\dfrac{2y}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{22}{\textcolor{red}{2}}$$
Упрощение. $$y = 11$$
Проверить: Подставить: y = 11. $$\begin{split} 2y — 7 &= 15 \\ 2 \cdot \textcolor{red}{11} — 7 &\stackrel{?}{=} 15 \\ 22 — 7 &\stackrel{?} {=} 15 \\ 15 &= 15\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Решите: 5y − 9 = 16.

Ответить

г = 5

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Решите: 3м — 8 = 19.

Ответить

м = 9

Решение уравнения с переменными с обеих сторон

Что делать, если в обеих частях уравнения есть переменные? Мы начнем, как и выше, — выберем переменную сторону и постоянную сторону, а затем воспользуемся свойствами равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны. Помните: то, что вы делаете с левой частью уравнения, вы должны делать и с правой.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Решите: 5x = 4x + 7.

Раствор

Здесь переменная x указана с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны, поэтому давайте сделаем правую сторону «постоянной». Тогда левая сторона будет «переменной».

Нам не нужны никакие переменные справа, поэтому вычтите 4x. $$5x \textcolor{red}{-4x} = 4x \textcolor{red}{-4x} + 7$$
Упрощение. $$x = 7$$
У нас есть все переменные с одной стороны и константы с другой. Мы решили уравнение.
Проверить: заменить x на 7. $$\begin{split} 5x &= 4x + 7 \\ 5(\textcolor{red}{7}) &\stackrel{?}{=} 4(\textcolor{red}{7}) + 7 \ \ 35 &\stackrel{?}{=} 28 + 7 \\ 35 &= 35\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Решите: 6n = 5n + 10.

Ответить

n = 10

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Решите: −6c = −7c + 1,

Ответить

с = 1

Пример \(\PageIndex{4}\):

Решите: 5y − 8 = 7y.

Раствор

Единственная константа −8 находится в левой части уравнения, а переменная y — в обеих частях. Оставим константу слева и соберем переменные справа.

Вычтите 5y с обеих сторон. $$5 лет \textcolor{red}{-5 лет} -8 = 7 лет \textcolor{red}{-5 лет}$$
Упрощение. $$-8 = 2г$$
У нас есть переменные справа и константы слева. Разделите обе части на 2. $$\dfrac{-8}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{2y}{\textcolor{red}{2}}$$
Упрощение. $$-4 = у$$
Перепишите переменную слева. $$y = -4$$
Проверка: пусть y = −4. $$\begin{split} 5y — 8 &= 7y \\ 5(\textcolor{red}{-4}) -8 &\stackrel{?}{=} 7(\textcolor{red}{-4} ) \\ -20 — 8 &\stackrel{?}{=} -28 \\ -28 &= -28\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Решить: 3п — 14 = 5п.

Ответить

р = -7

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Решите: 8 м + 9 = 5 м.

Ответить

м = -3

Пример \(\PageIndex{5}\):

Решите: 7x = — x + 24.

Раствор

Единственная константа, 24, находится справа, поэтому пусть левая часть будет переменной стороной.

Удалите -x с правой стороны, добавив x к обеим сторонам. $$7x \textcolor{red}{+x} = -x \textcolor{red}{+x} + 24$$
Упрощение. $$8x = 24$$
Все переменные слева, константы справа. Разделите обе части на 8. $$\dfrac{8x}{\textcolor{red}{8}} = \dfrac{24}{\textcolor{red}{8}}$$
Упрощение. $$x = 3$$
Проверить: Подставить x = 3. $$\begin{split} 7x &= -x + 24 \\ 7(\textcolor{red}{3}) &\stackrel{?}{=} -(\textcolor{red}{3}) + 24 \\ 21 &= 21\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{9}\):

Решите: 12j = −4j + 32.

Ответить

Дж = 2

Упражнение \(\PageIndex{10}\):

Решите: 8ч = -4ч + 12.

Ответить

ч = 1

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

Следующий пример будет первым, в котором переменные и константы будут в обеих частях уравнения. Как и раньше, мы соберем переменные члены в одну сторону, а константы — в другую.

Пример \(\PageIndex{6}\):

Решите: 7x + 5 = 6x + 2.

Раствор

Начните с выбора, какая сторона будет переменной, а какая постоянной. Переменные члены 7x и 6x. Поскольку 7 больше 6, сделайте левую часть переменной, а правую часть — постоянной.

Соберите переменные с левой стороны, вычитая 6x с обеих сторон. $$7x \textcolor{red}{-6x} + 5 = 6x \textcolor{red}{-6x} +2$$
Упрощение. $$x + 5 = 2$$
Теперь соберите константы в правую часть, вычитая 5 с обеих сторон. $$x + 5 \textcolor{red}{-5} = 2 \textcolor{red}{-5}$$
Упрощение. $$x = -3$$
Решение x = −3.
Проверить: Пусть x = −3. $$\begin{split} 7x + 5 &= 6x + 2 \\ 7(\textcolor{red}{-3}) + 5 &\stackrel{?}{=} 6(\textcolor{red}{- 3}) + 2 \\ -21 + 5 &\stackrel{?}{=} -18 + 2 \\ -16 &= -16\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{11}\):

Решите: 12x + 8 = 6x + 2.

Ответить

х = -1

Упражнение \(\PageIndex{12}\):

Решить: 9у + 4 = 7у + 12.

Ответить

г = 4

Мы подытожим шаги, которые мы предприняли, чтобы вы могли легко найти их.

КАК: РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ И ПОСТОЯННЫМИ НА ОБЕИХ СТОРОНАХ

Шаг 1. Выберите одну сторону как переменную, а другую — как постоянную.

Шаг 2. Соберите переменные термины в переменную сторону, используя свойство равенства сложения или вычитания.

Шаг 3. Соберите константы на другую сторону, используя свойство равенства сложения или вычитания.

Шаг 4. Сделайте коэффициент переменной 1, используя свойство равенства умножения или деления.

Шаг 5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

Рекомендуется сделать переменной стороной ту, в которой переменная имеет больший коэффициент.Обычно это облегчает арифметику.

Пример \(\PageIndex{7}\):

Решите: 6n — 2 = -3n + 7.

Раствор

У нас 6n слева и −3n справа. Поскольку 6 > − 3, сделайте левую часть «переменной».

Нам не нужны переменные в правой части — добавьте 3n в обе стороны, чтобы справа остались только константы. $$6n \textcolor{red}{+3n} — 2 = -3n \textcolor{red}{+3n} +7$$
Объедините похожие термины. $9n — 2 = 7$$
Нам не нужны константы в левой части, поэтому добавьте 2 к обеим сторонам. $$9n — 2 \textcolor{red}{+2} = 7 \textcolor{red}{+2}$$
Упрощение. $9n = 9$$
Переменный член слева, а постоянный член справа. Чтобы коэффициент при n был равен единице, разделите обе части на 9. $$\dfrac{9n}{\textcolor{red}{9}} = \dfrac{9}{\textcolor{red}{9}}$$
Упрощение. $$n = 1$$
Проверить: подставить 1 вместо n. $$\begin{split} 6n — 2 &= -3n + 7 \\ 6(\textcolor{red}{1}) — 2 &\stackrel{?}{=} + 7 \\ 4 &= 4\ ; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{13}\):

Решите: 8q — 5 = -4q + 7.

Ответить

q = 1

Упражнение \(\PageIndex{14}\):

Решите: 7n — 3 = n + 3.

Ответить

n = 1

Пример \(\PageIndex{8}\):

Решите: 2а — 7 = 5а + 8.

Раствор

В этом уравнении 2а слева и 5а справа. Так как 5 > 2, сделайте правую часть переменной частью, а левую часть постоянной частью.

$$
Вычтите 2a с обеих сторон, чтобы удалить переменный член слева. $$2a \textcolor{red}{-2a} — 7 = 5a \textcolor{red}{-2a} + 8$$
Объедините похожие термины. $$-7 = 3a + 8$$
Вычтите 8 с обеих сторон, чтобы удалить константу справа. $$-7 \textcolor{red}{-8} = 3a + 8 \textcolor{red}{-8}$$
Упрощение. $$-15 = 3a$$
Разделите обе части на 3, чтобы получить 1 как коэффициент a. $$\dfrac{-15}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{3a}{\textcolor{red}{3}}$$
Упрощение. $$-5 =
Проверка: Пусть a = −5. $$\begin{split} 2a — 7 &= 5a + 8 \\ 2(\textcolor{red}{-5}) — 7 &\stackrel{?}{=} 5(\textcolor{red}{- 5}) + 8 \\-10 — 7 &\stackrel{?}{=} -25 + 8 \\-17 &= -17\; \checkmark \end{split}$$

Обратите внимание, что мы могли бы сделать левую часть переменной вместо правой, но это привело бы к отрицательному коэффициенту при переменной. Хотя мы могли бы работать с негативом, при работе с позитивом вероятность ошибки меньше. Изложенная выше стратегия помогает избежать негатива!

Упражнение \(\PageIndex{15}\):

Решите: 2а — 2 = 6а + 18.

Ответить

а = -5

Упражнение \(\PageIndex{16}\):

Решите: 4к — 1 = 7к + 17.

Ответить

к = -6

Чтобы решить уравнение с дробями, мы по-прежнему выполняем те же шаги, чтобы получить решение.

Пример \(\PageIndex{9}\):

Решите: \(\dfrac{3}{2}\)x + 5 = \(\dfrac{1}{2}\)x — 3.

Раствор

Так как \(\dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}\), сделайте левую часть переменной, а правую — постоянной.

$
Вычтите \(\dfrac{1}{2}\)x с обеих сторон. $$\dfrac{3}{2} x \textcolor{red}{- \dfrac{1}{2} x} + 5 = \dfrac{1}{2} x \textcolor{red}{\dfrac{ 1}{2}х} — 3$
Объедините похожие термины. $$x + 5 = -3$$
Вычтите 5 с обеих сторон. $$x + 5 \textcolor{red}{-5} = -3 \textcolor{red}{-5}$$
Упрощение. $$x = -8$$
Проверить: Пусть x = −8. $$\begin{split} \dfrac{3}{2} x + 5 &= \dfrac{1}{2} x — 3 \\ \dfrac{3}{2} (\textcolor{red}{- 8}) + 5 &\stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2} (\textcolor{red}{-8}) — 3 \\ -12 + 5 &\stackrel{?}{=} -4 — 3 \\ -7 &= -7\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{17}\):

Решите: \(\dfrac{7}{8}\)x — 12 = \(- \dfrac{1}{8}\)x — 2.

Ответить

х = 10

Упражнение \(\PageIndex{18}\):

Решите: \(\dfrac{7}{6}\)y + 11 = \(\dfrac{1}{6}\)y + 8.

Ответить

г = -3

Мы выполняем те же действия, когда в уравнении есть десятичные дроби.

Пример \(\PageIndex{10}\):

Решите: 3,4x + 4 = 1,6x — 5.

Раствор

С 3.4 > 1.6, сделайте левую часть переменной частью, а правую часть постоянной частью.

Вычтите 1,6x с обеих сторон. $3,4x \textcolor{red}{-1,6x} + 4 = 1,6x \textcolor{red}{-1,6x} — 5$$
Объедините похожие термины. $$1,8x + 4 = -5$$
Вычтите 4 с обеих сторон. $$1,8x + 4 \textcolor{red}{-4} = -5 \textcolor{red}{-4}$$
Упрощение. $$1,8x = -9$$
Используйте раздел имущества равенства. $$\dfrac{1.8x}{\textcolor{red}{1.8}} = \dfrac{-9}{\textcolor{red}{1.8}}$$
Упрощение. $$x = -5$$
Проверка: Пусть x = −5. $$\begin{split} 3,4x + 4 &= 1,6x — 5 \\ 3,4(\textcolor{red}{-5}) + 4 &\stackrel{?}{=} 1,6(\textcolor{red} {-5}) — 5 \\ -17 + 4 &\stackrel{?}{=} -8 — 5 \\ -13 &= -13\; \checkmark \end{split}$$

Упражнение \(\PageIndex{19}\):

Решить: 2. 8x + 12 = -1,4x — 9,

Ответить

х = -5

Упражнение \(\PageIndex{20}\):

Решите: 3,6 года + 8 = 1,2 года — 4.

Ответить

г = -5

2.2 Линейные уравнения с одной переменной — Алгебра колледжа 2e

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

  • Решать уравнения с одной переменной алгебраически.
  • Решите рациональное уравнение.
  • Найдите линейное уравнение.
  • Имея уравнения двух прямых, определите, параллельны ли их графики или перпендикулярны.
  • Напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.

Кэролайн учится на дневном отделении колледжа и планирует каникулы на весенних каникулах. Чтобы заработать достаточно денег для поездки, она устроилась на неполный рабочий день в местный банк, где платят 15 долларов в час, и 15 января открыла сберегательный счет с первоначальным депозитом в 400 долларов. Она организовала прямой депозит своих чеков платежной ведомости. Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка обойдется примерно в 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю она должна будет работать? Сколько недель это займет? В этом разделе мы исследуем такие проблемы, как эта и другие, которые генерируют графики, подобные линии на рис. 1.

Фигура 1

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение – это уравнение прямой линии, записанное с одной переменной.Единственная степень переменной равна 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax+b=0ax+b=0 и решаются с помощью основных алгебраических операций.

Начнем с классификации линейных уравнений с одной переменной по одному из трех типов: тождественные, условные и несовместные. Уравнение тождества верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение верным. Для этого уравнения множество решений состоит из действительных чисел, потому что любое действительное число, подставленное вместо xx, сделает уравнение верным.

Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение 5x+2=3x−6,5x+2=3x−6, мы получим следующее:

5x+2=3x−62x=−8x=−45x+2=3x−62x=−8x=−4

Набор решений состоит из одного числа: {−4}.{−4}. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

Несовместимое уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если нам нужно решить 5x−15=5(x−4),5x−15=5(x−4), мы получим следующее:

5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон.−15≠−20Ложное утверждение5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон.−15≠−20Ложное утверждение

Действительно, −15≠−20.−15≠−20. Решения нет, потому что это несовместное уравнение.

Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

, где a и b — действительные числа, a≠0.а≠0.

Как

Имея линейное уравнение с одной переменной, решите его с помощью алгебры.

Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и изоляции неизвестной переменной, чтобы последняя строка читалась как x=_________,x=_________, если x является неизвестной. Установленного порядка нет, так как используемые шаги зависят от того, что дано:

  1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, пока мы делаем одно и то же с обеими частями уравнения. знак равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
  2. При необходимости примените распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac.a(b+c)=ab+ac.
  3. Изолируйте переменную в одной части уравнения.
  4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

Пример 1

Решение уравнения с одной переменной

Решите следующее уравнение: 2x+7=19,2x+7=19.

Решение

Это уравнение можно записать в виде ax+b=0ax+b=0, вычитая 1919 из обеих частей.Однако мы можем приступить к решению уравнения в его исходной форме, выполняя алгебраические операции.

2x+7=192x=12Вычесть 7 из обеих сторон.x=6Умножить обе стороны на 12или разделить на 2,2x+7=192x=12Вычесть 7 из обеих сторон.x=6Умножить обе стороны на 12или разделить на 2.

Решение: 6

Попытайся #1

Решите линейное уравнение с одной переменной: 2x+1=−9,2x+1=−9.

Пример 2

Алгебраическое решение уравнения, когда переменная присутствует с обеих сторон

Решите следующее уравнение: 4(x−3)+12=15−5(x+6).4(х-3)+12=15-5(х+6).

Решение

Применение стандартных алгебраических свойств.

4(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12+12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=−15−5xОбъединить одинаковые термины.9x=−15Поместить x-члены в один сторону и упростить.x=−159Умножить обе стороны на 19, обратную величину 9.x=−534(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12+12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=-15-5xОбъедините одинаковые члены.9x=-15Поместите x-членов на одну сторону и упростите.x=-159Умножьте обе части на 19, обратную величину 9.х=-53
Анализ

Эта задача требует, чтобы распределительное свойство применялось дважды, а затем использовались свойства алгебры для достижения последней строки, x=−53.x=−53.

Попытайся #2

Решите уравнение с одной переменной: −2(3x−1)+x=14−x. −2(3x−1)+x=14−x.

Решение рационального уравнения

В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .

Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, например 2323 или 72,72. Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов. Вот три примера.

x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2

Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе хотя бы в одном из членов. Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. На самом деле, мы исключим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

Нахождение LCD означает определение выражения, которое содержит наибольшую мощность всех множителей во всех знаменателях. Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на LCD, общие множители в LCD и в каждом знаменателе будут равны единице и сокращаются.

Пример 3

Решение рационального уравнения

Решите рациональное уравнение: 72x−53x=223,72x−53x=223.

Решение

У нас есть три знаменателя; 2х,3х,2х,3х и 3.ЖК-дисплей должен содержать 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей 6x6x содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно разделить на ЖК поровну. Затем умножьте обе части уравнения на LCD 6x.6x.

(6x)(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Используй распределительное свойство.(6x)(72x)−(6x) (53x)=(223)(6x)Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10=44×11=44×1144=x14=x(6x )(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Используйте распределительное свойство.(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x) Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10 =44×11=44×1144=x14=x

Распространенная ошибка, допускаемая при решении рациональных уравнений, заключается в том, чтобы найти LCD, когда один из знаменателей является биномиальным (два слагаемых или вычитаемых), например (x+1). (x+1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины не могут быть разделены. Например, предположим, что в задаче три члена, а знаменатели равны х, х, х-1, х-1 и 3х-3.3х−3. Сначала факторизовать все знаменатели. Тогда у нас есть x,x, (x−1),(x−1) и 3(x−1)3(x−1) в качестве знаменателей. (Обратите внимание на круглые скобки вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий делитель (x−1).(x−1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в (x−1)(x−1) знаменателях. Эффективный способ запомнить это — записать факторизованный и биномиальный знаменатели в круглых скобках и рассматривать каждую круглую скобку как отдельную единицу или отдельный множитель. LCD в этом случае находится путем умножения x,x, одного коэффициента (x-1),(x-1) и 3.Таким образом, LCD выглядит следующим образом:

x(x−1)3=3x(x−1)x(x−1)3=3x(x−1)

Таким образом, обе части уравнения умножаются на 3x. (х-1).3х(х-1). Оставьте ЖК-дисплей в факторизованной форме, так как это облегчает просмотр того, как уравновешивается каждый знаменатель в задаче.

Другой пример — задача с двумя знаменателями, такими как xx и x2+2x.x2+2x. После разложения второго знаменателя на множители x2+2x=x(x+2),x2+2x=x(x+2) общий множитель равен x в обоих знаменателях, а LCD равен x(x+2). ).х(х+2).

Иногда мы имеем рациональное уравнение в виде пропорции; то есть когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.

Мы можем использовать другой метод решения уравнения, не находя LCD: перекрестное умножение. Мы умножаем члены, перечеркивая знак равенства.

Умножьте a(d)a(d) и b(c),b(c), чтобы получить ad=bc.ad=bc.

Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, в котором переменная стоит хотя бы в одном из знаменателей.

Как

Дано рациональное уравнение, решить его.

  1. Умножить все знаменатели в уравнении.
  2. Найти и исключить значения, каждый знаменатель которых равен нулю.
  3. Найдите ЖК-дисплей.
  4. Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖКИ правильный, знаменателей не останется.
  5. Решите оставшееся уравнение.
  6. Не забудьте проверить решения в исходных уравнениях, чтобы избежать решения, дающего ноль в знаменателе.

Пример 4

Решение рационального уравнения без факторинга

Решите следующее рациональное уравнение:

Решение

У нас есть три знаменателя: x,x, 2,2 и 2x.2x. Факторинг не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, значит, ЖК умножается на 2.2x. Из набора решений исключается только одно значение, 0. Затем умножьте все уравнение (обе части знака равенства) на 2x.2x.

2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределить 2x. 2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x=3x=−1или{ −1}2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределить 2x.2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x=3x= −1or{−1}

Предлагаемое решение равно −1, что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число −1, −1 или {−1}{−1}, записанное в системе обозначений.

Попытайся #3

Решите рациональное уравнение: 23x=14−16x.23x=14−16x.

Пример 5

Решение рационального уравнения путем факторизации знаменателя

Решите следующее рациональное уравнение: 1x=110−34x.1x=110−34x.

Решение

Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованной форме: x, 10 = 2 ⋅ 5, x, 10 = 2 ⋅ 5 и 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x, 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x. Наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей, равно 20x.20x. Только x=0x=0 является исключенным значением. Умножьте все уравнение на 20x. 20x.

20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x

Решение: 352,352.

Попытайся #4

Решите рациональное уравнение: −52x+34x=−74.−52x+34x=−74.

Пример 6

Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе

Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:

  1. ⓐ 3x−6=5x3x−6=5x
  2. ⓑ хх-3=5х-3-12хх-3=5х-3-12
  3. ⓒ хх-2=5х-2-12хх-2=5х-2-12
Решение
  1. Знаменатели xx и x−6x−6 не имеют ничего общего.Следовательно, LCD представляет собой произведение x(x−6).x(x−6). Однако для этой задачи мы можем перекрестно умножить.

    3x−6=5x3x=5(x−6)Распределить.3x=5x−30−2x=−30x=153x−6=5x3x=5(x−6)Распределить.3x=5x−30−2x=−30x= 15

    Решение равно 15. Исключены значения 66 и 0,0.

  2. ЖК-дисплей равен 2(x−3). 2(x−3). Умножьте обе части уравнения на 2(x−3).2(x−3).

    2(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3)2(x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x−3 )22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=1332(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3)2 (x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x−3)22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=133

    Решение 133.133. Исключено значение 3,3.

  3. Наименьший общий знаменатель равен 2(x−2).2(x−2). Умножьте обе части уравнения на x(x−2).x(x−2).

    2(x−2)(xx−2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=42(x−2)(xx −2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=4

    Решение равно 4. Исключенное значение равно 2,2.

Попытайся #5

Решите -32x+1=43x+1.-32x+1=43x+1. Укажите исключенные значения.

Пример 7

Решение рационального уравнения с факторизованными знаменателями и указанием исключенных значений

Решите рациональное уравнение после разложения знаменателей на множители: 2x+1−1x−1=2xx2−1.2х+1-1х-1=2хх2-1. Укажите исключенные значения.

Решение

Мы должны разложить знаменатель x2−1.x2−1 на множители. Мы признаем это как разность квадратов и факторизуем как (x−1)(x+1).(x−1)(x+1). Таким образом, LCD, который содержит каждый знаменатель, равен (x-1)(x+1).(x-1)(x+1). Умножьте все уравнение на LCD, сократите знаменатели и решите оставшееся уравнение.

(x−1)(x+1)(2x+1−1x−1)=(2x(x−1)(x+1))(x−1)(x+1)2(x−1)− 1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределите знак минус.−3−x=0−3=x(x−1)(x+1)(2x+1−1x−1)=(2x(x−1)(x+1))(x−1)(x +1)2(x−1)−1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределите знак минус.−3−x=0−3=x

Решение равно −3,−3. Исключены значения 11 и -1,-1.

Попытайся #6

Решите рациональное уравнение: 2x−2+1x+1=1×2−x−2,2x−2+1x+1=1×2−x−2.

Нахождение линейного уравнения

Возможно, наиболее знакомой формой линейного уравнения является форма наклона-пересечения, записанная как y=mx+b,y=mx+b, где m=slopem=наклон и b=y-пересечение. b=y-перехват. Начнем со склона.

Наклон линии

Наклон линии относится к отношению вертикального изменения х к горизонтальному изменению х между любыми двумя точками на линии. Он указывает направление наклона линии, а также ее крутизну. Уклон иногда описывается как подъем над пробегом.

m=y2-y1x2-x1m=y2-y1x2-x1

Если наклон положительный, линия наклоняется вправо. Если наклон отрицательный, линия наклоняется влево.По мере увеличения наклона линия становится круче. Некоторые примеры показаны на рисунке 2. Линии обозначают следующие наклоны: m=-3, m=-3, m=2, m=2 и m=13.m=13.

Фигура 2

Наклон линии

Наклон линии, м , представляет собой изменение y по сравнению с изменением x. Для двух точек (x1,y1)(x1,y1) и (x2,y2),(x2,y2) следующая формула определяет наклон линии, содержащей эти точки:

m=y2-y1x2-x1m=y2-y1x2-x1

Пример 8

Нахождение наклона линии по двум точкам

Найдите наклон прямой, проходящей через точки (2,−1)(2,−1) и (−5,3). (−5,3).

Решение

Подставляем в формулу значения y- и значения x-.

m=3−(−1)−5−2=4−7=−47m=3−(−1)−5−2=4−7=−47

Наклон равен −47,−47.

Анализ

Неважно, какая точка называется (x1,y1)(x1,y1) или (x2,y2).(x2,y2). Пока мы согласны с порядком членов х и порядком членов х в числителе и знаменателе, вычисление даст тот же результат.

Попытайся #7

Найдите наклон линии, проходящей через точки (−2,6)(−2,6) и (1,4).(1,4).

Пример 9

Определение наклона и
y- точка пересечения линии с учетом уравнения

Определите наклон и точку пересечения y- , учитывая уравнение y=-34x-4.y=-34x-4.

Решение

Поскольку линия имеет форму y=mx+by=mx+b, данная линия имеет наклон m=−34. m=−34. Пересечение y- равно b=−4.б=-4.

Анализ

Точка пересечения y — это точка, в которой линия пересекает ось y-. На оси y- x=0.x=0. Мы всегда можем идентифицировать точку пересечения y-, когда линия находится в форме пересечения наклона, поскольку она всегда будет равна b. Или просто подставьте x=0x=0 и найдите y.

Формула «точка-уклон»

Учитывая наклон и одну точку на линии, мы можем найти уравнение линии, используя формулу точка-наклон.

y−y1=m(x−x1)y−y1=m(x−x1)

Это важная формула, так как она будет использоваться в других областях университетской алгебры и часто в математических вычислениях для нахождения уравнения касательной. Нам нужна только одна точка и наклон линии, чтобы использовать формулу. Подставив в формулу наклон и координаты одной точки, упростим ее и запишем в виде наклон-пересечение.

Формула точки-наклона

Учитывая одну точку и наклон, формула точка-наклон приведет к уравнению линии:

y−y1=m(x−x1)y−y1=m(x−x1)

Пример 10

Нахождение уравнения прямой по наклону и одной точке

Напишите уравнение прямой с наклоном m=−3m=−3 и проходящей через точку (4,8).(4,8). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

Решение

Используя формулу «точка-уклон», подставьте -3−3 вместо м и точку (4,8)(4,8) вместо (x1,y1).(x1,y1).

y−y1=m(x−x1)y−8=−3(x−4)y−8=−3x+12y=−3x+20y−y1=m(x−x1)y−8=−3( х-4)у-8=-3х+12у=-3х+20
Анализ

Обратите внимание, что любую точку на прямой можно использовать для нахождения уравнения. Если все сделано правильно, то получится такое же итоговое уравнение.

Попытайся #8

Для заданных m=4,m=4 найти уравнение прямой в форме точки пересечения, проходящей через точку (2,5).(2,5).

Пример 11

Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (3,4)(3,4) и (0,−3).(0,−3). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

Решение

Сначала мы вычисляем наклон, используя формулу наклона и две точки.

m=−3−40−3=−7−3=73m=−3−40−3=−7−3=73

Затем мы используем формулу точка-наклон с наклоном 73,73, и любая точка .Выберем точку (3,4)(3,4) для (x1,y1).(x1,y1).

y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x−3y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x−3

В форме пересечения наклона уравнение записывается как y=73x−3.y=73x−3.

Анализ

Чтобы доказать, что можно использовать любую точку, воспользуемся второй точкой (0,−3)(0,−3) и посмотрим, получим ли мы такое же уравнение.

y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3

Мы видим, что та же самая линия будет получено с использованием любой точки.Это имеет смысл, потому что мы использовали обе точки для расчета наклона.

Стандартная форма линии

Другой способ представления уравнения прямой — в стандартной форме. Стандартная форма дается как

, где A,A, B,B и CC — целые числа. Члены x- и y- находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянный член — по другую сторону.

Пример 12

Нахождение уравнения прямой и запись его в стандартной форме

Найдите уравнение прямой с m=−6m=−6, проходящей через точку (14,−2).(14,−2). Запишите уравнение в стандартной форме.

Решение

Мы начинаем использовать формулу точка-наклон.

y−(−2)=−6(x−14)y+2=−6x+32y−(−2)=−6(x−14)y+2=−6x+32

Отсюда умножаем через на 2, поскольку в стандартной форме дроби не допускаются, а затем переместите обе переменные влево от знака равенства и переместите константы вправо.

2(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y=-12(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y=- 1

Это уравнение теперь записано в стандартной форме.

Попытайся #9

Найдите уравнение прямой в стандартной форме с наклоном m=−13m=−13 и проходящей через точку (1,13).(1,13).

Вертикальные и горизонтальные линии

Уравнения вертикальных и горизонтальных линий не требуют ни одной из предыдущих формул, хотя мы можем использовать формулы, чтобы доказать, что уравнения верны. Уравнение вертикальной линии задается как

, где c — константа. Наклон вертикальной линии не определен, и независимо от значения y- любой точки на линии координата x- точки будет равна c .

Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующие точки: (−3,−5),(−3,1),(−3,3),(−3,−5),(−3 ,1),(−3,3) и (−3,5). (−3,5). Сначала найдем наклон.

м=5−3−3−(−3)=20m=5−3−3−(−3)=20

Нуль в знаменателе означает, что уклон не определен и, следовательно, мы не можем использовать точку-уклон формула. Тем не менее, мы можем нанести точки. Обратите внимание, что все координаты x- одинаковы, и мы находим вертикальную линию через x=-3.x=-3. См. рис. 3 .

Уравнение горизонтальной линии задается как

, где c — константа. Наклон горизонтальной линии равен нулю, и для любого значения x- точки на линии координата y- будет равна c .

Предположим, мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующий набор точек: (−2,−2),(0,−2),(3,−2),(−2,−2),( 0,−2),(3,−2) и (5,−2).(5,−2). Мы можем использовать формулу точка-наклон. Во-первых, мы находим наклон, используя любые две точки на линии.

m=−2−(−2)0−(−2)=02=0m=−2−(−2)0−(−2)=02=0

Используйте любую точку для (x1,y1)(x1,y1) в формуле или используйте точку пересечения y .

у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2

График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку y=−2.y=−2. Обратите внимание, что все координаты y- одинаковы. См. рис. 3.

Фигура 3 Линия x = −3 является вертикальной линией. Линия y = −2 является горизонтальной линией.

Пример 13

Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки

Найдите уравнение прямой, проходящей через данные точки: (1,−3)(1,−3) и (1,4).(1,4).

Решение

Координата x- обеих точек равна 1. Следовательно, у нас есть вертикальная линия, x=1.x=1.

Попытайся #10

Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5,2)(−5,2) и (2,2).(2,2).

Определение того, являются ли графики линий параллельными или перпендикулярными

Параллельные линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения и . Прямые, параллельные друг другу, никогда не пересекутся.Например, на рис. 4 показаны графики различных линий с одинаковым наклоном m=2.m=2.

Фигура 4 Параллельные линии

Все линии, показанные на графике, параллельны, потому что они имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y-.

Перпендикулярные прямые пересекаются, образуя угол 90°90°. Наклон одной линии является обратной отрицательной величиной другой. Мы можем показать, что две прямые перпендикулярны, если произведение двух наклонов равно −1:m1⋅m2=−1.−1:m1⋅m2=−1. Например, на рис. 5 показан график двух перпендикулярных линий. Одна линия имеет наклон 3; другая линия имеет наклон −13,−13.

m1⋅m2=−13⋅(−13)=−1m1⋅m2=−13⋅(−13)=−1

Фигура 5 Перпендикулярные линии

Пример 14

Построение графика двух уравнений и определение того, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими

Нарисуйте уравнения данных прямых и укажите, параллельны они, перпендикулярны или ни те, ни другие: 3y=−4x+33y=−4x+3 и 3x−4y=8. 3x−4y=8.

Решение

Первое, что мы хотим сделать, это переписать уравнения так, чтобы оба уравнения были в форме пересечения наклона.

Первое уравнение:

3y=-4x+3y=-43x+13y=-4x+3y=-43x+1

Второе уравнение:

3x-4y=8-4y=-3x+8y=34x-23x-4y=8-4y=-3x+8y=34x-2

См. график обеих линий на рисунке 6

Фигура 6

На графике видно, что линии кажутся перпендикулярными, но мы должны сравнить наклоны.

m1=−43m2=34m1⋅m2=(−43)(34)=−1m1=−43m2=34m1⋅m2=(−43)(34)=−1

Наклоны являются отрицательными обратными величинами, подтверждая, что линии перпендикулярны.

Попытайся #11

Нарисуйте две линии и определите, параллельны они, перпендикулярны или ни то, ни другое: 2y-x=102y-x=10 и 2y=x+4,2y=x+4.

Написание уравнений прямых, параллельных или перпендикулярных заданной прямой

Как мы узнали, определение того, параллельны или перпендикулярны две прямые, зависит от нахождения наклонов. Чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной другой прямой, мы следуем тем же принципам, что и при нахождении уравнения любой прямой. Найдя наклон, используйте формулу точка-наклон, чтобы написать уравнение новой линии.

Как

Имея уравнение прямой, напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной ей.

  1. Найдите наклон данной линии. Самый простой способ сделать это — записать уравнение в форме пересечения наклона.
  2. Используйте наклон и заданную точку с формулой точка-наклон.
  3. Упростите линию до формы пересечения наклона и сравните уравнение с данной линией.

Пример 15

Написание уравнения прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку

Напишите уравнение прямой, параллельной 5x+3y=15x+3y=1 и проходящей через точку (3,5).(3,5).

Решение

Сначала мы напишем уравнение в форме пересечения наклона, чтобы найти наклон.

5x+3y=13y=-5x+1y=-53x+135x+3y=13y=-5x+1y=-53x+13

Наклон m=-53.m=-53. Точка пересечения y- равна 13,13, но на самом деле это не входит в нашу проблему, поскольку единственное, что нам нужно, чтобы две прямые были параллельны, — это одинаковый наклон. Единственным исключением является то, что если точки пересечения y- совпадают, то две линии являются одной и той же линией. Следующим шагом является использование этого наклона и заданной точки с формулой точка-наклон.

y−5=−53(x−3)y−5=−53x+5y=−53x+10y−5=−53(x−3)y−5=−53x+5y=−53x+10

Уравнение линии y=−53x+10.у=-53х+10. См. рис. 7 .

Фигура 7

Попытайся #12

Найдите уравнение прямой, параллельной 5x=7+y5x=7+y и проходящей через точку (−1,−2).(−1,−2).

Пример 16

Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой, проходящей через заданную точку

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной 5x−3y+4=05x−3y+4=0 и проходящей через точку (−4,1). (−4,1).

Решение

Первым шагом является запись уравнения в форме пересечения наклона.

5x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+435x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+43

Мы видим, что наклон m=53.m=53. Это означает, что наклон линии, перпендикулярной данной линии, является обратной отрицательной величиной, или −35,−35. Затем мы используем формулу точка-наклон с этим новым наклоном и заданной точкой.

y−1=−35(x−(−4))y−1=−35x−125y=−35x−125+55y=−35x−75y−1=−35(x−(−4))y−1 =-35x-125y=-35x-125+55y=-35x-75

2.2 секции упражнений

Устный
1 .

Что означает, когда мы говорим, что две прямые параллельны?

2 .

Каково соотношение между наклонами перпендикулярных линий (при условии, что они не горизонтальны и не вертикальны)?

3 .

Как узнать, когда уравнение, например, y=4x+3,y=4x+3, будет прямой линией (линейной) на графике?

4 .

Что имеется в виду, когда мы говорим, что линейное уравнение несовместно?

5 .

При решении следующего уравнения:

2x−5=4x+12x−5=4x+1

объяснить, почему мы должны исключить x=5x=5 и x=-1x=-1 как возможные решения из набора решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений решите уравнение для x.x.

8 .

3(х+2)−12=5(х+1)3(х+2)−12=5(х+1)

9 .

12−5(x+3)=2x−512−5(x+3)=2x−5

11 .

х3-34=2х+312х3-34=2х+312

13 .

3(2х-1)+х=5х+33(2х-1)+х=5х+3

14 .

2×3−34=x6+2142×3−34=x6+214

15 .

х+24-х-13=2х+24-х-13=2

В следующих упражнениях решите каждое рациональное уравнение относительно x.x. Укажите все значения x , которые исключены из набора решений.

17 .

2−3x+4=x+2x+42−3x+4=x+2x+4

18 .

3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)

19 .

3xx-1+2=3x-13xx-1+2=3x-1

20 .

5x+1+1x-3=-6×2-2x-35x+1+1x-3=-6×2-2x-3

Для следующих упражнений найдите уравнение линии, используя формулу точка-наклон. Запишите все окончательные уравнения, используя форму пересечения наклона.

22 .

(0,3)(0,3) с уклоном 2323

23 .

(1,2)(1,2) с наклоном −45−45

24 .

x — точка пересечения равна 1, а (−2,6)(−2,6)

25 .

y — точка пересечения равна 2, и (4,−1)(4,−1)

26 .

(−3,10)(−3,10) и (5,−6)(5,−6)

27 .

(1,3) и (5,5)(1,3) и (5,5)

28 .

параллельно y=2x+5y=2x+5 и проходит через точку (4,3)(4,3)

29 .

перпендикулярно 3y=x−43y=x−4 и проходит через точку (−2,1)(−2,1) .

Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя данную информацию.

30 .

(−2,0)(−2,0) и (−2,5)(−2,5)

31 .

(1,7)(1,7) и (3,7)(3,7)

32 .

Наклон не определен и проходит через точку (2,3).(2,3).

33 .

Наклон равен нулю и проходит через точку (1,−4).(1,−4).

34 .

Наклон равен 3434 и проходит через точку (1,4)(1,4).

35 .

(–1,3)(–1,3) и (4,–5)(4,–5)

Графический

В следующих упражнениях начертите пару уравнений на одних и тех же осях и укажите, являются ли они параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими.

36 .

у=2х+7у=-12х-4у=2х+7у=-12х-4

37 .

3x−2y=56y−9x=63x−2y=56y−9x=6

38 .

у=3х+14у=3х+2у=3х+14у=3х+2

Цифровой

В следующих упражнениях найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

40 .

(5,4)(5,4) и (7,9)(7,9)

41 .

(−3,2)(−3,2) и (4,−7)(4,−7)

42 .

(−5,4)(−5,4) и (2,4)(2,4)

43 .

(−1,−2)(−1,−2) и (3,4)(3,4)

44 .

(3,−2)(3,−2) и (3,−2)(3,−2)

В следующих упражнениях найдите наклон линий, проходящих через каждую пару точек, и определите, параллельны ли линии или перпендикулярны.

45 .

(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)

46 .

(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)

Технология

Для следующих упражнений выразите уравнения в форме пересечения наклона (округлив каждое число до тысячных). Введите это значение в графический калькулятор как Y1, затем отрегулируйте значения ymin и ymax для вашего окна, чтобы они включали точку пересечения и . Укажите свои значения ymin и ymax.

47 .

0,537x−2,19y=1000,537x−2,19y=100

48 .

4,500x-200y=9,5284,500x-200y=9,528

49 .

200−30yx=70200−30yx=70

Расширения
50 .

Начиная с формулы наклона точки y−y1=m(x−x1),y−y1=m(x−x1), решите это выражение для xx через x1,y,y1,x1,y,y1, и мм.

51 .

Начиная со стандартной формы уравнения Ax+By=CAx+By=C, решите это выражение для yy через A,B,CA,B,C и xx. Затем поместите выражение в форму пересечения наклона.

52 .

Используйте приведенную выше производную формулу, чтобы представить следующее стандартное уравнение в форме пересечения наклона: 7x−5y=25,7x−5y=25.

53 .

Учитывая, что следующие координаты являются вершинами прямоугольника, докажите, что это действительно прямоугольник, показав, что наклоны пересекающихся сторон перпендикулярны.

(–1,1),(2,0),(3,3)(–1,1),(2,0),(3,3) и (0,4)(0,4)

54 .

Найдите наклоны диагоналей в предыдущем упражнении. Они перпендикулярны?

Реальные приложения
55 .

Уклон пандуса для инвалидных колясок для дома должен быть 112.112. Если расстояние по вертикали от земли до низа двери составляет 2,5 фута, найдите расстояние, на которое пандус должен простираться от дома, чтобы соответствовать необходимому уклону.

56 .

Если уравнение прибыли для малого бизнеса, продающего xx количество единиц товара один и yy количество товаров два, равно p=3x+4y,p=3x+4y, найдите значение yy при p=453$ и x=75.p = 453 доллара США и  x = 75.

Для следующих упражнений используйте следующий сценарий: Стоимость аренды автомобиля составляет 45 долларов США в неделю плюс 0,25 доллара США за милю, пройденную в течение этой недели. Уравнение для представления стоимости будет выглядеть так: y=45+0,25x, y=45+0,25x, где xx — количество пройденных миль.

57 .

Какова будет ваша стоимость, если вы проедете 50 миль?

58 .

Если ваши расходы составили 63,75 долл. США, 63,75 долл. США, сколько миль вы заплатили за поездку?

59 .

Предположим, у вас есть максимум 100 долларов, которые вы можете потратить на аренду автомобиля.Какое максимальное количество миль вы могли бы проехать?

Решение уравнений | SpringerLink

Chapter

First Online:

Abstract

В этой главе рассматриваются некоторые важные темы линейной алгебры, такие как матрица, ранг, размерность, собственное значение и собственное число. на примере реализации MATLAB. Затем демонстрируется использование MATLAB для решения различных форм трех различных типов уравнений, а именно, квадратных уравнений, дифференциальных уравнений и интегральных уравнений.Для квадратных уравнений методы решения как для одной, так и для нескольких переменных проиллюстрированы с помощью команд MATLAB. В случае решения дифференциальных уравнений охватываются как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных. Обсуждение обыкновенных дифференциальных уравнений в этой главе включает дифференциальные уравнения первого, второго и третьего порядка. Далее представлены методы решения интегральных уравнений как с одной, так и с многими переменными на проработанных примерах MATLAB. К концу этой главы читатель получит элементарное представление о линейной алгебре, а также о дифференциальных и интегральных уравнениях и сможет очень легко решать такие уравнения с помощью MATLAB.

Ключевые слова

Линейная алгебра Ранг Собственные значения Собственные векторы Квадратные уравнения Дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Уравнения в частных производных Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения третьего порядка Интегральные уравнения

для проверки доступа.

Упражнение 6

  1. 1.

    Что такое собственные значения и собственные векторы? Как они математически определяются?

     

  2. 2.

    Упомяните применение solve () и dsolve () в MATLAB с примерами.

     

  3. 3.

    Даны две матрицы

    \( \kern0.5em (i)\ M=\left[\begin{array}{cc}-4& 5\\ {}8& -11\end{array} \right] \)

    и

    \( (ii)\ N=\left[\begin{array}{ccc}0,33& 1& 3,3\\ {}0,5& 0,45&-5,12\\ {}2&-2& 0\ end{array}\right] \)

    :

    1. (a)

      Определить ранг M и N .

       

    2. (b)

      Определить обратную величину M и N .

       

    3. (c)

      Определите собственные значения и собственный вектор M и N .

    4. 8

      8

    5. 4.

      Решить следующие алгебраические уравнения с использованием MATLAB:

      1. (A)

      2. (B)

      3. (B)

        101

          4 x 2 + 36 x + 255 = 4

           

        • (в)

          2. 60 x 2 + 5.34 x — 7 = 7,44

        • (d)

          9 x 9009 9 x 2 + 3 xy — 2 = — 3; 4 x 2 + 7 XY + 5/2 = 0

        • (E)

          16 x 2 + xy — 3 = 9 x 2 — 11 xy  + 2 = 7

           

       

    6. 5.

      Решите следующие дифференциальные уравнения с помощью MATLAB.2=0 \)

       

     

  4. 6.

    Рассмотрим следующие интегральные уравнения: dx — 2 x

    (b)

    (b)

  5. 8

для каждого из вышеперечисленных:

  1. (I)

    решают вышеуказанные интегральные уравнения для y .

     

  2. (ii)

    Если предел x равен [0 2], найдите решение для y .

97 Авторские права

© Автор (ы), при эксклюзивной лицензии на Спрингер Природа Швейцария AG 2022

Авторы и принадлежности

  1. Posted in Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск